BERTRAND EĞRİ ÇİFTİNE AİT FRENET ÇATISINA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ ÜNZİLE ÇELİK

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BERTRAND EĞRİ ÇİFTİNE AİT FRENET ÇATISINA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ ÜNZİLE ÇELİK"

Transkript

1 .C. ORDU ÜNİVERSİESİ FEN İLİMLERİ ENSİÜSÜ ERRAND EĞRİ ÇİFİNE Aİ FRENE ÇAISINA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ ÜNZİLE ÇELİK YÜKSEK LİSANS EZİ ORDU 06 I

2 II

3 III

4 ÖZE ERRAND EĞRİ ÇİFİNE Aİ FRENE ÇAISINA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ Ünzile ÇELİK Ordu Ünirsitesi Fen ilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 05 Yüksek Lisans ezi 79s. Danışman: Yrd. Doç. Dr.Süleyman ŞENYUR u çalışma altı bölüm halinde düzenlenmiştir. Giriş ölümünde çalışmanın amacı konunun ele alınma nedeni tartışıldı. Önceki Çalışmalar ölümünde Smarandache eğrileri ile ilgili çalışmalara yer rildi. Genel ilgiler ölümünde Öklid uzayı ile ilgili bilgilerden söz edildi. Materyal Yöntem ölümünde Öklid uzayında ertrand eğri çiftleri Smarandache eğrileri ile ilgili temel kavramlar anlatıldı. ulgular ölümü çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır. ertrand eğrisine ait partner eğrisinin Frenet ktörleri birim Darboux ktörü konum ktörü olarak alındığında elde edilen Smarandache eğrilerinin eğrilik burulmaları hesaplandı bulunan bu değerler ertrand eğrisine bağlı olarak ifade edildi.son olarak elde edilen Smarandache eğrilerinin ertrand eğri çiftine dahil olup olmadığı incelendi. Anahtar Sözcükler: Öklid Uzayı ertrand Eğri Çifti Smarandache Eğrisi IV

5 ASRAC SMARANDACHE CURVES OF ERRAND CURVE PAİR ACCORDING O FRENE FRAME Ünzile ÇELİK Unirsity of Ordu Institute for Graduate Studies in Science andechnology Department of Mathematic 05 MSc. hesis 79p. Supervisor: Asst. Prof. Dr. Süleyman ŞENYUR his study consist six fundamental chapters. In the introduction chapter theaim of study and the reasons why this subject is interestedare gin. hen extchapter is cored with literatüre review of Smarandache cur. In general formation chapter is included with some information about Euclidean space. he basic consepts of ertrand cur pair and Smarandache curs on Euclidean space are gin in the material and method chapter. he Findings chapter is theoriginal part of the study. In this chapter when the Frenet ctors and the unit Darboux ctor of the partner cur of ertrand cur are taken as the position ctors the curvature and the torsion of Smarandache curs are calculated. hese values are expressed depending upon the ertrand cur and it is examined whether the resulting Smarandache curs ha relations with ertrand curs. Key Wor: Euclidean Space ertrand Cur Smarandache Curs V

6 EŞEKKÜR üm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi deneyimleriyle yardımlarını esirgemeyen saygıdeğer hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYUR a en samimi duygularım ile teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca benim bu günlere gelmemde büyük pay sahibi olan aileme en içten şükranlarımı sunuyorum. VI

7 İÇİNDEKİLER Sayfa EZ İLDİRİMİ.... ÖZE..... ASRAC EŞEKKÜR..... İÇİNDEKİLER..... ŞEKİLLER LİSESİ... SİMGELER KISALMALAR I II III IV V VI VII. GİRİŞ ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR GENEL İLGİLER MAERYAL YÖNEM Öklid Uzayında ertrand Eğri Çifti Öklid Uzayında Smarandache Eğrileri ULGULAR N N Smarandache Eğrisi Smarandache Eğrisi Smarandache Eğrisi N Smarandache Eğrisi NC Smarandache Eğrisi SONUÇ ÖNERİLER Sonuçlar Öneriler KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ VII

8 ŞEKİLLER LİSESİ Şekil No Sayfa Şekil.. Darboux Vektörü... 9 Şekil.. ertrand Eğri Çifti Şekil.. ertrand Eğri Çiftine Ait Frenet Çatılarının Gösterimi Şekil.. s Eğrisi Şekil.. N -Smarandache Eğrisi Şekil.5. N -Smarandache Eğrisi... Şekil.6. N-Smarandache Eğrisi.. Şekil.7. NC -Smarandache Eğrisi... Şekil 5.. ertrand Eğri Çifti Şekil 5.. N Şekil 5.. Şekil 5.. N Şekil 5.5. N -Smarandache Eğrisi Smarandache Eğrisi Smarandache Eğrisi SmarandacheEğrisi Şekil 5.6. NC -Smarandache Eğrisi VIII

9 SİMGELER KISALMALAR LİSESİ E S S : -boyutlu Öklid uzayı : Öklid Uzayında irim küre : Dual Uzayında irim Küre : Norm N C W : İç çarpım : Vektörel çarpım : eğet Vektör : Aslinormal Vektör : inormal Vektör : irim Darboux ktörü : Darboux ktörü : Eğrinin eğriliği : Eğrinin burulması (torsiyon) : N -Smarandache Eğrisi : N -Smarandache Eğrisi : -Smarandache Eğrisi : N -Smarandache Eğrisi : N C 5 -Smarandache Eğrisi IX

10 . GİRİŞ -boyutlu Öklid uzayında eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde birçok çalışmalar yapılmaktadır. Özellikle eğrilerin karşılıklı noktalarında Frenet çatıları arasında bağıntılar kurularak birçok yeni teoriler elde edilmektedir. unlardan biriside ertrand eğrisidir. ertrand eğrisi ilk olarak 850yılında ertrand Russel tarafından tanımlanmıştır. eğrilerinin aslinormal ktörleri birbiriyle lineer bağımlı ise ertrand eğrisi eğrisine eğrisinin ertrand partner eğrisi ertrand eğri çifti denilmektedir. eğrisine ikilisine de 008 yılında urgut Yılmaz tarafından yapılan çalışmada Smarandache eğrileri tanımlanmıştır. Smarandache eğrileri; eğrinin Frenet ktörleri konum ktörü olarak ele alındığında elde edilen regüler eğrilerdir. u çalışmada ertrand eğri çifti olmak üzere ertrand partner eğrisinin Frenet ktörleri N birim Darboux ktörü C ile gösterilirse bu ktörler tarafından oluştulan N N N NC Smarandache eğrilerinin tanımları rilerek eğrilikleri hesaplandı. Daha sonra bu eğrilikler ertrand eğrisinin eğrilikleri cinsinden ifade edildi.

11 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR urgut Yılmaz 008 yılında Smarandache Curs in Minkowski space-time isimli çalışmada Minkowski uzayında Smarandache eğrisinin tanımını ifade ederek E de Smarandache eğrisine ait bazı özel durumlarını incelemiş bu eğrinin Frenet elemanlarını hesaplanmıştır. Ali 00 yılında Special Smarandache Curs in Euclidian Space isimli çalışmada bazı özel Smarandache eğrilerini tanımlayarak bu eğrilere ait Frenet-Serret invaryantlarının özel durumlarını çalışmıştır. Çetin ark. (00) SmarandacheCursAccordingtoishopFrame in Euclidian - Space isimli çalışmada Öklid uzayında ishop çatısına göre özel Smarandache eğrilerini araştırmışlar bu eğrilerin bazı diferansiyel geometrik özelliklerini rmişlerdir. Ayrıca Smarandache eğrisine aitoskülatör kürenin merkezini kürenin eğriliği ile ilgili sonuçlar bulmuşlardır. Şenyurt Sivas (0) Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama isimli çalışmada eğrisinin Frenet ktörleri üzere NC N birim Darboux ktörüc olmak -Smarandache eğrisini tanımlamışlar bununla birlikte Smarandache eğrilerinin eğriliklerini hesaplamışlardır. N N - ektaş Yüce (0) Special Smarandache Curs According to Darboux Frame in Euclidian -Space isimli çalışmada Öklid uzayında Darboux çatısına ait Smarandache eğrilerini incelemişler bu eğrilere ait bazı karakterizasyonları sonuçları rmişlerdir. ayrak ark. (0) Special SmarandacheCurs in E isimli çalışmada Minkowski uzayında regüler bir eğriye ait Frenet ktörleri tarafından oluşturulan Smarandache eğrilerini inceleyerek bazı sonuçlar bulmuşlardır. aşköprü osun (0) Smarandache Curs According to Sabban Frame on S isimli çalışmada S birim küresi üzerinde Sabban çatısına göre Smarandache eğrilerini incelemişler bu eğrilerin karakterizasyonları ile ilgili sonuçlar elde etmişlerdir.

12 Çalışkan Şenyurt (05) SmarandacheCurs in erms of Sabban Frame of Spherical Indicatrix Curs isimli çalışmada küresel gösterge eğrilerinin Sabban çatısına göre Smarandache eğrilerini araştırmışlar bu eğrilerin bazı karakterizasyonlarıyla ilgili sonuçlar elde etmişlerdir. Çalışkan Şenyurt (05) Smarandache Curs in erms of Sabban Frame of Fixed Pole Curs isimli çalışmada irim Darboux ktörünün küre yüzeyinde çizdiği eğrinin Sabban çatısına göre Smarandache eğrilerini araştırmışlar bu eğrilerin bazı karakterizasyonlarıyla ilgili sonuçlar elde etmişlerdir.

13 . GENEL İLGİLER u bölümde -boyutlu Öklid uzayına ait temel kavramlara yer rilmiştir. anım.. A bir cümle V de K cismi üzerinde bir ktör uzayı olsun. f : AA V fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa A ya V ile birleştirilmiş Afin uzay denir: A: P Q RA için f ( P Q) f ( Q R) f ( P R) A: PA V için f ( P Q) olacak şekilde bir tek Q A noktası vardır. anım.. V A ile birleşen bir afin uzay olsun. P0 P... Pn A noktaları için P0 P P0 P... P0 Pn cümlesi V P0 P... Pn nin bir bazı ise n nokta -lisine A afin uzayının bir afin çatısı denir. urada P 0 noktasına çatının başlangıç noktası P i n noktalarına da çatının birim noktaları denir. boyv n ise A ya n i bir Afin uzay denir. -boyutlu anım.. V A ile birleşen bir afin uzay olsun. :V V IR fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa bu fonksiyona bir iç çarpım fonksiyonu denir: x y z V a bir için i) ilineerlik Aksiyomu; ax by z ax z b y z x ay bz ax y bx z ii) Simetri Aksiyomu; x y y x iii) Pozitif anımlılık (Kararlılık) Aksiyomu; x x 0 x x 0 x 0. r

14 anım.. Reel standart afin uzayı n IR olmak üzere X Y IR n için n n : IR IR IR X Y xiyi n i şeklinde tanımlı fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. u iç çarpıma iç çarpım ya Öklid iç çarpım denir. Standart iç çarpımın tanımlı olduğu uzayı ile birleşen afin uzayına gösterilir. Örnek.. X Y IR olmak üzere n n IR de standart n IR -boyutlu standart Öklid uzayıdenir ktör n E ile : cos 0 IR IR IR X Y X Y şeklinde tanımlı fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. anım.5. x x... xn X E n olsun. fonksiyonu denir. noktasının afin koordinat sistemine göre koordinatları n x : E IR i n i fonksiyonuna n E nin i -yinci koordinat anım.6. n n d : E E IR d X Y y x n i i i şeklinde tanımlanan d X Y anım.7. 0 IR d fonksiyonuna n E Öklid uzayında uzaklık fonksiyonu sayısına da X iley noktaları arasındaki uzaklık denir. n IR P P... P E n iç çarpım uzayı ile birleşen Öklid uzayı n nokta n -lisi için P0 P... Pn ortonormal bazı ise n anım.8. : I IR E n E cümlesine n E P0 P P0 P... P0 P n cümlesi n E olmak üzere n E nin bir de bir Öklid çatı ya dik çatı denir. t t t t... n diferensiyellenebilir fonksiyona de bir eğri denir. urada I aralığına eğrisinin parametre aralığı t I değişkenine de eğrisinin parametresidenir. 5

15 anım.9. : I IR E n diferensiyellenebilir bir eğri olsun. : I IR t t şeklinde tanımlı fonksiyonuna skaler hız fonksiyonu eğrisinin t noktasındaki skaler hızı d d t d t d t t dt dt dt dt n t... t ktörüne de eğrisinin hız ktörü denir. t IR sayısına anım.0. : I IR E n eğrisi için s ise eğriye birim hızlı eğri s I parametresine de eğrinin yay parametresi denir. anım.. : I IR E n bir eğri a b I için b s a t. reel sayısına a ile b noktaları arasındaki yay uzunluğu denir. anım.. : I IR E n bir eğri... ( r) cümlesi lineer bağımsız olsun. ( k) Sp k r olmak üzere cümlesinden Gram Schmidt ortogonalleştirme yöntemi ile elde edilen V s V s... Vr s Frenet r-ayaklısı ortonormal sistemine eğrisinin V i r i s ktörüne de Serret Frenet ktörü denir. noktasındaki Serret 6

16 eorem.. : I IR E eğrisinin s noktasındaki Frenet -ayaklısı; ) s I yay parametresi ise V s s V s s s. V s s N s ) s I yay parametresi değilse V s s s V s s N s. V s s s s s Şeklinde rilir (Hacısalihoğlu98). anım.. : I E V s V s... Vr s n eğrisinin olsun. s noktasındaki Frenetr-ayaklısı k : I IR i k s V s V s i r i i i şeklinde tanımlı k i fonksiyonuna i-yinci eğrilik fonksiyonu eğrinin s noktasındaki i-yinci eğriliği denir. i k s IR sayısına n eorem.. : I E eğrisinin Frenet r -ayaklısı V s V s... Vr s i -yinci eğriliği k arasında i s olsun. u durumda Frenet ktörleri ile bunların türev ktörleri 7

17 V s k s V s Vi s ki s Vi s ki s Vi s i r V r s kr s Vr s bağıntısı vardır(hacısalihoğlu98). n özel halinde eğrisinin s noktasındaki Frenet -ayaklısı N ile gösterilir. urada ye teğet ktör N ye aslinormal ktör ktör denir. eğrisinin birinci ikinci eğrilikleri de sırasıyla Frenet formülleri ye de binormal olmak üzere s s N s N s s s s s. s s N s şeklinde olur (Hacısalihoğlu98). Diğer yandan eğrisi üzerinde Frenet -ayaklısı her s edilir bu eksene eğrinin s noktası eğriyi çizerken bu noktadaki N anında (bir eksen etrafında) ani bir helis hareketi yaptığı kabul s eksenin yön doğrultusunu ren ktör W N N W noktasındaki Darboux (ani dönme) ekseni denir. u.5 dır bu ktöre Darboux ktörü adı rilir ( Şekil. ). 8

18 Şekil..Darboux ktörü W Darboux ktörü ile ktörleri arasındaki açı sin cos W W ile gösterilirse şekilden.6 dır. W Darboux ktörü yönündeki birim ktör C ile gösterilirse C uur uur W W.6 olur. urada ile nun yerine deki karşılıkları yazılırsa C sin cos.7 bulunur (Fenchel95). anım.. sırasıyla k s : I E k s n eğrisinin olsun. s noktasındaki birinci ikinci eğrilikleri H : I k IR H s k s s şeklinde tanımlı H fonksiyonuna eğrisinin -inci harmonik eğriliği denir. n anım.5. : I E eğrisinin s ile sabit açı yapıyorsa eğriye eğilim çizgisi (helis) eğilim ekseni denir. noktasındaki hız ktörü sabit bir U ktörü SP U ya da eğilim çizgisinin 9

19 eorem.. (Hacısalihoğlu98). : I E eğrisi bir eğilim çizgisidir H s sbt İspat: Kabul edelim ki bir eğilim çizgisi olsun. eğrisinin Frenet ktörleri s noktasındaki s N s s olmak üzere eğilim çizgisi tanımına göre s U cos olur. u ifadenin s ye göre türevi alınırsa s U 0 N s U 0 olduğu görülür. uradan N U U S s s p olduğundan U a s b s şeklinde yazılabilir. u ifade sırasıyla ile iç çarpılırsa U s a cos olur buradan.8 U s b sin U cos s sin s bulunur. Diğer yandan N s U 0 ifadesinin türevi alınır gerekli işlemler yapılırsa 0

20 elde edilir. N s U N s U 0 s s s s U 0 s s s s U 0 s s U s s U 0 s cos s sin 0 s s H s sbt. sbt " " Kabul edelim ki s I için H s sbt olsun. İddia ediliyor ki bir eğilim çizgisidir. H s sbt olur. s s ise H s tan sbt alınabilir. uradan sin scos ssin 0 cos cos sin U s s s ktörünü tanımlayalım. Açının sabit olduğu dikkate alınır türev alınırsa U cos sin U sc os ssin N s 0 U 0 U sbt. bulunur. uradan da

21 s U s U = s cos s sin s =cos =sbt olur ki bu da bir eğilim çizgisi olması demektir. eorem.. : I E eğrisinin düzlemsel bir eğri olması için gerek yeter şart 0olmasıdır(Hacısalihoğlu98). İspat: " " Kabul edelim ki birim hızlı düzlemsel bir eğri olsun. u durumda s I için s noktalarının tümü bir E düzlemi içinde bulunur. Düzlemin normali q düzlem üzerinde herhangi bir nokta p olsun. u durumda 0 s p q olur. u ifadenin türevi alınırsa s q s p q 0 s q 0 s q 0 olur tekrar türev alınırsa s q 0 s N s q 0 N s q 0 bulunur. uradan q ktörünün N ktörlerine dik olduğu görülür. u durumda q ktörü ye paralel olur. Dolayısıyla s q q şeklinde alınabilir. u ifadenin türevi alınırsa

22 0 bulunur eşitliğinden s s N s 0 s elde edilir. " " Kabul edelim ki s 0 s 0 s c sbt. idi. uradan olsun. s s N s olur. F F : I IR F s s 0 s 0 0 dır. F nin s ye göre türevi alınırsa fonksiyonunu tanımlayalım. s 0 ise 0 F s s s s s F s dır. una göre s = s s s s N s =0 sbt. 0 s 0 eşitliği eğrisinin olduğunu gösterir. 0 noktasından geçen ktörüne dik olan düzlem içinde eorem.5. : I E eğrisinin doğru olması için gerek yeter şart 0 olmasıdır (Hacısalihoğlu 98).

23 İspat: : I E birim hızlı bir eğri olsun. s s dir. u durumda s s 0 0 s s 0 b s bs c b c IR.

24 . MAERYAL YÖNEM u bölümde Öklid uzayında ertrand eğri çifti Smarandache eğrileri ile ilgili temel kavramlara yer rildi... Öklid Uzayında ertrand Eğri Çifti anım... : I E Frenet -ayaklıları sırasıyla s I için N s N s lineer bağımlı ise : I E diferensiyellenebilir iki eğri bu eğrilerin s N s s s N s s olsun. ikilisine bir ertrandeğri çifti denir(hacısalihoğlu98). Şekil..ertrand Eğri Çifti eorem... ertrand eğri çifti olsun. sabit bir sayı olmak üzere eğrisi ( s) ( s) ( s) N( s). şeklindedir (Sabuncuoğlu006). İspat: : I E birim hızlı bir eğri olsun. ertrand eğri çifti tanımına göre s s u s N s. biçiminde rilebilir. 5

25 buradan un un un u u un u. bulunur. s ktörü s ktörüne paralel olduğundan N s dir. N s ktörü N s ktörüne paralel olduğundan olur. Öyleyse N s dır. urada u 0 u sbt bulunur.u elde edilir. N 0 ın yerine yukarıda bulunan eşiti yazılırsa alınırsa.. ifadesinden s s N s eorem... eğrisinin s eğrileri I noktası ile eğrisinin (Hacısalihoğlu98; Sabuncuoğlu006). İspat : s s s. N s I koordinat komşuluğu ile rilsin. snoktaları arasındaki uzaklık sabittir eğrisinin yay parametresi s ile gösterilsin. 6

26 d. ' '.. ' s s N s s N s s. s ' s. N s s s. s s. s. s ' s. N s.. s s N s s. ' s ' 0 eorem... s sabit. ertrand eğri çiftinin karşılıklı noktalarındaki birim teğet ktörleri arasındaki açı sabittir (Hacısalihoğlu98). İspat : : I E -ayaklısı sırasıyla u durumda : I E s N s s diferensiyellenebilir iki eğri bu eğrilerin Frenet d d d s s. s N s s olsun. = N N yazılabilir. = N N N s N s sistemi lineer bağımlı olduğundan N 0 N 0 dır. u neticeler yukarıda kullanılırsa d s s bulunur. O halde 0 7

27 s s sabit olur. Kabul edelim ki s ile s arasındaki açı olsun. O zaman s s cos sbt bulunur. u ise ispatı tamamlar. eorem... ertrand eğri çiftlerinin birim teğet ktörleri arasındaki açı olmak üzere Frenet ktörleri arasında cos 0 sin N 0 0 N sin 0 cos bağıntısı vardır (Sabuncuoğlu006). İspat: ertrand eğri çifti olduğundan teğetler arasındaki açı ile binormaller arasındaki açı aynı olur (Şekil..). u durumda çatılar arasında N N cos sin sin cos. bağıntıları yazılabilir. u da ispatı tamamlanır. Şekil..ertrand eğri çiftinin Frenet çatılarının gösterimi 8

28 eorem..5. bunlar arasında ertrand eğri çifti olsun. eğrisinin eğrilikleri ise cot.5 bağıntısı vardır (Hacısalihoğlu98). İspat: s N s s eğrilerinin arasındaki açı olmak üzere s s N s s s noktalarında Frenet -ayaklıları sırasıyla olsun. una göre s ile s cos sin yazılabilir. Diğer yandan dir. uradan cos sin bulunur. u ifade taraf tarafa oranlanırsa cot ya cot alınırsa bulunur. eorem..6. ertrand eğri çifti olsun. eğrisinin eğrilikleri eğrisinin eğrilikleri olmak üzere bu eğrilikler arasında 9

29 sin ( ) sin.6 bağıntısı vardır (Sabuncuoğlu006). İspat: ertrand eğri çifti olsun. olduğundan bulunur. olduğundan v dır.. v v cos sin. eşitliğine göre u un u eşitliğinden yararlanarak v s cos s v s sin s.7 olur. : I E eğrisinin yay uzunluğu fonksiyonu f h f olmak üzere olsun. f s t ise h t s olur. f I J olmak üzere h : J E eğrisi birim hızlı bir eğri olur. ( s) ( s) N( s) eşitliğinin her iki yanının h fonksiyonu ile bileşkesi alınarak h h Nh 0

30 h h Nh elde edilir. N N olduğundan bu eşitlik h h N h şeklinde yazılabilir. u durumda oluşturur. h h uzunluğu fonksiyonu h dir. f s t f s f s v s h t h t vt h olduğundan olur. Şimdi vt h.7 alarak v t t v f s v s s eğrisi ile h eşitliklerinde yerine cos t v t sin t h eğrisi ile h birim hızlı bir eğri olduğundan olsun. eğrisi ertrand eğri çifti h eğrisinin yay eğrisinin ertrand eğri çifti oluşturduğunu göz önüne yerine yazılırsa elde edilir. urada t t ile h birim hızlı eğrisinin eğrilik burulması olmak üzere t s t s olduğundan

31 v t cos v t sin s s.8 olur ifadelerindeki birinci eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa cos sin ( ) elde edilir. enzer şekilde çarpılırsa.7.8 ifadelerindeki ikinci eşitlikler taraf tarafa sin sin.9 elde edilir. eorem..7. ertrand eğri çifti olsun. eğrisinin eğrilikleri eğrisinin eğrilikleri olmak üzere bu eğrilikler arasında = cos sin = sin cos.0 bağıntısı vardır(kasap E.996). İspat: ertrand eğri çifti olsun. N N. olduğundan bu ifadede eşitliğinden yararlanılırsa

32 bulunur.. olduğundan elde edilir. = cos sin N N sin cos eşitliğine göre yukarıdaki bağıntı = cos sin NN = sin cos = cos sin = sin cos.. Öklid Uzayında Smarandache Eğrileri anım... Konum ktörü herhangi bir eğrisinin Frenet çatıları tarafından oluşturulan bu ktör tarafından çizilen regüler eğriye Smarandache eğrisi denir (urgut Yılmaz008). u tanım şu şekilde de rilebilir: anım... Konum ktörü s : I E birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı a s b s c s a s s b s N s c s s N. olsun. olan ktörün çizdiği regülereğriye Smarandache eğrisi denir (Şenyurt Sivas0). anım... : I E birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı s N N N olsun.

33 eğrisin -Smarandache eğrisi olarak adlandırılır (Ali A.00). eorem... : I E N eğrisinin Frenet çatısı eğriliği torsiyonu olsun.n -Smarandache eğrisinin N eğriliği N torsiyonu sırasıyla; N N şeklinde rilir. urada ( dir (Ali A.00). s N N İspat: Smarandache eğrisinin türevi alınırsa s N yay parametresine göre N N N olur norm alınırsa N ifadesi

34 N şeklinde bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa N s N N eğrisinin teğet ktörü. olur. u ifadenin tekrar türevi alınırsa katsayılar olmak üzere N türevi s N N şeklinde bulunur. N eğrisinin eğriliği N. ile gösterilirse. bağıntısından N eğriliği N N N olur. N eğrisinin aslinormali N N ile gösterilirse N N N N N N N şeklinde bulunur. N N N olduğundan N ktörü N 5

35 N N olur. N eğrisinin ikinci üçüncü türevleri sırasıyla N N N N şeklinde bulunur. urada şeklinde birer katsayıdır. N eğrisinin torsiyonu N ile gösterilirse N torsiyonu için N N N N N N yazılır. urada N eğrisinin birinci ikinci üçüncü türevleri yerlerine yazılır gerekli işlemler yapılırsa N torsiyonu N şeklinde elde edilir. anım... : I E birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı N olsun. s N N 6

36 eğrisi N -Smarandache eğrisi olarak adlandırılır (Ali A.00). eorem... torsiyonu sırasıyla ; : I E N birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı olsun. N -Smarandache eğrisinin N eğriliği N eğriliği torsiyonu N N şeklinde rilir. urada şeklinde birer katsayıdır (Şenyurt Sivas0). İspat: türevi alınırsa s N N Smarandache eğrisinin s N yay parametresine göre N N N olur norm alınırsa N ifadesi N 7

37 şeklinde bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa N N s olur. u ifadenin tekrar türev alınırsa katsayılar olmak üzere N türevi N eğrisinin teğet ktörü. N s N.5 şeklinde bulunur. N eğrisinin eğriliği N.5 ile gösterilirse bağıntısından N eğriliği N N N olur. N eğrisinin aslinormali N N ile gösterilirse bu ktör N N N N s s N N N şeklinde bulunur. N N N N olduğundan N ktörü 8

38 N N olur. N eğrisinin ikinci üçüncü türevleri sırasıyla N N N N dır. urada şeklinde birer katsayıdır. N eğrisinin torsiyonu N ile gösterilirse N N N N N N dir. urada N eğrisinin birinci ikinci üçüncü türevleri yerlerine yazılır gerekli işlemler yapılırsa N N torsiyonu şeklinde elde edilir. anım..5. : I E birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı N olsun. 9

39 s eğrisi-smarandache eğrisi olarak adlandırılır(ali A.00). eorem... : I E torsiyonu sırasıyla; N birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı olsun. -Smarandache eğrisinin eğriliği eğriliği torsiyonu olur. urada 0 ' ' ' ' ' ' '' '' şeklinde birer katsayıdır. İspat: s Smarandache eğrisinin s yay parametresine göre türevi alınırsa N 0

40 olur norm alınırsa ifadesi şeklinde bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa s N eğrisinin teğet ktörü.6 olur. u ifadenin tekrar türevi alınırsa s.7 şeklinde bulunur. eğriliği eğrisinin eğriliği.7 ile gösterilirse bağıntısından olur. eğrisinin aslinormali N N ile gösterilirse N N şeklinde bulunur. N olduğundan ktörü olur. eğrisinin ikinci üçüncü türevleri sırasıyla

41 N N dır. urada şeklinde birer katsayıdır. eğrisinin torsiyonu ile gösterilirse torsiyonu için yazılır. urada eğrisinin birinci ikinci üçüncü türevleri yerlerine yazılır gerekli işlemler yapılırsa torsiyonu şeklinde elde edilir. anım..6. : I E N birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı s N N eğrisin-smarandache eğrisi olarak adlandırılır (Ali A.00). eorem... : I E N birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı olsun. eğriliği torsiyonu olsun.n-smarandache eğrisinin sırasıyla; eğriliği N N torsiyonu

42 N N olur. urada şeklinde birer katsayıdır (Şenyurt Sivas0). İspat: N N Smarandache eğrisinin s N yay parametresine göre türevi alınırsa N N N olur norm alınırsa N ifadesi 6 N

43 şeklinde bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa N s N N eğrisinin teğet ktörü.8 olur. u ifadenin tekrar türev alınırsa katsayılar olmak üzere N türevi N s N.9 şeklinde bulunur. N eğrisinin eğriliği N.9 ile gösterilirse bağıntısından N eğriliği N N N olur. N eğrisinin aslinormali N N ile gösterilirse N N N N s s N N N şeklinde bulunur. N N N olduğundan N N ktörü

44 N N olur. N eğrisinin ikinci üçüncü türevleri alınırsa sırasıyla N N N N dır. urada şeklinde birer katsayıdır. N eğrisinin torsiyonu N ile gösterilirse N torsiyonu için N N N N N N yazılır. urada N eğrisinin birinci ikinci üçüncü türevleri yerlerine yazılır gerekli işlemler yapılırsa N torsiyonu N şeklinde elde edilir. 5

45 anım..7. : I E N birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı s NC N C eğrisi NC -Smarandache eğrisi olarak adlandırılır (Şenyurt Sivas0). eorem..5. : I E torsiyonu sırasıyla; N birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı olsun. NC -Smarandache eğrisinin NC eğriliği olsun. NC eğriliği torsiyonu NC W W NC 5 sin 5( ) sin 5 sin 5 ( ) cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin cos 5 sin 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos sin 5 5 sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin olur. urada 6

46 5 cos cos sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin 5 cos cos cos cos sin cos sin sin sin sin 5 cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin 5 cos sin cos sin sin cos 5 cos sin cos cos sin 5 cos sin şeklinde birer katsayıdır (Şenyurt Sivas0). İspat: NC N C Smarandache eğrisinde C nin yerine.7 den karşılığı yazılırsa NC sin N cos olur. s NC yay parametresine göre türevi alınırsa NC cos sin NC olur norm alınırsa NC ifadesi 7

47 W W NC şeklinde bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa NC s cos sin W W NC eğrisinin teğet ktörü.0 olur. u ifadenin tekrar türevi alınırsa katsayılar 5 cos cos sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin 5 cos cos cos cos sin cos sin sin sin sin 5 cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin olmak üzere NC türevi NC s N W W. şeklinde bulunur. NC eğrisinin eğriliği NC ile gösterilirse NC eğriliği NC NC NC W W 8

48 olur. NC eğrisinin aslinormali N NC ile gösterilirse N NC NC NC s s 5 5N 5 N NC şeklinde bulunur. N NC NC NC olduğundan NC ktörü NC W W sin 5 sin 5 cos N 5 cos şeklinde bulunur. NC eğrisinin ikinci üçüncü türevleri sırasıyla NC cos sin cos sin sin cos N N NC dır. urada cos sin cos sin sin cos 5 cos sin cos cos sin 5 cos sin şeklinde birer katsayıdır. NC eğrisinin torsiyonu NC ile gösterilirse torsiyonu NC 9

49 NC NC NC NC NC NC yazılır. urada NC eğrisinin ikinci üçüncü türevleri yerlerine yazılır gerekli işlemler yapılırsa NC torsiyonu NC 5 sin 5( ) sin 5 sin 5 ( ) cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 cos 5 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin cos 5 sin 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos sin 5 5 sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin şeklinde elde edilir. 0

50 Örnek s sin6s sin 6 s cos6s cos6 s sin0s eğrisinin Frenet ktörleri (Ali A.00) birim Darboux ktörü 9 9 s cos6s cos 6 s sin6s sin 6 s cos0s 5 N s cos 6 s sin 6 s 9 9 s sin6s sin 6 s cos 6s cos6 s sin0s 5 5 C s cos 6 s sin 6 s şeklinde bulunur (Şekil..). Şekil.. s eğrisi

51 u eğriye ait N N N NC -Smarandache eğrileri sırasıyla; Şekil.. N -Smarandache Eğrisi Şekil.5. N -Smarandache Eğrisi Şekil.6. N-Smarandache eğrisi Şekil.7. NC -Smarandache eğrisi

52 5. ULGULAR u bölüm çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır. urada ertrand eğri çifti olmak üzere ertrand partner eğrisinin Frenet ktörleri tarafından oluşturulan Smarandache eğrileri ; s N N s N N s N -Smarandache eğrisi N -Smarandache eğrisi -Smarandache eğrisi s N N N -Smarandache eğrisi 5 s N C NC NC -Smarandache eğrisi. şeklinde gösterilerek bu eğrilere ait eğrilik burulmalar hesaplanmıştır. Elde edilen Smarandache eğrilerinin eğrilik burulmaları ertrand eğrisinin eğrilik burulmaları cinsinden ifade edilmiştir. 5.. N Smarandache Eğrisi N s s N 5. Smarandache eğrisinin s yay parametresine göre türevi alınırsa N 5. olur norm alınırsa ifadesi 5.

53 bulunur. ulunan bu ifade yukarıda yerine yazılırsa eğrisinin teğet ktörü N () s 5. şeklinde olur. 5. ifadesinde N ın yerine Smarandache eğrisinin ertrand eğrisine bağlı ifadesi s (cos N sin ). den karşılıkları yazılırsa 5.5 olur. 5. denkleminde..0 bağıntıları dikkate alınırsa 5.5 ifadesindeki eğrisinin teğet ktörü s ( cos sin ) N W ( cos sin ) şeklinde bulunur. ifadesinin tekrar türevi alınırsa katsayılar W ( 5.7 olmak üzere () s ( s) türevi N 5.8 olur.5.7 ifadesinde katsayılar ın yerine.0 dan karşılıkları yazılırsa yeni

54 cos sin W ( cos sin ) W W ( cos sin )( cos sin ) W cos sin W ( cos sin ) ( cos sin ) W W ( cos sin )( cos sin ) cos sin W ( cos sin ) W W ( cos sin )( cos sin ) 5.9 şeklinde olur. () s türevi ifadesinde ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi s W. N ( cos sin ) 5.9 bağıntıları yerine yazılırsa 5.0 olarak bulunur. eğrisinin eğriliği 5.8 ile gösterilirse bağıntısından eğriliği 5. olur. urada.0 ın yerine eğrisinin eğriliklerine bağlı ifadesi dan karşılıkları yazılırsa eğriliğinin ertrand W ( cos sin ) 5. dır. eğrisinin aslinormali N ile gösterilirse 5.8 bağıntısından 5

55 N N N olur. urada N ın yerine. ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden karşılığı den karşılıkları yazılırsa N ifadesinin N N 5. şeklindedir. N olduğundan ktörü N 5. olur. urada N ifadelerinin yerine.0. den karşılıkları yazılırsa binormal ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden karşılığı ( cos sin ) cos sin N W ( cos sin ) 5.5 şeklinde bulunur. eğrisinin ikinci üçüncü türevleri alınınca; W N N 6

56 olur. urada katsayıları W W 5.6 şeklindedir. eğrisinin torsiyonu ile gösterilirse torsiyonu dır. urada torsiyonu değerleri yerine yazılır gerekli hesaplamalar yapılırsa W 5.7 W olmak üzere 5.8 olur bağıntısında.0 den karşılıkları yazılırsa yeni katsayılar 7

57 cos sin W ( cos sin ) cos sin W ( cos sin ) cos sin 5.9 W ( cos sin ) cos sin W ( cos sin ) cos sin ( cos sin ) cos sin cos sin W ( cos sin ) ( cos sin ) cos sin 5.0 şeklinde bulunur bu katsayılar 5.8 de yerine yazılırsa N -Smarandache eğrisinin torsiyonunun ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi ( ) olarak bulunur. 5.. N Smarandache Eğrisi ( s s N N ) 5. Smarandache eğrisinin s yay parametresine göre türevi alınırsa N 5. 8

58 olur norm alınırsa ifadesi 5. bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa eğrisinin teğet ktörü s N 5. şeklinde olur. 5. ifadesinde Smarandache eğrisinin ertrand eğrisine bağlı ifadesi N ( s) sin N cos ın yerine. den karşılıkları yazılırsa 5.5 olur.5.. denkleminde den karşılıkları yazılırsa ifadesinde rilen eğrisinin teğet ktörü s ( sin cos ) N W ( sin cos ) şeklinde bulunur. ifadesinin tekrar türevi alınırsa katsayılar 5.7 olmak üzere s türevi s N 5.8 9

59 olur. 5.7 katsayılar ifadesinde ın yerine.0 sin cos W sin cos W W sin cos sin cos dan karşılıkları yazılırsa yeni sin cos W sin cos sin cos W W sin cos sin cos 5.9 W W sin cos sin cos sin cos W sin cos şeklinde olur. s türevi fadesinde ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi bağıntıları yerine yazılırsa s W ( N ) sin cos 5.0 olarak bulunur. eğrisinin eğriliği ile gösterilirse 5.8 bağıntısından eğriliği 5. olur. urada ın yerine.0 ertrand eğrisinin eğriliklerine bağlı ifadesi dan karşılıkları yazılırsa eğriliğinin W sin cos 5. 50

60 dır. eğrisinin aslinormali N 5.8 ile gösterilirse bağıntısından N olur. urada N N N ın yerine. den karşılıkları yazılırsa N ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi N N ( ) 5. şeklindedir. N olduğundan ktörü N 5. olur. urada N ın yerine.0. den karşılıkları yazılırsa binormal ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi sin cos ( W ( sin cos ) )( ) sin cos ( W ( sin cos ) )( ) N 5.5 olarak bulunur. eğrisinin ikinci üçüncü türevleri alınırsa W N 5

61 N olur. urada katsayıları W W W 5.6 şeklindedir. eğrisinin torsiyonu ile gösterilirse torsiyonu dır. urada torsiyonu değerleri yerine yazılır gerekli hesaplamalar yapılırsa W 5.7 olmak üzere olur bağıntısında dan karşılıkları yazılırsa yeni katsayılar 5

62 sin cos W sin cos sin cos W 'sin 'cos sin cos 5.9 W sin cos sin cos sin cos sin cos W sin cos sin cos sin cos 5.0 W sin cos sin cos sin cos şeklinde bulunur. u katsayılar 5..8 de yerine yazılırsa N -Smarandache eğrisinin torsiyonunun ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi olarak bulunur. 5.. Smarandache Eğrisi ( s s ) 5. Smarandache eğrisinin s yay parametresine göre türevi alınırsa 5

63 N 5. olur norm alınırsa ifadesi W 5. bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa eğrisinin teğet ktörü s W N 5. şeklinde olur. 5. ifadesinde ın yerine Smarandache eğrisinin ertrand eğrisine bağlı ifadesi. den karşılıkları yazılırsa s cos sin sin cos olur.. bağıntısında dan karşılıkları yazılırsa ifadesinde rilen eğrisinin teğet ktörü (cos sin ) (sin cos ) N W sin 5.6 şeklinde bulunur. 5. ifadesinin tekrar türevi alınırsa katsayılar W W W W W 5.7 5

64 olmak üzere () s s türevi N W 5.8 olur. 5.7 ifadesinde ın yerine.0 dan karşılıkları yazılırsa yeni katsayılar [ (cos sin ) (sin cos )]( W sin ) [ '(cos sin ) (sin cos )]( W sin ) [ (cos sin ) (sin cos )]( W W sin ) 5.9 şeklinde olur. s [ (cos sin ) (sin cos )]( W sin ) s türev ifadesinde. 5.9 bağıntıları yerine yazılırsa ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden karşılığı s ( N ) ( W sin ) 5.50 olarak bulunur. eğrisinin eğriliği ile gösterilirse 5.8 bağıntısından eğriliği olur. urada W ın yerine.0 ertrand eğrisinin eğriliklerine bağlı ifadesi dan karşılıkları yazılırsa 5.5 eğriliğinin 55

65 ( W sin ) 5.5 dır. eğrisinin aslinormali N 5.8 ile gösterilirse bağıntısından N N N olur. urada N ın yerine. ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi den karşılıkları yazılırsa N ktörünün N N 5.5 şeklindedir. N olduğundan ktörü W 5.5 olur. urada. ın yerine.0 dan karşılıkları yazılırsa binormal ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi ( ) cos sin (sin cos ) ( sin )( ) W 5.55 şeklinde bulunur. eğrisinin ikinci üçüncü türevleri alınırsa N 56

66 N olur. urada katsayıları 5.56 şeklindedir. eğrisinin torsiyonu ile gösterilirse torsiyonu dır. urada torsiyonu değerleri yerine yazılır gerekli hesaplamalar yapılırsa W olur..0 bağıntısında dan karşılıkları yazılırsa yeni katsayılar 57

67 cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos 5.58 cos sin (sin cos ) 5.59 şeklinde bulunur bu katsayılar 5.57 de yerine yazılırsa -Smarandache eğrisinin torsiyonunun ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi W olarak bulunur. 58

68 5.. N Smarandache Eğrisi ( s s N N ) 5.60 Smarandache eğrisinin s yay parametresine göre türevi alınırsa N 5.6 olur norm alınırsa ifadesi 5.6 bulunur. u ifade yukarıda yerine yazılırsa eğrisinin teğet ktörü s N W şeklinde olur. ifadesinde N. ın yerine den karşılıkları yazılırsa Smarandache eğrisinin ertrand eğrisine bağlı ifadesi (cos sin ) (sin cos ) s N 5.6 olur. 5.6 denkleminde..0 bağıntıları dikkate alınırsa 5.6 ifadesindeki eğrisinin teğet ktörü s (cos sin ) (sin cos ) N W (cos sin ) (sin cos ) şeklinde bulunur. ifadesinin tekrar türevi alınırsa katsayılar 59

69 olmak üzere W W W W W W W W W W s türevi 5.66 s N W 5.67 olur katsayılar ifadesinde ın yerine.0 dan karşılıkları yazılırsa yeni (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) W W (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) W W (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) W W (cos sin ) (sin cos ) ( cos sin ) (sin cos )

70 şeklinde olur. s. türev ifadesinde 5.68 ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi s W N (cos sin ) (sin cos ) bağıntıları yerine yazılırsa 5.69 şeklinde bulunur. eğrisinin eğriliği 5.67 ile gösterilirse bağıntısından eğriliği W 5.70 olur. urada ın yerine.0 ertrand eğrisinin eğriliklerine bağlı ifadesi W dan karşılıkları yazılırsa (cos sin ) (sin cos ) eğriliğinin 5.7 dır. eğrisinin aslinormali N 5.67 ile gösterilirse bağıntısından N olur. urada N N N ın yerine. ertrand eğrisinin eğriliklerine bağlı ifadesi den karşılıkları yazılırsa N ktörünün N N 5.7 6

71 şeklinde bulunur. N olduğundan ktörü W N olur. urada N ın yerine den karşılıkları yazılırsa binormal ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi (cos sin ) (sin cos ) N W (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) 5.7 şeklinde bulunur. eğrisinin ikinci üçüncü türevleri alınırsa W N N olur. urada katsayıları 6

72 W W 5.75 W şeklindedir. eğrisinin torsiyonu ile gösterilirse torsiyonu dır. urada değerleri yerine yazılır gerekli hesaplamalar yapılırsa torsiyonu W W 5.76 olmak üzere olur katsayılar 5.76 katsayılar ifadesinde dan karşılıkları yazılırsa yeni 6

73 (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) 5.78 W (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) W (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) şeklinde bulunur bu katsayılar 5.77 de yerine yazılırsa N Smarandache eğrisinin torsiyonunun ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi olarak bulunur. 6

74 5.5. NC Smarandache Eğrisi 5 NC s s N C ye benzer olarak C ; C sin cos 5.8 şeklinde yazılır. urada 5.8 C ın yerine W ile den karşılıkları yazılırsa 5 sin cos s N. arasındaki açıdır. N ın yerine den 5.8 olur. Eğrinin s 5 yay parametresine göre türevi alınırsa 5 5 sin cos N cos sin 5.8 olur norm alınırsa 5 W W şeklinde bulunur. ulunan bu ifade ktörü s 5.8 cos sin W W 5 şeklinde olur. Darboux ktörü tanımından W N N de yerine yazılırsa eğrisinin teğet 5.85 olur. urada ın yerine karşılıkları yazılırsa Darboux ktörünün normu 65

75 W cos cos sin sin sin cos sin cos W W 5.86 şeklinde bulunur..6 ya benzer olarak cos W cos sin W =cos W sin W = cos cos sin sin cos cos 5.87 sin W sin cos W =sin W cos W =sin cos cos sin sin sin 5.88 olur den (ya 5.88 den) cos cos sin sin =

76 bulunur.5.8 yazılırsa 5 ifadesinde N ın yerine (.) den cos sin ın yerine (.0) (5.86) (5.87) (5.88) (5.89) ifadelerinden karşılıkları eğrisinin ertrand eğrisine bağlı ifadesi cos sin 5 W W 5.90 W 5.85 şeklinde bulunur. ifadesinin tekrar türevi alınırsa katsayılar cos W W cos W W W W 5 5 W W W W sin W W sin W W W W olmak üzere 5 s türevi 5 s W N W 5.9 olur. 5.9 ifadesinde W ın yerine ifadelerinden karşılıkları yazılırsa yeni katsayılar 67

77 5 cos sin cos W W cos sin cos W W W W 5 W W W W 5 sin cos sin W W sin cos sin W W W W 5.9 şeklinde olur. ulunan bu ifadeler 5 s türev ifadesinde yerine yazılırsa ktörünün ertrand eğrisinin Frenet elemanları cinsinden ifadesi 5 s 5 cos 5 sin 5 5 sin 5 cos W N W 5 s 5.9 şeklinde bulunur. 5 eğrisinin eğriliği ile gösterilirse bağıntısından 5 eğriliği W W 5.95 urada W nın yerine ifadelerinden karşılıkları yazılırsa 5 eğrisinin ertrand eğrisine bağlı ifadesi 68

78 5 W W 5.96 şeklinde bulunur. 5 eğrisinin aslinormali N ile gösterilirse bağıntısından N N N urada N ın yerine sırasıyla ifadelerinden karşılıkları yazılırsa. N eğrisinin ertrand eğrisine bağlı ifadesi 5 cos 5 sin 5 5 sin 5 cos N N şeklinde bulunur. 5 N olduğundan 5 ktörü 5 sin W cos sin N W cos W W W W

79 olur. urada. 5.0 N sin 5.89 cos ın yerine sırasıyla ifadelerinden karşılıkları yazılırsa binormal ktörünün ertrand eğrisinin eğriliklerine bağlı ifadesi 5 5 sin cos sin cos sin W W sin cos sin W W N sin cos sin cos cos W W dır. 5 eğrisinin ikinci üçüncü türevleri alınırsa cos sin 5 W W N olur. urada N katsayıları cos W W cos W W sin W W sin

80 şeklindedir. 5 eğrisinin torsiyonu 5 ile gösterilirse 5 torsiyonu dır. urada değerleri yerine yazılır gerekli hesaplamalar yapılırsa 5 torsiyonu olmak üzere W W sin 5 5 cos sin cos sin 5 cos W W olur ifadesinde ifadelerinden karşılıkları yazılırsa yeni katsayılar cos cos sin cos sin 5 cos sin W W cos sin cos cos sin W W sin cos sin cos sin sin cos W sin cos 5 W sin cos sin 5.0 7

81 W W sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin W W olmak üzere şeklinde elde edilir. 7

82 Örnek 5.: s cos s sin s Frenet ktörleri birim Darboux ktörü eğrilik torsiyonu s sin scos s N s cos s sin s0 s sin s cos s C s 00 s s şeklinde bulunur. u eğriye ait ertrand eğrisinin denklemi idi. olur. s s s N s alınırsa s eğrisinin denklemi; s s cos s sin s s cos s sin s 0 s cos s sin s s helis eğrisi bir ertrand eğrisidir.u eğrinin eğrisinin Frenet ktörleri birim Darboux ktörü eğrilik torsiyonu sin cos s s s cos sin 0 N s s s C s s sin cos s s s s 00 şeklinde bulunur. ertrand eğri çiftine ait Smarandache eğrileri aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir. 7

83 Şekil 5.. ertrand Eğri Çifti Şekil 5.. N -Smarandache Eğrisi Şekil 5.. -Smarandache Eğrisi Şekil 5.. N -Smarandache Eğrisi Şekil 5.5. N -Smarandache Eğrisi Şekil 5.6. NC -Smarandache Eğrisi 7

84 6. SONUÇ ÖNERİLER 6.. Sonuçlar u tezde ilk olarak N Smarandache eğrileri ; ertrand eğri çifti olarak alındığında : I E eğrisinin Frenet ktörleri C birim Darboux ktörü tarafından oluşturulan s N N eğrisi N -Smarandache eğrisi s N N eğrisi N -Smarandache eğrisi s eğrisi -Smarandache eğrisi s N N eğrisi N -Smarandache eğrisi 5 s N C NC eğrisi NC -Smarandache eğrisi Smarandache eğrilerinin eğrilik burulmaları hesaplanmıştır. İkinci olarak yukarıda rilen Smarandache eğrileri ertrand eğrisinin Frenet ktörlerine bağlı olarak s (cos N sin ) s cos sin sin cos s ( sin N cos ) s (cos sin ) N (sin cos ) 5 sin cos s N şeklinde ifade edilmiş olup bu eğrilerin eğrilik burulmaları hesaplanmıştır. 75

85 6.. Öneriler u çalışma a- b- ertrand eğri çifti ele alınarak Öklid uzayında yapılmıştır. Evolüt-involüt eğrileri olması durumunda yapılır. Mannheim eğri çifti olması durumunda yapılır. u iki çalışma Ordu Ünirsitesi Fen ilimleri Enstitüsü nde Yüksek Lisans ezi olarak yapılmıştır. enzer şekilde eğri çifti Evolüt-involüt eğrileri ertrand Mannheim eğri çifti için yapılan bu çalışmalar Lorenzt uzayında Dual uzayda da yapılabilir. Hatta bu uzaylar üzerinde değişik çatılar alınarak bu çatılar tarafından üretilecek Smarandache eğrileri tanımlanabilir bu eğrilerin bazı özellikleri incelenebilir. 76

86 KAYNAKLAR Ali A. 00. Special Smarandache Curs in the Euclidian Space. International Journal of Mathematical Combinatorics : 0-6. ayrak N. ektaş Ö. YüceS.0. Special Smarandache Curs in International Conference on Applied Analysis andalgebra0. ektaş Ö. Yüce S. 0. Special Smarandache Curs According to Darboux Frame in Euclidian-Space. Romanian Journial of Mathematics and Computerscience : Çalışkan A. Şenyurt S. 05. Smarandache Curs in erms of Sabban Frame of Spherical Indicatrix Curs. General Mathematics Notes (). Çalışkan A. Şenyurt S. 05. Smarandache Curs in erms of Sabban Frame of Fixed Pole Curs. oletim da Sociedade Parananse de Mathematica srie. (): 5-6. Çetin M. uncer Y. Karacan M. 0. Smarandache Curs According to ishop Frame in Euclidean - Space. General Mathematics Notes 0: Ekmekçi N. İlarslan K. 00. On ertrand Curs and heir Characterization. Differential Geometry-Dynamical Systems (): 7-. Fenchel W. 95. On he Differential Geometry of Closed Space Curs. ulletin of American Mathematical Society 57: -5. Görgülü A. Özdamar E A Generalizations of the ertrand Curs as General inclined cur in of Ankara 5(): n E E. Communications Faculty of Sciences Unirsity Hacısalihoğlu H. 98. Diferensiyel Geometri. İnönü Ünirsitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları Mat. 7 Malatya. Kasap E ertrand Regle Yüzey Çiftleri İle İlgili Yeni Karakteristik Özellikler. Yüksek Lisans ezi Ondokuz Mayıs Ünirsitesi Fen ilimleri Enstitüsü Samsun. Liu H. Wang F Mannheim partner curs in -space.journal of Geometry 88 (-): 0-6. Sabuncuoğlu A Diferansiyel Geometri. Nobel Yayın Dağıtım Ankara

87 Şenol A. Zıplar E. Yaylı Y. 0. General Helices and ertrand Curs in Riemannian Space Form. Mathematica Aeterna (): Şenyurt S. 0. Natural Lifts and he Geodesic Sprays for the Spherical Indicatrices of the Mannheim Partner Curs in Physical Sciences 7(6): -. E.International Journal of the Şenyurt S. Sivas S. 0. Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama. Ordu Ünirsitesi ilimsel eknik Dergisi ():6-60. aşköprü K. osun M. 0. Smarandache Curs on S.oletim da Sociedade Parananse de Mathematica (): urgut M. Yılmaz S Smarandache Curs in Minkowski Space-time. International Journal of Mathematical Combinatorics :

88 ÖZGEÇMİŞ Adı-Soyadı Doğum Yeri : Ünzile ÇELİK : İskenderun Doğum arihi : ildiği Yabancı Dil İletişim ilgileri : İngilizce : unzile.celik@hotmail.com Öğrenim Durumu : Derece ölüm/ Program Ünirsite Yıl Ordu Ünirsitesi Lisans Matematik Fen Edebiyat Fakültesi 0 ezsiz Yüksek Matematik Ondokuz Mayıs 0 Lisans Ünirsitesi İş Deneyimi: Görev Görev Yeri Yıl Matematik Öğretmenliği Matematik Öğretmenliği urnasuyu Kız Anadolu Lisesi ORDU 0-0 Gülyalı Merkez Ortaokulu 0-0 Matematik Öğretmenliği Ayşe Şahin Çok Programlı Anadolu Lisesi

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1 Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik

Detaylı

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,014,59-74 İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ ÖZET Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

BİLGİSAYAR PROGRAMLARI YARDIMIYLA ŞEV DURAYLILIK ANALİZLERİ * Software Aided Slope Stability Analysis*

BİLGİSAYAR PROGRAMLARI YARDIMIYLA ŞEV DURAYLILIK ANALİZLERİ * Software Aided Slope Stability Analysis* BİLGİSAYAR PROGRAMLARI YARDIMIYLA ŞEV DURAYLILIK ANALİZLERİ * Software Aided Slope Stability Analysis* Mustafa Özgür KESKİN Maden Mühendisliği Anabilim Dalı Ahmet M. KILIÇ Maden Mühendisliği Anabilim Dalı

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

JET MOTORLARININ YARI-DĐNAMĐK BENZETĐŞĐMĐ ve UÇUŞ ŞARTLARINA UYGULANMASI

JET MOTORLARININ YARI-DĐNAMĐK BENZETĐŞĐMĐ ve UÇUŞ ŞARTLARINA UYGULANMASI makale JET MOTORLARININ YARI-DĐNAMĐK BENZETĐŞĐMĐ ve UÇUŞ ŞARTLARINA UYGULANMASI Bekir NARĐN *, Yalçın A. GÖĞÜŞ ** * Y.Müh., TÜBĐTAK-SAGE ** Prof. Dr., Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Mühendisliği

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,

Detaylı

Dr.Öğr.Üyesi ÖZCAN BEKTAŞ

Dr.Öğr.Üyesi ÖZCAN BEKTAŞ Dr.Öğr.Üyesi ÖZCAN BEKTAŞ ÖZGEÇMİŞ DOSYASI KİŞİSEL BİLGİLER Doğum Yılı : Doğum Yeri : Sabit Telefon : Faks : E-Posta Adresi : Web Adresi : Posta Adresi : 1985 Ulubey T: 46422361261816 F: ozcan.bektas@erdogan.edu.tr

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi

Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi FOTOGRAMETRİ I Fotogrametrik Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Tanımlar Metrik Kameralar Mercek Kusurları

Detaylı

4. Numaralandırdığımız her boru parçasının üzerine taşıdıkları ısı yükleri yazılır.

4. Numaralandırdığımız her boru parçasının üzerine taşıdıkları ısı yükleri yazılır. 4. KOLON ŞEMASI VE BORU ÇAPI HESABI Tesisatı oluşturan kazan, kollektörler, borular,,vanalar, ısıtıcılar,genleşme deposu ile diğer donanım ve armatürlerin tümünün düşey görünüşünü iki boyutlu olarak gösteren

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara

Detaylı

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ SERİ RL DEVRESİ 5.1 Amaçlar i, v, v R ve v L için RMS değerlerini hesaplama Seri RL devresinde voltaj ve empedans üçgenlerini tanımlama Seri RL devresinin empdansının kazanç ve faz karakteristiklerini

Detaylı

Makine Elemanları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ. Temel bilgiler-flipped Classroom Bağlama Elemanları

Makine Elemanları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ. Temel bilgiler-flipped Classroom Bağlama Elemanları Makine Elemanları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Temel bilgiler-flipped Classroom Bağlama Elemanları 11/22/2014 İçerik Bağlama Elemanlarının Sınıflandırılması Şekil Bağlı bağlama elemanlarının hesabı Kuvvet

Detaylı

3-Boyutlu Öklid Uzayında Bertrand Eğriler ve Bishop Çatısı. Bertrand Curves and Bishop Frame in the 3-Dimensional Euclidean Space

3-Boyutlu Öklid Uzayında Bertrand Eğriler ve Bishop Çatısı. Bertrand Curves and Bishop Frame in the 3-Dimensional Euclidean Space Sakarya Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, Vol(o): pp, year SAKARYA ÜİVERSİTESİ FE BİLİMLERİ ESTİTÜSÜ DERGİSİ SAKARYA UIVERSITY JOURAL OF SCIECE e-iss: 47-85X Dergi sayfası: http://dergipark.gov.tr/saufenbilder

Detaylı

Elektrik Makinaları I. Senkron Makinalar Stator Sargılarının oluşturduğu Alternatif Alan ve Döner Alan, Sargıda Endüklenen Hareket Gerilimi

Elektrik Makinaları I. Senkron Makinalar Stator Sargılarının oluşturduğu Alternatif Alan ve Döner Alan, Sargıda Endüklenen Hareket Gerilimi Elektrik Makinaları I Senkron Makinalar Stator Sargılarının oluşturduğu Alternatif Alan ve Döner Alan, Sargıda Endüklenen Hareket Gerilimi Bir fazlı, iki kutuplu bir stator sargısının hava aralığında oluşturduğu

Detaylı

SORU 6: Su yapılarının tasarımında katı madde hareketinin (aşınma, oyulma, yığılma vb. olayları) incelenmesi neden önemlidir, açıklayınız (4 puan).

SORU 6: Su yapılarının tasarımında katı madde hareketinin (aşınma, oyulma, yığılma vb. olayları) incelenmesi neden önemlidir, açıklayınız (4 puan). KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 014-015 GÜZ YARIYILI SU KAYNAKLARI MÜHENDİSLİĞİ I ARASINAV SORULARI Tarih: 16 Kasım 014 SORULAR VE CEVAPLAR Adı Soyadı: No: İmza:

Detaylı

DEVRELER VE ELEKTRONİK LABORATUVARI

DEVRELER VE ELEKTRONİK LABORATUVARI DENEY NO: 1 DENEY GRUBU: C DİRENÇ ELEMANLARI, 1-KAPILI DİRENÇ DEVRELERİ VE KIRCHHOFF UN GERİLİMLER YASASI Malzeme ve Cihaz Listesi: 1. 10 Ω direnç 1 adet 2. 100 Ω direnç 3 adet 3. 180 Ω direnç 1 adet 4.

Detaylı

Atom. Atom 9.11.2015. 11 elektronlu Na. 29 elektronlu Cu

Atom. Atom 9.11.2015. 11 elektronlu Na. 29 elektronlu Cu Atom Maddelerin en küçük yapı taşlarına atom denir. Atomlar, elektron, nötron ve protonlardan oluşur. 1.Elektronlar: Çekirdek etrafında yörüngelerde bulunurlar ve ( ) yüklüdürler. Boyutları çok küçüktür.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

İçindekiler Jeofizikte Modellemenin Amaç ve Kapsamı Geneleştirilmiş Ters Kuram ve Jeofizikte Ters Problem Çözümleri

İçindekiler Jeofizikte Modellemenin Amaç ve Kapsamı Geneleştirilmiş Ters Kuram ve Jeofizikte Ters Problem Çözümleri İçindekiler Jeofizikte Modellemenin Amaç ve Kapsamı 1 Giriş 1 Tanımsal ve Stokastik Taklaşımlarla Problem Çözümlerinin Temel İlkeleri 2 Tanımsal Yaklaşımda Düz Problem Çözümlerinde Modelleme ilkeleri 4

Detaylı

Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları

Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları Prof. Dr. Günay Özmen İTÜ İnşaat Fakültesi (Emekli), İstanbul gunayozmen@hotmail.com 1. Giriş Çağdaş deprem yönetmeliklerinde, en çok göz önüne

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER Naser MASROURİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER

Detaylı

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI İki vektörün basamaklı (kademeli) çarpımı: Büyüklükte A ve B olan iki vektörünü ele alalım Bunların T= A.B cosθ çarpımı, tanımlama gereğince basamaklıdır. Bu vektörlerden

Detaylı

3-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı. Bertrand curves and bishop frame in the 3-dimensional euclidean space

3-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı. Bertrand curves and bishop frame in the 3-dimensional euclidean space Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 SAKARYA ÜİVERSİESİ FE BİLİMLERİ ESİÜSÜ DERGİSİ SAKARYA UIVERSIY JOURAL OF SCIECE e-iss: 47-85X Dergi sayfası: http://dergipark.gov.tr/saufenbilder

Detaylı

RİSKLİ YAPILAR ve GÜÇG

RİSKLİ YAPILAR ve GÜÇG RİSKLİ YAPILAR ve GÜÇG ÜÇLENDİRME ÇALIŞMALARI Doç.. Dr. Ercan ÖZGAN Düzce Üniversitesi YAPILARDA OLU AN R SKLER N NEDENLER GENEL OLARAK 1. Tasar m ve Analiz Hatalar 2. Malzeme Hatalar 3. çilik Hatalar

Detaylı

Basit Kafes Sistemler

Basit Kafes Sistemler YAPISAL ANALİZ 1 Basit Kafes Sistemler Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla kullanılan ahşap gergi elemanları

Detaylı

KİTAP İNCELEMESİ. Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri. Tamer KUTLUCA 1. Editörler. Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice AKKOÇ

KİTAP İNCELEMESİ. Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri. Tamer KUTLUCA 1. Editörler. Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice AKKOÇ Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi, 18 (2012) 287-291 287 KİTAP İNCELEMESİ Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Editörler Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice

Detaylı

Makine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN. Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR

Makine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN. Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR Makine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR İçerik Giriş Helisel dişli geometrisi Kavrama oranı Helisel dişli boyutları Helisel dişlilerin mukavemet

Detaylı

B05.11 Faaliyet Alanı

B05.11 Faaliyet Alanı 82 Yrd. Doç. Dr. Yakup EMÜL, Bilgisayar Programlama Ders Notları (B05. C de Fonksiyonlar) Bir tanıtıcının faaliyet alanı, tanıtıcının kod içinde kullanılabileceği program kısmıdır. Örneğin, bir blok içinde

Detaylı

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye

Detaylı

Ortaö retim Alan Ö retmenli i Tezsiz Yüksek Lisans Programlar nda Akademik Ba ar n n Çe itli De i kenlere Göre ncelenmesi: Mersin Üniversitesi Örne i

Ortaö retim Alan Ö retmenli i Tezsiz Yüksek Lisans Programlar nda Akademik Ba ar n n Çe itli De i kenlere Göre ncelenmesi: Mersin Üniversitesi Örne i Ortaö retim Alan Ö retmenli i Tezsiz Yüksek Lisans Programlar nda Akademik Ba ar n n Çe itli De i kenlere Göre ncelenmesi: Mersin Üniversitesi Örne i Devrim ÖZDEM R ALICI * Özet Bu ara t rmada 2002-2003

Detaylı

SÜREÇ YÖNETİMİ VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME H.Ömer Gülseren > ogulseren@gmail.com

SÜREÇ YÖNETİMİ VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME H.Ömer Gülseren > ogulseren@gmail.com SÜREÇ YÖNETİMİ VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME H.Ömer Gülseren > ogulseren@gmail.com Giriş Yönetim alanında yaşanan değişim, süreç yönetimi anlayışını ön plana çıkarmıştır. Süreç yönetimi; insan ve madde kaynaklarını

Detaylı

Bu konuda cevap verilecek sorular?

Bu konuda cevap verilecek sorular? MANYETİK ALAN Bu konuda cevap verilecek sorular? 1. Manyetik alan nedir? 2. Maddeler manyetik özelliklerine göre nasıl sınıflandırılır? 3. Manyetik alanın varlığı nasıl anlaşılır? 4. Mıknatısın manyetik

Detaylı

İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ. BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ. BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç: Madde 1. (1) Bu yönergenin amacı, İstanbul Kemerburgaz Üniversitesinin önlisans, lisans ve lisansüstü

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 =

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 = Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 4 Haziran 009 Matematik I Soruları ve Çözümleri. ( ).( + ) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 6 C) D) 6 E) 6 Çözüm ( ).( + ) 0 ( ).( ) + ( 4 9 ). 6 36 6 36. 6 6. 0, 0,0 0,0 işleminin

Detaylı

Özelge: 4632 sayılı Kanunun Geçici 1. maddesi kapsamında vakıf/sandıklardan bireysel emeklilik sistemine yapılan aktarımlarda vergilendirme hk.

Özelge: 4632 sayılı Kanunun Geçici 1. maddesi kapsamında vakıf/sandıklardan bireysel emeklilik sistemine yapılan aktarımlarda vergilendirme hk. Özelge: 4632 sayılı Kanunun Geçici 1. maddesi kapsamında vakıf/sandıklardan bireysel emeklilik sistemine yapılan aktarımlarda vergilendirme hk. Sayı: 64597866-120[94-2014]-131 Tarih: 28/08/2014 T.C. GELİR

Detaylı

T.C. DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK

T.C. DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI ÖZEL UZAY EĞRİLERİNİN KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR AĞUSTOS

Detaylı

SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL

SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL Uçakların ne kadar paralı yükü, hangi mesafeye taşıyabildikleri ve bu esnada ne kadar yakıt harcadıkları en önemli performans göstergelerinden biridir. Bir uçağın kalkış noktasından,

Detaylı

ÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa

Detaylı

1 OCAK - 31 ARALIK 2015 HESAP DÖNEMİNE AİT PERFORMANS SUNUŞ RAPORU (Tüm tutarlar, aksi belirtilmedikçe Türk Lirası ( TL ) cinsinden ifade edilmiştir.

1 OCAK - 31 ARALIK 2015 HESAP DÖNEMİNE AİT PERFORMANS SUNUŞ RAPORU (Tüm tutarlar, aksi belirtilmedikçe Türk Lirası ( TL ) cinsinden ifade edilmiştir. A. TANITICI BİLGİLER PORTFÖYE BAKIŞ YATIRIM VE YÖNETİME İLİŞKİN BİLGİLER Halka arz tarihi: 16 Temmuz 2014 31 Aralık 2015 tarihi itibariyle Fonun Yatırım Amacı Portföy Yöneticileri Fon Toplam Değeri Portföyünde

Detaylı

II. Bölüm HİDROLİK SİSTEMLERİN TANITIMI

II. Bölüm HİDROLİK SİSTEMLERİN TANITIMI II. Bölüm HİDROLİK SİSTEMLERİN TANITIMI 1 Güç Kaynağı AC Motor DC Motor Diesel Motor Otto Motor GÜÇ AKIŞI M i, ω i Güç transmisyon sistemi M 0, ω 0 F 0, v 0 Makina (doğrusal veya dairesel hareket) Mekanik

Detaylı

BİYOEŞDEĞERLİK ÇALIŞMALARINDA KLİNİK PROBLEMLERİN BİR KAÇ ÖZEL OLGUYLA KISA DEĞERLENDİRİLMESİ Prof.Dr.Aydin Erenmemişoğlu

BİYOEŞDEĞERLİK ÇALIŞMALARINDA KLİNİK PROBLEMLERİN BİR KAÇ ÖZEL OLGUYLA KISA DEĞERLENDİRİLMESİ Prof.Dr.Aydin Erenmemişoğlu BİYOEŞDEĞERLİK ÇALIŞMALARINDA KLİNİK PROBLEMLERİN BİR KAÇ ÖZEL OLGUYLA KISA DEĞERLENDİRİLMESİ Prof.Dr.Aydin Erenmemişoğlu 3.Klinik Farmakoloji Sempozyumu-TRABZON 24.10.2007 Klinik ilaç araştırmalarına

Detaylı

Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu

Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu Bu bölümde; Fizik ve Fizi in Yöntemleri, Fiziksel Nicelikler, Standartlar ve Birimler, Uluslararas Birim Sistemi (SI), Uzunluk, Kütle ve

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Görünüşler - 1

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Görünüşler - 1 TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi 2/25 Görünüşler Birinci İzdüşüm Metodu Üçüncüİzdüşüm Metodu İzdüşüm Sembolü Görünüşlerin Çizilmesi Görünüş Çıkarma Kuralları Tek Görünüşle

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Doktora Tezi FERMI-WALKER

Detaylı

25 Nisan 2016 (Saat 17:00 a kadar) Pazartesi de, postaya veya kargoya o gün verilmiş olan ya da online yapılan başvurular kabul edilecektir.

25 Nisan 2016 (Saat 17:00 a kadar) Pazartesi de, postaya veya kargoya o gün verilmiş olan ya da online yapılan başvurular kabul edilecektir. Sıkça Sorulan Sorular Başvuru Başvuru ne zaman bitiyor? 25 Nisan 2016 (Saat 17:00 a kadar) Pazartesi de, postaya veya kargoya o gün verilmiş olan ya da online yapılan başvurular kabul edilecektir. Bursluluğun

Detaylı

ÖZGEÇMĠġ Uluslararası hakemli dergilerde yayınlanan makaleler (SCI & SSCI & Arts and Humanities)

ÖZGEÇMĠġ Uluslararası hakemli dergilerde yayınlanan makaleler (SCI & SSCI & Arts and Humanities) . Adı Soyadı: Hüseyin KOCAYĠĞĠT 2. Doğum Tarihi: 0.0.962. Unvanı: Yrd. Doç. Dr.. Öğrenim Durumu: Doktora ÖZGEÇMĠġ FOTOĞRAF Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Bölümü Atatürk Üniversitesi 986 Y.

Detaylı

Adres : SĠNOP ÜNĠVERSĠTESĠ FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ MATEMATĠK BÖLÜMÜ YENĠ CEZAEVĠ YANI SĠNOP ANKARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ/MATEMATĠK (DR)

Adres : SĠNOP ÜNĠVERSĠTESĠ FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ MATEMATĠK BÖLÜMÜ YENĠ CEZAEVĠ YANI SĠNOP ANKARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ/MATEMATĠK (DR) FATMA KARAKUġ DOÇENT E-Posta Adresi : fkarakus@sinop.edu.tr Telefon (İş) : (368) 271 55 16-4217 Adres : SĠNOP ÜNĠVERSĠTESĠ FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ MATEMATĠK BÖLÜMÜ YENĠ CEZAEVĠ YANI SĠNOP Öğrenim Bilgisi

Detaylı

İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ

İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ Yüksek Lisans Tezi Tezi Hazırlaуan Kalima MOLDOKULOVA Matematik Anabilim Dalı 2014 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL

Detaylı

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar. G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının

Detaylı

Mustafa TEMİZ ve Mehmet ÜNAL* Pamukkle Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, 20020, Denizli

Mustafa TEMİZ ve Mehmet ÜNAL* Pamukkle Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, 20020, Denizli Pamukkale Ünirsitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Cilt 15 Sayı 2 2009 Sayfa 300-304 Yarıiletken Tekli Basamak Kırılma İndisli Lazerlerde Olasılık Kayıp Oranlarının Alternatif Analizi The Alternati Analysis

Detaylı

01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436

01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436 01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBALAR ELEKTRİK AKIMI Potansiyelleri farklı olan iki iletken cisim birbirlerine dokundurulduğunda

Detaylı

Ölçme Bilgisi Ders Notları

Ölçme Bilgisi Ders Notları 1. ÖLÇÜ BİRİMLERİ Ölçme Bilgisi: Sınırlı büyüklükteki yeryüzü parçalarının ölçülmesi, haritasının yapılması ve projelerdeki bilgilerin araziye uygulanması yöntemleri ile bu amaçlarla kullanılacak araç

Detaylı

Murat Yükse1 l, Serhat İkizoğlu 2

Murat Yükse1 l, Serhat İkizoğlu 2 BİR MOBİL ROBOTUN HEDEF NOKTAYA ERİŞİMİ VE TOPLANAN VERİLERİN RF İLE TRANSFERİ Murat Yükse1 l, Serhat İkizoğlu 2 1 Kontrol Mühendisliği Bölümü İstanbul Teknik Üniversitesi yukselm@itu.edu.tr 2 Kontrol

Detaylı

EĞİTİM BİLİMİNE GİRİŞ 1. Ders- Eğitimin Temel Kavramları. Yrd. Doç. Dr. Melike YİĞİT KOYUNKAYA

EĞİTİM BİLİMİNE GİRİŞ 1. Ders- Eğitimin Temel Kavramları. Yrd. Doç. Dr. Melike YİĞİT KOYUNKAYA EĞİTİM BİLİMİNE GİRİŞ 1. Ders- Eğitimin Temel Kavramları Yrd. Doç. Dr. Melike YİĞİT KOYUNKAYA Dersin Amacı Bu dersin amacı, öğrencilerin; Öğretmenlik mesleği ile tanışmalarını, Öğretmenliğin özellikleri

Detaylı

B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet

B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet 57 Yrd. Doç. Dr. Yakup EMÜL, Bilgisayar Programlama Ders Notları (B02) Şimdiye kadar C programlama dilinin, verileri ekrana yazdırma, kullanıcıdan verileri alma, işlemler

Detaylı

3- Kayan Filament Teorisi

3- Kayan Filament Teorisi 3- Kayan Filament Teorisi Madde 1. Giriş Bir kas hücresi kasıldığı zaman, ince filamentler kalınların üzerinden kayar ve sarkomer kısalır. Madde 2. Amaçlar İnce ve kalın filamentlerin moleküler yapı ve

Detaylı

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001 T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİMDALI İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

Detaylı

Veri Toplama Yöntemleri. Prof.Dr.Besti Üstün

Veri Toplama Yöntemleri. Prof.Dr.Besti Üstün Veri Toplama Yöntemleri Prof.Dr.Besti Üstün 1 VERİ (DATA) Belirli amaçlar için toplanan bilgilere veri denir. Araştırmacının belirlediği probleme en uygun çözümü bulabilmesi uygun veri toplama yöntemi

Detaylı

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı

Detaylı

TEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız

TEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız 1 2 TEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız Tunç Tort a ve kütüphane sorumlusu Tansu Hanım

Detaylı

2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI

2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI 2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI Deprem yüklerinin belirlenmesi için esas alınacak olan Spektral İvme Katsayısı, A(T), Denk.(2.1) ile verilmiştir. %5 sönüm oranı için

Detaylı

BOYAR MADDELERDE AKTİF KARBONUN ADSORPLANMA ÖZELLİĞİNE HİDROJEN PEROKSİTİN ETKİSİ

BOYAR MADDELERDE AKTİF KARBONUN ADSORPLANMA ÖZELLİĞİNE HİDROJEN PEROKSİTİN ETKİSİ TÜBİTAK BİDEB KİMYA LİSANS ÖĞRENCİLERİ KİMYAGERLİK, KİMYA ÖĞRETMENLİĞİ, KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BİYOMÜHENDİSLİK ARAŞTIRMA PROJESİ KİMYA 3 (Çalıştay 2012) KİMYA PROJE RAPORU GRUP AKTİF PROJE ADI BOYAR MADDELERDE

Detaylı

Şekil 5.12 Eski beton yüzeydeki kırıntıların su jetiyle uzaklaştırılması

Şekil 5.12 Eski beton yüzeydeki kırıntıların su jetiyle uzaklaştırılması Şekil 5.12 Eski beton yüzeydeki kırıntıların su jetiyle uzaklaştırılması 5.6.4 Yapıştırılmamış Aşınma Tabakası (Yüzen Şap) Döşeme ile aşınma tabakası arasında aderans yoktur, aksine aderansı önlemek için

Detaylı

T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1. BASINÇ, AKIŞ ve SEVİYE KONTROL DENEYLERİ

T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1. BASINÇ, AKIŞ ve SEVİYE KONTROL DENEYLERİ T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1 BASINÇ, AKIŞ ve SEVİYE KONTROL DENEYLERİ DENEY SORUMLUSU Arş.Gör. Şaban ULUS Haziran 2012 KAYSERİ

Detaylı

08.11.2014-10:30 Adı-Soyadı:... No:... NOT:...

08.11.2014-10:30 Adı-Soyadı:... No:... NOT:... OREN435 TESİS PLNLM 014-015 GÜZ YRIYILI RSINVI CEVP NHTRI 1 08.11.014-10:30 dı-soyadı:... No:... NOT:... Sorular eşit puanlıdır. Yardımcı bellek kullanılabilir. Süre 70 fakikadır. 1. Endüstriyel üretim

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KANUNU

YÜKSEKÖĞRETİM KANUNU YÜKSEKÖĞRETİM KANUNU Kanun Numarası : 2547 Kabul Tarihi : 4/11/1981 Yayımlandığı R. Gazete : Tarih : 6/11/1981 Sayı : 17506 Yayımlandığı Düstur : Tertip : 5 Cilt : 21 Sayfa : 3 * * * Bu Kanunun yürürlükte

Detaylı

HAM PUAN: Üniversite Sınavlarına giren adayların sadece netler üzerinden hesaplanan puanlarına hem puan denir.

HAM PUAN: Üniversite Sınavlarına giren adayların sadece netler üzerinden hesaplanan puanlarına hem puan denir. YGS / LYS SÖZLÜĞÜ OBP (ORTA ÖĞRETİM BAŞARI PUANI): Öğrencinin diploma notunun diğer öğrencilerin diploma notlarına oranıdır. En az 100 en çok 500 puan arasında değişen bu değer, öğrencinin başarısı okulun

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI ENGELLİLER DANIŞMA VE KOORDİNASYON YÖNETMELİĞİ (1) BİRİNCİ BÖLÜM. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI ENGELLİLER DANIŞMA VE KOORDİNASYON YÖNETMELİĞİ (1) BİRİNCİ BÖLÜM. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI ENGELLİLER DANIŞMA VE KOORDİNASYON YÖNETMELİĞİ (1) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç MADDE 1 (Değişik:RG-14/2/2014-28913) (1) Bu Yönetmeliğin amacı; yükseköğrenim

Detaylı

T.C. MALTEPE ÜNĠVERSĠTESĠ MÜHENDĠSLĠK FAKÜLTESĠ ENDÜSTRĠ MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ LĠSANS PROGRAMI. 2011-2012 Güz Yarıyılı

T.C. MALTEPE ÜNĠVERSĠTESĠ MÜHENDĠSLĠK FAKÜLTESĠ ENDÜSTRĠ MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ LĠSANS PROGRAMI. 2011-2012 Güz Yarıyılı T.C. MALTEPE ÜNĠVERSĠTESĠ MÜHENDĠSLĠK FAKÜLTESĠ ENDÜSTRĠ MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ LĠSANS PROGRAMI 2011-2012 Güz Yarıyılı LĠNEER CEBĠR MAT 283 6 AKTS 1. yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu 3 s/hafta Teorik: 3 s/hafta

Detaylı

HAYALi ihracatln BOYUTLARI

HAYALi ihracatln BOYUTLARI HAYALi ihracatln BOYUTLARI 103 Müslüme Bal U lkelerin ekonomi politikaları ile dış politikaları,. son yıllarda birbirinden ayrılmaz bir bütün haline gelmiştir. Tüm dünya ülkelerinin ekonomi politikalarında

Detaylı

Temel Bilgisayar Programlama

Temel Bilgisayar Programlama BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin

Detaylı

Foton Kutuplanma durumlarının Dirac yazılımı

Foton Kutuplanma durumlarının Dirac yazılımı Foton Kutuplanma durumlarının Dirac yazılımı Yatay Kutuplanmış bir foton h ve düşey kutuplanmış bir foton ise ν ile verilmiştir. Şekil I: Foton kutuplanma bazları h, ν ve +45, 45 in tanımı. ±45 boyunca

Detaylı

1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ

1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ 1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ Yapısal kırılmanın araştırılması için CUSUM, CUSUMSquare ve CHOW testleri bize gerekli bilgileri sağlayabilmektedir. 1.1. CUSUM Testi (Cumulative Sum of the recursive residuals

Detaylı

Hesapların yapılması;modül,mil çapı,rulman,feder ve yağ miktarı gibi değerlerin seçilmesi isteniyor.

Hesapların yapılması;modül,mil çapı,rulman,feder ve yağ miktarı gibi değerlerin seçilmesi isteniyor. PROJE KONUSU : İKİ KADEMELİ REDÜKTÖR. VERİLEN BİLGİLER VE İSTENENLER : Giriş gücü = P giriş =,5 kw Kademe sayısı = Giriş mil devri = n g = 750 devir/dakika.kademe dişli tipi = Düz dişli çark Çıkış mil

Detaylı

Akışkanlar Mekaniği. Dr. Osman TURAN. Makine ve İmalat Mühendisliği. osman.turan@bilecik.edu.tr

Akışkanlar Mekaniği. Dr. Osman TURAN. Makine ve İmalat Mühendisliği. osman.turan@bilecik.edu.tr Akışkanlar Mekaniği Dr. Osman TURAN Makine ve İmalat Mühendisliği osman.turan@bilecik.edu.tr Kaynaklar Ders Değerlendirmesi 1. Vize 2. Vize Ödev ve Kısa sınavlar Final % 20 % 25 % 15 % 40 Ders İçeriği

Detaylı

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir.

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir. 2. Niceleme Mantığı (Yüklemler Mantığı) Önermeler mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığı için önermelerin niceliğini göstermede yetersizdir. Örneğin, "Bazı hayvanlar dört ayaklıdır." ve "Bütün

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler 1.Temel Kavramlar Abaküs Nedir... 7 Abaküsün Tarihçesi... 9 Abaküsün Faydaları... 12 Abaküsü Tanıyalım... 13 Abaküste Rakamların Gösterili i... 18 Abaküste Parmak Hareketlerinin Gösterili i... 19 2. lemler

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birinci Bölüm Soru Kitapçığı Türü DENEME-7 Bu sınav iki bölümden

Detaylı

6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri. 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır.

6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri. 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır. 6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır. olduğu biliniyor buna göre; hipotezinin doğruluğu altında test istatistiği

Detaylı

İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ. ÇİFT ANADAL ve YANDAL PROGRAMI YÖNERGESİ

İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ. ÇİFT ANADAL ve YANDAL PROGRAMI YÖNERGESİ İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ ÇİFT ANADAL ve YANDAL PROGRAMI YÖNERGESİ Amaç MADDE 1 - (1) Bu Yönergenin amacı, anadal lisans programlarını üstün başarıyla yürüten öğrencilerin, aynı zamanda ikinci

Detaylı

İngilizce Öğretmenlerinin Bilgisayar Beceri, Kullanım ve Pedagojik İçerik Bilgi Özdeğerlendirmeleri: e-inset NET. Betül Arap 1 Fidel Çakmak 2

İngilizce Öğretmenlerinin Bilgisayar Beceri, Kullanım ve Pedagojik İçerik Bilgi Özdeğerlendirmeleri: e-inset NET. Betül Arap 1 Fidel Çakmak 2 İngilizce Öğretmenlerinin Bilgisayar Beceri, Kullanım ve Pedagojik İçerik Bilgi Özdeğerlendirmeleri: e-inset NET DOI= 10.17556/jef.54455 Betül Arap 1 Fidel Çakmak 2 Genişletilmiş Özet Giriş Son yıllarda

Detaylı

DENEY 2. Şekil 1. Çalışma bölümünün şematik olarak görünümü

DENEY 2. Şekil 1. Çalışma bölümünün şematik olarak görünümü Deney-2 /5 DENEY 2 SĐLĐNDĐR ÜZERĐNE ETKĐ EDEN SÜRÜKLEME KUVVETĐNĐN BELĐRLENMESĐ AMAÇ Bu deneyin amacı, silindir üzerindeki statik basınç dağılımını, akışkan tarafından silindir üzerine uygulanan kuvveti

Detaylı