Transkript

1 hkm Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi 2005/92 Çok Yüzlüler Üzerine Ýzdüþüm Uygulamalarý: Fuller Projeksiyonu Cengizhan ÝPBÜKER 1 Özet Son beþ yüzyýlda çeþitli uluslardan ve farklý uðraþý alanlarýndan birçok mucit tarafýndan, geniþ bir yelpazede kesikli kartografik projeksiyonlarýn deðiþik uygulama biçimleri önerilmiþ veya tasarlanmýþtýr. Bu tasarýmlarýn bazýlarý eleþtiriye uðramýþ, bazýlarý türünün ilk ve son örneði olarak koleksiyonlarý süslerken çok az bir kýsmý ise bir harita projeksiyonu olarak kullaným alaný bulmuþtur. Fakat her bir tasarýmdan kazanýlacak bir tecrübe ve çýkarýlacak bir ders mutlaka olmuþtur. Bu çalýþmada, Buckminster Fuller ve onun Dünya haritasý tasarýmýnýn meslektaþlarýmýza tanýtýlmasý ve bu sayede yerkürenin kesikli gösterimi ve çokyüzlüler üzerine projeksiyonlar konusunda bazý dersler çýkarýlmasý amaçlanmýþtýr. Anahtar Sözcükler Fuller Projeksiyonu, Yirmi Yüzlü (ikosahedron), Dymaxion Harita Abstract Projection on Polyhedral Surfaces: Fuller Projection A wide variety of interrupted arrangements of cartographic projections have been proposed or devised by many inventors from various disciplines and nations over the past five centuries.. Some of these arrangements are of often controversial nature and therefore critized, some of them became obselete and can only be used for collection purposes due to being the first and last example of their generation, and the few have made their way into the map projection use. Nevertheless, there is always a lesson to learn and an experience to gain from those presentations. In this study, it is aimed to introduce Buckminster Fuller and his World map to our colleagues and to derive some practical sense of interrupted representation and projections of the earth onto polyhedral surfaces. Keywords Fuller Projection, Ikosahedron, Dymaxion Map 1. Giriþ Dünya haritalarý, hangi amaç veya konu için üretilmiþ olurlarsa olsunlar, genel olarak yerkürenin eðri yüzeyinin düz bir harita paftasýna resmedilmesinin zorluklarýný taþýrlar. Dolayýsý ile yerküre üzerinde yer alan nesnelerin kendine has özelliklerinin hepsini bir harita üzerinde gösterebilmek ve birbirleri arasýndaki iliþkilerin tümünü harita üzerinde de kurabilmek ve koruyabilmek olanaksýzdýr. Böylesi bir beklenti içerisinde olmak ise hayalperestlikle eþanlamlýdýr. Gerçek anlamda olmayan kartografik projeksiyonlarýn tasarýmlarýnýn bazen bu türden ütopik öðeler taþýdýklarýný iddia etmek sanýrýz çok da yanlýþ olmaz. En iyiyi arayýþlar içerisinde tasarýmcýlar, tüm iliþkileri koruyamayacaklarý gerçeðini görmüþler ve kendilerince çareyi, izdüþüm özelliklerini dengeli bir þekilde koruyan ürünler ortaya koymakta bulmuþlardýr. Farklý tasarýmcýlar tarafýndan geliþtirilen Dünya haritasý örnekleri incelendiðinde, herbirinde çoðunlukla benzer bozulmalar göze çarpmaktadýr. Örneðin, silindirik izdüþümlerde, Grönland adasý gerçekte daha küçük olmasýna raðmen, Avustralya ve Kuzey Amerika'dan büyük gözükmektedir. En büyük kara parçasý olan Asya, Greenwich Meridyeni ortalandýðýnda harita alanýna sýðmamakta ve bölünerek gösterilmektedir. Antartika, hemen hemen bütün projeksiyonlarda o kadar fazla bozulur ki, en dipte yýrtýk ve pürüzlü bir saçak þeklinde durur. Ekvatoral (transversal) konumlu düzlem (azimutal) veya konik izdüþümlerin, kutuplarý nokta olarak gösteren uygulamalarý, harita okuyucusunda yerin þeklinin küre olduðu izlenimi verdiði gerekçesi ile tercih edilmiþlerdir. Fakat bu durumda da haritanýn üst ve alt kenarlarýnda þekiller okunaksýzlaþýr. Ayrýca geometrik bir þekil olarak kürenin, piramide benzer tanýmlý bir tepesi veya tabaný yoktur. Meridyenlerin kutup noktalarýnda kesiþiyor olmasý, bu noktalara yerkürenin tabaný veya tepesi olma sýfatý kazandýrmaz. Bir bütünlük içerisinde görülmek istendiðinde, kutup bölgelerinin normal konumlu düzlem projeksiyon uygulamalarý ile ayrý haritalar olarak gösterilmesi onlara tanýnan bir ayrýcalýk deðildir. Zira Dünya üzerinde istenilen her bölgenin bu þekilde haritalarýnýn yapýlma olanaðý vardýr (FISHER ve MILLER 1944), (HAKE ve GRÜNREICH 1994). 1 Doç.Dr., ÝTÜ Ýnþaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Müh.Böl. Kartografya Anabilim Dalý, Maslak, Ýstanbul, Tel: , e-posta: buker@itu.edu.tr -38-

2 hkm 2005/92 Ýpbüker C., Çok Yüzlüler Üzerine Ýzdüþüm Uygulamalarý: Fuller Projeksiyonu Düzlem projeksiyonlar, izdüþüm merkezine olan uzaklýklar ile tanýmlanýr ve çoðunlukla yerkürenin ancak yarýsýný veya yarýsýndan biraz daha büyük bir parçasýný gösterme olanaðý sunarlar. Ülkemizde de haritacýlýk uygulayýcýlarý arasýnda yakýndan tanýnan açý koruyan silindirik bir projeksiyon olan Merkator projeksiyonu, þekilleri korur, fakat gösterimi yapýlan nesnelerin oransal boyutlarýný bozar. Alan koruyan Peters projeksiyonu ise bunun tam tersini yapar ve Dünyayý bir karikatür þeklinde sunar. Gall projeksiyonu, sanki bu ikisinin bir uzlaþmasýdýr. Hammer projeksiyonu, alanlarý göreceli olarak korur fakat kenarlardaki þekil bozulmalarý (distorsiyon) Gall projeksiyonuna nazaran daha fazladýr ve enlem daireleri birbirlerine koþut deðildir (SNYDER ve VOXLAND 1989). Okuyucularýn bu anlamda görsel bir karþýlaþtýrma yapabilmeleri amacýyla Þekil.1'de Peters, Gall, Merkator ve Hammer projeksiyonlarý toplu halde gösterilmektedir (SNYDER ve VOXLAND 1989). Bu ve buna benzer görsel belgelere adresinden ulaþýlabilir. Þekil 1: (a) Peters Projeksiyonu (c) Merkator Projeksiyonu (b) Gall Projeksiyonu (d) Hammer Projeksiyonu Bu dilimler haritanýn "eþleði (ekvatoru)" olarak seçilen bir eksen üzerinde yan yana getirilerek harita bütünleþtirilir. Bilinen örneklerden elde edilen bu kesikli izdüþümlerde harita, en az önemdeki yerlerinden kesilir ya da baþka bir deyiþle kesintiye uðratýlýr. Kesikli gösterim için temel izdüþüm yöntemi hangi nitelikte ise elde edilen kesikli izdüþüm de ayný nitelikte olur (BÝLGÝ ve ÝPBÜKER 2003), (DAHLBERG 1962). Normalde tüm düzlem haritalar kesiklidir, çünkü bir haritada gösterimin bittiði bir dýþ sýnýr mutlaka vardýr. Oysaki gösterimi yapýlan yüzey yerküre üzerinde kesintisiz devam ediyor olabilir. Eðer yerkürenin ayrýk ve küçük kýsýmlarýnýn o bölgeye en iyi uyan bir izdüþümde baðýmsýz haritalarý hazýrlanmýþ ise, bu parçalar tek bir harita paftasýnda bir araya getirilebilir, fakat bu durumda bir süreksizlik ortaya çýkar (DAHLBERG 1997). Burada söz konusu olan baðýmsýz harita parçalarýnýn birbirleri ile en iyi uyumu saðlayacak þekilde tasarýmý, izdüþümde kullanýlacak aracý yüzeyin geometrik þekline baðlýdýr. Yerkürenin çokyüzlüler (polyhedra) üzerine izdüþümü yýllardan beri bilinmekte ve sýkça olmasada uygulanmaktadýr (FISHER 1941), (FISHER 1943), (KASSER 1967), (CLARK 1977). Fuller'in yöntemi çokyüzlüyü önce küre üzerine iz düþürüp daha sonra oluþan bu "küresel çokyüzlüyü" birer büyük daire yayý parçasý olan kenarlarý boyunca düzleme açma ilkesine dayanýr. Çokyüzlünün kenarlarý boyunca ölçek korunur. Fuller ilk önce bir "onaltý yüzlü" (cuboctahedron) kullanmýþtýr. Daha sonra "yirmi yüzlüyü" (icosahedron) seçmiþtir. Küresel yirmi yüzlünün yönlendirilmesinde Fuller öyle bir seçim yapmýþtýr ki; harita resim alanýnýn kenarlarý yalnýzca okyanuslarda yer almaktadýr. Yani pafta aðýnýn sýnýrlarý (map's sinuses) kara alanlarýný hiçbir noktada kesmemektedir ve dolayýsýyla yerküre üzerindeki "ana adalar" kesintisiz olarak gösterilmektedir. Fuller'in bu gayreti, tüm insanlýða "Dünya'nýn bir bütün olduðunu" ispatlamaya yönelik olarak, yerküreyi bir bütün halinde göstermek için etkili yollar bulmanýn ne kadar önemli olduðunu vurgulamak olmuþtur (FULLER 1973). Aþaðýdaki bölümlerde, Buckminster Fuller ve onun Dünya haritasý hakkýnda bilgiler verilmektedir. Harita projeksiyonlarýnda ortaya çýkan bozulmalar, seçilen izdüþüm modelinin doðasý gereðidir ve haritacýlarýn (kartograflarýn) "kusuru" deðildir. Haritacýlarýn çabasý her zaman, haritanýn geometrik iskeletinin ilk tasarýmý esnasýnda en az bozulmaya yol açacak modeli yaratmak veya seçmek, sonra parçalarý, yerlerine yerleþtirirken, kusurlarý göze en az batacak þekilde yeniden elden geçirmek veya kusurlarý arka plana itmek ve seçilen modelin zorunlu kýldýðý hatalarýn dýþýnda baþka hata yapmamak olmuþtur (TOBLER 1971). Kesikli izdüþümler kullanýlarak yapýlmýþ çok sayýda Dünya haritasý örneðine rastlamak olanaklýdýr. Bu izdüþümlerde prensip olarak tek bir orta meridyen yerine, vurgulanmak istenen bölgelerin ortasýndan geçen bir meridyen baþlangýç seçilerek, kulak memesini andýran çok sayýda izdüþüm dilimi oluþturulur. 2. Buckminster Fuller Richard Buckminster (Bucky) Fuller, Amerikalý bir mucit, mimar, mühendis, düþünür, matematikçi, þair ve evrenbilimcisidir. Temmuz 1895'de Milton, Massachusetts'de doðmuþ ve Temmuz 1983'de ölmüþtür. Harvard, Milton Akademisi ve Amerikan Deniz Akademisi mezunudur. Yaþamý boyunca 57 kez Dünya turu yapmýþ, 28 kitap yazmýþ, bilim, sanat, mühendislik ve insanlýk konularýnda 47 kez onursal doktora ile, 25 kez Amerikan buluþ belgesi ile ve Amerikan Mimarlýk Enstitüsü ve Ýngiliz Kraliyet Mimarlýk Enstitüsü tarafýndan altýn madalya ile ödüllendirilmiþtir (GRAY 1994). "Bu ülkede ve dýþarýda, eðer politikacýlar isteseydi, dünya -39-

3 Ýpbüker C., Çok Yüzlüler Üzerine Ýzdüþüm Uygulamalarý: Fuller Projeksiyonu hkm 2005/92 çapýnda yaygýn açlýk ve kötü beslenmenin çirkin görüntüsünü bir nesilde ortadan kaldýrmak mümkün olabilirdi" söyleminin sahibidir yýlýnda açlýk ve yoksulluðun Dünyanýn hangi bölgelerinde egemen olacaðý konusundaki tahminleri, 1959'da Amerikan Newsweek dergisinde yayýnlanmýþtýr. Ancak bundan yirmi yýl sonra, yani 1977'de Amerikan Ulusal Bilimler Akademisi Fuller'in bu öngörüsünü onaylamýþtýr. Kartografik bir ürün olarak ilk kez ödüle layýk görülen ve buluþ belgesi alýnan Fuller'in "Dymaxion Map" isimli Dünya haritasý, kýtalarý gözle fark edilecek bir þekil bozulmasýna uðratmadan düzleme aktarmasý ile ünlüdür. Yeryüzü, Fuller'in deyiþiyle "tek bir ada" ve "tek bir okyanus" olarak resmedilmektedir. Fuller'in yarattýðý ve "Dünya Oyunu" (World Game) ismini verdiði oyunda büyük ölçekli olarak yer alan bu haritada, yeryüzü ve yeraltý kaynaklarý gösterilmekte ve oyunculara bu kaynaklarla insanlýðýn ihtiyaçlarýný karþýlayacak küresel problemlere genel güdümlü çözümler sunma olanaðý vermektedir. Bu oyunda ayrýca, Fuller'in insanlýðýn ihtiyaçlarý, eðilimleri ve yeryüzü kaynaklarý konusundaki bilgi bankasý oyunculara yardýmcý olmaktadýr. 3. Fuller Projeksiyonu Fuller, dymaxion harita ile haritacýlýk alanýna da özgün bir katkýda bulunmuþtur. Bu onun ayný zamanda, "dünya bir uzay gemisidir" düþüncesinin bir ürünüdür. Fuller Projeksiyonunda yerküre, yirmi üçgenden oluþan bir yüzey ile kaplanarak, seçilen üçgenlerin kenarlarýndan kesilerek açýlmasý ile sunulmaktadýr. Fuller projeksiyonu kesikli projeksiyonlar sýnýfýnda incelenebilir. Kýtalarý dev adalar þeklinde gösterme gibi farklý coðrafi iliþkileri vurgulayan bölgesel düzenlemeleri kapsar. Þekil ve boyutta çok az bozulma vardýr ve jeodezik bir kareler aðýný temel alýr. Ayný þekilde evrensel bir bakýþ açýsý da saðlamaktadýr. Dünyanýn merkezi ve kutuplar, yine her zaman olduðu gibi birbirlerinin üzerinde ve birbirlerine diktirler. Fuller'in projeksiyonu uluslar arasý alanda, Birleþmiþ Milletler tarafýndan hiç bir zaman tercih edilmemiþ; bunun yerine Merkator projeksiyonuna karþýt bir seçenek olan Peters projeksiyonu gözde gösterilmiþtir. Merkator projeksiyonunda, sanayileþmiþ ülkelerin, toplam coðrafi alanda gerçekte kapladýklarýndan daha fazla bir oranda gözükecekleri þekilde, ana karalarýn þekilleri yapay olarak deðiþtirilmektedir. 4. Dymaxion Harita Fuller hakkýnda yazýlmýþ kitaplarýn hemen hepsinde ve Bucky Fuller'in kendi kitaplarýnda, onun Dünya Haritasý hakkýnda tanýmlamalar ve örnekler bulmak mümkündür. Fuller, yirmi yüzlü üzerine izdüþüm temeline dayanan dünya haritasýna "Dymaxion Harita " adýný vermiþtir (Þekil 2). Bu haritanýn tasarýmý ilk olarak 1927'de "dünya tek bir þehir" (The One- Town World) adý altýnda taslak bir çizim olarak baþlamýþtýr (FULLER 1943). Haritanýn renkli bir baskýsý, uydu görüntüleri kullanýlarak üretilmiþtir (Þekil 3) ve Buckminster Fuller Enstitüsü WEB sayfasý ( de yayýnlanmaktadýr. Þekil 3'de görülen, Dymaxion Harita tasarýmýnda kullanýlmýþ, parça parça yanyana yapýþtýrýlarak oluþturulmuþ bulutsuz Dünya görüntüsü, 820 km yükseklikteki yörüngeden algýlanmýþ yüzlerce baðýmsýz NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration) görüntüsünün birleþtirilmesi ile elde edilmiþtir. Kara alanlarý, yeryüzü topografyasýný gösteren görüntüler ile zenginleþtirilmiþtir. Okyanuslar ise, WorldSat uydusundan elde edilen deniz yüzeyi ýsýsý verisi (SST: Sea Surface Temperature) kullanýlarak okyanus tabaný topografyasýný ve ana okyanus akýntýlarýný resmeden görüntüler ile tamamlanmýþtýr. Dymaxion kelimesi ingilizce dynamic + maximum + tension kelimelerinin birleþiminden türetilmiþtir. Canlý ve sanatsal olarak en fazla etkileyici anlamýna gelmektedir. Bu isim Buckminster Fuller Enstitüsüne ait tescilli bir isimdir, yani markadýr. Fuller, bu deyimi sadece Þekil 2: Dymaxion Harita Þekil 3: Dymaxion Harita üzerine giydirilmiþ, mozaiklenmiþ uydu görüntüsü Dünya haritasý için deðil, diðer tasarýmlarý için de kullanmýþtýr yýllarý arasýnda tasarladýðý ve basit, tek direkli, örtülü mimari yapýlarýn ilk çaðdaþ örneði olan tasarýmýna "Dymaxion Ev" (Dymaxion House) adýný vermiþtir (EÞSÝZ ve ÖZGEN 2003). -40-

4 hkm 2005/92 Ýpbüker C., Çok Yüzlüler Üzerine Ýzdüþüm Uygulamalarý: Fuller Projeksiyonu Fuller'in haritasýnýn deðerini tartýþýrken, haritanýn bir araç olduðu unutulmamalýdýr. Bir araç olmasý nedeniyle harita bir amaç için üretilir. Dolayýsýyla, ne amaç için üretildiði göz ardý edilerek bir haritayý "iyi" veya "kötü" olarak yargýlamak doðru deðildir. Çünkü bir aracýn baþarýsýný, o iþi görmedeki baþarýsýna göre yargýlamak gerekir. Fuller' e göre haritasýnýn birinci fonksiyonu, ana karalarý harita kenarlarý tarafýndan kesilmeden göstermektir. Buna ek olarak Fuller, bu düþüncesini ana karalarýn birbirlerine göre göreceli þekil ve boyutlarýný çok fazla bozmadan gerçekleþtirmek istemiþtir. Yani Fuller, Ýngiltere ve Grönland'ý, yerküre üzerinde birbirlerine göre büyüklükleri ne ise onu bozmadan göstermeyi amaçlamýþtýr. Dikkat edilirse burada, kuzey ve güney kutup noktalarýnýn harita üzerinde nerede yer aldýðýndan veya nerede yer almasý gerektiðinden söz edilmemektedir. Ayný þekilde her bir kýtanýn, harita üzerinde birbirlerine göre konumlarý hakkýnda da bir þey söylenmemektedir. Bu nedenle, bu konularda yapýlacak eleþtirilerin Fuller'in dünya haritasýný "iyi" veya "kötü" olarak deðerlendirmede de bir rolü yoktur. Fuller Projeksiyonu veya Dymaxion Harita, küresel veriyi düz bir yüzey üzerinde görüntüleme gibi çok eski bir problemi en az þekil bozulmasýna yol açacak bir izdüþüm yöntemi ile çözmektedir. Dymaxion harita, Dünya'yý gerçekte olduðu gibi, okyanuslarýn ortasýnda bir ada olarak gösteren tek haritadýr. Bu özellikleri ile deðerlendirildiðinde, Fuller'in yirmi yüzlü temeline dayanan Dünya haritasý, dikkate deðer bir baþarýdýr. Ancak burada, harita düzlemini oluþturan üçgenlerin kenarlarý, karþýlýk geldiði küresel üçgenin kenarlarýnýn izdüþümleri deðildir. Bu nedenle, izdüþümde süreklilik gösteren nesnelerin komþu üçgenlerde, kenarlaþmalarýnda sorunlar yaþanmasý kaçýnýlmazdýr. 5. Fuller in Dünya Haritasýnda Alan Bozulmasý Harita üzerinde herhangi bir noktada, alan deformasyonunu sayýsal biçemde sunmak için haritacýlýk (kartografya) literatüründe iki farklý yol önerilmektedir. Bu yöntemlerden bir tanesi, Tissot indicatrix metodu olarak adlandýrýlýr ve diðer bir yol ise Gauss temel büyüklüklerini hesaplamaktýr. Bu baðlamda bir deðerlendirme yapýldýðýnda, Fuller in haritasýndaki en büyük alan deformasyonu her bir üçgen yüzeyin merkezinde, en küçük alan deformasyonu ise düðüm noktalarýnda meydana gelmektedir (GRAY 1994). Fuller in haritasýnýn, benzer nitelikte yapýlmýþ diðer örnekleri ile karþýlaþtýrýldýðýnda toplamda en az alan bozulmasý derecesine sahip olduðu görülür. Alýþýlagelmiþ türden Dünya haritasý tasarýmlarýnda, haritanýn her yerinde þekilleri hem görüntüleri hem de boyutlarý anlamýnda korumak mümkün olmamaktadýr. Bozulmalarý en uygun (optimal) deðerlerde tutmasý özelliði ile ün yapan Robinson projeksiyonu ile bu anlamda yapýlan bir karþýlaþtýrmaya iliþkin deðerler Tablo.1 de verilmektedir. Burada mutlak bozulma derecesi olarak verilen deðer, ilgili harita üzerindeki alan deformasyonu oranlarýnýn maksimum ve minimum deðerleri arasýndaki mutlak farktýr. 6. Fuller in Dünya Haritasýnýn Çizimi Yerküresi üzerinde bir noktanýn enlem boylam deðerleri düzlem üzerinde (x, y) koordinatlarýna dönüþtürülecektir. Öncelikle küreyi tamamen kaplayan bir yirmi yüzlü tasarýmlanýr, yani diðer bir deyiþle, yerküre yirmi küresel üçgene ayrýlýr (Þekil 4). Bu iþlem, basit olarak yirmi yüzlünün (ikosahedronun) yerküresi üzerine izdüþümüdür. Fuller, yukarýda sözü edilen temel düþüncelerin ýþýðýnda yirmi yüzlüyü özel bir yolla konumlandýrmýþtýr. Fuller in üç boyutlu koordinat uzayýnda tanýmladýðý ve konumlandýrdýðý yirmi yüzlünün düðüm noktalarýna ait koordinatlar Tablo 2 de verilmektedir. Tablo 1: Alan bozulmasý yüzdeleri ve mutlak bozulma derecesi (GRAY 1994) Kara parçasý Fuller Robinson Afrika % -15% Alaska % +24% Antarktika % N/A Avustralya % -12% Kanada % +21% Çin % -5% Grönland % +60% Güney Amerika % -15% A.B.D % -3% "Eski" S.S.C.B % +18% Mutlak bozulma derecesi 4% 75% Þekil 4: Yirmi yüzlünün geometrik gösterimi -41-

5 Ýpbüker C., Çok Yüzlüler Üzerine Ýzdüþüm Uygulamalarý: Fuller Projeksiyonu hkm 2005/92 Yirmi küresel üçgenin herbiri ayný þekil ve boyuttadýr. Bu üçgenler standart küresel üçgen olarak isimlendirilir. Yirmi yüzlü þeklin düðüm noktalarý, bu standart üçgenin köþe noktalarýdýr. Birinci adým, noktanýn yirmi küresel üçgenden hangisinin içerisine düþtüðünün belirlenmesidir. Bu problem, Tablo 2 de verilen 12 düðüm noktasýnýn koordinatlarý kullanýlarak çözülür ve seçilen noktadan her bir düðüm noktasýna olan büyük daire yayý uzunluklarý hesaplanýr. Ýzdüþüm, bu uzunluklar kullanýlarak seçilen noktanýn standart düzlem üçgen içerisinde kestirimi ile gerçekleþtirilir. Tablo 2: Fuller in düðüm noktalarý (vertex) koordinatlarý No X Y Z j l Genel bir bakýþ açýsý olarak, Fuller in Dünya haritasýnýn çizimi için öncelikle, Küreyi tamamen kaplayan bir yirmi yüzlü tasarýmlanmasý, Standart bir küresel üçgen tasarýmlanmasý, Standart küresel üçgenin içerisindeki tüm noktalarýn izdüþürüleceði yine standart, eþkenar bir düzlem üçgen tasarýmlanmasý, Bu üçgenler aðý üzerine izdüþürecek bir dünya haritasý tasarýmlanmasý öngörülmektedir (GRAY 1994). Yirmi yüzlünün Fuller in tariflediði þekilde düzleme açýlmasý ile oluþan ve içerisinde tüm yerkürenin gösteriminin yapýldýðý üçgenler aðý Þekil 5 te görülmektedir. Bu temel öngörü üzerine tesis edilen iþlem adýmlarý aþaðýdaki sýrada tekrar özetlenebilir: (x, y) harita düzlemine aktarýlacak bir P(j, l) noktasý seçilir. Bu P noktasýnýn 20 küresel üçgenden hangisi içerisine düþtüðü belirlenir. Standart küresel üçgenin A, B ve C köþelerinden P noktasýna olan da, db, dc yay uzunluklarý hesaplanýr. Hesaplanan bu uzunluklarla, düzlemde A, B ve C noktalarýndan yaylar çizilerek bu yaylarýn kesim noktalarý ile köþeleri Pi, Pj ve Pk olan küçük bir üçgen elde edilir (Þekil.6). Bu köþe noktalarýnýn ortalamasý veya diðer bir deyiþle bu üçgenin merkezi P noktasýnýn aranan izdüþümü olacaktýr. Gray in tariflediði bu yöntem, Wellman Chamberlin in 1946 da Amerikan Coðrafya Birliði (National Geographic Society, NGS) için tasarýmladýðý ve Trimetrik Projeksiyon adýný verdiði izdüþüm yöntemine çok benzemektedir. Chamberlin, üç daire yayýnýn kesiþim prensibine dayanan temel düþüncesini sadece grafik bir tasarým yöntemi olarak yayýnlamýþtýr (CHAMBERLIN 1950). Chamberlin in çok eski bir ölçme ilkesine dayanan bu yöntemi çok basit bir yaklaþým olmasý gerekçesi ile fazla önemsenmemiþtir (LASKOWSKI 1997). Deformasyon özelliklerinin analizi ile birlikte ilk matematik deðerlendirme Bretterbauer tarafýndan yapýlmýþtýr (BRETTERBAUER 1989). Robert W. Gray, Fuller projeksiyonu için coðrafi enlem ve boylam deðerlerini kullanarak harita koordinatlarýný hesaplayan C dilinde bir bilgisayar programý geliþtirmiþtir. Ýlgilenen okuyucular programýn kaynak koduna, internet üzerinde adresinden ulaþýlabilir. Fuller projeksiyonunda meridyen ve paralel dairelerin izdüþümleri Þekil 7 de görülmektedir. Þekil 5: Yirmi-yüzlünün düzlem harita gösterimi (1 numaralý üçgen iki parçaya bölünmüþtür. Parçalardan bir tanesi 15 numaralý üçgene bitiþiktir.) Þekil 6: Standart üçgen içerisinde izdüþümün geometrik gösterimi -42-

6 hkm 2005/92 Ýpbüker C., Çok Yüzlüler Üzerine Ýzdüþüm Uygulamalarý: Fuller Projeksiyonu Kaynaklar Þekil 7: Fuller projeksiyonunda meridyen ve paralel dairelerin izdüþümleri 7. Sonuç ve Öneriler Yerkürenin küçük ölçekli harita tasarýmlarýnda, çok yüzlülerin aracý yüzey olarak kullanýlmasý ve uygulama örneklerinin artýrýlmasý araþtýrmacýlarý ilgi çekici sonuçlara ulaþtýrabilir. Fuller projeksiyonu bu yazýda tanýtýlmaya çalýþýldýðý kadarýyla bile bu yöndeki çalýþmalar için çeþitli açýlardan iyi bir örnektir. Fakat projeksiyonda, bozulmalarýn analitik ifadesini ve bunlarýn sayýsal irdelenmesini içeren araþtýrma çalýþmasý yok denecek kadar azdýr. Konunun çok yüzlüler için de genelleþtirilerek ele alýnmasý yeni araþtýrmalara kaynak oluþturabilir. Robert W. Gray, bu yazýda aðýrlýklý olarak alýntý yapýlan ve kaynaklarda belirtilen çalýþmasýnda Fuller projeksiyonunun kesin analitik izdüþüm eþitliklerini yakýn zamanda yayýnlayacaðýndan söz etmektedir. Fakat Bilimsel Dizinler tarandýðýnda þu ana kadar ortaya konmuþ böyle bir çalýþmaya rastlanmamaktadýr. Bu da, haritacýlýk problemleri ile uðraþan araþtýrmacýlarýmýzý bu konuda çalýþmaya teþvik edici bir unsur olarak görülebilir. Çok yüzlüler üzerine Fuller projeksiyonuna benzer izdüþüm uygulamalarýnda, yeryüzü noktalarýný temsil eden küçük üçgenlerin merkezleri uygun bir yöntem ile tanýmlanmalýdýr. Bu taným, farklý kabullere baðlý olarak farklý þekillerde yapýlabilir. Örneðin, Þekil 6 da görülen P noktasýnýn koordinatlarý, lokal barisentrik koordinatlar yardýmý ile hesaplanabilir (SAALFELD 1985), (YANALAK ve ÝPBÜKER 2002). Teþekkür Yazý metninin kaleme alýndýðý ilk içeriðinde yer alan yabancý kaynaklý kelimelerin ayýklanarak, yerine Türkçe karþýlýklarýnýn yerleþtirilmesi konusundaki katkýlarýndan dolayý Turan Erden e teþekkür ederim. BÝLGÝ S. ve ÝPBÜKER C.: Kesikli Dünya Haritalarý, Harita Dergisi, Sayý:129, Ocak 2003, s.64-73, Ankara. BRETTERBAUER K.: Die Trimetrische Projektion von W.Chamberlin, Kartographische Nachricten, 2/89, 1989, s.51-55, Kirschbaum Verlag Bonn CHAMBERLIN W.: The Round Earth on Flat Paper, National Geographic Society, Washington, D.C., 1950 CLARK R.: Regional and world maps based on an octahedron, Classroom Geographer, Octs.17-20, 1977 DAHLBERG R. E.: Evolution of Interrupted Map Projections. International Yearbook of Cartography 2, 1962, s DAHLBERG R. E.: Interrupting the World Map, Matching the Projection to the Need, American Congress on Surveying and Mapping (ACSM), 1997 EÞSÝZ Ö. ve ÖZGEN A.: Direkli/dikmeli Strüktürler, Yapý-Mimarlýk Kültür Sanat Dergisi, Sayý:264, Kasým 2003, s , Ýstanbul FISHER D. J. : A new projection protractor, Journal of Geology, v.: 49, sayý: 3, 1941), s FISHER I.: A world map on a regular icosahedron by Gnomonic projection Geographical Review, V.: 33, Sayý:4, 1943, s FISHER I. ve MILLER, O.M.: World Maps and Globes, Chapter 7, Essential Books, NewYork, 1944 FULLER R. B.: Dymaxion World, Life, 14(9), (Mar. 1, 1943), 41-42FULLER R. B. ve MARKS, R.: The Dymaxion World of Buckminster Fuller, Garden City, Anchor Boks, NewYork, 1973 GRAY R.W.: Fuller's Dymaxion (TM) Map, Cartography and Geographic Information Systems, V.:21, Sayý: 4, (1994 ) HAKE G. and GRÜNREICH, D.: Kartographie, 7.Auflage, de Gruyter Lehrbuch, Walter de Gruyter, ISBN , Berlin-NewYork, KASSER J.: Gnomonische Projektion der Erdkugel auf einen Ikosaeder, Vermessungstechniker, V. 39, Sayý: 1, s LASKOWKSKI P.: The Distorsion Spectrum, Cartographica, 34(3), 1997 SAALFELD A.: A Fast Rubber-Sheeting Transformation Using Simplicial Coordinates, The American Cartographer, 12, (2), 1985, s SNYDER J. P. ve VOXLAND P.M.: An Album of Map Projections, U.S.Geological Survey Professional Paper 1453, U.S. Government Printing Office, Washington, TOBLER W.: Numerical Approaches to Map Projections, I.Kretschmer, Studies in Theoretical Cartography, Vienna, Deuticke, 1971, s YANALAK M. ve ÝPBÜKER C.: A Triangle Based Algorithm for Mapto-Map Projection, International Symposium on Geographic Information Systems-GIS 2002, Istanbul, September 2002, s