İKİ VE ÜÇ BOYUTLU DÜŞÜNME: İKİ VE ÜÇ BOYUTLU GEOMETRİKSEL ŞEKİLLERLE BAZI ÖZDEŞLİKLERİN GÖRSELLEŞTİRİLMESİ

Transkript

1 Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi İKİ VE ÜÇ BOYUTLU DÜŞÜNME: İKİ VE ÜÇ BOYUTLU GEOMETRİKSEL ŞEKİLLERLE BAZI ÖZDEŞLİKLERİN GÖRSELLEŞTİRİLMESİ M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN A.Ü. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Matematik Bölümü, Erzurum. Özet Bu çalışmada, Türkiye de özdeşliklerdeki mevcut öğretme stratejileri tartışıldı. Bazı özdeşliklerin geometriksel gösterimleri verildi. Bu geometriksel gösterim tekniğinin özdeşlik öğretimin kalitesini yükseltmesi beklenir. Anahtar kelimeler: Özdeşlikler, Özdeşliklerin Öğretimi, Görselleştirme TWO OR THREE DIMENSIONAL THINKING: VISUALIZATION OF SOME IDENTITIES WITH TWO AND THREE DIMENSIONAL GEOMETRICAL FIGURES Abstract In this study, Current identity teaching strategies in Turkey are discussed. Geometrical visualization of some identities is given. These geometrical teaching strategies are epected to improve the quality of identity teaching. Key words: Identities, Identity Teaching, Visualization 1. Giriş Görsellik bizim biyolojiksel ve sosyo-kültürel olgumuzun merkezidir. Dünya hakkında bilgi edinmemizde en önemli kaynak görme duyusudur. Yani bir çok nesnenin görüntüsüne bakarak o nesne hakkında bir bilgi sahibi oluruz. Daha sonrada görüntüsüne göre yorum yapar ona göre karar veririz. Ne yapacak olursak olalım önce yapacak olduğumuz işi görmek isteriz. Bir işe girmeden önce yapacak olduğumuz işi, ev kiralamadan yada satın almadan önce evi, araba almadan önce de arabayı görmek isteriz. Çünkü görünmeyen şey bizim için kapalı bir kutu, bir gizem veya risktir. Aslında görünmeyen demekle, görme duyumuzun sınırlı olmasından dolayı çok uzakta yada çok küçük olan nesneleri göremediğimizi kastederiz. Görünmeyen nesneleri görünür hale getiren, görme duyusunun sınırlılıklarını ortadan kaldıran teknolojik aletler geliştirildi. Örneğin geliştirilen bu aletlerden mikroskopla görünmeyen canlıları, teleskopla çok uzakta olan gezegenleri görme fırsatı bulduk ve bu nesnelerin gizemleri çözüldü. October 005 Vol:1 No: Kastamonu Education Journal

2 58 M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN Mecazi veya derin manada görünmeyeni görmek ise görme ile ilgili olmayan veya elektronik teknolojisinin bizim için görselleştirdiği soyut şeyleri kastederiz. Matematiksel kavramların büyük bir kısmı da soyut olan şeylerdir. Matematikte görselleştirme, özellikle görselleştirmeye olanak sağlayan bilgisayar teknolojisi ile uğraşanların ve matematik eğitimiyle ilgilenen pek çok araştırmacının ilgi alanı olmuştur ( 1,, ). Bir çok araştırmacı matematik öğretimi için görsel düşünmenin ve görselleştirmenin önemini vurgulamakta.( 4, 5, 6, 7 ) Çünkü görselleştirme, karmaşık ve soyut olan matematik konularının daha iyi anlaşılmasına olanak sağlar. Resimler ve şekiller, örneklerin gözlemlenmesi karmaşık işlemlerin sezgisel olarak anlaşılması veya soyut (uzamsal) ilişkiler kurma gibi zihinsel işlemleri harekete geçirir. Bundan dolayı resimler ve şekiller, anlama sürecine yardım eden araçtır. Resimlere bakarak, gerçek dünyanın davranışlarını ve gidişatını anlamada resimleri düşünme aracı gibi kullanırız. Matematikte görselleştirmenin en önemli faydası çok soyut olan şeyi daha az soyuta yada somut hale dönüştürmesidir. Bu, özellikle soyut olan matematik konularını anlamada zorlanan öğrenciler için çok önemlidir. Görselleştirmenin diğer bir faydası da bireylerde boyutlu düşünebilme yetisini geliştirmesidir. Öğrenci merkezli, sorgulayarak öğretme ve iki yada üç boyutlu düşünme esasına göre ezbersiz eğitimin uygulanması ilköğretimin ikinci kademesinde ve lisede özdeşliklerin öğretim kalitesini artırır. Şekil ve boyut kavramlarının yerleşmesi, çocuğun düşünce dünyasını ve bilişsel gelişimini olumlu yönde etkiler dolayısıyla çocuğun iki yada üç boyutlu düşünme yeteneğini geliştirir. İki yada üç boyutlu düşünme yeteneğini geliştiren çocuklar olaylara farklı açılardan bakarak fikir alışverişi ve toplu tartışma bilinci kazanırlar. Görselleştirme çalışanların bir grubunun argümanları günümüzdeki ve geçmişteki matematikçilerin görselleştirme için yapmış oldukları görsel formları göstermektir (4, 5). Bir başka grup ise öğrencilerin matematik yapmalarında alternatif ve güçlü bir kaynak olan görsel düşünmeyi önerirler (8). Diğer bir grup ise çeşitli araştırmalarında problem çözmede görsel düşünmeyi ve görselleştirmenin özel örneklerini çalıştılar. Onların çoğu öğrencilerin çözüm stratejilerini görsel olan ve görsel olmayan diye iki sınıfa ayırmaya çalıştılar. (9, 10 ) Bu çalışmada Türkiye de öğrencilerin ilk kez ilköğretimin 8. sınıfında ve daha sonraki matematik yaşantılarının her döneminde karşılaştıkları özdeşliklerin açılımlarının geometrik gösterimi ve yorumu üzerinde durulacaktır. Bu çalışmanın diğer bir amacı da haz alınacak bir öğretme ve öğrenme amacıyla iki yada üç boyutlu araçları kullanarak bazı özdeşlikleri kavratmaktır. Bu gerçekleştirildiğinde öğrencinin bilgiyi sunma, saklama ve bilgiyi hatırlama gibi bir çok işlemi otomatik olarak yapabilme yeteneği gelişir. Kısaca amacımız düşünceleri görünür biçime dönüştürerek anlamlı kılmaktır.. Özdeşlikler ve Açılımları Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma konusu matematiğin en temel ve en zor öğrenilen konularından birisidir. Öyle ki dershanelerde özdeşlikler ve çarpanlara ayırma ile ilgili soruların çözümleri özdeşliklerin özellikleri kullanılarak değil de başka yöntem ve teknikler kullanılarak çözülmekte. Çarpanlara ayırma ve özdeşlikler ilköğretimin 8. Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi

3 İki ve Üç Boyutlu Düşünme: İki ve Üç Boyutlu Geometriksel Şekillerle Bazı Özdeşliklerin 59 sınıfından itibaren matematik öğretiminin her aşamasında ya direkt olarak yada polinomlardan tutunda integrale kadar bir çok konuda ara işlem olarak kullanılmaktadır. Özdeşliklerin ve çarpanlara ayırmanın diğer matematik konularında kullanılmasının önemli olmasının yanında matematik eğitimi açısından önemli olan bunların nasıl öğretildiğidir. Öğrencilerin bu konularla karşılaştıkları dönem olan ilköğretim 8. sınıf (11, 1, 1, 14 ) ve daha sonraki dönemdeki matematik kitaplarına ( 15 ) baktığımızda özdeşliklerin geleneksel olarak ezbere dayalı bir öğretimle öğretildiğini ve bu kaynaklara paralel olarak okullarda da bu konuların mantığı verilmeden, içi doldurulmadan ezberci bir anlayışla öğretildiğini görüyoruz. Biz ise bu geleneksel öğretim yöntemleriyle beraber özdeşliklerin görselleştirilmesini öneriyoruz. Çünkü görselleştirme çarpanlara ayırma ve özdeşliklerin öğretilmesinde öğrenmeyi kolaylaştırır ( 16 ). Ayrıca öğrencilerin kuralları kendilerinin keşfetmelerine olanak sağlar ( 17 ). Öncelikle burada nin cebirsel ve geometriksel olarak yorumu verilmeye çalışacak..1 nin Cebirsel ve Geometriksel Anlamı Öğrencilerin daha önceki dönemlerde ye karşı bir aşinalıkları vardır. Mutlaka her öğrenci buna benzer ifadeleri belki şeklinde değil ama aritmetik bir değerin karesini (,10,5...gibi) görmüşlerdir. Öğrenciler yi gördüğünde bu ifadenin bir üslü sayı olduğunu ve in kendisiyle çarpımına eşit olduğunu bilirler. Yani dir. Esas olan nin geometriksel olarak ne anlama geldiğini bilip yi önce zihninde daha sonrada kağıt üzerinde görselleştirmesidir. Yani nasıl ki masa denildiğinde öğrencinin zihninde ayakları ve çekmecesi olan üstü düz bir nesne canlanıyor ise denildiğinde de aşağıdaki gibi eni ve boyu br olan bir karenin alanı öğrencinin zihninde oluşmalı ki kalıcı öğrenme olsun. Çünkü öğrenme bireyin içsel süreçlerle gerçekleştireceği bir eylemdir.. Şekil -1 Aksi taktirde eğer öğrenci öğrenmiş olduğu şeyi zihninde canlandırmıyor ise öğrencinin öğrendiği zannedilen sadece ezberlenmiştir.. ( y) ve ( y) İfadelerinin Cebirsel Açılımı ve Geometriksel Gösterimi ( y) ve ( ) y ifadeleri özdeşlikte tam kare ifadeleri olarak bilinirler. Bu ifadelerin açılımları birbirine yakın olduklarından dolayı beraber verilir. ( ) ( y) tam kare ifadelerin ders kitaplarındaki öğretiliş şekline bakıldığında bu ifadelerin iki şekilde verildiği görülür. y ve October 005 Vol:1 No: Kastamonu Education Journal

4 50 M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN Birincisi tamamen ezberlemeye dayalı bir yöntem olup şu şekildedir: Tam kare şeklindeki ifadeleri çarpanlara ayırırken, y y y y y y özdeşliklerinden yaralanılır denilip arkasından örnek verilen öğretim tekniğidir. İkinci yaklaşım ise birincisine göre nispeten içinin doldurulmaya çalışıldığı öğretme tekniğidir. Burada ise, ( y) ve ( y) nin bir üslü sayı olduğu söylenip, y y. y y y yy y y y y y ve y y. y y y yy y y y y y şeklinde açılımları yapılıp daha sonra genelleştirmeye gidilir. Burada önerdiğimiz şey ikinci yaklaşımın görselleştirilmeyle sunulmasıdır. Bu y durum analiz yöntemine de uygun bir öğretim biçimidir. gibi bir kenarının uzunluğu y br.olan iki boyutlu bir karenin alanıdır. nin anlamı aşağıdaki Şekil Şekil deki alanların toplamı bir kenarı y br olan karenin alanına eşittir. Karenin alanının iki kenarının çarpımı olduğu biliniyor. Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi

5 İki ve Üç Boyutlu Düşünme: İki ve Üç Boyutlu Geometriksel Şekillerle Bazı Özdeşliklerin 51 yani karenin alanı ( y)( y) y dir. y 1. alan. alan. alan 4. alan böylece öğrenci olduğunu görerek kendisi bulabilir. y y y yy y y y y y y y olur. y nin geometriksel olarak ne anlama geldiğini ve açılımın ne Aynı mantıkla devam edersek y ise aşağıdaki gibi gösterilen bir kenarı br olan karenin kenarından y br çıkarılması ile elde edilen karenin alanıdır. y Şekil- şekil- de 1 ile gösterilen bölgenin alanıdır. Bu alanı bulmak için toplam alandan yani uzunluğu br olan karenin alanından, ve 4 ile gösterilen alanlar çıkartılır. y y y y y y y y y y y yy y ( y y ) y y y October 005 Vol:1 No: Kastamonu Education Journal

6 5 M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN Öğrenci yine bu şekilde y nin geometriksel olarak ne anlama geldiğini ve y nin cebirsel olarak ta açılımının ne olduğunu görür ve kendisi y bulabilir.. y İfadesinin Cebirsel Açılımı ve Geometriksel Gösterimi açılımını y iki kare farkı diye bilinen bu ifade çarpanlara ayırmada ve diğer matematik konularında en fazla kullanılan özdeşliklerden biridir. Bu özdeşliğin öğretilmesinde de diğer özdeşliklerde olduğu gibi iki yaklaşım vardır. Birinci yaklaşım tamamen ezbere dayalı olup şu şekildedir: İki kare farkı şeklindeki ifadeler çarpanlarına ayrılırken y y y özdeşliğinden faydalanılır. Bunu adınız gibi bileceksiniz denilir ve arkasından bununla ilgi 9 y? 8116 y? gibi birkaç örnek yapılır. İkinci yaklaşım ise yine o seviyedeki öğrencinin kolay- kolay göremeyeceği parçadan bütüne ( tümevarım yöntemi) şeklindeki aşağıdaki yaklaşımdır. y y ifadelerinin çarpılması istenir. Çarpımın sonucu, y y y y yy y y y y y y y y şeklinde bulunur. Daha sonra da sözlü olarak iki kare farkı birinci terimle ikinci terimin toplamıyla farkının çarpımına eşittir denir, yazdırılır ve örneklere geçilir. O halde iki kare farkında öncelikle y nin geometriksel olarak ne anlama geldiğinin kavratılmasını öneriyoruz. Geometriksel olarak aşağıda gösterildiği gibi y ifadesi bir kenarının uzunluğu br olan büyük karenin alanından bir kenarının uzunluğu y br olan küçük bir karenin alanının çıkarılmasıdır. Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi

7 İki ve Üç Boyutlu Düşünme: İki ve Üç Boyutlu Geometriksel Şekillerle Bazı Özdeşliklerin 5 Şekil-4a Şekil-4b Şekil-4a yı önce Şekil-4b ye daha sonra da aşağıdaki gibi Şekil-4c ye dönüştürebiliriz. Şekil-4c Oluşan bu şekil eni (-y) br ve boyu y çarpanlara ayırma ve özdeşliği görmeden önce altıncı sınıfta October 005 Vol:1 No: Kastamonu Education Journal br olan bir dikdörtgendir.dikdörtgenin alanı ise eni ile boyunun çarpımına eşittir. Dolayısıyla yukarıda iki karenin farkı olan alan dikdörtgenin alanına eşittir.yani y ifadesi y ile y nin çarpımına eşittir buradan da ( y ) ( y)( y) ifadesini yazabiliriz.. Üç Boyutlu Küp Açılımları Şu ana kadarki ifadeler iki boyutlu alanlarla gösterilebilen ikinci dereceden açılımlardı. Şimdi de üçüncü dereceden olan ifadelerin açılımlarını ve geometriksel gösterimi vermeye çalışacağız. İlk olarak ün cebirsel ve geometriksel olarak ne anlama geldiği üzerinde duracağız. Türk Milli Eğitim müfredatına göre bir öğrenci,,..., gibi üslü

8 54 M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN sayıları görürler. Bunun cebirsel olarak üç tane sayının yan yana yazılarak çarpılması olduğunu da bilir. Yani.. tir. Fakat öğrenciye ün geometriksel anlamının ne olduğu sorulursa öğrenci okumuş olduğu kitaplarda (11, 1, 1, 14 ) böyle bir şeyi görmediği için bilemeyecektir. ü gördüğünde öğrencinin zihninde cebirsel anlamının yanında Bir öğrenci aşağıdaki gibi boyutları br olan bir küp şekillenmiyorsa bize göre, öğrenci ü tam olarak anlayamamış demektir. Şekil-5 Öğrencilerden Şekil-5 in hacmini bulmalarını isteriz. Şekil-5 teki gibi üç boyutlu düzgün bir prizmanın hacminin taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşit olduğu öğrenciler tarafından bilinmektedir. Hacmi V ile gösterirsek V = taban alanı yüksekliktir: V olduğu görülür. Yani birim olan bir küpün hacmidir. V.. ün geometriksel anlamı eni, boyu ve yüksekliği.1. ( ) y ve ( ) y ün Cebirsel Açılımı ve Geometriksel Gösterimi Yine ( y) ün ve ( y) ün öğretilmesinde de daha önceki kare açılımlarında olduğu gibi iki yaklaşımın var olduğunu görüyoruz. Bunlardan birincisi, farkların ve toplamın küpü şeklindeki açılımların çarpanlara ayrılmasında aşağıdaki özdeşlikten faydalanılır. ( y) y y y ( y) y y y denilen ve tamamen öğrencinin bu ifadeleri ezberlemesi üzerine dayanan bir öğretim şeklidir. İkincisi ise cebirsel açılımının mantığının verilmeye çalışıldığı fakat yine öğrencinin zihninde somut bir şeklin oluşmadığı öğretim yaklaşımıdır. O Halde ( y) ve ( y) ün gibi bir üslü sayı olduğu söylenir. Üslü sayı olduğundan Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi

9 İki ve Üç Boyutlu Düşünme: İki ve Üç Boyutlu Geometriksel Şekillerle Bazı Özdeşliklerin 55 dolayı ( y) ün tane (-y) ve olduğu söylenir. Buna göre ( y) y ünde tane y ( ) nin açılımı ( y) ( y).( y).( y) ( y) ( y y y )( y) ( y) ( y y )( y) ( y) y y y y y ( y) y y y nin çarpımına eşit olup ve ( ) y ün açılımı da; ( y) ( y).( y).( y) ( y) ( y y y )( y) ( y) ( y y )( y) ( y) y y y y y ( y) y y y şeklinde olduğu genellemesine gidilir. Bu yaklaşımın 1. yaklaşıma göre daha iyi olduğu görülüyor. y Burada yine ikinci yaklaşımla beraber y gösteriminin yapılarak ün aşağıdaki gibi geometriksel ün açılımının yapılmasını öneriyoruz. Aşağıdaki Şekil- 6a daki küp, uzunluğu br olan bir küptür. Bu küpün eninden, boyundan ve yüksekliğinden y br çıkartılarak 1 numaralı küp elde edilir. 1 numaralı küpün hacmini 1 v i bulmak için uzunluğu br olan küpün hacminden ( v ), ( v ), 4( ) numaralı hacimler çıkarılır. v4 October 005 Vol:1 No: Kastamonu Education Journal

10 56 M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN Şekil-6a ( y) ün Geometriksel gösterimi Şekil-6a ya dikkat edilirse v.den üç tanedir. Biri v 1 in altında (bu sınıf ortamında öğrencilere daha rahat gösterilebilir), v ten de yine tanedir. O halde v v v v y. y. y. y. y. y y. y. y. y y. y. y. y y y 6y y y y y y y y y y y v1 v y y y y olarak bulunur. Şekil-6b ye baktığımızda ise bir boyutu y br olan bir küp görülmektedir. Şekil-6b deki tüm hacimleri toplandığında bir boyutu y br olan küpün hacmi yani ( ) y ün açılımı bulunur. 1 numaralı prizmanın hacmine 1 v, Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi

11 İki ve Üç Boyutlu Düşünme: İki ve Üç Boyutlu Geometriksel Şekillerle Bazı Özdeşliklerin 57 Şekil-6b ( y) ün Geometriksel gösterimi numaralı prizmanın hacmine v, numaralı prizmaların hacmine (birisi 1 numaralı prizmanın altında olmak üzere tanedir) v,ve 4 numaralı prizmaların hacmine de v 4 denilir ise bunların toplamı ( ) y ün açılımını verir. ( y) v1 v v v4 ( ) y yyy y yy ( y) y y y ( y) y y y açılımın sonucu elde edilir. Bu şekilde öğrenciler geometriksel olarak görürler. ( y) ün açılımını hem cebirsel olarak hem de. y Özdeşliğinin Cebirsel Açılımı ve Geometriksel Gösterimi Bu özdeşliğin öğretilmesinde de diğer özdeşliklerin öğretilmesinde kullanılan yöntemlerden farklı bir yöntemin kullanılmadığını görüyoruz. Burada da yine birincisi tamamen öğrencinin ezberlemesine dayanan ikincisinde ise birincisine göre açılımın mantığının kavratılmaya çalışıldığı iki yaklaşımın hakim olduğunu görüyoruz. İlk yaklaşım şu şekildedir: October 005 Vol:1 No: Kastamonu Education Journal

12 58 M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN y ( y)( y y ) özdeşliklerinden faydalanılır Küpler farkında da denilip. Bu ifadenin öğrenciler tarafından ezberlenmesi istenir. y İkinci yaklaşımda ise bu ifade bulunur. ( y) y y y y ( y) y y y y y y ( ) ( ) y y y y ( )(( ) ) y y y y y ifadesinin açılımından faydalanılarak ( )( ) y ( y)( y y ) Bu yaklaşım birincisine göre daha iyi bir yöntem. Biz ise yine bununla birlikte bu ifadelerin görselleştirilmesinden yanayız. Bizde bu ifadeleri aşağıdaki gibi görselleştirmeye ve bu ifadeleri oradan elde etmeye çalıştık. Aşağıda Şekil-7 bir kenarının uzunluğu br olan bir küpten bir kenarının uzunluğu y br olan küpün çıkarılması ile elde edilmiştir. Aşağıdaki şeklin hacmini bulursak iki küp farkını yani y ü buluruz. Şekil-7 Yukarıda 1 numaralı v 1, numaralı v ve numaralı v hacimleri toplarsak istediğimizi elde ederiz. y = 1 v v + v + Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi

13 İki ve Üç Boyutlu Düşünme: İki ve Üç Boyutlu Geometriksel Şekillerle Bazı Özdeşliklerin 59 y y y yy y y ( ) ( ) ( ) y ( y)( y y ) y ( y)( y y ) olduğu görülür. 4. Tartışma-Sonuç Öğretim yöntem ve teknikleri reformunun çok zor olduğu bilincinden hareket ederek, bu çalışmada özdeşliklerin öğretilmesine dönük yeni bir öğretim tekniği verilmeye çalışılmıştır. Çağdaş eğitim sisteminde geleneksel öğretme tekniklerinin yanında öğrencilerin bazı ayrıntıları daha iyi görmesine olanak sağlayan görselleştirmenin kullanılması matematiğin daha iyi anlaşılmasına ve matematikte başarının arttırılmasına büyük katkı sağlayacaktır. Fakat kötü ve kötüye kullanılan yeni öğretme teknikleri doğal olarak kötü öğretim çıktısına sebep olacaktır. Bundan dolayı yeni öğretim yöntem ve teknikleri iyi kullanılmalı. Bu yeni öğretim yöntemleri ve teknikleri amaç değil konunun daha iyi kavratılması için araç olmalı. Yeni öğretim yöntemlerinin ve tekniklerinin eski yöntem ve tekniklerle birlikte kullanıldıkları taktirde faydalı olacağı unutulmamalı. Kaynaklar 1. Arcavi, A., 00, The role of visual representations in the learning of mathematics, Educational Studies in Mathematics 5: Amrhein, B., Gloor, O. and Maeder, R.;E., 1997 Visualizations for Mathematics Courses Based on a Computer Algebra System J. Symbolic Computation, Nemirovsky, R. and Noble, T. 1997, On mathematical visualization and the place where we live, Educational Studies in Mathematics : 99 11, 4. Horgan, J.: 199, The death of proof, Scientific American October Issue, Dreyfus, T.: 1991, On the status of visual reasoning in mathematics and mathematics education, Proceedings of the 15th Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education 1, Bishop, A.: 1989, Review of research on visualization in mathematics education, Focus on Learning Problems in Mathematics 11(1), Davis, P. and J. Anderson: 1979, Nonanalytic aspects of mathematics and their implication for research and education, SIAM Review 1(1), Barwise, J. and J. Etchemendy: 1991, Visual information and valid reasoning, W. Zimmerman and S.Cunningham (eds.), Visualization in Teaching and Learning Mathematics, Mathematical Association of America, MAA Notes Series, October 005 Vol:1 No: Kastamonu Education Journal

14 540 M. Emin ÖZDEMİR, Adem DURU, Levent AKGÜN 9. Galindo, E.: 1995, Visualization and students performance in technology-based calculus, Proceedings of the 17th Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Shama, G. and T. Dreyfus: 1991, Spontaneous strategies for visually presented linear programming problems, Proceedings of the 15th Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Tobi, H., 001., İlköğretim matematik 8 ders kitabı Sürat yayınları. İstanbul Yaşar, İ., 001., İlköğretim matematik 8 ders kitabı, Önde yayıncılık matbaacılık San. ve Tic. Ltd. Şti. İstanbul. 1. Yıldırım, H., 000., İlköğretim matematik 8 ders kitabı Yaysan matbaacılık A.Ş. Ankara Sönmez, S.,000., İlköğretim matematik 8 ders kitabı, Saray matbaası. Ankara Çetiner, Z., Kavcar, M. ve Yıldız, Y., 1999, Lise 1 matematik ders kitabı Milli Eğitim Basımevi. İstanbul Flusser,P., and Francia, G.,A., 000, Derivation and visualization of the binomial theorem, International Journal of Computers for Mathematical Learning 5: 4, 17. Kara, Y., ve Özgün-Koca, S. A., 004., Buluş yoluyla öğrenme ve anlamlı öğrenme yaklaşımlarının matematik derslerinde uygulanması: İki terimin toplamının karesi Konusu üzerine iki ders planı, İlköğretim-online (1), -10 Ekim 005 Cilt:1 No: Kastamonu Eğitim Dergisi