MAPLE, matematiksel problemleri çözmek ve görselleştirmek için kullanılan bir paket programdır.

Transkript

1 GİRİŞ MAPLE, matematiksel problemleri çözmek ve görselleştirmek için kullanılan bir paket programdır. Bir bilimsel hesap makinesinin yapabildiği her işlemi yapabilmenin yanında, 2-3 boyutlu grafik çizme, sembolik hesaplamalar yapabilme ve özel cebirsel operatörlerin işlemlerini uygulayabilme kapasitesine sahiptir. MAPLE 9 ve sonraki sürümlerinde aşağıda görülen biri kırmızı diğeri sarı olan iki ikonla programa ulaşmak mümkündür. Sarı renkli kısayola sahip klasik çalışma sayfaları; Kırmızı renkli kısayola sahip doküman tipi çalışma sayfaları ise;

2 Yukarıdaki arayüz, menülerin ve menülerde yer alan tuşların tasarımı klasiğe nazaran modernize edilmiş halidir. Biz MAPLE ın klasik penceresinde menü üzerinde açıklamalar yapacağız. Çünkü hem eski hem de yeni versiyonlarında klasik pencere altında çalışmak mümkündür. Klasik pencere için yapılan açıklamalar öğrenilirse bunların modernize edilmiş yeni versiyondaki karşılıklarını bulmak zor olmayacaktır. MAPLE ARAYÜZÜ Windows ta kullanmaya alışık olduğunuz birçok programa benzer bir arayüze sahiptir. Bu arayüz iki ana bölümden oluşur; I. Bölüm: Menü ve bazı özel görevleri olan düğmelerin bulunduğu araç çubuğu II. Bölüm: (Çekirdek-Kernel) Cebirsel editör olarak kullanılan bölüm Sigma standart modu gösterir. Burada metin bölgesine işletilmeyen matematiksel ifade yerleştirilir. T ye tıklandığında MAPLE kilitlenir ve metin moduna geçilir. Burada Word de olduğu gibi metin üzerinde değişiklik yapmak mümkündür. [> butonu tıklandığında tekrar matematik moduna dönülür. Seçilen bölüm için alt klasör kapatma ve açma için kullanılır. Çalışmakta olan hesaplamayı durdurmak için kullanılır. (Ctrl+C de aynı işi yapar) Kernel da büyültme-küçültme yapmak için kullanılır. Aktif çalışma sayfasında gösterilmeyen karakterleri, mesela kelime aralarındaki boşluk miktarını gösermek için kullanılır.

3 [>restart; tır. Çalışma yapılırken değişkenlerin değerlerini sıfırlar, komut olarak kullanımı MAPLE ile etkileşim içinde olacağımız bölüm Çekirdek-Kernel bölümüdür. Matematiksel işlemleri komut olarak buraya yazarız. Bu bölge [> işareti ile başlayan satırdır. Bu satıra yazdığımız herşey özel bir yazı karakteri ve kırmızı renkte görülür. Kurallarına uygun bir MAPLE komutu yazıp ENTER tuşuna basıldığında komut çalıştırılmış olur ve hemen alt satırda mavi renk ile işlemin sonucu görülür. Yardım menüsü MAPLE uygun şekilde kullanıldığında birçok matematiksel kavramı anlamanızı kolaylaştırabilir. Bunun için profesyonel bir MAPLE kullanıcısı olmanıza gerek yoktur. MAPLE komutların nasıl kullanıldığını birkaç örnekle açıklar. Bunun için çekirdek kısmına?komutadı yazmak yeterlidir. Aşağıda bir örneğini verelim.

4

5 MAPLE VE MATEMATİK Komut Satırını Çalıştırmak Her komut ; işareti ile bitirilip ENTER a basıldığında, komut yazımında bir hata yoksa çalıştırılır ve bir alt satırda mavi renkte çıktı görülür. Eğer komut : işareti ile bitirilirse komut çalıştırılır, hesaplama yapılır fakat sonuç ekrana yazdırılmaz, daha sonraki hesaplamalarda kullanılmak üzere hafızada tutulur. Mavi renkli bölgeye müdahale edilemez. Bu mavi renkli sonuçlar kitaplarda görmeye alışık olduğunuz tarzdadır. Komutlar yazılırken bazı kurallara uyulması gerekir, aksi halde MAPLE ne sorulduğunu anlamaz ya da yanlış anlar. Komut ; ile bittiği halde ekranda bir şey gösterilmiyorsa sonucun boş küme olduğu anlaşılmalıdır. Bazı Temel Komutlar MAPLE komut satırına yazılan değerler, aksi belirtilmedikçe çıktı olarak gerçek değerleri ile verilirler. Örneğin; > 1+2; > 5-7; > 3*5; > 9/4; > 68/14; > 2^5; > 5^(2/3); ( 2/ 3 ) > sin(pi/4);

6 2 2 > arccos(-1); > exp(5)+tan(21); > log(45)+sqrt(53); e sayısı sayısı Logaritmik fonksiyonlar > Pi; > evalf(pi); > exp(1); > evalf(exp(1)); > log(10); > ln(10); e 5 tan( 21 ) ln( 45) e ln( 10 ) ln( 10 ) > log[2](10); ln( 10 ) ln( 2 ) Pi yazılırken büyük-küçük harflere dikkat edilmelidir, nin doğru yazılışı Pi şeklindedir. Diğer yazımlar yi verse de hesaplama yapılmaz. exp(x)= demektir. e sayısı yalnızca exp(1) olarak yaılır. MAPLE log ile ln yazımını aynı anlamda varsayar. Logaritma a tabanında b yazılmak isteniyorsa log[a](b) veya taban değiştirme kuralı kullanılarak yazılabilir. e x ln( b ) ln( a ) Ayrıca matematiksel ifadelerde parantez kullanılması gerekiyorsa yalnızca normal parantez () kullanılmalıdır, çünkü MAPLE da köşeli [] veya küme parantezi {} farklı amaçlar için kullanılır, örneğin komut için bir özellik veya şart Özel MAPLE Komutları MAPLE da sıradan matematiksel işlemler haricinde özel komutlar da vardır. Bu komutlar 5000 in üzerindedir. Bu yüzden her birini tek tek açıklamak mümkün değildir.

7 Bir MAPLE komutunun kullanımı genel olarak Komutadı( ) şeklindedir. Parantez içine komut için ihtiyaç duyulan elemanlar(argümanlar) aralarına virgül (, ) konularak yazılır. evalf komutu Genel kullanımı evalf(sayı) şekindedir. Bunun sonucu olarak sayının 10 haneli değerini verir. Eğer sonuç tamsayı ise sonucun sonuna ondalık noktası konularak sonucu verir. > evalf(sin(pi/4)); > evalf(exp(2)+sin(3)-33/7); > evalf(cos(pi)-(21/3)); > evalf(1/2); Eğer sonuçlar farklı basamak sayısıyla gösterilsin isteniyorsa evalf komutu evalf(a,n) veya evalf[n](a) şeklinde kullanılmalıdır. (A=Hesaplanacak ifade veya sayı, n=basamak sayısı) > evalf(pi); > evalf(pi,23); > evalf[53](pi); > evalf(3/2); Fakat bu kullanımlar sadece hesaplanan ifade için geçerlidir. Eğer işlemlerin sonucu sürekli aynı basamakta gösterilsin istenirse bunun için Digits:=n (n=basamak sayısı) komutu kullanılır. Artık bundan sonra girilen basamak sayısı evalf komutu kullanıldığında belirlenen sayı kadar gösterilir. > Digits:=30; > evalf(1/9); > evalf(pi); Digits :=

8 > evalf(9/2); > Digits:=3; > evalf(pi); > Digits:=1000; > Pi; Digits := Digits := 1000 > evalf(%); \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ % işareti bir önceki, %% iki önceki ve %%% üç önceki sonuç demektir, fakat dört ve daha fazlası için kullanılmaz ve hata mesajı verir. > 1+2; > 3+5; > 5+6; > %%; > %%%%; Error, missing operator or `;` / işareti de satırın devam ettiğini gösterir.

9 expand komutu Verilen ifadenin bilinen matematiksel özdeşlikler cinsinden açılımını verir. > (x+3)^2; > expand((x+3)^2); ( x3 ) 2 x 2 6 x9 > expand((3*x+y)^5); 243 x x 4 y270 x 3 y 2 90 x 2 y 3 15 x y 4 y 5 > expand((x-y+3)*(x+3*sqrt(y)-151)); x 2 3 x y148 xx y3 y ( 3/ 2) 151 y9 y453 > expand(sin(a+b)); sin( a ) cos( b ) cos ( a ) sin( b) expand komutu belli bir özelliğe göre de sonuç verebilir. Bunun için expand(ifade,özellik) şeklinde kullanılır. > expand((x+2)*(x^2-y^2)*(z+t),x+2); ( x2 ) x 2 z ( x2 ) x 2 t ( x2 ) y 2 z ( x2 ) y 2 t factor komutu Verilen ifade çarpanlarına ayrılabiliyorsa, ifadeyi çarpanlarına ayrılmış şekilde verir. İfade çarpanlarına ayrıldığında sadeleştirme varsa bu sadeleştirmeyi yaparak sonucu ekrana yazdırır. > factor(6*x^2-18*x-24); > factor((y^2-x^2)/(x+y)); 6 ( x1 ) ( x4 ) yx > factor((x^3-y^3)/(x^4-y^4)); factor komutu da belli bir özelliğe göre sonuç verebilir. Bunun için factor(ifade,özellik) şeklinde kullanılır. x 2 x yy 2 ( xy ) ( x 2 y 2 ) > factor(x^3+5,5^(1/6)); ( x 2 x 5 ( 1/ 3) 5 ( 2/ 3 ) ) ( x5 ( 1/ 3) )

10 Atamalar ve Değişkenler değişken adı := sayı veya cebirsel ifade ; şeklinde atama yaılabilir. > a:=5; > a; > evalf(a/7); a := Bütün yapılan atamalar sıfırlanmak istenirse sağ üstte bulunan veya komut satırına restart; yazılıp ENTER tuşuna basılmalıdır. butonu kullanılmalı > restart; > a; a Eğer ifadelerin değişmemesi fakat belli bir değer için değişmiş hali isteniyorsa bunun için subs(x=a,ifade) komutu kullanılır. Bu ifade de x yerine a koy demektir. > f:=5*x+x*y-9; > subs(x=a,f); > f; Benzer şekilde assign(x=a) değişiklik sabit kalır. > f; > assign(x=a); > f; f := 5 xx y9 5 aa y9 5 xx y9 veya assign(x,ifade) şeklinde de yapılabilir, fakat artık 5 xx y9 5 aa y9 Yeniden değişiklik yapılmak istenirse assign( x =b) şeklinde yapılmalıdır. Yoksa hata verir. > f:=5*x+x*y-9; f := 5 xx y9 > assign(x=3); > f;

11 > assign(x=b); Error, (in assign) invalid arguments 63 y > f; > assign('x'=11); > f; 63 y 4611 y Bir değişkene atama yapılıp yapılmadığını kontrol etmek için assigned(değişken) komutu kullanılır. > assigned(x); true Değişkene yapılan atamayı iptal etmek için unassign( değişken ) komutu kullanılır. > f:=5*x+x*y-9; > x:=3; > f; f := 5 xx y9 x := 3 63 y > unassign(x); Error, (in unassign) cannot unassign `3' (argument must be assignable) > f; > unassign('x'); > x; > f; 63 y x 5 xx y9 Kullanıcı Tanımlı Fonksiyonlar Fonksiyon adı := (Değişkenler)->fonksiyon ifadesi şeklinde fonksiyon tanımlanabilir. > f:=x->x^2+1; > f(x); f := xx 2 1 x 2 1

12 > f(1); 2 > g:=(x,y,z)->sin(x)+sos(y)+x*y*z; g := ( x, y, z) sin( x ) sos( y) x y z > g(1,2,3); sin( 1 )sos( 2) 6 Alternatif olarak unapply(ifade,değişkenler) veya unapply(ifade,[değişkenler]) şeklinde de olabilir. > f:=x^2+2*x-5; > F:=unapply(f,x); > F(1); > G:=x^3+2*y-7; > g:=unapply(g,x); > g(1); > h:=unapply(g,y); > h(1); > v:=unapply(g,[x,y]); > v(1,2); f := x 2 2 x5 F := xx 2 2 x5-2 G := x 3 2 y7 g := xx 3 2 y7 62 y h := yx 3 2 y7 v := x 3 5 ( x, y) x 3 2 y7-2 MAPLE Fonksiyonları Üstel fonksiyon exp(x) Doğal logaritma ln(x) veya log(x) Karakök fonksiyonu sqrt(x) Kök fonksiyonu surd(x,n) (n.dereceden kök içinde x) Mutlak değer abs(x) Tam değer floor(x) Signum fonksiyonu signum(x)

13 Trigonometrik fonksiyonlar sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), csc(x), sec(x) Ters trigonometrik fonksiyonlar arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), arccsc(x), arcsec(x) Hiperbolik fonksiyonlar sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), csch(x), sech(x) Ters Hiperbolik fonksiyonlar arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), arccoth(x), arccsch(x), arcsech(x) Cebirsel Denklemlerin Çözümlerini Bulma Bunun için solve(denklem,değişken) veya solve({denklem},{değişkenler}) şeklindeki komutu kullanılır. > solve(m*x+n=y,x); > solve(m*x+n=y,{x}); yn m { x yn } m > denklem:=x^4-5*x^2+6*x=2; denklem := x 4 5 x 2 6 x2 > solve(denklem,x); 31, 1 3, 1, 1 > çözüm:=[solve(denklem,x)]; çözüm := [ 31, 1 3, 1, 1] > çözüm[1]; 31 > çözümkümesi:={solve(denklem,x)}; çözümkümesi := { 1, 1 3, 31 } Ayrıca solve komutu ile denklemler yanında denklem sistemleri, eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri de çözdürülebilir. > solve(sin(2*x)=cos(x));,,, > solve({x^2-y^2=0,x-y=1,x<>y}); 1 { x, } 2 y -1 2

14 > solve(tan(x)=cos(x),x); 2 arctan arctan ,, arctan, , 1 5 arctan, Bu yapılan işlemler değişkeni yalnız bırakma şeklinde de olabilir. Bunun için kullanılan komut isolate(ifade,değişken) şeklindeki komuttur. Fakat bu komut student paketi içerisindedir, öncelikle bu paketin açılması gerekir. Bir paketin açılması with(paket adı) komutu ile yapılır. > with(student); [ D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar, completesquare, distance, equate, integrand, intercept, intparts, leftbox, leftsum, makeproc, middlebox, middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, simpson, slope, summand, trapezoid ] > isolate(y=a*x+b,x); x yb a > solve(2*x^3-3*x^2-11*x+6,x); > isolate(2*x^3-3*x^2-11*x+6,x); 3, 1, 2-2 x-2 > solve(sin(2*x)=cos(x));,,, > isolate(sin(2*x)=cos(x),x); Örneklerden de görülebildiği gibi isolate komutu denklemi sağlayan yalnız bir değeri alır, bu değer de keyfi seçilir. x 2 Bazı Kullanışlı Temel Komutlar > kesir:=(-2+y)*(x-2)/(x^2-4); ( 2y ) ( x2 ) kesir := x 2 4

15 > expand(kesir); > normal(kesir); > numer(kesir); > denom(kesir); 2 x 4 y x 2 y x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 2y x2 ( 2y ) ( x2 ) x 2 4 normal(ifade) komutu ifadeyi sadeleşmiş haliyle ekrana yazdırır. numer(ifade) ifadenin payını, denom(ifade) ifadenin paydasını ekrana yazdırır. simplify(ifade) komutu ise ifadeleri en sade, basitleştirilmiş halde yazdırır. > simplify(kesir); 2y x2 > denk:=cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x); denk := cos( x) 5 sin( x) 4 2 cos( x) 2 2 sin( x) 2 cos ( 2 x) > simplify(denk); cos( x) 4 ( cos( x)1 ) > normal(denk); cos( x) 5 sin( x) 4 2 cos( x) 2 2 sin( x) 2 cos ( 2 x) 2-Boyutlu Çizim Komutları MAPLE grafik çizimlerini plot komutu ile yapar. Kullanımı plot(f(x),x=a..b) şeklinde olup, y=f(x) e karşılık gelen eğrinin [a,b] aralığındaki grafiğini çizer. > plot(x^2,x=0..5);

16 > plot(sin(x)/x,x= ); Farklı eğriler beraber çizdirilmek istenirse bunun için plot({eğriler},değişken) komutu kullanılır. > plot({x^2,x+5},x); > plot({x^2,x^3,x+5});

17 > plot({x^2,x^3,x+5},x=-2..2); Türev Ve İntegral Bir f(x) fonksiyonunun türevi diff(f(x),x) integrali de int(f(x),x) şeklindeki komutlar kullanılarak hesaplandırılır. Baş harfi büyük yazıldığında ise çıktı sembolik olarak gösterilir. > diff(x^3,x); > Diff(x^3,x); > Diff(x^3,x)=diff(x^3,x); 3 x 2 d dx ( x3) d dx ( x3) 3 x 2 > Int(exp(x)+5,x)=int(exp(x)+5,x); d ex 5 x e x 5 x > Int(sin(x)+cos(5*x)-exp(2-x),x)=int(sin(x)+cos(5*x)-exp(2- x),x); sin( x )cos ( 5 x) e ( 2 x) d x 1 cos( x) sin( 5 x) e ( 2 x) 5 Sınır belirtilmek istenirse de int(f(x),x=a..b) şeklinde kullanılmalıdır.

18 > Int(sin(x)+cos(5*x)-exp(2-x),x=-1..3)=int(sin(x)+cos(5*x)- exp(2-x),x=-1..3); 3-1 cos 5 x e ( 2 x) d x 1 cos( 1 ) sin( 5 ) 5 e 3 1 cos( 3 ) sin( 15 ) 5 e ( -1) sin( x ) ( ) > Int(sin(x)+cos(5*x)-exp(2-x),x=- 1..3)=evalf(int(sin(x)+cos(5*x)-exp(2-x),x=-1..3)); 3-1 cos 5 x e ( 2 x) dx sin( x ) ( ) Sayılar Bir sayının tamsayı olup olmadığı; > type(5,integer); > type(sin(pi/6),integer); true false Pozitif tamsayı type(sayı,posint), negatif tamsayı type(sayı,negint), çift sayı type(sayı,even), tek sayı type(sayı,odd) komutları kullanılarak test edilebilir. type(sayı,prime) bir sayının asal sayı olup olmadığını test eder. ifactor(sayı) komutu sayıyı asal çarpanlarına ayırır, rasyonel bir sayı ise sadeleştirme varsa önce sadeleştirir sonra çarpanlarına ayırır. > ifactor(6); > ifactor(1222); > ifactor(22/4); ( 2 ) ( 3) ( 2 ) ( 13 ) ( 47) ( 11 ) ( 2 ) > ifactor( / ); ( 2 ) ( 3881 ) ( 2861 ) ( 3 ) ( )

19 Bir sayının pozitif bölenlerini divisors(sayı) komutu verir. Pozitif bölenlerinin sayısını ise tau(sayı) komutu verir. Fakat bu komutları kullanabilmek için önce numtheory paketi açılmalıdır. > with(numtheory); [ GIgcd, bigomega, cfrac, cfracpol, cyclotomic, divisors, factoreq, factorset, fermat, imagunit, index, integral_basis, invcfrac, invphi, iscyclotomic, issqrfree, ithrational, jacobi, kronecker,, legendre, mcombine, mersenne, migcdex, minkowski, mipolys, mlog, mobius, mroot, msqrt, nearestp, nthconver, nthdenom, nthnumer, nthpow, order, pdexpand,,, pprimroot, primroot, quadres, rootsunity, safeprime,, sq2factor, sum2sqr,, thue ] > divisors(24); > divisors(-24); > tau(24); > tau( ); { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } 8 24 Bir saynın faktöriyeli sayı! veya factorial(sayı) şeklinde hesaplatılır. > factorial(5); 120 > 1000!; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

20 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ İki tamsaysayının birbirine bölündüğünde bölümü iquo(bölünen,bölen), kalanı irem(bölünen,bölen) komutu verir. > iquo(12,5); 2 > irem(259,3); 1 m ve n nin en büyük ortak böleni igcd(m,n), en küçük ortak katı ise ilcm(m,n) komutları ile bulunur. > igcd( ,5554); > ilcm(233,987);

21 Toplam ve Çarpım Sembolleri İile Hesap Toplam için sum(f(n),n=1..k), çarpım için product(f(n),n=1..k) komutları kullanılır. Sembolik halleri için ilk harf büyük yazılmalıdır. > Sum(k,k=1..n)=sum(k,k=1..n); > Sum(k,k=1..n)=normal(sum(k,k=1..n)); > Sum(k,k=1..n)=simplify(sum(k,k=1..n)); > Sum(k,k=1..n)=factor(sum(k,k=1..n)); > Sum(k^3,k=1..n)=factor(sum(k^3,k=1..n)); value(ifade) sembolik olarak gösterilen ifadeleri hesaplar. > Sum(k,k=1..45)=sum(k,k=1..45); > sum(exp(i),i=-3..5); > > value(%); n k 1 ( n1 ) 2 n 1 k n k 1 n k 1 n k 1 n k k 2 n2 2 n 1 1 k 2 n2 2 n n ( n1 ) k 2 k 3 n 2 ( n1 ) k 1 k1035 1e ( -3) e ( -2) e ( -1) ee 2 e 3 e 4 e 5 1e ( -3) e ( -2) e ( -1) ee 2 e 3 e 4 e 5 Yukarıda value komutu bir şey değiştirmedi, çünkü sonuç zaten değeri e cinsinden belli olan bir ifade idi. Reel karşılığının bulunması isteniyorsa evalf komutu kullanılmalıdır. > evalf(%);