14.12 Oyun Teorisi. Ders 3: Oyunların Gösterimi. Yol haritası. 1. Kardinal temsiliyet - Beklenen değer teorisi. 2. Ufak sınav

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "14.12 Oyun Teorisi. Ders 3: Oyunların Gösterimi. Yol haritası. 1. Kardinal temsiliyet - Beklenen değer teorisi. 2. Ufak sınav"

Özgür Yıldızeli
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 14.12 Oyun Teorisi Muhamet Yıldız Güz 2005 Ders 3: Oyunların Gösterimi Yol haritası 1. Kardinal temsiliyet - Beklenen değer teorisi 2. Ufak sınav 3. Oyunların normal ve geniş biçimde gösterilmeleri 4. Dominantlık (Baskınlık), dominant-strateji dengesi 1

2 Kardinal temsiliyet - tanımlar!"#$%&"'(#)*#)+)&,",%-&(.($)/%&%,%-&+( Z= sonlu bir ödüller ya da sonuçlar kümesi 0( 1(2("(/%&%,)(+),(-/(3-&+)45)&3)+(-#(*#%6)+7((((!"#$%&"'(#)*#)+)&,",%-&(.($)/%&%,%-&+( Bir lotarya Z üzerine bir olasılık dağılımıdır. 0( 8('-,,)#9(%+("(*#-:":%'%,9($%+,#%:5,%-&(-&(17(((( 0( 1(2("(/%&%,)(+),(-/(3-&+)45)&3)+(-#(*#%6)+7(((( 0( ;(2(,<)(+),(-/("''('-,,)#%)+7(((( P = tüm lotaryalar kümesi 0( 8('-,,)#9(%+("(*#-:":%'%,9($%+,#%:5,%-&(-&(17(((( 0( 8('-,,)#9=( 0( ;(2(,<)(+),(-/("''('-,,)#%)+7(((( Bir lotarya: 0( 8('-,,)#9=( 7AAAA?( >?@( >?@( 7AAAA?( 7BBBBB( >A( 7BBBBB( >A(!"#$%&"'(#)*#)+)&,",%-&( 0( I-&(J)5K"&&L@-#M)&+,)#&(#)*#)+)&,",%-&=( 8('-,,)#9( D%&(;C(!"#$%&"'(#)*#)+)&,",%-&( 0( I-&(J)5K"&&L@-#M)&+,)#&(#)*#)+)&,",%-&=( p q z Z u Kardinal temsiliyet Von Neumann-Morgenstern FG*)3,)$(H"'5)(-/( temsiliyeti: 5(5&$)#(*( 8('-,,)#9( D%&(;C( p q z Z FG*)3,)$(H"'5)(-/( u z p z 5(5&$)#(*( z p z EDp C( u u Zz z Zz q z CDCD z q z CDCD EDq C bir lotarya (P de) EDp C( u nun p altındaki beklenen değeri EDq C 2 N( N(

8('-,,)#9(%+("(*#-:":%'%,9($%+,#%:5,%-&(-&(17(((( 0( 8('-,,)#9=( 0( ;(2(,<)(+),(-/("''('-,,)#%)+7(((( Bir lotarya: 0( 8('-,,)#9=( 7AAAA?( >?@( >?@( 7AAAA?( 7BBBBB( >A( 7BBBBB( >A(!

3 !"#$%&'()*$ Axiom A1: $'*$+(),-./.$012$/301*'/'4.5$ VNM aksiyomları Aksiyom A1: tam ve geçişkendir. VNM aksiyomları Aksiyom A2 (Bağımsızlık): Herhangi p, q, r P için ve herhangi a (0, 1] için,!"#$%&'()*$ Axiom A2 (Independence): 6(3$017$,8983:8$ 012$017$a $;<8=>8$ ap + (1 a)r aq + (1 a)r p q. 5C$ a,?$;=@aa3$ a9?$;=@aa3$$,$$95$, 9$ B=<<<$ 5C$ 5<<<<= 5C$ B=<< 5C$ 5DDDDD B=#$ 5C$ 5C$ %$/3',$/($6-(3'20$ %$/3',$/($6-(3'20$ B< E$ 3

"#$%&'()*$ Axiom A2 (Independence): 6(3$017$,8983:8$ 012$017$a $;<8=>8$ ap + (1 a)r aq + (1 a)r p q. 5C$ a,?

4 VNM aksiyomları Aksiyom A3 (Süreklilik): Herhangi p, q, r P için, eğer p r ise, öyle iki a, b (0, 1) vardır ki, ap + (1 a)r q bp + (1 r)r sağlanır. Teorem - VNM temsiliyeti P üzerine bir ilişki,, u : Z R şeklinde bir von Neumann- Morgenstern fayda fonksiyonu ile temsil edilebilir, ancak ve ancak, A1-A3 ü sağlıyorsa. u ve ũ aynı tercih ilişkisini temsil ederler, ancak ve ancak, ũ = au + b ise, bazı a > 0 ve b R için. 4

Teorem - VNM temsiliyeti P üzerine bir ilişki,, u : Z R şeklinde bir von Neumann- Morgenstern fayda

5 Alıştırma Reel sayılar üzerine tanımlı vevnm fayda fonksiyonu u(x) = x 2 ile temsil edilen bir ilişkisi düşünün. Bu ilişki VNM fayda fonksiyonu u (x) = x 1/2 ile temsil edilebilir mi? Ya u (x) = 1/x ile temsil edilebilir mi? Normal biçim gösterimi Tanım (Normal biçim): Bir oyun G = (S 1,..., S n ; u 1,..., u n ) şeklinde bir listedir, öyle ki, her i N = {1,..., n} için, S i oyuncu i için mevcut tüm strajeilerin kümesidir, u i : S 1... S n R oyuncu i nin von Neumann-Morgenstern fayda fonksiyounudur. Varsayım: G ortak bilgidir. Tanım: Bir i oyuncusu rasyoneldir ancak ve ancak inanışları veriliyken u i nin beklenen değerinin maksimize ediyorsa. 5

Normal biçim gösterimi Tanım (Normal biçim): Bir oyun G = (S 1,..., S n ; u 1,..., u n ) şeklinde bir listedir, öyle ki, her i N = {1,.

6 Tavuk!"#$%&' ),+*( ),/0+,/0( Extansif/geniş biçim gösterimi ).,+.,(- ),+*(!"#$%&' )*+,(- ),/0+,/0( 123&'4#5& &:8&4&'3;3#7'- Tanım: Bir oyun ağacı karar noktaları ve bu noktaları birleştiren Figures by MIT OCW. yönlü Definition: kenarlar kümesidir, <-tree öyle #4-;-4&3-76-'7=&4-$7''&$3&=->#3"- ki, =#8&$3&=-;8$4-4?$"-3";3-1. ilk A"&8&-#4-;'-#'#3#;B-'7=&Cnokta vardır, bu noktaya gelen bir kenar yoktur; )*+,(- ).,+.,(- Figures by MIT OCW. 123&'4#5& &:8&4&'3;3#7'- D78-&;$"-73"&8-'7=&+-3"&8&-#4-7'&-#'$79#'E-;8$C- 2. diğer tüm noktalar için, tek bir gelen kenar vardır; Definition: <-tree #4-;-4&3-76-'7=&4-$7''&$3&=->#3"- =#8&$3&=-;8$4-4?$"-3";3-3. herhangi iki nokta için, bu iki noktayı birleştiren tek bir A"&8&-#4-;'-#'#3#;B-'7=&Cvardır. D78-&;$"-73"&8-'7=&+-3"&8&-#4-7'&-#'$79#'E-;8$C- 6 I- I-

yönlü Definition: kenarlar kümesidir, <-tree öyle #4-;-4&3-76-'7=&4-$7''&$3&=->#3"- ki, =#8&$3&=-;8$4-4?$"-3";3-1.

7 A"&8&-#4-;'-#'#3#;B-'7=&C- D78-&;$"-73"&8-'7=&+-3"&8&-#4-7'&-#'$79#'E-;8$C- Bir Ağaç Extansif/geniş biçim - tanım Tanım: Bir oyun bir oyuncular kümesini bir oyun ağacını ağacın her noktasının (son noktalar hariç) bir oyuncuya dağıtılımını bir bilgi yapısını tüm son noktalarda her oyuncunun kazancını içerir. 7

Ağaç F@- &;$"-'7=&-$;'-G&-8&;$"&=-3"87?E"-;-?'#H?

8 !"#$%&'()$"*+,(* -"*information set )+*'*.$//,.()$"*$#*"$0,+* +1.2*(2'(* Bilgi kümesi 34 52,*+'&,*6/'7,%*)+*($*&$8,*'(*,'.2*$#* Bir (2,+,*"$0,+9* bilgi kümesi, bir noktalar kümesidir, öyle ki, :4 52,*+'&,*&$8,+*'%,*'8')/';/,*'(*,'.2*$#* 1. tüm bu noktalarda aynı oyuncu, i, oynar; (2,+,*"$0,+4* -"*informational 2. tüm bu noktalarda aynı partition hamleler mevcuttur. )+*'"*'//$.'()$"* $#*,'.2*"$"<(,%&)"'/*"$0,*$#*(2,*(%,,*($*'"* )"#$%&'()$"*+,(4* Bir bilgi yapısı oyun ağacındaki her bir noktanın (ilk ve son noktalar hariç) bir bilgi kümesine dağılımıdır. L 3* Bir oyun -*='&,* R >:?:@* 3 l : r 3* u >A?A@* >3?B@* >B?3@* >B?B@* >3?3@* 8 C*

tüm bu noktalarda aynı oyuncu, i, oynar; (2,+,*"$0,+4* -"*informational 2. tüm bu noktalarda aynı partition hamleler mevcuttur. )+*'"*'//$.'()$"* $#*,'.

9 !"#$%&'()*+&( Bir başka oyun!"#$%&'()*+&(, -(, -(.( /( 0(.( /( 0( 1( 0( 2( 1( 0( 2( 1( 2( 1( 2( Aynı oyun.%&(3*+&(4*+&(.%&(3*+&(4*+&(, -(, -(.( / 0(.( / 1( 0( 2( 1( 2( 1( 2( 1( 2( 9 5(

10 !"#$%&'%()*+,-% Sorun ne?!"#$%&'%()*+,-%. /%. /% 0% 1% 3% 2% 2% 0% 1% 4% 3% 2% 2% 56% 56% 4% 3% 4% 3% 4% Sorun ne?!"#$%&'%()*+,-%!"#$%&'%()*+,-%. /%. /% 0% 1% 2% 0% 1% 7% 3% 2% 4% 3% 7% 4% 3% 4% 3% 10 4%

11 Sorun ne?!"#$%&'%()*+,-% 5%.% /% 6% 2% 0% 1% 2% 2% 3% 4% 3% 4% 3 4% Strateji 7$)#$8,9% Bir oyuncu için bir strateji, oynayacağı her bir bilgi kümesinde (bu stratejiye göre ulaşılmayacak bilgi kümelerinde dahi) hangi 5%strategy *:%#%;<#98)%is a complete contingent-plan=%>8$8)?&+&+,%("&@"%#@$&*+% "8%(&<<%$#A8%#$%8#@"%&+:*)?#$&*+%'8$%"8%&'%$*%?*B8%C&+@<D>&+,%$"8%&+:*)?#$&*+%'8$'%$"#$% (&<<%+*$%E8%)8#@"8>%#@@*)>&+,%$*%$"&'% '$)#$8,9FG% eylemi seçeceğini belirten bir eksiksiz arızi (meydana gelebilecek olaylara bağlı) plandır. 11

stratejiye göre ulaşılmayacak bilgi kümelerinde dahi) hangi 5%strategy *:%#%;<#98)%is a complete contingent-plan=%>8$8)?

12 Kusursuz bilgili yazı-tura eşleştirme oyunu 2 Yazı (-1,1) 1 Yazı Tura (1,-1) Tura Yazı (1,-1) 2 Tura (-1,1) Kusursuz bilgili yazı-tura eşleştirme oyunu YY YT TY TT Yazı -1,1-1,1 1,-1 1,-1 Tura 1,-1-1,1 1,-1-1,1 2 Yazı (-1,1) 1 Yazı Tura Tura Yazı (1,-1) (1,-1) 2 Tura (-1,1) 12

eşleştirme oyunu YY YT TY TT Yazı -1,1-1,1 1,-1 1,-1 Tura 1,-1-1,1

13 Kusurlu bilgili yazı-tura eşleştirme oyunu!"#$%&'()*+''&+,)-&#%)./*+01+$#) &'120/"#&2') 5+"6) 4) 3) 7"&8) 3) 4) 5+"6) 5+"6) 7"&8) 9:3;3<) 93;:3<) %+"6) #"&8) %+"6) #"&8) 9:3;3<) 93;:3<) 93;:3<) 9:3;3<) 7"&8) 1/2 Yazı Tura Yazı -1,1 1,-1 93;:3<) 9:3;3<) Tura 1,-1-1,1 Bir oyun =)("/+) 3) =) 4 3) ") 93;:?<) >) 6) 9@;@<) 9?;4<) 9A;A<) 13

14 Doğalı bir oyun 0"%$.$),-&" &$'())*+, -./$)*+, *,!"#!"#$%&"'()*"+$),-& 1" /&$0" 1>9" 1>9" ;$(<" 9" 2&3)"!$%!"# :(#*)" 2&3)"!$% :(#*)" 456"78" 496"98 4=6"=8" 476"?58" 123,2, Tanım: Karma Bir oyunucu için karma strateji kendi stratejileri üzerine olan bir olasılık dağılımıdır. Definition:!"mixed strategy D3"$"E<$C&-"(F"$" Saf stratejiler: E-DG$G(<()C"0(F)-(G,)(D+"DH&-")*&"F&)"D3"*(F"F)-$)&#(&FI" S i = {s i1, s i2,..., s ik } Bir karma strateji: σ i : S [0, 1] öyle ki J,-&"F)-$)&#(&FK"B (" L"MF (1 6F (9 6N6F (O P" σ i (s!"%(a&0"f)-$)&#ck" i1 ) + σ i (s i2 ) + + ( K"B" σ i (s ik ) Q761R"FI)I" = 1. Eğer diğer oyuncular ( 4F (1 8"S" s ( 4F i = (9 8"S"N"S" (s 1,...s i 1, ( 4F s (O 8"L"1I" i+1,...s n ) oynarsa, o zaman σt3")*&"d)*&-"e<$c&-f"e<$c"f i oynamaktan gelen beklenen?(" L4F 1 fayda 6N6"F (?1 6F (S1 6N6F + 86")*&+" )*&"&AE&U)&0",)(<()C"D3"E<$C(+#" (" (F" ( 4F (1 8, ( 4F (1 6F?( 8"S" ( 4F (9 8", ( 4F (9 6F?( 8"S"N"S" ( 4F (O 8", ( 4F (O 6F?( 8I" dır. 14 1V"

"mixed strategy D3"$"E<$C&-"(F"$" Saf stratejiler: E-DG$G(<()C"0(F)-(G,)(D+"DH&-")*&"F&)"D3"*(F"F)-$)&#(&FI" S i = {s i1, s i2,.

15 . Nasıl oynamalı? Dominantlık s i = (s 1,...s i 1, s i+1,...s n ) Tanım: Bir s i stratejisi s i stratejisnin kesin domine eder (baskındır) ancak ve ancak u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ), s i S i. Bir karma strateji σ i, s i stratejisini kesin domine eder (baskındır) ancak ve ancak, σ i (s i1 )u i (s i1, s i )+σ i (s i2 )u i (s i2, s i )+ σ i (s ik )u i (s ik, s i ) > u i (s i, s i ), s i S i. Rasyonel bir oyuncu asla kesin domine edilen bir stratejiyi oynamaz. 15

16 !" #" 0((1*%/2*",*3*42" 0((1*%/2*" :8" Tutuklular İkilemi 1/2 itiraf et itiraf etme,*3*42" 5:798 5!7!8" itiraf et -5,-5 0,-6 itiraf etme -6,0-1,-1!" #" $%&'()*%'+",&-*../" Bir oyun 0((1*%/2*",*3*42" 0((1*%/2*" :8" >" ; <" = ; >?"@/.*" ;A" =" D" 5#798 C 5B!7!8 ;" ; A" ; > # <" 597! ,*3*42" 5:798 5!7!8" A" 5B!7B:8 5#798 1"!B1" 9" B!" ; < 9 1"!" ; <" = ; >?"@/.*" ;A" ="!:" ;" >" D" 5#798 C 5B!7!8 ; A" ; > # <" 597! " ; < A" 5B!7B:8 5#798 1"!B1" B!" 9 1"!" 16!:"

98 59798,*3*42" 5:798 5!7!8" A" 5B!7B:8 5#798 1"!B1" 9" B!" ; < 9 1"!" ; <" = ; >?"@/.*" ;A" ="!:" ;" >" D" 5#798 C 5B!7!8 ; A" ; > # <" 597!

17 Zayıf Dominantlık Tanım: Bir s i stratejisi s i stratejisini zayıf domine eder ancak ve ancak u i (s i, s i ) u i (s i, s i ), s i S i ve en az bir eşitsizlik kesindir. Bir karma strateji σ i, s i stratejisini zayıf domine eder ancak ve ancak, σ i (s i1 )u i (s i1, s i )+σ i (s i2 )u i (s i2, s i )+ σ i (s ik )u i (s ik, s i ) u i (s i, s i ), s i S i. ve en az bir eşitsizlik kesindir. Eğer bir oyuncu rasyonelse ve ihtiyatlıysa (yani, diğer oyuncunun her stratejisine pozitif olasılık atar), o zaman asla zayıf domine edilen bir strateji oynamaz Dominant Strateji dengesi Tanım: Bir s i stratejisi i oyuncusu için bir dominant stratejidir ancak ve ancak s i i oyuncusunun diğer tüm stratejilerini zayıf domine ediyorsa. Tanım: Bir strateji vektörü, s, bir dominant strateji dengesidir, ancak ve ancak, s i her i oyuncusu için bir dominant stratejidir. Bir dominant strateji dengesi varsa, oynanacaktır, ancak ve ancak oyuncular... 17

18 Tutuklular İkilemi 1/2 itiraf et itiraf etme itiraf et -5,-5 0,-6 itiraf etme -6,0-1,-1 İkinci-fiyat ihalesi N = {1, 2} alıcılar kümesidir; i oyuncusu için evin değeri v i dir; Her oyuncu i eş zamanlı olarak b i teklif eder; b i = max b i teklifini veren i evi alır ve ikinci en yüksek teklifi, p = max j i b j, öder. 18

evin değeri v i dir; Her oyuncu i eş zamanlı olarak b i teklif eder; b i = max

19 !: Bir oyun ; <" = ; >?"@/.*" ;A" =" ;" >" D" 5#798 C 5B!7!8 ; A" ; > # <" 597! " ; < A" 5B!7B:8 5#798 1"!B1" B!" 9 1"!" 19

Benzer belgeler

14.12 Oyun Teorisi. Ders 2: Seçim Teorisi. Yol haritası. 1. Temel konseptler (alternatifler, tercihler,..) 2. Tercihlerin ordinal temsiliyeti

14.12 Oyun Teorisi. Ders 2: Seçim Teorisi. Yol haritası. 1. Temel konseptler (alternatifler, tercihler,..) 2. Tercihlerin ordinal temsiliyeti 14.12 Oyun Teorisi Muhamet Yıldız Güz 2005 Ders 2: Seçim Teorisi Yol haritası 1. Temel konseptler (alternatifler, tercihler,..) 2. Tercihlerin ordinal temsiliyeti 3. Tercihlerin kardinal temsiliyeti -