Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Transkript

1

2 Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır. 7. Baskı: Temmuz 015, Ankara YayınProje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu DizgiGrafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA Yayıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No: 1987 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: Eileti: pegem@pegem.net

3 SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan Matematik kapsamındaki 6 veya 7 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK Temel Kavramlar, Sayılar, BölmeBölünebilme Kuralları, Asal Çarpanlara Ayırma EBOB EKOK, Birinci Dereceden Denklemler, Rasyonel Sayılar, Üslü Sayılar, Köklü Sayılar, Çarpanlara Ayırma, Eşitsizlik Mutlak Değer, Oran Orantı, Problemler, Kümeler, İşlem Modüler Aritmetik, Permütasyon Kombinasyon Olasılık Tablo ve Grafikler Sayısal Mantık bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, çıkmış sorular çözümlü testler ve cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi Sınav Komisyonuna, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS de ve meslek hayatınızda başarılar. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker

4 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR... Küme... Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı... Kümelerin Gösterilişi... Boş Küme... Sayı Kümeleri... Tek Çift Tamsayılar...4 Tam Sayılarda İşlemler...4 İşlem Önceliği...6 Rasyonel Sayılar...6 Rasyonel Sayılarda İşlemler...6 Harfli İfadeler...8 Denklemler...9 Çözüm Kümesi Bulma...9 Birinci Dereceden İki Bilinmiyenli Denklemler...10 İkili...10 Sıralama...10 Eşitsizlik...11 Oran Orantı...11 Ortak Paranteze Alma...1 Çözümlü Test Cevaplı Test Cevaplı Test BÖLÜM SAYILAR... Sayı Kümeleri... Doğal Sayılar... Tam Sayılar...6 Tek ve Çift Tam Sayılar...7 Pozitif ve Negatif Sayılar...9 Ardışık Sayılar...1 Asal Sayı...6 Aralarında Asal Sayılar...6 Basamak Analizi...7 Çözümleme...4 Faktöriyel...44 Sayma Sistemleri...47 Çözümlü Test Çözümlü Test...58 Çözümlü Test...6 Cevaplı Test Cevaplı Test...68 Cevaplı Test...70 Cevaplı Test Cevaplı Test Cevaplı Test Çıkmış Sorular BÖLÜM BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI...8 Bölme...8 Bölünebilme Kuralları...86 ile Bölünebilme...86 ile Bölünebilme ile Bölünebilme ile Bölünebilme ile Bölünebilme ile Bölünebilme ile Bölünebilme ile Bölünebilme ile Bölünebilme...91 Çözümlü Test...9 Cevaplı Test Cevaplı Test...99 Çıkmış Sorular BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB EKOK Asal Çarpanlara Ayırma Bir Tam Sayının Bölenleri Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı En Büyük Ortak Bölen (EBOB) En Küçük Ortak Kat (EKOK) Çözümlü Test Cevaplı Test Cevaplı Test...1 Cevaplı Test...14 Çıkmış Sorular BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER...18 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler...18 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler...11 Denklem Sistemi...11 Yok Etme Metodu...11 Yerine Koyma Metodu...1 Özel Denklemler...1 Çözümlü Test...16 Cevaplı Test Cevaplı Test...14 Çıkmış Sorular...144

5 vi 6. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Kesir ve Kesir Türleri Kesir Basit Kesir Bileşik Kesir Tam Sayılı Kesir Sabit Kesir Denk Kesir Rasyonel Sayılarda Dört İşlem Toplama İşlemi Çıkarma İşlemi Çarpma İşlemi Bölme İşlemi Kuvvet Alma İşlem Önceliği Ondalık Kesir Ondalık Sayılarda Dört İşlem Devirli Ondalık Açılımlar Rasyonel Sayılarda Sıralama İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma Çözümlü Test Çözümlü Test Cevaplı Test Cevaplı Test Çıkmış Sorular BÖLÜM EŞİTSİZLİK MUTLAK DEĞER Basit Eşitsizlikler Özellikleri Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları Kapalı Aralık Yarı Açık Aralık Açık Aralık Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi Mutlak Değer...18 Özellikleri Çözümlü Test Çözümlü Test...19 Cevaplı Test Cevaplı Test Cevaplı Test...01 Çıkmış Sorular BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR...06 Özellikleri...06 Üslü Sayılarda Dört İşlem...09 Toplama Çıkarma...09 Çarpma...10 Bölme...1 Çözümlü Test Çözümlü Test...19 Cevaplı Test 1... Cevaplı Test...5 Çıkmış Sorular BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR...0 Köklü Sayıların Özellikleri...0 Köklü Sayılarda Dört İşlem...4 ToplamaÇıkarma...4 Çarpma...5 Bölme...6 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması...8 Eşlenik...9 İç İçe Sonlu Kökler...41 İç İçe Sonsuz Kökler...4 A B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması...44 Köklü Sayılarda Sıralama...46 Köklü Sayılarda Denklem Çözme...47 Çözümlü Test Cevaplı Test Cevaplı Test...54 Çıkmış Sorular BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA...60 Ortak Parantez Yöntemi...60 Gruplandırma Yöntemi...60 ax +bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması...61 Özdeşlikler...6 İki Kare Farkı...6 Tam Kare İfadeler...65 III. Dereceden Özdeşlikler...68 Çözümlü Test Çözümlü Test...74 Cevaplı Test Cevaplı Test...80 Çıkmış Sorular BÖLÜM ORAN ORANTI...86 Oran...86 Orantı...86 Orantının Özellikleri...86 Orantı Türleri...88 Doğru Orantı...88 Ters Orantılı Çokluklar...90 Bileşik Orantı...91 Ortalamalar...9 Aritmetik Ortalama...9 Geometrik Ortalama...9 Çözümlü Test Çözümlü Test...99 Cevaplı Test Cevaplı Test...05 Çıkmış Sorular...07

6 vii 1. BÖLÜM PROBLEMLER...10 Denklem Kurma Problemleri...10 Yaş Problemleri...16 Yüzde Problemleri...19 Faiz Problemleri...1 Kâr Zarar Problemleri... Karışım Problemleri...5 İşçi Problemleri...8 Havuz Problemleri...0 Hareket Problemleri...1 Çözümlü Test Çözümlü Test...41 Çözümlü Test...45 Çözümlü Test Çözümlü Test Çözümlü Test Çözümlü Test Çözümlü Test Çözümlü Test Cevaplı Test Cevaplı Test...75 Cevaplı Test...77 Cevaplı Test Cevaplı Test Cevaplı Test Cevaplı Test Cevaplı Test Çıkmış Sorular BÖLÜM KÜMELER...98 Küme...98 Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı...98 Kümelerin Gösterimi...98 Küme Çeşitleri...99 Kümelerde İşlemler Alt Küme...40 Küme Problemleri Çözümlü Test Cevaplı Test Çıkmış Sorular BÖLÜM FONKSİYONİŞLEMMODÜLER ARİTMETİK Bağıntı Fonksiyon İşlem İşlem Tabloları İşlemin Özellikleri Modüler Aritmetik...4 Modüler Aritmetiğin Özellikleri...44 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü...48 Çözümlü Test Çözümlü Test...4 Cevaplı Test Cevaplı Test...49 Çıkmış Sorular BÖLÜM PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK Saymanın Temel Kuralları Toplama Kuralı Çarpma Yolu ile Sayma Saymanın Temel İlkesi Permütasyon (Sıralama) Tekrarlı Permütasyon Dairesel Permütasyon Kombinasyon (Gruplama) Olasılık Olasılık Fonksiyonu Olasılık Hesabı Koşullu Olasılık Bağımsız ve Bağımlı Olasılık Çözümlü Test Çözümlü Test Çözümlü Test Cevaplı Test Cevaplı Test Çıkmış Sorular BÖLÜM TABLO VE GRAFİKLER Tablo ve Yorumlama Grafik ve Yorumlama Çizgi Grafik Sütun Grafiği Daire Grafiği Çözümlü Test Çözümlü Test...49 Cevaplı Test Cevaplı Test Çıkmış Sorular BÖLÜM SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ Sayı Örüntüleri Sayı Dizileri Tablo ve Şekil Soruları...51 Akıl Yürütme ve Mantık Soruları...5 Görsel Yetenek...50 Çözümlü Test...56 Cevaplı Test Cevaplı Test Cevaplı Test Çıkmış Sorular...55

7 015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR : c : m işleminin sonucu kaçtır? 5 6 A) 1 B) 6 C) 6 D) 1 E) 4 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 169 / 5. soru 5. 10! 9! 8! + 7! işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 7 Modüler Soru Bankası Sayfa 117 / Soru 4 1. d1 + n işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 1 C) 1 D) E) 5 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 1 / Soru 1 6. a b 8 c x Yanda verilen çarpma işleminde ab ile 8c iki basamaklı doğal sayılardır. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 17 B) 18 C) 19 D) 0 E) 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 64 / Soru 16 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 1 E) 6 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 174 / Soru ! 4 $ 10! 10! + 5$ 9! işleminin sonucu kaçtır? A) 84 B) 7 C) 70 D) 64 E) 60 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19. soru 7. x y z Yanda verilen çarpma işlemine göre, x K + L + M toplamı kaçtır? K L L K M A) 11 B) 1 C) 1 D) 14 E) 15 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 6 / Soru 5 1

8 015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR 8. x < 0 < y olmak üzere, x y + x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) y C) y D) y E) x Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 15 / Soru 1 1. x + 1 x + 4 e o = e o olduğuna göre, x kaçtır? 1 1 A) B) 1 C) D) 5 E) 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 177 / Soru 6 9. y < 0 < x < olmak üzere, y 1 + x 5 + y + x işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x+ y 1 B) x+ C) y D) x+ y+ 1 E) x y+ Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 19 /. soru 1. x 1 = 4 5 olduğuna göre, x kaçtır? 10. x y 0 olduğuna göre, x + x y y+ x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x B) y x C) y + x D) y E) y x Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 14. soru A) B) C) 4 D) E) 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 179 / Soru x < y olmak üzere, I. x+ z 1 y+ z II. x 1 y III. 1 1 x y ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 14 / Soru 14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu x x f = + x Buna göre, f(a) = 6 ise a kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 1 / Soru 1

9 015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR 15. A 100m B soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. A dan dakikadaki hızı 10 metre olan hareketli, B den dakikadaki hızı 0 metre olan bir kuş aynı anda karşılıklı olarak harekete başlıyor. Kuş hareketliyle karşılaşıp, tekrar B ye dönüyor ve hiç durmadan tekrar A dan hareket eden hareketliye doğru uçuyor ve karşılaşınca durmadan tekrar B ye dönüyor. Kuş bu hareketine A dan hareket eden hareketli B ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu süre içinde kuş toplam kaç metre yol almıştır? A) 400 B) 960 C) 840 D) 40 E) 040 Pamuk Diğer Naranciye Mısır 60 Buğday Greyfurt 150 Naranciye 40 Limon Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 88 / 0. soru Bir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır. Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca başka bir daire grafik çizilmiştir. 18. Bu bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır? 16. Bir sınıftaki 0 öğrencinin 1. sınav sonuçlarının ortalaması 4,5 dir.. sınavda 4 öğrenci notunu puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan düşürmektedir. Buna göre, son sınavın ortalaması kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 15 A) 5 B) 4,9 C) 4,8 D) 4,7 E) 4,6 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 06 / 14. soru 19. Bu bölgede mandalina için kulanılan arazi 00 dönümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür? A) 900 B) 840 C) 800 D) 70 E) A torbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, B torbasında 10 beyaz ve 5 kırmızı top vardır. A ve B torbalarından sırasıyla birer top çekildiğinde iki topun renginin aynı olma olasılığı kaçtır? A) 4 9 B) 17 6 C) 1 D) 5 9 E) Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa / Soru Bu bölgede greyfurt için kullanılan arazi limon için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğday için kullanılan arazi kaç dönümdür? A) 1000 B) 1080 C) 1100 D) 110 E) 1150 Modüler Soru Bankası Sayfa 410 / Soru 79

10 015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR 1.. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. B E D A A 5 C A 4 A 1 I. Grafik II. Grafik I. grafik beş farklı otomobil firmasının yıl içerisindeki satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir. A A. C markasının satış sayısının 5 'i, D markasının satış sayısının 1 'ü yerine, B markası satılmış olsaydı B markalı otomobilin bu beş marka içindeki satış yüzdesi kaç olurdu? A) 10 B) 15 C) 18 D) 0 E) 5 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 Soru 5 E D A A 5 C B A 4 A 1 A A I. Grafik II. Grafik II. grafik ise A markalı otomobil firmasının beş farklı modeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir. 4. A(, 1) noktasının x 4y + = 0 doğrusuna göre simetriği B olduğuna göre, AB kaç birimdir? A) 1 B) C) D) 5 E) Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 86 / Soru 9 1. Yıl içinde A 1 modelinden 450 adet satıldığına göre, C marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 560 B) 600 C) 610 D) 60 E) 700. A 5 modeli A modelinden 80 adet fazla satıldığına göre, B marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 840 B) 900 C) 960 D) 1080 E) ABCD dikdörtgen, 6AC@ + 6DE@ = " F,, A 0 D AD = 0 cm, DC = 15 cm ve 15 EC = 5 cm'dir. F Yukarıdaki verilenlere T göre, AADF ^ h kaç cm dir? B E 5 C A) 10 B) 100 C) 90 D) 80 E) 60 Geometri Yaprak Test 1 / Soru 8 4

11 TEMEL KAVRAMLAR KÜME Yıllara Göre Çıkmış Soru Analizleri KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ BOŞ KÜME SAYI KÜMELERİ TEK ÇİFT TAMSAYILAR TAM SAYILARDA İŞLEMLER İŞLEM ÖNCELİĞİ RASYONEL SAYILAR RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER DENKLEMLER ÇÖZÜM KÜMESI BULMA İKİLİ SIRALAMA EŞİTSİZLİK ORAN ORANTI ORTAK PARANTEZE ALMA Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse neden? demeyecek. John Von Neumann

12 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. KÜME Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E, gibi büyük harflerle isimlendirilir. Pegem kelimesinin harfleri bir küme oluşturur Haftanın bazı günleri cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler! sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise! sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir. Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır. 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1 d A sayısı A kümesinin elemanı değil ise! A şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ 1) Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına, konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. A = " a, b, " c,," de,,, f, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) Çözüm: A kümesinin elemanlarını yazacak olursak a! A, b! A, " c,! A, " de,,! Af,! A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla sa ( ) = 5 bulunur. PEGEM kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 1 Çözüm: PEGEM kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = " P, EGM,,,olur. Dolayısıyla sa ( ) = 4 bulunur. A = " Kerem, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) C) D) 4 E) 5 Çözüm: Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı sa ( ) = 1 bulunur. ) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = " xlx 1 100, x! N, şeklinde gösterilir.

13 ) Venn Şeması Kümenin elemanlarının yanlarına. konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. A = " a, bcd,,,kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir. A a BOŞ KÜME b c d Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir. Yılın S harfi ile başlayan ayları cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir Not Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. A = " a, bc,, kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez. A = " a, bc,, = " bac,,, = " c, ab,, gibi RAKAM: 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. SAYI: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 48 üç rakamdan oluşan bir sayıdır dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. SAYI KÜMELERİ 1) Sayma Sayıları Kümesi " 1,,,..., kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " N + " ile gösterilir. ) Doğal Sayılar Kümesi " 01,,,,..., kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir ) Tam Sayılar Kümesi "...,,,1, 01,,,..., kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi Z sembolü ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; a) Negatif Tam Sayılar Kümesi Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z " ile gösterilir. Z = "...,,, 1, dir. Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı " 1 " dir. b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir. Z + = " 1,,,..., dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı " 1 " dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi " Q " ile gösterilir. 17 6,,, 14, 1,... birer rasyonel sayıdır

14 4 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. 5, 5 7,,... birer irrasyonel sayıdır. 6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Reel sayılar kümesi " R " ile gösterilir. R = Q, Q ' şeklinde ifade edilir. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) Tek tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere n 1 veya n + 1 şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi "... 5,, 115,,,,...,şeklinde ifade edilir. b) Çift tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi "...4,, 04,,,..., şeklinde ifade edilebilir. TAM SAYILARDA İŞLEMLER Toplama işlemi a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir işleminde Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti + olur. Buradan = 75 bulunur işleminde Sayıların hepsi negatif ( ) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " " olur. Buradan = ( ) = 19 bulunur. b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir işleminde Sayıların biri () diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 9 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 9 65 olduğundan olur. Buradan = 8 bulunur işleminde Sayılar zıt işaretli ve olduğundan 175 den 14 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( ) işareti verilir. Buradan = 51 bulunur. Not Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a b = b+ a dr. ý işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez. Buradan = = 159 bulunur. Not İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir işleminde iki tane pozitif ( + ), iki tane negatif ( ) sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır = = = 69 bulunur. Çıkarma İşlemi Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar toplanır = 48 + ( 19) = 9 76 = + ( 76) = ( 14) = (14) = 55

15 5 Çarpma İşlemi Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır. Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir. Yani ( + +=+ ) ( ) ( =+ ) ( ) Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir. Yani ( += ) ( ) ( + = ) ( ) Uyarı! 84 1 ( 84) : (16) = = (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse) (100) : ( 5) = = (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse) 5 7 Kuvvet Alma Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana yazılıp çarpılır. Yani a n sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere a n = a a a a şeklinde yazılabilir. n tane Not Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır. (5) ( ) = 115 (1) (11) = 1 (18) (1) = 16 Bölme İşlemi Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür. Not Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir. Yani ( + ) : ( + ) = + ():() = + Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir. Yani ():( + ) = ( + ):() = 4 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan 4 = = 16 bulunur. 4 tan e () sayısının değeri hesaplanırken tabandaki sayısı kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan ( ) = ( ) ( ) ( ) =7 bulunur. tan e Not 1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. ) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. 4 4 ( 5) = 5 = = ( ) = = = 18 ( 68) : (17) = 4 (10) : (1) = 10 ( 111) : (7) = (180) : ( 15) = 1 Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir. Uyarı! ( 4) + (7) ( 5) işleminde negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Buradan ( 4) + (7) ( 5) = ( 64) + (49) (15) = = = 110 bulunur.

16 6 Bir sayının kuvveti (üssü) negatif ise önce tabandaki sayı ters çevrilerek kuvveti pozitif hale getirilir. Sonra işlem yapılır. Yani n n n n 1 a b a =, = gibi (a 0, b 0) a b a Uyarı! 4 () ( ) ifadesinde Önce kuvvet alınıp sonra toplama işlemi yapılır. 4 O halde () ( ) = = 8 bulunur = 4 = = = = = = 5 = (4) ( ) () ()()()()() (5) (5)(5) 5 = = = = ( 5) Not 1) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1 dir. ) Bütün tam sayıların birinci kuvveti kendisidir (8) = 1, ( 7) = 1, (009) = 1, = 1 8 = = = , ( 5) 5, [ 15 + ( 10) : (5) + 1 ] : + ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. [ ] [ ] O halde 15 + ( 10) : (5) + 1 : + = : + = 14 : + = 7+ = 10 bulunur. [ 18 : ( ) + ( ) ] [ ] 0 ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. [ + ] [ + ] O halde 18 : ( ) ( ) [ ] = 66 1 = 1 1 = 1 bulunur. (s ýfýrdan (sıfırdan farklýbütün farklı bütün) say ýlarýn sayıların sýfýrýncýkuvveti sıfırıncı kuvvetli 1 1 dir..) 0 İŞLEM ÖNCELİĞİ Parantezlerle ayrılmış ifadelerde önce parantez içindeki işlemler yapılır. Parantez içerisinde, (i) Kuvvet alınır. (ii) Çarpma işlemi veya bölme işlemi yapılır. (iii) Toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılır. 1 (15) : 5 4 ifadesinde İşlem önceliğine göre önce bölme işlemi sonra çıkarma işlemi yapılır. O halde 1 (15) : 5 4 = 1 () 4 = = 15 4 = 11bulunur. RASYONEL SAYILAR a ve b birer tam sayı, b 0 olmak üzere a şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı (kesir) b denir. a kesrinde a ya pay, b ye payda denir. b RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Toplama ve Çıkarma İşlemi Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken ortak payda aynen yazılır. Payları toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır. a c a+ c O halde + =, b b b a c a c = dir. b b b

17 ifadesinde Paydaları eşit olduğu için payları toplanır ve çıkarılır O halde + = = = bulunur. 8 Not Rasyonel sayıların paydaları farklı ise önce paydalar en küçük katında eşitlenir. Sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır ifadesinde paydalar birbirinden farklıdır. 4 6 Bundan dolayı önce kesirlerin paydaları en küçük ortak katları olan 1 de birleştirilir O halde + + = = bulunur () (4) () ifadesinde 5 10 Tam sayıların paydaları 1 olarak alınıp işlem yapılır. Dolayısıyla paydalar en küçük katları yani 10 da birleştirilir O halde + = = = = bulunur (10) () Çarpma İşlemi Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Yani a c a = c dir. b d b d Rasyonel Sayılarda çarpma işleminden önce sayılar sadeleşebiliyorsa mutlaka sadeleştirilmelidir. 5 : ifadesinde Önce sadeleştirme işlemleri yapılırsa O halde = = 8 bulunur Uyarı! Bölme İşlemi Rasyonel sayılar bölünürken birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır. Yani a c a d a : = = d dir. b d b c b c 64 4 : 1 5 ifadesinde Birinci kesir yani 64 1 ters çevrilir çarpılır. 8 aynen yazılır ikinci kesir yani O halde : 1 5 = = = bulunur Not Tam sayılarda verilen işlem önceliği rasyonel sayılarda da geçerlidir. 1 + ifadesinde 4 6 Önce çarpma işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemi yapılırsa, = = (4) () 1 1+ = = 4 1 = bulunur : + ifadesinde Önce bölme işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılırsa : + = = (6) (8) () = 4 5 = bulunur. 4

18 8 HARFLİ İFADELER Bir reel sayı ve a, b, c, x, y, z, gibi harflerle yazılan ifadelere harfli ifadeler denir ifadeleri birer harfli ifadedir. x, 17ab, x y z, 4x 5y z,... x ifadesi ve x den oluşan bir harfli ifadedir. 17ab ifadesi 17, a ve b den oluşan bir harfli ifadedir. TERİM: Bir harfli ifadede toplama (+) veya çıkarma () işlemi ile ayrılan kısımlara terim denir. 8x + 1y 4z ifadesinde 8x birinci terim, 1y ikinci terim 4z üçüncü terim olur. KATSAYI: Bir harfli ifadenin her bir teriminde bulunan reel sayıya bulunduğu terimin katsayısı denir. a + 7b + 5c ifadesinde Birinci terimin katsayısı, İkinci terimin katsayısı 7, Üçüncü terimin katsayısı 5 tir. BİLİNMEYEN: Bir harfli ifadenin her bir teriminde kullanılan x, y, z, a, b, c, gibi harflere bilinmeyen denir. x ifadesinin katsayısı ve bilinmeyeni x dir. 8 ab ifadesinin katsayısı 8 ve bilinmeyenleri a ve b dir. BENZER TERİM: Bir harfli ifadede bilinmeyenler ve bilinmeyenin kuvvetleri eşit ise bu terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerin katsayıları farklı olabilir. 4a + 5b a 7b ifadesinde 4a ile a benzer terim, 5b ile 7b benzer terimdir. x + 4xy + 6yx + x ifadesinde 4xy ile 6yx benzer terimdir. x ile x benzer terim değildir. HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER Toplama ve Çıkarma İşlemi Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken benzer olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. x + 7x x = ( + 7 )x = 8x dir. 4a + 9b + a b = 4a + a + 9b b = 6a + 8b dir. x y + 5x x y x = x y x y + 5x x = x y + x dir. Çarpma İşlemi Harfli ifadeler çarpılırken önce katsayıları çarpılır. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri toplanır x 5x = 15x = 15x + 5 8x 6x = 48x = 48x x 5xy = 5x y = 5x y 1x 4x y = 48x y = 48x y x(x + x + ) = x + x + x (x + )(x + 5) = x + 5x + 6x + 15 = x + 11x + 15 Bölme İşlemi Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır. 16x 8x 7 = x = x x y x x 1 60x y y 4y = 4 = 4 4

19 9 Kuvvet Alma Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır. Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuvvetler çarpılır. (x) = x = 9x ( 5x ) = (5) (x ) = 15 x 9 (x + y) x + y şeklinde yazılamaz. Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma konusu içerisinde anlatılacaktır. DENKLEMLER BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Uyarı! a ve b birer reel sayı olmak üzere ax + b = 0 şeklinde yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. x + 7 = 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. 4(x ) + 5 = x 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü ya da kökü denir. Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Çözüm Kümesi Bulunurken; 1) Payda eşitlemesi yapılır. ) Parantezler dağıtılır. ) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin diğer tarafına alınır. 4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölünür. Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir. Uyarı! 5x 4 = 11 ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek için 5x 4 = 11 denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır. 15 Buradan 5x 4 = 11 5x = 15 x = = bulunur. 5 (x + ) = 4x ifadesindeki denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin değeri yani x in değeridir. Ohalde ( x+ ) = 4x & x+ 6 = 4x & 6+ = 4x x 9 = xbulunur. x x + = 8 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 15 B) 15 C) { 15} D) { 15 } E) {15, 15} Çözüm: Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların paydaları eşitlenmelidir. x x 8 5x + x 10 + = = (5) () (15) 8x = x = = 15 dir. 8 Buradan çözüm kümesi { 15} bulunur. x x = 9 ise x kaçtır? A) B) 1 C) 19 D) 17 E) 15 Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa x x 9 x (x ) 18 = = 1 1 () () x x + = 18 x + = 18 x = 18 = 15 bulunur.

20 10 x x 1 5 = ise x kaçtır? 4 1 A) 1 B) C) 18 D) 5 Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa, x x 1 5 (x ) 4(x 1) 5 = = () (4) (1) x 9 8x + 4 = 5 5x 5 = 5 5x = x = = bulunur. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b, c birer reel sayı olmak üzere, 1 E) 5 5 ax + by + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. x + y = 6 birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. x y 1 + = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. 5 9 İKİLİ a ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan ifadelere ikili denir. (a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin ikinci bileşeni denir. (, 4) ifadesinde birinci bileşen ve ikinci bileşen 4 tür. ÇÖZÜM KÜMESİ: Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri (x, y) ikilisi şeklindedir. Çözüm kümesi {(x, y) } şeklinde yazılır. İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabilmesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır. Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek yeterlidir. Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir. Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin değeri bulunur. x+ y = 8 x y = 14 denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri yok etmek daha kolaydır. + x+ y = 8 x y = 14 x = x = 11 dir. x y = y = = y = y dir. Buradan çözüm kümesi {(11, ) } bulunur. x + y = 1 x + y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 4 } B) { 1 } C) { 4 } D) {( 1, 4 )} E) {( 4, 1) } Çözüm: Birinci denklem ile çarpılırsa ve ikinci denklemle toplanırsa x bilinmeyeni yok edilir. / x + y = 1 x + y = 6 x 6y = 6 + x + y = 6 5y = 0 0 y = = 4 dür. 5 Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılırsa x + y = 1 x + 1 = 1 x = 1 olur. Burada çözüm kümesi {(1, 4) } bulunur. SIRALAMA > (büyük), (büyük ve eşit) < (küçük), (küçük ve eşit) sembolleriyle yazılan ifadelere eşitsizlik denir. x > y ifadesi x büyük y x < y ifadesi x küçük y şeklinde okunur.

21 11 x >, 'ten büyük sayıları x, ve 'ten büyük sayıları x < 4, 4'ten küçük sayıları x 4, 4 ve 4'ten küçük sayıları ifade eder. Not 1) Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfırdan uzaklaştıkça büyür. 18 > 1, 9 < 7...gibi ) Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. >7, 10 <9 18 ile 1 sayıları sıralarken sıfıra uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı 1 küçük, 18 büyüktür. Yani 18 > 1 dür. 1 ile 8 sayılarını sıralarken 0 (sıfır) a olan uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı yani 8 büyük, 1 küçüktür. Yani 8 > 1 tür. EŞİTSİZLİK a, b birer reel sayı olmak üzere ax + b > 0 şeklinde yazılan ifadelere eşitsizlik denir. Eşitsizlikler denklemlerdeki çözüm yöntemlerine benzer şekilde çözülür. Eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayı aralıkları şeklindedir. x + 5 < 1 eşitsizliğinde x + 5 < 1 x < 1 5 x < 8 bulunur. (x + ) < x + 4 eşitsizliğinde ifadeyi düzenleyecek olursak (x + ) < x + 4 x + 6 < x < x x < x bulunur. x1 x4 1 eşitsizliğinde çözüm aralığı bulunurken 4 öncelikle payda eşitlemesi yapılır ve ifade düzenlenirse x 1 x 4 1 6(x 1) 4(x 4) (6) (4) () ORAN ORANTI 6x 6 4x + 16 x + 10 x 7 7 x bulunur. Aynı türden çoklukların bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a'nın b'ye oranı a b şeklinde gösterilir. ORANTI İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a b a b ve c ayrı ayrı birer orandır. Bu oranlar eşitlenirse d c = bir orantı olur. d Özellikler 1.. a c = şeklinde verilen bir orantıda a d= b cdir. b d a c = = k ise a = b k ve c= dk dır. b d. Bir orantıda her bilinmeyen karşısında bulunan reel sayının bir katıdır. Yani; a = c ise a = c k ve b = d k (k R) dir. b d a = orantısında b 5 a'nın karşısında olduğundan a = k b'nin karşısında 5 olduğundan b = 5 k dır. 4x = 9y orantısında y x 9 = yazılabilir. 4 x in karşısında 9 olduğundan x = 9 k y nin karşısında 4 olduğundan y = 4 k dır.