SAYISAL ÇÖZÜMLEME YÖNTEMLERİ

Transkript

1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME YÖNTEMLERİ Ders İçerğ - Leer Cebr İşlemer Blgsr Destel Çözümü A- Mtrsler -Determt ve PASCAL Progrmı -Mtrs Ters ve PASCAL Progrmı B-Komple tsılı Mtrsler -Toplm, Çırm ve PASCAL Progrmı - Mtrsler Çrpımı ve Progrmı -Mtrs Ters ve PASCAL Progrmı 3- Leer Delem Sstemler Çözümü A- Doğrud Yötemler (Alt) -Ters Mtrs Yötem -Crer Yötem -Guss-Elmso Yötem B- Sısl (İtert) Yötemler -Job Yötem - Guss-Sedel Yötem 5- Leer Ol Delem Sstemler Çözümü -Bst İterso Yötem -Newto Yötem 7- Ad Dersel Delemler Sısl Çözümü -Alt Ylşım Yötem -Ardşı Derselleme Yöt. (Tlor) -Euler Yötem -İleştrlmş Euler Yötem -Euler Coush Yötem - Ruge-Kutt Yötem -Adms Yötem - Leer Olm delemler Köler Bulumsı -Adım Küçültere Köe Ylşm -Ort Not Yötem -Kese Not Yötem -Bst İterso Yötem -Newto-Rphso Yötem - Gelştrlmş NRphso Yötem 4- Sısl Türev ve İtegrl A-Sısl Türev -Türeve Ylşım - İler,Ger, Merez Fr Türev Delemler -Tlor Sers ve Ugulmlrı -Tlor Sers Yrdımı le Türev Hesbı A-Sısl İtegrl -Ddörtge ve Trpez Yötem -Smpso Yötem - tlı İtegrller 6- Eterposo ve Eğr Udurm -Leer Eterpolso -Poloml Eterpolso (Lgrge Formülü) -E Küçü Kreler Yötem - Doğru Udurm - Polom Udurm - Üstel Dvrışlı Fosolr eğr udurm

2 Klr - Sısl Çözümleme, Recep TAPRAMAZ, Ltertür Yılrı. - Nümer Alz, İbrhm UZUN, Bet ılrı, 3- İler Progrmlm Ugulmlrı, Fhr VATANSEVER, Seç ılrı. 4- Yzılım ve Progrm Ugulmlrıl Mühedsler ç Sısl Yötemler, S.C. Chpr, çevr. Hs Heper, Ltertür Yılrı. Sısl lz mcı; mtemtsel olr de edlmş problemler çözümüe, bell sıd ve sırlı rtmt şlemler blgsr progrmlrı le pr, souc stele hsssetle ulşılmsıdır. Geellle lt olr çözümler ço zor ve msız ol problemler, belrl ht orıd çözme ç ullılır.

3 - MATRİSLER Determt : Br mtrs gerçe değere determt der. A det A A A b c d Srrus Kurlı; det A A d b c 3 A deta? 3 A deta A ol : Determtı hesplc mtrs sl öşege ltıd l elemlr, elemeter stır şlemler pılr sıırlır. Asl öşege elemlrıı çrpımı determtı verr. Br mtrse ugulblece elemeter şlemler;. Herhgbr stır ve sütu sıırd rlı br sı le çrpılblr.. İ stır ve sütu rşılılı er değştreblr. 3. Herhgbr stır bş br stır d herhgbr sütu bş br sütul toplblr.

4 Öre : A 4 deta? A 4 Mtrs Ters : Br mtrs ters olblmes ç determtıı sıırd rlı olmsı gerer. E (djot) mtrs le mtrs ters bulm; Cotör : Kre A mtrs j elemıı otörü C j = (-) +j M j ormülü le hesplır. Burd M j e A mtrs mörü der ve A mtrs stırı le j sütuuu ptl edlmes le oluş mtrs determtıdır. A mtrs ters; dj A cotor A T A dj A deta

5 . ol : A mtrs ı ı boutlu brm mtrs zılır. Elemeter stır şlemler her mtrsede ugulr A mtrs brm mtrs hle döüştürülür. Brm mtrs erde oluş mtrs A mtrs tersdr. Öre : 3 A 4 3 mtrs ters buluuz ol ; A

6 Komple Elemlı Mtrsler E z br omple term çere mtrse omple mtrs der. Progrmlm dllerde omple term tımlmdığı ç, bu termler çere mtrsler ç bzı ötemler gelştrlmştr. Bu ötemlerde sdece reel sılr ullılr omple mtrslerle lgl şlemler ptırılblr. A jb jb jb jb jb jb m jb m m jb m m jb m Reel A b Im A A j b Toplm ve çırm C e j C A B Çrpm olm üzere c j b d e j C e j olm üzere C A B j b e c b d d b c c j d c j d j b c j b d Yzıl progrmlrd bu mtrs rı rı hesplır. Öre : A j j5 3 j,b j j C A B?

7 Geelleştrlmş Mtrs Yötem Herhgbr mtrs geelleştrlmş ormtt zılmsı ç şğıd orm ullılır. A jb jb jb jb jb jb m jb m m jb m m jb m Reel A b Im A A b G b A j b Öre : A j j A 3 j G? A G b b,b G c d d c,c G e e Olm üzere; Toplm ve Çırm C G A G B G b b c d d c c b d b d c e e C e j

8 Çrpm C G A G B G b b c d d c c b d d b c b c d b d c e e C e j Öre : A j j5 3 j Mtrs Ters,B j j C A B? A G b b ç herhgbr ötemle A G buluur, A G g h h g A g j h Öre : A j j A? j

9 - Leer Olm Delemler Köler Bulumsı Sürel ve reel = () osouu [, ] rlığıd e z br öüü olblmes ç; ( )( )< şrtıı sğlmsı gerer. Köler ollıl bulum osolrı öler sısl olr bulblme ç sısl ötemler gelştrlmştr. Bu ötemler e rılır; Kplı Yötemler : Fosolrı öler cvrıd şret değştrmeler gerceğde rrl ötemlerdr. Köü bulublmes ç det bşlgıç değere htc dur. Bşlgıç ve l thm değerler mutl öü ısc lmlıdır. İl thm değerler rsıd rlığı üçültülmes le öe lşılır. Hesplmlr (terso) lerledçe öe dh zl lşıldığıd bu ötemler Yıs Yötemlerdr. Açı Yötemler : Sdece br bşlgıç değere gere du ve öü ısc lm e değer ullble ormüllere d ötemlerdr. Bu ötemlerde, terso lerledçe öte uzlşılblr (Irsm), c ısdılrıd plı ötemlere göre ço hızlı souc ulşırlr. Leer Olm Delemler: - Polom Delemler,... - Trgoometr Delemler, S( b) c e 3- Logrtm (üstel) Delemler, b c 4- Krışı Delemler s( b) e cd e

10 .- Adım Küçültme Yötem : rsgele seçlmş bşlgıç değer = +h= +Δ 3= +h= +Δ= +h= +Δ 4= 3 +3h= 3 +3Δ= +h= +Δ= +h= +Δ. += +h -= -h += +h= + +h -= -h= - -h. ALGORİTMA - Rsgele br bşlgıç değer ( ), bşlgıç dımı (h) ve hssset (ε) seç - Bşlgıç değere bşlgıç dımıı eleere öe lş. 3- h > ö geçlmed dım () e gt. 4- h ö geçld 5- Br öce dım gt ve bşlgıç dımıı belrledğ rtere (h/) göre üçült 6- Adım eterce üçüse (h<ε) dım (8) e gt 7- Adım () e gt 8- Souçlrı zdır ve çı.

11 ÖRNEK ( ) 4 osouu pozt br öüü X=,h= ve =. lr buluuz. Alt çözümde; X = ve X = bulublr (otrol mçlı) h () ()*(+h) şlem SORU_ ( ) S( ) 3 osouu br öüü =. lr progrm le buluuz ( ) 3 osouu tüm öler =. lr progrm le buluuz. SORU_ 5

12 AKIŞ ŞEMASI C Progrm #clude <stdo.h> lot (lot ) { lot ; = (*) - (4*) - ; retur(); } m() { lot h,, h, epslo ; t ; h = ; = ; epslo =.; = ; TURBO PASCAL PROGRAM progrm dm_ucultme; uses crt; vr,h,epslo,h : rel; : teger ; ucto (:rel):rel; beg :=(*)-(4*)-; ed; beg h:=; :=; epslo:=.; := ; goto (, +);wrtel('terso'); goto (5, +);wrtel(''); goto (5, +);wrtel('+h'); goto (35, +);wrtel('()'); goto (45, +);wrtel('(+h)'); goto (55, +);wrtel('adm'); repet := + ; (()*(+h))> the :=+h else h:=h/5; //=5 goto (6, +);wrtel(); goto (5, +);wrtel(:5:4); goto (5, +);wrtel(+h:5:4); goto (35, +);wrtel(():5:4); goto (45, +);wrtel((+h):5:4); goto (55, +);wrtel(h:6:5); utl h<epslo; redl; ed. do { ++; ((()*(+h))> ) = +h; else h = h/5; //=5 prt("terso=%d =%5.4 +h=%5.4 dm=%6.5\",,,+h,h); } whle (h > epslo); getch(); }

13 .- Ort Not Yötem Bu ötemde bşlgıç rlığı ( ve ) rlığı eşt prç bölüere öe lşılır. Arlığı tm ort otsı belrler ( 3 ) ve bu otı öü lersdem gersdem sorgusu le rlığı rısı tılır. 3 ALGORİTMA - Köü çe l rsgele br bşlgıç rlığı belrler. ( ve ) - Arlığı ort otsıı 3 hesplır 3 3- ( ) ve ( 3 ) hesplır. 4-3 > ( ve 3 ) rlığıd ö otur, ö ( ve 3 ) rsıddır. ( ve 3 ) rlığı tılır, e rlı; 3 ve seçlr, dım 6 gt, 5-3 ö ( ve 3 ) rlığıddır, ( 3 ve ) rlığı tılır, e rlı; ve 3 seçlr. 6- ABS( - )> dım e gt 7- Souçlrı zdır ve çı.

14 ÖRNEK 3 ( ) 4 osouu pozt br öüü =. lr buluuz. Arlı belrleme; () () - < 3-9 < 3-5 rlığıd ö vr 5 5 > SORU_ ( ) S( ) 3 SORU_ ( ) 3 5 osouu br öüü =. lr progrm le buluuz. osouu tüm öler =. lr progrm le buluuz.

15 AKIŞ ŞEMASI #clude <stdo.h> #clude <mth.h> lot (lot ) { lot ; = (*) - (4*) - ; retur(); } progrm ort_ot; uses crt; vr,,3,epslo : rel; : teger ; ucto (:rel):rel; beg :=(*)-(4*)-; ed; beg :=3; :=6; epslo:=.; := ; goto (, +);wrtel('terso'); goto (5, +);wrtel(''); goto (5, +);wrtel(''); goto (35, +);wrtel('3'); goto (45, +);wrtel('()'); goto (55, +);wrtel('(3)'); repet := + ; 3 := (+)/; goto (6, +);wrtel(); goto (5, +);wrtel(:5:4); goto (5, +);wrtel(:5:4); goto (35, +);wrtel(3:5:4); goto (45, +);wrtel(():5:4); goto (55, +);wrtel((3):5:4); (()*(3))> the :=3 else :=3; utl bs(-)<epslo; redl; ed. m() { lot,, 3, epslo ; t ; = 3; = 6; epslo =.; = ; do { ++; 3 = (+)/; prt("terso=%d =%5.4 =%5.4 3=%5.4\",,,,3); ((()*(3))> ) = 3; else = 3; } whle (bs(-) > epslo); getch(); }

16 .3- Kese Not Yötem( Krş -Sect) ve rlığı drltılr öe lşılır. (,( )) ve (,( )) otlrı rsıd br doğru (rş) çzlr. Bu doğruu ese estğ ot 3 der. 3 otsıı öü hg trıd olduğu rr verlr ve öü olmdığı tr tılr e rlı belrler. Aı şlemlere terr edlere, rlı eterce üçü olduğud şlem soldırılır. Burd öeml ol 3 ü hesbıdır. Dğer şlemler ort ot ötemde gbdr. A(,( )), B(,( )) A(, ), B(, ) se otsı ble doğru delem; 3 oldugud; 3 3 ALGORİTMA - Rsgele br bşlgıç rlığı belrler. ( ve ) - 3 hesplır; 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3- ( ) ve ( 3 ) hesplır. 4-3 > ( ve 3 ) rlığıd ö otur, ö ( ve 3 ) rsıddır. ( ve 3 ) rlığı tılır, e rlı; 3 ve seçlr, dım 6 gt, 5-3 ö ( ve 3 ) rlığıddır, ( 3 ve ) rlığı tılır, e rlı; ve 3 seçlr. 6- ABS( - )> dım e gt 7- Souçlrı zdır ve çı.

17 ÖRNEK 3 ( ) 4 osouu pozt br öüü =. lr buluuz. Arlı belrleme; () () 3-9 < 3-5 rlığıd ö vr 5 5 > SORU_ ( ) S( ) 3 SORU_ ( ) 3 5 osouu br öüü =. lr progrm le buluuz. osouu tüm öler =. lr progrm le buluuz.

18 AKIŞ ŞEMASI progrm rs; uses crt; vr,,3,epslo : rel; : teger ; ucto (:rel):rel; beg :=(*)-(4*)-; ed; beg :=3; :=6; epslo:=.; := ; goto (, +);wrtel('terso'); goto (5, +);wrtel(''); goto (5, +);wrtel(''); goto (35, +);wrtel('3'); goto (45, +);wrtel('()'); goto (55, +);wrtel('(3)'); repet := + ; 3 := (*()-*())/(()-()); goto (6, +);wrtel(); goto (5, +);wrtel(:5:4); goto (5, +);wrtel(:5:4); goto (35, +);wrtel(3:5:4); goto (45, +);wrtel(():5:4); goto (55, +);wrtel((3):5:4); (()*(3))> the :=3 else :=3; utl bs(-)<epslo; redl; ed.

19 .4- Newto Rphso Yötem Bu ötemde ölere teğetler le lşılır. Rsgele br otsı lıır ve bu otd osou teğet çzlr. Bu teğet eğm hesplır. Fosou o otd teğet ı zmd o otd türeve eşttr. Bu eştl ullılr teğet ese estğ otsı buluur. Aı şlemler otsı ç terr edlr ve otsı buluur. İşlemlere devm edlrse solu dım sor öe lşılır..teğet eğm t.teğet eğm t ( ) ' ( ) Geel Kurl (Newto Rphso Fomülü) ( ) ' ( ) Not: Fosou şret değştrp değştrmedğe bılmdığı ç bu ötem le tlı öler de bulublr.

20 3 ÖRN: ( ) 7 5 X =8 lr Newto rpso ötem le ö buluuz. Köler: (.86, , -.565) () () 3 ÖRN: ( ) 7 5 () () ÖRN: ( ) 3 5 = ( ö =.79976) () ()

21 ALGORİTMA 8- Rstgele br bşlgıç değer ( ) ve ht sıırı belrle ( ε ), 9- ( ) ve ( ) hespl, - değer hespl, - bs > = + tmsıı p ve dım e tl, - Souçlrı zdır ve çı. AKIŞ ŞEMASI c# odlrı mespce r { clss Progrm { publc delegte double Fucto(double ); sttc double F(double ) {retur *-4*-;} sttc double F_turev(double ) { retur *-4;} publc sttc double NewtoRphsoMethod(Fucto, Fucto prme, double, double epslo) { double = (); double = ; t =; whle (Mth.Abs(()) > epslo) { ++; Cosole.WrteLe("terso: {}", + " :" +.ToStrg(".") + " gerce_turev:" + F_turev().ToStrg(".")); -= / prme(); = (); } retur ; } sttc vod M(strg[] rgs) { double epslo=., =3.; Cosole.WrteLe("\\Testg Testg Newto-Rphso Method\"); double = NewtoRphsoMethod(F, F_turev,, epslo); Cosole.WrteLe("\\NR Souc:" +.ToStrg()); Cosole.WrteLe("NR Test:()=" + F().ToStrg()); Cosole.RedLe(); } } }

22 .5- Sısl Türevl Newto Rphso Formülü Newto Rphso ormülü çersde osou. Türeve htç vrdır. Bu türev lt olr hesplmtdır. Polom ve br ço oso ç. türev bulumsı ol olsd, türevler bulumsı zor ve zm lıcı osolr olblr. Bu durumlrd türev sısl hesplmsı gerer. Sısl türev hesbı ler htlrd Sısl türev ousud rıtılı olr şleecetr. Burd sdece br sısl türev ormülüe değlp geçlecetr. ' ( )? Geel Kurl (Newto Rphso ormülü) Herhg br otsıd osou türev; ACD üçgede AC '( ) t DC BC A otsı hesp edlemedğde AC uzuluğu blemedğde bu üçge ere BCD üçge ullılr lşı olr türev hesplır. BCD üçgede BC t '( ) t DC '( ) ( h) h ( ) h BC Newto ormülü çe zılırs; ( ) ( ) '( ( h) ( ) h ) ( ( ) h h) ( ) h ÖRNEK ( ) Alt olr; ( ) D ( +h), '()? α B A C +h ( ) ' ( ) '( ) '() 4 Sısl Olr;h=.; '() ( h) h ( ) (.) (). '() 4. Sısl Olr;h=.;.. (.) () '() 4.. ÖDEV ( ) S( ) 3 osouu br öüü =. lr progrm le buluuz.

23 SORU_ ( ) 3 5 osouu tüm öler =. lr progrm le buluuz. ÖRN: ( ) 3 5 = ve h=. ( ö =.79976) () ()

24 ALGORİTMA - Rstgele br bşlgıç değer ( ) ve ht sıırı belrle ( ε ), - ( ) ve otsıd sısl türev hespl, 3- değer hespl, 4- bs > = + tmsıı p ve dım e tl, 5- Souçlrı zdır ve çı. AKIŞ ŞEMASI c# odlrı mespce CosoleApplcto { clss Progrm { publc delegte double Fucto(double ); sttc double F(double ) {retur * - 4* - ; } sttc double F_turev(double ) { retur *-4;} sttc double Fs_tur(double ) //sısl turev {double h =.; retur (F( + h) - F()) / h; } publc sttc double NewtoRphsoMethod(Fucto, Fucto prme, double, double epslo) { double = (); double = ; whle (Mth.Abs(()) > epslo) { Cosole.WrteLe(":" +.ToStrg(".") + " gerce_turev:" + Fs_tur().ToStrg(".") + " ssl_turev:" + Fs_tur().ToStrg(".")); -= / prme(); = (); } retur ; } sttc vod M(strg[] rgs) { double epslo =., = 3.; Cosole.WrteLe("\\Testg Testg Newto-Rphso Method\"); double = NewtoRphsoMethod(F, Fs_tur,, epslo); Cosole.WrteLe("\\NR Souc:" +.ToStrg()); Cosole.WrteLe("NR Test:()=" + F().ToStrg()); Cosole.RedLe(); } } }

25 NR Yötem zılılrı; NR ötem ço etl olmsı rğme, özellle tlı öler ve bzı bst ö rmsıd zı lır.. Öre : çlışlım; osou =.5 cvrıd öüü NR ötem le bulm Kötü br l thmde sor, öe ısm ço vştır. İl thm de tbre terso dımlrı öte uzlşmtdır.

26 3. NR ötem, erel m ve m cvrıd slım özellğ gösterr. NR ötem ç geel br ısm rter otur. Yısm osou doğsı ve l thm değer dogruluğu bğlıdır. Çözüm, öe eterce ı l bşlgıç otsıı seçlmesdr. İ thmler, zsel problem blmes ve çözümü dvrışı hıd blg ve grler le bulublr. 4. Ktlı öler Çt tlı öler ese esmez. Çt tlı ölerde; () şret değştrmedğde plı ötemler ullılmz rıc çt ve üç tlı ölerde, ö cvrıd () ve () sıır ço ı olduğud uvrlm htlrı oluşur.

27 Bu sorulrı çözme ç Gelştrlmş NR ötem ullılır..6- Gelştrlmş Newto Rphso Yötem () öüü bulm ç rdımcı br oso tımlır (G()). Bu osou öü () le ı olmlıdır. Yrdımcı oso; ( ) G( ) ' ( ) () = G() = dır. Olr tımlır. G()= pc = değer () de öüdür. ( ) G( ) Bu ötemle oso tlı öte urtulmuş olur. Bu sebeple () ere G() öü Newto Rphso Formülü le buluur. ÖRN 3 ( ) 5 3 ( ) 5 G( ) '( ) 3 4 ÖRN 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) G ( ) ( ) '( ) 3 ( ) 3 G() Fosou Newto Rphso Formülüü Ugulmsı G G d d G ve G Not: Burd osou c türev de hesbı geremetedr. Şmdl osou. Türev lt olr hesplr ullılctır. Sor bölümlerde sısl türev ousud. Türev hesbı ç ormüller verldğde olr ullılctır. Algortm, ve progrm N-R le ıdır.

28 ÖRN osou =, =4 cvrıd öüü NR ve GNR hesplıız.

29 Not: Bşlgıç değer omples sı grlrse omples öler de bulublr. ÖRN = otsı cvrıd öüü buluuz., 3

30 .7- Bst terso Yötem Bu ötemde ()= delem =F() ormu getrlr. Eğer ısm oşuluu sğlıors; F ormülü le terso bşlır. oluc dr şleme devm et. Yısm oşulu; [, b] de bütü ler ç ( [, b]) ç ' F ( ) sğlmlıdır. ÖRN: ( ) 3 delem br öüü [, ] rlığıd bst terso ötem le 3 dımd buluuz. ÖDEV: ( ) delem br öüü [, ] rlığıd bst terso ötem le 3 dımd buluuz.

31 ALGORİTMA - Rstgele br bşlgıç değer ( ) ve ht sıırı belrle ( ε ), - F( ) hespl, 3- = F( ) tmsıı p, 4- bs > dım e tl, 5- Souçlrı zdır ve çı. AKIŞ ŞEMASI c# odlrı mespce CosoleApplcto { clss Progrm { publc delegte double Fucto(double ); //()= * - 3 * + sttc double F(double ) { retur ( * + ) / 3; } sttc double F(double ) { retur * - 3 * + ; } sttc vod M(strg[] rgs) { Cosole.WrteLe("\\Bst terso otem\"); double,=.5, epslo=.; t =; do { ++; = F() ; = ; Cosole.WrteLe("terso:" + + " :" +.ToStrg(".")); } whle (Mth.Abs(F ()) > epslo); } } } Cosole.WrteLe("\\NR Souc:" +.ToStrg()); Cosole.WrteLe("BIY Test:()=" + F().ToStrg()); Cosole.RedLe();

32 3- Leer Delem Sstemler Çözümü blmeel delemde oluş br sstem; b b b Mtrsel ormd de edlrse; b b b Burd; A : Ktsılr mtrs, B : Sbtler mtrs, X : Blmeeler mtrsdr. [A] [X] =[B] Bu delem sstemde çözümü olblmes ç det(a) olmlıdır. Leer delem sstemler çözüm ötemler lt bşlıt toplblr;. Doğrud Yötemler (Ters Mtrs, Crmer, Guss Elemso, Guss-Jord Yötemler),. Sısl Yötemler (Job, Guss Sedell Yötemler)

33 3.. Doğrud Yötemler Ters Mtrs Yötem A X B A A X A B X A B R A B X R Öre : delem sstem çözüm ümes buluuz.

34 Crmer Yötem Yurd verle delem sstem crmer ötem le çözümü; A b b b b b b b b b b Not : Bu ötem delem sısı 3 ve 3 te z ol sstemlere ugudur. Öre : delem sstem çözüm ümes buluuz.

35 Guss Elemso Yötem Ço es br ötem olmsı rğme br ço popüler zılım petde doğrusl delemler çözüm ötem olr ullılmtdır. Yötem gerçeleştrlmes şmd oluşur;. Blmeeler elemes; A öşege ltıd elemlr, elemeter stır şlemler le sıır pılır. 3 b b 3 b 3 b b 3 33 b 3. Gere doğru çözüm ümes bulumsı; b b b b 3 Öre : delem sstem çözüm ümes buluuz.

36 #clude<stdo.h> t m(vod) { vod bcsubs(lot [][],lot [], t); lot [][],b[],tem=,temp=,temp=,temp=,temp4=,temp5=; t =,m=,=,j=,p=,q=; prt("kre Mtrs Boutu :"); sc("%d",&); or(=;<;++) { or(j=;j<;j++) { prt("a[%d,%d] :",,j); sc("%",&[][j]); } } prt("\esbtler Mtrs\"); or(=;<;++) { prt("b[%d] :",,j); sc("%",&b[]); } or(=;<;++) { temp=[][]; (temp<) temp=temp*(-); p=; or(j=+;j<;j++) { ([j][]<) tem=[j][]*(-); else tem=[j][]; (temp<) temp=temp*(-); (tem>temp) { p=j; temp=[j][]; } } //Str degsmler or(j=;j<;j++) { temp=[][j]; [][j]=[p][j]; [p][j]=temp; } temp=b[]; b[]=b[p]; b[p]=temp; //Kosege hrc elemlr srlms } temp4=[][]; or(q=+;q<;q++) { temp5=[q][]; or(j=;j<;j++) { [q][j]=[q][j]-((temp5/temp4)*[][j]); } b[q]=b[q]-(temp5/temp4*b[]); } } bcsubs(,b,); retur ; vod bcsubs(lot [][],lot b[], t ) { t =,j=; or(=-;>=;--) { or(j=-;j>;j--) { b[]=b[]-[][j]*b[j]; } b[]=b[]/[][]; prt("%d = %\",+,b[]); } }

37 Guss-Jord Yötem Guss ötem rlı br durumudur. A öşege hrç dğer elemlr, elemeter stır şlemler le sıırlır. Dolısıl, çözümü bulm ç gere doğru çözümü bulumsı dımıı çermez b b b 3 Arıc, bütü stırlr pvot elemlr bölüere ormlze edleblr. Öre : delem sstem çözüm ümes buluuz.

38 3.. İtert Yötemler Guss-Job Yötem blmeel delem sstem, b b b Şelde verlmş olsu. Bu sstemş Guss-Job ötem le çözeblme ç şğıd orm döüştürülür. b b b Döüştürüle sstem çözüm ümese ısblmes ç, ısm oşuluu sğlmsı gerer. j her stır ç öşege elemı, dğer elemlrı toplmıd j j büü olmlıdır. Eşt olm durumud ısm ço vş olur. İterso ç; b b b Geel terso ormulu; b Mtrsel ormd zılc olurs; b b [X] + = [B ] - [A ] [X] b

39 Öre : Delem sstem çözüm ümes (,,) bşlgıç değerler ullr buluuz.

40 Guss-Sedel Yötem Bu ötem Job ötem gelştrlmş hldr. Yısmsı ço dh hızlıdır. Sedel ötemde, + tersoud bulu + souçlrı, j=+,... olm üzere j + souçlrıı bulumsıd ullılır. b b b Geel terso ormulu; b j j j j j j İterso bşlmd ısm oşulu dt edlmeldr. #clude<stdo.h> t m(vod) { lot [][],b[],[],[]; t =,m=,=,j=; prt("kre Mtrs Boutu : "); sc("%d",&); or(=;<;++) { or(j=;j<;j++) { prt("a[%d,%d] :",,j); sc("%",&[][j]); } } prt("\sbtler Mtrs\"); or(=;<;++) { prt("b[%d] :",,j); sc("%",&b[]); } prt("bslgc Degerler\"); or(=;<;++) { prt("[%d]_ :",); sc("%",&[]); } prt("\iterso ss : " ); sc("%d",&m); whle(m>) { } or(=;<;++) { []=(b[]/[][]); or(j=;j<;j++) { (j==) cotue; []=[]-(([][j]/[][])*[j]); []=[]; } prt("%d = % ",+,[]); } prt("\\"); m--; } retur ;

41 Öre : Delem sstem çözüm ümes (,,) bşlgıç değerler ullr buluuz.

42 Öre : 5 6 4z 7 3 z 3 5 3z 8 Delem sstem çözüm ümes (,,) bşlgıç değerler ullr buluuz.

43 Ödev : Yd devrede I, I ve I 3 ımlrıı geelleştrlmş mtrs ormtı le, her terso ötem ullr buluuz.

44 4- SAYISAL TÜREV Tım : değere pozt ve egt öde verle Δ (h) rtımı rşılı () osoud değşm Δ se ve, lmt vrs, bu lmte () osouu otsıd türev der. Aı zmd ( ), otsıd oso teğet geçe eğr eğmdr. Türev herhgbr büülüte değşm mtrıdır. Öreğ, old değşm mtrı hızı, hızd değşm mtrı vme verr. (t) ol, v(t) hız, (t) vme osou olm üzere; v t t d t dt dv t t d d t dt dt Bob ve odstör uç delemler; V L L d L dt C C dv C dt Açısl hızı zm göre türev oumdur; r d r dt

45 Sısl türev hesbıd gerçe teğet delem ere, bell otlrd geçe doğru delem (lşı teğet delem) ullılır.. İler (sğ) Frlrl Sısl Türev. Ger (sol) Frlrl Sısl Türev 3. Merez Frlrl Sısl Türev

46 Öre : osouu = otsıd türev h=. lr lşı olr buluuz.

47 Tlor Serler Tlor serler sısl ötemlerde osolrı lşı olr br poloml de etme ç ullılır. Br osou herhgbr otd değer, osou ve türevler br bş otd değerler csde thm edleblmes sğlr. Herhgbr () osou ve türev [, + ] rlığıd sürel se tlor sers;!!! R! 3! 3 Burd; + = + h + - = h R : Kl Arıc ( )=, ( + )= +,... olr gösterleblr.! h! h 3! h 3!! h R

48 Tlor Serler le Sısl Türev Hesbı otlı ler r Tlor Serler le. Türev hesbı ( +, + ) ve ( +, + ) değerler blors ( ) =?! h! h 3! h 3!! h R, h! h! h 3! h 3!! h R, hh! h! h 3! h 3!! h R otsıd. Türev hesplmsı ç. Türevl termlere dr ol ısımlrı lımsıl;, h h h h, h h. Delem (-4) le çrpıp. Delemle toplırs; h h h 3 4

49 otlı ger r Tlor Serler le. Türev hesbı ( -, - ) ve ( -, - ) değerler blors ( ) =?! h! h 3! h 3!! h R, h!, hh!, h h h h h! h! h h, h h. Delem (-4) le çrpıp. Delemle toplırs; h h h 4 3

50 otlı ler r Tlor Serler le. Türev hesbı, h h h h, h h. Delem (-) le çrpıp. Delemle toplırs; + h h otlı ger r Tlor Serler le. Türev hesbı, h h h h, h h. Delem (-) le çrpıp. Delemle toplırs; + h h

51 Öre : osouu = otsıd,. ve. türev h=. lr, otlı ler r Tlor Serler lşı olr buluuz.

52 3 otlı ler r Tlor Serler le. Türev hesbı ( +, + ), ( +, + ) ve ( +, +3 ) değerler blors ( ) =?! h! h 3! h 3!! h R,! h! h h h h h (),! h! h h h () 3, 3 3! 3h! 3h 9 3 3h h (3) 8 () 9 () + (3) şlem ugulırs; 6h h Not sısıı rtmsı le hssset rtr dolısıl ht zlır. Ödev : 3 otlı ler r Tlor Serler le. Türev ormülüü buluuz.

53 Öre : () = e - osou = otsıd. ve. türev, h=. lr lşı olr tüm ötemler ullr buluuz.

54 %Mtlb% clc; h=.; =; sms % degse tml = ep(-); %oso tmld = le (chr()); %() olr td %Bst ler r b = (/h)*((+h)-()); %Bst ger r bg = (/h)*(()-(-h)); %Merez r m = (/(*h))*((+h)-(-h)); % otlı ler r tlor.turev tler = (/(*h))*(-3*()-(+*h)+4*(+h)); % otlı ger r tlor.turev tger = (/(*h))*(3*()+(-*h)-4*(-h)); %3 otlı ler r tlor.turev t3ler = (/(6*h))*(-*()+8*(+h)-9*(+*h)+*(+3*h)); % otlı ler r tlor.turev tler = (/(h*h))*(()-*(+h)+(+*h)); % otlı ger r tlor.turev tger = (/(h*h))*(()-*(-h)+(-*h)); prt('\\te^(-) osou ssl turev\'); prt('\talt. ve. turev = %.5 \\',()); prt('bst ler r: %.5 ht=%%%.5\',b, *bs(-b)); prt('bst ger r: %.5 ht=%%%.5\',bg, *bs(-bg)); prt('merez r: %.5 ht=%%%.5\\',m,*bs(-m) ); prt(' otlı ler Tlor sers le.turev: %.5 *bs(-tler)); prt(' otlı ger Tlor sers le.turev: %.5 *bs(-tger)); prt('3 otlı ler Tlor sers le.turev: %.5 *bs(-t3ler)); prt(' otlı ler Tlor sers le.turev: %.5 *bs(-tler)); prt(' otlı ger Tlor sers le.turev: %.5 *bs(-tger)); ht=%%%.5\',tler, ht=%%%.5\\',tger, ht=%%%.5\\',t3ler, ht=%%%.5\',tler, ht=%%%.5\',tger,

55 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olm üzere F() osouu türev () se ( F () = () ); d F c eştlğde F()+c dese, () osouu belrsz tegrl der. () osou [,b]r ç sürel se; b d F b F b F değere, () osouu [,b] rlığıd belrl tegrl der. Geometr olr belrl tegrl, belrtle rlıt, oso eğrs le oordt ese rsıd l ldır. b ()

56 İtegrl ollıl hesplble eğrler; Dtörtge lı; Ymu lı (()=/); İtegrl Ugulmlrı ;. Eğr ltıd l lı bulm,. İ eğr rsıd l lı bulm, () g() b

57 3. Br eğr ve ese etrıd 36 o dödürülmes le oluş plı bölge hcm bulm, b () () b Eletr Mühedslğde ullıl bzı tegrl ugulmlrı;. Ortlm değer hesbı; ort T. Et değer hesbı; T et T d 3. Fourer serler hesbıd.

58 Yüse derecel polomlrd ve rmşı osolrı belrl tegrller hesbıd, eğr le oordt ese rsıd l lı hesbı zordur. Bu llr ble geometr şeller llrı ullılr, lşı olr hesplblr. Y eğr le oordt ese rsıd l l dh üçü ve ble geometr şellere bölüere elde edle llr toplr hesplblr. Sısl Yötemler;. Ddörtgeler ötem İtegrl buluc eğr lgl rlıt üçü ddörtgelere bölüür, bu ddörtgeler llrı toplr lşı souç buluur..) Sol toplmlr b [,b] rlığı prç bölüür. Adım h dr. =,,,..,- ç + = +h () ( ) ( ) ( ) I I I 3 = b= 3.b) Sğ toplmlr b [,b] rlığı prç bölüür. Adım h dr. =,,.., ç + = +h ( 3 ) () ( ) ( ) I I I 3 = b= 3

59 .c) Ort toplmlr b [,b] rlığı prç bölüür. Adım h dr. =,,..,- ç + = +h () ( +h/) ( +h/) ( +h/) I I I 3 = b= 3 +h/ +h/ +h/

60 Öre : 7 3 d tegrl ddörtgeler ötem ullr buluuz. (=3,5,) Alt Al I 7 3 d

61 %sol clc; %tegrl srlr =; b=7; =put ('Prc ='); h=(b-)/; prt('adm = %.3 \', h); toplm=; =; or =: =3*^; prt('%d. l=%.3\',,); =+*h; toplm=toplm+h*; ed; prt('ls tegrl = %.3 \', toplm); %sg clc; %tegrl srlr =; b=7; =put ('Prc ='); h=(b-)/; prt('adm = %.3 \', h); =; toplm=; or =: =+*h; =3*^; prt('%d. l=%.3\',,); toplm=toplm+h*; ed; prt('ls tegrl = %.3 \', toplm); %ort clc; %tegrl srlr =; b=7; =put ('Prc ='); h=(b-)/; prt('adm = %.3 \', h); toplm=; =; or =: =3*(+(h/))^; prt('%d. l=%.3\',,); =+*h; toplm=toplm+h*; ed;

62 prt('ls tegrl = %.3 \', toplm); =5 sol Adm =.. l=3.. l= l= l= l=.9 ls tegrl = 59.9 sg Adm =.. l=4.5. l= l= l=.9 5. l=47. ls tegrl = 43.7 ort Adm =.. l=7.68. l= l= l=8. 5. l=.88 ls tegrl =

63 . Ymu Yötem İtegrl buluc eğr lgl rlıt üçü mulr rılır, bu mulrı llrı toplr lşı souç buluur. Algortm; (5) (6) [,b] rlığı eşt prç bölüür. () () (4) () () (3) I I I3 I4 I5 I6 Ymulr elde edlr. Herbr muğu lı hesplır. = b= 6 Allr toplr lşı tegrl soucu buluur. I b I h I h I 3 h I 4 h I 5 h I 6 h I b d I I I 3 I 4 I 5 I 6 Geel hl d I h b d h

64 Öre : 7 3 d tegrl mu ötem ullr buluuz. (=3,5,) =3 ç =5 ç Prc =5 Adm =. (.)-->()=3. (.)-->()=4.5 (3.4)-->()=34.68 (4.6)-->()=63.48 (5.8)-->()=.9 (7.)-->()=47. ls tegrl = = ç Prc = Adm =.6 (.)-->()=3. (.6)-->()=7.68 (.)-->()=4.5 (.8)-->()=3.5 (3.4)-->()=34.68 (4.)-->()=48. (4.6)-->()=63.48 (5.)-->()=8. (5.8)-->()=.9 (6.4)-->()=.88 (7.)-->()=47. ls tegrl = 343.8

65 Öre : 3 s d tegrl mu ötem ullr buluuz. (=5,) = ç Prc = Adm =.47 (.)-->()=. (.47)-->()=.453 (.94)-->()=.79 (.34)-->()=.39 (.489)-->()=.4674 (.536)-->()=.5 (.683)-->()= (.733)-->()=.6693 (.8378)-->()=.7434 (.945)-->()=.89 (.47)-->()=.8663 ls tegrl =.5

66 3. Smpso (Prboller) Yötem Belrl tegrl bulumsı ç e gı ullıl ötemdr. Bu ötemde, sıl oso ere, bu oso.derecede br polom udurup, bu poloml -ese rsıd l lı hesbı buluur. Eğer udurul polom. derecede se, ötem mu(trpez) ötem olur; Eğer udurul polom. derecede se, ötem smpso(polomlr) ötem olur; Lgrge eterpolso ormulue göre (Eterpolso ousu rıc celeecetr),, otlrıd geçe prbol delem; P Bu osou [, ] sıırlrı göre belrl tegrl se; P d h 3 h 3 h 3 h 4 () p()=+b ( ) ( ) () p()= +b+c ( ) ( ) ( ) Smpso ötemde 3 otd geçe polom delem ullılır. Eğer rlıt ot sısı rtırılırs, hssset rtr, ht zlır.

67 ( 5) ( 6) () Algortm; [,b] rlığı eşt prç bölüür. ( 4) ( ) ( ) ( ) ( 3) I I I3 = b= 6 3 otd br.derecede br eğr geçrlr. Bölece / te lt bölge oluşur. Herbr bölge lı hesplır. Allr toplr lşı tegrl soucu buluur. I b d I I I 3,, bölges; h I 3 4,, bölges; 3 4 h I ,, bölges; 5 6 h I h I 3 Geel hl I b d h 3 4 :te j j:ct Smpso ötem ( ε çt sılr) ç ullılblr.

68 Öre : 3 s d tegrl smpso ötem ullr buluuz. (=4) Öre : d tegrl trpez ve smpso ötem ullr buluuz. (=4) =4 ç

69 Öre : Aşğıd, tm dlg otrollü br doğrultucuu çıış dlg gerlm değşm verlmştr. Bu gerlm ortlm değer bütü ötemler ullr buluuz (=4). Vu wt(rd)

70 5- LİNEER OLMAYAN DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ E z br tes doğrusl olm -delemde oluşmuş ssteme leer olm delem sstem der. 4 5 leer degll leer l. İ değşel leer olm delem sstem Newto Yötem le çözümü (,) = g(,) = olm üzere, bu delemler (, ) otsı ç tlor serlere çılırs; Htırltm : () osou otsıd tlor sers;,,,!,!!,!, g, g, g,! g,!! g,! g, Tlor sersde l term lıır ve (, ) otsıd d osolr sıır eştse;,,!,! g, g,!! g,! Δ ve Δ blmeeler olr seçlp sstem mtrsel olr zılırs;,, g g, g,, g, Bu sstem A=B ol leer br sstemdr. Sstem, (, ) bşlgıç değerler le herhgbr ötem ullılr çözülere ve Δ, Δ l değerler buluur. Bu değerler ullılr,

71 = + Δ = + Δ otlrı buluur. Bu şleme Δ < ε ve Δ < ε dr devm edlr. İterso ç sstem;,, g g, g,, g,

72 Öre : Aşğıd verle delem sstem =.6 ve =.5 bşlgıç değerler ullr çözüüz. 3 5

73 Öre : Aşğıd verle delem sstem =.5 ve = 3 bşlgıç değerler ullr çözüüz. 9 e 5

74 . Üç değşel leer olm delem sstem Newto Yötem le çözümü (,,z) = g(,,z) = v(,,z) = olm üzere, bu delemler (,, z ) otsı ç tlor serlere çılırs;,,z zz,,z,,,z!!,,,z! z z,,,z! z z g,, z zz g,,z g,,,z!! g,,,z! z z g,,,z!! z z v,, z zz v,,z v,,,z!! v,,,z! z z v,,,z!! z z Tlor sersde l term lıır ve (,, z ) otsıd d osolr sıır eştse;,,z,,,z!! g,,z g,,,z!! v,,z v,,,z!!,,,z! g,,,z! v,,,z! z z,,,z! z z z z g,,,z! z z z z v,,,z! z z Δ, Δ ve Δz blmeeler olr seçlp sstem mtrsel olr zılırs;,,z,,z,,z z z g g,,z g,,z g,,z z z v v,,z v,,z v,,z,z z z z,,z g,,z v,,z Bu sstem A=B ol leer br sstemdr. Sstem, (,, z ) bşlgıç değerler le herhgbr ötem ullılr çözülere ve Δ, Δ ve Δz l değerler buluur. Bu değerler ullılr, = + Δ = + Δ z = z + Δz otlrı buluur. Bu şleme Δ < ε ve Δ < ε ve Δz < ε dr devm edlr.

75 Newto ötemde ısm oşullrıı ço olmsı rgme bşlgıç degerler seçlmezse souç lımz. Newto ötem lgortmsı bsttr.yötem teor olr usursuzdur. Pe ço problem ç gerçe çözüme ısr. Öre : Aşğıd verle delem sstem =, = ve z=3 bşlgıç değerler ullr çözüüz. z 5 z 3 z 3 7

76 Öre : Aşğıd verle delem sstem =., =. ve 3 =.9 bşlgıç değerler ullr çözüüz. 3 cos 3 8. s 3.6 e

77 3. Bst İterso Yötem Leer olm br delem öüü bulm ç ullıl Bst İterso Yötem bzı değşllerle leer olm delem sstemde ullılır.,,,,,,,,, ormtıd verle delem sstem, ltt ormt döüştürülür. g,,, g,,, g,,, Ye sstem ısm oşuluu sğlıors X + = G(X ) ormülü le terso bşlır. Yısm Koşulu : Leer olm br delem ısm oşulu le ı pıddır; g g g g g g g g g g g g g g g g g g

78 Öre : Aşğıd verle delem sstem bst terso ötem ullr çözüüz. ( = 3.48, =.6) 3 log 5

79 6- ENTERPOLASYON Belrl br rlıt, ble değerler [(, )..(, )] ullr, blmee değerler hesplmsı eterpolso der. Bu mçl, ble verler ullr ugu osolr udurulur. E gı olr polom eterpolsou ullılır.. derecede polomu geel hl; (+) ver ç, bütü otlrd geçe br te.derecede polom buluur. otı.derecede polom (doğru), 3 otı. Derecede polom (prbol) brleştrr.

80 Doğrusl Eterpolso,, bu delem sstem çözülere tsılr buluur. Crmer ötem le; L L şelde düzelerse; L, L () ( o, o ) ve (, ) blors, bu otd geçe doğruu delem bulumsı doğrusl eterpolsodur. Bu otd geçe doğruu delem; ()= + bul edlere, tsılrı hesplır.

81 Poloml Eterpolso (Lgrge Eterpolsou),,, bu delem sstem çözülere tsılr buluur. Delem sstem çözülüp L L L tsılrı buluurs; L, L, L Bu tsılr Lgrge polomlrı der. Lgrge tsılrı derecel polom ç zılırs; L j j j j j j j j j j j j j j j Foso se; P L j j j j j j j j j j j j j j j = ( o, o ) ve (, ) () ( o, o ), (, ) ve (, ) blors, bu 3 otd geçe prbol delem bulumsı; ()= + + bul edlere, tsılrı hesplır.

82 = ( o, o ), (, ) ve (, ) Öre : Notlrıd geçe polomu Lgrge Eterpolso ormülüü ullr buluuz.

83 Öre : ()=s(π) ç d otlrıd geçe 3. Derecede polomu Lgrge Eterpolso ormülüü ullr buluuz.

84 E Küçü Kreler Yötem Deesel olr elde edlmş 8 ver d görülmetedr. 7. derecede br polom udurulurs, bu eğr bütü otlrd geçer. Ac verlerde değşel edele, eğr slıımlı olctır. Bu gb durumlrd, her br otd geçmee, verler geel eğlme ve şele u oso üretlr. E üçü reler ötem; herbr ot ç, udurul eğr le gerçe oso rsıd rlrı reler toplmıı mmum pılmsıdır. Gerçe oso () ve udurul oso g() se; g mmum pılmsı le g() osouu tsılrı belrler. Htı mmum pılmsı, r osouu.türev sıır eştlemes le sğlır.. derecede polom udurulmsı; Ble te (, ) otsı ç e üçü reler ötem ullılr g()= + osouu elde edlmes; e, Yurd e osouu mmum olmsı ç. türev sıır eştler; e, e, e,,, e, ve e, Mtrsel olr de edlrse;

85 Herhgbr ötemle çözülere ve tsılrı bulur; g()= + elde edlr. Öre : Aşğıd verle otlr ç. derecede polomu (g()= + ) e üçü reler ötem ullr buluuz derecede polom udurulmsı; Ble te (, ) otsı ç e üçü reler ötem ullılr g()= + + osouu elde edlmes; e,, olr de edlrse; Kısm türevler buluup sıır eştleere mtrsel 3 Herhgbr ötemle çözülere, ve tsılrı bulur; g()= + + elde edlr. 3 4 Öre : Aşğıd verle otlr ç. derecede polomu (g()= + + üçü reler ötem ullr buluuz. ) e

86 Üstel oso udurulmsı; Ble te (, ) otsı ç e üçü reler ötem ullılr g e osouu elde edlmes ç öcelle bu osou doğrusllştırılmsı gerer. Çüü; lere göre ısm türev lııp sıır eştledğde leer delem sstem oluşmz. Her trı l lıırs; g e l l e l l e l e, l l Yurd e osouu mmum olmsı ç. türev sıır eştler; e, e, e,,, e, l l ve e, l l l l l l Mtrsel olr de edlrse; l l l Herhgbr ötemle çözülere ve tsılrı bulur; elde edlr. Öre : Aşğıd verle otlr ç üstel osou ( g ötem ullr buluuz. e ) e üçü reler

87 7- Bğı Dersl Delemler Sısl Çözümü Fzsel problemler de edlmesde (modellemesde) ve çözülmesde ullılır. Y-ütle sstem, odstör-bob çere eletro devreler, msl reosolr, br ütle br bş csm etrıd hreet problemler dersel delem ormuddır. Herhgbr değşee (ve değşe grubu) bğlı blmee br oso (d osolr) le bu osou türevler rsıd bğıtı d dersel delem (d sstem) der. Te delem hlde e üse mertebel türev, delem mertebes belrler; delem sstem hlde se e üse mertebel delem mertebes sstem mertebes olr bul edlr. Ad türevl br ço dersel delem lt çözümler olmsı rğme, bulrı çözümler ço zor d msızdır. Bu üzde, sısl ötemler gelştrlmştr. Eğer dersel eştl. Mertebede türeve shp se bu durumd bu eştlğe. Mertebede dersel eştl der. Dersel delemler tsılrı, mertebe ve derecelere göre sııldırıblr. - Ktsılrı Göre Sııldırm d K K ( ) d Formud br dersel delem ç; - K ve K tsılrı sbt se; (K =5, K =-4, ()= s() ) Sbt Ktsılı Dersel Delem ve Sbt tsılı leer dersel der. d 5 4 S( ) d b- K ve K tsılrı osou se; (K =5, K =-4, ()= s() ) Değşe Ktsılı Dersel Delem ve Değşe tsılı leer dersel der. d 5 4 S( ) d c- K ve K tsılrı osou se; (K =(3+5), K =-4, ()= s() ) Doğrusl olm (o-leer) Dersel Delem der. d ( 3 5) 4 S( ) d

88 - Mertebe ve Derecelere Göre Sııldırm Br dersel eşt çersde m, e büü olm dı le ; d d m m İdesde m eştlğ mertebes ve se eştlğ derecs verr. m.mertebede ve.derecede d. Eştl der. Dersel Delemler Çözümü Eletr devrelerde, eletr mlrıı dm lzde ve eletrome sstemer tsrımı, modellemes ve lzde ve dğer tüm eletr mühedslğ oulrı pmıd dersel delemler ullılmtdır. Dersel delemler çözülmes le mevcut sstem dvrışı belrleeblmetedr. Dersel delemler çözümü ç lşımı mevcuttur. Bulrd l lt çözüm, dğer se sısl çözümdür. Alt çözüm Dersel Delemler dersde rıtılı olr şlemştr. Burd terr edlmeecetr. Bu ders psmıd sısl çözüm ötemlere değlecetr. lşım rsıd r öğrec trıd ollıl lşılblecetr. d d (, ) ormud dersel eştlğe. Derecede te değşel d dersel delem der. E bst ormd br d. Delem şelde RL devresde türetleblr. d( t) V ( t) dt L R ( t) L

89 - EULER YÖNTEMİ Dersel delemler sısl çözümü ç gelştrle ötemler bşıd gelr. Bst olmsı rğme olduç bşrılı souçlr vermetedr. d (, ) d ol br d. delem ç; d Eğer otsıd blors ; (, ) d d d h Olr zılblr.her eştl te (, ) olr zılır ve burd h + çözülür se ; h (, ) zılblr. Bölece (, ) bşlgıç otsı ullılr ( +, + ) otsı buluımuış olur. Bu şelde ot ot çözüm pılr dersel eştl çözülmüş olur. Çözüme bşlm ç muh bşlgıç otsı, blmel ve h dımı belrlemeldr. Çözüm soud br tblo oluşturulur. Oluşturul tblo çzdrlere çözüm değşm görüleblr. Not : Aı de tlor sers rdımı le bulublr. = ç ( )= verldğe göre Dersel delem çözümü =() olsu, olur, tlor sersde l term ullılırs;

90 ÖRN-:. d d Burd sdece 3 ç 3 bulm gerese ble sırsı le ve öcelle bulumlıdır. Dorud 3 hesplmz. ()= se ()=? (h=.5) ÖRN-:. d (4)=.75 se (7)=? (h=) d

91 ÖRN -3 : Devrede (t) ımıı değşm EULER ötem le buluuz. Alt ötem le rşılştırıız. t = e I = ve h=. olr lıp ullıız.

92 - Ruge-Kutt Yötem ), ( d d ormud br d. eştlğ çözümü Euler öteme bezer, tüm sısl öteler gb bu ötemde de br bşgıç oşulu le durum değşe dım dım hesbı dır. Her dımd değşe h dr rtırılıp + ç + değer hesplır. Ruge-Kutt ötemde + hesbı ç brç dım şlem pılır. Geel delem ; ), ( d d ol br d. Delem ç; ,,,, 6 ), ( h h h h h h h se d d Burd dt edlmes geree ot,, 3 ve 4 hesbı çde değşeler bre h l term dğere se lı termler elemetedr ,,,, 6 ), ( h h h h h h h se d d ÖRN 4:. d d (4)=.75 se (7)=? (h=)

93 ÖRN 5: Devrede (t) ımıı değşm Ruge-Kutt ötem le buluuz. Alt ötem ve EULER le rşılştırıız. t = e I = ve h=. olr lıp ullıız.

94 3- ADAMS Yötem d (, ) d ormud br d. eştlğ çözümü ç brde zl bşlgıç oşulu gere vrdır. Kullıl ot sısı le ortılı olr dımlı, 3 dımlı, 4 dımlı gb rlı pılrı mevcuttur. Not sısı rttıç gerel bşlgıç değer sısı d rtmtdır. d (, ) d ol br d. Delem ç; dımlı 3 dımlı ÖRN-6:. h 3 İl hesplc değer h 3 h İl hesplc değer h 3 d (4)=.75 se (7)=? (h=) d, gereldr. Y (, ), (, ) gereldr., (, ), (, ),, gereldr. Y, ), (, ), (, ) (,, (, ), (, ), (, )

95 ÖRN 7: Devrede (t) ımıı ve Vc(t) odstör gerlm değşm ; - EULER b- RUNGE-KUTTA c- ADAMS Yötemler le dım buluuz. t = e I = ve h=. olr lıp ullıız. Adms ötemde. Bşlgıç değerler olr EULER le bulu değerler ullıız.

96 ÖDEV : Devrede (t) ımıı değşm tüm ötemler le 3 dım buluuzruge-kutt ötem le buluuz. Alt ötem le rşılştırıız. t = e I = ve h=. olr lıp ullıız. Adms ötemde. Bşlgıç değerler olr EULER le bulu değerler ullıız.