T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER."

Transkript

1 T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER Zeliha MAĞDEN MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI ADIYAMAN 2012

2 TEZ ONAYI Zeliha MAĞDEN tarafından hazırlanan Sonsuz Matrislerle Tanımlanan Özel Operatörler adlı tez çalıģması aģa ğıdaki jüri tarafından oy birliği ile Adıyaman Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiģtir. DanıĢman: Prof. Dr. Manaf MANAFLI Jüri Üyeleri: BaĢkan: Prof. Dr. Manaf MANAFLI Adıyaman Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Üye: Yrd. Doç. Dr. Ġbrahim GÜMÜġ Adıyaman Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Üye: Yrd. Doç. Dr. Gülsen KILINÇ Adıyaman Üniversitesi Eğitim Fakültesi Yukarıdaki sonucu onaylarım. Doç. Dr. Mustafa ÖZDEN Enstitü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi Sonsuz Matrislerle Tanımlanan Özel Operatörler Zeliha MAĞDEN Adıyaman Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı DanıĢman: Prof. Dr. Manaf MANAFLI Bu çalıģmada sonsuz matrislerle tanımlanan operatörlerle ilgili sınırlılık, toplanabilirlik ve operatörün tersinin varlığı gibi bazı temel kavramlar ile Cesaro, Nörlund, Toeplitz gibi bazı özel operatörlerin bir takım temel özellikleri incelenmiģtir. Anahtar Kelimeler: Sonsuz matris, operatör, toplanabilme, regülerlik, terslenebilirlik. ii

4 ABSTRACT Master Thesis Special Operators Defined By Infinite Matrices Zeliha MAĞDEN Adıyaman University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Manaf MANAFLI In this study, some main concepts such as summability, boundedness, regularity and invertibility of special operators defined by infinite matrices are investigated. Some of the key features of a number of special operators defined by infinite matrices like Cesaro, Norlund, Toeplitz are examined. Key Words: Infinite matrix, operator, summability, regularity, invertibility. iii

5 TEġEKKÜR Yüksek lisans çalıģmamda danıģmanlığımı üstlenerek, tez çalıģmam süresince yardımını ve desteğini esirgemeyen, kendimi yetiģtirip geliģtirmemde mühim katkıları bulunan Sayın Hocam Prof. Dr. Manaf MANAFLI ya ve Sayın Hocam Yrd. Doç. Dr. Muhammed ALTUN a minnet ve Ģükranlarımı sunarım. Ayrıca, araģtırmalarımın her aģamasında tavsiyelerini aldığım Sayın Hocam Yrd. Doç. Dr. Mustafa UÇKUN a, değerli arkadaģlarım ArĢ. Grv. Ebubekir ĠNAN a ve Elif YILDIZ a müteģekkirim. Ġlaveten, bana sonsuz güvenerek, daima destek olan aileme ve eģim Cem MAĞDEN e teģekkürlerimi bir borç bilirim. iv

6 ĠÇĠNDEKĠLER Özet....i Abstract ii TeĢekkür..... iii Ġçindekiler...iv Simgeler Dizini.v 1. GiriĢ Konservatif, Regüler ve Schur Matrisler Toplanabilirlik Metotları Terslenebilirlik.35 Kaynaklar ÖzgeçmiĢ v

7 SĠMGELER DĠZĠNĠ R C s c c 0 l l A A T -1 Reel Sayılar Kümesi Kompleks Sayılar Kümesi Bütün dizilerin uzayı Yakınsak diziler uzayı Sıfıra yakınsayan dizi uzayı Sınırlı diziler uzayı Mutlak yakınsak diziler uzayı A kümesinin yığılma noktalarının kümesi A kümesinin kapanıģı T operatörünün tersi (X,d) Metrik Uzay. Norm Fonksiyonu D(T) R(T) ρ(t) σ(x) supa B(X) T operatörünün tanım kümesi T operatörünün değer kümesi Resolvent (çözücü) küme X in spektrumu A kümesinin En Küçük Üst Sınırı, supremumu Banach uzayında tanımlı tüm sınırlı lineer operatörler kümesi vi

8 BÖLÜM 1 GĠRĠġ Bu bölümde, bazı temel tanım ve teoremler verilecektir. Tanım 1.1. X boģ olmayan bir küme ve K, reel veya karmaģık sayılar cismi olsun. +: XxX X : KxX X ikili iģlemleri her α, β K ve x, y, z X için, aģağıdaki özellikleri sağlıyorsa X kümesine K üzerinde bir lineer uzay (vektör uzayı) adı verilir. L 1 ) x+y=y+x L 2 ) (x+y)+z=x+(y+z) L 3 ) x+θ=x olacak Ģekilde θ X vardır. L 4 ) Her bir x X için x+(-x)=θ olacak Ģekilde bir (-x) X vardır. L 5 ) 1.x=x L 6 ) α(x+y)=αx+αy L 7 ) (α+β)x=αx+βx L 8 ) α(βx)=(αβ)x. 1

9 Tanım 1.2. X bir küme ve XxX te tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer aģağıdaki Ģartlar sağlanıyorsa, d fonksiyonuna X te bir metrik (veya X üzerinde bir uzaklık fonksiyonu) ve (X,d) ikilisine de bir metrik uzay denir. x, y, z X için; M 1 ) d negatif olmayan, sonlu ve reel değerli bir fonksiyondur. M 2 ) d(x,y)=0 x=y M 3 ) d(x,y)=d(y,x) (Bir noktanın kendisine uzaklığı sıfırdır) (Simetri özelliği) M 4 ) d(x,y) d(x,z)+d(z,y) (Üçgen eģitsizliği). Tanım 1.3. N bir lineer uzay olsun.. : N R + fonksiyonunun x teki değerini x ile gösterelim. x, y N ve bir α skaleri için; N 1 ) x =0 x=θ N 2 ) αx = α x N 3 ) x + y x + y (üçgen eģitsizliği) Ģartlarını sağlayan. fonksiyonuna N üzerinde norm denir ve (N,. ) veya sadece N ile gösterilir. Tanım 1.4. Dizi Uzayları: Kompleks veya reel terimli tüm x = (x k ) (k=1,2, ) dizilerinin kümesi s ile gösterirsek; x = (x k ), y= (y k ) ve α bir sabit olmak üzere, x+y= x k + y k ve αx=(α x k ) 2

10 Ģeklinde tanımlanan iģlemler altında bir lineer uz aydır. Diğer bazı dizi uzayları: Yakınsak diziler uzayı: c = {x = (x k ) : (x k ) yakınsak} Sıfıra yakınsayan diziler uzayı: c 0 = {x = (x k ) : (x k ) sıfıra yakınsar} Sınırlı diziler uzayı: l = {x = (x k ) :sup k x k < } Mutlak yakınsak diziler uzayı: l = {x = (x k ) : x k k Bu uzaylardan c 0, c ve l dizi uzayları, <} x = sup k x k normu altında ve l dizi uzayı x = k x k normu altında birer normlu uzaydır. Tanım 1.5. X=(X,d) bir metrik uzay ve (x n ) bu uzayda bir dizi olsun. VerilmiĢ her hangi bir ε > 0 için m,n >n 0 olduğunda d(x m, x n ) < ε olacak Ģekilde bir n 0 =n 0 (ε) sayısı varsa (x n ) dizisine Cauchy dizisi denir. Tanım 1.6. B, karmaģık sayılar cismi C de bir vektör uzayı ve R + = {r R r 0} olmak üzere; i) B uzayında N normu, B R + tanımlı bir fonksiyondur. ii) B uzayı N normuna göre tamdır (B deki her Cauchy dizisinin N normuna göre limiti B dedir). Yukarıdaki Ģartları sağlayan B uzayına N normuna göre tam, normlu lineer uzay (Banach Uzayı) denir. Örnek 1.2. C-Kompleks Sayılar Kümesi. normuna göre Banach uzayıdır. 3

11 Örnek 1.3. c-yakınsak Diziler Kümesi (z k ) = sup k z k normu ile Banach uzayıdır. Örnek l -Sınırlı Diziler Kümesi (z k ) = sup k z k normu ile Banach uzayıdır. Tanım 1.7. n satır ve k sütundan ibaret olup, elemanları karmaģık sayı olan, A= a 0,0 a 0,1 a 0,2 a 0,k a 1,0 a 1,1 a 1,2 a 1,k a n,0 a n,1 a n,2 a n,k tablosuna sonlu matris denir. Kısaca, A=(a i,j ) (i= 0,1,2, n; j=0,1,2, k) ile gösterilir. Tanım 1.8. A = (a n,k ) sonsuz matrisi n = 0,1,2, ve k = 0,1,2, için a n,k karmaģık sayı olmak üzere, A = a n,k = a 0,0 a 0,1 a 0,2 a 0,k a 1,0 a 1,1 a 1,2 a 1,k a n,0 a n,1 a n,2 a n,k Ģeklinde tanımlanır. Tanım 1.9. Matris Çarpımı: Sonlu matrislerde A ve B gibi iki matrisin çarpımının tanımlı olabilmesi için A matrisinin satır sayısı, B matrisinin sütun sayısına eģit olmalıdır. Eğer A bir mxn matris, B de bir nxp matris 4

12 ise, C=AxB bir mxp matris olarak tanımlıdır. C=( c i,j ) matrisinin i. satır ve j. sütununda bulunan c=(c i,j ) elemanı, A matrisinin i.satır elemanları, a i,1 a i,2 a i,n ile B matrisinin j. sütun elemanları, b 1,j b 2,j b n,j lerin karģılıklı çarpımlarının toplamına eģittir. Matris çarpımı sonsuz matrislere geniģletilirse; c n,k = olmak üzere, j=0 a n,j b j,k a n,k b n,k = c n,k çarpımı elde edilir. Tanım Matris DönüĢümleri: X ile Y reel ya da karmaģık terimli dizilerden oluģan iki dizi uzayı ve A = a n,k sonsuz bir matris olsun. Her x X için ((Ax) n ) dönüģüm dizisi mevcut ve Ax Y ise A = a n,k matrisi X uzayından Y uzayı içine bir matris dönüģümü tanımlar denir. A: X Y Ģeklindeki matrislerin sınıfları (X,Y) ile gösterilir (Hardy 1949). Tanım Bir A= (a n,k ) matrisi verilmiģ olsun. Her n için A n x = k a n,k x k mevcut ve n iken A n (x) a ise (x k ) dizisi a ya A 5

13 toplanabilir ya da A- limitlenebilir denir ve A lim k x k = a (Petersen 1966). yazılır Tanım Lineer uzaylarda tanımlı dönüģümlere operatör denir. L ve L aynı F cismi üzerinde iki lineer uzay olsun. T: L L operatörü, α F olmak üzere, T(x+y)=T(x)+T(y) T αx =αt x Ģartını sağlıyorsa T ye lineer operatör denir. için, N ve N normlu uzay ve T: N N lineer operatör olsun her x N T(x) K x (1.1) olacak Ģekilde bir K 0 reel sayısı varsa T ye sınırlı operatör denir. ġimdi her x N {0} için T(x) K x eģitsizliğinin sağlandığı en küçük K yı araģtıralım. Burada θ yı hariç tutabiliriz. Çünkü bu halde T(θ) θ = 0 olup bu değer için en küçük K sıfırdır. x θ ise x 0 olacağından (1.1) nin her iki tarafını x e bölerek yeni bir eģitsizlik elde ederiz. Buradan K, bu eģitsizliğin solundaki ifadenin supremumu kadar küçük olabilir. Bu en küçük K yı T ile gösterelim. Yani, T = sup T(x) x x N, x 0 olsun. Buna T nin normu denir. T sınırlı lineer operatör ise T K dır. Bir X Banach uzayında tanımlı tüm sınırlı lineer operatörlerin kümesi B(X) ile gösterilir. 6

14 Teorem 1.1. A=(a n,k ) ile tanımlı operatör T olsun. i) T B(c) dir ancak ve ancak A = sup n k=1 a nk <, (1.2) Her k için a k : = lim n a nk var, (1.3) a: lim n k=1 a nk var. ii) T B(c 0 ) dır ancak ve ancak her k için a k =0 ve (1.2) ve (1.3) sağlanır. iii) T B(l) dir ancak ve ancak (1.2) varsa. Bu Ģartlarda operatör normu T, dır. iv) T B(l 1) dir ancak ve ancak, T l :l = T c:c = T c0 :c 0 = A A t = = sup n k=1 a nk < olur. Bu durumda T operatör normu 2011). T l1 :l 1 = A t Ģeklindedir (Altun, Tanım Matris Normları: C kompleks ve R de reel sayılar kümesi olmak üzere,. : C mxn R + 0 fonksiyonu aģağıdaki Ģartları sağlıyorsa; A sayısına A = (a ij ) mxn matrisinin normu denir. Bir A matrisinin normu A ile gösterilir. i) A 0 ve A = 0 A = 0 ii) c herhangi bir karmaģık sayı olmak üzere, ca = c A iii) A ve B aynı mertebeden matrisler olmak üzere, A + B A + B (Üçgen EĢitsizliği) iv) A ve B çarpılabilir matrisler olmak üzere, AB A B dir. 7

15 (i), (ii) ve (iii) ile verilen aksiyomla r bir matris normu için gerekli olan aksiyomlardır. (i), (ii) ve (iii ) aksiyomlarını sağlayan reel değerli bir fonksiyon, genelleģtirilmiģ matris normu olarak tanımlanır. Böylece bir matris normu daima genelleģtirilmiģ matris normudur. Fakat bunun tersi doğru değildir. A = (a ij ) mxn matrisinin bazı normları: m l 1 normu (sütun): A 1 = max j=1,2,,n j=1 a ij n l normu (satır): A = max j=1,2,,m j=1 a ij m n l p normu: A p = a p ij i=1 j=1 1 p l p operatör normu: A p = max Ax p : x ϵ C n, x p = 1 Ģeklinde tanımlanır (Bronson 1999). Tanım X=(X,d) bir metrik uzay ve (x n ) X te bir dizi olsun. lim n d x n, x = 0 olacak Ģekilde bir x X varsa (x n ) dizisine X te yakınsak denir (Bayraktar 2006). Tanım {a n } 0 kompleks sayılardan oluģan bir dizi olsun. Eğer lim n 1 n+1 k=0 a k = L varsa {a n } 0 dizisine Cesaro yakınsaktır denir ve (C,1) yakınsaktır Ģeklinde ifade edilir. Cesaro yakınsaklığı, bir dizinin terimlerinin aritmetik ortalamasının yakınsaklığı ile ilgilidir. Teorem 1.2. {a n } 0 L ye yakınsarsa, o halde {a n } 0 L ye (C,1) yakınsar (Tersi doğru değildir). 8

16 Ġspat: ε > 0 verilmiģ olsun. Bir N 1 pozitif tamsayısı vardır öyle ki n N 1 için a n L < 1 2 ε dir. Bir N 2 pozitif tamsayısı vardır öyle ki n N 2 için a a N1 1 N 1 L < 1 2 ε olur. N=maks{N 1,N 2 } olsun. O halde n N için 1 n+1 n k=0 a k L 1 n+1 N 1 1 k=0 a k N 1 L + 1 n+1 n k=n 1 a k n + 1 N 1 L < 1 2 ε + 1 n+1 n k=n 1 [a k L] 1 ε n+1 n k=n 1 [a k L] 1 ε + 1 (n + 1 N 2 n+1 1) 1 ε 1 ε + 1 ε = ε n=0,1, için, a n = 1 + ( 1) n örneğinden dolayı bu ifadenin tersi, doğru değildir. a n 0 dizisi ıraksaktır; ancak a n 0 dizisi, aģağıda göstereceğimiz gibi 1 e Cesaro (C,1) yakınsaktır. ε<0 verilsin. n k=0 a k = n + 2, n çift ise n + 1, n tek ise Buradan, 1 n+1 n k=0 a k 1 n+2 1 = 1 n+1 n+1 N(ε)>(1-ε)/ε pozitif tamsayısını seçelim. n N(ε) ise 1/(n+1)<ε, örneğin n N ε ise o halde 1 n+1 n k=0 a k 1 < ε olur. Tanım X bir metrik uzay olsun. X teki her dizi yakınsak bir alt diziye sahip ise X e kompakttır denir. Tanım (N, ) ve (N, ) aynı skaler cismi üzerinde normlu iki uzay olsun. T: N N bir dönüģüm olsun. x 0 N ise >0 verildiğinde x x 0 < δ için T x T x 0 < ε olacak Ģekilde bir δ>0 reel sayısı 9

17 varsa T, x 0 noktasında süreklidir. T, tüm x 0 N de sürekli ise T ye süreklidir denir. Tanım A, X metrik uzayının bir alt kümesi ve x 0 X olsun. x 0 her bir D (x 0, ε) delik civarı A ya ait bir nokta ihtiva ediyorsa bu x 0 noktasına A nın yığılma noktası denir. A nın yığılma noktaları kümesi A ile gösterilir. Tanım A, X metrik uzayının bir alt cümlesi, x 0 X, A nın yığılma noktası olsun. A nın yığılma noktalarının kümesi olan A ile A nın noktalarından ibaret olan cümleye A nın kapanıģı denir. A ile gösterilir. Yani A = A A dır. A nın kapalı olması için A = A olmalıdır. Tanım A, (X,d) metrik uzayının bir alt cümlesi olsun. Eğer A = X ise A ya X te yoğundur denir. Tanım L, F cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. F=R veya F=C olması durumunda, T: L F operatörüne, yani değerleri reel veya karmaģık sayılar kümesinde olan operatöre fonksiyonel denir. Eğer T lineer ise lineer fonksiyonel; sınırlı ise yani T(x) K x eģitsizliğini sağlayan K 0 ϵ R varsa sınırlı lineer fonksiyonel adını alır. Bir fonksi yonelin normu da operatörlerde olduğu gibi, T = sup T x x 1 ile tanımlanır. C N, N = T T N N sürekli lineer operatörler kümesi, N ve N normlu uzay olması halinde, T = sup T x x 1 normuna göre bir normlu uzaydır. Hatta B nin Banach uzayı olması halinde C N, B = {T: T: N B sürekli lineer operatör} kümesi bir Banach uzayı olur. N kümesinin R veya C olması durumunda, C N, R ve C N, C kümeleri Banach uzayı olur. Bu uzaylara N nin dual uzayı denir. N ile 10

18 gösterilir. Demek ki N normlu uzay ise N cümlesi sürekli lineer fonksiyonellerin uzayıdır. Tanım Özdeğerler, Özvektörler ve Spektrum: Elemanları gerçek veya karmaģık sayı olabilen bir A matrisi ve bir λ parametresi verildiğinde, x 0 vektörü için, Ax= λx vektör denkleminin çözümünü veren λ değerlerine A matrisinin özdeğerleri, buna karģılık gelen x vektörlerine de özvektör denir. X ve Y Banach uzayları ve T: X Y sınırlı lineer operatör olsun. T nin değer kümesini R(T)={y Y: y=tx; x X} ile gösterelim. X uzayından kendi içine tanımlı tüm sınırlı lineer operatörlerin kümesi B(X) olsun. X bir Banach uzayı ve T B(X) ise her ϕ X * ve x X için T nin adjointi T *, (T * ϕ)(x)=ϕt(x) ile tanımlı olup, X in duali olan X * üzerinde bir sınırlı lineer operatördür. X karmaģık normlu uzay ve T: D(T) X, tanım kümesi D(T) X olan bir lineer operatör olsun. λ karmaşık sayı ve I, D T üzerinde birim operatör olmak üzere, T λ ile T λ = T λi operatörünü gösterelim. Eğer varsa bu operatörün tersine resolvent operatör denir ve T 1 λ = (T λi) 1 ile tanımlanır. λ=0 ise T 1 λ = T 1 dir. T 1 λ ile T 1 in çoğu özelliği λ ya bağlıdır ve spektral teorisi bu özelliklerle ilgilidir. X karmaşık normlu uzay ve tanım kümesi D T X olan T: D(T) X bir lineer operatör olsun. T nin regüler değeri λ, bir karmaşık sayıdır, öyle ki; R1) T λ 1 var, R2) T λ 1 sınırlı, 11

19 R3) T λ 1 X te yoğun bir cümlede tanımlıdır. T operatörünün sürekli bir tersinin belirlenmesini sağlayan, tüm regüler λ değerlerinin kümesine resolvent (çözücü) küme denir ve ρ(t) ile gösterilir. Bu kümenin C ye göre tümleyeni olan σ(t)= C\ρ T kümesine T nin spektrumu denir. Spektrum 3 e ayrılır: a) T λ 1 in olmadığı σ p T kümesine nokta spektrumu; bu kümenin üyelerine özdeğerler denir. b) R 2 özelliğini sağlamayıp, R 3 özelliğini sağlayan T λ 1 in var olduğu σ c kümesine sürekli spektrum denir. c) R 3 özelliğini sağlayan T λ 1 in var olduğu σ r kümesine artık spektrum denir. σ T = σ p T σ c T σ r (T). Bir operatörün spektrumu, matrislerin özdeğerleri kavramının genelleģtirilmesidir. Teorem 1.3. (Hahn-Banach Teoremi): N normlu bir uzay, M, N nin bir alt uzayı ve f, M de tanımlı bir fonksiyonel olsun. Bu durumda f, f M = f 0 N olacak Ģekilde N de tanımlı bir f 0 fonksiyoneline geniģletilebilir (Bayraktar 2006). 12

20 BÖLÜM 2 KONSERVATĠF, REGÜLER VE SCHUR MATRĠSLER Genel olarak verilen bir A = (a n,k ) matrisi ile ilgili Ģu soruyu cevaplandırabilmeliyiz: Eğer z n 0 z ye yakınsayan herhangi bir karmaģık dizi ise bu dizinin A-dönüĢümü hangi hallerde (ve özellikle de aynı z limitine) yakınsar? Yukarıdaki soruya cevap olan ve ilk olarak Otto Toeplitz (1911) tarafından ispat edilen Silverman-Toeplitz Teoremi, Toplanabilme Teorisinde önemli bir teoremdir ve matrislerin regülerliğini karakterize eder. Öncelikle ilgili bazı tanım ve teoremlere bakalım. Tanım 2.1. A = (a n,k ) olsun. karmaģık sayılardan oluģan sonsuz bir matris i) Tüm kompleks ve yakınsak dizilerin A-dönüĢümü var ve yakınsaksa (yakınsak her diziyi yakınsak bir diziye dönüģtürüyorsa) A konservatiftir (Powell, Shah 1972). ii) Eğer A konservatif ve limitleri koruyorsa (yakınsak her diziyi yakınsak bir diziye limitleri koruyar ak dönüģtürüyorsa) regülerdir (Powell, Shah 1972). A = (a n,k ) karmaģık sayılardan oluģan bir matris olsun. A regüler ise sup n k=0 a n,k < olmalıdır. iii) z n 0 dizisinin A-dönüĢümü y ye yakınsarsa z n 0 dizisi y ye A- toplanabilirdir (Maddox 1970). 13

21 iv) Eğer A tüm sınırlı dizileri yakınsak bir diziye dönüģtürüyorsa Schur matristir (Petersen 1966). ġimdi yakınsaklık koruyan (konservatif) matrisleri karakterize eden ve Silverman-Toeplitz Teoreminden daha genel olan bir teorem yazalım. Teorem 2.1. Kojima-Schur Teoremi: Bir A matrisi konservatiftir ancak ve ancak, (i) sup n k=0 a n,k <, (ii) lim n a n,k = a k, (iii) lim n k=0 a n,k = a olmasıdır. ġimdi ise Silverman-Toeplitz teoremini ve ispatını verelim. Teorem 2.2. Silverman-Toeplitz Teoremi: Bir A= (a n,k ) matrisi regülerdir ancak ve ancak; i. k = 0,1,2, için lim n a n,k = 0 (c 0 KoĢulu) ii. lim n k=0 a n,k = 1 (Satır-Toplam KoĢulu) iii. Bir M>0 için, sup n k=0 a n,k M < (Satır-Norm KoĢulu) (Powell, Shah 1972). Ġspat: ( ) (i), (ii) ve (iii) Ģartlarının var olduğunu kabul ederek A = (a n,k ) matrisinin regülerliğini ispatlayalım. z k 0, z ye yakınsayan bir dizi olsun. Öyleyse k = 0,1,2, için öyle bir T>0 vardır ki z k T dir. (iii) den dolayı yakınsak olduğundan k=0 a n,k z k her sabit n için yakınsaktır. k=0 a n,k. T k=0 a n,k z k yakınsar. 14

22 z n 0 dizisinin z ye yakınsadığını kabul ederek, σ n 0 dizisinin de z ye yakınsadığını göstereceğiz ( σ n = k=0 a n,k z k ). Önce z n 0 dizisinin z = 0 a yakınsama durumuna bakalım. ε > 0 verilsin. Bir N(ε) bulmalıyız öyle ki n N(ε) iken σ n z = σ n < ε ve dolayısıyla k=0 a n,k z k < ε olsun. sup n k=0 a n,k M < olduğundan ve z n 0 sıfıra yakınsadığından bir pozitif N 1 (ε) = N 1 vardır öyle ki n N 1 iken, z n ε ve z 2M+1 N 1 1 ε > 0 2M+1 (eğer N 1 = 0 ise n = 0,1,2, için z n ε 2M+1 dir). N 1 0 ise o halde, σ n = N 1 1 k=0 a n,k z k k=0 a n,k z k + k=n 1 a n,k z k (2.1) dir. (iii) den dolayı ε a n,k z k < a 2M+1 n,k M < 1 k=n ε 1 k=n 1 (2.2) 2M+1 2 ε dir. N 2 0, ε,, N 2 N 1 1, ε pozitif tamsayıları bulunsun öyle ki n N 2 k, ε iken k = 0,1,, N 1 1 için a n,k ε 2TN 1 dir ((i) den dolayı). N ε = maks N 2 0, ε,, N 2 N 1 1, ε olsun. n N ε ise o halde N 1 1 N k=0 a n,k z k 1 1 k=0 a n,k z k < Bu durumda (2.1), (2.2), (2.3) ten dolayı, 1 2 ε (2.3) σ n N 1 1 a n,k k=n 1 k=0 z k + a n,k z k < 1 2 ε ε = ε olur. Buradan σ n 0 dizisi sıfıra yakınsar. 15

23 ġimdi z n 0 dizisinin sıfırdan farklı bir z ye yakınsadığını düģünelim. w n 0 dizisini, n = 0,1,2, için, w n = z n z Ģeklinde tanımlayalım. w n 0 dizisi sıfıra yakınsadığından lim n k=0 a n,k w k = 0 dır. Yani, 0 = lim n k=0 a n,k (z k z) = lim ( k=0 a n,k z k k=0 a n,k z) n = lim n k=0 a n,k z k z lim k=0 a n,k = lim n k=0 a n,k z k z ((ii) den) n Böylece dolayı A = (a n,k ) regülerdir. z n 0 dizisinin A-dönüĢümü z ye yakınsar ve bundan ( ) ġimdi A = (a n,k ) nın regülerliğinin (i), (ii) ve (iii) Ģartlarını gerektirdiğini ispatlayalım. k sabit olsun. z n 0 dizisini, z n = 0, n k ise 1, n = k Ģeklinde tanımlayalım. Açıktır ki z n 0 dizisi sıfıra yakınsar. A = (a n,k ) regüler olduğundan, 0 = lim n σ n = lim n j=0 a n,j z j = lim n a n,k dır. Bu (i) durumunu ispatlar. n = 0,1,2, için w n = 1 olacak Ģekilde w n 0 dizisini tanımlayalım. w n 0 1 e yakınsadığından ve A = (a n,k ) regüler olduğundan, 1 = lim σ n = lim n k=0 a n,k w k = lim n k=0 a n,k n 16

24 elde ederiz. Öyleyse (ii) sağlanır. (iii) Ģartının ispatı için önce k=0 a n,k nın her n için yakınsadığını göstermeliyiz. Aksini kabul edelim. Bir N vardır öyle ki ıraksasın (yani k=0 a n,k k=0 a N,k =). Buradan 0 = K 0 < K 1 < K 2 tamsayıları K j 1 k=k j 1 vardır öyle ki j = 1,2, için a N,k > 1 dir. z k 0 dizisini, 0, k 0 veya a N,k = 0 ise z k = a N,k ja N,k, a N,k 0 ve K j 1 k K j ( j = 1,2, için) Ģeklinde alalım. z k 0 kümesi sıfıra yakınsadığından ve A = a n,k regüler olduğundan Fakat, k=0 a n,k z k n = 0,1,2, için, özellikle de n = N için yakınsar. k=0 a N,k z k = K j 1 1 k=k j 1 j j=1 a N,k = 1 K j 1 j=1 a j k=k j 1 N,k 1 j=1 j = olur, yani ıraksar. Bu bir çeliģkidir. Bu nedenle 0,1,2, için yakınsar. k=0 a n,k n = ġimdi k=0 a n,k 0 dizisinin düzgün sınırlı olduğunu göstermek için sup n k=0 a n,k = olduğunu kabul ederek bir çeliģki bulalım. m k 0, n k 0 tamsayı dizilerini aģağıdaki Ģekilde oluģturalım. m 0 = 0 ve n 0 = min n: n 1 ve k=n+1 a m 0,k < 1 seçelim ( j 1 için k=n+1 a m 0,k yakınsadığından n 0 vardır). m 0,, m j 1 ve n 0,, n j 1 17

25 n j 1 k=0 m j = min m m > m j 1, k=0 a m,k > j 2 + 2j + 2 ve a m,k < 1 olsun. Bir m j tamsayısı vardır çünkü, i) M 1 > m j 1 seçebiliriz öyle ki k = 0,1,2,, n j 1 ve tüm M M 1 için a M,k < 1 n j dir (her sabit k için lim n a n,k = 0 Ģartından dolayı). ii) M 2 > M 1 seçebiliriz öyle ki k=0 a M2,k > j 2 + 2j + 2 olur (sup n k=0 a n,k = Ģartından dolayı). n j = min n n > n j 1 ve k=n+1 a m j,k < 1 seçelim. Böyle bir n j tam sayısı vardır çünkü k=0 a m j,k yakınsaktır. z k 0 dizisini, z k = a m j,k ja (m j,k ), n j 1 < k n j j = 1,2, ve a m j,k 0 ise, 0, diğer durumlarda ile tanımlayalım. Bu dizi sıfıra yakınsadığından ve A regüler olduğundan, σ n = k=0 a n,k z k olduğunda σ n 0 dizisi de yakınsak olmalıdır. O halde, σ m j = a m j,kz k n j 1 k=0 n j k=n j 1 k=0 = a m j,kz k + a m j,kz k + k=n j +1 a m j,kz k n j a m j,kz k n j 1 k=n j+1. a k=n j 1 +1 m j,k z k=0 k a m j,k z k Buradan, σ mj 1 j n j a k=n j 1 +1 m j,k 1 1 = 1 ( a j k=0 m j,k a m j,k k=n j +1 a m j,k ) 2 k=0 n j 1 18

26 1 j ( j2 + 2j ) 2 = 1 j j 2 + 2j 2 = j olur. σ n 0 ıraksaktır çünkü alt dizisi, σ m j 0 sınırsızdır. Bu istediğimiz çeliģkiyi verir. Bu yüzden bir M>0 için sup n teoremin ispatı tamamlanır. k=0 a n,k M < olur ve A = (a n,k ) nın regülerliğini ispatlarken kullandığımız Silverman- Toeplitz Teoreminin (iii) Ģartını ispatlamanın daha kolay bir yolu vardır. (iii) Ģartının gerekliliği, teorem 2.4 de ifade edilmiģ olup, ispatı Düzgün Sınırlılık Prensibi (Uniform Boundedness Principle) ile yapılacaktır. Önce Düzgün Sınırlılık Prensibine bakalım. Teorem 2.3. (Düzgün Sınırlılık Prensibi): X Banach uzayı, Y normlu uzay ve {T n }, T n : X Y Ģeklinde tanımlı bir sürekli lineer operatörler ailesi olsun. Bu durumda x X için C x : sup n T n (x) <C x < ise sup n T n <C< olur (Powell, Shah 1972). Banach-Steinhouse Teoremi olarak da bilinen Düzgün Sınırlılık Prensibi Bir Banach uzayından normlu uzaya tanımlı sürekli lineer operatörler kümesi sınırlıdır. Ģeklinde de ifade edilebilir. Satır-Norm KoĢulu olarak ifade ettiğimiz (iii) Ģartının gerekliliğini gösteren teorem ve ispatı aģağıdaki gibidir. Teorem 2.4. A = (a n,k ) regüler ise, bir M>0 için, sup n k=0 a n,k M < dir. 19

27 Ġspat : A = (a n,k ) regüler ise n için ). A n : c C, A n z = a n,k k=0 < k=0 yakınsaktır ( a n,k k=0 a n,k z k olsun. c de bir z elemanını sabitleyelim. Bu durumda, (A n z) c olduğundan bir T sayısı vardır ki, A n z T dir. O halde Düzgün Sınırlılık Prensibi uygulanabilir demektir. Yani, sup n A n < olur. ġimdi, A n : c C bir operatör ve x k = a n,k a n,k k N ve a n,k 0, 0 diğer durumlarda, Ģeklinde tanımlanmıģ olsun. A n = sup z =1 A n z = sup z =1 k=0 a n,k x k sup z =1 k=0 a n,k x k k=0 a n,k yazılabilir. Ayrıca, A n = sup z =1 A n z sup z =1 k=0 a n,k z k sup z =1 k=0 a n,k x k = k=0 a n,k N yani, A n k=0 a n,k dır. Böylece, A n = k=0 a n,k elde edilir. A A n = sup n z z θ = a z k=0 n,k olduğundan, sup n A n = sup n ( k=0 a n,k ) < olur. 20

28 1 Tanım 2.2. (Matris Kuvveti): A = a n,k, m pozitif tamsayı ve a n,k olmak üzere, A m m = a n,k = a n,k m a n,k m = a n,k m 1 a n,k ile tanımlanabilir. Bu genel matris çarpımıdır (Powel, Shah 1972). Teorem 2.5. k > n için a n,k = 0 olan A = a n,k matrisi regüler m herhangi bir pozitif tam sayı olmak üzere A m matrisi de regülerdir (Powell, Shah 1972). Ġspat: A=A 1 1 = a n,k matrisinin regülerliğini biliyoruz. A k (m 2) için regüler olduğunu düģünelim. A m nın k=1,,m-1 nin de regüler olduğunu göstermek istiyoruz. z k 0 z ye yakınsayan bir karmaģık sayı dizisi olsun. σ n 0, z k 0 dizisinin A m m = a n,k dönüģümü olsun. Yani, σ n = a m n k=0 n,k z k = k=0 a m n,k z k olur. t n 0, z k 0 dizisinin A m -1 m 1 = a n,k dönüģümü olsun. Yani, t n = a m 1 n k=0 n,k z k = k=0 a m 1 n,k z k dır. t n 0 A m-1 regüler olduğundan z ye yakınsar. σ n = n a m n n k=0 n,k z k = k=0 h=k a 1 n,h z k a m 1 n,h z k n 1 h k=0 a m 1 h,k z k = a n,h n h=k = h=0 a 1 n,h t n. A 1 1 = a n,k regüler ve σ n, z ye yakınsayan t n 0 dizisinin A 1 dönüşümü olduğundan σ n 0 z ye yakınsar ve A m regülerdir (Powell, Shah 1972). 21

29 Teorem 2.6. A = a n,k regüler matris ise sınırlı ve ıraksak bir z n 0 dizisi vardır öyle ki, z n 0 dizisinin A-dönüĢümü ıraksar (Powell, Shah 1972). Teorem 2.7. z k 0 sınırlı bir dizi ise bir A regüler matrisi vardır öyle ki z k 0 dizisinin A dönüģümü yakınsar (Powell, Shah 1972). Teorem 2.8. z k 0 ve w k 0 sınırlı diziler ve z k 0 ıraksak olmak üzere bir A regüler matrisi vardır öyle ki z k 0 dizisinin A dönüģümü w k 0 dır (Powell, Shah 1972). Teorem 2.9. z k 0 sınırlı dizi ve w k 0 keyfi bir dizi olmak üzere bir A regüler matrisi vardır öyle ki z k 0 dizisinin A-dönüĢümü w k 0 dır (Powell, Shah 1972). Tanım 2.3. Eğer regüler ve verilmiģ - a veya + a ıraksayan reel bir x n 0 dizisinin A-dönüĢümü de - a veya + a ıraksar ise A reel dönüģümüne tamamen regülerdir denir (Powel, Shah 1972). Tanım 2.4. Eğer tüm n=0,1, ve k k0 için a n,k 0 olacak Ģekilde bir k 0 varsa A = a n,k pozitiftir (Powel, Shah 1972). Teorem A = a n,k reel dönüģümü regüler ve pozitif ise A tamamen regülerdir (Powel, Shah 1972). Teorem A = a n,k reel dönüģümü alt üçgensel ve tamamen regüler ise A regüler ve pozitiftir (Powell, Shah 1972). Schur matris yakınsaklık üreten matris olarak bilinmektedir. AĢağıdaki teorem, bir matrisin Schur matris olması için gerek ve yeter Ģartları göstermektedir. Açıktır ki regüler bir matris tüm sınırlı dizileri 22

30 limitleyemediğinden (sınırlı dizileri sınırlı dizilere dönüģtürmediğinden) bu koģullardan birini sağlamaz. Teorem Bir A = (a m,n ) matrisinin Schur Matris olması için gerek ve yeter Ģartlar Ģunlardır: a) Her n için lim m a m,n var ve b) n=1 a m,n her m için yakınsaktır ve bu yakınsama düzgündür (Petersen 1966). Ġspat i) ( ) A matrisinin iki koģulu da sağladığını düģünelim. {s n } sonlu bir dizi ise (b) den dolayı, A dönüģümü t m = n=1 a m,n s n ile verilir. Bununla birlikte, seriler m ye düzgün yakınsar. düzgün yakınsadığını göstermek istiyoruz. t m nin Verilen bir ε > 0 için bir N vardır öyle ki, her m için, t m N n=1 a mn s n < ε dir. Her n için lim m a m,n var olduğundan, bir M vardır öyle ki her m 1, m 2 >M için, N N n=1 a m 1,ns n n=1 a m 2,ns n < ε olur. m 1, m 2 >M olduğundan, t m 1 t m 2 t m 1 N a m 1,ns n N n=1 + n=1 a m 1,ns n n=1 a m 2,ns n N N + n=1 a m 2,ns n t m 2 < 3ε. 23

31 Buradan t m yakınsar. ii) ( ) A bir Schur matris olsun. (a) e n k = 1, n = k 0, n k ile tanımlı e n (k) (k=1,2, ) dizilerini alalım. t n (k) = a m,k ve e n (k) sınırlı olduğundan, lim m a m,k vardır. Bu limiti α k ile gösterelim. (b) Schur matris kesin bir limitleme metodu olduğundan n=1 a m,n her m için yakınsar ve Silverman-Toeplitz teoreminden bir K vardır öyle ki, her m için n=1 α n yakınsar. n=1 a m,n < K dır. Ayrıca her N için, n=1 α n K dır, öyleyse N b m,n = a m,n α n ile tanımlanan B = b m,n matrisi kesinlikle Schur matrisidir. n=1 b m,n nin düzgün yakınsadığını göstererek n=1 a m,n nin düzgün yakınsaklığını kurabiliriz. Varsayalım ki, n=1 b m,n düzgün yakınsamasın. Bu demektir ki, öyle bir γ>0 vardır ki, her ν tamsayısı için, bir μ j ν tamsayı dizisi vardır öyle ki, n=ν b μj ν,n > 5γ dir. Her n için, m iken b m, n 0 olmasından yararlanarak, m k tam sayılarından oluşan bir dizi ve v k tam sayılarından oluşan artan bir dizi kuralım. ν=1 alırsak, öyle bir m 1 vardır ki, 24

32 n=1 b m 1 n > 5γ ve b m 1 1 < γ dir. Genel olarak, vk sayılarını tamsayı seçersek, öyle mk sayıları vardır ki, n=ν k +1 b m k,n > 5γ ve n=1 b m k,n < γ ν k dir. Sonra n=1 b m k,n yakınsadığı için, ν k+1 (> ν k ) seçebiliriz öyle ki, n=ν k b m k,n < γ ve buradan da ν k +1 n=ν k +1 b m k,n > 3γ elde edilir. ġimdi, s n = ( 1)k sgn(b mk,n ), ν k + 1 n ν k+1 olduğunda (k = 1,2, ) 0, diğer durumlarda olsun. s n 1 ; ancak s n in B-dönüĢümü {t m } öyle ki; k tek sayı olduğunda, t mk = v k +1 b m k,ns n v k n=1 n=1 + n=v k +1 n=v k b m k,n > γ ve benzer olarak, k çift olduğunda t mk < γ olur. Buradan {t m } ıraksak olduğundan b mn Schur matrisi olamaz. Böylece ispat tamamlanır. 25

33 Sonuç Bir matris hem regüler hem de Schur matris olamaz. Çünkü A = (a m,n ) regüler ise A tarafından ıraksak bir diziye dön üģtürülebilen sınırlı bir dizi vardır. Ġspat: A = (a m,n ) regüler bir Schur matrisi olsun. Buradan her n için lim m a m,n = α n vardır ve n=1 α n yakınsar. Üstelik n=1 α m,n nin düzgün yakınsaklığı, m için n=1 α m,n n=1 α n (2.4) ile sağlanır. Oysaki Silverman-Toeplitz teoremi (i) den α n = 0, (ii) den dolayı m için n=1 α m,n 1 olur ki bu da (2.4) ile çelişir. Sonuç A = (a m,n ) matrisi her sınırlı diziyi sıfıra limitler ancak ve ancak n=1 a m,n her m için yakınsar ve m iken, n=1 a m,n (2.5) dir. Ġspat: i) ( ) Varsayalım ki (2.5) koģuları sağlansın. Eğer {s n } sınırlı bir dizi ise ( s n H diyelim) A-dönüĢümü olan {t m } vardır ve m için, t m = n=1 a m,n s n H a m,n n=1 olur. ii) ( ) Varsayalım ki A tüm sınırlı dizileri sıfıra limitlesin. Önce, e n (k) = 1, n = k ise 0, n k ise olacak Ģekilde tanımlı e n (k) dizilerini düģünelim. O zaman, m iken 26

34 a m,k = a m,n e (k) n = t (k) n=1 m 0 (2.6) olur. ġimdi, A kesinlikle Schur matrisi olduğundan n=1 a m,n her m için yakınsar ve m de düzgün yakınsar. Böylece, bir ε>0 için bir N tamsayısı vardır öyle ki her m için, n=n+1 a m,n < ε olur. Aynı zamanda (2.6) den dolayı bir M tamsayısı vardır öyle ki, m>m için, N n=1 a m,n < ε olur. Sonuç olarak m>m için, n=1 N n=1 n=n+1 a m,n = a m,n + a m,n < 2ε olur ki buradan (2.5) sağlanır. 27

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ

NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ ÖZEL EGE LİSESİ NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Fatma Gizem DEMİRCİ Hasan Atakan İŞBİLİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gülşah ARACIOĞLU İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için HAHN-BANACH TEOREMİ VE SONUÇLARI G.F.Simmons 1963 tarihli Introduction to Topology and Modern Analysis adlı mükemmel kitabında soyut bir matematisel yapıyı anlamanın en iyi yollarından biri olarak o matematiksel

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ

SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ OLÝMPÝK MATEMATÝK SERÝSÝ MATEMATÝK OLÝMPÝYATLARINA HAZIRLIK ÝÇÝN MERAKLISINA SAYILAR TEORÝSÝNE GÝRÝÞ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVÝ ÝZMÝR - 2013 Copyright Altýn Nokta Basým Yayýn Daðýtým Biliþim ISBN

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Sayı 7(1) 2014, 25-36 İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA Tuğba PİŞTOFOGLU (tugbapistofoglu@gmail.com)

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

ANALİZ III. Mert Çağlar

ANALİZ III. Mert Çağlar ANALİZ III Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü

Detaylı

' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun

' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun Fonksiyonel Analize Giriş I Aras nav Sorular 24. 11. 2006 1. (a) Normun tan m n yaz n z. (b) (X; kk) bir normlu uzay olsun. sürekli oldu¼gunu gösteriniz. ' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini,

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ- Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 4 00 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

Üye : Yrd. Doç. Dr. Erdal ÖZYURT Adnan Menderes Üni. Üye : Yrd. Doç. Dr. Fatih KOYUNCU Muğla Üni.

Üye : Yrd. Doç. Dr. Erdal ÖZYURT Adnan Menderes Üni. Üye : Yrd. Doç. Dr. Fatih KOYUNCU Muğla Üni. iii T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Programı öğrencisi Koray KARATAŞ tarafından hazırlanan Genel Lineer Grupların Sylow

Detaylı

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 18. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTLRI BİRİNCİ ŞM SORULRI SINV TRİHİ VESTİ:30 MRT 2013 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav süresi 150 dakikadır. SINVL İLGİLİ

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir

Detaylı

ASİMPTOTİK GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER VE SABİT NOKTA İTERASYONLARI. Şuheda TÜRKAN

ASİMPTOTİK GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER VE SABİT NOKTA İTERASYONLARI. Şuheda TÜRKAN ASİMPTOTİK GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER VE SABİT NOKTA İTERASYONLARI Şuheda TÜRKAN Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Prof. Dr. Murat ÖZDEMİR 2014 Her hakkı

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

A. BÖLÜMÜN GENEL TANIMI : Bölüm koordinatörünün adı soyadı: Yrd. Doç.Dr. Hüseyin YILDIRIM

A. BÖLÜMÜN GENEL TANIMI : Bölüm koordinatörünün adı soyadı: Yrd. Doç.Dr. Hüseyin YILDIRIM A. BÖLÜMÜN GENEL TANIMI : Bölüm koordinatörünün adı soyadı: Yrd. Doç.Dr. Hüseyin YILDIRIM Bölüm koordinatörünün adresi: AKÜ F.E.F. Matematik Bölümü ANS Kampüsü 03200 Afyonkarahisar / Türkiye Bölüm koordinatörünün

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Yard. Doç. Dr. İrfan DELİ. Matematik

Yard. Doç. Dr. İrfan DELİ. Matematik Unvanı Yard. Doç. Dr. Adı Soyadı İrfan DELİ Doğum Yeri ve Tarihi: Çivril/Denizli -- 06.04.1986 Bölüm: E-Posta Matematik irfandeli20@gmail.com, irfandeli@kilis.edu.tr AKADEMİK GELİŞİM ÜNİVERSİTE YIL Lisans

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: R. TUNÇ MISIRLIOĞLU Doğum Tarihi: 1971 Adres: İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Ataköy Kampüsü, 34156 Bakırköy-İstanbul

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

Matlab da Dizi ve Matrisler. Mustafa Coşar

Matlab da Dizi ve Matrisler. Mustafa Coşar Matlab da Dizi ve Matrisler Mustafa Coşar MATLAB Değişkenleri Matlab da değişkenler; skaler, dizi(vektör), matris veya metin (string) türünde olabilirler. Örnek olarak: a=1; b=-3.2e3; c=22/5; metin= mustafa

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı