T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER.

Transkript

1 T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER Zeliha MAĞDEN MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI ADIYAMAN 2012

2 TEZ ONAYI Zeliha MAĞDEN tarafından hazırlanan Sonsuz Matrislerle Tanımlanan Özel Operatörler adlı tez çalıģması aģa ğıdaki jüri tarafından oy birliği ile Adıyaman Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiģtir. DanıĢman: Prof. Dr. Manaf MANAFLI Jüri Üyeleri: BaĢkan: Prof. Dr. Manaf MANAFLI Adıyaman Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Üye: Yrd. Doç. Dr. Ġbrahim GÜMÜġ Adıyaman Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Üye: Yrd. Doç. Dr. Gülsen KILINÇ Adıyaman Üniversitesi Eğitim Fakültesi Yukarıdaki sonucu onaylarım. Doç. Dr. Mustafa ÖZDEN Enstitü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi Sonsuz Matrislerle Tanımlanan Özel Operatörler Zeliha MAĞDEN Adıyaman Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı DanıĢman: Prof. Dr. Manaf MANAFLI Bu çalıģmada sonsuz matrislerle tanımlanan operatörlerle ilgili sınırlılık, toplanabilirlik ve operatörün tersinin varlığı gibi bazı temel kavramlar ile Cesaro, Nörlund, Toeplitz gibi bazı özel operatörlerin bir takım temel özellikleri incelenmiģtir. Anahtar Kelimeler: Sonsuz matris, operatör, toplanabilme, regülerlik, terslenebilirlik. ii

4 ABSTRACT Master Thesis Special Operators Defined By Infinite Matrices Zeliha MAĞDEN Adıyaman University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Manaf MANAFLI In this study, some main concepts such as summability, boundedness, regularity and invertibility of special operators defined by infinite matrices are investigated. Some of the key features of a number of special operators defined by infinite matrices like Cesaro, Norlund, Toeplitz are examined. Key Words: Infinite matrix, operator, summability, regularity, invertibility. iii

5 TEġEKKÜR Yüksek lisans çalıģmamda danıģmanlığımı üstlenerek, tez çalıģmam süresince yardımını ve desteğini esirgemeyen, kendimi yetiģtirip geliģtirmemde mühim katkıları bulunan Sayın Hocam Prof. Dr. Manaf MANAFLI ya ve Sayın Hocam Yrd. Doç. Dr. Muhammed ALTUN a minnet ve Ģükranlarımı sunarım. Ayrıca, araģtırmalarımın her aģamasında tavsiyelerini aldığım Sayın Hocam Yrd. Doç. Dr. Mustafa UÇKUN a, değerli arkadaģlarım ArĢ. Grv. Ebubekir ĠNAN a ve Elif YILDIZ a müteģekkirim. Ġlaveten, bana sonsuz güvenerek, daima destek olan aileme ve eģim Cem MAĞDEN e teģekkürlerimi bir borç bilirim. iv

6 ĠÇĠNDEKĠLER Özet....i Abstract ii TeĢekkür..... iii Ġçindekiler...iv Simgeler Dizini.v 1. GiriĢ Konservatif, Regüler ve Schur Matrisler Toplanabilirlik Metotları Terslenebilirlik.35 Kaynaklar ÖzgeçmiĢ v

7 SĠMGELER DĠZĠNĠ R C s c c 0 l l A A T -1 Reel Sayılar Kümesi Kompleks Sayılar Kümesi Bütün dizilerin uzayı Yakınsak diziler uzayı Sıfıra yakınsayan dizi uzayı Sınırlı diziler uzayı Mutlak yakınsak diziler uzayı A kümesinin yığılma noktalarının kümesi A kümesinin kapanıģı T operatörünün tersi (X,d) Metrik Uzay. Norm Fonksiyonu D(T) R(T) ρ(t) σ(x) supa B(X) T operatörünün tanım kümesi T operatörünün değer kümesi Resolvent (çözücü) küme X in spektrumu A kümesinin En Küçük Üst Sınırı, supremumu Banach uzayında tanımlı tüm sınırlı lineer operatörler kümesi vi

8 BÖLÜM 1 GĠRĠġ Bu bölümde, bazı temel tanım ve teoremler verilecektir. Tanım 1.1. X boģ olmayan bir küme ve K, reel veya karmaģık sayılar cismi olsun. +: XxX X : KxX X ikili iģlemleri her α, β K ve x, y, z X için, aģağıdaki özellikleri sağlıyorsa X kümesine K üzerinde bir lineer uzay (vektör uzayı) adı verilir. L 1 ) x+y=y+x L 2 ) (x+y)+z=x+(y+z) L 3 ) x+θ=x olacak Ģekilde θ X vardır. L 4 ) Her bir x X için x+(-x)=θ olacak Ģekilde bir (-x) X vardır. L 5 ) 1.x=x L 6 ) α(x+y)=αx+αy L 7 ) (α+β)x=αx+βx L 8 ) α(βx)=(αβ)x. 1

9 Tanım 1.2. X bir küme ve XxX te tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer aģağıdaki Ģartlar sağlanıyorsa, d fonksiyonuna X te bir metrik (veya X üzerinde bir uzaklık fonksiyonu) ve (X,d) ikilisine de bir metrik uzay denir. x, y, z X için; M 1 ) d negatif olmayan, sonlu ve reel değerli bir fonksiyondur. M 2 ) d(x,y)=0 x=y M 3 ) d(x,y)=d(y,x) (Bir noktanın kendisine uzaklığı sıfırdır) (Simetri özelliği) M 4 ) d(x,y) d(x,z)+d(z,y) (Üçgen eģitsizliği). Tanım 1.3. N bir lineer uzay olsun.. : N R + fonksiyonunun x teki değerini x ile gösterelim. x, y N ve bir α skaleri için; N 1 ) x =0 x=θ N 2 ) αx = α x N 3 ) x + y x + y (üçgen eģitsizliği) Ģartlarını sağlayan. fonksiyonuna N üzerinde norm denir ve (N,. ) veya sadece N ile gösterilir. Tanım 1.4. Dizi Uzayları: Kompleks veya reel terimli tüm x = (x k ) (k=1,2, ) dizilerinin kümesi s ile gösterirsek; x = (x k ), y= (y k ) ve α bir sabit olmak üzere, x+y= x k + y k ve αx=(α x k ) 2

10 Ģeklinde tanımlanan iģlemler altında bir lineer uz aydır. Diğer bazı dizi uzayları: Yakınsak diziler uzayı: c = {x = (x k ) : (x k ) yakınsak} Sıfıra yakınsayan diziler uzayı: c 0 = {x = (x k ) : (x k ) sıfıra yakınsar} Sınırlı diziler uzayı: l = {x = (x k ) :sup k x k < } Mutlak yakınsak diziler uzayı: l = {x = (x k ) : x k k Bu uzaylardan c 0, c ve l dizi uzayları, <} x = sup k x k normu altında ve l dizi uzayı x = k x k normu altında birer normlu uzaydır. Tanım 1.5. X=(X,d) bir metrik uzay ve (x n ) bu uzayda bir dizi olsun. VerilmiĢ her hangi bir ε > 0 için m,n >n 0 olduğunda d(x m, x n ) < ε olacak Ģekilde bir n 0 =n 0 (ε) sayısı varsa (x n ) dizisine Cauchy dizisi denir. Tanım 1.6. B, karmaģık sayılar cismi C de bir vektör uzayı ve R + = {r R r 0} olmak üzere; i) B uzayında N normu, B R + tanımlı bir fonksiyondur. ii) B uzayı N normuna göre tamdır (B deki her Cauchy dizisinin N normuna göre limiti B dedir). Yukarıdaki Ģartları sağlayan B uzayına N normuna göre tam, normlu lineer uzay (Banach Uzayı) denir. Örnek 1.2. C-Kompleks Sayılar Kümesi. normuna göre Banach uzayıdır. 3

11 Örnek 1.3. c-yakınsak Diziler Kümesi (z k ) = sup k z k normu ile Banach uzayıdır. Örnek l -Sınırlı Diziler Kümesi (z k ) = sup k z k normu ile Banach uzayıdır. Tanım 1.7. n satır ve k sütundan ibaret olup, elemanları karmaģık sayı olan, A= a 0,0 a 0,1 a 0,2 a 0,k a 1,0 a 1,1 a 1,2 a 1,k a n,0 a n,1 a n,2 a n,k tablosuna sonlu matris denir. Kısaca, A=(a i,j ) (i= 0,1,2, n; j=0,1,2, k) ile gösterilir. Tanım 1.8. A = (a n,k ) sonsuz matrisi n = 0,1,2, ve k = 0,1,2, için a n,k karmaģık sayı olmak üzere, A = a n,k = a 0,0 a 0,1 a 0,2 a 0,k a 1,0 a 1,1 a 1,2 a 1,k a n,0 a n,1 a n,2 a n,k Ģeklinde tanımlanır. Tanım 1.9. Matris Çarpımı: Sonlu matrislerde A ve B gibi iki matrisin çarpımının tanımlı olabilmesi için A matrisinin satır sayısı, B matrisinin sütun sayısına eģit olmalıdır. Eğer A bir mxn matris, B de bir nxp matris 4

12 ise, C=AxB bir mxp matris olarak tanımlıdır. C=( c i,j ) matrisinin i. satır ve j. sütununda bulunan c=(c i,j ) elemanı, A matrisinin i.satır elemanları, a i,1 a i,2 a i,n ile B matrisinin j. sütun elemanları, b 1,j b 2,j b n,j lerin karģılıklı çarpımlarının toplamına eģittir. Matris çarpımı sonsuz matrislere geniģletilirse; c n,k = olmak üzere, j=0 a n,j b j,k a n,k b n,k = c n,k çarpımı elde edilir. Tanım Matris DönüĢümleri: X ile Y reel ya da karmaģık terimli dizilerden oluģan iki dizi uzayı ve A = a n,k sonsuz bir matris olsun. Her x X için ((Ax) n ) dönüģüm dizisi mevcut ve Ax Y ise A = a n,k matrisi X uzayından Y uzayı içine bir matris dönüģümü tanımlar denir. A: X Y Ģeklindeki matrislerin sınıfları (X,Y) ile gösterilir (Hardy 1949). Tanım Bir A= (a n,k ) matrisi verilmiģ olsun. Her n için A n x = k a n,k x k mevcut ve n iken A n (x) a ise (x k ) dizisi a ya A 5

13 toplanabilir ya da A- limitlenebilir denir ve A lim k x k = a (Petersen 1966). yazılır Tanım Lineer uzaylarda tanımlı dönüģümlere operatör denir. L ve L aynı F cismi üzerinde iki lineer uzay olsun. T: L L operatörü, α F olmak üzere, T(x+y)=T(x)+T(y) T αx =αt x Ģartını sağlıyorsa T ye lineer operatör denir. için, N ve N normlu uzay ve T: N N lineer operatör olsun her x N T(x) K x (1.1) olacak Ģekilde bir K 0 reel sayısı varsa T ye sınırlı operatör denir. ġimdi her x N {0} için T(x) K x eģitsizliğinin sağlandığı en küçük K yı araģtıralım. Burada θ yı hariç tutabiliriz. Çünkü bu halde T(θ) θ = 0 olup bu değer için en küçük K sıfırdır. x θ ise x 0 olacağından (1.1) nin her iki tarafını x e bölerek yeni bir eģitsizlik elde ederiz. Buradan K, bu eģitsizliğin solundaki ifadenin supremumu kadar küçük olabilir. Bu en küçük K yı T ile gösterelim. Yani, T = sup T(x) x x N, x 0 olsun. Buna T nin normu denir. T sınırlı lineer operatör ise T K dır. Bir X Banach uzayında tanımlı tüm sınırlı lineer operatörlerin kümesi B(X) ile gösterilir. 6

14 Teorem 1.1. A=(a n,k ) ile tanımlı operatör T olsun. i) T B(c) dir ancak ve ancak A = sup n k=1 a nk <, (1.2) Her k için a k : = lim n a nk var, (1.3) a: lim n k=1 a nk var. ii) T B(c 0 ) dır ancak ve ancak her k için a k =0 ve (1.2) ve (1.3) sağlanır. iii) T B(l) dir ancak ve ancak (1.2) varsa. Bu Ģartlarda operatör normu T, dır. iv) T B(l 1) dir ancak ve ancak, T l :l = T c:c = T c0 :c 0 = A A t = = sup n k=1 a nk < olur. Bu durumda T operatör normu 2011). T l1 :l 1 = A t Ģeklindedir (Altun, Tanım Matris Normları: C kompleks ve R de reel sayılar kümesi olmak üzere,. : C mxn R + 0 fonksiyonu aģağıdaki Ģartları sağlıyorsa; A sayısına A = (a ij ) mxn matrisinin normu denir. Bir A matrisinin normu A ile gösterilir. i) A 0 ve A = 0 A = 0 ii) c herhangi bir karmaģık sayı olmak üzere, ca = c A iii) A ve B aynı mertebeden matrisler olmak üzere, A + B A + B (Üçgen EĢitsizliği) iv) A ve B çarpılabilir matrisler olmak üzere, AB A B dir. 7

15 (i), (ii) ve (iii) ile verilen aksiyomla r bir matris normu için gerekli olan aksiyomlardır. (i), (ii) ve (iii ) aksiyomlarını sağlayan reel değerli bir fonksiyon, genelleģtirilmiģ matris normu olarak tanımlanır. Böylece bir matris normu daima genelleģtirilmiģ matris normudur. Fakat bunun tersi doğru değildir. A = (a ij ) mxn matrisinin bazı normları: m l 1 normu (sütun): A 1 = max j=1,2,,n j=1 a ij n l normu (satır): A = max j=1,2,,m j=1 a ij m n l p normu: A p = a p ij i=1 j=1 1 p l p operatör normu: A p = max Ax p : x ϵ C n, x p = 1 Ģeklinde tanımlanır (Bronson 1999). Tanım X=(X,d) bir metrik uzay ve (x n ) X te bir dizi olsun. lim n d x n, x = 0 olacak Ģekilde bir x X varsa (x n ) dizisine X te yakınsak denir (Bayraktar 2006). Tanım {a n } 0 kompleks sayılardan oluģan bir dizi olsun. Eğer lim n 1 n+1 k=0 a k = L varsa {a n } 0 dizisine Cesaro yakınsaktır denir ve (C,1) yakınsaktır Ģeklinde ifade edilir. Cesaro yakınsaklığı, bir dizinin terimlerinin aritmetik ortalamasının yakınsaklığı ile ilgilidir. Teorem 1.2. {a n } 0 L ye yakınsarsa, o halde {a n } 0 L ye (C,1) yakınsar (Tersi doğru değildir). 8

16 Ġspat: ε > 0 verilmiģ olsun. Bir N 1 pozitif tamsayısı vardır öyle ki n N 1 için a n L < 1 2 ε dir. Bir N 2 pozitif tamsayısı vardır öyle ki n N 2 için a a N1 1 N 1 L < 1 2 ε olur. N=maks{N 1,N 2 } olsun. O halde n N için 1 n+1 n k=0 a k L 1 n+1 N 1 1 k=0 a k N 1 L + 1 n+1 n k=n 1 a k n + 1 N 1 L < 1 2 ε + 1 n+1 n k=n 1 [a k L] 1 ε n+1 n k=n 1 [a k L] 1 ε + 1 (n + 1 N 2 n+1 1) 1 ε 1 ε + 1 ε = ε n=0,1, için, a n = 1 + ( 1) n örneğinden dolayı bu ifadenin tersi, doğru değildir. a n 0 dizisi ıraksaktır; ancak a n 0 dizisi, aģağıda göstereceğimiz gibi 1 e Cesaro (C,1) yakınsaktır. ε<0 verilsin. n k=0 a k = n + 2, n çift ise n + 1, n tek ise Buradan, 1 n+1 n k=0 a k 1 n+2 1 = 1 n+1 n+1 N(ε)>(1-ε)/ε pozitif tamsayısını seçelim. n N(ε) ise 1/(n+1)<ε, örneğin n N ε ise o halde 1 n+1 n k=0 a k 1 < ε olur. Tanım X bir metrik uzay olsun. X teki her dizi yakınsak bir alt diziye sahip ise X e kompakttır denir. Tanım (N, ) ve (N, ) aynı skaler cismi üzerinde normlu iki uzay olsun. T: N N bir dönüģüm olsun. x 0 N ise >0 verildiğinde x x 0 < δ için T x T x 0 < ε olacak Ģekilde bir δ>0 reel sayısı 9

17 varsa T, x 0 noktasında süreklidir. T, tüm x 0 N de sürekli ise T ye süreklidir denir. Tanım A, X metrik uzayının bir alt kümesi ve x 0 X olsun. x 0 her bir D (x 0, ε) delik civarı A ya ait bir nokta ihtiva ediyorsa bu x 0 noktasına A nın yığılma noktası denir. A nın yığılma noktaları kümesi A ile gösterilir. Tanım A, X metrik uzayının bir alt cümlesi, x 0 X, A nın yığılma noktası olsun. A nın yığılma noktalarının kümesi olan A ile A nın noktalarından ibaret olan cümleye A nın kapanıģı denir. A ile gösterilir. Yani A = A A dır. A nın kapalı olması için A = A olmalıdır. Tanım A, (X,d) metrik uzayının bir alt cümlesi olsun. Eğer A = X ise A ya X te yoğundur denir. Tanım L, F cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. F=R veya F=C olması durumunda, T: L F operatörüne, yani değerleri reel veya karmaģık sayılar kümesinde olan operatöre fonksiyonel denir. Eğer T lineer ise lineer fonksiyonel; sınırlı ise yani T(x) K x eģitsizliğini sağlayan K 0 ϵ R varsa sınırlı lineer fonksiyonel adını alır. Bir fonksi yonelin normu da operatörlerde olduğu gibi, T = sup T x x 1 ile tanımlanır. C N, N = T T N N sürekli lineer operatörler kümesi, N ve N normlu uzay olması halinde, T = sup T x x 1 normuna göre bir normlu uzaydır. Hatta B nin Banach uzayı olması halinde C N, B = {T: T: N B sürekli lineer operatör} kümesi bir Banach uzayı olur. N kümesinin R veya C olması durumunda, C N, R ve C N, C kümeleri Banach uzayı olur. Bu uzaylara N nin dual uzayı denir. N ile 10

18 gösterilir. Demek ki N normlu uzay ise N cümlesi sürekli lineer fonksiyonellerin uzayıdır. Tanım Özdeğerler, Özvektörler ve Spektrum: Elemanları gerçek veya karmaģık sayı olabilen bir A matrisi ve bir λ parametresi verildiğinde, x 0 vektörü için, Ax= λx vektör denkleminin çözümünü veren λ değerlerine A matrisinin özdeğerleri, buna karģılık gelen x vektörlerine de özvektör denir. X ve Y Banach uzayları ve T: X Y sınırlı lineer operatör olsun. T nin değer kümesini R(T)={y Y: y=tx; x X} ile gösterelim. X uzayından kendi içine tanımlı tüm sınırlı lineer operatörlerin kümesi B(X) olsun. X bir Banach uzayı ve T B(X) ise her ϕ X * ve x X için T nin adjointi T *, (T * ϕ)(x)=ϕt(x) ile tanımlı olup, X in duali olan X * üzerinde bir sınırlı lineer operatördür. X karmaģık normlu uzay ve T: D(T) X, tanım kümesi D(T) X olan bir lineer operatör olsun. λ karmaşık sayı ve I, D T üzerinde birim operatör olmak üzere, T λ ile T λ = T λi operatörünü gösterelim. Eğer varsa bu operatörün tersine resolvent operatör denir ve T 1 λ = (T λi) 1 ile tanımlanır. λ=0 ise T 1 λ = T 1 dir. T 1 λ ile T 1 in çoğu özelliği λ ya bağlıdır ve spektral teorisi bu özelliklerle ilgilidir. X karmaşık normlu uzay ve tanım kümesi D T X olan T: D(T) X bir lineer operatör olsun. T nin regüler değeri λ, bir karmaşık sayıdır, öyle ki; R1) T λ 1 var, R2) T λ 1 sınırlı, 11

19 R3) T λ 1 X te yoğun bir cümlede tanımlıdır. T operatörünün sürekli bir tersinin belirlenmesini sağlayan, tüm regüler λ değerlerinin kümesine resolvent (çözücü) küme denir ve ρ(t) ile gösterilir. Bu kümenin C ye göre tümleyeni olan σ(t)= C\ρ T kümesine T nin spektrumu denir. Spektrum 3 e ayrılır: a) T λ 1 in olmadığı σ p T kümesine nokta spektrumu; bu kümenin üyelerine özdeğerler denir. b) R 2 özelliğini sağlamayıp, R 3 özelliğini sağlayan T λ 1 in var olduğu σ c kümesine sürekli spektrum denir. c) R 3 özelliğini sağlayan T λ 1 in var olduğu σ r kümesine artık spektrum denir. σ T = σ p T σ c T σ r (T). Bir operatörün spektrumu, matrislerin özdeğerleri kavramının genelleģtirilmesidir. Teorem 1.3. (Hahn-Banach Teoremi): N normlu bir uzay, M, N nin bir alt uzayı ve f, M de tanımlı bir fonksiyonel olsun. Bu durumda f, f M = f 0 N olacak Ģekilde N de tanımlı bir f 0 fonksiyoneline geniģletilebilir (Bayraktar 2006). 12

20 BÖLÜM 2 KONSERVATĠF, REGÜLER VE SCHUR MATRĠSLER Genel olarak verilen bir A = (a n,k ) matrisi ile ilgili Ģu soruyu cevaplandırabilmeliyiz: Eğer z n 0 z ye yakınsayan herhangi bir karmaģık dizi ise bu dizinin A-dönüĢümü hangi hallerde (ve özellikle de aynı z limitine) yakınsar? Yukarıdaki soruya cevap olan ve ilk olarak Otto Toeplitz (1911) tarafından ispat edilen Silverman-Toeplitz Teoremi, Toplanabilme Teorisinde önemli bir teoremdir ve matrislerin regülerliğini karakterize eder. Öncelikle ilgili bazı tanım ve teoremlere bakalım. Tanım 2.1. A = (a n,k ) olsun. karmaģık sayılardan oluģan sonsuz bir matris i) Tüm kompleks ve yakınsak dizilerin A-dönüĢümü var ve yakınsaksa (yakınsak her diziyi yakınsak bir diziye dönüģtürüyorsa) A konservatiftir (Powell, Shah 1972). ii) Eğer A konservatif ve limitleri koruyorsa (yakınsak her diziyi yakınsak bir diziye limitleri koruyar ak dönüģtürüyorsa) regülerdir (Powell, Shah 1972). A = (a n,k ) karmaģık sayılardan oluģan bir matris olsun. A regüler ise sup n k=0 a n,k < olmalıdır. iii) z n 0 dizisinin A-dönüĢümü y ye yakınsarsa z n 0 dizisi y ye A- toplanabilirdir (Maddox 1970). 13

21 iv) Eğer A tüm sınırlı dizileri yakınsak bir diziye dönüģtürüyorsa Schur matristir (Petersen 1966). ġimdi yakınsaklık koruyan (konservatif) matrisleri karakterize eden ve Silverman-Toeplitz Teoreminden daha genel olan bir teorem yazalım. Teorem 2.1. Kojima-Schur Teoremi: Bir A matrisi konservatiftir ancak ve ancak, (i) sup n k=0 a n,k <, (ii) lim n a n,k = a k, (iii) lim n k=0 a n,k = a olmasıdır. ġimdi ise Silverman-Toeplitz teoremini ve ispatını verelim. Teorem 2.2. Silverman-Toeplitz Teoremi: Bir A= (a n,k ) matrisi regülerdir ancak ve ancak; i. k = 0,1,2, için lim n a n,k = 0 (c 0 KoĢulu) ii. lim n k=0 a n,k = 1 (Satır-Toplam KoĢulu) iii. Bir M>0 için, sup n k=0 a n,k M < (Satır-Norm KoĢulu) (Powell, Shah 1972). Ġspat: ( ) (i), (ii) ve (iii) Ģartlarının var olduğunu kabul ederek A = (a n,k ) matrisinin regülerliğini ispatlayalım. z k 0, z ye yakınsayan bir dizi olsun. Öyleyse k = 0,1,2, için öyle bir T>0 vardır ki z k T dir. (iii) den dolayı yakınsak olduğundan k=0 a n,k z k her sabit n için yakınsaktır. k=0 a n,k. T k=0 a n,k z k yakınsar. 14

22 z n 0 dizisinin z ye yakınsadığını kabul ederek, σ n 0 dizisinin de z ye yakınsadığını göstereceğiz ( σ n = k=0 a n,k z k ). Önce z n 0 dizisinin z = 0 a yakınsama durumuna bakalım. ε > 0 verilsin. Bir N(ε) bulmalıyız öyle ki n N(ε) iken σ n z = σ n < ε ve dolayısıyla k=0 a n,k z k < ε olsun. sup n k=0 a n,k M < olduğundan ve z n 0 sıfıra yakınsadığından bir pozitif N 1 (ε) = N 1 vardır öyle ki n N 1 iken, z n ε ve z 2M+1 N 1 1 ε > 0 2M+1 (eğer N 1 = 0 ise n = 0,1,2, için z n ε 2M+1 dir). N 1 0 ise o halde, σ n = N 1 1 k=0 a n,k z k k=0 a n,k z k + k=n 1 a n,k z k (2.1) dir. (iii) den dolayı ε a n,k z k < a 2M+1 n,k M < 1 k=n ε 1 k=n 1 (2.2) 2M+1 2 ε dir. N 2 0, ε,, N 2 N 1 1, ε pozitif tamsayıları bulunsun öyle ki n N 2 k, ε iken k = 0,1,, N 1 1 için a n,k ε 2TN 1 dir ((i) den dolayı). N ε = maks N 2 0, ε,, N 2 N 1 1, ε olsun. n N ε ise o halde N 1 1 N k=0 a n,k z k 1 1 k=0 a n,k z k < Bu durumda (2.1), (2.2), (2.3) ten dolayı, 1 2 ε (2.3) σ n N 1 1 a n,k k=n 1 k=0 z k + a n,k z k < 1 2 ε ε = ε olur. Buradan σ n 0 dizisi sıfıra yakınsar. 15

23 ġimdi z n 0 dizisinin sıfırdan farklı bir z ye yakınsadığını düģünelim. w n 0 dizisini, n = 0,1,2, için, w n = z n z Ģeklinde tanımlayalım. w n 0 dizisi sıfıra yakınsadığından lim n k=0 a n,k w k = 0 dır. Yani, 0 = lim n k=0 a n,k (z k z) = lim ( k=0 a n,k z k k=0 a n,k z) n = lim n k=0 a n,k z k z lim k=0 a n,k = lim n k=0 a n,k z k z ((ii) den) n Böylece dolayı A = (a n,k ) regülerdir. z n 0 dizisinin A-dönüĢümü z ye yakınsar ve bundan ( ) ġimdi A = (a n,k ) nın regülerliğinin (i), (ii) ve (iii) Ģartlarını gerektirdiğini ispatlayalım. k sabit olsun. z n 0 dizisini, z n = 0, n k ise 1, n = k Ģeklinde tanımlayalım. Açıktır ki z n 0 dizisi sıfıra yakınsar. A = (a n,k ) regüler olduğundan, 0 = lim n σ n = lim n j=0 a n,j z j = lim n a n,k dır. Bu (i) durumunu ispatlar. n = 0,1,2, için w n = 1 olacak Ģekilde w n 0 dizisini tanımlayalım. w n 0 1 e yakınsadığından ve A = (a n,k ) regüler olduğundan, 1 = lim σ n = lim n k=0 a n,k w k = lim n k=0 a n,k n 16

24 elde ederiz. Öyleyse (ii) sağlanır. (iii) Ģartının ispatı için önce k=0 a n,k nın her n için yakınsadığını göstermeliyiz. Aksini kabul edelim. Bir N vardır öyle ki ıraksasın (yani k=0 a n,k k=0 a N,k =). Buradan 0 = K 0 < K 1 < K 2 tamsayıları K j 1 k=k j 1 vardır öyle ki j = 1,2, için a N,k > 1 dir. z k 0 dizisini, 0, k 0 veya a N,k = 0 ise z k = a N,k ja N,k, a N,k 0 ve K j 1 k K j ( j = 1,2, için) Ģeklinde alalım. z k 0 kümesi sıfıra yakınsadığından ve A = a n,k regüler olduğundan Fakat, k=0 a n,k z k n = 0,1,2, için, özellikle de n = N için yakınsar. k=0 a N,k z k = K j 1 1 k=k j 1 j j=1 a N,k = 1 K j 1 j=1 a j k=k j 1 N,k 1 j=1 j = olur, yani ıraksar. Bu bir çeliģkidir. Bu nedenle 0,1,2, için yakınsar. k=0 a n,k n = ġimdi k=0 a n,k 0 dizisinin düzgün sınırlı olduğunu göstermek için sup n k=0 a n,k = olduğunu kabul ederek bir çeliģki bulalım. m k 0, n k 0 tamsayı dizilerini aģağıdaki Ģekilde oluģturalım. m 0 = 0 ve n 0 = min n: n 1 ve k=n+1 a m 0,k < 1 seçelim ( j 1 için k=n+1 a m 0,k yakınsadığından n 0 vardır). m 0,, m j 1 ve n 0,, n j 1 17

25 n j 1 k=0 m j = min m m > m j 1, k=0 a m,k > j 2 + 2j + 2 ve a m,k < 1 olsun. Bir m j tamsayısı vardır çünkü, i) M 1 > m j 1 seçebiliriz öyle ki k = 0,1,2,, n j 1 ve tüm M M 1 için a M,k < 1 n j dir (her sabit k için lim n a n,k = 0 Ģartından dolayı). ii) M 2 > M 1 seçebiliriz öyle ki k=0 a M2,k > j 2 + 2j + 2 olur (sup n k=0 a n,k = Ģartından dolayı). n j = min n n > n j 1 ve k=n+1 a m j,k < 1 seçelim. Böyle bir n j tam sayısı vardır çünkü k=0 a m j,k yakınsaktır. z k 0 dizisini, z k = a m j,k ja (m j,k ), n j 1 < k n j j = 1,2, ve a m j,k 0 ise, 0, diğer durumlarda ile tanımlayalım. Bu dizi sıfıra yakınsadığından ve A regüler olduğundan, σ n = k=0 a n,k z k olduğunda σ n 0 dizisi de yakınsak olmalıdır. O halde, σ m j = a m j,kz k n j 1 k=0 n j k=n j 1 k=0 = a m j,kz k + a m j,kz k + k=n j +1 a m j,kz k n j a m j,kz k n j 1 k=n j+1. a k=n j 1 +1 m j,k z k=0 k a m j,k z k Buradan, σ mj 1 j n j a k=n j 1 +1 m j,k 1 1 = 1 ( a j k=0 m j,k a m j,k k=n j +1 a m j,k ) 2 k=0 n j 1 18

26 1 j ( j2 + 2j ) 2 = 1 j j 2 + 2j 2 = j olur. σ n 0 ıraksaktır çünkü alt dizisi, σ m j 0 sınırsızdır. Bu istediğimiz çeliģkiyi verir. Bu yüzden bir M>0 için sup n teoremin ispatı tamamlanır. k=0 a n,k M < olur ve A = (a n,k ) nın regülerliğini ispatlarken kullandığımız Silverman- Toeplitz Teoreminin (iii) Ģartını ispatlamanın daha kolay bir yolu vardır. (iii) Ģartının gerekliliği, teorem 2.4 de ifade edilmiģ olup, ispatı Düzgün Sınırlılık Prensibi (Uniform Boundedness Principle) ile yapılacaktır. Önce Düzgün Sınırlılık Prensibine bakalım. Teorem 2.3. (Düzgün Sınırlılık Prensibi): X Banach uzayı, Y normlu uzay ve {T n }, T n : X Y Ģeklinde tanımlı bir sürekli lineer operatörler ailesi olsun. Bu durumda x X için C x : sup n T n (x) <C x < ise sup n T n <C< olur (Powell, Shah 1972). Banach-Steinhouse Teoremi olarak da bilinen Düzgün Sınırlılık Prensibi Bir Banach uzayından normlu uzaya tanımlı sürekli lineer operatörler kümesi sınırlıdır. Ģeklinde de ifade edilebilir. Satır-Norm KoĢulu olarak ifade ettiğimiz (iii) Ģartının gerekliliğini gösteren teorem ve ispatı aģağıdaki gibidir. Teorem 2.4. A = (a n,k ) regüler ise, bir M>0 için, sup n k=0 a n,k M < dir. 19

27 Ġspat : A = (a n,k ) regüler ise n için ). A n : c C, A n z = a n,k k=0 < k=0 yakınsaktır ( a n,k k=0 a n,k z k olsun. c de bir z elemanını sabitleyelim. Bu durumda, (A n z) c olduğundan bir T sayısı vardır ki, A n z T dir. O halde Düzgün Sınırlılık Prensibi uygulanabilir demektir. Yani, sup n A n < olur. ġimdi, A n : c C bir operatör ve x k = a n,k a n,k k N ve a n,k 0, 0 diğer durumlarda, Ģeklinde tanımlanmıģ olsun. A n = sup z =1 A n z = sup z =1 k=0 a n,k x k sup z =1 k=0 a n,k x k k=0 a n,k yazılabilir. Ayrıca, A n = sup z =1 A n z sup z =1 k=0 a n,k z k sup z =1 k=0 a n,k x k = k=0 a n,k N yani, A n k=0 a n,k dır. Böylece, A n = k=0 a n,k elde edilir. A A n = sup n z z θ = a z k=0 n,k olduğundan, sup n A n = sup n ( k=0 a n,k ) < olur. 20

28 1 Tanım 2.2. (Matris Kuvveti): A = a n,k, m pozitif tamsayı ve a n,k olmak üzere, A m m = a n,k = a n,k m a n,k m = a n,k m 1 a n,k ile tanımlanabilir. Bu genel matris çarpımıdır (Powel, Shah 1972). Teorem 2.5. k > n için a n,k = 0 olan A = a n,k matrisi regüler m herhangi bir pozitif tam sayı olmak üzere A m matrisi de regülerdir (Powell, Shah 1972). Ġspat: A=A 1 1 = a n,k matrisinin regülerliğini biliyoruz. A k (m 2) için regüler olduğunu düģünelim. A m nın k=1,,m-1 nin de regüler olduğunu göstermek istiyoruz. z k 0 z ye yakınsayan bir karmaģık sayı dizisi olsun. σ n 0, z k 0 dizisinin A m m = a n,k dönüģümü olsun. Yani, σ n = a m n k=0 n,k z k = k=0 a m n,k z k olur. t n 0, z k 0 dizisinin A m -1 m 1 = a n,k dönüģümü olsun. Yani, t n = a m 1 n k=0 n,k z k = k=0 a m 1 n,k z k dır. t n 0 A m-1 regüler olduğundan z ye yakınsar. σ n = n a m n n k=0 n,k z k = k=0 h=k a 1 n,h z k a m 1 n,h z k n 1 h k=0 a m 1 h,k z k = a n,h n h=k = h=0 a 1 n,h t n. A 1 1 = a n,k regüler ve σ n, z ye yakınsayan t n 0 dizisinin A 1 dönüşümü olduğundan σ n 0 z ye yakınsar ve A m regülerdir (Powell, Shah 1972). 21

29 Teorem 2.6. A = a n,k regüler matris ise sınırlı ve ıraksak bir z n 0 dizisi vardır öyle ki, z n 0 dizisinin A-dönüĢümü ıraksar (Powell, Shah 1972). Teorem 2.7. z k 0 sınırlı bir dizi ise bir A regüler matrisi vardır öyle ki z k 0 dizisinin A dönüģümü yakınsar (Powell, Shah 1972). Teorem 2.8. z k 0 ve w k 0 sınırlı diziler ve z k 0 ıraksak olmak üzere bir A regüler matrisi vardır öyle ki z k 0 dizisinin A dönüģümü w k 0 dır (Powell, Shah 1972). Teorem 2.9. z k 0 sınırlı dizi ve w k 0 keyfi bir dizi olmak üzere bir A regüler matrisi vardır öyle ki z k 0 dizisinin A-dönüĢümü w k 0 dır (Powell, Shah 1972). Tanım 2.3. Eğer regüler ve verilmiģ - a veya + a ıraksayan reel bir x n 0 dizisinin A-dönüĢümü de - a veya + a ıraksar ise A reel dönüģümüne tamamen regülerdir denir (Powel, Shah 1972). Tanım 2.4. Eğer tüm n=0,1, ve k k0 için a n,k 0 olacak Ģekilde bir k 0 varsa A = a n,k pozitiftir (Powel, Shah 1972). Teorem A = a n,k reel dönüģümü regüler ve pozitif ise A tamamen regülerdir (Powel, Shah 1972). Teorem A = a n,k reel dönüģümü alt üçgensel ve tamamen regüler ise A regüler ve pozitiftir (Powell, Shah 1972). Schur matris yakınsaklık üreten matris olarak bilinmektedir. AĢağıdaki teorem, bir matrisin Schur matris olması için gerek ve yeter Ģartları göstermektedir. Açıktır ki regüler bir matris tüm sınırlı dizileri 22

30 limitleyemediğinden (sınırlı dizileri sınırlı dizilere dönüģtürmediğinden) bu koģullardan birini sağlamaz. Teorem Bir A = (a m,n ) matrisinin Schur Matris olması için gerek ve yeter Ģartlar Ģunlardır: a) Her n için lim m a m,n var ve b) n=1 a m,n her m için yakınsaktır ve bu yakınsama düzgündür (Petersen 1966). Ġspat i) ( ) A matrisinin iki koģulu da sağladığını düģünelim. {s n } sonlu bir dizi ise (b) den dolayı, A dönüģümü t m = n=1 a m,n s n ile verilir. Bununla birlikte, seriler m ye düzgün yakınsar. düzgün yakınsadığını göstermek istiyoruz. t m nin Verilen bir ε > 0 için bir N vardır öyle ki, her m için, t m N n=1 a mn s n < ε dir. Her n için lim m a m,n var olduğundan, bir M vardır öyle ki her m 1, m 2 >M için, N N n=1 a m 1,ns n n=1 a m 2,ns n < ε olur. m 1, m 2 >M olduğundan, t m 1 t m 2 t m 1 N a m 1,ns n N n=1 + n=1 a m 1,ns n n=1 a m 2,ns n N N + n=1 a m 2,ns n t m 2 < 3ε. 23

31 Buradan t m yakınsar. ii) ( ) A bir Schur matris olsun. (a) e n k = 1, n = k 0, n k ile tanımlı e n (k) (k=1,2, ) dizilerini alalım. t n (k) = a m,k ve e n (k) sınırlı olduğundan, lim m a m,k vardır. Bu limiti α k ile gösterelim. (b) Schur matris kesin bir limitleme metodu olduğundan n=1 a m,n her m için yakınsar ve Silverman-Toeplitz teoreminden bir K vardır öyle ki, her m için n=1 α n yakınsar. n=1 a m,n < K dır. Ayrıca her N için, n=1 α n K dır, öyleyse N b m,n = a m,n α n ile tanımlanan B = b m,n matrisi kesinlikle Schur matrisidir. n=1 b m,n nin düzgün yakınsadığını göstererek n=1 a m,n nin düzgün yakınsaklığını kurabiliriz. Varsayalım ki, n=1 b m,n düzgün yakınsamasın. Bu demektir ki, öyle bir γ>0 vardır ki, her ν tamsayısı için, bir μ j ν tamsayı dizisi vardır öyle ki, n=ν b μj ν,n > 5γ dir. Her n için, m iken b m, n 0 olmasından yararlanarak, m k tam sayılarından oluşan bir dizi ve v k tam sayılarından oluşan artan bir dizi kuralım. ν=1 alırsak, öyle bir m 1 vardır ki, 24

32 n=1 b m 1 n > 5γ ve b m 1 1 < γ dir. Genel olarak, vk sayılarını tamsayı seçersek, öyle mk sayıları vardır ki, n=ν k +1 b m k,n > 5γ ve n=1 b m k,n < γ ν k dir. Sonra n=1 b m k,n yakınsadığı için, ν k+1 (> ν k ) seçebiliriz öyle ki, n=ν k b m k,n < γ ve buradan da ν k +1 n=ν k +1 b m k,n > 3γ elde edilir. ġimdi, s n = ( 1)k sgn(b mk,n ), ν k + 1 n ν k+1 olduğunda (k = 1,2, ) 0, diğer durumlarda olsun. s n 1 ; ancak s n in B-dönüĢümü {t m } öyle ki; k tek sayı olduğunda, t mk = v k +1 b m k,ns n v k n=1 n=1 + n=v k +1 n=v k b m k,n > γ ve benzer olarak, k çift olduğunda t mk < γ olur. Buradan {t m } ıraksak olduğundan b mn Schur matrisi olamaz. Böylece ispat tamamlanır. 25

33 Sonuç Bir matris hem regüler hem de Schur matris olamaz. Çünkü A = (a m,n ) regüler ise A tarafından ıraksak bir diziye dön üģtürülebilen sınırlı bir dizi vardır. Ġspat: A = (a m,n ) regüler bir Schur matrisi olsun. Buradan her n için lim m a m,n = α n vardır ve n=1 α n yakınsar. Üstelik n=1 α m,n nin düzgün yakınsaklığı, m için n=1 α m,n n=1 α n (2.4) ile sağlanır. Oysaki Silverman-Toeplitz teoremi (i) den α n = 0, (ii) den dolayı m için n=1 α m,n 1 olur ki bu da (2.4) ile çelişir. Sonuç A = (a m,n ) matrisi her sınırlı diziyi sıfıra limitler ancak ve ancak n=1 a m,n her m için yakınsar ve m iken, n=1 a m,n (2.5) dir. Ġspat: i) ( ) Varsayalım ki (2.5) koģuları sağlansın. Eğer {s n } sınırlı bir dizi ise ( s n H diyelim) A-dönüĢümü olan {t m } vardır ve m için, t m = n=1 a m,n s n H a m,n n=1 olur. ii) ( ) Varsayalım ki A tüm sınırlı dizileri sıfıra limitlesin. Önce, e n (k) = 1, n = k ise 0, n k ise olacak Ģekilde tanımlı e n (k) dizilerini düģünelim. O zaman, m iken 26

34 a m,k = a m,n e (k) n = t (k) n=1 m 0 (2.6) olur. ġimdi, A kesinlikle Schur matrisi olduğundan n=1 a m,n her m için yakınsar ve m de düzgün yakınsar. Böylece, bir ε>0 için bir N tamsayısı vardır öyle ki her m için, n=n+1 a m,n < ε olur. Aynı zamanda (2.6) den dolayı bir M tamsayısı vardır öyle ki, m>m için, N n=1 a m,n < ε olur. Sonuç olarak m>m için, n=1 N n=1 n=n+1 a m,n = a m,n + a m,n < 2ε olur ki buradan (2.5) sağlanır. 27