BİLGİSAYARLA GÖRSELLEŞTİRMENİN İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA LİMİT KAVRAMININ ÖĞRETİMİNDE ÖĞRENCİ BAŞARISINA ETKİSİ

Transkript

1 BİLGİSAYARLA GÖRSELLEŞTİRMENİN İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA LİMİT KAVRAMININ ÖĞRETİMİNDE ÖĞRENCİ BAŞARISINA ETKİSİ Cemalettin IŞIK Atatürk Üniversitesi Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Erzurum / Türkiye cisik@atauni.edu.tr ÖZET Bu çalışmanın amacı, iki değişkenli fonksiyonlarda limit kavramının öğretiminde, bilgisayarla görselleştirmenin kullanıldığı bilgisayar destekli öğretim yönteminin, geleneksel öğretim yöntemine göre öğrenci başarılarına olan etkisini karşılaştırmaktır. Araştırmanın örneklemini öğretim yılında Atatürk Üniversitesi Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği programının 2. sınıfındaki 74 öğrenci (Kontrol grubu=37, Deney grubu=37) oluşturmaktadır. İki değişkenli fonksiyonlarda limit konusu, deney grubunda Mathematica programı yardımıyla, kontrol grubunda ise geleneksel öğretim yöntemi kullanılarak iki hafta süreyle anlatılmıştır. Verilerin analizi için t testi kullanılmıştır. Araştırmanın sonucunda, bilgisayar destekli öğretim ile öğrenim gören öğrencilerin geleneksel öğretim yöntemleri ile öğrenim gören öğrencilere göre daha başarılı oldukları görülmüştür. Anahtar kelimeler: Bilgisayar Destekli Öğretim, Matematik Öğretimi, Görselleştirme, İki Değişkenli Fonksiyonların Limiti THE EFFECT OF COMPUTER VISUALIZATION ON STUDENTS ACHIEVEMENT IN TEACHING THE LIMIT CONCEPT OF TWO VARIABLES FUNCTIONS ABSTRACT The purpose of this study is to compare the effect of computer assisted with computer visualization with traditional teaching on students achievements in the limit of two variables functions. The sample of the study was composed 74 students (Control Group=37, Experimental Group=37) second year undergraduates from the department of primary mathematics education in Kazım Karabekir Education Faculty of Atatürk University in academic year. The limit of two variables functions was taught with Mathematica software in the experimental group while control group was taught with traditional approach for two weeks. The means of groups compared with t test. The results show that students in experimental group taught with computer assisted approach was more successful than control group taught with traditional methods. Key words: Computer Assisted Instruction, Mathematics Teaching, Visualization, The Limit of Two Variables Functions 1. Giriş İçinde bulunduğumuz yeni yüz yıl, soyut düşünmeyi ve buna bağlı olarak yaratıcı zihinsel yeteneklerin geliştirilmesini öne çıkarmıştır. Matematikte öğrencilerin soyut düşünmeye dayalı yetenekleri kazanabilmeleri, matematiğin dayandığı kav 132 Journal of Qafqaz University

2 Bilgisayarla Görselleştirmenin İki Değişkenli Fonksiyonlarda Limit Kavramının Öğretiminde Öğrenci Başarısına Etkisi ram ve kavramların arkasındaki işlemler arasındaki mantıksal ilişkileri algılamalarına bağlıdır. Genel olarak soyut kavramların kazanılması zor olmakta, öğrencilerin kavramları öğrenmelerini güçleştirmektedir. Ancak bu zorluk, matematiksel kavramların öğretimi sırasında somutlaştırılarak veya somut araçlar kullanılarak giderilebilir veya azaltılabilir. (Ersoy 1997; Baki 2002). Matematikteki konuların soyut anlamları algoritmik işlemler, sembollerin kullanımı, analitik muhakeme ve sonuçları içerir. Halbuki matematikteki bir çok kavram algoritmik yaklaşımdan ziyade görsel olarak sunulabilir. Bu yaklaşım akla daha yatkındır. Çünkü; matematiksel kavramların gösteriminde belli bir etkinin varlığı ve iyi planlanmış görsel bir model ya da yorum üzerine kurulu bir öğretim yaklaşımı öğrencilerin bir çok kural veya işlemleri kendi başlarına kurgulamalarını sağlar. Soyut kavramların yarı somut olarak adlandırılabilecek geometrik yapılarla ifadesi olan görselleştirmede temel amaç; geometrik kavram ve modellerden hareketle çeşitli aksiyom sistemlerinin ve çeşitli uzayların varlığını sezdirmek, bireye soyutlama alışkanlığı kazandırarak bu yolla zihinsel bağımsızlığını ve yaratıcılığını geliştirmek, anlamlı ve kalıcı öğrenmeyi sağlamaktır. Temelde öğrenciden beklenen şekil ya da çizimlerden bağımsız bir metin üretmesidir. Bu ürünün ortaya çıkarılmasında sezginin temel dayanağının çizimler olduğu unutulmamalıdır (Ersoy vd. 1991). Görselleştirme ile öğretim yaklaşımı üç temel yolla gerçekleştirilebilir. Bunlar şekiller (grafikler), animasyon ve bilgisayar yazılım programlarıdır. Burada şekiller veya grafikler; matematiksel ifadelerin geometrik modeller yardımıyla sunulması durumu ile ilgilidir. Animasyon; matematiksel ifadelerin geometrik modellerinin hareket ya da aksiyom olarak dinamik bir şekilde sunumudur. Bilgisayar programları ise; bilgisayar ortamında matematiksel konuların kullanıldığı ve öğrencilere herhangi bir konunun cebirsel örneklerinin ve gerektiğinde geometrik modeller kullanılarak sunulması için araç rolündedir. Zihinsel görüntü oluşturma, günümüz matematik öğretiminde ciddi bir aşama kat edilmesinde önemli bir araç rolü görebilir. Böyle bir beceri, öğrenciye keyfi hesaplama kurallarının ötesinde anlamlı bir yol bulma olanağı sağlar. Ayrıca, öğrencinin kendi mantıksal dünyasında başarma hissini ve kendine olan güven duygusunu arttırır. Öğrenci fiziksel objelerden herkes tarafından kabul edilen ortak bir anlam çıkarabiliyorsa; bu öğrenci öğretmeninin, kitaplarının veya bilgisayarın önerdiği algoritmaları kabul etmiş durumdadır. Matematiksel düşüncenin yaratıcı bir çok aşamasında, bağıntıların tüm resimlerini oluşturan yapıların kurulmasından yararlanılırken böyle bir resmin oluşturulmasında da görselleştirme yaklaşımından sıkça yaralanılır (Tall 1991). Matematiğin görselleştirilmesi, problem çözme ve kavramların öğrencilerin zihninde anlamlı bir şekilde oluşması ve matematiğin çeşitli alanlarında global ve sezgisel bir bakış açısı kazandırmada yönünden son yıllarda literatürde oldukça rağbet gören bir olgudur (Presmeg 1986; Vinner 1989; Zimmerman and Cunningham 1991; Eisenberg and Dreyfus 1991; Stylianou 2002; Seassa 1994; Dubinsky and Tall, 1991; Kaput 1994; Hitt 2001). Number 19,

3 Cemalettin Işık Örneğin Fischbein (1987); görsel bir imgenin verinin yalnızca anlamlı bir şekilde kurgulanması olmadığını, aynı zamanda çözümün analitik gelişimini açıklamada da önemli bir faktör olduğunu ifade etmiştir. Öğretim programlarında daha fazla görselleştirmenin olması yönündeki yorumlardan bazıları öğrencilerin sadece matematiği anlaması üzerinde durulmamasını, aynı zamanda matematik yapmak ve matematiksel düşünmek içinde daha yaratıcı yolların teşvik edilmesi gerektiğini ifade etmektedir (Cunningham, 1991). Okul matematiği programı için yeni bir felsefe ve çatı adlı araştırmada Ulusal Araştırma Kurulu (The National Research Council), daha güçlü olan bilgisayarlar gibi kompleks fiziksel olayları modelleyebilen matematikçilerin gittikçe artarak güç problemleri çözmeye ihtiyaç duyacaklarını belirtmektedir. Bilgisayar destekli öğretim sürecinde matematiksel kavramların dayandığı bilişsel araçların geliştirilmesi, kullanılacak yazılımlara bağlı olarak problem çözme ve görsel düşünme becerisinin kazanılmasına da katkı sağlayacaktır. Bu süreçte, kavramlar arasındaki işlemlerin mantıksal ilişkilerinin keşfi, analizi ve bunlara dayalı algoritmaların yapısalcı bir yaklaşımla kurulması amaçlanmaktadır (Hacısalihoğlu vd. 2003). Goldenberg (1987) de; uygun görsel temsillerin matematik öğrencilerinin başa çıkmak zorunda oldukları sembol sistemini anlamlandırmaya yardımcı olduğunu ve bu sistemin öğrenimini teşvik ettiğini belirtmektedir. Bu yaklaşımın teorik olarak uygun ve bilgisayar teknolojisinin de bu uygulamaya yardımcı olduğunu düşünmektedir. Son yıllarda bilgisayar destekli öğretim yönteminin etkinliğinin belirlenmesi yönelik bir çok çalışma yapılmıştır. Yapılan çalışmalarda, araştırıcılar bilgisayar destekli öğretim yönteminde geleneksel öğretim yöntemine nazaran öğrenci başarılarının daha yüksek olduğunu ve bu yaklaşımla öğretilen kavramları öğrencilerin daha etkin bir şekilde öğrendiklerini ifade etmişlerdir (Ayers et al. 1988; Ravaglia et al. 1995; Leron and Dubinsky 1995; Yalçınalp vd. 1995; McCoy 1996; Hacker and Sova 1998; Krishnamani and Kimmins 2001; Rainbolt 2002; Van and Dempsey 2002; Chang 2002). Ayrıca bir kısım araştırmacı da bilgisayar destekli eğitimin başarıyı arttırmanın yanı sıra öğrencilerde üst düzey düşünme becerilerinin gelişmesini sağladığını ve buna bağlı olarak öğrencilerin ezberden çok kavrayarak öğrendiklerini belirtmişlerdir (Renshaw and Taylor 2000). Günlük yaşamdaki bir çok olay genelde geometrik ya da fiziksel sezgilerle yorumlanmasına rağmen, matematikteki bir konuyu araştırmak amacıyla herhangi bir kitapta günlük yaşamın duyuşsal deneyimlerinin ihmal edildiği soyut sembolik muhakemelerle karşılaşılması içten bile değildir. Baki (1996) soyut matematik kavramlarının somutlaştırılmasının öneminden bahsetmiş ve bilgisayar yardımıyla görsel yolların matematiksel çözümleri ve analizleri kolaylaştırdığını ifade etmiştir. Ubuz (2002), lisans düzeyindeki analiz derslerinde ISETL ve DERIVE yazılımlarının kullanıldığı bilgisayar destekli öğretim yöntemi ile öğrencilerin türev kavramını öğrenmelerini incelemiştir. Çalışmada, matematiksel kavramları bilgisayar ortamında oluşturmalarında öğren 134 Journal of Qafqaz University

4 Bilgisayarla Görselleştirmenin İki Değişkenli Fonksiyonlarda Limit Kavramının Öğretiminde Öğrenci Başarısına Etkisi cilere yardım etmek için ISETL programı, hesaplamalar ve grafik çizimleri için ise DERIVE programı kullanmıştır. Öğrencilerin limit ve türev konularını anlamalarını ölçmek için bir test geliştirilmiş ve ön test, son test olarak uygulanmıştır. Uygulama sonrasında öğrenciler arasından rasgele seçilen 11 öğrenci ile mülakat yapılmıştır. Testte yer alan sorulara verilen yazılı ve sözel cevaplar türev kavramının iyi bir şekilde kavrandığını ortaya koymaktadır. Ubuz, sonuçların aynı zamanda öğrencilerin bilgiyi ezberleyerek değil kavramsal olarak öğrendiklerini ifade etmiştir. Son yıllarda bilgisayarın ve bilgisayar grafik çizim programlarının kullanımının artmasıyla görsel temsiller problem çözmede kullanışlı bir araç olarak daha önemli bir role kavuşmuştur. Aynı zamanda matematik eğitimi ile ilgili topluluklar ve son reform çabaları görsel muhakemenin kullanımını desteklemekte ve cesaretlendirmektedir. Örneğin The National Counsil Of Teachers Of Mathematics (NCTM 2000) okul matematiğinde esas ve standartlar adlı araştırmasında sınıflardaki, problem çözme sürecinde çok yönlü tasvirlerin kullanımını önermektedir. Çağdaş matematiğin farklı bilim dalları arasında temel oluşturan birkaç alt dalından biriside Reel Analizdir. İçerik itibarıyla matematiğin diğer birçok alanına (Karmaşık Analiz, Fonksiyonel Analiz, çeşitli geometriler, Cebir vb.) zemin oluşturmaktadır. Analiz derslerindeki temel kavramlardan birisi olan limitin iki değişkenli fonksiyonlarda ele alınması, öğrencilerin tek değişken kavramından çok değişken kavramına geçiş sürecindeki ilk basamak olarak görülebilir. Dolayısıyla bu süreçte yaşanabilecek bir takım sıkıntıların ileride (R n nin topolojisi, n boyutlu uzay, çok değişkenli fonksiyonlar vb.) daha büyük problemleri doğuracaktır. Bu noktadan hareketle, tek değişkenli fonksiyonlardan çok değişkenli fonksiyonlara geçiş sürecinin ilk halkası olarak görülen iki değişkenli fonksiyonlarda; temel işlem olarak kabul edilen limit kavramının öğretiminin araştırılması gerekli bir konu olarak görülmektedir. Bu düşünceden hareketle araştırmanın amacı, İki değişkenli fonksiyonlarda limit kavramının öğretiminde, bilgisayarla görselleştirmenin kullanıldığı bilgisayar destekli öğretim yönteminin, geleneksel öğretim yöntemine göre öğrenci başarılarına olan etkisini karşılaştırmaktır. Bu amaca yönelik olarak problem cümlesi de; İki değişkenli fonksiyonlarda limit kavramı ile ilgili öğrenci başarıları açısından, bilgisayarla görselleştirmenin kullanıldığı bilgisayar destekli öğretim yöntemi ile geleneksel öğretim yöntemi arasında anlamlı bir farklılık var mıdır? olarak belirlenmiştir. 2. Yöntem Deneysel çalışma olarak planlanan araştırmanın deseni, ön test son test kontrol gruplu model şeklindedir. Bu modelde, yansız atama ile oluşturulmuş iki grup bulunur ve bu gruplardan biri deney, diğeri kontrol grubu olarak kullanılır. Her iki grupta da, deney öncesi ve sonrası ölçmeler yapılır. Ancak grupların ön test puanları arasında önemli bir fark yoksa, yalnızca son test puanları kullanılır (Karasar 2000). Number 19,

5 Cemalettin Işık 2.1. Örneklem Araştırmanın örneklemini Atatürk Üniversitesi Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Programı nda öğretim yılında aynı öğretim üyesinin ders verdiği iki farklı şubedeki (37 Deney 37 kontrol grubu) 74 ikinci sınıf öğrencisi oluşturmaktadır. Şubelerden birisi görselleştirme yaklaşımının kullanıldığı deney grubu, diğeri ise geleneksel öğretim yönteminin kullanıldığı kontrol grubudur. Bu seçim rasgele yapılmıştır ve grupların birinci sınıftaki Analiz I ve Analiz II dersleri tek bir öğretim üyesi tarafından verilmiştir Veri Toplama Aracı Araştırmada veri toplama aracı olarak, iki değişkenli fonksiyonlarda limiti uygulama öncesi öğrencilerin konu hakkındaki ön bilgilerini belirlemek, uygulama sonunda ise deney ve kontrol grubu öğrencilerinin kavramları yapılandırma düzeyleri arasında farklılık olup olmadığını ortaya koymak amacıyla beş açık uçlu sorudan oluşan İki Değişkenli Fonksiyonlarda Limit Kavram Testi kullanılmıştır. Testin kapsam geçerliliğinin sağlanması aşamasında literatür tarandıktan sonra, daha önceki yıllarda bu dersi okutan öğretim üyelerinin ve Analiz dalında uzman öğretim üyelerinin de görüşleri alınarak anlatılacak ders notlarına ve kavram testine son hali verilmiştir Araştırmanın Uygulanması Araştırma öğretim yılında Atatürk Üniversitesi Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği programı 2. sınıfının iki şubesindeki toplam 74 öğrenciye iki hafta süreyle uygulanmıştır. Her iki şubedeki öğrencilerin birinci sınıf sonundaki ağırlıklı genel not ortalamaları (AGNO) hesaplanmış, şubeler arasında not ortalamaları yönünden anlamlı bir farklılığın olmadığı tespit edilmiş ve iki şubesinden birisi deney diğeri ise kontrol grubu olarak rasgele belirlenmiştir. Uygulama süreci iki hafta (8 ders saati) olarak belirlenmiştir. İki değişkenli fonksiyonlarda limit kavramı, kontrol grubuna geleneksel yöntemlerle, deney grubundaki öğrencilere ise, bilgisayar laboratuarında Mathematica 5.0 programı yardımıyla görselleştirilerek işlenmiştir. Her iki gruba da uyulama sürecinde daha önceden literatür taraması yapılarak araştırmanın amacına uygun olarak hazırlanmış aynı ders notları anlatılmıştır. Bu ders notları deney grubundaki öğrencilere teorik anlatımla birlikte incelenen fonksiyonların Mathematica 5 programı yardımıyla üç boyutlu grafikleri görsel olarak sunularak, bu fonksiyonların grafiklerinin projeksiyon cihazı yardımıyla yansıtılması ile yürütülmüştür. Yine fonksiyonların grafiklerine limit hesaplanacak noktaların çok küçük komşuluklarından farklı bakış açıları ile (koordinatlarla) bakılarak fonksiyonun grafiğinin bu noktalardaki değişimlerinin görülmesi sağlanmış ve fonksiyonların bu noktalardaki değişimlerinin limit kavramına olan etkileri tartışılmış ve teorik bilgilerle desteklenerek kavramsal öğrenmenin gerçekleştirilmesi sağlanmaya çalışılmıştır. Uygulama sürecine ait bir örnek aşağıda sunulmuştur. 2xy f:r 2 R, f(x,y) = fonksiyonunun 2 2 x + y (x,y) (0,0) için limitini hesaplayınız şeklindeki bir soru için fonksiyonun grafiği 136 Journal of Qafqaz University

6 Bilgisayarla Görselleştirmenin İki Değişkenli Fonksiyonlarda Limit Kavramının Öğretiminde Öğrenci Başarısına Etkisi çizdirilerek (0,0) noktasındaki fonksiyonun değişiminin farklı açılardan görülmesi ve tanım aralığının istenildiği kadar daraltılması sağlanarak teorik kısımla bütünleştirilmiştir. Şekil 1. f(x,y) = 2xy x + y 2 2 fonksiyonunun grafiği Şekil 2. Fonksiyonun grafiğinin (3, 3, 0) noktasından(koordinatından) görünümü Number 19,

7 Cemalettin Işık Z Ekseni Y Ekseni X Ekseni Şekil 3. Fonksiyonun 0,01 x 0,01 ve 0,01 y 0,01 aralığındaki grafiğinin görüntüsü 2.4. Verilerin Analizi Limit kavram testinde sorulan beş açık uçlu sorunun her birisi; limiti işlemsel olarak doğru hesaplayabilme 10 puan, δ ε tekniği ile doğrulama 5 puan ve bulunan sonucun yorumlanması 5 puan olmak üzere toplam 20 puan üzerinden değerlendirilmiştir. Bu değerlendirmede elde edilen verilerin istatistiksel analizleri SPSS/PC (Statistical Package for Social Sciences for Personal Computers) paket programı kullanılarak yapılmıştır. Verilerin test edilmesinde bağımsız grup t testi kullanılmış ve sonuçlar 0.05 lik önem seviyesinde test edilmiştir. 3. Bulgular ve Yorum Bu bölümde kontrol ve deney grupları için problemin test edilmesinden elde edilen bulgular sunulmuştur. Araştırmanın başlangıcında deney ve kontrol grubu öğrencilerinin öğrenme ve başarı düzeyleri arasında fark olup olmadığını belirleyebilmek için, 1. sınıf sonundaki ağırlıklı genel not ortalamalarına uygulanan bağımsız gruplar için t testi analiz sonuçları Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1. Deney ve kontrol gruplarının AGNO puanlarının dağılımları Gruplar N X Deney Kontrol Std. Sap. 37 2,54 0, ,58 0,46 t p 0,093 0,89 Tablo 1 de görüldüğü gibi; deney ve kontrol grubunda yer alan öğrencilerin 1. sınıf ağırlıklı genel not ortalamaları arasında anlamlı bir farklılık olmadığı görülmüştür (t72 = 0.093; p=0,890). Bu sonuç, deneysel çalışma öncesinde deney ve kontrol gruplarının öğrenme düzeyi açısından benzer seviyede olduklarını göstermektedir. Limit kavram testi, uygulamaya başlamadan önce deney ve kontrol grubundaki öğrencilerin iki değişkenli fonksiyonlardaki limit kavramı hakkındaki bilgi düzeylerinin ortaya çıkarabilmek amacıyla araştırma kapsamındaki öğrencilerin tamamına ön test olarak uygulanmıştır. Ön test sonucunda elde edilen verilerin analizinden elde edilen bulgular tablo 2 de sunulmuştur. 138 Journal of Qafqaz University

8 Bilgisayarla Görselleştirmenin İki Değişkenli Fonksiyonlarda Limit Kavramının Öğretiminde Öğrenci Başarısına Etkisi Tablo 2. Deney ve kontrol gruplarının ön test puanlarının dağılımları Gruplar N X Deney Kontrol Std. Sap. 37 8,51 4, ,64 5,22 t p 0,114 0,91 Ön test verilerinin analiz edilmesi sonucunda elde edilen bulgular, deney ve kontrol grupları arasında iki değişkenli fonksiyonlarda limit kavramı ile ilgili bilgi düzeyleri arasında anlamlı bir fark olmadığını (t72 =0,114; p=0,91) göstermiştir. Kısaca araştırmaya başlanmadan önce deney ve kontrol gruplarının bilgi düzeylerinin birbirine denk oldukları söylenebilir. Bilgisayar ile görselleştirmenin yapıldığı deney grubu ile geleneksel öğretim yönteminin kullanıldığı kontrol grubu öğrencilerinin iki değişkenli fonksiyonlarda limit kavramı ile ilgili öğrenci başarıları açısından, son test puanları arasında önemli bir farkın olup olmadığını belirleyebilmek için, bağımsı grup t testi kullanılmış ve elde edilen analiz sonuçları Tablo 2 de verilmiştir. Tablo 3. Deney ve kontrol gruplarının son test puanlarının dağılımları Gruplar N X Deney Kontrol Std. Sap ,81 20, ,27 20,27 t p 4,334 0,00 Yapılan değerlendirme sonucunda iki değişkenli fonksiyonlarda limit kavramı açısından deney grubundaki öğrencilerle kontrol grubu öğrencilerinin son test ortalamaları arasında deney grubu öğrencileri lehine istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğu görülmektedir(t72= 4,334; p=0,000). Deney grubu öğrencilerinin son test ortalamaları kontrol grubu öğrencilerinin ortalamalarından daha yüksektir ( X D=70,81; X K= 50,27). 4. Sonuç ve Öneriler Araştırmada elde edilen bulgulara dayanarak elde edilen sonuçlar aşağıda sunulmuştur: Kontrol grubundaki öğrenciler ile deney grubundaki öğrenciler arasında iki değişkenli fonksiyonlardaki limit kavramının algılanmasında anlamlı farklıklar vardır. Kontrol grubundaki öğrencilerin büyük bir kısmı soruların sonuçlarının yorumlanması aşamasında δ ε tekniğindeki ε sayısının R 3 te ε yarıçaplı kürenin yarıçapı olduğunu düşündükleri görülmüştür. Halbuki R 2 R ye tanımlı bir fonksiyonun görüntü kümesi bir boyutlu iken ε sayısını üç boyutlu bir kürenin yarıçapı olarak düşünmeleri, bu fonksiyonun grafiğini zihinlerinde canlandıramadıklarının bir göstergesi olarak düşünülebilir. Bir diğer önemli sonuçta işlemsel olarak limit değerinin varlığının bulunmasının limitin varlığı için yeterli olduğu düşüncesidir. Halbuki test sorularından özellikle 4. soruda ( lim ( xy, ) (0,0) 2 xy x + y 2 4 ) görüldüğü gibi limit değerlerinin işlemsel olarak birbirine eşit ve sıfır olarak bulunması bu fonksiyonun limitinin var ve sıfır olduğunu söylemek için yeterli değildir. Çünkü (0,0) noktasına x = y 2 eğrisi ile yaklaşılacak olursak limit değeri ½ ye eşit olacak ve dolayısıyla limitin varlığından söz edilemeyecektir. Number 19,

9 Cemalettin Işık ( xy, ) ( 1,2) Kontrol ve deney grubu öğrencileri arasında anlamlı bir fark olmamasına rağmen, kontrol grubundaki bir çok öğrencinin birinci soruda lim ( x + 3 xy) 2 limiti hesaplanırken, eğriler boyunca yaklaşımda genel olarak y=mx doğrularını kullanmalarıdır. Halbuki y=mx doğrularının tamamı ( 1, 2) noktasından geçmez, sadece y = 2x doğrusu bu noktadan geçer ve dolayısıyla buradan elde edilen sonuç bu fonksiyonun limiti için genel bir yaklaşım değildir. Bu durumun fonksiyonun limit alınacak noktadaki görüntüsünü zihinlerinde canlandıramamalarının bir sonucu olduğu şeklinde değerlendirmek mümkündür. Bu araştırmadan elde edilen bulguların, öğretim görevini üstlenenlerin kendi bilgi ve anlayışlarını gözden geçirmelerine ve yapacakları etkinliklere yardımcı olacağı düşünülebilir. Ayrıca sonuçların, öğrencilere kavramsal düzeyde öğrenmenin gerçekleştirilebilmesi amacına yönelik olarak yapılan diğer çalışmalara katkıda bulunabileceği de düşünülebilir. Öğrencilere kavramsal öğrenmenin oluşturulması sürecinde, kavramları anlamalarına ve kavramlar arasındaki ilişkileri kurabilmelerine yardımcı olacak yöntemler matematik öğretiminin her düzeyinde kullanılması gerekir. Özellikle üç boyutlu şekillerin iki boyutta resmedilmeye çalışılması bir çok kavram yanılgısını da beraberinde getirmektedir. Bu nedenle gelişmiş bilgisayar grafik çizimlerinden faydalanarak bu görsel unsurların öğretilecek kavrama bir model oluşturması sağlanabilir. Özelikle R n nin topolojisinin incelenmesinde kullanılan kavramlar (sınır noktası, yığılma noktası, kapanışı vb.), analitik geometri, diferansiyel geometri vb. derslerinde kullanılan üç boyutlu kavramlarda yine bilgisayarda oluşturulacak grafikler yardımıyla görselleştirilerek daha anlaşılır hale getirilebilir. KAYNAKLAR Ayers, T., Davis, G., Dubinsky, E.,and Lewin, P., Computer experiences in learning composition of functions. Journal For Research in Mathematics Education, 19(3), Baki, A., Matematik öğretiminde bilgisayar her şey midir?, Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 12, Baki, A., Öğrenen ve öğretenler için bilgisayar destekli matematik, Ceren Yayın Dağıtım, İstanbul. Chang, C.Y., Does computer assisted instruction+problem solving = Improved science outcomes? A pioneer study. The Journal of Educational Research, 95(3), Cunningham, S., The visualization environment for mathematics education, ın W. Zimmerman And S. Cunningham (Eds.), Visualization in teaching and learning mathematics, 67 76, Mathematical Association of America, Washington. Dubinsky, E., Tall, D., Advanced mathematical thinking and computer. in D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking, , Kluwer Academin Publisher, Netherlands. Eisenberg, T., Dreyfus, T., On the reluctance to visualize in mathematics, visualization in teaching and learning mathematics, 25 38, Mathematical Association of America, Washington. Ersoy, Y., Kaya, R., Aksu, M., vd., Matematik Öğretimi, Anadolu Ünv., Açık Öğretim Fak., Yay. No:113 Ersoy, Y., Bilgisayarın matematik eğitiminde kullanılması, Ortaöğretim Matematik Öğretimi, Cilt 2, YÖK Dünya Bankası MEGP, Ankara. Fischbein, E., Intution in sciences and mathematics: an educational approach, D. Riedel Publ. Comp., Dordrecht. Goldenberg, E., Believing is seeing: How preconceptions ıfluence the perception of 140 Journal of Qafqaz University

10 Bilgisayarla Görselleştirmenin İki Değişkenli Fonksiyonlarda Limit Kavramının Öğretiminde Öğrenci Başarısına Etkisi graphs, in J. Bergeron, N. Herscovics And C. Kieran (Eds.), Proceedings of the eleventh ınternational conference for the psycology of mathematics education, , University Of Montreal, Canada. Gülcü, A., Mathematica 5 Bilgisayar Destekli Matematik, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara. Hacısalihoğlu, H.H., Mirasyedioğlu, Ş., Akpınar, A., Matematik öğretimi, Asil yayın dağıtım, Ankara. Hacker, R.G., Sova, B., Initial teacher education: A study of the efficacy of computer mediated courseware delivery in a partnership concept. British Journal Of Education Technology, 29(4), Hitt, F., Working group on representations and mathematics visualization, representations and mathematics visualization ( ). Kaput, J., Linking represantions in the symbol systems of algebra, in S. Wagner And C. Kieran (Ed.), Research ıssues in the learning and teaching of algebra, , NCTM: Reston, Virginia. Karasar, N., Bilimsel Araştırma Yöntemi, Ankara : Nobel Yayın Dağıtım. Krishnamani, V., Kimmins, D., Using technology as a tool in abstract algebra and calculus: The MTSU Experience, Leron, U., Dubinsky, E., An abstract algebra story, The American Mathematical Monthly, 102(3), McCoy, L.P., Computer Based in mathematics learning, Journal Of Research On Computing In Education, 28(4), Presmeg, N., Visualisation in high school mathematics, For The Learning Of Mathematics 6, Ravaglia, R., Suppes, P., Stillinger, C., Alper, T.M., Computer Based mathematics and physics for gifted students, Gifted Child Quarterly, 39(1), Renshaw, C.E., Taylor, H.A., The educational effectiveness of computer based instruction, Computers And Geoscienes, 26(6), Stylianou, D.A., On The intraction of visualization and analysis: The negotiation of visual representation in expert problem solving, The Journal Mathematical Behaviour, 21(3), Tall, D., Intition and Rigour: The role of visualization in the calculus, visualization in teaching and learning mathematics, 19, , Mathematical Association of America. Ubuz, B., development of calculus concepts through a computer based learning environment, Proceedings of The 2th International Conference On Teaching of Mathematics, 1, 1 10 Van, E., Dempsey, J., The effect of competition and contextualized advisement on the transfer of mathematics skills in a computer based instructional simulation game, Educational Technology Research and Development, 50(3), Vinner, S., The avoidance of visual considerations in calculus students, Focus on Learning Problems in Mathematics, 11, Yalçınalp, S., Geban, Ö., Özkan, Ö., Effectiveness of using computer assisted supplementary instruction for teaching the mole concept. Journal Of Research In Science Teaching, 32, Zimmerman, W., Cunningham, S., What is mathematical visualization?, visualization in teaching and learning mathematics, 1 8, Mathematical Association of America, Washington. Number 19,