Günlük hayat m zda geometriyle ilgili baz

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Günlük hayat m zda geometriyle ilgili baz"

Transkript

1 Küreselleflen Geometri 1. Kar ncalar n Yürüyüflü Tosun Terio lu* * Sabanc Üniversitesi ö retim üyesi. Günlük hayat m da geometriyle ilgili ba kavramlar kullanma ihtiyac hissetti imide nedense kendimii ço unlukla dülem geometrisiyle k s tlar. Örne in, iki nokta aras ndaki en kestirme yol, bu noktalar birlefltiren do ru parças d r; bir üçgenin iç aç lar n n toplam mutlaka 180 derecedir; herhangi bir do ruyu üerindeki iki nokta belirler; iki do ru ya tek bir noktada kesiflir ya da birbirlerine paraleldir... Fala düflünmeden bu ve beneri ifadeleri hep kullan r. Oysa üç boyutlu uayda bambaflka bir geometri vard r. Sögelimi üç boyutlu uayda birbirini kesmeyen ama paralel de olmayan do rular oldu unu görmek hiç de or de il; kesiflmeyen do rular n paralel olmalar gerekti i sadece ayn dülemde bulunan do rular için geçerli. ki boyutlu bir uayda, yani dülemde yafl yormuflu gibi düflünmeye al flm fl. Olsa olsa, düleme bir boyut daha ekleyerek elde edilen üç boyutlu R 3 uay sanki en geliflmifl düflünme modelimii oluflturur. Dülem ve üç boyutlu R 3 uay d fl nda, üstünde yaflad m dünyan n geometrisi gibi ilginç geometriler de vard r! Dünyam n dü olmad art k biliniyor! Dünyam bir küre! Hatta tam bir küre bile de il. Kutuplar aras nda hafif bir bas kl k var: Ekvator çemberinin çap km iken kutuplar n aras ndaki uakl k bira daha a, km. Dünyam bas k ama çok da bas k de il, nitekim kutuplar aras uunlu u ekvatorun çap na bölersek 1 e yak n bir say y, yi elde ederi. Dünyam yar çap 6378 km. olan bir küre olarak düflünmek oldukça gerçekçi. Zaten son y llarda her iki laf n aras nda küreselleflen dünya demiyor muyu! u ya y yamakta oldu um odan n bulundu- u koridorun öbür ucundaki dekanl k ofisini soran birine, o yönü gösterip dosdo ru git dersem ona en kestirme yolu göstermifl olurum, ama stanbul dan kalkan bir uça n pilotuna stanbul la ayn enlemde olan New York a gitmesi için hep bat yönünde uç desem, ona en kestirme yolu göstermifl olur muyum? ir amanlar böyle san lm fl, ama bu do ru de- il, stanbul-new York aras en kestirme yol, durmadan bat ya giden yol de ildir. En iyisi kürede geometriyi incelemeye bafllayal m. Küre geometrisinin dülem geometrisinden çok farkl oldu unu görece i. Yar çap r > 0 ve merkei (0, 0, 0) noktas nda olan küre, x 2 + y = r 2 denklemini sa layan (x, y, ) üçlülerinin kümesidir. Kürenin geometrik öellikleri yar çaptan ba ms oldu u için, gerekirse, yar çap 1 olan ve merkei de O = (0, 0, 0) noktas nda bulunan standart ya da birim küreyi ele alabiliri. R 3 te yaflayan bu cismi S ile gösterece i. Tabii buldu umu sonuçlar dünyam - a uygularken, örne in stanbul-new York aras ndaki uakl hesaplarken, dünyam n yar çap 6378 km. olan bir küre oldu unu unutmayaca! Do ruyla Küre. R 3 uay nda, bir l do rusuyla S küresinin hiç ortak noktas olmayabilir. E er l S kümesi bofl de ilse, ya l küremie tek bir noktada de er (yani l kürenin bir te etidir) ya da l küreyi iki farkl noktada keser. kinci fl kk n öel bir küreyi kesmeyen do ru küreyi 1 noktada kesen te et do ru küreyi karfl t noktalarda kesen merkeden geçen do ru küreyi iki noktada kesen bir do ru durumu olarak, e er l kürenin merkeinden geçiyorsa bu iki kesiflim noktas na karfl t noktalar denir. Kuey kutbunu kürenin merkeine birlefltiren do ru, küreyi bir de güney kutbunda kesti inden, kuey ve güney kutuplar karfl t noktalard r. R 3 teki noktalar n birer vektör oldu unu hat rlayal m. öylece = (x, y, ) R 3 ise, 65

2 = ( x, y, ), veya daha genel olarak herhangi bir α R için α = (αx, αy, α) yaabiliri. E er S ise, elbette da bu noktan n karfl t noktas d r (çünkü küremiin merkeini (0, 0, 0) noktas olarak belirledik.) Dülemle Küre. fiimdi de herhangi bir dülemiyle kürenin iliflkisine bir gö atal m. ile S küresinin hiç ortak noktas olmayabilir. Veya dülemi küreye te et olan bir dülem olabilir; yani S tek bir noktadan ibaret olabilir. Çok daha ilginç olan hal ise dülemin küreyi birden fala noktada kesmesidir. u takdirde S bir çemberdir. E er dülemi kürenin merkeinden geçiyorsa, S çemberine büyük çember denir. üyük çemberin yar çap kürenin yar çap na eflittir elbette. küreyi kesmeyen dülem küreyi 1 noktada kesen küreye te et dülem küreyi büyük çember den kesen merkeden geçen dülem küreyi bir çemberde kesen bir dülem Kuey kutbuna te et olan bir dülemi göümüün önüne getirelim ve bu dülemi yönünü de ifltirmeden güneye do ru kayd ral m. Dülemimi, yar çaplar giderek büyüyen çemberler kesmeye bafllar küreden. Kuey kutbu Tam yar yolda, yani kürenin Enleml merkei de dülemin üerinde oldu unda, kürenin yar çap na Ekvator eflit yar çapl büyük çemberi elde Güney kutbu ederi. u öel büyük çembere ekvator denir. u iflleme devam edersek, dülemimiin küreden kesti i çemberlerin yar çaplar giderek aalmaya bafllar. Son olarak da dülem güney kutbunda küreye te et olur. u süreçle ortaya ç kan çemberlere enlem çemberleri veya k saca enlemler denir. Enlemlerden sadece biri (ekvator) büyük çemberdir. u yapt m dan da anlafl laca üere, merkeden geçen her dülem küreyi bir büyük çemberde keser. Küremiin üerinde karfl t olmayan ve noktalar n alal m. u iki nokta ve kürenin merkei olan O noktas ayn do ru üerinde olama; çünkü böyle olsayd =, yani ve karfl t noktalar olurdu. Demek ki uayda O, ve noktalar n içeren tek bir dülem vard r. u dülemle kürenin kesiflimi mutlaka bir büyük çemberdir, çünkü kürenin merkei olan O noktas da bu dülem üerindedir. asit ama önemli bu sonucunu teorem olarak yaal m. (1) Küre üerinde karfl t olmayan iki noktadan tek bir büyük çember geçer. E er küre üerindeki iki karfl t noktay birlefltiren do ruyu l ile gösterirsek, bu do ru kürenin merkeinden de geçer. R 3 uay nda bir do ruyu içeren istedi imi say da dülem bulabiliri. u dülemlerin küreyle kesiflimleri, her biri verilen iki karfl t noktay içeren büyük çemberler olur. Kutuplardan geçen büyük çemberlere boylam çemberleri denir. Keflifler ça nda deniciler için boylam sa l kl bir flekilde saptamak en büyük sorunlardan biri olmufltur. (k. [1]) (2) Kürenin herhangi iki karfl t noktas ndan geçen sonsu say da büyük çember vard r. fiimdi, iki farkl büyük çember alal m. u çemberler 1 ve 2 dülemlerinin üstünde olsunlar. Her ikisi de O noktas n içerdi inden, bu iki dülem kesiflir, kesiflimleri de bir do rudur. 1 2 = l olsun. O noktas bu do ru üerindedir elbette. 1 2 S = l S eflitli i bie 1 ve 2 dülemleriyle l do rusunun küreyle kesiflti i noktalar n ayn oldu unu ve bu noktalar n da karfl t noktalar oldu unu gösterir. undan da flu ç kar: (3) Kürenin iki büyük çemberi iki karfl t noktada kesiflir. ir yüey oldu undan, küre iki boyutludur, yani kürenin üstünde bir noktan n iki koordinatla belirlenmesi gerekir. Yukardaki (x, y, ) gösterimi üç koordinat gerekti inden, bu üç koordinat ikiye in- 66

3 dirgemenin bir yolunu bulmal y. u, biradan tan mlayaca m enlem ve boylam aç lar yla yap l r. Enlem. Küremi üerinde kuey ve güney kutuplardan de iflik bir P = (x, y, ) noktas alal m. u noktadan ve kuey kutbundan geçen büyük çemberin ekvatoru kesti i E P r φ O P noktas n n enlemi = φ = r sin φ noktaya E diyelim. POE aç s na P noktas - n n enlemi denir. φ ile gösterece imi bu aç y kullanarak = r sin φ eflitli ini hemen görebiliri. r cos φ ise P noktas n n ekvator dülemindeki idüflümünün uunlu udur. Kuey kutbunun enlemi 90, güney kutbunun enlemi 90 olarak tan mlan r. 1 Dikkat edilirse, enlem için de bir referans enlemi seçmifltik: ekvator; ancak bu referans enlemi yatay oldu undan bu seçim kendili inden do al olarak yap lm flt, öel bir çaba harcamam flt k. oylam. Küre üerinde bir noktan n yerini belirlemek için, enlem aç s ndan baflka, bir de boylam belirlememi gerekiyor. unun için herhangi bir boylam çemberini referans boylam olarak seçelim 1. Co rafyada Greenwich boylam terimiyle karfl laflm fls n d r. Gerçekten Londra yak nlar ndaki Greenwich gölemevinden geçen boylam çemberi dünya üerindeki noktalar n boylamlar P Greenwich r için referans al n r. i de referans boylam m - φ O θ a Greenwich boylam E X ismini verelim. u boylam çemberi, ekvator dülemini X noktas nda kessin. u takdirde P noktas n n boylam = θ XOE aç s na P noktas n n boylam denir. u aç y da θ ile gösterelim. θ = 0 referans boylam n, yani Greenwich boylam n gösterir. oylam aç s n n do uya do ru art, bat ya do ru eksi de erler almas âdet olmufltur. Dolay s yla boylam aç s 180º ile 180º aras nda de iflir. Elbette θ = 0, θ = 180 ve θ = 180 dereceleri hep Greenwich çemberi üerindeki noktalar belirler. Enlem aç s φ ise güney kutbuna do ru eksi, kuey kutbuna do ru art de erler al r. u da bir gelenektir. Yani φ = 0º ekvatoru, φ = 90º güney kutbunu ve φ = 90º de kuey kutbunu gösterir. Küresel Koordinatlar. öylece, afla daki flekil üerinden kolay bir trigonometrik hesapla, yar çap r olan bir küre üerindeki P = (x, y, ) noktas n, x = r cos φ cos θ y = r cos φ sin θ (1) = r sin φ olarak ifade ederi. unlara, P noktas n n küresel koordinatlar ad verilir. E x y üyük Çember Yolu. Küremiin üerindeki bir noktas na bir kar nca koyal m. Kar ncam bu noktay baflka bir noktas na birlefltiren büyük çember üerinde yürümeye bafllas n. üyük P r X φ O θ x x = r cos φ cos θ y = r cos φ sin θ = r sin φ çemberden hiç ayr lmadan noktas na varan kar ncam, O aç s α radyan ise, rα kadar yol yürümüfl olur. Kar ncam gene noktas ndan yola aksi yönde ç k p, büyük çemberden ayr lmadan noktas na gelseydi bu ke r(2π a) kadar yol yürümüfl olacakt. sterseni kar ncam n büyük çember üerinde k sa olan yay parças ile uun olan ay rt edebilmesi için 0 < α πvarsay m n yapal m. Kar ncam dan herhangi bir yönde yola ç k p, büyük çember boyunca yürüyerek, noktas nda k sa bir yemek ve ihtiyaç molas verip yoluna devam ederek tekrar noktas na gelse, tam 2πr kadar yol yürüyecekti. O α Karıncanın büyük çember üerinde dan ye yolu. y 67

4 Kürede Üçgen Eflitsili i. fiimdi kar ncam dan ye büyük çember üerinde gitmek yerine, önce, bir baflka büyük çember üerinden dan bir C noktas na, sonra da bu C noktas ndan ye gene bir büyük çember üerinden gitsin. Hangi yol daha uundur, direkt giden yolu mu yoksa aktarmal giden C + C C α yolu mu? Yandaki flekilden de görülece i β γ üere birinci yol daha k sad r. ir baflka deyiflle kürenin büyük çemberlerinde üçgen eflitsili i geçerlidir. unu matematiksel olarak kan tlamak çok or de ildir, kan tlayal m. Yar çap n 1 oldu unu varsayabiliri. ç lar birinci flekildeki gibi α, β ve γ olsun. O aman γ α + β eflitsili ini kan tlamam gerekmektedir. Küreyi döndürerek nin ekvator üerinde oldu unu varsayabiliri. yr ca küreyi bir ke daha döndürerek, n n Greenwich boylam yla ekvatorun C kesiflti i nokta oldu unu varsayabiliri. De- β α δ mek ki n n koordinatlar (1, 0, 0). E er δ β 1 α 1 γ ve β 1 aç lar yandaki flekildeki gibiyse, C noktas n n koordinatlar n n (cos δ cos β 1, cos δ sin β 1, sin δ) oldu unu görmek çok or de il. fiimdi O ile OC vektörlerinin skaler çarp m n al rsak bir yandan O OC cos β = cos β buluru, di er yandan, (1, 0, 0)(cos δ cos β 1, cos δ sin β 1, sin δ) = cos δ cos β 1 buluru. Demek ki cos β = cos δ cos β 1 ve dolay s yla cos β cos β 1. Kosinüs, 0 ile 180 derece aras nda aalan bir fonksiyon oldu undan, bundan β β 1 ç kar. ener flekilde α α 1 elde edilir. Demek ki, α + β α 1 + β 1 = γ. üyük çemberlerde üçgen eflitsili i kan tlanm flt r. Daha K sa Yol Var m? Küre üerindeki kar ncam acaba büyük çember üerinde yürümekle ak ll ca bir ifl mi yap yor? ki nokta aras nda bu noktalar birlefltiren büyük çemberden daha k sa bir yol var m? u sorunun yan t n vermek için ilkin yolun matematiksel bir tan m n yapal m. ildi imi dülemde iki nokta aras ndaki en k sa yolun bir do ru üerinde oldu u o kadar çok söylenmifltir ki bunu kan ts kabul ederi, içimie ifllemifltir bu çok s k tekrarlanan gerçek. unu kan tlamaya çal fl rsan, yol ve mesafe kavramlar üerinde düflünmek orunda oldu unuu anlars n. ynen burada biim küre için yapt m gibi... ƒ(a) ƒ(b) ƒ(t) Küre üstünde ƒ(a) noktasından ƒ(b) noktasına giden bir ƒ yolu. Yol. E er ƒ : [a, b] S R 3 sürekli bir fonksiyonsa, bu fonksiyona ƒ(a) noktas n ƒ(b) noktas na birlefltiren yol denir. Vektör de erli bu fonksiyonu koordinatlar cinsinden, ƒ(t) = (x(t), y(t), (t)) (a t b) olarak yaal m. urada, de iflkenimi olan t yi aman olarak düflünebiliri, ama t illa da aman olmak orunda de il. Örne in t, duruma göre, kar ncan n küre üerinde bulundu u noktan n enlemi, boylam ya da bafllang ç noktas na olan mesafesi gibi bir baflka parametre de olabilir. ƒ fonksiyonu kar ncan n yol boyunca gitti- i h da belirler. Sögelimi, kar nca bafllang çta h l gidebilir, daha sonra yorularak yavafllayabilir, ya da amanla s nan kar nca gittikçe daha h l gidebilir. Tüm bu bilgiler ƒ fonksiyonunun içinde gilidir. ƒ fonksiyonuyla verilen bu yolun uunlu unu bulup bu uunlu u büyük çember yolunun uunlu- uyla karfl laflt raca. Yolumuun çok ani ve keskin virajlardan ar nm fl oldu unu da varsayal m; daha matematiksel Kürede iki nokta aras ndaki mesafeyi, burada yapt m gibi, bu iki nokta aras ndaki yollar n uunluklar n n infimumu (en büyük alts - n r ) olarak tan mlayabiliri. Do al gelen baflka tan mlar da yap labilir. Öne sürülen tüm tan mlar n eflde er olduklar n kan tlanmas aru edilir elbet. u tan m kabul etti imide karfl m a kendili inden flu soru ç kar: E er iki nokta aras ndaki mesafe d ise, bu iki nokta aras nda uunlu u gerçekten d olan bir yol var m d r? 68

5 bir deyiflle, x, y ve fonksiyonlar n n t de iflkenine göre türevleri oldu unu ve bu türevlerin sürekli olduklar n varsayal m. u türevleri, dx/dt = x, dy/dt = y ve d/dt =, olarak gösterelim. u takdirde, kar ncan n t an ndaki h, formülüyle verilir. H la aman yol boyunca çarp p toplarsak, yani h n integralini al rsak, say s n buluru; bu say da, kar ncan n, ƒ yolunu ileyerek ƒ(a) noktas ndan ƒ(b) noktas na giderken katetti i mesafedir. Küre üerinde sürekli türevlenebilir bir ƒ : [a, b] S fonksiyonunun uunlu unu yukardaki integralle tan mlayabiliri. u ve integralin tan m ndan flu kan tlanabilir: Küre üstündeki iki nokta aras ndaki uunluk, o iki nokta aras ndaki uçlar birbirine dokunan sonlu tane büyük çember yollar ndan oluflan yollar n uunluklar n n infimumudur. u olguyu kabul edersek, daha önce kan tlad m büyük çemberlerdeki üçgen eflitsili inden, en k sa yolun bir büyük çember üerinde oldu u oldukça kolay ç kar. rt k yapmam gerekeni biliyoru: Yukardaki integrali hesaplay p büyük çember üstünde kar ncan n katetti i yolla karfl laflt rmal y. u integrali hesaplamak hiç de kolay de il. Yaln flunu akl m da tutal m. E er, γ : [c, d] [a, b] sürekli türevlenebilir bir efllemeyse, o aman ƒ : [a, b] S yolunun uunlu uyla, ƒ I γ : [c, d] S yolunun uunlu u eflittir. Kar ncan n her anki h ƒ ve ƒ I γ yollar nda ayn olmayabilir, ama katetti- i toplam mesafede bir de ifliklik olma. Geometrik ve segisel olarak do rulu u apaç k olan bu önerme, (*) formülünde de iflken de iflikli i yap larak kolayl kla kan tlanabilir. Yani ƒ yolunu de ifltirmeye hakk m var. u hakk m kullanarak yukardaki integrali daha hesaplanabilir bir flekle sokaca. Yola Gelelim! Yolumua geri dönelim. n msarsan kar ncan n yolu, ƒ(t) = (x(t), y(t), (t)) fonksiyonuyla verilmiflti. Kar ncan n t an nda bulundu u bu ƒ(t) noktas n n enlem ve boylam aç lar na s ras yla φ(t) ve θ(t) ad n verelim. Demek ki, yukardaki (1) formülüne göre, x(t) = r cos φ(t) cos θ(t) y(t) = r cos φ(t) sin θ(t) (t) = r sin φ(t). ma bi ya mda kolayl k olmas aç s ndan bu formülden t yi ataca ve x, y,, φ ve θ y t nin birer fonksiyonu oldu unu hep akl m da tutarak (1) i yamakta srar edece i. fiimdi, t ye göre türev al rsak (1) den, x = r( θ cos φ sin θ φ sin φ cos θ) y = r(θ cos φ cos θ φ sin φ sin θ) = rφ cos φ elde ederi. unlar, kar ncan n t an nda x, y ve yönündeki h lar d r. ir önceki sayfada buldu umu h fonksiyonunda x, y ve yerine yukarda buldu umu ifadeleri koyup sadelefltirsek, kolayl kla, h(t) = r(θ 2 cos 2 φ + φ 2 ) 1/2 ifadesine var r. Demek ki yolun uunlu unu bulmak için integralini hesaplamam gerekecek. ma θ ve φ fonksiyonlar n bilmiyoru ve integral de pek sevimli görünmüyor. ira düflünece i. En K sa Yol Varsay m. ƒ sürekli türevlenebilir fonksiyonuyla verilen yolun dan ye giden olabilecek en k sa yol oldu unu varsayaca ve bu yolun uunlu unun büyük çember yolundan daha k sa olamayaca n hatta bu yolun bir büyük çember yolu oldu unu kan tlayaca. öyle bir en k sa yol un varl okura ne derece segisel gelir bilmiyoru ama en k sa yol un varl n n matematiksel kan t n n pek kolay olmad n biliyoru. unu kan tlamadan varsayaca. ir de ayr ca ƒ nin sürekli türevlenebilir oldu unu varsayaca. u varsay m n gerekti ini ve bedava olmad - n ilk farkeden Dedekind dir. Dedekind den önce bu nokta hep göden kaçm flt r. Hatta Dedekind, dülemde iki nokta aras ndaki en k sa mesafenin bu iki noktadan geçen do ru parças oldu unun o güne dek verilen kan tlar n n da yanl fl oldu unu farketmifltir. 69

6 Daha ileri seviyede en k sa yolun varl flöyle kan tlanabilir: Uunlu u d olan bir yolun varl n varsayal m. O aman, uunlu u en fala d olan dan ye giden yollar kümesi t - k (compact) bir kümedir. Yol uunlu u fonksiyonu sürekli bir fonksiyon oldu undan, en k - sa mesafeyi veren (en a) bir yol vard r. E er yolu dan ye giden en k sa yolsa ve C bu yolun ortas nda bir noktaysa, elbette ayn yolu ileyen C ve C yol parçalar da (s ras yla) dan C ye ve C den ye giden en k sa yollard r; yoksa bu C yol parças yerine daha k sa bir C yolu bularak daha k sa bir yolu bulabilirdik. Yani en k sa yolun parçalar da en k sa yollard r. afllang ç. u bölümde, dan ye giden ƒ en k sa yolunun noktas ndan de iflik bir C noktas - na kadar bir büyük çemberi ileyerek gitti ini kan tlayaca. Yani ƒ yolu tümüyle bir büyük çember üstünde olmasa da, en a ndan, bu yol üstündeki bir C noktas için, ƒ yolunun C parças n n bir büyük çember üstünde oldu unu, yani kar ncan n yoluna bir büyük çember üstünde bafllad - n kan tlayaca. Küreyi döndürerek, noktas n n enlem ve boylam n n 0 oldu unu, yani noktas Greenwhich boylam yla ekvatorun kesiflti i nokta oldu unu varsayabiliri. noktas ndan noktas na giderken, kar ncan n enlemi artabilir, aalabilir ya da ayn kalabilir, baen art p baen aalabilir, her fley olabilir. E er kar ncan n enlemi bafllang çta bir süre ayn (yani 0) kal yorsa, o aman kar nca bu süre arf nda ekvatoru ilemek orundad r. Ekvator da bir büyük çember oldu undan, bu fl kta sorun yok, kar nca ekvator enleminin üstünde giderek bafllar yoluna ve kan tlamak istedi imi gerçekleflmifl olur. fiimdi kar ncan n bafllang çta kuey yar mküreye girdi ini varsayal m, yani enlemi bafllang çta arts n. Diyelim kar ncan n enlemi [a, c] aman dilimi aras nda art yor. ƒ(c) = C olsun. u varsay mda, kar ncan n yol boyunca bulundu u noktalar n enlemleri kümesiyle aman olarak yorumlad m [a, c] aral aras nda bir γ efllemesi vard r, çünkü yla C aras nda her an enlem artmaktad r ve iki de iflik anda ayn enlemi elde etmeyi. Dolay s yla aman olarak yorumlad m t de- iflkeni yerine kar ncan n enlemi olan φ yi alabiliri. Öyle de yapaca : undan böyle t = φ olsun. u durumda, kar ncan n φ enlemi, yol boyunca 0 la C nin enlemi, yani 0 la 0 α π eflitsili ini sa layan bir α aras nda de iflir. O aman h fonksiyonumu, h(t) = (θ 2 cos 2 t + 1) 1/2 olarak sadeleflir (çünkü φ = t) ve (**) integrali integraline dönüflür. Öte yandan noktas ndan C noktas na büyük çember üerinden gidersek, e er O ile OC aras ndaki aç β ise, katetti imi mesafe β olur, ama β α (bkn. afla daki flekil) demek ki büyük çember yolu α dan, yani integralinden küçük. O halde, ƒ üerindeki C yoluyla C büyük çemberi aras ndaki fark, integralinden büyük. ma θ ne olursa olsun her t > 0 için, (θ 2 cos 2 t + 1) 1/2 1 eflitsili i aflikârd r. Demek ki bu varsay mla ƒ yolu büyük çember yolundan daha k sa olama. Hatta e er (sürekli oldu unu varsayd m ) θ hep 0 de ilse, o aman yukardaki integral 0 dan büyük olur ve kar ncan n yolu büyük çember yolundan daha uun olur, ki bu bir çeliflkidir. Demek ki θ = 0 olmal, yani θ sabit olmal ve kar nca üerinde yol almal. Enlem aalsayd da ayn kan t verebilirdik. Yukardaki kan tta önemli olan enlemin ayn kalmamas, ya sürekli artmas ya da sürekli aalmas d r. β γ α C cos β = cos γ cos α. Demek ki, cos β cos α, yani β α. 70

7 Daha Sonra. Kar ncan n ƒ yoluna bir büyük çember üerinde bafllad n kan tlad k: ƒ nin bir C yol parças bir büyük çember üerinde. C eflitsili ini akl m da tutal m. E er C = ise kan t bitti, en k sa yol gerçekten büyük çemberlerin üstündeki yollard r. undan böyle C eflitsili ini varsayal m. yr ca C yi ƒ nin C parças n n bir büyük çember oldu u dan en uak nokta olarak alal m, yani ƒ yolu C den sonra C büyük çember D yolundan saps n. C ir önceki bölümde yolu için yapt m - flimdi C yolu için yapal m. una hakk - m var çünkü ƒ nin C yol parças da bir en k sa yoldur. Nas l üstünde C nin büyük çember üstünde oldu u dan de iflik bir C noktas bulmuflsak, C yolu üstünde de CD nin bir büyük çember oldu u C den de iflik bir D noktas buluru. fiimdi büyük çemberler üstünde olan iki yolumu var: C ve CD. Üçgen eflitsili inden dolay, iki büyük çember parças ndan oluflan ve ƒ üerindeki C + CD yolunu D büyük çemberi yoluyla k saltabiliri. ma hani ƒ en k sa yoldu? ir çeliflki elde ettik. Demek ki C =. Kan t m bitmifltir. (4) üyük çemberi ileyen bir yol iki nokta aras ndaki en k sa yoldur. Kaynakça [1] : Dava Sobel ve William J.H. ndrewes, oylam, Çev. M. Göktepeli, TÜ TK Popüler Yay nlar, [2] Roger Fenn, Geometry, Springer [3] George. Jennings, Modern Geometry with pplications, Springer Matematik ir s n fta tam k rk çocuk diili; ir kara tahta, üstünde bir üçgen; ir koca daire, sa r, çekingen; Merkei güm güm eder davul gibi. Dilsi, vatans harfler, küme küme ekleflir dururlar, aap içinde. ir yamu un yan kenar tam tak r, ir ses yükselir yükselir, alçal r. g n bir problem tutar yolunu, Döner döner s r r kuyru unu. ir aç n n çeneleri gerilir; Kurt mudur, köpek mi, neyin nesidir? Ne kadar rakam varsa yeryüünde Üflüflmüfl, kar ncalar gibi tahtaya; Koflarlar bir yuvadan bir yuvaya, Fal tafl na dönmüfl göler önünde. Jules Supervielle Çeviren: Sabahattin Eyubo lu Jules Supervielle Jules Supervielle aras nda yaflam fl, Uruguay do umlu, ask kökenli ünlü Frans flair ve yaar. Yaflam do du u yer olan Montevideo yla e itim ald Paris aras nda geçmifltir. nnesini babas n 8 ayl kken bir kaada kaybetmifltir. Yap tlar nda yaln l n etkisi görülür. Ölüm, boflluk, varl k, hiçlik ve matematik gibi görkemli konular, fantei ve allegorileri kullanarak ve mitolojiden esinlenerek basit ama son derece müikal bir dille ifllemifltir. Jules Supervielle, Dubuffet nin fırçasından 71

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Afin ve zdüflümsel Düzlemler

Afin ve zdüflümsel Düzlemler Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç

Detaylı

Geometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu

Geometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu Küreselleflen Geometri 2. stanbul - New York Uçuflu Tosun Terio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünas, 2004 K fl Geometride iki nokta aras ndaki en k sa olu veren e riler jeodeik ad verilen e riler

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Hiç K salmadan K salan Yol

Hiç K salmadan K salan Yol Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir

Detaylı

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve

Detaylı

4. yis ralamalar Hissetmek

4. yis ralamalar Hissetmek 4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü

Detaylı

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.

Detaylı

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir 53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir

Detaylı

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu 30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand 9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir.

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir. CO RAFYA KONUM ÖRNEK 1 : Aralar nda 1 lik fark bulunan iki paralel aras ndaki uzakl k de iflmezken, aralar nda 1 lik fark, bulunan iki meridyen aras ndaki uzakl k Ekvator dan kutuplara gidildikçe azalmaktad

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak

Detaylı

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi 11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı

Dünya Yuvarlakt r. Yerküre üzerinde öyle bir nokta bulun

Dünya Yuvarlakt r. Yerküre üzerinde öyle bir nokta bulun Matematik E lendirir Dünya Yuvarlakt r. Yerküre üzerinde öyle bir nokta bulun ki, bir gezgin bu noktadan bafllayarak 1000 km güneye gitsin, vard noktadan 1000 km do uya gitsin, gene vard noktadan 1000

Detaylı

Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne

Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.

Detaylı

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt

Detaylı

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler:

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: AAA ES -. 4. anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: anahtar kapal iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: 0 Sö ner Artar De fl i mez I II aln z anahtar kapat l rsa ve lambalar söner.

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun. Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I 8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent

Detaylı

Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik Fonksiyonlar Matematik Dünas, 0-III Kapak Konusu: İntegral IV Hiperbolik Fonksionlar sinh olarak a z - lan kosinüs sinüs hiperbolik fonksionlar ndan geçmiflte k saca sö zet mifltik Bu az da bu fonksionlardan biraz

Detaylı

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte 11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin

Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin atematik ünyas, 2005 K fl Geometri Köflesi ustafa a c / yagcimustafa@yahoo.com www.mustafayagci.com okuz okta (ya da euerbach) Çemberi Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin çevrel çemberi ve

Detaylı

6 MADDE VE ÖZELL KLER

6 MADDE VE ÖZELL KLER 6 MADDE VE ÖZELL KLER TERMOD NAM K MODEL SORU 1 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER MODEL SORU 2 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER 1. Birbirine temasdaki iki cisimden s cakl büyük olan s verir, küçük olan s al r. ki cisim bir

Detaylı

Cümlede Anlam İlişkileri

Cümlede Anlam İlişkileri Cümlede Anlam İlişkileri Cümlede anlam ilişkileri kpss Türkçe konuları arasında önemli bir yer kaplamaktadır. Cümlede anlam ilişkilerine geçmeden önce cümlenin tanımını yapalım. Cümle, yargı bildiren,

Detaylı

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri Bahar 2009 Ders materyallerini alıntılamak için bilgi almak ya da Kullanım Koşulları nı öğrenmek için lütfen aşağıdaki siteyi

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald

Detaylı

22. Zorn Önsav na Girifl

22. Zorn Önsav na Girifl 22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so- Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak

Detaylı

Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen

Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu

Detaylı

= puan fazla alm fl m.

= puan fazla alm fl m. Temel Kaynak 5 Do al Say larla Ç karma fllemi ÇIKARMA filem Hasan ve Ahmet bilgisayar oyunundan en yüksek puan almak için yar fl yorlar. lk oynay fllar nda Ahmet 1254, Hasan 1462 puan al yor. Aralar nda

Detaylı

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2:

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2: MTEMT K PROLEMLER - II ÖRNEK : ve kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru 2 2 ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. u araçlar ayn kentlerden

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

T k z Topolojik Uzaylar

T k z Topolojik Uzaylar Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle

Detaylı

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K 50 EETR E EETRO ODSTÖRER ODE SORU DE SORURI ÇÖZÜER. ε. ba nt - s na göre, ε azal nan konan- satörün s as azal r. I. yarg o ruur. + onansatör üretece ba l iken, levhalar aras naki potansiyel fark e iflmez.

Detaylı

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km .2 Uzunluklar Ölçme Kilometre 1. Grafik: Servis Arac n n Ald Yollar 1. Yandaki grafik, okul servis arac n n bir hafta boyunca ald yolu (km) göstermektedir. Grafi e göre afla daki sorular cevaplay n z.

Detaylı

CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz?

CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz? CO RAFYA GRAF KLER ÖRNEK 1 : Afla daki grafikte, y llara göre, Türkiye'nin yafl üzerindeki toplam nufusu ile bu nüfus içindeki okuryazar kad n ve erkek say lar gösterilmifltir. Bin kifli 5. 5.. 35. 3.

Detaylı

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler . ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden

Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden 43. Toplama, Çarpma, S ralama ve Süreklilik Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden ifadelere rastlam flt r. Bu ifade asl nda x 2 /2 ile sin x fonksiyonlar n n toplam n simgelemektedir.

Detaylı

ORHAN YILMAZ (*) B- 3095 SAYILI YASADA YAPILAN DE fi KL KLER:

ORHAN YILMAZ (*) B- 3095 SAYILI YASADA YAPILAN DE fi KL KLER: YASAL TEMERRÜT FA Z ORHAN YILMAZ (*) A- G R fi: Bilindi i üzere, gerek yasal kapital faizi ve gerekse yasal temerrüt faizi yönünden uygulanmas gereken hükümler, 19.12.1984 gün ve 18610 say l Resmi Gazete

Detaylı

Elektrik ve Manyetizma

Elektrik ve Manyetizma 9 Elektrik ve anyetizma ODE SOU DE SOUI ÇÖÜE. letkenin kesitinden geçen yük miktar, q n.e 5.0 9.,6.0-9 8 C olur. Bu durumda oluflan ak m, I q 8 ` t 8 olur.. S kesitinden saniyede geçen yük miktar, ( )

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER 1. Patates ve sütün miktar nas l ölçülür? 2. Pinpon topu ile golf topu hemen hemen ayn büyüklüktedir. Her iki topu tartt n zda bulaca n z sonucun ayn olmas n bekler misiniz?

Detaylı