32.1 AC Kaynakları ve Fazörler

Transkript

1 3.1 AC Kaynakları ve Fazörler Bir AC devresi R, L, C gibi devre elemanları ve bir alternatif akım üretecinden oluşur. AC kaynağı sembolü ile temsil edilir. İletken bir ilmek, sabit bir ω açısal hızıyla bir manyetik alan içinde döndürülürse, ilmekte sinüsel bir voltaj(emk) oluşur. Buna alternatif akım denir. İlmeğin anlık çıkış gerilimi Δv = ΔV maks Sin ωt ile verilir. Burada ΔV maks jeneratörün maksimum çıkış voltajıdır. ω açısal frekansı ω = πf = π T ile verilir. Burada f frekans, T ise periyottur. f: Bir saniyedeki titreşim sayısıdır. Birimi s 1 = Hz. T: Bir tam dalganın oluşması için geçen zamandır. Birimi s. Alternatif voltaj, zamana bağlı olarak değişir. Bir periyotun yarısında gerilim pozitif ise diğer yarısında ise negatiftir. Bir AC devresi R, L, C devre elemanlarının sadece birini içerebileceği gibi, bu elemanlardan ikisini veya üçünü barındırabilir. Her bir devrenin kendine göre özellikleri vardır. Devre analizi yapılırken gerilim ve akım arasındaki ilişki dönen bir vektörle temsil edilir. Bu vektöre fazör denir. Akımgerilim diyagramına ise faz diyagramları adı verilir. 1

2 3. AC Devresinde Dirençler Şekildeki gibi bir AC kaynağına bir R direnci bağlayarak bir devre oluşturduğumuzu varsayalım. Kirchhoff gerilimler kuralına göre Δv Δv R = 0 Δv R = Δv = ΔV maks Sin ωt yazılabilir. Öyleyse R direncinin uçlarındaki gerilim düşmesi üretecin gerilimine eşittir. Devreden geçen anlık akım i R = ΔV makssin ωt = I R maks Sin ωt I maks = ΔV maks R şeklindedir. ΔV maks = I maks R yerine yazılırsa Δv R = I maks R Sin ωt elde edilir. Yandaki şekilde, değeri Δv R de (a) R devresindeki akımın ve gerilimin zamana bağlı olarak değişimi çizilmiştir. Akım ile gerilim aynı anda maksimum olmakta, aynı anda sıfır olmaktadır. Yani akım ile gerilim aynı fazdadır. (b) R devresi için faz diyagramı. Faz diyagramında okların büyüklükleri ΔV maks ve I maks kadardır. Bu vektörlerin düşey eksen üzerindeki izdüşümleri sırasıyla Δv R ve i R yi verir. Eğer fazör vektörü saat ibresi tersine ω açısal hızıyla döndürülürse, ΔV maks ve I maks nin düşey eksen üzerindeki izdüşümleri zamanla sinüsel olarak titreşir.

3 AC Devresinde Güç, Akımın ve Gerilimin KOK (RMS) Değeri: Dirençte harcanan güç P = i R ile hesaplanır. Doğru ve kararlı akımın tek bir değeri vardır. O sabit değerin karesini alınıp direnç değeri ile çarpılırsa, güç ifadesi elde edilir. AC akımı zamanla değişir. Güç hesabi yaparken akla ilk gelen şey, akım için bir ortalama değer hesaplayıp kullanmaktır. Ancak, AC akımının bir periyotluk süredeki ortalama değeri sıfırdır. Öyleyse bir başka yöntem bulmalıyız. Dikkatlerimizi P = i R formünündeki i ye çevirelim. i de zamanla değişir. Fakat artık negatif değerler içermez. Öyleyse, güç hesabı yaparken i nin bir periyotluk süredeki ortlaması hesaplanabilir. Çıkan sonucun karekökü alınırsa istenen ortalam değer bulunur. Buna akımın KareOrtalamaKarekök veya etkin değeri denir. İngilizce karşılığı rms dir. Sinüsel akım için etkin değeri hesaplayalım:θ = ωt ve ω = π T alarak T I et = 1 T න i dt = 1 0 T න 0 T I maks Sin θdt I T maks T න 0 1 Cosθ dt = I maks T t Sinθ I et = I maks T t 4π Sin T t T 0 = I maks T = I maks T I et = I maks veya I et 0.707I maks bulunur. Buradan ΔV et = I et R = I maks R = ΔV maks P = I et R = I et ΔV et = I maksδv maks yazılabilir. AC devresinde güç ifadesi şöyle olur: 3

4 3.3 İndüktorlü AC Devresi Şekildeki gibi verilen bir indüktorlü AC devresini göz önüne alalım. Kirchhoff gerilim kuralına göre kapalı bir ilmek boyunca devre elemanlarının uçlarındaki potansiyel farklarının toplamı sıfırdır. Buna göre, Δv + Δv L = 0 Δv L di dt = 0 L di dt = Δv = ΔV makssin ωt di = ΔV maks Sin ωt di = ΔV maks Sin ωtdt i dt L L L = ΔV maks Lω Cosωt = Sin ωt π/ özdeşliği kullanılırsa, indüktorden geçen akım i L = ΔV maks Lω Sin ωt π/ i L = I maks Sin ωt π/ olarak bulunur. Burada I maks = ΔV maks Lω = ΔV maks, ifadesi kullanılmıştır. X L Cos ωt X L = Lω ye indüktif reaktans denir. Değişen akıma karşı bobinin tepkisel direncidir. İndüktorun gerilimi aşağıdaki gibi olur: Δv L = L di = L d I makssin ωt π/ = LωI dt dt maks Cos ωt π/ Δv L = I maks X L sinωt Cos ωt π/ = Sinωt özdeşliği kullanıldı. (a) İndüktorden geçen akım ve uçlarındaki gerilim grafiği ve (b) faz diyagramı incelendiğinde şu sonuca ulaşılır. SONUÇ: İndüktordan geçen akım, indüktorun uçlarındaki gerilimden 90 o geridedir. 4

5 3.4 Kondansatörlü AC Devresi Şekildeki gibi verilen bir kondansatörlü AC devresini göz önüne alalım. Kirchhoff gerilim kuralına göre Δv = Δv C Δv C = ΔV maks Sinωt.(1) yazılabilir. Diğer yandan q = CΔv eşitliği yardımıyla q = CΔV maks Sinωt olur. i = dq yardımıyla da kondansatörden geçen dt akım i C = CωΔV maks Cosωt bulunur. Cosωt = Sin ωt + π/ özdeşliği kullanılırsa i C = CωΔV maks Sin ωt + π/ i C = I maks Sin ωt + π/.() ifadesi elde edilir. () eşitliğinden I maks = CωΔV maks = ΔV maks X C biçiminde yazılabilir. Buradaki X C = 1 Yandaki şekilde; (a)bir kondansatörden geçen akım ve uçlarındaki potansiyel farkın zamanla değişimi (b) Faz diyagramları verilmiştir. Cω ye kapasitif reaktans denir. Bir kondansatörün değişen akıma karşı tepkisel direncidir. Bu grafiklerden görüleceği üzere, kondansatörden geçen akım, kondansatörün uçlarındaki gerilimden 90 o ileridedir. 5

6 Örnek: Saf indüktif bir ac devresinde L = 5 mh ve etkin voltaj 150 V tur. Frekans 60 Hz ise, (a) indüktif reaktansı bulunuz. (b) Devredeki etkin akımı bulunuz. (c) Akımın maksimum değerini bulunuz. Çözüm: (a) Bobinin indüktif reaktansı, X L = ωl = πfl = Hz H = 9.4Ω bulunur. (b) Devredeki etkin akım I et = ΔV et X L = 150 V 9.4Ω = 15.9 A bulunur. (c) Akımın maksimum değeri I maks = I et =.4 A bulunur. Örnek: 8.0 μf lık bir kondansatör, etkin voltajı 150 V ve frekans 60 Hz olan bir üretecin uçlarına bağlıdır. (a) kapasitif reaktansı bulunuz. (b) Devredeki etkin akımı bulunuz. (c) Frekans iki katına çıkarılırsa bu değerler nasıl değişir. Çözüm: (a) Kondansatörün kapasitif reaktansı, X C = 1 ωc = 1 πfc = Hz F 33Ω bulunur. (b) Devredeki etkin akım I et = ΔV et X C = 150 V 33Ω = 0.45 A bulunur. (c) Frekans iki katına çıkarılırsa kapasitif reaktans artar, akım azalır. 6

7 3.5 Seri RLC Devresi Yandaki şekilde R, L ve C devre elemanları seri bağlanarak oluşturulmuş bir seri RLC devresi verilmiştir. Bu devrenin dış uçlarına Δv = ΔV maks Sin ωt gerilimi uygulanmış olsun. Devreden geçen akım i = I maks Sin ωt φ ile verilebilir. Burada φ devre akımı ile giriş gerilimi arasındaki faz farkıdır. Devre elemanları seri olduklarından, tüm devre elemanlarından aynı akım geçer. Fakat her devre elemanının uçlarındaki voltaj farklı genliğe ve farklı faza sahiptir. R direnci faz farkı oluşturmaz. İndüktorun uçlarındaki voltaj, 90 o akımın önündedir. Kondansatörün uçlarındaki voltaj ise 90 o akımın gerisindedir. Buna göre Burada ΔV R, ΔV L ve ΔV C sırasıyla R, L ve C nin uçlarındaki maksimum değerlerdir. Seri oldukları için, devre elemanlarının uçları arasındaki ani voltajlar ile giriş voltajı arasında aşağıdaki eşitlik yazılabilir. 7

8 Direncin, Bobinin ve Kondansatörün ayrı ayrı faz diyagramları aşağıdaki gibidir. Tüm devre için faz diyagramı yandaki gibidir. 8

9 Bu diyagram yardımıyla, devrenin uçlarındaki maksimum voltaj için aşağıdaki eşitlik yazılabilir. Karekök içindeki ifade Z ile gösterilen devrenin empedansıdır. Devreden geçen maksimum akım: Faz Açısı: Devrenin uçlarındaki voltaj ve devreden geçen akım: Δv = ΔV maks Sin ωt i = I maks Sin ωt φ SONUÇLAR: Belli bir L ve C değerleri için, kaynağın frekansına göre; 1) X L > X c olursa, devrenin indüktif özelliği baskındır. Faz farkı şekildeki gibi pozitif olur. RLC devresinde devresinden geçen akım, gerilimin gerisinde kalır. ) X C > X L olursa, devrenin kapasitif özelliği baskındır. Faz farkı R ekseninin altında gösterilir. Faz açısı negatiftir. RLC devresinde devresinden geçen akım, gerilimin önündedir. 3)X C = X L ise, faz açısı sıfırdır. Bu durumda devre empedansı Z = R olur. 9

10 Kurulan bir devrenin elemanlarına göre faz açısı: 10

11 Örnek: Bir RLC Devresinin Analizi R = 45 Ω, L = 1.5 H, C = 3.5 μf, ω = 377s 1 ve ΔV maks = 150 V olan bir seri RLC devresi verilmektedir. (a) Devrenin indüktif reaktansını, kapasitif reaktansını ve empedansını bulunuz. (b) Devrenin maksimum akımını bulunuz. (c) Akımla voltaj arasındaki faz açısını (d) Her devre elemanının uçlarındaki pik voltajları ve ani voltajları bulunuz. (e) Devreye uygulanan gerilimi ve devreden geçen akımı zamanın fonksiyonu olarak yazınız. Çözüm: (a) X L = Lω = H 377s 1 = 471 Ω X C = 1 = 1 Cω F 377s 1 = 758 Ω Z = R + X L X C = = 513 Ω (b) I maks = ΔV maks Z = 150V 513 Ω = 0.9 A (c) φ = tan 1 X L X C = tan = tan 1 87 R φ = tan = o = Radyan (d) ΔV R = I maks R = 0.9A 45Ω = 14 V ΔV L = I maks X L = 0.9A 471Ω = 138 V ΔV C = I maks X C = 0.9A 758Ω = 1 V Δv R = ΔV R Sin ωt = 14V Sin 377t Δv L = ΔV L Cos ωt = 138V Cos 377t Δv C = ΔV C Cos ωt = 1V Cos 377t (e) Devreye uygulanan gerilimi ve devreden geçen akım: Δv = ΔV maks Sin ωt = 150V Sin 377t i = I maks Sin ωt φ = (0.9A)Sin 377t

12 3.6 AC Devresinde Güç Bir AC devresinde saf kondansatör ve saf İndüktorden kaynaklanan güç kaybı olmaz. Ancak seri RLC devresinde Cosφ güç çarpanı kadar etkisi vardır. Bunu görmek için üretecin sağladığı gücü bulalım. Üretecin sağladığı, güç üretecin emk sı ile devre akımının çarpımına eşittir. Sin(ωt φ) terimi yerine şeklindeki özdeşi yerine yazılırsa Şimdi ortalama gücü bulmak için birinci ve ikinci terimin zaman ortalamasını hesaplayabiliriz. 1 T 0T 0 Sin ωtdt = 1 T T (1 Cosωt) dt = 1 T T T 1 0 dt 0 Cosωtdt = T T 1 T න sinωtcosωt dt = 1 T 0 T න Sinωtdt = 1 0 T Cos 4π T t 4π T 0 Bu değerler yerine yazılırsa ortalama güç aşağıdaki gibi olur. T = 1 8π t Sin T 4π T t 4π T 0 = 1 Cos4π Cos0 = 0 1

13 3.7 Seri RLC Devresinde Rezonans Bir devredeki kapasitif reaktansı, indüktif reaktansa eşitleyen özel f 0 frekansına rezonans frekansı denir. Rezonans frekansı X C = X L 1 Cω 0 = Lω 0 ω 0 = 1 LC ω 0 = 1 LC f 0 = 1 π LC bulunur. Bu daha önce bulduğumuz LC devresinin salınım frekansıdır. Kaynağın frekansı, devrenin doğal frekansına eşit ise rezonans oluşur ω = ω 0. Rezonans durumunda neler olduğunu daha iyi anlamak için, ortalama gücün frekansla değişimine bakalım: Ortalama güç P ort = I et R idi. P ort = I et R = ΔV et Z R = ΔV et R R + X L X C = ΔV et R R + Lω 1 Cω = ΔV et R R + L ω ω 1 LC ΔV et R P ort = 1 ω R ω + L ω ω 0 = ΔV et Rω R ω + L ω ω 0 Ortalama gücün frekansa göre değişimi yandaki şekilde verilmiştir. Kaynaktan devreye en büyük güç aktarımı ω = ω 0 rezonans frekansında olmaktadır. Direnç değeri küçüldükçe eğrinin keskinliği artmaktadır. Eğrinin keskinliği Q = ω 0 Δω boyutsuz kalite faktörü ile tanımlanır. Burada Δω, P ort nın maksimum değerinin yarısına karşılık gelen iki ω arasındaki eğri genişliğidir ve ω = R/L eye eşittir. Bu durumda Kalite faktörü Q = ω 0L R değerine eşit olur. 13

14 L = 5.0μH, C =.0nF, ΔV maks = 5.0mV için ortalama gücün ve etkin akımın frekansla değişimi 14

15 3.8 Transformatör ve Güç İletimi N 1 : Primer sarım sayısı N : Sekonder sarım sayısı V 1 : Giriş gerilimi V : Çıkış gerilimi R L : Yük direnci dir 15