MOBĐL ÇĐZGE ÖĞRENME SĐSTEMĐ GERÇEKLEŞTĐRĐMĐ

Transkript

1 EGE ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ (YÜKSEK LĐSANS TEZĐ) MOBĐL ÇĐZGE ÖĞRENME SĐSTEMĐ GERÇEKLEŞTĐRĐMĐ Birol ÇĐLOĞLUGĐL Bilgisayar Mühendisligi Anabilim Dalı Bilim Dalı Kodu: Sunuş Tarihi: Tez Danışmanı: Doç. Dr. Mustafa Murat ĐNCEOĞLU Bornova - ĐZMĐR

2

3 III Birol ÇĐLOĞLUGĐL tarafından YÜKSEK LĐSANS TEZĐ olarak sunulan Mobil Çizge Öğrenme Sistemi Gerçekleştirimi başlıklı bu çalışma E.Ü. Lisansüstü Eğitim ve Öğretim Yönetmeliği ile E.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Eğitim ve Öğretim Yönergesi nin ilgili hükümleri uyarınca tarafımızdan değerlendirilerek savunmaya değer bulunmuş ve tarihinde yapılan tez savunma sınavında aday oybirliği ile başarılı bulunmuştur. Jüri Üyeleri: Đmza Jüri Başkanı : Doç. Dr. Mustafa Murat ĐNCEOĞLU... Raportör Üye: Yrd. Doç. Dr. Aybars UĞUR... Üye : Yrd.Doç. Dr. Muhammed CĐNSDĐKĐCĐ...

4

5 V ÖZET MOBĐL ÇĐZGE ÖĞRENME SĐSTEMĐ GERÇEKLEŞTĐRĐMĐ ÇĐLOĞLUGĐL, Birol Yüksek Lisans Tezi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Mustafa Murat ĐNCEOĞLU Temmuz 2006, 119 sayfa Bu tez kapsamında çizge teorisinin eğitiminde kullanılmak üzere geliştirilen MOGRAPH adındaki bir mobil uygulama tanıtılmaktadır. Aynı zamanda bu uygulamanın masaüstü sistemlerde çalışan bir sürümü de bulunmaktadır. Öğrenciler MOGRAPH ı kullanarak çizgeler çizebilmekte, daha önceden oluşturdukları çizgeleri yeniden biçimlendirebilmekte, yarattıkları yönsüz/yönlü, ağırlıksız/ağırlıklı çizgeler üzerinde DFS (Depth First Search - Derinlik Öncelikli Arama), BFS (Breadth First Search - Genişlik Öncelikli Arama), Dijkstra nın En Kısa Yol Bulma, Euler Yol/Devre (Path/Circuit), Hamilton Yol/Devre (Path/Circuit) ve Çizge Renklendirme (Graph Coloring) algoritmalarını çalıştırabilmekte ve bilgi düzeylerini test etmek amacıyla küçük sınavlar olabilmektedirler. Geliştirilen tez uygulaması Ayrık Yapılar dersi kapsamında gönüllü öğrencilerden oluşan bir test grubu tarafından denenmiştir. Gönüllü öğrencilere daha sonra bir anket düzenlenmiş ve sonuçlar öğrencilerin en az %79 unun MOGRAPH paketinin eğitici içeriklerini beğendiğini ve ders kapsamında önümüzdeki yıllarda kullanılmasının faydalı olacağını düşündüklerini göstermiştir. Ayrıca, MOGRAPH kullanımının test grubundaki öğrencilerin notlarına olumlu yönde etki ettiği istatistiksel olarak ispatlanmıştır. Anahtar sözcükler: Çizge teorisi, çizge algoritmaları, mobil öğrenme, mobil uygulamalar, PDA.

6 VI

7 VII ABSTRACT IMPLEMENTATION OF A MOBILE GRAPH LEARNING SYSTEM ÇĐLOĞLUGĐL, Birol MSc in Computer Eng. Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Mustafa Murat ĐNCEOĞLU July 2006, 119 pages In this thesis, a mobile application called MOGRAPH which is developed for being used at the education of graph theory is presented. A desktop version of this application is also included. By using MOGRAPH, students can draw graphs, edit previously formed graphs, apply Depth First Search (DFS), Breadth First Search (BFS), Dijkstra s Shortest Path, Euler Path/Circuit, Hamilton Path/Circuit and Graph Coloring algorithms on the undirected/directed, unweighted/weighted graphs created by them and take a quiz to test their knowledge. The thesis application is tested as a part of the Discrete Mathematics course by a test group consisted of voluntary students. A questionnaire is taken by the volunteers and the results show that, at least 79% of the students have liked the educational features of the MOGRAPH package and have found it beneficial to be used in the next years. Besides, the positive effect of MOGRAPH usage on the grades of the students in test group has been proven statistically. Keywords: Graph theory, graph algorithms, mobile learning, mobile applications, PDA.

8 VIII

9 IX TEŞEKKÜR Bu tezin ortaya çıkması, geliştirilmesi ve verdiği ders kapsamında gönüllü öğrenciler ile birlikte denenmesi aşamalarında sağladığı sonsuz destek için danışmanım Sayın Doç. Dr. Mustafa Murat ĐNCEOĞLU na, tez çalışmasının başladığı ilk dönemlerde tezin şekillenmesinde sağladığı yol göstericiliği için Sayın Yrd. Doç. Dr. Aybars UĞUR a, tez uygulamasının gönüllü öğrenciler ile denenmesi sonucunda ortaya çıkan verilerin istatistiksel olarak test edilmesi, bu test sonuçlarının yorumlanması ve tezin bulgular ve sonuç bölümlerinin şekillenmesinde sağladığı destek için Sayın Yrd. Doç. Dr. Timur KÖSE ye ve görüşleri ile bu tez çalışmasının gelişmesinde büyük rol oynayan Ayrık Yapılar dersi öğrencilerine teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca, tezin son haline gelmesindeki katkılarından dolayı değerli jüri üyelerine ve tez çalışması süresince desteklerini hiç bir zaman esirgemeyen aileme teşekkür ederim.

10 X

11 XI ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa ÖZET... V ABSTRACT...VII TEŞEKKÜR... IX ĐÇĐNDEKĐLER... XI ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ... XIV ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ...XVII SĐMGELER VE KISALTMALAR...XVIII 1. GĐRĐŞ ÇĐZGE TEORĐSĐ Çizge Çeşitleri Yönsüz Çizgeler Yönlü Çizgeler Ağırlıksız Çizgeler Ağırlıklı Çizgeler Çizgelerin Gösterimi Komşuluk Matrisi (Adjacency Matrix) Incidence Matrisi (Incidence Matrix) Đncelenen Çizge Algoritmaları DFS (Depth First Search) BFS (Breadth First Search)... 25

12 XII ĐÇĐNDEKĐLER (devam) Sayfa Dijkstra nın En Kısa Yol Algoritması Euler Yol/Döngü Algoritması Hamilton Yol/Döngü Algoritması Çizge Renklendirme Algoritması MOGRAPH : MOBĐL ÇĐZGE ÖĞRENME SĐSTEMĐ Geliştirilen Sistemin Tanıtılması File (Dosya) Ana Menüsü Edit (Düzen) Ana Menüsü Operations (Đşlemler) Ana Menüsü Help (Yardım) Ana Menüsü Sistemin Gerçekleştirim Detayları Sınıflar ve Metotlar Çizge Algoritmaları MographSS Web Servisi Sistem Geliştirilirken Đzlenen Yöntem BULGULAR Đstatistiksel Testlerin Veri Kaynakları Đstatistiksel Test Sonuçlarının Yorumlanması SONUÇ ÖNERĐLER KAYNAKLAR DĐZĐNĐ... 98

13 XIII ĐÇĐNDEKĐLER (devam) Sayfa EKLER Ek 1 Đngilizce Türkçe Terimler Sözlüğü Ek 2 MOGRAPH Sınıf Şeması Ek 3 MographSS Veritabanı Tasarım Modeli Ek 4 Đstatistiksel Test Bulguları ÖZGEÇMĐŞ

14 XIV ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ Şekil Sayfa 1.1. M-öğrenme nin, E-öğrenme ve D-öğrenme içerisindeki yeri Örnek çizge gösterimi Temel çizge çeşitlerine ilişkin örnekler a) Yönsüz ve ağırlıksız çizge örneği, b) Yönsüz ve ağırlıklı çizge örneği, c) Yönlü ve ağırlıksız çizge örneği, d) Yönlü ve ağırlıklı çizge örneği Çizge çeşitleri için Komşuluk Matrisi gösterimleri a) Yönsüz ve ağırlıksız çizge için, b) Yönsüz ve ağırlıklı çizge için, c) Yönlü ve ağırlıksız çizge için, d) Yönlü ve ağırlıklı çizge için Çizge çeşitleri için Incidence Matrisi gösterimleri a) Yönsüz ve ağırlıksız çizge için, b) Yönsüz ve ağırlıklı çizge için, c) Yönlü ve ağırlıksız çizge için, d) Yönlü ve ağırlıklı çizge için DFS algoritması DFS algoritmasının adım adım çalışması BFS algoritması BFS algoritmasının adım adım çalışması Dijkstra nın en kısa yol bulma algoritması Dijksta algoritmasının adım adım çalışması Königsberg köprü problemi Königsberg şehrinin çizge modeli Euler yol/döngü algoritması Euler yol/döngü algoritmasının adım adım çalışması... 38

15 XV ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ (devam) Şekil Sayfa Hamilton yol/döngü algoritması Hamilton yol/döngü algoritmasının adım adım çalışması Dört-Renk Teoremi çizge renklendirme algoritması Çizge renklendirme algoritmasının adım adım çalışması Üyelik (Login) sistemi bileşeni, kullanıcı giriş ekranı File (Dosya) menüsü içeriği Special Graphs (Özel Çizgeler) ekranı Special Graphs (Dosya) seçeneği kullanılarak oluşturulan bir çizge Özel çizge örnekleri (a) K 5, (b) C 5, (c) W Edit (Düzen) menüsü içeriği Edit menüsü kullanılarak oluşturulan örnek bir yönsüz çizge Düğümlerin yerlerinin değiştirilmesi (taşınması) örneği Operations (Đşlemler) menüsü içeriği Mode - Directed Graphs seçildikten sonra oluşturulan örnek bir yönlü çizge View menüsü içeriği View - Adjacency Matrix ekranı View - Incidence Matrix ekranı

16 XVI ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ (devam) Şekil Sayfa Algorithms (Algoritmalar) alt menüsü içeriği A düğümünden başlayan DFS dolaşım örneği A düğümünden başlayan BFS dolaşım örneği A ile F düğümleri arasında en kısa yolu bulma örneği Euler yolu örneği Hamilton döngüsü örneği Çizge renklendirme örneği Küçük sınavda sorulan bir soru örneği Örnek bir küçük sınava ait sonuçlar ekranı Upload Quesiton ekranı Help ekranı Vertex ve Edge sınıf yapıları MOGRAPH Masaüstü Sürümü örnek ekran görüntüsü Ek 2.1. MOGRAPH sınıf şeması Ek 3.1. MographSS veritabanı tasarım modeli

17 XVII ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ Çizelge Sayfa 2.1. Çizge çeşitleri Likert tipi sorular için anket sonuçları Ek 4.1. Means raporu Ek 4.2. Gönüllü grup; Kolmogorov-Smirnov testi Ek 4.3. Gönüllü olmayan grup; Kolmogorov-Smirnov testi Ek 4.4. Gönüllü grup; Korelasyon analizi Ek 4.5. Gönüllü olmayan grup; Korelasyon analizi Ek 4.6. Tüm sınıf; Korelasyon analizi Ek 4.7. Bağımsız iki grup T-testi Ek 4.8. Çizge soruları; Univariate Analysis of Variance Ek 4.9. Çizge soruları; Estimated Marginal Means Ek Diğer sorular; Univariate Analysis of Variance Ek Diğer sorular; Estimated Marginal Means Ek Final sınavı notları; Univariate Analysis of Variance Ek Final sınavı notları; Estimated Marginal Means

18 XVIII SĐMGELER VE KISALTMALAR Kısaltmalar BFS DFS EC EP GNO GPRS GUI HC HP PDA SMS TSP W3C WLAN XML YSN Breadth First Search (Genişlik Öncelikli Arama) Depth First Search (Derinlik Öncelikli Arama) Euler Circuit (Euler Döngüsü) Euler Path (Euler Yolu) Genel Not Ortalaması General Packet Radio Service Graphical User Interface (Grafiksel Kullanıcı Ara yüzü) Hamilton Circuit (Hamilton Döngüsü) Hamilton Path (Hamilton Yolu) Personal Digital Assistant (Kişisel Dijital Yardımcı) Short Message Service (Kısa Mesaj Servisi) Traveling Salesman Problem (Gezgin Satıcı Problemi) World Wide Web consortium Wireless Local Area Network extensible Markup Language Yıl Sonu Notu

19 1 1. GĐRĐŞ Bu tez kapsamında bir mobil çizge öğrenme sistemi geliştirildiği için, öncelikle mobil öğrenme sistemleri açıklanmış ve bu çalışma öncesinde geliştirilmiş olan diğer mobil öğrenme sistemleri incelenmiştir. Mobil öğrenme sistemlerini açıklamak için ise; en temel eğitim sistemi olan sınıf içi eğitimden başlanarak, mobil eğitime kadar olan tarihsel süreç ele alınmalıdır. Eğitim sistemlerinin temeli olan, bir eğitmen ve bir grup öğrenciden oluşan sınıf içi eğitim; tarihsel süreçte en eskiye dayanan ve halen günümüzde de en sık kullanılan eğitim sistemidir. Bu sistemin en büyük avantajı katılımcıların aynı ortamda bulunmaları sayesinde sosyal yönünün güçlü olmasıdır. Bu sayede hem eğitmen ile öğrenciler arasında, hem de öğrencilerin kendi aralarında etkileşim olmaktadır. Sınıf içi eğitim, sağlanan doğrudan iletişim avantajının yanı sıra, bazı dezavantajlara da sahiptir. Örneğin, kaçırılan bir dersin telafisinin zor olması ve eğitimin belirli bir zaman dilimi ile sınırlandırılmış olması, bu dezavantajlar arasında gösterilebilir. Büyük bir hızla gelişen ve günümüzde de gelişmeye devam eden bilişim (bilgi ve iletişim) teknolojileri, her alanda olduğu gibi eğitimde de yeniliklerin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Bu sayede, eğitim alanında farklı yöntem ve araçların geliştirilmesi ve kullanımı için uygun bir ortam doğmuştur. Bu aşamada ortaya ilk olarak uzaktan eğitim (distance learning ya da d-learning) kavramı çıkmıştır. Uzaktan eğitim, sınıf içi eğitimdeki aynı zamanda, aynı ortamda bulunma zorunluluğunu, teknolojik imkanlar sayesinde ortadan kaldırmıştır. Uzaktan eğitimin uygulanma yöntemleri de teknolojik gelişmelerden birebir etkilenmektedir ve her dönemde ilgili

20 2 döneme ait teknolojik imkanlar kullanılmaktadır. Örneğin, uzaktan eğitimin ilk örneklerinden birisi olarak 1940 lı yıllarda Brezilya Eğitim Bakanlığı tarafından ülkenin uzak bölgelerine eğitim hizmeti verebilmek amacıyla yapılan bir radyo programı yayını gösterilebilir (Brito, C.R. and Ciampi, M.M., 2004). Daha sonraki yıllarda teknolojik gelişmeler doğrultusunda televizyon, kaset ve video gibi araçlarla da uzaktan eğitim verilmeye başlanmıştır. Günümüzde ise teknolojideki hızlı gelişmeler sayesinde uydular, bilgisayarlar, internet, cep telefonları, Tablet PC ler ve PDA ler (Personal Digital Assistant - Kişisel Dijital Yardımcı) gibi pek çok araç uzaktan eğitim için kullanılmaktadır. Bu sayede uzaktan eğitim çok geniş alanlara yayılmıştır. Brito, C.R. and Ciampi, M.M. (2004), Longo, W.P. and Telles, M.H.C. (1998) e atfen bu durumu şu şekilde açıklamaktadır: Uzaktan Eğitim, kaliteli eğitimi hızlı ve modern bir anlayışla sunan çok güçlü yeni bir araç olarak gelmektedir li yıllarda bilgisayar kullanımının yaygınlaşması, internet teknolojilerinin gelişmesi sayesinde internet bağlantılarının hızlanması gibi etkenler sayesinde uzaktan eğitimin büyük bir bölümü, bu yeni teknolojiler üzerine kaymıştır. Bu sayede, internet üzerinden eğitim olanakları artmıştır. Bu nedenle ilk dönemlerde radyo, televizyon, video gibi çok daha çeşitli cihazlarla verilen eğitimin yerini, yavaş yavaş elektronik ortamdaki eğitim almaya başlamıştır. Bu dönemde uzaktan eğitimin bir alt dalı olarak görülebilecek olan e-öğrenme (electronic learning ya da e-learning) kavramı ortaya çıkmıştır. E-öğrenme, elektronik öğrenmenin kısaltılmış halidir ve elektronik ortamdaki tüm öğrenme aktiviteleri için kullanılan genel bir addır. Bu eğitim çeşidinde temel olarak bilgisayarlar ve iletişim teknolojileri

21 3 kullanılmaktadır. E-öğrenme genellikle, internet üzerinden yazılı, sesli ve görüntülü eğitim kaynaklarına erişilmesi yolu ile gerçekleşmektedir. Bu aşamada, uzaktan eğitim ve e-öğrenme ile ilgili olarak iki ayrı kavramla daha karşılaşılmaktadır. Bunlar, eğitim/öğrenme aktivitelerinin ne zaman ve ne şekilde yapıldığını belirten senkron (eş-zamanlı) ve asenkron (eş-zamansız) öğrenme kavramlarıdır. Senkron öğrenme, eğitmen ve öğrenciler fiziksel olarak farklı mekanlarda olmalarına rağmen, öğrenme aktivitelerinin eş zamanlı olarak yürütüldüğü durumlar için kullanılır. Bu öğrenme şekline verilebilecek en iyi örnek, sanal ortamda yürütülen sesli ve görüntülü video konferanslar ve web konferanslardır. Burada, katılımcılar farklı mekanlarda olmalarına rağmen, sınıf içi iletişimin en önemli özelliği olan karşılıklı etkileşimde bulunma imkanına sahiptirler. Asenkron öğrenme ise, eğitmen ve öğrenciler fiziksel olarak farklı mekanlardayken, öğrenme aktivitelerinin farklı zamanlarda gerçekleştiği durumları ifade etmede kullanılır. Asenkron öğrenmede, yer ve zaman bağımsızlığı tam olarak sağlanmaktadır. Asenkron öğrenme, katılımcıların diğer katılımcılarla etkileşimde bulunmadan kendi başlarına, istedikleri zaman diliminde, elektronik ortamda mevcut olan kaynaklardan istediklerine çalışmaları yolu ile gerçekleşir. Örneğin, internet ortamında ya da DVD/CD gibi sayısal (digital) ortamlarda kayıtlı olan yazılı kaynakları, sesli/görüntülü sunumları/seminerleri katılımcıların kendi başlarına çalışmaları ve öğrenmeleri bu yolla gerçekleşir. Bu öğrenme çeşidinin en büyük avantajı; katılımcıları belirli zamanlarda, belirli konulara çalışma baskısından kurtarıp, ne zaman hangi konuya çalışacaklarına kendilerinin karar verebilmelerinin sağlanmasıdır. Dolayısıyla, zamanın değerinin giderek arttığı günümüz

22 4 koşullarında; hem çalışıp, hem uzaktan eğitim alan katılımcıların karşılaşabileceği en büyük problem olan çalışma saatleri ile ders saatlerinin çakışması durumunu ortadan kaldıran bu öğrenme çeşidi, katılımcılara çok önemli bir avantaj sağlamaktadır. Ancak bu durumun da dezavantajları vardır. Örneğin, katılımcıların belirli bir zamanda belirli bir konuya çalışma zorunluluğu olmadığından, katılımcılar zamanlarını doğru şekilde değerlendirmeyip ilerleyen dönemlerde daha çok konuya çalışmak zorunda kalabilirler. Bu durum, katılımcıların zamanında çalışma konusunda belirli bir bilinç düzeyine sahip olmaları gerektiğini göstermektedir. Ayrıca, bu öğrenme çeşidinde katılımcıların kendi aralarında ve eğitmen ile etkileşime girme imkanları çok kısıtlıdır. E-Öğrenme ye ilişkin alt alanlara da değinildikten sonra, sırada teknolojideki hızlı gelişmelerin ortaya çıkardığı öğrenme etkinliklerinin bir sonraki boyutunu oluşturan m-öğrenme (mobile learning ya da m- learning) vardır. M-öğrenme, mobil öğrenmenin kısaltılmış halidir ve günümüzde hızla gelişen mobil teknolojilerin sonucunda ortaya çıkan mobil cihazların kullanımına dayanmaktadır. E-öğrenme de kullanılan bilgisayarlar taşınabilir olmadığından, e-öğrenme de bir çeşit yer bağımlılığı (bilgisayarın bulunduğu ev, kampüs, vb. yer açısından) bulunmaktadır. M-öğrenme, kullanılan mobil cihazlar sayesinde, bu bağımlılığın ortadan kaldırılmasını sağlamaktadır. Vavoula, G. and Karagiannidis, C. (2005) m-öğrenme yi şu şekilde tanımlamaktadır : Taşınabilir aygıtların kullanımının gün geçtikçe daha yaygın hale gelmesiyle birlikte, bireylerin yapabileceği etkinliklerde, mekana ve zamana olan bağımlılık azalmaktadır. Öğretim teknolojileri açısından bakıldığında ise, sınıf içi yüz yüze olarak yapılan öğretim, zamanla uzaktan öğretim tarafından desteklenir olmuştur. Bilgi ve iletişim teknolojilerindeki hızlı gelişim süreci devam ettiği sürece, yakın bir gelecekte, taşınabilir tümleşik aygıtlar üzerinden, öğretim faaliyetleri, mekana ve zamana bağlı olmaksızın desteklenebilecektir. Bu tarz öğretim faaliyetine mobil öğretim (m-öğretim) adı verilmektedir.

23 5 M-öğrenme nin en önemli avantajı; öğrenme faaliyetlerinin her zaman, her yerde gerçekleşebilmesini sağlamasıdır. Bu sayede m- öğrenme, öğrenme ihtiyaçlarının kişiselleşmesini sağlamaktadır. Bu açıdan bakıldığında; m-öğrenme, e-öğrenmenin kapsamını genişletmektedir. Georgiev et al. (2004) uzaktan öğrenme, e-öğrenme ve m-öğrenme arasındaki ilişkiyi şu şekilde özetlemektedir : Tarihsel olarak bakıldığında, uzaktan öğrenme yüz yıldan fazla deneyime ve geleneğe sahiptir. Uzaktan öğrenmenin en önemli özelliği, öğretmen ve öğrencileri yer ve zaman olarak birbirinden ayırmasıdır. E- öğrenme, uzaktan öğretim için bilgisayarları ve ağ teknolojilerini temel alan yeni metotlar önermektedir. E-öğrenme nin yanı sıra, uydu tabanlı uzaktan öğrenme gibi farklı uzaktan öğrenme teknikleri de halen uygulanmaktadır. Diğer bir teknik olan m-öğrenme ise e-öğrenme nin bir parçasıdır; dolayısıyla uzaktan eğitimin de bir parçasıdır (Şekil 1.1). Şekil 1.1. M-öğrenme nin, E-öğrenme ve D-öğrenme içerisindeki yeri.

24 6 Wang et al. (2005) m-öğrenme nin gerçekleştirimine ilişkin şu tespitte bulunmuştur : M-öğrenme, özellikle, genç nüfusun yaygın olarak kullandığı cep telefonu, taşınabilir cep bilgisayarı ve diğer aygıtlar kullanılarak gerçekleştirilebilmektedir. Dolayısıyla, m-öğrenme genç nüfus için gelecek vaat eden bir eğitim şekli olma potansiyeline sahiptir. Bu potansiyelin fark edilmesiyle birlikte m-öğrenme, oldukça kısa bir sürede büyük adımlar kat etmiştir. Uzaktan öğretim, e-öğrenme ve m-öğrenme kavramlarına genel olarak değinildikten sonra, bu alanlarda daha önceden yapılan çalışmalara detaylı olarak bakılacaktır. Uzaktan eğitimin Brezilya daki gelişimini ele aldıkları bildirilerinde Brito, C.R. and Ciampi, M.M., (2004) bilim ve teknolojideki hızlı gelişmelerin beraberinde yeni imkanlar ve zorluklar getirdiğini ve bu durum karşısında kaçınılmaz olarak mühendislik alanındaki eğitim programlarında modernizasyona gidilmesi gerektiğini belirtmişlerdir. Bu amaçla tümüyle uzaktan eğitime dayanan yeni programlar açmışlar ve mühendislik eğitim programına diğer alanları da içeren uzaktan öğretime dayanan seçmeli dersler koymuşlardır. Uzaktan eğitime dayalı dersler seçmeli olmalarına rağmen, öğrencilerden yoğun ilgi görmüştür. Öğrenciler bu dersleri aldıkları dönemin sonunda; bir psikolog, bir pedagog, bir mühendislik alanı profesörü ve program koordinatöründen oluşan kurula gelişimleri hakkında bir rapor vermişlerdir. Bu program sonucunda öğrencilerin gereksiz zaman kaybı olmadan pek çok alandan ders alarak genel kültürlerini arttırdıkları, kendi kendilerine sorumluluk alma düzeylerinin arttığı ve öğrencilerin teknoloji ile daha iç içe olmaya başladıkları gözlemlenmiştir. Ancak halen devam etmekte olan bu programın kesin olarak başarılı olabilmesi için

25 7 programda görev alan tüm eğitmenlerin istekli olmalarının gerektiği ve programa katılan öğrencilerin de kendilerine sağlanan olanakları görerek bilinçli davranmaları gerektiği de belirtilmiştir. Farooq et al. (2002) ise, e-öğrenmenin temellerinin bulunduğu masaüstü sistemler ile m-öğrenmenin dayandığı mobil cihazlar arasındaki etkileşimi ön plana çıkardıkları bildirilerinde, daha önceden geliştirilen ve sadece masaüstü sistemlerde çalışan bir uygulamanın mobil cihazlarda da çalışacak yeni bir sürümünün geliştirilmesi ile ortaya çıkan avantajları ve m-öğretimin önemini vurgulamaktadır. Burada, Çiloğlugil, B. (2004) nin de ayrıntılı olarak değindiği mobil cihazların masaüstü sistemlere göre dezavantajlı olduğu; küçük ekran boyutu, kısıtlı işlemci gücü ve bellek gibi durumlar göz ardı edilerek masaüstü sistemleri kullanmanın mümkün olmadığı durumlarda, mobil cihazların kullanılması sayesinde ortaya çıkan geniş etkileşim imkanları öne çıkarılmaktadır. Ayrıca, masaüstü sistemler ve mobil cihazların bir araya gelmesiyle oluşan bir iletişim ağında kullanıcıların ortak veritabanına bilgi girmesi, diğer kullanıcıların eş zamanlı olarak bu bilgilere erişebilmesi/sistemden sorgulama yapabilmesi, kullanıcıların birbirleri arasında mesajlaşabilmesi gibi geniş etkileşim imkanları sayesinde kullanıcıların işbirliği içerisinde çalışabilmeleri sağlanmıştır. Corlett et al. (2004) üniversite öğrencileri için geliştirilen bir mobil öğrenme düzenleyicisinin, öğrenciler tarafından nasıl kullanıldığına ilişkin bilgi vermektedir. Bu sayede, öğrencilerin mobil öğrenme düzenleyicisini ve genel olarak mobil cihaz yazılımlarını kullanmaya olan eğilimleri ölçülmektedir. Zaman yönetimi; iletişim (mesajlaşma ve e-posta); ders dökümanları yöneticisi, notları ve dökümanları görsel olarak eşleştirmek için geliştirilmiş bir kavram eşleştiricisi (concept mapper) gibi araçlar içeren mobil öğrenme düzenleyicisi, kablosuz ağ

26 8 bağlantısına sahip Pocket PC ler için geliştirilmiş olmakla birlikte, öğrencilerin sahip olduğu akıllı telefon, PDA, diz üstü bilgisayar ve Tablet PC gibi cihazlarda da çalıştırılmıştır. Bir öğretim yılı boyunca devam eden bu çalışma sırasında öğrencilere ilk 4 hafta sonunda, 16 hafta sonunda ve ders yılı sonunda - 10 ay - anketler düzenlenerek öğrencilerin kullanım alışkanlıkları ve bu alışkanlıklarda zamanla ortaya çıkan değişiklikler ölçülmüştür. Buna göre; öğrencilerin ilk 4 hafta sonunda en çok kullandıkları e-posta iletişimi, 10 ay sonunda dördüncü sıraya kadar gerilerken; zaman yönetim aracı kullanımı üçüncü sıradan ilk sıraya yükselmiştir. Ders dökümanı yöneticisi kullanım oranı da giderek azalmıştır, ancak bu azalışta zamanla verilen döküman miktarının azalması da etkili olmuştur. Kavram eşleştirici kullanımı ise, 4 hafta sonunda en az kullanılan araç iken; 10 aylık dönemin sonlarında hiç kullanılmamıştır. Bu durum, öğrencilerin kavram eşleştirici ile tam olarak bağlantı kuramamasından ve bu aracı önemsiz olarak algılamasından kaynaklanmaktadır. Ayrıca, öğrenciler mobil cihazların ekran boyutunun küçük olmasından, dosyalar uçucu (volatile) bellekte tutulduğu için cihaz uzun süre şarj edilmediğinde bilgilerin kaybolmasından, genel sistem çökmelerinden ve bazı uygulamaların tam olarak kapanmayıp arka planda çalışmaya devam ederek cihazı yavaşlatmasından yakınmaktadır. Bunun yanı sıra, bazı öğrencilerin evlerinde ve yurtlarında ders notlarını ve e-kitapları okumak için mobil cihazlarını kullanmaları da ortaya çıkan ilginç sonuçlardan biridir; çünkü bu öğrencilerin zaten masaüstü veya diz üstü bilgisayarları vardır. Bu durum, bazı öğrencilerin mobil cihazların kullanımına iyice alıştıklarını ve onlarla bütünleştiklerini göstermektedir. Bazı öğrenciler ise, ilk başlarda bütün işlemlerini mobil cihazlarda yapmayı denemişlerdir. Ancak, zamanla bazı işlemler için masaüstü sistemleri kullanmanın daha uygun olduğunu görmüşlerdir. Bu da öğrencilerin kullanım alışkanlıklarının zamanla oturduğunu göstermektedir. Sonuç olarak, 10.

27 9 ay sonunda düzenlenen ankette, geliştirilen bu mobil öğrenme düzenleyicisinin öğrencilerin öğrenmelerine çok fazla katkı sağlamadığı; ancak, mobil cihaz kullanımının avantajlarının dezavantajlarına oranla daha fazla olduğu görülmüştür. Bu da öğrencilerin günümüzün mobil teknolojilerine uyum sağlayabilmeleri adına olumlu bir adımdır. Elde edilen bütün bu bulgular ışığında, mobil öğrenme düzenleyicisinin geliştirilmesine devam edildiği de bildiride belirtilmiştir. Detaylı olarak ele alınan bu çalışmalara ek olarak, literatürde değişik branşlarda yer alan eğitim faaliyetleri için de m-öğrenme teknikleri kullanımını içeren çalışmalar bulunmaktadır. Bunlara iyi birer örnek olarak, Đngiltere de Tıp fakültesi öğrencileri üzerinde yapılan bir m-öğrenme denemesi (Walton et al., 2005), Japon üniversite öğrencileri üzerinde gerçekleştirilen Đngilizce öğretimi denemesi (Thornton, P. and Houser, C., 2005), Finlandiya da ev ekonomisi bölümü öğretmenlerini eğitmek amacıyla yapılan bir proje (Seppala, P. and Alamaki, H., 2003) ve Güney Kore de çevre eğitimi vermek amacıyla tasarlanan m-öğrenme projesi (Lee, K.W. and Lee, J.H., 2005) verilebilir. Bu projelerin pek çoğunda kısa mesaj servisleri (SMS), PDA aygıtları ve taşınabilir bilgisayarlar ortak araçlar olarak kullanılmıştır. Mobil aygıtlar üzerinde, metin (text) tabanlı birçok ders için kaliteli çalışmalar varken, bir kaç proje (Bitincka, L. and Antoniou, G.E., 2004 ile Đnceoğlu, M.M., 2005) hariç, fen bilimleri ve matematik alanları için geliştirilmiş kaliteli ve ticari olmayan bir yazılım bulunmamaktadır. Bu durum (Heath et al., 2005) te de açıkça belirtilmiştir. Literatürdeki bu eksiklikten hareketle; bu tez kapsamında, metin tabanlı olmayan ve matematik alanına yönelik olan bir mobil uygulama geliştirilmesi düşünülmüştür. Sonuç olarak, matematik alanının önemli

28 10 konularından biri olan ve temel mühendislik eğitimi kapsamında bütün mühendislik programlarında yer alan çizge teorisinin öğretiminde kullanılmak üzere bir mobil uygulama geliştirilmesine karar verilmiştir. Tez kapsamında geliştirilecek uygulamanın ana hatları belirlendikten sonra, tez uygulamasının geliştirilmesine başlanmıştır. Đzleyen bölümlerinde tez uygulamasının geliştirilmesi sürecinde, uygulamada yapılacak güncellemelere ilişkin detaylı bilgi bulunmaktadır. Tezin ikinci bölümünde; tez uygulamasının temelini oluşturan çizge teorisi, genel hatlarıyla tanıtılmış ve tez kapsamında gerçekleştirilen çizge algoritmaları anlatılmıştır. Üçüncü bölümde; geliştirilen mobil çizge öğrenme sistemi ile ilgili detaylı bilgi verilmektedir. Bu kapsamda, sistemin ana hatlarıyla tanıtılması, tez uygulamasının gerçekleştirim detayları ve sistem geliştirilirken izlenen yöntem (sistemin derste ve laboratuarda kullanılması) hakkında ayrıntılı içeriğe sahip alt bölümler bulunmaktadır. Dördüncü bölümde; tez uygulamasının gönüllü bir grup öğrenciden oluşan test grubu tarafından laboratuar çalışmalarında kullanılması sonucunda, geliştirilen uygulamanın test grubundaki öğrencilerin başarı durumuna etki edip etmediğine dair elde edilen istatistiksel bulgular yer almaktadır. Son olarak ise; tezin sonuç ve öneriler bölümlerinde, elde edilen bulgular doğrultusunda tez uygulamasının genel değerlendirmesi yapılmış ve ileride bu konu üzerine çalışmak isteyenlerin yararlanabilecekleri önerilere yer verilmiştir.

29 11 2. ÇĐZGE TEORĐSĐ Çizgeler; düğümler (vertex) ve kenarlardan (edge) oluşan veri yapılarıdır. Çizge teorisi ise, çizge veri yapısı kullanılarak yapılabilecek çalışmaları incelemektedir. Wikipedia (2006a) ansiklopedisinde çizge ve çizge teorisi şu şekilde tanımlanmaktadır : Çizge uçlar (düğümler) ve bu uçları birbirine bağlayan kenarlardan oluşan bir tür ağ yapısıdır. Çizge teorisi ise, çizgeleri inceleyen matematik dalıdır. Şekil 2.1 de örnek bir çizge gösterilmektedir. Burada A, B, C, D, E ve F adlarında 6 tane düğüm vardır. A ile B, A ile C, B ile C, B ile D, B ile E, C ile E, D ile E, D ile F ve E ile F düğümlerinin aralarında ise, kenarlar vardır. Şekil 2.1. Örnek çizge gösterimi. Çizge teorisi; matematiğin (Ayrık Yapılar ın) ana konularından birisidir ve bilgisayar mühendisliği (bilgisayar ağları), elektrik elektronik mühendisliği (sayısal devreler), kimya, ekonomi, insan kaynakları, ekoloji ve spor organizasyonları gibi çok geniş bir uygulama alanına sahiptir. Çizgelerin bu uygulama alanlarında kullanımına ilişkin örnek verilecek olursa, çizgeler;

30 12 Bir devrenin düzlemsel devre tahtasında (planar circuit board) gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini belirlemek, Ekolojik bir bölgedeki farklı türler arasındaki rekabeti göstermek, Bir şirkette kimin kimlerin yöneticisi olduğunu temsil etmek (şirketin organizasyon yapısına ilişkin hiyerarşik şemaların oluşturulması yolu ile), Spor turnuvalarının sonuçlarını göstermek, Bir bina içerisindeki ağ kablolarını bağlamak için en iyi yolun bulunmasını sağlamak, Đki bilgisayarın bir iletişim bağlantısı ile birbirine bağlı olup olmadığını belirlemek (bilgisayar ağlarındaki çizge modellerini kullanarak), Herhangi iki şehir arasındaki en kısa yolu bulmak, Bir taşımacılık ağındaki tüm şehirleri en az maliyetle dolaşmayı sağlayan güzergahı bulmak (TSP - traveling salesman problem/gezgin satıcı problemi), Bir havayolu ağındaki iki şehir arasında olabilecek farklı uçuş kombinasyonlarının sayısını hesaplamak, Bir haritadaki bölgeleri renklendirmek için gereken renk sayısını bulmak

31 13 gibi pek çok problemin çözümünde kullanılmaktadır. Bütün bu örnekler, çizgelerin pek çok modern çok-disiplinli uygulamada kullanılabildiğini göstermektedir Çizge Çeşitleri Pek çok çizge çeşidi mevcuttur. Çizgeler genel olarak kenarlarının yönlü/yönsüz olması, aynı düğüm çifti arasında birden fazla kenar (multiple edge - birçok kenar) ve/veya döngü 1 (loop) içerip içermemesi gibi durumlara göre çeşitlere ayrılmaktadır. Rosen K.H. (1995) te değinilen temel çizge çeşitleri Çizelge 2.1 de gösterilmiştir. Đlgili çizge çeşitleri, değişik bakış açıları altında gruplanabilmektedir. Örneğin, bu tezde yapılacak sınıflandırmada Rosen K.H. (1995) kaynak alınmakla birlikte, çizge çeşitleri tez uygulaması kapsamındaki kullanımlarına göre dört bölümde ele alınacaktır: Yönsüz çizgeler (Undirected graphs) Yönlü çizgeler (Directed graphs) Ağırlıksız çizgeler (Unweighted graphs) Ağırlıklı çizgeler (Weighted graphs) Çizelge 2.1 deki çizge çeşitleri; bu dört bölümde, yönsüz/yönlü ve ağırlıksız/ağırlıklı olmak üzere iki mantıksal alt grup içerisinde 1 Başlangıç ve bitiş düğümü aynı olan kenarlar bir döngü oluşturmaktadır.

32 14 incelenmektedir. Bu kapsamda, çizgeler ilk olarak düğümler arasındaki kenarların tek ya da çift yönlü olarak kullanımı temel alınarak yönlü ve yönsüz olmak üzere iki ayrı grup içerisinde açıklanacaktır. Daha sonra da, çizgelerdeki kenarların ağırlık değerleri taşıyıp taşımamalarına göre çizgeler, ağırlıklı ve ağırlıksız olarak ele alınacaktır. Çizelge 2.1. Çizge çeşitleri. Çizge Çeşidi Kenar Tipi Multiple Edge içerir mi? Döngü içerir mi? Basit Çizge (Simple Graph) Çoklu Çizge (Multigraph) Pseudograph Yönlü Çizge (Directed Graph) Yönlü Çoklu Çizge (Directed Multigraph) Yönsüz (Undirected) Hayır Hayır Yönsüz (Undirected) Evet Hayır Yönsüz (Undirected) Evet Evet Yönlü (Directed) Hayır Evet Yönlü (Directed) Evet Evet Şekil 2.2 de tez kapsamında incelenecek olan dört temel çizge çeşidine ilişkin örnek çizgeler gösterilmiştir.

33 15 Şekil 2.2. Temel çizge çeşitlerine ilişkin örnekler a) Yönsüz ve ağırlıksız çizge örneği, b) Yönsüz ve ağırlıklı çizge örneği, c) Yönlü ve ağırlıksız çizge örneği, d) Yönlü ve ağırlıklı çizge örneği Yönsüz Çizgeler Yönsüz çizgeler; herhangi iki düğüm arasındaki kenarın yönsüz olduğu, yani çift taraflı olarak kullanılabildiği çizgelerdir. Şekil 2.2 de a ve b seçeneklerinde yönsüz çizge örnekleri gösterilmiştir. Örneğin, Şekil 2.2.a da A ve B adlarındaki iki düğümün arasında bir kenar vardır. Bu kenar kullanılarak; hem A üzerinden B ye, hem de B üzerinden A ya ulaşılabilmektedir. Bu çizge üzerindeki tüm kenarlar, benzer şekilde çift yönlü olarak kullanılabildiğinden; bu çizge yönsüzdür.

34 16 Yönsüz çizgeler de kendi içerisinde gruplara ayrılabilmektedir. Bu gruplandırma yapılırken; çizgenin aynı düğüm çifti arasında birden fazla kenar (multiple edge) ve döngü içerip içermemesi durumları dikkate alınmaktadır. Buna göre; her kenarın farklı iki düğüme bağlı olduğu ve aynı düğüm çiftini birbirine bağlayan birden fazla kenar olmayan çizgelere, basit çizgeler (simple graphs) denilmektedir. Çoklu çizgeler (multigraphs) ise, döngü içermeyen ama aynı düğüm çifti arasında birden fazla kenar içerebilen çizge çeşididir. Son yönsüz çizge çeşidi olan pseudograph lar ise, çoklu graph ların döngü de içeren biçimi olarak düşünülebilir. Tez kapsamında geliştirilen uygulamada, yönsüz çizgelerden basit çizge kategorisine girenler ile işlem yapılmaktadır Yönlü Çizgeler Yönlü çizgeler; herhangi iki düğüm arasındaki kenarın yönlü olduğu, yani tek taraflı olarak kullanılabildiği çizgelerdir. Şekil 2.2 de c ve d seçeneklerinde yönlü çizge örnekleri gösterilmiştir. Örneğin, Şekil 2.2.c deki A ve C düğümleri arasındaki kenarın yönü A dan C ye doğru olduğundan; bu kenar kullanılarak A üzerinden C ye ulaşılabilir, ancak C üzerinden A ya ulaşılamaz. Bir çizge üzerindeki tüm kenarlar yön bilgisine sahip ise, ilgili çizge bir yönlü çizgedir. Yönlü çizgeler kendi içinde iki gruba ayrılmaktadır. Bunlar üst kategori ile aynı adı taşıyan yönlü çizgeler (directed graphs) ve yönlü çoklu çizgelerdir (directed multigraphs). Bunların her ikisi de döngü içerebilmektedir. Aralarındaki tek fark; yönlü çoklu çizgelerin aynı düğüm çifti arasında birden fazla kenar olmasına izin vermesi, diğerinin vermemesidir.

35 17 Döngüler çizge operasyonlarında karışıklığa neden olduğu için, tez uygulaması kapsamında yönlü çizgelerin sadece döngü içermeyen çeşitleri ile işlem yapılmaktadır. Dolayısıyla, ilerleyen bölümlerde kullanılacak yönlü çizge terimi, aksi belirtilmedikçe döngü içermeyen yönlü çizge anlamında kullanılmaktadır Ağırlıksız Çizgeler Đlk iki bölümde, yönlü ve yönsüz çizgeler alt gruplara ayrılarak Rosen K.H. (1995) in değindiği temel çizge çeşitlerinin tümünü içermiştir. Burada ve izleyen bölümde değinilecek olan ağırlıklı/ağırlıksız çizgeler için böyle bir durum söz konusu değildir. Bu yapılandırmada çizgeler içerdikleri kenarların herhangi bir ağırlık değeri taşıyıp taşımamalarına göre basitçe ikiye ayrılmıştır. Şekil 2.2 de a ve c seçeneklerindeki çizgeler, ağırlıksız çizgelere örnek olarak gösterilebilir. Adından da anlaşılacağı üzere, ağırlıksız çizgelerde kenarların herhangi bir ağırlık değeri yoktur. Dolayısıyla, bir düğümden, kenarlar aracılığıyla bu düğümün bağlı olduğu diğer tüm düğümlere gitmenin maliyeti aynıdır. Örneğin, Şekil 2.2.c de B düğümünden A, C ve D düğümlerine tek adımda gidilebildiğinden, bu düğümden ilgili düğümlere ulaşmanın maliyeti aynıdır. Bu çizge türü, ilerleyen bölümlerde açıklanacak olan çizge algoritmalarından DFS (Depth First Search - Derinlik Öncelikli Arama), BFS (Breadth First Search - Genişlik Öncelikli Arama), Euler yolu (path)/döngüsü (circuit) belirleme/tespit etme, Hamilton yolu/döngüsü belirleme/tespit etme ve çizge renklendirme (graph coloring) algoritmalarına kaynak oluşturmaktadır.

36 Ağırlıklı Çizgeler Kenarların hepsine ağırlık değeri atanmış olan çizgeler, ağırlıklı çizgelerdir. Dolayısıyla, bu çizgelerde bir düğümden, kenarlar aracılığıyla bu düğümün bağlı olduğu diğer düğümlere gitmenin maliyeti, kullanılan kenarın ağırlık değerine eşittir. Şekil 2.2 de b ve d seçeneklerinde ağırlıklı çizge örnekleri gösterilmiştir. Örneğin, Şekil 2.2.d deki çizgede A düğümünden B düğümüne ulaşmanın maliyeti 5 birim iken, B düğümünden A düğümüne ulaşmanın maliyeti 3 birimdir. Aynı çizgede A düğümünden D düğümüne ulaşmanın maliyeti 4 birim iken, D düğümünden A düğümüne doğru bir kenar mevcut olmadığından tek adımda D düğümünden A düğümüne ulaşılamaz. Ancak, C düğümü kullanılarak D-C-A yolu izlenerek iki adımda A düğümüne ulaşılabilir. Buradaki ulaşım maliyeti, D-C ve C-A düğümleri arasındaki kenar ağırlıklarının toplamı olan 7 birimdir. Đleride açıklanacak olan çizge algoritmalarından sadece Dijkstra nın en kısa yol bulma algoritması, girdi olarak ağırlıklı çizgeleri zorunlu tutmaktadır. Diğer algoritmalar ise; hem ağırlıklı, hem de ağırlıksız çizgelerle çalışabilmektedir. Pek çok problem ağırlıklı çizgeler kullanılarak modellenebilmektedir. Örneğin, bir havayolu sistemi tasarlanırken; iki merkez arasındaki uzaklık, uçuş süresi ve ücret gibi bilgiler modellemede kullanılacak ağırlıklı çizgenin kenarlarına, ağırlık değeri olarak atanabilir. Bir başka örnek ise, bilgisayar ağların modellenmesinde; bilgisayarlar arasındaki mesafe, bilgisayarların kablolar üzerinden gelen tepki zamanları (response time) veya iletişim maliyetleri gibi verilerin de

37 19 ağırlıklı çizgelerde ağırlık değeri olarak kullanılabileceği çizge yapılarıdır Çizgelerin Gösterimi Çizgelerin gösterimi için bağlaçlı liste (linked list) kullanımı ile komşuluk listeleri oluşturulması, komşuluk matrisi (adjacency matrix) ve incidence matrisi (incidence matrix) yaratılması gibi farklı yapılar kullanılabilir. Tez kapsamında, çizgelerin sadece komşuluk matrisi ve incidence matrisi ile gösterimleri ele alınmaktadır Komşuluk Matrisi (Adjacency Matrix) Bir çizgedeki iki düğüm arasında bir kenar var ise, o iki düğüm komşu (adjacent) olarak adlandırılmaktadır. Komşuluk matrisi, elemanları iki düğüm arasında bir kenar olup olmadığını belirten iki boyutlu bir matristir. Bir çizgenin eleman sayısı N ise, ilgili çizgenin komşuluk matrisi NxN boyutundadır. Şekil 2.2 deki çizgelerin komşuluk matrisleri, Şekil 2.3 te gösterilmiştir. Yönsüz çizgelerde kenarlar, uçlarında bulunan her iki düğüm tarafından diğer düğüme erişmek amacıyla kullanılabildiğinden, yönsüz çizgelerde komşuluk matrisi simetriktir (Şekil 2.3.a; Şekil 2.3.b). Yönlü çizgelerde ise, kenarların belirli bir başlangıç ve bitiş düğümü olduğundan, kenarlar tek taraflı kullanılmakta, bunun bir sonucu olarak da yönlü çizgelerde komşuluk matrisi simetrik olmamaktadır (Şekil 2.3.c; Şekil 2.3.d).

38 20 Ağırlıksız çizgelerde komşuluk matrisi, düğümler arasında kenar olup olmamasına göre 0 ve 1 lerden oluşur (Şekil 2.3.a; Şekil 2.3.c). Ağırlıklı çizgelerde ise, kenarların ağırlık değerleri komşuluk matrisinin elemanları olarak yazılmaktadır (Şekil 2.3.b; Şekil 2.3.d). Bu nedenle; ağırlıklı çizgelerde komşuluk matrisine, ağırlıklı komşuluk matrisi (ya da kısaca ağırlık matrisi) de denilmektedir. Şekil 2.3. Çizge çeşitleri için Komşuluk Matrisi gösterimleri a) Yönsüz ve ağırlıksız çizge için, b) Yönsüz ve ağırlıklı çizge için, c) Yönlü ve ağırlıksız çizge için, d) Yönlü ve ağırlıklı çizge için Incidence Matrisi (Incidence Matrix) Incidence matrisleri, komşuluk matrislerine alternatif olan diğer bir çizge gösterim matrisi çeşididir. Incidence matrislerinin literatürde tam bir Türkçe karşılığı olmamakla birlikte, temel olarak düğümlerin kenarlarla olan ilişkilerini; her düğüm için ayrılan satırda, kenarların ise hangi düğümlerle bağlantılı olduğunu ilgili kenara ait sütunda gösteren matrislerdir. Buna göre, n adet düğüm ve m adet kenardan oluşan bir ağırlıksız çizge için, nxm boyutunda incidence matrisi oluşturulmaktadır. Bu matriste her kenar bir sütunda temsil edildiği için, ilgili kenarın

39 21 bağlantılı olduğu iki düğüme karşılık gelen satır bilgisi 1 olarak, diğer düğümlere karşılık gelenler ise 0 olarak ifade edilmektedir. Şekil 2.2 de gösterilen çizgelerin incidence matrisleri, Şekil 2.4 te verilmiştir. Burada kenarların numaralandırılması, kenarların çizgeye eklenme sırasına göre yapılmaktadır. Örneğin, Şekil 2.2.a da gösterilen ağırlıksız çizgeye üçüncü sırada eklenen 3 numaralı kenarın, hangi düğümlerle ilişkili olduğunu anlamak için; 3 numaralı kenara karşılık gelen sütunda sıfırdan farklı olan değerlerin karşılık geldiği satırların, hangi düğümlere ait olduğuna bakılır. Buna göre; 3 numaralı kenar, A ve C düğümleri arasındadır. Ağırlıksız çizgelerin incidence matrisleri 0 ve 1 lerden oluşurken (Şekil 2.4.a; Şekil 2.4.c); ağırlıklı çizgelerde kenarların ağırlık değerleri, incidence matrisinin elemanları olarak yazılabilmektedir (Şekil 2.4.b; Şekil 2.4.d). Şekil 2.4. Çizge çeşitleri için Incidence Matrisi gösterimleri a) Yönsüz ve ağırlıksız çizge için, b) Yönsüz ve ağırlıklı çizge için, c) Yönlü ve ağırlıksız çizge için, d) Yönlü ve ağırlıklı çizge için.

40 22 Yönlü çizgelerde kenarların yönünün gösterimi, karmaşıklığa neden olmaktadır. Örneğin, Şekil 2.4.d de 1 ve 6 numaralı kenarlar, A ve B düğümleri arasındadır. 1 numaralı kenarın ağırlığı 5, 6 numaralı kenarın ağırlığı ise 3 birimdir. Ancak, bu kenarların hangisinin A dan B ye, hangisinin B den A ya doğru olduğu; incidence matrisinde açık değildir. Bu durumu netleştirmek için; yönlü çizgelerde başlangıç düğümünün ağırlık değerinin önüne, eksi (-) konulabilir Đncelenen Çizge Algoritmaları Çizgeler üzerinde uygulanabilecek olan pek çok işlem vardır. Belirli bir düğümü aramak amacıyla bir çizgeyi dolaşmak (traverse a graph), bir çizgedeki iki düğüm arasındaki en kısa yolu bulmak ve bir çizgedeki yolları (paths) ve devreleri (circuits) bulmak, örnek çizge işlemleri olarak gösterilebilir. Bu işlemlerin her biri farklı algoritmalar yardımıyla hesaplanabilir. Bu bölümde, çizgeler üzerinde çalışan temel çizge algoritmalarından DFS (Depth First Search - Derinlik Öncelikli Arama), BFS (Breadth First Search - Genişlik Öncelikli Arama), Dijkstra nın En Kısa Yol Bulma, Euler Yolu (Path)/Döngüsü (Circuit), Hamilton Yolu/Döngüsü ve Çizge Renklendirme (Graph Coloring) algoritmaları incelenmektedir DFS (Depth First Search) Çizgelerin dolaşılması için kullanılan iki temel algoritma vardır. Bunlar, DFS (Depth First Search - Derinlik Öncelikli Arama) ve BFS (Breadth First Search - Genişlik Öncelikli Arama) algoritmalarıdır. Bu iki algoritma; belirli bir düğümden başlayarak, çizge üzerindeki bütün düğümleri derinlik ya da genişlik öncelikli olarak dolaşmakta ve

41 23 düğümlerden geçerken çizgeye ilişkin bir dolaşma sırası bulmaktadır. Bu algoritmaların ikisi de, bir çizgedeki tüm düğüm ve kenarları dolaşmakta, bir çizgenin bağlı çizge 1 (connected graph) olup olmadığını belirleyebilmektedir. Ayrıca, bu algoritmalar genişletilerek, bağlı bir çizgenin mesafe ağacını (spanning tree) hesaplamak, çizge içerisindeki yolları/döngüleri belirlemek, belirli bir düğümden diğerine gidilebilecek en kısa yolu bulmak için de kullanılabilmektedir. DFS algoritması, altyapısında bir yığıt (stack) veri yapısı kullanmakta ve temel olarak üç adımda çalışmaktadır. Bu adımlar : 1. Eğer mümkün ise; daha önceden dolaşılmamış komşu bir düğümü dolaşın, dolaşıldığına dair o düğümü işaretleyin ve yığıta koyun. 2. Eğer 1 numaralı adımı yapamıyorsanız; mümkün ise yığıttan bir düğüm alın ve tekrar deneyin. 3. Eğer 1 ve 2 numaralı adımların ikisi de uygulanamıyorsa; çizgenin DFS ye göre dolaşılması tamamlanmıştır. Bu adımları temel alan DFS algoritması (Waite, M. and Lafore, R., 1998) Şekil 2.5 te gösterilmiştir. Bu algoritma girdi olarak; dolaşılacak çizgeyi (graph) ve çizgenin dolaşılmasına başlanılacak başlangıç düğümünü (startvertex) almaktadır. Çizge dolaşılmaya başlanmadan önce, bütün düğümlerin daha önceden dolaşılmamış (Unvisited) olması gerekmektedir. Bu nedenle, algoritmanın en başında (1. ve 2. adımlarda) 1 Eğer bir çizgedeki kenarlar kullanılarak her düğümden diğer tüm düğümlere ulaşılabiliyorsa o çizge bağlı çizgedir (connected graph).

42 24 çizgenin bütün düğümleri dolaşılmamış olarak işaretlenmektedir. Daha sonra, 3 ve 4 numaralı adımlarda; graph çizgesinin startvertex adındaki başlangıç düğümü, Visited olarak işaretlenir ve yığıta atılır. 5 numaralı adımda yığıt boşalıncaya (çizgedeki tüm düğümler dolaşılıncaya) kadar sürecek olan while döngüsü başlar. 6. adımda; yığıtın en üstündeki elemanın komşusu olan, daha önceden dolaşılmamış bir düğüm belirlenip güncel düğüm (current vertex) olarak atanır. 7. adımda; güncel düğümün değeri kontrol edilir. Eğer güncel düğümün değeri boş/geçersiz (null) değilse, ilgili kriterlere uyan bir düğüm bulunmuş demektir. Bu durumda, 10, 11 ve 12. adımlarda sırasıyla; bulunan bu düğüm, ziyaret edilmiş olarak işaretlenir, düğümün hangi kenar kullanılarak ziyaret edildiği gösterilir ve düğüm yığıta atılır. Eğer böyle bir düğüm bulunamazsa; algoritmanın 8. adımı çalışarak, yığıtın en üstündeki elemanı yığıttan çıkarır. Bu sayede, dolaşılmamış komşu düğümü olmayan ilgili düğüm(yığıtın üstündeki düğüm) yığıttan atıldığı için, yığıttaki diğer elemanlar için de arama işlemi yapılması sağlanır. 5. adımdaki while döngüsü her çalıştığında; yığıtın en üstündeki düğüm için aynı işlemleri tekrarlar ve yığıtta hiç bir eleman kalmadığında çizgenin dolaşılması tamamlanmış olur. Şekil 2.6 da örnek bir çizge üzerinde DFS algoritmasının adım adım çalışması gösterilmiştir. Buna göre, düğümlerin dolaşılma sırası A, B, E, H, C, D, F, G, I şeklindedir. Bu düğümlerin dolaşılması sırasında üzerlerinden geçilen kenarlar ise A-B, B-E, E-H, A-C, A-D, D-F, D-G, G-I şeklinde sıralanmaktadır. DFS algoritması özellikle çizge hakkında istenilen bir bilgiye ulaşmak için çizgeyi dolaşırken, belirli sayıda işlem yapılmasının gerekli olduğu durumlarda kullanılmaktadır.

43 25 DFS(Graph graph, Vertex startvertex) 1 for each vertex v graph.vertices() 2 mark(v, Unvisited) 3 mark(startvertex, Visited) 4 thestack.push(startvertex) 5 while (!thestack.isempty()) 6 currentvertex := getadjacentunvisitedvertex(thestack.peek()) 7 if currentvertex is null 8 thestack.pop() 9 else 10 mark (currentvertex, Visited) 11 displayroute(thestack.peek(),currentvertex) 12 thestack.push(currentvertex) Şekil 2.5. DFS algoritması BFS (Breadth First Search) BFS algoritması DFS den farklı olarak; altyapısında bir kuyruk (queue) veri yapısı kullanmakta ve çizgeyi genişlik öncelikli bir mantıkla, çizgenin daha alt katmanlarına/dallarına geçmeden önce, aynı katmanda bulunan bütün düğümleri bulup işaretleyerek dolaşmaktadır. BFS algoritması da temel olarak üç adımda çalışmaktadır:

44 26 Şekil 2.6. DFS algoritmasının adım adım çalışması.

45 27 1. Eğer mümkün ise; daha önceden dolaşılmamış komşu bir düğümü dolaşın, dolaşıldığına dair o düğümü işaretleyin ve kuyruğa koyun. 2. Eğer daha önceden dolaşılmamış başka komşu düğüm kalmadığı için, 1 numaralı adımı yapamıyorsanız; mümkün ise, yığıttan bir düğüm çıkarın ve o düğüm için 1. adımı tekrar deneyin. 3. Eğer 2 numaralı adım, kuyruk boş olduğu için uygulanamıyorsa; çizgenin BFS ye göre dolaşılması tamamlanmıştır. Bu adımları temel alan BFS algoritması (Waite, M. and Lafore, R., 1998), Şekil 2.7 de gösterilmiştir. Bu algoritma da DFS algoritması gibi, girdi olarak dolaşılacak çizgeyi ve başlangıç düğümünü almakta; 1. ve 2. adımlarda bütün düğümleri dolaşılmamış olarak işaretlemektedir. 3 ve 4 numaralı adımlarda ise, çizgenin başlangıç düğümü dolaşılmış (Visited) olarak işaretlenir ve kuyruğa (queue) yerleştirilir. 6 numaralı adımda; kuyruk boşalıncaya (çizgedeki tüm düğümler dolaşılıncaya) kadar sürecek olan while döngüsü başlar. 7. adımda; kuyruktaki ilk eleman kuyruktan çıkarılır ve güncel düğüm (current vertex) olarak atanır. 8. adımda ise; güncel düğüme komşu olan, daha önceden dolaşılmamış tüm düğümler için 9, 10 ve 11. adımlardaki işlemleri yapacak olan while döngüsü başlamaktadır. 8. adımda belirlenen komşu düğüm (adjacent vertex); 9, 10 ve 11. adımlarda sırasıyla; ziyaret edilmiş olarak işaretlenir, bu düğümün hangi kenar kullanılarak ziyaret edildiği gösterilir ve düğüm kuyruğun sonuna eklenir. Güncel düğümün bütün komşu düğümleri bu şekilde işlendikten sonra, 6. adımdaki while döngüsü tekrar çalışmaktadır. Bu döngü her çalıştığında; kuyruktan bir

46 28 düğüm çıkarıp, bu düğümü güncel düğüm yapmakta ve onun bütün komşu düğümlerini dolaşarak kuyruğa atmaktadır. Bütün düğümler dolaşılıp kuyrukta hiç bir düğüm kalmadığında, bu döngü ve BFS algoritmasının çalışması sonlanmaktadır. Şekil 2.8 de BFS algoritmasının nasıl çalıştığı örnek çizge üzerinde adım adım gösterilmiştir. Buna göre, düğümlerin dolaşılma sırası A, B, C, D, E, F, G, H, I şeklindedir. Bu düğümlerin dolaşılması sırasında üzerlerinden geçilen kenarlar ise A-B, A-C, A-D, B-E, D-F, D-G, E-H, G-I şeklinde sıralanmaktadır. BFS(Graph graph, Vertex startvertex) 1 for each vertex v graph.vertices() 2 mark(v, Unvisited) 3 mark(startvertex, Visited) 4 thequeue.insert(startvertex) 5 Vertex adjacentvertex; 6 while (!thequeue.isempty()) 7 Vertex currentvertex := thequeue.remove() 8 while ( (adjacentvertex := getadjacentunvisitedvertex (currentvertex) ) is not null) 9 mark (adjacentvertex, Visited) 10 displayroute(currentvertex, adjacentvertex) 11 thequeue.insert(adjacentvertex) Şekil 2.7. BFS algoritması.

47 Şekil 2.8. BFS algoritmasının adım adım çalışması. 29

48 Dijkstra nın En Kısa Yol Algoritması Dijkstra algoritması; ağırlıklı bir çizgede, iki düğüm arasındaki en kısa yolu bulmak için kullanılan en etkin algoritmalardan birisidir. Bu algoritma; hem en kısa yolun uzunluğunu, hem de en kısa yolun hangi düğümler üzerinden geçtiğini bulmaktadır. Dijkstra algoritması, sadece iki düğüm arasındaki değil, aynı zamanda başlangıç düğümünden diğer bütün düğümlere olan en kısa yolları da hesaplamaktadır. Şekil 2.9 da Dijkstra nın en kısa yol bulma algoritması (Rosen, K.H., 1995) gösterilmiştir. Bu algoritma ilk olarak; 1, 2 ve 3. adımlarında, bütün düğümlere en kısa yol değeri olarak sonsuz ve en kısa yol bilgisi olarak tanımsız değeri atar. 4. adımda, başlangıç düğümünün en kısa yol değeri olarak sıfır atanır. 5. adımda, dolaşılan düğümleri tutan S kümesi boş küme olarak tanımlanır. 6. adımda, bitiş düğümüne ulaşıncaya kadar sürecek olan while döngüsü başlar. Bu döngü içerisinde; 7. adımda ilk olarak en küçük yol bilgisine sahip ilk düğüm olan başlangıç düğümü u olarak seçilir ve 8. adımda, u düğümü S kümesine eklenir. 9, 10, 11 ve 12. adımlarda; u düğümünün komşularından S kümesinde yer almayanların en kısa yol bilgileri, çizgenin komşuluk matrisi olan w nun yardımıyla güncellenmektedir. 5. adımdaki while döngüsünün bir sonraki çalışmasında; başlangıç düğümüne komşu olan düğümlerden en kısa yol değeri (shortestpathvalue) en küçük olan (ağırlık değeri olarak başlangıç düğümüne en yakın olan), u düğümü olarak seçilir ve S kümesine eklenir. Daha sonra, 9. adımda başlayan for döngüsü ile; S kümesinde yer almayan tüm düğümlerin 10. adımdaki koşulu sağlayıp sağlamadıkları araştırılır. 10. adımda; u düğümünün komşularının mevcut en kısa yol bilgileri; u düğümün kendi ağırlık değeri ve u düğümünü ilgili düğüme bağlayan kenarın ağırlığı olan w(u,v) değerinin toplamı ile karşılaştırılır.

49 31 Eğer u düğümünün ağırlığı ile w(u,v) değerinin toplamı, ilgili komşu düğüm olan v nin mevcut ağırlık değerinden daha küçük ise; 10. adımdaki koşul sağlanır ve 11 ile 12. adımlardaki güncellemeler yapılır, değil ise; mevcut en kısa yol ve bu yolun uzunluk değeri aynen bırakılır. Bu yapı, daha önceden işaretlenmemiş en küçük ağırlığa sahip düğümün seçilmesi ve komşularına gidip ağırlıklarını güncellemeye çalışması şeklinde, bitiş düğümüne ulaşılıncaya kadar devam eder. Şekil 2.10 da Dijkstra algoritmasının çalışmasına ilişkin bir örnek (Rosen, K.H., 1995) verilmiştir. Dijkstra(Graph graph, Vertex startvertex, Vertex finishvertex) 1 for each vertex v graph.vertices() 2 shortestpathvalue[v] := infinity 3 shortestpath[v] := undefined 4 shortestpathvalue[startvertex] := 0 5 S := empty set 6 while (finishvertex is not a member of S) 7 u := getvertexnotinswithminimumshortestpathvalue() 8 S := S U {u} 9 for all vertices v not in S 10 if shortestpathvalue[u] + w(u,v) < shortestpathvalue[v] 11 shortestpathvalue[v] := shortestpathvalue[u] + w(u,v) 12 shortestpath[v] := shortestpath[u] + v.name Şekil 2.9. Dijkstra nın en kısa yol bulma algoritması.

50 32 Şekil Dijksta algoritmasının adım adım çalışması.

51 Euler Yol/Döngü Algoritması Çizgelerdeki Euler ya da Hamilton yollarını/döngülerini bulmak, çizge teorisinin temel konularından biridir. Bu yolların/döngülerin bulunması ile ilgili ilk çalışmalar, Şekil 2.11 de gösterilen Königsberg köprü probleminin (Königsberg Bridge Problem) ortaya çıktığı yıllara dayanmaktadır. Çizgelerdeki düğümlerin ve kenarların dolaşılmasıyla ilgili bu ve benzeri problemlerin çözümünde, Euler ya da Hamilton yol/döngü bulma algoritmaları kullanılmaktadır. Königsberg köprü problemine, daha detaylı olarak bakılırsa; o dönemde Königsberg de yaşayan halk, Pazar günleri yaptıkları şehir gezilerinde, şehrin belirli bir bölgesinden başlayıp aynı köprüden iki kez geçmeden, bütün köprüleri dolaşarak başladıkları noktaya geri dönmenin mümkün olup olmadığını merak etmişlerdir (Bu probleme Leonhard Euler in getirdiği çözüm bu bölüm içerisinde izleyen sayfalarda ele alınacaktır). Şekil 2.12 de Königsberg şehrinin bir çizge olarak temsil edildiği çizge modeli bulunmaktadır. Bu gösterim, Bölüm de değinilen çoklu çizge (multigraph) yapısına uymaktadır. Şekil Königsberg köprü problemi.

52 34 Şekil Königsberg şehrinin çizge modeli. Euler ve Hamilton un detaylarına geçilmeden önce, düğümlerin dereceleri ile yol ve döngü kavramları ele alınmalıdır. Yönsüz bir çizgedeki bir düğümün derecesi (degree), o düğümün bağlantılı olduğu kenar sayısına eşittir. Yönlü çizgelerde ise, girdi derecesi (in-degree) ve çıktı derecesi (out-degree) kavramları bulunmaktadır. Buna göre; bir düğümün girdi derecesi, başlangıç noktası ilgili düğüm olan kenar sayısına; çıktı derecesi ise, bitiş noktası ilgili düğüm olan kenar sayısına eşittir. Belirli bir düğümden başlanıp kenarların üzerinden geçilerek, diğer düğümlerin dolaşılması ve herhangi bir düğümde dolaşma işleminin sonlandırılması sonrasında dolaşılan bölge, bir yol (path) oluşturmaktadır. Belirli bir düğümden başlayıp kenarların üzerinden geçerek, diğer düğümleri dolaşan ve tekrar aynı düğüme geri dönen yollara ise, döngü (circuit) adı verilmektedir. Dolayısıyla, döngüler

53 35 yolların özel bir çeşidi olarak düşünülebilir. Yol ve döngüler, genel terimlerdir ve bir çizgede yol ya da döngü oluştururken; bazı düğümlerden/kenarlardan geçilmeyebilir; bazı düğümlerden/kenarlardan ise, birden fazla kez geçilebilir. Oysa, birazdan değinilecek olan Euler ya da Hamilton yol ve döngülerinin, bütün düğümlerden/kenarlardan geçilmesi ya da aynı düğümden/kenardan sadece bir kez geçilmesi gibi kendine özel kuralları vardır. Euler yol/döngü bulma algoritması, aynı kenar üzerinden sadece bir kez geçerek çizgedeki bütün kenarları dolaşmayı hedeflemektedir. Verilen bir çizgede, Euler yolu ya da döngüsü olup olmadığını bulmak için kullanılan Euler teoremleri vardır (Rosen K.H., 1995). Buna göre; Bir çizgedeki tüm düğümlerin dereceleri çift ise (tüm düğümlerin çift sayıda kenarla bağlantısı varsa), o çizgede Euler döngüsü vardır. Bir çizgedeki iki düğümün derecesi tek, diğer düğümlerin dereceleri çift ise, o çizgede Euler yolu vardır. Derecesi tek olan düğümlerden birisi, Euler yolunun başlangıç düğümü; diğeri ise, bitiş düğümüdür. Eğer bir çizge için, bu teoremlerden birisi sağlanıyorsa; sağlanan teoreme göre, o çizgede kesinlikle Euler yolu ya da döngüsü vardır. Eğer bu teoremlerin ikisi de ilgili çizge için geçersiz ise; o çizgede kesinlikle Euler yolu ve döngüsü yoktur. Königsberg köprü probleminin, Şekil 2.13 teki çizge gösterimine Euler teoremleri ışığında bakıldığında; A, B, C ve D düğümlerinin derecelerinin sırasıyla 5, 3, 3, 3 olduğu görülmektedir. Dört düğümün de derecesi tek olduğu için; Königsberg şehrinde, Euler yolu veya döngüsü bulunmamaktadır. Bu nedenle, Königsberg şehrinin belirli bir

54 36 bölgesinden başlayıp aynı köprüden iki kez geçmeden bütün köprüleri dolaşarak başlanan noktaya geri dönmek mümkün değildir. Bir çizgede, Euler yolu/döngüsü olduğu bu teoremlerle belirlendikten sonra ise, sıra örnek bir yolun/döngünün gösterilmesine gelmektedir. Dikkat edileceği üzere, bir çizge üzerinde pek çok Euler yolu ya da döngüsü olabilmektedir. Örneğin, bir çizge ilk teoremi sağlıyorsa, o çizgede kesinlikle Euler döngüsü vardır. Döngüler, aynı düğümde başlayıp bittiğinden; ilgili çizgedeki her düğümün ayrı ayrı başlangıç/bitiş düğümü olarak ele alınabileceği ve ele alınan her düğüm için, farklı bir çok sıra izlenerek çizgenin dolaşılabileceği düşünülürse; o çizgede düğüm sayısıyla orantılı olacak şekilde, çok sayıda Euler döngüsü olduğu söylenebilir. Euler yolları ise, Euler döngülerine göre biraz daha kısıtlı sayıdadır; çünkü bu çizgeler iki tane tek dereceli düğüm içerdiğinden, bunlardan birisi yolun başlangıç düğümü, diğeri de bitiş düğümü olmak zorundadır. Ama bu düğümlerin hangisinin başlangıç, hangisinin bitiş düğümü olacağı yer değiştirebileceğinden ve ilgili seçim için farklı sırada yollar izlenebileceğinden; o çizgede mümkün olan yol sayının, birden fazla olduğu açıkça görülmektedir. Geliştirilen çizge uygulaması, belirtilen iki Euler teoremi ışığında; çizgelerde Euler yolu/döngüsü olup olmadığını belirlemekte, eğer varsa örnek bir yol/döngü göstermektedir. Örnek bir yolun/döngünün gösterilmesi, ilgili çizgede Euler yolu/döngüsü olduğunu ispat etmek için yeterlidir. Euler Path/Circuit belirlemek amacıyla kullanılabilecek pek çok algoritma olmakla birlikte; tez kapsamında, DFS algoritmasının

55 değiştirilmesi ile oluşturulan Şekil 2.13 teki algoritma tercih edilmiştir. 37 Euler(Graph graph, Vertex startvertex, Vertex finishvertex) 1 for each vertex v graph.vertices() 2 mark(v, Unvisited) 3 Vertex currentvertex; 4 mark(startvertex, Visited) 5 thestack.push(startvertex) 6 while (!thestack.isempty()) 7 currentvertex := thestack.peek() 8 Vertex v := getadjacentvertexforeuler(thestack.peek()) 9 if v is null 10 thestack.pop() 11 algorithmresult.remove(lastvisitededge) 12 else 13 mark(v,visited) 14 displayroute(currentvertex,v) 15 thestack.push(v) 16 if (v = finishvertex & iseulerfinishedbyvisitingalledges()) 17 gettheeulerroutetobefollowedfromthestack() Şekil Euler yol/döngü algoritması.

56 38 Şekil 2.14 te Euler yol/döngü algoritmasının çalışmasına ilişkin bir örnek verilmiştir. Bu örnekte, A ve C düğümlerinin dereceleri tek olduğu için; çizgede Euler yolu vardır. A dan başlayıp C de biten örnek bir Euler yolu adım adım gösterilmiştir. Şekil Euler yol/döngü algoritmasının adım adım çalışması.

57 Hamilton Yol/Döngü Algoritması Euler yol/döngü algoritmasında amaç, aynı kenar üzerinden sadece bir kez geçerek çizgedeki bütün kenarları dolaşmak iken; Hamilton yol/döngü algoritmasında amaç, aynı düğüm üzerinden sadece bir kez geçerek çizgedeki bütün düğümleri dolaşmaktır. Dolayısıyla, Euler ve Hamilton un temelde ayrıldıkları nokta birinin kenarları; diğerinin ise, düğümleri dolaşmakla ilgilenmesidir. Bir çizgede Euler yolu/döngüsü olup olmadığını belirlemek için kullanılan ve kesin sonuç veren iki teorem olmasına rağmen, Hamilton yolu/döngüsü bulmak için böyle bir durum yoktur. Hamilton yolları/döngüleri için de bir takım teoremler vardır; ancak, bunların kesin olarak sonuç üretmediği pek çok çizge bulunmaktadır. Bahsedilen Hamilton teoremleri Rosen K.H., (1995) te belirtilmiştir: Bir çizgedeki düğüm sayısı n olmak üzere; n>=3 ise ve her düğümün derecesi en az n/2 ise, o çizgede kesinlikle Hamilton döngüsü vardır. Eğer bu teorem sağlanmıyorsa, Hamilton döngüleri için geçerli olan ikinci teoreme bakılır: Eğer yönsüz bir çizgedeki her düğümün derecesi en az iki ise, o çizgede Hamilton döngüsü olabilir; değilse o çizgede kesinlikle Hamilton döngüsü yoktur. Bir çizgedeki tüm düğümlerin derecesinin en az iki olarak istenmesinin nedeni; o çizge Hamilton döngüsü kapsamında dolaşılırken, derecesi iki olan düğümlere bağlı olan iki kenardan birisinin, o düğüme gelmek için; diğerinin ise, o düğümden başka bir düğüme gitmek için kullanılacak olmasıdır.

58 40 Bu iki teorem de Hamilton döngüleri ile ilgilidir. Hamilton yolları için geçerli olan bir teorem daha vardır: Eğer bir çizgede derecesi bir olan en fazla iki düğüm varsa, o çizgede Hamilton yolu olabilir; değilse, o çizgede kesinlikle Hamilton yolu yoktur. Dikkat edilecek olursa, son iki teoremde olabilir ifadesi kullanılmıştır. Dolayısıyla, bir çizge ilgili teoremi sağlıyorsa, o çizgede kesinlikle Hamilton yolu/döngüsü vardır sonucu çıkartılamaz. Çizgenin yapısı incelenerek, bir çeşit deneme yanılma yolu ile o çizgenin Hamilton yolu/döngüsü içerip içermediği belirlenmeye çalışılır. Đşte Hamilton yol/döngü bulma algoritmalarındaki zorluk da buradan kaynaklanmaktadır. Hamilton, NP-Complete bir problemdir; dolayısıyla, Hamilton Path/Circuit belirlemek amacıyla kullanılan, kesin sonuç veren etkin bir algoritma bulunmamaktadır. Geliştirilen çizge uygulaması, Euler yol/döngü bulma işlemine benzer şekilde; Hamilton için de, sadece örnek bir yol/döngü göstermektedir. Şekil 2.15 te Hamilton Path/Circuit belirlemek için kullanılan algoritma gösterilmiştir. Bu algoritma da, Euler algoritması gibi DFS algoritmasının değiştirilmesi ile elde edilmiştir; aradaki farklılıklar, Euler ve Hamilton un kendine özgü koşullarından kaynaklanmaktadır. Şekil 2.16 da Hamilton yol/döngü algoritmasının çalışmasına ilişkin bir örnek verilmiştir. Bu örnekte, A düğümünde başlayıp yine A düğümünde biten örnek bir Euler döngüsünün belirlenmesi, adım adım gösterilmiştir.

59 41 Hamilton(Graph graph, Vertex startvertex, Vertex finishvertex) 1 for each vertex v graph.vertices() 2 mark(v, Unvisited) 3 Vertex currentvertex; 4 mark(startvertex, Visited) 5 thestack.push(startvertex) 6 while (!thestack.isempty()) 7 currentvertex := thestack.peek() 8 Vertex v := getadjacentvertexforhamilton(thestack.peek()) 9 if v is null 10 thestack.pop() 11 algorithmresult.remove(lastvisitededge) 12 else 13 mark(v,visited) 14 displayroute(currentvertex,v) 15 thestack.push(v) 16 if(v=finishvertex&ishamiltonfinishedbyvisitingalledges()) 17 getthehamiltonroutetobefollowedfromthestack() Şekil Hamilton yol/döngü algoritması.

60 42 Şekil Hamilton yol/döngü algoritmasının adım adım çalışması Çizge Renklendirme Algoritması Çizgelerin renklendirilmesi, çizge teorisinin çok kapsamlı bir alt alanıdır. Çizgelerin renklendirilmesi kapsamında; çizgelerdeki düğümlerin, kenarların veya düğümler ve kenarlar yardımıyla oluşturulan bölgelerin renklendirilmesi çalışmaları yapılabilir (Wikipedia, 2006b).

61 43 Örneğin, çizgelerde düğümler ve kenarlar yardımıyla oluşturulan bölgelerin renklendirilmesi çalışmaları, haritaların boyanmasında kullanılmaktadır. Bir haritanın farklı bölgelerindeki renkler, birbirine komşu olan iki bölge asla aynı renkte olmayacak şekilde ve mümkün olan en az miktarda renk çeşidi kullanılarak atanmalıdır. Dolayısıyla, bir haritadaki bölgeleri renklendirmek için gereken renk çeşidi sayısını bulmak, çizge renklendirme ile ilgili bir problemdir. Çizge renklendirmenin temel yaklaşımlarından birisi olan dört-renk teoremi (four-color theorem), Rosen K.H. (1995) ta şöyle açıklanmaktadır: Düzlemsel çizgelerin (planar graphs) kromatik numarası (chromatic number), dörtten büyük değildir. Bir çizgenin kromatik numarası, o çizgenin en az kaç renk çeşidi kullanılarak renklendirilebileceğini ifade etmektedir. Düzlemsel çizgeler, en fazla dört çeşit renk kullanılarak renklendirilebilirken, düzlemsel olmayan çizgelerin (nonplanar graphs) kromatik numarası daha büyük olabilmektedir. Burada bahsedilen düzlemsel çizgelere değinilecek olursa; eğer bir çizge, düzlemde hiçbir kenar çakışmayacak/kesişmeyecek şekilde çizilebilirse, o çizge düzlemseldir. Çizgelerin renklendirilmesi, günlük hayatta zaman dilimlerinin programlanması ve atama gibi çok çeşitli alanlardaki problemlerin çözümünde kullanılmaktadır. Örneğin, bir üniversitede sınav programlarının ya da ders programlarının hazırlanmasında, televizyon kanallarının frekans atamalarının yapılmasında, çizgelerin renklendirilmesinden faydalanılmaktadır. Verilen ilk örnek daha detaylı

62 44 olarak ele alınacak olursa; bir üniversitedeki sınav programı, öğrencilerin aynı anda iki tane sınava girmesi gibi istenmeyen durumlarla karşılaşılmayacak şekilde yapılmalıdır. Tez kapsamında geliştirilen mobil çizge uygulamasında, sadece düğümlerin renklendirilmesi çalışmaları yapılmış ve çizge renklendirme algoritması olarak da dört-renk teoremi gerçekleştirim için seçilmiştir. Dört-renk teoremi için kullanım amacıyla kırmızı, mavi, yeşil ve kahverengi renkleri seçilmiştir. Dört-renk teoreminin gerçekleştirime ilişkin algoritma, Şekil 2.17 de verilmiştir. Düğümlerin renklendirilmesine başlanmadan önce, düğümler henüz renk bilgisi taşımadığı için; 1. ve 2. adımlarda, düğümlere renk bilgisi olarak boş (null) atanmaktadır. 3. adımda; düğüm sayısı kadar çalışacak olan ve her çalıştığında bir düğümün renklendirileceği, for döngüsü başlamaktadır. Bu döngü içerisinde ilk olarak 4. adımda; daha önceden renklendirilmemiş olan en yüksek dereceli düğüm seçilir. Daha sonra 6. adımda başlayan for döngüsü ile çizgedeki her düğümün 7. adımdaki koşulu sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. 7. adımda yapılan işlem, seçili düğümün (selectedvertex) kendisine komşu olan düğümlerden farklı bir renk ile renklendirilmesini sağlamak amacıyla, komşularının renkleri kontrol etmektir. Eğer 7. adımda, ilgili komşu düğümün renkli olduğu tespit edilirse; 8. adımda ilgili düğümün rengi, kullanıldığına dair mevcut dört renk alternatifi içerisinde işaretlenir. 6. adımda başlayan for döngüsü sonucunda, seçili düğümün komşularının renkleri tespit edilir ve 9. adımda seçili düğümün dört-renk teoremine göre renklendirilebilmesi için, komşuları tarafından kullanılmayan uygun bir renk olup olmadığı kontrol edilir. Eğer uygun bir renk bulunursa, ilgili düğüm 10. adımda belirlenen uygun renk ile renklendirilir. Eğer uygun bir renk bulunamazsa, 12. adımda çizgenin

63 45 düzlemsel (planar) çizge olmadığı ve bu nedenle dört-renk teoremi ile renklendirilemeyeceği belirtilir. GraphColoringByFourColorTheorem(Graph graph) 1 for each vertex v graph.vertices() 2 vertexcolors[v] := null 3 for each vertex v graph.vertices() 4 selectedvertex = selectuncoloredvertexwiththehighestdegree() //Vertices should be selected according to their degrees 5 colorsusedbyadjacentvertices := null 6 for each vertex w graph.vertices() 7 if adjmat[selectedvertex][w]!=0&vertexcolors[w] is not null 8 colorsusedbyadjacentvertices.add(vertexcolors[w]) 9 if colorsusedbyadjacentvertices has less then 4 colors in use 10 vertexcolors[selectedvertex].setcolor() 11 else 12 graph.set(not planar) //selectedvertex can not be colored by four color theorem; thus, graph is not planar Şekil Dört-Renk Teoremi çizge renklendirme algoritması. Şekil 2.18 de, dört renk teoremi çizge renklendirme algoritmasının çalışmasına ilişkin bir örnek verilmiştir. Bu örnekte; derecesi en büyük olan D düğümünden başlanarak, çizgedeki bütün düğümlerin sıra ile renklendirilmesi gösterilmiştir. Bu örnekteki çizge; kırmızı, mavi ve yeşil

64 46 olmak üzere üç renk kullanılarak renklendirildiği için, çizgenin kromatik numarası 3 tür. Şekil Çizge renklendirme algoritmasının adım adım çalışması.

65 47 3. MOGRAPH : MOBĐL ÇĐZGE ÖĞRENME SĐSTEMĐ Bir önceki bölümde ele alınan çizge teorisi, verilen örneklerden de anlaşılacağı üzere mühendislik alanı için çok önemlidir ve pek çok mühendislik alanı uygulamasında kullanılmaktadır. Günümüzde, mühendislik dalları içinde, özellikle de bilgisayar, elektrik ve endüstri mühendisliği dallarında; çizge teorisinin kullanım alanları gün geçtikçe daha da artmakta, anılan teori birçok akademik çalışma ve özellikle de ders için altyapı hazırlamaktadır. Öğrencilerin konuyu daha iyi anlayabilmeleri ve daha fazla uygulama yapabilmeleri amacıyla, Ege Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü nde, Ayrık Yapılar (Discrete Structures/Discrete Mathematics) dersinin içerisinde verilen çizge teorisi ve uygulamalarını, öğrencilerin hem kendi kendilerine uygulama yaparak pekiştirebilmeleri, hem de dersi veren öğretim üyeleri tarafından zaman zaman küçük sınavlar yapılarak konuların canlı tutulması ve öğrenim düzeyinin ölçülmesi amacıyla MOGRAPH (MObile GRAPH kelimelerinin kısaltılmış şeklidir) adı verilen bir kütüphane geliştirilmiştir. MOGRAPH, hem mobil aygıtlar üzerinde, hem de masaüstü bilgisayarlar üzerinde çalıştırılabilecek bir uygulama olarak geliştirilmiştir. Tezin bu bölümünde, yukarıda geliştirilme amacına değinilen mobil çizge öğrenme sistemi olan MOGRAPH hakkında ayrıntılı bilgi verilmektedir. Bölüm 3.1 geliştirilen sistemin genel bir tanıtımı niteliğinde olup, sistemin ana bileşenleri hakkında temel kullanım bilgileri içermektedir. Bölüm 3.2 de sistemin altyapısı ve gerçekleştirim detayları ayrıntılı olarak incelenmiştir. Bölüm 3.3 ise, sistem geliştirilirken izlenen yöntem ve MOGRAPH ın Ayrık Yapılar dersi

66 48 kapsamında kullanılmasına ilişkin bilgi vermekte ve öğrencilere uygulanan bir ankete ilişkin sonuçlar içermektedir Geliştirilen Sistemin Tanıtılması Geliştirilen mobil çizge öğrenme sisteminin tanıtımına başlanmadan önce, sistemdeki temel kullanıcılardan bahsedilmelidir. Buna göre sistemde; Öğretim üyesi (lecturer) Öğrenci (student) şeklinde iki tip kullanıcı bulunmaktadır. Öğretim üyesi, sistemde öğrencilerden daha fazla yetkiye sahiptir. Bu yetkilerin neler olduğu, sistem tanıtılırken ilglili kısımlarda ele alınacaktır. Öğrenci tipindeki kullanıcılar, sistemde kayıtlı olan ve Ayrık Yapılar dersini alan öğrenciler ile konuklardan (guest) oluşmaktadır. Bahsedilen bu kullanıcı tipleri farklı yetkilere sahip olduğundan, uygulama kapsamında bir üyelik (login) sistemi geliştirilmiş ve kullanıcıların kendi yetkileri dahilinde sisteme giriş yapmaları sağlanmıştır. Öğretim üyeleri ve öğrenciler kendi kullanıcı adlarını ve şifrelerini girerek, konuklar ise kullanıcı adı ve şifre bölümlerine guest yazarak sisteme giriş yapabilmektedir. Geliştirilen mobil çizge öğrenme sistemin tanıtılmasına geçilecek olursa, MOGRAPH uygulaması; Üyelik (Login) Sistemi Çizge Grafik Arayüzü

67 49 Çizge Algoritmaları Küçük Sınav (Quiz) olmak üzere dört temel mantıksal bileşenden oluşmaktadır. Bunlardan ilki, bu bölümün başında bahsedilen üyelik sistemidir. Đkincisi ise; yeni çizgeler oluşturmak, var olan çizgeleri biçimlendirmek, çizgeleri kaydetmek ve daha önceden kaydedilmiş çizgeleri açmak gibi işlemleri gerçekleştiren interaktif bir grafiksel kullanıcı arayüzüdür (GUI - graphical user interface). Üçüncü temel bileşen olan çizge algoritmaları ise, tezin ikinci bölümünde tanıtılan çizge algoritmalarını çalışma alanındaki çizge üzerinde uygulamaktadır. Dördüncü ve son bileşen ise öğrencilerin kendi bilgi düzeylerini test etmelerini sağlayan küçük sınav (quiz) bileşenidir. Uygulamanın ilk bileşeni olan üyelik sistemi, uygulama çalıştırıldığında açılış ekranı olarak gelmekte ve kullanıcılar bu bileşeni kullanarak sisteme giriş yapmaktadır (Şekil 3.1). Son üç bileşen ise, genel Microsoft Windows menü yapısı göz önüne alınarak menülere dağıtılmıştır. Bunun sonucunda oluşan ana menüler File (Dosya), Edit (Düzen), Operations (Đşlemler) ve Help (Yardım) menüleridir. Bahsedilen menü yapısı, kullanıcılar sisteme giriş yaptıktan sonraki kullanımla ilgili olduğu için, bu menü yapısında üyelik bileşeni yer almamaktadır. Uygulamanın ikinci bileşeni olan grafiksel kullanıcı arayüzü işlemleri, Microsoft Windows menü yapısının getirdiği bir sonuç olarak iki ayrı ana menü içerisine dağılmıştır. Bunlar File (Dosya) ve Edit (Düzen) menüleridir.

68 50 Şekil 3.1. Üyelik (Login) sistemi bileşeni, kullanıcı giriş ekranı. Üçüncü ve dördüncü bileşenler olan çizge algoritmaları ve küçük sınav bölümleri ise; temelde çizgelerle ilgili uygulanabilecek işlemler olduklarından, Operations (Đşlemler) ana menüsü içerisine yerleştirilmiştir. Help (Yardım) ana menüsü ise yardım konularını içermektedir. Đzleyen alt bölümlerde bahsedilen bu menü yapılarının kullanımına ilişkin detaylı bilgi verilerek, sistem kullanıcılara tanıtılmaktadır File (Dosya) Ana Menüsü Bölüm 3.1 de, grafiksel kullanıcı arayüzü bileşeni işlemlerinin File (Dosya) ve Edit (Düzen) menülerine dağılmış olduğu ele alınmıştı. Bu kapsamdaki ilk ana menü olan File (Dosya) menüsünün

69 51 içeriğine bakıldığında Şekil 3.2 de gösterildiği üzere; New (Yeni), Open (Aç), Save (Kaydet), Special Graphs (Özel Çizgeler) ve Exit (Çıkış) alt seçeneklerini içerdiği görülmektedir. Şekil 3.2. File (Dosya) menüsü içeriği. New (Yeni) seçeneği, yeni bir çizge oluşturmaya başlamak amacıyla kullanılır. Bununla birlikte, eğer çalışma alanında hali hazırda bir çizge varsa, kullanıcıya bu çizgeyi kaydetmek isteyip istemediği sorulmaktadır. Daha önceden kaydedilen çizgeler bu menüdeki Open (Aç) seçeneği seçilerek çalışma alanına yüklenebilmektedir. Kullanıcılar çizge oluşturma işlemlerini tamamladıklarında, var olan bir çizge üzerinde istedikleri değişiklikleri yaptıklarında ya da daha sonra devam etmek üzere o çizgeyle ilgili işlemlerini tamamladıklarında, Save (Kaydet) seçeneğini kullanarak çalışma alanındaki çizgeyi mobil cihazın belleğine ya da SD kartına kaydedebilmektedir. Daha sonra istedikleri zaman, Open (Aç) seçeneğini kullanarak kaldıkları yerden ilgili çizge

70 52 ile çalışmaya devam edebilmektedirler. Special Graphs (Özel Çizgeler) seçeneği, kullanıcının bazı özel çizge türlerini otomatik olarak oluşturmasını sağlamaktadır. Şekil 3.3 te örnek parametrelerin seçili olduğu özel çizge oluşturma ekranı, Şekil 3.4 te ise bu örnek parametrelere göre oluşturulan özel çizge ekranı görülmektedir. MOGRAPH uygulamasında özel çizge türü olarak; complete graphs (tam çizgeler), cycles (döngü çizgeleri) ve wheels (tekerlek çizgeleri) desteklenmektedir. Tam çizgeler, farklı her düğüm çifti arasında sadece bir kenarın yer aldığı çizgelerdir. Her düğümün sadece kendisine en yakın olan en dıştaki iki düğüm ile kenarlar aracılığı ile bağlanarak döngü oluşturduğu çizgeler, cycle çizgeleridir. Wheel çizgeleri ise, döngü çizgelerinin tam ortasına yeni bir düğüm ve bu düğümden diğer tüm düğümlere birer kenar eklenmesi ile oluşmaktadır. Complete graph, cycle ve wheel özel çizge türleri; n (dışsal) düğüm sayısı olmak üzere sırasıyla K n, C n ve W n şeklinde gösterilmektedir. Bu özel çizgelere ilişkin K 5, C 5 ve W 5 çizge örnekleri Şekil 3.5 te gösterilmiştir. Exit (Çıkış) seçeneği ise, MOGRAPH uygulamasından çıkmak için kullanılmaktadır Edit (Düzen) Ana Menüsü Edit (Düzen) ana menüsü; Insert Vertex (Düğüm Ekle), Insert Edge (Kenar Ekle), Delete Vertex (Düğüm Sil), Delete Edge (Kenar Sil), Rename Vertex (Düğüm Yeniden Adlandır), Assign/Update Edge Weight (Kenar Ağırlığı Ata/Güncelle) ve Move Vertex (Düğüm Taşı) seçeneklerini içermektedir. Bu seçenekler, yeni çizgeler oluşturmak ve mevcut çizgeleri biçimlendirmek için kullanılmaktadır. Şekil 3.6 da Edit (Düzen) menüsünün içeriği gösterilmiştir. Şekil 3.7 de ise, bu menü kullanılarak oluşturulan, 6 düğüm ve 9 kenar içeren örnek

71 53 bir yönsüz çizge vardır. Şekil 3.3. Special Graphs (Özel Çizgeler) ekranı. Şekil 3.4. Special Graphs (Dosya) seçeneği kullanılarak oluşturulan bir çizge.

72 54 Şekil 3.5. Özel çizge örnekleri (a) K 5, (b) C 5, (c) W 5. Yeni bir düğüm eklemek için; Edit (Düzen) ana menüsünden Insert Vertex (Düğüm Ekle) seçeneği seçildikten sonra, mobil cihaz ekranı üzerinde yeni düğümün eklenmek istendiği bölge tıklanmalıdır (clicking/tapping). Yeni eklenen düğümler, Đngiliz alfabesine göre otomatik olarak adlandırılmaktadır. Çizgeye eklenen düğümlerin yerleri, daha sonra istenildiği zaman Edit (Düzen) menüsündeki Move Vertex (Düğüm Taşı) seçeneği kullanılarak, değiştirilebilmektedir. Bunu yapmak için, bahsedilen seçenek seçildikten sonra, yeri değiştirilemek istenen düğümün üzerine tıklanır ve bu düğüm yeni konumuna sürüklenir. Bu seçenek kullanılarak Şekil 3.7 de gösterilen çizgede, A ve F düğümlerin taşınması sonucunda oluşan yeni çizge Şekil 3.8 de

73 55 verilmiştir. Şekil 3.6. Edit (Düzen) menüsü içeriği. Şekil 3.7. Edit menüsü kullanılarak oluşturulan örnek bir yönsüz çizge.

74 56 Şekil 3.8. Düğümlerin yerlerinin değiştirilmesi (taşınması) örneği. Düğümlerin arasına kenar eklemek için, kullanıcılar Insert Edge (Kenar Ekle) seçeneğini seçmeli ve eklemek istedikleri yeni kenarın başlangıç ve bitiş düğümlerinin üzerine tıklamalıdır. Çizgedeki kenarları silmek için, kullanıcı Delete Edge (Kenar Sil) seçeneğini seçer ve silmek istediği kenarın üzerine tıklar. Delete Vertex (Düğüm Sil) seçeneği ise, düğümleri birer birer silmek için kullanılmaktadır. Bu seçenek seçildiğinde, kullanıcıdan silmek istediği düğümün üzerine tıklaması istenmektedir. Daha sonra, kullanıcının seçtiği düğüm ve bu düğüme bağlı olan bütün kenarlar silinmektedir. Rename Vertex (Düğüm Yeniden Adlandır) seçeneği, otomatik adlandırma ile isimlendirilen düğümlerin isimlerini değiştirmek için kullanılmaktadır. Assign/Update Edge Weight (Kenar Ağırlığı Ata/Güncelle) seçeneği ise, ağırlıklı çizgeler oluşturmak için

75 57 kullanılmaktadır. Bu seçenek kullanılarak bir çizgenin kenarlarına ağırlık değeri atanabilir ve daha önceden atanmış olan ağırlıklar güncellenebilir Operations (Đşlemler) Ana Menüsü Operations (Đşlemler) menüsü, temel olarak, çalışma alanındaki çizgeler ile ilgili uygulanabilecek işlemlerin bir araya gruplandığı ana menüdür. Bu ana menü, Mode (Çalışma Biçimi), View (Görünüm), ve Algorithms (Algoritmalar) alt menüleri ile birlikte Quiz (Küçük Sınav) ve Upload Question (Sunucuya Soru Yükleme) seçeneklerini içermektedir. Operations (Đşlemler) ana menüsünün içeriği Şekil 3.9 da gösterilmiştir. Mode (Çalışma Biçimi) alt menüsü, Directed Graphs (Yönlü Çizgeler) ve Undirected Graphs (Yönsüz Çizgeler) seçeneklerini içermektedir. MOGRAPH çalıştırıldığında Undirected Graphs (Yönsüz Çizgeler) seçeneği varsayılan (default) olarak seçili kabul edilir ve yönsüz çizge işlemleri yapılır. Eğer kullanıcı yönlü çizgelerle çalışmak istiyorsa, Directed Graphs (Yönlü Çizgeler) seçeneğini seçmelidir. Şekil 3.10 da Directed Graphs (Yönlü Çizgeler) seçeneği seçildikten sonra oluşturulan örnek bir yönlü çizgeye ilişkin ekran görüntüsü verilmiştir. View (Görünüm) alt menüsü, Adjacency Matrix (Komşuluk Matrisi) ve Incidence Matrix (Incidence Matrisi) seçeneklerini içermektedir (Şekil 3.11). Bu iki seçenek, o anda çalışma alanında bulunan çizgenin ilgili matrisini göstermek için kullanılır. Örneğin, Şekil 3.7 de gösterilen çizgenin, bu seçenekler kullanılarak oluşturulan komşuluk matrisi Şekil 3.12 de; incidence matrisi ise, Şekil 3.13 te gösterilmiştir.

76 58 Şekil 3.9. Operations (Đşlemler) menüsü içeriği. Şekil Mode - Directed Graphs seçildikten sonra oluşturulan örnek bir yönlü çizge.

77 59 Şekil View menüsü içeriği. Şekil View - Adjacency Matrix ekranı.

78 60 Şekil View - Incidence Matrix ekranı. MOGRAPH ın üçüncü ana bileşeni olan çizge algoritmalarına Operations (Đşlemler) ana menüsündeki Algorithms (Algoritmalar) alt menüsü aracılığıyla ulaşılmaktadır. Algorithms (Algoritmalar) alt menüsü, çalışma alanında bulunan çizge üzerinde uygulanabilecek olan altı tane algoritma içermektedir (Şekil 3.14). Bu algoritmalar tezin ikinci bölümünde detaylı olarak açıklanan Depth First Search (DFS), Breadth First Search (BFS), Dijkstra s Shortest Path, Euler Path/Circuit, Hamilton Path/Circuit ve Graph Coloring algoritmalarıdır. Bu algoritmaların çalışmaları MOGRAPH ta aşama aşama gözlemlenebilmektedir. Temel çizge dolaşma algoritmaları olan, DFS ve BFS algoritmalarını çalıştırmak için; kullanıcı ilgili algoritmayı, algoritmalar alt menüsünden seçer ve program kullanıcıdan bir başlangıç düğümü seçmesini ister. Daha sonra, kullanıcı seçilen algoritmaya göre, çizgenin

79 61 adım adım dolaşılmasını gözlemleyebilir. Her adımda, dolaşılan yeni düğüm ve bu düğüme giden kenar farklı bir renkte (kırmızı ve mavi) boyanarak, o aşamada dolaşılan düğüm/kenar açıkça belirtilir. Çizgedeki düğümlerin ilgili algoritmaya göre dolaşılma sırasını daha net görebilmek için, düğümleri dolaşmak için kullanılan kenarların dolaşılma sırası, ekranın alt bölümünde yazdırılır. Şekil 3.15 te ve Şekil 3.16 da, sırasıyla DFS ve BFS algoritmaları kullanılarak gerçekleştirilen örnek iki çizge dolaşımı gösterilmiştir. Dijkstra s Shortest Path algoritması, öncelikle kullanıcıdan aralarındaki en kısa yolun hesaplanacağı başlangıç ve bitiş düğümlerini seçmesini istemektedir. Daha sonra, en kısa yolun uzunluğu ve bu yolun hangi düğümlerden geçtiği bilgisi kullanıcıya gösterilmekte ve bulunan en kısa yol, ilk iki algoritmanın çalışmasında olduğu gibi adım adım gösterilmektedir. Şekil 3.17 de Dijkstra en kısa yol bulma algoritmasının çalışmasına ilişkin bir örnek gösterilmiştir. Şekil Algorithms (Algoritmalar) alt menüsü içeriği.

80 62 Şekil A düğümünden başlayan DFS dolaşım örneği. Şekil A düğümünden başlayan BFS dolaşım örneği.

81 63 Şekil A ile F düğümleri arasında en kısa yolu bulma örneği. Algorithms (Algoritmalar) menüsündeki Euler Path/Circuit ve Hamilton Circuit/Path algoritmaları seçenekleri, hangisinin uygulandığına bağlı olarak, çalışma alanındaki çizgede Euler ya da Hamilton yolu/döngüsü olup olmadığını belirlemek için kullanılır. Euler ve Hamilton Circuit/Path algoritmaları, eğer herhangi bir yol/döngü belirleyememiş ise, bu durumu kullanıcıya bir mesajla bildirmektedir. Aksi takdirde, belirlenen örnek bir yol/döngü için hem izlenecek düğüm sırası, hem de bu düğümlere ulaşmak için kullanılan kenar sırası kullanıcıya bir mesaj ile gösterilmektedir. Daha sonra, her iki algoritma için, kenarların dolaşılma sırası ekranın altında gösterilmekte ve bu kenar sırası adım adım çalıştırılmaktadır. Şekil 3.18 de ve Şekil 3.19 da, sırasıyla Euler yolu ve Hamilton döngüsü örnekleri gösterilmiştir.

82 64 Şekil Euler yolu örneği. Şekil Hamilton döngüsü örneği.

83 65 Algorithms (Algoritmalar) alt menüsünün son seçeneği olan Graph Coloring (Çizge Renklendirme) algoritması, ikinci bölümde belirtildiği üzere, dört-renk teoremi kullanılarak gerçekleştirilmektedir. Buna göre; eğer çalışma alanındaki çizge, dört-renk teoremine göre renklendirilmek için uygun ise (düzlemsel/planar çizge ise), ilgili çizgenin düğümleri, mümkün olan en küçük renk çeşidi sayısı olan o çizgenin kromatik numarası kadar renk çeşidi kullanılarak renklendirilmiş olarak gösterilir. Eğer bir çizge dört-renk teoremi kullanılarak renklendirilemiyorsa, kullanıcıya çalışma alanındaki çizgenin düzlemsel çizge olmadığına dair bir mesaj gösterilmektedir. Düğümleri dört-renk teoremine göre renklendirilmiş örnek bir çizge, Şekil 3.20 de gösterilmiştir. Şekil Çizge renklendirme örneği. Operations (Đşlemler) ana menüsündeki Quiz (Küçük Sınav) seçeneği, MOGRAPH uygulamasının dördüncü ana bileşenidir. Quiz

84 66 seçeneği seçildiğinde, uygulama sunucuya (server) bağlanır. Sunucu bilgisayarın kapalı olması ya da geçici bir süre hizmet verememesi gibi bir nedenle sunucu bağlantısı başarısız olursa, bu durum kullanıcıya bir mesaj gösterilerek bildirilmektedir. Eğer sunucu bağlantısı başarılı bir şekilde gerçekleştirilirse, kullanıcı için bir küçük sınav oturumu (quiz session) açılmaktadır. Her küçük sınav oturumu üç sorudan oluşmakta ve kullanıcılara her soruyu cevaplamak için 5 dakika süre verilmektedir. Dolayısıyla, sunucu bağlantısı gerçekleştiğinde, yeni bir küçük sınav oturumu açılır, kullanıcı küçük sınav oturumunun ilk sorusunu ekranında görür ve soru için verilen süre işlemeye başlar. Kullanıcı soruları, verilen zaman dilimi içerisinde cevaplamak zorundadır. Eğer bu süre dolarsa, uygulama otomatik olarak cevap bölümünün içeriğini kullanıcı cevabı olarak alıp, bir sonraki soruya geçmektedir. Kullanıcı bir soruyu verilen süre dolmadan önce çözerse, bulduğu sonucu cevap için ayrılan alana yazıp, bu alanın yanındaki OK butonuna basarak soruyu cevaplayabilir. Kullanıcı ilk soruya cevap verdiğinde, sunucudan ikinci soruya ait bilgiler getirilir ve kullanıcının ekranında gösterilir. Aynı prosedür, üçüncü soru için de gerçekleşmektedir. Kullanıcı son soru olan üçüncü soruyu da cevapladığında, kullanıcıya kendi cevaplarının ve cevap anahtarının olduğu küçük sınav sonucu penceresi gösterilir. Şekil 3.21 de bir quiz oturumuna ait örnek soru ekranı görülmektedir. Şekil 3.22 de ise örnek bir küçük sınav sonucu ekran görüntüsü gösterilmiştir. Upload Question (Sunucuya Soru Yükleme) seçeneği, sadece öğretim üyesi yetkisine sahip bir kullanıcı sisteme giriş yaptığında, aktif olmaktadır. Bu seçenek kullanılarak, küçük sınav oturumlarında öğrencilere sorulacak sorular sunucuya yüklenmektedir. Bu seçenek seçildiğinde kullanıcıdan soruya kaynaklık eden çizgeyi oluşturması istenir. Kullanıcı daha sonra, Şekil 3.23 teki soru metni ve cevap metni alanlarını da doldurarak, soruyu veritabanına kaydedilmek üzere,

85 67 sunucuya gönderir. Şekil Küçük sınavda sorulan bir soru örneği. Şekil Örnek bir küçük sınava ait sonuçlar ekranı.

86 68 Şekil Upload Quesiton ekranı Help (Yardım) Ana Menüsü Help ana menüsü MOGRAPH uygulamasının kullanımına ve çizge algoritmalarına ilişkin dökümantasyonu içermektedir. Help menüsü tıklandığı zaman açılan yardım ekranı, Şekil 3.24 te gösterilmiştir Sistemin Gerçekleştirim Detayları MOGRAPH, Microsoft Visual Studio.NET 2003 ortamında C# dili ile gerçekleştirilen açık kodlu bir mobil uygulamadır. MOGRAPH uygulamasını mobil cihazlarda kullanmak için; adresinden MOGRAPH ın PDA sürümü için verilen.exe dosyası, bir internet tarayıcıyısı kullanılarak

87 69 mobil cihaza indirilmelidir. MOGRAPH çalıştırıldığı zaman, login ve quiz bölümlerinde, WLAN ya da GRPS bağlantısı kullanılarak, internete bağlanılmasını gerektirmektedir. MOGRAPH, üniversite kampüsü içerisinde Wireless LAN, üniversite dışında ise GPRS bağlantısı kullanılarak test edilmiştir. Kampus içi çalışmalarda, Asus MyPal 760 (WLAN desteği için), kampüs dışı çalışmalarda ise i-mate Qtech (GPRS desteği için) marka PDA aygıtları kullanılmıştır. MOGRAPH ı masüstü bilgisayarlarda kullanmak için ise, aynı adresten MOGRAPH ın masaüstü sürümü için verilen.exe dosyası bilgisayara indirilerek çalıştırılmalıdır. Uygulamanın hem PDA hem de PC sürümlerinin ilgili cihazlarda çalışabilmesi için sistem gereksinimi olarak, Visual Studio.NET 2003 Framework 1.1 in kurulu olması gerekmektedir. Şekil Help ekranı.

88 70 Bu bölümün ilerleyen alt bölümlerinde, geliştirilen mobil çizge öğrenme sisteminin tasarımı ve gerçekleştirim detayları hakkında bilgi verilmektedir. Bu kapsamda, Sınıflar ve Metotlar, Çizge Algoritmaları ve MographSS Web Servisi şeklinde üç alt bölüm bulunmaktadır Sınıflar ve Metotlar Çizgelerin gösterimi için; bağlaçlı listeler (linked lists) ve ikiboyutlu matrisler (two-dimensional matrices) gibi farklı veri yapıları kullanılabilir (Rosen, K.H., 1995, Johnsonbaugh, R., 1997, Waite, M. and Lafore, R., 1998, Kruse et al., 1997). MOGRAPH ta kullanıcılar çalışma zamanında dinamik olarak devamlı yeni düğümler ve kenarlar ekleyip silecekleri için, çizgelerin gösteriminde dinamik bir veri yapısı kullanılmalıdır. Đki-boyutlu matrisler, statik olduğu için ve kullanılabilecek düğüm miktarını önceden kısıtladığı için uygulanabilir değildir. Bağlaçlı liste kullanımı ise, küçük çizgelerin gösteriminde uygun olmakla birlikte, büyük çizgelerde karmaşıklığı arttırdığından yeterince etkin değildir. C# ta arraylist kullanımı, çizgelerin gösterimi için uygulanabilir en etkin çözüm olduğundan, MOGRAPH uygulamasında düğüm ve kenar bilgilerini tutmak için vertices ve edges adlarında iki arraylist kullanılmaktadır. MOGRAPH ta çizgelerle ilgili olarak; Vertex Edge Graph

89 71 adlarında üç temel sınıf tanımlanmıştır. Graph sınıfı, Vertex ve Edge sınıflarından oluşturulan nesneleri saklayan vertices ve edges arraylist lerini ve çizgedeki düğüm ve kenarlar üzerinde işlem yapan metotları içermektedir (Daha detaylı bilgi için; Ek 2 deki Şekil Ek 2.1 de verilen MOGRAPH sınıf şeması incelenebilir). Vertex nesneleri benzersiz (unique) bir ID ye, isim bilgisine ve düğümün mobil cihaz ekranındaki koordinatlarını tutan bir nokta (point) nesnesine sahiptir. Edge nesneleri ise, ilgili kenarın başlangıç ve bitiş düğümlerinin vertex ID lerini ve kenarın ağırlık değerini içermektedir. Vertex ve Edge sınıf yapıları Şekil 3.25 te gösterilmiştir. public class Vertex { private int vertexid; //The unique ID assaigned to each vertex private String vertexname; //The name of the vertex to display private Point vertexpoint; //The position (coordinates) of the vertex } //... (other content of the class) public class Edge { private int startvertexid,endvertexid; //The IDs of the start and end vertices of the edge private int weight; //The weight value of the edge betweeen the vertices } //... (other content of the class) Şekil Vertex ve Edge sınıf yapıları.

90 72 C# ta kullanıcının tıkladığı bir noktanın bir düğümün ya da bir kenarın üzerinde olup olmadığını belirleyen hazır (built-in) bir metot bulunmadığından, Graph sınıfına bu işlemleri gerçekleştiren; IsClickedOnVertex IsClickedOnEdge adlarında iki metot eklenmiştir. Düğüm bölgelerini tespit edebilmek için, analitik geometrideki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama formülü (Formül - 1), IsClickedOnVertex metodu tarafından kullanılmıştır. Bu formül, vertices arraylist indeki tüm düğümler için sırayla uygulanır. Eğer arraylist te tıklanan noktaya en fazla 5 piksel uzaklıkta yer alan bir düğüm bulunursa, kullanıcının o düğümün üzerine tıkladığı kabul edilir. Uzaklık= (X + (Formül-1) 2 2 Vertex - X ClickedPoint ) (YVertex - YClickedPoint ) Tıklanan bir noktanın bir kenar üzerinde olup olmadığını anlamak için ise, IsClickedOnEdge metodu çalıştırılır. Bu metod tıklanan nokta verisi ile edges arraylist indeki bütün kenarları birer birer inceler. Bu inceleme iki aşamadan oluşmaktadır. Đlk olarak analitik geometrideki bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü (Formül-2) kullanılır. Bu formül ile tıklanan noktanın o sırada incelenen kenara olan uzaklığı hesaplanır. (Formül-2) de, StartVertex ve EndVertex, ilgili kenarın bağlı olduğu iki düğümü temsil etmektedir. Eğer bu formül kullanılarak hesaplanan uzaklık 2 pikselden küçük ise, ikinci aşamaya geçilir. Bu aşamada tıklanan noktanın, o sırada kontrol edilen kenarın bağlı olduğu iki düğüm arasındaki doğru parçası üzerinde olup olmadığı araştırılır.

91 73 Uzaklık = a * X ClickedPo int + b * a 2 + b Y 2 ClickedPo int + c (Formül-2) a = Y StartVerte Y x EndVertex b = X EndVertex X StartVertex c = ( X StartVertex * YEndVertex ) ( YStartVertex * X EndVertex ) buradaki a, b ve c değerleri aşağıdaki formülden hesaplanmaktadır: X X X StartVertex StartVertex X EndVertex = Y Y Y StartVertex StartVertex Y EndVertex Kullanıcı yeni bir düğüm/kenar eklediğinde; yeni bir düğüm/kenar nesnesi yaratılıp, graph sınıfındaki vertices/edges arraylist ine eklenmektedir. Kullanıcı bir kenar silmek amacıyla, ekranda bir noktaya tıkladığında; tıklanan nokta, IsClickedOnEdge metodu tarafından incelenir ve eğer bir kenarın üzerine tıklanmışsa, belirlenen kenar edges arraylist inden kaldırılır. Düğümlerin silinmesi de benzer bir mantıkla yapılmaktadır. Bunun için IsClickedOnVertex metodu kullanılır ve tıklanan bölgede bir düğüm belirlenirse, öncelikli olarak belirlenen düğüme bağlı olan kenarlar edges arraylist inden kaldırılır; daha sonra da düğümün kendisi vertices arraylist inden kaldırılır. Bir düğümün yeniden adlandırılması işleminde, yeniden adlandırılmak istenen düğüm, düğüm silme işleminde olduğu gibi IsClickedOnVertex metodu ile belirlenir. Daha sonra, belirlenen düğümün isim sahası vertices arraylist i üzerinde güncellenir. Move vertex işlemi de tıklanan düğümü belirledikten sonra, ilgili düğümün vertices arraylist indeki koordinatlarını günceller. Assign/update edge

92 74 weight işlemi ise, önce tıklanan kenarı IsClickedOnEdge metodu ile belirler, daha sonra da edges arraylist inde; belirlenen kenara ağırlık değeri atar ya da ilgili kenarın mevcut ağırlık değerini günceller Çizge Algoritmaları MOGRAPH taki ilk beş algoritmanın (DFS, BFS, Dijsktra, Euler & Hamilton Path/Circuit) genel gerçekleştirim altyapısı aynıdır. Altıncı algoritma olan Graph Coloring, diğer algoritmalardan farklı olduğundan, anılan algoritmalardan farklı veri yapıları kullanılarak gerçekleştirilir. Bununla birlikte, gerçekleştirimi yapılan bu altı çizge algoritmasının ortak bir yönü bulunmaktadır; bu algoritmaların hepsi çizgenin komşuluk matrisini (adjacency matrix) girdi olarak alıp, üzerinde işlem yapmaktadır. Dolayısıyla, çizgenin komşuluk matrisi, algoritmalar uygulanmadan önce yaratılmalıdır. Düğüm ve kenar bilgileri arraylist lerde saklandığından, algoritmalardan herhangi biri çalıştırılacağı zaman, arraylist lerdeki düğüm ve kenar verileri kullanılarak ilgili çizgenin komşuluk matrisi oluşturulur. Bir çizgenin komşuluk matrisi oluşturulurken, vertices arraylist i kullanıldığından, düğümlerin komşuluk matrisindeki sıraları, vertices arraylist ine eklenme sıraları ile aynıdır. Bu nedenle, çizge algoritmalarının MOGRAPH ta, düğümlerin çizgeye eklenme sırasına göre uygulandığı düşünülebilir. Bu algoritmaların çalışması sırasında, sonuçlar yeni oluşturulan algorithmresult adında bir arraylist te tutulur. Bu arraylist, izlenecek rota (düğüm/kenar sırası) bilgisini tutmaktadır. Algoritmaların çalışması bittiğinde, algoritmanın sonuçlarını adım adım gösterecek olan bir timer (zamanlayıcı) aktif hale getirilir. Bu timer 1000 milisaniyelik aralıklarla çalışır ve her çalışmasında algorithmresult ta

93 75 tutulan izlenecek rota bilgisinden, bu rotayı adım adım gösterebilmek amacıyla, bir kenarlık bilgi alır ve ilgili pencerenin (windows form) paint metodunu çağırarak ekrandaki görüntüyü güncelleştirir. MOGRAPH taki DFS ve BFS algoritmaları, çizgeleri dolaşırken DFS için bir yığıt (stack), BFS içinse bir kuyruk (queue) veri yapısının kullanıldığı Waite, M. and Lafore, R., (1998) de verilen temel algoritmik yapıyı kaynak olarak almaktadır. Bununla birlikte, bu algoritmalar MOGRAPH ta sonuçları algorithmresult arraylist inde saklayacak şekilde genişletilmiştir. Algoritmalar çalışırken, algorithmresult arraylist i izlenecek düğüm sırası ile ilgili bilgilerle dolmaktadır. Daha sonra, timer ında yardımıyla ilgili pencerenin paint metodunda izlenecek düğüm sırası gösterilmektedir. Dijkstra nın en kısa yol bulma algoritması, Rosen, K.H. (1995), Johnsonbaugh, R. (1997), Waite, M. and Lafore, R. (1998) kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Ancak buradaki algoritma, her düğüme giden en kısa yol değerlerini bir array de; her düğüme giden yol bilgisini de en kısa yolun düğüm bilgilerinin tutulduğu bir arraylist te saklayacak şekilde genişletilmiştir. Bu sayede, başlangıç düğümünden diğer tüm düğümlere olan en kısa yollar hesaplanmaktadır. Hesaplamalar bittikten sonra bu algoritma da en kısa yol bilgilerini algorithmresult arraylist ine koymaktadır. Euler Path/Circuit algoritması, öncelikle incelenen çizgenin Rosen, K.H. (1995) in Bölüm te açıklanan koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmektedir. Eğer ilgili çizge bu koşullardan birini sağlıyorsa, bulunan yolun/döngünün dolaşılma sırasını belirlemek üzere Şekil 2.12 de verilen değiştirilmiş BFS algoritması çalıştırılır. Hamilton algoritmasının gerçekleştirim altyapısı, Euler algoritmasınınki ile aynıdır,

94 76 ancak kontrol edilen koşullar ve değiştirilmiş BFS algoritması (Şekil 2.14) Hamilton a özeldir. Gerçekleştirilen çizge renklendirme algoritması, vertices arraylist inden derecesi en büyük olan düğümü, renklendirme çalışmasının başlangıç düğümü olarak alır. Daha sonra bu düğümün komşuları derecelerine göre sıra ile işleme sokulur. Bu süreç, bütün düğümler renklendirilinceye kadar devam eder. Renk belirleme sürecinde, her düğüm komşu düğümlerin renkleri dikkate alınarak uygun bir renk ile renklendirilir. Yönlü çizgelerin renklendirilmesinde; hem her düğüme gelen kenarlar, hem de her düğümden çıkan kenarlar dikkate alınmaktadır MographSS Web Servisi MOGRAPH mobil çizge öğrenme sisteminin Login ve Quiz bileşenleri, geliştirilen MographSS web servisi (web service) aracılığı ile gerçekleştirilmiştir. MOGRAPH ın Login bileşeni MographSS web servisinin Login adındaki web metodunu kullanmaktadır. Bu metot, girdi olarak kullanıcı adı ve şifre bilgilerini almakta, kullanıcının adını (adı ile soyadını) ve kullanıcı tipini dönüş parametreleri olarak döndürmektedir. Bir kullanıcı, küçük sınava (Quiz) başladığında MOGRAPH, MographSS web servisinin çalıştığı sunucu bilgisayara bağlanmaktadır. Küçük sınavda sorulan sorulara ilişkin veriler, aynı sunucudaki bir SQL Server veritabanında tutulmaktadır (MographSS veritabanı tasarım modeli, Ek 3 teki Şekil Ek 3.1 de verilmiştir). Şekil Ek

95 de görüldüğü üzere, çizgeler veritabanında Şekil 3.18 de verilen sınıf yapısına uygun olacak şekilde saklanmıştır. MographSS web servisinin Quiz bileşeni tarafından kullanılan beş tane web metodu vardır: TakeQuiz, Vertices, Edges, Question ve Answers. Bu metodlar stored procedure lar aracılığıyla veritabanına bağlanıp uygun verileri veritabanına yazarak/veritabanından alarak MOGRAPH istemcilerine (client) veri sunmaktadır. Bu web metodları MOGRAPH istemcilerine verileri, XML (extensible Markup Language) formatında göndermektedir. Web servisi kullanımı, XML sayesinde sunucu tarafın platform bağımsız hizmet vermesini sağlamaktadır. MOGRAPH istemcisi Quiz bileşeni için sunucuya bağlandığında, web metodları şu sırayla çağrılır: TakeQuiz, Vertices, Edges ve Question. TakeQuiz web metodu, SQL Server veritabanından üç tane rastlantısal (random) soru seçmektedir. TakeQuiz de her kullanıcıya eşsiz (unique) bir ID de atanmaktadır. Daha sonra sırasıyla Vertices, Edges ve Question web metodları çalıştırılarak kullanıcıya ilk soruya ait düğüm, kenar ve soru bilgileri ayrı ayrı gönderilmektedir. Küçük sınav oturumunun ikinci ve üçüncü soruları için de Vertices, Edges ve Questions web metodları aynı sıra ile çalıştırılmaktadır. Üçüncü sorunun sonunda, Answers web metodu çağrılmaktadır. Bu web metodu, kullanıcının küçük sınav oturumundaki sorulara verdiği cevapları, öğretim üyesi tarafından istatistiksel raporlamalarda kullanılmak üzere, veritabanına kaydetmekte ve küçük sınavın cevap anahtarını kullanıcıya göndermektedir. Son olarak ise, kullanıcının cevapları, sunucudan alınan cevap anahtarına göre değerlendirilip Quiz sonucu kullanıcıya gösterilmektedir (Şekil 3.22).

96 Sistem Geliştirilirken Đzlenen Yöntem Bu bölümde, mobil çizge öğrenme sistemi geliştirilirken izlenen yöntem ele alınacaktır. Bu kapsamda MOGRAPH ın Ayrık Yapılar dersi ve bu dersin laboratuar çalışmaları kapsamında kullanımına ilişkin bilgi verilecek ve ders kapsamında yapılan çalışmaların uygulamanın gelişim sürecini nasıl etkilediği açıklanacaktır. Tez uygulaması Ayrık Yapılar dersinde kullanılmak amacıyla geliştirildiği için, ilk olarak Ayrık Yapılar dersiyle ilgili bilgi verilecektir. Ayrık Yapılar dersi Ege Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü nde, birinci sınıfın ikinci döneminde verilmektedir. Ayrık Yapılar dersi, her hafta verilen 3 saatlik ders üzerinden, vize hariç olmak üzere toplam 14 hafta yapılmaktadır. Bu dersin kapsamı içinde, önermeler (propositions) 1 hafta, kümeler ve küme teorisi (sets and set theory) 1 hafta, fonksiyonlar (functions) 1 hafta, matrisler (matrices) 1 hafta, kümeler, fonksiyonlar ve matrisler için algoritmalar (algorithms for sets, functions and matrices) 2 hafta, matematiksel çıkarsama (mathematical reasoning) 2 hafta, sayma teknikleri (counting techniques) 1 hafta, ilişkiler (relations) 1 hafta, çizge teorisi, uygulamaları ve algoritmaları (graph theory, applications and algorithms) 3 hafta ve ağaçlar (trees) 1 hafta olarak anlatılmaktadır. Ders kitabı olan Rosen, K.H. (1995) te incelenen fakat derste anlatılmayan boolean algebra konusu Mantık Devreleri Tasarımı (Logic Design) dersinde, hesaplama kuramı (modeling computation) konusu ise, Otomata Teorisi (Automata Theory) dersinde ayrıntılı olarak incelenmektedir öğretim yılının başında, MOGRAPH projesi üzerinde çalışılmaya başlanmıştır. Đlk olarak projenin neler içereceği ana hatlarıyla belirlenmiş ve temel bir analiz ve tasarım süreci gerçekleştirilmiştir.

97 79 Yazılım geliştirilirken çevik (agile) yazılım geliştirme metodu kullanılarak; yazılımın ilk sürümünün geliştirilmesi, geliştirilen ilk sürümün kullanıcılar tarafından sınanması ve kullanıcılardan gelecek görüşler/istekler doğrultusunda yazılımın yeni sürümünün ortaya çıkarılması, ortaya çıkan yeni sürümün yeniden kullanıcılara test ettirilmesi ve kullanıcılardan gelecek yeni görüşler doğrultusunda yazılımın tekrar düzenlenmesi şeklinde devam eden bir süreç ile kullanıcı isteklerine hızlı bir şekilde cevap verilmesi amaçlanmıştır. Çevik yazılım geliştirme metodu kullanıldığı için, yazılım gerçekleştirim ortamı olarak Visual Studio.NET 2003 ve programlama dili olarak da C# dili tercih edilmiştir. MOGRAPH yazılımın ilk sürümü öğretim yılı, bahar yarıyılı başında ortaya çıkmıştır (Đnceoğlu et al., 2006). Ortaya çıkan bu ilk sürümün içeriği : File : New, Open, Save, Exit Edit : Insert Vertex/Edge, Delete Vertex/Edge, Rename Vertex, Assign Edge Weight, Update Edge Weight, Move Vertex Operations : View Adjacency Matrix, Algorithms (DFS, BFS, Dijkstra s Shortest Path, Euler Path/Circuit, Hamilton Path/Circuit, Graph Coloring), Quiz Help şeklindedir. MOGRAPH ın ilk sürümü Ayrık Yapılar dersinin ikinci haftasında öğrencilere tanıtılmıştır. Ayrık Yapılar dersini alan 154

98 80 öğrenci içinden 40 kişilik bir grup kendi istekleri ile bu tanıtıma katılmıştır. Tanıtım sırasında öğrencilere bilgisayar, PDA ve projektör eşliğinde bir saat süreli MOGRAPH kullanımı eğitimi verilmiştir. Daha sonra öğrenciler laboratuara alınarak, eğitici eşliğinde, uygulamayı Pocket PC 2002 Emulator ünde çalıştırmışlar, MOGRAPH ın değişik fonksiyonları üzerinde örnekler yapmışlar ve quiz seçeneğini denemişlerdir. Bilgisayarında sorun 1 bulunan üç öğrenci haricinde tüm öğrencilerin uygulamayı çalıştırdıkları gözlenmiştir. Laboratuar çalışmasının son bölümünde, tüm öğrencilerden quiz seçeneğini çalıştırmaları istenmiştir. Quiz çalışması, aynı anda sunucuya bağlanan bir grup öğrenci için uygulamanın ne derece performans göstereceğini belirlemek amacıyla gerçekleştirilmiştir. Quiz çalışması başladığında, her öğrenci ile ayrı ayrı ilgilenilerek sunucuya bağlanıp bağlanamadıkları incelenmiştir. Yapılan gözlem sonucunda, aynı anda en fazla 10 kullanıcının sunucuya bağlanabildiği, diğer bağlantı taleplerinin ise sunucu tarafından reddedildiği tespit edilmiştir. Bağlantı talepleri sunucu tarafından reddedildiği için, karşılaşılan bu hatanın uygulamadan kaynaklanmadığı görülmektedir. Daha sonraki dönemde; bu durumun, sunucu olarak kullanılan bilgisayarda işletim sistemi olarak Windows XP Professional kurulu olmasından dolayı ortaya çıktığı anlaşılmıştır. Windows XP tam olarak bir sunucu işletim sistemi olmadığı için, verdiği sunucu hizmetini 10 kullanıcı ile sınırlandırmaktadır. Bu problemi aşmak için sunucu bilgisayara Windows Server 2003 işletim sistemi kurulmuştur. 1 Sorun ilgili bilgisayarlarda Visual Studio.NET 2003 ortamında Pocket PC 2002 Emulator ünün açılamamasından kaynaklanmaktadır.

99 81 Bir saat süreli laboratuar çalışması bittikten sonra, öğrencilerle anket çalışması yapılmıştır. Öğrencilere Likert tipi yanıtlandırması olan 7 adet sorudan ve MOGRAPH ın iyi ve kötü yönlerini değerlendirmeleri istenen 2 adet açık uçlu sorudan oluşan bir anket formu dağıtılmıştır. Çalışmada, dağıtılan 40 anket formundan 37 tanesi geri döndüğünden, katılım oranı %92.5 olarak elde edilmiştir. Anketteki Likert tipi sorulara verilen yanıtlar Çizelge 3.1 de özetlenmiştir (Kesinlikle Katılmıyorum 1, Katılmıyorum 2, Kararsızım 3, Katılıyorum 4, Kesinlikle Katılıyorum 5). Çizelge 3.1. Likert tipi sorular için anket sonuçları. Soru No Soru Çizgelerle ilgili anlatımdan memnun kaldınız mı? Çizgelerle ilgili olarak anlatılanları anladınız mı? MOGRAPH paketini kolaylıkla kurabildiniz mi? MOGRAPH paketini kullanmak kolay mı? MOGRAPH paketini yararlı buldunuz mu? MOGRAPH paketinin çizge ile ilgili konuları öğrenmeyi kolaylaştırdığını söyleyebilir misiniz? Gelecek yıllarda MOGRAPH paketinin kullanılmasını önerir misiniz? Ortalama (A) Yüzde Memnuniyet A / 5 (%) Standart Sapma % % % % % % %

100 82 Anketten çıkan sonuçlar, sınıf içi çizge eğitiminden memnun kalındığını, sınıfta çizgelerle ilgili olarak anlatılanların ve verilen örneklerin anlaşıldığını, MOGRAPH paketinin öğrenciler arasında öğrenim amacıyla kolaylıkla kullanılabileceğini ve tavsiye edildiğini göstermektedir. Ancak, 7 adet öğrenci MOGRAPH paketini kurarken, bilgisayarlardan kaynaklanan sorunlar yaşamış ve bunları ankete yansıtmıştır. Açık uçlu sorulara verilen bazı olumlu yanıtlar; Move vertex özelliği çok güzel. Eğlenceli bir uygulama. Bu paket dersin tüm diğer konularını da içermeli. Bu şekilde katıldığımız deneyler bizim için de teşvik oluyor. Algoritma sonuçlarının görsel olarak gösterilmesi hoştu. Programın görsel olarak kullanılması ilgimi ve öğrenme isteğimi artırıyor. şeklindedir. Olumsuz görüşler ise; Kısa yollar olması gerekiyor. Çizgelerin oluşturulması biraz zaman alıyor, bazı hazır çizgeler otomatik olarak gösterilebilmeli.

101 83 Uygulamanın açılması biraz yavaş. Uygulamanın kurulması biraz zaman alıyor. şeklinde olmuştur. Yapılan anket çalışmasından elde edilen veriler analiz edilerek, MOGRAPH paketinin eksik yönleri belirlenmiş ve uygulamanın etkinleştirilmesi için neler yapılabileceği tespit edilmiştir. Buna göre; Likert tipi soruların dördüncüsü olan MOGRAPH paketini kullanmak kolay mı? sorusuna verilen cevap, %77 ile diğer sorular arasında en düşük ortalamaya sahiptir. Bunun nedeni, öğrencilerin çoğunun mobil cihaz kullanımına yabancı olması ve laboratuar çalışmasında tüm öğrencilerin mobil cihaz kullanımını sağlayacak teknik altyapı mevcut olmadığı için Pocket PC 2002 Emulator ünün kullanılmasıdır. Öğrencilerin açık uçlu sorularda belirttikleri; uygulamanın kurulmasının ve açılmasının biraz zaman alması durumu da Emulator kullanımından kaynaklanmaktadır. Bu problemlerin aşılması amacıyla, MOGRAPH mobil uygulamasının, masaüstü sürümünün geliştirilmesi süreci hızlandırılmıştır. Açık uçlu sorulara verilen yanıtlarda değinilen, Bazı hazır çizgelerin otomatik olarak gösterilebilmesi isteğini yerine getirebilmek için, File menüsüne Special Graphs seçeneği eklenmiştir. Açık uçlu sorularda değinilen diğer bir konu olan Kısa yol desteği olmalı isteği ise kısmen karşılanabilmiştir.

102 84 Microsoft Visual Studio.NET 2003 ortamında, mobil uygulamalarda kısa yol (shortcut) desteği olmadığı için, uygulamanın mobil sürümünde kısa yol kullanımı mevcut değildir. Ancak uygulamanın daha sonradan geliştirilen masaüstü sürümünde kısa yol kullanımı mümkündür (Şekil 3.26 da Edit menüsünün içeriğinde örnek kısa yollar görülebilmektedir). Uygulamanın tanıtımının ve anket çalışmasının temel amacı; MOGRAPH uygulamasını, Ayrık Yapılar dersinde çizge teorisi konusunun işleneceği zamana kadar (Ayrık Yapılar dersinin 11, 12 ve 13. haftaları), öğrencilerden gelecek ilk görüşler doğrultusunda güncelleyebilmektir. Sonuç olarak yapılan çalışma amacına ulaşmış ve uygulamada öğrenci görüşleri/istekleri doğrultusunda güncelleştirme yapılarak, uygulamanın ikinci sürümü yayınlanmıştır. Đkinci sürümün ilk sürümden farklılıkları aşağıdaki gibi listelenebilir : File menüsüne Special Graphs seçeneğinin eklenmesi Edit menüsündeki Assign Edge Weight ve Update Edge Weight seçeneklerinin Assign/Update Edge Weight şeklinde birleştirilmesi Operations menüsündeki View Adjacency Matrix seçeneğinin kaldırılması, onun yerine Adjacency Matrix ve Incidence Matrix seçeneklerini içeren View alt menüsünün eklenmesi Operations menüsüne Upload Question seçeneğinin eklenmesi

103 85 Uygulamaya Login (Üyelik sistemi) bileşeninin eklenmesi ve kullanıcı giriş ekranının uygulamanın açılış ekranı olması Uygulamanın kısa yol kullanımı bulunan masaüstü sürümünün geliştirilmesi Uygulamanın, listelenen bu güncellemelerin mevcut olduğu ikinci sürümü, Ayrık yapılar dersinde çizge teorisinin işlendiği 11, 12 ve 13. haftalarda derse yardımcı ek bir kaynak olarak kullanılmıştır. Bu amaçla yine gönüllülük esasına dayanan 39 kişilik bir grup öğrenci üç hafta sürecek laboratuar çalışmaları için isimlerini yazdırmışlardır. Bu öğrenciler için bir yoklama listesi hazırlanmış ve laboratuar çalışmalarına devam durumları gözlenmiştir. Üç hafta boyunca Ayrık Yapılar dersini takip eden 45 er dakikalık laboratuar çalışmaları yapılmıştır. Bu çalışmalarda çizge teorisinin özellikle o hafta derste işlenen bölümlerine ilişkin uygulamalar yapılmıştır. Laboratuar çalışmalarına katılan 39 kişilik grup, dersin ikinci haftasında yapılan anket çalışmasına katılan grup ile aynı olmadığı için, öğrenciler arasında daha önceden uygulamayı kullanmayanlar da bulunmaktaydı. Bu nedenle ilk hafta, uygulamanın genel tanıtımı yapılmıştır. Bu kapsamda, File ve Edit menüleri kullanılarak temel çizge oluşturma işlemleri yapılmış; oluşturulan çizgelerin komşuluk ve incidence matrisleri görüntülenmiş ve derste görülen bölümle ilgili quiz çalışması yapılmıştır. Đkinci hafta, derse paralel olarak DFS, BFS, Euler ve Hamilton yol/döngü algoritmaları ile ilgili örnekler ve quiz çalışması yapılmıştır. Üçüncü hafta ise Dijkstra en kısa yol bulma ve çizge renklendirme algoritmaları ile ilgili çalışmalar yapılmıştır.

104 86 Daha sonra, yapılan laboratuar çalışmalarının öğrencilerin başarı durumlarına etki edip etmediği ölçmek için istatistiksel çalışmalar yapılmıştır. Bu amaçla, Ayrık Yapılar dersinin final sınavı sonuçlarından yararlanılmıştır. Laboratuar çalışmalarına katılan test grubundaki öğrenciler ile dersi alan diğer öğrenciler arasındaki başarı durumunu karşılaştıran ve buna göre laboratuar çalışmalarının öğrencilerin başarı düzeylerine etki edip etmediğini belirleyen istatistiksel çalışmanın sonuçları Bölüm 4 te detaylı olarak ele alınmıştır. Üç haftalık laboratuar çalışmaları sırasında, öğrencilerden gelen görüşler doğrultusunda uygulamada başka hangi güncellemelerin yapılacağı belirlenmiştir. Buna göre, tez uygulamasının ikinci sürümü ağırlıklı/ağırlıksız çizgelerin yönsüz olanları ile çalışmaktadır. Yönlü çizgelerle ilgili çalışmalar ise, o dönemde laboratuar çalışmalarına paralel olarak devam etmektedir. Laboratuar çalışmaları sırasında, uygulamanın yönlü çizgeleri de kapsayan sürümünün bir an önce yayınlanması gerektiği anlaşılmıştır. Ayrıca Euler ve Hamilton yol/döngü bulma algoritmaları ile çizge renklendirme algoritmasının etkinleştirilmesi gerektiği de belirlenmiştir. Bütün bu bulgular ışığında, uygulamanın güncelleştirilmesine devam edilmiş ve bu tezin kaynak olarak kullandığı, MOGRAPH ın üçüncü sürümü yayınlanmıştır. Üçüncü sürümün ikinci sürümden farklı olduğu yönler şu şekilde listelenebilir: Yönlü çizgelerle ilgili çalışmalar tamamlandıktan sonra, kullanıcının hangi çizge türü (yönsüz/yönlü) ile çalışmak istediğini seçebilmesi için, Operations menüsüne, Directed Graphs ve Undirected Graphs seçeneklerini içeren Mode alt menüsünün eklenmesi

105 87 Euler ve Hamilton yol/döngü algoritmaları ile çizge renklendirme algoritmasının etkinleştirilmesi MOGRAPH ın üçüncü sürümünde yönlü çizgelere ilişkin örnek bir ekran görüntüsü Şekil 3.26 da gösterilmiştir (Ekran görüntüsü MOGRAPH ın masaüstü sistemlerde çalışan sürümüne aittir). Önümüzdeki dönemde MOGRAPH ın etkinleştirilmesi ve içeriğinin zenginleştirilmesi çalışmalarına devam edilecektir. Şekil MOGRAPH Masaüstü Sürümü örnek ekran görüntüsü.