Ondan önce bu eserler olmasına rağmen bunların hiçbirisi sistematik değildir.söz konusu eserler ;

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ondan önce bu eserler olmasına rağmen bunların hiçbirisi sistematik değildir.söz konusu eserler ;"

Transkript

1 ARAP MATEMATİĞİ Yunanlıların felsefî ve bilimsel mirasının büyük kısmı Batı'da Roma İmparatorluğunun çöküşüyle 12. ve 13. yüzyıllarda ki Rönesans arasındaki dönemde kaybolmuştu. Bununla birlikte, Yunan felsefesi ve bilimi, Arap İslam kültürel çevresinde korundu. Aynı zamanda, Arapların Yunan kültür ve biliminin pasif alıcıları olmamıştır. Şunu da söyleyebiliriz ki Arap-İslam kültürü Helenizm mirasını aktif bir biçimde almış ve yaratıcı bir çizgiye taşımıştır. Bu birikim 16. ye 17. yüzyıllardaki bilimsel devrime kadar entelektüel faaliyete hakim olacak yeni bir bilimsel geleneğin kaynağıydı. Daha önce Roma kontrolündeki alanlarda iktidara Arap hanedanları gelmiş olsa da Mısır ya da Suriye, Irak ya da İran'da entellektüel yaşamda bir eksilme olmadı. Suriye, İran ve diğer yerlerde yaşayan bir Helen felsefe ve bilim geleneği vardı. Buralarda, Aristo ve diğer Yunan filozoflarının eserleri tercüme edilmişti. Bununla birlikte, asıl kültürel gelişme Bağdat'ta Abbasi halifeleriyle birlikte ortaya çıktı. Harun'ur-Reşid'in saltanatı ( ) Arap dünyasındaki ilk kapsamlı Helenistik Rönesans'ın başlangıcını işaret ediyordu. Büyük bir tercüme atılımı yaşandı. İlkin çalışmanın büyük kısmı Hıristiyanlar tarafından kültürel dilleri olan "Süryanice" ile tamamlandı. Er Reşid Yunanca çalışanla Yunan felsefîye bilimsel eserlerini tercüme eden alimleri destekliyordu. Bunun yanında, batıya Yunan el yazmaları satın almaları için elçiler gönderiyordu. Tercüme çalışmasının önemli bir kısmı, Arap vokabülerini geliştirmek ve Yunanca karşılıklarına denk olan felsefî ve bilimsel kavramlar geliştirmekten oluşuyordu. Huneyn bin İshak ( ), bu gelişimde önemli bir rol oynamıştır. 9. yüzyılın sonunda Bağdat, bir Arap bilgi merkezi olarak tesis edildi. Arapların edindiği sadece Helen kültürü değildi. Doğuda İran, Hindistan ve Çin ile.önemli yakınlıkları vardı. 9. yüzyılda matematikçi El-Harezmi (yaklaşık ); Arap rakamları denilen Hindistan şifrelerini aritmetik hesaplarda kullanıyordu. Büyük tercüme ve kültürel arabuluculuk görevi genellikle cami ve medreselere bağlı bulunan yeni kütüphanelerin çıkışını beraberinde getirdi. 10. ve 11. yüzyıllarda Arap dünyasında daha o zamanlarda yüzlerce kütüphane mevcut bulunuyordu. Zirve noktası olarak, Bağdat'taki kütüphanenin hemen hemen el yazmasına sahip olduğu söylenir. Diğer kütüphanelere bir göz atmak gerekirse;sorbonne (Paris) 14. yüzyılda 2000 el yazmasına sahipti; yaklaşık aynı dönemde Roma'daki Vatikan kütüphanesiyle aynı sayıda. Arapların, 8. yüzyılda Çinlilerden nasıl kağıt yapılacağını öğrendikleri de söylenebilir. Kağıt üretimi ilk önce Avrupa'da 1150 civarında başladı ve öncüleri, İspanya'daki Araplardı. Arapların bilimin gelişmesine en önemli katkıları tıp, astronomi ve optik alanlarında oldu. Genellikle Rhazes ( ) diye anılan Arap hekim ve filozof Ebubekr Er-Razi'nin, kızamık ve suçiçeği gibi çocuk hastalıklarını çalışan ilk kişi olduğu düşünülmektedir. Razi sadece Araplar arasında değil, Batıda da geniş bir alanda yayılan birkaç ders kitabı yazmıştır. Eserleri 17. yüzyılda Latince'ye çevrilmiştir. İbn Sina diğer adıyla Avicenna ( ) Razi'nin çalışmasına destek olmuştur. Bir hekim olarak İbn-i Sina büyük oranda Galenus'tan etkilenmiştir (bkz. Bilimler...) Ana eseri "El-Kanun fi't Tıb", en iyi Yunan ve Arap tıbbının geniş olarak kurgulanmış bir senteziydi. 17. yüzyılda Avrupa üniversitelerinde tıp eğitiminde temel ders kitabı olarak kullanılıyordu. İbn-i Sina önemli bir filozoftu da. Pek çok Hıristiyan ilahiyatçısı gibi, İslam'ın hakikatlerini Aristo mantığı ve daha sonra Yunan metafiziği (Neo-Platonculuk) kavramlarıyla formüle etmeye çalıştı, İbn-i Sina'ya göre Tanrı, ilk Neden ya da Yaratıcıydı. Yaratılan dünya, Tanrı'dan doğan bir dizi oluş olarak anlaşılmalıdır (sudur): İlahi ışığın ortaya çıkışı insan ruhunu yaratmıştır ve insan yaşamı geriye, Tanrıya doğru bir yolculuk olmalıdır, İbn Sina'nın felsefesindeki şüphe götürmeyen nokta onun madde görüşüdür. Platon ve Aristo ile paralel düşünerek, öyle görünüyor ki Tanrının maddeyi ex nihilo olarak yarattığı fikrini reddetmiştir: ilahi ışığın saçtığı ışıklar maddeyi doldurmuştur; fakat yaratmamıştır. Bu, erken İslam felsefesi içindeki

2 şiddetli bir ihtilafın başlangıç noktasıydı, İbn-i Sina'nın Neo Platonculuğu birkaç eserinde büyük İslam mistik ve ilahiyatçılarından biri olan Gazali'nin ( ) hücumuna uğramıştır. Ana noktası filozofların Tanrısının Kuran'ın Tanrısıyla aynı olmadığıydı. Felsefe Kuran'la ihtilafa düşerse felsefe çökmelidir. Bildiğimiz gibi, hemen hemen aynı dönemde Hıristiyan dünyasında benzer ihtilaflar meydana geliyordu. Gazali'nin meydan okumasına yanıt İbn-i Rüşd'den (Averroes, ) geldi. İbn Rüşd, Batıda en etkili Arap düşünürü olarak görülmektedir, İbn-i Rüşd Kurtuba'da doğdu ve zamanının bilimsel disiplinlerinde eksiksiz bir eğitim aldı. Bir süre işbiliye ile Kurtuba'da hakimlik yaptı ve kariyerini Marakeş'te halifenin kişisel hekimi olarak tamamladı. Avrupa'da Averroös (İbn-i Rüşd) özellikle kapsamlı Platon ve Aristo analiziyle tanınıyordu. Thomas Aquinas üzerinde hatırı sayılır bir etki bıraktı ve Averroizm 17. yüzyıla kadar skolastisizmi şekillendirdi. Gazali ile ihtilafında, İbn-i Rüşd felsefî sonuçlar ve Kuran arasında bir çelişkinin olamayacağını iddia etmiştir: "Bu din doğru olduğu ve hakikatin bilgisine götüren araştırmayı desteklediği için, biz, Müslüman cemaat, biliriz ki argümantasyon yardımıyla araştırma Kutsal Kitapların bize verdiğiyle ters düşen sonuçlara yol açmaz. Hakikat, hakikatle çelişmez, yani O'nunla uyum sağlar ve O'na tanıklık eder." Peki aşikar olan çelişkileri nasıl açıklayacağız? Burada, İbn-i Rüşd, Batı felsefesinde de önemli bir rol oynayan bir tefsir ilkesi ortaya atmıştır: Kuran'daki her şeyin lafzi olarak ele alınmaması gerektiğini anlatmıştır. Kuran ayetlerinin lafzi bir tefsiri akılla çelişiyor gibi göründüğünde ayetler metaforik ya da alegorik olarak yorumlanmalıdır. Arap bilim adamları tarafından birkaç alanda çarpıcı katkılar yapılmıştır; bunların arasında İbn el-heysem ya da el-hazen ( ) eşsiz bir yer tutar. Optik çalışması disiplin için bir çok şekilde önemli bir gelişme sayılır. İbn el-heysem ayrıca mercek ve küresel ve parabolik ayna araştırmalarında büyük ilerlemeler gerçekleştirmiştir. Bundan başka, optik fenomenlere deneysel yaklaşımın saygın bir temsilcisiydi ve gözün nasıl çalıştığına dair dikkatli bir analiz yaptı. Bugün, İbn el-heysem en büyük Arap fizikçisi diye bilinir. Roger Bacon, Johannes Kepler ve Isaac Newton da dahil olmak üzere pek çok Batılı bilim adamını büyük oranda etkilemiştir. Araplar astronomi alanında da ilerlemişlerdi. Özellikle, teori ve gözlem uyuşmazlığını çevreleyen problemleri çözmek için matematik modellerin gelişimi üzerinde çalışmışlardır. İran'daki Meragha Gözlemevi'nde ibn el-şatir (ö. 1375) Batlamyus sistemini öylesine düzeltmiş ve ilerletmişti ki sistem geniş oranda matematik olarak daha sonraki Kopernik sistemine eş hale geldi. Kopernikus'a kadar Arap astronomik modelleri Batıdakilerden çok daha ilerideydi. Astronomi, matematik, tıp ve optiğin hemen hemen her alanında Arap bilim adamları Orta Çağ'da en ilerlemiş olanlar arasındaydı. 6 yüzyıldan fazla bir süre Araplar teknik ve bilimsel olarak Batının önündeydi. Fakat, neden Arap bilimi modern bilimin ortaya çıkışı sonucunu doğurmadı? Neden bilimsel devrim 16. ve 17. yüzyıllarda Arap-İslam dünyasında değil de, Avrupa'da meydana geldi? Belki, daha da kafa karıştırıcı olanı: Arap bilimi neden 14. yüzyıldan sonra düşüşe geçti? Neden Arap felsefesi ve bilimi durgunlaştı? Bu sorulara burada kapsamlı bir yanıt vermenin imkânı yok. Biz sadece olası bir yanıtı göstereceğiz. Şimdiye kadar bilgilendiğimiz Arap filozof ve bilim adamlarının tümü Müslüman'dı. Çalışmalarını problem ve sonuçları "İslamileştirmeden" Yunan felsefesi ve bilimine dayandırıyorlardı. Bu başlangıçta hoş görüldü, ancak dini liderlerin artan bir eleştirisine maruz kaldı ( felsefenin iyice dine bulaştırılmasıyla ). Yabancı bilimler ancak dinsel olarak meşrulaşabilirse ya da dini bir işlevi varsa destek bulabiliyordu: Astronomi, geometri ve aritmetik önemliydi, zira Müslümanlar namaz kılmak için doğru zamanı ve Mekke'nin yönünü bilmek zorundaydı. Fakat, dini açıdan, pek çok disiplin yararsız olduğu için ya da Kuran'ın vazettiği dünya görüşünü önemsemiyor diye eleştiriliyordu. Yunan bilimlerinin artan bir biçimde İslamileşmesi, araştırma sahalarını daraltmış görünüyor. Bu İslamileşme belki de 15. yüzyıldaki duraklama ve çöküşün en önemli nedenlerinden biriydi.

3 Bundan başka, ciddi bir problem, Arap kültüründe bilimler için kurumsal bir temelin eksikliğiydi. Arapların başlıca eğitim kurumu medrese idi. 11. yüzyılda serpilmeye başlayan bu okullar İslam'ın ana kültürel kurumuydu. Öncelikli olarak dini ya da İslami bilimlere adanmışlardı. Tüm eğitim alanları Kuran araştırması,- Peygamber ve ashabının yaşamları ile İslam hukuku (Şeriat) üzerine odaklanmıştı. Felsefe ve doğa bilimleri eğitimin bir parçası değildi, fakat ana metinler okullarda kopyalanıyor ve kütüphanelere ekleniyordu. Çoğu filozof ve bilim adamı medresede öğretmen olarak çalışıyor, fakat Yunan felsefesi ve bilimi üzerine ders anlatmıyordu. "Yabancı bilimlerle" birliktelik böylece özel bir faaliyet meselesi haline geldi ya da camiilerle (astronomi) ve sarayla (tıp) bağlantılandı. Bağımsız Arap bilimi asla kurumsallaşmadı ve Arap - İslam dünyasının dini ve siyasal elitlerinin onayını almadı. Orta Çağ ne İslam'ı ne de lonca ve dernekleri tanır. Sonuç olarak, profesyonel öğrenci ve öğretmen gruplarını meşrulaştırmak ve geliştirmek zorlaştı. Şu halde, kendi kendini yöneten iç yapısıyla Orta Çağ sonu Avrupa üniversitelerinin niteliği gibi- özerk akademik kurumlar tesis etmek hemen hemen imkânsız hale geldi. Belki de 14. yüzyılda durgunluğun en önemli nedeni Arap dünyasının seküler ya da dini makamların hoş gördüğü ya da desteklediği bağımsız üniversiteleri hiçbir şekilde geliştirememiş olmasıdır. Harizmi ona ün kazandıran eserlerini beytül hikmede meydana getirmiştir. Burası bilim tarihinde Bağdat okulu olarakta bilinir. Ve birçok bilim adamı adamı burada yetişmiştir. Avrupada başta Leonardo fibonacci olmak üzere birçok bilim adamı onun yapıtlarından ve bu okuldan yararlanmıştır.harizmi 825 tarihinde hint matematiğini incelemek için hindistana gider. Hintli matematikçilerin kullandığı sayı sistemini ve aritmetiği bütün yönleri ile inceler.dönüşünde orada matematiksel işlemlerde kullanımını incelediği onlu sayı birimleri ile kurulan işlemsel kullanım yöntemlerini geliştirdi.en önemli eseri kitabül muhtasar fi hesabül cebr vel mukabele ( kısaca el cebr vel mukabele) dir. Bazı matematik tarihçileri, Mezopotamya, yunan ve eski hint matematikçileri tarafından cebir konularını kapsayan, sistematik olmamak üzere aritmetik adı altında münferit eserler olduğuna ve el cebr vel mukabele eserindeki bilgilerin bu eserlerdede görüldüğnü yazarlar. Ondan önce bu eserler olmasına rağmen bunların hiçbirisi sistematik değildir.söz konusu eserler ; Yunanlı diafontos ---aritmetika Hintli brahmagupta ---kutakhadyaka Aryabhatta---aryastasaba dır. Harizmi cebir denklemlerinin çözümünde, kare ve dikdörtgen şekilleri kullanmıştır.denklemlerde hep geometrik şekilleri kullandığından, hep artı terimleri göz önünde tutmuştur. Bu çözümlerde kare bilinmeyeni ve dikdörtgende bilinmeyenin sabit bir katını temsil eder. Sıfır kelimesinin etimolojik anlamı incelendiğinde insanlık tarihinin en eski sıfırı m.ö. 4. yüzyılda kullanılan babil sıfırıdır.ancak bu dönemde sıfırın aritmetik işlemlerde bir rolü yoktur.sıfır rakamının sayı niteliği kazanması, eski hint matematik ve astronomi bilgini bragmagupta ile başlamıştır.bragmagupta, sindhanta adlı eserinde, hiç ve yokluk anlamına gelen sunya kelimesini kullanmıştır. Ancak sıfıra bir sembol veren, ona bir kimlik kazandıran ve aritmetik işlemlerde kullanan kişi harizmi dir. Bugün 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 şeklinde kullanılan rakamlar arapsayı sistemi olarak kabul edilmektedir. Bugünkü desimal sistemin kullanılması matematiğe sıfırın dahil edilmesiyle olmuştur. Harizmi bunu 830 yılında yazdığı esrinde 1 den 9 a kadar olan rakamlara sıfırıda ekleyerek toplama, çıkarma işleminin nasıl yapıldığını göstermiştir.

4 Sabit bin Kurra Sabit b. Kurra, Sabiiliğin merkezi olan Harran'da doğdu. Bu şehrin çok sayıda bilim adamı yetiştirmiş bir ailesine mensuptu. Başlangıçta bir sarraf olduğu nakledilir. Felsefi konulardaki serbest fikirliliği kendisini doğduğu şehrin sabii halkı ile ihtilafa düşürünce mahkeme edildi ve felsefi fikirlerinden vazgeçmek zorunda kaldı. Daha sonra Dara yakınındaki Kafartusa kasabasına çekilip kendisini takip edilmekten kurtardı. Rivayete göre Bizans'tan Bağdad'a dönmekte olan Ebu Cafer Muhammed b. Musa b. Şakir, Sabit b. Kurra ile karşılaşmıştır. Muhammed b. Musa, Sabit'in matematiğe olan yeteneğini fark ederek onu Halife Mutazid'e tavsiye etmek üzere beraberinde Bağdad'a götürdü. Bazı kaynaklara göre Sabit, Bağdad'da matematik, astronomi ve fizik bilimleri tahsil etmiş, Muhammed b. Musa'dan ders almış ve daha sonra Halife'ye takdim edilmiştir. Halife de, Sabit'i sarayında bulunan astronomlar arasına aldı. Diğer bir rivayete göre Halife Muvaffık Billah oğlu Mutazid'i hapse atmış ve Sabit'i de bunun hizmetine vermişti. Mutazid halife olunca Sabit'i saraya mensub astronomlar arasına katmış ve onu özel dostu edinmişti. Sabit b. Kurra ise kendisine kalan bir servet sayesinde Bağdad'daki ikameti esnasında felsefi bilimlerle uğraşma imkanı buldu. Sabit, Arapça'dan başka Süryanice ve Grekçe bilmekteydi. Tukan, İbranice de bildiğini söylemektedir. Bu esnada Grek matematikçilerinin eserlerini Arapça'ya tercüme, matematik ve astronomi sahasında eserler yazma ve hekimlik ile meşgul oldu. Ayrıca kendinden önce tercüme edilen bazı eserleri de tashih etti. Bağdad'da öldü. Sabit b. Kurra'nın İslam matematiğine katkılarını üç kısım da özetlemek mümkündür. Birinci merhale, Yunan matematiğinin önemli eserlerini Arapça'ya çevirmesi veya kendinden önce bu sahada yapılan tercümeleri tashih ve islah etmesi olarak ifade edilebilir. Sabit özellikle Arşhimedes'in matematik sahasındaki bütün çalışmalarını tercüme etti. Bugün Arşhimedes'in bir çok eserinin Yunanca asılları kaybolduğundan bu eserlerden Sabit'in Arapça tercümeleri vasıtası ile haberdarız. Ayrıca Apollonius'un "KoniKesitleri" ve Nicomachus'un "Aritmetiğe Giriş" adlı önemli eserlerini Arapça'ya aktardı. Bunların yanında Euclides, Ptolemy ve Theodosios'un eserlerinden tercümeler yaptı veya yapılan tercümeleri düzeltti. İkinci kısım, birinci kısma bağlı olarak Sabit'in tercüme ve tashihleri vasıtası ile Arapça bir matematik dilinin oluşması konusundaki çalışma ve katkıları şeklinde düşünülebilir. Sabit matematik eserleri Yunanca asıllarından veya Süryanice'den tercüme ederken güçlü Arapça bilgisi sayesinde Yunanca ve Süryanice olan matematik kavramlara uygun ve yerinde Arapça karşılıklar bulmayı başardı. Sabit'in tespit ettiği kavramların bir kısmı daha sonra gelen İslam matematikçileri tarafından değiştirilirken bir kısmı da kullanılmaya devam etti. Bu kavramların büyük bir kısmı bugün hala Arap dilinde muhafaza edilmekte ve kullanılmaktadır. Mesela ilk defa Sabit tarafından Arapça karşılıkları tespit edilen "el-aded el-tam", "el-aded el-zaid ala't-tam", "el-aded el-nakıs ala't-tam" ve "el-adad'ül-mutehabbe" kavramları büyük oranda korunmuş, sadece "ala't-tam" kelimesi daha sonraki asırlarda değişmiştir. Üçüncü kısımda ise Sabit, matematiğin, aritmetik (sayılar teorisi), cebir, geometri, koni kesitleri ve trigonometri gibi hemen hemen bütün alanlarında orjinal telif eserler verdi. Onun bu sahalardaki çalışmalarını aşağıdaki şekilde özetlemek mümkündür: Sayılar Teorisi: Sabit'in sayılar teorisindeki en önemli katkılarından biri, ünlü Yunanlı matematikçi Nicomachos el-cereşi'nin Aritmetiğe Giriş i tercüme etmesidir. Bu tercüme ile beraber İslam matematiğine Pythagorasçı sayı ve aritmetik anlayışı girmiş oldu; ayrıca eser "theologoumenates aritmetikes" anlamında bir sayı mistisizminin yerleşmesini sağladı. Bu sayı mistisizmi bazı birinci sınıf İslam matematikçileri arasında da taraftar buldu; ancak bu anlayışı İslam medeniyetinde sistemli bir şekilde takip eden İhvan'üs- Safa ve Hallan'ül-Vefa adlı gizli batıni-felsefi okuldur. İslam matematikçileri Pythagorasçı aritmetik anlayışını Yunanca aslı ile "aritmatiki" olarak adlandırdılar ve bu anlayışı "ilm'ül-aded" adını verdikleri Euclidesçi geometrikaritmetik anlayışından ayırdılar. İbn'ül-

5 Heysem'e göre Pythagorasçı aritmetik anlayışının en önemli özelliği "istikra=tümevarım" yönetimini kullanmasıdır. Bu da Pythagorasçı aritmetiğin "nokta=atom" sayı anlayışına dayanıyor olmasından kaynaklanmaktadır. Euclidesçi aritmetikte ise tam sayılar "doğru çizgiler"le temsil edilmekte ve ispatlarda Euclides'in Usul=Elementler'indeki geometrik burhan=ispat anlayışı esas alınmaktadır. Sabit'in sayılar teorisindeki ikinci ve orjinal katkısı, Euclidesçi aritmetik anlayışından hareket ederek tam=mükemmel, nakıs=eksikli, zaid=artıklı sayı çeşitlerinin özelliklerini incelemesi, "tam bölen parçalar" üzerinde çalışması ve bu iki çalışmanın sonucundan hareket ederek dost sayılar için genel bir formül ortaya koymasıdır. Bu araştırmaları esnasında asal sayıların, sayıların özelliklerini incelemedeki önemine işaret etmesi oldukça önemli sonuçlar doğurmuştur. Sabit'in verdiği formül şu şekilde özetlenebilir: Eğer n doğal sayıların bir elemanı olursa, tam bölen parçaları veya fiili bölenleri n in kendisi hariç k1(n) ile gösterilirse bölenlerin toplamı k(n)=k1(n)+n olarak yazılabilir. Bu durumda n N' i, eğer k1(n)>n ise zaid, k1(n)<n ise nakıs ve k1(n)=n ise tam olarak isimlendiririz. Bu şartlarda m,n N'nin dost sayı olması demek, k1(m)=n ve k1(n)=m olması demektir. Sabit'in bu şartı sağlayan dost sayı çifti formülü ise şöyledir: p n = 3.2n 1 ve q n = 9.22n 1 1 olduğunu varsayalım; eğer q n, p n ve p n 1 asal sayı iseler m = 2(üzeri n)p n-1.p n ve n=2(üzeri n) q n dost sayı olur, burada"m" zaid sayı, "n" ise nakıs sayıdır. Geometri: Hicri III. asırda trigonometrik hesaplamalarda Yunanlıların'ın kullandığı kirişler anlayışı bırakılarak sinüslere dayalı bir trigonometrinin temelleri atıldı. Ancak bu adımı ilk atan kişiyi tespit etmek oldukça karmaşıktır. Ancak en azından Sabit'in Menelaus problemini ilk çözen kişi olduğunu kabul edebilecek delillere sahibiz. Bilindiği üzere Batlamyus küresel astronomi problemlerini çözmek için Menelaus'un "tam küresel dörtgen" teoremini kullanmaktaydı. Sabit, Risale fi Şekl'il-Katta adlı eserinde konuyu yeniden ele aldı ve Menelaus'un teoreminin mükemmel bir ispatını verdi. Sabit ayrıca bu teoremin farklı ve çeşitli formlarını elde etmek için kendi geliştirdiği bileşik oranlar teorisini kullandı. Sabit'in bu çalışması daha sonra Nasiruddin Tusi'nin Kitab fi Şekl'il-Katta adlı eseriyle tamamlandı ve böylece İslam matematiğinde düzlemsel ve küresel trigonometri bir bilim olarak kurulmuş oldu. Sabit b. Kurra'nın İslam geometrisinde ele alıp çözmeye çalıştığı ve kendinden sonra gelecek İslam matematikçilerini, özellikle İbn'ül-Heysem'i, Euclides'in Usul (Elementler)'i şerhinde etkilediği problem ünlü " beşinci postula" problemidir. Sabit bu postulayı ve dolayısıyla paraleller teoremini ispatlamak için iki risale kaleme almıştır: Makale fi Burhan'il-Musadara el-meşhuremin İklidis ve Makale fi Enne'l-Hatteyn İza Ehrace ala Ekalmin Kaimeteyn İltekaya. Bu risaleleler daha sonra beşinci postula konusunda yapılan ispat çalışmalarını derinden etkilemiş ve benzer yaklaşımlar neticede non- Euclidean geometrilere uzanmıştır. Yunan matematiğinde, öncüleri Eudoxos ve Archimedes olan, "tüketme=exhaustion, ifna" yöntemi ile cisimlerin hacimlerini hesaplama yöntemi İslam matematikçileri tarafından da ele alınıp geliştirildi. Özellikle "bir parabolun kendi ekseni etrafında dönmesinden ortaya çıkan cismin hacmi" problemi ile birçok matematikçi uğraştı. Bu problemi İslam matematiğinde ilk olarak Sabit ele aldı ve bir parabolun mihverinde dönmesinden ortaya çıkan cismin hacmini hesapladı. Ancak yöntemi oldukça uzun ve karmaşıktı. Sabit'in tekniği daha sonra el-hazin tarafından tekrar ele alındı. Sabit'in torunu, aşağıda bahsedileceği üzere, İbrahim b. Sinan meseleyi tekrar gündeme getirdi. Daha sonra İbn'ül- Heysem kendinden önce problemle ilgili yapılan bütün çalışmaları tenkit ederek Sabit'in yöntemini

6 geliştirdi. Sabit, bu hesaplama esnasında modern calculuste kullanılan integral hesap tekniğinine benzer bir teknik kullandı. Dolayısı ile Sabit, Smith tarafından Stevin ile beraber calculus hesabın ilk kurucuları arasında gösterilmektedir. Cebir: Harezmi ve İbn Türk'ün çalışmalarından sonra İslam matematikçileri quadratic denklemlerin cebirsel çözümleri için gerekli olan geometrik temellerin antik gelenekten çok Euclides geometrisine dayanması gerektiğini kararlaştırdılar. Bu kararı ilk uygulayan ve muhtemelen ilk çalışmaları, Kavl fi Tashih Mesail'il-Cebr bi'l-berahin el-hendesiyye adlı risalesinde yapan Sabit b. Kurra olmuştur. O bu fikrini öncelikle x(kare)+ bx = c denklemi için hayata geçirdi ve bu denklemin çözümünde Euclides'in takip ettiği geometrik yol ile Harezmi'nin izlediği cebirsel yol arasındaki benzerliklere dikkat çekti. Daha sonra bu yöntemini katışık (mukterenat) denklemlerin x(kare) = bx +c ve x(kare)+c=bx şeklindeki diğer iki türüne uyguladı. Sabit'in açtığı bu "yol"u takip eden Ebu Kamil Şuca b. Eslem ( civ.)35 Kitab fi'l-cebr ve'l-mukabele adlı eserinde tüm cebri Euclides geometrisi üzerinde yeniden kurdu; ancak Harezmi'nin başlattığı cebirsel tavır içinde sayısal örneklendirmeyi de ihmal etmedi. 11. Yüzyıl Arap Ve İslam Matematiği Arapların işgal ettikleri komşularından bilimlerini alma konusunda çok yetenekli oldukları bilinmektedir. Bununla beraber arapların hükümdarlığında pek çok değişik etnik gruptan insanlar yaşamıştır. Yunanlılar, Mısırlılar, İranlılar, Türkler örnek olarak verilebilir. Pek çoğunun ortak özellikleri dinleridir. Aynı zamanda azınlıklara da hoşgörüyle yaklaşılmıştır. Çoğunlukla kullanılan dil arapçadır. Zaman zaman Yunanca ve İbranice kullanıldığı da görülmüştür. Ne var ki öğrenimlerinde yüksek bir dil birlikteliği olduğunu söylemek güçtür. Her zaman ayrılıkçı düşünceler gözlemlenmiştir. Örneğin Thabit ibn-qurra, Yunancayı tercih eden bir toplulukta bulunmasına rağmen kendisi Arapçayı benimsemiştir. Arap matematiğindeki bu kültürel farklılıları gözlemleyebileceğimiz iki isim göz önüne çıkmaktadır, Ebü l Vefa ve El Kerhi. Eserlerinde kimi zaman Hint rakamlarını kullanmışlardır. Bu rakamların Araplara gelişi Sindhind isimli bir astronomi çalışması vasıtasıyla olduğu düşünülür. Kimi zaman da Yunan sayma sistemlerini kullanmmışlardır. Sonunda hint rakamlarının kullanımı galip gelmiştir. Ancak hint rakamları kullananların bile kendi aralarında pek çok farklılıklar gözlemlenmiştir. Kullandığımız sayı sistemi Arap sistemi olarak bilinmektedir. Baktığımızda rakamlarımız bugün Mısır da, Irak ta, İran da, Arabistan da kullanılan rakamlara pek az benzemektedir. Lakin sistem aynı sistemdir. Muhtemelen zamanla bereaber şimdi kullandığımız şekle bürünmüştür. Fakat biliyoruz ki bu sistemin aslı Hintlere dayanmaktadır. Sayılarda olduğu gibi sistemlerde de Yunan ve Hint rekabeti görülmektedir. Astronomik hesaplarda başlangıçta iki çeşit trigonometri görülmekteydi. Birincisi Batlamyus un Almagest inde rastladığımız Yunan çember trigonometrisi, ikincisi de Sindhind den gelen Hint sinüs tabloları. Sayı sistemlerinde olduğu gibi bu alanda da Hint sistemi galip gelmiştir ve Arap trigonometrisi yoğunlukla sinüs fonksyonuna dayanmaktadır. Avrupa ya bu bilgilerin ulaşöası yine Araplar kanalıyl olmuştur. Bu geçişi sağlayan El Battani nin astronomi çalışmaları olmuştur. Bunun yanında El Battani den önce Thabit ibn Kurra nın sinüsü daha önceden kullandığını biliyoruz. Yıldızların Hareketleri Üzerine isimli eserinde El- Battani b=[asin(90-a)]/sina gibi formüller vermiştir. Yüzyıl kadar sonra, tanjant fonksyonunun da yayılmasıyla, bu bağıntı a=b.tana gibi ifade edilmiştir. Bu şekilde modern trigonometriye daha fazla yaklaşıldığı görülmektedir. Hint sinüs fonksyonunun aksine Arap tanjant fonksyonu genellikle birim çember üzerinde çalışılmıştır. Ebü l Vefa nın trigonometrisi daha da sistematik bir hal almış ve trigonometrik iki kat ve yarım açı formülleri ispatlanmıştır. Hint sinüs fonksyonunun Yunan yayının yerini almasına rağmen, Bu önemli gelişmelere Batlamyus ilham kaynağı olmuştur. Batlamyus sinüs teoremini bilmekteydi. Brahmagupta da kullanmıştır sinüs teoremini. Fakat genellikle Ebü l Vefa ya dayandırılmıştır bu teorem.

7 Ebü l Vefa, ayrıca yeni bir sinüs tablosu daha hazırlamıştır. Bu tabloda açılar 10/4 derece aralıklarla değişiyordu ve virgülden sonraki 8 basamağı içeriyordu. Aynı zamanda tanjant tablosuna ve diğer 6 trigonometrik fonksyonlara da katkısı oldu. Ancak bu yeni fonksyonlar kendisinden sonra ortaçağ boyunca çok fazla kullanılmadı. Hindistan da ve Arabistan da genel bir gölge uzunluğu teorisi bulunmuştur. Değişik güneş konumlarına göre birim uzunluğun gölgesini içermektedir. Bu uzunluğu bir çubuk olarak düşünürsek, yatay gölgesinin, dikey durumdaki çubuğun boyunun oranınagüneşin yükselme açısının kotanjantı denirdi. Bunun tersi de güneşin yükselme açısının tanjantı olarak bilinirdi. Gölgenin hipotenüsü, yani çubuğun tepe noktasından gölgenin en ucuna kadar olan mesafe de kosekant fonksyonunu temsil ediyordu. Ebü l Vefa iyi trigonometrici olmasının yanında iyibir cebirciydi de. Harezmi nin El-Cebir i üzerine yorumlar yaptı ve Yunan klasiklerinden Diophantus un Arithmetica sını Yunanca dan çevirdi. Kendisinden sonra gelen El Kerhi bu çevirileri kullanıp Arapça matematik yaptı. Fakat Harezmi gibi kendisini kuadratik denklemlerle sınırlandırmadı. El Kerhi ax^2n+bx^n=c türünden denklemlerin nümerik çözümlerini ilk yapmasıyla bilinir. Böylece Diophantin in rasyonel sayılara olan kısıtlamasından kaçınmıştır. Böylece köklü sayıların kullanımıyla ikinci dereceden daha büyük denklemlerin çözümlerinin yolu da açılmış oldu. Bu dönem, 11. yüzyıl Arap matematiği için çok verimli geçmiştir. Ebü l Vefa ve El Kerhi den başka isimleri daha az anılan matematikçiler de olmuştur. Bunların isimlerinin az anılması öncelikli olarak matematikçi olmamalarından kaynaklanmaktadır. Örneğin İbn_i Sina İslam ın en bilinen bilim insanlarındandır. Fakat kendisi daha çok tıp ve felsefe alanlarında bilinir. Kendisi Matematikçi olarak Öklid den çeviriler yapmıştır. Fakat daha çok astronomi ve fiziğe katkısı olmuştur. İbn-i Sina Yunan öğretisini Arap düşüncesiyle birleştirmiş ve böylece kendisinin çağdaşı olan El-Biruni Arapları ve dolayısıyla da bizleri Hint matematiğiyle tanıştırmıştır. Bize Arşimet in Heron un formülünden haberi olduğunu bildiren de odur. Ayrıca buna, Brahmagupta nın formülüne ve çembersel bir dörtgenin alanı formülüne ispatlar yapmıştır. ÖMER HAYYAM 1048 yılında Nişabur da doğan Ömer Hayyam, daha yaşadığı dönemde İbn-i Sina dan sonra Doğu nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul ediliyordu. Doğunun bilim adamı batının ise en büyük şairlerinden biri olarak bahsettiği Ömer Hayyam matematiğin geometri alanına çok önemli katkılarda bulunmuştur.el Harezminin algebrasının daha ötesine geçerek üçüncü dereceden denklemlerle donattığı kendi algebra kitabını yani Cebir Risaliyesini kaleme almıştır. On bölümden oluşsan Cebir Risaliyesinde kübik denklemleri incelemiş ve bu denklemleri sıralamıştır. Öncüleri gibi dördüncü dereceden denklemlere aritmetik ve geometrik çözümler sunmuştur.üçüncü dereceden denklemlerin aritmetik çözümlenmesinin imkansız olduğunu düşündüğünden bunlara sadece geometrik çözümler getirmiştir.fakat 16. yüzyılda bu düşüncesinde yanıldığı ortaya çıkmıştır.üçüncü dereceden problemleri çözmek için kullanılan kesişen koniler metodu daha önceleri Menaechemus; Archimeds ve Al-hazen tarafından kullanılmıştı.fakat sorunun çözümünde Ömer Hayyam çok önemli bir yenilik getirdi.bu sorunu cetvel ve pusula gibi nesneleri kullanan düzlem geometrisini kullanarak çözmenin imkansız olduğunu çünkü küplü ifade içerdiğini belirtti.çözüm için konik sectionlara ihtiyaç olduğunu söyledi.ömer Hayyam ın üçüncü dereceden denklemlere uyguladığı metod modern bir şekilde ve daha özlüydü.ifadeyi X(küp)+aX(kare)+b(kare)x+c(küp)=0 şeklinde alıp x(kare) yerine 2py koyarız ifade 2pxy+2apy+b(kare)x+c(küp)=0 şekline gelir.ifade bu ekilde hiperbolu temsil ettiginden ve x(kare)=2py ninde parabolayı temsil etmesinden çıkan sonuç,bu iki ifade aynı koordinat düzleminde çizilip kesiştirildiğinde elde edilen noktalar baştaki denklemin köklerini verecektir.ancak matematik bilgisi ve yeteneği zamanın çok ötesinde olan Ömer Hayyam bu çalışmasında negatif kesirli ve sanal kökleri görememişt,sadece pozitif köklere ulaşmayı başaran Ömer Hayyam, ayrıca kübik denklemlerinde bir,en fazla iki kökünü bulabilmiştir.önceki yunanlıların geometrik çözümlerinde katsayılar dogru parçalarıyla ifade edilirken,hayyam bunları belirli sayılarla ifade edebilmişti.arapların yaptığı bir diğer önemli katkıda numerik ve geometrik cebirin arasındaki bağlantıyı sağlamasıydı.ömer

8 Hayyam ayrıca Algebrayı sadece bilinmeyenleri bulmak için kullanılan bir metod olarak algılamak yanlıştır,görünürde geometri ve algebranın farklı olduğu düşüncesi önemli değildir,algebralar kanıtlanmış geometrik doğrulardır, diye düşünüyordu.geometri alanında öklidin çalışmaları üzerinde durmuş ve paralel doğrular teoremine katkıda bulunmuştur.bir kitabında da öklidin aksiyomlarıyla ilgili çalışmalarını toplayan Hayyam öklitin paralellik aksiyomunu başka bir önerme kümesiyle değiştirdi.bunun sonucunda bugün öklit dışı geometride kullanılan geniş,dar ve dik açı hipotezleri ile ilgili biçimlere ulaştı.öklitin yapıtı üzerinde yorumlarında,irrasyonel sayılarında tıpkı rasyonel sayılar gibi kullanılabileceğini kanıtlaması matematik tarihinde bir dönüm noktası olmuştur.ayrıca algebra kitabında belirttiğine göre dördüncü,beşinci, altıncı ve daha yüksek dereceli binom açılımlarına bir çözüm getirmişti ki böyle bir çözüm o zamanlar mevcut değildi.pascal ın üçgen düzenlemesine bir gönderme yaptığı düşünülüyordu.(pascal aynı dönemde Çin de yaşıyordu.)böyle bir tesadüfü açıklamak kolay değildi,fakat sonradan bulunan kanıtlara kadar bağımsız olarak bunu bulduğu düşünüldü.çin ve Arap dünyasın arasındaki iletişim pek kapsamlı değildi fakat İran ve Çin arasındaki ipek yolu vasıtasıyla bu bilgi paylaşılmış olabilirdi.algebra ve trigonometri Arapları geometriden daha çok cezp etmişti fakat öklidin beşinci ilkesine özel bir ilgi göstermişlerdi.bundan başka Ömer Hayyam astronomiylede uğraşmıştı.hayyam İsfahan da üç yıl çalışarak kurduğu rasathanede hem gökyüzünü incelemiş hem de bilimsel çalışmalar yapmıştı.1079 yılında tamamladığı,halk arasında Ömer Hayyam takvimi bugün ise Celali takvimi olarak bilinen takvim için büyük çaba safr etmiştir.güneş yılına göre düzenlenen bu takvim 5000 yılda bir gün hata verirken,bugün kullandığımız Gregoryen takvimi 3330 yılda bir gün hata vermektedir.buda Ömer Hayyam ın döneminin ne denli büyük bilgini olduğunu göstermektedir.ömer Hayyam ın ölümüne yakın dönemlerde bilim arap dünyasında yavaş yavaş önemini yitirmeye başlamıştı.politik ve dini mezhepleşme ve çatışmalar bunun en önemli sebebiydi. REFERANSLAR: David E. Smith, History of Mathematics, val.2, p.603 Carl B. Boyer, A History Of Mathematics atics&printsec=frontcover&source=bl&ots=0siinh7sk8&sig=sqpi2mkjdb3xncw7qoxphamgcfg& hl=tr&ei=6tewscojjagq1qxuqoymaq&sa=x&oi=book_result&resnum=8&ct=result#ppa17,m1

Skolastik Dönem (8-14.yy)

Skolastik Dönem (8-14.yy) Skolastik Felsefe Skolastik Dönem (8-14.yy) Köklü eğitim kurumlarına sahip olma avantajı 787: Fransa da Şarlman tüm kilise ve manastırların okul açması için kanun çıkardı. Üniversitelerin çekirdekleri

Detaylı

Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç

Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç Bartu İNCE Yiğit TUNÇEL Berkay Necmi TAMCI Yusuf Kaan UZAR Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç TRİGONOMETRİ TANIMI Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik

Detaylı

MATE 417 MATEMATİK TARİHİ DÖNEM SONU SINAVI

MATE 417 MATEMATİK TARİHİ DÖNEM SONU SINAVI Öğrenci Bilgileri Ad Soyad: İmza: MATE 417 MATEMATİK TARİHİ DÖNEM SONU SINAVI 23 Ocak 2014 Numara: Grup: Soru Bölüm 1 Bölüm 2 Bölüm 3 21 22 23 24 25 TOPLAM Numarası (1-10) (11-15) (16-20) Ağırlık 20 10

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya SEMİNER Ali Sinan Sertöz 1 KONİ KESİTLERİ Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya 1.1 Başlangıç Koni kesitleri ilk kez eski Yunan da ortaya çıkmıştır. MÖ 350 yıllarında yaşamış olan Menaechmus un koni kesitlerini

Detaylı

FİZİK. Mekanik 12.11.2013 İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ. Mekanik Nedir? Mekanik Nedir?

FİZİK. Mekanik 12.11.2013 İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ. Mekanik Nedir? Mekanik Nedir? İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ 22.10.2013 MEKANİK ANABİLİM DALI Dr. Dilek OKUYUCU Mekanik Nedir? Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin davranışını inceleyen bilim dalıdır. FİZİK Mekanik

Detaylı

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ 2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ YGS sonrası adayları puan getirisinin daha çok olan LYS ler bekliyor. Kalan süre içinde adayların girecekleri testlere kaynaklık eden derslere sabırla çalışmaları

Detaylı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı Ertuğrul US 01.09.2014 MATEMATİK PROGRAMIM Program 6 aylık (24 haftalık) bir programdır. Konuların veriliş sırasına uyularak çalışılması

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

MANASTIR TIBBI (Monastic Medicine)

MANASTIR TIBBI (Monastic Medicine) MANASTIR TIBBI (Monastic Medicine) Hipokratik-Galenik Tıp ekolunun devamı Cerrahi teknikler bilinmesine rağmen, yüksek enfeksiyon riski nedeniyle zorunlu haller dışında pek uygulanmıyor Tam olarak hangi

Detaylı

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir.

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir. MATE417 ÇALIŞMA SORULARI A) Doğru/Yanlış : Aşağıdaki ifadelerin Doğru/Yanlış olduğunu sorunun altındaki boş yere yazınız. Yanlış ise nedenini açıklayınız. 1. Matematik ile ilgili olabilecek en eski buluntu,

Detaylı

17. yy. Dehalar Yüzyılı

17. yy. Dehalar Yüzyılı 17. yy. Dehalar Yüzyılı 20. yy a kadar her bilimsel gelişmeyi etkilediler. 17. yy daki bilimsel devrimin temelleri 14.yy. da atılmıştı fakat; Coğrafi keşifler ile ticaret ve sanayideki gelişmeler sayesinde

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK Hazırlayan: Sunan: Muhammed ERKUŞ Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK 20047095 20043193 FİBONACCİ SAYILARI ve ALTIN ORAN Fibonacci Kimdir? Leonardo Fibonacci (1175-1250) Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın

Detaylı

DERS ÖĞRETİM PLANI. Prof. Dr. Yaşar AYDINLI

DERS ÖĞRETİM PLANI. Prof. Dr. Yaşar AYDINLI DERS ÖĞRETİM PLANI TÜRKÇE 1 Dersin Adı: Ortaçağ ve Rönesans ta Felsefe 2 Dersin Kodu: FLS 1012 3 Dersin Türü: Zorunlu 4 Dersin Seviyesi: Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 6 Dersin Verildiği Yarıyıl: 7 Dersin

Detaylı

Murat Kaya / Rehber Öğretmen www.psikorehberim.com 1

Murat Kaya / Rehber Öğretmen www.psikorehberim.com 1 MATEMATİK Sayılar 9 6 7 6 9 8 9 7 8 6 8 9 6 4 5 Üslü-Köklü İfadeler 4 5 4 2 2 1 1 3 2 4 2 4 2 4 2 Oran ve Orantı 1-3 1 1 1 2-1 2 1 1-1 1 Çarpanlara Ayırma 3 3 2 3 1 3-3 1 1 4 4 4 4 1 Denklemler-Problem

Detaylı

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ 10.12.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 03) KONU DAĞILIMLARI

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ 10.12.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 03) KONU DAĞILIMLARI Paragraf 4 Sözcükte Anlam 3 Edebi Türler 1 Noktalama 2 Dillerin Sınıflandırılması 1 Şiir Bilgisi 9 İletişim 1 Dilin İşlevleri 2 Ses Olayları 1 Dil Dışı Göstergeler 1 TÜRKÇE Yazım Kuralları 2 Dil ve Kültür

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir.

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir. Sayfa 1/10 MATE417 DÖNEM SONU SINAVI İÇİN ÇALIŞMA SORULARI A) Doğru/Yanlış : Aşağıdaki ifadelerin Doğru/Yanlış olduğunu sorunun altındaki boş yere yazınız. Yanlış ise nedenini açıklayınız. 1. Matematik

Detaylı

VAN HIELE GEOMETRİ ANLAMA DÜZEYLERİ

VAN HIELE GEOMETRİ ANLAMA DÜZEYLERİ VAN HIELE GEOMETRİ ANLAMA DÜZEYLERİ Van Hiele teorisi, 1957 de, iki matematik eğitimcisi olan Pier M. Van Hiele ve eşi Dina van Hiele-Gelfod tarafından Ultrehct üniversitesindeki doktora çalışmaları sırasında

Detaylı

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03 I 5. SINIF MATEMATİK VE İŞLEMLER 1.1. En çok dokuz basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 1.2. En çok dokuz basamaklı doğal sayıların bölüklerini, basamaklarını ve rakamların basamak değerlerini belirtir.

Detaylı

Tefsir, Kıraat (İlahiyat ve İslâmî ilimler fakülteleri)

Tefsir, Kıraat (İlahiyat ve İslâmî ilimler fakülteleri) ARAŞTIRMA ALANLARI 1 Kur an İlimleri ve Tefsir Kur an ilimleri, Kur an tarihi, tefsir gibi Kur an araştırmalarının farklı alanlarına dair araştırmaları kapsar. 1. Kur an tarihi 2. Kıraat 3. Memlükler ve

Detaylı

EMEVİLER VE ABBASİLER DÖNEMİ

EMEVİLER VE ABBASİLER DÖNEMİ EMEVİLER VE ABBASİLER DÖNEMİ DERS NOTLARI VE ŞİFRE TANER ÖZDEMİR DETAY TARİHÇİ TÜRK TELEKOM NURETTİN TOPÇU SOSYAL BİLİMLER LİSESİ TARİH ÖĞRETMENİ EMEVİLER Muaviye tarafından Şam da kurulan ve yaklaşık

Detaylı

İLK ÇAĞ UYGARLIKLARI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI MISIR UYGARLIĞI İRAN UYGARLIĞI HİNT UYGARLIĞI ÇİN UYGARLIĞI DOĞU AKDENİZ UYGARLIĞI

İLK ÇAĞ UYGARLIKLARI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI MISIR UYGARLIĞI İRAN UYGARLIĞI HİNT UYGARLIĞI ÇİN UYGARLIĞI DOĞU AKDENİZ UYGARLIĞI İLK ÇAĞ UYGARLIKLARI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI MISIR UYGARLIĞI İRAN UYGARLIĞI HİNT UYGARLIĞI ÇİN UYGARLIĞI DOĞU AKDENİZ UYGARLIĞI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI Kelime anlamı İki nehrin arası olan Mezopotamya,

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1-Anlatım 2-Soru ve Cevap 3-Sunum 4-Tartışma

1-Anlatım 2-Soru ve Cevap 3-Sunum 4-Tartışma DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS ARAP DİLİ VE EDEBİYATI I İLH 103 1 2+0 2 3 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans Yüz Yüze / Zorunlu

Detaylı

GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ EDEBİYAT FAKÜLTESİ Felsefe Bölümü DERS İÇERİKLERİ

GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ EDEBİYAT FAKÜLTESİ Felsefe Bölümü DERS İÇERİKLERİ GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ EDEBİYAT FAKÜLTESİ Felsefe Bölümü DERS İÇERİKLERİ I.SINIF I.YARIYIL FL 101 FELSEFEYE GİRİŞ I Etik, varlık, insan, sanat, bilgi ve değer gibi felsefenin başlıca alanlarının incelenmesi

Detaylı

2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI

2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI MEHMET ÖZÖNCEL ANADOLU LİSESİ REHBERLİK SERVİSİ 2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI TÜRKÇE 2013 YGS soruları geçmiş yıllardaki sınav müfredatına uygun olarak geldiği söylenebilir. 2013 YGS soruları,

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN Konu Anlatımlı Örnek Çözümlü Test Çözümlü Test Sorulu Karma Testli GEOMETRİ 1 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı

İslam Ahlâk Düşüncesi Projesi

İslam Ahlâk Düşüncesi Projesi Ahlâk Düşüncesi Projesi İSLAM İSLAMAHLÂK AHLÂKDÜŞÜNCESİ DÜŞÜNCESİ PROJESİ PROJESİ düşüncesi düşüncesiiçerisinde içerisindepek pekçok çokdisiplin disiplintarafından tarafındantartıtartışılagelmiş şılagelmiş

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

İbn-i Sina. Kadızade Rumi

İbn-i Sina. Kadızade Rumi İbn-i Sina İbn-i Sina 980 senesinde Buhara yakınlarında doğmuş bir İslam filozofu ve tıp bilginidir. Önce babasından daha sonra da dönemin ünlü bilginlerinden mantık, matematik ve gökbilim öğrenimi görmüş,

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

Bölüm 1: Felsefeyle Tanışma

Bölüm 1: Felsefeyle Tanışma İÇİNDEKİLER Bölüm 1: Felsefeyle Tanışma 1. FELSEFE NEDİR?... 2 a. Felsefeyi Tanımlamanın Zorluğu... 3 i. Farklı Çağ ve Kültürlerde Felsefe... 3 ii. Farklı Filozofların Farklı Felsefe Tanımları... 5 b.

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

Trigonometrik Dönüşümlerin Fiziksel Yorumu

Trigonometrik Dönüşümlerin Fiziksel Yorumu S a y f a 1 Trigonometrik Dönüşümlerin Fiziksel Yorumu Giriş Çoğumuz, trigonometrik dönüşüm formüllerini aklımızda tutmakta güçlük çekiyoruz. Ancak her şeyin bir kolay yolu var. Trigonometrik dönüşüm formüllerini

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ GÖNEN MESLEK YÜKSEKOKULU TURİZM VE OTELCİLİK BÖLÜMÜ İNANÇ TURİZMİ

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ GÖNEN MESLEK YÜKSEKOKULU TURİZM VE OTELCİLİK BÖLÜMÜ İNANÇ TURİZMİ T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ GÖNEN MESLEK YÜKSEKOKULU TURİZM VE OTELCİLİK BÖLÜMÜ İNANÇ TURİZMİ DANIŞMAN:Özer YILMAZ HAZIRLAYAN: Erşad TAN,Tacettin TOPTAŞ İÇİNDEKİLER GİRİŞ I-İNANÇ TURİZMİ A- İnanç Kavramı

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Ders/Ünite: MATEMATİK GEOMETRİ Uzun Dönemli Amaçlar: 1. Geometrik şekiller arasındaki ilişkiyi kavrar

Ders/Ünite: MATEMATİK GEOMETRİ Uzun Dönemli Amaçlar: 1. Geometrik şekiller arasındaki ilişkiyi kavrar Adı Soyadı: Sınıfı: HAFİF ZİHİNSEL 4/... No: Ders/Ünite:MATEMATİK ÖLÇÜLER Uzun Dönemli Amaçlar 1. Ölçüleri kavrar Ders/Ünite: MATEMATİK GEOMETRİ 1. Geometrik şekiller arasındaki ilişkiyi kavrar Öğretim

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS. Siyasal Düşünceler Tarihi PSIR 201 3 3 + 0 3 5

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS. Siyasal Düşünceler Tarihi PSIR 201 3 3 + 0 3 5 DERS BİLGİLERİ Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS Siyasal Düşünceler Tarihi PSIR 201 3 3 + 0 3 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu Dersin Koordinatörü

Detaylı

Batı Toplumuna İlk Kez Rakip Çıkardık

Batı Toplumuna İlk Kez Rakip Çıkardık Batı Toplumuna İlk Kez Rakip Çıkardık İslam Coğrafyasının en batısı ile en doğusunu bir araya getiren Asya- Afrika- Balkan- Ortadoğu Üniversiteler Konseyi Kuzey Kıbrıs Türk Cumhuriyetinde resmen kuruldu.

Detaylı

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS. Çin Halk Cumhuriyeti nde Toplum ve Siyaset PSIR 452 7-8 3 + 0 3 6. Ön Koşul Dersleri -

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS. Çin Halk Cumhuriyeti nde Toplum ve Siyaset PSIR 452 7-8 3 + 0 3 6. Ön Koşul Dersleri - DERS BİLGİLERİ Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS Çin Halk Cumhuriyeti nde Toplum ve Siyaset PSIR 452 7-8 3 + 0 3 6 Ön Koşul Dersleri - Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Seçmeli

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE DOĞRULAR VE AÇILAR. Aynı düzlemde olan üç doğrunun birbirine göre durumlarını belirler ve inşa eder.. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıların eş olanlarını ve bütünler olanlarını

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI -6.09.0 DÖNÜŞÜM Sİ 5-9.09.0 ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER SİDRE 000 ORTAOKULU 0 05 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI,. Doğru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler

Detaylı

Harranlı matematikçilerin matematiğin oluşumundaki katkıları 1

Harranlı matematikçilerin matematiğin oluşumundaki katkıları 1 Harranlı matematikçilerin matematiğin oluşumundaki katkıları 1 İhsan Fazlıoğlu Bilim ve düşünce tarihi yazıcılığında, İslam medeniyeti ndeki ilmî ve felsefî faaliyetlerinin hangi saiklerle başladığına

Detaylı

DERS PROFİLİ. Siyaset Kuramı I POLS 305 Güz 5 3+0+0 3 5

DERS PROFİLİ. Siyaset Kuramı I POLS 305 Güz 5 3+0+0 3 5 DERS PROFİLİ Dersin Adı Kodu Yarıyıl Dönem Kuram+PÇ+Lab (saat/hafta) Kredi AKTS Siyaset Kuramı I POLS 305 Güz 5 3+0+0 3 5 Ön Koşul Yok Dersin Dili Ders Tipi Dersin Okutmanı Dersin Asistanı Dersin Amaçları

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

Sosyal Etki Teorisi. Sunan: M.Benan YAZICIOĞLU Sunum Tarihi: 27.02.2014

Sosyal Etki Teorisi. Sunan: M.Benan YAZICIOĞLU Sunum Tarihi: 27.02.2014 Sosyal Etki Teorisi Sunan: M.Benan YAZICIOĞLU Sunum Tarihi: 27.02.2014 Sosyal Etki ve Uyma Davranışı Sosyolojinin, toplumun bütününü kapsayan kanunu insan toplum hayatı yaşar kanunudur. İnsan bir toplumda

Detaylı

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov)

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) 04 Kasım 010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) Soru 1. Şamandıra. Genç ama yetenekli fizikçi Ali bir yaz boyunca, Karabulak köyünde misafirdi. Bir gün isimi

Detaylı

Dersin Adı İSLAM TARİHİ Sınıf 12 İSLAM TARİHİ

Dersin Adı İSLAM TARİHİ Sınıf 12 İSLAM TARİHİ Dersin Adı İSLAM TARİHİ Sınıf 12 İSLAM TARİHİ Tarihi Öğretim Yılı Dönemi Sırası 2014-2015 2 1 B GRUBU SORULARI 12.Sınıflar Öğrencinin Ad Soyad No Sınıf Soru 1: Aşağıdaki yer alan ifadelerde boşluklara

Detaylı

KAMU YÖNETİMİ PROGRAMI

KAMU YÖNETİMİ PROGRAMI İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ KAMU YÖNETİMİ PROGRAMI SİYASAL DÜŞÜNCELER TARİHİ YARD. DOÇ. DR. MUSTAFA GÖRKEM DOĞAN 7. ERKEN MODEN DÖNEMDE SİYASAL DÜŞÜNCE 7 ERKEN MODEN DÖNEMDE

Detaylı

Üçüncü Uluslararası Matematik ve Fen Araştırması (TIMSS) Nedir? Neyi Sorgular? Örnek Geometri Soruları ve Etkinlikler

Üçüncü Uluslararası Matematik ve Fen Araştırması (TIMSS) Nedir? Neyi Sorgular? Örnek Geometri Soruları ve Etkinlikler Üçüncü Uluslararası Matematik ve Fen Araştırması (TIMSS) Nedir? Neyi Sorgular? Örnek Geometri Soruları ve Etkinlikler Yard. Doç. Dr. Sinan Olkun Arş. Gör. Tuba Aydoğdu Abant İzzet Baysal Üniversitesi,

Detaylı

ÜÇ KENAR UZUNLUĞU BELLİ OLAN ÜÇGENLERDE İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM UYGULAMALARI

ÜÇ KENAR UZUNLUĞU BELLİ OLAN ÜÇGENLERDE İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM UYGULAMALARI PROJE RAPORU ÜÇ KENAR UZUNLUĞU BELLİ OLAN ÜÇGENLERDE İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM UYGULAMALARI Geçmiştengünümüze Matematik anlaşılması zor bir bilim dalı olarak görülmüştür.oysa mantığını bir kez kavradığımızda

Detaylı

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu AKTS Kredisi 5 T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI Dersin adı: 2013-14 Güz Yarıyılı Genel Matematik I Dersin Kodu emat 151 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu 3 s/hafta

Detaylı

Murat Çokgezen. Prof. Dr. Marmara Üniversitesi

Murat Çokgezen. Prof. Dr. Marmara Üniversitesi Murat Çokgezen Prof. Dr. Marmara Üniversitesi 183 SORULAR 1. Ne zaman, nasıl, hangi olayların, okumaların, faktörlerin veya kişilerin tesiriyle ve nasıl bir süreçle liberal oldunuz? 2. Liberalleşmeniz

Detaylı

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler."

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. Skaler ve Vektörel Büyüklükler. KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler." Eğitişim Dergisi. Sayı: 15 (Mayıs 2007). SKALER VE VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Prof. Dr. Oktay Hüseyin (Guseinov) Hayvanların en basit

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 06) KONU DAĞILIMLARI

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 06) KONU DAĞILIMLARI 14.04.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 06) Cümle Öğesi 2 Cümle Yapısı 2 İsim Tamlaması 1 Sözcükte Anlam 4 Sözcükte Yapı 2 Ses Bilgisi 1 Yazım Kuralları 1 Noktalama 1 Cümlede Anlam 5

Detaylı

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER KODLAB

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER KODLAB İÇİNDEKİLER IX İÇİNDEKİLER 1 GİRİŞ 1 Kitabın Amacı 1 Algoritmanın Önemi 2 Bilgisayarın Doğuşu ve Kullanım Amaçları 3 Programlama Dili Nedir? 3 Entegre Geliştirme Ortamı (IDE) Nedir? 4 2 ALGORİTMA VE AKIŞ

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

SANAT FELSEFESİ. Sercan KALKAN Felsefe Öğretmeni

SANAT FELSEFESİ. Sercan KALKAN Felsefe Öğretmeni SANAT FELSEFESİ Sercan KALKAN Felsefe Öğretmeni Estetik güzel üzerine düşünme, onun ne olduğunu araştırma sanatıdır. A.G. Baumgarten SANATA FELSEFE İLE BAKMAK ESTETİK Estetik; güzelin ne olduğunu sorgulayan

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

TEMEL İSLAM BİLİMLERİ ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS DERSLERİ DERSİN KODU VE ADI TEZ 5000 Yüksek Lisans Tezi TİB 5010 Seminer UAD 8000 Uzmanlık Alan

TEMEL İSLAM BİLİMLERİ ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS DERSLERİ DERSİN KODU VE ADI TEZ 5000 Yüksek Lisans Tezi TİB 5010 Seminer UAD 8000 Uzmanlık Alan TEMEL İSLAM BİLİMLERİ ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS DERSLERİ TİB 5010 Seminer UAD 8000 Uzmanlık Alan Dersi I UAD 8001 Uzmanlık Alan Dersi-II TİB 5660 Hadiste Sened ve Metin Tenkidi TİB 5190 Mukayeseli Hadis

Detaylı

ASTRONOMİ TARİHİ. 2. Bölüm Antik Astronomi. Serdar Evren 2013

ASTRONOMİ TARİHİ. 2. Bölüm Antik Astronomi. Serdar Evren 2013 ASTRONOMİ TARİHİ 2. Bölüm Antik Astronomi Serdar Evren 2013 Fotoğraf: Eski Yunan mitolojisinde sırtında gök küresini taşıyan astronomi tanrısı, ATLAS. En Eski Astronomi (Antik veya Teleskop Öncesi) Kültürel

Detaylı

2014-2015 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI.. LİSESİ TARİH I DERSİ BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI (BEP) FORMU

2014-2015 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI.. LİSESİ TARİH I DERSİ BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI (BEP) FORMU EYLÜL - EKİM I.ÜNİTE :TARİH BİLİMİ Kaynaştırma *İşlenen ve anlatılan konular aracılığı ile öğrenci tarihin tanımı eğitimine tabi olan * Tarihin zamanla alakalı bir bilim olduğunu kavrar. hakkında bilgi

Detaylı

3. SINIF MATEMATİK 1. KİTAP

3. SINIF MATEMATİK 1. KİTAP . SINIF MATEMATİK 1. KİTAP Bu kitabın bütün hakları Hacer KÜÇÜKAYDIN a aittir. Yazarın yazılı izni olmaksızın kısmen veya tamamen alıntı yapılamaz ve çoğaltılamaz. Copyright 2015 YAZAR Ahmet KÜÇÜKAYDIN

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK. İstanbul, 2009

Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK. İstanbul, 2009 i Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK Yrd.Doç.Dr. Kamil TEMİZYÜREK Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi Yrd.Doç.Dr. Nurdan ÇOLAKOĞLU Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi İstanbul, 2009 ii Yay

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

DİN KÜLTÜRÜ ve AHLAK BİLGİSİ SINAV TARİHİ: 19.03.2014

DİN KÜLTÜRÜ ve AHLAK BİLGİSİ SINAV TARİHİ: 19.03.2014 DİN KÜLTÜRÜ ve AHLAK BİLGİSİ SINAV TARİHİ: 19.03.2014 5. SINIF DİN KÜLTÜRÜ ve AHLAK BİLGİSİ DERSİ 1.YAZILI KONULARI 4. Ünite Kur an-ı Kerimin Temel Eğitici Nitelikleri İslam Dininin Temel Kaynağı Kur an

Detaylı

ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI MATEMATĐK EĞĐTĐMĐ BĐLĐM DALI YÜKSEK LĐSANS PROGRAMI 2013-2014 EĞĐTĐM ÖĞRETĐM PLANI GÜZ YARIYILI DERSLERĐ

ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI MATEMATĐK EĞĐTĐMĐ BĐLĐM DALI YÜKSEK LĐSANS PROGRAMI 2013-2014 EĞĐTĐM ÖĞRETĐM PLANI GÜZ YARIYILI DERSLERĐ ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI MATEMATĐK EĞĐTĐMĐ BĐLĐM DALI YÜKSEK LĐSANS PROGRAMI 2013-2014 EĞĐTĐM ÖĞRETĐM PLANI GÜZ YARIYILI DERSLERĐ Kodu Adı T U AKTS Ders Türü ĐME 500* Seminer 0 2 6 Zorunlu ĐME 501 Eğitimde

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Bilim Tarihi YDA 314 6 2+0 2 2

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Bilim Tarihi YDA 314 6 2+0 2 2 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Bilim Tarihi YDA 314 6 2+0 2 2 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans Zorunlu / Yüz Yüze Dersin Koordinatörü

Detaylı

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS EKONOMİYE GİRİŞ I ECON 111 1 3 + 0 3 7. Yrd. Doç. Dr. Alper ALTINANAHTAR

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS EKONOMİYE GİRİŞ I ECON 111 1 3 + 0 3 7. Yrd. Doç. Dr. Alper ALTINANAHTAR DERS BİLGİLERİ Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS EKONOMİYE GİRİŞ I ECON 111 1 3 + 0 3 7 Ön Koşul Dersleri - Dersin Dili İngilizce Dersin Seviyesi Lisans Dersin Türü Dersin Koordinatörü Dersi Verenler

Detaylı

DERS BİLGİLERİ. Uygulamalı İşletme İstatistiği BBA 282 Bahar 3+0+0 3 5

DERS BİLGİLERİ. Uygulamalı İşletme İstatistiği BBA 282 Bahar 3+0+0 3 5 DERS BİLGİLERİ Ders Kodu Yarıyıl T+U+L Saat Kredi AKTS Uygulamalı İşletme İstatistiği BBA 282 Bahar 3+0+0 3 5 Ön Koşul Dersleri - Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu Dersin

Detaylı

DUVAR KAĞIDI GRUPLARI

DUVAR KAĞIDI GRUPLARI DUVAR KAĞIDI GRUPLARI Fulya Taştan Bir düzlemi (odanın zeminini, voleybol sahasını) bir çeşit karoyla kaplayabilmek için birbirinden bağımsız en azından iki yönde karoları ötelemek gerekir elbette. Bunu

Detaylı

İlkçağ Anadolu Uygarlıklarında Sosyo-Ekonomik ve Kültürel Yapı Bağlamında Kütüphane/Arşiv Kurumu

İlkçağ Anadolu Uygarlıklarında Sosyo-Ekonomik ve Kültürel Yapı Bağlamında Kütüphane/Arşiv Kurumu İlkçağ Anadolu Uygarlıklarında Sosyo-Ekonomik ve Kültürel Yapı Bağlamında Kütüphane/Arşiv Kurumu Prof. Dr. Bülent Yılmaz Hacettepe Üniversitesi Bilgi ve Belge Yönetimi Bölümü E-posta : byilmaz@hacettepe.edu.tr

Detaylı

11. SINIF KONU TARAMA TESTLERİ LİSTESİ / DİL VE ANLATIM

11. SINIF KONU TARAMA TESTLERİ LİSTESİ / DİL VE ANLATIM 11. SINIF KONU TARAMA TESTLERİ LİSTESİ / DİL VE ANLATIM Metinlerin Sınıflandırılması - I Metinlerin Sınıflandırılması - II Metinlerin Sınıflandırılması (Etkinlik) Öğretici Metinler-1 (Mektup) Öğretici

Detaylı

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

Emeviler ve Abbasiler Dönemi (8. 10. Yüzyıllar)

Emeviler ve Abbasiler Dönemi (8. 10. Yüzyıllar) Emeviler ve Abbasiler Dönemi (8. 10. Yüzyıllar) Kaynaklar: Suçin, Mehmet Hakkı (forthcoming) Arapça Çeviri Geleneği: Altın Dönem. Journal of Turkish Studies, Cem Dilçin Armağanı, Zehra Toska (ed.). Harvard

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MATEMATİK TARİHİ. 3. Dönem. Hint, İslam ve Rönesans Matematik Dönemi. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 1

MATEMATİK TARİHİ. 3. Dönem. Hint, İslam ve Rönesans Matematik Dönemi. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 1 MATEMATİK TARİHİ 3. Dönem Hint, İslam ve Rönesans Matematik Dönemi Derleyen: Ersin Kuset Bodur 1 Hint Matematiği HİNT YARIMADASINDAKİ MEDENİYETLER Derleyen: Ersin Kuset Bodur 2 HARAPPAN DÖNEMİ (MÖ 2600

Detaylı

Bilimsel Yasa Kavramı. Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014

Bilimsel Yasa Kavramı. Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014 Bilimsel Yasa Kavramı Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014 Bilimsel yasa her şeyden önce genellemedir. Ama nasıl bir genelleme? 1.Bekarla evli değildir. 2. Bahçedeki elmalar kırmızıdır 3. Serbest

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİNİN TARİHÇESİ

ANALİTİK GEOMETRİNİN TARİHÇESİ ANALİTİK GEOMETRİNİN TARİHÇESİ Hazırlayanlar 10/A 131 Duygu ÇAM 10/A 63 Elif KANTAR 10/A 182 Kerem KANTAR 10/A 171 Mine YILDIRIM Rehber Öğretmen Belkıs ARGIT İÇİNDEKİLER Teşekkür Önsöz Analitik Geometride

Detaylı

KÂĞIDA İŞLENEN UYGARLIK- Kâğıdın Tarihi ve İslam Dünyasına Etkisi, Jonathan M. Bloom (trc. Zülal Kılıç), Kitap Yayınevi, İstanbul 2003, 336 s.

KÂĞIDA İŞLENEN UYGARLIK- Kâğıdın Tarihi ve İslam Dünyasına Etkisi, Jonathan M. Bloom (trc. Zülal Kılıç), Kitap Yayınevi, İstanbul 2003, 336 s. sakarya üniversitesi ilahiyat fakültesi dergisi 11 / 2005, s. 251-255 kitap tanıtımı KÂĞIDA İŞLENEN UYGARLIK- Kâğıdın Tarihi ve İslam Dünyasına Etkisi, Jonathan M. Bloom (trc. Zülal Kılıç), Kitap Yayınevi,

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

4. SINIFLAR PYP VELİ BÜLTENİ. (30 Mart 15 Mayıs 2015 )

4. SINIFLAR PYP VELİ BÜLTENİ. (30 Mart 15 Mayıs 2015 ) 4. SINIFLAR PYP VELİ BÜLTENİ (30 Mart 15 Mayıs 2015 ) Sayın Velimiz, Okulumuzda yürütülen PYP çalışmaları kapsamında; disiplinler üstü temalarımız ile ilgili uygulama bilgileri size tüm yıl boyunca her

Detaylı

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR SELİM HADAR DANIŞMAN ÖĞRETMEN SANDRA GÜNER ULUS ÖZEL MUSEVİ

Detaylı

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS İSTATİSTİK MATH 176 2 3 + 0 3 5. Program Öğrenim Çıktıları 1,5 2,3 2,5,12 8,12 1,2,5 2,12 1,3,4

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS İSTATİSTİK MATH 176 2 3 + 0 3 5. Program Öğrenim Çıktıları 1,5 2,3 2,5,12 8,12 1,2,5 2,12 1,3,4 DERS BİLGİLERİ Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS İSTATİSTİK MATH 176 2 3 + 0 3 5 Ön Koşul Dersleri - Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Almanca Lisans Zorunlu Dersin Koordinatörü Dersi Verenler

Detaylı