BÖLÜM 3: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR

Transkript

1 BÖLÜM 3: MATEMATİKEL KARTOGRAFYA - TANIMLAR Türkay Gökgöz ( 3

2 İÇİNDEKİLER 3. Bir Haritanın Matematiksel Çatısı Ölçek Kesir ölçek Grafik ölçek Çizgi ölçek Geometrik ölçek Değişken ölçekler Uzunluk birimleri ile ifade edilen ölçek Ölçek ve alan ilişkileri Harita ağı Grid Çizim alanı sınırları Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Jeoid Küre ve basık kürenin geometrisi Küre Basık küre Küre mi, basık küre mi? Küre mi, düzlem mi? Coğrafi Koordinatlar Enlem Kutup mesafesi Boylam Paralel ve meridyenler Düzlem Koordinat istemleri Düzlem kutupsal koordinatlar Düzlem Kartezyen dik koordinatlar Türkay Gökgöz ( 3

3 3. Bir Haritanın Matematiksel Çatısı 3.. Ölçek Harita üzerinde gösterilen iki nokta arasındaki uzunluğun, aynı noktaların arazi üzerindeki uzaklığına oranına ölçek diyoruz [3]. Öç / Ölçek genellikle büyük ölçekli haritaların topografik haritalar- her yerinde sabittir [3]. Haritalar üzerinde ölçek kesinlikle gösterilir. Bu gösteriliş genelde üç şekilde olur [3]: Kesir şeklinde Grafik olarak Uzunluk birimleri ile ifade edilerek 3... Kesir ölçek Harita üzerinde ölçek bir kesir şeklinde ifade edilir. Harita üzerindeki uzunluk, birim olarak kesrin payında ve bu uzunluğun arazi üzerindeki karşılığı olan uzunluk, kesrin paydasında gösterilir. Bu bir orandır. Birimi yoktur. Örnek olarak :5.000 ölçeğini alırsak, harita üzerinde metrelik mesafe, arazi üzerinde metreyi gösteriyor demektir [3]. : Ölçek : Arazideki uzunluk : Haritadaki uzunluk M L L H N M LN L H L N m (Ölçek ayısı) L H M m Ölçek sayısı () değeri daima 0 un katları şeklindedir []. Türkay Gökgöz ( 3 3

4 oru: Ölçekleri farklı iki harita üzerindeki aynı uzunluğun oranı nedir? Çözüm: m de L L m N H m de L L m N H L H = L H m m L L H H m m 3... Grafik ölçek Ölçeğin sabit olduğu büyük ölçekli haritalarda, bölümlere ayrılmış bir çizgi üzerinde, arazideki karşılıkları gösterilir. Bu grafik ölçek haritanın kesir ölçeğine göre meydana getirilir. Ölçeğin büyük ve sabit olduğu kadastro haritalarında veya topografik haritalarda, harita üzerinde gerçek uzunluğu daha sağlıklı belirleyebilmek için kullanılan geometrik ölçek ile birlikte geniş sahaları içine alan küçük ölçekli haritalarda ki bu haritalarda ölçek sabit değildir ve haritanın yerine göre değişiklik gösterir- gerçeğe daha yakın değeri bulmak için kullanılan değişken ölçekler de grafik ölçekler arasında sayılabilir [3] Çizgi ölçek Haritaların genellikle çerçeveleri altında gösterilmiş olan bölümlendirilmiş bir doğru parçasıdır (Şekil 3.). Çizgi üzerinde belirtilmiş uzunluklar, arazi üzerindeki karşılıklarını ifade eder. Çizgi üzerinde bir (sıfır) başlangıç noktası vardır. Bu noktanın sağına doğru ana birim uzunlukları (km, kara mili, vb. gibi) gösterilmiştir. ıfırın solunda ise bu ana birimin daha küçük birimleri gösterilmiştir. Harita üzerinde ölçülen bir pergel aralığı bu ölçek çizgisi üzerine konularak iki nokta arasının arazi üzerindeki gerçek uzunluğunun ne kadar olduğu bulunur. Şekil 3.: Çizgi ölçek Çizgili grafik ölçek şu şekilde hazırlanır: -5 cm uzunluğunda ince bir çizgi çizilir. Çizgi cm aralıklı çentiklerle bölünür. Haritanın kesir ölçeğine göre cm lik uzunluğun arazide kaç metreyi gösterdiği bulunur. Örneğin, : ölçeği için, kesrin pay ve paydasından iki sıfır atılarak cm nin arazide 000 m veya km yi Türkay Gökgöz ( 3 4

5 gösterdiği belirlenir. Buna göre çizgi üzerindeki cm bölümleri, başlangıçtan bir sonrakine 0 (sıfır) değeri verilerek sağa doğru sıra ile 0 cm ye kadar numaralandırılır. ıfırın solundaki cm lik kısım 0 a bölünerek km nin küsuratı gösterilir [3] Geometrik ölçek Büyük ölçekli harita üzerindeki uzunlukların arazi üzerindeki gerçek uzunluklarına daha sağlıklı bir biçimde çevrilebilmeleri amacıyla düzenlenir (Şekil 3.) [3]. Şekil 3.: Geometrik ölçek [3] Geometrik ölçekte ana bölümler arası mesafe, yatay bölüm sayısı ve düşey bölüm sayısı olmak üzere, okunabilecek en küçük değer aşağıdaki bağıntı ile hesap edilebilir []: d e n n Geometrik ölçek şu şekilde hazırlanır: Bir ölçek çizgisi alınır ve değerine göre bölümlendirilir. ıfır başlangıç çizgisinin solunda kalan kısım sayısına bölünerek uzunluk birimlerinin küsurları elde edilir. Bölümlendirme çizgisi taban alınarak her km noktasından yukarıya doğru dikmeler çıkılır ve bu dikmeler sayısına bölünerek bu bölüm noktalarının her birinden tabana paralel çizgiler çizilir. Üst çizgideki sıfır başlangıcının solundaki kısım da sayısına bölünür ve bu bölüm noktaları en alttaki sıfır başlangıcının solundaki bölüm noktaları ile birer kaydırmalı olarak yukarıdan aşağıya birleştirilir. on olarak, numaralandırılarak ölçek tamamlanmış olur. Örneğin Şekil 3. deki ölçekte okuma ise şöyle yapılır: Pergel ayağı harita üzerinde iki nokta arası kadar açılır. Bu açıklık şekilde görüldüğü gibi ölçek üzerine yerleştirilir. ıfır düşey çizgisinin sağında km ler, solunda ve yatay çizgi üzerinde 00 m ler ve düşey çizgi üzerinde 0 m ler okunarak toplam mesafe daha sağlıklı bir biçimde belirlenmiş olur [3]. Buna göre (), () ve (3) numaralı çizgilerin arazideki karşılıkları aşağıdaki gibi hesaplanır. (): 4,00 m = 4 km + 00 m ():,70 m = km + 00 m + 70 m (3): 3,540 m = 3 km m + 40 m Türkay Gökgöz ( 3 5

6 oru: :5.000 ölçekli harita için öyle bir geometrik ölçek oluşturunuz ki, a) /4 mm nin ölçeğe göre karşılığı olan değer geometrik ölçekten doğrudan doğruya okunabilsin. b) Harita üzerinde ölçülen 4.5 mm lik uzunluğun arazideki karşılığını bulunuz. Çözüm: Harita üzerinde ölçülecek /4 mm lik bir uzunluğun /5.000 ölçeğine göre arazideki karşılığı olan değerin (e) geometrik ölçek çizgisi üzerinde doğrudan okunabilmesi isteniyor. Buna göre; e=( / 4) mm=( / 4) x 5000=650 mm=6.5 m Başlangıç noktasının sağında yer alan ana bölümlerin arazide hangi değere karşılık geleceği ölçeğe uygun olarak keyfi seçilir. Burada; d=50 m olarak seçilebilir. e d n n n n Yatay bölüm sayısı ya da başlangıç noktasının solunda yer alan ve ana bölüm parçalarını okumak için geliştirilen kısımdaki bölüm sayısı keyfi olarak seçilir. Biri seçildiğinde diğeri hesapla bulunur. İkisinin de tamsayı olması gerekir. Burada; yatay bölüm sayısı 5 olarak seçilirse, n en d olarak bulunur. Harita üzerinde ölçülen 4.5 mm lik uzunluğun arazideki karşılığı ise 4.5 x 5000= m = =606.5 m olarak bulunur. Türkay Gökgöz ( 3 6

7 3...3 Değişken ölçekler Geniş sahaları içine alan küçük ölçekli haritalar üzerinde küçültme oranı sabit olmayabilir. Bu durumda değişken ölçek yardımıyla belli yönlerde ve belli oranlarda değişik olan izdüşüm mesafeleri daha gerçekçi bir şekilde bulunmuş olur. Aşağıda örnek olmak üzere iki değişken ölçek şekli gösterilmiştir (Şekil 3.3) [3]. Şekil 3.3: Değişken ölçek örnekleri Uzunluk birimleri ile ifade edilen ölçek Bu tarz ölçekler genellikle büyük ölçekli topografik haritalarda kullanılır. Örneğin Amerikan topografik haritalarında; " " ifadesi haritanın uygun bir yerine yerleştirilmektedir. Bu ifade, inç mili gösterir anlamındadır. Türkiye de eski :5.000 ölçekli topografik haritalarda; " 4 ü " şeklinde bir ölçek ifade şekli vardı. Böylesi bir ölçek ifadesi, değişik ölçü birimleri kullanan ülkeler için anlaşılması güç olur ve de kullanışlı değildir [3] Ölçek ve alan ilişkileri Ölçek ile haritanın kapsadığı alan arasında sıkı bir ilişki vardır. Bunu iki örnekle açıklamaya çalışalım [3]. Belli büyüklükte bir alan ele alalım. Bu alanı büyük ve küçük ölçekli iki harita üzerinde inceleyelim. Bu alan büyük ölçekli harita üzerinde daha geniş, buna karşılık küçük Türkay Gökgöz ( 3 7

8 ölçekli harita üzerinde daha dar bir alanı kaplayacaktır. Bir dünya haritası : ölçekli bir atlas sayfasında ( ) m lik bir alan kapladığı halde, aynı dünya alanı : ölçekli (.70.55) m boyutlarında bir duvar haritasında gösterilebilecektir. Demek ki ölçek büyüdüğü oranda çizim alanı da büyümekte ve buna bağlı olarak harita üzerindeki detayın daha incelikle gösterilmesi mümkün olabilmektedir. Bu defa boyutları aynı olan biri büyük, diğeri küçük ölçekli olmak üzere iki harita ele alalım. Küçük ölçekli haritanın arazi üzerinde gösterdiği alan, büyük ölçekli haritanın arazi üzerinde gösterdiği alandan daha büyük olacak ve küçük bir çizim alanına daha büyük bir araziyi sığdırmış olduğu için de arazi yüzeyi harita üzerinde daha detaylı görülemeyecektir. Anlaşılıyor ki, harita ölçeği ile haritanın gösterdiği alan arasında büyüklük bakımından belli bir oran mevcuttur. Alanlar arasındaki oran aşağıdaki gibi belirlenebilir []. : Arazideki alan : Haritadaki alan Ölçekleri farklı iki harita üzerindeki aynı alanın birbirine oranı ise aşağıdaki gibi belirlenebilir. m de F F m N H m de F F m N H F H = m F m H F F H H m m :5.000 ve : ölçekli iki harita ele alalım (Şekil 3.4). Her ikisinin de boyutları aynı olsun. :5.000 ölçekli haritanın kapladığı alanı (4 5) cm dir. Bu alanını : ölçekli harita üzerinde göstermek istersek boyutları (.5) cm lik bir alanı kaplayacaktır. Bu durumda :5.000 ölçekli alanından 4 adedini : ölçekli harita üzerine yerleştirmek mümkün olacaktır. Demek ki, haritanın ölçeğini Türkay Gökgöz ( 3 8

9 küçülttüğümüz zaman içerisine sığdırılabilecek alan büyümektedir. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi ölçek ½ oranında küçültüldüğünde, aynı boyutlar içerisine sığdırdığımız alan 4 kat ( 4) büyümektedir. Şekil 3.4: Ölçek ve alan ilişkileri onuç : Herhangi bir harita üzerinde gösterilebilecek alan, ölçek değişikliği oranının karesi ile ters orantılıdır. Küçültme Ölçek Haritadaki uzunluğun Haritadaki alanın oranı arazideki karşılığı arazideki karşılığı / : cm = km cm = km / : cm = km cm = 4 km /5 : cm = 5 km cm = 5 km /8 : cm = 8 km cm = 64 km /0 : cm = 0 km cm = 00 km onuç : Büyük ölçekli haritalarda doğal ve yapay objeler (tek evler, sel ayrıntıları, kaya diklikleri, yarmalar, vb.) daha ayrıntılı olarak gösterilebilir. Ayrıca bütün bu detayların doğadaki yerlerine uygun olarak yerleştirilmeleri mümkündür. onuç 3: Küçük ölçekli haritalarda dar bir yüzeye daha geniş bir alan sığdırmak zorunluluğu vardır. Detayın harita üzerinde gösterilmesi mümkün olamaz. Bu haritalarda sadeleştirmeye ve genelleştirmeye gidilir. Birçok obje abartılı olarak gösterilir. Yollar, kanallar, akarsular vb. objeler ölçekle orantılı olarak çizilmeyebilir. 3.. Harita ağı Harita ağı, haritanın gövdesinde gösterilen bir çizgiler ağıdır. Bu çizgilerin bir grubu paralelleri, diğer grubu meridyenleri gösterir (Şekil 3.5). Türkay Gökgöz ( 3 9

10 Her bir harita ağı belli bir harita projeksiyonuna dayanır ve projeksiyon seçimine göre: Şekil 3.5: Uzunluk koruyan konik projeksiyon (tandart paraleli=30 º Çizgiler düz ya da eğri olabilir, Çizgiler paralel ya da yakınsak olabilir, Çizgiler arasındaki boşluklar sabit olabilir ya da noktadan noktaya farklılık gösterebilir, Bir paralel ve meridyenin kesişimi ile meydana gelen açı herhangi bir değerde olabilir (Şekil 3.6) Grid Şekil 3.6: Harita ağları Bir haritadaki grid, birbirini dik kesen düz çizgiler sistemidir (Şekil 3.7). Yeryüzünün bir parçasına karşılık geldiği varsayılan bir düzlem yüzey üzerinde ölçülen mesafeler yardımıyla yeryüzündeki konumu belirlemeye yarar. Birçok ülke, özellikle bu amaç için tasarlanmış bir ya da daha fazla yerel grid üzerinde haritaya aktarılıyor. Üstelik, yeryüzünün büyük bir bölümünü sistematik bir biçimde içine alan grid sistemleri de (örneğin Universal Transverse Mercator Grid) vardır. Türkay Gökgöz ( 3 0

11 Şekil 3.7: Grid ağı 3..4 Çizim alanı sınırları Bir haritanın çizim alanı sınırları, tüm harita detaylarını içine alan ve bu nedenle haritada gösterilen alanın limitlerini tanımlayan çizgilerdir. Üç çeşit çizim alanı sınırı vardır: Büyük ölçekli ve bazı orta ölçekli haritalarda çizim alanı sınır çizgileri grid çizgileridir. onuç olarak, haritanın formatı daima kare ya da dikdörtgendir (Şekil 3.8). Küçük ölçekli ve birkaç orta ölçekli haritalarda çizim alanı sınır çizgileri, harita ağının iki paralel ve iki meridyeniyle belirlenir. Bunlar, düz ya da eğri çizgiler olabilir ve genellikle haritanın coğrafi kuzeye yakın kenarı, ekvatora yakın kenarından daha kısadır (Şekil 3.8). Türkay Gökgöz ( 3

12 Şekil 3.8: () Grid çizim alanı sınırları ve () harita ağı çizim alanı sınırları Çizim alanı sınır çizgileri; ne grid ne de harita ağı ile ilişkisi olmayan ve sırf haritada gösterilebilecek alanı, benzer boyutlara sahip bir dizi dikdörtgene ayırmaya yarayan isteğe bağlı düz çizgilerdir. İsteğe bağlı çizim alanı sınır çizgileri, nadiren düzensiz şekli olan bir ülkeyi uygun bir biçimde kapsar. Şekil 3.9, bir ülkeyi minimum sayıda haritaya sığdırmaya çalışmak için kullanılan bazı yöntemleri göstermektedir. Bu problemler, atlas kartografyasında da kendini gösterir. Çünkü birçok atlas haritası isteğe bağlı çizim alanı sınırlarına sahiptir. Şekil 3.9: İsteğe bağlı çizim alanı sınırları 3. Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Eğer yeryüzünün haritaları yapılacaksa, yeryüzünün şekli ve boyutları hakkındaki bilgi önemlidir. Yeryüzünün bilinen ölçekte haritalarını yapmak için boyutunu bilmek gerekir. Yeryüzünün şekli, onun bir düzlem yüzey üzerinde haritasını yapmak için gerekli olan matematiksel izdüşüm türünü etkiler. Türkay Gökgöz ( 3

13 3.. Jeoid Yeryüzünün şekline ilişkin ayrıntılı bilgi çeşitli kaynaklardan (jeodezik ölçmeler; gravite değişimleri ile ilgili çalışmalar; astronomik yöntemler yapay uyduların yörüngelerinin izlenmesi) elde edilmiştir. Bu yöntemlerin tümü, Jeoid olarak bilinen biraz düzensiz bir yüzeyi tanımlamaktadır. Jeoid ve küre arasındaki esas fark, jeoid in kutuplara doğru basık oluşudur (Şekil 3.0). Şekil 3.0: Yeryüzünün şekli Kutuplardaki basıklıktan dolayı, jeoid, ekvator çapı (büyük eksen) yaklaşık 6,378 km ve kutupsal yarıçapı (küçük eksen) yaklaşık 6,357 km olan bir dönel elipsoide çok yaklaşmaktadır. Bu şekil, bir elips kesitinde gösterilebilir (Şekil 3.). Şekil 3.: Elips Bir elipsoidin basıklığı / ile tanımlanabilir ve / kesri olarak ifade edilir. Yeryüzü için / /98 dir. Böyle küçük basıklığı olan bir elipsoid basık küre (spheroid) olarak da isimlendirilir. Aşağıdaki şekil, /50 basıklığın hemen hemen dairesel bir elips meydana getirdiğini göstermektedir (Şekil 3.). Bu nedenle, basık küreyi (spheroid) gösteren şekillerin tümü biraz abartılmaktadır. Türkay Gökgöz ( 3 3

14 Şekil 3.: yarıçaplı bir daire ve büyük yarı ekseni olan çeşitli basıklık miktarlarına sahip elipslerin ölçekli çizimi. Dairenin basıklığı 0 dır. Basıklığı /50 olan elips hemen hemen daire ile çakışıktır. Şekilden de anlaşılabileceği gibi basıklığı /98 olan ve yeryüzünün referans şekline karşılık gelen elipsi daireden ayırt etmek mümkün olmayabilir. 3.. Küre ve basık kürenin geometrisi İki farklı şeklin geometrisini aşağıdaki gibi karşılaştırabiliriz: 3... Küre Bir kürenin yüzeyindeki tüm noktalar, kürenin merkezinden eşit uzaklıktadır. Bu nedenle, merkezi () yüzeydeki herhangi bir noktaya () birleştiren düz çizgi, yarıçapı () gösterir (Şekil 3.3). Kürenin merkezinden geçen herhangi bir düzlem kesit, yarıçaplı bir daire ile gösterilebilir. Bu, bir büyük daire olarak bilinir. Kürenin merkezinden geçmeyen herhangi bir kesit, merkezine ve R den daha küçük yarıçapına sahip bir küçük daire yardımıyla gösterilebilir (Şekil 3.3). Türkay Gökgöz ( 3 4

15 Şekil 3.3: Büyük daire ve küçük daire Küresel yüzey üzerindeki yay mesafesi, ve noktalarına çizilen iki yarıçap arasında kürenin merkezinde meydana gelen açı ile ölçülür. Verilen herhangi bir değeri için yayının uzunluğu, kürenin yüzeyindeki konumuna bakılmaksızın sabittir. Şekil 3.4: Küresel yüzey üzerinde yay, yayı gören merkez açı ve küre yarıçapı Bir küre yalnız bir yarıçapa () sahiptir. çizgisi gibi, küre yüzeyine herhangi bir teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir, yani açısı 90 derecedir. Türkay Gökgöz ( 3 5

16 Şekil 3.5: Küreye teğet doğru 3... Basık Küre Basık kürenin yüzeyindeki noktalar, merkezinden farklı uzaklıklarda yer alır. En büyüğü ve en küçüğü dir. Basık kürenin merkezinden geçen bir kesit bir istisna ile- elipstir. İstisna, yarıçaplı bir daire olan ve ve noktalarından geçen ekvatoral kesittir. Şekil 3.6: Basık küre kesitleri Açısal mesafe ye karşılık gelen yay uzunluğu, basık kürenin farklı yerlerinde farklıdır. Bu nedenle, ekvatora yakın olan yay, coğrafi kuzeye yakın olan yay den daha kısadır. Türkay Gökgöz ( 3 6

17 Şekil 3.7: Basık küresel yüzey üzerindeki yaylar, yayları gören merkez açılar Bir basık küre, yeryüzündeki her bir noktada iki eğrilik yarıçapına sahiptir ve bu yarıçaplar noktadan noktaya farklılık gösterir. Boylamsal eğrilik yarçapı, noktasından geçen meridyen boyunca alınan eliptik kesitin yarıçapıdır. Bu yarıçapa karşılık gelen çizgi nün basık kürenin merkezinden geçmediğine dikkat edilmelidir. Enine (transverse) eğrilik yarıçapı, dan geçen fakat meridyene dik olan eliptik kesitin yapıçapıdır. Bu yarıçap çizgisine karşılık gelir. teğetine dik ya da normal olan çizgi basık kürenin merkezinden geçmez. Şekilde, bu çizgi, değil, dür. Şekil 3.8: Basık küreye teğet doğru 3..3 Küre mi, basık küre mi? Küre ve basık küre, jeoid şekline yakın geometrik şekillerdir. Basık küre, jeoide küreden daha iyi yaklaşır ancak matematiksel olarak daha karmaşıktır ve bir referans şekil olarak kullanımı uzun ve oldukça zor hesaplamaları gerekli kılar. Eğer iki şeklin yüzeyindeki birbirine karşılık gelen iki noktayı göz önüne alınırsak, ve AB yaylarını ve bu yayların sabit bir doğrultu ile yaptıkları doğrultu ve açıları da hesaplayabiliriz. İki uzunluk ve iki doğrultu arasında küçük bir fark vardır. Eğer bu farklar bir haritada ortaya çıkarılabilirse, yani eğer ve birbirinden 0. mm den Türkay Gökgöz ( 3 7

18 daha uzak ise ( ve nün sabit olduğu varsayımıyla), yeryüzünün şekli olarak küresel kabulden çok basık küresel kabulün kullanımı istenecektir. Şekil.: Küre, basık küre ve jeoid Bu normal olarak büyük ölçekli topografik harita üretimine uygulanır. Daha büyük ölçeklerde basık küresel kabulün kullanımı gereksinimi, bunların orijinal ölçülere dayanan haritalar olmasındandır. Bunlar doğal yeryüzü birimlerinde (yani / harita ölçeğinde) hesaplanır ve dengelenir. İşin bu kısmında, belli bir ülke için benimsenmiş basık kürede noktalar belirlemek esas olandır. Küçük harita ölçeklerinde, küre ve basık küre arasındaki farklılıklar gözardı edilebilecek kadar küçüktür. Bu nedenle, atlas ve tematik haritalar için, Yeryüzü mükemmel bir küredir kabulünü kullanmak yeterlidir Küre mi, düzlem mi? Türkay Gökgöz ( 3 8

19 Türkay Gökgöz ( ) (. 8.3 ) (.. ) ( ) 3! ) / ( ( 3! sin sin / sin R R R R R R R R s yay R R R K K K K k K =7 km alındığında, K K Bu nedenle AB yayı doğrusu kabul edilir ve yeryüzünde çapı 7 km olan bir alan düzlem kabul edilir. Bu durumda; Projeksiyon yüzeyi küreye teğet bir alanı ( merkezi, düzlemin küreye teğet olduğu nokta) projeksiyon yüzeyine izdüşümü herhangi bir deformasyon (uzunluk, açı, alan) olmaksızın gerçekleşir. Başka bir ifadeyle, yeryüzünde çapı 7 km olan bir alanın haritası herhangi bir projeksiyon sistemi kullanılmaksızın yapılabilir.

20 Projeksiyon yüzeyi küreye teğet bir silindir ya da koni ise, küre ile ortak olan daireler boyunca (silindirin ya da koninin teğet olduğu dairenin 3.5 km sağın ve 3,5 km solunu içine alan kuşak) izdüşüm herhangi bir deformasyon olmaksızın gerçekleşir. Başka bir ifadeyle, sözü geçen kuşağın haritası herhangi bir projeksiyon sistemi kullanılmaksızın yapılabilir Yukarıda ifade edilen, belli büyüklükteki alanların herhangi bir projeksiyon sistemi kullanılmaksızın yapılan haritalarına Bölgesel Haritalar denir. 3.3 Coğrafi Koordinatlar Yeryüzündeki konumu belirtmenin en iyi bilinen yolu, enlem ve boylam açılarından yararlanmaktır. Enlem ve boylam açıları coğrafi koordinat sistemini meydana getirir. Küre ya da basık küre üzerinde ölçüldüğünde, enleme ilişkin tanımlarda önemli farklar ortaya çıkar. Boylam tanımı her iki referans şekil için de aynıdır. Şekil.: Coğrafi koordinatlar 3.3. Enlem Küre enlemi, ekvator düzlemi ile yüzeydeki bir noktaya çizilen yarıçap arasında yerkürenin merkezinde ölçülen açıdır. Şekilde, P noktasının enlemi POE açısıdır. Türkay Gökgöz ( 3 0

21 Şekil.3: Enlem Ekvator, enlem ölçümü için başlangıçtır ve bu nedenle 0 değeri atanır. Bu başlangıçtan itibaren güneye ve kuzeye doğru, enlem, kuzey kutbunda 90 kuzey ve güney kutbunda 90 güney olana kadar artar. Coğrafi koordinatlar kullanılarak yapılan hesaplamalarda, kuzey enlemi ve güney enlemi varsayılır. Kürede enlem (basık küredeki jeodezik enlem gibi) harfi ile gösterilir. Basık Küre Enlemi ölçmek için iki farklı açı kullanılabilir: Yermerkezli enlem, ekvator düzlemi ile düz çizgisi arasında şeklin merkezinde ölçülen açısıdır. Jeodezik enlem, noktasındaki basık küresel yüzeyin normalinin ekvator düzlemini kestiği noktasında ölçülen açısıdır. Şekil.4: Yermerkezli ve jeodezik enlem ve arasında küçük bir fark vardır ve basık küre yüzeyinde nin konumuna göre değişiklik gösterir. Yermerkezli enlem, küredeki enlem tanımıyla daha çok örtüşüyor gibi görünse de daha çok jeodezik enlem kullanılır. Türkay Gökgöz ( 3

22 3.3. Kutup mesafesi Bazı hesaplamalarda açısının kullanımı enleminden daha uygundur. bir dik açı olduğundan, 90 dir ve kutup mesafesi olarak bilinir. Bu işareti ile gösterilir. Basık kürede 90 dir. Burada, jeodezik enlemdir Boylam Şekil.5, her ikisi de yerkürenin merkezinden geçen ve her ikisi de ekvatora dik olan iki düzlemi göstermektedir. onuç olarak, iki düzlem, (yerkürenin dönme ekseni) boyunca kesişirler ve onların çevreleri birer büyük dairedir. düzlemi noktasını içermektedir. Diğer düzlem, boylam ölçümü için başlangıç olan noktasını içermektedir. Boylam, yerkürenin merkezinde, noktasını içeren düzlem ile başlangıç düzlemi arasında ölçülen açı olarak tanımlanabilir. Bu nedenle boylam, açısıdır. Bu açı, başlangıç düzleminden itibaren doğuya ve batıya doğru ölçülebilir ve doğu boylamı ya da batı boylamı olarak kaydedilir. Hesaplamalarda, doğu boylamı, batı boylamı dir. Açı, harfi ile gösterilir. yı, iki düzlem arasındaki boylam farkını göstermek için kullanırız. Şekil.5: Boylam.4.4 Paraleller ve meridyenler Aynı enleme sahip tüm noktaların ortak yeri, küresel ya da basık küresel yüzeyde bir daire ortaya çıkarır. Bu daireyi içeren düzlem, ekvatora paraleldir ve bu nedenle çevresi enlemin paraleli ya da kısaca paralel olarak isimlendirilir. Düzlem, ekvatora paralel olduğu için, yerkürenin merkezinden geçmez ve bu nedenle bir paralel, bir küçük dairedir. enlemindeki paralelin yarıçapı, dik üçgeninden kolaylıkla hesaplanabilir. FG r R sin 90 r R cos Türkay Gökgöz ( 3

23 Şekil.6a: Bir paralelin yarıçapı (r) Şekil.6b: Paraleller Şekil.5 te, aynı boylama sahip tüm noktaların ortak yeri (ki bu noktaların hepsi aynı düzleminde yer alır), bir kürenin yüzeyinde bir yarım daire ya da bir basık kürenin üzerinde bir yarım elips meydana getirir. Düzlem, yerkürenin merkezinden geçtiği için, bir büyük daire yayıdır ve meridyen olarak bilinir. düzleminin çevresi, iki kutup noktası ve de yi kestiği için, tüm meridyenler kutuplarda kesişirler. Şekil.6c: Meridyenler Şekil.6d: Paralel ve meridyenler Ekvator düzlemi eksenine dik olduğu için, tüm meridyenler ekvatoru dik açı altında keser. Bununla birlikte, tüm paraleller ekvatora paralel olduğu için, tüm paraleller ve tüm meridyenler, küre ya da basık küre yüzeyinde dik açı altında kesişirler. Coğrafi kutuplar, tüm meridyenlerin birbirini kestiği iki istisna noktadır. 3.4 Düzlem Koordinat istemleri Bir haritanın matematiksel iskeletini çizmek için düzlem koordinat sistemi kullanmak istenir. Genelde kullanılan iki sistem vardır: Düzlem kutupsal koordinatlar; düzlem kartezyen dik koordinatlar. Bu sistemlerin ikisi de harita projeksiyonları kuramı ile ilgili çalışmalarda sıklıkla kullanılır, fakat bir haritanın çizimi ile ilgili pratik çalışmalarda hemen her zaman kartezyen dik koordinatlar kullanılır. Türkay Gökgöz ( 3 3

24 3.4. Düzlem kutupsal koordinatlar noktası, ölçülerin yapılacağı orijin olarak seçilir. çizgisi, eksen ya da başlangıç çizgisi olarak seçilir. Herhangi bir noktasının konumu, yarıçap vektörü ya da düz çizgi mesafesi ve vektörel açı ya da açısı yardımıyla bu orijine ve eksene bağlanabilir. nin konumu, iki değer (, ) ile kaydedilir. Matematikte açısı, başlangıç çizgisinden itibaren saat ibresinin tersi yönünde ölçülür. Ölçme, navigasyon ve kartografyada ise açılar saat ibresi yönünde ölçülür. Şekil.7: Düzlem kutupsal koordinatlar 3.4. Düzlem kartezyen dik koordinatlar Bunlar, kartezyen koordinatlar ya da sadece dik koordinatlar olarak da isimlendirilebilir. Herhangi bir noktasının konumu, iki dik eksen boyunca orijinde kesiştirilen iki doğrusal ölçü ve yardımıyla sistemin orijini ya bağlanabilir. çizgisine apsis ve ya ordinat diyoruz. Yaygın olan apsisin - ekseni olarak isimlendirilmesi ve gibi bir doğrusal mesafenin olarak ifade edilmesidir. Ordinat, -ekseni ve mesafesi olarak isimlendirilir. nin konumu (, ) olarak tanımlanır. Açılar kartografyada saat ibresi yönünde ölçüldüğünden, ordinat -ekseni ve apsis -ekseni olacak şekilde eksenler yeniden isimlendirilir. Aşağıdaki iki şekil, her bir durumda açının ekseninden itibaren pozitif doğrultuda ölçüldüğünü göstermektedir. Her iki sistem için ya da harflerini kullanmak karışıklığa neden olacağından, ölçmecilerin ve kartografların alışık olduğu biçimde, (sağa değer için) ve (yukarı değer için) harflerini kullanmak daha iyi olacaktır. Bu terimler, bir grid referansı meydana getirmede kullanılır. Örneğin, noktası, (, ) koordinatlarına sahiptir. Şekil.8: Düzlem kartezyen dik koordinatlar Türkay Gökgöz ( 3 4

25 Açıklama: Haritacılıkta eksenler yer değiştirmiştir, çünkü haritacılıkta açılar saat ibresi yönünde ölçülür. Eksenleri yer değiştirerek, trigonometrik fonksiyonların saat ibresi yönünde ölçülen açılar için de matematiksel değerleri vermesi sağlanmıştır. Yani 90 nin sinüsü matematikte de haritacılıkta da dir. Eğer eksenler yer değiştirmeseydi; matematikte, haritacılıkta 0 (sıfır) olurdu. Türkay Gökgöz ( 3 5