VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ"

Transkript

1 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir. K skalarların cismi,, veya K nın elemanları verilen vektör uzayı,, nin elemanları 2.VEKTÖR UZAYLARI Aşağıda bir vektör uzayı veya lineer uzay kavramı tanımlanmıştır. Tanım: K verilen bir cisim ve V, herhangi, V yi bir V toplamına, ve V,kK için V çarpımına eşleyen toplama ve skalar ile çarpma kuralları ile boş olmayan bir küme olsun. O zaman eğer aşağıdaki aksiyomlar sağlanıyorsa V bir vektör uzayıdır (ve V nin elemanlarına vektör denir.) [A 1 ] Herhangi,, V için [A 2 ] V de 0 ile gösterilen ve sıfır vektörü denen bir vektör vardır ve bunun için her V vektörü için 0 dur. [A 3 ] Herbir V vektörü için, V de ile gösterilen ve 0 olan bir vektör vardır. [A 4 ] Herhangi, V vektörler için, [M 1 ] Herhangi k K skaları ve herhangi, V vektörleri için, [M 2 ] Herhangi, K skalarları ve herhangi V vektörü için, [M 3 ] Herhangi, K skalarları ve herhangi V vektörü için, [M 4 ] K birim skalarları ve herhangi bir V vektörü için. Yukarıdaki aksiyomlar doğal olarak iki kümeye ayrılır. İlk dört aksiyom V nin toplamının yapısı ile ilgilidir ve, V toplama altında bir değişmeli gruptur, diyerek özetlenebilir. Buradan, aşağıdaki haldeki herhangi bir vektörler toplamı parantez gerektirmez ve terimlerin sırasından bağımsızdır. Ayrıca sıfır vektör 0 tektir. nun negatifi tektir, ve sadeleştirme kuralı geçerlidir: yani, herhangi,, V vektörleri için ise dir. Çıkarma işlemi de şöyle tanımlanır: Diğer taraftan, kalan dört aksiyom, cisminin üzerindeki etkisi ile ilgilidir. Bu ek aksiyomları kullanarak, vektör uzaylarının aşağıdaki basit özellikleri ispatlanabilir.

2 Teorem 1:, cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. (i) Herhangi K skaları ve 0 V için, 0 0 (ii) 0 K herhangi V vektörü için, 0 0 (iii) Eğer 0, ve K ve V ise, o zaman 0 veya u 0 (iv) Herhangi K ve V için, 3. VEKTÖR UZAYI ÖRNEKLERİ Uzayı herhangi bir cisim olsun. gösterimi çoğunlukla nın elemanlarının tüm sınırlanmış lilerinin kümesini belirtir. Burada, üzerinde, vektör toplamı ve skalarla çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanan bir vektör uzayı olarak düşünülür. ve,,,,,,,,, de sıfır vektörü, sıfırlardan oluşan lidir; ve bir vektörün negatifi şöyle tanımlanır:, Vektör Uzayı,,,,,,. 0 0,0,,0,,,,,,, gösterimi veya basitçe,, herhangi bir cismi üzerindeki matrislerinin kümesini göstermek için kullanılır. O zaman, olağan matris toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayıdır. Polinom Uzayı,, bir cismindeki tüm katsayılı 0,1,2, polinomlarının kümesini göstersin. O zaman, olağan polinom toplamı ve polinomların bir sabit ile çarpımı işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayıdır. Fonksiyon Uzayı X boş olmayan bir küme ve herhangi bir cisim olsun. X den ya tüm X fonksiyonlarının FX kümesini düşününüz. [X boş olmadığından F(X) in de boş olmadığına dikkat ediniz.] İki f, g FX fonksiyonu f gx fx gx, için ile tanımlanır ve k K skaları ile f FX fonksiyonun çarpımı kf FX ise kfx kfx, için

3 ile tanımlanır. O zaman FX, yukarıdaki operasyonlarla üzerinde bir vektör uzayıdır. Cisimler ve Altcisimler bir cisim olsun ve bir altcismini kapsasın. O zaman, üzerinde aşağıdaki gibi bir vektör uzayı olarak düşünülebilir. deki olağan toplama vektör toplamı olsun, ve ile nin skalarla çarpımı, ile nin cisminin elemanları olarak çarpımı olsun. O zaman, üzerinde bir vektör uzayıdır, yani vektör uzaylarının yukarıdaki sekiz aksiyomu ve tarafından sağlanır. 4. ALTUZAYLAR, bir cismi üzerinde vektör uzayının bir alt kümesi olsun. Eğer nin kendisi de üzerindeki vektör toplamı ve skalarla çarpım işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayı ise, ya de bir altuzay denir. Teorem 2:, vektör uzayının bir alt kümesi olsun. O zaman,, ancak ve ancak eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa nin bir altuzayıdır. (i) 0 W (ii), vektör toplamı altında kapalıdır. Yani: her, için, (iii), skalar ile çarpmaya göre kapalıdır. Yani: her, her K için, çarpım dir. (ii) ve (iii) koşulları tek bir koşul altında birleştirilebilir. Teorem 3:, nin bir alt uzayıdır, ancak ve ancak eğer (i) 0 W (ii) Her, ve, K için, K Örnek 1: (a) herhangi bir vektör uzayı olsun. O zaman, sadece sıfır vektöründen oluşan 0 kümesi, ve ayrıca tüm uzayı, nin bir altuzayıdır. (b), de üçüncü bileşenleri 0 olan vektörlerden oluşan düzlemi olsun; veya, bir başka deyişle,, 0:, R 0 ın üçüncü bileşeni 0 olduğundan 0 0,0,0 olduğuna dikkat ediniz. Dahası, daki herhangi,,0 ve,,0 vektörleri herhangi R skaları için,,,0 ve,, 0. (c), matrislerinin uzayı olsun. O zaman (üst) üçgensel matrislerden oluşan alt kümesi, nin alt uzaylarıdır; çünkü bunlar boş değildir ve matrislerin toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre kapalıdırlar. (d) nin polinomların vektör uzayı olduğunu hatırlayınız. Sabit bir için derecesi olan tüm polinomlardan oluşan nin alt kümesini alalım. O zaman, nin bir alt uzayıdır. Örnek 2: vektör uzayının altuzayları ve olsun. kesişiminin de nin bir diğer altuzayı olduğunu göstereceğiz. Açıkca 0 ve 0 dir. Çünkü ve altuzaylardır; burada 0 dır. Şimdi, varsayalım. O zaman,, ve, dır, çünkü ve altuzaylardır, ve herhangi bir skaları için,, ve,.

4 Böylece, dır ve buradan kümesi nin bir diğer altuzayıdır. Teorem 4: Bir vektör uzayının herhangi sayıdaki altuzaylarının kesişimi nin bir diğer altuzayıdır. Teorem 5: bilinmeyenli 0 homojen sisteminin çözüm kümesi nin bir altuzayıdır. 5. LİNEER BİRLEŞİMLER, LİNEER GERMELER cismi üzerinde bir vektör uzayı, ve,,, olsun. deki herhangi bir biçimindeki vektöre ler için,,,, nin lineer birleşimi denir. Tüm böyle lineer birleşimlerin,,, ile gösterilen kümesine de,,, nin lineer germesi denir. Genel olarak, nin herhangi bir alt kümesi için, boş iken 0, ve de deki bütün vektörlerin tüm lineer birleşimlerinden oluşur. Teorem 6: V vektör uzayının bir alt kümesi olsun. (i) O zaman, nin yi kapsayan bir altuzayıdır. (ii) Eğer, nin yi kapsayan bir alt uzayı ise, o zaman. Diğer yandan, verilen bir vektör uzayındaki,,, vektörleri için,,,, oluyorsa bu vektörlere geren vektörler veya nin bir geren kümesini oluştururlar denir. Bir başka deyişle, eğer her için, öyle,,, skalarları varsa ve yazılabiliyorsa, yani eğer vektörü,,,, nin bir lineer birleşimi ise,,, vektörleri yi gererler. Örnek 3: (a) vektör uzayını alalım. teki herhangi bir sıfır olmayan vektörünün lineer germesi, nun tüm skalar katlarından oluşur; geometrik olarak,, orjinden geçen ve son noktası olan doğrudur. Ayrıca birbirinin katı olmayan iki, vektörü için,, orjinden ve ile nin uçlarından geçen düzlemdir. u

5 (b) 1,0,0, 0,1,0 ve 0,0,1 vektörleri uzayını gererler. Özel durum olarak, teki herhangi bir,, vektörü için,, 1,0,0 0,1,0 0,0,1 olur. Yani, vektörü,,, ün bir lineer birleşimidir. (c) 1,,,, polinomları, tüm polinomların vektör uzayı olan yi gererler, yani 1,,,,. Bir başka deyişle, herhangi bir polinom, 1 ve t nin kuvvetlerinin bir lineer birleşimidir. Benzer şekilde, 1,,,, polinomları, derecesi olan tüm polinomların vektör uzayı olan yi gererler. Bir Matrisin Satır Uzayı cismi üzerinde herhangi bir matris olsun: nın satırları, a a a a a a A= a a a R a,a,,a,,r a,a,,a K de vektörler olarak düşünülebilirler ve böylece bunlar A nın satır uzayı diye adlandırılır ve satuz A ile gösterilir, bu vektörler K nin bir alt uzayını gererler. Yani, satuz A spanr,r,,r. Benzer şekilde, nın kolonları K de vektörler olarak düşünülebilirler ve böylece A nın kolon uzayı diye adlandırılır ve koluz A ile gösterilir, bu vektörler K nin bir altuzayını gererler. Bir başka şekilde, satuz A T dir. Şimdi ya aşağıdaki temel satır işlemlerini uyguladığımızı varsayalım: (i), (ii), 0, (iii), 0, ve matrisini bulalım. O zaman nin her satırı açıkça nın bir satırıdır veya nın satırlarının bir lineer birleşimidir. Böylece nin satır uzayı, nın satır uzayınca kapsanır. Diğer taraftan, ye ters temel satır operasyonlarını uygulayarak yı bulabiliriz; buradan, nın satır uzayı da nin satır uzayınca kapsanır. O halde, ve nin satır uzayınca kapsanır. O halde, ve nin satır uzayları aynıdır. Buradan aşağıdaki teoreme ulaşırız: Teorem 7: Satırca denk matrislerin satır uzayları aynıdır.

6 Teorem 8: Satırca kanonik matrislerin ancak ve ancak sıfır olmayan aynı satırlara sahiplerse, satır uzayları aynıdır. Teorem 9: Her matris kanonik haldeki bir tek matrise satırca denktir. Örnek 4: de vektörlerinin gerdiği W alt uzayı ile u 1,2, 1,3,u 2,4,1, 2 ve u 3,6,3, 7 v 1,2, 4,11 ve v 2,4, 5,14 vektörlerinin gerdiği alt uzaylarının eşit olduğunu; yani W olduğunu gösteriniz. Çözüm: Satırları u,u ve u olan matrisini oluşturunuz, ve yı satırca kanonik hale indirgeyiniz /3 A ~ ~ / Şimdi satırları v ve v olan matrisini oluşturunuz, ve yi satırca kanonik hale indirgeyiniz /3 ~ 1 ~ /3 İndirgenmiş matrislerin sıfır olmayan satırları aynı olduğundan, ve nin satır uzayları aynıdır ve böylece W dir. 6. LİNEER BAĞIMLILIK ve LİNEER BAĞIMSIZLIK Aşağıda lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık kavramı tanımlanmıştır. Bu kavramın lineer cebir teorisinde ve genelde matematikte temel bir rolü vardır. Tanım: cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. v,,v vektörlerine, eğer hepsi sıfır olmayan öyle a,,a skalarları var ve a v a v a v 0 (*) sağlanıyorsa, lineer bağımlı veya basitçe bağımlı denir. Tersi durumda, bu vektörlere K üzerinde lineer bağımsız veya basitçe bağımsız denir. Tüm a lar 0 ise (*) bağıntısının her zaman doğru olduğuna dikkat ediniz. Eğer bu bağıntı sadece bu durumda doğru ise, yani, a v a v a v 0a a a 0 ise o zaman vektörler lineer bağımsızdır. Diğer taraftan, eğer (*) bağıntısı a lardan en az biri 0 değilken doğru ise, o zaman vektörler lineer bağımlıdır. v,v,,v vektör kümesine v,v,,v vektörlerinin lineer bağımlı veya bağımsız olmalarına rağmen lineer bağımlı veya lineer bağımsız denir. Sonsuz bir S vektör kümesinde, lineer bağımlı u,u,,u vektörleri varsa, S kümesi lineer bağımlıdır; diğer durumlarda S lineer bağımsızdır.

7 Not 1. Eğer 0 (sıfır) vektörü v,,v vektörlerinden biriyse, örneğin v 0 ise, o zaman vektörler lineer bağımlı olmalıdır; çünkü olur ve v in katsayısı 0 değildir. 1v 0v 0v Not 2. Herhangi bir sıfır olmayan v vektörünün kendisi lineer bağımsızdır; çünkü olmasını gerektirir. kv0,v0 k0 Not 3. Eğer v,,v vektörlerinin herhangi ikisi eşitse veya biri diğerinin skalar çarpımı, diyelim ki v kv ise, o zaman vektörler lineer bağımlıdır. Zira bu durumda yazılabilir. v kv 0v 0v 0 Not 4. İki v,v vektörleri lineer bağımlıdır, ancak ve ancak biri diğerinin bir katı ise. Not 5. Eğer v,,v kümesi lineer bağımsız ise, o zaman bu vektörlerin herhangi v,,v sıralanması da lineer bağımsızdır. Not 6. Eğer bir S vektör kümesi lineer bağımsız ise, o zaman S nin herhangi bir alt kümesi de lineer bağımsızdır. Bir başka deyişle, eğer S nin lineer bağımlı bir alt kümesi varsa, o zaman S lineer bağımlıdır. Not 7. reel uzayında, vektörlerin lineer bağımlılığı geometrik olarak şöyle açıklanabilir; (a) Herhangi iki ve vektörü, ancak ve ancak orjinden geçen bir doğru üzerinde iseler (Şekil 5 2(a)) lineer bağımlıdır. (b) Herhangi üç, ve vektörleri, ancak ve ancak (Şekil 5 2(b)) orjinden geçen bir düzlemde yer alıyorlarsa lineer bağımlıdırlar. u v 0 a) ve lineer bağımlı b), ve lineer bağımlı Örnek 5: (a) 1, 1,0, 1,3, 1 ve 5,3,2 vektörleri lineer bağımlıdır, çünkü

8 31, 1,0 21,3, 1 5,3, 2 0,0,0. Yani dır. (b) 6,2,3,4, 0,5,3,1 ve 0,0,7, 2 vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu göstereceğiz. Bu amaçla, 0 ve burada,, nin bilinmeyen skalarlar olduğunu varsayalım. O zaman 0,0,0,0 6,2,3,4 0,5,3, 1 0,0,7, 2 6, 2 5, 3 3 7, 4 2 ve böylece, ilgili bileşenlerin eşitliğinden, İlk denklem 0 verir; ikinci denklem 0 ile 0 verir ve üçüncü denklem 0,0 ile 0 verir. Böylece Verir. O halde, ve lineer bağımsızdır. Lineer Birleşimler ve Lineer Bağımlılık 00,0,0 Lineer birleşimler ve lineer bağımlılık kavramları yakından ilgilidir. Özel olarak göstereceğiz ki, birden fazla vektör, diyelim ki, v,,v vektörleri lineer bağımlıdır ancak ve ancak bunlardan biri diğerlerinin bir lineer birleşimi ise. Lemma 1: İki veya daha fazla v,,v vektörünün lineer bağımlı olduğunu varsayalım. O zaman vektörlerden biri, kendisinden öncekilerin bir lineer birleşimidir, yani öyle bir k 1 vardır ki dır. v c v c v c v Örnek 6: Aşağıda eşelon biçimindeki matrisi düşününüz: A R,R ve R satırlarının ikinci kolonlarında 0 lar olduğuna dikkat ediniz. (R deki köşegende yer alan 1 elemanını aşağısı) ve buradan R,R ve R ün herhangi bir lineer birleşiminin ikinci bileşeni 0 dır. Böylece R, altındaki sıfır olmayan satırların lineer birleşimi olmaz. Benzer şekilde, R ve R satırlarının, üçüncü kolonlarında R deki merkez elemanının altında 0 lar vardır; böylece R, altındaki sıfır olmayan satırların bir lineer birleşimi olmaz. Son olarak, R,R ün bir katı olamaz, çünkü R ün beşinci kolonunda R teki merkezin altında sıfır vardır. Aşağıdan yukarıya doğru sıfır olmayan

9 R,R,R,R satırlarına bakarsak, hiçbir satır kendinden öncekilerin bir lineer birleşimi değildir. Böylece Lemma 1 den satırlar lineer bağımsızdır. Teorem 10: Eşelon biçimindeki bir matrisin sıfır olmayan satırları lineer bağımsızdır. 7. BAZ ve BOYUT Tanım: Bir S u,u,u vektör kümesi için, eğer aşağıdaki iki koşul sağlanıyorsa bu küme, V nin bir bazıdır: (1) u,u,u lineer bağımsızdır. (2) u,u,u V yi gerer. Tanım: Eğer her V vektörü bir Su,u,u vektör kümesindeki vektörlerin tek bir lineer birleşimi olarak yazılabiliyorsa S kümesi V nin bir bazıdır. Eğer V nin elemanlı bir bazı varsa, V ye sonlu boyutlu veya boyutludur denir ve yazılır. Teorem 11: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. O zaman V nin her bazının aynı sayıda elemanı vardır. 0 vektör uzayı 0 boyutlu olarak tanımlanmıştır. Bir vektör uzayı sonlu boyutlu değilse, sonsuz boyutludur denir. Örnek 7: (a) cismi üzerinde tüm 23 matrislerin vektör uzayı, ü düşünelim. O zaman aşağıdaki altı matris, için bir baz oluşturur: , , , , , Daha genel olarak, tipindeki matrisleri,, vektör uzayında, bileşeni 1 diğerleri 0 olan matrisler olsun. O zaman tüm böyle matrisleri,, için bir baz oluşturur, ve bu baza, nin olağan bazı denir. O zaman, olur. Özel durumda, vektörleri için olağan baz oluşturur. 1,0,,0, 0,1,,0,, 0,0,,1 (b) Derecesi olan tüm polinomların vektör uzayınını düşününüz. 1,,,, polinomları için bir baz oluşturur, ve böylece 1 olur. Teorem 12: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı V olsun. (i) O zaman V nin her bazının aynı sayıda elemanı vardır. (ii) elemanlı herhangi bir lineer bağımsız,,, kümesi nin bir bazıdır. (iii) nin elemanlı herhangi bir germe kümesi,,, nin bir bazıdır.

10 Teorem 13: nin vektör uzayını gerdiğini varsayalım. (i) de herhangi maksimum sayıda lineer bağımsız vektörler V nin bir bazını oluşturur. (ii) den, öncekilerin lineer birleşimi olan her bir vektörün çıkarıldığını düşünelim. O zaman kalan vektörler nin bir bazını oluşturur. Teorem 14: sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun ve,,, de lineer bağımsız vektörlerden oluşan bir küme olsun. O zaman, nin bir bazının bir kısmıdır, yani,, nin bazı olacak şekilde genişletilebilir. Örnek 8: (a) de aşağıdaki dört vektörü düşününüz: 1,1,1,1, 0,1,1,1, 0,0,1,1, 0,0,0,1. Dikkat edilmelidir ki, vektörler eşelon halde bir matris oluşturur; buradan vektörler lineer bağımsızdır. Dahası, 4 olduğundan, vektörler ün bir bazını oluşturur. (b) de aşağıdaki 1 polinomu düşününüz: 1, 1, 1,, 1 1 nın derecesi k dir; böylece hiçbir polinom kendinden önceki bir lineer birleşimi olamaz. Burada, polinomlar lineer bağımsızdır. Dahası nin bir bazını oluştururlar, çünkü 1 dir. Boyut ve Altuzaylar Teorem 15: boyutlu bir vektör uzayının bir altuzayı olsun. O zaman olur. Özel durumda, eğer ise, o zaman olur. Örnek 9: (a) reel uzayının bir altuzayı olsun. Şimdi 3 tür; teorem 15 den nın boyutu sadece 0,1,2 veya 3 olabilir. Aşağıdaki durumlar olabilir: (i) 0, bu durumda 0, bir noktadır. (ii) 1, bu durumda orjinden geçen bir doğrudur. (iii) 2, bu durumda orjinden geçen bir düzlemdir. (iv) 3, bu durumda tüm uzayıdır. Bir Matrisin Rankı cismi üzerinde herhangi bir matris olsun. nın satırlarınca gerilen satır uzayının, nin bir altuzayı, ve nın kolonlarınca gerilen kolon uzayının, nin bir altuzayı olduğunu hatırlayınız. nın satır rankı, maksimum lineer bağımsız satır vektörlerinin sayısı veya eşdeğer olarak, nın satır uzayının boyutuna eşittir. Benzer şekilde nın kolon rankı, maksimum lineer bağımsız kolon vektörlerinin sayısı veya eşdeğer olarak, nın kolon uzayının boyutuna eşittir., nin bir altuzayı, ve kol, nin bir altuzayı olmasına rağmen, ye eşit olmayabilir. Bu gerçekle aşağıdaki önemli sonuca ulaşırız.

11 Teorem 16: Herhangi bir matrisinin satır rankı ve kolon rankı eşittir. Tanım: matrisinin rankı ile gösterilir ve nın satır rankı ve kolon rankının ortak değeridir. Bir matrisinin rankı, satır indirgeme yoluyla, kolayca aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi bulunabilir. Örnek 10: Aşağıdaki matrisin bir bazını ve satır uzayının boyutunu bulalım , elementer satır operasyonlarıyla eşelon hale indirgenir: ~ ~ Satırca denk matrislerin satır uzaylarının aynı olduğunu hatırlayınız. Böylece eşelon matrisin sıfır olmayan satırları, ki bunlar teorem 10 dan lineer bağımsızdır. nın satır uzayı için bir baz oluşturur. Böylece 2 ve 2 olur. 8. LiNEER DENKLEMLER ve VEKTÖR UZAYLARI Bir cismi üzerinde,,,, gibi bilinmeyenli lineer denklem düşünelim. veya eşdeğer olarak matris denklemi, (1) yazılır burada katsayı matrisidir, ve ve, sırasıyla, bilinmeyenlerden ve sabitlerden oluşan kolon vektörleridir. Sistemin eklemeli matrisinin aşağıdaki matris olduğunu hatırlayınız., Not 1: (1) denklemlerine, ilgili vektörlerin, yani, eklemeli matrislerin satırlarının lineer bağımlı veya bağımsız olması durumuna göre bağımlı veya bağımsız denir. Not 2: İki lineer denklem sistemi ancak ve ancak eğer ilgili eklenmiş matrisleri satırca denkse, yani aynı satır uzayları varsa, denktirler. Not 3: Bir denklem sistemini, her zaman lineer bağımsız bir denklem sistemi ile, örneğin eşelon haldeki bir sistem ile değiştirebiliriz. Bağımsız denklem sayısı her zaman eklenmiş matrisin rankına eşit olur.

12 (1) sisteminin aşağıdaki vektör denklemine denk olduğuna dikkat ediniz. Yukarıdaki yorum bize aşağıdaki temel var olma teoremini verir. Teorem 17: Aşağıdaki üç cümle eşdeğerdir. (a) lineer denklem sisteminin bir çözümü vardır. (b), nın kolonlarının bir lineer birleşimidir. (c) Katsayı matrisi ve eklemeli matrisi, nin rankları aynıdır. Teorem 17: 0 homogen lineer denklem sisteminin çözüm uzayı nun boyutu dir ve burada, bilinmeyen sayısı ve, katsayı matrisi nın rankıdır. Örnek 11: Aşağıdaki sistemin çözüm uzayı nun boyutunu ve bir bazını bulunuz. Önce sistem eşelon hale indirgenir: veya Eşelon haldeki sistemde 5 bilinmeyenli 2 (sıfır olmayan) denklem vardır; ve böylece sistemin 5 2=3 serbest değişkeni, ve dir. Buradan 3 olur. nin bir bazını bulmak için; (i) 1, 0, 0 alınarak 2,1,0,0,0 çözümü bulunur, (ii) 0, 1, 0 alınarak 5,0, 2,1,0 bulunur, (iii) 0, 0, 1 alınarak 7,0,2,0,1 bulunur.,, kümesi çözüm uzayı nin bir bazıdır.

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ Özel Bahçeşehir Fen Teknoloji Lisesi Başakşehir/İSTANBUL Projenin Adı: Bir Polinomun

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır.

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. Dizi Antenler Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. 1. Dizi antenin geometrik şekli (lineer, dairesel, küresel..vs.) 2. Dizi elemanları arasındaki

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta) KAFES SİSTEMLER STATİK (4. Hafta) Düz eksenden oluşan çubukların birbiriyle birleştirilmesiyle elde edilen sistemlere kafes sistemler denir. Çubukların birleştiği noktalara düğüm noktaları adı verilir.

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Mustafa GÜNGÖRMÜŞ mgungormus@turgutozal.edu.tr. Ders asistanı: Fatih Kaya

Yrd. Doç. Dr. Mustafa GÜNGÖRMÜŞ mgungormus@turgutozal.edu.tr. Ders asistanı: Fatih Kaya Yrd. Doç. Dr. Mustafa GÜNGÖRMÜŞ mgungormus@turgutozal.edu.tr Ders asistanı: Fatih Kaya Hareket düzleminde etki ederse Veya hareket düzleminde bir bileşeni varsa F F d Cisme etki eden d Kuvvet F F Veya

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ Mat624 Cebir II Ders Notları Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ İçindekiler Kısım 1. CİSİM TEORİSİ iii Bölüm 1. Eşitliklerin

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10-

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10- 1 Dinamik Fatih ALİBEYOĞLU -10- Giriş & Hareketler 2 Rijit cismi oluşturan çeşitli parçacıkların zaman, konum, hız ve ivmeleri arasında olan ilişkiler incelenecektir. Rijit Cisimlerin hareketleri Ötelenme(Doğrusal,

Detaylı

İç direnç ve emk. Seri bağlı dirençler. BÖLÜM 28 Doğru Akım Devreleri. İç direnç ve emk. ve emk. Elektromotor kuvvet (emk) kaynakları.

İç direnç ve emk. Seri bağlı dirençler. BÖLÜM 28 Doğru Akım Devreleri. İç direnç ve emk. ve emk. Elektromotor kuvvet (emk) kaynakları. BÖLÜM 8 Doğru Akım Devreleri Elektromotor Kuvveti emk iç direnç Seri ve Paralel Bağlı Dirençler Eşdeğer direnç Kirchhoff Kuralları Düğüm kuralı İlmek kuralı Devreleri Kondansatörün yüklenmesi Kondansatörün

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2013 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST İDEAL

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR

İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR ÖABT 205 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri

Detaylı

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir.

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir. Tarihte bilindiği kadarıyla düzlem geometrisinin ilk kez sistemli bir biçimde incelenişi, Öklid in Elementler kitabının (M.Ö. 300) birinci cildinde yapıldı. Öklid bu kitapta düzlem geometrisini beş belit

Detaylı

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER Sistem Nedir? Birbirleriyle ilişkide olan elemanlar topluluğuna sistem denir. Başlıca Fiziksel Sistemler: Mekanik Sistemler Hidrolik Sistemler Termik

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve

Detaylı

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya SEMİNER Ali Sinan Sertöz 1 KONİ KESİTLERİ Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya 1.1 Başlangıç Koni kesitleri ilk kez eski Yunan da ortaya çıkmıştır. MÖ 350 yıllarında yaşamış olan Menaechmus un koni kesitlerini

Detaylı