MATEMATİKSEL ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ

Transkript

1 İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN MATEMATİKSEL ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ Editörler: Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar 3. Baskı

2 Editörler: Yrd. Doç. Dr. Erhan BİNGÖLBALİ Yrd. Doç. Dr. Mehmet Fatih ÖZMANTAR İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN MATEMATİKSEL ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2012, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1. Baskı: Ekim Baskı: Eylül 2012 Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Tarcan Matbaası (Ankara ) Yayınevi Sertifka No: Matbaa Sertifika No: İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay/ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: E-ileti: pegem@pegem.net

3 KATKIDA BULUNAN YAZARLAR Gülseren Karagöz Akar, Bogaziçi Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır yılları arasında Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümünden lisans, 2001 yılında Amerika Birleşik Devletleri Pennsylvania State Üniversitesi Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans ve yine aynı üniversiteden 2007 yılında Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini almıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmalarına devam eden Karagöz Akar ın ilgi ve çalışma alanları arasında matematik konularının kavramsal olarak anlaşılması ve kavramsal gelişimi, öğretmen eğitimi, üniversite ve lise seviyesinde matematik eğitimi, öğrenme ve öğretime yönelik farklı perspektifler özellikle ön plana çıkan alanlardır. Yılmaz Aksoy, Erciyes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Đlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır yılında Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Öğretmenliği Bölümünden lisans, 2001 yılında Paris Descartes-Sorbonne Üniversitesi Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans ve Gazi Üniversitesinden 2007 yılında Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini almıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmalarına devam eden Aksoy, ilgi ve çalışma alanları arasında matematik öğretiminde teknoloji kullanımı, öğretmen eğitimi ve üniversite seviyesinde matematik eğitimi ön plana çıkan alanlardır. Cengiz Alacacı Bilkent Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsünde öğretim üyesidir. Orta Doğu Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi matematik öğretmenliği bölümünden lisans, aynı alanda Amerika Birleşik Devletleri Illinois eyaleti Southern Illinois Üniversitesi nden yüksek lisans,ve Pennsylvania eyaletindeki Pittsburgh Universitesi nden doktora derecesini almıştır. Bilkent Üniversitesi ne katılmadan önce Florida International Universitesi nde öğretim üyesi olarak çalışmış ve bu kurumda doçentlik ünvanını almıştır. Cengiz Alacacı öğretmen eğitimi, matematik öğretiminde problem çözme, istatistik eğitimi, karşılaştırmalı matematik eğitimi alanlarında çalışmalarını sürdürmektedir. Selahattin Arslan, 2005 yılından beri Karadeniz Teknik Üniversitesi Fatih Eğitim Fakültesi Đlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalında görev yapmaktadır yılında Đnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi nden matematik öğretmeni unvanı ile mezun olduktan sonra Yurtdışı Lisansüstü Eğitim (YLS) sınavını kazanarak 1999 yılında Milli Eğitim Bakanlığı tarafından resmi burslu statüde Fransa ya gönderildi. Yüksek lisansını 2000 yılında Paris Denis Diderot Üniversitesi nde tamamlayan yazar, doktorasını 2005 yılında Grenoble Joseph Fourier Üniversitesi nde Đnformatik ve Matematik Eğitimi alanında tamamlamıştır. Yazarın ilgi alanları bilgisayar destekli matematik öğretimi, Analiz kavramlarının öğretimi ve öğretmen eğitimidir. iii

4 İbrahim Bayazıt, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği Bölümünden 1992 yılında mezun olduktan sonra ilk ve orta dereceli okullarda matematik öğretmeni olarak görev yapmıştır. Milli Eğitim Bakanlığı yurt dışı lisansüstü eğitimi bursunu kazanan İbrahim Bayazıt 2001 yılında Leeds Üniversitesinde/İngiltere Matematik Eğitimi alanında Yüksek Lisans ve yine aynı alanda 2005 yılında Warwick Üniversitesinde/İngiltere doktora eğitimini tamamlamıştır. Halen Erciyes Üniversitesi Eğitim Fakültesinde öğretim üyesi olarak görev yapmakta olan İbrahim Bayazit sınıf içi öğretim yaklaşımlarının öğrencilerdeki matematiksel düşüncenin gelişimi üzerindeki etkileri konusunda araştırmalarına devam etmektedir. Erhan Bingölbali, Gaziantep Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır yılında Uludağ Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümünden lisans, 2001 yılında İngiltere Leeds Üniversitesi Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans ve yine aynı üniversiteden 2005 yılında Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini almıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmalarına devam eden Bingölbali, ilgi ve çalışma alanları arasında öğretmen eğitimi, matematik öğretiminde teknoloji kullanımı, üniversite seviyesinde matematik eğitimi, öğrenme ve öğretime yönelik farklı perspektifler özellikle ön plana çıkan alanlardır. Mine Işıksal Bostan, Orta Doğu Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümünde Öğretim Üyesi olarak çalışmaktadır yılında ODTÜ Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği bölümünden Lisans, 2002 ve 2006 yıllarında ODTÜ Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi bölümünden sırasıyla Yüksek Lisans ve Doktora derecesini almıştır yılında misafir araştırmacı olarak The University of Georgia da, 2007 yılında ise doktora sonrası çalışmalar yapmak üzere The State University of New York ta bulunmuştur. Öğretmen eğitimi, Matematik öğretiminde yeni yaklaşımlar, matematik öz-yeterlik algısı ve matematik kaygısı alanlarında çalışmalarına devam etmektedir. Abdulkadir Erdoğan, 1997 yılında Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik bölümünden mezun olmuştur. Milli Eğitim Bakanlığının yurtdışı yükseköğretim bursu ile Fransa da matematik eğitimi alanında 2001 yılında Claude Bernard Lyon 1 Üniversitesinde yüksek lisansını ve 2006 yılında Denis Diderot Paris 7 Üniversitesinde doktorasını tamamlamıştır. Erdoğan şu anda Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Öğretmenliği programında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. Erdoğan ın temel çalışma konuları arasında matematikte öğrencilerin bireysel çalışmaları, içerik analizi, matematik öğretimi programlarının geliştirilmesi ve matematik kültürünün yaygınlaştırılması yer almaktadır. iv

5 Emel Özdemir Erdoğan, 1996 yılında Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümünden mezun olmuştur. Milli Eğitim Bakanlığının yurtdışı yükseköğretim bursu ile Fransa da matematik eğitimi alanında 2001 yılında Claude Bernard Lyon 1 Üniversitesinde yüksek lisansını ve 2006 yılında Denis Diderot Paris 7 Üniversitesinde doktorasını tamamlamıştır. Şu anda Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Öğretmenliği programında öğretim üyesi olarak çalışan Özdemir Erdoğan matematik eğitiminde teknoloji kullanımı, öğretmen pratikleri ve popüler matematik konularıyla ilgilenmektedir. Sibel Kazak, Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. Matematik eğitimi alanında 1998 yılında Orta Doğu Teknik Üniversitesi'nden lisans, 2001 yılında Pennsylvania Eyalet Üniversitesi'nden yüksek lisans ve 2006 yılında Washington Üniversitesi'nden doktora derecelerini almıştır. Doktora sonrasında Massachusetts Üniversitesi'nde (Amherst) Profesor Cliff Konold ile birlikte Model Chance adlı projede çalıştı. Bu projede, 6-8. sınıflarda olasılık ve veri analizi konularının öğretilmesinde kullanılabilinecek sınıf içi öğretim materyalleri ile bir veri analizi yazılımı olan TinkerPlots'a entegre edilen olasılık simülasyon yazılımının geliştirilmesi konularında çalışmalarda bulundu. Şu anda Kazak'ın istatistik eğitimi dışında başlıca yayın ve araştırma alanlarını matematik eğitimi, teknoloji destekli öğrenme, yapılandırmacı ve sosyo-kültürel öğrenme teorileri oluşturmaktadır. Asuman Oktaç, ODTÜ Fen Bilimleri Eğitimi bölümünü bitirdikten sonra master ve doktorasını Amerika Birleşik Devletleri nde Iowa Üniversitesi nde Matematik üzerine yaptı. Doktora sonrası çalışmalarını Kanada daki Concordia Üniversitesi nde yürüttü. RUMEC (Üniversite düzeyi Matematik Eğitimi Araştırma grubu) üyesidir. Halen Meksika daki lisans üstü düzeyde bir araştırma merkezi olan Cinvestav- IPN de araştırmacı-profesör olarak çalışan Asuman Oktaç, aynı zamanda Montreal deki Quebec Üniversite sinin Matematik bölümünde de faaliyetlerini professeure associée olarak sürdürmektedir. Araştırma ilgi alanları lineer ve soyut cebir öğrenim ve öğretimi üzerine odaklaşmıştır. Zeki bireylerin matematik eğitimi konusu ile de ilgilenmektedir. Mehmet Fatih Özmantar, 1998 yılında Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik bölümünden mezun olduktan sonra 2001 yılında Leeds Üniversitesinde yüksek lisansını ve yine aynı Üniversitede 2005 yılında matematik eğitimi alanında doktora çalışmasını tamamlamıştır. Matematik eğitimi alanında çalışmalarına devam eden Özmantar, özellikle matematik öğrenimi ve öğretimi konularına ilgi duymaktadır. Öğrenimin kalıcılığı, öğretimin etkinliği ve bu süreçlere dahil olan sosyal, kültürel ve tarihsel dinamikler arasındaki ilişkiler üzerine çalışmalar yapan Özmantar halen Gaziantep Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalında görev yapmaktadır. v

6 Behiye UBUZ, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Orta Öğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır yılında Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Fen Bilimleri Eğitimi bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalından lisans ve yine aynı üniversite ve bölümden 1991 yılında Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans, ve 1996 yılında İngiltere Nottingham Üniversitesinden Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini almıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmalarına devam eden UBUZ, ilgi ve çalışma alanları arasında öğrenme ve öğretime yönelik farklı perspektifler ve yaklaşımlar, öğretmen eğitimi, ve matematik öğretimi ve öğreniminde teknoloji kullanımı özellikle ön plana çıkan alanlardır. İsmail Özgür Zembat matematik geçmişine yıllarında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümünde başlamış ve aynı Üniversitede yüksek lisansa devam etmiştir. Sonrasında MEB yurtdışı bursu kazanarak ABD deki Pensilvanya Devlet Üniversitesi nde doktoraya başlamıştır arasında bu üniversitede doktorasını yaparken bir yandan da ulusal bir projede araştırma asistanlığı, öğretim görevliliği ve bulunduğu şehirdeki ilköğretim okullarında matematik öğretmenliği yapmıştır. Ağustos 2004 te yurda dönerek Hacettepe Üniversite sinde öğretim görevlisi olarak işe başlayıp üç yıl çalıştıktan sonra 2007 Ağustos unda Abu Dhabi deki Birleşik Arap Emirlikleri Üniversitesi ne yardımcı doçent ünvanıyla katılmış olup akademisyenliğe bu kurumda devam etmektedir. İlgi alanları; öğretmen eğitimi, öğrenci algıları, matematiksel kavramlar ve yapılandırmacılıktır. vi

7 TEŞEKKÜR Bu kitap bir yıl süren titiz bir çalışmanın neticesinde ve birçok kişinin katkılarıyla ortaya çıkmıştır. Bunlar arasında bölüm yazarı arkadaşlarımıza, bölüm yazımlarında gösterdikleri yüksek performans, bu süreçte sergiledikleri profesyonel tutum ve diğer bölümler için yaptıkları hakemliklerden dolayı öncelikle teşekkür etmek isteriz. Alanında uzman ve profesyonel böylesi bir ekip ile çalışmak bizim için büyük bir keyif oldu. Öte yandan kitapta yer alan birçok bölümü okuyarak çeşitli tavsiye ve önemli katkılarda bulunan değerli öğretim üyesi arkadaşlarımız Yrd. Doç. Dr. Ali BOZKURT ve Yrd. Doç. Dr. Recep BİNDAK a da yardımlarından dolayı teşekkür ederiz. Arş. Gör. Ökkeş ESENDEMİR e ise bölümlerin dizgiye hazırlığı sırasında sağladığı yardımlardan dolayı teşekkür ederiz. Son olarak bu kitabın basımını gerçekleştiren PEGEM AKADEMİ yayınevine de göstermiş oldukları yakın işbirliği ve profesyonellikten dolayı teşekkür ederiz. Erhan BİNGÖLBALİ Mehmet Fatih ÖZMANTAR vii

8 ÖNSÖZ Öğrencilerin karşılaştıkları matematiksel zorluklar ve sahip oldukları kavram yanılgıları uzun bir süredir değişik ülkelerdeki matematik eğitimcilerinin ilgi odağını oluşturmuştur. Bu araştırmacılar öğrencilerin matematiksel zorluklarını belirleme, anlama, anlamlandırma ve sebeplerini ortaya koyma yönünde birçok çalışma yapmışlardır. Bununla birlikte, matematik öğreniminde karşılaşılan zorlukların aşılması yönünde de önemli uğraşlar verilmiştir. Yapılan bu araştırmalarla değişik seviyelerdeki öğrencilerin matematiğin birçok kavramına dair ne tür öğrenme güçlükleri ile karşılaştıkları, sahip oldukları kavram yanılgılarının doğasının ne olduğu ve bu yanılgıların aşılması için nelerin yapılabileceği ile ilgili kapsamlı bir İngilizce literatür oluşmuştur. Birçok ülkede matematik öğrenimi ve öğretimi konusunda derin etkiler oluşturan bu literatürün, dilimize kazandırılmasının önemine olan inancımız bu kitap çalışmasının ortaya çıkmasına yol açmıştır. Bu kitap çalışması, daha önce hazırladığımız Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri adlı kitap çalışmasının devamı niteliğindedir. Daha önceki çalışma ortaöğretim seviyesindeki kavramlar üzerine yoğunlaşırken, bu çalışmada ilköğretim seviyesinde öğretilen kavramlar ele alınmıştır. Fakat bu kitap çalışması bir çeviri mantığından çok yapılan araştırmaların bulgu ve sonuçlarının incelenmesi ve sentezlenmesi sonucu ortaya çıkmıştır. İlköğretim seviyesinde öğretilmekte olan matematik konuları arasından seçilen kavramlar hakkında yapılan çalışmalar, kendi alanlarında uzman ve tecrübeli araştırmacılar tarafından titizlikle incelenmiş ve bu kavramlara dair literatürde rapor edilen öğrenci zorlukları ve kavram yanılgıları ortaya konulmuştur. Bu kapsamda, ele alınan kavramlara dair öğrencilerin sergiledikleri algı biçimleri, bu algıların niçin bir yanılgı ya da zorluk oluşturduğu tartışılmış, söz konusu zorlukların daha rahat anlaşılması için örnekler sunulmuş ve bu zorlukları ortaya çıkaran nedenler irdelenmiştir. Belirtilen zorlukların ve kavram yanılgılarının aşılmasına dönük her bölümde bir takım önerilere ayrıca yer verilmiştir. İlköğretimde Karşılaşılan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri adlı bu kitap çalışmasıyla Türkçe matematik eğitimi literatürüne katkıda bulunmak amaçlanmıştır. Böylesi bir çalışma ile matematik eğitimcilerinin, halen hizmet vermekte olan matematik öğretmenlerinin ve öğretmen adaylarının faydalanabileceği bir eser oluşturarak, daha etkin bir matematik öğretiminin gerçekleşmesine katkıda bulunmuş olmayı ümit etmekteyiz. Erhan BİNGÖLBALİ ve Mehmet Fatih ÖZMANTAR Eylül 2009, Gaziantep ix

9 İKİNCİ BASKI İÇİN ÖNSÖZ İlköğretimde karşılaşılan matematiksel zorluklar ve çözüm önerileri isimli kitap çalışmamızın ikinci basımında siz değerli okuyucularımızla yeniden buluşmanın mutluluğunu yaşamaktayız. İlk baskısının bir yıldan daha kısa bir sürede tükenerek, ikinci baskısının yapılması böylesi bir kitaba olan ihtiyacın bir göstergesi olduğu düşüncesindeyiz. Özellikle ilköğretim seviyesinde çeşitli matematiksel kavramların öğrenilmesinde sıklıkla karşılaşılan zorlukları konu edinen bu çalışma, matematik eğitimi alanında akademik çalışma yapan ve konunun daha çok teorik boyutuyla ilgilenen araştırmacılara olduğu kadar uygulamanın içinde olan öğretmenlerimize de faydalı olması amaçlanarak oluşturulmuştu. Bu yüzden de çalışmada karşılaşılan zorlukların yanı sıra bu zorlukların aşılması için çözüm önerileri de sunulmuştu. Kitabın ilk basımından sonra, hem değişik üniversitelerimizde görev yapan ve bu kitabı lisans ve yüksek lisans seviyesinde derslerinde kullanan meslektaşlarımızdan ve hem de ilköğretim seviyesinde öğretim yapan sınıf ve matematik öğretmenlerinden yorum ve dönütler bizlere ulaşmıştır. Bu dönütler ise kitabımızın ortaya çıkış amacına hizmet edecek nitelikte bir çalışma yapıldığına dair yorumlar içermektedir. Ülkemizde oldukça yeni ve hızla gelişen bir çalışma alanı olan matematik eğitimine böylesi bir eser ile katkıda bulunmanın sevincini tüm yazar arkadaşlarımızla birlikte yaşamaktayız. Değerli okuyucularımıza bize verdikleri destekler ve yapıcı yorumlarından dolayı teşekkürü bir borç biliriz. Erhan Bingölbali ve Mehmet Fatih Özmantar Ağustos 2010 x

10 İÇİNDEKİLER Özgeçmişler... iii Teşekkür... vii Önsöz... ix İçindekiler... xi 1. Bölüm MATEMATİKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLERİ VE ÇÖZÜM ARAYIŞLARI (ss: 1/30) Giriş...1 Kavram Yanılgısı Nedir?...2 Kavram Yanılgısının Türleri Söz Konusu Mudur?...6 Aşırı Genelleme...6 Aşırı Özelleme...9 Kavram Yanılgılarının Sebepleri Neler Olabilir?...10 Kavram Yanılgılarının Epistemolojik Nedenleri...11 Kavram Yanılgılarının Psikolojik Nedenleri...14 Kavram Yanılgılarının Pedagojik Nedenleri...18 Kavram Yanılgılarını Aşmak Mümkün müdür?...20 Sonuç ve Değerlendirme...27 Teşekkür...28 Kaynakça Bölüm TOPLAMA VE ÇIKARMA KAVRAMLARININ ÖĞRETİMİ VE ÖĞRENCİ GÜÇLÜKLERİ (ss: 31/61) Giriş...31 Toplama ve Çıkarma ile İlgili Problem Türleri...33 Toplama ve Çıkarma Problemlerini Çözme Stratejileri ve Gelişimleri...36 Farklı Problem Türlerinde Karşılaşılan Güçlükler...37 Çok Basamaklı Sayılarla Toplama ve Çıkarma...39 Çok Basamaklı Sayılarda Toplama ve Çıkarmaya Geçiş...39 Çok Basamaklı Sayılarda Sembolik Toplama ve Çıkarma...42 Sembolik Toplama ve Çıkarma İşlemlerinde Öğrenci Hataları ve Kavram Yanılgıları...45 Öğrenci Kavram Yanılgıları...45 Öğretim Programlarında Toplama ve Çıkarma...50 Değerlendirme ve Sonuç...57 Kaynakça...59 xi

11 3. Bölüm ÖĞRENCİLERİN KESİRLER KONUSUNDAKİ KAVRAM YANILGILARI (ss: 63/95) Giriş...63 Yenilenen Müfredatta Kesirlerle İlgili Kazanımlar...65 Kesirlerde Kavram Yanılgıları ve Nedenleri...66 Kesirin Öğretim Modelleri...78 Sonuçlar...92 Kaynakça...93 EK - Öğretmenler İçin Kesirler Konusunda İnternetteki Ücretsiz Elektronik Programlar Bölüm SAYILARDA BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI VE ÖĞRENCİLERİN YAŞADIĞI ZORLUKLAR (ss: 97/126) Giriş...97 Basamak Değeri Kavramı ve Kısa Tarihçesi...99 Basamak Değeri Kavramının Öğrencilerde Gelişimi ve Zorlukların Olası Nedenleri Basamak Değeriyle ilgili Karşılaşılan Zorluklar, Hatalar ve Kavram Yanılgıları Basamak Değeri Kavramının Çokluk Değerine İndirgenmesi Rakamın Basamak ve Sayı Değerlerinin Ayırt Edilememesi Basamaklar Arasındaki İlişkiyi Anlama ile İlgili Güçlükler Sıfırı Bir 'Yer Tutucu' Olarak Kabul Etmede Karşılaşılan Güçlükler ile Çarpmayla İlgili Güçlükler Ondalık Yerler Arasındaki İlişkileri Belirleme Güçlüğü Ondalık Sayılarda Basamak Değeri ile İlgili Güçlükler Basamak Değeri Kavramı ile İlgili Karşılaşılan Zorlukları Engellemek İçin Öneriler Gattegno Tabloları Basamak Değeri (Gattegno) Kartları Diğer Materyaller Sonuç Kaynakça Bölüm ÖLÇME, TEMEL BİLEŞENLERİ VE SIK KARŞILAŞILAN KAVRAM YANILGILARI (ss: 127/154) Giriş Değişik Anlamlarıyla Ölçme Ölçmenin Matematiksel Yapısı Farklı Nitelikler, Birbirleriyle Olan İlişkileri ve Genel Yanılgılar Ölçme ile İlgili Sık Karşılaşılan Yanılgılar Alan ile İlgili Genel Algılar ve Yanılgılar xii

12 Hacim ile İlgili Genel Algılar ve Yanılgılar Uzunluk ile İlgili Genel Algılar ve Yanılgılar Uzunluk Niteliği ve MEB İlköğretim 1-5 Matematik Programında Ele Alınışı Ölçmenin Yapısını Dikkate Alan Yapılandırmacı Bir Ders Örneği Önerisi Sonuç Kaynakça Bölüm NEGATİF SAYILARA İLİŞKİN ZORLUKLAR, KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN GİDERİLMESİNE YÖNELİK ÖNERİLER (ss: 155/186) Giriş Negatif Sayı Nedir? Negatif Sayıların Müfredattaki Yeri Negatif Sayılara İlişkin Zorluklar ve Kavram Yanılgıları Negatif Sayıların Kavramlaştırılmasına İlişkin Zorluklar Negatif Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemlerine İlişkin Zorluklar Negatif Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemlerine İlişkin Zorluklar Kavram Yanılgılarında Öğretmen Bilgisinin Önemi Çoklu Gösterim Modellerinin Kullanılması Negatif Sayıları Anlamlı Öğrenmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler Negatif Sayıların Anlamlandırılması Negatif Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemlerinin Anlamlandırılması Toplama İşlemi Çıkarma İşlemi Negatif Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemlerinin Anlamlandırılması Sonuç Kaynakça Bölüm SİMETRİ KAVRAMININ ÖĞRENİM VE ÖĞRETİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLARIN ANALİTİK BİR YAKLAŞIMLA İNCELENMESİ (ss: 187/215) Giriş Simetri Kavramının Doğası Simetri Kavramının İlköğretim Ders Programlarındaki Yeri Simetri Kavramının Öğreniminde Karşılaşılan Zorluklar Simetri Kavramının Öğrenimini Nasıl Kolaylaştırabiliriz Sonuç ve Öneriler Kaynakça xiii

13 8. Bölüm OLASILIK KONUSU ÖĞRENCİLERE NEDEN ZOR GELMEKTEDİR? (ss: 217/239) Giriş Olasılıkları Tahmin Etme ve Değerlendirme Olası Durumları Belirleme Olasılıkla İlgili Temel Kavramları Anlama ve Uygulama Olasılık Çeşitlerini ve Aralarındaki İlişkiyi Anlama Teknoloji Destekli Olasılık Öğretimi Sonuç Kaynakça Bölüm BİRİNCİ DERECEDEN TEK BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İLE İLGİLİ KAVRAM YANILGILARI (ss: 241/262) Giriş Cebirsel denklem çözümü öğrenciler için anlamlı bir etkinlik olabilir mi? Kavram Yanılgıları ve İlgili Hataların Belirlenmesinin Faydaları Denklem Çözümünde Eşitlik Kavramının Önemi ve Bununla İlgili Kavram Yanılgıları Denklem Bağlamında İşlemler Arası İlişkiler Denklemlerin Yapısı ve Eşdeğer Denklemler Denklem Çözümü ve Getirdiği Zorluklar Değişken Kavramının Denklem Kavramı Üzerindeki Etkisi Çözüm Önerileri Tartışma Kaynakça Bölüm ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL ÖĞRENİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ (ss: 263/285) Giriş Orantısal Düşünebilme Yeteneği Oran ve Orantı Toplamsal ve Çarpımsal İlişkilendirme Yapabilme Yeteneği Nitel Muhakame ve Nicel Muhakeme Oran Kavramının İçerdiği Nitel ve Nicel (Kantatif) Muhakeme Çeşitleri Nitel Muhakeme Çeşitleri Nicel Muhakeme Çeşitleri Dönüşüm (Transformasyon) Oran Kavramının Oluşturulması Sürecinde Karşılaşılabilecek Muhtemel Kavram Yanılgıları..273 Toplamsal ve Çarpımsal İlişkilendirmeyle İlgili Öğrenci Yanılgıları xiv

14 Kovaryasyon ve Dönüşüm ile İlgili Öğrenci Yanılgıları Değişmezlik Konusundaki Yanılgılar Oran Kavramının Oluşturulmasında Karşılaşılabilecek Muhtemel Öğrenme Zorlukları Oran Konusunda Kavram Yanılgıları ve Öğrenme Zorlukları Üzerine Çözüm Önerileri Sonuç ve Değerlendirme Kaynakça Bölüm MATEMATİKSEL PROBLEMLERİN ÖĞRENİM VE ÖĞRETİMİ (ss: 287/312) Giriş Problem ve Problem Çözme Nedir? Problem Türleri Problem Çözme Sürecinde Takip Edilen Aşamalar Problem Çözme Stratejileri Tahmin-Kontrol Stratejisi Geriye Doğru Çalışma Stratejisi Tümevarımcı Düşünme Stratejisi (Looking for Pattern) Problem Çözme Konusunun Öğretimi Nasıl Yapılmalıdır? Üst Bilişsel Yetenek ve Problem Çözme Sonuç ve Öneriler Kaynakça Bölüm ETKİNLİK TASARIMI VE TEMEL TASARIM PRENSİPLERİ (ss: 313/348) Giriş Etkinlik Nedir? Etkinlik (Task) Türleri Matematiksel objeleri sınıflandırma Farklı gösterimlerin yorumlanması Matematiksel ifadeleri değerlendirmek Öğrencinin kendi problemini oluşturması ve çözmesi Çözüm ve Gerekçeleri Analiz Etme Var olan problem durumlarından genellemeler yapmak Etkinlik Tasarım Prensipleri Etkinliğin Amacı Sınıf Yönetimi Etkinliğin Birden Fazla Başlangıç Noktasına Sahip Olması Kullanılacak Materyaller/Araçlar Öğretmen ve Öğrenci Rolleri Öğrencilerin Ön Bilgileri Öğrenci Zorluk ve Yanılgıları Ölçme Değerlendirme xv

15 Uygulamada Dikkat Edilecek Bazı Noktalar Esneklik Öğrencilerin Dikkatlerini Yönlendirme (shift of attention) Alana Özgü Uygun Dil Geliştirme Sonuç Teşekkür Kaynakça xvi

16 1. Bölüm MATEMATİKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLERİ VE ÇÖZÜM ARAYIŞLARI 1 Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar Bu bölümde matematiksel kavram yanılgıları ve bu yanılgıların giderilebilmesine yönelik çözüm arayışları üzerinde durulmaktadır. Bunun için öncelikle kavram yanılgısı, hata ve zorluk terimlerinin ne anlama geldiği ve bunlar arasında ne tür bir ilişkinin söz konusu olduğu açıklanmıştır. Daha sonra kavram yanılgılarının türlerinden bahsedilmiş ve bu türler matematiğin değişik konularından seçilen kavramlarla örneklendirilmiştir. Ayrıca kavram yanılgılarını ortaya çıkaran epistemolojik, psikolojik ve pedagojik sebepler incelenmiştir. Matematiksel yanılgı ve zorlukların aşılması için öğretim sürecinde neler yapılabileceği konusunda bir değerlendirme yapılarak, bu kapsamda örnek etkinlikler sunulmuştur. Giriş Öğrenciler matematiği öğrenmede neden zorlanmaktadırlar? Öğrenciler matematik öğreniminde neden kavram yanılgısına düşmektedirler? Öğrenciler bazı matematiksel hataları neden sistematik bir şekilde yapmaktadırlar? Matematiksel zorlukların aşılması ve kavram yanılgılarının engellenmesi için neler yapılabilir? Bu ve benzeri sorular özellikle son 40 yıldır değişik ülkelerdeki matematik eğitimcilerinin ilgisini çekmiş ve birçok araştırmaya yön vermiştir. 1 Bu çalışma TÜBİTAK tarafından desteklenen bir proje sonucu olarak ortaya çıkmıştır (proje numarası: 108K330).

17 2 İlköğretimde Karşılaşılan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri Matematik eğitimcilerinin matematik öğreniminde karşılaşılan zorluklarla ilgili yukarıda belirtilen sorular eksenli yaptıkları araştırmalar incelendiğinde, karşımıza birbirini tamamlayan ve kısmen de takip eden iki araştırma teması çıkmaktadır. Bunlardan birincisi problemi belirleme ve anlamlandırma, ikincisi ise çözüm üretme temasıdır. Matematik eğitimi literatüründe kavram-eksenli yapılan ve öğrencilerin karşılaştıkları zorlukların, kavram yanılgılarının, hataların ve bunların nedenlerinin araştırıldığı çalışmalar (örneğin kesirlerle alakalı öğrenci zorlukları, kavram yanılgıları, hataları ve bunların nedenleri) problemi belirleme ve anlamlandırma teması çalışmalarına örnek olarak gösterilebilir. Çözüm üretme teması çerçevesinde yer alan çalışmalar ise öğrencilerin karşılaştıkları zorlukların aşılmasına yönelik olarak nelerin yapılabileceği konusu üzerinde durmaktadırlar. Matematik öğretiminde çoklu temsillerin kullanımı (cebirsel, tablo, grafik), teknolojinin öğretime entegre edilmesi, öğrenci zorlukları göz önünde bulundurularak etkinliklerin tasarlanması, öğretmen eğitimi ve mesleki gelişimine yönelik yapılan araştırmalar çözüm üretme temasına örnek gösterilebilecek çalışmalardır. Matematik eğitimi çalışmalarında ön plana çıkan bu iki ana tema, öğrencilerin matematiksel zorluklarını, kavram yanılgılarını ve hatalarını anlamlandırmayı ve bunlar için çözüm olabilecek öneriler sunmayı amaçlayan bu bölüm yazımında rehber olarak kullanılacaktır. Bu kapsamda öncelikle matematiksel zorluk, kavram yanılgısı ve hata kavramları, kavram yanılgısı ile ilişkilendirilerek tanıtılacaktır. Daha sonra kavram yanılgısı türleri işlenecektir. Ayrıca öğrencilerin karşılaştıkları zorlukların ve kavram yanılgılarının nedenleri konusu ele alınacaktır. Son olarak karşılaşılan zorlukların aşılmasına yönelik çözüm olabilecek öneriler üzerinde durulacaktır. Kavram Yanılgısı Nedir? Matematik eğitimi literatüründe matematik öğreniminde karşılaşılan zorlukları ifade etmek için birçok değişik terimin, çoğu zaman da birbirlerinin yerine, kullanıldığı görülmektedir. Zorluk (difficulty), kavram yanılgısı (misconception) ve hata (error) terimleri öğrencilerin matematik öğreniminde yaşadıkları güçlüklerin ifade edilmesinde en sık kullanılanlar arasında gelmektedir. Zorluk kapsamlı bir kavram olup, öğrencilerin matematik öğrenimi ile ilgili yaşadıkları güçlükleri genel anlamda ifade etmek için kullanılan bir terimdir. Bu özelliğinden dolayı kavram yanılgısı ve hatayı da içeren bir kavramdır. Zorluk teriminin genel ve kapsayıcı bir ifade olarak kullanılması kanaatimizce bu terimi öğrencilerin öğrenme güçlüklerini anlamlan-

18 Matematiksel Kavram Yanılgıları: Sebepleri ve Çözüm Arayışları 3 dırmada ve çözümlemede yetersiz de kılmaktadır. Zorluk teriminin bu özelliğinden ötürü öğrencilerin karşılaştıkları güçlükler daha çok kavram yanılgısı terimi ekseninde incelenecektir. Zorluk ve hata terimlerinin anlaşılmasını da mümkün kılacağını düşündüğümüz bu inceleme, öncelikle kavram yanılgısının ne olduğunun açıklanmasını gerekli kılmaktadır. Mevcut literatüre bakıldığında kavram yanılgısını (misconception) ifade etmek için birçok değişik terimin kullanıldığı görülmektedir. Bunlar arasında ön kavrayış (preconceptions), alternatif kavrayış (alternative conceptions), olgunlaşmamış kavrayış (naive conceptions) terimleri örnek olarak verilebilir (Clement, 1982; Hewson ve Hewson, 1984; McCloskey, 1983; daha fazla detay için, bknz, Zembat, 2008a). Bu terimler yakından incelendiğinde iki önemli husus ön plana çıkmaktadır. Birincisi bu terimler aslında örtük de olsa uzman bilgisinden farklı olan veya bilimsel olarak kabul edilen bir kavrayıştan uzak olan kavrayışları ifade etmek için kullanılmaktadır. Bu anlamda kavram yanılgısı bir konuda uzmanların (expert) üzerinde hemfikir oldukları görüşten uzak kalan algı ya da kavrayış (conception) olarak kullanılmaktadır (Zembat, 2008a, s.2). İkincisi husus ise Hammer ın (1996) da belirttiği gibi kavrayış (conception) teriminin bu terimlerin hepsinin özünü ve esasını oluşturmasıdır. Her iki husus da aslında kavram yanılgısı teriminin anlaşılmasında kavrayış teriminin önemli rolüne işaret etmektedir. Bu bağlamda Smith, disessa ve Roschelle (1993, s.119) kavrayış teriminin kavram yanılgısının anlamlandırılmasındaki rolüne işaret etmiş ve kavram yanılgısını sistematik bir şekilde hata üreten öğrenci kavrayışı olarak tarif etmiştir. Bu açıdan, Zembat ın da (2008b, s.42) belirttiği gibi, kavram yanılgısı basit hatadan çok sistemli bir şekilde insanı hataya teşvik eden algı biçimidir. Buradan da anlaşılmaktadır ki öğrencilerin sistematik olarak yaptıkları hatalar sıradan yapılan bir işlem hatasından farklı olup, kendisini ortaya çıkaran ve kontrol eden derin bir kavrayışın, bir mana sisteminin (Nesher, 1987), bir bilişsel yapının (cognitive structure) (Oliver, 1989) ya da bir kavram yanılgısının varlığına işaret etmektedir. Başka bir deyişle öğrencilerin yaptıkları hatalar yüzeydeki görüntü olup, bu görüntünün oluşmasını kontrol eden ve oluşmasına kaynaklık eden bir kavram yanılgısı söz konusudur (Nesher, 1987). Sistemli bir şekilde insanı hataya teşvik eden bir kavrayış biçimi olarak kabul ettiğimiz kavram yanılgısının ve ayrıca hata ile olan ilişkisinin daha iyi anlaşılması için aşağıdaki örneği yakından inceleyelim. Ele alacağımız örnek öğrencilerin sıkça kavram yanılgısına sahip olduğu ve neticesinde de hatalar yaptıkları, değişik ülkelerdeki birçok araştırmacı tarafından da ortaya konulan, ondalık sayılara ilişkindir (Nesher, 1987).