Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Transkript

1 Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral Temel Tan mlar ve Sonuc.lar Temel Integral Alma Yöntemleri De giṣken De giṣtirme Yöntemi K smi Integrasyon Yöntemi Rasyonel Kesirlerin Integrallenmesi Baz Irrasyonel Cebirsel Ifadelerin Integrallenmesi Binom Diferensiyellerinin Integrallenmesi Trigonometrik ifadelerin Integrallenmesi

2

3 Bölüm Belirsiz Integraller Matematikte ve hemen hemen bütün bilim dallar nda verilen bir fonksiyonun türevinin bulunmas iṣleminin tersi olan integral alma, yani, türevi belli olan fonksiyonun kendisinin bulunmas problemi ile karṣ laṣ l r. Bu bölümde analizin en önemli kavramlar ndan biri olan ilkel fonksiyon ve belirsiz integral kavramlar tan mlanacak ve c.eṣitli integral alma yöntemleri incelenecektir.. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral.. Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Sonlu veya sonsuz (ac. k, kapal veya yar ac. k) bir I R aral g ve I üzerinde tan ml f; F : I! R fonksiyonlar verilmiṣ olsun. Tan m.. : E ger, F fonksiyonu I üzerinde türevlenebilir ve 8 I ic.in F 0 () f() ise, F () fonksiyonuna f nin I üzerinde ilkel fonksiyonu (veya antitürevi) denir. Not: a; b R; I [a; b] (ya da I [a; ) veya I ( ; b];) durumunda F nin a noktas nda sa gdan ve b noktas nda soldan türevlenebilir 3

4 4 Belirsiz Integraller oldu gu varsay l r. Verilen bir noktada türevli bir fonksiyon bu noktada sürekli oldu guna göre f nin I üzerindeki F ilkel fonksiyonu I üzerinde süreklidir. Örne gin, F () 4 4 ve F () sin fonksiyonlar s ras yla f () 3 ve f () cos fonksiyonlar ninn R üzerinde ilkel fonksiyonlar d r, c.ünkü 8 R ic.in ( 4 4 )0 3 ve (sin ) 0 cos dir. F 3 () p ve F 4 () ln fonksiyonlar s ras yla f 3 () p ve f 4 () fonksiyonlar n n ( ; ) ve (0; +) üzerinde ilkel fonksiyonlar d r, c.ünkü 8 ( ; ) ic.in ( p ) 0 p ve 8 (0; +) ic.in (ln ) 0 dir. Teorem.. : I R üzerinde türevlenebilir iki F; G : I! R fonksiyonlar n n ayn bir f : I! R fonksiyonunun ilkel fonksiyonlar olmas ic. in gerek ve yeter koṣul G() F () fonksiyonunun I üzerinde sabit bir fonksiyon, yani c key bir say olmak üzere 8 I ic.in G() F () + c olmas d r. Ispat: E ger, F : I! R fonksiyonu f nin I üzerinde bir ilkel fonksiyonu, yani 8 I ic.in F 0 () f() ise, c key bir say olmak üzere 8 I ic.in (F () + c) 0 F 0 () f() oldu guna göre F () + c fonksiyonu da f nin I üzerinde bir ilkel fonksiyonudur. E ger, F; G : I! R fonksiyonlar f nin I üzerinde iki ilkel fonksiyonlar, yani 8 I ic.in F 0 () f() G 0 () ise, 8 I ic.in (G() F ()) 0 G 0 () F 0 () f() f() 0 elde ederiz ki buradan G F fonksiyonu I üzerinde sabit bir fonksiyon, yani c key bir say olmak üzere 8 I ic.in G() F () c veya G() F () + c oldu gu anlaṣ l r. Tan m..3 : I R üzerinde tan ml f : I! R fonksiyonunun I üzerindeki tüm ilkel fonksiyonlar s n f na f nin I üzerinde belirsiz integrali denir ve f()d (.) sembolü ile gösterilir. R simgesine integral iṣareti, f() ifadesine integrant ve e de integrasyon de giṣkeni denir.

5 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral 5 E ger, F : I! R fonksiyonu f nin I üzerinde bir ilkel fonksiyonu ise, Teorem.. gere gince c key bir say olmak üzere f()d F () + c (.) olur. Burada, c ye integrasyon sabiti denir. Örne gin, p fonksiyonu ( ; ) üzerinde p fonksiyonunun bir ilkel fonksiyonu oldu guna göre, c key bir say olmak üzere 8 ( p d p + c olur. Not: ; ) ic.in Verilen bir fonksiyonun herhangi bir aral k üzerindeki ilkel fonksiyonunun (veya belirsiz integralinin) varl gi problemi 6. Bölümde incelenecektir. Ṣimdilik belirtelim ki, bir I R aral ginda sürekli her fonksiyonun bu aral k üzerindeki ilkel fonksiyonu (veya belirsiz integrali) vard r (Bkz. Böl.6.4). Örnek..4 : f() sgn fonksiyonunun her I ( ; 0) (veya I (0; +)) aral ginda ilkel fonksiyonunun varl g n ve 0 I olmak üzere her I R aral ginda ilkel fonksiyonunun var olmad g n gösteriniz. C. özüm: Her I ( ; 0) (veya (I (0; +)) üzerinde sgn (sgn ) oldu guna göre, c key bir say olmak üzere 8 I ic.in F () oldu gu ac. kt r. +c (F () +c) fonksiyonu I üzerinde f nin bir ilkel fonksiyonu Ṣimdi a < 0 ve b > 0 olmak üzere f nin [a; b] üzerinde ilkel fonksiyonunun varolmad g n görelim. sgn fonksiyonunun s ras yla [a; 0) ve (0; b] aral klar nda ilkel fonksiyonlar F () + c ve F () + c dir. Burada,c ve c key say lard r. 0 noktas nda tan ml oldu gu varsay lsa bile ( + c ; [a; 0); F () + c ; (0; b]

6 6 Belirsiz Integraller fonksiyonu 0 noktas nda türevli de gildir. Demek ki, f() sgn fonksiyonunun 0 noktas n ic.eren her I R aral g üzerinde ilkel fonksiyonu yoktur. Ṣimdi belirsiz integrallerin aṣa g daki özelliklerini verelim. () ( R f()d) 0 f() veya d( R f()d) f()d: () R df () F () + c: (3) R [f() g()]d R f()d R g()d: (4) Her 6 0 reel say s ic.in [f()]d f()d: (3) ve (4) özellikleri gözönüne al n rsa ve s f rdan farkl herhangi reel say lar olmak üzere [f() + g()]d yaz labilir. f()d + g()d (5) Herhangi bir I R aral g nda F 0 () f() ise a 6 0 ve b herhangi reel say lar olmak üzere f(a + b)d F (a + b) + c a dir. S ralanan bu özelliklerin do gru oldu gu türevle ilgili bilgilere dayanarak ispatlanabilir. Örne gin, (4) özelli ginin do gru oldu gunu gösterelim. () özelli gi gözönüne al narak her iki taraf n türevi al n rsa ( f()]d) 0 ( f()d) 0 ) f() f()

7 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral 7 elde ederiz. 6 0 koṣulunu inceleyelim. E ger, F : I! R fonksiyonu f : I! R nin I üzerinde bir ilkel fonksiyonu ise c key bir say olmak üzere 8 I ic.in R [0f()]d R 0d c; fakat, 0 R f()d 0(F () + c) 0 olur. Böylece 0 durumunda (4) özelli gi genel olarak sa glanamaz. Not: Ṣu ana kadar ifade edilenlerden de anlaṣ laca g gibi (3) ve (4) teki eṣitlikler veya belirsiz integraller ic.eren herhangi iki ifadenin eṣitli gi fonksiyonlardan oluṣan iki kümenin eṣitli gi anlam n taṣ maktad r. (3) özelli gi sa g taraf iki kümenin aritmetik toplam d r. Demek ki, (3) özelli gi f ve g fonksiyonlar n n ilkel fonksiyonlar n n toplam f + g nin bir ilkel fonksiyonu f ve g lerin herhangi ilkel fonksiyonlar n n toplam olmas demektir. E ger, F : I! R (I R) fonksiyonu bir f : I! R fonksiyonunun I üzerinde bir ilkel fonksiyonu, yani 8 I ic.in F 0 () f() ise c key bir say olmak üzere f()d F () + c olacakt r. Demek ki, integrali al nacak ifadenin (integrant n) hangi fonksiyonun türevi oldu gu görülebiliyorsa, bu fonksiyona key bir c sabit say s eklemek suretiyle integral al nm ṣ olur. Buna göre, diferensiyel hesab nda elementer fonksiyonlarla ilgili gördü gümüz temel türev formülleri (Bkz. Böl. 4, Tablo 4.) yard m yla aṣa g daki integral formüllerini tablo halinde yazabiliriz. () R d c ( 6 ): () R d ln j j +c ( 6 0): (3) R a d a + c (a > 0; a 6 ): ln a (4) R e d e + c: (5) R sin d cos + c: (6) R cos d sin + c: (7) R d tan + c ( 6 + n; n ): cos

8 8 Belirsiz Integraller (8) R d sin cot + c ( 6 n; n ): (9) R sinh d cosh + c: (0) R cosh d sinh + c: () R d cosh () R d sinh tanh + c: coth + c ( 6 0): (3) R d + arctan + c arcot + c: (4) R d p arcsin + c arccos + c ( < < ): (5) R d + ln j j +c (j j6 ): (6) R d p + ln( + p + ) + c: (7) R d p ln( + p ) + c (j j> ): Örnek..5 : Aṣa g daki integralleri hesaplay n z. (a) A R (a 0 + a + + a n n )d; (b) A R 4 5 4p +3 d ( > 0); (c) A 3 R ( p ) 3 d ( > 0); (d) (e) A 4 R (3 + 5 ) d; A 5 R sin d; (f) A 6 R cos(a + b)d (a 6 0); (g) A 7 R sin(a + b)d (a 6 0): C. özüm: Verilen integraller integrantlar üzerinde gerekli sadeleṣtirmeler yap larak belirsiz integralin (3) ve (4) özellikleri yard m yla tablo integrallerinin uygulanabilece gi duruma dönüṣtürülerek hesaplan r. (a) A a 0 R d + a R d + + an R n d a 0 + a + + n + a n n+ + c:

9 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral 9 (b) A R ( )d 3 d 5 4 d + 3 d 4 4 4p + 3 ln jj + c: (c) A 3 R ( 3 3 p + 3 ( p ) ( p )d ) 3 3 d 3 3 d + 3 d 3 d p p + c; > 0: (d) A 4 R (3 + :3 :5 + 5 )d 9 d + 5 d + 9 ln 9 + ln ln 5 + c: (e) A 5 R ( cos )d (f) d cos d sin + c: Belirsiz integralin (5) özelli gine göre A 6 sin(a + b) + c a 5 d ve benzer ṣekilde (g) A 7 cos(a + b) + c; a 6 0: a olur. Not: Herhangi bir elementer fonksiyonun türevi de bir elementer fonksiyon oldu gunu Bölüm 4 te inceledik. Baṣka bir deyiṣle, elementer fonksiyonlar

10 0 Belirsiz Integraller s n f nda türev alma iṣlemi kapal l k özelli gine sahiptir. Fakat, bu s n fta söz konusu özellik integral alma iṣlemi ic.in gec.erli de gildir. Yani, baz elementer fonksiyonlar n belirsiz integrali elementer fonksiyon olmayabilir. Örne gin, R e d; R cos( )d; R sin( )d; R d (0 < 6 ); R cos R d; ln sin d; R p k sin (j k j< ) integralleri mevcut olmas na (Bkz. Böl. 5) ra gmen elementer fonksiyonlarla ifade edilemezler. Ileride esas hede miz geliṣtirilmiṣ c.eṣitli integraller alma yöntemleri yard m yla yukar da verdi gimiz tabloyu geniṣletmek olacakt r.. Temel Integral Alma Yöntemleri.. De giṣken De giṣtirme Yöntemi Teorem.. : J R aral g üzerinde tan ml '() (' : J! R) fonksiyonu J üzerinde sürekli türeve sahip bir fonksiyon ve I '(J) olmak üzere F (y)(f : I! R) fonksiyonu f(y) (f : I! R) fonksiyonunun I üzerinde herhangi bir ilkel fonksiyonu olsun. Bu durumda, F ('(t)) (F ' : J! R) fonksiyonu J üzerinde f('()) ' 0 () ((f ')' 0 : J! R) fonksiyonunun bir ilkel fonksiyonudur ve c key bir say olmak üzere f('())' 0 ()d F ('()) + c (.3) eṣitli gi do grudur. Eṣitlik (.3) aṣa g daki gibi iki yönde kullan l r. Birinci Yön: F ('()) + c ['() y dersek] F (y) + c f(y)dy oldu gunu gözönüne al rsak (.3) ten f('())' 0 ()d f(y)dy (.4)

11 Temel Integral Alma Yöntemleri elde edilir. Ikinci Yön: Verilen R f(y)dy integralinde y '() de giṣken de giṣimi yap l rsa, dy ' 0 ()d eṣitli gi gözönüne al nd g nda f(y)dy f('())' 0 ()d (.5) eṣitli gini elde ederiz. (.4) ve (.5) eṣitliklerine, belirsiz integrallerde de giṣken de giṣtirme (veya yerine koyma) formülleri denir. Not: (.4) ve (.5) formüllerinin uygulamalar nda, c. kan sonucu de giṣken de giṣtirmeden önceki ṣekilde ifade etmek gerekti ginden (.4) deki R f(y)dy integrali hesapland ktan sonra y '() dönüṣümü yard m yla tekrar de giṣkenine, (.5) deki R f('())' 0 ()d integrali hesapland ktan sonra y '() fonksiyonunun tersi olan ' (y) dönüṣümü yard m yla tekrar eski y de giṣkenine dönülür. Bu nedenle ' : J! I fonksiyonunun ' : I! J tersi mevcut olmal d r. Örnek.. : Aṣa g daki integralleri hesaplay n z. (a) A R tdt ; (b) A +t R (arctan t) 00 dt; +t (c) A 3 R (5t 6) 00 dt; (d) A 4 R t 5 dt; (3t) + (e) A 5 R dt (k N; t 6 a); (f) A (t a) k 6 R dt (a 6 0); a +t (g) A 7 R p d a (a > 0; j j< a); (h) A 8 R d (a 6 0; 6 a); a (i) A 9 R p d a (j j> a > 0); + (j) A 0 R d p a (jj > a > 0); (k) A R tan d ( 6 + k; k ); (l) A R d ( 6 k) : sin cos

12 Belirsiz Integraller C. özüm: (a) A ( + t ) 0 + t dt [y + t! dy ( + t ) 0 dt] dy y ln j y j + c ( + t ) + c: (b) A arctan t 00 (arctan t) 0 dt [y arctan t! dy (arctan t) 0 dt] y 00 dy y0 0 + c 0 (arctan t)0 + c (c) A 3 (5t 6) 00 (5t 6) 0 dt 5 [y 5t 6! dy (5t 6) 0 dt] y 00 dy y c (5t 6)00 + c: 000 (d) A 4 ((3t) 6 ) t + dy [y (3t) 6! dy ((3t) 6 ) 0 dt] dy 4374 y arctan y + c 4374 arctan (3t)6 + c: (e) A 5 (t a) 0 (t a) dt k [y t a! dy (t a) 0 dt]

13 Temel Integral Alma Yöntemleri 3 dy y k 8 < ln j y j +c; : k ise; + c; k 6 ise: (k )y k 8 < ln j t a j +c; k ise; : + c; k 6 ise: (k )(t a) k (f) A 6 a ( t a )0 + t dt[y t a! dy ( t 0dt] a ) a a dy + y a arctan y + c a arctan t a + c: (g) A 7 ( a p )0 dt[y ( a ) a! dy ( a )0 d] dy p arcsin y + c arcsin( y a ) + c: (h) A 8 a a ( a )0 ( dt[y a ) a! dy ( a )0 d] dy y a ln j + y y j +c a ln j a + a j +c: (i) A 9 ( a )0 p d [y + ( ) a! dy ( a )0 d] a dy p ln(y + p y + ) + c + y (j) A 0 ln( + p + a ) + c: ( a p )0 ( a ) d dy p y ln(y + p y ) + c ln( a + p + a ) + c: (k) A (cos ) 0 cos d[y cos! dy (cos )0 d] dy ln j y j +c ln j cos j +c: y

14 4 Belirsiz Integraller Benzer ṣekilde, ( 6 k; k ) R cot d ln j sin j +c bulunur. cos (l) A (tan ) 0 tan d d [y tan! dy (tan ) 0 d] tan dy ln j y j +c ln j tan j +c y Buradan, d sin ( )0 sin cos d dy ln j tan y j +c sin y cos y ln j tan j +c; 6 k; k d cos ( + )0 sin( + )d dy sin y ln j tan y j +c ln j tan( + 4 ) j +c; 6 + k; k buluruz... K smi Integrasyon Yöntemi Teorem..3 : I R, u; v : I! R fonksiyonlar I üzerinde türevlenebilir ve v()u 0 () fonksiyonun I üzerinde ilkel fonksiyonu var olsun. Bu durumda, u()v 0 () fonksiyonunun da I üzerinde ilkel fonksiyonu vard r ve v()u 0 ()d u()v() v()u 0 ()d (.6) veya (u 0 ()d du ve v 0 ()d dv oldu gundan) udv uv vdu (.7) eṣitli gi do grudur. (.6) veya (.7) formlüne belirsiz integralin k smi integralleme formülü ad verilir.

15 Temel Integral Alma Yöntemleri 5 Not: Uygulamalarda u() ve v() fonksiyonlar n, (.6) veya (.7) deki : integralin hesab : integralin hesab ndan daha kolay olacak bic.imde sec.memiz gerekir. olur. Aṣa g daki durumlarda k smi integrasyon yönteminin kullan lmas uygun. Integrant, ln ; ln '(); arcsin ; arccos ; arctan ; arccot fonksiyonlar ndan herhangi biri ile belli bir v() fonksiyonunun türevinin c.arp m ise, u() olarak ad gec.en fonksiyonlar,dv olarak dv v 0 ()d kabul edilmesi uygun olur.. Integrant, P (); n: dereceden herhangi bir polinom olmak üzere, P ()e ; P () sin, P () cos bic.iminde ise, u() olarak P () ve dv olarak di ger k sm n kabul edilmesi uygun olur. Bu durumda k smi integralleme ardarda n kez uygulan r. 3. Integrant, e a sin(b); e a cos(b); sin(ln ); cos(ln ); vs. bic.iminde ise k smi integralleme iki kez uyguland g nda karṣ m za belli bir katsay ile hesab istenen integral c. kar. Elde edilen bu lineer denklemden hesab istenen integral bulunur. Örnek..4 : Aṣa g daki integralleri hesaplay n z. (a) A R 3 ln d ( R + ); (b) A R arctan d; (c) A 3 R sin(ln )d ( R + ); (d) A 4 R arccos d (j j ); (e) A 5 R arcsin d ( 6 0; j j< ); (f) A 6 R arctan p d ( 0); (g) A 7 R p a d (a R + ; j j a); (h) A 8 R p a d (a R + ; j j a); (i) A 9 R e a cos bd; (j) A 0 R e a sin bd (a 6 0);

16 6 Belirsiz Integraller (k) K n R d +a 4 (n N); (l) I n R d n a +b+c (b 4ac < 0; n N); (m) J n R A+B d (b 4ac < 0; n N); (a +b+c) 4 C. özüm: (a) u ln ; dv 3 d denirse du ln 4 d; v 4 oldu guna göre, (.7) den dolay A 4 4 ln 3 ln d [u ln ; dv 3 d denirse, du d; v 4 oldu guna göre, (.7) den] ln 8 4 ln + 3 d (ln ln + 8 ) + c: (b) u arctan ; dv d denirse, du d + ; v oldu guna göre, A arctan arctan + d d + arctan + arctan + c: (c) u sin(ln ); dv d denirse, du cos(ln )d; v oldu guna göre, (.7) den A 3 sin(ln ) cos(ln )d [u cos(ln ); dv d denirse, du sin(ln )d; v oldu guna göre, (.7) den] sin(ln ) cos(ln ) A 3

17 Temel Integral Alma Yöntemleri 7 Buradan, A 3 (sin(ln ) cos(ln )) + c bulunur. (d) u arccos ; dv d d denirse, du p ; v 3 3 (.7) den [u ; dv p oldu guna göre] (e) den A arccos + 3 d denirse, du d; d v p 3 3 arccos p arccos p arccos 3 3 p d d( ) p p p 9 p d p d( ) q ( ) 3 + c: u arcsin ; dv d denirse, du d p ; v A 5 arcsin d + p olur. Öte yandan, d p oldu guna göre, d q j j ( jj ) d( ) jj q ln ( jj ) oldu guna göre, oldu guna göre, (.7) sgnd(j j) sgnj j q ( jj ) j j + p + c A 5 arcsin + ln j j + p + c:

18 8 Belirsiz Integraller (f) u arctan p d ; dv d denirse, du ; v oldu guna göre, (+) (.7) den dolay A 6 arctan p d p ( + ) arctan p p ( + ) d arctan p p p + arctan + c: (g) u p a ; dv d denirse, du p a bulunur. A 7 p a + p a p a d a p a d + a p a + a arcsin a + c (h) u p a ; dv d denirse, du p A 8 p a p a d p a a p a d a d; v oldu gundan, d p a a d; v oldu gundan, d p a p a A 8 a ln j + p a j p a ) A 8 a ln j + p a j +c bulunur. Benzer ṣekilde, 8a 6 0 ic.in p + a d p + a + a ln j + p + a j +c oldu gu gösterilebilir. (i) u cos(b); dv e a d denirse, du b sin(b)d; v a ea oldu guna göre, (.7) den dolay A 9 a ea cos(b) + b a A 0

19 Temel Integral Alma Yöntemleri 9 olur. u sin(b); dv e a d denirse, du b cos(b)d; v a ea oldu guna göre, (.7) den dolay A 0 a ea sin(b) + b a A 9 denklem sisteminden buluruz. 8 < b A 9 A a 0 a ea cos(b) : b A a 9 + A 0 a ea sin(b) A 9 ea (a cos(b) + b sin(b)) a + b + c; A 0 ea (a sin(b) b cos(b)) a + b (k) u ( +a ) n ; dv d denirse, du n ( +a ) n+ d; v oldu guna göre, (.7) den dolay + c K n ( + a ) + n d n ( + a ) n+ ( + a ) + n + a a d n ( + a ) n+ ( + a ) + nk n n na K n+ ve buradan da K n+ na ( + a ) + n n na K n (.8) buluruz. Örnek..(f) den dolay K d + a a arctan a + c

20 0 Belirsiz Integraller dir. (.8) de n ye ; vs. de gerleri verildi ginde K ; K 3 vs. integralleri hesaplanabilir. Örne gin, d K ( + a ) buluruz. (l) a a K 3 4a 4a + a + a K ( + a ) + ( + a ) + 3 a 3 arctan a + c; 4a K ( + a ) + 3 8a 4 a + b + c a( + b a + c a ) a ( + b I n a n ( + b + a + 3 8a arctan 5 a + c d a ) + 4ac b 4a a ) + 4ac n b 4a oldu guna göre, [t + b ve a d 4ac b denirse] R 4a dt elde edilir. (.8) den a 4 (t +d ) n I n+ dt a n+ (t + d ) n+ t a n+ nd (t + d ) + n n nd dt (t + d ) n olur. Burada,t nin ve d nin de gerleri dikkate al narak gerekli iṣlemler yap ld g nda I n+ a + b a(n ) + n(4ac b ) (a + b + c) n n(4ac b ) I n (.9) formülü elde edilir. n ise I dt a t + d a d arctan t d + c a + b p arctan( p ) + c 4ac b 4ac b

21 Temel Integral Alma Yöntemleri olur. (.9) da n ye ; vs. de gerleri verildi ginde I ; I 3 vs. integralleri hesaplanabilir. Örne gin, n ise d I (a + b + c) a + b 4ac b a + b + c + a 4ac b J a + b 4ac b a + b + c + 4a (4ac b ) p a + b arctan( p 4ac b 4a b ) + c olur. (m) A + B A Ab (a + b) + B oldu gundan, a a A + B J n+ d (a + b + c) n+ A a + b d + (B Ab a (a + b + c) n+ a ) d (a + b + c) n+ A d(a + b + c) d + (B Ab a (a + b + c) n+ a )I n+ (.0) elde edilir. n 0 ise (.0) dan A + B J (a + b + c) d A d(a + b + c) a (a + b + c) + (B Ab a )I A a ln j Ba Ab a + b + c j + a p a + b arctan( p 4ac b ) + c 4ac b olur. n N ise (.0) dan J n+ A na(a + b + c) n + (B Ab a )I n+ (.) elde edilir. (.) de n ye ; vs. de gerleri verildi ginde J ; J 3 vs. integralleri hesaplanabilir. Örne gin, n ic.in (.) den A + B J (a + b + c) d A a(a + b + c) + (B Ab a )I

22 Belirsiz Integraller olur. Burada,I nin az önce bulunan de gerini yerine kor ve gerekli iṣlemleri yaparsak, olur. J + + A a(a + b + c) + Ba Ab a + b a (4ac b )(a + b + c) 4a (4ac b ) p a + b arctan( p 4ac b ) + c 4ac b (Ba Ab)(a + b) A a 4ac b a + b + c (Ba Ab) (4ac b ) p a + b arctan( p 4ac b + c 4ac b..3 Rasyonel Kesirlerin Integrallenmesi P n () a 0 n + a n + + a n + a n (a 0 6 0) ve Q m () b 0 m + b m + + b m + b m (b 0 6 0) s ras yla n. ve m. dereceden reel katsay l polinomlar olmak üzere Qm() P n() kesrine, rasyonel kesir (veya rasyonel fonksiyon) denir. m < n oldu gunda rasyonel kesire düzgün, m n oldu gunda ise düzgün olmayan rasyonel kesir ad verilir. m n oldu gunda polinomlar n bölünmesi kural ile düzgün olmayan Qm() rasyonel kesiri, P P n() m n(), m-n.dereceden, R() ise k. dereceden (k < n) bir polinom olmak üzere Q m() P n() P m n () + R k() bic P n().iminde yaz labilir.buna göre, düzgün olmayan key rasyonel kesrin integrali, belirli bir polinomla bir düzgün rasyonel kesirin integrallerinin toplam bic.iminde gösterilmiṣ olur.bu nedenle ileride yaln zca düzgün rasyonel kesirlerin integrallerinden bahsedece giz. Cebirin temel teoreminden yararlanarak aṣa g daki teoremi ispats z verebiliriz. Teorem..5 : ; ; k ; ; ; l ( + + k + ( + + l ) n) negatif olmayan tam say lar, d ; ; d k ; p ; q ; ; p l ; q l (4q s p s > 0; s ; ; l) reel say lar olmak üzere P n () ( d ) ( d k ) k ( + p + q ) ( + p l + q l ) l (.)

23 Temel Integral Alma Yöntemleri 3 olsun. Bu durumda Qm() P n() düzgün rasyonel kesiri (m < n) Q m () P n () + D() d ( d ) + + D () ( d ) + D() D + D(k) d k ( d k ) + + ( d k ) k + D(k) + A() + B () + + p + q (k) k A() + B () ( + p + q ) + + A () + B () ( + p + q ) + + A(l) + B (l) + A(l) + B (l) + p l + q l ( + p l + q l ) + A (l) l + B (l) l ( + p l + q l ) l (.3) bic.iminde, basit rasyonel kesirler ad verilen kesirlerin toplam ṣeklinde gösterilebilir. Burada, D ; D ; ; D k k ; A ; B ; ; A l l ; B l l Not: (.3) eṣitli gine, Q m() P n() reel say lard r. düzgün rasyonel kesirin basit kesirlere ayr l ṣ denir. Teorem..5 e göre paydas (.) eṣitli gi ile belirlenen Qm() P n() düzgün rasyonel kesrin integrallenmesi D; A ve B sabit say lar olmak üzere D ( d) ( 6 d; N); A + B ( + p + q) (4q p > 0; N) bic.imindeki basit kesirlerin integrallenmesine indirgenmiṣ olur. Bu integrallerin nas l hesapland g n..(l) ve..4(l) den biliyoruz. Q m() P n() ṣeklindeki rasyonel kesirin basit kesirlere ayr l ṣ nda (yani (.3) deki D; A ve B say lar n n bulunmas ic.in) aṣa g daki yöntemler kullan l r. (a) Belirsiz Katsay lar Yöntemi: Bu yönteme göre (.3) eṣitli ginin sa g taraf toplan p paylar eṣitlenir ve in ayn kuvvetlerinin katsay lar eṣitlenerek söz konusu sabitler (reel say lar) ic.in bir lineer denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi c.özülerek istenen sabitler bulunur. Örnek..6 : (+)( )( +) kesrini basit kesirlere ay r n z.

24 4 Belirsiz Integraller C. özüm: (+)( )( +) D (+) + D ( ) + A+B ( +) ) D ( )( + ) + D ( + )( + ) + (A + B)( + )( ) elde ederiz.her ikitarafta in ayn kuvvetlerinin katsay lar n birbirine eṣitle yip 0 : D + D B 0 : D + D A + B : D + D + A + B 0 3 : D + D + A 0 denklem sistemi buluruz. Sistemi c.özüp, D 6 ; D 4 5 ; A 3 0 ; B 0 bulur ve verilen kesir ic.in ( + )( )( + ) 6( + ) + 4 5( ) ( + ) ayr l ṣ n elde ederiz. Buna göre, olur. ( + )( )( + ) d 6 Not: d d d ln j j + ln j j ln ( + ) + arctan + c; ( 6 ; 6 ) Örnek..6 dan da görüldü gü gibi genelde rasyonel kesrin basit kesirlere ayr l ṣ (yani, (.3) deki D; A ve B say lar n n bulunmas ) uzun ve yorucudur. Baz durumlarda bu say lar n bulunmas ic.in baṣka yöntemler de kullan l r. (b) d R say s P n () polinomunun katl kökü ve '(d) 6 0 olmak üzere Qm() P n() Qm() olsun. Bu durumda ( ( d) '() d) c.arpana (.3)

25 Temel Integral Alma Yöntemleri 5 ayr l ṣ nda D d + D ( d) + + D ( d) ṣeklinde bir toplam tekabül eder. Q m () P n () Q m () ( a) '() D ( a) + Q m() D '() ( a) '() özdeṣli ginde D say s n öyle sec.elim ki, a say s Q m () D '() in kökü olsun. Bunun ic.in D Qm(a) olmas yeterlidir. '(a) P n () polinomunun tüm kökleri reel ve basit oldu gu durumda (.3) tdeki D say lar n n tümü aṣa g daki gibi kolayca bulunabilir. d ; ; d n reel say lar P n () polinomunun farkl ve basit kökleri oldu gunda (kolayl k ic.in a 0 kabul edilir) Q m () P n () eṣitli ginin her iki taraf n Q m () ( d ) ( d n ) D + + D i + D i + D i+ + + D n d d i d i d i+ D i buluruz. Örne gin, d i ye c.arp p elde edilen eṣitlikte d i yazarsak Q m (d i ) (d i d ) (d i d i )(d i d i+ ) (d i d n ) Q () P 4 () + ( )( + )( + ) D + D + D D 4 eṣitli ginden (d 0; d ; d 3 D D ; d 4 ic.in) Q (d ) (d d )(d d 3 )(d d 4 ) ; Q (d ) (d d )(d d 3 )(d d 4 ) 3 ; d n D 3 D 4 Q (d 3 ) (d 3 d )(d 3 d )(d 3 d 4 ) 6 ; Q (d 4 ) (d 4 d )(d 4 d )(d 4 d 3 ) 3

26 6 Belirsiz Integraller buluruz. Sonuc.ta, ( + )( + )( + ) 3 ( ) 6( + ) + 3( ) olur. Yukar da söylenenlere göre rasyonel kesrin integralini hesaplamak ic.in ṣu yolu takip etmemiz gerekir. () Verilen rasyonel kesir, düzgün de gilse, o bir polinom ile bir düzgün rasyonel kesrin toplam ṣeklinde yaz l r. () Elde edilen düzgün rasyonel kesirde payda basit c.arpanlara ayr l r. (3) Düzgün rasyonel kesir basit kesirlere ayr l r. (4) Ayr l ṣ yap ld g nda elde edilen polinom ve basit kesirler integrallenir. Bilindi gi gibi, polinom ve basit kesirlerin belirsiz integralleri elemanter (rasyonel, logaritmik ve ters trigonometrik )fonksiyonlarla ifade edilebilir. Buna göre, rasyonel kesirlerin integrallenmesi üzerine aṣa g daki teoremi verebiliriz. Teorem..7 : Her rasyonel kesrin paydas s f rdan farkl olan her aral kta elemanter (rasyonel, logaritmik ve ters trigonometrik) fonksiyonlarla ifade edilebilen belirsiz integrali vard r. Ileride esas hede miz irrasyonel, trigonometrik vs. ifadelerin integralinin hesaplanmas problemini rasyonel kesirlerin integrallenmesine dönüṣtürmek olacakt r...4 Baz Irrasyonel Cebirsel Ifadelerin Integrallenmesi a 00 ; a 0 ; a 0 ; ; a 0n herhangi sabit reel say lar olmak üzere P n (; y) a 00 +a 0 +a 0 y+a 0 +a y+a 0 y + +a 0n y n ṣeklindeki fonksiyona ve y

27 Temel Integral Alma Yöntemleri 7 nin kuvvetlerine göre. dereceden polinom ad verilir. P n (; y) ve Q m (; y), ve y ye göre s ras yla n. ve m. derecen iki polinom ise, R(; y) Qm(;y) P n(;y) kesrine ve y ye göre iki de giṣkenli rasyonel fonksiyon (veya rasyonel kesir), R(f(); g()) ifadesine de f ve g nin rasyonel fonksiyonu denir. Örne gin, R(sin ; cos ) sin3 + cos ; sin ve cos in, R(p ; 3p ) p + 3p cos sin + + 3p ; p ve 3p in rasyonel fonksiyonudur. () R R(; y()) d ṣeklinde integraller. Burada,R(; y); ve y y() in bir rasyonel fonksiyonudur. E ger, bu integralde (t) de giṣken de giṣirmesi yap ld g nda ve (t) ve y y((t)), t nin bir rasyonel fonksiyonu oluyorsa, R((t); y((t))) 0 (t) de t nin bir rasyonel fonksiyonu ve R(; y) d R((t); y((t))) 0 t dt olur.bu durumda verilen integral t nin bir rasyonel fonksiyonunun integraline dönüṣtürülür. Aṣa g daki özel durumlar inceliyelim. (a) a; b; c; d reel say lar (ad bc 6 0); n N ve y() n q a+b c+d ol- q sun. Bu durumda, t n a+b c+d yapal m. Buradan, yani a+b c+d tn de giṣken de giṣimi y t; dtn b a ct ; d n 0 (t) dt ndtn (a ct n ) + nct n (dt n b) dt (a ct n ) oldu gundan, R (t) R( dtn b; t) 0 (t) olmak üzere a ct n r a + b R(; n c + d )d R (t) yani, t nin bir R (t) rasyonel fonksiyonun integrali elde edilir. (b) a; b; c reel say lar (a 6 0; b 4ac 6 0) ve y() p a + b + c olsun. Bu durumda, Euler dönüṣümleri denilen aṣa g daki de giṣken

28 8 Belirsiz Integraller de giṣtirmeleri yard m ile I R(; p a + b + c)d integrali rasyonel fonksiyonlar n integraline dönüṣtürülür. () a > 0 ise p a + b + c t + p a (veya t p p a + b + c a) de giṣken de giṣtirimi yap l r. Buradan, t c b+ p ' at (t); d ' 0 (t)dt (' 0 (t) (p ac+bt+ p at ) (b+ p dir), p p a at) + b + c t a t p a' (t) oldu guna göre, I R R (t)dt oldu gu elde edilir.burada, R (t) R(' (t); t p a' (t))' 0 (t), t nin bir rasyonel fonksiyonudur. () c > 0 ise p a + b + c t + p c (veya p p a + b + c t c) de giṣken de giṣtirimi yap l r. Buradan, p ct b ' a t (t), d ' 0 (t)dt, (' 0 (t) (ap c bt+ p ct ) d r), p a (a t ) + b + c t' (t) + p c oldu guna göre, I R R 3 (t)dt oldu gu elde edilir. Burada, R 3 R(' (t); t' (t) + p c)' 0 (t), t nin bir rasyonel fonksiyonudur. (3) b 4ac > 0 ise, a +b+c 0 denkleminin herhangi bir kökü olmak üzere p a + b + c t( ) de giṣken de giṣimi yap l r. Buradan, a( )( ) t ( ) a t ' a t 3 (t); d ' 0 3(t)dt (' 0 3(t) a( )t dir) p a (a t ) + b + c t(' 3 (t) ) a( ) a t ' 4 (t) oldu guna göre, I R R 4 (t)dt elde ederiz. Burada, R 4 (t) R(' 3 (t); ' 4 (t))' 0 3(t), t nin bir rasyonel fonksiyonudur. Not: Baz durumlarda I R R(; p a + b + c)d ṣeklindeki integraller, Euler dönüṣümleri kullan lmadan, daha basit yöntemlerle hesaplanabilir.bunlardan baz lar n görelim. (i) a 6 0; b 4ac 6 0 olmak üzere a + b + c a( + b p 4jaj j4ac a ) + 4ac b 4a oldu guna göre, göre t ( + b ) de giṣken de giṣtirimi yard m yla b j a I integrali, R 5 (u; v); R 6 (u; v); R 7 (u; v) u ve v nin birer rasyonel fonksiyonu olmak üzere R 5 (t; p t )dt; R 6 (t; p t )dt; R 7 (t; p + t )dt

29 Temel Integral Alma Yöntemleri 9 integrallerinden birine dönüṣtürülebilir. Bu integrallerden birincisi t sin u; ikincisi t, üc sinu.üncüsü de t tan u dönüṣümleri ile ileride inceliyece gimiz. R R(sin u; cos u)du bic.imindeki integrallere dönüṣtürülür. R P (ii) p n() ṣeklindeki integraller. Burada, P a +b+c n(); n: dereceden belli bir polinomdur. Q n (); n : dereceden bilinmeyen katsay l bir polinom ve bilinmeyen bir reel say olmak üzere do grulu gu kolayl kla gösterilebilen P n () p a + b + c d Q n (): p a + b + c + d + p (.4) a + b + c eṣitli ginde her iki taraf n türevi al n r, sa g taraf ortak paydaya getirilir, ayn paydal eṣit kesirlerin paylar eṣitlenir, daha sonra da, ayn dereceli terimlerin katsay lar eṣitlenirse Q n () in katsay lar ile say s bulunur.(.4) eṣitli ginin sa g taraf ndaki integral (i) de gördü gümüz yöntemlerle hesaplan r. R d (iii) ( p) np (n N) bic a +b+c.imindeki integraller t de giṣken p de giṣtirimi yard m yla (ii) deki integrale dönüṣtürülür...5 Binom Diferensiyellerinin Integrallenmesi a; b R ve p; q; r Q olmak üzere r (a + b p ) q d ṣeklindeki ifadeye Binom Diferasiyeli, r (a + b p ) q d (.5) bic.imindeki integrallere de Binom Integralleri ad verilir. () q tam say d r, () r+ p tam say d r, (3) r+ p Not: + q tam say d r durumlar nda (.5) tipindeki integraller rasyonel fonksiyonlar n integraline dönüṣtürülür. Birinci durumda k; r ile p nin paydalar n n en

30 30 Belirsiz Integraller küc.ük ortak kat olmak üzere t k ; ikinci durumda n; q nun paydas olmak üzere a + b p t n ; üc.üncü durumda b + a p t n ( n; q nun paydas d r)de giṣken de giṣtirimi yap l r. Örnek..8 : I R d 4p + 4 integralini hesaplay n z. C. özüm: a b ; r 0; p 4; q r+ ve + q 0 4 p 4 4 oldu gundan + 4 t 4 de giṣken de giṣtirimi yap l rsa, t ( + 4 ) 4 ; (t 4 ) 4 ; 4p t + (t 4 ) 4 ; d t 3 (t 4 ) 5 4 dt olur. Bu de gerler 4 integralde yerine yaz l rsa, bulunur. I t dt t 4 ( dt t + 4 ln j + t t j arctan t + c 4p + 4 ln 4 + 4p + 4 dt t + ) 4p + arctan 4 + c Not: P.Chebyskhev göstermiṣtir ki, yaln z ve yaln z q; r+; r+ + q tam p p say lar oldu gu durumlarda (.5) tipindeki integraller rasyonel fonksiyonlar n integrallerine dönüṣtürebilir, yani yaln zca bu durumlarda (.5) tipindeki integraller elementer fonksiyonlarla ifade edilebilir..3 Trigonometrik ifadelerin Integrallenmesi () I R R(sin ; cos )d ṣeklindeki integrallerin hesab. Burada,R(u; v); u ve v nin bir rasyonel fonksiyonudur. Bu integralin hesab ic.in genelde t tan ( 6 (k+); k ) de giṣken de giṣtirmesi yap l r. cos tan + tan t + t ; tan sin + tan t + t ; arctan t; d dt + t

31 Temel Integral Alma Yöntemleri 3 oldu gundan, verilen I integrali t I R( + t ; t + t ) t + t dt ṣeklinde yeni t de giṣkeninin bir rasyonel fonksiyonunun integraline dönüṣtürülür. Baz özel durumlarda baṣka de giṣken de giṣtirmelerin yap lmas daha elveriṣli olur. (a) R( sin ; cos ) R(sin ; cos ) ise t cos ; (b) R(sin ; cos ) R(sin ; cos ) ise t sin ; (c) R( sin ; cos ) R(sin ; cos ) ise t tan ( 6 + k; k ) de giṣken de giṣtirmesi kolayl k sa glar. Not: Her R(u; v) rasyonel ifadesi s ras yla yukar daki (a), (b), (c) özelliklerine sahip R (u; v) R(u; v) R( u; v) ; R (u; v) R 3 (u; v) R( u; v) R( u; v) ; R( u; v) + R(u; v) ; rasyonel ifadelerin toplam ṣeklinde gösterilebilir. () R R(sin ; cos )d veya r(u), u nun bir rasyonel fonksiyonu olmak üzere R r(tan )d ṣeklindeki integrallerin hesab nda t tan de giṣtir mesi kullan l r. (3) R R(sin ; cos ) sin d veya R R(sin ; cos ) cos d ṣeklindeki integ rallerin hesab nda s ras yla t cos veya t sin de giṣken de giṣtirme si kullan l r. (4) R R(tan ; sec )d ( 6 + k; k ) ṣeklindeki integrallerin hesab n

32 3 Belirsiz Integraller da R(tan ; sec ) R(tan ; sec ) ise t tan ; R( tan ; sec ) R(tan ; sec ) ise t sec ; R( tan ; sec ) R(tan ; sec ) ise t tan ; veya t sec de giṣken de giṣtirilmesi kullan l r. (5) R R(cot ; csc )d q ( 6 k; k ) ṣeklindeki integraller cot ; csc + ba g nt lar yard m yla R R(tan ; sec )d tan tan ṣeklindeki integrallere dönüṣtürülür ve 4. deki izlenen yol takip edilir. Örnek.3. : Aṣa g daki intralleri hesaplay n z. (a) I R d ; (b) I sin cos +5 R sin d ; cos (sin +cos ) (c) I 3 R sin d; (d) I 4 cos + cos 7 4 R cos (e) I 5 R cos 3 d : sin 7 cos 4 +sin 4 + sin + d; C. özüm: (a) t tan ; (k ) (k + ); k de giṣken de giṣtirmesi yap ld g nda sin t, cos t ve d dt +t +t +t oldu gundan, dt I () 3t + t + p arctan 3t p + + C k 5 5 p arctan 3 tan p + + C k ; (k + ) 5 5 (k + ); k buluruz. Ilkel fonksiyonun süreklili ginden I (k + ) I (k + ), yani p + C 5 k p + C 5 k+ ya da C k p 5 + C k+ veya C k+ p 5 + C k elde edilir. Buradan, C p 5 + C 0, C C 0 ve herhangi k N ic.in C k K (K ) p 5 + C 0, C k p 5 + C 0 bulunur. Burada, C 0 key sabit bir reel say d r. Öte yandan k < + < (k + ); k

33 Temel Integral Alma Yöntemleri 33! k < + + < k +! [[ ]] oldu gundan, 8 < I : p 5 arctan 3 tan( p )+ 5 + p 5 [[ + lim!(k+) I () k+ p 5 ]] + C; 6 (k + ) ise; ; (k + ) ise: (b) R( sin ; cos ) sin R(sin ; cos ) oldu gundan, t tan ( 6 de giṣtirmesi yap ld g nda ( cos ) ( sin ; cos ) + k; k; k ) de giṣken I () tan d(tan ) + tan ln j + tan j + tan + C bulunur. (c) R( sin ; cos ) ( sin )(cos ) 4 cos + cos 7 R(sin ; cos ) oldu gundan, t cos ( 6 + k; k ) de giṣken de giṣtirmesi yap ld g nda I 3 () tdt 4(t + 3t + 9) 6 tdt (t ) 4 d(t + 3 ) (t + 3 ) d(t + 3) 4 (t + 3 ) 4 4 ln j (t + 3 ) 4 j ln j t t + 7 j +c 4 ln j (cos + 3 ) 4 j ln j cos cos + 7 j +c ( 6 + k; k ) bulunur. cos (d) R( sin ; cos ) cos 4 +sin 4 + sin + R(sin ; cos ) oldu-

34 34 Belirsiz Integraller gundan, t sin de giṣken de giṣtirmesi yap ld g nda d sin I 4 () + sin 4 + ( sin ) + sin dt t p t + p t + t p + dt p 4 p t t t p + dt p 8 p ln sin + sin + p + sin sin + 4 p [arctan(p + ) + arctan( p ] + c bulunur. (e) bulunur. I 5 () R cos d sin [t sin denirse] sin 7 ( t )dt t 7 4 sin 4 (t 7 t 5 )dt 6 t t 4 + c 6 sin 6 + c; 6 k (6) J R R(sinh ; cosh )d ṣeklindeki integrallerin hesab nda t tanh de giṣken de giṣtirmesi yap l r. sinh tanh t ; cosh t +tanh tanh integrali tanh +t t ; arctan ht; d dt t oldu gundan verilen J R(sinh ; cosh ) t R t ; + t dt t t ṣeklinde yeni t de giṣkeninin bir rasyonel fonksiyonunun integraline dönü ṣür. I integralinde oldu gu gibi baz özel durumlarda J integralinin hesab nda aṣa g daki baṣka de giṣken de giṣtirmelerin yap lmas daha elveriṣli olur. (a) R( sinh ; cosh ) R(sinh ; cosh ) ise t cosh ;

35 Temel Integral Alma Yöntemleri 35 (b) R(sinh ; cosh ) R(sinh ; cosh ) ise t sinh ; (c) R( sinh ; cosh ) R(sinh ; cosh ) ise t tanh ; de giṣken de giṣtirmesi kolayl k sa glar. Örnek.3. : Aṣa g daki integralleri hesaplat n z. (a) J R cosh d; 6 0; (b) J sinh 3 R cosh 3 d; (c) J 3 R d ; 6 0; (d) J sinh 4 cosh 4 R tanh 4 d: C. özüm: (a) u cosh ; dv cosh d(sinh ) d denirse sinh 3 sinh 3 du sinh ; v R d(sinh ) oldu guna göre, (.7) den dolay sin h 3 sinh olur. Öte yandan, oldu gundan, J d sinh cosh sinh + d d sinh d(tanh ) tanh sinh cosh dt t ln j t j +c ln j tanh t tan j +c; 6 0 J cosh sinh + ln j tanh j +c; 6 0 bulunur. (b) R(sinh ; cosh ) ( cosh ) 3 R(sinh ; cosh ) oldu gundan, t sinh de giṣken de giṣtirmesi yap lmal d r. Bu durumda, cosh + sinh + t ; cosh d d(sinh ) dt oldu gundan, J cosh cosh d (+t )dt t+ t3 3 +c sinh + 3 sinh3 +c

36 36 Belirsiz Integraller bulunur. (c) R( sinh ; cosh ) ( sinh ) 4 ( cosh ) R(sinh ; cosh ) oldu gundan, t tanh de giṣken de giṣtirmesi yap lmal d r. Bu durumda, ic.in d cos h sinh oldu gundan, bulunur. d(tan h) dt; sinh cosh sinh tanh tanh t t ) sinh 4 ( t ) t 4 t + t 4 J 3 (t 4 t + )dt 3t + 3 t + t + c tanh + coth 3 coth3 + c; 6 0 (d) R( sinh ; cosh ) ( sinh cosh )4 R(sinh ; cosh ) oldu gundan, t tanh de giṣken de giṣtirmesi yap lmal d r. Bu durumda, dt d ( cosh tanh )d ( t )d oldu gundan, bulunur. J 4 tanh 4 d t 4 dt t t 3 t 3 ln j t + t j +c tanh 3 tanh3 + + c ( t + t )dt