ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 7

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI Bu tez 4//7 Tarihinde Aşağıdaki Jüri üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir. İmza:... İmza:... İmza:... Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yrd.Doç.Dr. A.Hamza TANRIKULU Doç.Dr. Galip SEÇKİN DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü Bu çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No:MMF.5.YL.33 Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI Danışman: Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yıl: 7, Sayfa:93 Jüri :Doç. Dr. H. Murat ARSLAN Yrd. Doç. Dr. A. Hamza TANRIKULU Yrd. Doç. Dr. Galip SEÇKİN Bu çalışmada, tabakalı plakların düşey yükler altında statik analizleri yapılmıştır. Analizlerde simetrik ve antisimetrik tabakalanma durumlarındaki plağın davranışları incelenmiştir. Plak malzemesi izotrop ve ortotrop olarak kabul edilmiştir. Simetrik tabakalanma durumları için plak eğilime rijitlikleri, plağın farklı tabakalanma durumları için ise farklı tabakalanma açıları, farklı elastisite modülleri ve plağın kenar uzunluklarının birbirine oranına göre plak davranışı incelenmiştir. Analizlerde ince plak kabulleri ile ele edilen diferansiyel denklemler, değişkenlerine ayırma yöntemleriyle çözülmüştür. MATHEMATİCA adlı bilgisayar programı yardımıyla, çözüm için bir bilgisayar programı hazırlanıp, sonuçlar sonlu elemanlar yöntemine dayalı çözüm yapan ANSYS paket programı ile elde edilen sonuçlarla karşılaşılmıştır. Anahtar Kelimeler: Statik analiz, Tabakalı plaklar, İnce plak teorisi, Simetrik ve Antisimetrik tabakalanma, Değişkenlerine ayırma yöntemi. I

4 ABSTRACT MSc THESIS BENDING ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE THIN PLATES UNDER THE EFFECTS OF THE TRANSVERSE LOADING DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSTY OF CUKUROVA Supervisor : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Year : 7, Pages :93 Jury :Assoc. Dr. H. Murat ARSLAN Asist. Prof. Dr. A. Hamza TANRIKULU Assoc.Prof. Dr. Galip SEÇKİN In this study, the static analysis of laminated plates under vertical loads, is studied. In the analysis, the behaviour of the plate in the cases of symmetric and antisymetric lamination, is investigated. The material of the plate is considered to be isotropic and orthotropic. For symmetric lamination cases, plate bending stiffnesses, behaviour of the plate with different lamination angles and different plate arrangements are investigated while for antisymmetric lamination cases, the plate behaviour is investigated according to the lamination angles, different elasticity moduli ratios and different aspect ratios of the plate. In the analysis the differential equations which are optained employing thin plate assumptions, are solved by the help of the method of separation of variables. Preparing a computer program for the solution by the help of a computer algebra system called MATHEMATICA, the results are compared with the results which are obtained using the commercial computer program ANSYS which carries out solutions based on the finite element method. Key Words: Static analysis, Laminated Plates, Thin Plate Theory, Symmetric and Antisymmetric Lamination, Separation of Variables Method. II

5 TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren ve yöneten Danışman Hocam Doç.Dr. H.Murat ARSLAN a teşekkür ederim. Ayrıca, bu çalışmanın her adımında zamanını ve yardımlarını esirgemeyen Araştırma Görevlisi Sayın Ali DOĞAN a, sabır ve desteklerinden dolayı sevgili aileme ve arkadaşlarıma en içten teşekkürlerimi sunarım. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV ÇİZELGELER DİZİNİ... VII ŞEKİLLER DİZİNİ... IX SEMBOLLER DİZİNİ... XIV.GİRİŞ....ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR MATERYAL VE METOD Kompozit Malzemeler Kompozit Malzemelerin Kullanımı TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Giriş Tanımlamaların İncelenmesi Gerilme Şekil Değiştirme Malzeme Modülleri Şekil Değiştirme Enerjisi Farklı Tip Malzemeler İçin Hook Kanunları Anizotropik Malzeme Monoklinik Malzeme Ortotropik Malzeme Transversely (Enine) İzotropik Malzeme İzotropik Malzeme Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi Klasik Tabaka Teorisi(CLT) Hook Kanunlarının Üç Boyuttan İki Boyuta İndirgenmesi IV

7 4.7. İki Boyutlu Açılı Tabakalar İçin Hook Kanunları Bir Tabakadaki Deplasman, Gerilme ve Şekil Değiştirme Denklemleri Orta Yüzey Eğilme ve Şekil Değiştirmelerine Bağlı Olarak Oluşan Kuvvetler ve Momentler Bazı Özel Tabakalanma Tipleri Simetrik Tabakalanma İzotropik Simetrik Tabakalanma Özel Ortotropik Simetrik Tabakalanma Genel Ortotropik Simetrik Tabakalanma Antisimetrik Tabakalanma Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Giriş Tabakalı Kompozit Plakları İdare Eden Denge Denklemleri Basit Mesnetli Dikdörtgen İnce Tabakalı Plakların Analizi Özel Ortotropik Tabakalanma Simetrik Açılı-Katlı Tabakalanma Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma SAYISAL UYGULAMALAR Giriş Sayısal Örnekler Simetrik Tabakalanma... 7 Örnek... 7 Örnek Örnek Örnek Antisimetrik Tabakalanma... 3 Örnek Örnek V

8 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 8 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ EKLER EK. Mathematica Programında Hazırlanmış Bilgisayar Programı VI

9 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge 6.. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması Çizelge 6.5. Plak moment değerleri Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-) Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-).. 95 Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.3. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar için plak eğilme rijitlikleri... 8 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta noktasındaki çökme değerleri... 9 Çizelge 6.5.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması... Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 3 VII

10 Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerleri Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.3.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak moment değerleri VIII

11 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.5. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B6 ve B6 değerleri Çizelge 6.7.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.7.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.7.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.8.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri IX

12 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge 6.. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması Çizelge 6.5. Plak moment değerleri Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-) Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-).. 95 Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.3. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar için plak eğilme rijitlikleri... 8 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta noktasındaki çökme değerleri... 9 Çizelge 6.5.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması... Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 3 VII

13 Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerleri Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.3.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak moment değerleri IX

14 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.5. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B6 ve B6 değerleri Çizelge 6.7.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.7.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.7.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.8.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri IX

15 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil 4.. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü... 9 Şekil 4.. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu... Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu... Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu... 3 Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler... 5 Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler... 6 Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler... 7 Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve kayma şekil değiştirmeleri... 8 Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi... 3 Şekil 4.. Temel malzeme koordinat sistemi... 3 Şekil 4.. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler... 3 Şekil 4.. σ gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu Şekil 4.3. τ kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu Şekil 4.4. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi Şekil 4.5. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar... 4 Şekil 4.6. x-z düzleminde deformasyon Şekil 4.7. Tabaka kalınlığı boyunca gerilme ve şekil değiştirmeler Şekil 4.8. Bir tabakalı elemandaki katmanların koordinat yerleşimi Şekil 4.9. Üç tabakadan oluşan izotropik simetrik tabakalanma Şekil 4.. Üç tabakalı özel ortotropik simetrik tabakalanma Şekil 4.. Üç tabakalı simetrik açılı-katlı tabakalanma Şekil 4.. İki tabakalı antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma Şekil 4.3. İki tabakalı antisimetrik açılı-katlı tabakalanma Şekil 5.. dxdydz boyutundaki kübik elemandaki gerilmeler Şekil 5..a. Plak kuvvetleri Şekil 5..b. Plak momentleri Şekil 5.3. Lateral yük altındaki basit mesnetlenmiş dikdörtgen plak X

16 Şekil 6.. Üniform yüklü kare plak... 7 Şekil 6.. x SE ağıyla çözülen, a/h=5 olan çelik plak problemi için düşey deplasman dağılımı... 7 Şekil 6.3. x SE ağıyla çözülen, a/h=5 olan çelik plak problemi için σ x gerilme dağılımı Şekil 6.4. x SE ağıyla çözülen, a/h=5 olan çelik plak problemi için M x moment dağılımı Şekil 6.5. Örnek deki altı farklı tabakalanma durumu Şekil 6.6. Durum- deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi Şekil 6.7. Durum- deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi Şekil 6.8. Durum-3 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.9. Durum-4 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.. Durum-5 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.. Durum-6 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.. Örnek 3 için plak yerleşimi... 8 Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri (Durum-) Şekil 6.4. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için (a/, b/) noktasında plak çökme değerleri (Durum-) Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Şekil 6.7. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta o /9 o /9 o / o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri XI

17 Şekil 6.8. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 5 o /9 o /9 o /5 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri Şekil 6.9. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 3 o /9 o /9 o /3 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45 o /9 o /9 o /45 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 6 o /9 o /9 o /6 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 9 Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75 o /9 o /9 o /75 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 9 Şekil 6.3. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 9 Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta o /9 o /9 o / o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 9 Şekil 6.5. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 5 o /9 o /9 o /5 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 9 Şekil 6.6. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 3 o /9 o /9 o /3 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 9 Şekil 6.7. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45 o /9 o /9 o /45 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.8. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 6 o /9 o /9 o /6 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.9. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75 o /9 o /9 o /75 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.3. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri (Durum-) Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için (a/,b/)noktasında,çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-). 96 Şekil Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) XII

18 Şekil Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o / o / o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /5 o /5 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /3 o /3 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /45 o /45 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /6 o /6 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /75 o /75 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 3 Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o / o / o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 3 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /5 o /5 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 4 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /3 o /3 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 4 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /45 o /45 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 5 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /6 o /6 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 5 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /75 o /75 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 6 Şekil 6.48.Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 6 Şekil Örnek 4 için tabaka dizilimi... 7 XIII

19 Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.m )... 3 Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.4m )... 3 Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.36m )... 4 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.48m )... 4 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.m )... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.m )... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4m )... 6 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4m )... 6 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36m )... 7 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36m )... 7 Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48m )... 8 Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48m )... 8 Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..m)(ansys)... 9 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..m )(D.A.Y.)... Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t.k..m )(ANSYS-D.A.Y.)... Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..4m ) (ANSYS)... XIV

20 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..4m ) (D.A.Y.)... 3 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..4m ) (ANSYS-D.A.Y.)... 4 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..36m ) (ANSYS)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..36m ) (D.A.Y.)... 6 Şekil 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..36m ) (ANSYS-D.A.Y.)... 7 Şekil 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..48m ) (ANSYS)... 8 Şekil 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..48m )(D.A.Y.)... 9 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..48m ) (ANSYS-D.A.Y.)... 3 Şekil Örnek 5 deki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli... 3 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerleri Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS)... 4 XV

21 Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y). 4 Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B değerleri Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (D.A.Y)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)54 Şekil Örnek 6 daki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre B6 değerleri Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre B6 değerleri Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y)... 6 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)... 6 XVI

22 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y-ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y-ANSYS)66 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B6-B6 değerleri Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y) Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS) Şekil 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)79 XVII

23 SEMBOLLER DİZİNİ δ δ σ x σ y σ z : doğrultusundaki normal deformasyon miktarı. : doğrultusundaki normal deformasyon miktarı. : x doğrultusundaki normal gerilme. : y doğrultusundaki normal gerilme. : z doğrultusundaki normal gerilme. τ yx,τ yz,τ zx : Eleman yüzeylerindeki kayma gerilmeleri. εx εy εz u v z γ xy,γ yz,γ zx E υ G W [C] Cij [S] Sij Qij [T] [R] [ ] Q ij [ ] S ij uc uo : x doğrultusundaki normal şekil değiştirme. : y doğrultusundaki normal şekil değiştirme. : z doğrultusundaki normal şekil değiştirme. : x doğrultusundaki deplasman : y doğrultusundaki deplasman : z doğrultusundaki deplasman : Kayma şekil değiştirmeleri : Elastisite sabiti : Poisson oranı : Kayma modülü : Her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerisi : Rijitlik (stiffness) matris : Rijitlik (stiffness) matrisinin elemanları : Esneklik (compliance) matris : Esneklik (compliance) matrisinin elemanları : İndirgenmiş rijitlik katsayıları : Transformasyon matrisi : Reuter matris : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi : C noktasının x doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin,x doğrultusunda yaptığı deplasman XVII

24 v o w o z c β o ε x o ε y o γ xy : Orta düzlemin, y doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin, z doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin C noktasına olan uzaklığı : x doğrultusunda orta düzlemdeki tabaka eğimi : Orta düzlemde x doğrultusundaki normal şekil değiştirme : Orta düzlemde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme : Orta düzlemdeki x-y kayma şekil değiştirmesi K x,k y,k xy : Orta düzlemdeki eğrilikler a,b : Plak elemanının x ve y doğrultusundaki boyutları t : Her bir tabakanın kalınlığı h : Tabakalı plağın toplam kalınlığı t : Her bir tabakanın kalınlığı h h h n h n- h k- h k N x,n y N xy M x,m y M xy A ij B ij D ij : Birinci tabakanın üst yüzeyi : Birinci tabakanın alt yüzeyi : n. tabakanın alt yüzeyi : n. tabakanın üst yüzeyi : k. tabakanın üst yüzeyi : k. tabakanın alt yüzeyi : Birim uzunluktaki normal kuvvet : Birim uzunluktaki kesme kuvveti : Birim uzunluktaki eğilme momentleri : Birim uzunluktaki burkulma momentleri : Uzama rijitlik matrisi : Eğilme uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi : Eğilme rijitlik matrisi F x, F y, Fz : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetler P A mn B mn C mn : Birim yük : x doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı : y doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı : z doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı XVIII

25 .GİRİŞ.GİRİŞ Plaklar, kalınlıkları diğer iki boyutuna oranla, çok küçük olan taşıyıcı elemanlardır. Düşey ve yatay yükleri aktararak taşıyıcı sistem elemanları arasındaki sürekliliği sağlamalarından dolayı, önemli bir taşıyıcı sistem elemanı olarak görülmektedirler. İkametgah tipi yapılar genellikle, dikdörtgen veya düzgün geometriye sahip olmaları ve çoğunlukla düzgün yayılı yük etkisi altında kalmalarından dolayı, bu tip yapılarda plakların analizi daha da kolaylaşmaktadır. Belirtilen özelliklere sahip plakların analizi için, literatürde ve yönetmeliklerde problemlerin çözümü için yeterli olabilecek yaklaşık yöntemler verilmiştir. Kalınlığının açıklığına oranı yaklaşık olarak / den küçük olan plaklara ince plaklar denilmektedir. İnce plaklar Kirchoff hipotezinde belirtildiği gibi, plak kalınlığı boyunca kayma deformasyonları ihmal edilerek çözülebilmektedirler. Plak kalınlığının büyük olduğu kalın plak durumunda, Reissner-Mindlin hipotezi veya yüksek dereceden kayma deformasyonları dağılımı teorileri yardımıyla çözüm yapılabilmektedir. Bunlara ek olarak, literatürde kayma deformasyonlarını dikkate alan çok sayıda teori de bulunmaktadır. Bazı özel durumlarda plakların bazı özelliklerinin iyileştirilmesi istenir. Bu iyileştirmeler ile istenilen özelliklere sahip plakların elde edilmesi sağlanır. Örneğin tabakalı kompozit plaklarda olduğu gibi zayıf ve güçlü malzemelerin belirli ölçülerde biraraya getirilmesi ile veya tabaka açılarının değişimi ile bu iyileştirmeler sağlanabilir. Tabakalı kompozit plaklar çok çeşitli tabaka dizilimlerine sahip olabilmektedirler ve bu tabaka dizilimlerine bağlı olarak farklı tabaka rijitlikleri gösterirler. Bu tabaka rijitliklerinin iyi anlaşılması ile, istenilen amaca en uygun tabakalanma çeşidine ulaşmak mümkün olur. Plakların analizinde analitik karmaşıklıklardan dolayı bazı sınırlandırmalar ve varsayımlar yapılarak yaklaşık yöntemler uygulanabilmektedir. Tabakalandırılmış plak teorisinin temellendirildiği bazı sınırlamalar ve varsayımlar da bulunmaktadır. Sınırlamalar, dayandığı teorinin kullanımı üzerindeki sınırlamalardır ki bunlar giderilebilir veya giderilemez. Örneğin kare plaklar için kullanılan bir teori dairesel

26 .GİRİŞ plaklara uymaz. Varsayımlar ise, belirsizlik türündeki teoriler üzerindeki sınırlamalardır. Örneğin, bir plağın yüzeyine dik olan gerilmelerin genel olarak sıfır olarak kabul edilebilmesi için boyutunun yeterince küçük olduğu varsayılır veya değerinin sıfır olduğu farzedilir. Yinede daha doğru bir teoriye başvurmadıkça, kesin olarak gerilmelerin ne kadar küçük olduğu bilinemez. Özetle sınırlamalar ve varsayımlar arasındaki fark şudur ki, sınırlamalar bilineni varsayımlar bilinmeyenleri içerirler (Jones, 975). Plaklar her zaman geometri ve yükleme açısından elverişli özelliklere sahip olmayabilirler ve bu tip özelliklere sahip plakların analizi için yaklaşık yöntemler yeterli olamayabilir. Bundan dolayı, geniş işlem hacmine sahip olan ancak bilgisayar desteğiyle bu sorunu aşan Sonlu Farklar, Sınır Eleman ve Sonlu Elemanlar Yöntemi gibi bazı sayısal yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden Sonlu Elemanlar Yöntemi, sistematik olması, her türlü yapıya kolaylıkla uygulanabilmesi ve programlamaya elverişli olmasından dolayı yaygın olarak kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yönteminde, analizi yapılan plağın geometrisine ve istenilen hassasiyetine göre plağa sonlu eleman ağı uygulanmaktadır.

27 .ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Plak analizi ile ilgili çalışmalar ilk olarak 8 lü yıllarda yapılmıştır. Bu çalışmalar sonucunda Kirchoff Hipotezi ne dayalı klasik plak teorisi geliştirilmiş olup çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi Galerkin ile başlamıştır. Kirchoff Hipotezi ince plak üzerine yapılan çalışmalara temel teşkil etmiştir. Bu hipoteze göre plak orta düzleminin şekil değiştirmediği ve herhangi bir noktanın düşey deplasmanının plak kalınlığı yanında çok küçük olduğu kabul edilmektedir. Ayrıca Kirchoff Hipotezi ne göre orta düzleme dik olan normal gerilme σ z, diğer gerilme bileşenleri yanında ihmal edilmekte ve orta düzleme dik düzlemler şekil değiştirmeden sonra yine orta düzleme dik kalmaktadır. Sonraki yıllarda Galerkin (95) ve Timeshenko (94) bu teoriye dayalı olarak plaklar için sayısal ve analitik çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. Ayrıca Ritz Navier ve Levy (98) gibi araştırmacılarda seriler yardımıyla basit kabuller yaparak çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. Daha sonraki çalışmalarda Reissner (975) kayma deformasyonlarını göz önüne alan bir model geliştirmiştir. Reissner birinci mertebe teorisi olarak adlandırılan teoride, kayma deformasyonlarını ilk olarak statik analizle göz önüne almış ve kayma deformasyonlarının plak kesiti boyunca lineer dağıldığını kabul ederek bir basitleştirmede bulunmuştur. Ayrıca Mindlin (95) izotropik ve elastik plakların gerilme dağılımını inceleyen araştırmalar yapmıştır. Reissner-Mindlin Hipotezi olarak bilinen bu teoride kayma deformasyonları lineer olarak kabul edilmektedir. Diğer bir kalın plak teorisi de yüksek dereceli kayma deformasyonu teorisidir. Bu teoride esas olarak kayma deformasyonlarının nonlineer olarak değiştiği kabul edilmektedir. Reddy (984) kayma deformasyonunun parabolik dağılımını göz önüne alarak daha gerçekçi yüksek dereceli bir model kullanılmıştır. Phan (985), Lo (977) gibi araştırmacılar da yüksek dereceli kayma deformasyonunu dikkate alan çeşitli modeller geliştirmişlerdir. Ayrıca Subramanian (993) izotropik plakaların eğilmesi üzerine çalışmalarda bulunmuşlardır. Hassis (998) ise tek bir tabakadan oluşan plaklar için yüksek dereceli bir model önermiştir. 3

28 .ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Plakların tabakalandırılması son üzerinde sıkça durulan bir konudur. Farklı tipte malzemelerle yüksek mukavemetli, hafif ve bir çok amaca yönelik tabakaların oluşturulması için yapılan bu model üzerinde Suresh ve arkadaşları (979) her bir düğümde beş serbestlik derecesine sahip süperparametrik kuadratik tabakalı plak elemanı üzerinde gerilme-şekil değiştirme ilişkisini araştırmışlardır. Hou ve Jerominidis () ise tabakalar arası kopma dayanımlarını inceleyen bir araştırma yapmışlardır. Ayrıca Reddy (989) tabakalı kompozit plakların sınır şartları, burulma yükleri ve tabakalar arasındaki frekans etkileşimleri konusunda çalışmalarda bulunmuştur. Lucking ve arkadaşları (984) ise kompozit plakların boşluklu olması halini dikkate almış ve bu yönde çalışmalarda bulunmuşlardır. İnce plakların eğilmesi, bükülmesi ve titreşimi konusunda da birçok çalışma yapılmıştır. Bunlardan Jones (999) tabakalı plakları değişkenlerine ayırma yöntemiyle ele almış ve çeşitli tabaka sayılarına, elastisite modülüne ve tabaka açılarına göre tabaka rijitliklerini incelemiştir. Bütün bu çalışmaların çoğu çeşitli sayısal çözüm yöntemleri kullanılarak yapılmıştır. Bunlar sonlu farklar yöntemi, sınır elemanlar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemidir. Sonlu elemanlar yöntemini kullanan çok amaçlı bir paket program olan ANSYS, ince plakları, kalın plakları ve tabakalı plakları çeşitli tipte elemanlar kullanarak çözmektedir. 4

29 3.MATERYAL VE METOD 3.MATERYAL VE METOD 3.. Kompozit Malzemeler Kompozit malzeme, istenen amaç için tek başlarına uygun olmayan farklı iki veya daha fazla malzemenin istenen özellikleri sağlayacak şekilde belirli şartlar ve oranlarda fiziksel olarak bir araya getirilmesiyle elde edilen malzeme grubudur. Üç boyutlu bu bir araya getirmede amaç, bileşenlerin hiçbirinde tek başına mevcut olmayan bir özelliğin elde edilmesidir. Diğer bir deyişle, amaçlanan doğrultuda bileşenlerinden daha üstün özelliklere sahip bir malzeme üretilmesi hedeflenmektedir. Kompozit malzemeye, Çok Bileşenli Malzeme, Çok Fazlı Malzeme, Donatılı Malzeme ve Pekiştirilmiş Malzeme gibi adlar da verilmektedir. (Ersoy,) Kompozit malzemelerde çekirdek olarak kullanılan bir fiber malzeme ve bu malzemenin çevresinde hacimsel olarak çoğunluğu oluşturan bir matris malzeme bulunmaktadır. Bu iki malzeme grubundan fiber malzeme kompozit malzemenin mukavemet ve yük taşıma özelliğini sağlar, matris malzeme ise fiber malzemeleri yük altında bir arada tutar ve yükü lifler arasında homojen olarak dağıtır. Kompozitlerin özgül ağırlıklarının düşük olması, yüksek mukavemet göstermeleri, kolay şekillendirilebilmeleri, daha az deformasyona uğramaları ve daha fazla yük taşıyabilmeleri kullanım alanları için büyük bir avantaj sağlamaktadır. Bunun yanında, kompozit malzemelerin üretiminde şu özelliklerin geliştirilmesi hedeflenir. Mekanik dayanım, korozyona karşı direnç, rijitlik, ağırlık, yüksek sıcaklığa dayanım göstermek, ısı iletkenliği, kırılma tokluğu, ses tutuculuğu ve görünüm. Bu özelliklerin birisi veya birkaçı geliştirilirken, kompozit malzemenin zayıf yönleri iyileştirilir. Bu iyileştirme kompoziti oluşturan matris ve fiber elemanların analizi ile mümkündür Kompozit malzemelerin tanımından da anlaşıldığı üzere, kompozit malzemelerde genellikle şu dört koşul aranmaktadır : ) İnsan yapısı olması, dolayısıyla doğal bir malzeme olmaması. ) Farklı malzemelerin üç boyutlu olarak biraraya getirilmiş olması. 5

30 3.MATERYAL VE METOD 3) Bileşenlerinin hiçbirinin tek başına sahip olmadığı özellikleri taşıması, dolayısıyla bu amaçla üretilmiş olması. 4) Kompozit malzemeleri oluşturan fiber ve matris malzemelerin bir bütün olarak davranması. Kompozitler aşağıdaki şekilde gruplandırılabilir. ) Tanelerle Donatılı Kompozit Malzeme: Kompoziti oluşturan matris malzeme içerisinde milimetrik düzeydeki tanelerin yer almasıyla meydana gelen kompozit türüdür. Bu türe beton örnek olarak gösterilebilir. ) Liflerle Donatılı Kompozit Malzeme: Çekme ve eğilme dayanımları istenen düzeyde olmayan zayıf malzemelerin zayıf olan yönlerinin iyileştirilmesi amacıyla liflerle donatılması ile elde edilen bir kompozit türüdür. 3) Tabakalı Kompozit Malzeme: En az iki adet farklı fazın, tabakalı bir şekilde kompozitin yapısında yer almasıyla meydana gelir. Bu fazlardan birisi kompozite özelliğini kazandıran sürekli faz, diğeri ise tabakaları bir arada tutan bağlayıcı fazdır. 6

31 3.MATERYAL VE METOD 3.. Kompozit Malzemelerin Kullanımı Kompozit malzemenin bilinen en eski ve en geniş kullanılan alanı inşaat sektörüdür. Saman ile liflendirilmiş çamurdan yapılan duvarlar ilk kompozit malzeme örneklerindendir. Bugün taş, kum, kireç, demir ve çimento ile oluşturulan kompozit malzeme evlerimizi oluşturmaktadır. Günümüzde kompozit malzemelerin kullanım alanı çok geniş boyutlara ulaşmıştır. Başlıca kullanım alanları şu şekilde sıralanabilir: Şehircilik : Bu alanda kompozitler toplu konut yapımında, çevre güzelleştirme çalışmalarında (heykel, banklar, elektrik direkleri v.s.) kullanılmaktadır. Ev Aletleri : Masa, sandalye, televizyon kabinleri, saç kurutma makinesi gibi çok kullanılan ev aletlerinde ve dekoratif ev eşyalarında kompozit malzemeler kullanılmaktadır. Elektrik ve Elektronik Sanayi : Kompozitler başta elektriksel izolasyon olmak üzere her tür elektrik ve elektronik malzemenin yapımında kullanılmaktadır. Otomotiv Sanayi : Bu alanda kompozitlerden oluşan başlıca ürünler; otomobil kaportası parçaları, iç donanımı, bazı motor parçaları, tamponlar ve oto lastikleridir. Havacılık Sanayi : Havacılık sanayisinde kompozitler, gün geçtikçe daha geniş bir uygulama alanına sahip olmaktadır. Planör gövdesi, uçak modelleri, uçak gövde ve iç dekorasyonu, helikopter parçaları ve uzay araçlarında başarıyla kullanılmaktadır. İş Makinaları : İş makinaları kapakları ve çalışma kabinleri yapımında da kompozit malzeme kullanılmaktadır. İnşaat Sektörü : Cephe korumaları, tatil evleri, büfeler, otobüs durakları, soğuk hava depoları, inşaat kalıpları birer kompozit malzeme uygulamalarıdır. 7

32 3.MATERYAL VE METOD Bu çalışmada, tabakalı kompozit plakların farklı tabakalaşma şekillerine göre tabaka rijitliklerinde ve tabaka iç kuvvetlerinde meydana gelen değişim incelenmiştir. Bu değişimin bilinmesi, tabakalanma davranışının anlaşılması için gereklidir. Bu öncelikle farklı tipteki malzemeler için tabakalı kompozitlerin rijitlik ve esneklik matrisleri Hooke denklemleri yardımıyla elde edilmiş, daha sonra ortotropik malzemeler için genel denklemler matris formunda yazılmıştır. Tek tabakalı plaklar için oluşturulan rijitlik ve esneklik matrisleri önce açılı tek tabakalı plaklara uygulanmış ve daha sonra çok tabakalı plaklar için geliştirilmiştir. Plaklar için denge denklemleri yazılarak, çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar (Kirchoff) ile tabakalı plaklar için dördüncü dereceden diferansiyel denge denklemleri elde edilmiştir. Bu çalışmada kullanılan yöntem, değişkenlerine ayırma yöntemidir. Bu yöntemde plak koordinatı x ve y değişkenlerine ayrılmaktadır. Ayrıca yük ve deplasman fonksiyonları da x ve y değişkenlerine bağlı olarak yazılabilmektedir. Plak için düzgün yayılı yükleme tipi seçilmiş ve Navier (84) çözümü ile değişkenlerine ayrılan yük fonksiyonu çözüm için basit bir hale dönüştürülmüştür. Elde edilen diferansiyel denklemler basit mesnetli durum için sınır şartlarına maruz bırakılmış ve sınır şartlarını sağlayan u, v ve w deplasman fonksiyonları değişkenlerine ayırma yöntemiyle elde edilmiştir. Bu deplasman fonksiyonları diferansiyel denklemde yerine konularak çözüme ulaşılmıştır. Bu çalışmada, mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kullanılan ANSYS paket programı ile sonlu elemanlar yöntemini kullanıp çeşitli modellerin analizi yapılmaktadır. Ayrıca, tabakalanma teorisi yardımıyla çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar ile basite indirgenen problemlerin çözümü için denge denklemleri kullanılarak Matematica adlı paket programın yardımıyla, bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Çalışma sonunda, Matematica adlı paket programın yardımıyla hazırlanan bilgisayar programı ve literatürde mevcut olan ANSYS paket programı ile çözülen örneklerin sonuçları tablo ve grafiklerle sunulmuş ve karşılaştırmalar yapılmıştır. 8

33 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.. Giriş Yapılar genellikle tek tabakalı bloklardan meydana gelir, bundan dolayı, bu tek tabakalı yapıların mekanik analizini anlamak, çok tabakalılardan önce gelir. Tek bir kompozit tabaka bile homojen ve izotrop değildir. Çünkü tabaka, homojenizotrop fiber elemanlarla homojen-izotrop matris elemanların birleşmesiyle meydana gelmesine rağmen, tabaka rijitlikleri, noktanın fiberlerde, matris de veya fiber-matris arasındaki bir bölgede olup olmamasına göre noktadan noktaya çeşitlilik gösterir. Bu durum çok karışık mekanik tabaka modellerinin oluşmasına neden olur. Bu sebeple tabakaların makromekanik analizinde tabakaların homojen olduğu kabul edilerek, ortalama malzeme özellikleri temel alınır. (Şekil. 4.) Fiber malzeme Matris malzeme Şekil 4.. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü 9

34 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ İnce tabakaların homojenleştirilmesiyle bile, tabakaların mekanik davranışı hala izotop homojen malzemelerinkinden farklıdır. Örneğin; eni ve boyu w ve kalınlığı t olan küçük bir parçayı göz önüne alalım. Bu parçayı Durum-A ve Durum-B olarak inceleyelim. w w t t Durum-A w Durum-B w w w Deformasyona uğramamış hal Deformasyona uğramamış hal W+ δ B P W+ δ A P P W+ δ A W+ δ B Deformasyona uğramış hal P Deformasyona uğramış hal Şekil 4.. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu (Kaw, 997)

35 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Durum-A Kare plağı doğrultusunda normal tekil P yüküne maruz bırakalım. ve doğrultusundaki normal deformasyon miktarları, sırasıyla δ A ve δ A dır. Durum-B Durum-A daki gibi benzer normal P yükünü tatbik edelim, fakat şimdi doğrultusu yönünde olsun. ve doğrultusundaki normal deformasyon miktarları sırasıyla, δ B ve δ B dır. Bu iki durumdan; δ = (4..a) A δb δ A = δ B (4..b) sonucuna ulaşırız. Bununla birlikte şekil 4.3 de, kalınlığı t olan kompozit bir tabakayı göz önüne alalım. Burada da tabaka içerisinde (w, w, t) ölçülerine sahip tek doğrultudaki bir kare plağı inceleyelim. Bu durumda δa δ B (4..a) δa δ B (4..b) Bunun nedeni, tek doğrultulu tabakalarda, fiberlerin doğrultusundaki rijitliklerin daha büyük olmasıdır. Sonuç olarak, tek doğrultulu tabakanın mekanik karakteri, izotropik tabaka için ihtiyaç duyulan parametrelerden daha fazla parametre gerektirir.

36 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ w t t Durum-A w Durum-B w w w Deformasyona uğramamış hal Deformasyona uğramamış hal W+ δ B P W+ δ A P P W+ δ B W+ δ A Deformasyona uğramış hal P Deformasyona uğramış hal Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu (Kaw, 997)