VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT

Transkript

1 VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT VERİ SAYMA. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık kavramları hatırlatılır. Bir veri grubuna ait alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma tanımlanır.. Kazanım : Verilerin grafikle gösterilmesi Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek yorumlar. Serpme grafiğini açıklar, iki nicelik arasındaki ilişkiyi serpme grafiği ile gösterir ve yorumlar. Kutu grafiğini açıklar, bir veri grubuna ait kutu grafiğini çizerek yorumlar ve veri gruplarını karşılaştırmada kutu grafiğini kullanır. OLASILIK. Kazanım : Basit olayların olasılıkları Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, ayrık ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar. 4. Kazanım : Tümleyen, ayrık ve ayrık olmayan olaylar ile ilgili olasılıkları hesaplar.

2 OLASILIK Örnek Uzay: Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Olay: Örnek uzayın herbir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın arakesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız) olaylar denir. Olasılık Fonksiyonu E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme (kuvvet kümesi) K olsun. P : K [,] fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. A E P(A) P(E) = A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) P( ) = A = E A ise P(E) = P(A) + P(A ) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olur. Eş Olumlu Örnek Uzay E = {a, a,..., a n } bir sonlu örnek uzay olsun. P(a ) = P(a ) =... = P(a n ) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay adı verilir. Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe, olasılık sa ( ) fonksiyonu PA ( ) = olarak alınır. se ( ) İSTATİSTİK İstatistiksel çalışmalar yapılırken, Grafikler Frekans Tabloları Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri gibi yöntemlerden yararlanılır. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Ortalama Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür. x ile gösterilir. Veri değerleri x, x,..., x n olan n tane veri için, x + x x n x = dir. n Ortanca (Medyan) Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır. Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim medyandır. Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması medyandır. Tepe Değeri (Mod) Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan değere mod (tepe değeri) denir. Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun modu yoktur. Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, mod değeri de birden fazla olabilir. MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ Açıklık Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır. Açıklık = En Büyük Değer En Küçük Değer Çeyrekler Açıklığı Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunların ortasındaki terime de ortanca denir. Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q ) denir. Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q ) denir. Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 5 lik kısmının ortancasına Q, sonraki % 5 lik kısmının ortancasına da Q denir. Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek Alt çeyrek Q = Q Q Çeyrekler açıklı % % 5 % 5 % 75 % 59

3 STANDART SAPMA Sütun Grafiği Standart sapma, verilerin ortalama etrafında nasıl Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. n tane verinin aritmetik ortalaması x olmak üzere, bu veri grubunun standart sapması (s) s= ( x x ) + ( x x ) + + ( x n x ) n Histrogram Alanı, ilgili sınıfın frekansına, tabanı da ilgili dir. sınıfın aralığına eşit olan ve birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşan bir grafik çeşitidir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir değişkenin STANDART PUANLAR Standart puan gözlenen puanların ortalamadan dağılımını göstermek için oldukça kullanışlı bir grafik sunumudur. olan farklarını standart sapma cinsinden belirtil- Daire Grafiği mesidir. Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulma- Standart puanlar, yapılan ölçümlerden elde edilen sıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 6 olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de denilmektedir. Kesikli veriler için uygundur. puanların aritmetik ortalamasının sıfır (), standart sapmasının bir () kabul edildiği puanlardır. z puanı z puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta olduğunu gösterir ve z puanı = z= Ham puan Aritmetik ortalama Standart sapma X x s formülü ile hesaplanır. Serpilme Grafiği İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir. T puanı Kutu Grafiği z puanı nasıl ki verilen puanları ortalaması, Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için standart sapması olan puanlara dönüşüyorsa, T kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi puanı da verilen puanları ortalaması 5, standart eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göster- sapması olan puanlara dönüştürür. z puanla- mesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafikleri veri rından T punlarına geçiş T = 5 +.z formülü için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. ile elde edilir. Kutu grafiğinin çizimi için, en küçük değer (alt uç değer) GRAFİKLER Çizgi Grafiği Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. alt çeyrek (Q), ortanca, üst çeyrek (Q) ve en büyük değer (üst uç değer) bulunur. En Küçük De er Alt Çeyrek Ortanca Üst Çeyrek En Büyük De er 59

4 REHBER SORU Aşağıda Ahmet in derslerden aldığı notlar ve bu derslerin haftalık ders saatleri tablo halinde verilmiştir. Dersler Kredi Not Matematik 4 8 Fizik 6 Kimya 7 Biyoloji 56 Türkçe 4 64 Tarih 7 Coğrafya 9 Ahmet in notlarının aritmetik ortalamasını ve kredi ağırlıklı aritmetik ortalamasını bulunuz.,, 5,, 9, 6, 8, x Yukarıdaki verilere göre aşağıdaki.,. ve. soruları çözünüz.. Sayıların aritmetik ortalaması 8 olduğuna göre, x kaçtır? 4. Not Kredi Matematik 6 4 Edebiyat 7 Müzik 9 İngilizce Bir öğrencinin bazı derslerden aldığı notlar ve bu derslerin kredileri yukarıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, bu öğrencinin ağırlıklı ders notu ortalaması kaçtır?. İlk 7 veriden her biri azaltılırsa, ortalamanın değişmemesi için x kaç arttırılmalıdır? 5. Ders Adı Not Kredi Matematik 8 Fizik 7 Kimya 75 Türkçe 9. Veri grubuna (x hariç) 7 ve sayıları eklenirse, yeni aritmetik ortalamanın değişimi için ne söylenebilir? Tabloda bir öğrencinin bazı derslerden aldığı notlar ve bu derslerin haftalık kredileri verilmiştir. Buna göre, öğrencinin not ortalamasını kredi ağırlığına göre eşiti kaçtır? 59

5 REHBER SORU REHBER SORU a. 9, 8, 8, 7,,,,, veri grubunun ortancası kaçtır? b., 7,, 5,, 4, 4, veri grubunun ortancası kaçtır? c. 7,, 6, 5, 9, 8, veri grubunun tepe değeri kaçtır? d. 8,,, 9,, veri grubunun tepe değeri kaçtır? a. 6,,, 8, 4,, 6 veri grubunun açıklığını ve çeyrekler açıklığını bulunuz. b. 4, 6, 9, 7,,,,, 4, 5, 6, 9, 8, veri grubunun açıklığını ve çeyrekler açıklığını bulunuz.. 9,,,, 8,, 7, 6, 9 veri grubunun ortancası a, tepe değeri b ise (a, b) ikilisini bulunuz.. 9,, 8,,, 4, veri grubunun açıklığı a, çeyrekler açıklığı b ise (a, b) ikilisini bulunuz..,, 8, 9,, 8,, 8 veri grubunun ortancası a, tepe değeri b ise (a, b) ikilisini bulunuz..,,,, 5, 6,,, 8, 7,, 9, 7, 5 veri grubunun açıklığı a, çeyrekler açıklığı b ise (a, b) ikilisini bulunuz. 59

6 REHBER SORU 4 A ve B sınıflarındaki bazı öğrencilerin matematik notları aşağıda verilmiştir. Sınıf Matematik Notları A B Bu iki sınıftaki matematik notlarının standart sapmasını bulunuz.., 4, veri grubunun standart sapması kaçtır?. Sezonun ilk devresi (ilk 8 maç) değerlendirildiğinde, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru olurdu? I. A takımının attığı gol sayılarının standart sapması daha büyüktür.., 4, 5, 7, 9, veri grubunun standart sapması hangi tam sayıya en yakındır? II. A takımının attığı gollerin ortalaması, B takımının attığı gollerin ortalamasının katıdır.. ve 4. sorular için aşağıdaki veriler kullanılacaktır. İki futbol takımının 8 er maçlık devreden oluşan 6 maçlık bir sezonda attıkları goller aşağıda tablo halinde verilmiştir. M a ç l a r 4. Değerlendirme bu sezonun ikinci devresi (son 8 maç) için yapılmış olsaydı, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru olurdu? 6 I. A takımının attığı gollerin ortalaması, 5. Devre. Devre B takımının attığı gollerin ortalaması 5 tir. Tak m A B Tablo : Takımların attıkları gol sayıları II. A takımının attığı gollerin standart sapması, B takımının attığı gollerin standart sapmasından küçüktür. 594

7 REHBER SORU 5 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin biyoloji dersi. yazılı sınavından aldığı notlar aşağıda verilmiştir. 64, 8, 4, 8, 5, 6, 96, 8, 7, 9 Bu notları veriler olarak kabul ederek kutu grafiği çiziniz. 4. Ortancadan büyük olan veri sayısı, küçük olan veri sayısından az mıdır, çok mudur? Zaman Yukarıdaki kutu grafik bir grup öğrencinin bir gün içinde matematik çalışma sürelerinin dağılımını dakika olarak göstermektedir..,.,. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız. 5. 5,,,, 7,, 9,, 4,,,, 6 verilerinin kutu grafiği çizildiğinde, kutunun uzunluğu (çeyrekler açıklığı) kaç birimdir?. Bu verilerin genişliği (aralığı) kaçtır? 6.. Bu verilere ait çeyrekler açıklığı kaçtır? B A. Bu verilerin ortancası kaçtır? Da t lan broflür say s A ve B firmalarında çalışan tanıtım elemanlarının bir günde dağıttıkları broşür sayıları yukarıda kutu grafiği olarak verilmiştir. Hangi firmada çalışan elemanların başarısı daha yüksektir? 595

8 REHBER SORU 6 Günler Sıcaklık ( C) Gündüz Sıcaklık ( C) Gece Pazartesi 8 Salı 5 Çarşamba 9 5 Perşembe Cuma 6 Yukarıdaki tabloda bir ilimizdeki 5 günlük gece ve gündüz hava sıcaklıkları verilmiştir. Hava sıcaklık değişiminin çizgi grafiğini çiziniz. 5 Çözülen soru sayısı 4. Ö renci sayısı P.tesi Sal Çarfl. Perfl. Cuma C.tesi Pazar Günler Matematik notları Yukarıdaki grafik, Duru nun bir hafta boyunca çözdüğü matematik soru sayılarının günlük değişimini göstermektedir..,. ve. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız.. Duru bu hafta toplam kaç matematik sorusu çözmüştür? Çizgi grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? I. Sınıf mevcudu kişidir. II. 6 alan öğrenciler sınıf ortalamasının altındadır. III. 8 alan öğrenci sayısı 4 alan öğrenci sayısından 7 fazladır. 5. Boy (cm) 6 A B. Duru hafta içinde günlük ortalama kaç matematik sorusu çözmüştür? Zaman (Yıl). Duru nun bir önceki güne göre çözdüğü matematik soru sayısındaki artış en çok hangi gün olmuştur? Yukarıdaki grafikte A ve B bitkilerinin dikildikleri andaki boyları ve zamana karşı uzama miktarları verilmiştir. Dikildikten kaç yıl sonra A bitkisinin boyu B bitkisinin boyundan 6 cm fazla olur? 596

9 REHBER SORU 7 Yıllar Portakal Üretim (Ton) Mandalina Yukarıdaki tablo, Alanya daki bir üreticinin bazı yıllarda ürettiği portakal ve mandalina miktarlarını göstermektedir. Tabloya göre, verilen bilgileri sütun grafiğinde gösteriniz. Soru sayısı 5 5 Günler P.tesi Salı Çarfl. Perfl. Cuma Yukarıdaki sütun grafiğinde, Öykü nün hafta içindeki günlerde çözdüğü soru sayılarının günlük değişimi gösterilmiştir..,. ve. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız Ö renci sayısı 4 5 Kimya notlar Yukarıdaki sütun grafiği bir sınıftaki tüm öğrencilerin kimya dersi yıl sonu notlarını göstermektedir. ün altında not alanlar başarısız kabul edildiğine göre, bu sınıfta kimya dersinden başarılı olanlar sınıfın yüzde (%) kaçıdır?. Bu beş gün içinde Öykü toplam kaç soru çözmüştür?. Öykü bu beş gün içinde, günlük ortalama kaç soru çözmüştür? Not ortalamas (puan)... Kızlar Erkekler Tarih yaz l sınavlar. Öykü çözdüğü soru sayısını, bir önceki güne göre % olarak en çok hangi gün artırmıştır? Yukarıdaki sütun grafiğinde, bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin tarih dersinin ilk üç sınavındaki not ortalamaları gösterilmiştir. Grafikteki verilere göre, kızların tarih dersi not ortalaması, erkeklerin not ortalamasından kaç puan fazladır? 597

10 REHBER SORU 8 Bir okulun -A sınıfındaki 5 öğrencinin ağırlıkları aşağıda kg olarak verilmiştir. 6, 48, 54, 5, 74, 8, 6, 5, 9, 66, 64, 76, 84, 7, 86 Bu verileri histogram grafiği ile gösteriniz. 8 6 Ö renci say s 4. 5 yaşında olan veya 5 yaşından büyük olan öğrenci sayısının, 5 yaşından küçük olan öğrenci sayısına oranı kaçtır? Yafl Yukarıdaki histogram bir üniversitede okuyan öğrencilerin yaşlarını göstermektedir..,.,. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız.. Bu üniversitedeki toplam öğrenci sayısı kaçtır? 5. 4 Çözülen soru say s. En çok öğrenci hangi yaş aralığındadır? Saat. 9- yaş aralığında olan öğrenciler tüm öğrencilerin yüzde kaçıdır? Yukarıdaki verilen histogram Duygu nun bir gün içinde çözdüğü soru sayılarının zamana göre dağılımını göstermektedir. Grafiğe göre, Duygu bir gün içinde çözdüğü toplam sorunun % sini hangi zaman aralığında çözmüştür? 598

11 REHBER SORU 9 Bir okulun. sınıfında okuyan 55 kişi içinden seçilecek öğrenci temsilciliği için aday olan 5 öğrencinin aldıkları oylar tablo şeklinde aşağıda verilmiştir. (Adaylar oy kullanmamaktadır.) 6 5 Giyecek Yakıt Kira Gıda Aday Aldığı Oy Sayısı Altan 5 Tufan Feridun Ali Ömer 5 Tablodaki oyları veriler kabul ederek daire grafiğini çiziniz. Yukarıdaki daire grafiği bir ailenin aylık harcamalarını göstermektedir..,.,. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız.. Bu ailenin kira gideri, yakıt giderinin kaç katıdır?. Ailenin aylık toplam harcaması TL ise gıda harcaması kaç TL dir?. Giyecekler için harcadığı para, tüm harcamalarının yüzde kaçıdır? 4. Diğer harcamaları sabit kalmak üzere, toplam harcamaları 5 TL ye ve yakıt gideri 5 TL ye çıksaydı, kira giderini gösteren merkez açının ölçüsü kaç derece olurdu? 5. Okullar Öğrenci Sayısı A 6 B 75 C 9 D 45 Yukarıdaki tabloda bir semtte bulunan 4 okul ve bu okullardaki öğrenci sayıları verilmiştir. Bu bilgiler dairesel grafikte gösterilirse, elde edilen merkez açıların en büyüğü ile en küçüğünün farkı kaç derece olur? 599

12 REHBER SORU Bir çift zar atılıyor. Zarların üzerindeki sayıların a. Aynı olması olasılığı kaçtır? b. Toplamlarının 9 olma olasılığı kaçtır? c. Toplamlarının en az olma olasılığı kaçtır?. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının olma olasılığı nedir? 5. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının en az olma olasılığı nedir?. Bir zar atıldığında gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 6. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının olma olasılığı nedir?. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların farklı olma olasılığı kaçtır? 7. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının en çok 4 olma olasılığı kaçtır? 4. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların ikisinin de asal sayı olma olasılığı nedir? 8. Bir zar art arda iki kez atıldığında ilk atışta gelen sayının, ikinci atışta gelen sayıdan büyük olma olasılığı kaçtır? 6

13 REHBER SORU a. madeni para atıldığında ikisinin yazı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır? b. 4 madeni para atıldığında, üçünün yazı, birinin tura gelme olasılığı nedir?. madeni para atıldığında ikisinin de yazı gelme olasılığı kaçtır? 6. Bir para üç kez art arda atıldığında en çok birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?. Bir madeni para kez art arda atıldığında birinin yazı diğerinin tura gelme olasılığı kaçtır? 7. 5 madeni para atıldığında ikisinin yazı, üçünün tura gelme olasılığı kaçtır?. Bir madeni para kez art arda atıldığında birincisinde yazı, ikincisinde tura gelme olasılığı kaçtır? 8. 5 madeni para atıldığında en az ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır? 4. Bir madeni para kez üst üste atıldığında en az birinde yazı gelme olasılığı kaçtır? 9. 6 madeni para atıldığında dördünün tura, ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır? 5. Bir para üç kez art arda atıldığında (veya üç para aynı anda atıldığında) ikisinin yazı birinin tura gelme olasılığı kaçtır?. 6 madeni para atıldığında en çok ikisinin tura gelme olasılığı kaçtır? 6

14 REHBER SORU REHBER SORU 4 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bunun elemanlı bir küme olma olasılığı kaçtır? 4 kız, erkek yan yana fotoğraf çektireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı kaçtır?. elemanlı bir kümenin alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bunun elemanlı bir küme olma olasılığı kaçtır?. kız, 5 erkek yan yana sıralandığında erkeklerin bir araya gelme olasılığı kaçtır?. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinin biri rastgele seçildiğinde bunun elemanlı olma olasılığı kaçtır?. kız (K), erkek (E) yan yana sıralandığında KEKEK sıralamasının elde edilme olasılığı kaçtır?. A = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümenin elemanları arasında a nın bulunma olasılığı kaçtır?. Aralarında Mert ve Pınar ın da bulunduğu 7 kişilik bir grup ve 4 kişilik iki ekibe ayrılacaktır. Mert ile Pınar ın aynı ekipte olma olasılığı kaçtır? 4. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bunun elemanları arasında a nın bulunma olasılığı kaçtır? 4. ECEM sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek elde edilebilecek anlamlı veya anlamsız sözcüklerden biri alındığında bunun C ile başlayıp M ile bitme olasılığı kaçtır? 6

15 REHBER SORU 4 REHBER SORU 5 sarı, 5 mavi bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bir bilye alındığında bunun sarı renkte olma olasılığı kaçtır? 4 sarı, lacivert bilyenin bulunduğu bir torbadan üç bilye rastgele alınıyor. a. Üçünün de sarı olma olasılığı kaçtır? b. Üçünün de aynı renk olma olasılığı kaçtır? c. İkisinin sarı, birinin lacivert olma olasılığı kaçtır?. 4 kırmızı, 5 beyaz bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bilye alınıyor. Bunun kırmızı olma olasılığı kaçtır?. mavi, 4 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bilye alındığında ikisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?. kırmızı, beyaz ve 4 mavi bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bir bilye alındığında bunun kırmızı veya beyaz olma olasılığı kaçtır?. Bir torbada kırmızı, 5 beyaz, 4 mavi bilye vardır. Bu torbadan geri atılmamak koşuluyla art arda bilye çekiliyor. İkisinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır?. Bir torbada kırmızı, 5 beyaz, 4 mavi bilye vardır. Bu torbadan geri atılmamak koşuluyla art arda bilye çekiliyor. İlk ikisinin mavi, üçüncüsünün beyaz olma olasılığı kaçtır?. sarı, 5 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bilye alındığında, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? 4. Bir kutudaki 8 lambadan tanesi bozuktur. Bu kutudan alınan lambadan en az birinin bozuk olma olasılığı kaçtır? 6

16 REHBER SORU 6 Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 noktadan biri A dır. Bu noktaları köşe kabul eden üçgenlerden biri seçildiğinde bunun bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır?. Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 noktadan biri A dır. Bu noktaları köşe kabul eden üçgenlerden biri seçildiğinde bunun bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır? 4. Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktadan ikisi A ve B dir. Bu noktaları köşe kabul eden üçgenlerden biri seçildiğinde bunun bir kenarının [AB] olma olasılığı kaçtır?. A B C D N E F K Şekildeki 8 noktadan tanesi rastgele seçilirse sadece birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? 5. Çember üzerindeki 6 nokta ile oluşturulabilecek çokgenlerden biri seçiliyor. Bunun üçgen olma olasılığı kaçtır? F A E B D C. A B C k D E F M k ve doğruları üzerindeki 7 nokta ile oluşturulacak üçgenlerden biri seçildiğinde tabanının k üzerinde olma olasılığı kaçtır? 6. Şekildeki yatay doğrular düşey doğrulara diktir. Oluşan dikdörtgenlerden biri seçildiğinde bunun birim kare olma olasılığı kaçtır? 64

17 REHBER SORU 7 REHBER SORU 8 E örnek uzayında iki olay A ve B dir. P(A) = 4, P(B) =, P(A B) = 6 a. P(A B) b. P(A B ) ifadelerinin eşitini bulunuz. ise 6 kız ve 4 erkekten oluşan bir grupta kızların ü, erkeklerin si gözlüklüdür. Bu gruptan rastgele seçilen birinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir?. E örnek uzayında iki olay A ve B dir.. kız ve 8 erkekten oluşan bir grupta kızların P(A) =, P(B ) = 5 ve P(A B) = 5 P(A B) kaçtır? ise 4 ü, erkeklerin 5 i esmerdir. Bu gruptan seçilen birinin erkek veya esmer olma olasılığı nedir?. E örnek uzayında iki olay A ve B dir. P(A) = 4, P(B ) = 4 ve P(A B) = ise. Bir zar ve madeni bir para atılıyor. Zarın 4 ten büyük ve paranın yazı gelme olasılığı kaçtır? P(A B) kaçtır?. E örnek uzayında iki olay A ve B dir. P(A) = 4, P(B ) = ve P(A B) = ise 5 5 P(A B ) kaçtır?. Bir zar ve madeni iki para atılıyor. Zarın asal sayı ve paraların ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır? 4. E örnek uzayında iki olay A ve B dir. 4 P(A B ) =, P(B) = ise P(A B) kaçtır? Bir zar ve madeni bir para atılıyor. Zarın çift sayı veya paranın yazı olma olasılığı kaçtır? 65

18 I. 6, 8, 9,,,,, 5, 6, 7, 8,,, veri grubunu dikkate alarak sol sütunda bulunan merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin eşitini sağ sütunda bularak eşleştiriniz. a Ortanca 5 b Alt çeyrek 4 c Üst çeyrek d 4 Ortalama e 5 Tepe değeri f 6 En büyük değer 8 II. Sol sütundaki olaylara ait örnek uzayının eleman sayısını sağ sütunda bulup eşleştiriniz. a Bir paranın atılması 6 b İki paranın atılması c Bir zarın atılması d 4 İki zarın atılması 4 e 5 elemanlı bir kümeden rastgele elemanın seçilmesi 5 f 6 bilye içinden rastgele 6 tanesinin seçilmesi 6 66

19 SOLDAN SAĞA. Sayıları yazmak için kullanılan simgelerden her biri 5. Basketbol oyununda topun sepete girmesiyle ulaşılan sonuç 7. Tepe değeri. İhtimal. n tane gerçel sayının toplamının n sayısına bölünmesi ile elde edilen sayı. Bir veri kümesindeki en büyük değerle en küçük değer arasındaki fark YUKARIDAN AŞAĞIYA. Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanılan grafik türü. Yeni bilgiler edinmek ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere verilen ad 4. Herhangi bir konuyu incelemek için gerekli verilerin toplanmasını, toplanan verilerin değerlendirilmesini ve karara varılmasını sağlayan bilim dalı 6. Bir deneyin mümkün olan her sonucuna verilen ad 8. Medyan 9. Örnek uzayın herbir alt kümesi 67

20 Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.. Yorumlamak ve sunmak amacı ile toplanmış, çözümlenmiş ve özetlenmiş gerçeklere... denir.. Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine... denir.. Ortancadan küçük terimlerin ortancasına... denir. 4. Bir deneyden elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine... denir. 5. Bir örneklem uzaya ait iki olayın... boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir. 6. Bir olayın olabilirlik derecesinin ile arasındaki bir gerçek sayıyla gösterilmiş biçimine... denir. 7. Bir veri grubunda en çok tekrarlanan değere... denir. 8. Üst çeyrekle alt çeyreğin farkına... denir. 9. Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türü... dir.. Örnek uzayın her bir alt kümesine... denir. 68

21 Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.. Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek denir.. Aritmetik ortalama; bir merkezi eğilim ölçüsüdür.. Ortanca; bir merkezi yayılım ölçüsüdür. 4. Tepe değeri; bir merkezi eğilim ölçüsüdür. 5. Bir sayı dizisinin terim sayısı tek ise ortadaki terim ortancadır. 6. Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun tepe değeri yoktur. 7. Merkezi yayılım ölçülerinden biri açıklıktır. 8. Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafiklere kutu grafiği denir. 9. İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklere serpilme grafiği denir.. Kutu grafiğinin çizimi için gerekil olan değerlerden biri alt çeyrektir. 69

22 6

23 TEST - Veri, Sayma. 5, 4, 4,, 6, 7, 7, 9, 6 verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5.,, 5, 5, 4,,, 6, 7, 8, 9,, veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. 6,, 6, 9, 7, 8, 8, 5 verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? A) 5,5 B) 6 C) 6,5 D) 7 E) 7,5 6. 6, 5, 6, 7, 9,, 5 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? A) 5 B) 7 C) 7,5 D) 8 E) 8,5. 5, 7, 9,,,, 5, 4, 5,, 7 veri gurubunun tepe değeri kaçtır? A) 7 B) C) 9 D) 5 E) 7.,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 4., 6, 7,, 5,, 8 veri grubunun açıklığı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 8. 6, 4, 8 veri grubunun standart sapması kaçtır? A) B) v C) D) v5 E) 6

24 9. 4 Para (x TL) Kâr Zarar. Kimya Matematik Biyoloji 6 Fizik 8 4 lkbahar Yaz Sonbahar K fl Mevsimler Yukarıdaki grafikte, odun ve kömür satışı yapan bir deponun yılında mevsimlik kâr-zarar durumları gösterilmiştir. Buna göre, bu firmanın yılı aylık ortalama kâr-zarar durumu nedir? A) bin TL kâr B) 5 bin TL kâr C) bin TL kâr D) bin TL zarar E) bin TL zarar Yukarıdaki dairesel grafik, bir öğrencinin bir gün içinde çalıştığı derslere ayırdığı zamanları göstermektedir. I. Matematik ve fizik için ayırdığı süreler eşittir. II. Kimya ve biyoloji için ayırdığı süreler eşittir. III. Matematik için ayırdığı süre, kimya için ayırdığı sürenin iki katıdır. bilgileri veriliyor. Bu öğrencinin kimya dersi için ayırdığı sürenin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 5 B) C) 45 D) 5 E) Milyon ($) thalat hracat. Bir sınıftaki öğrencinin 5 soruluk bir sınavdaki sorular için işaretledikleri şık sayıları ve her sorunun doğru seçeneği tablo halinde verilmiştir. Soru Seçenekler flaretlenme Say lar A B C D E Do ru Seçenek C B. A D B Yıllar Yukarıdaki grafikte Türkiye nin 98- yılları arasındaki ithalat ve ihracat tutarları verilmiştir. İhracatın ithalatı karşılama oranı (%) yüzde olarak en düşük hangi yıldadır? A) 98 B) 985 C) 99 D) 995 E) Tabloda verilenlere göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. İşaretlenme ortalaması en yüksek olan seçenek C seçeneğidir. II. A seçeneği işaretlenme ortalaması, E seçeneği işaretlenme ortalamasından küçüktür. III. öğrencinin bu sorulardaki doğru cevap ortalaması dir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III 6

25 TEST - Veri, Sayma.,,,, 4, 5, 5, 7, 4 verilerinin ortancası ( medyan) kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 7 5.,,,, 4, 6, veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? A) 9 B) C) D) E) 6. 5, 4, 4,,,,,,,,,,,,., 6, 9, 8,,, 6 veri gurbundaki sayıların ortalaması kaçtır? A) B) C) D) E) 4 veri grubunun tepe değeri kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 7. 5,, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. 9,,,,,, 5, 7, sayı dizisinin tepe değeri kaçtır? A) ve B) 9 C) D) ve 5 E) 7 8. Aşağıdaki seçeneklerde verilen veri gruplarının hangisinde medyan, ortalama ve moddan daha büyüktür? A),,, 4, ,, 4, 9,, 7, 5 veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 B) 5, 6, 7, 8, 9, 9, C),,, 4, 7,, D),,, 8,,,, E), 6, 8,, 4, 4, 6 65

26 9. Notlar Ö renci say s Ö renci say s Ö renci say s Yandaki şekilde gösterilen homojen mum, hacmi ile doğru orantılı bir sürede yanmaktadır. Buna göre, mum yakıldıktan bitinceye kadarki boyunu zamana karşı gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir? r r h h Puan Yafllar A) h Boy (cm) B) h Boy (cm) Yukarıda farklı öğrenci grupları için tablo ve grafiklerde verilen bilgilere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? h t 4t Zaman (dk) h t 4t Zaman (dk) A) Notların, tepe değeri 4 tür. B) Puanların, tepe değeri 9 dır. C) Yaşların, tepe değeri 9- dir. D) Notların ortalaması, notların modundan küçüktür. E) Puanların ortalaması, puanların tepe değerlerinin ortalamasından küçüktür. C) Boy (cm) D) E) h h Zaman t 8t (dk) Boy (cm) h h Zaman (dk) t 8t h h Boy (cm) t Zaman (dk) 9t. Ortalama s cakl k gün. gün. gün 4. gün A B C D E 5. gün Günler. Yabancı 5 Yerli Yukarıdaki grafikte, bir ilimizdeki 5 günlük sıcaklık ortalamaları verilmiştir. Bu 5 gün için ortalama sıcaklığın C olacağı tahmin edilmiştir. Buna göre, grafiğin 5. gün hangi noktadan ya da noktalar arasından geçmesi beklenir? A) B C arası B) A B arası C) C D arası D) C E) D Yukarıdaki dairesel grafikte bir otelde bulunan 44 turistin yerli-yabancı oranları gösterilmiştir. Otelden 9 yabancı turist ayrıldığında kaç yerli turist otele gelmelidir ki merkez açılar arasındaki fark mutlak değerce aynı kalsın? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 66

27 TEST - 4 Olasılık. A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarından biri rastgele seçildiğinde bunun ile bölünebilen sayı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) Bir torbada 4 beyaz, 5 kırmızı, mavi bilye vardır. Bu torbadan rastgele seçilen bir bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) Bir tavla zarı atıldığında üste gelen sayının 4 ten küçük olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) Bir torbada 4 tanesi çürümüş 7 tane elma vardır. Torbadan aynı anda alınan iki elmadan birinin sağlam, diğerinin çürük olma olasılığı nedir? A) B) 4 C) D) E) A = {a, b, c, d, e, f}. Bir para iki kez üst üste atıldığında ikisininde yazı gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümenin elemanları arasında a nın bulunma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) Bir para üç kez üst üste atıldığında ilk ikisinin yazı, üçüncüsünün tura gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A olayı, A nın tümleyenidir. A nın olasılığı P(A) dır. PA ( l) =, PA (, B) =, PB ( ) = 4 ise P(A B ) kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 8 67

28 9. İçinde 6 beyaz, siyah ve 7 mavi top bulunan bir torbadan arka arkaya top çekiliyor. Çekilen topların üçünün de beyaz olma olasılığı kaçtır?.,,, 4, 5, 6 rakamları ile rakamları farklı 4 basamaklı sayılar birer karta yazılarak bir torbaya atılıyor. Bu torbadan alınan bir karttaki sayının çift sayı olma olasılığı nedir? A) 7 B) 7 C) 8 D) 6 E) 8 A) 4 B) C) D) E) 4. A = {,,, } kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulabilecek rakamları farklı, üç basamaklı sayılardan biri bir karta yazılıyor. Karttaki sayının 5 e bölünen bir sayı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin evli olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) Bir torbada 5 kırmızı, 4 mavi ve sarı bilye vardır. Torbadan rastgele bilye çekildiğinde ikisinin kırmızı, birinin sarı olma olasılığı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 9 D) 7 E) 5. A B C D E F G L. 6 kişilik bir sporcu grubunda 5 kişi futbol veya basketbol oynuyor. kişi futbol, 4 kişi ise iki oyunu da oynamaktadır. Rastgele seçilen bir sporcunun basketbol oynuyor olması olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 5 4 H Şekildeki yarım çemberin çapı AF dir. Bu noktalardan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgenin köşeleri olma olasılığı kaçtır? A) 4 4 B) 4 C) 7 D) E) 6 68

29 Yazılıya Hazırlık Soruları. Bir vazoda 4 karanfil, 5 gül vardır. Vazodan rastgele çiçek alınıyor. Alınan çiçeklerden birinin karanfil, diğerinin gül olması olasılığı nedir? 4. a, a +, a +, a + 5, a + 7, a + 9, a + sayı dizisinde çeyrekler açıklığı kaçtır?. Bir torbada 6 farklı bilye bulunmaktadır. Çekilen her bilye geriye atılmak üzere çekilişte farklı bilye gelme olasılığı nedir? 5. 6, 8,,, 8,, x Yukarıdaki veri grubunun ortanca değeri 8 olduğuna göre, x in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?. 5,, 7,,, 8, 5,, 5,, verilerinin tepe değeri kaçtır? 6. Üç basamaklı doğal sayılardan biri rastgele seçildiğinde, seçilen sayının rakamlarının çift olma olasılığı kaçtır? 6

30 7. 9. Mutfak 8 m Salon 4 m Oda 4 m Ders Matematik Not 8 Kredi 4 Antre ve koridor m Banyo m Oda 8 m Fizik Kimya Yukarıda bir evin bölmelerinin alanlarına göre dağılım planı verilmiştir. Bu dağılımı gösteren dairesel grafiği çiziniz. Biyoloji 7 Tabloda bir öğrencinin bazı derslerden aldığı yıl sonu notları ve bu derslerinin haftalık kredileri verilmiştir. Öğrencinin kredi ağırlığına göre not ortalaması kaçtır? 8. Bir öğrencinin günde kaç test çözdüğünü gösteren veriler aşağıdaki gibidir.,,,, 4, 4,, 8, 5, 5 Bu verilere ait kutu grafiğini çiziniz.. den e kadar olan ( ve dahil) doğal sayılar içerisinden rastgele seçilen bir sayının 6 veya 8 ile tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? 6

31 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları. 99 ÖYS Bir torbada beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) ÖSS A = {,,, } B = {,,,,, 4} kümeleri veriliyor. A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın ( a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) ÖYS Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbadan rasgele çekilen bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) ÖSS Yandaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üzerinde bulunmaktadır. Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? (Aynı doğru üzerindeki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.). 998 ÖYS Bir torbada tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? A) 7 B) C) D) E) A) B) 7 C) 4 D) 5 E) ÖSS Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır ÖSS Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) I. çark çamaflır makinesi ütü kahve makinesi ütü ütü tost makinesi II. çark Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı kaçtır? A) B ) 5 C ) D ) 5 E )

32 8. YGS Bir torbada kırmızı, beyaz ve sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) LYS Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Bu torbadan aynı anda rastgele bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla bilye olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) LYS A = {,,, 4 } ve B = {,, } olmak üzere A x B kartezyen çarpım kümesinden alınan herhangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) YGS Bir torbada den a kadar numaralandırılmış top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen iki topun numaraları toplamının 5 olduğu bilindiğine göre, 7 numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 5 7. LYS 6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? 7 9 A) B) C) D) E) YGS Aşağıdaki grafikte, beş kişinin boyları ile ilgili bazı bilgiler verilmiştir. Boy (cm) 74. YGS Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rastgele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 4 6 Kifli Bu kişilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. Ayşe ve Kemal aynı boydadır. Bora, Kemal den cm kısadır. Elif, Mehmet ten 6 cm uzundur. Mehmet, Ayşe den cm uzundur. Buna göre, bu kişilerin boy ortalaması kaç cm dir? A) 64 B) 65 C) 66 D) 67 E) 68 64