BÖLÜM 3: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM 3: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR"

Transkript

1 BÖLÜM 3: MATEMATİKEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3

2 İÇİNDEKİLER 3. Bir Haritanın Matematiksel Çatısı Ölçek Kesir ölçek Grafik ölçek Çizgi ölçek Geometrik ölçek Değişken ölçekler Uzunluk birimleri ile ifade edilen ölçek Ölçek ve alan ilişkileri Harita ağı Grid Çizim alanı sınırları Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Jeoid Küre ve basık kürenin geometrisi Küre Basık küre Küre mi, basık küre mi? Küre mi, düzlem mi? Coğrafi Koordinatlar Enlem Kutup mesafesi Boylam Paralel ve meridyenler Düzlem Koordinat istemleri Düzlem kutupsal koordinatlar Düzlem Kartezyen dik koordinatlar Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3

3 3. Bir Haritanın Matematiksel Çatısı 3.. Ölçek Harita üzerinde gösterilen iki nokta arasındaki uzunluğun, aynı noktaların arazi üzerindeki uzaklığına oranına ölçek diyoruz [3]. Öç / Ölçek genellikle büyük ölçekli haritaların topografik haritalar- her yerinde sabittir [3]. Haritalar üzerinde ölçek kesinlikle gösterilir. Bu gösteriliş genelde üç şekilde olur [3]: Kesir şeklinde Grafik olarak Uzunluk birimleri ile ifade edilerek 3... Kesir ölçek Harita üzerinde ölçek bir kesir şeklinde ifade edilir. Harita üzerindeki uzunluk, birim olarak kesrin payında ve bu uzunluğun arazi üzerindeki karşılığı olan uzunluk, kesrin paydasında gösterilir. Bu bir orandır. Birimi yoktur. Örnek olarak :5.000 ölçeğini alırsak, harita üzerinde metrelik mesafe, arazi üzerinde metreyi gösteriyor demektir [3]. : Ölçek : Arazideki uzunluk : Haritadaki uzunluk M L L H N M LN L H L N m (Ölçek ayısı) L H M m Ölçek sayısı () değeri daima 0 un katları şeklindedir []. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 3

4 oru: Ölçekleri farklı iki harita üzerindeki aynı uzunluğun oranı nedir? Çözüm: m de L L m N H m de L L m N H L H = L H m m L L H H m m 3... Grafik ölçek Ölçeğin sabit olduğu büyük ölçekli haritalarda, bölümlere ayrılmış bir çizgi üzerinde, arazideki karşılıkları gösterilir. Bu grafik ölçek haritanın kesir ölçeğine göre meydana getirilir. Ölçeğin büyük ve sabit olduğu kadastro haritalarında veya topografik haritalarda, harita üzerinde gerçek uzunluğu daha sağlıklı belirleyebilmek için kullanılan geometrik ölçek ile birlikte geniş sahaları içine alan küçük ölçekli haritalarda ki bu haritalarda ölçek sabit değildir ve haritanın yerine göre değişiklik gösterir- gerçeğe daha yakın değeri bulmak için kullanılan değişken ölçekler de grafik ölçekler arasında sayılabilir [3] Çizgi ölçek Haritaların genellikle çerçeveleri altında gösterilmiş olan bölümlendirilmiş bir doğru parçasıdır (Şekil 3.). Çizgi üzerinde belirtilmiş uzunluklar, arazi üzerindeki karşılıklarını ifade eder. Çizgi üzerinde bir (sıfır) başlangıç noktası vardır. Bu noktanın sağına doğru ana birim uzunlukları (km, kara mili, vb. gibi) gösterilmiştir. ıfırın solunda ise bu ana birimin daha küçük birimleri gösterilmiştir. Harita üzerinde ölçülen bir pergel aralığı bu ölçek çizgisi üzerine konularak iki nokta arasının arazi üzerindeki gerçek uzunluğunun ne kadar olduğu bulunur. Şekil 3.: Çizgi ölçek Çizgili grafik ölçek şu şekilde hazırlanır: -5 cm uzunluğunda ince bir çizgi çizilir. Çizgi cm aralıklı çentiklerle bölünür. Haritanın kesir ölçeğine göre cm lik uzunluğun arazide kaç metreyi gösterdiği bulunur. Örneğin, : ölçeği için, kesrin pay ve paydasından iki sıfır atılarak cm nin arazide 000 m veya km yi Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 4

5 gösterdiği belirlenir. Buna göre çizgi üzerindeki cm bölümleri, başlangıçtan bir sonrakine 0 (sıfır) değeri verilerek sağa doğru sıra ile 0 cm ye kadar numaralandırılır. ıfırın solundaki cm lik kısım 0 a bölünerek km nin küsuratı gösterilir [3] Geometrik ölçek Büyük ölçekli harita üzerindeki uzunlukların arazi üzerindeki gerçek uzunluklarına daha sağlıklı bir biçimde çevrilebilmeleri amacıyla düzenlenir (Şekil 3.) [3]. Şekil 3.: Geometrik ölçek [3] Geometrik ölçekte ana bölümler arası mesafe, yatay bölüm sayısı ve düşey bölüm sayısı olmak üzere, okunabilecek en küçük değer aşağıdaki bağıntı ile hesap edilebilir []: d e n n Geometrik ölçek şu şekilde hazırlanır: Bir ölçek çizgisi alınır ve değerine göre bölümlendirilir. ıfır başlangıç çizgisinin solunda kalan kısım sayısına bölünerek uzunluk birimlerinin küsurları elde edilir. Bölümlendirme çizgisi taban alınarak her km noktasından yukarıya doğru dikmeler çıkılır ve bu dikmeler sayısına bölünerek bu bölüm noktalarının her birinden tabana paralel çizgiler çizilir. Üst çizgideki sıfır başlangıcının solundaki kısım da sayısına bölünür ve bu bölüm noktaları en alttaki sıfır başlangıcının solundaki bölüm noktaları ile birer kaydırmalı olarak yukarıdan aşağıya birleştirilir. on olarak, numaralandırılarak ölçek tamamlanmış olur. Örneğin Şekil 3. deki ölçekte okuma ise şöyle yapılır: Pergel ayağı harita üzerinde iki nokta arası kadar açılır. Bu açıklık şekilde görüldüğü gibi ölçek üzerine yerleştirilir. ıfır düşey çizgisinin sağında km ler, solunda ve yatay çizgi üzerinde 00 m ler ve düşey çizgi üzerinde 0 m ler okunarak toplam mesafe daha sağlıklı bir biçimde belirlenmiş olur [3]. Buna göre (), () ve (3) numaralı çizgilerin arazideki karşılıkları aşağıdaki gibi hesaplanır. (): 4,00 m = 4 km + 00 m ():,70 m = km + 00 m + 70 m (3): 3,540 m = 3 km m + 40 m Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 5

6 oru: :5.000 ölçekli harita için öyle bir geometrik ölçek oluşturunuz ki, a) /4 mm nin ölçeğe göre karşılığı olan değer geometrik ölçekten doğrudan doğruya okunabilsin. b) Harita üzerinde ölçülen 4.5 mm lik uzunluğun arazideki karşılığını bulunuz. Çözüm: Harita üzerinde ölçülecek /4 mm lik bir uzunluğun /5.000 ölçeğine göre arazideki karşılığı olan değerin (e) geometrik ölçek çizgisi üzerinde doğrudan okunabilmesi isteniyor. Buna göre; e=( / 4) mm=( / 4) x 5000=650 mm=6.5 m Başlangıç noktasının sağında yer alan ana bölümlerin arazide hangi değere karşılık geleceği ölçeğe uygun olarak keyfi seçilir. Burada; d=50 m olarak seçilebilir. e d n n n n Yatay bölüm sayısı ya da başlangıç noktasının solunda yer alan ve ana bölüm parçalarını okumak için geliştirilen kısımdaki bölüm sayısı keyfi olarak seçilir. Biri seçildiğinde diğeri hesapla bulunur. İkisinin de tamsayı olması gerekir. Burada; yatay bölüm sayısı 5 olarak seçilirse, n en d olarak bulunur. Harita üzerinde ölçülen 4.5 mm lik uzunluğun arazideki karşılığı ise 4.5 x 5000= m = =606.5 m olarak bulunur. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 6

7 3...3 Değişken ölçekler Geniş sahaları içine alan küçük ölçekli haritalar üzerinde küçültme oranı sabit olmayabilir. Bu durumda değişken ölçek yardımıyla belli yönlerde ve belli oranlarda değişik olan izdüşüm mesafeleri daha gerçekçi bir şekilde bulunmuş olur. Aşağıda örnek olmak üzere iki değişken ölçek şekli gösterilmiştir (Şekil 3.3) [3]. Şekil 3.3: Değişken ölçek örnekleri Uzunluk birimleri ile ifade edilen ölçek Bu tarz ölçekler genellikle büyük ölçekli topografik haritalarda kullanılır. Örneğin Amerikan topografik haritalarında; " " ifadesi haritanın uygun bir yerine yerleştirilmektedir. Bu ifade, inç mili gösterir anlamındadır. Türkiye de eski :5.000 ölçekli topografik haritalarda; " 4 ü " şeklinde bir ölçek ifade şekli vardı. Böylesi bir ölçek ifadesi, değişik ölçü birimleri kullanan ülkeler için anlaşılması güç olur ve de kullanışlı değildir [3] Ölçek ve alan ilişkileri Ölçek ile haritanın kapsadığı alan arasında sıkı bir ilişki vardır. Bunu iki örnekle açıklamaya çalışalım [3]. Belli büyüklükte bir alan ele alalım. Bu alanı büyük ve küçük ölçekli iki harita üzerinde inceleyelim. Bu alan büyük ölçekli harita üzerinde daha geniş, buna karşılık küçük Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 7

8 ölçekli harita üzerinde daha dar bir alanı kaplayacaktır. Bir dünya haritası : ölçekli bir atlas sayfasında ( ) m lik bir alan kapladığı halde, aynı dünya alanı : ölçekli (.70.55) m boyutlarında bir duvar haritasında gösterilebilecektir. Demek ki ölçek büyüdüğü oranda çizim alanı da büyümekte ve buna bağlı olarak harita üzerindeki detayın daha incelikle gösterilmesi mümkün olabilmektedir. Bu defa boyutları aynı olan biri büyük, diğeri küçük ölçekli olmak üzere iki harita ele alalım. Küçük ölçekli haritanın arazi üzerinde gösterdiği alan, büyük ölçekli haritanın arazi üzerinde gösterdiği alandan daha büyük olacak ve küçük bir çizim alanına daha büyük bir araziyi sığdırmış olduğu için de arazi yüzeyi harita üzerinde daha detaylı görülemeyecektir. Anlaşılıyor ki, harita ölçeği ile haritanın gösterdiği alan arasında büyüklük bakımından belli bir oran mevcuttur. Alanlar arasındaki oran aşağıdaki gibi belirlenebilir []. : Arazideki alan : Haritadaki alan Ölçekleri farklı iki harita üzerindeki aynı alanın birbirine oranı ise aşağıdaki gibi belirlenebilir. m de F F m N H m de F F m N H F H = m F m H F F H H m m :5.000 ve : ölçekli iki harita ele alalım (Şekil 3.4). Her ikisinin de boyutları aynı olsun. :5.000 ölçekli haritanın kapladığı alanı (4 5) cm dir. Bu alanını : ölçekli harita üzerinde göstermek istersek boyutları (.5) cm lik bir alanı kaplayacaktır. Bu durumda :5.000 ölçekli alanından 4 adedini : ölçekli harita üzerine yerleştirmek mümkün olacaktır. Demek ki, haritanın ölçeğini Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 8

9 küçülttüğümüz zaman içerisine sığdırılabilecek alan büyümektedir. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi ölçek ½ oranında küçültüldüğünde, aynı boyutlar içerisine sığdırdığımız alan 4 kat ( 4) büyümektedir. Şekil 3.4: Ölçek ve alan ilişkileri onuç : Herhangi bir harita üzerinde gösterilebilecek alan, ölçek değişikliği oranının karesi ile ters orantılıdır. Küçültme Ölçek Haritadaki uzunluğun Haritadaki alanın oranı arazideki karşılığı arazideki karşılığı / : cm = km cm = km / : cm = km cm = 4 km /5 : cm = 5 km cm = 5 km /8 : cm = 8 km cm = 64 km /0 : cm = 0 km cm = 00 km onuç : Büyük ölçekli haritalarda doğal ve yapay objeler (tek evler, sel ayrıntıları, kaya diklikleri, yarmalar, vb.) daha ayrıntılı olarak gösterilebilir. Ayrıca bütün bu detayların doğadaki yerlerine uygun olarak yerleştirilmeleri mümkündür. onuç 3: Küçük ölçekli haritalarda dar bir yüzeye daha geniş bir alan sığdırmak zorunluluğu vardır. Detayın harita üzerinde gösterilmesi mümkün olamaz. Bu haritalarda sadeleştirmeye ve genelleştirmeye gidilir. Birçok obje abartılı olarak gösterilir. Yollar, kanallar, akarsular vb. objeler ölçekle orantılı olarak çizilmeyebilir. 3.. Harita ağı Harita ağı, haritanın gövdesinde gösterilen bir çizgiler ağıdır. Bu çizgilerin bir grubu paralelleri, diğer grubu meridyenleri gösterir (Şekil 3.5). Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 9

10 Her bir harita ağı belli bir harita projeksiyonuna dayanır ve projeksiyon seçimine göre: Şekil 3.5: Uzunluk koruyan konik projeksiyon (tandart paraleli=30 º Çizgiler düz ya da eğri olabilir, Çizgiler paralel ya da yakınsak olabilir, Çizgiler arasındaki boşluklar sabit olabilir ya da noktadan noktaya farklılık gösterebilir, Bir paralel ve meridyenin kesişimi ile meydana gelen açı herhangi bir değerde olabilir (Şekil 3.6) Grid Şekil 3.6: Harita ağları Bir haritadaki grid, birbirini dik kesen düz çizgiler sistemidir (Şekil 3.7). Yeryüzünün bir parçasına karşılık geldiği varsayılan bir düzlem yüzey üzerinde ölçülen mesafeler yardımıyla yeryüzündeki konumu belirlemeye yarar. Birçok ülke, özellikle bu amaç için tasarlanmış bir ya da daha fazla yerel grid üzerinde haritaya aktarılıyor. Üstelik, yeryüzünün büyük bir bölümünü sistematik bir biçimde içine alan grid sistemleri de (örneğin Universal Transverse Mercator Grid) vardır. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 0

11 Şekil 3.7: Grid ağı 3..4 Çizim alanı sınırları Bir haritanın çizim alanı sınırları, tüm harita detaylarını içine alan ve bu nedenle haritada gösterilen alanın limitlerini tanımlayan çizgilerdir. Üç çeşit çizim alanı sınırı vardır: Büyük ölçekli ve bazı orta ölçekli haritalarda çizim alanı sınır çizgileri grid çizgileridir. onuç olarak, haritanın formatı daima kare ya da dikdörtgendir (Şekil 3.8). Küçük ölçekli ve birkaç orta ölçekli haritalarda çizim alanı sınır çizgileri, harita ağının iki paralel ve iki meridyeniyle belirlenir. Bunlar, düz ya da eğri çizgiler olabilir ve genellikle haritanın coğrafi kuzeye yakın kenarı, ekvatora yakın kenarından daha kısadır (Şekil 3.8). Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3

12 Şekil 3.8: () Grid çizim alanı sınırları ve () harita ağı çizim alanı sınırları Çizim alanı sınır çizgileri; ne grid ne de harita ağı ile ilişkisi olmayan ve sırf haritada gösterilebilecek alanı, benzer boyutlara sahip bir dizi dikdörtgene ayırmaya yarayan isteğe bağlı düz çizgilerdir. İsteğe bağlı çizim alanı sınır çizgileri, nadiren düzensiz şekli olan bir ülkeyi uygun bir biçimde kapsar. Şekil 3.9, bir ülkeyi minimum sayıda haritaya sığdırmaya çalışmak için kullanılan bazı yöntemleri göstermektedir. Bu problemler, atlas kartografyasında da kendini gösterir. Çünkü birçok atlas haritası isteğe bağlı çizim alanı sınırlarına sahiptir. Şekil 3.9: İsteğe bağlı çizim alanı sınırları 3. Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Eğer yeryüzünün haritaları yapılacaksa, yeryüzünün şekli ve boyutları hakkındaki bilgi önemlidir. Yeryüzünün bilinen ölçekte haritalarını yapmak için boyutunu bilmek gerekir. Yeryüzünün şekli, onun bir düzlem yüzey üzerinde haritasını yapmak için gerekli olan matematiksel izdüşüm türünü etkiler. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3

13 3.. Jeoid Yeryüzünün şekline ilişkin ayrıntılı bilgi çeşitli kaynaklardan (jeodezik ölçmeler; gravite değişimleri ile ilgili çalışmalar; astronomik yöntemler yapay uyduların yörüngelerinin izlenmesi) elde edilmiştir. Bu yöntemlerin tümü, Jeoid olarak bilinen biraz düzensiz bir yüzeyi tanımlamaktadır. Jeoid ve küre arasındaki esas fark, jeoid in kutuplara doğru basık oluşudur (Şekil 3.0). Şekil 3.0: Yeryüzünün şekli Kutuplardaki basıklıktan dolayı, jeoid, ekvator çapı (büyük eksen) yaklaşık 6,378 km ve kutupsal yarıçapı (küçük eksen) yaklaşık 6,357 km olan bir dönel elipsoide çok yaklaşmaktadır. Bu şekil, bir elips kesitinde gösterilebilir (Şekil 3.). Şekil 3.: Elips Bir elipsoidin basıklığı / ile tanımlanabilir ve / kesri olarak ifade edilir. Yeryüzü için / /98 dir. Böyle küçük basıklığı olan bir elipsoid basık küre (spheroid) olarak da isimlendirilir. Aşağıdaki şekil, /50 basıklığın hemen hemen dairesel bir elips meydana getirdiğini göstermektedir (Şekil 3.). Bu nedenle, basık küreyi (spheroid) gösteren şekillerin tümü biraz abartılmaktadır. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 3

14 Şekil 3.: yarıçaplı bir daire ve büyük yarı ekseni olan çeşitli basıklık miktarlarına sahip elipslerin ölçekli çizimi. Dairenin basıklığı 0 dır. Basıklığı /50 olan elips hemen hemen daire ile çakışıktır. Şekilden de anlaşılabileceği gibi basıklığı /98 olan ve yeryüzünün referans şekline karşılık gelen elipsi daireden ayırt etmek mümkün olmayabilir. 3.. Küre ve basık kürenin geometrisi İki farklı şeklin geometrisini aşağıdaki gibi karşılaştırabiliriz: 3... Küre Bir kürenin yüzeyindeki tüm noktalar, kürenin merkezinden eşit uzaklıktadır. Bu nedenle, merkezi () yüzeydeki herhangi bir noktaya () birleştiren düz çizgi, yarıçapı () gösterir (Şekil 3.3). Kürenin merkezinden geçen herhangi bir düzlem kesit, yarıçaplı bir daire ile gösterilebilir. Bu, bir büyük daire olarak bilinir. Kürenin merkezinden geçmeyen herhangi bir kesit, merkezine ve R den daha küçük yarıçapına sahip bir küçük daire yardımıyla gösterilebilir (Şekil 3.3). Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 4

15 Şekil 3.3: Büyük daire ve küçük daire Küresel yüzey üzerindeki yay mesafesi, ve noktalarına çizilen iki yarıçap arasında kürenin merkezinde meydana gelen açı ile ölçülür. Verilen herhangi bir değeri için yayının uzunluğu, kürenin yüzeyindeki konumuna bakılmaksızın sabittir. Şekil 3.4: Küresel yüzey üzerinde yay, yayı gören merkez açı ve küre yarıçapı Bir küre yalnız bir yarıçapa () sahiptir. çizgisi gibi, küre yüzeyine herhangi bir teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir, yani açısı 90 derecedir. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 5

16 Şekil 3.5: Küreye teğet doğru 3... Basık Küre Basık kürenin yüzeyindeki noktalar, merkezinden farklı uzaklıklarda yer alır. En büyüğü ve en küçüğü dir. Basık kürenin merkezinden geçen bir kesit bir istisna ile- elipstir. İstisna, yarıçaplı bir daire olan ve ve noktalarından geçen ekvatoral kesittir. Şekil 3.6: Basık küre kesitleri Açısal mesafe ye karşılık gelen yay uzunluğu, basık kürenin farklı yerlerinde farklıdır. Bu nedenle, ekvatora yakın olan yay, coğrafi kuzeye yakın olan yay den daha kısadır. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 6

17 Şekil 3.7: Basık küresel yüzey üzerindeki yaylar, yayları gören merkez açılar Bir basık küre, yeryüzündeki her bir noktada iki eğrilik yarıçapına sahiptir ve bu yarıçaplar noktadan noktaya farklılık gösterir. Boylamsal eğrilik yarçapı, noktasından geçen meridyen boyunca alınan eliptik kesitin yarıçapıdır. Bu yarıçapa karşılık gelen çizgi nün basık kürenin merkezinden geçmediğine dikkat edilmelidir. Enine (transverse) eğrilik yarıçapı, dan geçen fakat meridyene dik olan eliptik kesitin yapıçapıdır. Bu yarıçap çizgisine karşılık gelir. teğetine dik ya da normal olan çizgi basık kürenin merkezinden geçmez. Şekilde, bu çizgi, değil, dür. Şekil 3.8: Basık küreye teğet doğru 3..3 Küre mi, basık küre mi? Küre ve basık küre, jeoid şekline yakın geometrik şekillerdir. Basık küre, jeoide küreden daha iyi yaklaşır ancak matematiksel olarak daha karmaşıktır ve bir referans şekil olarak kullanımı uzun ve oldukça zor hesaplamaları gerekli kılar. Eğer iki şeklin yüzeyindeki birbirine karşılık gelen iki noktayı göz önüne alınırsak, ve AB yaylarını ve bu yayların sabit bir doğrultu ile yaptıkları doğrultu ve açıları da hesaplayabiliriz. İki uzunluk ve iki doğrultu arasında küçük bir fark vardır. Eğer bu farklar bir haritada ortaya çıkarılabilirse, yani eğer ve birbirinden 0. mm den Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 7

18 daha uzak ise ( ve nün sabit olduğu varsayımıyla), yeryüzünün şekli olarak küresel kabulden çok basık küresel kabulün kullanımı istenecektir. Şekil.: Küre, basık küre ve jeoid Bu normal olarak büyük ölçekli topografik harita üretimine uygulanır. Daha büyük ölçeklerde basık küresel kabulün kullanımı gereksinimi, bunların orijinal ölçülere dayanan haritalar olmasındandır. Bunlar doğal yeryüzü birimlerinde (yani / harita ölçeğinde) hesaplanır ve dengelenir. İşin bu kısmında, belli bir ülke için benimsenmiş basık kürede noktalar belirlemek esas olandır. Küçük harita ölçeklerinde, küre ve basık küre arasındaki farklılıklar gözardı edilebilecek kadar küçüktür. Bu nedenle, atlas ve tematik haritalar için, Yeryüzü mükemmel bir küredir kabulünü kullanmak yeterlidir Küre mi, düzlem mi? Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 8

19 Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) ) (. 8.3 ) (.. ) ( ) 3! ) / ( ( 3! sin sin / sin R R R R R R R R s yay R R R K K K K k K =7 km alındığında, K K Bu nedenle AB yayı doğrusu kabul edilir ve yeryüzünde çapı 7 km olan bir alan düzlem kabul edilir. Bu durumda; Projeksiyon yüzeyi küreye teğet bir alanı ( merkezi, düzlemin küreye teğet olduğu nokta) projeksiyon yüzeyine izdüşümü herhangi bir deformasyon (uzunluk, açı, alan) olmaksızın gerçekleşir. Başka bir ifadeyle, yeryüzünde çapı 7 km olan bir alanın haritası herhangi bir projeksiyon sistemi kullanılmaksızın yapılabilir.

20 Projeksiyon yüzeyi küreye teğet bir silindir ya da koni ise, küre ile ortak olan daireler boyunca (silindirin ya da koninin teğet olduğu dairenin 3.5 km sağın ve 3,5 km solunu içine alan kuşak) izdüşüm herhangi bir deformasyon olmaksızın gerçekleşir. Başka bir ifadeyle, sözü geçen kuşağın haritası herhangi bir projeksiyon sistemi kullanılmaksızın yapılabilir Yukarıda ifade edilen, belli büyüklükteki alanların herhangi bir projeksiyon sistemi kullanılmaksızın yapılan haritalarına Bölgesel Haritalar denir. 3.3 Coğrafi Koordinatlar Yeryüzündeki konumu belirtmenin en iyi bilinen yolu, enlem ve boylam açılarından yararlanmaktır. Enlem ve boylam açıları coğrafi koordinat sistemini meydana getirir. Küre ya da basık küre üzerinde ölçüldüğünde, enleme ilişkin tanımlarda önemli farklar ortaya çıkar. Boylam tanımı her iki referans şekil için de aynıdır. Şekil.: Coğrafi koordinatlar 3.3. Enlem Küre enlemi, ekvator düzlemi ile yüzeydeki bir noktaya çizilen yarıçap arasında yerkürenin merkezinde ölçülen açıdır. Şekilde, P noktasının enlemi POE açısıdır. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 0

21 Şekil.3: Enlem Ekvator, enlem ölçümü için başlangıçtır ve bu nedenle 0 değeri atanır. Bu başlangıçtan itibaren güneye ve kuzeye doğru, enlem, kuzey kutbunda 90 kuzey ve güney kutbunda 90 güney olana kadar artar. Coğrafi koordinatlar kullanılarak yapılan hesaplamalarda, kuzey enlemi ve güney enlemi varsayılır. Kürede enlem (basık küredeki jeodezik enlem gibi) harfi ile gösterilir. Basık Küre Enlemi ölçmek için iki farklı açı kullanılabilir: Yermerkezli enlem, ekvator düzlemi ile düz çizgisi arasında şeklin merkezinde ölçülen açısıdır. Jeodezik enlem, noktasındaki basık küresel yüzeyin normalinin ekvator düzlemini kestiği noktasında ölçülen açısıdır. Şekil.4: Yermerkezli ve jeodezik enlem ve arasında küçük bir fark vardır ve basık küre yüzeyinde nin konumuna göre değişiklik gösterir. Yermerkezli enlem, küredeki enlem tanımıyla daha çok örtüşüyor gibi görünse de daha çok jeodezik enlem kullanılır. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3

22 3.3. Kutup mesafesi Bazı hesaplamalarda açısının kullanımı enleminden daha uygundur. bir dik açı olduğundan, 90 dir ve kutup mesafesi olarak bilinir. Bu işareti ile gösterilir. Basık kürede 90 dir. Burada, jeodezik enlemdir Boylam Şekil.5, her ikisi de yerkürenin merkezinden geçen ve her ikisi de ekvatora dik olan iki düzlemi göstermektedir. onuç olarak, iki düzlem, (yerkürenin dönme ekseni) boyunca kesişirler ve onların çevreleri birer büyük dairedir. düzlemi noktasını içermektedir. Diğer düzlem, boylam ölçümü için başlangıç olan noktasını içermektedir. Boylam, yerkürenin merkezinde, noktasını içeren düzlem ile başlangıç düzlemi arasında ölçülen açı olarak tanımlanabilir. Bu nedenle boylam, açısıdır. Bu açı, başlangıç düzleminden itibaren doğuya ve batıya doğru ölçülebilir ve doğu boylamı ya da batı boylamı olarak kaydedilir. Hesaplamalarda, doğu boylamı, batı boylamı dir. Açı, harfi ile gösterilir. yı, iki düzlem arasındaki boylam farkını göstermek için kullanırız. Şekil.5: Boylam.4.4 Paraleller ve meridyenler Aynı enleme sahip tüm noktaların ortak yeri, küresel ya da basık küresel yüzeyde bir daire ortaya çıkarır. Bu daireyi içeren düzlem, ekvatora paraleldir ve bu nedenle çevresi enlemin paraleli ya da kısaca paralel olarak isimlendirilir. Düzlem, ekvatora paralel olduğu için, yerkürenin merkezinden geçmez ve bu nedenle bir paralel, bir küçük dairedir. enlemindeki paralelin yarıçapı, dik üçgeninden kolaylıkla hesaplanabilir. FG r R sin 90 r R cos Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3

23 Şekil.6a: Bir paralelin yarıçapı (r) Şekil.6b: Paraleller Şekil.5 te, aynı boylama sahip tüm noktaların ortak yeri (ki bu noktaların hepsi aynı düzleminde yer alır), bir kürenin yüzeyinde bir yarım daire ya da bir basık kürenin üzerinde bir yarım elips meydana getirir. Düzlem, yerkürenin merkezinden geçtiği için, bir büyük daire yayıdır ve meridyen olarak bilinir. düzleminin çevresi, iki kutup noktası ve de yi kestiği için, tüm meridyenler kutuplarda kesişirler. Şekil.6c: Meridyenler Şekil.6d: Paralel ve meridyenler Ekvator düzlemi eksenine dik olduğu için, tüm meridyenler ekvatoru dik açı altında keser. Bununla birlikte, tüm paraleller ekvatora paralel olduğu için, tüm paraleller ve tüm meridyenler, küre ya da basık küre yüzeyinde dik açı altında kesişirler. Coğrafi kutuplar, tüm meridyenlerin birbirini kestiği iki istisna noktadır. 3.4 Düzlem Koordinat istemleri Bir haritanın matematiksel iskeletini çizmek için düzlem koordinat sistemi kullanmak istenir. Genelde kullanılan iki sistem vardır: Düzlem kutupsal koordinatlar; düzlem kartezyen dik koordinatlar. Bu sistemlerin ikisi de harita projeksiyonları kuramı ile ilgili çalışmalarda sıklıkla kullanılır, fakat bir haritanın çizimi ile ilgili pratik çalışmalarda hemen her zaman kartezyen dik koordinatlar kullanılır. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 3

24 3.4. Düzlem kutupsal koordinatlar noktası, ölçülerin yapılacağı orijin olarak seçilir. çizgisi, eksen ya da başlangıç çizgisi olarak seçilir. Herhangi bir noktasının konumu, yarıçap vektörü ya da düz çizgi mesafesi ve vektörel açı ya da açısı yardımıyla bu orijine ve eksene bağlanabilir. nin konumu, iki değer (, ) ile kaydedilir. Matematikte açısı, başlangıç çizgisinden itibaren saat ibresinin tersi yönünde ölçülür. Ölçme, navigasyon ve kartografyada ise açılar saat ibresi yönünde ölçülür. Şekil.7: Düzlem kutupsal koordinatlar 3.4. Düzlem kartezyen dik koordinatlar Bunlar, kartezyen koordinatlar ya da sadece dik koordinatlar olarak da isimlendirilebilir. Herhangi bir noktasının konumu, iki dik eksen boyunca orijinde kesiştirilen iki doğrusal ölçü ve yardımıyla sistemin orijini ya bağlanabilir. çizgisine apsis ve ya ordinat diyoruz. Yaygın olan apsisin - ekseni olarak isimlendirilmesi ve gibi bir doğrusal mesafenin olarak ifade edilmesidir. Ordinat, -ekseni ve mesafesi olarak isimlendirilir. nin konumu (, ) olarak tanımlanır. Açılar kartografyada saat ibresi yönünde ölçüldüğünden, ordinat -ekseni ve apsis -ekseni olacak şekilde eksenler yeniden isimlendirilir. Aşağıdaki iki şekil, her bir durumda açının ekseninden itibaren pozitif doğrultuda ölçüldüğünü göstermektedir. Her iki sistem için ya da harflerini kullanmak karışıklığa neden olacağından, ölçmecilerin ve kartografların alışık olduğu biçimde, (sağa değer için) ve (yukarı değer için) harflerini kullanmak daha iyi olacaktır. Bu terimler, bir grid referansı meydana getirmede kullanılır. Örneğin, noktası, (, ) koordinatlarına sahiptir. Şekil.8: Düzlem kartezyen dik koordinatlar Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 4

25 Açıklama: Haritacılıkta eksenler yer değiştirmiştir, çünkü haritacılıkta açılar saat ibresi yönünde ölçülür. Eksenleri yer değiştirerek, trigonometrik fonksiyonların saat ibresi yönünde ölçülen açılar için de matematiksel değerleri vermesi sağlanmıştır. Yani 90 nin sinüsü matematikte de haritacılıkta da dir. Eğer eksenler yer değiştirmeseydi; matematikte, haritacılıkta 0 (sıfır) olurdu. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 3 5

ULUSAL STANDART TOPOGRAFİK HARİTA PROJEKSİYONLARI

ULUSAL STANDART TOPOGRAFİK HARİTA PROJEKSİYONLARI ULUSAL STANDART TOPOGRAFİK HARİTA PROJEKSİYONLARI Doç.Dr. Türkay GÖKGÖZ http://www.yarbis.yildiz.edu.tr/gokgoz İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Kartografya Anabilim Dalı BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Koordinat sistemleri. Kartezyen koordinat sistemi

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Koordinat sistemleri. Kartezyen koordinat sistemi Koordinat sistemleri Coğrafik objelerin haritaya aktarılması, objelerin detaylarına ait koordinatların düzleme aktarılması ile oluşur. Koordinat sistemleri kendi içlerinde kartezyen koordinat sistemi,

Detaylı

Datum. Doç. Dr. Saffet ERDOĞAN 1

Datum. Doç. Dr. Saffet ERDOĞAN 1 Datum Farklı datumlar haritalanacak yeryüzü bölümüne bağlı olarak geoide göre değişik elipsoid oryantasyonları (referans elipsoid) kullanırlar. Amaç seçilen elipsoide göre en doğru koordinatlama yapmaktadır.

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı

Detaylı

Dünya nın şekli. Küre?

Dünya nın şekli. Küre? Dünya nın şekli Küre? Dünya nın şekli Elipsoid? Aslında dünyanın şekli tam olarak bunlardan hiçbiri değildir. Biz ilkokulda ve lisede ilk önce yuvarlak olduğunu sonra ortadan basık olduğunu sonrada elipsoid

Detaylı

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli CEV 361 CBS ve UA Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli 1 Yerin Şekli Ekvator çapı: 12756 km Kuzey kutuptan güney kutuba çap: 12714 km

Detaylı

CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Yrd. Doç. Dr. Özgür ZEYDAN Yerin Şekli

CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Yrd. Doç. Dr. Özgür ZEYDAN  Yerin Şekli CEV 361 CBS ve UA Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri Yrd. Doç. Dr. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli 1 Yerin Şekli Ekvator çapı: 12756 km Kuzey kutuptan güney kutuba çap: 12714

Detaylı

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

JDF 242 JEODEZİK ÖLÇMELER 2. HAFTA DERS SUNUSU. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE

JDF 242 JEODEZİK ÖLÇMELER 2. HAFTA DERS SUNUSU. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE JDF 242 JEODEZİK ÖLÇMELER 2. HAFTA DERS SUNUSU Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE 3 boyutlu uzayda Jeoit Z Y X Dünyaya en uygun elipsoid modeli ve yer merkezli dik koordinat sistemi Ülkemizde 2005

Detaylı

3. HARİTA PROJEKSİYONLARI

3. HARİTA PROJEKSİYONLARI 3. HARİTA PROJEKSİYONLARI Projeksiyon, fiziksel yeryüzünün geometrik bir yüzey üzerine izdüşürülmesidir. Yerküre nin tamamı veya bir bölümü harita üzerine aktarılırken projeksiyon sistemleri kullanılır.

Detaylı

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi Elipsoid şeklindeki dünyanın bir düzlem üzerine indirilmesi ve koordinatlarının matematiksel dönüşümleridir. Harita üç şekilde projeksiyonu

Detaylı

HARİTA. Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe göre ve belli oranlarda küçültülmüş olarak gösteren çizimlerdir.

HARİTA. Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe göre ve belli oranlarda küçültülmüş olarak gösteren çizimlerdir. HARİTA BİLGİSİ HARİTA Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe göre ve belli oranlarda küçültülmüş olarak gösteren çizimlerdir. ÇEŞİTLİ ÖLÇEKLİ HARİTALARIN NUMARALANMA SİSTEMİ

Detaylı

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite4- Harita Projeksiyonları

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite4- Harita Projeksiyonları Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş Ünite4- Harita Projeksiyonları İçerik Projeksiyon sistemleri Projeksiyon koordinat sistemleri Projeksiyon bozulmaları Silindirik projeksiyonlar Azimutal projeksiyonlar

Detaylı

Kuzey Kutbu. Yerin dönme ekseni

Kuzey Kutbu. Yerin dönme ekseni 1205321/1206321 Türkiye de Topoğrafik Harita Yapımı Ölçek Büyük Ölçekli Haritalar 1:1000,1:5000 2005 tarihli BÖHHBYY ne göre değişik kamu kurumlarınca üretilirler. Datum: GRS80 Projeksiyon: Transverse

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Özellikler Harita Projeksiyonları Bölüm 3: Silindirik Projeksiyonlar İzdüşüm yüzeyi, küreyi saran ya da kesen bir silindir seçilir. Silindirik projeksiyonlar genellikle normal konumda ekvator bölgesinde

Detaylı

Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap. Gerçek Projeksiyon

Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap. Gerçek Projeksiyon PROJEKSİYON KAVRAMI Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α =

Detaylı

Uygulamada Gauss-Kruger Projeksiyonu

Uygulamada Gauss-Kruger Projeksiyonu JEODEZİ12 1 Uygulamada Gauss-Kruger Projeksiyonu Gauss-Kruger Projeksiyonunda uzunluk deformasyonu, noktanın X ekseni olarak alınan ve uzunluğu unluğu koruyan koordinat başlangıç meridyenine uzaklığının

Detaylı

Haritası yapılan bölge (dilim) Orta meridyen λ. Kuzey Kutbu. Güney Kutbu. Transversal silindir (projeksiyon yüzeyi) Yerin dönme ekseni

Haritası yapılan bölge (dilim) Orta meridyen λ. Kuzey Kutbu. Güney Kutbu. Transversal silindir (projeksiyon yüzeyi) Yerin dönme ekseni 1205321/1206321 Türkiye de Topografik Harita Yapımı Ölçek Büyük Ölçekli Haritalar 1:1000,1:5000 2005 tarihli BÖHHBYY ne göre değişik kamu kurumlarınca üretilirler. Datum: GRS80 Projeksiyon: Transverse

Detaylı

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap Projeksiyon Kavramı Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α =

Detaylı

T.C. MİLLİ SAVUNMA BAKANLIĞI HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU KOMUTANLIĞI ANKARA

T.C. MİLLİ SAVUNMA BAKANLIĞI HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU KOMUTANLIĞI ANKARA T.C. MİLLİ SAVUNMA BAKANLIĞI HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU KOMUTANLIĞI ANKARA ÇİFT STANDART DAİRELİ KONFORM LAMBERT PROJEKSİYONUNDA TÜRKİYE HARİTASININ YAPILMASI Hrt. Tğm. Soner ÖZDEMİR

Detaylı

2. TOPOĞRAFİK HARİTALARDAN KESİT ÇIKARTILMASI

2. TOPOĞRAFİK HARİTALARDAN KESİT ÇIKARTILMASI 1 2. TOPOĞRFİ HRİTLRN ESİT ÇIRTILMSI Eş yükseklik eğrisi nedir? enizden yükseklikleri eşit noktaların birleştirilmeleriyle oluşan kapalı eğrilere eş yükseklik eğrileri (izohips) adı verilir. Eş yükseklik

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü 4. HAFTA KOORDİNAT SİSTEMLERİ VE HARİTA PROJEKSİYONLARI Coğrafi Koordinat Sistemi Yeryüzü üzerindeki bir noktanın konumunun enlem

Detaylı

HARİTA BİLGİSİ, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, 1/25000 ÖLÇEKLİ HARİTALARIN TANITIMI VE KULLANMA TEKNİKLERİ İLE TOPRAK HARİTALARININ YAPILMASI

HARİTA BİLGİSİ, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, 1/25000 ÖLÇEKLİ HARİTALARIN TANITIMI VE KULLANMA TEKNİKLERİ İLE TOPRAK HARİTALARININ YAPILMASI HARİTA BİLGİSİ, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, 1/25000 ÖLÇEKLİ HARİTALARIN TANITIMI VE KULLANMA TEKNİKLERİ İLE TOPRAK HARİTALARININ YAPILMASI HARİTA Harita,yeryüzünün bütününü yada bir parçasını tam tepeden görünüşe

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm 4: Konik Projeksiyonlar Doç.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Koni en genel projeksiyon yüzeyidir. Koninin yüksekliği sıfır alınırsa düzlem, sonsuz alınırsa silindir elde edilir. Genel

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm : Azimutal Projeksiyonlar Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Azimutal Projeksiyonlar Projeksiyon yüzeyi düzlemdir. Normal, transversal ve eğik konumlu olarak uygulanan azimutal projeksiyonlar,

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

ORMAN VE SU İŞLERİ BAKANLIĞI Su Yönetimi Genel Müdürlüğü Taşkın ve Kuraklık Yönetimi Planlaması Dairesi Başkanlığı. Temel Harita Bilgisi

ORMAN VE SU İŞLERİ BAKANLIĞI Su Yönetimi Genel Müdürlüğü Taşkın ve Kuraklık Yönetimi Planlaması Dairesi Başkanlığı. Temel Harita Bilgisi ORMAN VE SU İŞLERİ BAKANLIĞI Su Yönetimi Genel Müdürlüğü Taşkın ve Kuraklık Yönetimi Planlaması Dairesi Başkanlığı Temel Harita Bilgisi Harita, yeryüzünün ölçeklendirilmiş ve düzleme aktarılmış bir sunumudur.

Detaylı

HRT 105 HARİTA MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ

HRT 105 HARİTA MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ HRT 105 HARİTA MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ Temel Haritacılık Konuları_Ders# 5 Yrd.Doç.Dr. H.Ebru ÇOLAK KTÜ. Mühendislik Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TEMEL HARİTA BİLGİLERİ JEODEZİ Yeryuvarının şekil,

Detaylı

TOPOĞRAFYA. Ölçme Bilgisinin Konusu

TOPOĞRAFYA. Ölçme Bilgisinin Konusu TOPOĞRAFYA Topoğrafya, bir arazi yüzeyinin tabii veya suni ayrıntılarının meydana getirdiği şekil. Bu şeklin kâğıt üzerinde harita ve tablo şeklinde gösterilmesiyle ilgili ölçme, hesap ve çizim işlerinin

Detaylı

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır.

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim İzometrik Perspektifler Küpün iz düşüm düzlemi üzerindeki döndürülme açısı eşit ise kenar uzunluklarındaki kısalma miktarı da aynı olur. Bu iz düşüme, izometrik

Detaylı

HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR

HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR Harita nedir? Yeryüzünün veya bir parçasının belli bir orana göre küçültülerek ve belirli işaretler kullanılarak yatay düzlem üzerinde gösterilmesine harita adı verilir.

Detaylı

Yatay Eksen: Dürbünün etrafında döndüğü eksendir. Asal Eksen: Çekül doğrultusundaki eksen Düzeç Ekseni: Düzecin üzerinde bulunduğueksen Yöneltme

Yatay Eksen: Dürbünün etrafında döndüğü eksendir. Asal Eksen: Çekül doğrultusundaki eksen Düzeç Ekseni: Düzecin üzerinde bulunduğueksen Yöneltme Teodolit Yatay Eksen: Dürbünün etrafında döndüğü eksendir. Asal Eksen: Çekül doğrultusundaki eksen Düzeç Ekseni: Düzecin üzerinde bulunduğueksen Yöneltme Ekseni: Kıllar şebekesinin kesim noktası ile objektifin

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

Datum: Herhangi bir noktanın yatay ve düşey konumunu tanımlamak için başlangıç alınan referans yüzeyidir.

Datum: Herhangi bir noktanın yatay ve düşey konumunu tanımlamak için başlangıç alınan referans yüzeyidir. İçindekiler Projeksiyon ve Dönüşümleri... 1 Dünyanın Şekli ve Referans Yüzeyler... 1 1. Projelsiyon Nedir?... 1 2. Koordinat Sistemleri... 1 3. Coğrafi Koordinat Sistemleri... 2 4. Projeksiyon Koordinat

Detaylı

KAPSAM 1. GİRİŞ SORGULAMALAR (ALIŞTIRMALAR) 2.YERKÜRE VE KOORDİNATLAR SİSTEMİ. 2.1 Yerkürenin Şekli. 2.2 Koordinatlar Sistemi

KAPSAM 1. GİRİŞ SORGULAMALAR (ALIŞTIRMALAR) 2.YERKÜRE VE KOORDİNATLAR SİSTEMİ. 2.1 Yerkürenin Şekli. 2.2 Koordinatlar Sistemi KAPSAM 1. GİRİŞ SORGULAMALAR (ALIŞTIRMALAR) 2.YERKÜRE VE KOORDİNATLAR SİSTEMİ 2.1 Yerkürenin Şekli 2.2 Koordinatlar Sistemi 2.2.1 Coğrafi Koordinat Sistemi 2.2.2 Kartezyen Koordinat Sistemi 3. HARİTA PROJEKSİYONLARI

Detaylı

PAFTA BÖLÜMLENDİRİLMESİ

PAFTA BÖLÜMLENDİRİLMESİ PAFTA BÖLÜMLENDİRİLMESİ Türkiye kadastrosunda yukarıda değinilen ada sistemi pafta bölümleme ve adlandırma sistemi dışında çeşitli pafta bölümleme ve adlandırma sistemleri kullanılmıştır ve Yapım Yönetmeliği

Detaylı

ÇED ve Planlama Genel Müdürlüğü Veri Tabanı (ÇED Veri Tabanı)

ÇED ve Planlama Genel Müdürlüğü Veri Tabanı (ÇED Veri Tabanı) ÇED ve Planlama Genel Müdürlüğü Veri Tabanı (ÇED Veri Tabanı) 1 GÜNDEM 1. Amacı 2. Veri Tabanı Kapsamı 3. Özellikleri 4. Uygulama 2 1-Amacı Mekansal (haritalanabilir) Bilgilerin Yönetimi Sağlamak (CBS)

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

HARİTA ve ÖLÇEK HARİTALAR

HARİTA ve ÖLÇEK HARİTALAR Madde ve Özkütle 2 YGS Fizik 1 Bu yazıda ne anlatıyoruz? Coğrafyanın temel konularından biri olan, haritalarla ilgili hazırladığımız bu yazıda harita ve ölçek çeşitlerini basitleştirerek anlattık. Çok

Detaylı

JEOİD ve JEOİD BELİRLEME

JEOİD ve JEOİD BELİRLEME JEOİD ve JEOİD BELİRLEME İÇİNDEKİLER GİRİŞ JEODEZİDE YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Jeopotansiyel Yükseklikler (C) Dinamik Yükseklikler (H D ) Normal Yükseklik (H N ) Elipsoidal Yükseklik Ortometrik Yükseklik Atmosferik

Detaylı

BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI

BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI 36 İNCELEME - ARAŞTIRMA BÜYÜK ÖLÇEKLİ HARİTA YAPIMINDA STEREOGRAFİK ÇİFT PROJEKSİYONUN UYGULANIŞI Erdal KOÇAIC*^ ÖZET Büyük ölçekli harita yapımında G İ R İŞ uygulanabilen "Stereografik çift Stereografik

Detaylı

HARİTA DAİRESİ BAŞKANLIĞI. İSTANBUL TKBM HİZMET İÇİ EĞİTİM Temel Jeodezi ve GNSS

HARİTA DAİRESİ BAŞKANLIĞI. İSTANBUL TKBM HİZMET İÇİ EĞİTİM Temel Jeodezi ve GNSS HİZMET İÇİ EĞİTİM MART 2015 İSTANBUL TAPU VE KADASTRO II.BÖLGE MÜDÜRLÜĞÜ SUNUM PLANI 1- Jeodezi 2- Koordinat sistemleri 3- GNSS 3 JEODEZİ Jeodezi; Yeryuvarının şekil, boyut, ve gravite alanı ile zamana

Detaylı

JEODEZİK ÖLÇMELER DERSİ. Yrd. Doç. Dr. Hakan AKÇIN Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE

JEODEZİK ÖLÇMELER DERSİ. Yrd. Doç. Dr. Hakan AKÇIN Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE JEODEZİK ÖLÇMELER DERSİ Yrd. Doç. Dr. Hakan AKÇIN Yrd. Doç. Dr. Hüseyin KEMALDERE REFERANS (KOORDİNAT) SİSTEMLERİ VE DATUM 1. Hafta Ders Notları REFERANS (KOORDİNAT) SİSTEMLERİ VE DATUM Referans (Koordinat)

Detaylı

GÜNEY YARIM KÜRESİ İÇİN ŞEKİL

GÜNEY YARIM KÜRESİ İÇİN ŞEKİL GÜNEY YARIM KÜRESİ İÇİN ŞEKİL Bu şekilde, gözlemcinin zeniti bundan önceki şekillerdeki gibi yerleştirilir. Bu halde gök ufku şekildeki gibi olur. Güney yarım kürede Q güney kutbu ufkun üzerindedir. O

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

DÜNYA NIN ŞEKLİ ve BOYUTLARI

DÜNYA NIN ŞEKLİ ve BOYUTLARI 0 DÜNYA NIN ŞEKLİ ve BOYUTLARI Dünya güneşten koptuktan sonra, kendi ekseni etrafında dönerken, meydana gelen kuvvetle; ekvator kısmı şişkince, kutuplardan basık kendine özgü şeklini almıştır. Bu şekle

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

GEOMETRİ TESTİ LYS 1 / GEOMETRİ. ABC bir eşkenar üçgen. G, ABC üçgeninin ağırlık AB = 3 CD

GEOMETRİ TESTİ LYS 1 / GEOMETRİ. ABC bir eşkenar üçgen. G, ABC üçgeninin ağırlık AB = 3 CD LYS 1 / OMTRİ OMTRİ TSTİ 1. u testte 0 soru vardır. 2. u testin cevaplanması için tavsiye olunan süre 60 dakikadır. 1.. bir eşkenar üçgen 1 4 2 5, üçgeninin ağırlık merkezi = x irim karelere bölünmüş düzlemde

Detaylı

DİK KOORDİNAT SİSTEMİ VE

DİK KOORDİNAT SİSTEMİ VE Ölçme Bilgisi DERS 6 DİK KOORDİNAT SİSTEMİ VE TEMEL ÖDEVLER Kaynak: İ.ASRİ (Gümüşhane Ü) M. Zeki COŞKUN ( İTÜ ) TEODOLİT Teodolitler, yatay ve düşey açıları yeteri incelikte ölçmeye yarayan optik aletlerdir.

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

COĞRAFİ KONUM ÖZEL KONUM TÜRKİYE'NİN ÖZEL KONUMU VE SONUÇLARI

COĞRAFİ KONUM ÖZEL KONUM TÜRKİYE'NİN ÖZEL KONUMU VE SONUÇLARI COĞRAFİ KONUM Herhangi bir noktanın dünya üzerinde kapladığı alana coğrafi konum denir. Özel ve matematik konum diye ikiye ayrılır. Bir ülkenin coğrafi konumu, o ülkenin tabii, beşeri ve ekonomik özelliklerini

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

JEODEZİDE KULLANILAN KOORDİNATLAR, BUNLARIN BİRBİRLERİNE DÖNÜŞÜMLERİ ve PROJEKSİYON

JEODEZİDE KULLANILAN KOORDİNATLAR, BUNLARIN BİRBİRLERİNE DÖNÜŞÜMLERİ ve PROJEKSİYON JEODEZİDE KULLANILAN KOORDİNATLAR, BUNLARIN BİRBİRLERİNE DÖNÜŞÜMLERİ ve PROJEKSİYON Ekrem ULSOY (İstanbul) I KOORDİNATLAR. Jeodezide koordinatlar, yer yüzündeki noktaların belirlenmesinde kullanılır. Bu

Detaylı

KİTABIN REHBERLİK PLANLAMASI. Bölümler. Bölümlere Ait Konu Kavrama Testleri KONU KAVRAMA TESTİ DOĞA VE İNSAN 1 TEST - 1

KİTABIN REHBERLİK PLANLAMASI. Bölümler. Bölümlere Ait Konu Kavrama Testleri KONU KAVRAMA TESTİ DOĞA VE İNSAN 1 TEST - 1 Sunum ve Sistematik SUNUM Sayın Eğitimciler, Sevgili Öğrenciler, ilindiği gibi gerek YGS, gerekse LYS de programlar, sistem ve soru formatları sürekli değişmektedir. Öğrenciler her yıl sürpriz olabilecek

Detaylı

Temel Haritacılık Bilgisi. Taha Sözgen İzmir, 2015

Temel Haritacılık Bilgisi. Taha Sözgen İzmir, 2015 1 Temel Haritacılık Bilgisi Taha Sözgen İzmir, 2015 2 İçerik Tarihçe Harita Türleri Topoğrafya Haritaları Hidrografya Haritaları Ortofoto Haritaları Ölçek Kavramı Bir Haritada Bulunması Gerekenler Küresel

Detaylı

Doğal ve doğal olmayan yapı ve tesisler, özel işaretler, çizgiler, renkler ve şekillerle gösterilmektedir.

Doğal ve doğal olmayan yapı ve tesisler, özel işaretler, çizgiler, renkler ve şekillerle gösterilmektedir. HARİTA NEDİR? Yeryüzünün tamamının veya bir parçasının kuşbakışı görünümünün, istenilen ölçeğe göre özel işaretler yardımı ile küçültülerek çizilmiş örneğidir. H A R İ T A Yeryüzü şekillerinin, yerleşim

Detaylı

JEODEZİ DATUM KOORDİNAT SİSTEMLERİ HARİTA PROJEKSİYONLARI

JEODEZİ DATUM KOORDİNAT SİSTEMLERİ HARİTA PROJEKSİYONLARI JEODEZİ DATUM KOORDİAT SİSTEMLERİ HARİTA PROJEKSİYOLARI Yer yüzeyi eredeyim? Deniz Elipsoid Geoid BÜ KRDAE JEODEZİ AABİLİM DALI Jeodezi; Yeryuvarının şekil, boyut, ve gravite alanı ile zamana bağlı değişimlerinin

Detaylı

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır.

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır. Bölüm 3 VEKTÖRLER Bölüm 3: Vektörler Konu İçeriği Sunuş 3-1 Koordinat Sistemleri 3-2 Vektör ve Skaler nicelikler 3-3 Vektörlerin Bazı Özellikleri 3-4 Bir Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler Sunuş Fizikte

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi. Geometrik Çizimler-2

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi. Geometrik Çizimler-2 TEKNİK RESİM 4 2014 Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi Geometrik Çizimler-2 2/21 Geometrik Çizimler - 2 Bir doğru ile bir noktayı teğet yayla birleştirmek Bir nokta ile doğru

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ Z P. O α X P. α = yatay açı. ω = düşey açı. µ =eğim açısı. ω + µ = 100 g

ARAZİ ÖLÇMELERİ Z P. O α X P. α = yatay açı. ω = düşey açı. µ =eğim açısı. ω + µ = 100 g Trigonometrik Fonksiyonlar ARAZİ ÖLÇMELERİ Z Z P P ω µ P O α α = yatay açı P P ω = düşey açı µ =eğim açısı ω + µ = 100 g Şekil 9 üç Boyutlu koordinat sisteminde açı tiplerinin tasviri. Trigonometrik kavramlara

Detaylı

TOPOĞRAFİK HARİTALAR VE KESİTLER

TOPOĞRAFİK HARİTALAR VE KESİTLER TOPOĞRAFİK HARİTALAR VE KESİTLER Prof.Dr. Murat UTKUCU Yrd.Doç.Dr. ŞefikRAMAZANOĞLU TOPOĞRAFİK HARİTALAR VE Haritalar KESİTLER Yeryüzü şekillerini belirli bir yöntem ve ölçek dahilinde plan konumunda gösteren

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

HARİTALAMA ESASLARI VE GPS. www.muratciftci.net

HARİTALAMA ESASLARI VE GPS. www.muratciftci.net HARİTALAMA ESASLARI VE GPS 1 İÇERİK -GİRİŞ -ÖLÇEK, GEOİD VE ELİPSOİT -KOORDİNAT SİSTEMLERİ -PROJEKSİYON -UTM SİSTEMİ -GPS KULLANICI ARABİRİMİ 2 GİRİŞ Harita, konu aldığı bölgenin topografyası ya da bu

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Aziutal rojeksiyonlar Harita rojeksiyonları Bölü : Aziutal rojeksiyonlar Doç.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ rojeksiyon yüzeyi düzledir. Noral, transversal ve eğik konulu olarak uygulanan aziutal projeksiyonlar,

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Doğrultuya dik inme veya dik çıkma (Yan Nokta Hesabı) Dik İnmek. A Dik Çıkmak

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Doğrultuya dik inme veya dik çıkma (Yan Nokta Hesabı) Dik İnmek. A Dik Çıkmak Doğrultuya dik inme veya dik çıkma (Yan Nokta Hesabı) P1 P2 Dik İnmek P3 P4 Dik Çıkmak Şekil 76 Şekil 76 da dik inme ve çıkmaya birer örnek gösterilmiştir. Dik çıkmadan anlaşılması gereken belirlenen bir

Detaylı

1.Standart Referans Sistemleri, Gridler ve Ölçü Birimleri

1.Standart Referans Sistemleri, Gridler ve Ölçü Birimleri 1.Standart Referans Sistemleri, Gridler ve Ölçü Birimleri Tema ayrımlı özel durumlar ve / veya ek gereksinimler, Bölüm 1.2 'de tanımlanan referans sistemleri, alt bölümde yer alan ölçü birimleri ve coğrafi

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde

Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde DİŞLİ ÇARKLAR Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde özel bir yeri bulunan mekanizmalardır. Mekanizmayı

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir.

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

***Yapılan bir çizimin harita özelliğini gösterebilmesi için çizimin belirli bir ölçek dahilinde yapılması gerekir.

***Yapılan bir çizimin harita özelliğini gösterebilmesi için çizimin belirli bir ölçek dahilinde yapılması gerekir. HARİTA BİLGİSİ Harita Kuşbakışı görünümün Ölçekli Düzleme aktarılmasıdır. ***Yapılan bir çizimin harita özelliğini gösterebilmesi için çizimin belirli bir ölçek dahilinde yapılması gerekir. Kroki Kuşbakışı

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

Ölçme Bilgisi DERS 9-10. Hacim Hesapları. Kaynak: İ.ASRİ (Gümüşhane Ü) T. FİKRET HORZUM( AÜ )

Ölçme Bilgisi DERS 9-10. Hacim Hesapları. Kaynak: İ.ASRİ (Gümüşhane Ü) T. FİKRET HORZUM( AÜ ) Ölçme Bilgisi DERS 9-10 Hacim Hesapları Kaynak: İ.ASRİ (Gümüşhane Ü) T. FİKRET HORZUM( AÜ ) Büyük inşaatlarda, yol ve kanal çalışmalarında kazılacak toprak miktarının hesaplanması, maden işletmelerinde

Detaylı

Fotogrametri Anabilim dalında hava fotogrametrisi ve yersel fotogrametri uygulamaları yapılmakta ve eğitimleri verilmektedir.

Fotogrametri Anabilim dalında hava fotogrametrisi ve yersel fotogrametri uygulamaları yapılmakta ve eğitimleri verilmektedir. FOTOGRAMETRİ ANABİLİM DALI Fotogrametri eski Yunancadaki Photos+Grama+Metron (Işık+Çizim+Ölçme) kelimelerinden Eski Yunancadan bati dillerine giren Fotogrametri sözcüğü 3 kök sözcükten oluşur. Photos(ışık)

Detaylı

KARTOGRAFYA ve HARİTA KARTOGRAFYA KARTOGRAFYA

KARTOGRAFYA ve HARİTA KARTOGRAFYA KARTOGRAFYA 1205321/1206321 KARTOGRAFYA ve HARİTA İlk kartografik yapıtların tarihçesi yaklaşık 6000 yıl geriye uzandığı halde, nın bağımsız bir bilim olarak kabul edilmesi oldukça yakın bir zamana rastlar. Bunun

Detaylı

KALINLIK VE DERİNLİK HESAPLAMALARI

KALINLIK VE DERİNLİK HESAPLAMALARI KALINLIK VE DERİNLİK HESAPLAMALARI Herhangi bir düzlem üzerinde doğrultuya dik olmayan düşey bir düzlem üzerinde ölçülen açıdır Görünür eğim açısı her zaman gerçek eğim açısından küçüktür Görünür eğim

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Gerçek Zamanlı kuzey Gerçek Zamanlı g

Gerçek Zamanlı kuzey Gerçek Zamanlı g Gerçek Zamanlı kuzey Gerçek Zamanlı g Özet Ahmet Yalçın - Ankara 007 XYZ : xyz : r(t) : Uzayda sabit referans koordinat sistemi, XYZ ye göre dönen koordinat sistemi xyz koordinat sistemi içindeki noktasal

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Dünya nın Şekli ve Hareketleri

Dünya nın Şekli ve Hareketleri Dünya nın Şekli ve Hareketleri YGS Coğrafya 1 Dünya nın Şekli ve Hareketleri Dünya nın Şekli ve Hareketleri başlıklı hazırladığımız bu yazıda, dünyanın şeklinin getirdiği sonuçları; enlem, boylam ve meridyenlerin

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter5.htm http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter4.htm Gök küresinde bulunan önemli yıldızların ekvatoral koordinatları

Detaylı

Kartografya Ders Notu Bölüm 1 BÖLÜM 1: GİRİŞ. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 1 1

Kartografya Ders Notu Bölüm 1 BÖLÜM 1: GİRİŞ. Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 1 1 BÖLÜM 1: GİRİŞ Türkay Gökgöz (www.yildiz.edu.tr/~gokgoz) 1 1 İÇİNDEKİLER 1.1 Kartografyanın Tanımı..... 1-3 1.2 Haritanın Tanımı. 1-4 1.3 Haritaların Sınıflandırılması.. 1-6 1.4 Haritadan Beklenen Özellikler...

Detaylı

HARİTA, TOPOGRAFİK HARİTA, JEOLOJİK HARİTA. Prof.Dr. Atike NAZİK Ç.Ü. Jeoloji Mühendisliği Bölümü

HARİTA, TOPOGRAFİK HARİTA, JEOLOJİK HARİTA. Prof.Dr. Atike NAZİK Ç.Ü. Jeoloji Mühendisliği Bölümü HARİTA, TOPOGRAFİK HARİTA, JEOLOJİK HARİTA Prof.Dr. Atike NAZİK Ç.Ü. Jeoloji Mühendisliği Bölümü HARİTA NEDİR? Harita; yer yüzeyinin bir düzlem üzerine belirli bir oranda küçültülerek bir takım çizgi ve

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite 3 - Coğrafi Konumlandırma

Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş. Ünite 3 - Coğrafi Konumlandırma Coğrafi Bilgi Sistemlerine Giriş Ünite 3 - Coğrafi Konumlandırma İçerik Giriş Yerkürenin matematiksel modeli Yerküre üzerinde haritalanacak bölgenin matematiksel modeli (datum) GİRİŞ Yeryüzündeki bir mekanın

Detaylı

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

TAKEOMETRİ GENEL BİLGİLER

TAKEOMETRİ GENEL BİLGİLER TAKEOMETRİ GENEL BİLGİLER Optik olarak yatay uzunlukların ve yükseklik farklarının klasik teodolit ve mira kullanılarak bulunması yöntemine takeometri adı verilmektedir. Takeometrik yöntemde amaç, bir

Detaylı

DİŞLİ ÇARKLAR SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜH. BÖLÜMÜ MAKİNE ELEMANLARI DERS NOTU. Doç.Dr. Akın Oğuz KAPTI

DİŞLİ ÇARKLAR SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜH. BÖLÜMÜ MAKİNE ELEMANLARI DERS NOTU. Doç.Dr. Akın Oğuz KAPTI DİŞLİ ÇARKLAR MAKİNE MÜH. BÖLÜMÜ MAKİNE ELEMANLARI DERS NOTU Doç.Dr. Akın Oğuz KAPTI Dişli Çarklar 2 Dişli çarklar, eksenleri birbirine paralel, birbirini kesen ya da birbirine çapraz olan miller arasında

Detaylı

1. HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR

1. HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR 1 1. HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR Harita nedir? Yeryüzünün veya bir parçasının belli bir rana göre küçültülerek ve belirli işaretler kullanılarak yatay düzlem üzerinde gösterilmesine harita adı

Detaylı

PARALEL VE MERİDYENLER

PARALEL VE MERİDYENLER PARALEL VE MERİDYENLER Nasıl ki şehirdeki bir evi bulabilmek için mahalle, cadde, sokak ve ev numarası gibi unsurlara ihtiyaç varsa Yerküre üzerindeki herhangi bir yeri bulabilmek için de hayalî çizgilere

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Ders Adı Kodu Yerel Kredi ECTS Ders (saat/hafta) Uygulama (saat/hafta) Laboratuvar (saat/hafta) Topografya HRT3351 3 4 3 0 0 DERSİN

Detaylı