İnönü Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Transkript

1 İnönü Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü MKM-560 Sonlu Elemanlar Tekniği Ders Sunumu 2 Yrd. Doç. Dr. Eray Arslan eray.arslan@inonu.edu.tr

2 Başlıca ABAQUS Özellikleri (1/4) Tek bir SE yazılımı içerisinden, aynı elemanları ve malzeme modellerini kullanarak kapalı (Implicit) ve açık (Explicit) yöntemle çözümleme yapmak mümkün olduğundan; Doğrusal ve doğrusal olmayan (non-linear) mukavemet çözümlemeleri Doğrusal ve doğrusal olmayan (non-linear) dinamik çözümlemeleri Doğal frekans çözümlemeleri Doğrusal ve doğrusal olmayan burkulma (buckling) çözümlemeleri İleri seviye dinamik cevap (dynamic response, frequency&transient response, random response, shock response) çözümlemeleri Geostatik çözümlemeler Isı transferi çözümlemeleri Elektro-Mekanik Isıl-Mekanik Mekanizmaların benzetimleri ve uzuvlardaki gerilme değişimlerinin hesabı Derin çekme ve geri yaylanma çözümlemeleri Ürün şekillendirme ve haddeleme çözümlemeleri SAPAT (Su Altı PATlama) ve Şok çözümlemeleri Araç çarpışma ve devrilme benzetimleri vb. çözümlemeler Abaqus ile yapılabilmektedir.

3 Başlıca ABAQUS Özellikleri (2/4) Abaqus diğer CAD yazılımlarında (CATIA, SOLIDWORKS vs) olduğu gibi unsur tabanlı (parametrik) modelleme özelliğine sahiptir. Yaptığınız işlemler unsur ağacında görülmekte olup sonradan değiştirme olanağı sağlamaktadır. Abaqus un diğer bir özelliği ise modelleme, analiz ve çözüm kısımlarının tek bir ara yüzde bulunmasıdır. Diğer CAD programlarında çizdiğimiz parçaları IMPORT yaparak Abaqus e aktarabiliriz.

4 Başlıca ABAQUS Özellikleri (3/4) Python ABAQUS/CAE için kullanılan programlama dili. Uygulamaya dönük ABAQUS/CAE nin özelleştirilmesi için kullanılmaktadır. Açık kaynak kodlu, güçlü, kullanımı kolay nesneye dönük bir programlama dilidir. Python ile programlama üzerine bir çok kaynak kitap vardır. Ayrıca den bir çok öğretici bilgi bulunabilir. ABAQUS/CAE i kullanmak için Python programlama dilini öğrenmeye gerek yoktur.

5 Başlıca ABAQUS Özellikleri (4/4) Kullanılacak Sürümler (1) Abaqus Öğrenci Sürümü (Student Edition) (Abaqus SE): Akademik öğrenciler tarafında indirilebilen ücretsiz Sonlu Elemanlar probram sürümüdür. İndirilme işlemleri ve kurulumu fabri.ga web sayfasından takip edilebilir. Bu sürüm FULL sürüm değildir. En fazla 1000 düğüm noktasına sahip analizler (ön işlem, analiz ve son işlem aşamalarında) için kullanılabilir. Bu ders için yeterli özelliklere sahiptir. Abaqus SE nin diğer özellikleri aşağıdaki gibidir: a) Abaqus SE Abaqus/Standart, Abaqus/Explicit ve Abaqus/CAE modüllerini içerir. b) Lisans yöneticisine (manager) ihtiyaç duymaz. c) Diğer sürümleri ile uyumludur. (2) Full Sürümü: Model boyutunda ya da modellerde herhangi bir kısıtlama yoktur. Daha çok araştırma için kullanılabilir.

6 ABAQUS döküman seti ABAQUS Analysis User s Manual (Yazılı ve online olarak erişilebilir) ABAQUS/CAE User s Manual (sadece online) ABAQUS Example Problems Manual (Yazılı ve online olarak erişilebilir) ABAQUS Theory Manual (sadece online)

7

8 Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar büyüklükte?... Ne kadar ısı transferi olacak?... Nasıl bir malzeme kullanılacak?... Kaç parçadan oluşacak?... Sayısal çözüm (örnek Sonlu farklar, sonlu elemanlar yöntemi) Kabuller Geometri Kinematik Malzeme yasası Yükleme Sınır Koşulları vs. Bir sistemin içerisindeki herhangi bir noktanın gerçek davranışını temsil eden analitik çözümlere karşılık, sayısal çözümler sadece düğüm noktaları (node) adı verilen belirli noktalarda tam çözümleri yaklaşık olarak temsil eder. Kaynak:

9 Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Mukavemet! Kaynak: Road and Off-Road Vehicle System Dynamics Handbook, Ed. G. Mastinu, M. Plöchl, RC Press, Taylor and Francis, New York (2014).

10 Finite Element Procedures, K J Bathe Mühendislik Tasarımı Fiziksel Problem Örnek İki civata Uniform kalınlık t Çok kalın çelik kolon Sorular: 1. AA kesitindeki eğilme momenti nedir? 2. Pindeki sehim ne kadardır?

11 Mühendislik Tasarımı Fiziksel Problem Matematiksel Model 1: Çubuk Eleman AA Kesitinde Moment M WL 27,500 N cm Sehim at load W 1 3 W(L r EI cm N ) 3 W(L r 5 AG 6 N ) Bu model ne kadar güvenilir? Bu model ne kadar verimli?

12 Mühendislik Tasarımı Fiziksel Problem Matematiksel Model 2: Düzlem Gerilme u ve v yer değiştirmelerinin sıfır olduğu alan delik B noktasına uygulanan kuvvet Denge Denklemleri Yüzeyler serbest (B noktası hariç) Sabitlenen bölgede yer değiştirmeler sıfır Gerilme-Şekil değiştirme ilişkisi ve Elastisite temel denklemleri ile daha gerçekçi bir çözüm elde edilir fakat elle çözmek kolay değil! Çözüm aşamasında Sonlu Elemanlar tekniği kullanılabilir: Elastisite Modülü, Poisson Oranı Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi

13 Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Fiziksel Problem Matematiksel Model Tarifinde diferansiyel denklemler kullanılır. Sayısal Model Örnek: Sonlu Elemanlar Model

14 Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Sonlu Elemanlar Analizi ÖN İŞLEM AŞAMASI (PRE-PROCESSING) 1. Geometrik modeli oluştur: Katı model 2. Malzeme özelliklerini (Elastisite modülü, Poisson oranı) tanımla: 3. Sınır koşullarını tanımla (sabitlenene bölgeler, yük uygulanan bölgeler): 4. Sonlu Elemanlar Modelini oluştur: Eleman Düğüm noktası Katı modeli birbirlerine düğüm noktaları ile bağlı ve üst üste binmeyen elemanlara ayır. Sonlu Elemanlar modeli

15 Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Sonlu Elemanlar Analizi ÇÖZÜM AŞAMASI (ANALİZ) 1. Her elemanın davranışını tanımla. 2. Her elemanın davranışını birleştirerek tüm modelin davranışını tanımla. (Bu işleme montaj (assembly) adı verilir.) SON İŞLEM AŞAMASI (POST-PROCESSING) AA kesitindeki momenti ve pindeki sehimi hesapla.

16 Mühendislik Tasarımı Fiziksel Problem Matematiksel Model 2: Düzlem Gerilme Matematiksel Model 2 nin Sonlu Elemanlar Yöntemi ile çözümü (düzlem gerilme) AA kesitindeki Moment Sehim M 27,500 N cm at cm load W Sonuç: Problem Mukavemet denklemleri ve Elastisite Teorisi yardımlarıyla modellendi. Elastisite denklemleri Sonlu eleman yöntemi ile çözüldü. Mukavemet çözümü: Sonlu Elemanlar Çözümü: M 27,500 N cm at cm load W Mukavemet ve Sonlu eleman çözümlerinde (sehimde) %20 lik bir fark var! Hangi sonuç ne kadar kabul edilebilir? Eğer çubuktaki maksimum gerilmeyi hesap etmek istersek? Hangi model daha kullanışlı?

17 Fiziksel Problemin Modellenmesi Fiziksel Problem Matematiksel Model Fiziksel Problemi Değiştir Matematiksel Modeli Geliştir Sayısal model Sonuç mantıklı mı? Hayır! Analizi düzenle EVET! Tasarımı geliştir, Yapısal optimizasyon

18 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

19 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek Ön işlem Aşaması 1. Çözüm Bölgesinin sonlu elemanlar ile bölüntülenmesi Problemi düğüm noktaları ve elemanlara bölelim (basit olması açısından 4 eleman ve 5 düğüm noktası düşünelim): Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

20 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek 2. Bir elemanın davranışını yaklaşık olarak temsil eden bir çözümün öngörülmesi Şekildeki üniform A kesit alanına ve l uzunluğuna sahip bir katı uzvun bir F kuvvetine mağruz kaldığında yerdeğiştirmesini inceleyelim: Uzuvdaki ortalama gerilme: Uzuvdaki ortalama birim şekil değiştirme: Hooke Yasası: Elastisite modülü Temel denklemler kullanılarak: Lineer yay denklemine benzer Uzvun eşdeğer rijitliği (stiffness) Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

21 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek 3. Bir eleman için denklemlerin oluşturulması Çubuk; seri olarak bağlanmış dört adet eleastik yaydan (eleman) oluşan bir model ile temsil edilebilir. i ve i+1 düğüm noktalarını taşıyan bir elemanın elastik davranışı aşağıdaki denklem ile verilen bir eşdeğer lineer yay ile modellenmektedir: düğüm noktalarındaki yer değiştirmeler Eleman eşdeğer rijitliği: Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

22 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek 4. Tüm problemi temsil eden sistemin oluşturulması Kuvvetleri gösteren düğüm noktası serbest cisim diyagramı Düğüm noktalarındaki denge denklemleri: Tepki kuvveti R1 ve uygulanan dış kuvveti P i iç kuvvetlerden ayırıp, denklemi baştan düzenleyelim: Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

23 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek Matrix form: ya da Denklem (*) Genel haliyle: Matrisdeki bilinmeyen sayısına dikkat! Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

24 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek 5. Sınır şartlarının uygulanması Matrisdeki bilinmeyen sayısı 6. Sınır koşullarını kullanalım: Böylece: Bu matrisin çözümü düğüm noktalarındaki yer değiştirme ifadelerini verir. Çözümden sonra, Denklem (*) kullanılarak Reaksiyon kuvvetini R1 hesaplayabiliriz. Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

25 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek Çözüm Aşaması Cebirsel Denklemin Çözülmesi

26 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

27 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek ya da Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

28 Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek Son İşlem Aşaması Diğer Bilgilerin Elde Edilmesi Örneğin, düğüm noktalarında oluşacak gerilmeleri hesaplamak için: kullanılır ve herbir eleman için ortalama normal gerilmeler hesaplanabilir. NOT: Problem için Mukevemet çözümleri: Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015

29 u Sonlu Elemanlar Yöntemi Direk Formulasyon - Örnek 1 numaralı düğüm noktasındaki Reaksiyon kuvvetinin bulunması (Denklem (*) ın 1. satırının çözülmesiyle bulunabilir:) Problemin genel çözümü için Matlab script: stiffnesssunum2.m 6 x n=3 n= L Kaynak: Saeed Moaveni (çev. Ali O. Ayhan), Sonlu Elemanlar Analizi: Teorisi ve Ansys ile Uygulamalar, Palme, 2015