VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ"

Transkript

1 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir. K skalarların cismi,, veya K nın elemanları verilen vektör uzayı,, nin elemanları 2.VEKTÖR UZAYLARI Aşağıda bir vektör uzayı veya lineer uzay kavramı tanımlanmıştır. Tanım: K verilen bir cisim ve V, herhangi, V yi bir V toplamına, ve V,kK için V çarpımına eşleyen toplama ve skalar ile çarpma kuralları ile boş olmayan bir küme olsun. O zaman eğer aşağıdaki aksiyomlar sağlanıyorsa V bir vektör uzayıdır (ve V nin elemanlarına vektör denir.) [A 1 ] Herhangi,, V için [A 2 ] V de 0 ile gösterilen ve sıfır vektörü denen bir vektör vardır ve bunun için her V vektörü için 0 dur. [A 3 ] Herbir V vektörü için, V de ile gösterilen ve 0 olan bir vektör vardır. [A 4 ] Herhangi, V vektörler için, [M 1 ] Herhangi k K skaları ve herhangi, V vektörleri için, [M 2 ] Herhangi, K skalarları ve herhangi V vektörü için, [M 3 ] Herhangi, K skalarları ve herhangi V vektörü için, [M 4 ] K birim skalarları ve herhangi bir V vektörü için. Yukarıdaki aksiyomlar doğal olarak iki kümeye ayrılır. İlk dört aksiyom V nin toplamının yapısı ile ilgilidir ve, V toplama altında bir değişmeli gruptur, diyerek özetlenebilir. Buradan, aşağıdaki haldeki herhangi bir vektörler toplamı parantez gerektirmez ve terimlerin sırasından bağımsızdır. Ayrıca sıfır vektör 0 tektir. nun negatifi tektir, ve sadeleştirme kuralı geçerlidir: yani, herhangi,, V vektörleri için ise dir. Çıkarma işlemi de şöyle tanımlanır: Diğer taraftan, kalan dört aksiyom, cisminin üzerindeki etkisi ile ilgilidir. Bu ek aksiyomları kullanarak, vektör uzaylarının aşağıdaki basit özellikleri ispatlanabilir.

2 Teorem 1:, cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. (i) Herhangi K skaları ve 0 V için, 0 0 (ii) 0 K herhangi V vektörü için, 0 0 (iii) Eğer 0, ve K ve V ise, o zaman 0 veya u 0 (iv) Herhangi K ve V için, 3. VEKTÖR UZAYI ÖRNEKLERİ Uzayı herhangi bir cisim olsun. gösterimi çoğunlukla nın elemanlarının tüm sınırlanmış lilerinin kümesini belirtir. Burada, üzerinde, vektör toplamı ve skalarla çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanan bir vektör uzayı olarak düşünülür. ve,,,,,,,,, de sıfır vektörü, sıfırlardan oluşan lidir; ve bir vektörün negatifi şöyle tanımlanır:, Vektör Uzayı,,,,,,. 0 0,0,,0,,,,,,, gösterimi veya basitçe,, herhangi bir cismi üzerindeki matrislerinin kümesini göstermek için kullanılır. O zaman, olağan matris toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayıdır. Polinom Uzayı,, bir cismindeki tüm katsayılı 0,1,2, polinomlarının kümesini göstersin. O zaman, olağan polinom toplamı ve polinomların bir sabit ile çarpımı işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayıdır. Fonksiyon Uzayı X boş olmayan bir küme ve herhangi bir cisim olsun. X den ya tüm X fonksiyonlarının FX kümesini düşününüz. [X boş olmadığından F(X) in de boş olmadığına dikkat ediniz.] İki f, g FX fonksiyonu f gx fx gx, için ile tanımlanır ve k K skaları ile f FX fonksiyonun çarpımı kf FX ise kfx kfx, için

3 ile tanımlanır. O zaman FX, yukarıdaki operasyonlarla üzerinde bir vektör uzayıdır. Cisimler ve Altcisimler bir cisim olsun ve bir altcismini kapsasın. O zaman, üzerinde aşağıdaki gibi bir vektör uzayı olarak düşünülebilir. deki olağan toplama vektör toplamı olsun, ve ile nin skalarla çarpımı, ile nin cisminin elemanları olarak çarpımı olsun. O zaman, üzerinde bir vektör uzayıdır, yani vektör uzaylarının yukarıdaki sekiz aksiyomu ve tarafından sağlanır. 4. ALTUZAYLAR, bir cismi üzerinde vektör uzayının bir alt kümesi olsun. Eğer nin kendisi de üzerindeki vektör toplamı ve skalarla çarpım işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayı ise, ya de bir altuzay denir. Teorem 2:, vektör uzayının bir alt kümesi olsun. O zaman,, ancak ve ancak eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa nin bir altuzayıdır. (i) 0 W (ii), vektör toplamı altında kapalıdır. Yani: her, için, (iii), skalar ile çarpmaya göre kapalıdır. Yani: her, her K için, çarpım dir. (ii) ve (iii) koşulları tek bir koşul altında birleştirilebilir. Teorem 3:, nin bir alt uzayıdır, ancak ve ancak eğer (i) 0 W (ii) Her, ve, K için, K Örnek 1: (a) herhangi bir vektör uzayı olsun. O zaman, sadece sıfır vektöründen oluşan 0 kümesi, ve ayrıca tüm uzayı, nin bir altuzayıdır. (b), de üçüncü bileşenleri 0 olan vektörlerden oluşan düzlemi olsun; veya, bir başka deyişle,, 0:, R 0 ın üçüncü bileşeni 0 olduğundan 0 0,0,0 olduğuna dikkat ediniz. Dahası, daki herhangi,,0 ve,,0 vektörleri herhangi R skaları için,,,0 ve,, 0. (c), matrislerinin uzayı olsun. O zaman (üst) üçgensel matrislerden oluşan alt kümesi, nin alt uzaylarıdır; çünkü bunlar boş değildir ve matrislerin toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre kapalıdırlar. (d) nin polinomların vektör uzayı olduğunu hatırlayınız. Sabit bir için derecesi olan tüm polinomlardan oluşan nin alt kümesini alalım. O zaman, nin bir alt uzayıdır. Örnek 2: vektör uzayının altuzayları ve olsun. kesişiminin de nin bir diğer altuzayı olduğunu göstereceğiz. Açıkca 0 ve 0 dir. Çünkü ve altuzaylardır; burada 0 dır. Şimdi, varsayalım. O zaman,, ve, dır, çünkü ve altuzaylardır, ve herhangi bir skaları için,, ve,.

4 Böylece, dır ve buradan kümesi nin bir diğer altuzayıdır. Teorem 4: Bir vektör uzayının herhangi sayıdaki altuzaylarının kesişimi nin bir diğer altuzayıdır. Teorem 5: bilinmeyenli 0 homojen sisteminin çözüm kümesi nin bir altuzayıdır. 5. LİNEER BİRLEŞİMLER, LİNEER GERMELER cismi üzerinde bir vektör uzayı, ve,,, olsun. deki herhangi bir biçimindeki vektöre ler için,,,, nin lineer birleşimi denir. Tüm böyle lineer birleşimlerin,,, ile gösterilen kümesine de,,, nin lineer germesi denir. Genel olarak, nin herhangi bir alt kümesi için, boş iken 0, ve de deki bütün vektörlerin tüm lineer birleşimlerinden oluşur. Teorem 6: V vektör uzayının bir alt kümesi olsun. (i) O zaman, nin yi kapsayan bir altuzayıdır. (ii) Eğer, nin yi kapsayan bir alt uzayı ise, o zaman. Diğer yandan, verilen bir vektör uzayındaki,,, vektörleri için,,,, oluyorsa bu vektörlere geren vektörler veya nin bir geren kümesini oluştururlar denir. Bir başka deyişle, eğer her için, öyle,,, skalarları varsa ve yazılabiliyorsa, yani eğer vektörü,,,, nin bir lineer birleşimi ise,,, vektörleri yi gererler. Örnek 3: (a) vektör uzayını alalım. teki herhangi bir sıfır olmayan vektörünün lineer germesi, nun tüm skalar katlarından oluşur; geometrik olarak,, orjinden geçen ve son noktası olan doğrudur. Ayrıca birbirinin katı olmayan iki, vektörü için,, orjinden ve ile nin uçlarından geçen düzlemdir. u

5 (b) 1,0,0, 0,1,0 ve 0,0,1 vektörleri uzayını gererler. Özel durum olarak, teki herhangi bir,, vektörü için,, 1,0,0 0,1,0 0,0,1 olur. Yani, vektörü,,, ün bir lineer birleşimidir. (c) 1,,,, polinomları, tüm polinomların vektör uzayı olan yi gererler, yani 1,,,,. Bir başka deyişle, herhangi bir polinom, 1 ve t nin kuvvetlerinin bir lineer birleşimidir. Benzer şekilde, 1,,,, polinomları, derecesi olan tüm polinomların vektör uzayı olan yi gererler. Bir Matrisin Satır Uzayı cismi üzerinde herhangi bir matris olsun: nın satırları, a a a a a a A= a a a R a,a,,a,,r a,a,,a K de vektörler olarak düşünülebilirler ve böylece bunlar A nın satır uzayı diye adlandırılır ve satuz A ile gösterilir, bu vektörler K nin bir alt uzayını gererler. Yani, satuz A spanr,r,,r. Benzer şekilde, nın kolonları K de vektörler olarak düşünülebilirler ve böylece A nın kolon uzayı diye adlandırılır ve koluz A ile gösterilir, bu vektörler K nin bir altuzayını gererler. Bir başka şekilde, satuz A T dir. Şimdi ya aşağıdaki temel satır işlemlerini uyguladığımızı varsayalım: (i), (ii), 0, (iii), 0, ve matrisini bulalım. O zaman nin her satırı açıkça nın bir satırıdır veya nın satırlarının bir lineer birleşimidir. Böylece nin satır uzayı, nın satır uzayınca kapsanır. Diğer taraftan, ye ters temel satır operasyonlarını uygulayarak yı bulabiliriz; buradan, nın satır uzayı da nin satır uzayınca kapsanır. O halde, ve nin satır uzayınca kapsanır. O halde, ve nin satır uzayları aynıdır. Buradan aşağıdaki teoreme ulaşırız: Teorem 7: Satırca denk matrislerin satır uzayları aynıdır.

6 Teorem 8: Satırca kanonik matrislerin ancak ve ancak sıfır olmayan aynı satırlara sahiplerse, satır uzayları aynıdır. Teorem 9: Her matris kanonik haldeki bir tek matrise satırca denktir. Örnek 4: de vektörlerinin gerdiği W alt uzayı ile u 1,2, 1,3,u 2,4,1, 2 ve u 3,6,3, 7 v 1,2, 4,11 ve v 2,4, 5,14 vektörlerinin gerdiği alt uzaylarının eşit olduğunu; yani W olduğunu gösteriniz. Çözüm: Satırları u,u ve u olan matrisini oluşturunuz, ve yı satırca kanonik hale indirgeyiniz /3 A ~ ~ / Şimdi satırları v ve v olan matrisini oluşturunuz, ve yi satırca kanonik hale indirgeyiniz /3 ~ 1 ~ /3 İndirgenmiş matrislerin sıfır olmayan satırları aynı olduğundan, ve nin satır uzayları aynıdır ve böylece W dir. 6. LİNEER BAĞIMLILIK ve LİNEER BAĞIMSIZLIK Aşağıda lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık kavramı tanımlanmıştır. Bu kavramın lineer cebir teorisinde ve genelde matematikte temel bir rolü vardır. Tanım: cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. v,,v vektörlerine, eğer hepsi sıfır olmayan öyle a,,a skalarları var ve a v a v a v 0 (*) sağlanıyorsa, lineer bağımlı veya basitçe bağımlı denir. Tersi durumda, bu vektörlere K üzerinde lineer bağımsız veya basitçe bağımsız denir. Tüm a lar 0 ise (*) bağıntısının her zaman doğru olduğuna dikkat ediniz. Eğer bu bağıntı sadece bu durumda doğru ise, yani, a v a v a v 0a a a 0 ise o zaman vektörler lineer bağımsızdır. Diğer taraftan, eğer (*) bağıntısı a lardan en az biri 0 değilken doğru ise, o zaman vektörler lineer bağımlıdır. v,v,,v vektör kümesine v,v,,v vektörlerinin lineer bağımlı veya bağımsız olmalarına rağmen lineer bağımlı veya lineer bağımsız denir. Sonsuz bir S vektör kümesinde, lineer bağımlı u,u,,u vektörleri varsa, S kümesi lineer bağımlıdır; diğer durumlarda S lineer bağımsızdır.

7 Not 1. Eğer 0 (sıfır) vektörü v,,v vektörlerinden biriyse, örneğin v 0 ise, o zaman vektörler lineer bağımlı olmalıdır; çünkü olur ve v in katsayısı 0 değildir. 1v 0v 0v Not 2. Herhangi bir sıfır olmayan v vektörünün kendisi lineer bağımsızdır; çünkü olmasını gerektirir. kv0,v0 k0 Not 3. Eğer v,,v vektörlerinin herhangi ikisi eşitse veya biri diğerinin skalar çarpımı, diyelim ki v kv ise, o zaman vektörler lineer bağımlıdır. Zira bu durumda yazılabilir. v kv 0v 0v 0 Not 4. İki v,v vektörleri lineer bağımlıdır, ancak ve ancak biri diğerinin bir katı ise. Not 5. Eğer v,,v kümesi lineer bağımsız ise, o zaman bu vektörlerin herhangi v,,v sıralanması da lineer bağımsızdır. Not 6. Eğer bir S vektör kümesi lineer bağımsız ise, o zaman S nin herhangi bir alt kümesi de lineer bağımsızdır. Bir başka deyişle, eğer S nin lineer bağımlı bir alt kümesi varsa, o zaman S lineer bağımlıdır. Not 7. reel uzayında, vektörlerin lineer bağımlılığı geometrik olarak şöyle açıklanabilir; (a) Herhangi iki ve vektörü, ancak ve ancak orjinden geçen bir doğru üzerinde iseler (Şekil 5 2(a)) lineer bağımlıdır. (b) Herhangi üç, ve vektörleri, ancak ve ancak (Şekil 5 2(b)) orjinden geçen bir düzlemde yer alıyorlarsa lineer bağımlıdırlar. u v 0 a) ve lineer bağımlı b), ve lineer bağımlı Örnek 5: (a) 1, 1,0, 1,3, 1 ve 5,3,2 vektörleri lineer bağımlıdır, çünkü

8 31, 1,0 21,3, 1 5,3, 2 0,0,0. Yani dır. (b) 6,2,3,4, 0,5,3,1 ve 0,0,7, 2 vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu göstereceğiz. Bu amaçla, 0 ve burada,, nin bilinmeyen skalarlar olduğunu varsayalım. O zaman 0,0,0,0 6,2,3,4 0,5,3, 1 0,0,7, 2 6, 2 5, 3 3 7, 4 2 ve böylece, ilgili bileşenlerin eşitliğinden, İlk denklem 0 verir; ikinci denklem 0 ile 0 verir ve üçüncü denklem 0,0 ile 0 verir. Böylece Verir. O halde, ve lineer bağımsızdır. Lineer Birleşimler ve Lineer Bağımlılık 00,0,0 Lineer birleşimler ve lineer bağımlılık kavramları yakından ilgilidir. Özel olarak göstereceğiz ki, birden fazla vektör, diyelim ki, v,,v vektörleri lineer bağımlıdır ancak ve ancak bunlardan biri diğerlerinin bir lineer birleşimi ise. Lemma 1: İki veya daha fazla v,,v vektörünün lineer bağımlı olduğunu varsayalım. O zaman vektörlerden biri, kendisinden öncekilerin bir lineer birleşimidir, yani öyle bir k 1 vardır ki dır. v c v c v c v Örnek 6: Aşağıda eşelon biçimindeki matrisi düşününüz: A R,R ve R satırlarının ikinci kolonlarında 0 lar olduğuna dikkat ediniz. (R deki köşegende yer alan 1 elemanını aşağısı) ve buradan R,R ve R ün herhangi bir lineer birleşiminin ikinci bileşeni 0 dır. Böylece R, altındaki sıfır olmayan satırların lineer birleşimi olmaz. Benzer şekilde, R ve R satırlarının, üçüncü kolonlarında R deki merkez elemanının altında 0 lar vardır; böylece R, altındaki sıfır olmayan satırların bir lineer birleşimi olmaz. Son olarak, R,R ün bir katı olamaz, çünkü R ün beşinci kolonunda R teki merkezin altında sıfır vardır. Aşağıdan yukarıya doğru sıfır olmayan

9 R,R,R,R satırlarına bakarsak, hiçbir satır kendinden öncekilerin bir lineer birleşimi değildir. Böylece Lemma 1 den satırlar lineer bağımsızdır. Teorem 10: Eşelon biçimindeki bir matrisin sıfır olmayan satırları lineer bağımsızdır. 7. BAZ ve BOYUT Tanım: Bir S u,u,u vektör kümesi için, eğer aşağıdaki iki koşul sağlanıyorsa bu küme, V nin bir bazıdır: (1) u,u,u lineer bağımsızdır. (2) u,u,u V yi gerer. Tanım: Eğer her V vektörü bir Su,u,u vektör kümesindeki vektörlerin tek bir lineer birleşimi olarak yazılabiliyorsa S kümesi V nin bir bazıdır. Eğer V nin elemanlı bir bazı varsa, V ye sonlu boyutlu veya boyutludur denir ve yazılır. Teorem 11: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. O zaman V nin her bazının aynı sayıda elemanı vardır. 0 vektör uzayı 0 boyutlu olarak tanımlanmıştır. Bir vektör uzayı sonlu boyutlu değilse, sonsuz boyutludur denir. Örnek 7: (a) cismi üzerinde tüm 23 matrislerin vektör uzayı, ü düşünelim. O zaman aşağıdaki altı matris, için bir baz oluşturur: , , , , , Daha genel olarak, tipindeki matrisleri,, vektör uzayında, bileşeni 1 diğerleri 0 olan matrisler olsun. O zaman tüm böyle matrisleri,, için bir baz oluşturur, ve bu baza, nin olağan bazı denir. O zaman, olur. Özel durumda, vektörleri için olağan baz oluşturur. 1,0,,0, 0,1,,0,, 0,0,,1 (b) Derecesi olan tüm polinomların vektör uzayınını düşününüz. 1,,,, polinomları için bir baz oluşturur, ve böylece 1 olur. Teorem 12: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı V olsun. (i) O zaman V nin her bazının aynı sayıda elemanı vardır. (ii) elemanlı herhangi bir lineer bağımsız,,, kümesi nin bir bazıdır. (iii) nin elemanlı herhangi bir germe kümesi,,, nin bir bazıdır.

10 Teorem 13: nin vektör uzayını gerdiğini varsayalım. (i) de herhangi maksimum sayıda lineer bağımsız vektörler V nin bir bazını oluşturur. (ii) den, öncekilerin lineer birleşimi olan her bir vektörün çıkarıldığını düşünelim. O zaman kalan vektörler nin bir bazını oluşturur. Teorem 14: sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun ve,,, de lineer bağımsız vektörlerden oluşan bir küme olsun. O zaman, nin bir bazının bir kısmıdır, yani,, nin bazı olacak şekilde genişletilebilir. Örnek 8: (a) de aşağıdaki dört vektörü düşününüz: 1,1,1,1, 0,1,1,1, 0,0,1,1, 0,0,0,1. Dikkat edilmelidir ki, vektörler eşelon halde bir matris oluşturur; buradan vektörler lineer bağımsızdır. Dahası, 4 olduğundan, vektörler ün bir bazını oluşturur. (b) de aşağıdaki 1 polinomu düşününüz: 1, 1, 1,, 1 1 nın derecesi k dir; böylece hiçbir polinom kendinden önceki bir lineer birleşimi olamaz. Burada, polinomlar lineer bağımsızdır. Dahası nin bir bazını oluştururlar, çünkü 1 dir. Boyut ve Altuzaylar Teorem 15: boyutlu bir vektör uzayının bir altuzayı olsun. O zaman olur. Özel durumda, eğer ise, o zaman olur. Örnek 9: (a) reel uzayının bir altuzayı olsun. Şimdi 3 tür; teorem 15 den nın boyutu sadece 0,1,2 veya 3 olabilir. Aşağıdaki durumlar olabilir: (i) 0, bu durumda 0, bir noktadır. (ii) 1, bu durumda orjinden geçen bir doğrudur. (iii) 2, bu durumda orjinden geçen bir düzlemdir. (iv) 3, bu durumda tüm uzayıdır. Bir Matrisin Rankı cismi üzerinde herhangi bir matris olsun. nın satırlarınca gerilen satır uzayının, nin bir altuzayı, ve nın kolonlarınca gerilen kolon uzayının, nin bir altuzayı olduğunu hatırlayınız. nın satır rankı, maksimum lineer bağımsız satır vektörlerinin sayısı veya eşdeğer olarak, nın satır uzayının boyutuna eşittir. Benzer şekilde nın kolon rankı, maksimum lineer bağımsız kolon vektörlerinin sayısı veya eşdeğer olarak, nın kolon uzayının boyutuna eşittir., nin bir altuzayı, ve kol, nin bir altuzayı olmasına rağmen, ye eşit olmayabilir. Bu gerçekle aşağıdaki önemli sonuca ulaşırız.

11 Teorem 16: Herhangi bir matrisinin satır rankı ve kolon rankı eşittir. Tanım: matrisinin rankı ile gösterilir ve nın satır rankı ve kolon rankının ortak değeridir. Bir matrisinin rankı, satır indirgeme yoluyla, kolayca aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi bulunabilir. Örnek 10: Aşağıdaki matrisin bir bazını ve satır uzayının boyutunu bulalım , elementer satır operasyonlarıyla eşelon hale indirgenir: ~ ~ Satırca denk matrislerin satır uzaylarının aynı olduğunu hatırlayınız. Böylece eşelon matrisin sıfır olmayan satırları, ki bunlar teorem 10 dan lineer bağımsızdır. nın satır uzayı için bir baz oluşturur. Böylece 2 ve 2 olur. 8. LiNEER DENKLEMLER ve VEKTÖR UZAYLARI Bir cismi üzerinde,,,, gibi bilinmeyenli lineer denklem düşünelim. veya eşdeğer olarak matris denklemi, (1) yazılır burada katsayı matrisidir, ve ve, sırasıyla, bilinmeyenlerden ve sabitlerden oluşan kolon vektörleridir. Sistemin eklemeli matrisinin aşağıdaki matris olduğunu hatırlayınız., Not 1: (1) denklemlerine, ilgili vektörlerin, yani, eklemeli matrislerin satırlarının lineer bağımlı veya bağımsız olması durumuna göre bağımlı veya bağımsız denir. Not 2: İki lineer denklem sistemi ancak ve ancak eğer ilgili eklenmiş matrisleri satırca denkse, yani aynı satır uzayları varsa, denktirler. Not 3: Bir denklem sistemini, her zaman lineer bağımsız bir denklem sistemi ile, örneğin eşelon haldeki bir sistem ile değiştirebiliriz. Bağımsız denklem sayısı her zaman eklenmiş matrisin rankına eşit olur.

12 (1) sisteminin aşağıdaki vektör denklemine denk olduğuna dikkat ediniz. Yukarıdaki yorum bize aşağıdaki temel var olma teoremini verir. Teorem 17: Aşağıdaki üç cümle eşdeğerdir. (a) lineer denklem sisteminin bir çözümü vardır. (b), nın kolonlarının bir lineer birleşimidir. (c) Katsayı matrisi ve eklemeli matrisi, nin rankları aynıdır. Teorem 17: 0 homogen lineer denklem sisteminin çözüm uzayı nun boyutu dir ve burada, bilinmeyen sayısı ve, katsayı matrisi nın rankıdır. Örnek 11: Aşağıdaki sistemin çözüm uzayı nun boyutunu ve bir bazını bulunuz. Önce sistem eşelon hale indirgenir: veya Eşelon haldeki sistemde 5 bilinmeyenli 2 (sıfır olmayan) denklem vardır; ve böylece sistemin 5 2=3 serbest değişkeni, ve dir. Buradan 3 olur. nin bir bazını bulmak için; (i) 1, 0, 0 alınarak 2,1,0,0,0 çözümü bulunur, (ii) 0, 1, 0 alınarak 5,0, 2,1,0 bulunur, (iii) 0, 0, 1 alınarak 7,0,2,0,1 bulunur.,, kümesi çözüm uzayı nin bir bazıdır.

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI Sıralı n-li Tanım: n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir. Örnek: : Sıralı ikili :

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı