HELİKOPTER DENETİMİ UYGULAMALARI

Transkript

1 BŞKEN ÜNİVERSİESİ FEN BİLİLERİ ENSİÜSÜ HELİKOPER DENEİİ UYGULLRI VNİ SELİ ÖZÇUKURLU YÜKSEK LİSNS EZİ NKR

2

3 HELİKOPER DENEİİ UYGULLRI PPLICIONS FOR HELICOPER CONROL VNİ SELİ ÖZÇUKURLU Bşkent Üniversitesi Lisnsüstü Eğitim Öğretim ve Sınv Yönetmeliğinin ELEKRİK-ELEKRONİK ühendisliği nilim Dlı İçin Öngördüğü YÜKSEK LİSNS EZİ olrk hzırlnmıştır.

4 Fen Bilimleri Enstitüsü üdürlüğü'ne Bu çlışm jürimiz trfındn ELEKRİK-ELEKRONİK ÜHENDİSLİĞİ NBİLİ DLI' nd YÜKSEK LİSNS EZİ olrk kul edilmiştir. Bşkn :Prof. Dr. lper URZ Üye :Yrd. Doç. Dr. Ykup ÖZKZNÇ Dnışmn :Yrd. Doç. Dr. ustf DOĞN ONY Bu tez / / trihinde Enstitü Yönetim Kurulunc elirlenen yukrıdki jüri üyeleri trfındn kul edilmiştir. / / Prof. Dr. Emin K FEN BİLİLERİ ENSİÜSÜ ÜDÜRÜ

5 ÖZ HELİKOPER DENEİİ UYGULLRI vni Selim ÖZÇUKURLU Bşkent Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektrik-Elektronik ühendisliği nilim Dlı Dlglı ir denizdeki uçk gemisine hv rçlrının iniş-klkış rejimlerindeki denetim tsrımının rştırılmsı gerekmektedir. Bu tezde hv rçlrındn helikopter üzerindeki rştırmlr ve enzetim sonuçlrı yer lmktdır. Öncelikle ir helikopterin dikey ynl ve oylmsl hreketinin nlizleri ypılmış ve helikopter için ir model oluşturulmuştur. Helikopter her üç eksende de rstgele hreket eden ir uçk gemisine iniş ve klkışlrını gerçekleştirir. Burdki ilinmeyen ozn etkenlerin sistem şrımını en z etkileyecek şekilde reddedilmesi ve ilinmeyen yörüngelerin izleneilmesi gerekmektedir. Bunun için doğrusl olmyn uyrlmlı ir denetleyici tsrlnmıştır. Öncelikle Uyrlnır İç odel Uİ doğrusl sistemler için rştırılmıştır. Dh sonr doğrusl olmyn sistemlerde Uİ uygulmlrı tsrlnmış ve dynıklı denetim için tsrım geliştirilmiştir. Doğrusl olmyn sistemler için geliştirilen Uİ tsrımı oluşturuln helikopter modeli üzerinde uygulnmıştır. Denetleyici LB ortmınd gerçekleştirilerek enzetim sonuçlrı elde edilmiştir. nhtr Sözcükler: Helikopter denetimi uyrlnır iç model helikopterin dikey ynl ve oylmsl hreketi doğrusl olmyn denetim dynıklı denetim Dnışmn: Yrd. Doç. Dr. ustf DOĞN Bşkent Üniversitesi Elektrik Elektronik ühendisliği Bölümü i

6 BSRC PPLICIONS FOR HELICOPER CONROL vni Selim ÖZÇUKURLU Bşkent University Institute of Science he Deprtment of Electricl nd Electronics Engineering It is necessry to investigte the design in lnding-deprture regimes of ir vehicles for n ircrft crrier in rough se. Verticl lterl nd longitudinl movements of helicopter hve een nlyzed nd ne model hs een estlished for the helicopter in simultion studies. Helicopter mkes lnding on nd deprture from n ircrft crrier hich moves in three dimensions rndomly. It is necessry for unknon disturnce fctors to e rejected in y to hve the lest effect in the system performnce nd to e le to trck the reference input. nonliner dptive controller hs een designed for the ove purposes. fter emining dptive Internl odel I for liner systems I pplictions ere investigted for nonliner systems nd the roust controller hs een developed for n helicopter. Performnce of the controller hs een verified y the simultions. Keyords: Helicopter control dptive Internl odel Verticl Lterl nd Longitudinl motion for helicopter nonliner control roust control dvisor: sst. Prof. Dr. ustf DOĞN Bşkent University Electricl nd Electronics Engineering Deprtment ii

7 İÇİNDEKİLER LİSESİ Syf ÖZ...i BSRC...ii İÇİNDEKİLER LİSESİ...iii ŞEKİLLER LİSESİ...v ÇİZELGELER LİSESİ...vi SİGELER VE KISLLR LİSESİ vii. GİRİŞ.... İÇ ODEL BNLI DENEİ EORİSİNİN EELLERİ Sonuşurlu İzleme ve Boznetkenin Zyıflmsı..3.. Doğrusl Sistem odeli Sistem Dynıklılığı 5.4. Doğrusl Sistemler için srım Yöntemleri İç odel Uyrlmsı Doğrusl Olmyn Sistem odeli Doğrusl Olmyn Sistemler için srım Yöntemleri HELİKOPERİN NLİİK ODELİ Giriş Helikopter odeli BİR HELİKOPERİN DYNIKLI VE DOĞRUSL OLYN HREKE DENEİİ Prolem nımlmsı...8 iii

8 4.. Dikey Ht Dinmiğinin nlizi ve Krrlılığı Ynl ve Boylmsl Dinmiklerin nlizi Krrlılştırıcının Ypısı Benzetim Sonuçlrı SONUÇ KYNKLR LİSESİ...8 EKLER LİSESİ SÖZLÜK. iv

9 ŞEKİLLER LİSESİ Syf Şekil... Denklemi Öek Şemsı 4 Şekil.. Denetleyici Şekil 3.. Helikopter çı nımlrı..74 Şekil 3.. Helikopterin yndn üstten ve rkdn görünüşü..76 Şekil 3.3. Yklşık olrk hesplnmış sistem dinmikleri modeli Şekil 4.. çık denizde slınmkt oln ir güverteye inen ir helikopter... 8 Şekil 4.. Dikey Ht Denetleyicisi..87 Şekil 4.3. Genel sistem dinmikleri..89 Şekil 4.4. Krrlştırıcıyı krkterize eden iç-dış döngü..9 Şekil 4.5. Denetleyici Genel Görünümü..9 Şekil 4.6. Helikopter model Şekil 4.7. zt z ref t + ht [m] Dikey Ht Şekil 4.8. t yt [m] Ynl ve Boylmsl Koordintlr Şekil 4.9. t t [N] n ve Kuyruk Rotoru İtişleri. 99 Şekil 4.. t ve t [rd] Eğim çılrı... Şekil 4.. X-Y-Z [m] Dynk Yörünge.. Şekil 4.. X-Y-Z [m] Dynk Yörüngenin İzlenmesi... Şekil 4.3. X-Y-Z [m] İzlenilen Yörüngeler...3 Şekil 4.4. X-Y-Z [m] İzlenilen ve Dynk Yörüngeler... 4 Şekil 4.5. X-Y-Z [m] İzlenilen Yörüngelerdeki Htlr....5 Şekil 4.6. ve [rd] Eğim çılrı...6 v

10 ÇİZELGELER LİSESİ Syf Çizelge 4. Fiziksel sistemin nominl prmetreleri vi

11 SİGELER VE KISLLR LİSESİ u ω z y z ref e :Durum Değişkeni Vektörü :Denetim Giriş Vektörü :Dışsistemin Boznetkenleri :Çıkış Vektörü :Ölçüm Çıkışı :Dynk Çıkışı :Bilinmeyen Yörüngeler Vektörü :Ht Vektörü µ :Fiziksel Sistem Prmetresi S ξ Π Σ Λ V Ф Г F G Ψ γ v V :Dışsistem trisi :İç model Durum Vektörü :Bilinmeyen Dışsistem Prmetresi :Doğrusl Sistemdeki in Çözüm Vektörü :Doğrusl Sistemdeki ξ nin Çözüm Vektörü :Doğrusl Sistemdeki u nun Çözüm Vektörü :Denetim mçlı Kullnıln Giriş Vektörü :Dışsistemin Prmetrelerini İçeren tris :Durum Değişkeninden Denetim Giriş Vektörünü Elde Eden Vektör :Ф trisini Oluşturn Huritz trisi :Ф trisini Oluşturn Stır Vektörü :Uyrlm Vektörü :Uyrlm srım Prmetresi :Denetim Giriş Vektörü :Doğrusl Sistemdeki ve ξ Durumlrının Çözüm lt Uzyı :Bilinmeyen Dışsistem Prmetresi f h k :Doğrusl Olmyn Sistemin İşlevleri θ : Doğrusl Olmyn Sistem Denetleyicisinin İşlevleri vii

12 :Doğrusl Olmyn Sistemdeki ve ξ Durumlrının Çözümünü İçeren nifold :Doğrusl Olmyn Sistemdeki in Çözüm Vektörü :Doğrusl Olmyn Sistemdeki ξ nin Çözüm Vektörü c :Doğrusl Olmyn Sistemdeki u nun Çözüm Vektörü F i F P i v :Helikopterin Eylemsizlik Koordint Ekseni :Helikopter Gövdesi Koordint Ekseni :Helikopterin ğırlık erkezi :Helikopterin Dönme Hızı :Helikopterin çısl Hızı Ske. :Negtif Simetrik tris R :Rotsyon trisi :Yuvrlnm çısı :Yunuslm çısı :Ync çısı f τ J g i :Helikopterin n ve Kuyruk otorlrının Ürettiği Kuvvet :Helikopterin n ve Kuyruk otorlrının Ürettiği ork :Helikopterin Kütlesi :Helikopterin Eylemsizlik trisi :Quternionlr :Helikopterin n otoru rfındn Üretilen İtme Kuvveti :Helikopterin Kuyruk otoru rfındn Üretilen İtme Kuvveti : m nin y eksenindeki ileşeni : m nin eksenindeki ileşeni :Yerçekimi İvmesi :Helikopterin İzleyeceği Dynk Yörüngenin Genliği φ i i :Helikopterin İzleyeceği Dynk Yörüngenin Evresi :Helikopterin İzleyeceği Dynk Yörüngenin Freknsı viii

13 η u st :Helikopterin Durum Uzyındki Durum Değişkeni :Krrlştırıcı Denetleyicisinin Denetim Girişi u im :İç odel Denetleyicisinin Denetim Girişi e z :Helikopterin z-dikey Eksenindeki Ht i

14 . GİRİŞ Belirlenen yörüngelerin sonuşurlu ir şekilde izlenmesi ve/vey oznetkenlerin sonuşurlu reddedilmesi denetim teorisinde merkezi ir prolemdir. Essen u proleme dir üç frklı yklşım olsılığı vrdır: Dinmik evirme yolu ile izleme uyrlnilir izleme ve iç modeller yoluyl izleme. Dinmik evirme yoluyl izleme şlngıç durumun ve denetim girişinin vey durum dir eşdeğer ir dynk yörüngesi tm olrk hesplnmsını içermekte ve öylece fiziksel sistem uygun ir şekilde şltılır ve yönetilirse çıkışı dynk sinylinin yeniden oluşturmktdır. nck öyle ir denetim girişinin hesplnmsı denetlenecek fiziksel sistemin modeline dir irikimli ir ilgi ynınd izlenecek oln tüm yörüngeye dir irikimli ir ilgiyi de gerektirmektedir. Böylece dynk sinyllerinin üzerinde olnlrın ynınd fiziksel sistem prmetrelerinde de üyük ölçüde elirsizliklerin olmsı hlinde u şekilde ir yklşım uygun olmycktır. Uyrlnilir izleme htsını sıfır sonuşurlu ir şekilde ykınsmyı grnti edecek ir dinmik evirme ile hesplnn denetim girişi prmetrelerini yrlmyı içermeyecektedir. Bu yöntem prmetre elirsizlikleri ile şrılı ir şekilde ş çıkilir m yine de izlenecek oln tüm yörüngeye uyrlm lgoritmsının hzırlnmsınd kullnılcktır dir ir ilgi irikimini gerektirecek ve u yüzden de u trz ir yklşım ilinmeyen yörüngeleri izleme prolemi için uygun olmycktır. i ki izleme prolemi yvş ir şekilde değişkenlilik gösteren ilinmeyen ir prmetrenin olmsı durumundki ir krrlılık prolemi gii yvşç değişkenlik gösteren ir dynk yörüngesi olrk değerlendirileilir m u irçok durumd çok tutucu ir çözüm sğlycktır. Diğer trftn iç model tnlı izleme izlenecek oln yörünge de dâhil fiziksel sistem prmetrelerindeki elirsizliklerle eşzmnlı olrk ilgileneilme olnğı sğlycktır. İzlenecek sitlenmiş dinmik ir fiziksel sistem ile üretilmiş yörüngeleri kümesine it olmsı durumund öyle ir sistemin iç ir modelini kullnn ir denetleyicinin u kümedeki her ir yörünge için izleme htsının sonuşurlu ozulmsını sıfır getireceği ve unu prmetre elirsizlikleri kımındn gerçekleştireceği gösterilmiştir. Bu ir sinylin dış ir sistem trfındn üretilen sinyller sınıfı içinde olduğu vrsyımının yerine izlenecek

15 yörüngenin geçmişi şu n ve geleceğe dir ilgilerinin tm olrk ilindiğinin vrsyılmsının gerekeceği yukrıd elirtilen iki yklşım ile yüksek ölçüde çelişkili ir durumdur. Bu yüzden ilinmeyen dynk yörüngelerinin izlenmesi vey ilinmeyen oznetkenlerin reddedilmesi sorunlrın en uygun gözüken yklşım iç model tnlı yklşımdır [4 5 7]. İç model denetiminin gelişmiş ir uygulmsı olrk elirsiz koşullrd slınn ir güverteye ir helikopterin güvenli ir şekilde inmesini sğlyilecek ir otomtik pilotun tsrımı incelenecektir. Değerlendirmeye lınn kurgu ir helikopterin dlg hreketine ğlı olrk üyük dikey slınımlr ti olduğu ir olsı senryoyu temsil eder. Denetim mcı iki yrı göreve yrılır: İlk olrk elirli ir yükseklik frkı ile güverteninki ile helikopterin dikey hreketinin senkronizsyonudur. Senkronizsyon sğlndığınd ikinci görev yükseklik frkının sıfır inmesini sğlmktır. çık ir şekilde önemli oln kısım urd ilk görevi yerine getireilecek ir denetleyici tsrlmktır.

16 . İÇ ODEL BNLI DENEİ EORİSİNİN EELLERİ.. Sonuşurlu İzleme ve Boznetkenin Zyıflmsı Önceden elirlenen dynk yörüngeleri izlemek mcıyl ir fiziksel sisteme dir kesin çıkışlr elde etmek için geriesleme denetleyicisinin hzırlnmsı denetim teorisindeki merkezi ir prolemdir. Fiziksel sistemin eklenilenden frklı hreket etmesine seep olilecek oln irçok olguy rğmen herhngi ir gerçekçi senryod u denetim mcın ulşılmlıdır. Bu olgulr örneğin somut prmetre değişimleri gii içypılı y d fiziksel sistemin dvrnış şeklini etkileyecek şekilde oln istenmeyen ek girişler gii dış kynklıd olilir. Fiziksel sistem doğrusl sonlu oyutlu zmnd değişmez ir sistem şeklinde modelleneilir ise söz konusu prolem şeklen şğıdki gii verileilir. Fiziksel sistemin modelinin irinci dereceden doğrusl türevsel denklem tkımı olduğunu ve B u B z C D u D y C D u D. şeklinde yzıldığını ve in ir durum değişkeni vektörü u nun denetim mçlrı için kullnılck oln ir giriş vektörü nin denetlenemeyen ve öylece istenmeyen iç oznetkenler olrk gösterilen ir girişler vektörü z nin denetlenmesi gereken çıkışlr vektörü y nin ise ölçüm için uygun oln ve öylece denetim işlemini sğlyn düzeneği eslemek için kullnıln ir çıkışlr vektörü olduğu vrsyılır.. denklemini veren öek şem Şekil. ile verilmektedir. 3

17 z Sistem y u Denetleyici Şekil... Denklemi Öek Şemsı z ref t. in zt denetlenmiş çıkışının yeniden oluşturmsı gereken elirlenmiş oln dvrnışı zmnlı ir şekilde ifde etmektedir. Yukrıdki tsrım prolemini elirlemek için kullnıln yollrdn irisi yt yi giriş olrk ln ve ut yi çıkış olrk üreten orty çıkn kplı döngü sisteminde zt sonuşurlu izlemeleri z ref t gii lim z t z t ref t. denklemi grnti eden ir denetleyici kullnmktır. Böylelikle diğer tüm tsrım mçlrı için olduğu gii u özgül tsrım mcı için de genel nlmd kul edilen ir gereklilik oln denetleyici ynı zmnd sdece denetlenen z çıkışının ileşenlerini değil diğer tüm iç/durum değişkenlerinin istenen dvrnışlrı sğlyilecek durumd olmlıdır. Bu gerekliliği ifde etmenin ir yolu t ve z ref t ğlndığınd ki u durum sonuçt sonuşurlu krrlılık özelliği ile otomtik olrk grnti edilen sistemin doğrusl olmsı ir durumdur tüm değişkenlerin ğlı olrk klcğını kul ettirmektir. Bu prolemi şrılı ir şekilde elirleyeilmek için dış uyrn t ve z ref t ve onlrın özgül şekilleri hkkınd denetleyicinin ne kdr ilgi shii olmsın izin verildiğine ğlı ir durumdur. t ve z ref t nin tm olrk ve önceden ilindiği idel durumd tsrım prolemi çok dh sit görünmektedir. nck u hiçir 4

18 koşuld herhngi ir gerçekçi senryoyu ifde etmeyen iyimser ir durumdur. Diğer ir durum ise u uyrnlr hkkınd hiçir şeyin ilinmediği m sdece onlrın ttmin ettikleri değişken sınırlr olduğu ilinen durumdur. Bu krmsr senryod ekleneilecek en iyi durumdur. gii tm ir mcın gerçekleştirilmesi değil zt ve z ref t rsındki frk için elirli ess sınırlrın grnti edilecek olmsıdır. Dh rht ort hlli ir durum ise örneğin verilmiş oln elirli ir küme üzerinde ilgili şlngıç şrtlrının değişmesine izin verildiği sit ir türevsel denklemden elde edilen tüm çözümlerin ilesine it olnlr gii t ve z ref t nin sdece sit ir zmn işlevleri ilesine it olduğu ilinen durumlrdır. Bu durum slınd idel oln m gerçeklik dışı oln t ve z ref t ye dir ir ilgi irikiminin olduğu durumdn ve t ile z ref t ye dir hiçir ilginin olmdığı durumdn yeteri ölçüde uzk ir durumdur. m ununl irlikte dh sonrd görüleileceği gii u şekilde dış ir uyrnın düşünülmesi şlıc prtik uygulmlrın geçerliliğinin olduğu irçok durumu krşılmktdır. t ve z ref t ileşenleri u nlmd sit ir türevsel denkleminden lınn çözümler ilesinin üyeleri gii düşünüldüklerinde fiziksel sistemin modelinde onlrı yrı yrı tutmk için hiçir seep yoktur. slınd onlr zref gii yzılck şekilde dışypılı girişlerin dh geniş ir vektörünün ileşenleri olrk d gösterileilir. Bun ğlı olrk. modelinde denetlenen z çıkışı e t z t z t izleme htsı ile yer değiştirileilir. Bu d yukrıdki denklemlerin de gösterdiği gii slınd durumunun u denetim girişinin ve oznetkenin şeklinde doğrusl ir işlevidir. ref e C Du D.3 Bşlngıç olrk ve sorunlrı sitleştirmek için doğrusl ir türevsel denklem olduğu vrsyıln ir S sit mtrisi kullnılır. Bu dış uyrnın oznetkenlerin çeşitli ileşenlerinin sit ir türevsel denklem çözümleri ilesinin üyesi olrk 5

19 S.4 gösterilir [ ]. Bu ğlmd.4 deki fiziksel sistem dışsistem olrk ifde edilmektedir. slınd şlngıç şrtlrı önceden elirlenmiş W kümesinde frklılık göstereceğinden dolyı u sistem tsrım proleminde olsı tüm dışypılı sinyllere dir ir model sğlmktdır. Bu şrtlrd tsrım prolemi tüm şlngıç şrtlrındki fiziksel sistemin ve denetleyicinin durum uzylrın dir ikinci olrk hsedileninin iç dinmiklerinin olmsı durumund ve dışsistemin durum uzyının W lt kümesinin tüm şlngıç koşullrın dir orty çıkn kplı döngü sisteminin yörüngelerinin ğlndığı unlr ynı zmnd.4 e de it ise ir geriesleme denetleyicisi ulmktır ve lime t t şekilde geçerlidir. Yukrıdki formülde denetlenen zt çıkışının dvrnışı ve onun önceden elirlenen z ref t dvrnışı rsındki olsı ir ynlış eşleşmeye dir diğer ilgili şk ir kynğın çık ir şekilde değerlendirmeye lınmmıştır. Fiziksel sistem prmetresi elirsizliklerine dir uzlşılmış ir şekilde sitleştirilmiş m etkili oln düşünme şekli de model. in ktsyı mtrislerinin önceden elirlenen ir P kümesinde çeşitlenen sit ir vektöre m ilinmeyen µ prmetrelerine ğlıdır. Bu şekilde.3 ü değerlendirmeye lrk ve üsttkısını şğıdki şekilde düşürerek fiziksel sistem. B u B e C D y C D u D u D.5 şekilde yeniden yzılilir. i ki µ dışypılı ir giriş olrk değerlendirileilir ve. derece türevi dir. Bu şekilde ile toplnmsı sğlnilir m u modelin doğrusllığın zrr verecektir. Bu seeple doğrusl sistemler ele lınırken u tür ir gösterim dh 6

20 uygun olcktır. nck çıklyıcı mçlr dışınd µ ve nin rollerini yrı tutmk için özel ir seein olmdığı doğrusl olmyn sistemleri ele lırken kullnılmycktır. Yine u dh genel nlmd söz konusu prolem µ dn ğımsız tüm şlngıç şrtlrı için fiziksel sistem ve denetleyici durum uzylrınd dışsistemin uzyının önceden elirlenmiş ir W ltkümesindeki şlngıç şrtlrı için ve önceden elirlenmiş ir P ltkümesinin tüm değerleri için ir geriesleme denetleyicisi ulmktır ve.4 ve et ninkiler t olduğund ykınlşırs orty çıkn kplı döngü sisteminin yörüngeleri istenen değerler içinde sınırlndırılmış olur... Doğrusl Sistem odeli Doğrusl zmnl değişmeyen ir sistem oln Bu P y C Q e C Q e e.6 ele lınır. Bu denklemlerde R n durum vektörü u R m denetim girişi R r oznetken girişi y R p ölçülen çıkış ve e R ir izleme htsıdır. Bu sistemi etkileyen oznetken girişi Bölüm. de verilen terminolojiye göre dışsistem olrk ifde edilecek oln S.7 denklemi ğımsız zmnd değişmez ir doğrusl sistemdir..6 nın denetimi ölçülen y çıkışını işleyen ve u denetim girişini üreten ir dinmik geriesleme denetleyici rcılığıyl sğlnır. Bu denetleyici doğrusl zmnd değişmez ir sistemdir ve ξ R v durumu ile F Gy.8 u H Ky 7

21 şeklinde modellenmiştir [5]. e çıkışı ile ir doğrusl zmnd değişmez ve ğımsız ir sistem oln.6.7 ve.8 in ğlntısı S BKC BH P BKQ F GC GQ e C Q e e.9 şeklinde modellenmiştir. Bu zorlnmış kplı döngü sistemini göstermektedir. Dışsistemin ğlntısı kesildiğinde ve e çıkışı görmezden gelindiğinde elde edilen özel sistem yni BKC BH F GC zorlnmmış kplı döngü sistemi olrk nılcktır. srım proleminin zı genel isterleri şu şeklidedir:. Zorlnmmış kplı döngü sistemi. un denge noktsı ξ = sonuşurlu krrlıdır Zorlnmış kplı döngü sisteminde.9 her ir şlngıç şrtı için ξ lime t t dır. Yukrıdki formüllerle dh sit ir nliz ypilmek için zı vrsyımlr kullnılmıştır. Vrsyım : B çifti krrlştırılilir ve C sezileilir niteliktedir. Bu F G H K mtrislerinin vrlığı için gerekli ve yeterli ir şrttır BKC BH J GC F mtrisinin tüm özdeğerleri sol yrı düzlemde olcktır.. 8

22 Vrsyım :.7 oznetkenlerden oluşn dışsistem denklemini; ilinmeyen dışsistem prmetrelerini gösterecek şekilde S S r cos t r cos t r rctn rctn sinüzoidl oznetkenleri çık şekilde çözülmüştür. Söz konusu özellik trfsız krrlılık olrk ifde edilecektir. Bu vrsyım S nin özdeğerleri sdece snl eksen üzerinde ise geçerli olcktır. Bu şekilde uygun koordintlrd S her zmn için köşegen simetrik mtris olrk ifde edilecektir. Bu vrsyım geçerli olurs dışsistem.7 e dir tüm yörüngeler ileriki ir zmnd sınırlncktır ve onlrdn hiçirisi t olduğu için sıfır gitmeyecektir. İleriki ir zmnd sınırlmk tsrım proleminin gerekliliğinin yerine getirilmesi hlinde herhngi ir ξ için zorlnmış kplı döngü sistemi.9 un sınırlncğını grnti etmektedir. slınd t ve ξt sonuşurlu krrlı ir doğrusl sistemin ğlı ir girişe ynıtı olrk değerlendirileilir. Diğer trftn t iken.7 in yörüngelerinin vr olmmsı gerekliliğinin yerine getirilmesi trfındn gerekliliğinin yerine getirilmesinin öngörüleceği t ğlntısız yörüngeleri elirleyecektir. Vrsyım 3: e = Ey eşitliğini sğlyn p oyutlu ir E mtrisi ulunilir. Bu özelikle genelde e nin y den okunilme özelliği ile ilgili olrk ifde 9

23 edilmektedir. Durumun öyle olmsı hlinde olsı çıkış uzyındki koordintlrd ir değişiklikten içinde C ve Q in ir C ve Q ölümünden olrk lındığı e C Q C Q C Q C Q şeklinde düzenlenmiş e çıkışındn sonr değerlendirmede ir genellik kyı olmdığı görülmektedir. utrlı ir şekilde y = e şeklinde ve y C Q şeklinde yzılcktır. Bu vrsyım essen ölçüm için erişilen tüm değişken kümelerinin düzenlenmiş çıkış e nin ileşenleri ile irlikte vektör y nin ileşenlerini içeren fzldn ir değişkenler kümesini içinde ulundurduğunu ifde etmektedir. Dynıklılık özelliğinin tutulmsı gerekiyors u vrsyım gerekli olrk düşünüleilir. Vrsyım 4: e nin ileşenlerinin syısı u nun ileşenlerinin m syısın eşittir. e nin ileşenleri nun değişkenlerinin ğımsız dynk yörüngelerinin eşit ir syısını izlemesi gereken ir denetim proleminde ir izleme htsı ileşenleri olrk gösteriliyors değerlendirmeye lınmsı gerekmektedir. Bu durumd slınd denetim giderlerinin syısı en zındn denetlenecek ğımsız değişkenlerin syısın eşit olmlıdır. Bu vrsyım genel nlmd vzgeçilmez ir vrsyım değildir m nlizi önemli ölçüde sitleştirir. ynı zmnd Vrsyım 3 ün ışığınd u durumun çık ir şekilde p yu ifde ettiği de görülmektedir. Ön Kurm... Kplı döngü sistemi.9 ve tüm mtrislerin özdeğerlerinin. negtif gerçek ölümlerinin olduğu vrsyılırs; O zmn her ir ξ şlngıç şrtı için sdece

24 S BKC BH P BKQ S F GC GQ. tek Π Σ çözüm çifti C Q.3 şeklinde olcktır. Π Σ çözüm çifti sırsıyl durum değişkenlerinin çözümlerinde kullnılır [ 5]. Knıt: tris içiminde yzılmış oln denklem. BKC BH P BKQ S GC F GQ ir Sylvester denklemidir. Vrsyım ile S nin tüm özdeğerleri sıfır gerçek ölüme ship olurken ön kurm göre mtris. in tüm özdeğerlerinin negtif gerçek ölümü vrdır; öylece denklem. tek oln ir Π Σ çözüm çiftine shiptir ve I I I şeklinde gösterilir. Yukrıdki şekilde tnımlnn yeni koordintlrd kplı döngü sistemi.9 un denklemleri S BKC BH P BKQ S F GC GQ S şekilde yeniden yzılır ve. nin gösterimi şeklini lır. S BKC GC BH J F

25 Yeni koordintlrd düzenlenmiş değişken e e C C Q şeklinde elde edilir. Sistem.9 u yeni koordintlr eklemek ile elde edilir ve öylece t e t Jt t e St olur. Jt St e t C e C Q e J nin negtif gerçek ölüm ile tüm özdeğerlere ship olmsındn dolyı sdece lim C Q e t St olmsı hlinde ve unun d sonuç olrk C Π + Q = durumund gerçekleşmesi hlinde lim t et = koşulu her ir için ynı klır çünkü Vrsyım ile tüm S özdeğerlerinin negtif olmyn gerçek ölümleri vrdır. Bu d ön kurmı geçerli kılr. Bu ön kurmd oluşturuln koşul sonr denetleyici ikiye yrılcğı için yeniden tnımlnmktdır. G ve K G = G G K = K K şeklinde ölçümlerle htyı ynı denklemde yrı yrı göstereilmek için ikiye yrılır. Bu durumd.8 denetleyicisi olur. F G e G u H K e K y y.4 Önerme....4 denetleyicisinin.6 yı krrlştırdığı vrsyılır. O zmn lime t t

26 olmsı durumund urd S B P C Q ve S F G C H K C şeklinde Π Σ Λ mtrisleri oluşur [ 5]. Q Q.5.6 Knıt. Ön kurm.. ile lim t et = olmsı durumund. nin tek Π Σ çözümü.3 ü krşılmktdır.. nin iki denklemi S BK C BK C BH P BK Q BK Q S F G C G C G Q G Q şeklinde yeniden yzılır ve.3 ün yrdımı ile S F G C G Q S BK C BH P BK Q şeklinde küçültülür. H K C denklemi.5 ve.6 nın gerekli Q olduklrı şekilde ynı kldıklrını gösterir: Önerme....4 şeklinde ir denetleyicinin.6 yı krrlılştırdığını ve Π Σ R mtrislerinin zı üçlülerinde.5 ve.6 şrtlrının sit kldığı vrsyıldığı zmn u denetleyici genelleştirilmiş ir izleme prolemini çözer [5]. Knıt. Kplı döngü sistemi S ele lınır. Hipotez olrk BKC BK C GC GC BH P BKQ BK Q F G Q G Q 3

27 BKC BK C BH J GC GC F mtrisi negtif gerçek ölüm ile tüm özdeğerlere shiptir. Sonuç olrk BKC BK C BH P BKQ BK Q S.7 GC GC F GQ GQ Sylvester denkleminin tek ir çözümü olur..5 ve.6 yı kullnrk Π ve Σ nın u denklem için ir çözüm sğlyıp sğlmdığını denetlemek önemsizdir. Bu d Denklemlerini sğlr. Yine.5 i kullnrk.7 nin tek çözümünün C Q şeklinde olduğu çıkrımı ypılır ve u d ön kurm.. in lim t et = eşitliğini knıtlmktdır... ve.. önermeleri genelleştirilmiş izleme sorununu çözeilecek ir denetleyicinin vrlığı için yeterli ve gerekli şrtlrı sğlrlr. nck henüz tsrım için kullnılmmktdırlr. Çünkü tüm şrtlrı krşılyn ir denetleyicinin nsıl oluşturulcğını tnımlmmktdırlr. Sonuç... e = y şeklinde olduğu özel ir durumd.4 denetleyicisi F G e u H K e.8 şeklindeki ir denetleyiciye indirgenir ve.. ve.. önermeleri şğıdki sonucu verir..8 şeklinde ir denetleyici.6 yı krrlılştırır. Bu denetleyici sdece şğıdki gii Π Σ Λ mtrislerinin olmsı durumund genelleştirilmiş izleme prolemini çözer ve 4

28 ve olur. S B P C Q S F H.9. Not... Bu durumd iç model özelliği.6 trfındn vrsyıln dh sit ypı yni. şeklinin ölçülen y çıkışının sdece e den oluşmdığı m ir dizi çık olmyn ekstr y değişkenlerini içerdiği durumlrd d gerçekleşeileceğini vurgulmk önemlidir. Özel. ifdesinin geçerli olmsı için slınd.9 düzenleyici denklemlerinin Π çözümünün C Π + Q = şeklinde olmsı yeterlidir..3. Sistem Dynıklılığı Bölüm. in sonund gözlemlendiği üzere iyi ir tsrım ynı zmnd denetlenen fiziksel sistem modelinin en zındn prmetrik olrk elirsizliklere ti olduğunu d değerlendirmeye lmlıdır. srım.6 modelini krkterize eden B P C Q mtrisleri C e ve Q e mtrisleri vrsyım 3 ün ışığınd C ve Q nun lt mtrisleridir elirli ir P kümesi içinde yer lck şekilde elirsiz prmetrelerinin ir µ vektörüne ğlı olduğu gerçeği değerlendirmeye lınır. Diğer trftn denetleyici sıl değeri ilinmeyen µ vektöründen ğımsız olmlıdır ve u d ir önceki ölümde sunuln nlize dir zı ilgili sonuçlrı ererinde getirmektedir [ 5]. µ ye ğımlı ir fiziksel sistemi B u P e C Q y C Q. ve.8 denetleyicisinin herhngi ir µ P değeri için izleme prolemini çözmesi hlinde dynıklı olduğu söylenir. Bu formülsyond.7 dışsisteminin 5

29 prmetre elirsizliklerine ti olmdığı vrsyılır. Dışsistemde prmetrik elirsizliklerin vrlığı yrı ir nliz gerektiren hsss ir sorundur ve Bölüm.5 içerisinde ele lıncktır. Genelleştirilmiş sonuşurlu ir izleme prolemini çözen ir denetleyicinin dynıklı ve krrlı ypıd ir fiziksel sistem oluşturilmesi için zı vrsyımlr ypılır: Vrsyım 5: şğıdki mtrisin tüm özdeğerlerinin tüm µ P ler için negtif gerçek ölümlere ship olduğu F G H K mtrisleri ulunmktdır ve B KC J GC mtrisi şeklinde tnımlnır. B H F. Önerme şeklindeki denetleyicinin dynıklı ir şekilde krrlılştırıldığını. kul eder. Bu denetleyici her ir µ P değeri için şğıdki şekilde Π Σ Λ mtrisleri vr ise dynıklıdır [ 5]. Bunlr S B P.3 C Q ve S F G C R H K C Q Q.4 dur..3 ve.4 denklemlerini çözmek için gerekli oln üç Π Σ Λ mtrisinin µ den ğımsız olmlrı gerekmemektedir. Bunu vurgulmk için durum göre dh çık Πµ Σµ Λµ içimleri kullnilir. Belirsiz µ prmetresi şğıdki eşli ile tnımlndığı ve P nin oş olmyn ir iç lt kümesine ship olduğu u eşlinin tnımlndığı vektör uzyının topolojisinde durumd u denklemdeki çeşitli ktsyı mtrislerinin tüm girişlerinin ğımsız değişimlere elverişli olduğu düşünüldüğünde her ir µ P için.3 6

30 denklemlerinin yni düzenleyici denklemlerin ilk kümesinin Π Λ çözüm çiftinin vrlığın sit ve çıklyıcı ir özellik elirleneilir ve { B P C Q } mtrisleri { B P C Q } nn nm nr mn şekilde tnımlnır. Bu durumd slınd.3 denklemlerinin tüm { B P C Q } için çözümleri olduğunu söylemek S B P C Q mr.5 şeklindeki denklemlerin oş olmyn ir içterse ship kümedeki tüm µ P için çözümlere ship olduğunu söylemek nlmın gelir. Durumun undn iret olmsı için sit ir şrt mevcuttur: Ön kurm denklemleri sdece S nin özdeğeri oln tüm { B P C Q } ler için I B det C olmsı durumund tüm { B P C Q } için çık ir kümede tek ir çözüme shiptir [5 6]. Knıt. B C ve S nin sit mtrisler ve eşlemesi : nr mr nr mr S B C şeklinde tnımlnmktdır. Π Λ nin.5 in çözümü olduğunu söylemek olduğunu söylemek nlmın gelmektedir. P Q.6 Λ eşlemesi doğrusl ir eşlemedir ve u eşlemenin sdece ön kurmının sit kldığı durumlrd çevrileilir olduğu ilinmektedir. Döndürüleilirlik herhngi ir çift için P Q.6 nın tuttuğu gii sdece ir çiftin Π Λ olduğu nlmın gelir ve u d slınd söz konusu koşulun yeterli olduğunu isptlr. Bu koşulun gerekli 7

31 olduğunu göstermek için u eşlilerin yerldığı kümesindeki herhngi ir { B P C Q } eşlisi ele lınır. ε yeterli ölçüde küçük ise herhngi ir elirli çift P Q R nr R mr için { B P P C Q Q } olur çünkü çıktır..5 denklemleri tüm u ε ler için çözülmelidir ve sit ir hesplmnın d gösterdiği gii ilgili çözüm içiminde verileilir ve urd P Q.7 olcktır. P Q çifti doğrusl R eşlemesinin rlığı üzerine olduğu ve eşlemenin yerinin ve rlığının ynı oyut ship olmsındn dolyı eşlemenin dönüştürüleilir olduğunu knıtlr. Bu şekilde ön kurmdki Λ nin dönüştürüleilir olmsın dir koşul orty çıkr. Bununl irleştirilmiş ir şekilde şğıdki yeni vrsyım eklenir: Vrsyım 6: Herhngi ir µ P için I B.8 C mtrisi S nin özdeğerleri oln tüm λ lr için çözüm tek değildir. Bu vrsyım rezonnssız koşul olrk ifde edilecektir. Bu vrsyımın geçerli olmsı durumund.3 denklemlerinin gerektirdiği üzere her ir µ P için ir çözüme ship olmsı durumu çık ir şekilde görülmektedir..3 denklemlerinin her ir µ için ir çözüme ship olduğu iliniyors slınd u vrsyım 6 nın geçerli olmsı durumund yukrıd d gösterildiği üzere mevcut oln durumdur Önerme.3. deki ikinci küme denklemlerin de mesel 8

32 iç model özelliğinin geçerli olmsı gii çözüleceği ir denetleyiciyi oluşturmk zor değildir. Bu mçl s m s s... ifdesinin S mtrisinin miniml çokterimli ifdesi S s s s S... S I şeklindedir. Bu Cyley-Hmilton kurmındn gelmektedir. Cyley-Hmilton kurmı her mtris kendi krkteristik denklemini sğlmk zorunddır. Böylece herhngi ir m s oyutlu V mtrisi krkteristik denklemle çrpılırs VS denklemi elde edilir ve s s s VS... VS V.9 I I... I I I I s I. I s I.3 şeklinde mtrisler kullnılırs Φ mtrisi S nin tüm özdeğerlerini ve ktlrını içerecektir..9 u kullnrk mtrisinin denklemlerini sğldığı gözlemlenir. V VS S V....3 s VS s VS V S S V V S S V 9

33 Ф ve Г nın µ prmetresine değil sdece S nin miniml çokterimli ktsyılrın ğlı olduğunu ve V nin u prmetreye ğlı olmsı durumund S V nin u prmetreye ğlı olileceği görülmektedir. Bu mtrisleri kullnrk iç model özelliği.4 ün geçerli olcğı ir denetleyici oluşturmk zor değildir. Önerme.3.. Πµ ve Λµ nin.3 için ir çözümüdür..4 teki F G G ve H mtrislerinin Ф ve Г ile.3 dki gii olmsı kydıyl F G G H N L şekilde olduğunu vrsyılır. yrıc L nin özdeğerlerinin hiçirinin S nin ir özdeğeri olmdığını ve tüm µ P için C Q.3 şeklinde olduğu vrsyılır. O zmn Πµ Σµ Λµ nin.4 ün ir çözümü oln ir Σµ mtrisi vr olur [ ]. Knıt. S V W kümesinin ir denetleyicisi için.4 denklemleri dh uygun olmsı için μ ye ğımlılığı ortdn kldırılır V S S WS LW V C V NW K S S C Q C Q Q şekle indirgenir. Bunlrdn ikincisi S nin hiçir özdeğerinin L nin ir özdeğeri olmdığı için tek C Π + Q gii µ ye ğlı olilecek oln ir W çözümüne ship ir Sylvester denklemidir. µ ye ğlı oln mtrisini düşünerek son denklem V NW K C V V şeklini lır irinci oln θ C Π + Q hipotezi ile S Q

34 V S V S S şekline indirgenir. Böylece Σ mtrisi.4 i çözer. Bu sonuç essınd.3 düzenleyici denklemlerinin izlemeye dir genelleştirilmiş prolemi çözmek için fiziksel sistemin zten krşılmsı gereken ir koşul oln tüm µ için ir çözüme ship olmsı hlinde F G G ve H nin elirtilen şekillere ship olduğu herhngi ir denetleyicinin sdece S nin özdeğerlerinin hiçirinin L nin özdeğerleri olmmsı ve.3 koşulunun geçerli olmsı hipotezi içinde önerme.3. in her ir.3 ve.4 denklem kümesinin ir çözüme ship olduğunu elirtmektedir. Bu şekilde u önermenin de elirttiği üzere tsrımd ırkıln serestlik dereceleri yni L N K K mtrisleri. fiziksel sistemin dynıklı ir şekilde krrlılştırilmesi için seçileilir u denetleyici dynıklı ir denetleyicidir ve örneğin her ir µ P değeri için genelleştirilmiş izleme prolemini çözeilir [5 3]. Vrsyım 6 nın dynıklı ir denetleyicinin vrlığı için gerekli olduğu ynı senryoyu yni µ elirsiz prmetresinin { B P C Q } eşlisi ile tnımlnildiği ve P nin oş olmyn ir içterse ship ir küme olduğu durum değerlendirmeye lınırs; O zmn önerme.3. deki ikinci denklem kümelerinin yni iç model özelliğinin herhngi ir dynıklı denetleyicinin ypısı üzerinde önemli ir sonucu getirmesi mümkündür. Önerme.3.3. Bir denetleyici sdece her ir m r oyutlu V mtrisi için S F V H şekilde v r oyutlu V mtrisi vr ise dynıklıdır [ 5]..33 Knıt. Ön kurm.3. in knıtınd olduğu üzere

35 B P P C Q Q gii ir eşliyi P içtersinde { B P C Q} ile irlikte lınır..5 ve.6 denklemlerinin tüm küçük ε ler için ir Π Σ Г çözümü vrdır ve sit ir hesplm u çözümleri içiminde verir. Burd.7 nin geçerli olduğu şekildedir ve S F G C H K C.34 şeklinde olur. Ön kurm.3. in knıtınd gösterildiği üzere Λ eşlemesi dönüştürüleilir olduğu için her zmn.7 yi çözen tek çift nin C = ı krşıldığı şekilde P Q i ulmk mümkün olurken u sırd herhngi ir V mtrisine denk gelecektir. Bu durumd.34 denklemleri olur ve u d önermeyi knıtlr. S F V H Böylece önerme.3. nin.4 teki F mtrisindeki durumu F L içiminde elde edilir. Bu durumd L nin herhngi ir özdeğerinin S nin özdeğerlerinden irisi olmmsı durumund şğıdki Sylvester denklemi ZL Z.35 tek ir Z çözümüne shiptir. slınd ypı olrk Φ mtrisi öz çokterimlisi S nin miniml çokterimlisinin m ktı kdrdır ve u şekilde L nin özdeğerlerinin hiçirisi

36 Φ nin ir özdeğeri olmz. Z mtrisi koordintlrd F yi önerme.3. de gösterilen içime getirecek şekilde.4 durum uzyınd ir değişiklik oluşturmk için kullnılır. Sonuç.3.. Πµ Λµ nin.3 nin ir çözümü olduğu ve.4 teki F G G H nin.3 dki gii Φ Г ile F G G H N L içimindedirler. ynı zmnd L özdeğerlerinin hiçirinin S nin özdeğerlerinden iri olmdığını ve tüm µ P için Z C Q.36 olduğunu vrsyılır. O zmn Πµ Σµ Λµ nin.4 in ir çözümü olduğu ir Σµ mtrisi oluşur [ 5 3]..4. Doğrusl Sistemler için srım Yöntemleri Önceki ölümde genelleştirilmiş izleme prolemini çözen ir denetleyicinin potnsiyel ypısı ve u denetleyicinin dynıklı olduğu uygun şrtlr tnımlnmıştır. Bun özet olrk her ir µ P için.8 mtrisinin S nin özdeğerleri oln tüm λ lr için tekil olmdığı vrsyılır Vrsyım 6 ve durumun u şekilde olmsı hlinde her ir µ P için.3 düzenleyici denklemlerinin tek ir Πµ Λµ çözümü olduğu gözlemlenir. O zmn ir önceki ölümün sonuçlrı şğıdki sonuçlrı verir. Önerme.4... sistemi ele lınır. üm µ P ler için ütün S nin özdeğerleri oln λ lr olrk I B det.37 C olduğu vrsyılır. Πµ Λµ nin.3 nin tek çözümü olmsın ve nin tüm µ P ler için C Q.38 3

37 sğlyn ir mtris olduğu vrsyılır. L N K deki L nin hiçir özdeğerinin S nin özdeğerlerinden irisi olmdığı ve tüm µ P ler için tüm özdeğerleri B KC B B N C.39 C L mtrisinin negtif gerçek ölümü olduğu mtrislerin ir eşlisi olduğu vrsyılır. O zmn denetleyici.4 ' ' y '' L '' y u ' N '' Ky.4 şeklinde dynıklı ir denetleyici olcktır [5 ]. Knıt. Hipotez olrk.4 denetleyicisi. i tüm µ P ler için krrlılştırır. Önerme.3. nin hipotezleri geçerli olduğundn tüm µ P ler için.4 denklem kümelerini çözen ir Σµ mtrisi de vrdır. Böylece Önerme.3. in gösteriminde u denetleyici tüm µ P ler için genelleştirilmiş izleme prolemini çözer. Not.4.. Sonuç.3. in gösteriminde.4 ın yerine ' ' '' y '' L '' y u ' N '' Ky.4 şekilde ir denetleyici değerlendirmeye lınırs enzer ir sonuç oluşur. slınd ve L mtrislerinin ortk herhngi ir özdeğerleri olmdığı için.4 denklemlerindeki ikinci denklem şeklindeki ir denetleyiciye denk olcktır. Önerme.4. in koşullrını.4 in prmetreleri ile doğrudn ir şekilde ifde etmek için.38 hipotezi.35 in tek çözüme ship Z C Q.4 hipoteziyle değiştirilmelidir. 4

38 5 L N K nın L C C N B B KC B.43 ifdesinin tüm özdeğerlerinin ütün µ P ler için negtif gerçek ölümlere ship olmsı hlinde orty çıkn denetleyici dynıklıdır. Bu sonuçlr essen dynıklı ir denetleyici tsrımının dynıklı ir krrlılştırıcının ' ' ' C y u B C B.44 şekildeki ir sistem için ulunilmesi hlinde gerçekleştirileileceğini göstermektedir..4 denetleyicisinin sit ir ypısı vrdır. slınd ir tnesi ' ' ' ' u y e.45 şeklindeki denklemler ile modellenirken diğeri de '' '' '' '' y K e K N u y e L.46 şeklindeki denklemler ile modellenen Şekil. de gösterildiği gii iki lt sistemin prlel ğlntısındn oluşmktdır.

39 Şekil.. Denetleyici.4. Bşlngıç olrk ilinen nominl değeri verilmiş ve onun ykınınd çık ir şekilde prmetresinin tüm değerleri için mçlnn hedefe ulşck ir denetleyicinin tsrımı tnımlnır. Dh rht olmsı için Bu P e C Q y C Q.47 ifdesinin olduğund denetlenen fiziksel sistemi tnımlmsı sğlnır. C Π + Q = tnımı ile Önerme.4. in Θ C Π + Q = koşulunu krşılmk için Θ = şeklinde ir yrlm ypmktır. ynı zmnd sitlik için de K = ve K = şeklinde yrlmlr ypmk ' ' e '' L '' e u ' N '' denklemlerle modellenen ir denetleyiciyi oluşturur. Zorlnmmış kplı döngü sistemi y.48 C '' C ' B BN ' L ''.49 6

40 dir. Burd dh uygun olmsı için C C C şeklinde ir yrlm ypılmıştır..3 dki Г Φ çiftinin ypı olrk gözlemleneilir olduğunu ve Φ Θ çiftinin denetleneilir olcğı şekilde Θ i ulmk her zmn için mümkündür. Bu Θ seçimi için şğıdki durum geçerlidir. Ön kurm.4.. B çifti krrlılştırılilir ve C çifti sezileilirdir. S in özdeğerleri oln tüm λ lr için I B det.5 C ifdesi geçerlidir. Φ ve Г.3 dki denklemlerdeki giidir ve Φ Θ deki Θ denetleneilirdir. O zmn B C.5 çifti sezileilir olur ve B.5 C çifti krrlılştırılilir olur [ 5 ]. Knıt. Genellik kyı olmdn C çiftinin C d dd sezileilir çifti ile irlikte uu ud d dd C şeklinde yrıştırılır. B ve C yi un uygun olrk B u B C Cu Cd B d şeklinde yrılır..5 çifti sezileilir değildir. O zmn negtif olmyn gerçek ölüm ile ir λ syısı ve 7

41 8 C C C I - I - I - d u d d u d u d d dd u d ud uu B B sptyck sıfır olmyn ir vektör oln col u d ξ orty çıkr. ξ vektörü sıfır olmz. ksi tkdirde u d ve geriye kln diğer denklemler C çiftinin sezileilirliği ile çelişkili olcktır. Bu seeple üçüncü denklemden λ nın Φ nin ir özdeğeri olduğu ve öylece de S nin ir özdeğeri olduğu görülmektedir. Гξ nin de sıfır olmycğını çünkü ksi tkdirde I - kimliğinin ГΦ nin gözlemleneilirliği ile çelişkili olcğı sonucu çıkr. Bu şekilde şğıdki ifdeyi krşılyn sıfır olmyn ve S nin özdeğeri olrk λ y ship ir colu d Гξ vektörü d u d d dd u ud uu C B I B I ulunur ve u d.5 hipotezi ile çelişkili ir durumdur. Böylece.5 çifti sezileilir olur..5 çiftinin krrlılştırılilir olduğun dir knıt d un enzerdir. Sonuç.4.. Ön kurm.4. in hipotezlerinin geçerli olduğu vrsyıldığınd; L nin özdeğerlerinin hiçirinin S nin özdeğerleri olmdığı ve.49 sisteminin sonuşurlu olrk krrlı olduğu ir L N üçlüsü vr olcktır [ 5 ]. Knıt. Sezileilir ve krrlılık sırsıyl çıkış üretileilirliği ve durum geriesleme ltınd değişmez olduğundn

42 çiftinin sezileilir olduğunu ve C B C C B B çiftinin krrlılştırılilir olduğunu frk etmek önemlidir. Bu şekilde.49 un ypısın krk u sistemi sonuşurlu olrk krrlı ypn L N üçlüsünün vrlığı stndrt sonuçlrdn ileri gelir. L nin küçük değişimleri sonuşurlu krrlılığı ortdn kldırmz ve u seeple L her zmn için özdeğerlerinden irinin S nin özdeğerlerinden irisi olmycğı şekilde seçileilir. Bu sonuçtn B çiftinin krrlılştırılilir ve C çiftinin de sezileilir olmsı durumund ve.5 koşulunun geçerli olmsı hlinde önerme.4. de elirtilen tüm gerekliliklerin.4 denetleyicisi trfındn krşılnileceği şekilde Θ ve L N K yi seçmek mümkündür. Bu seeple u denetleyici.47 için oln genelleştirilmiş izleme sorununu çözer. Bu denetleyici ynı zmnd fiziksel sistem prmetresi değişimlerinde u değişimler.37 koşulunun geçerli olmy devm ettiği ve.39 un tüm özdeğerlerinin negtif gerçek ölümde kldığı şekilde devm ettiği sürece ypı olrk dynıklıdır. Bu kımdn u koşullrın ir değeri için geçerli olmy ve nun ykınınd ir yerde tüm µ lr için geçerli olmy devm ettiğini gözlemlemek önemli olilir. Bu şekilde söz konusu denetleyici nin ykınlrdki tüm µ değerleri için genelleştirilmiş izleme prolemini çözer. nck ir önceki tsrım dımlrınd verilmiş oln ir P kümesi üzerinde µ nun değişmesinin serest olmsı hlinde ikinci koşulun kplı döngü sisteminin krrlılığı geçerli olmy devm edeceğine dir önceden ir grnti verilmediği de vurgulnmlıdır. Durumun u olmsı hlinde L N K ve elki de Θ nın dh düzeltilmiş ir tsrımı gerekli olcktır. 9

43 3 Bir tsrım yöntemini uygun hipotezler çerçevesinde verilen ir P kümesi içindeki tüm µ değerleri için dynıklı ir krrlılık elde edileildiği tsrım yöntemi tnımlnır. µ Bµ C µ nın P kümesinin üzerinde çeşitlenen elirsiz prmetrelerin ir vektörü oln µ nun sürekli işlevi olduğu Q C e P u B.53 şeklindeki ir sistemi ve tüm µ P değerleri için u sistemin u girişi ve e çıkışı rsınd ynı ğlılık derecesine ship olduğu vrsyılırs; u zı r tmsyılrı için... B C B C B C B C r r ifdesini sğlycktır. Uygun ir µ dn ğımsız koordint değişikliği ile u sistemin Q C e P u B P şekilde yzıldığı ilinmektedir. Burd dim = n - dim = r olck şekilde C B ve B C r olcktır. Ek olrk ypılck oln Z koordintı değişikliği ile

44 r r r S Q S P C P C S Q C P Q Z şeklindeki sistem C e P u B P.54 hlini lcktır..37 mtrisinin sdece µ nun ir özdeğeri oln λ nın olmsı hlinde tek olduğunu göstermektedir. Bu şekilde.37 temel koşulu sdece S nin özdeğerlerinden hiçirinin µ nun özdeğerlerinden iri olmmsı durumund geçerli olcktır. Bu özellikle µ nın tüm özdeğerlerinin negtif gerçek ölümleri olduğund geçerli oln durumdur. lterntif ir şekilde.3 düzenleyici denklemlerinin her ir µ için çözümleri olup olmdığı denetlenmesi isteneilir. Bu durumd Πμ yı iki lok olrk şeklinde.54 durum vektörünün üzerindeki ölüm ile tutrlı olck şekilde yrılır. S nin özdeğerlerinin hiçirisi µ nun özdeğerlerinden irisi değilse şğıdki Sylvester denklemi P S.55 tek ir Π µ çözümüne shiptir. Π µ = olrk ve ] [ P.56 olrk yrlndığınd; ileri eslemeli ir denetim Πµ Λµ çiftini gösterir ve öylece ir.3 çözümü oluşturulur. Bu şekilde S nin özdeğerlerinin hiçirisinin μ in ir özdeğeri olmmsı hlinde önerme.4. de elirtilen temel şrtlr gerçekleştirilmiş olur.

45 .55 in Π µ çözümün koordintını şekilde değiştirmek için kullnmk uygun olilir. Bu.56 nın gösteriminde.54 ü e C B B u.57 şekle getirir. Önerme.4. in diğer temel koşulunun yni.44 sisteminin dynıklı ir şekilde krrlılığını yerine getirilmesi şğıd gösterildiği şekilde gerçekleştirileilir. µ mtrisi ve µ ktsyısı elirli koşullrı krşılıyors.54 şeklindeki ir sistemin dynıklı ir şekilde krrlı ypılilir. Ön kurm.4.. P ir tıkız kümedir. µ olck şekilde ir > syısının olduğu ve µ nun özdeğerlerinin tüm µ P ler için negtif gerçek ölümleri olduğu vrsyıldığınd; μ dn ğımsız ir r-oyutu N stır vektörü olck ve öylece tüm µ P ler için B B B özdeğerlerinin negtif ir ölümü olcktır [ 5]. N.58 Knıt..54 sistemi ve = kümesi ele lınır. slınd nin rolünün krrlılık nlizi ile ilgisi yoktur. üm kökleri negtif gerçek ölümlere ship oln ir çokterimli oln ifdesinin d r r d r... d d D d d... d N D r şeklinde ir yrlm ypıldığınd ve 3

46 33 şeklinde yrıldığınd ve yeni ir koordintlr kümesi N D şeklinde tnımlnırs u F F F F.59 şekildeki sistemi oluşturur. Burd d r d d d F ve F F şeklinde tnımlnır. Vrsyım olrk ve D nin tnımı olrk u F µ mtrisi tüm µ P ler için negtif ölümlere ship özdeğerlere shiptir. Bu şekilde α > şeklinde verilmiş herhngi ir numr için I Z F F Z ifdesini verecek oln ir rtı mtris Zµ olcktır. F µ girişleri µ nun sürekli işlevleri olduğu için Zµ nin de öyle olcktır. şğıdki gii kresel içimli ifdede; Z V.6 ve u = -kθ denetimi ile irlikte.59 un yörüngelerinde u işlevin türevi

47 34 k F F Z F F F Z I şeklinde kresel içimli ifdedir. µ ir tıkız kümede çeşitlendikçe köşegen dışı loklr µ nun ve µ > ın sürekli işlevleri olcktır. k k* olduğund u ifdenin kesin negtif olcğı şekilde ir k* syısı olduğunu ve öylece u = -kθ denetimi ile.59 un dynıklı ir şekilde sonuşurlu olrk krrlı olduğunu göstermektedir..54 ün koordintlrın tekrr ir geriesleme yprk N u k denetimi sğlr ve u d ön kurmı knıtlr. Ön kurm.4.3. P tıkız ir kümedir. µ olcğı şekilde ir > syısının olduğunu ve tüm µ özdeğerlerinin tüm µ P ler için negtif gerçek ölümleri olduğu vrsyılır. N nin ön kurm.4. deki gii olduğu koşuld; g > g* olmsı durumund L C N B B B.6 mtrisinin özdeğerleri tüm µ P ler için negtif ölümleri olcğı ir g* syısı olcktır [ ]. Knıt..6 mtrisini; enzerlik dönüşümü kullnrk D g D g I I D g L mtrislerini

48 ve içiminde oluşturrk B B B D g r g. cr c r L. c c g B N B NDg N B ND g L mtrisi tüm özdeğerleri negtif gerçek ölüme ship olck şeklinde yzılır. g.6.6 nin üst sol köşesindeki dört loktn oluşn lt mtris tm olrk N nin Ön kurm.4. deki gii seçilmesi hlinde tüm µ P ler için negtif gerçek ölüme ship olck.58 mtrisidir. Bununl irlikte g olmsı hlinde D - g mtrisi norm olrk ile ğlı olcktır. Böylece Ön kurm.4. nin knıtınd kullnıln trtışmlr enzer trtışmlr iddiyı knıtlmktdır..44 için dynıklı ir düzenleyici tsrlm prolemindeki fikir mtrisini.44 sisteminin Ön kurm.4.3 ün hipotezlerini gerçekleştiren ir sistem hline geleceği ir şekilde seçmektir ve u şekilde ir önceki Ön kurm d trif edilen dynıklı krrlılştırıcı kullnılilir. Ön kurm.4.4. F G çiftinin denetleneileceği ir şekilde F ın herhngi ir s s oyutlu ir Huritz mtrisi G ın herhngi ir s oyutlu vektör olmsı Φ nin özdeğerleri negtif olmyn gerçek ölümler oln herhngi ir s s mtrisi 35

49 ve Г nin ГΦ çiftinin gözlemleneileceği şekilde herhngi ir s vektörü olmsı durumund F G ifdesini verecek ir tekil olmyn s s mtrisi ve ir s vektörü oluşur [5 3]. Knıt. İlk olrk Sylvester denklemi oln F G tek ir çözümüdür. Çünkü Φ ve F ın ortk hiçir özdeğeri yoktur. Burd nin tekil olmdığı knıtlnır. mtrisinin kerneli sıfır olmdığı vrsyılırs ve {v v k } nin ker için ir tn oluşturduğu düşünülürse j... k için v G.63 j v j ifdesi elde edilir. kre mtris olduğud ve ynı zmnd i = için i = olcğı şekilde { k} ğımsız sır vektörleri kümesi de oluşcktır. O zmn j... k için igv olur. üm j ler için Гv j = vrsyılırs.63 Φv j = j... k için v j ker.64 şeklinde olur. Bu şekilde ker nin Φ ltınd değişmez olduğu ve kerг içinde tutulduğu ulunur ve u d Г Φ nin gözlemleneilirliği ile çelişkili olur. j nin en zındn ir değeri için Гv j ise o zmn i G tüm i ler için sıfır olmlıdır ve unun F G ın denetleneilirliği ile çelişkili olduğu ispt edileilir. nin tekil olmdığını göstererek knıtı tmmlmk için Ψ = Г - şeklinde ir yrlm ypmk yeterlidir. j Not.4.. Ψ mtrisinin F + G Ψ ye Φ nin özdeğerleri ile denk gelen özdeğerler kümesini veren tek ir sır vektörüdür []. Not.4.3. Φ ve Г nin.3 ifdesinin mtrisleri olmsı hlinde 36

50 37 S... s S S mtrisi S S S S ifdesini krşılmktdır. Bu şekilde µ mtrisi G F S ifdesini krşılmktdır. Bu sonuçl.57 u nun dynıklı ir krrlılık için kullnılck oln v u G u F ' ' '.65 şeklindeki ir denetleyici tsrlnilir [3 5]. Bu denetleyici knonik iç model olrk ifde edilmektedir..65 denetleyicisi ile.57 nin oluşturulmsı v B B v G G F ' ' ' sistemini oluşturur ve ' ' şeklinde ir değişiklik ile ve Not.4.3 de elirtilen şekilde µ nun özelliklerini kullnrk ikinci olrk hsedilen

51 38 v B B v G G F ' ' '.66 şekle getirilir. Not.4.4. v nin şğıdki sisteminin ir çıkışın eşit ir şekilde yrlnmsı durumund Ky N v y L '' '' '' orty çıkn denetleyicinin Not.4. de değerlendirmeye lınn özel ir durum gii Ky N u y L Ky G N G G F '' ' '' '' '' ' ' ifdesindeki denetleyici gii olcktır..65 knonik iç modeli kullnmnın vntjı.66 ileşik sisteminin u nun ir giriş ve e nin de ir çıkış olrk düşünülmesi ile hl ön kurm.4.3 deki dynıklı ir krrlılştırıcının vrlığın dir koşullrı krşılıyor olmsıdır. Durumun undn iret olduğunu görmek için v F B F F F.67 ifdesini veren şğıdki durum değişkenlerinin değişkenliklerini değerlendirmeye lınırs u durumd G Ψξ + u olur ve -G Ψξ + u iptl olur. Yeni değişkenlerde.66 sistemi F µ F µ F 3 µ nun uygun mtrisler olduğu

52 39 ' ' ' v G v G G F C G r ifdesindeki ir sisteme indirgenir. Bu sistem.54 ile tm olrk ynı ypıy shiptir ki urd µ mtrisinin yeri de F F.68 mtrisinden lınmktdır. F ir Huritz mtrisi olduğu için µ özdeğerleri ve ynı zmnd.68 in özdeğerleri tüm µ P ler için negtif ir gerçek ölüme shiptir. Bu şekilde ön kurm.4. nin ve.4.3 ün sonuçlrın şvurulilir. Özellikle L ve N mtrislerinin vrlıklrının N B B F B B F F F.69 ve L C N B B F B B F F F.7 mtrislerinin özdeğerlerinin tüm µ P ler için negtif gerçek ölüme ship olduğu iddi etmek mümkündür. Bu L N mtrisleri dynıklı ir denetleyicinin tsrımı için doğrudn kullnılilirler []. Önerme sisteminde ir tkım vrsyımlr ypılırs; µ şeklinde olduğu ir > syısı olduğu µ özdeğerlerinin tıkız ir P kümesi için µ lrd negtif ir gerçek ölüme ship olduğu ve s nin S miniml

53 çokterimlinin oyutu olduğu vrsyılır. F ın herhngi ir s s Huritz mtrisi olduğu ve G ın d F G çiftinin denetleneilir olduğu herhngi ir s vektörü olduğu vrsyılır. Ψ nin F + G Ψ ye Φ nin özdeğerleri ile denk gelen ir özdeğerleri kümesini veren tek ir sır vektörü olduğu vrsyılır. L N nin.7 nin özdeğerlerinin tüm µ P ler için negtif gerçek ölüme ship olduğu durumd ' F '' L '' e N '' u ' N '' denetleyicisi.54 için dynıklı ir denetleyicidir [ 5]. G ' G.7 Knıt..54 ü.7 i kullnrk uygun koordintlrd '' L '' e v N '' sistemi ile denetlemek.67 de görünen sistemi getirir. üm µ P ler için u şekilde elde edilen sistem sonuşurlu olrk sittir ve özellikle lim t et = şeklindedir. Böylece u denetleyici dynıklı ir denetleyici olur. Not.4.5. Sdece nin e ye eşit oln ilk ileşeninin değil ynı zmnd u vektörün tüm diğer ileşenlerinin de ölçüm içim uygun olduğu durumlr olilir. Bu durumd ir önceki önermede tnımlnn denetleyici sitleştirileilir. y = şeklinde ve ' F G ' GNy u ' Ny.7 denetleyici ele lındığınd; N nin.69 mtrisinin özdeğerlerinin tüm µ P ler için negtif gerçek ölüme ship olck şekilde olmsı hlinde u denetleyici dynıklı ir denetleyicidir. 4

54 4 Not ve.7 denetleyicileri ypı olrk.4 iç model özelliğine shiptirler. Çünkü onlr sırsıyl.4 in ve.4 ın özel durumlrıdır. mmlnmk mcıyl.4 koşulunu yerine getiren Σµ mtrisinin çık ifdesini elirlemek uygun olilir. Örnek olrk.7 denetleyicisinin durumu değerlendirmeye lınırs; Bu durumd Π µ = eşitliği ile y = olur. Böylece.4 G F S ifdesine indirgenir. Not.4.3 deki gözlemlerle krşılştırm ypılrk Σµ = µ olduğu sonucu çıkrılır..7 denetleyicisinin durumund.4 iç model özelliği N L N G G F S ifdesine indirgenir. Böylece Not.4.3 ün gözlemleri ile krşılştırm yprk sonucu elde edilir..5. İç odel Uyrlmsı Dynıklı ir denetleyicinin dikkt çeken özelliği üyük prmetre elirsizliklerine rğmen et ht çıkışının sonuşurlu olrk sıfır ykınsmsını güvence ltın lm yeteneğidir. slınd mç u şekilde oldukç iç model denetleyicisi kullnılilir. V : lt uzyı GQ GC F KQ B P H B KC B S

55 kplı döngü sisteminde zorlnmmış kplı döngü sistemi dynıklı ir şekilde krrlı ise V µ uzyı kullnılilir. Bu şekilde zorlnmış kplı döngü sisteminin tüm yörüngeleri sonuşurlu olrk V µ yklşır ve e C Q eşlemesi V µ üzerinde sıfır olur lim t et = düzenleme mcın ulşılır. i ki V µ lt uzyı µ elirsiz prmetresine ğlıdır m Önerme.3. de vey Sonuç.3. de değerlendirilen denetleyicinin özel ypısının dikkte değer özelliği iç model özelliğini µ dn ğımsız oln ir denetleyicinin her yoluyl güvence ltın lmktır. slınd söz konusu denetleyici µ nun özgül değerinden ğımsız ir şekilde S : lt uzyınd klmk için denetlenen sistemin t durumunu zorlyck Rµt ileri doğru esleme denetimi girişini üretme yeteneğine shiptir. slınd her ir için y t C Q t ölçülen çıkış ile denetleyicinin yönlendirildiği ir ξ = Σµ oln ξ şlngıç durumu vrdır. Bu tm olrk t = Πµt ile denk gelen ir denetim girişi ürettiğinde orty çıkn ölçülmüş çıkış olcktır. Bu şekilde dynıklı ir denetleyiciyi etkili ir şekilde içeren denetim şemlrı.7 dışsistemi trfındn üretilen oznetken girişlerini reddetme prolemini işret etmektedir. Bu nlmd iç denetim şemlrı sit m ilinmeyen oznetkenlerle uğrştıklrı klsik ir yolu genelleştirirler. slınd önerme.3. de vey Sonuç.3. de değerlendirilen denetleyici oluşumlrı S nin miniml çokterimlisindeki ktsyılrın tm değerlerinin ilinmesini gerektirecek.3 Φ Г mtrislerinin ir çiftini içermektedir. Söz konusu ktsyılrın ynlış değerlerinin Φ mtrisini oluşturmk için kullnılmsı hlinde iç model özelliği kyedilecektir. Bu sınırlndırm elirsiz dışypılı girişleri sit olduğu ve öylece prmetreden ğımsız türevsel ir denkleme uyduğu yrlnmk istenen koordintlrın denetimi prolemi olrk 4