Rasgelelik Ragele Rakamlar Tablosu

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Rasgelelik Ragele Rakamlar Tablosu"

Transkript

1 Rasgelelik Ragele Rakamlar Tablosu Rasgelelik kavramının gerçek (fiziksel) dünya ile ilgili bir kavram olduğunu hatırlatalım. Fiziksel rasgeleliği basit bir örnekle açıklamaya çalışalım. Ondalık sayı sistemindeki 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarını göz önüne alalım. Birisi, bir kalem alıp bir rakam yazdıktan sonra: Rasgele bir rakam yazdım demiş olsun. Başka birisi de, üzerlerinde 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamları yazılı 10 tane tenis topu bulunduran bir torbadan bir top çekip, gelen rakamı yazdıktan sonra: Rasgele bir rakam yazdım demiş olsun. Yazılan iki rakam arasında rasgelelik açısından bir fark olabilir mi? Rakam yazma işi 100 kez aynı şekilde tekrarlansa ne olur? Kalemi alıp kafadan yazılan 100 tane rakam ile torbadan top çekerek yazılan 100 tane rakam arasında rasgelelik açısından benzerlikler yada farklılıklar olabilir mi? Benzerliği yada farkı ortaya çıkarmak için rasgelelik kavramının tanımının verilmiş olması gerekir. Bu kavramın tanımı verilmediğine göre ne yapılabilir? Tek söyleyebileceğimiz, her çekilişte 10 tane toptan her birinin torbadan çıkma isteğinin (fiziksel istek) aynı olabileceğidir. En büyük belirsizlik (maksimum entropi) denen buna benzer özellikler doğanın esasında bulunmakta ve kendilerini fizik (termodinamik) kanunlarında ifade etmektedir. Kısaca, her top eşit olasılık (düzgün dağılan olasılıklar) ile torbadan çıkmaktadır. Top çekmedeki rasgelelik, çıkma olasılıklarını eşit kılan bir rasgeleliktir. Rakamlar kafadan atıldığında, rasgelelik açısından neler olmaktadır? Bilemeyiz. Tek söyleyebildiğimiz, öznel (sübjektif) bir şeylere dayalı olarak rakamların yazıldığıdır. Öznel lik canımızı sıkmaktadır. Kafadan yazılan 100 tane rakam rasgelelik açısından içimize sığmamaktadır. Bu iş, fiziksel olarak torbadan top çekmeye benzememektedir. Torbadan top çekme işleminde kendiliğinden fiziksel bir rasgelelik, toplarda ayrımcılık yapmayan, topları aynı gören, tarafsız olan bir rasgelelik kendini göstermektedir. Torbadan bir topun (rakamın) rasgele çıktığını, çıkan top torbaya geri atılıp yeniden bir top çekildiğinde bunun da rasgele çıktığını, üstelik aynı şekilde rasgele çıktığını söyleyebiliriz. Torbadan top çekerek 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarından istediğimiz sayıda Rasgele Rakam üretebiliriz. Rasgele Rakam üretme işini milli piyango idaresinin çekiliş makineleri, 10 yüzlü dengeli bir zar, 10 eşit parçaya bölünmüş bir çemberin merkezine bağlı serbestçe dönebilen bir yelkovan gibi çok farklı aletler ile fiziksel olarak yapabiliriz. Sokakta yürürken Rasgele Rakam üretme işini geçen arabaların plaka numaralarına bakarak da yapabiliriz. Son rakam tek mi, çift mi gözlemine göre, sinemaya gidip gitmeyeceğimize bile karar verdiğimiz olmuştur.

2 Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT) tarihte ilk olarak 1927 yılında Trippett tarafından hazırlanmıştır. Trippett rakam içeren 26 sayfalık Random Sampling Numbers isimli bir kitap yayınlamıştır. Trippett, Britanya nüfus sayımı sonuçlarından bölgeler alıp, ilk iki ve son iki rakamı attıktan sonra geriye kalan sayıları karıştırarak arka arkaya dizdikten sonra rakamları dörtlü sütunlar haline getirmiştir. Bu kitap, teknik kitaplar arasında en çok satan kitap olmuştur. Fisher ve Yates, 20 rakamlı logaritma tablolarının uncu rakamlarını alarak rakamlık bir RRT yapmışlardır. Daha sonraki yıllarda rasgele rakamların üretilmesi, yayınlanıp satılması ticari bir mal haline gelmiştir. Olasılık ve Đstatistik kitaplarının eklerinde, bir çok tablo gibi RRT tabloları yer almaktadır, daha doğrusu almakta idi. Bilgisayarların yaygınlaşması ile bu tablolar, matematikteki trigonometrik ve logaritma tabloları gibi zamanla ortadan kalktı. Hesap makinaları, bilgisayarlar, cep telefonları ile rasgele sayılar üretilebilir. Nasıl üretildiklerini önümüzdeki derslerde göreceğiz. Rasgele sayı üretimi zamanımızda milyar dolarlık sektör haline gelmiştir.

3 [0,1] aralığındaki reel sayıların ondalık açılımları göz önüne alınırsa ve 0,1,2,...,9 rakamlarından rasgele rakam üretilmesi problemi çözülürse, [0,1] aralığındaki sayılardan birinin rasgele üretilmesi sorunu da çözülebilecek gibi görünmektedir. Ancak, [0,1] aralığındaki reel sayılar ile bunların ondalık açılımları arasındaki bire-bir eşlemeye dikkat edilirse, örneğin 1 π 0, , 3 3 = =, 1 0,50 2 =, 0= 0, 0, 1= 0, 9, 3 = 1, olmak üzere 0,1,2,...,9 rakamlarının rasgele üretilmesi ile bir sayı elde etmek için sonsuz tane rakam üretmek gerekecektir. Bunun pratik olarak gerçekleştirilmesi mümkün değildir. Ancak, ondalık açılımın sonlu bir kısmı ile yetinirsek, pratik açıdan ihtiyacımızı karşılayacak şekilde [0,1] aralığından rasgele sayı çekmek için bir yönteme sahip oluruz. Ölçme (gözlem) yoluyla gelen sayıların da ondalık açılımları hassasiyet derecesi ile sınırlıdır. Yukarıdaki Trippett tablosunun son iki sütununu kullanarak sekiz ondalıklı 5 tane sayı üretelim Sadece bir tanesi 0.5 ten küçük çıktı. Ne dersiniz? Devam edelim mi? Rasgelelik bu, 0.5 ten küçük sayı gelmedi. Henüz tabloya göz atmadıysanız, ne dersiniz, 0.5 ten küçük sayı gelir mi? Devam edelim mi? taneden 10 tanesi 0.5 ten küçük geldi. Tümünde 25 taneden 11 tanesi 0.5 ten küçük. Şimdi bu sayıların ilk ondalık basamağındaki rakamlara bakalım rakamı dışında, rasgelelik ile ilgili şüphe uyandıracak bir şey göze çarpmamaktadır. Rasgele üretilen 25 rakamdan 5 tanesi, yani %20 si 9 gelmiş. Beklentimiz %10. Ne diyeceğiz?

4 Düzgün bir paranın atılması deneyinde, yazı gözlendiğinde 0, tura gözlendiğinde 1 rakamları yazılsın. Paranın atılmasıyla 0,1 rakamlarından oluşan belli uzunluklu rasgele diziler elde edilebilir. Böyle bir dizinin elemanları 2-li sayma sisteminde, tam kısmı sıfır olan bir sayının virgülden sonraki basamaklarını doldursun. Bu sayı 10-lu sayma sistemine çevrilebilir. Böylece para atışı ile de [0,1] aralığında sayı üretilebilir. Elimizde 0,1 rakamlarından oluşan Rasgele Rakamlar Tablosu bulunursa [0,1] aralığından rasgele sayı üretebiliriz. Fiziksel rasgelelikten faydalanarak böyle tablolar oluşturulablir. C.R.Rao, Hindistanda ortalama olarak her saniye bir çocoğun doğduğunu belirterek, cinsiyetlerinin gözlenmesiyle maliyeti ucuz ve rasgeleliğine güvenilir tabloların olşturulabileceğini şaka yoluyla söylemektedir. Not:Yeni doğan çocuklar ile ilgili, tablodakine benzer gözlemler Yrd. Doç Dr. Levent Özbek te bulunabilir. Hatırladığım kadarıyla, birinci sınıfa gelen öğrenciler Đst105 Bilgisayar Programlama dersinde, rasgeleliğin felsefi tartışmasını yaptıktan sonra gerçek rasgelelik ile doğum hastanelerinde tanışıyorlardı. Đst101 Olasılık ve Đstatistiğe Giriş dersini anlatmam çok kolaylaşıyordu. Rasgelelik ile arkadaş olanlara, rasgelelik sevdalılarına Đstatistik anlatmak ne ki!

5 Yukarıdaki iki tablo ile hemen aşağıdaki tablo, Rao, C.R., kitabından alınmıştır. (1989), Statistics and Truth: Putting Chance to Work, International Cooperative, Publishing House Histogramlar (çubuk diyagramları) yukarıdaki iki tablo (Table1, Table2) ile ilgilidir. Frekanslar, birinci tablo (Table1) için ardışık beş doğumda erkek çocuk sayısı, ikinci tablo ( Table2) için ardışık beşlik çekilişte gelen beyazların sayısı ile ilgilidir. C.R.Rao nun sorduğu gibi: Hangisi, hangisinin dir?

6 Aşağıdaki RRT ile bir kura çekimi yapalım. 100 kişi arasından rasgele 10 kişi seçmek isteyelim. Örneğin sekizinci satırın üçüncü sütunundan aşağıya doğru (aklımdan öyle geçti, torpil falan yok, zaten kişilerin listesini de görmedim) iki rakam alırsak mavi olarak renklendirilmiş sayılar çıkar. Kırmızı renkli iki sayı çekilişteki amaca uygun değildir. Dikkat ederseniz 10 kişi istenmektedir. Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT)

7 Aşağıdaki Soruları birlikte cevaplandıralım: 1. 0, 1,,99 sayılarından birinin rasgele seçilmesini RRT ile nasıl yapabiliriz? Đadeli ve iadesiz olarak olarak 10 ar çekiliş yapalım. 0, 1,,99 sayılarından birinin rasgele seçilmesini deneysel olarak nasıl gerçekleştirebiliriz? 2. 0, 1,,999 sayılarından birinin rasgele seçilmesi deneyini nasıl gerçekleştirebiliriz? 0, 1,,999 sayılarından birinin rasgele seçilmesi işini RRT ile nasıl yapabiliriz? 10 çekiliş yapalım , 16, 17,, 44, 45 sayılarından birinin rasgele seçilmesi deneyini nasıl gerçekleştirebiliriz? RRT ile nasıl yapabiliriz? 4. 5, 6,, 25 sayılarından birinin rasgele seçilmesi deneyini nasıl yaparız? RRT ile nasıl yaparız , 351,, 3500 sayılarından RRT yardımıyla 10 tane sayı çekiniz. 6. Yukarıdaki RRT yardımıyla tane 4 rakamlı sayı üretebilirmiyiz? Sorun nedir? 7. RRT ile [0,1] deki reel sayılardan rasgele 10 sayı sayı çekiniz. 8. Fiziksel bir rasgelelik kullanarak [0,1] deki reel sayılardan rasgele 10 sayı çekiniz. 9. Üçüncü sınıf öğrencilerinden 25 birimlik bir örnek seçip, boy uzunluğu, ağırlık, seçtiği seçmeli ders ve cinsiyet değişkenlerini (özelliklerini) gözlemek isteyelim. Örneklemeyi nasıl yaparız? 10. 1,2,3,,100 sayılarından birinin rasgele seçilmesini bilgisayarda nasıl yaparız?

8 Rakamlardan oluşan bir dizinin veya sonlu elemanlı bir dizi parçasının rasgele olması ne demektir? Bir dizi parçasının rasgele oluşturulup oluşturulmadığı nasıl anlaşılacaktır? Örneğin 0,1 rakamlarından oluşan, veya dizi parçaları için hemen, rasgele oluşturulmadıkları kanaatine varmaktayız. Bu dizi parçalarının bir paranın atışına bağlı olarak yazılmadığını kesin olarak söyleyebilir miyiz? Acaba, dizi paraçası rasgele mi oluşturulmuştur? Rasgelelik kavramı tanımlanmadan bu sorular cevaplanamaz. Diziler için Kolmogorov Rasgeleliği kavramı : Bir dizi parçasının Kolmogorov Karmaşıklığı en az dizinin uzunluğu kadarsa dizi rasgeledir olarak tanımlanmaktadır ( Komogorov Karmaşıklığı kavramı ile ilgili Wikipedia Ansiklopedisinden bir paragraf: Kolmogorov karmaşıklığı (tanımsal karmaşıklık, Kolmogorov-Chaitin karmaşıklığı, stokastik karmaşıklık, algoritmik entropi veya program boyu karmaşıklığı olarak da bilinir), bilgisayar biliminde, bir metin parçası gibi bir nesneyi tanımlamak için kullanılması gereken bilgi işlemsel kaynakların ölçüsü. Örneğin aşağıdaki 100 karakter uzunluğundaki iki karakter katarı ele alınırsa: Birinci karakter katarı Türkçe "'01'in 50 tekrarı" ifadesi ile kısaca ve tam olarak tanımlanabilir. Đkinci karakter katarının bu şekilde tanımlanması mümkün değildir. Bu karakter katarını tanımlananın en kısa yolu kendisini yazmaktır. Daha şekilsel olarak söylemek gerekirse, bir karakter katarının karmaşıklığı sabit bir tanımlama dilinde o karakter katarının en kısa ifade edilişidir. Aşağıda tanımlama dilinin seçimi ile karmaşıklık arasındaki hassas ilişki ele alınmıştır. Bir karakter katarının Kolmogorov karmaşıklığının karakter katarının uzunluğundan daha büyük olamayacağı gösterilebilir. Kolmogorov karmaşıklıkları, kendi uzunluklarına kıyasla daha kısa olan karakter katarları karmaşık kabul edilmez.

9 Kolmogorov karmaşıklığı kavramı şaşırtıcı ölçüde derin bir kavramdır. Bu kavram kullanılarak Gödel'in eksiklik teoremi ve Turing'in durma problemi ile ilgili imkânsızlık sonuçlarını ifade ve ispat için kullanılabilir. Algoritmik bilgi teorisi, bilgisayar bilimlerinin bir alt alanı olup karakter katarlarının (ve diğer veri yapılarının) Kolmogorov karmaşıklığı ve diğer türden karmaşıklarını incelenmesi ile ilgilidir. Bu çalışma alanı Andrey Kolmogorov, Ray Solomonoff ve Gregory Chaitin tarafından 1960larda kurulmuştur. Algoritmik bilgi veya Kolmogorov karmaşıklığının pek çok çeşitlemesi vardır. Bunlardan en yaygın olanı kendi kendini ayıran programlara dayanmaktadır ve Leonid Levin (1974) tarafından ortaya konmuştur. Rasgele Rakamlar Tablosunun dağınık, kuralsız, anlamsız, amaçsız, kurgusuz, plansız, programsız, şablonsuz, örüntüsüz, rakamların bir kümesi olmasını arzulamaktayız. Belli bir örüntünün, kurgunun, ortaya çıkması durumunda rasgelelik yoktur demek daha kolay görünmektedir. Đlerideki derslerde, bu düşünceye dayalı bazı rasgelelik testleri üzerinde duracağız. Test edilmek istenen rasgelelik Đstatistiksel Rasgelelik olacaktır ( Günümüze kadar en çok kullanılan RRT 1955 yılında RAND Corporation tarafından oluşturulan ve 1 milyon rakamdan oluşan tablodur. Rakamlar fiziksel üreteçlerle üretilmiş olup, birçok test sonucu bunun aksine bir delil ortaya çıkmamıştır. George Marsaglia 6 dosya içinde 4.8 milyar rasgele bit içeren bir CD-ROM hazırlamıştır. Marsaglia,G. (1995), The Marsaglia Random Number CDROM, including the DIEHARD Battery of Tests of Randomness, Department of Statistics, Florida State University, Tallahasse, Florida.

Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis

Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis Gültekin YEĞİN Fizik Bölümü Celal Bayar Üniversitesi Manisa 10 Mayıs 2012 Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012

Detaylı

RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ

RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ Dr. Mehmet AKSARAYLI Ekonometri Böl. Simülasyon Ders Notları Rassal Sayı Üretilmesi RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ Simülasyon analizinde kullanılacak az sayıda rassal sayı üretimi için ilkel yöntemler kullanılabilir.

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu

Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu Kuyruk sistemlerinin simülasyonu sonraki adımda ne olacağını belirlemek üzere bir olay listesinin tutulmasını ve bakımını gerektirir. Simülasyonda olaylar genellikle gerçek

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

RASTGELE SAYI ÜRETİMİ VE UYGULANAN TESTLER HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

RASTGELE SAYI ÜRETİMİ VE UYGULANAN TESTLER HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN RASTGELE SAYI ÜRETİMİ VE UYGULANAN TESTLER HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN RASTGELE SAYILARIN ÜRETİLMESİ Rastgele değişimler yapay tablolardan veya parametreleri verilen teorik dağılım fonksiyonlarından elde edilir.

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

Rasgele Sayıların Özellikleri

Rasgele Sayıların Özellikleri Rasgele Sayı Üretme Rasgele Sayıların Özellikleri İki önemli istaiksel özelliği var : Düzgünlük (Uniformity) Bağımsızlık R i, rasgele sayısı olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan uniform bir

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

SANAL RASGELELĐK. Sanal sözcüğü ile ilgili olarak Güncel Türkçe Sözlük, ve Wikipedia Ansiklopedisi,

SANAL RASGELELĐK. Sanal sözcüğü ile ilgili olarak Güncel Türkçe Sözlük, ve Wikipedia Ansiklopedisi, SANAL RASGELELĐK Rasgeleli sözcüğü Đstatisti Bilim Dalında bir temel avram olup, fizisel, biyoloji, sosyal, eonomi, olgular (nesneler, olaylar, fenomenler) ile ilgili meansal, anlı veya zaman içindei gelişigüzelliği

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Araştırmada Evren ve Örnekleme

Araştırmada Evren ve Örnekleme 6. Bölüm Araştırmada Evren ve Örnekleme 1 İçerik Örnekleme Teorisinin Temel Kavramları Örnekleme Yapmayı Gerekli Kılan Nedenler Örnekleme Süreci Örnekleme Yöntemleri 2 1 Giriş Araştırma sonuçlarının geçerli,

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder.

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder. 1 Sayıtlama Dizgeleri Hint-Arap Sayıtlama Dizgesi Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Sümerlerin, Mısırlıların, Romalıların ve diğer uygarlıkların kullandıkları

Detaylı

: Yetmiş yedi milyon altı yüz doksan beş bin dokuz yüz dört

: Yetmiş yedi milyon altı yüz doksan beş bin dokuz yüz dört Matematik Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Doğal Sayılar DOĞAL SAYILARI OKUMA ve YAZMA Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK), adrese dayalı nüfus kayıt sistemi sonuçlarına göre Türkiye

Detaylı

-ÖRÜNTÜ NEDİR? Bir örnek verebilir misin?

-ÖRÜNTÜ NEDİR? Bir örnek verebilir misin? ÖRÜNTÜLERİ TAMIYALIM Fred bu örüntünün ne olduğunu anlayamadım bir türlü. Bana birde sen anlatır mısın? -ÖRÜNTÜ NEDİR? Örüntü, bir nesne veya olay kümesindeki elemanların ardışık olarak düzenli bir biçimde

Detaylı

SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1 Rastgelelik. 2. Modelleme. 3. Kümeler Cebiri. 4. Sınıf. 5.

SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1 Rastgelelik. 2. Modelleme. 3. Kümeler Cebiri. 4. Sınıf. 5. SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI Giriş Prof.Dr. Fatih TANK Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Sigortacılık ve Aktüerya Bilimleri Bölümü Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa :

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

5. SINIF A)8 B)8,1 C)8,2 D)8,3 E)8,4

5. SINIF A)8 B)8,1 C)8,2 D)8,3 E)8,4 5. SINIF Soru 1 9, 0, 7, 4 rakamları kullanılarak elde edilen, rakamları birbirinden farklı dört basamaklı, en büyük çift doğal sayı ile en küçük çift doğal sayının farkı kaçtır? A)4950 B)4560 C)4260 D)4205

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

3.Türkiye'de IBAN kullanımı konusunda bir düzenleme var mı?

3.Türkiye'de IBAN kullanımı konusunda bir düzenleme var mı? IBAN uygulamasına erteleme yok Merkez Bankası, Uluslararası Banka Hesap Numarası'nın, 1 Ocak 2010 tarihinden itibaren yurttaşların bankalardan yapacakları yurtiçi para transferlerinde kullanılmasının zorunlu

Detaylı

dir. Bu avcı en çok 3 atışta bu hedefi vurabilme

dir. Bu avcı en çok 3 atışta bu hedefi vurabilme 1. 3 mavi, 3 kırmızı, 3 siyah kalemin bulunduğu bir torbada rasgele alınan iki kalemin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? A) 1 3 B) 2 3 C) 3 4 D) 3 5 E) 4 5 2. 43 kişilik bir sınıfta Almanca İngilizce

Detaylı

Access e Nasıl Ulaşılır. Araç çubuklarını yeniden düzenlemek için Görünüm komutunun Araç çubukları seçeneği kullanılır.

Access e Nasıl Ulaşılır. Araç çubuklarını yeniden düzenlemek için Görünüm komutunun Araç çubukları seçeneği kullanılır. 1 Access e Nasıl Ulaşılır Araç çubuklarını yeniden düzenlemek için Görünüm komutunun Araç çubukları seçeneği kullanılır. 2 Çeşitli araç çubukları arasında seçim yapılarak pencere üzerine eklenebilir. Bunun

Detaylı

Sayı Kavramı ve Sayma

Sayı Kavramı ve Sayma Sayı Kavramı ve Sayma Örnek Olay Üzerinde 20 adet kare şeklinde halı resimleri olan bir tahta hazırladık. Henüz 25 aylık olan Spencer Mavi! diye bağırdı. Tahtanın yanına gidip her defasında mavi diyerek

Detaylı

Özel AKEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı

Özel AKEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı Özel KEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı DİKKT! CEVP KĞIDININ TEST -- BÖLÜMÜNE MTEMTİK SORULRI İŞRETLENECEKTİR. ) 3 basamaklı 4 tane sayının aritmetik ortalaması 400 dür. Bu dört sayının birler

Detaylı

ĐSTATĐSTĐK. Okan ERYĐĞĐT

ĐSTATĐSTĐK. Okan ERYĐĞĐT ĐSTATĐSTĐK Okan ERYĐĞĐT Araştırmacı, istatistik yöntemlere daha işin başında başvurmalıdır, sonunda değil..! A. Bradford Hill, 1930 ĐSTATĐSTĐĞĐN AMAÇLARI Bilimsel araştırmalarda, araştırmacıya kullanılabilir

Detaylı

Değişkenler. Geçerli değişken isimleri : baslamazamani, ad_soyad, x5 Geçersiz değişken isimleri : 3x, while

Değişkenler. Geçerli değişken isimleri : baslamazamani, ad_soyad, x5 Geçersiz değişken isimleri : 3x, while Değişkenler Değişkenler bir bilginin bellekteki konumunu temsil eden sembolik isimlerdir. Bilgisayarda hemen hemen tüm işlemler bellekte yapılır. Program çalıştırıldığında değişken ve bu değişkenin türüne

Detaylı

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160 A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI 6 6 4 4 1. sin x cos x sin x cos x sin x ifadesinin eşiti kaçtır? A) B) 1 ) 0 D) 1 E). 1 1 4arctan arctan 5 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) 4 8 ) 6 D) E) 4 4. cos x cos y 4 4 sin x sin y 4 4 ifadesi tanımlı

Detaylı

EXCEL 2007 ELEKTRONİK ÇİZELGE

EXCEL 2007 ELEKTRONİK ÇİZELGE EXCEL 2007 ELEKTRONİK ÇİZELGE Excel, Microsoft Office paketinde yer alan ve iş hayatında en sık kullanılan programlardandır. Bir hesap tablosu programıdır. Excel, her türlü veriyi (özellikle sayısal verileri)

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi

Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi JAVA PROGRAMLAMA Öğr. Gör. Utku SOBUTAY İÇERİK 2 Java da Kapsülleme (Erişim Denetleyiciler) Java da Sınıf Oluşturmak Java da Nesne Oluşturmak Java da Constructor Kavramı Java da This Kavramı Java da Constructor

Detaylı

Sabancı Üniversitesi Matematik Kulübü 5. Liseler Arası Matematik Yarışması 1. AŞAMA

Sabancı Üniversitesi Matematik Kulübü 5. Liseler Arası Matematik Yarışması 1. AŞAMA Sabancı Üniversitesi Matematik Kulübü 5. Liseler Arası Matematik Yarışması 1. AŞAMA SABANCI ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KULÜBÜ 5. LİSELER ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1. AŞAMA 15 MART 2013 CUMA BAŞLANGIÇ: 14:00

Detaylı

SAYILARA GİRİŞ. Her şeyden önce temel kavramları bilmeliyiz. Nedir temel kavramlar? Matematik dilinin abc'si olarak tanımlayabiliriz.

SAYILARA GİRİŞ. Her şeyden önce temel kavramları bilmeliyiz. Nedir temel kavramlar? Matematik dilinin abc'si olarak tanımlayabiliriz. SAYILARA GİRİŞ Her şeyden önce temel kavramları bilmeliyiz. Nedir temel kavramlar? Matematik dilinin abc'si olarak tanımlayabiliriz. Rakamlar {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} On tane rakam bulunmaktadır.

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

İÇERİK PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ALGORİTMA AKIŞ DİYAGRAMLARI PROGRAMLAMA DİLLERİ JAVA DİLİNİN YAPISI JAVA DA KULLANILAN VERİ TİPLERİ JAVA DA PROGRAM YAZMA

İÇERİK PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ALGORİTMA AKIŞ DİYAGRAMLARI PROGRAMLAMA DİLLERİ JAVA DİLİNİN YAPISI JAVA DA KULLANILAN VERİ TİPLERİ JAVA DA PROGRAM YAZMA İÇERİK PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ALGORİTMA AKIŞ DİYAGRAMLARI PROGRAMLAMA DİLLERİ JAVA DİLİNİN YAPISI JAVA DA KULLANILAN VERİ TİPLERİ JAVA DA PROGRAM YAZMA BÖLÜM-II ALGORİTMA I. GİRİŞ Bilgisayar dünyasında, insanın

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

SEMBOLİK MANTIK MNT102U

SEMBOLİK MANTIK MNT102U DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. SEMBOLİK MANTIK MNT102U KISA ÖZET KOLAY

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

Fonksiyon Optimizasyonunda Genetik Algoritmalar

Fonksiyon Optimizasyonunda Genetik Algoritmalar 01-12-06 Ümit Akıncı Fonksiyon Optimizasyonunda Genetik Algoritmalar 1 Fonksiyon Optimizasyonu Fonksiyon optimizasyonu fizikte karşımıza sık çıkan bir problemdir. Örneğin incelenen sistemin kararlı durumu

Detaylı

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN beren@sakarya.edu.tr 0264 295 5642 Excel - Hücreler Excel de hücrelere hangi değerler girilebilir? Metin Rakam Tarih ve Saat Formül 1 HÜCRE SEÇİMİ Matematikteki

Detaylı

Üç Basamaklı Doğal Sayılar

Üç Basamaklı Doğal Sayılar . SINIF Üç Basamaklı Doğal Sayılar TEST-1 1. Yandaki onluk taban bloklarıyla modellenmiş sayı aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) 4 0 4 4 4 4 40. Yüzlük Onluk Birlik 1 yüzlük 0 onluk

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS NOTLARI Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS-2 22.02.2016 Binary Numbers The Computer Number System İkili sayı Sistemi Bilgisayar Sayı Sistemi Sayı sistemleri nesneleri

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

BLM-112 PROGRAMLAMA DİLLERİ II. Ders-1 Kapsama Kuralları & Rasgele Sayı Üretimi & Rekürsif (Özyinelemeli) Fonksiyonlar

BLM-112 PROGRAMLAMA DİLLERİ II. Ders-1 Kapsama Kuralları & Rasgele Sayı Üretimi & Rekürsif (Özyinelemeli) Fonksiyonlar BLM-112 PROGRAMLAMA DİLLERİ II Ders-1 Kapsama Kuralları & Rasgele Sayı Üretimi & Rekürsif (Özyinelemeli) Fonksiyonlar Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

Olasılık ve İstatistik nedir? Bilgisayar Mühendisliğindeki yeri

Olasılık ve İstatistik nedir? Bilgisayar Mühendisliğindeki yeri Olasılık ve İstatistik nedir? Bilgisayar Mühendisliğindeki yeri IST 108 Olasılık ve İstatistik Bahar 2016 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bu sunumun bir kısmı Utah Üniversitesi nden Bilgisayar Bilimleri

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D)

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) TEST-8 Matematik Yarışmalarına Hazırlık 1 Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) 2 Yandaki kareden çizgiler boyunca kesilerek çeşitli şekiller

Detaylı

Rasgele Sayı Üretme. Rasgele Sayıların Özellikleri. İki önemli istaiksel özelliği var :

Rasgele Sayı Üretme. Rasgele Sayıların Özellikleri. İki önemli istaiksel özelliği var : Rasgele Sayı Üretme Rasgele Sayıların Özellikleri İki önemli istaiksel özelliği var : Düzgünlük (Uniformity) Bağımsızlık R i, rasgele sayısı olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan uniform bir

Detaylı

Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi

Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi JAVA PROGRAMLAMA Öğr. Gör. Utku SOBUTAY İÇERİK 2 Java da Diziler Dizi Tanımlama ve İlk Değer Atama Dizi Elemanlarının Kullanılması Dizi İşlemleri Java da Diziler JAVA DA DİZİLER 4 Dizi; tek bir veri tipinde,

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 18. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTLRI BİRİNCİ ŞM SORULRI SINV TRİHİ VESTİ:30 MRT 2013 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav süresi 150 dakikadır. SINVL İLGİLİ

Detaylı

OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir.

OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ 1 DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. SONUÇ:Deneylerin tamamlanması ile elde edilen verilerdir.

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK)

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK) İST65-0-02-OLASILIK I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK). A ve B olayları ayrık olaylar ve olasılıkları sıfırdan farklı ise, bu olayların bağımlı olduklarını tanıtlayınız. A ve

Detaylı