ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14"

Transkript

1 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14

2 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analiz Yazar: Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Editör: Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN

3 Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir. "Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright 1999 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University. Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN ISBN X

4 Limit ve Süreklilik Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 8 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyonların iti kavramını öğrenecek, itler hakkındaki teoremleri görecek, basit itlerin hesaplanması tekniğini öğrenecek, fonksiyonların sürekliliği kavramı ile tanışacaksınız. İçindekiler Giriş 205 Fonksiyon Limitinin Tanımı 205 Limit Özellikleri 211 Süreklilik 216 Değerlendirme Soruları 219 Çalışma Önerileri Limit ve Süreklilik Kavramlarını iyi öğreniniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp itlerini bulmaya çalışınız

5 Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp onun sürekli olup olmadığına karar veriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

6 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Giriş Geçen ünitede dizilerin itleri ile tanışmıştık. Bu ünitede fonksiyonların iti kavramını ele alacağız. Fonksiyonların iti kavramı türev, integral gibi kavramların temelini oluşturur. Ünite sonunda sürekli fonksiyonlar konusuna kısaca değineceğiz. 2. Fonksiyon Limitinin Tanımı A IR olmak üzere f: A IR, y = f() fonksiyonu verilsin. Eğer değişkeninin değerleri sabit bir a gerçel sayısına istenildiği kadar yakın ise o zaman bu yaklaşma sembolik olarak gibi gösterilir ve " değişkeni a ya yaklaşıyor" şeklinde okunur. y = f() fonksiyonunun itinin varlığı, değişkeni a ya yaklaştığı zaman f() fonksiyon değerlerinin bir gerçel sayıya yaklaşıp yaklaşmamasına bağlıdır. Örneğin, f() = 2-2 fonksiyonunu ele alalım ve 3 olduğunu varsayalım. 3 e yakın değerler aldığı zaman f() in aldığı değerleri gösteren aşağıdaki tabloyu ele alalım: 2,9 3,1 2,99 3,01 2,999 3, f() = 2-2 6,41 7,61 6,9401 7,0601 6, , Tablodan görüldüğü gibi değişkeni 3 e ister 3 den küçük değerlerle, isterse 3 den büyük değerlerle yaklaşsın f() = 2-2 nin değerleri 7 ye yaklaşmaktadır. İşte bu durumda 3 iken f() in iti 7 dir diyecek ve sembolik olarak şeklinde göstereceğiz. 3 ( 2-2) = 7 A kümesi ve a sayısı verilsin. Eğer merkezi a noktasında olan her (a - δ, a + δ) açık aralığında b a, b A koşullarını sağlayan en az bir b sayısı bulunabiliyorsa, o zaman a noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Bir kümenin yığılma noktası o kümenin elemanı olabilir de, olmayabilir de. Örneğin, a = 0 noktası A = (0,1) açık aralığının yığılma noktasıdır. Her bir gerçel sayı Q rasyonel sayılar kümesinin yığılma noktasıdır. f: A IR fonksiyonu verilsin ve a sayısı A kümesinin yığılma noktası olsun. Eğer her ε > 0 için bir δ >0 sayısı bulunabiliyor ve 0 < - a < δ eşitsizliğini sağlayan tüm A değerleri için f() - L < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman iken f() in iti L dir (veya f fonksiyonunun a noktasındaki iti L dir) denir ve sembolik olarak AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

7 206 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K şeklinde gösterilir. f() = L veya iken f() L Dizi itinde olduğu gibi bu tanım da şöyle yorumlanabilir. Her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki tanım kümesine ait olan ve (a - δ, a + δ) aralığına düşen a dan farklı tüm ler için f() değerleri (L - ε, L + ε) aralığına düşer. Örneğin, 3 = 8 dir, çünkü her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki (2 - δ, 2 + δ) 2 Şekil 8.1 aralığındaki tüm ler için 3 ün değerleri (8 - ε, 8 + ε) aralığına düşer (ε verildiğinde δ nın ε a bağlı nasıl seçileceğini tartışmıyoruz). Şekil 8.2 Tanımdan görüldüğü gibi sabitin iti kendisidir: c = c. Dizilerin iti ile fonksiyonların iti arasında sıkı bir ilişki vardır. f() = L olması için gerek ve yeter koşul, her n A, (n N) ve ( n ) a koşulunu sağlayan ( n ) dizileri için (f( n )) L olmasıdır. Yani, f() = L olması için gerek ve yeter koşul, tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve a ya ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

8 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 207 yakınsayan her ( n ) dizisine karşılık, fonksiyon değerlerinden oluşan (f( n )) dizisinin L sayısına yakınsamasıdır. Örnek: f: IR IR, f() = 2-2 olmak üzere f() = 7 olduğunu göstere. Çözüm: 3 n IR için (n IN) f( n ) = n 2-2 dir. Her ( n ) 3 için ( n 2 ) 9 olduğundan (f ( n )) = ( 2 n - 2) 9-2 = 7 dir. Dolayısıyla ( 2-2) = 7 dir. 3 Örnek: f: IR IR, f() = 2 + 4, 5-1, 1 ise > 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonun 1 için itinin olmadığını göstere. Çözüm: n IN için n = 1-1 alalım. Bu durumda ( n ) 1 olduğu açıktır. n olduğundan f( n ) = n + 4 = 6-2 n ve n = 1-1 n < 1 n f ( n ) = 6-2 n = 6 dır. n y n n Şekil 8.3 Buna karşılık, n IN için alırsak (' n ) 1 dir. Her n IN için ' n > 1 n ' = olduğundan n f( n ' ) = 5 n ' - 1 = n - 1 = n ve f( n ' ) = n n n = 4 dür. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

9 208 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Burada tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve 1 e yakınsayan farklı iki diziye karşı gelen fonksiyon dizileri aynı sayıya yakınsamamaktadır. Bu nedenle fonksiyonun = 1 noktasında iti yoktur. Bu durum grafikten de açıkça görülmektedir. Grafikten gördüğümüz gibi, değişkeni 1 e 1 den büyük değerlerle yaklaşırken fonksiyon değerleri 4 e yaklaşmakta, değişkeni 1 e 1 den küçük değerlerle yaklaşırken ise fonksiyon değerleri 6 ya yaklaşmaktadır. 1 için fonksiyon değerleri aynı sayıya yaklaşmadığından fonksiyonun iti yoktur.? 1) 0 2) itlerini araştırınız. Cevaplar 1) Yoktur 2) 0 olmalıydı. Örnek: 4 = 2, ln 1 = 0, = 4, e 0 = 1, 32 5 = 2, (cos) π = -1, π 2 π 2 sin = 1, cot = 1, π 4 tan - yoktur. Eğer değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan küçük kalıyorsa, o zaman " değişkeni a ya soldan yaklaşıyor" denir ve bu yaklaşma sembolik olarak - gibi gösterilir. Eğer değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan büyük kalıyorsa, o zaman " değişkeni a ya sağdan yaklaşıyor" denir ve sembolik olarak + gibi gösterilir. - iken f() in iti varsa, bu ite f() in a noktasında soldan iti denir ve bu it - f() gibi gösterilir. + iken f() in iti varsa, bu ite f() in a noktasında sağdan iti denir ve bu it + f() ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ gibi gösterilir.

10 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 209 f() itinin mevcut olması için, a noktasında sağdan ve soldan itler mevcut ve birbirine eşit olmalıdır. Yani dir. f() = f() + - = L f() = L Örnek: 0- soldan ve sağdan itleri hesaplayalım. Çözüm: ve olması < 0, 0 + ise > 0 demektir. < 0 için = -, > 0 için ise = olduğundan 0- = - 0- = = -1 = = 1 = bulunur. Soldan ve sağdan itler eşit olmadığından (-1 1), yoktur. 0 iti Örnek: f() = 2, 1 ise, , < 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonu için 1- f(), f() 1 + itlerini bulalım. Çözüm: < 1 için f() = , > 1 için f() = 2 olduğundan 1- f() = (-2 + 3) 1- f() = 2 = = (-2) = 1, dir. Soldan ve sağdan itler eşit olduğundan 1 f() iti var ve 1 dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

11 210? L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K f() = 2-2, -1 ise, + 2, > -1 ise fonksiyonunun = -1 noktasında soldan ve sağdan itlerini hesaplayınız. Cevaplarınız 3 ve 1 olmalıdır. a - ve a durumlarında da it tanımlanabilir. Eğer her ε > 0 için bir > 0 bulunabiliyor ve < - eşitsizliğini sağlayan tüm ler için f() - L < ε oluyorsa, o zaman " - iken f() in iti L dir" denir ve gibi yazılır. Eğer her ε > 0 için bir > 0 bulunabiliyor ve > eşitsizliğini sağlayan tüm ler için f() - L < ε oluyorsa o zaman " iken f() in iti L dir" denir ve f() = L gibi yazılır. Tanımlardan görüldüğü gibi - f() f() = L - = L (veya f() = L) olması için in aldığı değerler negatif yönde gittikçe çok küçüldüğünde (veya pozitif yönde çok büyüdüğünde) f() in aldığı değerler bir L ye istenildiği kadar yakın olmalıdır. Örnek: 1) 1 1 = 0 dır. Çünkü büyük değerler aldığında ifadesi 0 a istenildiği kadar yakın değerler alır. Aynı sebepten 1 = 0 dır. Ayrıca, - c = 0 (c-sabittir) olur.? 2) 3) bulunur itlerinin değerleri nedir? Cevaplarınız 2, 0 ve 5 olmalıdır. itini bulmak için ifadesini e böle: = 2 + 3, buradan = 0 dır. Çünkü - iken 1-1 = = = 2 ifadesi negatif değerler alarak sıfıra istenildiği kadar yakın değerler alır. (Burada, - için kesrin payı sabit kalırken paydası mutlak değerce sınırsız büyümektedir). + 2, 100, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

12 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Limit Özellikleri Şimdi itlerin hesaplanmasında faydalı olan aşağıdaki teoremleri vereceğiz. 1) Eğer f iti varsa bu it tekdir. 2) f() ve g() fonksiyonları verilsin. Eğer in a ya yakın tüm değerlerinde f g ise ve eşitsizliği sağlanır. f, g f itleri varsa o zaman g 3) f 1 (), f 2 (),..., f n () fonksiyonları verilsin ve f 1, f 2,..., f n itleri mevcut olsun. Bu durumda f 1 ± f 2 ±... ± f n ve f 1. f 2... f n itleri de vard ır ve f 1 ± f 2 ±... ± f n = f 1 ± f 2 ±... ± f n f 1. f 2... f n = f 1. f 2... f n dir. c bir sabit olmak üzere c = c olduğundan, son eşitliğin bir sonucu olarak, sabitin her zaman it işaretinden dışarı çıkarılabileceğini söylemek mümkündür: c f = c f. 4) Eğer pay ve paydanın iti varsa ve paydanın iti sıfırdan farklı ise o zaman kesrin iti, itler oranına eşittir: g 0 olmak üzere, dir. f g f = g 5) f(), g() ve h() fonksiyonları verilsin. Eğer in a ya yakın tüm değerleri için h() f() g() eşitsizli ği sağlanı yorsa ve a h = a g = L ise o zaman f iti de vard ır ve dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ f = h = g = L

13 212 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Bu teoremlerin ispatı itin tanımından yararlanarak yapılabilir. Örneğin, 1). yi ispatlamak için iken f() in L 1 ve L 2 itlerinin var olduğunu varsayalım. O zaman tanıma göre her ε > 0 için öyle δ 1 > 0 vardır ki 0 < - a < δ 1 iken f - L 1 < ε dir ve aynı zamanda öyle δ 2 > 0 vardır ki 0 < - a < δ 2 iken 2 f - L 2 < ε olur. Eğer δ 1 ve δ 2 sayılarından küçük olanına δ dersek o zaman 2 0 < - a < δ eşitsizliğini sağlayan her bir için aynı zamanda - a < δ 1 ve - a < δ 2 eşitsizlikleri de sağlanmış olur. Buna göre mutlak değerin de özelliklerini kullanırsak, L 1 - L 2 = L 1 - f + f - L 2 L 1 - f + f - L 2 f - L 1 + f - L 2 < ε 2 + ε 2 = ε, buradan L 1 - L 2 < ε yazabiliriz. ε keyfi olduğundan L 1 - L 2 = 0 veya L 1 - L 2 = 0, L 1 = L 2 olmalıdır. Dolayısıyla varlığı halinde it tekdir. Not: Yukarıdaki teoremler a - ve a için de doğrudur. Örnek: 1) = = = = 9 2 2) 4 = = 2 5 3) π 2 sin. 1 + cos = π 2 sin. π cos = = 1 4) itini hesaplamak için pay ve paydayı ile böle: = bulunur = buna göre, = = = = 2 3 5) böle: itini hesaplamak için pay ve paydayı 2 ile ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

14 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K = 2 - = bulunur = 2. 0 = 0, = = 0, veya ± için f() değerleri pozitif yönde sınırsız büyüyorsa fonksiyonunun iti dur denir. Benzer şekilde veya ± için f() değerleri negatif yönde sınırsız küçülüyorsa, bu durumda fonksiyonun iti - dur denir. Örneğin =, = -, 2-4 = dur = 0 olduğunda = = 3 Yukarıdaki 4). ve 5). örneğimizde, sırasıyla veya - için kesirlerin pay ve paydaların iti olduğu halde kesirlerin itleri sırasıyla 2/3 ve 3 tür. Bu örneklerde olduğu gibi ± (veya için) bir kesrin pay ve paydası olduğunda kesrin itinin varlığı veya varsa değeri kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda sonsuz bölü sonsuz belirsizliği vardır diyor ve sembolik olarak / şeklinde gösteriyoruz. / belirsizliği it yok demek değildir. Sadece itin varlığının ve varsa değerinin kesre bağlı olduğunu ifade eder.! 6) itini bulmak için pay ve paydada in yaklaştığı değer olan sıfırı yazarsak pay ve payda sıfır olur. Ancak bu durum itin olmadığı anlamına gelmez. Limiti bulmak için kesri sadeleştirmek gerekir. Bunun için = = yazabiliriz. Buradan elde edilir. = = = ) - 1 itini bulalım. 1 için hem pay hem de payda olmaktadır. Payı çarpanlara ayırıp kısaltma yaparsak AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

15 214 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K = = + 1 olur. Aynı sonuç, pay ve payda, paydanın eşleniği ile genişletilerek de bulunabilir: = = Buna göre, = bulunur. = = 2? 6). ve 7). örneklerde, sırasıyla 0, 1 için pay ve payda 0 a yaklaştığı halde kesirlerin itleri 1/4 ve 2 olmaktadır. Bu örneklerden görüldüğü gibi ( veya ± ) için pay ve payda 0 a yaklaşırsa kesrin iti kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda da 0 belirsizliği vardır diyoruz. Bu belirsizlik de itin 0 olmadığı anlamına gelmemekte, sadece itin varlığının ve değerinin kesre bağlı olduğunu ifade etmektedir. Aşağıdaki itleri hesaplayınız , 2 + e - 8, Cevaplarınız 4/3, 4 + e -1, -6, , π 4 ve " " olmalıdır. sin - cos 2, sin Limitinin Hesaplanması y B C 0 A K (1,0) Şekil 8.4 Şimdi, bir açının radya cinsinden ölçümünü göstermek üzere, sin 0 = 1 olduğunu ispatlayalım. Bunun için merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan birim çemberi ele alalım (Şekil 8.4). BOA açısı, A noktasında çemberin teğeti ile OB nin uzantısının kesiştiği nokta C olsun. Şekilden görüldüğü gibi ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

16 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 215 AOB üçgen alanı < AOB daire kesmesinin alanı < AOC üçgen alanı, BK = sin, OA = 1, AC = OA. tan = tan olduğundan AOB üçgen alanı = 1 2 sin, AOC üçgen alanı = 1 2 tan, AOB daire kesmesinin alanı =. (daire alanı) 2π =. π. 12 2π = 2 olur Buradan 1 2 sin < 1 2 < 1 2 tan veya sin < < sin cos elde edilir. dar açı olduğundan sin > 0 olur ve son eşitsizlikte tarafları sin e bölersek 1 < sin < 1 cos veya 1 > sin > cos olur. Eğer 0 ise o zaman cos 1 olur ve itler haklarındaki 5). teoremden olduğu sonucu elde edilir. a 0 olmak üzere, 0 sina a 0 sin = 1 = 1 olduğunu gösteriniz.? Örnek: 1) tan 0 = 0 sin cos = sin. 1 = 1. 1 = cos = sin cos = 0 0 sin. 1 cos 2) sin2 = 2. 0 sin2 = 2 sin2 = 2. 1 = ) = 1 0 sin 0 sin = 1 0 sin = 1 1 = 1 4) sina = sina/a 0 sinb sinb/b. a = a 0 b b. 0 sina a sinb b = a sina b. 0 a sinb 0 b AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

17 216 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K?? 0 a = b. 1 1 = a b (a ve b sabit gerçel sayılardır ve a 0, b 0 dır). cot, sin3, sin Cevaplarınız 1, 3 ve 0 olmalıdır. 0 sin 1, sin itlerini hesaplayınız. Cevaplarınız her ikisi içinde 0 olmalıydı. itlerini hesaplayınız. 4. Süreklilik A IR olmak üzere f: A IR fonksiyonu verilsin ve a A olsun. Eğer f() iti varsa ve bu it f() fonksiyonunun = a noktasındaki değeri olan f(a) ya eşitse, yani f = f a ise y = f() fonksiyonu = a noktasında sürekli dir denir. Aksi halde y = f() fonksiyonuna = a noktasında süreksiz veya sürekli olmayan fonksiyon denir. Böylece fonksiyonun = a da süreksiz olması için ya f() iti mevcut olma- malı ya da it mevcut olsa da f(a) ya eşit olmamalıdır. Not: A kümesi [a,b] kapalı aralığı ise o zaman a ve b noktalarında sağdan ve soldan süreklilikten sözedilebilir. Yani, fonksiyonun a noktasında sürekli olması + f = f a b noktasında sürekli olması ise f = f b b- anlamlarını taşımaktadır., Eğer y = f() fonksiyonu her bir a A noktasında sürekli ise o zaman bu fonksiyona A kümesi üzerinde veya A da süreklidir denir.! Önceki ünitelerden bildiğimiz polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonlar, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar tanım kümeleri üzerinde sürekli fonksiyonlardır. Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı yine süreklidir. Sürekli fonksiyonların oranı ise paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

18 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 217 Örnek: f = 2 + 1, 0 ise, - + 1, < 0 ise fonksiyonunun = 0 da sürekli olduğunu göstere. Çözüm: f 0 = = 1 olduğundan f 0 itinin var olduğunu ve bu itin f 0 = 1 e eşit olduğunu göstermeliyiz. Bunun için sağdan ve soldan itleri hesaplayalım. f = = = 1, f = = = 1, sağdan it soldan ite eşit olduğundan 0 f 0 f iti var ve 1 e eşittir. = 1 = f 0 olduğundan fonksiyon = 0 noktasında süreklidir. Not: Fonksiyonun = a noktasında sürekli olması, geometrik olarak onun grafiğinin o noktada kesiksiz olmasını gösterir. Yukarıdaki fonksiyonun ve = 0 noktasında süreksiz olan g = + 1, > 0 ise 2, 0 ise fonksiyonlarının grafiklerine dikkat ediniz. g = + 1 = 1, g = 2 = 0 olduğundan g iti yoktur ve buna göre g() fonksiyonu = 0 da süreksizdir). Şekil ünitede öğrendiğimiz f() = (mutlak değer) fonksiyonu IR de süreklidir. f() =[] (tam değer) fonksiyonu ise her bir = 0, ±1, ±2,...tam sayı noktalarda AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

19 218 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K süreksizdir, çünkü tam sayı noktalarda soldan it sağdan ite eşit değildir. İşaret fonksiyonu olan f() = sgn fonksiyonu ise = 0 noktasında süreksizdir. Bu fonksiyonların grafikleri 3. ünitede verilmişti. Bu grafikleri inceleyerek süreksizlikleri görmeye çalışınız. Not: Sürekliliğin tanımında a sayısını f() fonksiyonunun tanım kümesinin bir elemanı olarak almıştık. Bu nedenle, genel olarak bir fonksiyon bir noktada tanımlı değilse, fonksiyonun bu noktada sürekliliği veya süreksizliğinden söz edilmez. Ancak aşağıdaki gibi özel noktalarda fonksiyonun süreksizliği kavramı yaygın olarak kullanılmaktadır. Eğer a sayısı bir f fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığılma noktası ise ve f iti yoksa, a nın tanım kümesinde olmamasına rağmen f() fonksiyonu a noktasında süreksizdir denilir. Örneğin, = 0 noktası f = 1 fonksiyonunun tanım kümesinden olmamasına rağmen, 1 iti bulunmadığından bu fonksiyon = 0 da süreksizdir denilir. Aynı sebepten f() = 0 tan fonksiyonu için de = π 2 noktasında süreksizdir denilir. Eğer iti varsa ve a sayısı tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığılma noktası ise veya fonksiyon a yığılma noktasında tanımlı fakat f(a) f f sahiptir denir. Örneğin, ise o zaman f() fonksiyonu a noktasında kaldırılabilir süreksizliğe f = -, < 0 ise,, > 0 ise fonksiyonu = 0 noktasında süreksizdir, çünkü = 0 noktası tanım kümesine dahil değildir.ancak 0 f = 0 ve = 0 noktası fonksiyonun tanım kümesinin yığılma noktası olduğundan f fonksiyonunun bu noktadaki süreksizliği kaldırılabilir süreksizliktir. Çünkü f() ile sadece = 0 da farklılık gösteren g = -, < 0 ise, 0, = 0 ise, =, > 0 ise, fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.? 1) f = mutlak değer fonkisyonunun sürekliliğini tanımdan yararlanarak gösteriniz. 2) f [ ] tam değer fonkisyonunun tam sayı noktalarda süreksizliğini gösteriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

20 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 219 Değerlendirme Soruları A. -10 B. 0 C. 2 D. 10 E. Yoktur A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E A. 0 B. 1/2 C. 1 D. 2 E A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 E. Yoktur A. - B. 0 C. 2 D. E AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

21 220 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K A. -1 B C. 0 D. 4 5 E. Yoktur A. - 1 B. 0 C. 1 D. 5 E. Yoktur A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 E. Yoktur A. - B. 0 C. 1 2 D. E A. - B. 0 C. 1 2 D. 2 E. 11. h 0 A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 E h h h ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

22 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. sin π 2 A. 0 B. 1 3 sin 2 + cos C. 1 2 D. 1 E A. B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 tan3 15. ln (y.g.: > e için 1 < ln < dir) A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 16. ln 0 + A. - B. -10 C. - e D. 0 E. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

23 222 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 18. A. 0 B. 1 C. 1 2 e - (y. g. : > 0 için e > 2 ) D. 1 e E f = 2 - a, + 4, 1 ise > 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonun = 1 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 E. -3 f = a sin, 0 ise - a + 1, > 0 is parçalı tanımlı fonksiyonun = 0 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A B. 0 C. 1 2 D. 1 E. 3 2 Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. E 8. B 9. B 10. B 11. A 12. C 13. C 14. B 15. C 16. A 17. C 18. A 19. E 20. C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BIP116) Yazar: Doç.Dr.İ.Hakkı.Cedimoğlu SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir.

Detaylı

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BIP116) Yazar: Doç.Dr.İ.Hakkı.Cedimoğlu SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir.

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BTP104)

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BTP104) VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BTP104) Yazar: Doç.Dr. İ. Hakkı CEDİMOĞLU S1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir.

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

EIS526-H02-1 GİRİŞİMCİLİK (EIS526) Yazar: Doç.Dr. Serkan BAYRAKTAR

EIS526-H02-1 GİRİŞİMCİLİK (EIS526) Yazar: Doç.Dr. Serkan BAYRAKTAR GİRİŞİMCİLİK (EIS526) Yazar: Doç.Dr. Serkan BAYRAKTAR SAKARYA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

11. RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI

11. RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI 11. RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI SIRALAMA SEMBOLLERİ Sıralama sembolleri, sayıların sıralanma şeklini gösterirler. Yani, sıralama sembolleri sayıların küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanmasını

Detaylı

BIP116-H14-1 BTP104-H014-1

BIP116-H14-1 BTP104-H014-1 VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BIP116) Yazar: Doç.Dr.İ.Hakkı.Cedimoğlu SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir.

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) (ELP211) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) (ELP211) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BTP104)

VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BTP104) VERİ YAPILARI VE PROGRAMLAMA (BTP104) Yazar: Doç.Dr.İ.Hakkı.Cedimoğlu SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir.

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

Pratik Kuantum Tarifleri. Adil Usta kuantumcuadilusta@gmail.com

Pratik Kuantum Tarifleri. Adil Usta kuantumcuadilusta@gmail.com Pratik Kuantum Tarifleri Adil Usta kuantumcuadilusta@gmail.com İçindekiler 1 Açılış 1.1 Olası momentum değerleri............................ 3 1. Klasik limit.................................... 5 1 1

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 015-016 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 1. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI AY HAFTA SAAT KAZANIMLAR BÖLÜMLER (ALT ÖĞRENME ALANLARI) ÖĞRENME

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2014 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların,

Detaylı

BÜTÜN : Parçalanmamış eksiksiz olan her şeye bütün denir.

BÜTÜN : Parçalanmamış eksiksiz olan her şeye bütün denir. BÜTÜN : Parçalanmamış eksiksiz olan her şeye bütün denir. KESİR : Bütünün eş parçalarından her birine kesir denir. KESİR SAYISI: Eş parçalara bölünmüş bir bütünün bir veya birkaç parçasına bu bütünün kesri,

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112 (ELP211) ) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1

ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112 (ELP211) ) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 ELEKTRİK MAKİNELERİ (MEP 112) Yazar: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Turan S1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Adapazarı Meslek Yüksekokulu Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

Üşenme, Erteleme, Vazgeçme.

Üşenme, Erteleme, Vazgeçme. KPSS YE NASIL ÇALIŞMALIYIZ KPSS YE NASIL ÇALIŞILIR? Üşenme, Erteleme, Vazgeçme. KPSS Matematik Dersine Nasıl Çalışılır MATEMATİK DERSİNE ÇALIŞMA YOLLARI 1-Matematik Dersi çalışmaya başlamadan önce her

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

TMOZ/tmoz@yahoogroups.com Kasım - 2005 Ters trigonometrik fonksiyonlar Eyüp Kamil Yeşilyurt Alaattin Altuntaş Mustafa Yağcı Dikkat edilmeyen veya önemsenmeyen ayrıntılar bir gün sizi de rahatsız edebilir.

Detaylı

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014 PROJENİN AMACI:

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

7.SINIF Yüzdeler. KAZANIM : Bir çokluğun belirtilen bir yüzdesine karşılık gelen miktarı bulur; belirli bir yüzdesi verilen çokluğu bulur.

7.SINIF Yüzdeler. KAZANIM : Bir çokluğun belirtilen bir yüzdesine karşılık gelen miktarı bulur; belirli bir yüzdesi verilen çokluğu bulur. Yüzdeler Hatırlatma Bir Çokluğun Belirtilen Yüzdesini Bulma Bir çokluğun belirtilen yüzdesi rasyonel sayılarda çarpma işlemi yoluyla veya doğru orantı kurarak bulunabilir. Bir kesrin yüzde sembolü ile

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK DEVLET KİTAPLARI ÜÇÜNCÜ BASKI., 0 MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI... : 575 DERS KİTAPLARI DİZİSİ... :

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

İŞLETMELERDE BİLİŞM SİSTEMLERİ (EMBA523) Yazar: Prof.Dr. Orhan TORKUL S1

İŞLETMELERDE BİLİŞM SİSTEMLERİ (EMBA523) Yazar: Prof.Dr. Orhan TORKUL S1 İŞLETMELERDE BİLİŞM SİSTEMLERİ (EMBA523) Yazar: Prof.Dr. Orhan TORKUL S1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir.

Detaylı

KESİRLER BİRİM KESİRLERİ SIRALAMA. Birim kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçüktür.

KESİRLER BİRİM KESİRLERİ SIRALAMA. Birim kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçüktür. BİRİM KESİRLERİ SIRALAMA Bir bütünün eş parçalarından her birine kesir denir. Payı olan kesirlere birim kesir denir. Birim kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçüktür.,, 8 kesirlerini sıralayınız.

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(015)-Ara Sınav S-1) Merkezi M(, 1) de olan ve 4y + 1 = 0 doğrusundan 4 birimlik bir kiriş ayıran çemberin S-) Merkezi M(,4) de olan ve + 5y 10 = 0 doğrusundan

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

EIS526 -H01-1 GİRİŞİMCİLİK (EIS526) Yazar: Doç.Dr. Serkan BAYRAKTAR

EIS526 -H01-1 GİRİŞİMCİLİK (EIS526) Yazar: Doç.Dr. Serkan BAYRAKTAR GİRİŞİMCİLİK (EIS526) Yazar: Doç.Dr. Serkan BAYRAKTAR SAKARYA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı