Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir."

Erdem Ekren
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir ve d(f(x)) ile gösterilir. dy y = f(x) = f '(x) dy = f '(x). dx tir. dx Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. Çözüm f(x) = 2x ise, d(f(x)) nedir? d(f (x)) dx 2 dy dx 2 = 2. dx tir. Çözüm y = x x 2 3x + 5 ise, dy nedir? dy = 3x 2 + x 3 dy = (3x 2 + x 3) dx tir. dx

dy y = f(x) = f '(x) dy = f '(x). dx tir. dx Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. Çözüm f(x) = 2x ise, d(f(x)) nedir?

2 2 BELİRSİZ İNTEGRAL Tanım: f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevli olsun. F ı (x) = f(x) ise d(f(x)) = f '(x). dx tir. c R için (F(x) + c) ı = F ı (x) = f(x) ise, d(f(x) + c) = f(x). dx olur. Buna göre, F(x) + c ifadesine, f(x) fonksiyonunun İlkeli veya Belirsiz İntegral denir. UYARI: İntegral türevi ya da diferansiyeli belli olan fonksiyon nedir, sorusuna cevap olarak çıkmıştır. Türevi bilinen bir fonksiyonun, türevi alınmadan önceki halini (İlkeli) bulma işlemine, İntegral diyebiliriz. BELİRSİZ İNTEGRALİN KURALLARI a) a o ise a.f(x) dx = a. f(x) dx tir. b) [f(x) g(x) h(x)] dx = f(x) dx g(x) dx h(x) dx tir. Kural 1 TEMEL İNTEGRAL KURALLARI n -1 ise, n 1 n x x dx c (c R, c sabit) n 1 F(x) = (3x 2 + 2x 3) dx integralini hesaplayınız. F(x) = x dx (x > 0) integralini hesaplayınız.

UYARI: İntegral türevi ya da diferansiyeli belli olan fonksiyon nedir, sorusuna cevap olarak çıkmıştır.

3 3 Kural 2 a) f '(x) dx = f(x) + c n ı f ( x). f ( x) dx n 1 b) f ( x) n 1 c (x 2 + 4) 2. (2x) dx integralini hesaplayınız. x 2 2x 3.(2x 2)dx integralini hesaplayınız. Kural 3 a) dx ln x c x b) f ı ( x) dx ln f ( x) c f ( x) x 3 x 1 dx x integralini hesaplayınız.

4 4 2dx 3 x 2x 3 2 integralini hesaplayınız. Kural 4 x x a) e dx e c f ( x) ı f ( x) b) e. f ( x) dx e c x x a c) a dx c ln a f (x) f (x) ı a d) a.f (x)dx c ln a e 3x+1 dx integralini hesaplayınız. e 4x 1 x 2x 2 e e dx ifadesinin integralini hesaplayınız.

5 5 Kural 5 A) 1) sin xdx cos x c 1 2) sin( ax b)dx cos(ax b) c a B) 1) cos xdx sin x c 1 2) cos( ax b) sin(ax b) c a dx 1 dx 2 cos x 2 C) 1) tan x = sec 2 xdx tan x c 2 2) 1 tan ax 2 D) 1) cot x dx 1 a tanax c dx 1 dx 2 sin x 2 = (cos ec x)dx cot x c 2 2) 1 cot ax 1 dx cot ax c a (cos3x sin2x) dx integralini hesaplayınız. tan x dx integralini hesaplayınız.

ax 2 D) 1) cot x dx 1 a tanax c dx 1 dx 2 sin x 2 = (cos ec x)dx cot x c 2 2) 1 cot ax 1

6 6 sin x f (x) dx integralini hesaplayınız. 2 cos x (tan 5 x + tan 3 x) dx integralini hesaplayınız. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ 1 a) dx Arcsin x c 2 1 x 1 1 x 2 dx Arccos x c du u b) dx Arcsin c 2 2 a u a a du 2 u 2 dx Arccos 1 c) dx Arctan x c 2 1 x 1 1 x 2 u a dx Arccot x c du 1 u d) Arctan c 2 2 a u a a du 2 a u 2 1 Arccot a u a c c

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ 1 a) dx Arcsin x c 2 1 x 1 1 x 2 dx Arccos x

7 7 dx 4 x 2 integralini hesaplayınız. cos x dx integralini hesaplayınız. 1 2 sin x DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME (DÖNÜŞÜM) YÖNTEMİ a) f(x). dx integralinde x = g(t) diyelim. x = g(t) ise, dx = g ı (t) dt dir. f(x) dx = f(g(t)). g ı (t) dt yazılırsa, integral t türünden ifade edilmiş olur. F(x) = (x 2).3x dx 3 2 (x 2) 3 olarak tanımlıdır. F(-1) = ln2 ise, F(0) kaçtır?

x = g(t) ise, dx = g ı (t) dt dir. f(x) dx = f(g(t)).

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15

16 16

17 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24 dx integralini hesaplayınız. 2 x 3x 2 2 2x 2x 1 dx integralini hesaplayınız. 3 2 x x

25 25 KISMİ İNTEGRAL

26 26

27 27

28 28 BELİRLİ İNTEGRAL BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

29 xdx integralini hesaplayınız. 1 3 ( 3x 2)dx 14 ve a + b = 6 olduğuna göre, b kaçtır?

30 30

31 31 Teorem: f: [a,b] R sürekli bir fonksiyon ise, F(x) = x f (t)dt ile tanımlı; a F: [a,b] R ye fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve x (a,b) için, F(x) = x f (t)dt F ı (x) = f(x) tir. a h(x) 1) F(x) = f (t)dt ise a F ı (x) = h ı (x). f(h(x)) tir. h(x) 2) F(x) = f (t)dt ise g(x) F ı (x) = h ı (x). f(h(x)) g ı (x). f(g(x)) tir. f(x) = 2 x e 2 t 1 dt ise, f ı (1) kaçtır?

32 32 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALLERİ MUTLAK DEĞER FONKSİYONU f: [a,b] R ye sürekli f fonksiyonu tanımlasın. b a f (x) dx integrali hesaplanırken; önce fonksiyonun [a,b] de işareti incelenir. Fonksiyonun işaretine göre aralıklarda integralin değeri bulunur. 5 2 x 4 dx integralinin değeri nedir? / 6 cos x dx integralinin değeri nedir?

33 33

34 34 EĞRİLERLE SINIRLI DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARININ BULUNMASI 1.

37 37 f(x) = x eğrisi x ve y eksenleri ile x = 2 doğrusu tarafından sınırlanan düzlemsi bölgenin alanı kaç br 2 dir? br 2 dir? f(x) = x 3 4x eğrisinin x ekseniyle sınırladığı düzlemsel bölgenin alanları toplamı kaç

38 38 İKİ EĞRİ TARAFINDAN SINIRLANAN DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI f(x) ve g(x) fonksiyonları [a,b] aralığında sürekli ve f(x) > g(x) olsun. Bu eğriler tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin alanı; b S = [ f (x) g(x)]dx tir. a

39 39

40 40

41 f(x) = -x 2 x + 2 ve g(x) = 2x + 2 eğrileri arasında kalan taralı alanı bulunuz. 10. f(x) = -x 2 + 4x ve g(x) = x 2 + 2x eğrilerinin sınırlandığı alanı bulunuz?

42 42

43 43

44 44 6. y = x parabolünün oy ekseni etrafında dönmesinden [2,4] aralığında oluşan cismin hacmini bulunuz.

45 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54

55 55

56 56

Benzer belgeler

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun