İSTATİSTİK İSTATİSTİK. Şimdi de aynı verileri sütun grafiği ile gösterelim. TANIM

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İSTATİSTİK İSTATİSTİK. Şimdi de aynı verileri sütun grafiği ile gösterelim. TANIM"

Transkript

1

2 İSTATİSTİK Şimdi de aynı verileri sütun grafiği ile gösterelim. TANIM Araştırma yapılarak verilerin toplanması, toplanan verilerin analiz edilmesi ile ilgili yöntem ve teknikleri inceleyen bilim dalına istatistik denir. İstatistik çalışmaları sonucunda elde edilen bilgiler tablo ya da grafik üzerinde gösterilebilir. Böylece bilgileri görsel biçimde görüp daha kolay yorumlayabiliriz ciro B A C A B C A B C y l ÖRNEK 1 Afla daki tabloda A, B ve C flirketlerinin yıllara göre cirolar gösterilmifltir. YIL ŞİRKET A B C Yıllara göre, A ve C şirketlerinin ciroları artmış, B şirketinin cirosu ise azalmıştır. Üç yıllık sürede en yüksek ciroyu C şirketi yapmıştır.... Yukarıdaki tablodan daha birçok yorum da çıkartılabilir. Yukarıda tabloda gösterilen verileri çizgi grafik ile gösterelim ciro C A B Yukarıdaki çizgisel grafikte, bir önceki tabloda verilen yorumlar yapılabilir. y l ÖRNEK Aşağıda bir mağazanın bir günlük sürede sattığı ürünler ve miktarları sütun grafiğiyle gösterilmiştir adet Gömlek Kazak Pantolon ürünler Yukarıda sütun grafik ile gösterilen verileri dairesel grafik ile gösterelim. Dairesel grafik ile göstermek için, gömlek, kazak ve pantolon miktarlarının dairesel grafikte hangi açıya karşılık geldiğini bulalım. Toplam ürün = = 180 adettir. 60 Gömlek oranı: Kazak oranı : Pantolon oranı : = (10 ile gösterilir) = (80 ile gösterilir) = (160 ile gösterilir)

3 Bu durumda dairesel grafik D) En az kitab = 80 sayfa ile Zeynep okumuştur. Gömlek Kazak Pantolon artm 80 artm E) 'ta 40 artm fl = = % 100 artm fl Cevap : E şeklinde gösterilebilir. ÖRNEK 3 Aşağıdaki tabloda Miray, Büşra ve Zeynep isimli öğrencilerin üç günlük sürede okudukları kitapların sayfa sayıları gösterilmiştir. ÖRNEK 4 Aşağıda Ürgüp ve Antalya'ya beş farklı ülkeden 010 yılında gelen turist sayıları (bin) gösterilmiştir. Günler İsimler P.tesi Salı Çarşamba Miray Büşra Zeynep Almanya Rusya İngiltere İtalya Arabistan Yunanistan Ürgüp Antalya Bu kişilerle ilgili aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) Miray toplam 950 sayfa kitap okumuştur. B) Miray hergün bir önceki güne göre %50 oranında daha fazla kitap okumuştur. C) Büşra toplam 370 sayfa kitap okumuştur. D) Toplam olarak en az kitabı Zeynep okumuştur. E) Zeynep hergün bir önceki güne göre, %50 oranında daha fazla kitap okumuştur. A) Miray toplam : = 950 sayfa kitap okumuştur. 100 artm 150 artm B) Miray de 100 artm fl = = % 50 artm fl de 150 artm fl = = % 50 artm C) Büflra toplam : = 370 sayfa kitap okumufltur. Yukarıdaki tabloda gösterilen verileri serpilme grafiği ile gösterelim Ürgüp e gelen turist say s (bin) Antalya ya gelen turist say s (bin) Yukarıdaki serpilme grafiğinden "Antalya'ya gelen turist arttığında Ürgüp'e gelen turist nda da artış olmaktadır." şeklinde yorum yapılabilir. "Yapılan araştırmalar sonunda, Antalya'ya deniz turizmi için gelen turistler deniz turizmi haricinde doğal güzellikleri olan Ürgüp'ü de gezip gördükleri tespit edilmiştir." 183

4 ÖRNEK 5 Afla daki çizgisel grafikte, bir sat c n n bir hafta boyunca satt ürünlerin say lar gösterilmifltir. ÖRNEK 6 Afla daki sütun grafikte bir okuldaki öğrencilerin tercih ettikleri derslere göre sayıları gösterilmiştir. ürün say s ö renci say s P.tesi Sal Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar Günler Tarih Felsefe Co rafya Türkçe Matematik dersler Buna göre, afla dakilerden hangisi yanl flt r? A) Satıcı bir haftal k sürede toplam 750 tane ürün satm flt r. B) Satıcının cumartesi günü satt ürün bir haftada satt ürünün %0'si kadard r. C) Satıcının sal ve çarflamba günü satt ürün say lar ayn d r. D) Satıcı en az ürünü pazartesi günü satm flt r. E) Satıcı en fazla ürünü pazar günü satm flt r. A) Sattığı toplam ürün = = 750 B) Cumartesi günü 150 ürün satmıştır. Toplam 750 ürün sattığından oranı : = = = % 0 oranındadır C) Salı ve çarşamba günü 100'er tane ürün satmıştır. D) En az ürünü perşembe günü (40 tane) satmıştır. E) En fazla ürünü pazar günü (160 tane) satmıştır. Cevap : D Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) En az tercih edilen ders felsefedir. B) Matematik dersini tercih edenler, bu dersleri tercih edenlerin toplamının 3 1 ü kadardır. C) Tarih ve coğrafya dersini tercih edenlerin sayıları birbirine eşittir. D) Türkçe dersini tercih edenlerin felsefe dersini tercih edenlerin ndan 100 fazladır. E) En fazla matematik dersi tercih edilmiştir. A) 100 öğrenciyle en az tercih felsefeye yapılmıştır. B) Toplam tercih = 100 matematiği tercih edenlerin = = 3 oranındadır. C) Tarih ve coğrafya dersini 00'er kişi tercih etmiştir. D) Türkçe dersini 300, felsefe dersini 100 kişi tercih etmiştir = 00 kişi yapar. E) En fazla tercih 400 kişiyle matematik dersindedir. Cevap : D 184

5 ÖRNEK 7 HİSTOGRAM Aşağıda, dört çeşit ürünün toprağa ekilme oranları daire grafiğiyle gösterilmiştir. Pamuk TANIM Bir dağılımda değişikliklerin sınıflandırlması ve bu verilerin dağılımının sütun grafikleri ile gösterilmesidir. M s r Ayçiçe i Bu day Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) En çok ekili alan buğdaya aittir. B) Ayçiçeği ekili alan mısır ekili alandan fazladır. C) Pamuk ekili alan ekili alanların tamamının 4 1 ü kadardır. D) Buğday ekili alan ayçiçeği ekili alandan %50 oranında fazladır. E) Pamuk ekili alan buğday ekili alanın %80'ine eşittir. Grafik incelendiğinde, A) 10 ile en çok ekili alan buğdaya aittir. B) Ayçiçeği 80 ile, mısır 70 ile gösterildiğinden doğrudur. 90c 1 5 C) = = = % 5 360c D) Buğday = 10 Ayçiçeği = 80 40c 1 50 = = = % 50 80c 100 E) Pamuk ekili alan = 90 Buğday ekili alan = 10 olup ÖRNEK 8 Bir topluluktaki 0 kişinin yaşları, 3, 4, 4, 4, 7, 10, 1, 13, 14, 15, 0, 1,, 3, 8, 30, 34, 36, 41 dir. Verileri gruplayalım. Veri grubunun açıklığı = En büyük veri En küçük veri = 41 = 39 Veri grup keyfi olarak belirlenebilir. Veri grup nı 10 alalım ve veri genişliğini bulalım. 39 Veri grubunun genişliği = = 39, " 4 kabul 10 edelim. Veri genişliği 4 olduğundan, 3, 4, 5 puan alanların aralığı : -5 6, 7, 8, 9 puan alanların aralığı : , 39, 40, 41 puan alanların aralığı : Şeklinde 10 tane grup oluşturalım. Tabloyu oluşturalım oran = = = = % 75 ine eşittir Cevap : E 185

6 yafl aral kifli say s ÖRNEK 9 Bir okuldaki öğrencilerin okudukları kitap sayılarının aralığı aşağıda verilmiştir. okunan kitap say lar aral ö renci say s Tablodaki verilerle histogram oluşturunuz ö renci say s kifli say s okunan kitap aral yafl grubu Grafikte yatay eksende 1- aralığında hiç veri olmadığından yanlış yorumlara yol açmamak için zik zak kullanılır. Histogramda veri grubunun en fazla olduğu yaş aralığı -5, en az olduğu yaş aralıkları, 6-9, 6-9, 30-33, aralıklarıdır. "Mihrican solaktı ancak ilkokula başladığında öğretmeni bu duruma karşı çıkmış ve Mihrican ın annesini okula çağırarak, birlikte kesin ve ödün vermez bir tutum takınırlarsa Mihrican ın sağ elle yazı yazmayı öğrenebileceğine inandığını söylemiş. Anne kabul etmiş ve kızıyla konuşmuş. Mihrican karşı çıkmamış ama bir koşul ileri sürmüş: Mihrican sağ elle yazı yazmayı öğrenmeye çalışacak ama bu esnada evdeki herkes de onun tersine sol elle yazı yazmayı ve sol elle yemek yemeyi, kısacası sol elini kullanmayı öğreneceklermiş. Onlar denemeyi sürdürdüğü sürece Mihrican da sürdürecekmiş. " 186

7 ÖLÇME SONUÇLARI ÜZERİNDEKİ İSTATİSTİK İŞLEMLER Yapılan sınavlardaki puanlar verildikten sonra, önce puanlar sıraya konur. Daha sonra merkezi eğilim ölçüleri aritmetik ortalama, mod (tepe değer), medyan(ortanca) bulunur. Daha sonra ranj (açıklık), standart sapmayı bulup yorumlar yapabiliriz. Test İstatistikleri ¾ Verilerin tamamı dikkate alınarak hesaplanan aritmetik ortalama, verilerin bir ya da birkaçı hesaplanarak elde edilen mod ve medyana göre daha fazla bilgi taşır. ÖRNEK 9 Türkçe dersine giren befl ö rencinin alm fl oldu u puanlar 3, 5, 8, 10, 4 oldu una göre, bu da l m n aritmetik ortalamas kaçt r? Merkezi Eğilim (yığılma) Ölçüleri Merkezi Dağılım (yayılma) Ölçüleri 1. Aritmetik ortalama 1. Ranj (açıklık). Ağırlıklı ortalama. Alt çeyrek, üst çeyrek, 3. Mod (tepe değer) çeyrekler açıklığı 3. Standart sapma 4. Medyan(ortanca) MERKEZİ EĞİLİM (YIĞILIM) ÖLÇÜLERİ Merkezi eğilim ölçüleri, dağılımdaki verilerin hangi puan etrafında toplandığı hakkında bilgi verir. 1. Aritmetik ortalama: Ölçümlerin toplamının ölçüm na bölünmesiyle elde edilir. Aritmetik ortalama bir dizideki ölçülerin ağırlık merkezidir. Öçü l mlerintoplam Aritmetik ortalama = Öçü l msays Puanlarntoplam Aritmetik ortalama = Ö rencisay s. Ağırlıklı ortalama: = = 6 5 Puanlara farklı ağırlıklar (krediler) verilerek hesaplanır. Ağırlıklı ortalama bulunurken herbir dersten alınan puan kredisiyle çarpılarak elde edilen çarpımlar toplanır ve bulunan sonuç bütün derslerin kredileri toplamına bölünür. ÖRNEK 10 Bengü'nün okuldaki ald dersler ve haftal k ders saatleri(kredileri) afla da verilmifltir. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Aritmetik ortalamayı veren formül: x : Aritmetik ortalama / x : Ölçümlerin toplamı n : Ölçüm Aritmetik ortalama ile x = /x n Grubun ortalama baflar düzeyi Grubun genel baflar düzeyi Grubun a rl k merkezi Testin ortalama güçlük düzeyi Uygulanan program ve ö retmenin etkinli i hakk nda yorumlar yapabiliriz. Dersler Haftal k Ders Saati (kredi) Puan Türkçe 4 4 Matematik 5 3 Fen Bilgisi 3 Sosyal Bilgiler 3 5 Yabanc Dil 4 Resim 1 5 Müzik 1 5 Beden Eğitimi 1 4 Buna göre, Bengü'nün a rl kl puan ortalamas kaçt r? A),8 B) 3 C) 3, D) 3,5 E) 3,7 187

8 A rl kl not ortalamas bulunurken, herbir dersin notu haftal k ders saati ile çarp larak bu çarp mlar n sonuçlar toplan r ve ders saatleri toplam na bölünür = = 3,7 Cevap : E Ortalama= = 50 olur. 10 puan alan 3 bir öğrenci daha gruba eklensin Ortalama= = 40 oldu. 4 yani gelen öğrenci ortalamayı değiştirdi. Gelen öğrencinin puanı 50 olsaydı Ortalama= = 50 ortalama değişmezdi. Yani gruba sonradan gelen bir öğrenci 4 grubun ortalamasını değiştirebilir de değiştirmeyebilir de. E) Örneğin on kişilik bir grubun puan ortalaması 40 olsun. Yalnız bu bilgiyle bu grupta en yüksek ve en düşük puan alanı bulamayız. Cevap : E ÖRNEK 11 Aritmetik ortalama ile ilgili aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır? Frekans: Bir ölçme işleminde bir puanın kaç öğrenci tarafından ya da bir ölçümün kaç tane olduğunu gösteren sayıdır.örneğin bir sınavda 80 puan alan 5 öğrenci, 70 puan alan 3 öğrenci varsa, 80'in frekansı 5 ve 70'in frekansı 3'tür. A) Öğrencilerin öğrenme düzeyinin önemli bir göstergesidir. B) Testin zorluğu ya da kolaylığı hakkında bilgi verir. C) Ölçümlerin toplamının ölçüm na bölünmesiyle bulunur. D) Dağılıma yeni bir veri eklenmesi ortalamayı değiştirmeyebilir. E) Gruptaki en başarılı ve en başarısız öğrenci hakkında bilgi verir. A) Aritmetik ortalama grubun ortalama başarısını ölçtüğünden dolayı öğrencilerin öğrenme düzeyini ortalama olarak ölçüp bilgi vermiş olur. B) Aritmetik ortalamanın değeri küçük ise test zor, aritmetik ortalamanın değeri büyük ise test kolaydır. C) Aritmetik ortalama, ölçümlerin toplamının ölçümlerin na bölünmesiyle elde edilir. D) Örneğin üç öğrenci sınavlardan 40, 50 ve 60 alsın. 3. Mod (Tepe de er): Ölçümlerde en çok tekrarlanan değerdir. Başka bir ifadeyle frekansı en yüksek olan değerdir. ÖRNEK 1 Coğrafya dersine giren on öğrencinin almış olduğu puanlar 5, 30, 30, 40, 90, 10, 90, 15, 100, 90 olduğuna göre, bu dağılımın modu kaçtır? A) 10 B) 5 C) 30 C) 90 E) 100 Önce puanları küçükten büyüğe doğru sıralayalım. 10, 15, 5, 30, 30, 40, 90, 90, 90, 100 En çok tekrar eden, yani frekansı 3 olan değer 90'dır. 188

9 Bu dağılımın modunu frekans-puan grafiği çizerek gösterelim. frekans 3 1 frekans Mod(tepe de er) puan puan Grafikten fleklin tepe de erinin oluflmad ı görülebilir. Cevap : E Grafikte en yüksek noktada 90 puan alanların 3 tane olduğu görülmektedir. Bu durumda grafikten en yüksek frekansa sahip değerin 90 olduğu görülmektedir. Cevap : D ÖRNEK 14 Geometri dersine giren on ö rencinin alm fl oldu u puanlar 30, 40, 40, 40, 50, 50, 60, 60, 60, 70 oldu una göre, bu da l m n modu kaçt r? Frekans Da l m na Göre Mod Bulma Bir da l mda bütün puanların frekans ayn ise bu da l m n modu yoktur. A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 40 ve 60 ÖRNEK 13 Matematik dersine giren alt ö rencinin alm fl oldu u puanlar 40, 40, 60, 60, 70, 70 oldu una göre, bu da l m n modu kaçt r? A) 0 B) 40 C) 60 D) 70 E) Yoktur. 40 ve 60 n frekans üç oldu undan bu da l m çift modludur. 3 1 frekans puan 40' n frekans 60' n frekans 70'in frekans Grafikte iki tane tepe de er görülmektedir. 40 ve 60 puanlar n n frekans 3 oldu undan da l m çift modludur. Cevap : E Bütün puanlar n frekans eflit oldu undan grafikte tepe de er oluflmayaca ndan mod yoktur. Bu da l m n modunun olmayaca n frekanspuan grafi i çizerek gösterelim. 189

10 4. Medyan(Ortanca): Küçükten büyü e veya büyükten küçü e do ru s ralanm fl bir da l m tam ortadan ikiye bölen de erdir.ölçümlerin yar s bu de erin üstünde, di er yar s bu de erin alt nda yer al r. ÖRNEK 17 Felsefe dersine giren sekiz ö rencinin alm fl oldu u puanlar 15, 5, 30, 40, 50, 60, 70, 70 oldu una göre, bu da l mda medyan (ortanca) kaçt r? A) 15 B) 0 C) 30 D) 45 E) 50 ÖRNEK 16 Tarih dersine giren yedi ö rencinin alm fl oldu u puanlar 30, 80, 80, 40, 50, 5, 10 oldu una göre, bu da l mda medyan (ortanca) kaçt r? A) 10 B) 5 C) 30 D) 40 E) 50 Puanlar küçükten büyü e do ru s ralayal m. ortadaki terim 10, 5, 30, 40, 50, 80, 80 3 terim 3 terim Çift say da ö renci oldu undan ortanca terim ortada yer alan iki terimin toplam n n yar s olur. 10, 5, 30, 40, 50, 60, 70, 70 3 terim 45 8 sekiz terim oldu undan = 4 3 terim Bafltan ve sondan 4. terim bulunarak toplan p ikiye bölünür. Bafltan 4. terim = 40 Sondan 4. terim = 50 n öğrenci olmak üzere, tek say da ö renci oldu undan ortanca terim n + 1 formülüyle bulunabilir = 45 bulunur. ÖRNEK 18 Cevap : D = = 4 ortanca terim 4. terim yani 40't r. Cevap : D Kimya dersine giren onbefl ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 0, 5, 30, 30, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 60, 70, 80 oldu una göre, bu da l mdaki merkezi e ilim ölçülerini bulal m. Ortanca bir puan dağılımındaki uç değerden ve bu değerlerin büyüklük ve küçüklüklerinden etkilenmez. Örneğin, 10, 0, 40 şeklinde olan bir dağılımda ortanca 0'dir. 5, 0, 90 şeklinde olan bir dağılımın da ortancası 0 'dir. İkisinde de ortanca 0 ama uç değerler farklıdır. Ortanca bir dağılımdaki ölçme ndan etkilenir. Örneğin, 1,, 3 olan dağılımda ortanca, bu dağılıma 8, 15, 17, 19 olan dört tane eleman eklendiğinde 1,, 3, 8, 15, 17, 19 şeklinde olan dağılımın ortancası 8 olur. Puanlar n Toplam Aritmetik ortalama= Veri says 600 = = Frekans en yüksek olan yani en çok tekrar eden puan 30'dur. 30'un frekans 4'tür. Bu da l mda mod 30'dur. 10, 0, 5, 30, 30, 30, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 60, 70, 80 7 tane ortanca terim Medyan (ortanca) 30 dur. 7 tane 190

11 Aritmetik ortalama, medyan ve moda göre, bize grup hakk nda daha çok bilgi verir. Çünkü ortalama bulunurken verilerin tamam iflleme kat l r, medyan bulunurken verilerin yar s, mod bulunurken verilerin bir veya birkaç iflleme kat l r. Grup hakk nda bize en çok bilgi verenden en az bilgi verene do ru s ras yla; aritmetik ortalama, medyan ve mod diyebiliriz. Ortalama uç (en büyük - en küçük) de erlerden etkilenir. Medyan uç de erlerden etkilenmez. Uç de erler çok büyük ya da çok küçük olsa da medyan yine ortanca terimdir. Mod en çok tekrar eden de er oldu undan uç de erlerden etkilenmez. MERKEZ DAĞILIM (YAYILMA) ÖLÇÜLER Yay lma ölçüleri, ölçümlerin homojenli ini ya da heterojenli ini veya ölçümlerin ortalamadan ne kadar uzaklara yay ld ölçme sonuçlarının merkezi eğilim ölçüleri etrafında nasıl bir dağılım gösterdiği hakkında bilgi verir. 1. Ranj (Açıklık): Da l mdaki en büyük de er ile en küçük de er aras ndaki farkt r. Ranj (aç kl k de eri) bir puan dağılımındaki en küçük ve en büyük ölçme sonucu, yani uç değerler tarafından belirlendiği için kabaca bir hesaplama olduğundan kullanışsız bir ölçüdür. ÖRNEK 19 Biyoloji dersine giren yedi ö rencinin alm fl oldu u puanlar 0, 30, 40, 45, 50, 5, 95 oldu una göre, bu da l m n ranj kaçt r? A) 0 B) 30 C) 40 D) 45 E) 75 En büyük de er : 95 En küçük de er : = 75 bulunur. Cevap : E Ranj (açıklık) değeri dikkate alınarak yapılacak yorumlar yüzeyseldir. Elimizde sadece ranj değeri varsa aşağıdaki yorumları yapabiliriz. Ranj n büyük ç kmas genel olarak; grubun hete- rojen oldu unu yani ö renme düzeyleri aras ndaki farkl l klar n yüksek oldu unu, testin bilenle bilmeyen ö renciyi ay rt etti ini gösterir. Ranj n küçük ç kmas grubun homojen oldu unu ö renme düzeyleri aras ndaki farkl l klar n az oldu unu, testin bilenle bilmeyen ö renciyi ay rt etmedi ini gösterir. Alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı: Verilerin ortanca değeri bulunur ve ortanca değer verileri eşit iki gruba ayırır. Ortanca değerin altında kalan değerlerin bulun- duğu grup alt grup, ortanca değerin üstünde kalan değerlerin bulunduğu grup üst gruptur. Alt grubun ortanca değeri alt çeyrek, üst grubun ortanca değeri üst çeyrektir. Üst çeyrek ile alt çeyreğin farkı çeyrekler açıklı- ğıdır. ÖRNEK 0 Matematik dersine giren 13 ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70, 80, 80, 90 oldu una göre, bu da l m n aç kl, alt çeyre i, üst çeyre i, çeyrekler aç kl n bulal m. Veri tek olduğunda medyan veri grubundan çıkarılır. 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70, 80, 80, 90 ortanca de er Açıklık = = 80 bulunur. {10, 0, 0, 5, 30, 40} veri grubundaki ortanca değer alt çeyreği verir. Alt çeyrek = =,5 {60, 70, 70, 80, 80, 90} veri grubundaki ortanca değer üst çeyreği verir. Üst çeyrek = = 75 bulunur. Çeyrekler açıklığı = 75,5 = 5,5 bulunur. 191

12 ÖRNEK 1 Mustafa'n n baz günlerde kazand paralar n miktarlar 10, 0, 30, 15, 45, 70, 80, 85, 95, 15, 5 lira fleklindedir. Buna göre, bu grubun aç kl nı, alt ve üst çeyre ini ve çeyrekler aç kl n bulal m. 10, 15, 15, 0, 5, 30, 45, 70, 80, 85, 95 Çeyrekler aç kl uç de erlerden az etkilen- di inden grubun verilerin yay lmas hakk nda ranj (açıklık) göre daha iyi sonuç verir. Kutu Grafiği (5 sayılı Özet) Kutu grafiği bir veri grubundan elde edilen en küçük değer, en büyük değer, alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini içeren bir grafiktir. Bu istatistiki bilgiler aşağıdaki gibi gösterilir. ortanca de er En küçük değer Alt çeyrek Ortanca Üst çeyrek En büyük değer Açıklık = = 85 bulunur. {10, 15, 15, 0, 5} veri grubundaki ortanca değer alt çeyreği verir. Alt çeyrek =15 bulunur. {45, 70, 80, 85, 95} veri grubundaki ortanca değer üst çeyreği verir. Üst çeyrek =80 bulunur. Çeyrekler açıklığı = = 65 bulunur. ÖRNEK Matematik dersine giren 10 ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70 oldu una göre, bu da l m n aç kl, alt çeyre i, üst çeyre i, çeyrekler aç kl n bulal m. Veri çift olduğunda veri aşağıdaki gibi iki gruba ayrılır. ÖRNEK 3 Bir toplulukta bulunan dokuz erkeğin yaşları 0, 3, 5, 8, 9, 30, 38, 48, 50 ve sekiz kızın yaşları 10, 1, 14, 16, 0, 4, 30, 34 olarak veriliyor. Buna göre, bu toplulukta bulunan erkek ve kızların yaşları için en büyük değer, en küçük değer, alt çeyrek, ortanca, üst çeyrek değerlerini tabloda gösterelim. Erkekler için en küçük de er 0, 3, 5, 8, 9, 30, 38, 48, = 4 ortanca de er = 43 en büyük üst de er Alt çeyrek Üst çeyrek Kızlar için 10, 1, 14, 16, 0, 4, 30, 34 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70 Alt grup Üst grup en küçük de er = 13 alt çeyrek = 18 ortanca de er = 7 üst çeyrek en büyük üst de er Açıklık = = 60 bulunur. Alt grubun ortanca değeri alt çeyreği verir. Alt çeyrek = 0 bulunur. Üst grubun ortanca değeri alt çeyreği verir. Üst çeyrek = 60 bulunur. Çeyrekler açıklığı = 60 0 = 40 bulunur. En küçük değer Alt çeyrek Ortanca Üst çeyrek En büyük değer Erkek Kız Hazırlanan bu tablodaki bilgileri kutu grafiğine aktaralım. 19

13 Erkek Kız Cinsiyet ÖRNEK 4 Cebir dersine giren dört ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 40, 60, 90 oldu una göre bu da l m n standart sapmas kaçt r? A) 0 B) 4 C) 8 D) 30,4 E) 33, öğrenci yaşları. Standart Sapma ve Varyans: Grup içindeki farkl laflma düzeyini gösteren de erlerdir. Verilerin aritmetik ortalamadan uzakl klar nın bir ölçüsüdür. Standart sapman n büyük ç kmas ö renciler aras nda de iflkenli in fazla oldu unu, uygulanan testin, bilen ve bilmeyen ö renciyi ay rt etme gücünün yüksek olduğu anlamına gelir. Bir grubun başarısını sacede aritmetik ortalamayla belirleyemeyiz. Aritmetik ortalama öğrencilerin başarısı hakkında bilgi verir ama öğrencilerin puanlarının aritmetik ortalama etrafındaki yayılmaları farklı olabilir. Standart sapma öğrencilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını belirler. Standart sapma flu flekilde bulunur. 1. Puanlar n aritmetik ortalamas bulunur.. Herbir puan n aritmetik ortalamadan fark bulunup bu farklar n karesi al n r ve bulunan de erler toplan r. 3. Bulunan de er ö renci say s n n 1 eksi ine bölünüp karekökü al n r. Standart Sapmayı veren formül: S x = standart sapma 10, 40, 60, Aritmetik ortalama = 00 = 4 = (10 50) + (40 50) + (60 50) + (90 50) = = = 1133, 3 33, Şimdi bu çözümü tablo ile gösterelim. Ö renciler x ham puan 4 x x _ x xi 1. ö renci = 40 ( 40) =1600. ö renci = 10 ( 10) = ö renci =10 10 = ö renci =40 40 =1600 Toplam n = öğrenci n / bx xl : Bütün puanların aritmetik ortalama i = 1 i dan farklar n n kareleri toplamı, Sx = n / bx xl i = 1 i n 1 Sx = n / bx xl i = 1 i n 1 NOT: Varyans=(Standart sapma) = = = 1133, 3, 336, bulunur. Cevap : E oldu undan standart sapma için yap lan yorumlar, varyans içinde geçerlidir. 193

14 ÖRNEK 5 Cebir dersine giren dört ö rencinin alm fl oldu u puanlar 48, 49, 50, 53 oldu una göre, bu da l m n standart sapmas kaçt r? A) 1,9 B),14 C),6 D) 3 E) 3,1 Standart sapma de eri küçük ç kan gruplarda, 1) Grup homojendir. ) Ö renciler aras farkl laflma azd r. 3) Yap lan test bilen ile bilmeyen ö renciyi ay rt etmemifltir. Ö renciler x ham puan x x _ x xi 1. ö renci = ( ) = 4. ö renci = 1 ( 1) = 1 3. ö renci = 0 0 = 0 4. ö renci = 3 3 = 9 Toplam ÖRNEK 6 Bir okuldaki befl flubede uygulanan bir Türkçe testi ile ilgili afla daki istatistikteki bilgiler hesaplanm flt r. n / bx x i l i = 1 14 Sx = = = n ,, 14, Cevap : B fiubeler Aritmetik ortalama Standart sapma A 60 3 B C 59 8 D 60,5 10 E 59,5 7 Standart sapmayla ilgili son iki örne i inceleyelim. I. örnekte puanlar 10, 40, 60, 90 verildi inde aritmetik ortalama = 50, standart sapma = 33,6 ç kt. II. örnekte puanlar 48, 49, 50, 53 verildi inde aritmetik ortalama = 50, standart sapma =,14 ç kt. I. örnekte ve II. örnekte aritmetik ortalama ayn olmas na karfl n I. grupta puanlar aritmetik ortalamadan uzak, II. örnekte puanlar aritmetik ortalamaya yak n oldu undan I. örnekteki standart sapma II. örnekteki standart sapmadan çok daha büyük ç kt. O halde standart sapmayla ilgili afla daki yorumlar yapabiliriz. Buna göre, di er de iflkenler sabit tutuldu unda bu flubelerde derse girecek bir Türkçe ö retmeninin hangi flubede en az ve en çok zorlanmas beklenir? Befl flubeninde aritmetik ortalamas birbirlerine yak n oldu undan standart sapmaya bakal m. Standart sapman n yüksek oldu u flubede ö renciler aras nda farkl laflma yani seviye farkl l klar olaca ndan en yüksek standart sapmaya sahip B s n fında ö retmen en çok zorlan r. Tersinde ise standart sapman n en az oldu u A sınıfında ö retmen en az zorlan r. Standart sapma de eri büyük ç kan gruplarda, 1) Grup heterojendir. ) Ö renciler aras farkl laflma fazlad r. 3) Yap lan test bilen ile bilmeyen ö renciyi ay rt etmifltir. 194

15 ÖRNEK 7 Bir s n ftaki ö rencilerin befl farkl testteki yan tlar 100 üzerinden puanlanm fl ve bu puanlardan afla daki tabloda gösterilen istatistikler hesaplanm flt r. ÖRNEK 8 Bir s n ftaki ö rencilerin befl farkl testteki yan tlar 100 üzerinden puanlanm fl ve bu puanlardan afla daki tabloda gösterilen istatistikler hesaplanm flt r. Testler Aritmetik ortalama Mod Medyan Standart sapma I. test II. test III. test IV. test V. test Bu bilgilere göre, a) En yüksek ve en düflük baflar hangi testten elde edildiğini bulalım. b) Ö renciler aras ndaki farkl laflma en çok hangi testten elde edildiğini bulalım. a) Baflar düzeyi için aritmetik ortalamaya bak l r. En yüksek ortalama 80 olan V. test oldu undan en yüksek baflar V. testten elde edilmifltir. En düflük ortalama 50 olan II. test oldu undan en düflük baflar II. testten elde edilmifltir. b) Standart sapma artt kça ö renciler aras ndaki farkl laflma artar. Standart sapmas en yüksek olan test II. testtir. Mod ve medyan de erleri bu sorular için bir anlam ifade etmez. Testler Aritmetik ortalama Mod Medyan Standart sapma I. test II. test III. test IV. test V. test Bu bilgilere göre, a) En yüksek ve en düflük baflar hangi testten elde edilmifltir? b) Ö renciler aras ndaki farkl laflma en az hangi testten elde edilmifltir? c) Hangi testte bilen ile bilmeyen öğrenci ayırt edilmiştir? Baflar düzeyi için aritmetik ortalamaya bak l r. Aritmetik ortalaman n eflit oldu u yerlerde standart sapmaya bak l r. Standart sapman n küçük oldu u test daha baflar l d r. a) IV.testin standart sapmas 1 oldu undan en yüksek baflar IV. testten, III. testin standart sapmas 6 oldu undan en düflük baflar III. testten elde edilmifltir. b) Standart sapmas en düflük olan test IV. test oldu undan IV. testte ö renciler aras ndaki farkl laflma en azd r. c) Aritmetik ortalamalar eflit oldu undan standart sapma artt kça s n fta testten zay f ve yüksek not alan ö renciler aras ndaki fark artaca ndan uygulanan test bilen ile bilmeyen ö renciyi ay rt eder. Bu durumda standart sapmas en yüksek olan III. test bilenle bilmeyen ö renciyi ay rt eder. 195

16 ÖRNEK 9 Bir sınıftaki öğrencilerin beş dersten almış oldukları puanlara ilişkin istatistiki değerler tabloda gösterilmiştir. Dersler Soru Aritmetik ortalama Standart sapma Mod Medyan Türkçe Matematik Fizik Kimya Biyoloji Buna göre, bu sınıftaki öğrencilerin en başarılı ve en başarısız oldukları dersleri bulalım. Bir dağılımda grup düzeyini ya da öğrencilerin en başarılı olduğu dersi gösteren temel gösterge aritmetik ortalamadır. Fakat bu durum soru sayılarının eşit olduğu durumlarda geçerlidir. Derslerle ilgili soru sayıları yukarıdaki tabloda verildiği gibi farklı olduğu durumlarda bu kez karşılaştırmayı aritmetik ortalamayı soru na bölerek yapmak gerekmektedir. 30 Türkçe dersindeki başarı oranı = = 0, Matematik dersindeki başarı oranı = = 0,4 50 Fizik dersindeki başarı oranı = 3 50 = 0,64 5 Kimya dersindeki başarı oranı = = 0, Biyoloji dersindeki başarı oranı = = 0,7 30 Bu durumda bu sınıftaki öğrencilerin en başarılı olduğu ders biyoloji, en başarısız olduğu ders matematiktir. Elinizde bir pinpon topu var. Bu pinpon topunu 1 metre yükseklikten yere bırakıyorsunuz. Top yerden 33 cm yükseliyor. Sonra elinize başka büyük bir top alıyorsunuz. Bu topu da aynı yükseklikten bırakıyorsunuz; bu top da 33 cm yükseliyor. Ancak amacınız bu toplardan en az birini 4 metre yükseltmek. Bunu nasıl yapabileceğinizi düşünüyorsu nuz. Toplardan birini hızla yere çarpmayı dü şünüyorsunuz. Ama oyunun kuralı şiddet kul lanmayı içermiyor. Yine de siz hızlı bir hare ketle pinpon topunu olanca gücünüzle yere çarpıyorsunuz ama top sadece 90 cm yükseliyor. Size verilmiş olan bir süre var. 4 dakika içinde bu sorunu çözmeniz gerekiyor. Birkaç defa daha de niyorsunuz; ama her iki top da aynı ölçüde yükseliyor. Eğer top lar 1/3 oranında yükseliyorsa 1 metre yüksek likten bırakılan top 4 metre yükselir diyorsu nuz. Ancak içinde bulunduğunuz odanın tava nı 4 metre. Oyunu kuran kişi, üstelik bu oyu nun kurallarından birinin, topu 1 metre yük seklikten yere bırakmak olduğunu belirtiyor. Hızla düşünüyorsunuz, neler yapabileceğinizi ama bir türlü çözümü bulamıyorsunuz. Sürenin sonuna doğru, oyunu size oynatan ki şi, "Toplar birbirine yardım edebilir mi?" diye soruyor. Siz bu soruyu dahi anlayamıyorsunuz. Top birbirine nasıl yardım etsin ki! Sürenin so nunda oyunu oynatan kişi, iki topu alıyor. Pin pon topunu büyük topun üstüne eliyle koyu yor ve iki topu ayna anda bırakıyor. İki top bir metre yükseklikten yere düşüyor ve pinpon to pu 4 değil, 5 metre yükseliyor. Bu yaşamda büyük sonuçlara ulaşmak isti yorsak, daha önce denenmemiş yöntemleri de nememiz gerekiyor. Yepyeni bir bakış açısıyla problemlere ve hatta çözümlere yaklaşmak ge rekiyor. Bu problemin çözümünde büyük top küçük topa yardım ediyor. Büyük top yere dü şerken önce yere çarparak küçük topu tavana kadar sıçratıyor. Biz de kendi yaşamımızda ilerlemek istiyorsak yardım etmeye ve yardım almaya açık olmalıyız. Dünyadaki büyük başa-rılarıh-hemen hepsinin arkasında birilerinin yardımı ya da işbirliği vardır. İşbirliğine kapalı olan insanların bu dünya da alabileceği sonuçlar oldukça kısıtlı. Örneğin, kolye satan iki sokak tezgahı düşünün. İkisi de rakip ve diğerinin daha az kolye satmasını isti yor. Sonuçta ikisi de diğerinin işini baltalamaya çalışıyor ve her ikisi de daha az kolye satıyor. Çocuklannı girişimci yapmak isteyen baba, iki çocuğuna iki kasa elma alıyor. Çocuklar bir sokağın kenarında elma satmaya çalışıyorlar; ama işler iyi gitmiyor. Her ikisi de birinci günü pek para kazanamadan bitiriyor. Geceleyin ne yapabiliriz, diye düşünüyorlar ve bir formül buluyorlar. İkisi de elmalara farklı fiyat koyu yor. Bir tanesinde elmanın kilosu 4 tttej Türk Lirası, diğerinde ise 3 $TTL. Böylece oradan ge çenler, elmalann aynı olduğunu görünce ucuz olan 3 ftl'lik elmalardan alıyor. 3İTL'den el ma satanın elmalan bitince 4 İTL'lik elmalar dan takviye yapıyorlar ve akşama kadar bu modelle elmaları bitiriyorlar. Günün sonunda da kazandıkları parayı paylaşıyorlar. Halbuki iki kardeş, işbirliği yapmasa ikisi de belki de hiç elma satamayacak ya da çok az satacak. Büyük başarıların sırrı, işbirliği, uyum ve yeni fikirleri uygulamak gibi görünüyor. 196

17 STANDART SAPMA KÜÇÜK İSE STANDART SAPMA BÜYÜK İSE Öğrenci Grubu Homojen Heterojen Öğrencilerin Öğrenme Düzeyleri Benzer Farklı Elde Edilen Puanlar Birbirlerine Yakın Uzak Öğrenciler Arası Farklılaşma Az Çok Puanlar Aritmetik Ortalamaya Yakın Uzak Uygulanan Testin Ayırt Ediciliği Düşük Yüksek Bilen Öğrenciler İle Bilmeyen Öğrencileri Birbirinden Ayırmamış Ayırmış 197

18 İSTATİSTİK Bize en çok öğrencilerin grup başarısı hakkında bilgi verir. Verilerin tamamı dikkate alınır. Grubun homojen ya da heterojen olduğu hakkında bilgi vermez. Uç değerlerden etkilenir. Uygulanan testin ayırt ediciliği hakkında bilgi vermez. Öğrencilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını belirler. Verilerin tamamı dikkate alınır. Grubun homojen ya da heterojen olduğu hakkında bilgi verir. Uç değerlerden etkilenir. Uygulanan testten ayırt ediciliği hakkında bilgi verir. 198

19 Temel üniversite s nav na girmifl. Her soruda yaz tura atarak cevaplar vermifl. ki saat sonra ö rencilerin ço u s nav ka d n verip salonu terk etmifl. Temel hala yaz tura at yor. Ö retmen gelip bafl na dikilmifl. Temel hepsini yaz tura atarak cevapladın hala bitmedi mi? Temel : Hocam bir saat önce bitirdim ama cevaplar m kontrol ediyorum. Aşağıdaki cümleleri Doğru (D) - Yanl fl (Y) olarak de erlendiriniz. 1. Aritmetik ortalama verilerin toplam n n veri say s n n 1 eksi inin bölünmesiyle elde edilir.. Bir testte bütün ö renciler ayn puan ald nda bu testin standart sapmas 0 ç kar. 3. Bir veri grubuna, puan grubun ortalamas ile ayn olan bir veri eklendi inde standart sapman n de eri kesinlikle de iflmez. 4. Aritmetik ortalama ve standart sapma bulunurken verilerin tamam iflleme al n r. 5. Ranj(aç kl k), mod ve medyan bulunurken verilerin bir yada birkaç iflleme girer. 6. Tüm ö rencilerin ayn puan ald bir testte mod yoktur. 7. Tüm ö rencilerin farkl puan ald bir testte mod yoktur. 8. Standart sapman n büyük ç kmas ö renciler aras farkl laflman n az oldu unu gösterir. 9. Ranj(aç kl k) de erinin 0 (s f r) ç kmas veri grubundaki bütün puanlar n ayn oldu unu gösterir. 10. Alt çeyrek en küçük veri ile ortanca verinin tam ortas ndaki de erdir. Cevaplar : 1. Y -. D - 3. Y - 4. D - 5. D - 6. D - 7. D - 8. Y - 9. D D 199

20 Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri İSTATİSTİK Aritmetik ortalama Mod Medyan Standart sapma Ranj (açıklık) Uç değerlerden hangileri etkilenir. Dağılıma en büyük veriden daha büyük bir veri eklenmesi hangisini kesinlikle arttırır. Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Dağılım Ölçüleri Dağılımdaki verilerin hangi puanlar etrafında toplandığı hakkında bilgi verir. Grubun homojen veya heterojenliği, ortalamadan ne kadar uzaklaşarak yayıldığı hakkında bilgi verir. Dağılımdaki verilerin tamamı hangilerinde işleme katılır. Öğrenciler arasındaki farklılaşmanın çok fazla olması hangilerinin değerini kesinlikle yükseltir. Bir dağılıma en çok frekansa sahip yani en çok tekrar eden değerlerdeki puanlardan bir puan daha eklenirse hangilerinin değeri kesinlikle artar. Bir veri grubuna grup ortalamasının altında bir puan daha eklenirse hangilerinin değeri kesinlikle azalır. 00

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 1.11.013 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 4.-5. hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu

Detaylı

Örnek...4 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin ortalamasını 5 yapabilmek için son sınavdan kaç alması gerekmektedir?

Örnek...4 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin ortalamasını 5 yapabilmek için son sınavdan kaç alması gerekmektedir? İSTATİSTİK Bir sonuç çıkarmak ya da çözüme ulaşabilmek için gözlem, deney, araştırma gibi yöntemlerle toplanan bilgiye veri adı verilir. Örnek...4 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Merkezi Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Merkezi Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 3.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Merkezi Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Merkezi Eğilim Ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

MATEMAT K. Hacmi Ölçme

MATEMAT K. Hacmi Ölçme Hacmi Ölçme MATEMAT K HACM ÖLÇME Yandaki yap n n hacmini birim küp cinsinden bulal m. Yap 5 s radan oluflmufltur. Her s ras nda 3 x 2 = 6 birim küp vard r. 5 s rada; 5 x 6 = 30 birim küp olur. Bu yap n

Detaylı

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki

Detaylı

yollarla elde edilmiş ve geçerliliği kabul

yollarla elde edilmiş ve geçerliliği kabul Sürekli gelişmekte olduğu için kesin bir tanımı yoktur. Bilim, bilim insanlarınca belli yollarla üretilmiş bilgi birikimi olarak tanımlanabilir. Bilim güvenilir bilgi kaynağıdır. Bilim yöntem olarak düşünüldüğünde

Detaylı

2 onluk + 8 birlik + 4 onluk + 7 birlik 6 onluk + 15 birlik = 7 onluk + 5 birlik =

2 onluk + 8 birlik + 4 onluk + 7 birlik 6 onluk + 15 birlik = 7 onluk + 5 birlik = DO AL SAYILARLA TOPLAMA filem Bir k rtasiyede 35 tane hikâye kitab, 61 tane masal kitab vard r. K rtasiyedeki hikâye ve masal kitaplar toplam kaç tanedir? Bu problemin çözümünü inceleyelim: 35 tane hikâye,

Detaylı

ÖLÇME VE DEĞERLENDĠRME (3)

ÖLÇME VE DEĞERLENDĠRME (3) ÖLÇME VE DEĞERLENDĠRME (3) ÖLÇME SONUÇLARI ÜZERĠNDE ĠSTATĠSTĠKSEL ĠġLEMLER VERĠLERĠN DÜZENLENMESĠ -Herhangi bir test uygulamasından önce verilerin düzenlenmesi için önce bütün puanların büyüklüklerine

Detaylı

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + = ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.

Detaylı

7. HAFTA. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr.

7. HAFTA. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr. 7. HAFTA Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar Yrd. Doç. Dr. Sedat ŞEN 23.11.2015 1 Veri nedir? Bir öğrenci kümesine uygulanan

Detaylı

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK İçindekiler Test İstatistikleri Merkezi Eğilim Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Aritmetik Ortalama Merkezi Dağılım Dizi Genişliği (Ranj) Standart Sapma Varyans Çarpıklık

Detaylı

17/01/2015. PowerPoint Template. Dr. S.Nihat ŞAD LOGO. İnönü University. Company Logo

17/01/2015. PowerPoint Template. Dr. S.Nihat ŞAD LOGO. İnönü University.  Company Logo PowerPoint Template LOGO Dr. S.Nihat ŞAD İnönü University www.thmemgallery.com Company Logo 1 Contents www.thmemgallery.com geliştirme süreci Birey hakkında bilgi toplama yolları lerin sınıflandırılması

Detaylı

CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz?

CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz? CO RAFYA GRAF KLER ÖRNEK 1 : Afla daki grafikte, y llara göre, Türkiye'nin yafl üzerindeki toplam nufusu ile bu nüfus içindeki okuryazar kad n ve erkek say lar gösterilmifltir. Bin kifli 5. 5.. 35. 3.

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

A t a b e y M e s l e k Y ü k s e k O k u l u İstatistik Sunum 4 Öğr.Gör. Şükrü L/O/G/O KAYA www.sukrukaya.org www.themegallery.com 1 Yer Ölçüleri Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını

Detaylı

7. HAFTA. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr.

7. HAFTA. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr. 7. HAFTA Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar Yrd. Doç. Dr. Sedat ŞEN 23.02.2016 1 Veri nedir? Bir öğrenci kümesine uygulanan

Detaylı

7. HAFTA. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr.

7. HAFTA. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr. 7. HAFTA Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar Yrd. Doç. Dr. Sedat ŞEN 14.04.2016 1 Veri nedir? Bir öğrenci kümesine uygulanan

Detaylı

5. S n f. 1. Afla da okunufllar verilen say lardan hangisinin rakamlarla yaz l fl yanl flt r?

5. S n f. 1. Afla da okunufllar verilen say lardan hangisinin rakamlarla yaz l fl yanl flt r? MATEMAT K. S n f Adı - Soyadı:... Numarası:... Sınıfı:... DO AL SAYILAR, DO AL SAYILARLA TOPLAMA VE ÇIKARMA filemler Test 1 1. Afla da okunufllar verilen say lardan hangisinin rakamlarla yaz l fl yanl

Detaylı

SIVILARI ÖLÇME. Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir.

SIVILARI ÖLÇME. Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir. S v lar Ölçme MATEMAT K SIVILARI ÖLÇME Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir. Baflka hangi ürünleri litreyle al rs n z? S v lar ölçme birimi litredir. Litre = L Arda, evlerindeki

Detaylı

Ölçme Sonuçları Üzerinde İstatistiksel İşlemler

Ölçme Sonuçları Üzerinde İstatistiksel İşlemler Ölçme Sonuçları Üzerinde İstatistiksel İşlemler Bir grup birey veya nesnenin belli bir özelliğe sahip olup olmadığı ya da belli bir özelliğe ne derece sahip olduğunu belirlemek amacı ile ölçme işlemi yapılır.

Detaylı

5. SUNUM. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr.

5. SUNUM. Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar. Yrd. Doç. Dr. 5. SUNUM Verilerin düzenlenmesi Verilerin gruplandırılması Merkezi eğilim ölçüleri Merkezi dağılım ölçüleri Standart puanlar Yrd. Doç. Dr. Sedat ŞEN 08.09.2016 1 Veri nedir? Bir öğrenci kümesine uygulanan

Detaylı

VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT

VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT VERİ SAYMA. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir.

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir. Kesirler MATEMAT K KES RLER pay kesir çizgisi payda kesri tane tir. Bu kesri beflte iki ya da iki bölü befl fleklinde okuruz. kesrinde, bütünün ayr ld parça say s n gösterir. Yani paydad r. ise al nan

Detaylı

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir.

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir. UZUNLUKLARI ÖLÇEL M Burada bir çubuk üzerine ay c n resmi konmufltur. Çubuk kayd r ld kça çubuklar n boyu eksik kal yor. Eksik k sm boyayarak tamamlay n z. Her kareyi bir birim kabul ediniz. 3 Çubuk kareli

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE

Detaylı

MATEMAT K. Sütun Grafi i. Olas l k

MATEMAT K. Sütun Grafi i. Olas l k MATEMAT K Sütun Grafi i Olas l k Temel Kaynak 4 Sütun Grafi i SÜTUN GRAF Talya, arkadafllar na en çok sevdikleri sporu sordu. Ald cevaplara göre afla daki s kl k ve çetele tablolar n haz rlad. En Çok Sevilen

Detaylı

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU FREKANS DAĞILIMLARINI TANIMLAYICI ÖLÇÜLER Düzenlenmiş verilerin yorumlanması ve daha ileri düzeydeki işlemler için verilerin bütününe ait tanımlayıcı ve özetleyici ölçülere ihtiyaç

Detaylı

TEST VE MADDE ANALİZLERİ

TEST VE MADDE ANALİZLERİ TEST VE MADDE ANALİZLERİ Madde güçlüğü Madde ayırt ediciliği Madde varyansı ve madde standart sapması Madde güvenirliği Çeldiricilerin işlerliği Test Analizleri Merkezi Eğilim(Yığılma Ölçüleri) Merkezi

Detaylı

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler . ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir

Detaylı

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak

Detaylı

Veri nedir? Bir öğrenci kümesine uygulanan bir sınavdan elde edilen puanların herhangi bir işlem yapılmamış haline ham veri denir (ham puanlar) denir.

Veri nedir? Bir öğrenci kümesine uygulanan bir sınavdan elde edilen puanların herhangi bir işlem yapılmamış haline ham veri denir (ham puanlar) denir. Dr. Sedat Şen 1 Veri nedir? Bir öğrenci kümesine uygulanan bir sınavdan elde edilen puanların herhangi bir işlem yapılmamış haline ham veri denir (ham puanlar) denir. Değer nedir? Bir veriyi (puanlar dizisini)

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma

Detaylı

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2

Detaylı

ALIfiTIRMALAR VE PROBLEMLER

ALIfiTIRMALAR VE PROBLEMLER 4.. BÖLME filem ALIfiTIRMALAR VE PROBLEMLER U E F S 5 5 0 7 5 5 K M Ü T 99 9 7 8 0 A 84 L 9 7 R 88 Yukar daki ifllemleri yaparak sonuçlar na karfl l k gelen harfleri kutulara yerlefltiriniz. Hiç unutmamam

Detaylı

Grafik üzerindeki bilgiler özetlenmiştir. Veriler arasındaki ilişkiler görünür haldedir.

Grafik üzerindeki bilgiler özetlenmiştir. Veriler arasındaki ilişkiler görünür haldedir. GRAFİK VE İSTATİSTİK Grafikler,verileri görsel hale getirerek,veriler üzerinde daha kolay işlem yapılmasına ve elde edilen sonuçları değerlendirerek üzerinde tahmin yapılmasına olanak sağlar. Grafik üzerindeki

Detaylı

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüsü, bir veri setindeki merkezi, yada tipik, tek bir değeri ifade eder. Nicel veriler için, reel sayı çizgisindeki

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin

Detaylı

Örnek...3 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin ortalamasını 5 yapabilmek için son sınavdan kaç alması gerekmektedir?

Örnek...3 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin ortalamasını 5 yapabilmek için son sınavdan kaç alması gerekmektedir? İSTATİSTİK Toplumsal nitelikteki olaylarla ilgili sayısal (kantitatif) verileri toplamak, bu verileri analiz etmek ve bunlardan sonuçlar çıkarılmasında kullanılan matematiğe dayalı bilim dalına istatistik

Detaylı

ege yayıncılık stati in Tan m ve Temel Kavramlar Çizgi Grafi i TEST : 82

ege yayıncılık stati in Tan m ve Temel Kavramlar Çizgi Grafi i TEST : 82 stati in Tan m ve Temel Kavramlar Çizgi Grafi i TEST : 8 UYARI: Afla da verilen boflluklar uygun kelimelerle doldurunuz.. Verilerin yatay ve düfley eksenlerdeki karfl l klar n veren noktalar n birlefltirilmesi

Detaylı

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Örnek: Aşağıda 100 yetişkine ilişkin kolesterol değerlerini sınıflandırılarak aritmetik ortalamasını bulunuz (sınıf aralığını 20 alınız). 2 x A fb C 229.5 n 40 20 100 221.5 3 Örnek:.

Detaylı

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar?

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : S v lar Ölçme Sütun Grafi i Olas l k TEST. 920 ml = L ml Yukar da verilen eflitli e göre + iflleminin sonucu kaçt r? A) 29 B) 60 C) 69 D) 9 2. Çiftçi Ak n bahçesinden

Detaylı

Fevzi Pafla Cad. Dr. Bar fl Ayd n. Virgül (,) 2. Baz k saltmalar n sonuna konur.

Fevzi Pafla Cad. Dr. Bar fl Ayd n. Virgül (,) 2. Baz k saltmalar n sonuna konur. 2. Baz k saltmalar n sonuna konur. Dr. Bar fl Ayd n Fevzi Pafla Cad. 3. Say lardan sonra s ra bildirmek için konur. Sonucu ilân ediyorum: 1. Ali, 2. Kemal, 3. Can oldu. Hepsini tebrik ederim. Virgül (,)

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km .2 Uzunluklar Ölçme Kilometre 1. Grafik: Servis Arac n n Ald Yollar 1. Yandaki grafik, okul servis arac n n bir hafta boyunca ald yolu (km) göstermektedir. Grafi e göre afla daki sorular cevaplay n z.

Detaylı

1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz.

1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz. Ad : Soyad : S n f : 2. SINIF Nu. : Kesirler 53 Uygulamal Etkinlik 1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz. 4. Afla daki boflluklar uygun ifadelerle tamamlay

Detaylı

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Safa KARAMAN 1 2 Giriş Veri kümesi Verileri betimlemenin ve özetlemenin bir diğer yolu da verilerin bir

Detaylı

CO RAFYA HAR TA B LG S

CO RAFYA HAR TA B LG S CO RAFYA HAR TA B LG S ÖREK : Bir fiziki haritada Çukurova ile Konya Ovas n n farkl renklerle belirtilmifl olmas, bu ovalar n afla dakilerden hangisi bak m ndan farkl oldu unu gösterir? ÖREK 3 : A) Y ll

Detaylı

Matematik. Uygulamal Etkinlik. Afla daki boflluklar uygun ifadelerle tamamlay n z. 1. Afla daki dönüflümleri yap n z.

Matematik. Uygulamal Etkinlik. Afla daki boflluklar uygun ifadelerle tamamlay n z. 1. Afla daki dönüflümleri yap n z. Ad : Soyad : S n f :. SINIF Nu. : S v lar Ölçme TEST 51 Uygulamal Etkinlik 1. Afla daki dönüflümleri yap n z. L =... ml 70 L =... ml 9000 ml =... L 11 000 ml =... L L 10 ml =... ml L 19 ml =... ml 960

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi

Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi Ölçme-Birimler-Anlamlı Rakamlar Ölçme: Bir nesnenin bazı özelliklerini (kütle, uzunluk vs..) standart olarak belirlenmiş birimlere göre belirlenmesi işlemidir (ölçüm,

Detaylı

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı

Detaylı

[!] Sütun, çizgi ve daire grafikleri gerçek yaşamdan seçilmiş örnek etkinliklerle hatırlatılır.

[!] Sütun, çizgi ve daire grafikleri gerçek yaşamdan seçilmiş örnek etkinliklerle hatırlatılır. : OLASILIK VE 2. BÖLÜM: PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, OLASILIK VE ISTATISTIK 1. Verilen bir gerçek yaşam durumuna uygun serpilme grafiği ve kutu grafiği çizer ve bu grafikler üzerinden çıkarımlarda bulunur.

Detaylı

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir.

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir. CO RAFYA KONUM ÖRNEK 1 : Aralar nda 1 lik fark bulunan iki paralel aras ndaki uzakl k de iflmezken, aralar nda 1 lik fark, bulunan iki meridyen aras ndaki uzakl k Ekvator dan kutuplara gidildikçe azalmaktad

Detaylı

DGS SAYISAL BÖLÜM. 1) 6,20 sayısı hangi sayının % 31 idir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30. olduğuna göre, y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

DGS SAYISAL BÖLÜM. 1) 6,20 sayısı hangi sayının % 31 idir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30. olduğuna göre, y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 DGS SAYISAL BÖLÜM Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal DGS Puanınızın (DGS-SAY) hesaplanmasında 3; Eşit Ağırlıklı DGS Puanınızın (DGS-E hesaplanmasında,8; Sözel DGS Puanınızın (DGS-SÖZ)

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1 Tanımlayıcı İstatistikler Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını

Detaylı

VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ

VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Outlier : Veri setinde normal olmayan değerler olarak tanımlanır. Ders: Kantitatif Yöntemler 1 VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Veri setinden değerlendirme başlamadan çıkarılabilir. Yazım

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi

Detaylı

Özel AKEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı

Özel AKEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı Özel KEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı DİKKT! CEVP KĞIDININ TEST -- BÖLÜMÜNE MTEMTİK SORULRI İŞRETLENECEKTİR. ) 3 basamaklı 4 tane sayının aritmetik ortalaması 400 dür. Bu dört sayının birler

Detaylı

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425 Do al Say larla Çarpma fllemi MATEMAT K DO AL SAYILARLA ÇARPMA filem Tolga Bey amatör bir foto rafç d r. Çekti i foto raflar her birinde 25 foto raf olan 17 albümde toplam flt r. 18. albümüne ise henüz

Detaylı

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme 8. SINIF Sevgili Ö renciler, SBS nin kald r lmas ile bunun yerine yaz l s navlar n merkezî bir uygulamayla yap lmas n esas alan bir sistem getirilmifltir.

Detaylı

MADDE VE TEST ANALİZİ. instagram: sevimasiroglu

MADDE VE TEST ANALİZİ.  instagram: sevimasiroglu MADDE VE TEST ANALİZİ Sunu Sırası Madde Analizi Madde Güçlüğü Madde Ayırıcılık Gücü Test Analizi Dizi Genişliği Ortanca Ortalama Standart Sapma Testin Ortalama Güçlüğü Testin Çarpıklık Düzeyi Test Güvenirliği

Detaylı

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER 1. Patates ve sütün miktar nas l ölçülür? 2. Pinpon topu ile golf topu hemen hemen ayn büyüklüktedir. Her iki topu tartt n zda bulaca n z sonucun ayn olmas n bekler misiniz?

Detaylı

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Temel Kaynak 5 Yaflam m zdaki Elektrik BAS T ELEKTR K DEVRES Devrede Ampullerin n Nas l De ifltirebiliriz? Basit bir elektrik devresinde pil ampul anahtar ba lant

Detaylı

4. ÜN TE ÇARPMA, BÖLME

4. ÜN TE ÇARPMA, BÖLME 4. ÜN TE ÇARPMA, BÖLME 4.1. ÇARPMA filem Bafllang ç Say iflleme makinesi 3 ile çarp 170 ekle 12 ekle 150 ç kar Say 350 den büyük mü? Hay r Evet Bitifl Bafllang ç say lar 15 30 45 60 90 Bitifl say lar 386

Detaylı

= puan fazla alm fl m.

= puan fazla alm fl m. Temel Kaynak 5 Do al Say larla Ç karma fllemi ÇIKARMA filem Hasan ve Ahmet bilgisayar oyunundan en yüksek puan almak için yar fl yorlar. lk oynay fllar nda Ahmet 1254, Hasan 1462 puan al yor. Aralar nda

Detaylı

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. 1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak

Detaylı

ÖLÇME DEĞERLENDİRME ÜNİTE BAŞLIKLARI

ÖLÇME DEĞERLENDİRME ÜNİTE BAŞLIKLARI ÖLÇME DEĞERLENDİRME ÜNİTE BAŞLIKLARI 1. TEMEL KAVRAMLAR 2. ÖLÇMEDE HATA (GÜVENİRLİK GEÇERLİK) 3. İSTATİSTİK 1. TEMEL KAVRAMLAR Ölçme, Ölçüm, Ölçme Kuralı, Ölçüt, Değerlendirme. Ölçme Türleri: Doğrudan,

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar

Detaylı

İstatistik ve Olasılığa Giriş. İstatistik ve Olasılığa Giriş. Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme. Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme

İstatistik ve Olasılığa Giriş. İstatistik ve Olasılığa Giriş. Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme. Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme İstatistik ve Olasılığa Giriş Robert J. Beaver Barbara M. Beaver William Mendenhall Presentation designed and written by: Barbara M. Beaver İstatistik ve Olasılığa Giriş Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

TEST. Daire Grafiği. 3. Zaman (saat) 6. Uçak %25

TEST. Daire Grafiği. 3. Zaman (saat) 6. Uçak %25 Daire Grafiği 7. Sınıf Matematik Soru Bankası TEST 76 1. B A C Bir markette bir günde A gazetesinden tane, B gazetesinden tane, C gazetesinden 30 tane satılmıştır. 4. 1 Yandaki dairesel grafik bir ekmek

Detaylı

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH ORTALAMA ÖLÇÜLERİ Ünite 6 Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH Araştırma sonucunda elde edilen nitelik değişkenler hakkında tablo ve grafikle bilgi sahibi olunurken, sayısal değişkenler hakkında bilgi sahibi olmanın

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

3. S n f. 4. Afla daki do al say lardan hangisi üç basamakl do al say de ildir? A) 290 B) 108 C) > > 318

3. S n f. 4. Afla daki do al say lardan hangisi üç basamakl do al say de ildir? A) 290 B) 108 C) > > 318 Yüzler Basama MATEMAT K. S n f Adı - Soyadı:... Numarası:... Sınıfı:... DO AL SAYILAR Test 1 1. 4. Afla daki do al say lardan hangisi üç basamakl do al say de ildir? 290 108 99 5. Yukar da onluk taban

Detaylı

5. Kızamık sayısı. Grip sayısı

5. Kızamık sayısı. Grip sayısı Kazanım: İki veri gurubunun karşılaştırmayı gerektiren araştırma soruları oluşturur. Araştırma sonucuna uygun verileri elde eder? 1. Aşağıdaki tabloda yıllara göre Kavaklıdere ilçesinde üretilen buğday

Detaylı

4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? Buna göre, Lale bir günde kaç bütün elma yemifltir?

4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? Buna göre, Lale bir günde kaç bütün elma yemifltir? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Kesirler Simetri MATEMAT K TEST 17 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? 4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. Buna göre, Lale bir günde kaç bütün

Detaylı

7. SINIF MATEMATİK TESTİ A. 1. Yandaki eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtma I, II, III ve IV nolu

7. SINIF MATEMATİK TESTİ A. 1. Yandaki eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtma I, II, III ve IV nolu . Yandaki eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtma I, II, III ve IV nolu çıtaların şekildeki gibi birleştirilmesi ile oluşturulmuştur. Aşağıdakilerden hangisindeki çıtalar birbirinin orta dikmesidir?

Detaylı

GİRİŞ. Bilimsel Araştırma: Bilimsel bilgi elde etme süreci olarak tanımlanabilir.

GİRİŞ. Bilimsel Araştırma: Bilimsel bilgi elde etme süreci olarak tanımlanabilir. VERİ ANALİZİ GİRİŞ Bilimsel Araştırma: Bilimsel bilgi elde etme süreci olarak tanımlanabilir. Bilimsel Bilgi: Kaynağı ve elde edilme süreçleri belli olan bilgidir. Sosyal İlişkiler Görgül Bulgular İşlevsel

Detaylı

İSTANBUL İLİ İLKÖĞRETİM OKULLARI 4, 5, 6. SINIFLAR ARASI MATEMATİK OLİMPİYATI SORU KİTAPÇIĞI 13 NİSAN 2013 T.C İSTANBUL VALİLİĞİ ÖZEL AKASYA KOLEJİ

İSTANBUL İLİ İLKÖĞRETİM OKULLARI 4, 5, 6. SINIFLAR ARASI MATEMATİK OLİMPİYATI SORU KİTAPÇIĞI 13 NİSAN 2013 T.C İSTANBUL VALİLİĞİ ÖZEL AKASYA KOLEJİ İSTANBUL İLİ İLKÖĞRETİM OKULLARI 4, 5, 6. SINIFLAR ARASI MATEMATİK OLİMPİYATI SORU KİTAPÇIĞI 13 NİSAN 2013 T.C İSTANBUL VALİLİĞİ ÖZEL AKASYA KOLEJİ DİKKAT: 1. Soru kitapçıklarını kontrol ederek, baskı

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME. Antrenörlük Eğitimi 4. Sınıf. Ölçme ve Değerlendirme - Yrd. Doç. Dr. Yetkin Utku KAMUK

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME. Antrenörlük Eğitimi 4. Sınıf. Ölçme ve Değerlendirme - Yrd. Doç. Dr. Yetkin Utku KAMUK ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME Antrenörlük Eğitimi 4. Sınıf ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME Merkezi Eğilim Ölçütleri Mod En çok görülen puandır ve hesaplanma yöntemi yoktur. İnceleme yolu ile bulunur. Terminal istatistiktir.

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

DO A VE MATEMAT K. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r?

DO A VE MATEMAT K. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r? DO A VE MATEMAT K DO AL SAYILARLA BÖLME filem Afla daki sorular resme göre cevaplay n z. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r? A açtaki kufllar 2 dala eflit olarak konsayd, her

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı