Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi MATEMATİK TARİHİ Aritmetik işlemler

Transkript

1 İlköğretim Matematik Eğitimi MATEMATİK TARİHİ Aritmetik işlemler

2 Mısır sayı sisteminde toplama/çıkarma işlemi Toplama çıkarma işlemleri elde ve onluk bozma işlemlerimize benzer bir şekilde gerçekleşiyordu. Toplama sembolü Çıkarma sembolü Örnek: = 917

3 Mısır sayı sisteminde çarpma işlemi Bir sayıyı 10 ve kuvvetleriyle çarpmak hiyeroglif sembollerle kolayca yapılıyordu. Örneğin bir sayıyı 10 ile çarpmak demek, simgeleri bir üst basamak simgelerle değiştirmek anlamına geliyordu. 10 x Mısırlılar bir sayıyı 2 nin kuvvetlerinin toplamı şeklinde yazmayı biliyorlardı. İki sayıyı çarpmak için bir sayıyı 2 ile çarpma ve toplama işlemlerini bilmek yeterlidir. 11 x 17 = = =

4 Mısır sayı sisteminde çarpma işlemi: Katlama metodu Örnek (53 x 67) üzerinden (n x m) işlemini açıklayalım. Çarpanlardan biri (n) 1 olarak, diğeri aynen alınır Her satırda sayıların iki katı alınır Bu işlem 1 ile başlayan satırdaki sayı, n sayısını geçmediği sürece devam eder 64 >53 olduğunda 32 de bırakılır n sütununda toplamı n i veren sayılar belirlenir = = =1 1-1 = 0 53 = İşlem sonucu, belirlenen sayıların karşısında bulunan sayıların toplamıdır. 53 x 67 = [ ] x 67 = 32 x x x x 67 = 1072 x x x x 67 * (67 x 2) * (134 x 2) (268 x 2) * (536 x 2) 1072 * (1072 x 2) *

5 Mısır sayı sisteminde bölme işlemi Bölme işlemi çarpma işleminin tersi olduğundan, bölenin iki katı alınarak çarpma işlemi gerçekleştirilir ve sonuç olarak bölüme ulaşılır. 65 : 5 =

6 Mısır sayı sisteminde bölme işlemi Çarpanlardan biri 1, diğeri bölen alınır Her satırda sayıların iki katı alınır Bu işlem bölen sütunundaki sayıların toplamı bölüneni verdiğinde bırakılır ve bu sayılar belirlenir = = = = 0 İşlem sonucu, belirlenen sayıların karşısında bulunan sayıların toplamıdır : 65= = : 65 * * (65 x 2) 130 * (130 x 2) (260 x 2) * (520 x 2) *

7 Mısır sayı sisteminde kalanlı bölme işlemi-i Bölen sütunundaki değerler toplamı bölünen sayı değerinden küçük olacak şekilde belirlenir. Ne kadar eksikse kalan odur ve kesir olarak ifade edilebilir 1500 : 65 işleminde bölen sütunundaki sayıların toplamı bölüneni vermeyecektir = = = = 5 İşlem sonucu, belirlenen sayıların karşısında bulunan sayıların toplamı ve bulunan farkın bölene bölümüdür 1500 : 65 = /65 = /65 = / : 65 * * (65 x 2) 130 * (130 x 2) (260 x 2) * (520 x 2) *

8 Mısır sayı sisteminde kalanlı bölme işlemi-ii Bölen bölünenden büyük olduğunda yarılama işlemi yapılır 6 : 7 işleminde bölen sütunundaki sayıların toplamı bölüneni vermeyecektir Yarılama sonucunda 6 : 7 = * * 6 : 7 elde edilir. * *

9 Babillerde sayıların gösterimi Basamakları ayırt etmede öbekli semboller ve aralarındaki boşluk belirleyicidir, herhangi bir işaret yoktur. = = 61 = = 2 60 lık sistemin 10 luk sisteme tercih edilmesinin nedenlerinden biri 60 ın bölenlerinin daha fazla olması ve bu şekilde bölmeyi kolaylaştırmasıdır. Bölmeye elverişli babil sayı sisteminde kesirlere de yer verilmiştir. Ancak tam sayı kısmı ile kesir kısmını ayıran herhangi bir sembol bulunmamaktadır. Sonuç olarak örneğin sayısı farklı değerlere karşılık gelebilmektedir: = 11/ = 11/ = 132 Babil sayılarını günümüz rakamları ile 60 lık sisteme göre ifade ederken basamak ayırt edici olarak virgül, kesir kısmına geçişte ise noktalı virgül kullanacağız. Örneğin tam sayısını 2,12 ile göstereceğiz.

10 Babil sayı sisteminde toplama/çıkarma işlemi Toplama işleminde, birlikler on tane olduğunda onluk, onluklar altı tane olduğunda bir altmışlık devreder. Çıkarma işlemi de aynı mantıkla yürütülür

11 Babil sayı sisteminde çarpma işlemi Fırat nehri üzerindeki Senkerah ta bulunan iki tabletde 59 a kadar olan sayıların karesi ve 32 ye kadar olan sayıların küpleri listelenmiştir Farklı iki sayının çarpımını gerçekleştirmek için aşağıdaki formül kullanılıyordu: 2 2 a b a b a b 4 Böylece, iki sayının çarpımını, bu sayıların toplam ve farklarının karelerini tablodan bulmak sureti ile elde ediyorlardı

12 Babil sayı sisteminde çarpma işlemi: Alan metodu Babiller iki sayının çarpımını dikdörtgen alan hesabı şeklinde yorumlayarak, dikdörtgeni karesel bölgelere ayırıyorlardı. Daha sonra sayıların karesi listesinden yararlanarak çözüme gidiyorlardı Genel olarak, a x b işleminde b < a ise b = a + c yazılabilir. halde a x b = a x (a + c) = a 2 + a x c Örnek: 41 x 7 Son olarak:

13 Babil sayı sisteminde sembollerle bölme işlemi sayısını 3 e bölme işlemi:

14 Babil sayı sisteminde bölme işlemi Kil tabletlerde bulunan (1/n) tabloları bölme işleminde kullanılıyordu: a / b = a x (1/b) Örnek: (7 x ½) 10 = (7 x 0;30) 60 = (0;210) 60 = (3;30) 60 =(3.5) ;30 0;10 0; ; ;20 0;7,30 0; ;2, ;15 0;6,40 0;3, ;2, ;12 0;6 0;3, ;2

15 Yunan Abaküsü Dört işlem hesabı harflerle nasıl yapılabilirdi? Yunanlılar Babiller tarafından MÖ 300 de kullanılan Salamis tabletini kullanmışlardır Salamis tableti tarihte bilinen ilk abaküstür Abaküs (latince abacus) üzerinde taşlarla (jetonlarla) hesap yapılan tepsi anlamına gelmektedir. How to use a Counting Board Abacus Mermer (146x57x5cm) Salamis tableti (National Museum of Epigraphy, Athens)

16 Romalılarda dört işlem: Roma Abaküsü İlk cep hesap makinesi olup tunçtan yapılmıştır Üst bölmelerdeki boncuklar 5, alt bölmelerdekiler ise 1 değerindedir sütunundan itibaren ondalık gösterimler de hesaplanabilir 13 x 8 cm g - Amisa (Collection IBM-Europe)

17 Roma jetonlu abaküs ile dört işlem: toplama işlemi İlk toplanan modellenir ve sonra üzerine ikinci toplanan eklenir Son olarak abaküs sonucu gösterecek şekilde jetonlar düzenlenir Çıkarma işlemi de aynı mantıkla yürütülür işleminde 45 modelleme, 28 ekleme ve sonuç düzenleme aşamaları C X M C X I C X M C X I C X M C X I

18 Roma balmumlu abaküs ile toplama işlemi Balmumundan bir levha üzerine çubukla harfler yazılır Toplananlar alt alta yazılır Son olarak basamak basamak toplanır işleminde modelleme ve sonuç düzenleme aşamaları C X M C X I IV II V VIII C X M C X I VIII III

19 Roma abaküsü (jetonlu) ile çarpma işlemi Çarpma işlemi ara çarpımların toplamı şeklinde yürütülür Son olarak abaküs sonucu gösterecek şekilde jetonlar düzenlenir 720 x 62 işleminde sırasıyla 60 x 700, 2 x 700, 60 x 20, 2 x 20 modellenir ve sonuç düzenlenir C X M C X I C X M C X I

20 Roma sayı sisteminde çarpma işlemi: Yarılama/katlama metodu Bu metod Rus çarpma metodu olarak da geçmektedir. Romalılar farklı iki sayıyı çarpmak için bir çarpanı sürekli ikiye bölerken diğer çarpanı ikiye katlamışlardır. Örnek (53 x 67) üzerinden (n x m) işlemini açıklayalım. Çarpanlardan biri ikiye bölünürken, diğeri iki ile çarpılır Sayı tam bölünemiyorsa, sadece tam sayı kısmı alınır İkiye bölme işlemi bölüm 1 olana kadar devam edilir Yarılama işlemi yapılan sütundaki tek sayılar belirlenir İşlem sonucu, belirlenen sayıların karşısında bulunan sayıların toplamıdır. 53 x 67 * (67 x 2) * (134 x 2) (268 x 2) * (536 x 2) 1072 * (1072 x 2)

21 Roma sayı sisteminde çarpma işlemi: Yarılama/katlama metodu İşlem açıklaması: 53 den başlayarak çarpanı sürekli iki parantezine alalım. 53 = (2 x 26) = 2 x = (2 x 6) = 2 x 3 3 = (2 x 1) + 1 Sonra geriye doğru yerine koyma işlemi gerçekleştirelim. 6 = 2 x [( 2 x 1) +1] = = 2 x (4 + 2) + 1 = = 2 x ( ) = = 2 x ( ) + 1 = halde 53 x 67 = ( ) x 67 = x 67 * (67 x 2) * (134 x 2) (268 x 2) * (536 x 2) 1072 * (1072 x 2)

22 Maya sayı sisteminde toplama/çıkarma işlemi Sembollerle yapılan işlem 10 luk sistemdeki işlem mantığı ile aynı Ayrıca bölmeli bir zeminde çubuk ve taşlarla da işlem yaptıkları bilinmektedir

23 Maya sayı sisteminde çarpma işlemi Örnek (35 x 29) Sonuç

24 Çarpma çılgınlığı Çeşitli coğrafyalarda sayıları çarpmak için farklı metodlar araştırılmıştır.

25 Gelosia çarpma metodu (Jaluzi, ızgara veya kafes) Hint kökenli olduğu ve 12. yüzyıla dayandığı düşünülmektedir. Al Kashi tarafından tanıtılmıştır. Bu metodta rakamları çarpma ve toplamayı bilmek yeterlidir Örnek: 345 x 437 =

26 Neper çubukları (kemikleri) ile çarpma işlemi İtalyan matematikçi Napier in logaritma değerlerini hesaplamak için gelosia metodundan esinlenerek geliştirdiği araçlardır. Örneğin 2732 x 7 işlemi için 2, 7, 3 ve 2 çubukları yan yana getirilir. 7 sayısıyla kesişimindeki sayılar gelosia metodundaki gibi hesaplanır.

27 Çinlilerde çarpma işlemi Çarpanlar yatay ve dikey yazıldıktan sonra, her bir rakamın karşısına değerleri kadar çizgi çekilir Kesişim noktaları hesaplanarak çapraz olarak toplanır. Çapraz toplamlar herbir basamağa karşılık gelmektedir Örnek: 123 x 21 =