STATISTICAL ANALYSIS OF PARETO DISRIBUTED LIFETIME DATA UNDER TYPE II PROGRESSIVE CENSORING WITH BINOMIAL REMOVALS

Transkript

1 ISSN:36-3 e-joual of New Wold Sceces Acadey Volue: 7 Nube: 4 Atcle Nube: 3A6 Sbel Açık Kealoğlu NWSA-HYSICA SCINCS Öe. Gebzloğlu eceed: Febuay Akaa Uesty Acceted: Setebe Kad Has Uesty Sees : 3A ack@scece.akaa.edu.t ISSN : oe.ebzlolu@khas.edu.t Akaa-Tukey BİNOM AYIMAI İYN II. TÜ SANSÜM ATINDA ATO YAŞAM ZAMANI VİİNİN İSTATİSTİKS ANAİZİ ÖZT Bu çalışada asele ayılalı leleye II. tü sasülee şeası altıda aeto dağılııa sah yaşa zaaı ele statstksel aalz ele alııştı. Söz kousu şeada b sstede sste ble bozulası eya hasalı duua düşese lşk b özlelee eya deey tasaıı şeası olu astele zaalada oluşa he b bozula eya hasa akası aıda sstede ayıla ble sayısı Bo dağılıı özellklee saht. Bozula eya hasa zaalaı le sstede ayıla ble sayısıı çee odel aaetele e çok olabllk tah edcle elde edlşt. Böyle b deey soladıılası ç eeke beklee süe hesalaıştı. İleleye II. tü sasülee e dğe öeklee şealaı ç beklee test süele le ll deele e bazı sayısal souçla elde edlş e youlaalaı yaılıştı. Aahta Kelele: İleleye II. Tü Sasülee astele Ayıla Bo Dağılıı Çok Olabllk Tah dcs Beklee Test Sües STATISTICA ANAYSIS OF ATO DISIBUTD IFTIM DATA UND TY II OGSSIV CNSOING WITH BINOMIA MOVAS ABSTACT Ths study cosdes the aalyss of aeto dstbuted lfete data whch ae obseable ude oesse tye II ceso wth ado eoals whee the ube of uts eoed at each falue te follows a boal dstbuto. Mau lkelhood estatos of the odel aaetes ae deed. The eected te that s equed to colete the tye II cecoed eeetal o obseatoal shee s deteed. Soe uecal coutatos of eected test tes ae efoed fo the schee at had ad teetato of esults s oded. Keywods: oesse Tye II Ceso ado eoals Boal Dstbuto Mau kelhood stato ected Test Te

2 e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö... GİİŞ INTODUCTION Geleeksel II. tü sasülee şeası uyulaa deeysel eya özlesel çalışalada bozula eya hasa akalaı özlelee süeçlede sayısı başta bellee tola b buluaktadı; tü ble bozulasıa eya hasa duuua uğaasıa kada bekleek yee. c bozula eya hasa zaaıda deey eya özlelee btlekted. Böylece b II. tü sasüleş şea altıda blk b küede elde edle bozula eya hasa sayısı e bulaa at asele aka zaalaı statstksel öekle oluştuaktadı. Deey eya özle süece kısaca test delecek oluusa; test btş aıda soa başka zaa oktalaıda olası bozula eya hasaa uğaya ble alığı söz kousu olu bulaı sataası eya özlees ükü olaaktadı. Bu telkte b deey eya özlelee süec aaştıacılaı leleye tü sasülee duuuda bıakı k II. tü sasüleede deey eya özlelee btş oktasıda soa bozula eya hasa akası oluşulaı kaydedleez e bleez halled []. Ma d.974 awless 98 e Meeke e scoba 998 eleeksel kc tü sasülee şeası üzede değşk yaşa zaaı dağılılaıı kullaaak çeştl çalışala yaışladı. II. tü sasülee b eelleştles leleye II. tü sasüleed. Bu şea altıda sıfı zaaıda b testte buluacak e b bozulası eya hasaı buda soa kısaca bozula delecekt özleleecek olusa; lk bozula aıı hee adıda astele olaak adet b sstede b dğe deyşle testte ayılacağı beltlekted. Daha soa özlee kc bozulaı hee adıda astele olaak yaşaya b testte ayılı. Bu süeç. bozulaı özlee zaaıa kada süe kala b hes deeyde ayılı e deey bte. Bu sasülee şeasıda e dolayısıyla değele hes öcede belleşt. Bu sasülee tüüü b soucu olaak elde edle sıalı değe leleye II. tü sasüleş sıa statstkle olaak adladıılı. ğe ya se şea II. tü sasülee şeasıa döüşü. Bu duuda sadece lk klask sıa statstğ özle. ğe e se leleye II. tü sasülee şeası sasülee olaasıta öekle duuu duuua döüşü. Bu se bütü klask sıa statstkle özlees deekt [ e ]. İleleye II. tü sasülee altıda yaşa zaaı dağılııı aaetele le ll statstksel çıkaıla bçok kş taafıda çalışılıştı. Bulada çalışaızı doğuda llede bazılaı Cohe963 Ma 97 Wo 973 Cohe e Noaad 977 Gbbos e Vace 983 Wo 993 e Balaksha e Sadhu 996 u çalışalaıdı. Bbde bağısız adet b b testte buluduğu asayılsı e bulaı bozula eya hasaa uğaa zaalaıa kada eçe süele yaşa zaalaı olaak adladıılsı. Yaşa zaalaı dağılııı olasılık yoğuluk foksyou f e bkl dağılı foksyou F olsu. : :... bu özleebl bozula zaalaıı östes. Böylece bütü leleye II. tü sasüleş sıa statstkle otak olasılık yoğuluk foksyou 38

3 e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö.. f : : c f : : : : c F le fade edlecekt. Buada d. Bu şeada le hes öcede belleşt[]. Halbuk uyulaada bu sayı asele olaak otaya çıkabl. Öeğ b klk testte ayıla hastalaı sayısı asteled e öcede belleeeyebl. Bazı üelk deeylede deey yaa kş bazı test ble bozulaış olasıa ağe test südües tehlkel olacağıa ya da uyu olayacağıa kaa eebl. Böyle duulada ayıla odel asteled [ 4 5 e 6]. astele ayılalaı odellees kousuda lk düşücey Yue e Tse 996 otaya atıştı. Ola ayılalaı sayısıı düzü dağılı olaak ele alışladı. Daha soa Tse d. ayılalaı sayısıı dağılııı bo dağılıı olaak ele alış e yaşa zaaı dağılııı aaetele hakkıda statstksel souç çıkaıı yaıştı. Kealoğlu e Gebzloğlu 9 se bo ayılalı kc tü sasülee altıda aktüeyal sk aalz kousuda aaltk odel elştş e sayısal öeklele açıklayıcı youla otaya koyuştu.. ÇAIŞMANIN ÖNMİ SACH SIGNIFINANC teatüde he b bozula ya da hasaı adıda ayılalaı sayısı öcede belleşt. Halbuk uyulaada bu sayı astele olaak otaya çıkabl. Bu çalışada ayılalaı sayısıı dağılıı Bo dağılıı alıaak leleye II. Tü sasülee altıda statstksel çıkasaala yaılış beklee test sües hesalaaak ta öeklee duuu le kaşılaştıılıştı. 3. YÖNTMMTHOD 3.. Bo Ayılalı İleleye II. Tü Sasülee Altıda Çıkasaa Ifeece Ude Tye II oesse Ceso Wth Boal eoals Ayıla ble sayısı e olusa olsu eellkle he b ayıla olayı eşt b olasılıkla otaya çıkayacaktı. Heha b b dğelede bağısız olaak olasılığı le testte ayılıyosa testte bozulaak ayılalaı sayısı bo dağılııı oluştuacaktı []. Suduğuuz odel yaklaşııda; yaşa zaaıı dağılıı aeto dağılıı olaak ele alıacak ayılalaı sayısıı se Bo dağılııa sah olduğu asayılacaktı Çok Olabllk Tah dcs Mau kelhood stato İleleye II. tü sasülee şeası altıda b sstedek elealaı eya ble bozula aıa kada ola yaşa zaaı dağılıı aaetel aeto se yaşa zaaıı östedğ aeto olasılık yoğuluk foksyou f e bkl dağılı foksyou F d. Notasyolada sadelk ç : yee kullaılsı. : aeto dağılıda alıa b leleye II. tü 3 39

4 e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö.. 4 sasüleş öekle östes Testte ayılala eya bozulalaı sayısı öcede belleş olak üzee; otak olasılık yoğuluk foksyou eştlk de yola çıkaak aşağıdak b fade edl. c c c F f c f Buada c d. Öcede belleş ayıla sayılı leleye II. tü sasülee ç koşullu olabllk foksyou fades c 5 olu buada c daha öce fade de taıladığı bd. astele değşkele Bo dağılııa uyu olaak dağıldığı duuda he b. bozulaı adıda ayı olasılığı le sstede ayılı. Bu duuda bozula blee da olasılık dağılıı fades koşullu olasılıkla beltlebl e... 6 fades alı. Buada... d. Ayı zaada; le lede bağısız olduğu asayılısa e otak olabllk foksyou aşağıdak bd: ; Buada le otak olasılık dağılıı olu foksyoel fades!!!!!!!!!!!!... 7 olaak elde edl. aaetes çeedğde ' e çok olabllk tah edcs M e çoklaası eya aksze edlesyle buluu. Beze şeklde Bo dağılıı aaetes y çeedğde e çok olabllk

5 e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö.. 4 tah edcs aksze edlesyle buluu. Dğe b deyşle asele ayılala çee leleye sasüleeye Bo dağılııı bütüleştles e aaetele tahde heha b zoluğa ede olaaktadı. Bua öe e çok olabllk tah edcs c c lo lo lo lo lo lo lo ˆ lo 8 şeklde elde edl. ' e çok olabllk tah edcs se aşağıdak şeklde buluu: l l! l! l! l l l! l! l! l l l ˆ Beklee Test Sües ected Test Te Güellk e sk yöet alalaıda atk uyulaalada test eçekleşte kş bell b zaa çde test taalaı taalaaayacağı le lleebl. Bu bl deey yaa eya özleleey yüüte kş ç uyu b öeklee laı seçek adıa öeld çükü test btek ç eekl süe dekt olaak alyet le lld. asele ayılalı leleye II. tü sasülee duuuda. c sıa statstğ beklee değe hesalaaak beklee test sües buluu. Aşağıda beklee test sües asıl hesalaacağı östelşt. Bu belleelele ta öeklee duuu le Bo ayılalı II. tü sasülee duuuu kaşılaştıasıı yaak eek yötesel eek uyulaa bağlaıda eeyce öel b koudu. Bu edele aşağıdak suulada e ye değele eeek ta öeklee duuu le Bo ayılalı II. tü sasülee şeası kaşılaştıılacaktı.

6 e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö.. 4 olası koşulu le beklee değe d. Buada e... 3 d []. Böylece astele ayılalı leleye II. tü sasülee altıda beklee test sües eştlk fades he k taafıı ye öe beklee değe alıasıyla hesalaabl. Başka deyşle beklee test sües!!! olaak buluu. Buada d e eştlk 7 de taılaıştı. eştlğde alıaak II. tü sasülee beklee test sües elde edlebl. Beze şeklde eştlğde e alıaak b ta öeklee laıı beklee sües buluabl. Otaya koula souçlala asele ayılalı leleye II. tü sasüleş öekle e ta öekle beklee test süele elde edlşt. Yaşa test üzede e etkle test etek ç bu k beklee süe kaşılaştıılacaktı. Bu aksatla yaıla hesalaala aşağıda b tablo halde beltlş ll e değele le e aaetele aasıdak foksyoel lşkle se afksel östelele otaya kouluştu. Şekl de suula afklede oa leleye II. tü sasülee duuudak beklee test süele ta öeklee duuudak beklee test süese bölües le elde edlekted.

7 oa oa oa oa oa oa e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö.. Tablo. -İleleye II. tü sasülee duuuda beklee test süele Table. -ected test tes ude oesse tye II ceso =. =. =3. ayıla olasılığı =3 =. =5 = =4 =5 =6 = = =6 =7 =8 =9 = olasılığı olasılığı =3 =. =5 = =4 =5 =6 = = =6 =7 =8 =9 = olasılığı olasılığı =3 =3. =5 = =4 =5 =6 = = =6 =7 =8 =9 = olasılığı olasılığı Şekl. Bozula/ayıla olaylaıda lşkle Fue. The elatosh of ude eoal eets 43

8 e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö.. Tablo ta öeklee duuu yaı sıa leleye II. tü sasülee altıda e faklı değele ç beklee test süele östeekted. e bçok kobasyou düşüülüş; e 5 alıış e bula ç seçle değele Tablo 'de lsteleşt. Buada duuu ta öeklee laıa kaşılık elekted. Ayıla olasılığı faklı değele celeşt. Özellkle e değele tabloda lsteleşt. Aslıda dğe değele ç de hesalaala yaılıştı acak ayıtıla östeleşt. Vele e değele ç beklee test sües ye bağlıdı. değele attıkça beklee test sües azalı. Sabt b değe ç öekle hac atake asele ayılalı II. tü sasülee beklee test sües azalaktadı. Beklee test süesdek azala özellkle. 5 değele ç ta öeklee şeası le kaşılaştııldığıda öeld. 5 ke azala daha az öe taşıaktadı. Tablo dek souçlada ayıla olasılığı etks celedğde test sües üzede doat b etke olduğu öülü. Nsete küçük ç.5 ya da. b ya da değele küçük olduğuda ta öeklee duuu le kaşılaştııldığı zaa II. tü sasülee şeası altıda test sües daha çok kısaldığı öülekted. Dğe yada sete daha büyük olduğuda test süesdek kısala daha azdı. Bu da yüksek ayıla olasılığıda dolayı ayılalaı sayısıı çok olasıa bağlıdı. Test başlaıcıda b buluduğu halde çalışaı lk eelede bulaı b testte ayılacaktı. Bu da özlele yaşa zaaı dağılııı kuyuğua daha yakı olaya zolayacaktı. O edele asele ayılalı II. tü b yaşa test taalaak ç eekl deey sües test bde bozula özlee b ta öeklee şeasıdake bezeekted. Böylelkle büyük b bozula/ayıla olasılığı söz kousu olduğuda test b sayısıı atıaak asele ayılalı II. tü sasüleede deey sües kısalasıda fazla b kazaç sağlaaayacağı öülekted. Şekl olasılığıı oaa kaşı afğ eekted. olasılığı atake oa e yaklaşı. Bu atış özellkle e büyük olduğuda hızlı olaktadı ya hızlı b oada test ble bozulaktadı. Bu souçla; e değele küçük oladıkça test sües öel ölçüde kısaltılayacağıı şaet etekted. 4. SONUÇ CONCUSION astele ayılalı II. tü b sasülee şeası altıda delee b sste ble bozulası eya hasaa uğaası soucuda sstede ayılalaıa lşk b deey eya özle süec sües e çok ayıla olasılığı taafıda etkleekted. ğe çok büyük değlse.5 de küçük deey süesdek azala öel olabl. Dğe yada büyükse test ble sayısı büyük olduğuda ble çoğu b lk eelede ayılı e deey b ta öeklee duuua beze. Bu edele deey süesdek kısala sete daha azdı. ğe deey eya özle süecde sste ble testte ayıla olasılığıı yüksek olası bekleyosa deey sües b ölçüde kısaltak ç çok sayıda test b teste alıalıdı. Bu da eek atk kısıtla eek alyetle eek statstksel souç çıkaıı açısıda çok alalı e yaalı olayacaktı. 44

9 e-joual of New Wold Sceces Acadey NWSA-hyscal Sceces 3A Açık Kealoğlu S. e Gebzloğlu Ö.. KAYNAKA FNCS. Balaksha N. ad Aawala.. oesse Ceso: Theoy Methods ad Alcatos Bkhäuse Bosto.. Cohe A.C oessely cecoed sales lfe test Techoetcs Cohe A.C. ad Noaad N. J oessely cesoed sal the thee aaete Gaa dstbuto Techoetcs Gbbos D.I. ad Vace.C statos fo the - aaete Webull dstbuto wth oessely cesoed sales I Tasactoso elablty Kealolu S.A. ad Gebzlolu O.. 9. sk aalyss ude oesse tye II ceso wth boal cla ubes Joual of Coutatoal ad Aled Matheatcs.Vol awless J.F. 98. Statstcal Models & Methods fo fete Data Joh Wley&Sos New Yok. 7. Meeke W.Q. ad scoba.a Statstcal Methods fo elablty Data Wley New Yok. 8. Ma N Best lea aat estato fo Webull aaetes ude oesse ceso Techoetcs Ma N.. Schafe.. ad Suwalla N.D Methods fo Statstcal Aalyss of elablty ad fe Data Wley New Yok.. Tse S.K. Ya C. ad Yue H.K.. Statstcal aalyss of webull dstbuted lfete data ude Tye II oesse ceso wth boal eoals Joual of Aled Statstcs Vol. 7 No Tse S.K. ad Ya C. 3. elablty sal las fo the Webull dstbuto ude tye II oesse ceso wth boal eoals Joual of Aled Statstcs Vol. 3 No Wo D.. 973Soluto of the thee-aaete Webull equatos by costaed odfed quasleazato oessely cesoed sales I Tasactoso elablty Wo J.Y Sultaeously estat the thee Webull aaetes fo oessely cesoed sales Mcoelectocs ad elablty Wu S.J. ad Cha C.T. 3. Ifeece the aeto dstbuto based o oesse tye II ceso wth ado eoals Joual of Aled Statstcs Vol. 3 No Wu S.J. 3. stato fo the two-aaete aeto dstbuto ude oesse ceso wth ufo eoals Joual of Aled Statstcs Vol Yue H.K. ad Tse S.K aaetes estato fo Webull dstbuted lfetes ude oesse ceso wth ado eoals Joual of Statstcal Coutato ad Sulato