İnfinitezimal Hesabın Metafizik Prensipleri

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İnfinitezimal Hesabın Metafizik Prensipleri"

Transkript

1 Rene Guenon İnfinitezimal Hesabın Metafizik Prensipleri Tercüme Eden Ali Sebetci 14 Kasım 2014

2 İçindekiler Önsöz 3 1 Sonsuz ve Belirsiz 6 2 Sonsuz Sayı Çelişkisi 10 3 Sayısı Belirlenemeyen Çokluk 12 4 Süreklinin Ölçümü 15 5 İnfinitezimal Metodun Ortaya Çıkardığı Sorunlar 18 6 Sağlam İnşa Edilmiş Kurgular 21 7 Sonsuzluğun Dereceleri 24 8 Sonsuz Bölünme yahut Belirsiz Bölünürlük 27 9 Belirsizce Artan ve Belirsizce Azalan Sonsuz ve Sürekli Süreklilik Yasası Limit Mefhumu Süreklilik ve Limite Geçiş Yok Olan Nicelikler Sıfır Bir Sayı Değildir Negatif Sayılar Notasyonu Kuvvetlerin Dengesinin Temsili Değişken ve Sabit Nicelikler Ardışık Türev Alma Belirsizliğin Farklı Seviyeleri Belirsiz Analitik Biçimde Tüketilemez İntegralin Sentetik Karakteri Elea lı Zeno nun Argümanları Limite Geçiş in Doğru Anlamı Sonuç 72 2

3 Önsöz İlk bakışta uzmanlık gerektiren bir yapıya sahip gibi görünse de, matematiksel sembolizmi kullanırken çeşitli nedenlerle başvurduğumuz bir çok mefhumu adamakıllı netleştiren ve açığa kavuşturan bu çalışma için sıkıntı çekmeye değer ve sadece bu neden bile onu savunmaya yeter. Ancak, özellikle sorunun tarihi vechesiyle ilgili, ikinci dereceden başka nedenler olduğunu da ekleyelim. Aslında bu ikinci dereceden nedenler, yani infinitezimal hesabın tabiatı ve değeri hakkında ortaya atılan tüm sorular, modernlerin bildiği ve hatta mümkün kabul ettiği tek bilim olan profan (dindışı) bilimi karakterize eden prensip eksikliğinin çarpıcı birer örneği olduğu sürece, bizim bakış açımızın ilgi alanının tamamen dışında değildir. Bu bilimlerin çoğunun, hala bazı gerçeklere karşılık gelseler bile, kadim ve geleneksel bilimlerin basit, değeri düşürülmüş kalıntılarından başka bir şey olmadığını daha önce bir çok kez söyledik. Bu bilimlerin, prensiplerle temasını kesmiş ve dolayısıyla doğru ve orijinal değerini yitirmiş en düşük parçası, sonuçta bağımsız bir gelişime maruz kalmış ve kendi kendine yeten bir bilgi olarak görülmeye başlanmıştır. Oysa gerçekte bu yolla onun bilgi olarak kendi değeri adeta bir hiçe indirgenmiştir. Bu durum özellikle fiziksel bilimlerde görülür ama başka bir yerde açıkladığımız gibi 1 sayılar ve geometri biliminin eskiler için ne anlama geldiği fark edildiğinde modern matematiğin de bu konuda bir istisna olmadığı anlaşılır. Eskiler derken klasik antikiteyi kast ediyoruz. Pisagor un en küçük bir çalışması ve Platon un teorileri bugün onları yorumladığını iddia eden kimselerin fevkalade anlayışsızlığını göstermeye yeter. Bu anlayışsızlık o kadar tam olmasa, nasıl olur da birisi, örneğin, bahsettiğimiz bilimlerin deneysel orijinine inanmaya devam edebilir? Çünkü gerçekte, aksine, zamanda geriye doğru gittikçe bütün deneyselcilik lerden uzaklaşıldığı görülür ve bilimsel bilginin tüm diğer branşları için de bu aynı ölçüde doğrudur. 2 Modern matematikçiler ve daha özelde bizim çağdaşlarımız sanki gerçekte sayının ne olduğunu önemsemez gibidir. Bununla sadece, Pisagorcular ve Kabbalacılar tarafından anlaşılan analojik ve sembolik sayı algısını kast etmiyoruz, bunlar zaten çok açık, aynı zamanda bu tuhaf ve paradoksal gelebilir sayının basit ve tamamen niceliksel algısını da kast ediyoruz. Hakikaten, onların bütün bilimi kelimenin en dar anlamıyla hesaplamaya 3, yani sadece sebeb oldukları pratik uygulamalar nedeniyle değerli görülen az çok yapay işlemlerin sırf bir koleksiyonuna indirgenmiştir. Temelde onlar sayıyı (number) sayısal işaretle (numeral) değiştirmişlerdir. Bu ikisinin karıştırılması bugün o kadar yaygındır ki her hangi bir anda kolayca günlük dilde kullandığımız ifadelerde bulunabilir. 4 Sayısal, açık konuşmak gerekirse, sayının giysisinden başka bir şey değildir. Onun bedenidir dahi demiyoruz, çünkü belli bazı bakımlardan geometrik form meşru bir biçimde sayının bedeni olarak düşünülebilir. Sayı sembolizminin ışığı altında bakıldığında, eskilerin çokgenler ve çokyüzlüler hakkındaki teorileri bunu gösterir. Ayrıca bu, tüm vücut kazanma ların ( embodiment ) zorunlu olarak mekansallaşma yı ( spatialization ) gerektirdiği gerçeğiyle de uyum içindedir. Ancak, sayısal işaretlerin tamamen keyfi işaretler olduğunu, formlarının bir ya da bir kaç kişinin zevkine göre belirlendiğini söylemek istemiyoruz. Hem sayısal hem de alfabetik karakterlerin bazı dillerde bu ikisi birbirinden ayrılmamıştır 5 her ikisine de hiyeroglif mefhumu, yani 1 Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times. 2 Bakınız Miscellanea, pt.3 bölüm 1, ED. 3 Fransizce calcul kelimesi hem hesap (calculus) hem de hesaplama (calculation) anlamlarına gelmektedir. ED. 4 Konuşmak istedikleri şey hakkında çok az şey bilen belli bazı psödo-esoterist ler için de durum aynıdır. Sayının geleneksel bilimi yerine koyduklarını farzettikleri, gerçeklikten çok uzak saçmalıklarında asla bu ikisini karıştırmadan edemezler. 5 İbranice ve Yunanca bunun iki örneğidir. Hindistan kaynaklı sayısal işaretlerin kullanılmaya başlanmasından önce Arapça da böyle idi. Sonra bu işaretler Ortaçağ da az çok değişerek Avrupa ya 3

4 ideogram (kavram yazı) ve sembolik orijin görüşü uygulanabilir. İstisnasız tüm yazılar için bu geçerlidir ama yakın tarihli sapmalar ve değişiklikler yüzünden bazı durumlarda bu orijin gizlenmiş bulunmaktadır. Kesin olan şudur, matematikçiler notasyonlarında artık manalarını anlamadıkları, unutulan geleneklerin kalıntılarına benzeyen semboller kullanıyorlar. Daha da ciddi olanı, kendi kendilerine sadece bu mananın ne olabileceğini sormamaları değil ayrıca bir de bu sembollerin her hangi bir anlamının olmamasını istiyor gibi görünmeleridir. Hakikaten, tüm notasyonu basit bir antlaşma / âdet ( convention ) gibi görme eğilimleri her geçen gün artıyor. Bununla tamamen rastgele ortaya çıkmış bir şeyleri kast ediyorlar, oysa aslında bu mümkün değil, çünkü bir neden olmadan her hangi bir antlaşma tesis edilmez ve yine bir neden olmadan başka bir şekil değil de özellikle o şekil tercih edilmez. Sadece bu akıl yürütmeyi önemsemeyenler için bir antlaşma tesadüfi olabilir, tıpkı kaza ( fortuitous ) gibi görünen bir olayın nedenini önemsemeyenler gibi. Gerçekten de burada, bilimin ya da öyle adlandırılan şeyin, çünkü bu noktada artık hiçbir açıdan o ismi hak etmemektedir makul bütün değerini yitirmesine neden olan prensip eksikliğinin en uç sonuçlarından biri görülmektedir. Üstelik, güncel bilim anlayışının özellikle niceliksel olması münasebetiyle bu antlaşmacılık ( conventionalism ), zamanla matematikten fiziksel bilimlerin daha yeni teorilerine yayılmıştır. Bu durum o teorileri, açıklamaya niyet ettikleri gerçeklikten daha da uzaklaştırır. Bu noktayı başka bir çalışmamızda yeterince vurguladığımızdan burada daha fazla yorum yapmak istemiyoruz zira bu çalışmaya özel niyetimiz sırf matematikle meşgul olmak. Bu bağlamda sadece şunu ekleyeceğiz: bir notasyonun anlamı tamamen kaybedildiğinde o notasyonun makul ve geçerli kullanımından gayri meşru ve hiçbir şeye karşılık gelmeyen ve bazen tamamen mantıksız olan kullanımlarına geçmek çok kolay bir hal alır. Mantıkla çok sıkı bağları olan matematik gibi bir bilim söz konusu olduğunda bu çok garip gelebilir. Lakin günümüzde, yaygın olarak anlaşıldıkları şekilleriyle bir çok mantıksız matematiksel mefhumun bulunduğu da ortadadır. Bizim en başta ele alacağımız bu mantıksız mefhumların en dikkate değer olanı, her ne kadar yorumlarımız boyunca üstünde duracağımız sadece o olmasa da, matematiksel ya da niceliksel sonsuzluk (infinite) diye adlandırılan şeydir. Bu mefhum, infinitezimal hesaba ya da daha doğrusu infinitezimal metoda karşı yöneltilen hemen hemen tüm zorlukların kaynağıdır. Çünkü antlaşmacılar / âdetciler ( conventionalists ) ne düşünürse düşünsün burada, kelimenin sıradan anlamıyla basit bir hesaplama nın sınırlarını aşan bir şey vardır. Limit mefhumunun hatalı ya da yetersiz bir biçimde anlaşılmasından kaynaklanan zorluklar hariç istisnasız diğer tüm zorlukların kaynağı bu niceliksel sonsuzluk fikridir. İnfinitezimal metodun kesinliğini savunmak ve onun basit bir yaklaşım metodundan daha fazla bir şey olduğunu göstermek için gerekli olan şey işte bu doğru limit anlayışıdır. Ayrıca ileride göreceğimiz üzere zorluklarla ilgili şu iki farklı durum söz konusu: bazen sonsuz sayı düşüncesinde olduğu gibi sonsuz denen şey saf ve basit bir absürtlük, yani kendi kendiyle çelişen bir fikirdir, bazen de bu kelime uygun olmayan bir biçimde belirsizlik (indefinite) yerine kullanılmaktadır. Fakat, sonsuz ile belirsizin karıştırılması yalnızca bir kelime sorununa indirgenemez çünkü sorun tam olarak bu fikirlerin kendileriyle ilgilidir. Tuhaf olan şey, bir defa giderilse bu kadar çok tartışmayı bitirecek olan bu karışıklığın, genellikle infinitezimal hesabın mucidi olarak görülen Leibnitz in kendi yazılarında da bulunması. Biz Leibnitz e infinitezimal hesabın formüle edicisi demeyi tercih ediyoruz, çünkü O nun metodu belli bazı gerçeklere karşılık gelmektedir lakin bu gerçekler kendilerini anlayan ve az çok eksiksiz bir şekilde ifade eden kişiden bağımsız bir şekilde mevcutturlar. Matematiksel geçti. Bu bağlamda cipher [Fransızca chiffre, sayısal ] kelimesinin Arapça sıfr dan başka bir şey olmadığı not edilebilir, gerçekte bu kelime sıfırın (zero) sadece ismidir. Öte yandan, İbranice saphar ın saymak veya numaralandırmak ve aynı zamanda yazmak anlamlarına geldiği ve bu yüzden sepher in kutsal kitap ( scripture ) ya da kitap (Arapça sıfr hususi olarak bir kutsal kitabı isimlendirir), sephar ın numaralandırma veya hesaplama anlamlarına geldiği de doğrudur. Kabbala nın, ilahi sıfatlarda özümsenmiş ana sayılar olarak Sephiroth isimlendirmesi de bu son kelimeden gelmektedir. 4

5 düzenin gerçekleri, diğer tüm gerçekler gibi, sadece keşf edilebilir (discovered) icad edilemez (not invented). Aksi takdirde, matematik alanında sık sık görüldüğü gibi, insan kendisini notasyon oyunu ile sırf bir fantazi alemine sürüklenmiş bulduğunda sorun, işte bu icad etme sorunudur. Fakat bazı matematikçilerin bu ayrımı anlamalarını sağlamak kesinlikle çok zordur, çünkü onlar isteyerek, kendi bilimlerinin tümünün insan zihninin üretimi nden başka bir şey olmadığını hayal etmektedirler. Eğer bu matematikçilere inanmış olsaydık onlar kendi bilimlerini gerçekten çok değersiz bir şeye indirgemiş olurlardı. Bu söylediklerimiz doğru olsa da, Leibnitz hiçbir zaman kendi hesabının prensiplerini net bir şekilde açıklayamamıştır. İşte bu durum, bu hesapta Leibnitz i aşan bir şeylerin olduğunu, kendisinin bilincinde olmaksızın O na empoze edilen bir şeyler olduğunu gösterir. Eğer Leibnitz bunun farkında olsaydı, hiçbir şekilde Newton ile bir öncelik kavgasına girmezdi. Ayrıca, bu tür kavgalar tamamen boştur, çünkü fikirler doğru oldukları sürece, modern bireycilik in ( individualism ) söylediğinin aksine, hiç kimsenin mülkü olamaz. İnsana en uygun bir şekilde atfedilebilecek tek şey hata dır. Bizi konumuzdan çok uzaklara götürecek olan bu sorunun ayrıntılarına daha fazla girmeyeceğiz. Yine de şunu açıklığa kavuşturmak belli bazı bakımlardan faydasız olmayacaktır: büyük adam denilen bazı kimselerin rolü, büyük ölçüde bir alma ( reception ) rolüdür, her ne kadar bu kimseler aldıkları o şeylerin kendilerine ait orijinalite ler olduğu hususunda kendi kendilerini kandıran ilk kimseler olsa da. Şu an bizi daha doğrudan ilgilendiren şey şu: Leibnitz deki bu eksikliklere bilhassa prensipler sorununu ilgilendiren çok ciddi eksikliklere işaret etmemiz gerekiyorsa, her şeye rağmen Leibnitz in kesinlikle onlardan daha üstün olduğu başka bazı modern matematikçiler ve filozoflarda bulunan eksikliklere ne demeli? O nun üstünlüğü bir yandan, her zaman tam olarak anlamamış olsa bile, Skolastik doktirinler üzerine yaptığı çalışmalardan, öte yandan ileride bazı örneklerde göreceğimiz gibi, kendisinin belli ki çok eksik ve hatta bölük pörçük ve çok yetersiz bir şekilde uyguladığı, özellikle Rozikruziyan (Rosicrucian) kaynaklı veya ilhamlı 6 belli bazı esoterik verilerden kaynaklanmaktadır. Tarihciler gibi konuşucak olursak, O nun teorilerinde gerçekten geçerli olan hemen hemen her şeyi, açık bir şekilde, bu iki kaynak la ilişkilendirmek mümkündür. Ve bu sayede O, kusurlu bir biçimde de olsa, Dekartçılığa karşı tepki gösterebilmiştir. Dekartçılık, felsefe ve bilim alanlarında özellikle modern olan tüm kavram ve eğilimlerin bütünü anlamına gelir. Bu yorum, bir kaç kelimeyle Leibnitz in ne olduğunu anlatmaya yeter. Bu yüzden, başlangıçta ortaya koymaya değer bulduğumuz bu genel bilgi, O nun anlaşılabilmesi için kesinlikle gözden kaçırılmamalıdır. Fakat şimdi, infinitezimal hesabın gerçek değerini tesbit etmemize imkan verecek incelemeye başlayabilmek için giriş mahiyetindeki bu düşünceleri bırakmamız gerekiyor. 6 Bu kaynağın inkar edilemez işareti, Leibnitz tarafından kendi eseri De Arte Combinatoria nın başına yerleştirilen Hermetik figürde bulunabilir: Bu figür Rota Mundi nin bir temsilidir, elementlerin (ateş ve su, hava ve toprak) ve niteliklerin (sıcak ve soğuk, kuru ve ıslak) çift çaprazının merkezinde beş yapraklı (diğer dört elementle birlikte onların prensipi olarak esirin [ether] kendisine karşılık gelen) bir gül ile quantia essentia sembolize edilir. Doğal olarak bu imza tüm akademik yorumcular tarafından tamamen görmezden gelinmiştir. 5

6 1 Sonsuz ve Belirsiz Herşeyden önce, dindışı bilim tarzının tam aksine bir usül takip ederek ve tüm geleneksel bilimlerin değişmeyen bakış açısına uygun olarak, infinitezimal metodundan doğan zorlukları bir anda çözmemizi sağlayacak prensipi ortaya koymalıyız ki bu prensipten mahrum olduklarından, o zorluklara hiçbir zaman tatmin edici ve eksiksiz bir çözüm bulamayan modern filozof ve matematikçiler gibi bitmek bilmeyen tartışmalara neden olacak yanlış bir yola sapmayalım. Bu prensip, ancak saf metafiziki anlamıyla doğru bir şekilde anlaşılabilen Sonsuzluk düşüncesidir. Bu konuda daha önce başka bir yerde 7 daha kapsamlı bir şekilde ifade ettiklerimizi burada özet olarak hatırlatacağız: 'sonlu' açıkca 'sınırlı'nın eşanlamlısı olduğuna göre Sonsuz, herhangi bir sınırı, hududu olmayan demektir; dolayısıyla bu terim, mutlak anlamda hiçbir sınırı olmayan, bütün imkânları ve ihtimalleri içinde barındırdığından herhangi bir şey tarafından herhangi bir biçimde sınırlandırılmayan 'Âlemşümul Küll'den başka bir şeye doğru bir biçimde uygulanamaz. Sonsuzluğun bu şekilde anlaşılması, sadece bir çelişki ima etmediğinden ve içinde negatif bir şey barındırmadığından değil aksine böyle anlaşılmadığında bir çelişki doğuracağından metafiziki ve mantıki anlamda bir zarurettir. Dahası, sadece bir tane Sonsuz olabilir; çünkü iki ayrı sözüm ona sonsuz, birbirini sınırlayacak ve mecburen bir şekilde birbirlerini dışarıda bırakacaklardır. Sonuç olarak, 'sonsuz' teriminin bahsettiğimiz bu anlamın dışında kullanıldığı her durumda, ya metafiziksel Sonsuzluk kavramı toptan göz ardı edilmektedir ya da onun yanında bir başka sonsuzluğun varlığı kabul edilmektedir ki daha baştan böyle bir kullanımın hatalı olduğundan emin olabiliriz. Skolastiklerin infinitum secundum quid (belli bir açıdan sonsuz) dedikleri şeyi kabul ettikleri ve onu dikkatli bir şekilde metafiziksel Sonsuz olan infinitum absolutum dan (mutlak sonsuz) ayırdıkları doğrudur. Fakat onların bu terminolojisinde biz sadece bir kusur görüyoruz, çünkü bu ayrım her ne kadar doğru biçimde anlaşılan sonsuzluğun birden fazla olması çelişkisinden kaçmalarına imkân sağlamışsa da sonsuz kelimesinin iki kere kullanılmış olması kesinlikle bir çok karışıklığa neden olma riski taşır. Ayrıca, bu iki anlamdan ilki tamamen hatalıdır zira bir şeyin sadece belli bir açıdan sonsuz olduğunu söylemek ki bu infinitum secundum quid ifadesinin tam anlamıdır, onun aslında hiçbir biçimde sonsuz olmadığını söylemekle aynı şeydir. 8 Aslında bu hatalı kullanım, bir şey sadece belli bir anlamda veya belli bir açıdan sınırlı olmadığında, birinin meşru bir şekilde o şeyin hiçbir şekilde sınırlı olmadığı ki bu onun gerçekten sonsuz olması için gereken şeydir, sonucunu çıkarabileceğinden kaynaklanmaz. Sonsuzun bu şekilde kullanılması daha çok, belli bir açıdan sonsuz olduğu düşünülen şeyin, hem aynı anda başka açılardan sınırlı olmasından hem de tesbit edilmiş ve belirlenmiş karakteri yüzünden bütün imkânları kapsamadığından, yani kendisinin dışında kalan şeyler tarafından sınırlandırılmış olduğundan hatalıdır. 'Âlemşümul Küll'ün sonsuz olması, kesin olarak onun dışında hiçbir şeyin kalmamasından kaynaklanır. 9 Dolayısıyla, ne kadar genel olursa olsun, terim ne kadar genişletilirse genişletilsin bütün tesbitler mecburen doğru Sonsuz kavramını dışlar. 10 Ne olursa olsun bir tesbit daima bir 7 The Multiple States of the Being, bölüm 1. 8 Spinoza'nın daha sonra oldukça benzer bir biçimde kullandığı 'kendi türü içinde sonsuz' ifadesi de aynı itirazın doğmasına neden olur. 9 Şunu da söylemek mümkündür: 'Âlemşümul Küll'ün dışında sadece imkânsız vardır; imkânsız olan saf hiçlik olduğundan 'Âlemşümul Küll'ü hiçbir şekilde sınırlayamaz. 10 Bu sadece basit genel tesbitler için değil, tüm tesbitlerin ilki olan Olma'yı (Being) da içine alan 6

7 sınırlamadır, çünkü tesbitin asıl karakteri belli bir imkân kümesini geriye kalan tüm imkânlardan ayırarak tanımlamaktır. Bu yüzden Sonsuz fikrini verilen herhangi bir tesbite, örneğin burada özellikle üzerinde duracağımız kemmiyete (niceliğe) ya da onun o veya bu biçimine uygulamak anlamsızdır. Bu çelişki çoğu kez modernlerin dindışı düşünce tarzından kaçmış olmasına rağmen, 'tesbit edilmiş sonsuz' fikri bize daha fazla üzerinde duramayacağımız kadar çelişkili gelmektedir. Leibnitz gibi yarı-profan şeklinde adlandıra bileceklerimiz bile 11 bu çelişkiyi açık bir biçimde hissedememişlerdir. Bu çelişkiyi biraz daha ortaya çıkarabilmek için temelde aynı anlama gelen ifadelerle şunu söyleyebiliriz: Sonsuzu tanımlama isteği apaçık abes bir çabadır, çünkü bir tanım, aslında bir tesbit ifadesinden başka bir şey değildir, ve kelimelerin kendisi yeterince açık bir şekilde gösterir ki bir tanıma konu olan her şey ancak sonlu ya da sınırlı olabilir. Sonsuzu bir formül içine yerleştirmeye çalışmak veya onu herhangi bir forma sokmak, bilerek ya da bilmeyerek 'Âlemşümul Küll'ü kendisinin minicik bir parçasına sığdırma teşebbüsüdür ki bu tüm imkânsızlıkların en açık olanıdır. Yukarıda söylediklerimiz, en küçük bir şüpheye yer bırakmaksızın ve başka hiçbir çekinceyi doğurmaksızın, matematiksel ya da niceliksel bir sonsuzun olamayacağını ve niceliğin kendisi bir tesbit olduğundan 'niceliksel sonsuz' ifadesinin herhangi bir anlamının olmadığını ispat etmeye yeter. Bazı kimselerin bu sözüm ona sonsuz kavramını uygulamaya çalıştıkları sayı, mekân ve zaman tesbit edilmiş durumlardır ve bu yüzden ancak sonlu olabilirler. Bunlar, kendilerinin yanında ve dışında başkaları da olan ve böylece sınırlanmış olan belli imkânlar veya imkân kümeleridir. Burada şunu da söylemek mümkündür: niceliksel bir sonsuz düşünmek yalnızca onu sınırlamak değil ayrıca onu bir artış veya azalışa da konu etmek demektir ki bu daha az abes bir şey değildir. Benzer düşüncelerle insan kolayca kendisini sadece birbirine karışmayan ya da birbirini dışlamayan değil aynı zamanda birbirinden küçük ya da büyük bir çok ayrı sonsuz tasavvuruyla içiçe buluverir. Sonunda, sonsuz o kadar göreceli bir hâl alır ki bu şartlar altında artık yetersiz kalmaya başlar ve sonsuzdan büyük nicelikler kümesini tarif etmesi için 'sonsuzüstü' (transfinite) kavramı icad edilir. Böylece iş, hiçbir hakikate karşılık gelmeyen bu tür kavramlar uydurma meselesi haline dönüşür. Mantık ilminde uzman olduğunu iddia eden kimseler arasında dahi görülen, en basit ve en temel mantık kaidelerinin hiçe sayıldığı o kadar çok söz, o kadar abes ifade, yaşadığımız zamanın o denli büyük entelektüel kafa karışıklığının bir göstergesidir. Burada sadece 'niceliksel bir sonsuz' düşünmeyi değil aynı zamanda, kısa bir açıklama gerektiren, 'sonsuzu niceliksel metodlarla ortaya çıkarmayı' da kast ettiğimizi belirtmeliyiz. Bu ifade ile özellikle, çağdaş felsefi jargonda 'sonsuzcu' (infinitist) şeklinde adlandırılanları anlatmak istiyoruz. Gerçekten, 'sonlucular' (finitists) ile sonsuzcular arasındaki tüm tartışmalar açıkca göstermiştir ki her iki grup da metafiziksel Sonsuz ile matematiksel sonsuzun, bu ikisini yalın ve basit bir şekilde ayırt etmediklerinden, birbirine benzediği gibi tamamen yanlış bir fikre sahiptirler. 12 Dolayısıyla her iki görüş de metafiziğin en temel prensipi olan, niceliksel sonsuz gibi bütün hususi sonsuzları tamamen reddetmemizi sağlayan, doğru, metafiziksel Sonsuz kavramını eşit ölçüde gözardı etmiştir. Niceliksel sonsuz kavramıyla nerede karşılaşılırsa karşılaşılsın onun bir yanılsama olduğundan emin olabiliriz. Hakikate daha yakın bir kavramla değiştirebilmek için bu yanılgıya neyin neden olduğunu sormamız gerekiyor. Ne zaman belli bir şey, tesbit edilmiş bir imkân söz konusu evrensel tesbitler için de aynı ölçüde geçerlidir; fakat bu düşünce bu çalışmada ilgilendiğimiz, sırf kozmolojik uygulamalara dâhil değildir. 11 'Yarı-profan' ifadesini kullanmamızdan kaynaklanabilecek muhtemel bir şaşkınlığa cevaben deriz ki bu ifade, başka bir sebeble açıkladığımız (bakınız Perspectives on Initiation, bölüm 30) bilfiil inisiyasyon ile bilkuvve inisiyasyon arasındaki fark sayesinde hassas bir biçimde açıklanmıştır. 12 Karakteristik bir örnek olarak burada L. Couturat'ın tezi De l'infini mathematique verilebilir: Couturat tezinde, niyetinin bu yolla Renouvier ve okulunun teorilerilerine dayanan yeni eleştirilere rağmen sonsuzcu bir metafiziğin makul olduğunu göstermek olduğunu söyleyerek sayıların ve büyüklüklerin sonsuzluğunu ispatlamaya çalışmıştır. 7

8 olsa baştan söylenebilir ki işte bu gerçek, onun tabiatının belirlenmiş olması, o şeyi sınırlandırır. Sebeb ne olursa olsun, bir şeyin sınırlarına fiilen ulaşamadığımızda dahi bu aynen böyledir. Bazı şeylerin hudutlarına ulaşmanın imkânsızlığı ve bazen onların berrak bir şekilde tasavvur edilemeyişi, en azından metafizik prensiplerden habersiz kimseler için, o şeylerin bir sınırının olmadığı yanılgısına sebeb olur. Hadi, yeniden söyleyelim: 'tesbit edilmiş sonsuz' şeklindeki çelişkili savda ifade edilen, bu yanılsamadan öte bir şey değildir. Burada, bu düzmece (sanal) kavramı düzeltmek ya da doğru bir kavramla 13 yer değiştirmek için sınırlarına fiilen ulaşamadığımız imkânların devamı ve gelişimi anlamına gelen 'belirsizlik' ( indefinite ) mefhumunu sunmamız gerekiyor. İşte bu yüzden, Sonsuz ile belirsiz arasındaki bu ayrımı, matematiksel sonsuzluk denilen şeyin göründüğü tüm sorunlarda temel kabul ediyoruz. Şüphesiz bu, - 'mutlak sonsuz' ve 'belli bir açıdan sonsuz' - Skolastik ayrımın yazarlarının amaçlarına denk düşer. Ne yazık ki Skolastisizmden çok şey alan Leibnitz, her ne kadar mükemmel bir formda ifade edilmiş olmasa da, metoduna yöneltilen bir çok itiraza kolayca cevap vermesini sağlayacak bu ayrımı ihmal etmiş ya da farkına varamamıştır. Bunun aksine, Dekart'ın gerçekten bir ayrım kurmaya çalıştığı görülür. Fakat bu ayrımı kâfi derecede hassas ifade etmekten, hatta düşünmekten oldukça uzaktır. Çünkü O'na göre belirsiz, sınırlarını idrak edemediğimiz şeydir ve öyle olduğunu doğrulayamasak bile gerçekte sonsuz olabilir. Oysa hakikat şudur ki biz, aksine, belirsizin sonsuz olmadığını ve sınırlarının varlığı hakkında emin olabilmek için onları idrak etmemizin hiçbir şekilde gerekli olmadığını iddia edebiliriz. Aynı prensip eksikliğinden dolayı şu açıklamaların ne kadar muğlak ve karışık olduğu görülebilir. Dekart şöyle söyler: bir takım şeyleri, sınırlarını fark edememeyeceğimiz şekilde görüyoruz 14 diye sonsuz olarak addedemeyiz, onları ancak belirsiz olarak değerlendirebiliriz. 15 Ve cisimlerin uzamını ve bölünebilirliğini örnek olarak verir. Bunların sonsuz olduğunu ileri sürmez, ama bunu resmen inkâr etmek istiyor gibi de görünmez. Çünkü, bir süre sonra, bize sınırları yokmuş gibi gelen özellikler gözlemlememize rağmen, bunun, onların doğasından değil bizim anlayışımızdaki eksiklikten kaynaklandığını görebiliriz demiş olmasına rağmen, zorlukları kenara süpürmenin çok kolay bir yolu olarak, sonsuz hakkındaki anlaşmazlıklarla başını derde sokmak istemediğini beyan etmiştir. 16 Kısacası, gayet güzel nedenlerle sonsuz adını, sınırı olmayana ayırmak istemiştir ama bir yandan mutlak bir kesinlikle tüm metafiziki bilgilerde kastedilen, sınırı olmayan şey ancak Âlemşümul Küll dür ilkesini bilmediği görülür, öte yandan, kendisinin belirsizlik kavramının çok daha hassas olması gerekir. Eğer öyle olsaydı ardından gelen bu kadar çok karışıklık şüphesiz bu kadar kolay ortaya çıkmazdı. 17 İster bir uzam, ister bir süre, ister bir bölünebilirlik veya isterseniz bir başka imkân olsun, belirsiz olan sonsuz olamaz çünkü o daima belli bir tesbiti ima eder. Yani, belirsiz olan ne olursa olsun ve hangi açıdan düşünülürse düşünülsün hâlâ sonludur ve ancak sonludan müteşekkildir. Şüphesiz, onun sınırları (limits) bizim ulaşabileceğimiz alanın dışına kadar 13 Tam bir mantıksal hassasiyet içinde, 'düzmece kavram'la ( false notion ) (ya da bir başkasının tercih edebileceği şekliyle 'psödo kavram'la) 'hatalı kavram ı ( incorrect notion ) birbirinden ayırt etmek gerekir: 'hatalı kavram', belli bir ölçüye kadar gerçeğe karşılık gelse de, yeteri kadar bunu yapamayan kavramdır. Oysa, 'düzmece kavram', bu örnekte olduğu gibi, çelişki doğuran bir kavramdır. Dolayısıyla, bu çelişkiyi algılayamayanlara öyle gelmese de, 'düzmece kavram' gerçek bir kavram, hatta 'hatalı bir kavram' bile değildir. Çünkü, hiçlikle özdeş olan imkânsızı ifade etmek hiçbir şeye karşılık gelmez. 'Hatalı kavram' düzeltilebilir ama 'düzmece kavram' ancak toptan reddedilir. 14 Bu kelimeler Skolastik secundum quid e atıfta bulunuyor gibi gözükmektedir. Dolayısıyla bu cümlenin ana maksadı infinitum secundum quid ifadesini dolaylı olarak eleştirmek olabilir. 15 Principes de la Philosophie, 1, Ibid., 1, İnfinitezimal nicelikler hesabı konusunda Leibnitz ile yazışmalarında Varignon 'sonsuz' ile 'belirsiz' terimlerini bir fark gözetmeksizin kullanmıştır, sanki neredeyse eşanlamlılarmış veya en azından bu fark önemsizmiş ya da güya biri diğerinin yerini alabilirmiş gibi. Oysa tam aksine bu iki terimin anlamları arasındaki fark tüm bu tartışmaların esasıdır. 8

9 genişler. İleride adamakıllı açıklayacağımız gibi, en azından 'analitik' şeklinde adlandıracağımız bir tarzda ulaşabileceğimiz alanın dışına kadar. Fakat, bu sınırlar hiçbir şekilde bu yüzden hükümsüz kalmaz. Herhangi bir şekilde, belli bir düzenin (order) sınırları hükümsüz bırakılabilse de onunla aynı tabiata sahip diğer düzenlerin sınırları var olmaya devam edecektir. Çünkü bu sınırlar, birtakım dış etkenler veya kazara oluşan koşullar yüzünden değil, o şeyin tabiatı yüzünden vardırlar. Sınırlar ne dereceye kadar genişletilirse genişletilsin her belirli şey sonludur. Bu bağlamda, matematikçilerin sonsuz dedikleri şeyi göstermek için kullandıkları işareti kapalı bir şekildir, dolayısıyla bu işaret görünür bir şekilde sonludur. Aynen bazı kimselerin çemberi, ebediyetin (eternity) (zamansızlığın AS ) bir sembolü yapmak istemeleri gibi. Oysa o aslında sadece, yalnız kendi düzeninde belirsiz olan zamansal bir devrin, yani daimiliğin (perpetuity) bir sembolü olabilir. 18 Modern batılılar arasında çok yaygın olan bu ebediyet ve daimilik karışıklığının çok yakın bir şekilde Sonsuz ve belirsiz arasındaki karışıklıkla alâkalı olduğunu görmek kolaydır. Belirsiz fikrini ve sıradan anlamıyla sonludan oluşma şeklini daha iyi anlayabilmek için sayılar dizisi örneğini düşünebiliriz: her sayıdan sonra o sayıya bir ekleyerek daima bir başka sayı elde edilebileceğinden, sayılar dizisi üzerinde belirlenmiş bir noktada durmak asla mümkün değildir. Dolayısıyla, bu belirsiz dizinin sınırlanması, belirli iki sayı arasında kalan sayılar kümesine uygulayabildiğimiz sınırlama durumundan farklı olmak zorundadır. Bu sınırlama, belli sayıların kendilerine has özelliklerinden değil, bütün genelliği içinde sayının tabiatından, esasen bu tabiatı oluşturan tesbitten, yani sayıyı başka bir şey değil de sayı yapan şeyden kaynaklanır. Mesele, sayı değilde de mekân veya zaman olduğunda ve bunlar için söz konusu olabilecek herhangi bir genişleme düşünüldüğünde de insan, tamamen aynı gözlemi yapabilir. 19 Böyle bir genişleme ne kadar belirsiz olursa olsun bizi hiçbir şekilde sonlunun dışına götürmez. Aslında sonlu, daha baştan, ister istemez Sonsuzun varlığını kabul eder, çünkü Sonsuz tüm imkânları kavrar ve sarar. Buna karşılık belirsiz, gerçekte sadece bir devamı olduğu ve bu yüzden daima ona geri dönüşebildiği sonludan kaynaklanır. Çünkü kimse sonludan, ne daha fazla bir şey ne de zaten potansiyel olarak sonluda mevcut olandan başka bir şey üretemez. Yeniden sayılar dizisini ele alacak olursak diyebiliriz ki bu dizi, ima ettiği tüm belirsizlikle beraber, kendisinin oluşum kanunu sayesinde bize verilmiştir. Onun belirsizliği, bir sayı verildiğinde o sayıya bir eklenerek bir sonraki sayının oluşması kanunuyla birlikte doğar. Dolayısıyla sayılar dizisi, birin kendisine ard arda, belirsiz bir biçimde tekrarlanarak eklenmesiyle oluşur ki bu temelde sadece herhangi bir aritmetik toplam sürecinin belirsiz uzamıdır. İşte burada belirsizin sonludan başlayarak nasıl oluştuğu açıkca görülür. Ayrıca bu örnek, netliğini sayısal niceliğin ayrık karakterine borçludur. Ancak, bütün durumlara uygulanabilecek şekilde daha genel bir tarzda ele almak gerektiğinde, 'belirsiz' terimi ile ima edilen 'oluş' ( becoming ) fikri üzerinde durmak yeterli olacaktır. İşte bu, yukarıda imkânların devamı ve gelişimi şeklinde ifade ettiğimiz, kendi içinde ve bütün seyri boyunca daima bitirilmemiş bir şeylerden oluşan ilerlemedir. 20 Bu son noktanın tüm önemini ileride, infinitezimal hesabla ilgili 'değişken' düşüncesi gösterecektir. 18 Yine şunu not etmeliyiz: başka bir yerde açıkladığımız gibi, böyle bir devir asla tam olarak kapalı olamaz ve insan onu ancak, sınırları arasında gerçekten var olan mesafeyi görmesine izin vermeyen bir perspektiften baktığı sürece kapalı gibi görür. Aynen düşey ekseni üzerine oturtulmuş bir helisin yatay düzlem üzerine yansıtılmış görüntüsünün bir çember olarak görülmesi gibi. 19 Bu yüzden örneğin mekânın, ancak kendisi de mekânsal olan bir şeyle sınırlanabileceğini söylemenin bir yararı yoktur çünkü bu, mekânın artık hiçbir şey tarafından sınırlanamayacağı anlamına gelir. Aksine mekân, kendi tabiatını oluşturan tesbit tarafından sınırlanır ve mekân dışında kalan tüm mekânsız imkânlara yer bırakır. 20 Başka bir yerde (The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 3) atıfta bulunduğumuz A.K. Coomaraswamy'nin 'ölçme'nin Platonik anlamı üzerindeki düşüncelerine bakınız: 'ölçülmemiş' olan, henüz tanımlanmamış yani kısaca belirsiz olandır, aynı zamanda ve aynı sebeble tecelli içinde sadece eksik olarak farkedilebilmiş olandır. 9

10 2 'Sonsuz Sayı' Çelişkisi İleride daha açık bir şekilde göreceğimiz gibi bazı durumlarda sonsuz diye adlandırılan kavramı belirsiz ile yer değiştirmek bütün zorlukları anında çözmek için yeterlidir. Fakat bunun mümkün olmadığı başka bazı durumlar da mevcuttur. Çünkü bazen, açıkca tesbit edilmiş, yani tabiri caizse varsayım gereği sabit olan, dolayısıyla yukarıdaki düşüncelerimize göre belirsiz olarak adlandıramayacağımız durumlar söz konusudur. Örneğin, sayı dizisinin sonu belirsizdir diyebiliriz ama ne kadar büyük olursa olsun ve dizide hangi konumu işgal ederse etsin belli bir sayı belirsizdir diyemeyiz. Bir 'sonsuz sayı' fikri, 'bütün sayıların en büyüğü' veya 'tüm sayıların sayısı' ya da 'tüm birimlerin sayısı' şeklinde anlaşıldığında, 'sonsuz' kelimesinin yanlış kullanımı gözardı edilse bile, kendi kendisiyle çelişen bir fikirdir. Bir sayı ne kadar büyük olursa olsun, yukarıda belirttiğimiz oluşum yasasına göre, her zaman o sayıya bir ekleyerek daha büyük bir sayı oluşturabileceğimiz için tüm sayılardan daha büyük bir sayı olamaz. Sayı dizisi bir son terime sahip olamaz ve işte tam da bu yüzden, dizi sona ermediği için aslında belirsizdir. Sadece dizideki tüm terimlerin sayısı dizinin son terimi olabileceğinden, ileride daha kapsamlı bir şekilde döneceğimiz gibi, sayı dizisinin sayısı belirlenemez ( not numerable') diyebiliriz. Bir 'sonsuz sayı'nın imkânsızlığı başka bir çok açıdan ortaya konabilir. En azından bunu çok açık bir şekilde fark etmiş olan Leibnitz, 21 bu konuda çift sayı ve tam sayı dizilerini karşılaştırır: her sayı için kendisinin iki katına eşit olan bir başka sayı bulunabilir öyle ki insan bu iki diziyi terim terim eşleştirebilir ve sonuçta her iki dizideki terim sayısının eşit olması gerekir. Oysa, çift sayılar tam sayılar dizisinde birer atlayarak gittiklerinden, çift sayıların iki katı kadar tam sayı olması gerektiği açıktır. Dolayısıyla insan apaçık bir çelişkiyle karşılaşır. İkinin katları olan çift sayılar dizisi yerine herhangi bir sayının katları alınarak veya sayıların kareleri 22 ya da daha genel anlamda herhangi bir kuvveti alınarak oluşturulacak diziler için bu tartışma genelleştirilebilir. Durum ne olursa olsun sonuç daima aynıdır: tam sayıların sadece bir kısmını içeren bir dizi, tam sayılar dizisinin terim sayısına eşit sayıda terime sahip olur. Bu, bir bütünün kendi parçasından daha büyük olmadığı anlamına gelir ki tüm sayıların sayısı gibi bir kavrama izin verildiği sürece bu çelişkiden kurtulmak imkânsızdır. Buna rağmen bazıları, belli bir sayı ile çarpılmaları veya belli kuvvetlerinin alınması mümkün olmayan sayılar olduğunu farzederek bu çelişkiden kurtulmayı düşünmüşlerdir aksi takdirde bu işlemler 'sonsuz sayısı'nı aşan sonuçlar verecektir. Hatta 'sonsuzdan daha büyük' sayılar tasarlayanlar olmuştur. Cantor'un 'sonsuzüstü' (transfinite) gibi yaratıcı teorileri bu yüzden mantıksal olarak geçerli değildir: 23 Bir sayı gayet 'sonlu' olduğunda yani tüm sayıların en 21 Leibnitz şöyle demiştir: Kendi infinitezimal hesabıma rağmen, gerçek bir sonsuz sayıyı kabul etmiyorum, şeylerin çokluğunun tüm sonlu sayıları, hatta tüm sayıyı aştığını itiraf etmiş olsam da. 22 Bu argümanı Galileo ya atfeden Cauchy bunu yapmıştır (Sept leçons de Physique generale, üçüncü ders). 23 Daha Leibnitz zamanında Wallis, spatia plus quam infinita (sonsuz mekândan daha fazlası) diye bir şey tahayyül etti. Bir çelişki doğurduğu Varignon tarafından ihbar edilen bu görüş, Guido Grandi'nin kitabı De Infinitis infinitorum (Sonsuzların Sonsuzluğu Üzerine)de aynen benimsendi. Öte yandan, Jean Bernoulli, Leibnitz ile yaptığı tartışmalar sırasında şöyle yazdı: Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum equuntur (Eğer sonsuzun limiti elde edilirse, infinitezimal limitler de elde edilir [mutlak limitler demiyorum]). Hiçbir zaman kendi kendine bundan daha açık bir açıklama yapmış olmasa da bu, Bernoulli'nin, sayı dizisinde 10

11 büyüğü olmadığında, o sayıyı 'sonsuz' diye adlandırmayı insanın hayal etmesi mâkul olabilir mi? Ayrıca, bu teoriler yüzünden bilinen hesaplama kurallarının hiçbirinin uygulanamadığı ya da kısaca, gerçekte sayı olmayan ama yalnızca alışkanlık yüzünden sayı denilen sayılar ortaya çıkar. 24 Tüm sayıların en büyüğünden daha başka bir 'sonsuz sayı' arandığında bu kaçınılmaz olarak gerçekleşir. Sıradan sayılarla ortak hiçbir özellik taşımayan, birbirlerine eşit olmayan bir çok 'sonsuz sayı' tahayyül edilir. Yani, bir çelişkiden kaçmak için bir başka çelişkiye düşülür. Bütün bunlar temelde sadece, hayal edilebilecek en anlamsız 'antlaşmacılığın / âdetciliğin' ( conventionalism ) ürünüdür. Dolayısıyla, ne şekilde sunulursa sunulsun ve hangi isimle adlandırılırsa adlandırılsın, 'sonsuz sayı' olarak söylenen fikir her zaman çelişkili unsurlar ihtiva eder. Ayrıca, sayının belirsizliğinin gerçekten ne olduğu doğru bir şekilde anlaşıldığı andan itibaren böyle abes bir varsayıma ihtiyaç kalmaz. Dahası insan, sayının bu belirsizliğine rağmen hiçbir şekilde tüm varlığa uygulanamayacağının da farkına varır. Başka bir yerde yeterince açıkladığımız için bu nokta üzerinde burada daha fazla durmayacağız. Sayı, niceliğin sadece bir biçimidir. Niceliğin kendisi ise, Varlığın (Being) yalnızca bir kategorisi ya da özel bir biçimidir ve onunla aynı sınırları paylaşmaz. Daha dakik bir ifadeyle söylersek nicelik, evrensel varlık durumlarının tamamı içinde, sadece varlığın belli bir durumuna uygun düşen bir koşuldur. Ancak her şeyi niceliğe indirgemek isteyen ve hatta her şeyi sayısal olarak değerlendirmeye alışmış bir çok modern bunu anlamakta zorlanır. 25 Oysa nicelik kümesinde, süreklilik (continuity) konusuna geldiğimizde göreceğimiz gibi, sayıdan kurtulan şeyler vardır. Sonuçta - belli bir imkân seviyesini sınırlayan, sınırladığı şeyin ötesinde ve dışındadır - 26 itiraz kabul etmez gerçeğinin sadece bir uygulaması olan - sayıların çokluğu bir sayı oluşturmaz ilkesi anlaşıldığında, insan en azından zımnen, sayının her şeye uygulanamayacağını, ayrık (discontinuous) nicelik kavramından ayrılmadan bile kabul etmek zorunda kalır. Anlaşılması gereken tek şey, ister sayılar dizisinde olduğu gibi ayrık olsun, isterse biraz sonra ele alacağımız gibi sürekli olsun, böyle bir çokluğun hiçbir surette sonsuz olarak adlandırılamayacağıdır. Buradaki mesele belirsizlik meselesinden başka bir şey değildir. Şimdi bu çokluk kavramını daha yakından inceleyelim. 'sonsuzun ötesi'nde terimler olabileceğini düşündüğünün bir göstergesidir. 24 Kimse bunun sayı düşüncesine benzer bir kullanım olduğunu söyleyemez, çünkü bu aslında nicelik kümesinden başka bir kümeye geçişi ima eder. Aksine, bu çeşit düşünceler daima harfi harfine sırf niceliği kast etmektedir. 25 Renouvier sayının en azından idealde her şeye uygulanabileceğini, yani biz gerçekten sayamasak da her şeyin kendi içinde 'sayılabileceğini' (numerable) düşündü. Dolayısıyla O, Leibnitz'in 'çokluk' (multitude) mefhumuna verdiği anlamı tamamiyle yanlış anladı ve çokluk ile sayı arasındaki farkın 'sonsuz sayı' çelişkisinden kurtulmaya nasıl yaradığını hiçbir zaman anlayamadı. 26 Oysa daha önce, ne olursa olsun her özel ve belirlenmiş şeyin kendi tabiatı tarafından sınırlandırılmış olduğunu söylemiştik. Burada kesinlikle hiçbir çelişki yoktur: gerçekte şeyler tabiatlarının negatif taraflarıyla sınırlıdırlar (Spinoza'nın söylediği gibi, omnis determinatio negatio est [her tanımlama bir nefiydir]). Yani, diğer şeyleri dışlayan ve onlara kendi dışında bir yer bırakan, o şeyin tabiatıdır öyle ki sonuçta düşündüğümüz şeyi sınırlayan, gerçekten onunla birlikte varolan bu diğer şeylerdir. Bu ayrıca neden yalnızca Âlemşümul Küll'ün herhangi bir şey tarafından sınırlandırılamayacağının da sebebidir. 11

12 3 Sayısı Belirlenemeyen Çokluk Leibnitz in bir 'sonsuz sayı'yı asla kabul etmediğini daha önce söylemiştik. Aksine O, her ne anlamda alınırsa alınsın bunun kesinlikle bir çelişki doğuracağını bildirmiştir. Öte yandan, en azından Skolastiklerin söylediği gibi bunun sadece bir infinitum secundum quid olabileceğini açıkca belirtmeden, 'sonsuz çokluk' diye adlandırdığı şeyi kabul etmiştir. Sayı dizisi O'nun için böyle bir çokluktur. Fakat bir başka açıdan sonsuz fikri O'na daima, nicelikler, hatta sürekli büyüklükler kümesinde muhtemel çelişkiler doğurabilecek bir şüpheli gibi görünür. Çünkü bu sonsuzluk mefhumu yeterli bir fikir olmaktan uzak, kaçınılmaz şekilde bir takım karışıklıklar doğuran bir düşüncedir. Bir fikrin tüm elemanlarını açık bir biçimde kavramadan onun bir çelişki doğurup doğurmayacağından emin olamayız. 27 Bu durum, 'sembolik' veya 'temsilci' ( representative ) diyeceğimiz bir karaktere neredeyse hiç izin vermez ve daha sonra göreceğimiz gibi bu yüzden Leibnitz 'sonsuz küçük'ün gerçekliği hakkında bir hüküm verme cesaretini asla gösterememiştir. Oysa bu tereddüt ve şüpheli tutum, 'sonsuz çokluk'tan bahsedilebileceğini kabul etmesine yol açan prensip eksikliğini daha iyi ortaya çıkarıyor. Burada insan şunu merak ediyor: kendisinin söylediği gibi 'sonsuz' olabilmesi için böyle bir çokluğun sadece 'sayısının belirlenemez' olması değil, ki bu çok açıktır, aynı zamanda, niceliği tüm genişliği ve bütün modlarıyla almak kaydıyla, hiçbir surette niceliksel de olmaması gerektiğini düşünmemiş midir? Bazı durumlarda bunu düşünmüş olabilir ama her zaman değil. Yine de, kendi kendine hiçbir zaman açıkca izah etmediği bir nokta hep kalmıştır. Bütün sayıları aşan, dolayısıyla bir sayı olmayan çokluk fikri, ister 'sonlucu' ister 'sonsuzcu' olsun, Leibnitz'in düşüncelerini tartışan bir çok kişiyi şaşırtmışa benzer. Oysa bu fikir, genellikle öyle inanılsa da yalnız Leibnitz'e ait bir şey değildir. O, Skolastikler arasında da oldukça yaygındı. 28 Bu düşünce, gerek sayı olmayan gerekse 'sayısı belirlenebilir' olmayan her şeye özellikle uygulanmıştır, yani ister niceliğin diğer modlarına ait bir mesele olsun isterse tamamen nicelik alanının dışında kalanlar olsun, ayrık nicelik alanıyla ilgili olmayan her şeye. Çünkü çokluk, 'tecrübe üstü' (transcendental) düzenle ilgili ya da nicelik gibi özel 27 Dekart, 'açık (clear) ve belli (distinct)' fikirlerden yalnızca söz eder. Leibnitz ise bunları şu şekilde açıklar: bir fikir belli olmadan da açık olabilir, açık fikir tanınmaya ve diğer fikirlerden tefrik edilmeye müsaittir, belli fikir ise sadece bu anlamda tefrik edilen değil aynı zamanda kendi içinde kendi elemanları da tefrik edilen fikirdir. Ayrıca, her fikir az ya da çok belli olabilir ama yeterli bir fikir tümüyle ve tüm elemanlarıyla belli olan fikirdir. Ancak, Dekart insanın her şey için 'açık ve belli' bir fikre sahip olabileceği düşüncesine sahipken, Leibnitz aksine sadece sayılar gibi belli elemanlardan oluşan matematiksel fikirlerin yeterli olabileceğine inanmıştır. Diğer tüm fikirler, analizi tam olarak asla tamamlanamayan bir takım elemanlar içerdiğinden, hep bir takım karışıklıklar taşırlar. 28 Bu konuda diğerlerinin arasından oldukça açık olan şu metni aktaracağız: Qui diceret aliquam multitudinem esse infinitam, non diceret eam esse numerum, vel numerum habere; addit etiam numerus super multitudinem rationem mensurationis. Est enim numerus multitudo mensurata per unum... et propter hoc numerus ponitur species quantitatis discretae, non autem multitudo, sed est de transcendentibus (Eğer birisi bir çokluğun sonsuz olduğunu söylüyorsa, bu o çokluğun bir sayı olduğunu ya da bir sayısı olduğunu söylüyor demek değildir, çünkü sayı çokluğa ölçme fikrini ilave eder. Sayı, bir ile ölçülmüş çokluk olduğundan... ve bu yüzden sayı, ayrık niceliğin bir türü olarak sınıflandırılır, oysa çokluk böyle değildir, o tecrübe üstü [transcendental] olan şeylerden biridir) [Aziz Thomas Aquinas, Physics, III, 1.8]. 12

13 modlarının aksine, varlığın kendisiyle aynı sınırlara sahip genel modları seviyesiyle ilgili bir fikirdir. 29 Bu çokluk kavramı ayrıca insanın, örneğin, ilahi sıfatların çokluğu veya meleklerin çokluğu gibi sayıya konu olmayan durumlar hakkında konuşmasına imkân sağlar. Üstelik bu kavram, belirsiz bir çokluktan müteşekkil varlık dereceleri veya olma durumları hakkında konuşmaya da izin verir, nicelik onlardan tek birinin varlığının özel bir şartı olsa da. Öte yandan çokluk fikri sayının aksine var olan her şeye uygulanabilir olduğundan, nicelik düzeyinde, özellikle sürekli nicelikler alanında çokluklar olması gerekir. Bu yüzden diyoruz ki sayının tamamını aşan 'sonsuz çokluğun' her durumda nicelik kümesinden tamamen kurtulduğunu düşünmek doğru olmaz. Ayrıca sayının kendisi, ölçülmüş olması şartıyla çokluğun bir türü olarak düşünülebilir. Aziz Thomas Aquinas'ın ifadesiyle sayı 'bir ile ölçülmüş çokluktur'. 'Sayısı belirlenemez' olan çokluğun tüm diğer çeşitleri 'ölçülmemiştir'. Bu onların sonsuz değil ancak belirsiz olmaları demektir. Bu konuda şu tuhaf gerçeği not etmek uygun olacak: Leibnitz için bir sayı olmayan bu çokluk yine de 'birimlerin bir sonucudur'. 30 Bunu nasıl anlamalıyız ve buradaki birimler gerçekten nedir? Birim kelimesi tamamen iki farklı manada anlaşılabilir: 31 Bir tarafta sayının ilk elemanı ve hareket noktası olan aritmetik veya niceliksel birim, diğer tarafta saf Varlığın kendisi ile tanımlanan metafizik Birlik. Bunun dışında muhtemel başka bir anlam göremiyoruz. Ancak, ne zaman birisi çoğul olarak 'birimler'den bahsetse, bu yalnız nicelik biçiminde anlaşılabilir. Öyleyse, birimlerin toplamı sayıdan başka bir şey olamaz ve hiçbir şekilde sayıyı aşamaz. Leibnitz'in 'toplam' değil de 'sonuç' dediği doğrudur, fakat maksatlı olduğunu varsaysak bile bu ayrım ne yazık ki kapalı kalmıştır. Başka bir yerde O, bir sayı olmayan çokluğun sayı analojisiyle anlaşılabileceğini söyler: Her hangi bir sayıyla kavranabilecek olandan daha fazla şeyler olmasına rağmen der Leibnitz, yine de biz onlara analojik olarak bir sayı atfeder ve sadece bir 'söz gelimi', modus loquendi, 32 olarak onlara sonsuz deriz. Söz konusu olan şey gerçekte hiçbir surette bir sayı olmadığından bu konuşma şekli dahi hiç doğru bir anlatım biçimi değildir. Fakat ifadelerdeki kusurlar ve neden olduğu karışıklıklar ne olursa olsun, her hâlukârda kesinlikle O'nun düşüncesinin temelinde, çokluğu bir sayı ile tanımlamanın olmadığını kabul etmek zorundayız. Leibnitz'in büyük önem atfediyor gibi göründüğü bir başka nokta da şudur: O'nun anladığı 'sonsuz' bir bütün oluşturmaz. 33 O bunu, kendi sonsuzluk anlayışındaki çelişkiden kurtulmak için gerekli bir şart gibi görür. Oysa bize göre bu bir başka anlaşılması güç noktadır. Birisi pekâlâ burada nasıl bir 'bütün'den bahsedildiğini merak edebilir. Her şeyden önce başından beri söylediğimiz gibi tek doğru sonsuzluk olan ve burada hiçbir şekilde söz konusu olmayan metafiziki Sonsuzluğun kendisi, Âlemşümul Küll kavramını tamamen bundan ayrı tutmak gerekiyor. Hakikaten, ister sürekli isterse ayrık olsun Leibnitz'in tahayyül ettiği 'belirsiz çokluk' ancak sınırlı ve koşullu olan kozmolojik düzeyde bir anlam taşır yoksa metafizik düzeyde değil. Ayrıca burada söz konusu olan, parçalardan oluşmuş bir 29 Skolastiklerin, kendi doktrinlerinin metafiziki bölümlerinde bile asla Varlık / Olma (Being) düşüncesinin ötesine geçmediklerini biliyoruz öyle ki onlar için metafizik aslında sadece ontolojiye indirgenmişti. 30 Systeme nouveau de la nature et de la communication des substances. 31 Guenon'un kendisinin de açıkladığı gibi Fransızca unite kelimesi hem 'birim' (unit) hem de 'birlik' (unity) anlamlarına gelir. ED. 32 Observatio quod rationes sive proportiones non habeant locum circa quantitates nihilo minores, et de vero sensu Methodi infinitesimalis (Gittikçe Küçülen Niceliklere Uygulanamayan Hesaplar ve Orantılarla İlgili Bir Gözlem ve İnfinitezimal Metodun Doğru Anlaşılması Hakkında), Acta Eruditorum, Leipzig, Aynı eserde: Infinitum continuum vel discretum proprie nec unum, nec totum, nec quantum est (Sürekli ya da ayrık sonsuz, doğrusunu isterseniz, ne tektir, ne bir bütündür, ne de bir niceliktir), Leibnitz eğer buradaki quantum kelimesiyle, 'sonsuz sayı' gibi çelişkisini daha önce kendisinin göstermiş olduğu belli bir niceliği kast etmemişse, bu nec quantum ifadesi, O nun 'belirsiz çokluğu' bir nicelik gibi anlamadığını gösterir. 13

14 bütünlüktür. Oysa başka bir yerde açıkladığımız gibi 34 Âlemşümul Küll, sonsuz olduğu için parçasızdır, çünkü parçalar zorunlu olarak göreceli ve sonludurlar ve bu yüzden sonsuzla gerçekte herhangi bir bağlantıları yoktur, başka bir deyişle sonsuzun parçası olmaz. Bu yüzden sorumuzla ilgili olarak özel bir bütünlük anlayışı içinde kalmamız gerekir. Fakat burada yine, böyle bir bütünün nasıl bir modda oluştuğu ve bu bütünün parçalarıyla nasıl bir ilişki içinde olduğu hususunda düşünmemiz gereken iki ayrı durum, aynı 'bütün' ( whole ) kelimesinin iki farklı anlamı vardır. Bunlardan birincisi, bir aritmetik toplam şeklinde oluşan, kendi parçalarının basit toplamından daha farklı ya da daha fazla bir şey olmayan bir bütünlüktür. Leibnitz, tam olarak sayıya uygun olan bu çeşit bütünlüğün temel olduğunu söyleyerek bizim sayının ötesine giçmemize izin vermez. Oysa gerçekte bir bütünü tasavvur etmenin tek yolunu temsil etmekten çok uzak olan bu anlayış, terimin en hassas anlamıyla gerçek bir bütün bile değildir. Aslında, sadece parçalarının toplamı ya da sonucu olan, dolayısıyla onlardan sonra gelen bir bütün, bir ens rationis den (akılda ya da zihindeki varlık) başka bir şey değildir. Çünkü o sadece bizim onu tahayyül ettiğimiz ölçü içinde 'bir' ve 'bütün'dür. Gerçekte kelimenin tam anlamıyla o yalnızca bir 'koleksiyon'dur. Tahayyül ediş şeklimizle, belli ve göreceli bir anlama kadar ona birlik ve bütünlük karakteri ihsan eden bizleriz. Bunun tam aksine, bütünlük karakterine kendi tabiatıyla sahip olan gerçek bütünlük, mantıksal olarak parçalarından önce gelmelidir ve onlardan bağımsız olmalıdır. Gerçekten var olup olmadıklarını önceden düşünmedem, keyfi bir şekilde, istediğimiz herhangi büyüklükte parçalara ayırabileceğimiz, sürekli bir küme işte böyle bir bütündür. Bu defa biz, ideal ya da etkin bir bölme sayesinde oluşan bu parçalara bir gerçeklik veririz ve bu bir önceki durumun tam tersidir. Şimdi tüm sorun Leibnitz'in, sonsuz bir bütün değildir derken bütünün birinci anlamının yanında ikinci anlamını da kast edip etmediği meselesidir. Öyle anlaşılıyor ki kastediyordu. Bu mümkün, çünkü bu ikinci anlam bütünün gerçekten 'bir' olabileceği tek durumdur ve O'na göre sonsuz nec unum, nec totum dur (ne bir, ne de bütündür). Bunu teyit eden bir başka şey de bu ikinci anlamın bütünlük bakış açısından düşünüldüğünde bir canlı varlığa ya da organizmaya uygulanabilmesidir. Leibnitz şöyle der: Evren bile bir bütün değildir, ve o, kadim uygarlıklarda olduğu gibi ruhu Tanrı olan bir hayvan olarak tahayyül edilmemelidir. 35 Ancak eğer gerçekten böyle ise insan O'nun sonsuz ve sürekli kavramlarını nasıl ilişkilendirebildiğini anlayamaz, oysa bunu sık sık yapmıştır. Zira sürekli kavramı, en azından belli bir anlamda, tam da bu ikinci bütünlük anlayışıyla bağlantılıdır. Fakat bu nokta gelecek bölümlerin ışığı altında daha iyi anlaşılacak. Her hâlukârda kesin olan şu: eğer Leibnitz 'bütün'ün üçüncü bir anlamını tasavvur etmiş olsaydı, yani diğer ikisinin üstünde sırf metafiziki anlam olan, ilk başta ortaya koyduğumuz Âlemşümul Küll fikrini tasavvur etmiş olsaydı, sonsuzun bütünlüğü dışladığı fikrini söyleyemezdi. Çünkü O ayrıca belirtir ki: Gerçek sonsuz muhtemelen kendi içinde mutlaktır, parçalardan oluşmaz ama parçalara sahiptir, onları seçkin bir nedenle, kendi mükemmel derecesi yüzünden kapsar. 36 Her ne kadar sonsuzun parçalara sahip olduğunu söylemek hatalı olsa da burada bu hata anlayışla karşılanabilir ve bu kez istisnai bir şekilde O, 'sonsuz' kelimesini doğru anlamıyla kullandığından burada küçük bir ışık olduğu söylenebilir. Fakat daha sonraki düşüncelerini, sanki bu fikrin önemini tam olarak yerleştirememiş gibi, yine muğlak ve kafa karıştırıcı bir biçimde ifade etmiş olması tuhaftır. Belkide bunu gerçekten hiç yapamadı. Aksi takdirde, neden çok sık bu uygun anlamdan saptığı ve sonsuzdan bahsettiğinde niyetinin bu terimi, yanlış da olsa, hassas bir biçimde ele almak mı yoksa sadece 'söz gelimi' olarak kullanmak mı 34 Bu konuda daha fazla bilgi için bakınız The Multiple States of the Being, bölüm Jean Bernoulli'ye mektup. - Leibnitz burada aslında kadim uygarlıkların sadece bir kısmında görülen bir görüşü sebebsiz yere genele atfetmiştir. Besbelli aklında, Tanrıyı her yerde var olarak tahayyül eden ve O nu Anima Mundi ile tanımlayan Stoacıların teorisi vardı. Ayrıca şu da gayet açık: buradaki mesele sadece tecelli etmiş âlem, yani kozmos ile ilgili bir konudur, yoksa tüm imkânı yani tecelli etmiş olanla birlikte tecelli etmiş olamayan imkânı da kapsayan Âlemşümul Küll meselesi değildir. 36 Jean Bernoulli'ye mektup, 7 Haziran

15 olduğunu anlamanın bazen neden çok zor olduğu açıklanamaz. 4 Süreklinin Ölçümü Şimdiye kadar sayı dediğimizde yalnızca tam sayıları kastettik. 37 Sayısal niceliği tam anlamıyla ayrık nicelik olarak düşündüğümüzden bu mantıksal olarak gerekliydi: tam sayılar dizisinin ardışık iki terimi arasında daima, bu iki sayı arasındaki birim farka denk gelen belli bir aralık vardır ki tam sayılar söz konusu olduğu sürece bu fark hiçbir şekilde yok edilemez. Ayrıca, saf sayı olarak adlandırabileceğimiz gerçek sayılar aslında yalnızca bu tam sayılardır. Birden başlayan tam sayı dizisi, bir son terime varmaksızın belirsiz bir şekilde artar çünkü bunun aksi daha önce gördüğümüz gibi bir çelişki doğurur. Dizinin tamamen tek bir yöne doğru büyüdüğü açıktır. Başka bir bakış açısından ileride göstereceğimiz gibi belirsiz bir biçimde büyüyen niceliklerle belirsiz bir biçimde küçülen nicelikler arasında belli bir ilişki ve bir çeşit simetri olmasına rağmen ters yön, yani belirsiz küçülme yönü tam sayılarla temsil edilemez. Ne var ki insanlar tam sayılarla kalmamış başka bir çok çeşit sayı düşüncesine yönelmişlerdir. Genellikle bu düşüncelerin, sayı fikrinin genişletilmesi ya da genelleştirilmesi olduğu söylenir ki bu belli bir dereceye kadar doğrudur. Ancak bu genişlemer aynı zamanda bir sapmadır. Modern matematikçilerin çok kolay bir şekilde unutmuş gözüktükleri şey işte budur. Çünkü sahip oldukları 'antlaşmacılık' ( conventionalism ) bu sayıların kökenini ve sebebini yanlış anlamalarına yol açmaktadır. Gerçekten de, tam sayıların dışındaki sayılar her şeyden öte, sadece tam sayılarla yapılan aritmetikte mümkün olmayan işlemlerin sonuçlarını gösterirler. Dolayısıyla örneğin bir kesirli sayı, aslında yapılamayan yani aritmetik olarak mümkün olmayan bir bölme işleminin sonucunun temsil edilmesinden başka bir şey değildir. Alışılmış matematik terminolojisiyle bu ve şu tam sayılar birbirini bölmez dendiğinde bu durum zımnen kabul edilmiş olur. Burada şunu belirtmeliyiz ki kesirli sayılara yaygın olarak verilen tanım absürttür: kesirler söylendiği gibi 'bir bütünün parçaları' olamazlar, çünkü gerçek aritmetik birim bölünemez ve parçasız olmak zorundadır. Bu birimden meydana gelen sayıların temel ayrık karakteri işte buradan kaynaklanır. Şimdi bu absürtlüğün nereden doğduğuna bakalım. Gerçekten, sözü edilen işlemlerin basit ve saf bir biçimde imkânsız oldukları düşünülmediğinde, işlemlerin sonuçları keyfi bir biçimde ele alınamaz. Genel olarak bu, sayıdan müteşekkil ayrık niceliğin, mekânsal büyüklükler gibi sürekli nicelikler düzenine ait büyüklüklerin ölçümüne uygulanmasının bir sonucudur. Niceliğin bu iki modu arasında doğal bir fark vardır öyle ki bunların arasında mükemmel bir tekabüliyet kurulamaz. Buna belli bir ölçüde en azından şimdiye kadar mümkün olabildiği kadarıyla bir çözüm bulmak için, tam sayılar dizisinde oluşan ayrık aralıklar, terimler arasına sokulan başka sayılarla, ilk başta bunun dışında bir anlamı olmayacak olan kesirli sayılarla, küçültülmeye çalışılmıştır. Az önce ifade ettiğimiz kesirlerin tanımındaki absürtlüğün, aritmetik birim ile 'ölçü birimi'nin karıştırılmasından kaynaklandığını anlamak artık kolaydır. 'Ölçü birimi' sadece uzlaşılan bir birimdir ve gerçekte sayıdan farklı, özellikle geometrik bir büyüklüktür. Örneğin uzunluk ölçü birimi, aritmetiğe yabancı nedenlerle seçilmiş yalnızca belli bir uzunluktur. Diğer bütün 37 'Bütün sayılar' (whole numbers [nombres entiers]) günümüzde 'tam sayılar' (integers) terimiyle ifade edilen sayılardır. Herkes ne anlama geldiğini hemen anlasa da 'bütün sayılar' terimi deyimsel (idiomatic) değildir. Ayrıca, Guenon un nombres entiers den bahsettiğinde, pozitif tam sayıları ya da doğal sayıları kastettiği ortaya çıkmaktadır. ED. 15

16 uzunluklar ona kıyasla ölçülsün diye, bir sayısı ona tekabül eder. Oysa birim uzunluk dahil bütün uzunluklar tabiatları gereği daima ve belirsiz bir şekilde bölünebilen sürekli büyüklüklerdir. Kendisinin tam katı olmayan başka uzunluklarla kıyaslandığında bu ölçü biriminin daha küçük parçaları düşünülür ki bu parçalar hiçbir biçimde aritmetik birimin parçaları olamaz. İşte sadece bu yüzden kesirli sayı düşüncesi birbirlerine tam olarak bölünemeyen büyüklüklerin oranı şeklinde ortaya konmuştur. Aslında bir büyüklüğün ölçülmesi, kendi cinsinden ölçü ya da kıyas birimi olarak alınan başka bir büyüklüğe oranının sayısal olarak ifade edilmesinden başka bir şey değildir. İşte bu, geometrik büyüklüklerin ölçümündeki metodun neden bölmeye dayandığının sebebidir. Bu metoda rağmen sayının ayrık tabiatından süreklinin mükemmel eşdeğirini elde etmeye engel olan bir şeyler daima bâki kalır. Bu aralıklar ne kadar küçültülürse küçültülsün, belirsiz bir dereceye kadar küçültülseler bile, önceden verilen herhangi bir değerden daha küçük hale getirilseler de, yine de tamamen ortadan kaldırılamazlar. Bu noktayı biraz daha açmak için en basit geometrik sürekliliği, düz çizgiyi (sayı doğrusunu) ele alalım: bu düz çizginin yarısını yani bir yöne doğru belirsiz bir biçimde uzayan kısmını düşünelim. 38 Çizginin üstündeki her bir noktaya, o noktanın başlangıç noktası (orijin) sıfırdan uzaklığını ifade eden bir sayı karşılık gelir. Başlangıç noktasının kendisine olan uzaklığı bir hiç olduğundan ona sıfır tekabül eder. Tam sayılar, bu orijinden başlayarak ard arda gelen, birbirlerine ve birim uzunluğa eşit parçaların uç noktalarına denk düşer. Bu uç noktaların arasında kalan noktalar, orijine uzaklıkları birim uzunluğun tam katı olmadığından, kesirli sayılarla gösterilirler. Şüphesiz iki kesirli sayının paydası büyüdükçe aralarındaki fark azalır ve karşılık geldikleri aralık aynı nispette küçülür. Bu şekilde aralıklar belirsiz bir şekilde, teorik olarak herhangi bir dereceye kadar küçültülebilir, çünkü kesirlerin olası paydaları belirsiz bir biçimde büyüyebilen tam sayılardır. 39 Teorik olarak diyoruz çünkü gerçekte kesirli sayıların çokluğu belirsizdir ve tamamı kullanılamaz. Fakat idealde tüm kesirli sayıların, düşündüğümüz yarım düz çizgi üzerinde bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım. Aralıkların belirsiz bir biçimde küçülmesine rağmen, bu doğru üzerinde hâlâ hiçbir sayının karşılık gelmediği noktalar kalacaktır. İlk bakışta bu garip hatta paradoksal görünebilir. Ama çok basit bir geometrik yapıyla böyle bir noktanın varlığı gösterilebilir. Bir kenarı 0 ve 1 noktaları arasında kalacak şekilde bir kare çizelim. Orijinden başlayan bir köşegen ve bu köşegeni yarıçap kabul eden, merkezi orijin olan bir çember çizelim. Bu çemberin doğrumuzu kestiği nokta hiçbir tam ya da kesirli sayıyla gösterilemez. Çünkü bu noktanın orijine uzaklığı karenin köşegenine eşittir. Köşegenin uzunluğu ise kenar ya da birim uzunluğun tam veya kesirli bir katı şeklinde ifade edilemez. Dolayısıyla, kesirli sayılar topluluğu, ne kadar küçülürlerse küçülsünler, doğrunun noktaları arasındaki aralıkları doldurmaya yetmez. 40 Yani bu topluluk doğrusal sürekliliğin gerçek ve yeterli bir karşılığı değildir. Belli bazı uzunlukların ölçüsünü ifade edebilmek için, ortak-ölçülemez (incommensurable) denilen yani birim uzunlukla ortak-ölçüsü olmayan, başka çeşit sayılar bulmak zorunda kalırız. Bunlar, tam kare olmayan sayıların karekökü gibi aritmetik olarak mümkün olmayan kök alma işlemlerinin sonucunu temsil eden irrasyonel sayılardır. Dolayısıyla biraz önceki örnekteki karenin köşegeninin kenarına oranı ve orijine köşegen kadar uzaklıktaki nokta sadece 2 irrasyonel sayısıyla temsil edilebilir. Bu sayı gerçekten de ortak-ölçülemez bir sayıdır çünkü karesi 2 olan hiçbir tam ya da kesirli sayı yoktur. Bu irrasyonel sayıların yanında, geometrik orijini belli, çemberin çevresinin çapına oranını temsil eden π sayısı gibi, başka ortakölçülemez sayılar da vardır. 38 Sayı doğrusunun neden yarısını almak zorunda olduğumuz, ileride negatif sayıların geometrik temsili konusunda görülecektir. Daha önce söylediğimiz gibi, sayı dizisinin tek bir yöne doğru ilerliyor olması bu nedene yeterince işaret eder. 39 Negatif sayıları konuşmaya başladığımızda bu daha da açık hale gelecektir. 40 Noktaların doğruyu oluşturduğunu ya da terkip ettiğini söylemediğimizi not ediniz. Çünkü bu sürekliliğin doğru şekilde anlaşılmasına ihanet etmek olur. Bu konu ileride söyleyeceklerimiz sayesinde açıklığa kavuşacaktır. 16

17 'Sürekliliğin oluşumu' sorununa daha fazla girmeden şunu görebiliriz: kavram ne kadar genişletilirse genişletilsin, sayı asla sürekli olana tam olarak uygulanamaz. Sonuçta bu uygulama daima sürekli olanı ayrık olanla değiştirmek anlamına gelir. Bu sürekliliğin aralıkları çok küçük olabilir, hatta belirsiz bir şekilde tekrarlanan bölme işlemleriyle daha da küçük hale getirilebilir. Ancak gerçekte bu bölme işlemleri, sonunda bir 'son terim'e ulaşarak bitirilemez. Çünkü sürekli bir nicelik, ne kadar küçük olursa olsun, daima belirsiz bir şekilde bölünebilir olarak kalır. Kesirli sayı düşüncesine hakkıyla karşılık gelen şey süreklinin bu bölünebilirliğidir. Ancak şunu özellikle kaydetmek gerekir ki ne kadar küçük olursa olsun bir kesir daima belirlenmiş bir niceliktir ve iki kesir arasındaki fark ne kadar minik olursa olsun bu iki sayı arasında tesbit edilmiş bir aralık vardır. Sürekli büyüklükleri karakterize eden belirsiz bölünebilme özelliği, istenildiği kadar küçük elemanlar elde edilebilmesini ve bu elemanlar arasındaki aralıkların verilen herhangi bir nicelikten daha küçük hale getirilebilmesini gerektirir. Fakat - bizim kesirli sayıları, hatta diyebiliriz ki tümüyle sayıyı yetersiz gördüğümüz yer işte burasıdır - gerçekten bir sürekliliğin olabilmesi için bu elemanlar ve bu aralıklar belirlenmiş bir şey olarak tasavvur edilmemelidir. Dolayısıyla, sürekli niceliğin en mükemmel ifadesi, az önce tartışılan sabit ve belirlenmiş büyüklükler olarak değil aksine değişkenler düşüncesiyle elde edilebilir. Çünkü bu değişkenliğin kendisi, sürekli bir biçimde başarılmış olacaktır. Bu nicelikler, değişkenlikleri sayesinde kendilerini iptal etmeksizin ya da bir 'minimum'a ulaşmaksızın belirsiz bir şekilde küçülme kabiliyetine sahip olmalıdırlar. Bunun aksi, bir sürekliliğin 'son bir terim'e sahip olması kadar çelişkili olur. İleride göreceğimiz gibi, infinitezimal niceliklerin doğru anlamı işte tam olarak budur. 17

18 5 İnfinitezimal Metodun Ortaya Çıkardığı Sorunlar Leibnitz, infinitezimal metodu ilk sunuşunda 41 ve sonraki bir çok çalışmasında, 42 uygulamalarına bilimden daha çok önem veren modern eğilime uygun olarak, yeni hesabın özellikle kullanımı ve uygulanması üzerinde durmuştur. Bu gerçekten Leibnitz'de var olan bir eğilim miydi yoksa kendi metodunu bu şekilde takdim etmesi O'nun için sadece bir taviz miydi, söylemek zor. Ne olursa olsun, bir metodu savunmak için o metodun daha önce kabul edilmiş diğer metodlara göre avantajlarını ya da özellikle hesaplamalarda sağlayacayı kolaylıkları, hatta verdiği sonuçları göstermek kesinlikle yeterli değildir. İnfinitezimal metodun muhalifleri bunu kullanmakta başarısız değillerdi ve sadece onların bu itirazları Leibnitz'i, metodunun prensiplerini ve hatta kaynağını açıklamaya ikna etti. O metodunun kaynağı hakkında hiç konuşmaya da bilirdi. Ama sonuçta bunun fazlaca bir önemi yoktur çünkü nadiren bir keşfe neden olan şartlar genellikle oldukça önemsiz durumlardır. Yine de, bu konu hakkında yazdıkları 43 arasında bizi ilgilendiren tek şey şu gerçektir: O, sayılar arasında bir değer 'atanabilen' (assignable) farklar görüşünden, geometrik büyüklüklerde görülen süreklilikler yüzünden bir değer 'atanamayan' ( unassignable ) farklar görüşüne geçmiştir ve bu görüşe deyim yerindeyse, 'varlıkların tabiatının isteği' gerekçesiyle büyük önem atfetmiştir. Dolayısıyla O'nun için infinitezimal nicelikler doğal olarak bize doğrudan görünmezler, ancak ayrık niceliğin değişkenliğinden sürekli niceliğin değişkenliğine geçişte ya da birincisi ikincinin ölçümüne uygulandığında görünürler. Leibnitz'in kullanmadan önce ne olduklarını tanımlamadığı için ayıplandığı bu infinitezimal nicelikler tam olarak ne anlama gelir ve bu anlam O'nun hesabını mutlak bir biçimde kesinliştirir mi yoksa sadece yaklaşık bir method mu yapar? Bu iki soruya cevap vermek, O'na yöneltilmiş itirazların en önemlilerini haletmek olacaktır. Fakat ne yazık ki kendisi bunlara asla çok açık bir şekilde cevap verememiştir. Hatta vermeye çalıştığı çeşitli cevaplar her zaman birbirleriyle tam uyum içinde değildir. Bu bağlamda şunu kaydetmek gerekir: Leibnitz genellikle aynı şeyi hitap ettiği dinleyiciye göre farklı biçimlerde açıklama alışkanlığına sahipti. Elbette biz O'na karşı, sistematik zihinleri tahrik eden bu tutumu benimsemeyeceğiz, çünkü prensipte O sadece herkesle kendi diliyle konuşmayı münasip gören bir öğretinin, özellikle Rozikruziyan (Rosicrucian) tarikatının talimatını yerine getiriyordu. Bazen bu talimatı çok başarısız bir şekilde uyguladı. Sahiden, eğer aynı gerçeği farklı ifadelerle söylemek mümkünse bunun, yanlış kavramlar doğuracak söz gelişlerinden kaçınarak çok dikkatli bir şekilde, o gerçeği bozmadan ya da eksiltmeden yapılması gerekmez 41 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (En Büyük ve En Küçük Niceliklerle Birlikte Teğetler İçin Kesirli ya da İrrasyonel Değerler İçermeyen Yeni Bir Metod ve Özgün Bir Hesap), Acta Eruditorum, Leipzig, De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum (Bölünemeyen ve Sonsuz Niceliklerin Gizli Geometrisi ve Analizi Hakkında), Daha sonraki çalışmalarının hepsi belli bazı problemlerin çözümleriyle ilgilidir. 43 İlk olarak mektuplarında, sonra Historia et origo Calculi differentialis de (Türev Hesabının Tarihi ve Orijini),

19 mi? Leibnitz bu konuda bir çok yerde başarısız olmuştur. 44 'Uzlaşma' düşüncesini, kendi metodunu sadece yaklaşık bir hesap olarak görmek isteyenleri savunuyor görünecek bir noktaya kadar getirmiştir. Çünkü bir zamanlar kendi metodunu hesaplara yardımcı olarak kullandığını, bunun sadece eskilerin 'tüketme metodu'nun kısa bir şekli olduğunu ve eğer kesin bir delil isteniyorsa öteki metodla doğrulanması gerektiğini söylüyordu. Yine de şu kesindir ki O'nun temelde düşündüğü şey bu değildi. Gerçekte O bunda, hesapları kısaltma basit çıkarından çok daha fazlasını görüyordu. Leibnitz sık sık infinitezimal niceliklerin 'kıyaslanamaz' ( incomparable ) olduklarını belirtmiştir. Fakat bu kelime tam olarak bu anlamda anlaşıldığında, sadece tatmin edici olmaktan uzak kalmıyor aynı zamanda oldukça üzücü bir açıklama yapmış olmasına neden oluyordu, çünkü bu muhaliflerine yararlanabilecekleri bir fırsat sunuyordu. Burada O yine kesinlikle gerçekten düşündüğü şeyi ifade etmemiştir. Bir öncekinden daha ciddi bir örnek olarak şu aşırı 'uzlaşmacı' sözlerde, hatalı görüşlerin 'adapte' edilmiş ifadelerle nasıl da hakikatin yerine konulduğunu görebiliriz: Burada sonsuz, çok sıkı bir şekilde ele alınmamalıdır, sadece optikte olduğu gibi güneşten gelen ışınların sonsuz bir uzaklıktan geldiğini ve dolayısıyla paralel kabul edilebileceğini söylememiz gibi ele alınmalıdır. Sonsuzun veya sonsuz küçüğün bir çok derecesi vardır: yerküreyi sabit yıldızların uzaklığına kıyasla bir nokta gibi düşünürken elimize aldığımız bir topu da yerin yarıçapına oranla bir nokta gibi değerlendirebiliriz, böylece sabit yıldızların uzaklığı topun çapına göre sonsuz kadar sonsuz olur. Sonsuzun veya sonsuz küçüğün yerine, hatanın verilen her hangi bir değerden daha küçük olması için, nicelikleri istediğimiz kadar büyük ya da istediğimiz kadar küçük alabiliriz. İcad etme sanatına daha doğrudan ve daha uygun olan bizim bu metodumuz, Arşimed in tarzından sadece söylemde farklılık gösterir. 45 Yerküre göklere kıyasla ya da bir kum tanesi yerküreye kıyasla ne kadar küçük olursa olsun, bunların her şeye rağmen tesbit edilmiş ve sabit nicelikler olduğu ve eğer bunlardan birisi diğerine oranla pratikte ihmal edilebiliyorsa bunun sadece basit bir yaklaşım olduğu Leibnitz'e her defasında ihtar edilmiştir. O, cevaben sadece 'inceliklerden kaçınmak' istediğini ve 'mantığının herkesce anlaşılabilir olmasını' istediğini söylemiştir 46 ki bu tamamen bizim yorumumuzu doğrular ve ayrıca modern bilim adamlarının 'popüler hale getirme' eğilimlerinin bir tezahürüdür. En garip olanı ise ardından şunları yazabilmesidir: 'Her ne olursa olsun, benim gerçekten de çok küçük ama daima sabit ve belirli bir niceliği kast ettiğimi düşündürecek en küçük bir şey yoktur'. Sonra ekler: 'Bununla birlikte, birkaç yıl önce Groningen'li Bernoulli'ye yazdığım gibi sonsuzlar ve sonsuz küçükler, imajineri kökler 47 gibi hesaplarımıza zarar vermeyen birer kurgu (fiction) olarak alınabilirler, faydalı ve gerçekte var olan kurgular olarak.' 48 Ayrıca, yaklaşık on yıl sonra aynı ifadelerle bunu bir daha söylediğinden bu karşılaştırmanın ne açıdan hatalı olduğunu hiç anlamadığı görülür. 49 Fakat her halukarda, niyetinin infinitezimal nicelikleri belirlenmiş nicelikler olarak sunmak olmadığını kesin bir ifadeyle belirttiği için, bu karşılaştırmanın O'nun için şu anlama geldiği sonucuna varmamız gerekiyor: bir kum tanesi, sonsuz küçük olmasa bile, hissedilir bir dezavantajı olmaksızın, dünyaya göre öyleymiş gibi düşünülebilir ve bu yüzden sonsuz 44 Ruzikruziyan bir dille bu durumun, O nun characteristica universalis projesinin başarısızlığı kadar hatta ondan daha fazla, 'dil yeteneği'nin doğası hakkında teorik bir fikre sahip olmasına rağmen, kendisinin bu yeteneğe etkili bir şekilde sahip olmadığını ispatladığı söylenebilir. 45 'Memoire de M.G.G. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul differentiel', Journal de Trevoux, Verignon'a mektup, 2 Şubat İmajineri kökler negatif sayıların kökleridir. Negatif sayı problemi ve neden olduğu mantıksal zorlukları ileride konuşacağız. 48 Verignon'a mektup, 14 Nisan Yukarıda atıf yapılan Memoire, Acta Eruditorum, Leipzig,

20 küçüğü 'sıkı' bir şekilde (rigorously) anlamak gerekmez, hatta o eğer istenirse sırf bir kurgu olarak dahi görülebilir. Oysa, nasıl alınırsa alınsın, Leibnitz'in kendi gözünde bile kesinlikle yetersiz kalacak olan bu düşünce, infinitezimal hesaba basit bir yaklaşımdan daha başka bir anlam vermek için hiç uygun değildir. 20

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler."

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. Skaler ve Vektörel Büyüklükler. KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler." Eğitişim Dergisi. Sayı: 15 (Mayıs 2007). SKALER VE VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Prof. Dr. Oktay Hüseyin (Guseinov) Hayvanların en basit

Detaylı

Russell ın Belirli Betimlemeler Kuramı

Russell ın Belirli Betimlemeler Kuramı Russell ın Belirli Betimlemeler Kuramı Russell ın dil felsefesi Frege nin anlam kuramına eleştirileri ile başlamaktadır. Frege nin kuramında bilindiği üzere adların hem göndergelerinden hem de duyumlarından

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı

VAN HIELE GEOMETRİ ANLAMA DÜZEYLERİ

VAN HIELE GEOMETRİ ANLAMA DÜZEYLERİ VAN HIELE GEOMETRİ ANLAMA DÜZEYLERİ Van Hiele teorisi, 1957 de, iki matematik eğitimcisi olan Pier M. Van Hiele ve eşi Dina van Hiele-Gelfod tarafından Ultrehct üniversitesindeki doktora çalışmaları sırasında

Detaylı

Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Bilgi Notu Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007

Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Bilgi Notu Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007 Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007 Diyelim ki oyunlarda stratejiler ve davranışlar akıl yürüten insanlar tarafından seçilmiyor, ama oyuncuların genleri tarafından

Detaylı

Muhasebe ve Ürün Fiyatlandırma

Muhasebe ve Ürün Fiyatlandırma Muhasebe ve Ürün Fiyatlandırma İçindekiler - Muhasebede Uzmanlık Alanları - Satış Fiyatı Tespitinde Maliyetlerin Kullanılması - Satış Fiyatı Tespit Yöntemleri 1) Üretim Maliyetine Dayanan Satış Fiyatı

Detaylı

D218 Sosyal Siyaset: Sosyal Yardım, Güç ve Çeşitlilik CDA1: CDA5613

D218 Sosyal Siyaset: Sosyal Yardım, Güç ve Çeşitlilik CDA1: CDA5613 D218 Sosyal Siyaset: Sosyal Yardım, Güç ve Çeşitlilik CDA1: CDA5613 Bölüm 2 Clarke Bu programda D218 ya da bir başka derse çalışmak için en önemli becerilerden birini konuşacağız. Konumuz, not tutmak.

Detaylı

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ 2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ YGS sonrası adayları puan getirisinin daha çok olan LYS ler bekliyor. Kalan süre içinde adayların girecekleri testlere kaynaklık eden derslere sabırla çalışmaları

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

ZAFER TALHA ÇİMEN 8/E - 1453

ZAFER TALHA ÇİMEN 8/E - 1453 ÖZEL EGE LİSESİ (ORTAOKULU) DİN KÜLTÜRÜ ve AHLAK BİLGİSİ KAZA VE KADER (Allah, herkesin ne yapacağını bilip yazdığına göre, insanların hayır işlemesinin bir anlamı var mı? İslam da İnsanın İradeli Fiilleri

Detaylı

SORU : CEVAP: SORU: CEVAP:

SORU : CEVAP: SORU: CEVAP: SORU : Yediemin deposu açmak için karar aldım. Lakin bu işin içinde olan birilerinden bu hususta fikir almak isterim. Bana bu konuda vereceğiniz değerli bilgiler için şimdiden teşekkür ederim. Öncelikle

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

Limit Oyunları. Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012

Limit Oyunları. Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012 Limit Oyunları Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012 1 Giriş Limit ve sonsuzluk kavramlarının anlaşılması birçok insan için zor olabilir. Hatta bazı garip örnekler bu anlaşılması zor kavramlar

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

Bilimsel Yasa Kavramı. Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014

Bilimsel Yasa Kavramı. Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014 Bilimsel Yasa Kavramı Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014 Bilimsel yasa her şeyden önce genellemedir. Ama nasıl bir genelleme? 1.Bekarla evli değildir. 2. Bahçedeki elmalar kırmızıdır 3. Serbest

Detaylı

ÜNİT E ÜNİTE GİRİŞ. Algoritma Mantığı. Algoritma Özellikleri PROGRAMLAMA TEMELLERİ ÜNİTE 3 ALGORİTMA

ÜNİT E ÜNİTE GİRİŞ. Algoritma Mantığı. Algoritma Özellikleri PROGRAMLAMA TEMELLERİ ÜNİTE 3 ALGORİTMA PROGRAMLAMA TEMELLERİ ÜNİTE 3 ALGORİTMA GİRİŞ Bilgisayarların önemli bir kullanım amacı, veri ve bilgilerin kullanılarak var olan belirli bir problemin çözülmeye çalışılmasıdır. Bunun için, bilgisayarlar

Detaylı

İŞ GÜVENLİĞİ İNSAN SAĞLIĞI (EMNİYET-SAFETY) NEDİR?

İŞ GÜVENLİĞİ İNSAN SAĞLIĞI (EMNİYET-SAFETY) NEDİR? İŞ GÜVENLİĞİ İNSAN SAĞLIĞI (EMNİYET-SAFETY) NEDİR? Emniyet kavramı birçok ülkede olduğu gibi; ülkemizde de her seviyedeki kurum, kuruluş, teşkilat ve özellikle bireyler seviyesinde değişik şekillerde ve

Detaylı

A B = A. = P q c A( X(t))

A B = A. = P q c A( X(t)) Ders 19 Metindeki ilgili bölümler 2.6 Elektromanyetik bir alanda yüklü parçacık Şimdi, kuantum mekaniğinin son derece önemli başka bir örneğine geçiyoruz. Verilen bir elektromanyetik alanda hareket eden

Detaylı

Alternatif Akım. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören. Alternatif Akım

Alternatif Akım. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören. Alternatif Akım Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören Paralel devre 2 İlk durum: 3 Ohm kanunu uygulandığında; 4 Ohm kanunu uygulandığında; 5 Paralel devrede empedans denklemi, 6 Kondansatör (Kapasitans) Alternatif gerilimin etkisi

Detaylı

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK Hazırlayan: Sunan: Muhammed ERKUŞ Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK 20047095 20043193 FİBONACCİ SAYILARI ve ALTIN ORAN Fibonacci Kimdir? Leonardo Fibonacci (1175-1250) Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın

Detaylı

MEB kitaplarının yanında kullanılacak bu kitap ve dijital kaynakların öğrencilerimize;

MEB kitaplarının yanında kullanılacak bu kitap ve dijital kaynakların öğrencilerimize; Sayın Veli, Yeni bir eğitim öğretim yılına başlarken, öğrencilerimizin yıl boyunca öğrenme ortamlarını destekleyecek, ders kitaplarını ve kaynak kitapları sizlerle paylaşmak istedik. Bu kaynakları belirlerken

Detaylı

Dil Gelişimi. temel dil gelişimi imi bilgileri

Dil Gelişimi. temel dil gelişimi imi bilgileri Dil Gelişimi Yaş gruplarına göre g temel dil gelişimi imi bilgileri Çocuklarda Dil ve İletişim im Doğumdan umdan itibaren çocukların çevresiyle iletişim im kurma çabaları hem sözel s hem de sözel olmayan

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

SANAT FELSEFESİ. Sercan KALKAN Felsefe Öğretmeni

SANAT FELSEFESİ. Sercan KALKAN Felsefe Öğretmeni SANAT FELSEFESİ Sercan KALKAN Felsefe Öğretmeni Estetik güzel üzerine düşünme, onun ne olduğunu araştırma sanatıdır. A.G. Baumgarten SANATA FELSEFE İLE BAKMAK ESTETİK Estetik; güzelin ne olduğunu sorgulayan

Detaylı

Microsoft Excel Uygulaması 2

Microsoft Excel Uygulaması 2 Microsoft Excel Uygulaması 2 Dört Temel İşlem: MS Excel hücrelerinde doğrudan değerlere ya da hücre başvurularına bağlı olarak hesaplamalar yapmak mümkündür. Temel aritmetik işlemlerin gerçekleştirilmesi

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR SELİM HADAR DANIŞMAN ÖĞRETMEN SANDRA GÜNER ULUS ÖZEL MUSEVİ

Detaylı

HİDROLİK VE PNÖMATİK SİSTEMLERDE DEVRE ÇİZİMİ. Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN

HİDROLİK VE PNÖMATİK SİSTEMLERDE DEVRE ÇİZİMİ. Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN HİDROLİK VE PNÖMATİK SİSTEMLERDE DEVRE ÇİZİMİ Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN SİSTEM: Enerji kullanarak iş yapılmasına olanak sağlayan elemanlar bütününe denir. Sistem üç ana gruptan oluşur. Güç ünitesi Kontrol

Detaylı

PLASTİK ZİNCİRLİ İLETİCİLER. Kaynak: Mühendis ve Makina Cilt : 48 Sayı: 571

PLASTİK ZİNCİRLİ İLETİCİLER. Kaynak: Mühendis ve Makina Cilt : 48 Sayı: 571 PLASTİK ZİNCİRLİ İLETİCİLER Kaynak: Mühendis ve Makina Cilt : 48 Sayı: 571 PLASTİK ZİNCİRLİ İLETİCİLER / İnceleme Aşaması PLASTİK ZİNCİRLİ İLETİCİLER 1- İNCELEME FAALİYETLERİ PLASTİK ZİNCİRLİ İLETİCİLER

Detaylı

17. yy. Dehalar Yüzyılı

17. yy. Dehalar Yüzyılı 17. yy. Dehalar Yüzyılı 20. yy a kadar her bilimsel gelişmeyi etkilediler. 17. yy daki bilimsel devrimin temelleri 14.yy. da atılmıştı fakat; Coğrafi keşifler ile ticaret ve sanayideki gelişmeler sayesinde

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Matematiksel Modelleme Etkinlikleri. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr

Matematiksel Modelleme Etkinlikleri. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr Matematiksel Modelleme Etkinlikleri Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr THE BLIND MEN AND THE ELEPHANT John Godfrey Saxe's (1816-1887) Kafdağında Altı adam

Detaylı

Bulguların Değerlendirilmesi ve Yayına Dönüştürülmesi

Bulguların Değerlendirilmesi ve Yayına Dönüştürülmesi 2237 PROJE EĞİTİMİ ETKİNLİKLERİNİ DESTEKLEME PROGRAMI Bulguların Değerlendirilmesi ve Yayına Dönüştürülmesi Analitik ifade etme ve modelleme Analoji ve Simetri Birimlerde tutarlılık İstatistik Görselleştirme

Detaylı

DUVAR KAĞIDI GRUPLARI

DUVAR KAĞIDI GRUPLARI DUVAR KAĞIDI GRUPLARI Fulya Taştan Bir düzlemi (odanın zeminini, voleybol sahasını) bir çeşit karoyla kaplayabilmek için birbirinden bağımsız en azından iki yönde karoları ötelemek gerekir elbette. Bunu

Detaylı

1.Bu ders ili ilgili temel kavramları ve bunlar arasındaki ilişkileri anladım.

1.Bu ders ili ilgili temel kavramları ve bunlar arasındaki ilişkileri anladım. 10 yanıt Tüm yanıtları görüntüle Analiz bilgilerini yayınla saumatematiksau@gmail.com Bu formu düzenle Özet 1.Bu ders ili ilgili temel kavramları ve bunlar arasındaki ilişkileri anladım. 60% Yüksek 2 %20

Detaylı

KPSS'de çok konuşulan 'vitamin' sorusu ve çözümü

KPSS'de çok konuşulan 'vitamin' sorusu ve çözümü On5yirmi5.com KPSS'de çok konuşulan 'vitamin' sorusu ve çözümü Kaç gündür bir 'vitamin' sorusudur gidiyor. İşte geçtiğimiz günlerde yapılan KPSS sorularında yer alan 'vitamin' sorusu ve çözümü... Yayın

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Derse Genel Bakış Dersin Web Sayfası http://www.mehmetsimsek.net/bm202.htm Ders kaynakları Ödevler, duyurular, notlandırma İletişim bilgileri Akademik

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Algoritmalar ve Karmaşıklık

Algoritmalar ve Karmaşıklık Algoritmalar ve Karmaşıklık Ders 11 Algoritma Ayrık matematikte karşılaşılan bir çok problem sınıfı mevcuttur. Örneğin, verilen tamsayı grubu içindeki en büyük olanının bulunması, verilen bir kümenin bütün

Detaylı

Hipnoz durumu nedir? H İ P N O Z NE DEĞİLDİR? NEDİR? Uyku Uyanık bir durum. Bilinçsiz bir durum Rahatlama durumu. Aldanma Hayalinizde canlandırma

Hipnoz durumu nedir? H İ P N O Z NE DEĞİLDİR? NEDİR? Uyku Uyanık bir durum. Bilinçsiz bir durum Rahatlama durumu. Aldanma Hayalinizde canlandırma Hipnoz ile ilgili olarak hemen hemen herkesin bir fikri vardır. Ve bu fikir genellikle filmlerden öğrenilen birisine adam öldürtmek, hırsızlık yaptırmak gibi genelde olumsuz örneklerden oluşmaktadır. Peki,

Detaylı

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir.

Bütün kümelerin kümesi, X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in Alt kümeleri kümesi de X'in alt kümesidir. Matematik Paradoksları: Doğru Parçası Paradoksu: Önce doğru parçasının tarifini yapalım: Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin

Detaylı

Koçluk, danışanın problemlerini çözüme ulaştırmak ve yolunu aydınlatmaktır.

Koçluk, danışanın problemlerini çözüme ulaştırmak ve yolunu aydınlatmaktır. BEN BĐR YAŞAM KOÇUYUM 7.SEANS Koçluk ve danışmanlık Bazen öyle zamanlar olur ki danışanlarınızın koçluk hizmetinin sınırları içinde olmayan problemlerine yardım etme durumunda kalırsınız. Böyle zamanlarda

Detaylı

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ÜÇ KENAR UZUNLUĞU BELLİ OLAN ÜÇGENLERDE İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM UYGULAMALARI

ÜÇ KENAR UZUNLUĞU BELLİ OLAN ÜÇGENLERDE İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM UYGULAMALARI PROJE RAPORU ÜÇ KENAR UZUNLUĞU BELLİ OLAN ÜÇGENLERDE İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM UYGULAMALARI Geçmiştengünümüze Matematik anlaşılması zor bir bilim dalı olarak görülmüştür.oysa mantığını bir kez kavradığımızda

Detaylı

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI C PROGRAMLAMA DİLİ YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN 1 PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI Program : Belirli bir problemi çözmek için bir bilgisayar dili kullanılarak yazılmış deyimler dizisi. Algoritma bir sorunun

Detaylı

SOLIDWORKS SIMULATION EĞİTİMİ

SOLIDWORKS SIMULATION EĞİTİMİ SOLIDWORKS SIMULATION EĞİTİMİ Kurs süresince SolidWorks Simulation programının işleyişinin yanında FEA teorisi hakkında bilgi verilecektir. Eğitim süresince CAD modelden başlayarak, matematik modelin oluşturulması,

Detaylı

Laboratuvara Giriş. Adnan Menderes Üniversitesi Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü TBT 109 Muavviz Ayvaz (Yrd. Doç. Dr.) 3. Hafta (03.10.

Laboratuvara Giriş. Adnan Menderes Üniversitesi Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü TBT 109 Muavviz Ayvaz (Yrd. Doç. Dr.) 3. Hafta (03.10. ADÜ Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü Laboratuvara Giriş Adnan Menderes Üniversitesi Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü TBT 109 Muavviz Ayvaz (Yrd. Doç. Dr.) 3. Hafta (03.10.2013) Derslik B301 1 BİLGİ EDİNME İHTİYACI:

Detaylı

ZAMBAK 3.Sınıf Hayat Bilgisi Konu Başlıkları

ZAMBAK 3.Sınıf Hayat Bilgisi Konu Başlıkları ZAMBAK 3.Sınıf Hayat Bilgisi Okul Heyecanım 1 10. kazanımlar Okul Heyecanım 11 20. kazanımlar Okul Heyecanım 21 30. kazanımlar Benim Eşsiz Yuvam 1 6. kazanımlar Benim Eşsiz Yuvam 7 20. kazanımlar Benim

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

7.Ünite: ESTETİK ve SANAT FELSEFESİ

7.Ünite: ESTETİK ve SANAT FELSEFESİ 7.Ünite: ESTETİK ve SANAT FELSEFESİ Estetik ve Sanat Felsefesi Estetiğin Temel Soruları Felsefe Açısından Sanat Sanat Eseri Estetiğin Temel Kavramları Estetiğin Temel Sorunlarına Yaklaşımlar Ortak Estetik

Detaylı

ADC Devrelerinde Pratik Düşünceler

ADC Devrelerinde Pratik Düşünceler ADC Devrelerinde Pratik Düşünceler ADC nin belki de en önemli örneği çözünürlüğüdür. Çözünürlük dönüştürücü tarafından elde edilen ikili bitlerin sayısıdır. Çünkü ADC devreleri birçok kesikli adımdan birinin

Detaylı

Görünüş çıkarmak için, cisimlerin özelliğine göre belirli kurallar uygulanır.

Görünüş çıkarmak için, cisimlerin özelliğine göre belirli kurallar uygulanır. Görünüş Çıkarma Görünüş çıkarma? Parçanın bitmiş halini gösteren eşlenik dik iz düşüm kurallarına göre belirli yerlerde, konumlarda ve yeterli sayıda çizilmiş iz düşümlere GÖRÜNÜŞ denir. Görünüş çıkarmak

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

Yılmaz Özakpınar İNSAN. İnanan BIr Varlık

Yılmaz Özakpınar İNSAN. İnanan BIr Varlık Yılmaz Özakpınar İNSAN İnanan BIr Varlık Yılmaz Özakpınar; 1934 te Boyabat ta doğdu. 1957 de İs tanbul Üniversitesi Edebiyat Fakültesi Felsefe Bölümü n den, 1960 ta Cambridge Üniversitesi Biyoloji Fakültesi

Detaylı

ORGANİZASYON LİMİTED ŞİRKETİ İÇİNDEKİLER

ORGANİZASYON LİMİTED ŞİRKETİ İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER 1. İçindekiler 2. Önsöz 3. Üye 4. Menejerler ve Liderler 5. Önce ekip ve kota bilgisi 6. Bronz Menejerler 7. Gümüş Menejer 8. Altın Menejer 9. Platin Menejer 10. Direktörler 11. Zümrüt Lider

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJE KESİN RAPORU EGE UNIVERSITY SCIENTIFIC RESEARCH PROJECT REPORT. 4,5 cm

EGE ÜNİVERSİTESİ BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJE KESİN RAPORU EGE UNIVERSITY SCIENTIFIC RESEARCH PROJECT REPORT. 4,5 cm A4 2,5cm YAZI KARAKTERİ: TIMES NEW ROMAN EGE ÜNİVERSİTESİ BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJE KESİN RAPORU EGE UNIVERSITY SCIENTIFIC RESEARCH PROJECT REPORT İLK PENCERE: Proje adı 12 punto ile en fazla 38 Karakter

Detaylı

Asal sayılar. II denklem. I denklem

Asal sayılar. II denklem. I denklem Asal sayılar I denklem II denklem 5 ( n+1 ) + n 5.1+0 = 5 5.2+1 = 11 5.3+2 = 17 5.4+3 = 23 5.5+4 = 29 *5.6+5 =35= 5.7 5.7+6 = 41 5.8+7 =47 5.9+8 =53 5.10+9 =59 * 5.11+10 =65=5.13 5.12+11 =71 * 5.13+12

Detaylı

Aristo Metafiziği ile Gazali Metafiziğinin Karşılaştırılması- SH. Bolay.Kültür Bak. Yay. 1976 s.40-46

Aristo Metafiziği ile Gazali Metafiziğinin Karşılaştırılması- SH. Bolay.Kültür Bak. Yay. 1976 s.40-46 Madde ve Sûret Anlayışı Aristo, Metafizik'in VIII. kitabında daima sorulmuş olan "varlık nedir?" sorusunun aslında "cevher nedir?" sorusundan ibaret olduğunu söylüyordu." 9 Bu bakımdan cevher aynı zamanda

Detaylı

Genel Yetenek Değerlendirmesi GIA TESTLERĐ ÖNEMLĐ. Test oturumundan önce lütfen dikkatlice okuyunuz

Genel Yetenek Değerlendirmesi GIA TESTLERĐ ÖNEMLĐ. Test oturumundan önce lütfen dikkatlice okuyunuz ΑΒ Genel Yetenek Değerlendirmesi GIA TESTLERĐ ÖNEMLĐ Test oturumundan önce lütfen dikkatlice okuyunuz ΑΒ İÇİNDEKİLER GENEL GİRİŞ Test 1 MANTIK YÜRÜTME Test 2 GÖRSEL ALGILAMA HIZI Test 3 NÜMERİK HIZ VE

Detaylı

Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları)

Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Daha önce kanıtlamaların geçerliliği üzerine söylenenlerden hatırlanacağı gibi, bir kanıtlamanın geçerli olabilmesi için o kanıtlamadaki öncüller

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

Küresel Aynalar Testlerinin Çözümleri. Test 1 in Çözümleri

Küresel Aynalar Testlerinin Çözümleri. Test 1 in Çözümleri üresel Aynalar estlerinin Çözümleri 1 est 1 in Çözümleri. v 1,5 1. A B A B B A ışınının ʹ olarak yansıyabilmesi için ların odak noktaları çakışık olmalıdır. Aynalar arasındaki uzaklık şekilde gösterildiği

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

OPTİK Işık Nedir? Işık Kaynakları Işık Nasıl Yayılır? Tam Gölge - Yarı Gölge güneş tutulması

OPTİK Işık Nedir? Işık Kaynakları Işık Nasıl Yayılır? Tam Gölge - Yarı Gölge güneş tutulması OPTİK Işık Nedir? Işığı yaptığı davranışlarla tanırız. Işık saydam ortamlarda yayılır. Işık foton denilen taneciklerden oluşur. Fotonların belirli bir dalga boyu vardır. Bazı fiziksel olaylarda tanecik,

Detaylı

2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI

2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI MEHMET ÖZÖNCEL ANADOLU LİSESİ REHBERLİK SERVİSİ 2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI TÜRKÇE 2013 YGS soruları geçmiş yıllardaki sınav müfredatına uygun olarak geldiği söylenebilir. 2013 YGS soruları,

Detaylı

ÖZGÜVEN SAĞLAMA VE DESTEK OLMA. Dyt. Gülay TÜRKMEN

ÖZGÜVEN SAĞLAMA VE DESTEK OLMA. Dyt. Gülay TÜRKMEN ÖZGÜVEN SAĞLAMA VE DESTEK OLMA Dyt. Gülay TÜRKMEN AMAÇ: Annenin kendine güvenini sağlayıp destek olabilmek. Öğrenim hedefleri: Annenin duygularını anlayıp kabul etmeli, Doğru uygulamaları övebilmeli, Az

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Mikroişlemcilerde Aritmetik

Mikroişlemcilerde Aritmetik Mikroişlemcilerde Aritmetik Mikroişlemcide Matematiksel Modelleme Mikroişlemcilerde aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) bu iş için tasarlanmış bütünleşik devrelerle yapılır. Bilindiği

Detaylı

İLETİŞİM TEKNİKLERİ UYGULAMALARI

İLETİŞİM TEKNİKLERİ UYGULAMALARI İLETİŞİM TEKNİKLERİ UYGULAMALARI Ne söylediğinizi önce siz anlayın, Ne istediğinizi bilin, İletişim kurduğunuz kişi yada kişilerin durumunu iyi gözlemleyin, uygun olunmayan bir zamanda iletişim kurmaya

Detaylı

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN GİRİŞ Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda

Detaylı

1. Lütfen Araştırın!

1. Lütfen Araştırın! GENEL BİLGİLER Bu dokümantasyonu meydana getirmekteki temel amacımız, belirsizlikleri asgari düzeye indirgemek ve bazı konularda düşünmenizi sağlamaktır. Birçoğunuzun ilk defa duyduğu bu hizmetlerle ilgili

Detaylı

GİZEMLİ ALTIGEN. Kitapta bu altıgen hakkında şu bilgiler yer alır:

GİZEMLİ ALTIGEN. Kitapta bu altıgen hakkında şu bilgiler yer alır: GİZEMLİ ALTIGEN Edip Yüksel in Üzerinde 19 Var kitabının İngilizce versiyonu olan Nineten God s Signature in Nature and Scripture adlı kitapta, 304. sayfada Gizemli Altıgen başlıklı bir konu yer alır.

Detaylı

6 Sofistlerin O rtaya Ç ıkışın d a Etkili O lan Felsefe-D ışı N edenler ıo Felsefi N ed enler

6 Sofistlerin O rtaya Ç ıkışın d a Etkili O lan Felsefe-D ışı N edenler ıo Felsefi N ed enler İçindekiler xiii Önsöz ı BİRİNCİ KISIM Sofistler 3 1 Giriş 6 Sofistlerin O rtaya Ç ıkışın d a Etkili O lan Felsefe-D ışı N edenler ıo Felsefi N ed enler 17 K a y n a k la r 17 Sofistlerin G enel Ö zellikleri

Detaylı

Türkçe Ulusal Derlemi Sözcük Sıklıkları (ilk 1000)

Türkçe Ulusal Derlemi Sözcük Sıklıkları (ilk 1000) Türkçe Ulusal Derlemi Sözcük Sıklıkları (ilk 1000) 14.08.2014 SIRA SIKLIK SÖZCÜK TÜR AÇIKLAMA 1 1209785 bir DT Belirleyici 2 1004455 ve CJ Bağlaç 3 625335 bu PN Adıl 4 361061 da AV Belirteç 5 352249 de

Detaylı

Zambak 3. Sınıf Hayat Bilgisi

Zambak 3. Sınıf Hayat Bilgisi Zambak 3. Sınıf Hayat Bilgisi Okul Heyecanım 1-10. kazanımlar Okul Heyecanım 11-20. kazanımlar Okul Heyecanım 21-30. kazanımlar Benim Eşsiz Yuvam 1-6. kazanımlar Benim Eşsiz Yuvam 7-20. kazanımlar Benim

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Mehmet Teber m.teber@yahoo.com

Mehmet Teber m.teber@yahoo.com Tutarlı olmak için hepimiz bilinçli ya da bilinçsiz bir çaba gösteriyoruz. Bir davranışımızın diğer davranışımızla, bir sözümüzün diğer bir sözümüzle çelişmemesi için dikkat ediyoruz. Tutarlı olmak, biz

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru

Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru Aldemir, S. (004). Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru, İlköğretim-Online, 3(), 4-47, [Online]: http://ilkogretim-online.org.tr Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru Salih ALDEMİR salihaldemir65@mynet.com

Detaylı

LİDER DEĞİŞİRKEN. Prof. Dr. Necmi Gürsakal ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ İ.İ.B.F. ÖĞRETİM ÜYESİ

LİDER DEĞİŞİRKEN. Prof. Dr. Necmi Gürsakal ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ İ.İ.B.F. ÖĞRETİM ÜYESİ LİDER DEĞİŞİRKEN Prof. Dr. Necmi Gürsakal ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ İ.İ.B.F. ÖĞRETİM ÜYESİ I. GİRİŞ Güngör Uras bir köşe yazısında şöyle diyordu : Türkiye deki sanayi yatırımla-rının yarısından fazlasını gerçekleştiren,

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

İSLAM KURUMLARI VE MEDENİYETİ

İSLAM KURUMLARI VE MEDENİYETİ DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. İSLAM KURUMLARI VE MEDENİYETİ KISA ÖZET

Detaylı

İstatistiksel Süreç Kontrol KAZIM KARABOĞA

İstatistiksel Süreç Kontrol KAZIM KARABOĞA İstatistiksel Süreç Kontrol KAZIM KARABOĞA KALİTENİN TARİHSEL KİMLİK DEĞİŞİMİ Muayene İstatistiksel Kalite Kontrol Toplam Kalite Kontrol Toplam Kalite Yönetimi İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL İstatistiksel

Detaylı

KAR / ZARAR GRAFİKLERİ

KAR / ZARAR GRAFİKLERİ KR / ZRR GRFİKLERİ Y eksen çizgisi K R - Z R R Dayanak Varlık Fiyatı X eksen çizgisi EKSEN ÇİZGİLERİ Y eksen çizgisi elde edilen kar veya zararı gösteren eksendir. Y eksen çizgisinde bulunup X eksen çizgisinin

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler 22 Şubat 2002 Problem 2.1 İçi boş bir metalik küre içerisindeki bir noktasal yükün elektrik alanı - Gauss Yasası İş Başında Bu problemi

Detaylı