IUI I I =IYI. 3.6 Ayrrstirma Yontemi. fl 1. ful. IXl = fa I 11.1, I I 1111 (. H-I)

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "IUI I I =IYI. 3.6 Ayrrstirma Yontemi. fl 1. ful. IXl = fa I 11.1, I I 1111 (. H-I)"

Gül Sarı
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 3.6 Ayrrstirma Yontemi Bu yonternde denklem takirmrun katsayilar matrisi iki matrisin carpirru seklinde ifade edilerek katsayilar matrisi iki matrise aynstmhr. Bu matrislerin biri alt ucgen digeri ise list ucgen matris seklindedir, Bu matrislerden list ucg matris Gauss Eleme yontemi sonunda elde ettigimiz katsayilar matrisinin benzeri bir yapidadir. Aynstirma islemini matrissel islemler seklinde asagidakl sekilde gosterilebilir. [A]. [X] =[B] fl 1. ful. Xl = fa U =Y 11.1, 1111 (.K\) (. H-) (3.H ) (.H)

Bu matrislerin biri alt ucgen digeri ise list ucgen matris seklindedir, Bu matrislerden list ucg matris Gauss Eleme yontemi

2 Oogrusal Denklem Takunlannin Coziun Yontemleri 97 Bu tammlamalardan soma son iki esitlikten sonuncusunda yani esitlik (..86)'den [Y] cozulur. Ciinkii bu esitlik Gauss Eleme yontemindeki gelinen noktamn bir benzeri seklindedir. Ancak Bu matris [L] list ucgen degil alt ucgen uuurls seklindedir. Bu durumda esitliklerden ileriye dogru gidilerek hlllnmeyenler olan (y) degerleri bulunabilir. (y) degerlerinin bulunmasindan unra esitlik (3.85)'den [X] cozulur. Esitlik (3.85) Gauss Eleme yontemindeki ll' edilen ust ucgen matris ile bilinmeyenler matrisinin carpmu seklindeki YPOll aymsidir. Burada da sonuncu esitlikten geriye dogru gidilerek hllhtmeyenler Gauss Eleme yonteminde oldugu gibi bulunabilir. Bu son hnlunan degerler (x) degerleridirler, Boylece gercekte aranan bilinmeyenler hulunrnus olur. [A] = [L]. [U] (/1,1 al 2 o J [1 U 1 2 U" j 11 ',1 a2,2 a 2,3 - L 2,1 L2,2 o. 1 U2,3 111,1 a3,2 a 3,3 L 3,1 L 3,2 L 3,3 1 (3.87) (3.88) Esitligin sag tarafmdaki matrisler olan [L] ve [U] matrislerini <;arploll risine esit olmahdir. (L ll.u 12 ) (L? 2~L? l'.u l J (L~'2 +L~'.U'2),,, lull ukundaki esitlikte matrislerin birbirlerine esit olmasi icin elemanlann lldl olnrak birbirlerine esit olmalan gerektiginden asagidaki esitlikler 1dll nzrlabilirler. Hlrlnci suurdan, 1' (3.9a).ll l } = lj l, -tl/ ' (3.9b,c) 11' \ / '.. 54d,e)

Bu durumda esitliklerden ileriye dogru gidilerek hlllnmeyenler olan (y) degerleri bulunabilir. (y) degerlerinin bulunmasindan unra esitlik (3.85)'den [X] cozulur. Esitlik (3.

3 98 ikinci satirdan, L21,U2 +L22 = ~2 L22 = a22-l21,u2 NumerikAnaliz (3.9f,g) (3.9h,i) (3.9j) /)()~rusal Denklem Takimlarirun Cozum Yontemleri ~atsayllar matrisinde sifir yapilan elernanlann yerine bu carpanlar \''j '$tmlecek olursa asagidaki matris elde edilir. Boylece alt ucgen rnatrisi 1\1~turac~.elemanlar da ayru matriste, katsayilar matrisinde saklannus olur. yrica esitlik (3.91) da gorulecegi gibi eleme sonunda elde edilen denklem n~1111ndakats.ayllar matri~i degismis ve [U] matrisi sekline donusmus, lilll11e~~nler yine [X 1 seklinde durmakta ve esitlik vektoru degismis ve yeni vc~tor ol.u~mu~tur. Bu yeni esitlik vektorune dikkatlice bakildiginda [Y] ~tl)rune esit oldugu gorulecektir. Cunku [U].[X]=[Y] oldugu bilinmektedir. Jll lcce eleme sonunda zaten (y) degerleri bulunmus olur. Ucuncu satirdan, L 31,U 13 +L32 U23+L33= a33 L 31,U12 +L32 = a32 L32 = a32-l31,u2 L33= (~3-L31 U3-L32 U23 (3.9k,l) (3.9m,n) (3.9) ["" a131 r 1 1" a131 f2l a22 a > f21 1 O. a22 a23 (3.93) f31 f32 a33 f31 f32 1 a33 [U] ve [L] matrisinin elemanlan bulunduguna gore daha onceki tammlamalardan yani [L]. [Y] = [B] esitliginden [Y].;ozlillir. Cunku bu esitlikte [B] denklem takimmdaki esitlik vektoru olup tek bilinmeyen [Y] vektoru elemanlandir. kinci asamada ise [U]. [X] = [Y] esitliginden [U] ve [Y] bilindigine gore esas bilinmeyen olan [X] vektoru coztilerek sonuca gidilebilir Ȧynstirma yontemi ile Gauss eleme arasmda bir benzerlik gortinmese de Ayristirrna yonteminde elde edilen alt ve list ucgen matrislerin eleme ile elde edilebilecegi bilinmektedir. Yukandan da soylendigi gibi list ucgen matris [U1 zaten Gauss eleme sonunda elde edilen matrisin benzeridir. (3.91 Yukandaki matrislerden eleme sonunda Sfr yapilan kosegen altmdn kalan elemanlar sifir yapihrken asagidaki carpanlann kullaruldrklun haurlanacakur. Birinci satm (hi) ile carpip ikinci-satirdan cikararak (a21)sll'l' yapilrms benzer sekilde birinci saur (h) ile 9arpllarak ucuncu saurdun crkanlarak (a31) sifir yapilrmsu. Benzer sekild ikin 'j 1im asamasinda (ill ikinci saur (fj2) il arprhp i\yiin Lisaurdan ikanluruk 1'111'11' yapilmrsu. [L+:1 ~l rail a l3 j 1 [u]= ~ a22 a23 (3.94) f31 f32 a33 Bu~a?a. yukanda soz edildigi gibi [U] ve [LJ matrisinin carpimi ll1atr~sml vereceginden aynstirma isleminin dogru oldugu loll" iktir. Ancak aynstirma i$leminde carpilan iki matnsin cnl rinde birinde bir digerinde ise birden farkh carpanlar rluumakradir. Kosegen elemanlan yer degistirdiginde matrislerin pt 1111?egi~meyecektir. Bir baska gosterimler [LJ ve [U] matrisleri ulnki sekilde de yazilabilirdi. al31rall or f32 a33 f31 f32 a33 1 a13 a22 a23 = f21 a22 o. 1 a23 [a, o ] [) l :112 r~1 u22 () a ~. ] r \1 r \ \ () \.. () J (3.95) (.,96)

elemanlar da ayru matriste, katsayilar matrisinde saklannus olur. yrica esitlik (3.91) da gorulecegi gibi eleme sonunda elde edilen denklem n~1111ndakats.

4 1 --"Numerik Analiz Bu yazim seklinde bu bolumun basinda aynk matrislerin carpunmdan elde edilen asagidaki esitliklerin Gauss eleme ile elde edilen bu ayn~trrma isleminde de [L] ve [U] matrislerinin aym elemanlardan olustugu gbrtilmektedir. Onceki aynstirma islemindeki gibi eleme islemi sonunda Lu=au, U12=an/all, U13=an!all oldugu ve diger elemanlannda bunlar gibi ayristrrmada elde edilen degerlere esit ~lkt1g1gbrtilmektedir. Ornek3.9 A~agldaki denklem takinuru ayn~tlrma yonterni ve ayn~trmanm ikinci sekli olana Gauss eleme ile elde edilen katsayilar matrisinden yararlanarak cozunuz. xr + 2X2+ 3X3= 14 2Xl + 5X2+ 2X3= 18 3Xl + X2+ 5X3= 2 /)ogrusal Denklem Takunlannin Cozion Yontemleri 11 ~~~l 4l r r~ ~ ~lr~~ - 3 = [A] = [L]. [U] [L]. [Y] = [B] oldugundan simdi (y) degerlerini bulahm. r~~ ~l r~~l =r~:l Y3 2 y =14 Y2 =18-2(14)=-1 Y3 = [2-3(14) - (-5)(-1)] / 24 = 3 U]. [X] = [Y] oldugundan simdi (x) degerlerini bulahm. Cozum 1. : 2 3] lll,l = Lz,\ L3.1 [A] = [L]. [U] oldugundan [L] ve [U] matrislerinin elemanlanm aynstrrma yonteminde verilen esitlikleri kullanarak bulahm, x =3 x 2 = -1 - (-4)(3) = 2 = 14-3(1):- (2)(2) = 1 L 21 = ~= 2 L22= a22-l21 U12=5-2(2) = 1 U 23 = (~3-L21,U13)/L22=[2-2(3)]/l =):\. L = ~\= 3 L32 = a32-l 31 3 \,U\2=1-3(2) =-5 L33 = a 33 -L 31 U13-L32,U23=5-3(3)-(-5)( -4) = ). 5 2][:~1=[~:1 5 X 3 l'lllill\ ~'11hiriuc] ~ t! 1 ~P

all oldugu ve diger elemanlannda bunlar gibi ayristrrmada elde edilen degerlere esit ~lkt1g1gbrtilmektedir. Ornek3.

5 12 ~ Numerik Analiz Dogrusal Denklem Takimlanrun Cozum Yontemleri 13 Yl =14 Y2 = 18-2(14)= -1 Y3 = [2-3(14)- (-5)(-1)]/1 =-72 Gauss eleme sonunda elde edilen katsayilar matrisi ve esitlik vektoru asagidaki sekilde bulunur. ncak (y) degerlerini buradaki gibi bulmadan, eleme sonundaki esitlik vektoru zuten [Y] vektorune esit oldugundan [Y]=[14,-1,-72] dogrudan ahnabilirdi. Eleme isleminde kullandigrrruz carpanlar f2" f31 ve f32 ~~karlda bilindiginden katsayilar [U] ve [L] matrisi asagidaki sekilde olusturulabilir. [LJ = [f:l ~H~ [ 2 3 j ~j 1 1 [U]= 1-4 f31 f32-5 o -24 [L]. [U] = [A] [~ 2 H m~ Katsayilar matrisinden aynsunlan matrisler [L) ve [U] elde ~d.ildigine gor \ asamadan sonra [L]. [Y] = [B) e~i~1iginden. ~y) d g rlerini, daha sonra dll [U].[X] = [Y] esitliginden (x) degerleri bulunabilir. ;j X3 = 3 x2 = -1-(-4)(3) = 2 Xl = 14-3(3)- (2)(2) = 1 Bu cozumde esitlik vektoru eleme dismda tutulursa zaman (y) 'rleri esitlik vektorune esit olmaz ve alt ucgen matris kullamlarak ileriye ) 'Ll yerine koyarak bulunmahdir. (y) degerlerinin bulunmasmda asagidaki tlik (97) kullarulabilir. Arkasmdan bulunan (y) degerleri kullamlarak list ~. matriste degerler geriye dogru yerine konularak (x) degerleri ulunrnahdir. (y) degerlerinin bulunmasmda asagidaki esitlik (98) kullamlabilir. \ sitliklerin taslak program icinde kullaruhsi asagida gosterilmistir, Burada Hlll edilmesi gereken onemli nokta eleme esnasmda esitlik vektorunun tlllll1amasloa ozen gosterilmelidir, i- hi - "" (.~... b.) s:.j J j=1 hi (ul.j'x J " 1 =, n (3.97) ", "" 11

Eleme isleminde kullandigrrruz carpanlar f2" f31 ve f32 ~~karlda bilindiginden katsayilar [U] ve [L] matrisi asagidaki sekilde olusturulabilir.

6 14 Nurnerik Anali; Aynstirma yonteminde katsayilar matrisinin aynstmlmasi icin Gauss eleme yonterninde kullarulan algoritma iizerinde kucuk bir degisiklik yapilarak bu yontem icinde kullarulabilir. Katsayilar matrisi iizerinde hem elemenin yapildigi hem de carpan f'aktorlerinin ayru matris icinde saklandigi program taslagi asagidaki kutuda verilmistir, Bu algoritmada esitlik vektoru eleme islemi dismda tutulmustur. Eger esitlik vektoru elemeye dahil edilirse degisiklige ugramadan once bir baska diziye aktanlarak sonra kullarulmak iizere saklamlmahdir. Cunku (y) degerlerinin bulunmasinda bu degerlerin kullamlmasma gerek duyulacaktir. ' Procedure Ayristumaia.b.n.x} DO k=l, n-1 DO i=k+1,n j=a(i,k)/a(k,k) a(i,k)=j DOj=k+1, n a( i,j) = a( i,j)-f*a( k,j), leriye dogru (y) bulma islemi DO i = 2, n - DO j = 1, i-1 b(i) = b(i)- a(i,j)*bu), Geriye dogru (x) bulma islemi x(n) = bin) / a(n,n) DO i = n-1, 1, -1 t=o DOj=i+1,n t = t + a(i,j) * x(j) xii) = (b(i) - t) / a(i,i) End Procedure

islemi dismda tutulmustur. Eger esitlik vektoru elemeye dahil edilirse degisiklige ugramadan once bir baska diziye aktanlarak sonra kullarulmak iizere saklamlmahdir.

Benzer belgeler

3.7 Gauss Siedel ydntemi

3.7 Gauss Siedel ydntemi Bu yontern iterasyonla bilinmeyenleri bulma yontemidir. Esitlikler sirasiyla baslangic degerlerinden yararlamlarak ardisik olarak cozulurler. Eger denklemlerde siralama yonunden