Rasgelelik Ragele Rakamlar Tablosu

Transkript

1 Rasgelelik Ragele Rakamlar Tablosu Rasgelelik kavramının gerçek (fiziksel) dünya ile ilgili bir kavram olduğunu hatırlatalım. Fiziksel rasgeleliği basit bir örnekle açıklamaya çalışalım. Ondalık sayı sistemindeki 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarını göz önüne alalım. Birisi, bir kalem alıp bir rakam yazdıktan sonra: Rasgele bir rakam yazdım demiş olsun. Başka birisi de, üzerlerinde 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamları yazılı 10 tane tenis topu bulunduran bir torbadan bir top çekip, gelen rakamı yazdıktan sonra: Rasgele bir rakam yazdım demiş olsun. Yazılan iki rakam arasında rasgelelik açısından bir fark olabilir mi? Rakam yazma işi 100 kez aynı şekilde tekrarlansa ne olur? Kalemi alıp kafadan yazılan 100 tane rakam ile torbadan top çekerek yazılan 100 tane rakam arasında rasgelelik açısından benzerlikler yada farklılıklar olabilir mi? Benzerliği yada farkı ortaya çıkarmak için rasgelelik kavramının tanımının verilmiş olması gerekir. Bu kavramın tanımı verilmediğine göre ne yapılabilir? Tek söyleyebileceğimiz, her çekilişte 10 tane toptan her birinin torbadan çıkma isteğinin (fiziksel istek) aynı olabileceğidir. En büyük belirsizlik (maksimum entropi) denen buna benzer özellikler doğanın esasında bulunmakta ve kendilerini fizik (termodinamik) kanunlarında ifade etmektedir. Kısaca, her top eşit olasılık (düzgün dağılan olasılıklar) ile torbadan çıkmaktadır. Top çekmedeki rasgelelik, çıkma olasılıklarını eşit kılan bir rasgeleliktir. Rakamlar kafadan atıldığında, rasgelelik açısından neler olmaktadır? Bilemeyiz. Tek söyleyebildiğimiz, öznel (sübjektif) bir şeylere dayalı olarak rakamların yazıldığıdır. Öznel lik canımızı sıkmaktadır. Kafadan yazılan 100 tane rakam rasgelelik açısından içimize sığmamaktadır. Bu iş, fiziksel olarak torbadan top çekmeye benzememektedir. Torbadan top çekme işleminde kendiliğinden fiziksel bir rasgelelik, toplarda ayrımcılık yapmayan, topları aynı gören, tarafsız olan bir rasgelelik kendini göstermektedir. Torbadan bir topun (rakamın) rasgele çıktığını, çıkan top torbaya geri atılıp yeniden bir top çekildiğinde bunun da rasgele çıktığını, üstelik aynı şekilde rasgele çıktığını söyleyebiliriz. Torbadan top çekerek 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarından istediğimiz sayıda Rasgele Rakam üretebiliriz. Rasgele Rakam üretme işini milli piyango idaresinin çekiliş makineleri, 10 yüzlü dengeli bir zar, 10 eşit parçaya bölünmüş bir çemberin merkezine bağlı serbestçe dönebilen bir yelkovan gibi çok farklı aletler ile fiziksel olarak yapabiliriz. Sokakta yürürken Rasgele Rakam üretme işini geçen arabaların plaka numaralarına bakarak da yapabiliriz. Son rakam tek mi, çift mi gözlemine göre, sinemaya gidip gitmeyeceğimize bile karar verdiğimiz olmuştur.

2 Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT) tarihte ilk olarak 1927 yılında Trippett tarafından hazırlanmıştır. Trippett rakam içeren 26 sayfalık Random Sampling Numbers isimli bir kitap yayınlamıştır. Trippett, Britanya nüfus sayımı sonuçlarından bölgeler alıp, ilk iki ve son iki rakamı attıktan sonra geriye kalan sayıları karıştırarak arka arkaya dizdikten sonra rakamları dörtlü sütunlar haline getirmiştir. Bu kitap, teknik kitaplar arasında en çok satan kitap olmuştur. Fisher ve Yates, 20 rakamlı logaritma tablolarının uncu rakamlarını alarak rakamlık bir RRT yapmışlardır. Daha sonraki yıllarda rasgele rakamların üretilmesi, yayınlanıp satılması ticari bir mal haline gelmiştir. Olasılık ve Đstatistik kitaplarının eklerinde, bir çok tablo gibi RRT tabloları yer almaktadır, daha doğrusu almakta idi. Bilgisayarların yaygınlaşması ile bu tablolar, matematikteki trigonometrik ve logaritma tabloları gibi zamanla ortadan kalktı. Hesap makinaları, bilgisayarlar, cep telefonları ile rasgele sayılar üretilebilir. Nasıl üretildiklerini önümüzdeki derslerde göreceğiz. Rasgele sayı üretimi zamanımızda milyar dolarlık sektör haline gelmiştir.

3 [0,1] aralığındaki reel sayıların ondalık açılımları göz önüne alınırsa ve 0,1,2,...,9 rakamlarından rasgele rakam üretilmesi problemi çözülürse, [0,1] aralığındaki sayılardan birinin rasgele üretilmesi sorunu da çözülebilecek gibi görünmektedir. Ancak, [0,1] aralığındaki reel sayılar ile bunların ondalık açılımları arasındaki bire-bir eşlemeye dikkat edilirse, örneğin 1 π 0, , 3 3 = =, 1 0,50 2 =, 0= 0, 0, 1= 0, 9, 3 = 1, olmak üzere 0,1,2,...,9 rakamlarının rasgele üretilmesi ile bir sayı elde etmek için sonsuz tane rakam üretmek gerekecektir. Bunun pratik olarak gerçekleştirilmesi mümkün değildir. Ancak, ondalık açılımın sonlu bir kısmı ile yetinirsek, pratik açıdan ihtiyacımızı karşılayacak şekilde [0,1] aralığından rasgele sayı çekmek için bir yönteme sahip oluruz. Ölçme (gözlem) yoluyla gelen sayıların da ondalık açılımları hassasiyet derecesi ile sınırlıdır. Yukarıdaki Trippett tablosunun son iki sütununu kullanarak sekiz ondalıklı 5 tane sayı üretelim Sadece bir tanesi 0.5 ten küçük çıktı. Ne dersiniz? Devam edelim mi? Rasgelelik bu, 0.5 ten küçük sayı gelmedi. Henüz tabloya göz atmadıysanız, ne dersiniz, 0.5 ten küçük sayı gelir mi? Devam edelim mi? taneden 10 tanesi 0.5 ten küçük geldi. Tümünde 25 taneden 11 tanesi 0.5 ten küçük. Şimdi bu sayıların ilk ondalık basamağındaki rakamlara bakalım rakamı dışında, rasgelelik ile ilgili şüphe uyandıracak bir şey göze çarpmamaktadır. Rasgele üretilen 25 rakamdan 5 tanesi, yani %20 si 9 gelmiş. Beklentimiz %10. Ne diyeceğiz?

4 Düzgün bir paranın atılması deneyinde, yazı gözlendiğinde 0, tura gözlendiğinde 1 rakamları yazılsın. Paranın atılmasıyla 0,1 rakamlarından oluşan belli uzunluklu rasgele diziler elde edilebilir. Böyle bir dizinin elemanları 2-li sayma sisteminde, tam kısmı sıfır olan bir sayının virgülden sonraki basamaklarını doldursun. Bu sayı 10-lu sayma sistemine çevrilebilir. Böylece para atışı ile de [0,1] aralığında sayı üretilebilir. Elimizde 0,1 rakamlarından oluşan Rasgele Rakamlar Tablosu bulunursa [0,1] aralığından rasgele sayı üretebiliriz. Fiziksel rasgelelikten faydalanarak böyle tablolar oluşturulablir. C.R.Rao, Hindistanda ortalama olarak her saniye bir çocoğun doğduğunu belirterek, cinsiyetlerinin gözlenmesiyle maliyeti ucuz ve rasgeleliğine güvenilir tabloların olşturulabileceğini şaka yoluyla söylemektedir. Not:Yeni doğan çocuklar ile ilgili, tablodakine benzer gözlemler Yrd. Doç Dr. Levent Özbek te bulunabilir. Hatırladığım kadarıyla, birinci sınıfa gelen öğrenciler Đst105 Bilgisayar Programlama dersinde, rasgeleliğin felsefi tartışmasını yaptıktan sonra gerçek rasgelelik ile doğum hastanelerinde tanışıyorlardı. Đst101 Olasılık ve Đstatistiğe Giriş dersini anlatmam çok kolaylaşıyordu. Rasgelelik ile arkadaş olanlara, rasgelelik sevdalılarına Đstatistik anlatmak ne ki!

5 Yukarıdaki iki tablo ile hemen aşağıdaki tablo, Rao, C.R., kitabından alınmıştır. (1989), Statistics and Truth: Putting Chance to Work, International Cooperative, Publishing House Histogramlar (çubuk diyagramları) yukarıdaki iki tablo (Table1, Table2) ile ilgilidir. Frekanslar, birinci tablo (Table1) için ardışık beş doğumda erkek çocuk sayısı, ikinci tablo ( Table2) için ardışık beşlik çekilişte gelen beyazların sayısı ile ilgilidir. C.R.Rao nun sorduğu gibi: Hangisi, hangisinin dir?

6 Aşağıdaki RRT ile bir kura çekimi yapalım. 100 kişi arasından rasgele 10 kişi seçmek isteyelim. Örneğin sekizinci satırın üçüncü sütunundan aşağıya doğru (aklımdan öyle geçti, torpil falan yok, zaten kişilerin listesini de görmedim) iki rakam alırsak mavi olarak renklendirilmiş sayılar çıkar. Kırmızı renkli iki sayı çekilişteki amaca uygun değildir. Dikkat ederseniz 10 kişi istenmektedir. Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT)

7 Aşağıdaki Soruları birlikte cevaplandıralım: 1. 0, 1,,99 sayılarından birinin rasgele seçilmesini RRT ile nasıl yapabiliriz? Đadeli ve iadesiz olarak olarak 10 ar çekiliş yapalım. 0, 1,,99 sayılarından birinin rasgele seçilmesini deneysel olarak nasıl gerçekleştirebiliriz? 2. 0, 1,,999 sayılarından birinin rasgele seçilmesi deneyini nasıl gerçekleştirebiliriz? 0, 1,,999 sayılarından birinin rasgele seçilmesi işini RRT ile nasıl yapabiliriz? 10 çekiliş yapalım , 16, 17,, 44, 45 sayılarından birinin rasgele seçilmesi deneyini nasıl gerçekleştirebiliriz? RRT ile nasıl yapabiliriz? 4. 5, 6,, 25 sayılarından birinin rasgele seçilmesi deneyini nasıl yaparız? RRT ile nasıl yaparız , 351,, 3500 sayılarından RRT yardımıyla 10 tane sayı çekiniz. 6. Yukarıdaki RRT yardımıyla tane 4 rakamlı sayı üretebilirmiyiz? Sorun nedir? 7. RRT ile [0,1] deki reel sayılardan rasgele 10 sayı sayı çekiniz. 8. Fiziksel bir rasgelelik kullanarak [0,1] deki reel sayılardan rasgele 10 sayı çekiniz. 9. Üçüncü sınıf öğrencilerinden 25 birimlik bir örnek seçip, boy uzunluğu, ağırlık, seçtiği seçmeli ders ve cinsiyet değişkenlerini (özelliklerini) gözlemek isteyelim. Örneklemeyi nasıl yaparız? 10. 1,2,3,,100 sayılarından birinin rasgele seçilmesini bilgisayarda nasıl yaparız?

8 Rakamlardan oluşan bir dizinin veya sonlu elemanlı bir dizi parçasının rasgele olması ne demektir? Bir dizi parçasının rasgele oluşturulup oluşturulmadığı nasıl anlaşılacaktır? Örneğin 0,1 rakamlarından oluşan, veya dizi parçaları için hemen, rasgele oluşturulmadıkları kanaatine varmaktayız. Bu dizi parçalarının bir paranın atışına bağlı olarak yazılmadığını kesin olarak söyleyebilir miyiz? Acaba, dizi paraçası rasgele mi oluşturulmuştur? Rasgelelik kavramı tanımlanmadan bu sorular cevaplanamaz. Diziler için Kolmogorov Rasgeleliği kavramı : Bir dizi parçasının Kolmogorov Karmaşıklığı en az dizinin uzunluğu kadarsa dizi rasgeledir olarak tanımlanmaktadır ( Komogorov Karmaşıklığı kavramı ile ilgili Wikipedia Ansiklopedisinden bir paragraf: Kolmogorov karmaşıklığı (tanımsal karmaşıklık, Kolmogorov-Chaitin karmaşıklığı, stokastik karmaşıklık, algoritmik entropi veya program boyu karmaşıklığı olarak da bilinir), bilgisayar biliminde, bir metin parçası gibi bir nesneyi tanımlamak için kullanılması gereken bilgi işlemsel kaynakların ölçüsü. Örneğin aşağıdaki 100 karakter uzunluğundaki iki karakter katarı ele alınırsa: Birinci karakter katarı Türkçe "'01'in 50 tekrarı" ifadesi ile kısaca ve tam olarak tanımlanabilir. Đkinci karakter katarının bu şekilde tanımlanması mümkün değildir. Bu karakter katarını tanımlananın en kısa yolu kendisini yazmaktır. Daha şekilsel olarak söylemek gerekirse, bir karakter katarının karmaşıklığı sabit bir tanımlama dilinde o karakter katarının en kısa ifade edilişidir. Aşağıda tanımlama dilinin seçimi ile karmaşıklık arasındaki hassas ilişki ele alınmıştır. Bir karakter katarının Kolmogorov karmaşıklığının karakter katarının uzunluğundan daha büyük olamayacağı gösterilebilir. Kolmogorov karmaşıklıkları, kendi uzunluklarına kıyasla daha kısa olan karakter katarları karmaşık kabul edilmez.

9 Kolmogorov karmaşıklığı kavramı şaşırtıcı ölçüde derin bir kavramdır. Bu kavram kullanılarak Gödel'in eksiklik teoremi ve Turing'in durma problemi ile ilgili imkânsızlık sonuçlarını ifade ve ispat için kullanılabilir. Algoritmik bilgi teorisi, bilgisayar bilimlerinin bir alt alanı olup karakter katarlarının (ve diğer veri yapılarının) Kolmogorov karmaşıklığı ve diğer türden karmaşıklarını incelenmesi ile ilgilidir. Bu çalışma alanı Andrey Kolmogorov, Ray Solomonoff ve Gregory Chaitin tarafından 1960larda kurulmuştur. Algoritmik bilgi veya Kolmogorov karmaşıklığının pek çok çeşitlemesi vardır. Bunlardan en yaygın olanı kendi kendini ayıran programlara dayanmaktadır ve Leonid Levin (1974) tarafından ortaya konmuştur. Rasgele Rakamlar Tablosunun dağınık, kuralsız, anlamsız, amaçsız, kurgusuz, plansız, programsız, şablonsuz, örüntüsüz, rakamların bir kümesi olmasını arzulamaktayız. Belli bir örüntünün, kurgunun, ortaya çıkması durumunda rasgelelik yoktur demek daha kolay görünmektedir. Đlerideki derslerde, bu düşünceye dayalı bazı rasgelelik testleri üzerinde duracağız. Test edilmek istenen rasgelelik Đstatistiksel Rasgelelik olacaktır ( Günümüze kadar en çok kullanılan RRT 1955 yılında RAND Corporation tarafından oluşturulan ve 1 milyon rakamdan oluşan tablodur. Rakamlar fiziksel üreteçlerle üretilmiş olup, birçok test sonucu bunun aksine bir delil ortaya çıkmamıştır. George Marsaglia 6 dosya içinde 4.8 milyar rasgele bit içeren bir CD-ROM hazırlamıştır. Marsaglia,G. (1995), The Marsaglia Random Number CDROM, including the DIEHARD Battery of Tests of Randomness, Department of Statistics, Florida State University, Tallahasse, Florida.