MERDİVENİN EN ÜST BASAMAĞINA KAÇ FARKLI YOLLA ÇIKILIR?

Transkript

1 MERDİVENİN EN ÜST BASAMAĞINA KAÇ FARKLI YOLLA ÇIKILIR? Amaç: n basamaklı bir merdivenin en üst basamağına her adımda 1, 2, 3, veya m basamak hareket ederek kaç farklı şekilde çıkılabileceğini bulmak. Giriş: Eldeki araştırmada geçmiş yıllardaki Ulusal Bilgisayar Olimpiyatı(UBO) soruları arasında yer alan aşağıdaki soru esas alınmıştır: Soru: Önünüzde 10 basamaktan oluşan bir merdiven var. Eğer her adım atışta bir veya iki basamak yukarı çıkabiliyorsanız kaç farklı şekilde tepeye ulaşabilirsiniz? A) 89 B) 55 C) 144 D) E) (UBO-1997) Çözüm: 1

2 Yani 10 basamaklı bir merdivenin en üst basamağına her adımda 1 ya da 2 basamak çıkarak 89 farklı şekilde çıkılabilir. Örneğin genellenmesini içeren eldeki araştırmada kullanılan bazı önbilgiler şöyle sıralanabilir: ÖB1: olmak üzere terimlerinden oluşan bir sayı dizisinin farklı permütasyonlarının sayısı olarak bulunur. ÖB2: kuralı Binom katsayılarının bir özelliğidir. ÖB3: A ve B reel sayılar olmak üzere, biçiminde tanımlanan diziler indirgemeli dizilerdir ve bu dizilerin en bilineni Fibonacci dizisidir. Fibonacci dizisi, ve için şeklinde ifade edilir. Fibonacci dizisinin genel terimi ise, olarak bulunur. 2

3 Örnekten yola çıkılarak araştırma problemi ve alt problemler şu şekilde geliştirilebilir: Problem: n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1, 2, 3, ya da m basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? Problem i: n=2k olmak üzere, n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1 ya da 2 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? Problem ii: n=2k+1 olmak üzere, n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1 ya da 2 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? Problem iii: n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1, 2 ya da 3 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? Yöntem: Alt problemlerin çözümleri şu şekildedir: Problem i: n=2k olmak üzere, n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1 ya da 2 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? Çözüm i: 3

4 Problem ii: n=2k+1 olmak üzere, n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1 ya da 2 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? Çözüm ii: Problem iii: n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1, 2 ya da 3 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? Çözüm iii: Burada toplu bir sonuç yerine, herhangi bir kombinasyonun kaç farklı şekilde gerçekleşeceğini ÖB1 den faydalanarak şu şekilde bulunur: Sonuç ise şu şekilde ifade edilir: Problem iii şöyle örneklendirilebilir: Örnek: 8 basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1, 2 ya da 3 basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? 4

5 Çözüm: Yani 8 basamaklı bir merdivenin en üst basamağına her adımda 1, 2 ya da 3 basamak çıkarak 81 farklı şekilde çıkılabilir. Araştırma probleminin çözümü ise şu şekildedir: Problem: n basamaklı merdivenin en üst basamağına çıkmak istiyoruz. Her adımda 1, 2, 3 ya da m basamak hareket edebiliriz. Kaç farklı şekilde çıkabiliriz? 5

6 Çözüm: Burada yine, herhangi bir kombinasyonun kaç farklı şekilde gerçekleşeceğini şu şekilde bulunur: Toplam sonuç ise şöyledir: Burada elde edilen sonuç bir teorem şeklinde şöyle ifade edilir: Teorem: n basamaklı merdivenin en üst basamağına, her adımda 1, 2, 3 ya da m basamak hareket edilerek farklı şekilde çıkılabilir. Ayrıca problem i ve problem ii ye çözüm olarak indirgemeli dizi mantığını baz alan bir yaklaşım şu şekilde ifade edilebilir: Teorem: ve n basamaklı bir merdivenin en üst basamağına bir veya iki basamak hareket edilerek kaç farklı şekilde çıkılabileceğinin sayısı olmak üzere, aşağıdaki eşitlikler elde edilir: 6

7 İspat 1: ÖB2 kullanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir: İspat 2: basamağa ya basamaktan ya da basamaktan ulaşılır. Dolayısıyla eşitliği elde edilir. 7

8 Burada elde edilen varlığı görülecektir: indirgemeli dizisiyle Fibonacci dizisi arasında şöyle bir bağıntının Buradan da, ÖB3 ten faydalanılarak dizisinin genel terimi şeklinde bulunur. Benzer mantıkla şöyle bir genellemeye ulaşılır: ve n basamaklı bir merdivenin en üst basamağına 1, 2 veya m basamak hareket edilerek kaç farklı şekilde çıkılabileceğinin sayısı olmak üzere, aşağıdaki eşitlik elde edilir: Sonuç: Eldeki araştırmada şu sonuçlar elde edilmiştir: n=2k olmak üzere, n basamaklı merdivenin en üst basamağına, her adımda 1 ya da 2 basamak hareket ederek farklı şekilde çıkılabilir. n=2k+1 olmak üzere, n basamaklı merdivenin en üst basamağına, her adımda 1 ya da 2 basamak hareket ederek farklı şekilde çıkılabilir. n basamaklı merdivenin en üst basamağına, her adımda 1, 2 ya da 3 basamak hareket ederek 8

9 farklı şekilde çıkılabilir. n basamaklı merdivenin en üst basamağına, her adımda 1, 2, 3 ya da m basamak hareket ederek farklı şekilde çıkılabilir. Diğer taraftan ve n basamaklı bir merdivenin en üst basamağına bir veya iki basamak hareket edilerek kaç farklı şekilde çıkılabileceğinin sayısı olmak üzere, aşağıdaki eşitlikler elde edilir: Burada elde edilen indirgemeli dizisiyle Fibonacci dizisi arasında bağıntısı elde edilerek dizisinin genel terimi şeklinde bulunur. Son olarak, ve n basamaklı bir merdivenin en üst basamağına 1, 2 veya m basamak hareket edilerek kaç farklı şekilde çıkılabileceğinin sayısı olmak üzere, aşağıdaki eşitlik elde edilir: Ayrıca UBO da sorulmuş benzer iki soru ve çözümü Ek tedir. 9

10 Kaynaklar: 1. Aysan, B. ve Cansu, F. K., (2011), TÜBİTAK Ulusal Bilgisayar Olimpiyatı Soru ve Çözümleri , Altın Nokta Yayınları, İzmir 2. Özdemir, M. (2011), Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 2, Altın Nokta Yayınları, İzmir 3. Özdemir, M. (2010), Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4, Altın Nokta Yayınları, İzmir 4. Kaya, E. (2012), Kombinatorik, Altın Nokta Yayınları, İzmir 10

11 Ek: basamaklı bir merdiveni, birer veya üçer basamak atlayarak kaç farklı şekilde çıkabiliriz? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 (UBO-2007) Çözüm: basamaklı bir merdivene, 1 veya 3 er basamak atlayarak kaç değişik yolla tırmanılabilir? A) 45 B) 60 C) 72 D) 71 E) 100 (UBO-2000) Çözüm: 11

12 12