Dört Rotorlu İnsansız Hava Araçlarının Bağ Grafik Yöntemi ile Modellenmesi ve Model Teyidi

Transkript

1 Dört Rotorlu İnsansız Hava Araçlarının Bağ Grafik Yöntei ile Modellenesi ve Model Teyidi Vasfi Ere Öürlü, Ahet Sağırlı 2, Ertan Hasköy 3, M. Nurullah Turgut 4, İbrahi Yıldız 5,4 Mekatronik Mühendisliği Bölüü Yıldız Teknik Üniversitesi, İstanbul 2,3,5 Makine Mühendisliği Bölüü Yıldız Teknik Üniversitesi, İstanbul Özetçe Dört rotorlu insansız hava araçları, son yıllarda, üstüne kontrol, odellee ve tasarı açısından, artan bir iveyle çalışılan konulardandır. Kontrol ve odellee konusunda farklı öneriler getiriliş, odellee açısından, belli kabuller ışığında, standartlaşış denkle takıları elde ediliştir. Bu çalışada, nisbeten grafik bir yönte olan ve sistedeki enerji akışından hareketle kurulan, bağ-grafik yöntei kullanılarak, doğrusal olayan bu sistelerin en genel anada, kısıtsız, olarak odellenesi ve dinaik denklelerinin eldesi aaçlanıştır. Hava aracının genel kineatik yapısı yanında, otor, redüktör ve pervane dinaikleri de odele dahil ediliştir. Bağ-grafik yönteinin özelliği olarak sonuç denkleleri, sistein doğrusal olaasına bakılaksızın, duru uzayı forunda sunuluştur. Farklı tipte girişler uygulanarak, yeni odelin kullanılabilirliği gösteriliş ve sonuçlar tartışılıştır.. Giriş İnsansız hava araçları, araa kurtara, gözetlee, askeri uygulaalar gibi tehlikeli uçuş durularında kullanılabilesinden dolayı büyük avantajlara sahiptir. İnsansız hava aracı olarak dört rotorlu helikopter diğer birçok hava aracına göre farklı üstünlüklere sahiptir. Dar alanlarda dikey kalkış ve iniş yapabilesi, havada asılı kalabilesi ve anevra kabiliyetinin yüksek olası bu üstünlüklerin birkaçıdır. Son yıllarda insansız hava araçları üzerine birçok çalışa yapılıştır. Dört rotorlu insansız hava aracının ateatiksel odeli doğrusal olayan özellikler içerektedir ve odellenesi ile ilgili yapılan çalışalarda genel olarak Newton-Euler etodu kullanılıştır, 2. Dinaik sistedeki enerji akışını ifade etesi ve doğrusal olayan dinaik yapıyı, sonuçta, duru uzayı forunda ifade etesi dolayısıyla Bağ-Grafik yöntei üstünlükler içerektedir. Bağ Grafik etodu çeşitli dinaik sistelerin odellenesi, analizi ve kontrolü için yeni bir yönte olarak 96 yılında Profesör Henry Paynter tarafından geliştiriliştir. Başlangıçta, Rosenberg 3, Karnopp 4, ve Thoa 5 farklı alanlarda bu etoda katkılarda bulunuşlardır. Thoa 5, Breedveld 6, ve Dixhoorn 7 bu etodun terodinaik alanına uygulanabilirliğini gösterek için teknikler geliştirişlerdir. Karnopp ve Rosenborg 8 ve Kalindi 9 Bond Graph etodunun akustik alanında uygulanası ile ilgili çalışaları sürdürüşlerdir. Ayrıca Karnopp ve Rosenborg, Bağ Grafik etodundan istifade ederek siste dinaikleri üzerine bir kitap yayınlaışlardır. Bununla birlikte Thoa 2 tarafından yazılan kitapta etodun farklı ühendislik alanlarına uygulanabilirliği vurgulanıştır. Dransfield 3 ve Karnopp un çalışaları Bağ Grafik etodunun hidrolik sistelerdeki uygulaalarıdır. Margolis 4 yaptığı kapsalı çalışada robotik, vinç ve uzay araçları alanlarına uygulanabilirliği sonucu ile bu alana katkıda bulunuştur. Margolis çalışasında tahrik elean dinaiklerini, rijit gövde dinaiklerini ve eğile titreşilerini göz önüne alarak, ekleli ve ekleden tahrikli iki kolun dinaiğini inceleiştir. Allen 5 enerji duru fonksiyonlarındaki fiziksel koordinatlarda yüksek dereceli nonlineerlik bulunan fiziksel sisteleri Bağ Grafik tekniği ile odelleyerek analoji fonksiyonlarına uygulanabilir agrange ve Hailton fonksiyonlarını elde eden bir yönte geliştiriştir. Öte yandan Tiernego 6 Bağ Grafik ve agrange etodlarının benzerliklerinin ve farklılıklarının karşılaştırasını üç eksende döne kabiliyetine sahip bir tablanın odelleesi ile yapıştır. Sağırlı 7 tarafından yapılan araştırada, teleskopik dönel bir vincin, geoetrik nonlineerlikler dahil olarak Bağ-Grafik yönteiyle duru uzayı denklelerinin eldesi gerçekleştiriliştir. Yine Yıldız 8, 3 3 Stewart Platfor ekanizası için dinaik odelleesini Bağ-Grafik yönteiyle elde etiştir. Tiernego 9 nun Bağ Grafik etodu ile ilgili iki çalışası vardır. Birinci çalışasında, uzaysal harekete sahip çok gövdeli ve çok ekleli sistelerin Bağ Grafik odellerinin iyileştirilesine olanak veren sisteatik bir etod geliştiriştir. İkinci çalışa üç eksende dönebilen bir sarkaçın odellenesini ve tahrik sisteini içerektedir. Uzaysal ekanizalar ile ilgili daha fazla araştıra, türevsel

2 nedensellik içereyen uzaysal hareket yapan çoklu gövde ekanizalarının Bağ Grafik ile odellenesi için sisteatik bir etod geliştiren Bos 2 tarafından yapılıştır. Gosh 2 Bağ-Grafik etodundan faydalanarak robotik kollarda ve ekanizalarda gerekli hareketlerin sağlanasında kullanılan ileri yol kapalı çevri tahrik kuvvetlerinin adı adı hesaplanası için yeni bir yaklaşı sunuşlardır. Fahrenthold 22 tek ve çoklu kapı Bağ Grafik eleanlarının vektör Bağ Grafik sebolleri ile nasıl gösterileceğini tanılayarak vektör Bağ Grafik etodunu kullanarak ekanik sistelerin odelleri üzerinde çalışışlardır. Karnopp 23 geoetrik nonlineerlik bulunan sistelerin türevsel nedensellik probleini, agrange ve Hailton eşitlikleri, genelleştiriliş oentu koordinatları ve I- ve IC-alan tanılarını kullanarak çözüştür. Bu çalışada, önce dört rotorlu hava aracı sistei tanıtılıp çalışalarda genel olarak kullanılan Newton-Euler etodu ile oluşturuluş odel gösterilecektir. Bağ Grafik etodu ile dört rotorlu insansız hava aracının odeli oluşturulup, duru uzayı denkleleri çıkartılacaktır. Daha sonra yeni yönte ile oluşturuluş odel, farklı siste girişleri için cevapları dikkate alınarak tartışılacaktır. 2. Dört rotorlu hava aracının odellenesi 2.. Yapısal özellikler Dört rotorlu hava aracı dört otorun çapraz yerleştirilesiyle yapılandırılıştır. Bu yapı diğer helikopter türlerine göre daha dengelidir. Motorlara bağlı pervaneler sabit ve otorun dönüş yönüne paralel olarak dönektedirler. Ayrıca pervaneler sabit hatveli (fixed-pitch) olup hava akıı aşağı yöndedir, bu da yukarı doğru kaldıra kuvvetinin oluşasını sağlar. Dört rotorlu hava aracı dört serbestlik derecesine sahiptir ve bunlardan üçü döne ve biri yerçekii doğrultusundaki ötelee hareketidir. Diğer doğrultulardaki (x, y) ötelee hareketi, yunuslaa ve yalpalaa hareketlerinin kontrolü ile sağlanaktadır. Dört rotorlu hava aracının bütün hareketleri pervanelerin dönüş hızlarının birbirine göre arttırılıp azaltılasıyla sağlanır. Ön ve arka pervaneler saat yönünün tersine dönerken, sağ ve sol pervaneler ise saat yönünde dönektedirler. Bu otor çiftlerinin zıt yönde döne yapılandırası, geleneksel helikopterlerde gerekli olan kuyruk rotor ihtiyacını ortadan kaldırır. Şekil de hava aracının genel yapısı gösterilektedir. Şekil : Dört rotorlu hava aracının genel yapısı Şekil de görüldüğü gibi bütün pervanelerden oluşan kuvvetler, yerçekiinin tersi yönünde, yani, yukarı doğrudur. Pervane hızlarının değişii bu kuvvetlerin yönünü değiştirez. Hava aracının y - ekseni etrafında dönesi pitch yani kafa vura açısı ile ifade edilir, aynı zaanda x yönünde yer değişii bu açı değişii ile kontrol edilir. x - ekseni etrafında döne roll yani yalpalaa açısı ile ifade edilir, yalpalaa açısı ile y yönünde yer değişii kontrol edilir. z - ekseni etrafında hava aracının dönesi sapa olarak adlandırılır Klasik yöntelerle odellee Sistein dinaik odeli Newton-Euler yöntei kullanılarak oluşturulabilir. Sabit yer eksen takıını E olarak, hareketli gövde eksen takıını B olarak düşüneli. Euler açılarını kullanarak hava aracının uzaydaki hareketi, R SO 3 (3 boyutlu özel ortagonal grup) olak üzere B den E ye dönüşü atrisi R x,y,z(φ, θ, ψ) ile tanılanabilir. Hava aracını rijit kabul ederek, gövde eksen takıına göre kütle erkezine etkiyen dış kuvvetler altında rijit gövdenin hareket denkleleri Newton-Euler forulasyonu kullanılarak () denklei ile ifade edilebilir. I J V ω ω V + ω Jω F τ I R (3 3) biri atrisini, J R (3 3) atalet atrisini, V R 3 doğrusal gövde hız vektörünü ve ω R 3 açısal gövde hız vektörünü gösterektedir. Hareket denkleleri şu şekilde yazılabilir. ζ ν ( 4 ) b ν ge 3 + Re 3 Ω 2 i i (2) Ṙ R ˆω 4 I ω ω Iω J r(ω e 3)Ω i + τ i Burada, ζ hava aracının kütle erkezinin yer eksenine göre konuu, e 3, z yönündeki biri vektörü ve ˆω ters sietrik atrisi tesil etektedir. Dört rotorlu hava aracının ta dinaik odeli: ẍ (cosφsinθcosφ + sinφsinψ) U ÿ (cosφsinθsinφ sinφcosψ) U ẍ g + (cosφcosθ) U Iy Iz φ θ ψ Iz Ix φ φ ψ Jr θω + U 2 Jr φω + U 3 Ix Iy φ φ θ I z + U 4 I z Sistein girişleri, pervane hızlarından kaynaklanan kaldıra kuvveti U, x, y, z eksenleri etrafında oluşan torklar U 2, U 3, U 4 ve topla hız Ω denkleleridir ve şöyle ifade edilebilir; U b(ω 2 + Ω Ω Ω 2 4) U 2 bl( Ω Ω 2 4) U 3 bl( Ω 2 + Ω 2 3) U 4 d( Ω 2 + Ω 2 2 Ω Ω 2 4) Ω Ω + Ω 2 Ω 3 + Ω Bağ-Grafik yöntei ile odellee Sistein Bağ-Grafik odeli oluşturulurken, Newton-Euler odelindeki gibi bir E sabit yer eksen takıı ve B hareketli () (3) (4)

3 Tablo : Siste değişken ve sabitleri Sebol Tanı ζ konu vektörü R rotasyon atrisi ˆω ters sietrik atris φ, θ, ψ yalpalaa, kafa vura, sapa açıları Ω i rotor hızı,y,z gövde ataleti τ a araç gövdesine etkiyen tork b ite faktörü d hava sürtüne faktörü gövde eksen takıı seçiliştir. Bu iki eksen takıı arasındaki dönüşüü A BE atrisi tanılaaktadır. Modelde doğrusal hareketler E eksen takıına göre tanılandığı için A BE atrisi kullanılıştır, ancak açısal hareketler B eksen takıına göre tanılandığından burada A BE atrisinin kullanılasına gerek kalaıştır. Bağ-Grafik odelinde seri kapıları, ise paralel kapıları tesil etektedir. Modelleeye ilk olarak şekil 2 de tesil edilen, aracın birbirinin aynı kabul edilen dört otorundan başlanıştır. Motorların iç elektriksel sabitleri endüktans,, direnç, R, ve otor hız katsayısı, K v dir. K v değeri bir trafo eleanının katsayısı olarak gösterilebilir. Çünkü bir uç değişkenini başka bir uç değişkeni cinsinden, bir iç değişkenini ise başka bir uç değişkeni cinsinden tanılar. Yani denkle (5) da ifade edildiği gibi otorun ters elektrootif yükü ve hızı arasında ve ürettiği tork ve otor akıı arasında bu katsayıyla sabit bir ilişki vardır. Jiratörlerde ise bunun ta tersi vardır; uç değişkenlerini iç değişkenlerine, iç değişkenlerini ise uç değişkenlerine dönüştürür (5a,5b). ubef M Kv K v ia w Bu noktadan sonra siste elektriksel alandan ekanik alana geçektedir. Motor ilindeki atalet eleanlarının topla ataleti olarak J ve bu ildeki sürtüne B katsayısı ile tesil ediliştir. Motor ili çıkışında i çevri oranına sahip bir redüktör bulunaktadır. Bu redüktör i R katsayısına sahiptir ve ilgili trafo şu şekilde gösterilebilir, w M y ir i R Mrg w ro Redüktörün diğer ucuna bağlı pervane ilindeki elastikiyeti tesilen K ve sönü için B k katsayıları kullanılıştır. Pervane ilindeki atalet ve sönü B p dir, şekil 2. Şekil 2: Motorun Fiziksel Modeli (5) (6) kapısına gelen giriş gerilii u, endüktans gerilii u, direnç gerilii u R ve ters elektrootif kuvvet gerilii u bef şöyle eşitlenir, u Ri a + dia + w K v (7) Paralel kapılarında iç değişkenlerin topla olası kuralından yola çıkılarak, kapısına gelen otor oenti M, otor ilindeki atalet eleanlarına etkiyen oent M J, otor ilindeki sürtüneden kaybedilen oent M B ve redüktöre gelen oent M rg şu şekilde eşitlenir, dw ia irmy wb (8) K vj J J 2 seri kapısına gelen redüktör çıkışındaki açısal hız w ro, pervane ilinin açısal hızı w p ve pervane ilinde elastikiyetten kaynaklanan açısal hız kaybı w K şu şekilde eşitlenir, w K w i R w p (9) 2 paralel kapısına gelen redüktör çıkışındaki oent M y, pervane ilindeki oent kaybı M K ve pervane ilindeki iç sönüden kaynaklanan oent kaybı M BK şu şekilde gösterilir, M y K w Kd t + B Kw K () 3 paralel kapısına gelen M y, pervane ilindeki ataletlere etkiyen oent M Jp, pervane ilindeki sürtüneden kaybedilen oent M Bp ve otorun çıkış oenti M o şu şekilde gösterilir, dw p ( My Mo w p) Bp () B p B p Kapılara ait denkleler düzenlenerek şöyle ifade edilebilir, dw dw p RiRMy J ukv J + w(b + ) Kv di a J J ( Kvu w (B + ) + J B p Ri R Ri R + Kv di a Ri R (2) dw Ri R ) Mout Bp w p (3) B p Motorlardan alınan açısal hız çıkışları olan ω, ω 2, ω 3 ve ω 4 değerlerinin karelerinden oluşan 4 lik atris hava aracına x, y ve z eksenlerinde etki eden döndüre oentleri U 2, U 3, U 4 ve z yönünde etki eden kaldıra kuvvetine U dönüşek üzere 2 farklı jiratöre girer. Bu jiratörler pervanelerin ite faktörü b, sürüklene katsayısı d ve otorların aracın gövde ekseninden uzaklıkları l den oluşuştur. Motor hızlarından açısal hızlara geçişi sağlayan jiratörün katsayı atrisi K r ve doğrusal hızlara geçişi sağlayan jiratörün katsayı atrisi K l olak üzere; bl bl K r bl bl (4a) d d d d K l (4b) b b b b

4 Burada otor hızlarından, yani uç değişkenlerden, araca etki eden oent ve kuvvetlere, yani iç değişkenlere, geçildiği için jiratör eleanı kullanılıştır. MrT M B MlT F B K T r ωrt K r ω B K T l ωlt K l ω B (5a) (5b) Bu noktadan sonra hava aracının açısal hızlarını bulak için gövdenin topla ataletleri olan, ve I z eleanlarından oluşan bir J B atrisi ve coriolis etkisini tesil eden bir EJS (Eulerian Junction Structure) sistee yerleştiriliştir. EJS eleanının içindeki jiratörlerin katsayıları şöyledir, şekil 3, H x w x H y w y H z I zw z (6a) (6b) (6c) olak üzere, Coriolis etkisi sonucunda oluşan oentler, M x H zw y H yw z M y H xw z H zw x M z H yw x H xw y Evvelki iki denkle birleştirilirse, M x I zw zw y w yw z M y w xw z I zw zw x M z w yw x w xw y (7a) (7b) (7c) (8a) (8b) (8c) Pervanelerin gövde üzerinde oluşturduğu oent etkisi ve coriolis etkisi sonucunda araca etkiyen topla oent şu şekilde ifade edilebilir, dw Bx dw By dw Bz MBx + M x MBy + M y MBz + M z I z Şekil 3: Jiratör. (9a) (9b) (9c) Sistein doğrusal hareketlerini elde etek için ilk önce gövdeye etki eden kuvvet, önceden bahsettiğiiz A BE atrisi ile çarpılarak B koordinat sisteinden E koordinat sisteine geçilelidir. Daha sonra sistee etki eden yerçekii etkisi g ve sistein kütlesi olan ler enerji çeken eleanlar olarak odele eklenerek gövdenin doğrusal hareketleri elde ediliş olur. VB F E dv Ex dv Ey dv Ez FEx FEy FEz g A T BE A BE FB V E (2a) (2b) (2c) (2) Siste duru uzay denkleleri (22) de ve bütün bağ-grafik odeli şekil 4 de gösteriliştir. Burada alt indis olarak i otorları, j ise x, y, z eksenlerini gösterektedir. Seçilen duru değişkenleri olarak i a otorun endüktans eleanından geçen akıı, w otor ilindeki atalet eleanına etkiyen açısal hızı, M K pervane ilindeki elastikiyet eleanına etkiyen oenti, w p pervane ilindeki atalet eleanına etkiyen açısal hızı, V E hava aracının doğrusal hızlarını, w B de hava aracının açısal hızlarını belirtektedir. Sistein girişleri, otorların u i tahrik voltajları ve yerçekii ivesidir. Siste atrisi ve giriş atrisi eleanları ekler bölüünde verilişlerdir. 3. Model cevapları ve Sonuçlar Şekil 4 deki siste odeli elde edilen bağ-grafik odeli denkleleri dikkate alınarak oluşturuluştur. Bu odele üç farklı tahrik tipi uygulanarak sistein cevabı elde ediliş ve şekil 5 deki sonuçlar elde ediliştir. Öncelikle bütün otorlara eşit 2V girişi uygulanarak dikey yöndeki kalkış gözleniştir. Şekil 5 da bütün eksenlerin sabit fakat z yönündeki kalkışın gerçekleştiği görülektedir. İkinci olarak 2. ve 4. otorlara sabit 2V ve. ve 3. otorlara 25V ve 5V uygulanıştır. Bu duruda aracın x yönünde ilerleesi beklenektedir. Şekil 5 den aracın sadece x yönünde değil y yönünde de ilerlediği ve z etrafında da döndüğü görülektedir. Bunun sebebi sistein açık çevride çalıştırılası ve dolayısıyla eksenlerin birbiri arasındaki etkileşiidir. Son olarak,. ve 3. otorlara sabit ve 2. ve 4. otorlara 25V ve 5V uygulanıştır. Burada da ikinci tip girişte açıklanan cevaplar y ekseni yönünde elde ediliştir. Dört rotorlu hava araçlarıyla ilgili odellee, kontrol ve tasarı üzerine çalışalar evcuttur. Bu araçlar kararlı yapılarından dolayı insansız hava araçları sınıfında rağbet görüşlerdir. Bu çalışada, daha evvel odellee aacıyla yapılış ve klasikleşiş çalışalardan ayrı olarak, aracın bütün dinaiklerini gösterir bir genel odel, bağ-grafik tekniği kullanılarak, duru uzayı forunda elde ediliştir. Sistein doğrusal olayan yapısına rağen, bağ-grafik yönteinin özelliği olarak, denkleler duru uzayı forundadır ve bütün otor, redüktör, pervane dinaikleri sistee dahil ediliştir. Bu çalışanın bir devaı olarak elde edilen denkleler kullanılarak kontrolcü tasarıı ve kararlılık analizi çalışaları yapılacaktır.

5 i i ẇ i Ṁ Ki ẇ pi V Ej ẇ Bj A A A 2 A 22 A 23 A A A A 42 A 43 A 44 A 45 A A A A 66 i i w i M Ki w pi V Ej w Bj + B B u u 2 u 3 u 4 g (22) Şekil 4: Bütün sistein toplu bağ-grafik odeli Şekil 5: Açık çevri bond graph odeli cevapları, I - bütün otorlara eşit tahrik, 2V, II - 2. ve 4. Motorlar sabit,. ve 3. Motorlar +25/-5V tahrikli, III -. ve 3. Motorlar sabit, 2 ve 4. Motorlar +25/-5V tahrikli 4. Kaynakça Bouabdallah S., and Siegwart R.: Backstepping and Sliding-ode Techniques Applied to an Indoor Micro Quadrotor, Proceedings of the 25 IEEE, International Conference on Robotics and Autoation, Barcelona, Spain, April Hael T., Mahony R., ozano R., and Ostrowski J. P.: Dynaic odelling and configuration stabilization for an X4-flyer, IFAC 5th World Congress on Autoatic Control, Barcelona, Spain, Rosenberg R. C.: Coputer-aided teaching of dynaic syste behavior, Dissertation, Departent of Mechanical Engineering of M.I.T., Cabridge, MA, 965.

6 4 Karnopp D. C., and Rosenberg R. C.: Course Notes of Special Suer Course, Physical Syste Dynaics, M.I.T., Cabridge, MA, Thoa J. U.: Bond Graph for theral energy transport and entropy flow, Journal of Franklin Institute, 97, Breedveld P. C.: The therodynaic Bond Graph concept applied to a flapper-nozzle valve, Bond Graph Modelling and Interactive Siulation 82, th IMACS Congress Montreal, and IFAC/IFIP Madrid, Dixhorn J. J. V.: Physical odeling on therodynaical basic using the Bond Graph concept, Bond Graph Modelling and Interactive Siulation 82, th IMACS Congress Montreal, and IFAC/IFIP Madrid, Karnopp D. C., and Rosenberg R. C.: Introduction to Physical Syste Dynaics, McGraw Hill, New York, Kalindindi S. R., and Perera W. G.: MSR acoustic vibrations due to the HP and p tube bundle and cavity interactions using Bond Graph odel, Applied Acoustics 3, 99, Karnopp D. C., and Rosenberg R. C.: Syste Dynaics: A Unified Approach, Wiley, New York, 975. Karnopp D. C., and Rosenberg R. C.: Introduction to Physical Syste Dynaics, McGraw-Hill, New York, Thoa J. U.: Siulation by Bond Graphs, Springer, Berlin, Dransfield P.: Power Bond Graphs - Powerful new tool for hydraulica syste design, Machine Design, 975, Margolis D.., and Karnopp D. C.: Bond Graph for flexible ultibody systes, Journal of Dynaic Systes, 979, Allen R. R., and Dubowsky S.: Mechaniss as coponents of dynaic systes: A Bond Graph approach, ASME Journal of Engineering for Industry 99(), 977, Tiernego M. J.., and Dixhoorn J. J. V.: Three axis platfor siulation: Bond Graph and agrangial approach, Sağırlı A., Boğuçlu M. E., Öürlü V. E.: Modelling Rotary Crane by Bond Graph Method, Analysis of Dynaical Behavour and oad Spectru Analysis (Part ), Nonlinear Dynaics, 33, , Yıldız I., Öürlü V. E., Sağırlı A.: Dynaic Modeling of a Generalized Stewart Platfor by Bond Graph Method Utilizing Novel Visualization Technique, International Review of Mechanical Engineering, 2(5), Tiernego M. J..: Bond Graph odeling and siulation techniques applied to a three-axes driven pendulu, Bond Graph Modelling and Interactive Siulation 82, th IMACS Congress Montreal, and IFAC/IFIP Madrid, Bos A. M., and Tiernego M. J..: Forula anipulating in the Bond Graph odelling and siulation of large echanical systes, Journal of Franklin Instute 39(/2), 985, Gosh A. K., Mukherjee A., and Farugi M. A.: Coputation of driving effortss for echaniss and robots using Bond Graphs, Journal of Dynaics Systes, Measureent and Control 3, 99, Fahrenthold E. P., and Worgo J. D.: Vector Bond Graph analysis of echanical systes, Transactions of ASME 3, 99, Karnopp D.: Approach to derivative causality in Bond Graph odels of echanical systes, Journal of Franklin Institute 329(), 992. A. Ekler A R I4 4, R Ri, i(i...4) (23) A 2 Kv I4 4, Kv Kv i (i...4) (24) A 2 Kv J I 4 4, J J i (i...4) (25) A 22 B B ki 2 R I 4 4 B B i, B k B ki, i R i Ri (i...4) (26) A 23 ir I 4 4 J (27) A 24 irb k I 4 4 J (28) A 32 Ki RI 4 4 (29) A 34 KI 4 4 (3) A 42 B ki R I 4 4, i (i...4) (3) A 43 I 4 4 (32) A 44 B k + B p I 4 4 (33) A 45 b R3 R 23 R 33 (34) A 54 b A 64 A 66 A 46 R 3 R 23 R 33 bl d bl d d bl d bl w p w p2 w p3 w p4 blwp blw 2 p4 blwp blw p3 dwp dw p2 I z I z dwp dw 3 p4 I z I z I z 2 w z I 2 w y I z y B B 5 I z I 2 w y I z z 2 w y I z 2 w x 2 w x g (35) (36) (37) (38) (39) (4)