AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ"

Transkript

1 AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

2 2. BÖLÜM: Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler, Toplamlar ve Matrisler 2.1. Kümeler Giriş Kümeler nesneleri gruplamada kullanılır. Her zaman olmasa da çoğu durumda, bir küme içindeki elemanlar benzer özellikler taşır. Örneğin; okulunuzda kayıtlı olan tüm öğrenciler bir küme oluşturur. Benzer şekilde, okullarda ayrık matematik dersini alan tüm öğrenciler bir küme oluşturur. Ayrıca, okulunuzda ayrık matematik dersi alan öğrencilerden oluşan küme, yukarıda bahsedilen iki kümenin ortak elemanları alınmak suretiyle oluşturulabilir.

3 2.1. Kümeler Giriş TANIM 1: Bir küme sıralı olmayan nesneler topluluğudur. Bir kümenin içindeki nesnelere kümenin elemanları veya üyeleri denir. Bir küme elemanlarını içerir. a ϵ / A gösterimi ise a nın A kümesinin bir elemanı olmadığını belirtir. Kümeler çoğunlukla büyük harfler kullanılarak gösterilir. Küçük harfler ise daha çok küme elemanlarını belirtmek için kullanılır. Bir kümeyi tanımlamak için bir çok yol vardır. Bunlardan bir tanesi, eğer mümkünse, kümenin tüm elemanlarını listelemektir. Kümenin tüm elemanlarının çengelli parantez içinde yer aldığı bir gösterim kullanıyoruz. Örneğin; {a, b, c, d} gösterimi elemanları a, b, c ve d den oluşan dört elemanlı bir kümeyi temsil eder. Kümenin bu şekilde gösterilmesine listeleme gösterimi denir.

4 2.1. Kümeler Giriş ÖRNEK: İngiliz alfabesindeki tüm sesli harfleri içeren V kümesi şu şekilde yazılabilir: V= {a, e, i, o, u} ÖRNEK: On sayısından küçük olan pozitif tek tam sayılar kümesi, Q, şu şekilde ifade edilebilir: Q= {1, 3, 5, 7, 9}

5 2.1. Kümeler Giriş Bazen listeleme gösterimi bir kümenin tüm elemanlarını listelemeden de kullanılabilir. Elemanların genel yapısının bariz olduğu durumlarda kümenin bazı elemanları listelenir, sonra üç nokta (...) kullanılır. ÖRNEK: 100 den küçük olan pozitif tam sayılar kümesi şu şekilde gösterilebilir: {1, 2, 3,..., 99}. Bir kümeyi göstermenin bir başka yolu da küme kurma gösterimi kullanmaktır. Kümenin içindeki tüm unsurları, o kümenin bir elemanı olabilmeleri için taşımaları gereken koşul veya koşulları açıklayarak belirleriz. Örneğin; 10 dan küçük olan tüm pozitif tek tamsayıları içeren O kümesi şu şekilde yazılabilir: O= {x x 10 dan küçük pozitif tek tamsayılar}, Veya evrensel kümeyi pozitif tamsayılar kümesi olarak belirtirsek: O= {xϵ Z + x tek sayıdır ve x<10}.

6 2.1. Kümeler Giriş Bir kümenin tüm elemanlarını listelemenin mümkün olmadığı durumlarda kümeyi belirtmek için bu şekilde bir gösterim kullanıyoruz. Örneğin, tüm pozitif rasyonel sayılar kümesi Q + şu şekilde yazılabilir: Q + = {xϵ R x= p/q, pozitif tamsayılar p ve q için}. Aşağıda koyu harfle ifade edilen kümeler ayrık matematikte önemli rol oynar: N= {0, 1, 2, 3,...}, doğal sayılar kümesi Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}, tam sayılar kümesi Z + = {1, 2, 3,...}, pozitif tam sayılar kümesi Q= {p/q p ϵ Z, q ϵ Z, q 0}, rasyonel sayılar kümesi R, reel sayılar kümesi R +, pozitif reel sayılar kümesi C, kompleks sayılar kümesi

7 2.1. Kümeler Giriş TANIM 2: İki küme, sadece ve sadece aynı elemanlardan oluşuyorsa denktirler. Yani, eğer A ve B küme ise, ancak ve ancak x (x ϵ A x ϵ B) ise A ve B kümeleri denktir. A ve B kümeleri denk kümeler ise A=B şeklinde ifade edilir. ÖRNEK: {1, 3, 5} ve {3, 5, 1} kümeleri denktir, çünkü aynı elemanlardan oluşmaktadırlar. Küme içindeki elemanların hangi sırada listelendiği önem arz etmez. Küme içindeki bir elemanın birden fazla tekrarlanması da önem arz etmez, {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5} ile {1, 3, 5} aynı kümelerdir çünkü aynı elemanlardan oluşmaktadırlar.

8 2.1. Kümeler Giriş BOŞ KÜME: Hiç elemanı olmayan özel bir küme vardır. Bu kümeye boş küme denir ve Ø işareti ile gösterilir. Boş küme { } işareti ile de gösterilebilir. İçinde bir elemanı olan bir kümeye tek elemanlı küme denir. Sıkça yapılan bir hata boş küme, Ø, ile tek elemanlı bir küme olan {Ø} kümesini birbirleriyle karıştırmaktır. {Ø} kümesinin içindeki tek eleman boş kümenin kendisidir!

9 2.1. Kümeler Venn Şemaları Kümeler Venn şemaları kullanılarak grafik olarak da gösterilebilir. Venn şemasında, bahse konu tüm nesneleri içeren evrensel küme, U, bir dikdörtgen ile gösterilir. Diğer kümeler, bu dikdörtgen içerisinde daireler veya diğer geometrik şekiller kullanılarak gösterilir. Bazen bir kümenin elemanlarını göstermek için noktalar kullanılır. Venn şemaları çoğu kez kümeler arasındaki ilişkileri göstermek için kullanılır.

10 2.1. Kümeler Venn Şemaları ÖRNEK: İngiliz alfabesindeki sesli harfler kümesini, V, gösteren bir Venn şeması çiziniz. ÇÖZÜM: İngiliz alfabesindeki 26 harfi içeren kümeyi temsil eden evrensel küme U için bir dikdörtgen çiziyoruz. Bu dikdörtgen içine V kümesini temsil eden bir daire çiziyoruz. Bu daire içinde V kümesinin elemanlarını noktalar ile belirtiyoruz.

11 2.1. Kümeler Altkümeler Bir kümenin elemanlarının aynı zamanda ikinci bir kümenin elemanları olma durumu ile karşılaşmak olağandır. TANIM 3: Bir A kümesi, sadece ve sadece A nın tüm elemanları aynı zamanda B nin elemanı ise B kümesinin altkümesidir. A nın B nin altkümesi olduğunu belirtmek için A B gösterimini kullanıyoruz. Ancak ve ancak x (x ϵ A x ϵ B) doğruysa A B (A, B nin altkümesidir) diyebiliriz. A nın B nin bir altkümesi olmadığını göstermek için sadece x B olup x ϵ A olan bir eleman bulmamız yeterlidir. Böyle bir x, x ϵ A ise x ϵ B dir iddiasına ters örnektir.

12 2.1. Kümeler Altkümeler ÖRNEK: 10 dan küçük olan tüm pozitif tek tamsayılar kümesi 10 dan küçük olan tüm pozitif tamsayılar kümesinin alt kümesidir. ÖRNEK: Okulunuzdaki tüm Bilgisayar Bilimleri bölümü öğrencileri kümesi okulunuzdaki tüm öğrenciler kümesinin altkümesidir. ÖRNEK: Çin deki tüm insanlar kümesi Çin deki tüm insanlar kümesinin alt kümesidir (yani, bir küme kendi kendisinin altkümesidir). ÖRNEK: Okulunuzda ayrık matematik dersi alan ve bilgisayar bölümü öğrencisi olmayan en az bir öğrenci varsa, okulunuzda ayrık matematik dersi alan öğrenciler kümesi, tüm bilgisayar bölümü öğrencilerinin bir alt kümesi değildir.

13 Bir Kümenin Büyüklüğü TANIM 4: S bir küme olsun. Eğer S içinde n birbirinden farklı eleman varsa, n negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere, S bir sonlu kümedir ve n, S nin niceliğidir. S nin niceliği S olarak gösterilir. Not: Nicelik terimi sonlu bir kümenin büyüklüğünü belirtmek için yaygın olarak kullanılan nicelik sayısından gelmektedir. ÖRNEK: A, 10 dan küçük tek pozitif tamsayılar kümesi olsun. Öyleyse A =5. ÖRNEK: S, Türk alfabesindeki harfler kümesi olsun. Öyleyse S =29. TANIM 5: Bir küme sonlu değilse sonsuz kümedir.

14 Kuvvet Kümeleri TANIM 6: Verilen bir S kümesi için, S nin kuvvet kümesi, S nin alt kümelerinden oluşan bir kümedir. S nin kuvvet kümesi Ƥ(S) olarak gösterilir. ÖRNEK: {0, 1, 2} kümesinin kuvvet kümesi nedir? ÇÖZÜM: Kuvvet kümesi Ƥ({0, 1, 2}), {0, 1, 2} kümesinin tüm alt kümelerinden oluşur. Dolayısıyla, Ƥ({0, 1, 2}) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. ÖRNEK: Boş kümenin kuvvet kümesi nedir? {Ø} nin kuvvet kümesi nedir? ÇÖZÜM: Boş kümenin tam olarak tek bir alt kümesi vardır, o da kendisidir. Dolayısıyla, Ƥ(Ø) = {Ø}. {Ø} kümesinin tam olarak iki alt kümesi vardır, bunlar, Ø ve {Ø} kümesinin kendisidir. Bu nedenle, Ƥ({Ø}) = {Ø, {Ø}}. Eğer bir kümenin n elemanı varsa kuvvet kümesinin 2 n elemanı vardır.

15 Kartezyen Çarpımlar TANIM 7: Bir sıralı n li, (a 1, a 2,..., a n ), ilk elemanı a 1, ikinci elemanı a 2,..., ve n. elemanı a n dir. İki sıralı n linin eşit olması, ancak ve ancak her bir karşılıklı gelen eleman çiftinin birbirlerine eşit olması ile mümkündür. Bir diğer deyişle, (a 1, a 2,..., a n ) = (b 1, b 2,..., b n ) sadece ve sadece tüm i=1, 2,..., n için a i =b i olması ile mümkündür. n=2 olduğu özel durumda sıralı ikililere sıralı çiftler denir. (a,b) ve (c,d) sıralı ikililerinin eşit olması ancak ve ancak a=c ve b=d olması ile gerçekleşir. Dikkat ediniz, a=b değilse (a,b) ve (b,a) birbirlerine eşit değildir.

16 Kartezyen Çarpımlar TANIM 8: A ve B kümeler olsun. A ve B nin Kartezyen çarpımı, A x B şeklinde gösterilir, a ϵ A ve b ϵ B olmak üzere tüm sıralı (a, b) çiftleridir. Dolayısıyla, A x B= { (a,b) a ϵ A ^ b ϵ B} dir. ÖRNEK: A={1, 2} ve B={a, b, c} Kartezyen çarpımı nedir? ÇÖZÜM: A x B Kartezyen çarpımı A x B ={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.

17 Kartezyen Çarpımlar TANIM 9: A 1, A 2,..., A n, kümelerinin kartezyen çarpımı A 1 x A 2 x... x A n olarak gösterilir, ve (a 1, a 2,..., a n ) den oluşan sıralı n li demetten oluşur. Burada a i elemanı i= 1, 2,..., n olmak üzere A i den gelir. Bir başka deyişle, A 1 x A 2 x... x A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i ϵ A i, i=1, 2,..., n için}. ÖRNEK: A= {0, 1}, B={1, 2} ve C={0, 1, 2} ise A x B x C Kartezyen çarpımı nedir? ÇÖZÜM: A x B x C Kartezyen çarpımı a ϵ A, b ϵ B ve c ϵ C olan tüm sıralı (a, b, c) üçlülerinden oluşur. Dolayısıyla, A x B X C = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 0), (1, 2, 1), (1, 2, 2)}. UYARI: A, B ve C birer küme olmak üzere (A x B) x C ve A x B x C aynı değildir.

18 Kartezyen Çarpımlar ÖRNEK: A= {1, 2} olsun. Bu durumda A 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} A 3 = { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)} dir. Kartezyen çarpımı A x B nin bir alt kümesi, R, A kümesinden B kümesine olan bir ilişki olarak tanımlanır. R nin elemanları sıralı çiftlerden oluşur ve bu çiftlerin ilk elemanı A kümesinden, ikinci elemanı B kümesinden gelir. Örneğin; R= {(a, 0), (a, 1), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (c, 0), (c, 3)}, {a, b, c} kümesinden {0, 1, 2, 3} kümesine bir ilişkidir. Bir A kümesinden kendisine olan bir ilişkiye A üzerinde bir ilişki denir.

19 Niceleyicilerle Küme Gösterimi Kullanımı Bazen nicelenen bir ifadenin tanım kümesini açıkça sınırlamak gerekir ve bu amaçla belirli bir gösterim kullanılır. Örneğin, x ϵ S(P(x)), S kümesindeki tüm elemanlar üzerinde P(x) evrensel nicelemesini belirtir. Bir diğer deyişle, x ϵ S(P(x)) ifadesi, x (x ϵ S P(x)) ifadesinin kısa şekilde gösterilmesidir. Benzer şekilde, x ϵ S(P(x)), S kümesindeki tüm elemanlar üzerinde P(x) varoluşsal nicelemesini belirtir. Yani, x ϵ S(P(x)) ifadesi, x (x ϵ S ^ P(x)) ifadesinin kısa şekilde gösterilmesidir. ÖRNEK: x ϵ R (x 2 0) ve x ϵ Z (x 2 =1) ifadeleri ne anlama gelir? ÇÖZÜM: x ϵ R (x 2 0) ifadesi her x reel sayısı x 2 0 anlamına gelir. Bu, «Her gerçel sayının karesi negatif olmayan bir sayıdır». Bu doğru bir ifadedir. x ϵ Z (x 2 =1) ifadesi x 2 =1 olan bir x tamsayısı bulunur anlamına gelir. Bu, «Karesi 1 olan bir tamsayı vardır.» x 2 =1 (benzer şekilde x=-1) böyle sayılar oldukları için bu ifade de doğru bir ifadedir.

20 Doğruluk Kümeleri ve Niceleyiciler Verilen bir P yüklemi ve D tanım kümesi için, P nin doğruluk kümesi D nin içinde P(x) in doğru olduğu x elemanlarının kümesi olarak tanımlanır. P(x) in doğruluk kümesi {x ϵ D P(x)} şeklinde gösterilir. ÖRNEK: Tanım kümesinin tam sayılar olduğu, P(x) in «x =1», Q(x) in «x 2 =2» ve R(x) in «x =x» olduğu P(x), Q(x) ve R(x) yüklemlerinin doğruluk kümeleri nelerdir? ÇÖZÜM: P nin doğruluk kümesi, {x ϵ Z x =1}, x =1 olan tam sayılar kümesidir. x =1 olabilmesi sadece x=1 ya da x=-1 durumlarında gerçekleştiği ve başka hiçbir x tamsayısı için gerçekleşmediğinden, P nin doğruluk kümesinin {-1, 1} olduğunu görürüz. Q nun doğruluk kümesi, {x ϵ Z x 2 =2}, x 2 =2 olan tam sayılar kümesidir. Bu bir boş kümedir. Çünkü x 2 =2 olan hiçbir x tamsayısı yoktur. R nin doğruluk kümesi, {x ϵ Z x =x}, x =x olan tam sayılar kümesidir. x =x olması ancak ve ancak x 0 durumunda gerçekleştiğinden, R nin doğruluk kümesi negatif olmayan tamsayılar, N olur.

21 1. Aşağıdaki kümelerin elemanlarını listeleyiniz. A. {x x, x 2 =1 olacak şekildeki bir reel sayı} B. {x x, 12 den küçük pozitif bir tamsayı} C. {x x bir tam sayının karesi ve x<100} D. {x x, x 2 =2 olacak şekildeki bir tamsayı}

22 1. Aşağıdaki kümelerin elemanlarını listeleyiniz. A. {x x, x 2 =1 olacak şekildeki bir reel sayı} {-1, 1} B. {x x, 12 den küçük pozitif bir tamsayı} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} C. {x x bir tam sayının karesi ve x<100} {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} D. {x x, x 2 =2 olacak şekildeki bir tamsayı} Ø

23 2. Her küme ikilisi için birinci küme ikincisinin altkümesi mi, ikinci küme birincisinin altkümesi mi veya hiçbiri diğerinin altkümesi mi olduğunu belirleyiniz. A. New York tan İstanbul a uçan havayolu kümesi, New York tan İstanbul a doğrudan uçan havayolu kümesi, B. İngilizce konuşan insanlar kümesi, Çince konuşan insanlar kümesi C. Uçan sincaplar kümesi, yaşayan uçan yaratıklar kümesi

24 2. Her küme ikilisi için birinci küme ikincisinin altkümesi mi, ikinci küme birincisinin altkümesi mi veya hiçbiri diğerinin altkümesi mi olduğunu belirleyiniz. A. New York tan İstanbul a uçan havayolu kümesi, New York tan İstanbul a doğrudan uçan havayolu kümesi, İkinci birincinin altkümesi, fakat birinci ikincinin altkümesi değildir. B. İngilizce konuşan insanlar kümesi, Çince konuşan insanlar kümesi Hiçbirisi diğerinin alt kümesi değil C. Uçan sincaplar kümesi, yaşayan uçan yaratıklar kümesi Birinci ikincinin altkümesi, fakat ikinci birincinin altkümesi değildir.

25 3. Aşağıdaki küme ikililerinin eşit olup olmadıklarını belirleyiniz. A. {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5}, {5, 3, 1} B. {{1}}, {1, {1}} C. Ø, {Ø}

26 3. Aşağıdaki küme ikililerinin eşit olup olmadıklarını belirleyiniz. A. {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5}, {5, 3, 1} Evet B. {{1}}, {1, {1}} Hayır C. Ø, {Ø} Hayır

27 4. Aşağıdaki kümeler için, 2 nin bir eleman olup olmadığını belirleyiniz. A. {x ϵ R x, 1 den büyük tamsayıdır.} B. {x ϵ R x, bir tamsayının karesidir.} C. {2, {2}} D. {{2}, {{2}}} E. {{2}, {2, {2}}} F. {{{2}}}

28 4. Aşağıdaki kümeler için, 2 nin bir eleman olup olmadığını belirleyiniz. A. {x ϵ R x, 1 den büyük tamsayıdır} Evet B. {x ϵ R x, bir tamsayının karesidir.} Hayır C. {2, {2}} Evet D. {{2}, {{2}}} Hayır E. {{2}, {2, {2}}} Hayır F. {{{2}}} Hayır

29 5. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz. A. 0 ϵ Ø B. Ø ϵ {0} C. {0} Ø D. Ø {0} E. {Ø} {Ø}

30 5. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz. A. 0 ϵ Ø Yanlış B. Ø ϵ {0} Yanlış C. {0} Ø Yanlış D. Ø {0} Doğru E. {Ø} {Ø} Doğru

31 6. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyin. A. x ϵ {x} B. {x} {x} C. {x} ϵ {x} D. {x} ϵ {{x}} E. Ø {x} F. x ϵ {x}

32 6. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyin. A. x ϵ {x} Doğru B. {x} {x} Doğru C. {x} ϵ {x} Yanlış D. {x} ϵ {{x}} Doğru E. Ø {x} Doğru F. x ϵ {x} Yanlış

33 7. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kuvvet kümelerini bulunuz. A. {a} B. {a, b} C. {Ø, {Ø}}

34 7. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kuvvet kümelerini bulunuz. A. {a} {Ø, {a}} B. {a, b} {Ø, {a}, {b}, {a, b}} C. {Ø, {Ø}} {Ø, {Ø}, {{Ø}}, {Ø, {Ø}}}

35 8. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kaç tane elemanları olduğunu bulunuz. A. Ƥ({a, b, {a, b}}) B. Ƥ({Ø, A, {a}, {{a}}}) C. Ƥ(Ƥ(Ø))

36 8. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kaç tane elemanları olduğunu bulunuz. A. Ƥ({a, b, {a, b}}) 8 B. Ƥ({Ø, A, {a}, {{a}}}) 16 C. Ƥ(Ƥ(Ø)) 2

37 9. A={a, b, c, d} ve B={y, z} olsun. Aşağıdakileri bulunuz. A. A x B B. B x A

38 9. A={a, b, c, d} ve B={y, z} olsun. Aşağıdakileri bulunuz. A. A x B {(a, y), (b, y), (c,y), (d, y), (a, z), (b, z), (c, z), (d, z)} B. B x A {(y, a), (y, b), (y, c), (y, d), (z, a), (z, b), (z, c), (z, d)}

39 10. A 2 yi bulunuz. A. A={0, 1, 3} B. A= {1, 2, a, b}

40 10. A 2 yi bulunuz. ALIŞTIRMALAR A. A={0, 1, 3} {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 3)} B. A= {1, 2, a, b} {(1, 1), (1, 2), (1, a), (1, b), (2, 1), (2, 2), (2, a), (2, b), (a, 1), (a, 2), (a, a), (a, b), (b, 1), (b, 2), (b, a), (b, b)}

41 11. Aşağıdaki önermeleri Türkçe ye çeviriniz ve doğruluğunu belirleyiniz. A. x ϵ R (x 2-1) B. x ϵ Z (x 2 =2) C. x ϵ Z (x 2 >0) D. x ϵ R (x 2 =x)

42 11. Aşağıdaki önermeleri Türkçe ye çeviriniz ve doğruluğunu belirleyiniz. A. x ϵ R (x 2-1) Reel sayıların karesi hiçbir zaman -1 olamaz. Doğru B. x ϵ Z (x 2 =2) Karesi 2 olan tamsayı vardır. Yanlış C. x ϵ Z (x 2 >0) Her tamsayının karesi pozitiftir. Yanlış D. x ϵ R (x 2 =x) Karesi kendisine eşit olan tamsayı vardır. Doğru

43 12. Tanım kümeleri tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdaki önermeleri doğrulayan kümeleri bulunuz. A. P(x): x 2 <3 B. R(x): 2x+1 =0

44 12. Tanım kümeleri tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdaki önermeleri doğrulayan kümeleri bulunuz. A. P(x): x 2 <3 {-1, 0, 1} B. R(x): 2x+1 =0 Ø

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

ö» Ğ Ğ Ö ö ö Ş Ğ ö ö Ö ö ö Ç ö Ö ÖÖ Ö ö ŞŞ Ş Ş ö Ş Ş Ç ö Ç Ğ Ğ Ö Ö Ç Ç ö Ö Ş Ş Ş ŞŞ Ç Ş Ö Ş ö «Ü Ö ö Ş ö Ö ö ö ö Ş Ş ö «Ğ ö ö Ş Ş ö ö ö Ç Ş Ş Ş Ö ö ö ö Ş Ğ Ş Ğ Ş ö Ü ö ö ö Ş Ş ö Ş Ç Ş ö ö Ş Ş Ö Ö ö ö Ç

Detaylı

İ «Ğ İ ç İİ İ İ ç ç Ş ç ç Ü Ğ Ö İ İ Ö Ü İ İ İĞİ ç ç Ü Ü Ü ç ç İ Ü Ü ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç İ ç ç ç İ İ İ İ ç ç Ü ç ç ç İ Ü ç ç ç İ ç ç ç ç ç ç » İ Ş ç İ İĞİ Ğ İ İ İ ç İ Ç Ş İ Ö Ö Ö Ö İ İ Ş Ü İ İ İ Ö

Detaylı

Ğ Ö ç ç Ö»» Ç ç Ş» Ğ Ğ Ö ç Ö»» Ç Ö Ç ç ÇÜ Ö Ç Ş Ş Ş Ğ Ğ Ö Ğ ç ç Ö ç ç Ş ç Ş ç Ö ç ç ç Ö Ş ç Ö ç Ş Ş «Ş ç ç ç Ş ç ç Ğ» ç Ç Ş Ş ç ç Ü Ş ç Ş ç Ş ç ç Ç ç ç Ş ç ç Ş Ç ç ç Ş ç Ş Ç Ğ ç Ş Ş ç ç ç ç ç ç ç ç ç»

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

ğ ğ ğ Ç ğ Ş Ü ğ ğ ğ Ö ğ Ç ğ Ç ğ ğ ğ ğ ğ Ç ğ Ç Ş Ç ğ Ç Ç Ş Ü Ü ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ş ğ ğ ğ Ş Ş ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ü ğ ğ ğ ğ Ç ğ Ç ğ ğ ğ Ş Ş Ş Ç ğ ğ Ü ğ ğ ğ ğ ğ Ş Ş Ç Ş ğ ğ Ö ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ş » Ü Ü ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ

Detaylı

Ğ Ö İ» Ğ İ ç ç Ü Ö İ İ Ğ Ü Ş İ İ Ü Ü ç Ş ç ç ç İ İ Ğ Ğ «Ğ Ğ Ğ ç Ö ç ç Ö ç Ö Ç Ö Ç İ İ Ç Ö Ö ç Ö İ İ İ ç Ö ç Ö » Ğ ç Ş İ ç ç Ş Ş İ Ç Ö İ Ö ç ç Ö ç ç ç İ Ü ç Ç ç ç Ö ç ç ç ç Ö Ü İ İ Ğİ İ Ğ Ğ ç ç ç ç ç ç

Detaylı

Ü Ü Ğ ç İ Ş Ğ ç İ Ü İ Ü Ş Ö ç ç Ğ» Ü Ş Ü Ş Ş İ İ İ ç ç ç Şİ İ İ ç Ç İ Ü Ş İ İ Ç Ç Ü Ş İ İ İ İ Ü İ İ Ü Ü ÜÜ İ Ş İ İ ç ç ç İ İ İ İ ç İ ç İ İ İ İ ç ç ç ç ç İ ç İ ç ç ç İ ç İ ç ç ç Ğ Ç ç İ ç ç ç ç ç ç İ ç

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

Ş Ö Ş Ş İ Ş Ş İ Ş Ç İ İ Ş Ş Ş İ İ Ğ İ Ç İ Ş Ş İ İ İ Ç Ş İ Ç İ İ Ç Ş İ Ü Ü İ İ Ş Ç Ş İ Ş İ Ş Ş İ Ö Ş Ç Ç İ İ İ İ İ Ö İ İ İ « İ Ğ Ş İ Ş Ş Ş Ş Ş İ İ Ş İ « İ İ Öİ İ İ İ İ Ö İ İ İ İ İ İ Ç İ Ç İ İ İ Ç İ Ç

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Ü Ü Ü Ü ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ü ç ç ç ç ç Ü ç ç Ü Ü Ü ç Ü ç ç Ü ç ç ç ç Ü Ü ç ç Ü ç ç ç ç Ü ç ç ç ç ç Ü ç ç ç ç ç Ü ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö ç Ö ç Ü Ü ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö ç ç ç ç Ö ç ç ç ç ç ç

Detaylı

Ğ Ğ Ü Ü ÜĞ Ö Ö Ç ç Ö ç

Ğ Ğ Ü Ü ÜĞ Ö Ö Ç ç Ö ç Ğ ç Ğ ç Ç ç Ö ç ç ç ç Ğ ç ç ç Ğ Ğ Ü Ü ÜĞ Ö Ö Ç ç Ö ç Ğ Ğ Ğ Ö Ö Ç ç Ö ç ç ç ç Ğ Ö Ö Ö Ö Ö ç Ö Ğ Ğ Ö Ö Ğ «Ğ Ç ç Ö ç ç ç Ö ç Ç Ğ Ğ Ğ ç Ğ Ğ ç Ğ Ö ç Ö ç Ğ Ü ÜĞÜ Ö ç Ö Ğ Ç Ö Ö ç Ö Ü Ö Ö ç Ö ç ç Ö ç ç ç Ö ç

Detaylı

Ğ Ğ Ü Ü Ç Ö Ö Ö Ö « Ğ ÖĞ Ü Ü Ü Ü Ç Ü Ç Ü Ç Ü Ü Ü Ç Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ç Ğ Ğ Ö Ç Ğ Ğ ÖĞ Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ğ ÖĞ Ö Ç Ç Ü Ç Ü Ü Ü Ö Ç Ç Ç Ğ Ö Ö « Ğ Ğ Ö «Ü Ö Ö Ü Ü Ğ ÖĞ Ü Ğ Ğ Ü Ö Ğ Ğ ÖĞ Ğ Ü Ğ Ö Ö Ö Ö Ü Ü Ü Ö Ğ Ğ ««Ö Ç

Detaylı

ğ ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ç ğ ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ Ü ğ ğ ç Ü ç ç ç ğ ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ç ç ç ğ ğ ğ ç ç ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ç ğ ğ ç ğ ğ ğ ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ç ç ğ ç ğ ç

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Algoritmalar ve Karmaşıklık

Algoritmalar ve Karmaşıklık Algoritmalar ve Karmaşıklık Ders 11 Algoritma Ayrık matematikte karşılaşılan bir çok problem sınıfı mevcuttur. Örneğin, verilen tamsayı grubu içindeki en büyük olanının bulunması, verilen bir kümenin bütün

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Ğİ İ ÖĞ Ü Ğ Ğ Ç ğ ÜÇÜ Ş Ç Ç Ğ Ğ Ğ ğ Ç Ç ğ Ç Ö ğ Ğ Ç ğ ÜÇÜ Ş ğ ğ Ğ Ğ» Ğ Ğ Ç ğ ÜÇÜ Ş Ç Ç ğ Ç ğ Ç Ğ Ğ Ğ Ç ğ Ğ Ç ğ ÜÇÜ Ş Ç Ğ Ğ Ğ Ş ĞĞ Ç Ğ ğ ğ ğ ğ İ ğ Ç Ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ç ğ ğ ğ ğ ğ

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Ü Ü Ğ Ş Ş Ş Ş Ş Ü Ğ ç Ş Ğ Ü Ü Ğ Ü Ş Ö ç ç Ğ Ğ Ü Ş Ü Ş Ş ç ç Ç Ü Ş Ç Ç Ü Ş Ş Ü Ü Ü Ü Ü Ü ç Ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ş Ğ Ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ş ç ç ç Ç ç ç ç ç ç ç Ç ç Ç ç ç ç

Detaylı

Ç Ü ğ Ç ç Ğ ç Ü ç ğ ç ğ ğ ç ğ ç ç ğ ç ç Ö Ş Ö ğ ç ğ Ç Ü Ç ğ Ç ğ Ü Ü Ç Ü ğ ğ Ü ğ ç Ç ğ Ü ç ç ğ Ğ Ğ ç ç ğ ğ ğ ğ ğ Ğ Ğ Ğ Ğ Ğ Ş Ş Ç Ö Ö ç Ç ğ ç ç ğ ç ğ ç ç ç ğ ç ç ç Ü ç ç ç ğ Ö Ü Ç Ş Ş ç Ö ç ğ ğ ğ ç ğ ğ ğ

Detaylı

Ş İ İ ç İ İ İ İ ç Ş ü ü ü ü ç ü üç ü ü ü ç ü ü Ü İ Ğ Ş üç ü İ ü ü ü ç ü ç Ç ç İ ü üç ü Ç üç ü ç ç Ç ü Ç ç üç ü ç Ç ç ç ç ç Ğ Ğ ç İ ü ü ç ç ç ü ü ü Ü ç ç ü ç ç ü ü ü Ö ü ü ü ü Ü ü ü ç ü ç ç ü ü ü ü ç ü

Detaylı

İ İ İ İ İ İ İ İ İ İ Ö İ İ İ İ İ Ü Ç İ Ş Ş İ İ Ü İ İ İ İ İ İÇİ Ö Ö Ç Ç Ç İ Ü Çİ İ Ü Ü İ İ İ İ İ İ İİ İ Ç Ş İ İ İ İ Ü Çİ Ö İ Ü Çİ İ İ Ü İİ İ Ç Ö İ Ö İ Ç Ç İ Ç Ö İ İ İİ İ Ç Ç Ç Ü İ Ç İ Ç İ Ş Ç İ Ğ İ İ İ İ

Detaylı

ç ğ ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ç ğ ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ç ğ ğ ğ Ü ç ğ ç ç ç ğ ç ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ü ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ç ç ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ç ğ ç ğ Ü ğ ğ ğ ç ç ğ ç ğ Ü ç ğ ğ ğ ç Ü ç ç ç ç ğ ç ğ ğ

Detaylı

ç ü ü ç ç ş İ Ç Ü ş İ Ç Ü ç ş ü İ Ç Ü ş ş ç ş ü Ö ü Ö İş ş ç İ Ç Ü ş ş ç ü ç ş ş İ Ç Ü ş ç Ü İ Ç Ü İ Ç Ü ü ç ş ş ş İ Ç Ü ç ü ş İ Ç Ü İş ş ş ü ş İ Ç Ü ş ü ş üç ü ş ş ş ç ü ü ç ş ş ş ş ü ş ü ü ş ç ü ç ç

Detaylı

Ü ş ğ ğ Ü ş Ç ğ ş ş Ç ğ ş Ü ğ Ü ş ğ Ü Ç ğ ğ Ü ğ ğ ğ ş ğ ğ ğ ş ş ğ ş ş ş Ç Ç Ö ş ğ ş ş ğ ş ğ ğ ş Ü Ç ğ ş ğ ş ş ğ Ü ğ ş ş ğ ş ş ş ş ş ş ğ ğ ş ş ş ş ş ş ş Ü ğ ş ş Ü Ç ğ Ç Ç ş ş ş ğ ş Ö ÇÜ Ö ş ğ Ö ş ş ğ ş

Detaylı

Ç Ç ç Ğ ç Ö Ğ Ş ç Ö Ö Ğ Ğ Ö Ö Ç Ü ç Ç Ü ç Ö ç ç ç ç Ğ ç ç Ç Ç ç Ç Ü ç ç Ç ç ç ç Ö ç Ö Ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö Ş ç ç ç ç ç ç ç ç Ü ç ç Ü ç ç ç ç ç ç ç Ö Ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö ç ç Ğ Ç Ü ç ç Ç Ü ç ç Ç

Detaylı

İ Ç Ü ö üğü İ Ö ö üğü Ş ü öğ ü ç Ç ü ü ü Ç Ü ç ğ ç ğ Ğ ç Ş ğ ç ö ğ ğ ü ç Ü Ç ö üğü ö ü ü İİ Ç ğ ü ğ ç ğ ü ü ü ç ü ü Ş ü ğ ç ü ü ç ü ü ç ö Ö Ş Ö ğ ö ü ç ğ İ Ç Ü Ç ğ Ç ğ Ü Ü İ ü ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ ç Ç ç ü ç Ş

Detaylı

Ş İ İ İ ç İ İ İ İ ç ç ç Ç ç ç ç ç İ Ö İ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ö Ö ç ç ç ç Ö ç Ö ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ç ç Ö ç ç ç ç Ç ç Ö Ç ç ç Ş ç ç Ç Ş ç İ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç

Detaylı

ü Ğ İ Ğ ü İ ç ü ü ü ç Ç ü ü ç Ç ü ü ç ü ü Ü Ç Ü ç ü ü ü ü ü ç Ç ü ü ç İ ü Ğ Ş İ İ ü Ğ İ Ğ ü İ Ö üçü ü Ö Ö ü Ö ü İ İ Ş Ğ İ İĞİ ü ü ü Ğİ İ Ğ İ Ğ ü Ö Ö Ü İĞİ ü Ü İ İ Ğİ ü ü Ğ İ İ İ İ İ İ ç ü ç ü ç ü ü ç ü

Detaylı

İ İ İ Ğ İ İ İ İ Ğ Ğ Ş Ç Ş Ö Ş Ç İ Ç İ Ç Ş Ç Ü İ İ İ Ş Ş Ş Ş Ö Ç Ş Ş Ğ Ş Ç Ö Ş Ö Ö İ Ş Ç Ş Ş Ç Ş Ğ Ğ Ğ Ç İ Ğ Ş Ş Ç Ç Ş İ Ç Ş Ş Ş Ş İ Ğ Ö Ö Ş Ç Ş Ç Ş Ş Ş Ü Ö Ö Ö Ö Ö Ç Ç Ç Ö Ş Ç Ö Ö Ş İ İ Ç Ş Ş Ğ Ü Ş İ Ö

Detaylı

Ç Ç ü Ş ç Ü İ İ İ İ İ Ü İ İ Ş ğ ü Ö ç ç ü ç İ Ü ç İ İ ü ç ü ç İç ö ö ö ö ü ü ü ü ü ü ö Ü İ Ö İ ç ö ğ ü ö ç ç ö ç ö ü ğ ğ Ş ç Ç Ç Ş ü ö ç ğ ç ü ü ü ö ö ü ö ü ü ü ğ ğ ç ğ ğ ü ü ü ç ö ğ ç ğ ö ğ ğ ğ ç ü ü

Detaylı

Ğ ü ü ç ş ş ğ ğ ğ ğ Ö ü ğ ş ğ ü ş Ç ş ş Ç ş ü ü ü ğ ç ç ş ü ş ş Ç ş ü ü ü ü ğ ş ş ü ü ş ş ş ü ü ğ ü üğü ş ç ü ü Ç ç ğ ü ü üğü ğ ü ç ş ş ş ş ğ ç ü ü ü ş ş ş Ç ş Ç ğ Ç ğ Ç Ç ü ş ş ü Öğ ü ş ş ğ ç Ç Ç ş Ç

Detaylı

ç Ğ Ü ç ö Ğ «ö ç ö ç ö ç ç ö ç ç ö ö ö ç ç ç ç ö ç ç ö ç ç ç ö ö ö ç ç ç Ç Ö Ü ç ç ç ç ç ç ç Ü ç ç ö ö ç ç ç ö ç ç ç ö ö ç ç ö Ç ç ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ü ö ç ç ç ç ç Ç Ç ç ç Ç

Detaylı

İ Ç Ü ş ö üü ş ş ö üü Ü ü ü ö ü ç ü ü ü Ö Ü Ü Ö ç ç ş ş ç ç ü İ ü ç Ü ç ş ö üü ö ü ü ç ş ş ü ş ş ç ş ş ü ü ü ç ü ş ü ç Ş ü Ü ç ü ü ü ç ş ş ö ş Ö ş Ö ş ö ü ç ş Ç Ü Ç ş Ç İ Ü İ Ü Ş ş ü ş ö çü ü Ç Ü ü ö ş

Detaylı

Ç ö Ü ğ ö Ş ç ç Ş Ü Ö Ü Ü ö Ü ğ ğ ö ö ç ç Ü ğ ç ç ğ ğ ğ Ü ğ ö ö Ş ö ç ğ ö ç ç ğ ç ç ö Ş Ş ö ğ ç Ç ç ö ö ç Ç ö ğ Ü ö ğ ğ ç ö ç ğ ç ğ ö ç ö ö Üç ğ ö ç ö ç ö ç ğ ö ğ ö ç Ç ğ ç ç ğ ö ö ç ç ç ğ ğ ç ğ ç ğ ç

Detaylı

ç ç ö Ğ Ö Ş ö ü ü Ş ç ö ü ç ğ ü ç ç Ğ Ü Ü ÜĞÜ ç ö ö ü ç ü üç ç ğ ü ü Ş ğ ü ü üğü ç ö ö ü ç ü ö ç Ş Ş ü ü üğü Ğ Ğ Ş ü üğü Ğ ç ü ö ğ ü ö Ö Ü Ş ü ü ü Ğ ğ ü ö ğ ü ü üğü ğ Ö Ğ ğ ü ü ü ç ö ö ü ö ü ü ğ ç ç ö

Detaylı

Ç Ü ö ö Ü ö ç Ö Ü ç ö ç ç Ğ ç ç ç ö ö ç ç Ü ç ö ö ç ç ç ç ç ç ö Ö Ş Ö ö ç Ç Ü Ç Ç Ü Ü ö ç ö ç ç ç ç ö ç ç ç ö ç ö ö ö ç ö ö Ü ç çö çö Ü ç çö Ö ö ö çö ç Ü ö ç ç ç çö ç ç ç ö ç çö çö ö ö ö ç Çö çö çö ö ç

Detaylı

Ü İ İ İ İ ö İ ö ğ ğ Ü ö Ş Ç ğ İç Ş Ç ğ Ü ö İ İ ğ Ü ö ğ Ü ö İ İ Ş Ç ğ İ İ ğ Ü ğ ğ ğ ç ç ö ğ ö ö ğ ğ ğ ö ç ç Ç Ç ö Ö ğ ğ ç ç Ş ğ ğ Üç Ç ğ ç ö Ş Ç ğ ğ Ş Ü ğ ğ Ş ğ ç ç ç ğ ö ö ğ ö ö İ ç ç ğ ğ Ü ö İ İ ğ Ş ğ

Detaylı

İ Ç Ü ş ö ğ ş ö ğ Ü öğ ç ş Ö Ü ğ ç ö ç ş ş ğ Ğ ç ç ğ ğ ö ş İ ç Ü ç ş ö ğ ö ç ç ş ş İ ğ ş ğ ş ç ş ğ ş ç ş ğ ç ç ş ş ö ş Ö Ş Ö ğ ş ö ç ş ğ Ç Ü Ç ğ ş Ç ğ İ Ü İ Ü ö ş ş ş ğ ç ş ö ğ çö ğ ş ş ç ö ş ş ş ğ ç ş

Detaylı

ü ü üğü ğ Ö ü ö üş ö İ ü ü üğü ş ğ ç İ ç Ş ç ş ğ ş ş ğ ç ö ç ğ ş ş ş ö ü ğ ş ğ ü ü üğü ü ğ ö ü ü üğü ş ğ ş ş ş ö ü ç ğ ö ü ğ ö ü ü üğü ş ö ğ ç ğ ü ü üğü ü ğ ü ü üğü ü ü ü üğ ü ğ ö ü ğ ş ö üş ü ü üğü ü

Detaylı

ü ü ü ö ü ü Ö Ö Ö öğ öğ ü ü İ ç ö ü ü ü Ü ü ö ü ü ö ö ö ö ö ç ö ö ü ö ü İ Ö Ü ü ü ü ü ö ü ö ü ü ü ü ü ç ü ö ç Ö ü ç ö ö ö ü ü ö ö ö ç ü ç ö ç ö ö ü ö ö ç ü ç ç ö ü ü ü ü ö ü ü ö ü Ö Ö ö ü ü Ö ö ö ö ü ü

Detaylı

ö Ü Ü ö Ö ğ ğ ğ ö Ü Ş ö Ü Ğ ö Ü ö Ü ö ğ ö ğ ö ö ğ ğ Ş Ü ğ ö ğ ğ ğ ğ ğ Ş Ş ğ ö ğ ğ ğ ğ ğ ö ö Ş ğ Ç ğ Ç Ş ö Ç ö ğ Ç ğ ö ğ ö ö ğ ö ğ ö Ş ğ Ç ğ Ç ğ ğ Ç Ş ö ö ö ğ Ç Ş Ç ö ö ğ ğ ğ ğ Ü Ü ö ğ «ğ ğ ğ ö ö «ö ğ ğ

Detaylı