Günlük hayat m zda geometriyle ilgili baz

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Günlük hayat m zda geometriyle ilgili baz"

Transkript

1 Küreselleflen Geometri 1. Kar ncalar n Yürüyüflü Tosun Terio lu* * Sabanc Üniversitesi ö retim üyesi. Günlük hayat m da geometriyle ilgili ba kavramlar kullanma ihtiyac hissetti imide nedense kendimii ço unlukla dülem geometrisiyle k s tlar. Örne in, iki nokta aras ndaki en kestirme yol, bu noktalar birlefltiren do ru parças d r; bir üçgenin iç aç lar n n toplam mutlaka 180 derecedir; herhangi bir do ruyu üerindeki iki nokta belirler; iki do ru ya tek bir noktada kesiflir ya da birbirlerine paraleldir... Fala düflünmeden bu ve beneri ifadeleri hep kullan r. Oysa üç boyutlu uayda bambaflka bir geometri vard r. Sögelimi üç boyutlu uayda birbirini kesmeyen ama paralel de olmayan do rular oldu unu görmek hiç de or de il; kesiflmeyen do rular n paralel olmalar gerekti i sadece ayn dülemde bulunan do rular için geçerli. ki boyutlu bir uayda, yani dülemde yafl yormuflu gibi düflünmeye al flm fl. Olsa olsa, düleme bir boyut daha ekleyerek elde edilen üç boyutlu R 3 uay sanki en geliflmifl düflünme modelimii oluflturur. Dülem ve üç boyutlu R 3 uay d fl nda, üstünde yaflad m dünyan n geometrisi gibi ilginç geometriler de vard r! Dünyam n dü olmad art k biliniyor! Dünyam bir küre! Hatta tam bir küre bile de il. Kutuplar aras nda hafif bir bas kl k var: Ekvator çemberinin çap km iken kutuplar n aras ndaki uakl k bira daha a, km. Dünyam bas k ama çok da bas k de il, nitekim kutuplar aras uunlu u ekvatorun çap na bölersek 1 e yak n bir say y, yi elde ederi. Dünyam yar çap 6378 km. olan bir küre olarak düflünmek oldukça gerçekçi. Zaten son y llarda her iki laf n aras nda küreselleflen dünya demiyor muyu! u ya y yamakta oldu um odan n bulundu- u koridorun öbür ucundaki dekanl k ofisini soran birine, o yönü gösterip dosdo ru git dersem ona en kestirme yolu göstermifl olurum, ama stanbul dan kalkan bir uça n pilotuna stanbul la ayn enlemde olan New York a gitmesi için hep bat yönünde uç desem, ona en kestirme yolu göstermifl olur muyum? ir amanlar böyle san lm fl, ama bu do ru de- il, stanbul-new York aras en kestirme yol, durmadan bat ya giden yol de ildir. En iyisi kürede geometriyi incelemeye bafllayal m. Küre geometrisinin dülem geometrisinden çok farkl oldu unu görece i. Yar çap r > 0 ve merkei (0, 0, 0) noktas nda olan küre, x 2 + y = r 2 denklemini sa layan (x, y, ) üçlülerinin kümesidir. Kürenin geometrik öellikleri yar çaptan ba ms oldu u için, gerekirse, yar çap 1 olan ve merkei de O = (0, 0, 0) noktas nda bulunan standart ya da birim küreyi ele alabiliri. R 3 te yaflayan bu cismi S ile gösterece i. Tabii buldu umu sonuçlar dünyam - a uygularken, örne in stanbul-new York aras ndaki uakl hesaplarken, dünyam n yar çap 6378 km. olan bir küre oldu unu unutmayaca! Do ruyla Küre. R 3 uay nda, bir l do rusuyla S küresinin hiç ortak noktas olmayabilir. E er l S kümesi bofl de ilse, ya l küremie tek bir noktada de er (yani l kürenin bir te etidir) ya da l küreyi iki farkl noktada keser. kinci fl kk n öel bir küreyi kesmeyen do ru küreyi 1 noktada kesen te et do ru küreyi karfl t noktalarda kesen merkeden geçen do ru küreyi iki noktada kesen bir do ru durumu olarak, e er l kürenin merkeinden geçiyorsa bu iki kesiflim noktas na karfl t noktalar denir. Kuey kutbunu kürenin merkeine birlefltiren do ru, küreyi bir de güney kutbunda kesti inden, kuey ve güney kutuplar karfl t noktalard r. R 3 teki noktalar n birer vektör oldu unu hat rlayal m. öylece = (x, y, ) R 3 ise, 65

2 = ( x, y, ), veya daha genel olarak herhangi bir α R için α = (αx, αy, α) yaabiliri. E er S ise, elbette da bu noktan n karfl t noktas d r (çünkü küremiin merkeini (0, 0, 0) noktas olarak belirledik.) Dülemle Küre. fiimdi de herhangi bir dülemiyle kürenin iliflkisine bir gö atal m. ile S küresinin hiç ortak noktas olmayabilir. Veya dülemi küreye te et olan bir dülem olabilir; yani S tek bir noktadan ibaret olabilir. Çok daha ilginç olan hal ise dülemin küreyi birden fala noktada kesmesidir. u takdirde S bir çemberdir. E er dülemi kürenin merkeinden geçiyorsa, S çemberine büyük çember denir. üyük çemberin yar çap kürenin yar çap na eflittir elbette. küreyi kesmeyen dülem küreyi 1 noktada kesen küreye te et dülem küreyi büyük çember den kesen merkeden geçen dülem küreyi bir çemberde kesen bir dülem Kuey kutbuna te et olan bir dülemi göümüün önüne getirelim ve bu dülemi yönünü de ifltirmeden güneye do ru kayd ral m. Dülemimi, yar çaplar giderek büyüyen çemberler kesmeye bafllar küreden. Kuey kutbu Tam yar yolda, yani kürenin Enleml merkei de dülemin üerinde oldu unda, kürenin yar çap na Ekvator eflit yar çapl büyük çemberi elde Güney kutbu ederi. u öel büyük çembere ekvator denir. u iflleme devam edersek, dülemimiin küreden kesti i çemberlerin yar çaplar giderek aalmaya bafllar. Son olarak da dülem güney kutbunda küreye te et olur. u süreçle ortaya ç kan çemberlere enlem çemberleri veya k saca enlemler denir. Enlemlerden sadece biri (ekvator) büyük çemberdir. u yapt m dan da anlafl laca üere, merkeden geçen her dülem küreyi bir büyük çemberde keser. Küremiin üerinde karfl t olmayan ve noktalar n alal m. u iki nokta ve kürenin merkei olan O noktas ayn do ru üerinde olama; çünkü böyle olsayd =, yani ve karfl t noktalar olurdu. Demek ki uayda O, ve noktalar n içeren tek bir dülem vard r. u dülemle kürenin kesiflimi mutlaka bir büyük çemberdir, çünkü kürenin merkei olan O noktas da bu dülem üerindedir. asit ama önemli bu sonucunu teorem olarak yaal m. (1) Küre üerinde karfl t olmayan iki noktadan tek bir büyük çember geçer. E er küre üerindeki iki karfl t noktay birlefltiren do ruyu l ile gösterirsek, bu do ru kürenin merkeinden de geçer. R 3 uay nda bir do ruyu içeren istedi imi say da dülem bulabiliri. u dülemlerin küreyle kesiflimleri, her biri verilen iki karfl t noktay içeren büyük çemberler olur. Kutuplardan geçen büyük çemberlere boylam çemberleri denir. Keflifler ça nda deniciler için boylam sa l kl bir flekilde saptamak en büyük sorunlardan biri olmufltur. (k. [1]) (2) Kürenin herhangi iki karfl t noktas ndan geçen sonsu say da büyük çember vard r. fiimdi, iki farkl büyük çember alal m. u çemberler 1 ve 2 dülemlerinin üstünde olsunlar. Her ikisi de O noktas n içerdi inden, bu iki dülem kesiflir, kesiflimleri de bir do rudur. 1 2 = l olsun. O noktas bu do ru üerindedir elbette. 1 2 S = l S eflitli i bie 1 ve 2 dülemleriyle l do rusunun küreyle kesiflti i noktalar n ayn oldu unu ve bu noktalar n da karfl t noktalar oldu unu gösterir. undan da flu ç kar: (3) Kürenin iki büyük çemberi iki karfl t noktada kesiflir. ir yüey oldu undan, küre iki boyutludur, yani kürenin üstünde bir noktan n iki koordinatla belirlenmesi gerekir. Yukardaki (x, y, ) gösterimi üç koordinat gerekti inden, bu üç koordinat ikiye in- 66

3 dirgemenin bir yolunu bulmal y. u, biradan tan mlayaca m enlem ve boylam aç lar yla yap l r. Enlem. Küremi üerinde kuey ve güney kutuplardan de iflik bir P = (x, y, ) noktas alal m. u noktadan ve kuey kutbundan geçen büyük çemberin ekvatoru kesti i E P r φ O P noktas n n enlemi = φ = r sin φ noktaya E diyelim. POE aç s na P noktas - n n enlemi denir. φ ile gösterece imi bu aç y kullanarak = r sin φ eflitli ini hemen görebiliri. r cos φ ise P noktas n n ekvator dülemindeki idüflümünün uunlu udur. Kuey kutbunun enlemi 90, güney kutbunun enlemi 90 olarak tan mlan r. 1 Dikkat edilirse, enlem için de bir referans enlemi seçmifltik: ekvator; ancak bu referans enlemi yatay oldu undan bu seçim kendili inden do al olarak yap lm flt, öel bir çaba harcamam flt k. oylam. Küre üerinde bir noktan n yerini belirlemek için, enlem aç s ndan baflka, bir de boylam belirlememi gerekiyor. unun için herhangi bir boylam çemberini referans boylam olarak seçelim 1. Co rafyada Greenwich boylam terimiyle karfl laflm fls n d r. Gerçekten Londra yak nlar ndaki Greenwich gölemevinden geçen boylam çemberi dünya üerindeki noktalar n boylamlar P Greenwich r için referans al n r. i de referans boylam m - φ O θ a Greenwich boylam E X ismini verelim. u boylam çemberi, ekvator dülemini X noktas nda kessin. u takdirde P noktas n n boylam = θ XOE aç s na P noktas n n boylam denir. u aç y da θ ile gösterelim. θ = 0 referans boylam n, yani Greenwich boylam n gösterir. oylam aç s n n do uya do ru art, bat ya do ru eksi de erler almas âdet olmufltur. Dolay s yla boylam aç s 180º ile 180º aras nda de iflir. Elbette θ = 0, θ = 180 ve θ = 180 dereceleri hep Greenwich çemberi üerindeki noktalar belirler. Enlem aç s φ ise güney kutbuna do ru eksi, kuey kutbuna do ru art de erler al r. u da bir gelenektir. Yani φ = 0º ekvatoru, φ = 90º güney kutbunu ve φ = 90º de kuey kutbunu gösterir. Küresel Koordinatlar. öylece, afla daki flekil üerinden kolay bir trigonometrik hesapla, yar çap r olan bir küre üerindeki P = (x, y, ) noktas n, x = r cos φ cos θ y = r cos φ sin θ (1) = r sin φ olarak ifade ederi. unlara, P noktas n n küresel koordinatlar ad verilir. E x y üyük Çember Yolu. Küremiin üerindeki bir noktas na bir kar nca koyal m. Kar ncam bu noktay baflka bir noktas na birlefltiren büyük çember üerinde yürümeye bafllas n. üyük P r X φ O θ x x = r cos φ cos θ y = r cos φ sin θ = r sin φ çemberden hiç ayr lmadan noktas na varan kar ncam, O aç s α radyan ise, rα kadar yol yürümüfl olur. Kar ncam gene noktas ndan yola aksi yönde ç k p, büyük çemberden ayr lmadan noktas na gelseydi bu ke r(2π a) kadar yol yürümüfl olacakt. sterseni kar ncam n büyük çember üerinde k sa olan yay parças ile uun olan ay rt edebilmesi için 0 < α πvarsay m n yapal m. Kar ncam dan herhangi bir yönde yola ç k p, büyük çember boyunca yürüyerek, noktas nda k sa bir yemek ve ihtiyaç molas verip yoluna devam ederek tekrar noktas na gelse, tam 2πr kadar yol yürüyecekti. O α Karıncanın büyük çember üerinde dan ye yolu. y 67

4 Kürede Üçgen Eflitsili i. fiimdi kar ncam dan ye büyük çember üerinde gitmek yerine, önce, bir baflka büyük çember üerinden dan bir C noktas na, sonra da bu C noktas ndan ye gene bir büyük çember üerinden gitsin. Hangi yol daha uundur, direkt giden yolu mu yoksa aktarmal giden C + C C α yolu mu? Yandaki flekilden de görülece i β γ üere birinci yol daha k sad r. ir baflka deyiflle kürenin büyük çemberlerinde üçgen eflitsili i geçerlidir. unu matematiksel olarak kan tlamak çok or de ildir, kan tlayal m. Yar çap n 1 oldu unu varsayabiliri. ç lar birinci flekildeki gibi α, β ve γ olsun. O aman γ α + β eflitsili ini kan tlamam gerekmektedir. Küreyi döndürerek nin ekvator üerinde oldu unu varsayabiliri. yr ca küreyi bir ke daha döndürerek, n n Greenwich boylam yla ekvatorun C kesiflti i nokta oldu unu varsayabiliri. De- β α δ mek ki n n koordinatlar (1, 0, 0). E er δ β 1 α 1 γ ve β 1 aç lar yandaki flekildeki gibiyse, C noktas n n koordinatlar n n (cos δ cos β 1, cos δ sin β 1, sin δ) oldu unu görmek çok or de il. fiimdi O ile OC vektörlerinin skaler çarp m n al rsak bir yandan O OC cos β = cos β buluru, di er yandan, (1, 0, 0)(cos δ cos β 1, cos δ sin β 1, sin δ) = cos δ cos β 1 buluru. Demek ki cos β = cos δ cos β 1 ve dolay s yla cos β cos β 1. Kosinüs, 0 ile 180 derece aras nda aalan bir fonksiyon oldu undan, bundan β β 1 ç kar. ener flekilde α α 1 elde edilir. Demek ki, α + β α 1 + β 1 = γ. üyük çemberlerde üçgen eflitsili i kan tlanm flt r. Daha K sa Yol Var m? Küre üerindeki kar ncam acaba büyük çember üerinde yürümekle ak ll ca bir ifl mi yap yor? ki nokta aras nda bu noktalar birlefltiren büyük çemberden daha k sa bir yol var m? u sorunun yan t n vermek için ilkin yolun matematiksel bir tan m n yapal m. ildi imi dülemde iki nokta aras ndaki en k sa yolun bir do ru üerinde oldu u o kadar çok söylenmifltir ki bunu kan ts kabul ederi, içimie ifllemifltir bu çok s k tekrarlanan gerçek. unu kan tlamaya çal fl rsan, yol ve mesafe kavramlar üerinde düflünmek orunda oldu unuu anlars n. ynen burada biim küre için yapt m gibi... ƒ(a) ƒ(b) ƒ(t) Küre üstünde ƒ(a) noktasından ƒ(b) noktasına giden bir ƒ yolu. Yol. E er ƒ : [a, b] S R 3 sürekli bir fonksiyonsa, bu fonksiyona ƒ(a) noktas n ƒ(b) noktas na birlefltiren yol denir. Vektör de erli bu fonksiyonu koordinatlar cinsinden, ƒ(t) = (x(t), y(t), (t)) (a t b) olarak yaal m. urada, de iflkenimi olan t yi aman olarak düflünebiliri, ama t illa da aman olmak orunda de il. Örne in t, duruma göre, kar ncan n küre üerinde bulundu u noktan n enlemi, boylam ya da bafllang ç noktas na olan mesafesi gibi bir baflka parametre de olabilir. ƒ fonksiyonu kar ncan n yol boyunca gitti- i h da belirler. Sögelimi, kar nca bafllang çta h l gidebilir, daha sonra yorularak yavafllayabilir, ya da amanla s nan kar nca gittikçe daha h l gidebilir. Tüm bu bilgiler ƒ fonksiyonunun içinde gilidir. ƒ fonksiyonuyla verilen bu yolun uunlu unu bulup bu uunlu u büyük çember yolunun uunlu- uyla karfl laflt raca. Yolumuun çok ani ve keskin virajlardan ar nm fl oldu unu da varsayal m; daha matematiksel Kürede iki nokta aras ndaki mesafeyi, burada yapt m gibi, bu iki nokta aras ndaki yollar n uunluklar n n infimumu (en büyük alts - n r ) olarak tan mlayabiliri. Do al gelen baflka tan mlar da yap labilir. Öne sürülen tüm tan mlar n eflde er olduklar n kan tlanmas aru edilir elbet. u tan m kabul etti imide karfl m a kendili inden flu soru ç kar: E er iki nokta aras ndaki mesafe d ise, bu iki nokta aras nda uunlu u gerçekten d olan bir yol var m d r? 68

5 bir deyiflle, x, y ve fonksiyonlar n n t de iflkenine göre türevleri oldu unu ve bu türevlerin sürekli olduklar n varsayal m. u türevleri, dx/dt = x, dy/dt = y ve d/dt =, olarak gösterelim. u takdirde, kar ncan n t an ndaki h, formülüyle verilir. H la aman yol boyunca çarp p toplarsak, yani h n integralini al rsak, say s n buluru; bu say da, kar ncan n, ƒ yolunu ileyerek ƒ(a) noktas ndan ƒ(b) noktas na giderken katetti i mesafedir. Küre üerinde sürekli türevlenebilir bir ƒ : [a, b] S fonksiyonunun uunlu unu yukardaki integralle tan mlayabiliri. u ve integralin tan m ndan flu kan tlanabilir: Küre üstündeki iki nokta aras ndaki uunluk, o iki nokta aras ndaki uçlar birbirine dokunan sonlu tane büyük çember yollar ndan oluflan yollar n uunluklar n n infimumudur. u olguyu kabul edersek, daha önce kan tlad m büyük çemberlerdeki üçgen eflitsili inden, en k sa yolun bir büyük çember üerinde oldu u oldukça kolay ç kar. rt k yapmam gerekeni biliyoru: Yukardaki integrali hesaplay p büyük çember üstünde kar ncan n katetti i yolla karfl laflt rmal y. u integrali hesaplamak hiç de kolay de il. Yaln flunu akl m da tutal m. E er, γ : [c, d] [a, b] sürekli türevlenebilir bir efllemeyse, o aman ƒ : [a, b] S yolunun uunlu uyla, ƒ I γ : [c, d] S yolunun uunlu u eflittir. Kar ncan n her anki h ƒ ve ƒ I γ yollar nda ayn olmayabilir, ama katetti- i toplam mesafede bir de ifliklik olma. Geometrik ve segisel olarak do rulu u apaç k olan bu önerme, (*) formülünde de iflken de iflikli i yap larak kolayl kla kan tlanabilir. Yani ƒ yolunu de ifltirmeye hakk m var. u hakk m kullanarak yukardaki integrali daha hesaplanabilir bir flekle sokaca. Yola Gelelim! Yolumua geri dönelim. n msarsan kar ncan n yolu, ƒ(t) = (x(t), y(t), (t)) fonksiyonuyla verilmiflti. Kar ncan n t an nda bulundu u bu ƒ(t) noktas n n enlem ve boylam aç lar na s ras yla φ(t) ve θ(t) ad n verelim. Demek ki, yukardaki (1) formülüne göre, x(t) = r cos φ(t) cos θ(t) y(t) = r cos φ(t) sin θ(t) (t) = r sin φ(t). ma bi ya mda kolayl k olmas aç s ndan bu formülden t yi ataca ve x, y,, φ ve θ y t nin birer fonksiyonu oldu unu hep akl m da tutarak (1) i yamakta srar edece i. fiimdi, t ye göre türev al rsak (1) den, x = r( θ cos φ sin θ φ sin φ cos θ) y = r(θ cos φ cos θ φ sin φ sin θ) = rφ cos φ elde ederi. unlar, kar ncan n t an nda x, y ve yönündeki h lar d r. ir önceki sayfada buldu umu h fonksiyonunda x, y ve yerine yukarda buldu umu ifadeleri koyup sadelefltirsek, kolayl kla, h(t) = r(θ 2 cos 2 φ + φ 2 ) 1/2 ifadesine var r. Demek ki yolun uunlu unu bulmak için integralini hesaplamam gerekecek. ma θ ve φ fonksiyonlar n bilmiyoru ve integral de pek sevimli görünmüyor. ira düflünece i. En K sa Yol Varsay m. ƒ sürekli türevlenebilir fonksiyonuyla verilen yolun dan ye giden olabilecek en k sa yol oldu unu varsayaca ve bu yolun uunlu unun büyük çember yolundan daha k sa olamayaca n hatta bu yolun bir büyük çember yolu oldu unu kan tlayaca. öyle bir en k sa yol un varl okura ne derece segisel gelir bilmiyoru ama en k sa yol un varl n n matematiksel kan t n n pek kolay olmad n biliyoru. unu kan tlamadan varsayaca. ir de ayr ca ƒ nin sürekli türevlenebilir oldu unu varsayaca. u varsay m n gerekti ini ve bedava olmad - n ilk farkeden Dedekind dir. Dedekind den önce bu nokta hep göden kaçm flt r. Hatta Dedekind, dülemde iki nokta aras ndaki en k sa mesafenin bu iki noktadan geçen do ru parças oldu unun o güne dek verilen kan tlar n n da yanl fl oldu unu farketmifltir. 69

6 Daha ileri seviyede en k sa yolun varl flöyle kan tlanabilir: Uunlu u d olan bir yolun varl n varsayal m. O aman, uunlu u en fala d olan dan ye giden yollar kümesi t - k (compact) bir kümedir. Yol uunlu u fonksiyonu sürekli bir fonksiyon oldu undan, en k - sa mesafeyi veren (en a) bir yol vard r. E er yolu dan ye giden en k sa yolsa ve C bu yolun ortas nda bir noktaysa, elbette ayn yolu ileyen C ve C yol parçalar da (s ras yla) dan C ye ve C den ye giden en k sa yollard r; yoksa bu C yol parças yerine daha k sa bir C yolu bularak daha k sa bir yolu bulabilirdik. Yani en k sa yolun parçalar da en k sa yollard r. afllang ç. u bölümde, dan ye giden ƒ en k sa yolunun noktas ndan de iflik bir C noktas - na kadar bir büyük çemberi ileyerek gitti ini kan tlayaca. Yani ƒ yolu tümüyle bir büyük çember üstünde olmasa da, en a ndan, bu yol üstündeki bir C noktas için, ƒ yolunun C parças n n bir büyük çember üstünde oldu unu, yani kar ncan n yoluna bir büyük çember üstünde bafllad - n kan tlayaca. Küreyi döndürerek, noktas n n enlem ve boylam n n 0 oldu unu, yani noktas Greenwhich boylam yla ekvatorun kesiflti i nokta oldu unu varsayabiliri. noktas ndan noktas na giderken, kar ncan n enlemi artabilir, aalabilir ya da ayn kalabilir, baen art p baen aalabilir, her fley olabilir. E er kar ncan n enlemi bafllang çta bir süre ayn (yani 0) kal yorsa, o aman kar nca bu süre arf nda ekvatoru ilemek orundad r. Ekvator da bir büyük çember oldu undan, bu fl kta sorun yok, kar nca ekvator enleminin üstünde giderek bafllar yoluna ve kan tlamak istedi imi gerçekleflmifl olur. fiimdi kar ncan n bafllang çta kuey yar mküreye girdi ini varsayal m, yani enlemi bafllang çta arts n. Diyelim kar ncan n enlemi [a, c] aman dilimi aras nda art yor. ƒ(c) = C olsun. u varsay mda, kar ncan n yol boyunca bulundu u noktalar n enlemleri kümesiyle aman olarak yorumlad m [a, c] aral aras nda bir γ efllemesi vard r, çünkü yla C aras nda her an enlem artmaktad r ve iki de iflik anda ayn enlemi elde etmeyi. Dolay s yla aman olarak yorumlad m t de- iflkeni yerine kar ncan n enlemi olan φ yi alabiliri. Öyle de yapaca : undan böyle t = φ olsun. u durumda, kar ncan n φ enlemi, yol boyunca 0 la C nin enlemi, yani 0 la 0 α π eflitsili ini sa layan bir α aras nda de iflir. O aman h fonksiyonumu, h(t) = (θ 2 cos 2 t + 1) 1/2 olarak sadeleflir (çünkü φ = t) ve (**) integrali integraline dönüflür. Öte yandan noktas ndan C noktas na büyük çember üerinden gidersek, e er O ile OC aras ndaki aç β ise, katetti imi mesafe β olur, ama β α (bkn. afla daki flekil) demek ki büyük çember yolu α dan, yani integralinden küçük. O halde, ƒ üerindeki C yoluyla C büyük çemberi aras ndaki fark, integralinden büyük. ma θ ne olursa olsun her t > 0 için, (θ 2 cos 2 t + 1) 1/2 1 eflitsili i aflikârd r. Demek ki bu varsay mla ƒ yolu büyük çember yolundan daha k sa olama. Hatta e er (sürekli oldu unu varsayd m ) θ hep 0 de ilse, o aman yukardaki integral 0 dan büyük olur ve kar ncan n yolu büyük çember yolundan daha uun olur, ki bu bir çeliflkidir. Demek ki θ = 0 olmal, yani θ sabit olmal ve kar nca üerinde yol almal. Enlem aalsayd da ayn kan t verebilirdik. Yukardaki kan tta önemli olan enlemin ayn kalmamas, ya sürekli artmas ya da sürekli aalmas d r. β γ α C cos β = cos γ cos α. Demek ki, cos β cos α, yani β α. 70

7 Daha Sonra. Kar ncan n ƒ yoluna bir büyük çember üerinde bafllad n kan tlad k: ƒ nin bir C yol parças bir büyük çember üerinde. C eflitsili ini akl m da tutal m. E er C = ise kan t bitti, en k sa yol gerçekten büyük çemberlerin üstündeki yollard r. undan böyle C eflitsili ini varsayal m. yr ca C yi ƒ nin C parças n n bir büyük çember oldu u dan en uak nokta olarak alal m, yani ƒ yolu C den sonra C büyük çember D yolundan saps n. C ir önceki bölümde yolu için yapt m - flimdi C yolu için yapal m. una hakk - m var çünkü ƒ nin C yol parças da bir en k sa yoldur. Nas l üstünde C nin büyük çember üstünde oldu u dan de iflik bir C noktas bulmuflsak, C yolu üstünde de CD nin bir büyük çember oldu u C den de iflik bir D noktas buluru. fiimdi büyük çemberler üstünde olan iki yolumu var: C ve CD. Üçgen eflitsili inden dolay, iki büyük çember parças ndan oluflan ve ƒ üerindeki C + CD yolunu D büyük çemberi yoluyla k saltabiliri. ma hani ƒ en k sa yoldu? ir çeliflki elde ettik. Demek ki C =. Kan t m bitmifltir. (4) üyük çemberi ileyen bir yol iki nokta aras ndaki en k sa yoldur. Kaynakça [1] : Dava Sobel ve William J.H. ndrewes, oylam, Çev. M. Göktepeli, TÜ TK Popüler Yay nlar, [2] Roger Fenn, Geometry, Springer [3] George. Jennings, Modern Geometry with pplications, Springer Matematik ir s n fta tam k rk çocuk diili; ir kara tahta, üstünde bir üçgen; ir koca daire, sa r, çekingen; Merkei güm güm eder davul gibi. Dilsi, vatans harfler, küme küme ekleflir dururlar, aap içinde. ir yamu un yan kenar tam tak r, ir ses yükselir yükselir, alçal r. g n bir problem tutar yolunu, Döner döner s r r kuyru unu. ir aç n n çeneleri gerilir; Kurt mudur, köpek mi, neyin nesidir? Ne kadar rakam varsa yeryüünde Üflüflmüfl, kar ncalar gibi tahtaya; Koflarlar bir yuvadan bir yuvaya, Fal tafl na dönmüfl göler önünde. Jules Supervielle Çeviren: Sabahattin Eyubo lu Jules Supervielle Jules Supervielle aras nda yaflam fl, Uruguay do umlu, ask kökenli ünlü Frans flair ve yaar. Yaflam do du u yer olan Montevideo yla e itim ald Paris aras nda geçmifltir. nnesini babas n 8 ayl kken bir kaada kaybetmifltir. Yap tlar nda yaln l n etkisi görülür. Ölüm, boflluk, varl k, hiçlik ve matematik gibi görkemli konular, fantei ve allegorileri kullanarak ve mitolojiden esinlenerek basit ama son derece müikal bir dille ifllemifltir. Jules Supervielle, Dubuffet nin fırçasından 71

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Afin ve zdüflümsel Düzlemler

Afin ve zdüflümsel Düzlemler Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç

Detaylı

Geometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu

Geometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu Küreselleflen Geometri 2. stanbul - New York Uçuflu Tosun Terio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünas, 2004 K fl Geometride iki nokta aras ndaki en k sa olu veren e riler jeodeik ad verilen e riler

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2

Detaylı

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler:

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: AAA ES -. 4. anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: anahtar kapal iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: 0 Sö ner Artar De fl i mez I II aln z anahtar kapat l rsa ve lambalar söner.

Detaylı

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir

Detaylı

Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik Fonksiyonlar Matematik Dünas, 0-III Kapak Konusu: İntegral IV Hiperbolik Fonksionlar sinh olarak a z - lan kosinüs sinüs hiperbolik fonksionlar ndan geçmiflte k saca sö zet mifltik Bu az da bu fonksionlardan biraz

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

Cümlede Anlam İlişkileri

Cümlede Anlam İlişkileri Cümlede Anlam İlişkileri Cümlede anlam ilişkileri kpss Türkçe konuları arasında önemli bir yer kaplamaktadır. Cümlede anlam ilişkilerine geçmeden önce cümlenin tanımını yapalım. Cümle, yargı bildiren,

Detaylı

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri Bahar 2009 Ders materyallerini alıntılamak için bilgi almak ya da Kullanım Koşulları nı öğrenmek için lütfen aşağıdaki siteyi

Detaylı

6 MADDE VE ÖZELL KLER

6 MADDE VE ÖZELL KLER 6 MADDE VE ÖZELL KLER TERMOD NAM K MODEL SORU 1 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER MODEL SORU 2 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER 1. Birbirine temasdaki iki cisimden s cakl büyük olan s verir, küçük olan s al r. ki cisim bir

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen

Dünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu

Detaylı

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K 50 EETR E EETRO ODSTÖRER ODE SORU DE SORURI ÇÖZÜER. ε. ba nt - s na göre, ε azal nan konan- satörün s as azal r. I. yarg o ruur. + onansatör üretece ba l iken, levhalar aras naki potansiyel fark e iflmez.

Detaylı

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-

Bundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so- Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

ORHAN YILMAZ (*) B- 3095 SAYILI YASADA YAPILAN DE fi KL KLER:

ORHAN YILMAZ (*) B- 3095 SAYILI YASADA YAPILAN DE fi KL KLER: YASAL TEMERRÜT FA Z ORHAN YILMAZ (*) A- G R fi: Bilindi i üzere, gerek yasal kapital faizi ve gerekse yasal temerrüt faizi yönünden uygulanmas gereken hükümler, 19.12.1984 gün ve 18610 say l Resmi Gazete

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

T k z Topolojik Uzaylar

T k z Topolojik Uzaylar Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle

Detaylı

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km .2 Uzunluklar Ölçme Kilometre 1. Grafik: Servis Arac n n Ald Yollar 1. Yandaki grafik, okul servis arac n n bir hafta boyunca ald yolu (km) göstermektedir. Grafi e göre afla daki sorular cevaplay n z.

Detaylı

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER 1. Patates ve sütün miktar nas l ölçülür? 2. Pinpon topu ile golf topu hemen hemen ayn büyüklüktedir. Her iki topu tartt n zda bulaca n z sonucun ayn olmas n bekler misiniz?

Detaylı

1 Bu hamle d2 d4 müydü bu hamle acaba?

1 Bu hamle d2 d4 müydü bu hamle acaba? N M D oktora yapt m okulun en büyük odas toplumsal etkinliklere ayr lm flt. Bu odan n hemen yan nda küçücük bir çay oca vard. Matematikçiler çal flmaktan bunald klar nda, sohbet etmek istediklerinde o

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI İki vektörün basamaklı (kademeli) çarpımı: Büyüklükte A ve B olan iki vektörünü ele alalım Bunların T= A.B cosθ çarpımı, tanımlama gereğince basamaklıdır. Bu vektörlerden

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler . ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir

Detaylı

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek!

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! A c d r söylemesi, bunca ülke gördüm, bunca insan tan d m, ülkemde gördü üm kadar çok yalanc y hiçbir yerde görmedim. Do u ya az gittim, ama Bat da gitmedi im yer kalmad desem

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. 2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir

Detaylı

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Temel Kaynak 5 Yaflam m zdaki Elektrik BAS T ELEKTR K DEVRES Devrede Ampullerin n Nas l De ifltirebiliriz? Basit bir elektrik devresinde pil ampul anahtar ba lant

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n Sonsuz Odal Otel 1 Bir oteliniz var Otelinizin sonsuz say da odas var Her odan n bir numaras var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Böylece sonsuza kadar gidiyor En sonuncu oda yok Sonsuz numaral oda da yok Her odan n

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

Cemal Amca n n Zarlar

Cemal Amca n n Zarlar Cemal Amca n n Zarlar B aflkomiserlikten emekli alt kat komflumuz Cemal Amca tavlaya çok düflkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlar n bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple

Detaylı

Tavla ve Bilimsel Düflünce

Tavla ve Bilimsel Düflünce Tavla ve Bilimsel Düflünce Y llar önce çok satan bir gazetemiz Türkiye Tavla fiampiyonas düzenlemiflti. Bizde tavlac çok. fl yerlerinde bile tavla oynan r ülkemizde. Bile ine güvenen kat ld flampiyonaya.

Detaylı

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + = ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin Dünyan n En Zeki nsan Matematikçilere Karfl Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin büyüklü ü oldu. Arabalar, binalar, Coca Cola lar, al flverifl merkezleri, insanlar... Her fley

Detaylı

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz.

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. 1. KONU Adı - Soyadı:... Numarası:.. Sınıfı:. Ön Çalışma 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. SALÇA + 11 2. Afla daki nesnelerden koni, prizma ve küreye

Detaylı

4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI

4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI 4/A (SSK) S GORTALILARININ YAfiLILIK AYLI INA HAK KAZANMA KOfiULLARI Resul KURT* I. G R fi Ülkemizde 4447 say l Kanunla, emeklilikte köklü reformlar yap lm fl, ancak 4447 say l yasan n emeklilikte kademeli

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r

Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r Kim Korkar Matematikten? Matematik birtak m formüller ve simgeler y n m d r gerçekten? Elbette hay r. öyle düflünmek orman a açlarla hayvanlar n kar fl m ndan oluflmufl bir bulamaç gibi görmeye benzer.

Detaylı

Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu

Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu Bu bölümde; Fizik ve Fizi in Yöntemleri, Fiziksel Nicelikler, Standartlar ve Birimler, Uluslararas Birim Sistemi (SI), Uzunluk, Kütle ve

Detaylı

VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES

VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES Copyright Vadeli fllem ve Opsiyon Borsas A.fi. Aral k 2010 çindekiler

Detaylı

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme 8. SINIF Sevgili Ö renciler, SBS nin kald r lmas ile bunun yerine yaz l s navlar n merkezî bir uygulamayla yap lmas n esas alan bir sistem getirilmifltir.

Detaylı

TEST - 1 RENKLER. Beyaz cisimler üzerlerine düflen fl aynen yans t r. Böylece tüm cisimler ayd nlat ld fl n renginde görülür.

TEST - 1 RENKLER. Beyaz cisimler üzerlerine düflen fl aynen yans t r. Böylece tüm cisimler ayd nlat ld fl n renginde görülür. REER TEST - 1 1. 4. fiekil- fiekil- fiekil- Beyaz ler üzerlerine üflen fl aynen yans t r. Böylece tüm ler ay nlat l fl n rengine fl k 1444442444443 turuncu mor göz magenta 2. avi X Z agenta ve renkli fl

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm.

Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm. Yazar Dede ve Torunlar Muzaffer zgü Kap y açt m. Karfl daireye tafl nan güleç yüzlü Selma Teyze yi gördüm. Buraya yak n market var m dil, markete gidece iz de?.. diye sordu. Annem kap ya geldi. Selma Han

Detaylı

4. Ünite Ö retmen K lavuz Kitab

4. Ünite Ö retmen K lavuz Kitab . Ünite Ö retmen K lavuz Kitab S n f: 1 : Matematik Ünite Numaras : 1 Ünite Süresi: ders saati / GEOMETR Örüntü ve Süslemeler Örüntü ve Süslemeler EK M EYLÜL Do al Do al 1. Bir örüntüdeki iliflkiyi belirler..

Detaylı

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE

Detaylı

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. 1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak

Detaylı

Matematik bölümlerinin birinci s -

Matematik bölümlerinin birinci s - Kapak Konusu: Analizden Konular Harmonik Serinin Iraksakl lham Aliyev* / ialiev@akdeniz.edu.tr Ayhan Dil* / adil@akdeniz.edu.tr Matematik bölümlerinin birinci s - n flar na okutulan analiz derslerinde,

Detaylı

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan

Detaylı

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir.

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir. UZUNLUKLARI ÖLÇEL M Burada bir çubuk üzerine ay c n resmi konmufltur. Çubuk kayd r ld kça çubuklar n boyu eksik kal yor. Eksik k sm boyayarak tamamlay n z. Her kareyi bir birim kabul ediniz. 3 Çubuk kareli

Detaylı

Üç Oyun Birinci Oyun.

Üç Oyun Birinci Oyun. Üç Oyun B irinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için. Yolda, otobüste, vapurda, sinemada, tiyatroda,

Detaylı

F Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur.

F Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur. F Z OT ÖRNE 1 : fiekil I L M aranl k bir ortamda, küresel bir fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi topu konulmufltur fiekil II Ifl kl bölge fiekil III ayna a, L, M noktalar n n birinden bak ld nda,

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

Bu konuda cevap verilecek sorular?

Bu konuda cevap verilecek sorular? MANYETİK ALAN Bu konuda cevap verilecek sorular? 1. Manyetik alan nedir? 2. Maddeler manyetik özelliklerine göre nasıl sınıflandırılır? 3. Manyetik alanın varlığı nasıl anlaşılır? 4. Mıknatısın manyetik

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

VOB-DOLAR/ONS ALTIN. VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES

VOB-DOLAR/ONS ALTIN. VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES VOB-DOLAR/ONS ALTIN VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES Copyright Vadeli fllem ve Opsiyon Borsas A.fi. Aral k 2010 VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES V A D E L fi L E M V E O P S Y O

Detaylı

Kukla Değişkenlerle Bağlanım

Kukla Değişkenlerle Bağlanım Kukla Değişkenlerle Bağlanım Kukla Değişken Kullanım Şekilleri Ekonometri 1 Konu 29 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M)

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M) TET ÜEER ÖRNE 1: ofl kümeden farkl ve kümeleri için 3. s( ) = 4. s( ) = 5. s( ) oldu una göre, kümesinin eleman say - s en az kaçt r? ÖRNE 2: ) 12 ) 27 ) 35 D) 47 E) 60 (ÖSS - 1999) Yukar daki flemada

Detaylı

B anka ve sigorta flirketlerinin yapm fl olduklar ifllemlerin özelli i itibariyle

B anka ve sigorta flirketlerinin yapm fl olduklar ifllemlerin özelli i itibariyle B anka ve sigorta flirketlerinin yapm fl olduklar ifllemlerin özelli i itibariyle bu ifllemlerin üzerinden al nan dolayl vergiler farkl l k arz etmektedir. 13.07.1956 tarih 6802 say l Gider Vergileri Kanunu

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 7. Konu İŞ ve ENERJİ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 7. Konu İŞ ve ENERJİ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ . SINIF KONU NLTIMLI. ÜNİTE: KUVVET ve HREKET 7. Konu İŞ ve ENERJİ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ .. Ünite 7. Konu ( fl ve Enerji) n n Çözümleri E K W s m./4v f s. /4x m.v f s.x f s mv x Cismin K noktas nda

Detaylı

ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ

ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ ATOMLARDAN KUARKLARA ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ 1. Parçac klar spinlerine göre Fermiyonlar ve Bozonlar olmak üzere iki gruba ayr l r. a) Fermiyonlar: Spin kuantum say lar 1/2, 3/2, 5/2... gibi olan parçac

Detaylı

Tablo 2.1. Denetim Türleri. 2.1.Denetçilerin Statülerine Göre Denetim Türleri

Tablo 2.1. Denetim Türleri. 2.1.Denetçilerin Statülerine Göre Denetim Türleri 2 DENET M TÜRLER 2.DENET M TÜRLER Denetim türleri de iflik ölçütler alt nda s n fland r labilmektedir. En yayg n s n fland rma, denetimi kimin yapt na ve denetim sonunda elde edilmek istenen faydaya (denetim

Detaylı

01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436

01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436 01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBALAR ELEKTRİK AKIMI Potansiyelleri farklı olan iki iletken cisim birbirlerine dokundurulduğunda

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara

Detaylı