REEL ANALİZ Ölüçü Teorisi ve İntegraller Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA

Transkript

1 RL NLİZ Ölüçü Teors ve İerller

2 . TML KVRMLR BÖLÜM Tı.: ve B üeler rsıd rer ve öre r döüşü vrs ve B üelere de üeler vey rer eşlee der. ve B üeler rsıd del B şelde öserlr. Tı.: N ç I... olr ılsı. Br ües ç I se üese solu üe der. Br üe solu değlse sosuz üe olr de edlr. ğer N se üese sosuz syıllr y d ısc syıllr üe der. Boş üe syıllr üe olr ul edlr. Öre.: olduğud se ües syıllrdr. Teore.4: Syıllr üe her l ües de syıllr üedr. Souç.5: N X olr ıl dzs örüü ües ol ües syıllr üedr. Teore İs: syıllr r üe olsu. Böylece ües r dz örüü ües olc şelde şelde llı. B de ües l ües ol üzere B llı. olr ıl y dzs örüü ües B ües olcır. O hlde B ües de syıllr üedr. Teore.6: syıllr r üe se üesde ü solu dzler oluluğu syıllr üedr. İs: syıllr üe olduğud N dr. Bu edele üesde ü solu dzler oluluğu yere doğl sylr üesde ü solu dzler oluluğu olr lılr. Dolyısıyl doğl sylr üesde solu dzler oluluğu ües olsu : ç ç B se B se S :... sl sylr ües ol üzere her doğl syısı 5... y y

3 olr e çde sl sy uvveler solu çrı le öserlelr. Burd her N dr. N osyouu ılylı. osyou her r doğl syısıı ılsıd oluş çrlrı uvveler ol syılrı solu dzs le eşleşeedr. O hlde S oluluğu syıllr üedr. Teore.7: Syıllr üeler syıllr oluluğuu rleş syıllr üedr. İs: Her ç syıllr üe ol üzere dzs değer ües olr öserel. Bu durud C oluluğu syıllr olcır. Dğer yd her ç üelerde dzs değer ües olr lıırs olcır. Bu üeler elelr şğıd düzede yzılr şed öserle o yöler dzede lerledğde ües y üeler syıllr rleşler uluur. Bu ye üe doğl sylr üesyle rer eşlee urulleceğde rleş ües syıllrdr. Öre.8: Rsyoel sylr ües syıllrdr. Göserz. Çözü: Her ç üeler şğıd çde ılylı.... : C ç

4 Her N osyouyl eşlees -öreedr. Böylece ç N ve üeler syıllrdr. O hlde Q olu rsyoel sylr ües syıllr üeler syıllr rleş olr de edleldğde syıllr üedr. Q 4 Öre.9: : rlığıd ü reel sylr ües syıllr değldr. Çözü: Kul edel rlığıd ü reel sylr ües syıllr olsu. Bu durud rlığıd sylr ües şelde llı. İl olr rlığı üç eş rçy ölel. rlılr elde edlr. Bu rlılrı e z rde ele your. Bu rlığı le öserel. Bu durud rlığı yede üç eş rçy ölel. de elde edle rlılrı e z rde your. Bu rlığı d olr öserel. çıç örülüyor dr. Bu şle dev edldğde lı rlılrı r dzs elde edlr. Brr çere lı rlılr dzs e z r or osı vrdır.... llıydı. Dolyısıyl Tı.: ç olsu. O z u osı üese olz. Çüü ell r dıd rlığıı dışıd rlığı sylz. rlığıd ü elelr ües le rer eşlee yılle de üçlü ol her r üeye Couu üe der. Öre.: Key rlığı Couu üedr. Göserz

5 Çözü: y osyouu llı Bu durud u osyo le rlığı rsıd rer eşlee yılldğde rlığı Couu üedr. Öre.: rlığı Couu üedr. Teore. Berse Teore: ües B ües r l üese ve B ües de ües r l üese de üçlü se le B de üçlü üedr. Öre.4: rlığı le rlığı üeler de üçlü üdür? Çözü: se le de üçlüdür. olsu. Her lı rlı rlığı le de üçlü olduğud le de üçlüdür. Dolyısıyl Berse eoree öre rlığı le rlığı de üçlüdür. Öre.5: Çözü: rçzz Grcz rlığı Couudur. Göserz. üçe çz sy rlığıı or osı le rlığıı or osı ve öyle dev edere ü olr yurd şelde olduğu eşleyeleşleyel. Dolyısıyl lı rlığı le lı rlığı rsıd rer eşlee vr olduğud rlığı Couu üedr. çı rlığı le rlığıı de üçlü olduğuu öserel. selczzzzzz Çevres yrısı ol çeer çı rlığı rşılı elr. Dolyısıyl le rlığı rsıd rer eşlee olduğud y reel ese couudur.. İl Rsyoel ve İl İrrsyoel Sylrı lde dlş lı rlığıı llı. Bu rlığı eş rçy ölel ve sold rçy sğd rçyı le öserel. Bu durud ve czzzzzzzzzsy şelde olur. Bezer şelde dev edlere; rlığı ve şelde rçy ve ve şelde rçy ölel: 5

6 olyc u rçlrı uç olrıı her r şeldedr. Burd ve doğl sylr olu dır. Bu uç olrı her re l rsyoel sy der. Y syısı l rsyoel syı der. No: İl rsyoel sylr ües sosuz rsyoel sylr ües l ües olduğud syıllr üedr. Souç.6: ğer r syı l rsyoel syı se o z u l rsyoel syı ell r dıd sor des y he sıırlrl y d rlerle dev ede rlılrd olcır. Öre.7: 8 l rsyoel syısı... ve... şelde rlılrd olcır. Göserz. Çözü: syısı rışlı şelde dz rşılı els. Şd u dzlerde sers öz öüe llı. İl olr rc dz ç u ser ol dır. 8 ÇİZZZZZSYF syısı elde edel. Buu ç Souç.8: Key r syısıı llı. Bu sy l rsyoel syı olsı. Y ölü olrı düşes. rlığıd her syıy rşılı şelde r dz rşılı elr. Burd ler y yd dır. ğer syı l rsyoel se ell r syd sor dz ü elelr y yd olcır. s drde syı l rsyoel ols dz ey. erde sor he he de sylr ol erler le rşılşılır. Bu ür sylr d l rrsyoel sylr der. yrıc her z

7 dr. Tı.9: R olsu. ve r syısı ç ües e çde lıyors y ye r ç osı der. Tı.: R ües ü olr ç o se ye çı üe der. Tı.: R ve olsu. Merez ve yrıç r ol : r çı yuvrıd ües d rlı elelr vrs y l osı der. Teore.: Key syıd çı üeler rleş de çı üedr. İs: çı üeler öz öüe llı. olsu. O hlde ele e z r üese olcır. ües çı olduğud ey osı r ç odır. osı ey olduğud her r ç odır. Dolyısıyl ües çı üedr. Teore.: Solu syd çı üeler r es çı üedr. İs: olsu. Bu durud üeler öz öüe llı. olu ler çı olduğud olr r ç odır. O hlde ü olr ç o olcğıd solu syd çı üeler res çı üedr. No: Sosuz syd çı üeler res çı olylr.öre verz. düşü. rlığıı Tı.4: Br üe ü l olr edse se u üeye lı üe der. ües ü l olrıı ües le öserlr ve ües le l olrıı rleş ışıdır. ışıdır. y : y r

8 Teore.5: Her r çı ües üleye ol ües lıdır. İs: l osı olsu. O hlde osıı ey oşuluğud y : r üesde elelr vrdır. O hlde y ve y olur. Key ç oşuluğud de r ele vrdır. Böylece yuvr üüyle ye olz. Çüü o z ç osı olcır. Bu durud ye üüyle ol çı yuvr uluurdu. Dolyısıyl ç osı olz. O hlde çdedr. Bu durud ey l osı çde olduğud lıdır. Teore.6: Her lı üe üleye çıır. İs: ües lı r üe ve olsu. Kul edel r ç o olsı. O hlde üese olycğıd r l osı olu olur. c olduğud ulüüz ylış olur. Y r ç odır ve ey olduğud ü olr ç o olduğud ües çıır. Teore.7: Solu syd lı üeler rleş de lıdır. İs:... r lı üeler olsu. O hlde De More urlıd olur. Solu syd çı üeler res çı olcğıd çı olcır. O hlde üleye çı ol üe lı olcğıd : : r r : r lıdır. No: Sosuz syd lı üeler ç u eore eçerl değldr.... 8

9 9 Öre.8: ües öz öüe llı. Bu durud

10 BÖLÜM. Ölçü Teors Tı.: Br üe oluluğud her r üey r eşlelş reel syı le eşleye osyo üe osyou der. R ol üzere sıırlı I rlılrıı uzululr se olr de edlr. rlığıd se rlığı uzuluğu dır. li Böylece uzulu e oly r eşlelş reel syıdır. Her r rlı r o ües olduğud uzulu r üe osyoudur. Uzulu vr R R ve dh yüse oyulu Öld uzylrı olylıl eşlelelr. Öreğ ües ollr. R de I rlığıı uzuluğu de r rlı dr. Y ddöre ldır. Bezer şelde düşüülürse R de r rlı rz olu rlığı uzuluğu se rzı hcdr. Geelde R de r rlı ollr. Bu rlığı uzuluğu olr ılır. Bud öyle rlılr de düşüeceğz. Tı.: Uzulu ı ües ü rlılrı oluluğu ol r üe osyoudur. Bu osyou şğıd özelller vrdır. I yrı rlılrı syıllr oluluğu olsu. Y her ç I I se dır. l dır. Souç.: Reel syılrı her şelde de edleleceğde dr. Burd I I y l l I c y I d c R d... :... l I l l l I R I li... li... çı ües yrı ve çı rlılrı syıllr rleş ües uzuluğu li li li...

11 dr. Şdye dr uzulu osyou çı rlılrd ve çı üelerde düşüüldü. Reel sylrı uvve ües üese eşlees ol üe osyouu de edel. Reel syı üeler r oluluğu üzerde ılış ve u oluluğu her r üese e oly eşlelş reel syı rşılı ere üe osyou ol üzere eşlelş reel syısı ües ölçüü üe osyouu d ölçü der. PR olsı duruud Her R ç dır. I r rlı se I li dır. yrı r dzs se syıllr olsldır dır. v öeleeye öre değşezdr. Y y R ç ol üzere dr. Özelllere shr. Tı.4: C P X olsu. C üe oluluğud şğıd oşullr sğlıyors C üese X üesde r üe cer der. B C e B C C e şrlrı sğlıyors C C I I I üese üe cer der. Tı.5: C r üe cer ol üzere C oluluğud üeler her syıllr rleş ye C oluluğud se C oluluğu cer der. Klı üeler solu rleş lıdır. Oys lı üeler syıllr rleşler lı olsı ereeeedr. O hlde lı üeler r cer le lleyors çı ve lı üelerde dh eel ol zı üe ürler de eelyz. Tı.6: çı ve lı üeler syıllr rleş y d syıllr esş olr elde edle üelere Borel ües der. O hlde Borel üeler oluluğu ü çı ve lı üler çere e üçü cerdr. PR y y : y

12 Tı.7: Klı üeler syıllr rleş ol üe olr çı üeler syıllr esş ol G olr dldırılır. O hlde F ı üleye G G ı üleye dır. No: slıd P R üzerde yurd ılış olduğuuz özelllere sh r üe osyou ıl üü değldr. Bu edele dh sor ölülerde cıız reel syı üler r cer ol üzere öeleeye öre değşeye ve her I rlığı ç özellğde syıllr olsl r ölçüü ıl olcır. Le.8 ölçüü ooolu özellğ: ; cerde olsl r ölçü olsu. B ve B se dr F İs: B se B B \ ve B \ olur. Burd d yzılır. B \ olduğud B elde edlr. ılı syıllr Teore.9: C X üesde r cer ve C oluluğud herh r dz se oluluğud ç olc şelde r I dzs vrdır. Öyle l I B B B \ B B B F C dr. İs: dzs erler yrdııyl B B B \... B \... ol B dzs ılylı. C üe cer olduğud ç B... C

13 dr. dzs erler ılsıd ç olcır. dzsde ve erler ol üzere olr de edlr. olcğıd dr ve öylece olcğıd dr. O hlde yrı dzdr. ç olduğud olcır. llı. O hlde ç dr. olr ılrs olcır. Öe yd olur. eleıı ııd dr. O hlde olcır. ve olduğud ve dolyısıyl olcır. Böylece B B B B B B... B... B B B B B B... B B B B B : B... B B

14 4 yzılır. Dolyısıyl ve desde elde edlr. Le. Ölçüü olsllı özellğ: ılı syıllr olsl r ölçü olsu. herh r dz ol üzere dr. İs: Yurd eorede öyle r dzs vrdır olu ç dr. O hlde ç Le.8 de olur. yrıc olduğu öz öüe lıırs olur. yrı dz olduğud 4 dr. O hlde ve 4 delerde elde edlr. Öre.: üeler ölçüler uzululrıı uluuz. B B cerde cerde cerde B B B B B B B B B B B : :

15 5 Çözü: ç olr llı. Bu durud olur. Böylece yzılır. ç ler yrı olduğud yzılır. Burd elde edlr. ç olr llı. Bu durud olur. Böylece... I :... : : I I I l I l I l j I I l I l I l I l l l I l I l... I :... : : : I I I I l I l I l

16 şelde ç çe rlılrd oluşcır. ğer I... I I I I... lırs u durud olcır. Böylece l I l li l : l l dır. Soru.: Soru.: \ : : ües uzuluğuu uluuz. ües uzuluğuu uluuz. 6

17 R. DIŞ ÖLÇÜM BÖLÜM ve çı rlılrı syıllr oluluğu I ües r örüsü olsu. ües öre çı rlılr oluluğuu her seç ç oluluğu oluşur rlılrı uzululr olı oluşur erler sırsıd ğısız olr e r çde ılı ve e oly r reel syıdır. Tı.: R ües dış ölçüü Leesue dış ölçüü ellrı ües öre çı rlılr oluluğuu her r seç ç oluluğu oluşur rlılrı uzululr olı ol üe e üyü l sıırdır. ües dış ölçüü le öserlr. üe osyou d dış ölçü d verlr. Bu ıd olr de edlr. Bu ıd hee örüleceğ şğıd özelller vrdır... B se. se B li : ç I çıçı I 4. Teore. Hee-Borel: F ües reel syılrı lı ve sıırlı l üesyse ües her çı örüsüü r solu l örüsü vrdır. Y C : çıç F ç F : çıç se F olc şelde oluluğuu l oluluğu vrdır. Teore.: Br rlığı dış ölçüü rlığı uzuluğu eşr. Y dır. İs: İl olr ç dır. Dış ölçüü ııd olu her ç doğru olduğud I C... I l I olr llı ve sı u rlı ç ylı. l 7

18 uluur. Şd olduğuu öserel: çı rlılrıı syıllr oluluğu rlığıı r örüsü olsu. Böylece ve olcır. dır. Hee-Borel eoree öre lı rlığı öre I çı rlılr oluluğuu solu r l oluluğu vrdır. Öyle dr. O hlde e z r ç I olcır. Bu özelle çı rlığı le öserel. Y olcır. se dr. I oluluğu rlığıı solu çı rlılr örüsü olduğud e z r ç y vrdır. se olc şelde r I vrdır. Bu şelde dev edldğde oluluğud olc şelde solu r... l dzs elde edlr. Dz oluşuuu lles ç olcır. 5 I l I l I li l I I czzzzzzzzsy9 I Böylece y d l I l... 8

19 l olu ç olu erler old hl edlrse u durud I... li uluur. Dolyısıyl ve olduğud olcğıd uluur. Dğer yd dır. O hlde l l I I li des lı rlığıı her çı rlılr örüsü ç doğru olduğud ç de doğrudur. yzılır. Böylece 5 ve 6 de dır. Şd sı dğer solu rlılr ç ylı: I solu herh r rlı olsu. verldğde e z r J lı rlığı vrdır. Öyle J I ve olur. Dolyısıyl urd d yzılır. l I ç doğru olduğud l I li l 6 I lj I lj J I I li l I I li I l I 9

20 dır. So olr s olsu. Herh r olc şelde yzılır. Burd d olur. N ç eşszlğ doğru olcğıd elde edlr. rlığıı sıırsız rlı olsı duruud ylı. Y reel syısı verldğde lı rlığı vrdır. O hlde Çözülü Proleler Soru : B se B dr. Göserz. Çözü: B olsu. y öre r çı rlılr sse llı. Bu sse yı zd yı d örecer. c yı öre çı rlılr sse vrdır öyle u ssede ler your. Bu ssede çı rlılrı uzululrı olı y rsıd şelde r ğıı vrdır. Dolyısıyl olcğıd elde edlr. Soru : Boş üe dış ölçüüü uluuz. Çözü: Uzuluğu ol çı rlığı llı. Boş üe her üe l ües olduğud u l rlı oş üey örer. Böylece olu J I N l J l I N ve J I I J lj N I N I N I li B I I I l l I l I I l I B ç

21 elde edlr. Soru : rlığıı dış ölçüüü uluuz. Çözü: J olsu. Bu durud oz syı ç J şelde ılylı. J lı olduğu ç olduğuu lyoruz. J J J J olcğıd J J J J olur. ç u eşszl doğru olduğud elde edlr. Soru 4: Te o ües ölçüü dır. Göserz. Teore.4: dr.dış ölçüü olsllı özellğ İs: z r reel syı üeler syıllr r oluluğu se ç J se olcğıd eore doğrudur. ululr u olulu ç ç olsu. verldğde dış ölçüü ııd öyle r I olu I

22 uluur. Böylece ç elde edle olululrı rleş ol oluluğu syıllr üeler syıllr rleş olduğud syıllrdr. yrıc ç olduğud olcır. yzılır. Burd d olduğud uluur. ey olduğud elde edlr. Teore.5: ües syıllr üeyse dır. İs: ües syıllr olduğud I I l I I I I I l I l I R

23 olr de edlr. syısı ç ç çde I... rlılrı ılylı. I ües ııd çıç örüleceğ I oluluğu ües örüsüdür. Y; olur. Böylece I uluur. ç elde edlr.ölçü oz olduğud e olz. Öre.6: Rsyoel sylr ües dış ölçüü yurd eore yısıı yzrız. Öre.7: olduğuu öserz. çı üeyse Öre.8: Te o ües dış ölçüü dır. dır. Göserz. Çözü: e o ües llı. ües r örüsüü olr seçel. Böylece olur. Burd dır. B li ç u eşszl sğlcğıd Öre.9: se B B olduğuu öserz. Teore.: Herh r R ve syısı verldğde O olc şelde r O çı ües ululr. Öyle B lb

24 dr. O O O O... özellğde çı üeler dzs vrdır. Öyle O dr. İs: Verle syısı rşılı ües dış ölçüüü ııd I ve l I olc şelde e z r I çı rlılr oluluğu ululr. ç I çı rlılr olduğud O I ües çıır. Y O olduğud olcır. O li olr llı. O hlde her ç e z r V olc şelde olur. V çı ües ululr eore.ısıd doly V O V olr ılylı. O çı üedr ve ç O dır. yrıc O V olduğud olcğıd O O V V O V 4

25 dzs rıl dzdr. O O O... O V V ve V olduğud olur. Dğer yd olduğud O V O O O... O ve O O olu O O des her ç doğru olduğud dr. Şd 7 eşszlğ ers slylı. Buu ç O 7 O olduğud yzılır. Böylece 7 ve 8 eşszllerde O 8 O elde edlr. 5

26 4. İÇ ÖLÇÜM BÖLÜM 4 Tı 4.: \ syısı ües ç ölçüü der ve u ç ölçü le öserlr. Bu durud u üe ç ve dış ölçüü rsıd ğıısı vrdır. şelde ıllr. ües ç ölçüü dış ölçüüü ıı ezer olr Teore 4.: Br üe ç ölçüü dış ölçüüde üçü y d eşr. Y her z dır. İs: ües ç olduğuu ul edel. Bud doly ç ölçüü ıı ereğce eşlğde eşszlğ ullılırs eşszlğ yzılır. Bu öre l sıırı ıı ereğce ve \ üeler öre ve eşszlğ sğly ve J çı rlılr sse ullrz. ve çı rlılr ües rleş I R j \ su li le öserl. Y : I \ * \ I J I J olsu. Bu hlde yzılır. Burd d R j j I J R I J j j 6

27 j R j 9 elde edlr. Dğer yd olduğud uluur. Bu souç 9 eşszlğ le çelşr. Bu çelş şelde lısıd ler elşr. Öyleyse her z elde edlr. R Teore 4.: B se B dr. j j R İs: B B olduğud B se B dr. B olduğud * j j B B * * B * * elde edlr. Tı 4.4: se üese Leesue lıd ölçülelrdr der. Bu ze ısc ölçülelr üe olr söyleelr. Teore 4.5: olsıdır. İs. ües ölçülelr olsı ç ere ve yeer şr \ ües ölçülelr olduğuu ul edel. O hlde eşlğ vrdır. İç ölçüü ııd yzılır. Böylece vey elde edlr. Terse B \ \ \ 7

28 olduğuu ul edel. Bu eşl olr d yzıllr. yrıc ç ölçüü ııd olduğu düşüülürse olduğu örülür. Dolyısıyl ües ölçülelr üedr. Teore 4.6: ües ölçülelr se ües üleye ol \ d ölçülelr. İs: İç ölçüü ııd ve yzılır. Bu so eşle deer. Böylece \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ olduğud \ ües ölçülelrdr. Teore 4.7: ve ölçülelr üe olsu. Bu durud se dr. İs: \ dr. ve ölçülelr olduğud \ ve \ üeler de ölçülelrdr. Böylece dr. Burd d olu elde edlr. \ \ \ \ \ \ \ 8

29 9 Teore 4.7: Her ç ve se dır. İs: olduğud dır. Böylece dış ölçüü ııd yzılır. Burd d elde edlr. Böylece olur. Her ve ües ües rıd sdığı ç yzılır. ües ç ölçüü olr düşüülürse elde edlr. Teore 4.8: ğer r üe dış ölçüü se y se ües ölçülelrdr ve olur. İs: Her üe ç ölçüü dış ölçüüde üçü y d eş olduğud yzılır. olduğud elde edlr. Bu d ües ölçülelr olduğuu öserr. Y j j \ \ \ \ \ ] \ [

30 olur. Teore 4.9: Herh ve B ües ç B B dr. İs: yzılır. olur. B olduğud se B se u durud B B olur. Böylece ve de B B B B B B B B B B B B elde edlr. Öre 4.: se B B olduğuu öserere r öre verz. Çözü: dr. yzılır. Böylece olduğud olur. Böylece yzılır. olduğud dr. B sıd B B B B B B B B B B

31 Öre 4.: Q ve B R \ Q olr lıırs dr. Öre 4.: Rsyoel syılrı herh r l ües ölçülelr olduğuu öserere ölçüüü uluuz. Çözü: yzılır. uluur. olduğud elde edlr. olduğud dır. olsu. Bu durud olduğud ües ölçülelrdr ve u üe ölçüü Öre 4.: lı rlığıd rrsyoel syılr ües ölçülelr olduğuu öserz ve u ölçüü değer uluuz. Çözü: lı rlığı ölçülelr ve ölçüü u rlığı uzuluğu eşr. lı rlığıd rsyoel syılr ües ölçülelr ve ölçüü dır. Bu rlı rsyoel syılr ües u rlığ öre üleye u rlı rrsyoel syılr üesdr. Böylece lı rlığıd rrsyoel syılr ües ölçülelrdr. lı rlığıd rsyoel syılr ve rrsyoel syılr ües B le öserlrse elde edlr. Q Öre 4.4: Coor ües ölçülelr olduğuu öserz. Çözü: İl olr Coor ües elde edel. Buu ç lı rlığıı üç eş rçy ölel ve çı rlığıı lı. Gerye l lı rlığı ve lı rlılrı yede üç eş rçy ölel ve u rçlrı or ısıd çı rlılr lı. Bezer şelde dev edlere Q R Q R \ Q Q R \ Q R \ Q Q B B

32 elde edlr. Bezer şelde T T yzılır. Bu şelde üçe öle şlelere dev edlere durud Coor ües ı T T T... üeler uluur. Bu şelde ılır.. s e. s e. s e lı üe vrdır. Bu şelde dev edldğde. s e lı rlı olcır. D edlrse. s r r uzuluğu ısı ılışır.. ölüü ısı ılış. ölüü ısı ılış ve dev edlere. s dr r uzulu ılışır. Böylece Coor ües ölçüü elde edlr. T. T T.

33 5. ÖLÇÜLBİLİR KÜMLR BÖLÜM 5 Dış ölçü ü reel syılr üesde ılı c syıllr olsl değldr. Bu ölüde dış ölçüü syıllr olsl özellğ sğlleceğ PR oluluğu r l oluluğu ılc ve u oluluğu elelrıı zı özelller celeecer. Öre 5.: Borel lıd ölçülelr her üe Leesue lıd ölçülelr dr? Çözü: vey üeler rer Borel üesdr. ües sıırlıys... ol leşe üeler de sıırlıdır. Bu üeler lılı özellğde oldulrıd ölçülelrdr. Tı olr sıırlı ol Borel üelere Borel lıd ölçülelrdr der. Dolyısıyl Borel lıd ölçülelr her üe Leesue lıd ölçülelrdr. No: Leesue lıd ölçülelr her üe Borel lıd ölçülelr olsı ereez. Tı 5.: R ç eşlğ sğly üese Leesue ölçülelr üe der. olduğud dış ölçüü olsllı özellğde eşszlğ vrdır. O hlde R ç olduğuu ösere yeerldr. ües ölçülelr üe olduğuu ösere ç her r Ölçülelr üe ııd ve üelere öre ser olduğud ües ölçülelr se ües de ölçülelrdr. yrıc ve üeler ölçülelr se ölçülelr üelerdr. olsu. Bu durud ç olduğud ve R üeler ölçülelr üelerdr. Bud öyle ölçülelr üeler oluluğuu le ösereceğz. Teore 5.: se ües ölçülelrdr. R \ R R

34 4 İs: olsu. olduğud yzılır. olycğıd olur. Dğer yd olduğud olur. ç olcğıd ües ölçülelrdr. Teore 5.4: ve ölçülelr ües se de ölçülelrdr. İs: olsu. ölçülelr olduğud eşszlğ vrdır. ölçülelr olduğud ölçülelr üe ıı öre eşlğ vrdır. eşlğde çelere eşlğde yere yzılırs yzılır. Dış ölçüü olsllı özellğde yzılleceğde R R ve R

35 olduğud ües ölçülelrdr. Souç 5.5: ve ölçülelrse de ölçülelr üedr. Teore 5.6:. ües ölçülelrdr.... ölçülelr üeler olduğu öre. İs: ües ölçülelrdr.. solu rleş ües ölçülelr olduğuu öserel: ve üeler ölçülelr olduğud edede doly ües ölçülelr olduğu örülür. ües de yurd eorede doly ölçülelrdr. yı ües de ölçülelrdr. Bezer şelde dev edldğde. solu esş ües ölçülelr olduğuu öserel. Buu ç dr. Sğ r üe. de doly ölçülelr olduğud Souç 5.7: Ölçülelr üeler oluluğu r üe cerdr. de ölçülelrdr. Teore 5.8: R ve ölçülelr üeler solu yrı dzs se dr. 5

36 6 İs: dr. ölçülelr olduğud ölçülelr üe ııd eşlğ yzılır. dzs yrı dz olduğud u dey yurd delede yere oyrs dr. Dğer yd ve ölçülelr olduğud olur. ler yrı olduğud olcğıd dr. Yurd şleler ezer çde dev edldğde yzılır. Böylece R R 4...

37 7 uluur. Y elde edlr. olsı duruud şğıd souc vrılır. Souç 5.9Solu olsllı: ölçülelr üeler solu yrı dzs se elde edlr. Teore 5.: Ölçülelr üeler oluluğu r Leesue cer İs: oluluğuu r üe cer olduğuu lyoruz. O hlde öserles eree e şey ölçülelr üeler syıllr rleş de ölçülelr üe olduğudur. İs l olr oluluğud ölçülelr üeler yrı dzs ç ylı. Bu durud olr ıl üe ölçülelr üedr. Göser sleşre ç ılsıı ylı. Böylece ve dr. ve ölçülelr üe olduğud yzılır. Dğer yd olduğud olur. Dolyısıyl olduğud... R. cerdr F F F R F F F F F F F

38 8 yzılır. yrı dz olduğud yurd eorede uluur. Bu de her ç doğru olduğud elde edlr. Bu d ües ölçülelr olduğuu öserr. Y dr. Şd sı oluluğud ey r dzs ç ylı. dzs yrdııyl yrı dzs ıllr. Bu dz erler olr de edl ç olduğud dr. yrıc dır. Yurd yrı dz ç yıl s dolyı dr. Böylece ölçülelr üeler oluluğu r \... \ cerdr.

39 Teore 5.: Her R ç ües ölçülelrdr. İs: R olsu. üeler ılylı. olduğuu ösere yeerldr. se eşszl doğrudur. ües ölçülelr olduğuu sl ç olsu. verldğde ües çı rlılr örüsü oluluğud örüsü ç I sğlır. Dğer yd her ç ve ] l I rlılrıı ılylı. dr. Böylece vey yzılır. Dğer yd I I I I l ve I I ] l ve I I I li li I I I I ve olur. Böylece olduğud ve I I I I ] ] I ve I I I 9

40 4 yzılır. olu dır. Dğer yd olduğud uluur. Her ç u eşszl doğru olduğud elde edlr. Bu d her ç ües ölçülelr olduğuu öserr. I I I I I I I I I l I l R

41 6. LBSGU ÖLÇÜMÜ BÖLÜM 6 Bud öce ölüde dış ölçüüü ölçülelr üeler oluluğu üzerde solu olsl yısıı vrlığıı öserd. Böylece ısılsıı olr de edel. Böylece dr. Şd ç dış ölçüüü ölçülelr üelere üe osyouu öel özellğ şğıd eorelerle slylı. Teore 6. l olsllı özellğ: / dır. Her ç ve cer olduğud ölçülelr üeler r dzs olsu. olu üe osyou ıı ereğce elde edlr. Teore 6. Syıllr olsllı özellğ: se dır. ölçülelr üeler yrı r dzs İs: ölçülelr üeler solu yrı dzs olsu. Böylece dış ölçüü solu olsllı özellğde vrdır. üe osyou ıı ereğce dır. Şd ölçülelr üeler yrı r dzs olsu. Böylece 4

42 4 olcğıd yzılır. Bu eşszl her ç doğru olduğud 4 olur. Dğer yd yurd eorede 5 dr. Böylece 4 ve 5 de elde edlr. Souç 6.: olr ıl üe osyou syıllr olsl ölçüdür. Tı 6.4: üe osyou Leesue ölçüü der. Şd ölçüüe lş zı özelller verel: Teore 6.5: ölçülelr üeler zl sosuz r dzs olsu. Y ç ve se dr. İs: şelde llı. dzs yrı dzdr. yrıc dır. O hlde vey / / l \ ve F F F \ F F \ \ \

43 yzılır. O hlde ve dr. olcğıd ve olduğud olduğud dır. olduğud ç olur. O hlde \ \ ve \ \ \ \ \ yzılır. Böylece eşlğ y d yzılır. y dr. olduğud Öre 6.6: ve ölçülelr üeler se \ \ \ l l l l 4

44 olduğuu öserz. Çözü: ve ölçülelr üe olduğud ve dr. Bezer şelde ve \ \ \ \ olduğud ölçüüü yrı üeler rleş ol ve üelerde değer sırsıyl \ yzılır. Böylece yzılır. Burd \ \ ve üeler yrı üe olduğud olur. Dolyısıyl olcğıd u so eşl 6 de yere yzılırs elde edlr. Öre 6.7: ç olduğu öre \ ües Leesue ölçüüü uluuz. Öre 6.8: ç \ \ \ \ \ \ I \ I 6 44

45 olduğu öre I ües Leesue ölçüüü uluuz. I 45

46 7. ÖLÇÜLBİLİR FONKSİYONLR BÖLÜM 7 Tı 7.: ölçülelr r üe ve de u üe üzerde ılı ve reelerçel değerl r osyo olsu. ğer ey K syısı ç ol değerler ües ölçülelrse osyou üesde Leesue lıd ölçülelr vey ısc ölçülelr osyo der. Br osyou ölçülelrlğ ısc şelde de edlr. Öre 7.: osyou ölçülelr olduğuu öserz. Çözü: K olsu. Bu durud dr. ües ölçülelr olduğud K ölçülelrdr. olsu. Bu durud dr. ües ölçülelr olduğud K ües ölçülelrdr. olsu. Bu durud dr. ües ölçülelr olduğud K ües ölçülelrdr. olduğud osyo ölçülelrdr. ües ölçülelrdr. Dolyısıyl verle Öre 7.: rlığı üzerde osyouu ölçülelr olduğuu öserz. K : K vey K K K K K K K Çözü: Burd K değer değşçe sosuz syd ölçülelr üe elde edlr. Böylece : K dr. Ölçülelr osyou ıı de ol şğıd ılrı verel: 46

47 Teore 7.4: osyouu ües üzerde ölçülelr olsı ç ere ve yeer oşul ey K syısı ç : K K ües ölçülelr olsıdır. İs: ğer osyou ües üzerde ölçülelrse ey K syısı ç K ües ölçülelrdr. Ölçülelr r üe üleye de ölçülelr olduğud K ües üleye ol K ües de ölçülelrdr. Terse K ües ölçülelr se u üe üleye ol K ües de ölçülelrdr. Bu d osyouu ölçülelr olduğuu öserr. Teore 7.5: osyou ües üzerde ölçülelr olsı ç ere ve yeer oşul ey K syısı ç K ües ölçülelr olsıdır. İs: osyou ües üzerde ölçülelr olduğud ey K syısı ç K ües ölçülelrdr. Dolyısıyl... ç K ües de ölçülelrdr. Ölçülelr üeler syıllr syd esş de ölçülelr olduğud ües de ölçülelrdr. Terse olr K ües ölçülelr olduğuu ul edel. Bu öre... ç K ües de ölçülelrdr. Ölçülelr üeler syıllr syd rleş de ölçülelr olduğud ües de ölçülelrdr. Y eşlğ doğru olduğuu öserel. osyou ölçülelrdr. olsu. Bu durud olu w syısı ç dır. N doğl syısı vrdır N ç w vrdır. Burd d olduğud K K ve K K olcır. Dolyısıyl K K K K K K K K w K w K K K 47

48 uluur. Terse olr olu olduğud olur. Öre 7.6: rlığı üzerde Drchle osyouu ölçülelr olduğuu öserz. Çözü: K ve K D K K K rsyoel rrsyoel D K K ç K ç D K Q D K Q K ç hes ölçülelr olduğud Drchle osyou ölçülelrdr. Teore 7.7: osyou ües üzerde ölçülelr ve B se osyou B ües üzerde de ölçülelrdr. İs: B olduğud B ç olur. osyou ües üzerde ölçülelr olduğud ey r K syısı ç ües de ölçülelrdr. B ye ol olr üese de olduğud ües de ölçülelrdr. Bu d osyouu B ües üzerde ölçülelr olduğuu öserr. Teore 7.8: osyou ve üeler üzerde ölçülelrse üeler üzerde de ölçülelrdr. K ç D K } { : K B : K \ \ ve 48

49 İs: osyou ve üzerde ölçülelr olduğud ey ve syılrı ç üeler ölçülelrdr. Böylece üeler ölçülelrdr. Y osyou \ ve \ üzerde ölçülelr osyodur. olduğud osyou üzerde ölçülelr osyodur. Teore 7.9: osyou ües üzerde ölçülelr olsı ç ere ve yeer şr herh K K reel syısı ç Kües ölçülelr olsıdır. İs: ües üzerde ölçülelr olsu. O hlde ölçülelr osyou ı ereğce herh ve K reel sylrı ç üeler ölçülelrdr. Ölçülelr üe res de ölçülelr olduğud ües de ölçülelrdr. Terse K K ües ölçülelr olsu. O hlde K ües ölçülelrdr. Y osyou ües üzerde ölçülelrdr. Teore 7.: osyou ües üzerde ölçülelrse üeler de ölçülelrdr. K ve : K : : K ve \ \ K : K \ \ K K İs: osyou ües üzerde ölçülelr olduğud herh r K doğl syısı ç K ües ölçülelrdr. Ölçülelr üeler syıllr syd esş de ölçülelr olduğud K K ve K K K K K K ües de ölçülelrdr. K K K K 49

50 Teore 7.: osyou syıllr syd... üeler üzerde ölçülelrse osyou ve üeler üzerde de ölçülelrdr. İs: osyou... üeler üzerde ölçülelr olduğud herh K K K... reel sylr ç üeler ölçülelrdr. Böylece ve üler ölçülelrdr. Y osyou ve üeler üzerde ölçülelrdr. Teore 7.: ve osyolr ües üzerde ölçülelr se ües ölçülelrdr. İs: Her ç olc şelde her z r rsyoel syısı ululr. ve osyolr ües üzerde ölçülelr olduğud üeler ölçülelrdr. Böylece ölçülelr üe res de ölçülelr olcğıd ües ölçülelrdr. r olc şelde ü rsyoel ol sylr üzerde lıc rleş ç eşlğ yzılır. r rsyoel syılr ües syıllr olduğud 7 eşlğ rc y syıllr syd ölçülelr üeler rleş olduğud ölçülelrdr. Dolyısıyl 7 eşlğ c r ol ües ölçülelrdr. K : : K... K K K K... : K K K K... : r r ve r r r r r r r 7 5

51 Teore 7.: S osyo ölçülelrdr. İs: : c K olc şelde K reel syısı her z ollıdır. Dolyısıyl ües ölçülelr olcğıd s osyou ölçülelrdr. Teore 7.4: osyou ües üzerde ölçülelr se herh r c reel syısı ç osyou d ölçülelrdr. İs: osyou ües üzerde ölçülelr olduğud ölçülelr üe ı ereğce ües ölçülelrdr. Böylece ües de ölçülelr olcğıd c osyou ües üzerde ölçülelrdr. Teore 7.5: osyou ües üzerde ölçülelrse herh r c syısı ç c. osyou d ües üzerde ölçülelrdr. İs: c ç ües ölçülelr olduğud c ç ües ölçülelr olduğud Böylece her üç durud ües üzerde ölçülelrdr. ües üzerde ölçülelrdr. s osyo olcğıd ölçülelrdr. ües üzerde ölçülelrdr. Teore 7.6: ve ües üzerde ölçülelrse osyou d İs: Herh r c ç c ües üzerde ölçülelrdr. K reel syısı ç : c yzıllr. F K değer r s olr düşüülürse yurd eşlğ c yı ölçülelr olduğud u eşlğ rc y ol c c K c c K K c K c c K c c K c K c K K 5

52 ües de ölçülelrdr. Y osyou ües üzerde ölçülelrdr. Teore 7.7: osyou ües üzerde ölçülelrse osyou d ües üzerde ölçülelrdr. İs: osyou ües üzerde ölçülelr olduğud herh r K ç K ve K üeler ölçülelrdr. Bu üe rleşde ölçülelr olcğıd K K K ües de ölçülelr olcğıd osyou ües üzerde ölçülelrdr. Tüevrıl oz syı ol üzere osyou d ües üzerde ölçülelrdr. Göserz. Teore 7.8: ve osyolr ües üzerde ölçülelrse. osyou d ües üzerde ölçülelrdr. İs: olr yzılleceğde eşlğ sğ r yurd eorelerde dolyı ölçülelr olduğud osyou d ölçülelrdr. Teore 7.9: ve osyolrı ües üzerde ölçülelr ve se ües üzerde ölçülelrdr. İs: İl olr osyou ües üzerde ölçülelr olduğuu öserel. ve osyou ües üzerde ölçülelr olduğud eşller rc ylrıd üeler eş olduğud c r üeler de ölçülelrdr. Böylece ües üzerde ölçülelr olduğud osyou d ües üzerde ölçülelr olcır. K osyou d 4 K K. K K 5

53 Teore 7.: osyou ües üzerde sürelyse u üe üzerde ölçülelrdr. İs: Herh r reel syısı ç ües öz öüe llı. ğer osı u üe l osı se osıı her oşuluğu olc şelde olrıı sr. osyou osıd sürel olduğud y olduğud dır. O hlde osyou le osyou rrlere yeer dr yı olduğud dır. Böylece osı üese olur. ölçülelr olduğud ües l osıı sdığıd lıdır. Klı üe ües ölçülelrdr. Ölçülelr üe üleye de ölçülelr olduğud K ües üleye ol ölçülelrdr. Dolyısıyl osyou ües üzerde ölçülelrdr. Teore 7.: osyou ües üzerde ölçülelr ve G ües de çı olsu. O hlde ües de ölçülelrdr. İs: K çı rlılr ol üzere şelde llı. osyou ües üzerde ölçülelr olduğud I K K K K G K K K G I 5

54 üeler ölçülelrdr. Ölçülelr üeler esş de ölçülelr olduğud ües de ölçülelrdr. Böylece ölçülelr üeler syıllr syd rleş de ölçülelr olduğud ües de ölçülelrdr. Teore 7.: Solu ölçülü ües üzerde e oly osyou ölçülelr ve d se osyou hee hee her yerde sıırdır. Y osyou hee hee her yerde sıır osyodur İs: Teore s ç dır. ües llı. Bu durud yzılır. olduğud olycğıd ollıdır. Her ç dır. ve ües llı. Burd ölçüü olsl özellğde I I d d d. G dır. Burd olycğıd elde edlr. 54

55 BÖLÜM 8 8. İNTGRLLR Bu ölüde l olr ısc Re erl ııı ve ssız olr d öel eel özelller vereceğz. Dh sor Leesue erl ıı ç öel ol s osyolr verlece ve Leesue erl vrlı eore sı ç öel olcğıd Re-Selejes erl verlere öel rç eel özelller sı yılcır. Dh sor sıırlı vrysyolu osyolr ılr ol vrysyolu osyolrı eel özelller verlecer. so olr d erller yıslığı ç öel r rol oyy rç yıslı ıı ve rlrıd eel lşler verlecer. İl olr Re erl ıı le şlylı. 8. RİMNN İNTGRLİ d ılı ve sıırlı herh r osyou llı. ı olrıyl herh r urllu url T le öserel.üçü rçlr yırı her rlığıd ey osıı seçel. Seçlş od osyou değer u rçı uzuluğu le çrı ü öle üzerde olıı oluşurlı. olı d osyou T ölese rşılı ele Re ol vey erl ol der. T öles ç olr seçel s Tı 8.: ı l rlılr yrılışı ve u l rlılrd olrıı seçe ğlı old d olıı l vrs e d erlleele u le de d elrl erl vey Re erl der ve le öserlr. d d l s l dır. Tıldığıız elrl erl vr sürel osyolr ç l ez Cuchy rıd verlş sord Re rıd eelleşrlşr. Belrl erl ıd ullıl l vrlığıı rşırılsı ço öeldr. Bu çl üzerde herh ölüsüü llı. M osyouu rlığıd. ve su. olsu. 55

56 Tı 8.: ollrı u öleye l ve üs ollr der. olcğı lşıldır. Bu yüzde ord l vrlığı ç olsı hlde s ve S yı L le ğ ösere yeerl olcır. Bu çl l ve üs old ll şğıd eore ssız olr verel. Teore 8.: s S l ve üs ollrı sh r ölüsü ölüye ye olr eleere cellrse y ölüü s S ollrı eşszlğ sğlr. Teore 8.4: ı ü ölüler öz öüe lıdığıd l ol üs old d üçüür. osyou d sıırlı olduğud ve M erçel syı üeler olduğud üü l ollr ües I r sureuu üü üs ollr ües de I r uu vrdır. Teore 8. ye öre herh r ölü ç olur. y osyouu d l erl de osyouu d üs osyou der. Şd l ve üs ollrl l ve üs erller rsıd lşy ory oylı. Teore 8.5: olur. s s l ü ölüler öz öüe ldığıızd s ve S S s S S s I J S M I J l s I ve l S J Yurd llerde yrrlr erlleelrl oşullrıı ory oy eore verelrz. Teore 8.6 Dru: d sıırlı osyou u rlı erlleeles ç ere ve yeer şr l ve üs erller eş olsıdır. Bu durud dır. d I J 56

57 Teore 8.7: sıırlı osyouu u rlı erlleelr olsı ç ere ve yeer oşul her syısı rşılı ı r ölüsüü S s olc şelde ululesdr. Öre 8.8: Md erl heslyız. Çözü: M olduğud ey r T ölüsü ç S M M olur. Burd d M... M dır. l S M y Md M Öre 8.9: s d erl heslyız. Çözü: y s osyou rlığıd sürel olduğud u rlı erlleelr. Y s d erl vrdır ve u erl değer ç rlığı üçü rçlr yırlı ve olrıı seç u url ğlı değldr. Bu edele rlığıı h olrıı yrdııyl syd eş rçlr yırı h h olr u rçlrı sğ uç olrıı ul edel. o z osyou rlığıd erl ol s s. s h h s şelde yzılır. Burd s s s... s S s h sh s h sh... s h 57

58 olur. So eşlğ sğ rı h.s le çrı ölel. olur. Burd S orülüü ullr h S.s h.s h h h h h.s.sh.s.s h....s.s.s cos cos h h h 5h cos cos cos cos... cos.s h h cos h h.s h h cos cos h h s h h cos cos So eşle h y h ç le eçerse h olur. Burd h l h s d l S cos cos h h h s h l h s h h h l cos ve l cos h h h l cos. l cos. 4 olduğuu öz öüe lırs elde edlr. cos. 4 s d 58

59 8. Çözülü Proleler Soru l? l hesl ç osyouu rlığıd elrl erlde yrrlcğız. Buu ç rlığı eş rçy ölel ve olrıd l rlılrı sğ uç olrı llı. Bu öre h h.. olu elrl erl ıı öre l l d rc uluur. Soru osyouu hesı eel eoree öre l heslyıız. rlığıd erl öz öüe llı. Bu öre erl uluur. Şd u erl r olı l olr düşüel ve rlığı eş rçy öldüe sor l rlılrı sol uç olrı olr lıırs h h.. olcğıd elde edlr. Soru l? l l heslyıız rc rc 4 d d l l? d rcs 4 59

60 olur. rlığı eş rçy öldüe sor l rlılrı sğ uç olrı olr lıırs h h.. olcğıd 8. Re-Seljes İerl Tı 8.: ı P r rçlsıı llı. rlığıı uzuluğu ol üzere olsu. Böylece üzerde zly osyou ç şelde ılır. Tı 8.: osyou d sıırlı ve zly r osyo olsu. Bu durud verle P rçlsı ç osyouu rlığıd sureuu ol üzere y ç olı osyouu y öre üs Re-Seljes ol der. Bezer olr osyouu rlığıd uu ol üzere y ç dır. y öre l Re-Seljes olıddır. ve e oldığıd herh r P rçlsı ç Tı 8.: P ve ı rçlsı olsu. P P se P ye rçlsı de dh cedr der vey dh sıır der. P M P P : U su P; : L P;. L P; UP; 6

61 No: P P se rçlsı le oluşuş her l rlı P de oluşuş l rlılrı sr. Öre 8.: P rlığıı rçlsı 7 P ve P olsu. P P olduğud P P de dh cedr. P ve P 4 olduğud P P dr. Teore 8.4: P P se L P LP ; ; dır. İs: İl olr ul edel P ı r rçlsı ve de rçlsı r z osı verlere oluşuş r rçl olsu. ve U P UP; ; P P... z... P P dr. Şd u rçl üzerde l ve üs ollr ullı. Burd üs ol elde edlr. Bezer şelde l ol d elde edlr. rçlsı ç U P P ; M j j j ve U P ; j M j M z dr. Burd ve M z M j M su : j z j 6

62 M su : z dr. Dolyısıyl M M M j olduğud U P ; M M z j j j j U elde edlr. No: ve su olr llı. O hlde se ç dır. Çüü lr l sıırdır. ç olc şelde e z vrdır. Çüü l rlılrı e üyüğüdür. ğer hçr ele y sğlsydı üü elelr ç olurdu. Bu se ı r l sıır olduğuu de eder. Hlu u l sıır e üyü l sıır olr ul edle syısıd dh üyüür. Bu d olz. su se ç dr. ç olc şelde vrdır. Tı 8.5: P ve rlığıı herh rçlsı se P ve P de or olr oluşuş P rçlsı u rçlı çsel rleş der. Souç 8.6: ve rlığıı herh rçlsı olsu. Bu durud dır. İs: P P ve P de oluşuruluş r rçl olsu. Bu durud yurd Teore de P ve P P olduğud P elde edlr. P P P L L M j j P ; M Tı 8.7: üzerde y öre osyouu l Re-Seljes erl şelde ılır. Bezer olr üzerde y öre osyou üs Re- Seljes erl j P UP ; ; P LP; UP; UP ; ; L d su L P; deüp ler ç j j 6

63 şelde ılır. üçü üs sıır ve e üyü l sıır ııd herh r dr. Tı 8.8: l ve üs Re-Seljes erller rre eş se üzerde Re-Seljes erl vrdır. osyou ç osyou Teore 8.9: y öre osyou R-S erl vr olsı ç ere ve yeer oşul ç ı herh r P rçlsı ç olsıdır. U d U U P; ç öyle r sğlır. ey olduğud üs ve l R-S erller rre eşr. Şd eşszlğ erel olduğuu öserel. olsu. Üs olı uu ol üs R-S erl ııd rlığıd öyle r P rçlsı ululr deüp ler ç L d U d P; LP; İs: Kul edel eşszlğ sğlsı. Bu durud rçlsı vrdır U d L d UP; LP; d UP d ; P dr. Bezer olr P rçlsı ç d LP ; d dr. P P ve P rleş olsu. Bu durud so eşszle P P ve P U U P; LP; P ; LP ; P elde edlr. d d 6

64 Teore 8.: d sürel se y öre R-S erl vrdır. İs: d sürel olduğud düzü süreldr. Y y olduğud y olc şelde vrdır. Kul edel P dır. Bu durud M... U P; LP; olur. Böylece özel olr seçel elde edlr. Bu d sürel vr olduğuu öserr. osyou R-S erl Teore 8.: üzerde osyou ooo ve sürel se osyouu İs: y öre R-S erl vrdır. osyouu ooo r olduğuu ul edel. Bezer şelde ooo d sürel olduğud düzü süreldr. Dolyısıyl olduğud olc şelde e z r syısı vrdır. Böylece osyou ooo r olduğud olur. Dolyısıyl M zl ç de yılır.... M ve P 64

65 olur. Tı 8.: üzerde y öre osyou R-S ol şelde ılır. Burd rlığıddır. Souç 8.: Kul edel osyou üzerde R-S erl vr olsu. Bu durud öyle r c syısı vrdır. Öyle syısı ç P P P olc şelde ı öyle r P rçlsı vrs u durud vrdır. Dolyısıyl dır. 8.4 Re-Seljes İerl Özelller Teore 8.4: ve zly ve ve osyolr ve ye öre R-S erller vr olsu. Bu durud c reel syısı ç U P; LP; M P; U... P; L R ; P c R P; l RP; P d c d dc 65

66 66 4 ç 5 dr. İs: zly olduğud üs ve l R-S olıd olu l old ezer şelde olur. Dolyısıyl olcğıd erl vr ve öylece d d d d d d d d d d c c. c P U c M P cu M c cm c P U ; ; ; c P L P cl c P L ; ; ; ; ; c P L c P U

67 67 olu elde edlr. dr. Böylece yzılır. olsu. ve osyolrıı R-S erller vr olduğud öyle ve rçllr vrdır c c c P R ; c c d c P R P ; l M M M ; ; ; ; ; ; P U P U M M M M M P U P L P L P L P P ; ; P L P U

68 68 vrdır. ve rçllrı or oluşuş r rçl olsu. Bu durud elde edlr. Dolyısıyl osyou y öre R-S erl vrdır. olduğud ç elde edlr. olsu. Bu durud şelde lıırs olu ç elde edlr. 4 ç ; ; P L P U P P P ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; P L P U P L P U P L P U P L P U P L P L P U P U P L P U P R ; P P d d d

69 69 olu ç dr. 5 olduğud 4.özelle de elde edlr. olduğud elde edlr. Teore 8.5: osyou d y öre R-S erl vrs u durud rlığı üzerde de R-S erl vrdır. yrıc se dır. İs: üzerde ve rlığı üzerde olr llı. Bezer olr ç ve üzerde de olsu. O z osyou zly olu dr. Dolyısıyl elde edlr. Burd d P d d d d d d d : su d d d c c d d d c c c c s c c c c j j d d d d c c ve

70 7 dr. Teore 8.6: üzerde ooo r ve sıırlı se osyou y öre R-S erl vr olsı ç ere ve yeer oşul ı Re erl vr olsıdır. Bu durud dır. İs: erle rşılı ele R-S ol 5 dır. olduğud orl değer eorede yzılır. Bu so eşl 5 de yere yzılırs elde edlr. Teore 8.7 Kıs ersyo: ve sürel ve zly olsu. Bu durud dır. İs: Yurd eorede d d d d d c c d d d d P l d d P l d d

71 7 olu sğ Re erl ç ıs ersyo uyulırs elde edlr. Öre 8.8: üzerde r ve osıd sürel olsu. Bu durud osyouu y R-S erl vr ıdır? Vrs erl değer uluuz. Çözü: ı ü rçllr ç olduğud uluur. Dğer yd doğl syısı ç rçlsı llı. Bu durud ey olduğud olur. osyouu R-S erl vr ve dır. d d d d d P ; P L d L P M P U ; d U d

72 7 Öre 8.9: üzerde olsu. Bu durud rçlsı ç Çözü:. Öre 8.: rlığı üzerde ve olsu. Bu durud erl R-S erl ıı ullr heslyıız. Çözü: rlığı ey r rçlışıı şelde llı. Bu durud olur. Böylece ç l lıırs elde edlr. Bezer olr l R-S erl ç I P? P P 5 d 5 5 P P ; M P U d U d

73 olur. Dolyısıyl l ve R-S erller ç elde edlr. rrsyoel Öre 8.: : R olduğu öre rsyoel d q q erl heslyıız. Çözü: osyou rlığı üzerde rğ öz öüe lıırs y osyou her rrsyoel osıd süreldr c rsyoel olrd süreszdr. ğer rlığıd lıırs osyou y öre R-S erl vr ve dır. Öre 8.: 5 rlığı üzerde ve olsu. Bu durud erl heslyıız. Çözü. 5 üzerde ooo r ve sıırlı olduğud Teore de dolyı elde edlr. Teore 8.: rlığıd sıırlı ve zly olsu. c ç c üzerde F ı ürev ve l F F c vr c rlığıd G ı ürev ve l G G c vr v se dır. d y c ı süreszl osı c osıd sürel 5 5 d d Öre 8.4: e ve olsu. Bu duru d 5 erl heslyıız. 5 d d d Çözü: rlığıd osyou ve olrıd süreszdr. Dğer yd osyou her yerde süreldr. Böylece yurd eore uyulrs c c F c F c c c G G c 5 d 7

74 e e olr elde edlr. Öre 8.5: ve olsu. Bu duru d erl heslyıız. Çözü: rlığıd osyou osıd süreszdr. Dğer yd osyou her yerde süreldr. Böylece yurd eore uyulrs olr elde edlr. Öre 8.6: Öre 8.7. ç d c r ve c s ol üzere d e d e d osyou verls. Bu durud e d ç? e d s d cos cos r d 5 d c ç r l ve üs sıır d s d yısır oldulrıı öserz. Çözü. u llı. Bu durud 74

75 75 yzılır. erle r üs sıır ul ç le yer değşrrse ç elde edlr. Böylece elde edlr. yrdııyl olur. olsu. O hlde ç ve du u u du u u u u du u u d / / / / 4 cos cos cos 4 cos cos s s du u u / 4 cos u cos 4 4 cos / / u du du u u du u u 4 cos cos cos / du u u du u u / / 4 cos cos cos cos 4 cos cos cos du u u r / 4 cos cos cos

76 76 dır. Dolyısıyl ve s elde edlr. Öre 8.8. ve olsu. rlığıı r rçlsı ç olduğuu öserz. Çözü. rçlsıı öz öüe llı. O hlde ve du u u 4 cos / c r c / / P 4 P L P U 5 5 P su 5 5 su 5 su M M M

77 / / 5 / dır Dolyısıyl / U P L P M M elde edlr. Öre 8.9. Kul edel : sürel ve her ç olsu. üzerde ç r üs sıır uluuz. Çözü rlığı üzerde sürel ve rlığıd dersyelleelr olduğud orl değer eore sğlır. Böylece her r ç öyle r c vrdır R 5 dır. O hlde c c. c c olduğud elde edlr. Böylece üzerde ç r üs sıırdır. 8.5 Leesue İerller osyou üesde ölçülelr ve sıırlı olsu. Re erller vrlığı ç sıırlılı erer. D Drchle osyou d sıırlı ve ölçülelrdr. F Re erl your. D rsyoel c rsyoel 77

78 ı şelde rçlylı. Her lı rlığıd rsyoel olrı seçerse u durud erl ol uluur. Bezer şelde her rrsyoel olrıı seçerse u durud erl ol elde edlr. Dolyısıyl lı rlığıd e olurs olsu u erl ollrıı r l your. Çüü üs l l l dır. Dolysıyl D osyouu Re erl your. Leesue öyle r erl ı verş u ye erl Re erlde dh eş osyolr sıııı sr ve Re lıd erlleele osyolr Leesue lıd erlleelr. c uu ers d doğru değldr. Y Leesue lıd erlleele osyolr Re lıd erlleeeyelr. Tı 8.4 Leesue İerl: osyouu sıırly cd ı r rçlışıı llı. olsu. ğer ç öyle r syısı vrs olduğud herh r J syısı ç olur. O z ç J erl olıı l değerdr. ğer u l değer soluys osyou ües üzerde Leesue lıd erlleelr osyo der ve şelde öserlr. Herh r ües ç D D osyou reers osyo der. Kreers osyo leer solu rleşe. c y y y... y y... y y y y y. d y y y J d X s 78

79 ler üü ölçülelr üedr. s osyo der. s 8.6 Bs Fosyolr İç Leesue İerl r s osyo ve ü ler ç solu se s Leesue erl şelde ılır. ölçülelr r üe se u durud şelde ılır. s Öre 8.4: üzerde c s osyouu Leesue erl uluuz. Çözü: c s osyou c. X R s osyo csde yzılır. Böylece üzerde Leesue erl ııd d s d X sd d c. X d dır. Tı 8.4: ye üs Leesue erl ve ye l Leesue erl der. X c d c ües üzerde sıırlı r osyo olsu. Bu durud I L sd : s s osyo ve s ğer I I se osyou ües üzerde Leesue erl vr ve L L X d d c. I L su s d : s s osyo ve s şelde ılır. d 79

80 Teore 8.4 Leesue İerl Özelller ües sıır ölçülü se dır. İs: olur. Dolyısıyl olıı l dır. ç olur. Böylece olduğud ües üzerde erlleelr olsu. ç B se dır. İs: y y "" d y ç y y y... y... y y y. y y d y d B.. B olsu. Bu durud y y y. y y y y.. y y y y y. y y yzılır. y ç l lıırs d y d B y d d B.. 8

81 elde edlr. ol üzere ve üeler üzerde erlleele osyo olsu. Bu durud dr. İs: olsu. Bu durud y. y d d d y y. olr yzılır. Burd d y y y. y y y. y y y. y y olu elde edlr. ç l lıırs 4 ve ües üzerde erlleelr olsu. ol üzere se dr. y. İs: ve \ üeler öz öüe llı. Bu durud \ ve olduğud.özelle y y d d d \ d d d d d \ d d d \ 8

82 yzılır. olduğud.özelle olur. Dğer yd \ ües her yerde olduğud elde edlr. 5 üzerde osyouu Re erl vrs u rlı osyou Leesue erl vr ve u erller rre eşr. Souç 8.44: ües üzerde c s osyou llı. Bu durud c c olduğud.özelle yzılır. Burd d olur. Özel olr ç lıırs d ve d d d d c c. d c dır. Öre 8.45: d X X S 4 s osyo ılsı. Bu durud olduğuu öserz. Çözü: olduğud dr. S S X 6X X S [ 4 ] olduğuu öserel. S S S ve Sd Sd [ ç S S ç S 6 S 6 ]ç S 4 S 4 S S d

83 olduğud uluur. Öre 8.46: erl değer uluuz. S d 6 4] S d S d üzerde Leesue erl vrlığıı celeyere vrs u Çözü: üzerde dr. Şd şğıd üeler ılylı. : :... osyou sürel olduğu ç üeler ölçülelr yrı ve rleşler eşr. Şd şğıd s osyou ılylı: syı ve olr llı. ües çersde ol zoruddır. Dolyısıyl u j j j j... S ües ç : j j j X ve S X j j j j j j dr. ı ıd S j j S S S L S d j j I. j 8

84 84 olu dr. Burd ey olduğud ç l ve üs Leesue erller rre eş olcır. Dolyısıyl osyouu d Leesue erl vrdır. ües ölçüüe lı: olu urd d uluur. Öre 8.47: osyouu çersde rsyoel sylr ües üzerde Leesue erl vrlığıı rşırıız. Vrs erl değer uluuz. Çözü: d rsyoel sylr ües le öserel ve şğıd s osyou ılylı: j j L j d S I j j I I j j j j j j L L. j j j j j j :. l l. l. l j j j d j j j j Q

85 S ve S 4X Q Bu durud olur. Böylece Q üzerde I S S S d 4Q 4. L I Sd L olduğud L olcır. Dolyısıyl osyouu erl vr ve dır. Öre 8.48: üzerde. cos osyouu Leesue erl uluuz. Çözü:. cos osyou rlığıd sürel olduğud Re erl vrdır. Dolyısıyl Leesue erl olr heslylı. Kıs ersyo eodu le uluur. Dolyısıyl u osyou Leesue erl elde edlr. Teore 8.49: Sıırlı ve ölçülelr osyou solu ölçülü Leesue erl vrdır. ües üzerde İs: Kul edel solu ölçülü r üe ve de ües üzerde sıırlı ve ölçülelr olsu. Bu durud erl vr olduğuu öserel. Buu ç Leesue erl olıd ydlr y M yzılır. Burd se \ olduğud y M I L I yzılır. Burd y y osyouu öz öüe llı. Bu durud y değerler rıç ölçü zlcğıd y osyou zldır. y y olr llı..cos d d y y y y \ y y y ym y ym y 85

86 86 R-S erl öz öüe llı. Şd u R-S erle rşılı ele R-S olıı yzlı. ı şelde llı. Bu durud zl olduğud yzılır. Bu so old l lıdığıd olıd l değer olcğıd elde edlr. Teore 8.5 Tchechev şszlğ: ües üzerde se ve dır. İs: olsu. olduğud urd d olcğıd y yd B B B y y y y y y \ y y y y y y y M y y y y y y y y y y y y d y y M y l F d F c c F : c F : \ d F d F d F \ \ d F

87 u rd d elde edlr. Öre 8.5: ğer se osyou üesde hee hee her yerde olur. İslyıız. Çözü: Tchechev eşszlğde her olu dolyısıyl F d Fd c d c : F c Fd olcır. Burd ölçüü ozlğde : yzılır. Bu d osyouu ües üzerde hee hee her yerde olsıdır. ç 8.7 Sıırsız Fosyolr Leesue İerl Geel olr sıırsız osyolrı Re erl your. Bu rışlı çoğu ez Leesue lıd erlleelrler. Bud öce esde sıırlı ve ölçülelr osyolrı Leesue erl verd. Bu esde dh öce ulduğuuz souçlr sıırsız ve ölçülelr osyolr ezeeceğz. Tı 8.5: de sıırsız ve ölçülelr olsu. Bu durud N doğl syısı ç d : d : : c osyou es osyo der. Bu öre N doğl syısı ç sıırlı ve ölçülelrdr. Dolyısıyl es osyou üesde Leesue lıd erlleelrdr. Bu öre N N ü ç N ü ç osyouu erl d l N şelde ılsı. Bu öre l y ey r sy vey sosuzdur. ğer u l ey r syı se osyouu Leesue lıd erl vrdır. Leesue erl değer d N N N N 87

88 de lr. s hlde l yos your. osyouu Leesue lıd erl Teore 8.5: osyou ües üzerde ölçülelr se N es osyou d ües üzerde ölçülelrdr. İs: Key syısı ç ües ölçülelr se osyou ües üzerde ölçülelr der. N olsu. Bu durud N olur. Böylece osyou ölçülelr olduğud N olsu. Bu durud ölçülelrdr. es osyou d ölçülelrdr. Tı 8.54: de ey r osyo olsu. Bu durud ve olcğıd es osyo şelde osyolr ılylı. Burd ve osyolr e oly osyolrdır. ğer osyou ölçülelr se ve osyolr ölçülelrdr. Çüü olduğud u dele olıd N olcır. osyou ölçülelr olduğud ölçülelrdr. Böylece ölçülelr osyou olıd ölçülelr olcğıd ve osyolr sıırlı oldulrıd u osyolrı Leesue erl vrdır. Teore 8.55: ve osyolr ües üzerde erlleelr se osyou d ües üzerde erlleelrdr. N ü ç ü ç ü ç ü ç ve ve. İs: eşszlğ d doğrudur. 88

89 şelde seçlrse M ve N M olc şelde P syısıyl sıırlıdır. ve osyolr ölçülelr olduğud. osyou d ölçülelrdr. Dolyısıyl. osyouu Leesue erl vrdır. Dğer yd eşszlğ öz öüe lırs N P d d d elde edlr. P. d P d d Öre 8.56: ve erller vr olduğuu öserece u erller değerler uluuz. 8 Çözü: Kes osyou ııd 4 N / N / / N vey N vey / N N 8 d / l 8 N / N d l N / N Nd 8 / N / d l N N / N / 8 / N elde edlr. l N N 6 N 6 Öre 8.57: d erl vr oldığıı öserz. 89

90 Çözü: olduğud osyou erl your. Öre 8.58: ve olduğuu öserz. Çözü: olduğuu lyoruz. osyouu ııd olur. Dolyısıyl her durud d elde edlr. Teore 8.59: olsu. d erl vr olsı ç ere ve yeer oşul erl düzü sıırlı olsıdır. İs: yzılır. Böylece N d l N N d l Nd N N / N l N N / N l N N es osyouu ı ereğce / N d N / se se d N... d d d... 9

91 şelde r dz elde edlr. Bu dz er şelde olu rdır. ğer u dz sıırlı se ü olc şelde r syısı vrdır. Bu öre erl vrdır. Terse olr ul edel olduğu ç olur. Bu d M değerler ç vr olsu. deer. Y ü N değerler ç d erl düzü sıırlıdır. Teore 8.6: ve osyou ües üzerde erlleelrse osyou d N. d ües üzerde erlleelrdr. Burd N N d M N d d l N N d N d d M N d M N N dr. İs: yzılır. Her yı se N d ç l lıırs d d uluur. Bu eşszlğ c yıı erl vr olduğud rc yıı d erl de vrıdır. osyou ey olduğud N d d N d 9

92 yzılır. Yurd yıl şlelerde osyou yere osyou yzılırs u durud yzılır. Teore 8.6: osyouu ües üzerde erl vr olsı ç ere ve yeer oşul osyouu ües üzerde erlleelr olsıdır. Burd dır. İs: ve olduğuu lyoruz. Bu eşllerde ve d d erller yzılır. Bu eşllerde osyouu ües üzerde erlleelr olsı ç ere ve yeer oşulu osyouu ües üzerde erlleelesdr. Dğer r deyşle osyouu ües üzerde erlleeles ç ere ve yeer oşulu yı osyou ul değer yı ües üzerde erlleelesdr. d d d d d d d d d d d d d elde edlr. d d Teore 8.6: osyou solu ölçülü ües üzerde e oly ölçülelr r osyo ve F de ües üzerde erlleele r osyo olsu. Her ç F se de de erlleelrdr. d 9

93 İs: Her ç F olduğud olduğu çıır. ve F üeler sıırlı ve ölçülelr olduğud erl vrdır. ç l lıırs eşszlğ sğ rıd erl olur. Bu so erl sol rıd erl r ve üse sıırlı olduğud u dz l vr ve dr. N N N F N N d F d N d Fd N l N N d F d 9

94 BÖLÜM 9 9. SINIRLI VRYSYONLU FONKSİYONLR Tı 9.. lı rlığıı... olc şelde e l rlığ ölel. Bu ölüü P... olsu. Bu P ölüüler üü ç olc şelde sıırlı r M syısı vrs osyou rlığııd sıırlı vrysyolu osyo der. Tü ölüüler ç şelde öserle olı e üçü üs sıırı osyou lı rlığıd ol vrysyou der ve vey V Tı 9.. öserlr. V V lı rlığıı herh r ölüü ç M V su ve v olr ılylı. Burd r Bu ı öre r r ve r r r r olduğu olduğuu öre olydır. Çüü dır. yrıc üzerde ü ölüüler ç M su K su ve V suv olr ılsı. Bu öre M V M K olduğu çıır. Çüü ve V M su su v su v V su v su su su M K 94

95 olur. osyouu rlığıd oz M e K ve ol vrysyou d V le öserlr. ğer V se u osyouu rlığıd sıırlı vrysyou der. Teore 9.. osyou rlığıd sıırlı vrysyolu se ve dır. İs. rlığıı herh r ölüü ç yzılır. Bu eşl ü ölüüler ve her ç doğru olduğud su çde doğrudur. Bu öre vey olr yzılır. yrıc v se K V olduğud d soucu uluur. Bezer olr sureu lıırs vey eşlğ ü ölüüler üzerde de yzılır. Böylece ve de K M elde edlr. Dğer yd vey V K M elde edlr. Bu eşl her ç doğru olduğud su M ç de doğrudur. Böylece uluur. Oys V K M olduğuu lyoruz. Bu so eşszle V K M elde edlr. Bu d sıırlı vrysyou ı ereğce elde edlr. V M M K K su K K M M su K M K M K K M M K V su v su M K V K M M K V M K 95

96 96 Teore 9.4. osyou rlığıd sıırlı vrysyolu olsı ç ere ve yeer şr u osyou rlığıd reel değerl ve e düze r osyou rı olsıdır. İs. osyou rlığıd sıırlı vrysyolu olsu. ve olr llı. Dğer yd ve oldulrı ç ve osyolr r ve reel değerldr. Oys Teore 9.'de şelde r osyou r çde yzıllr. Terse ve rlığıd r osyo ol üzere şelde yzılsı. Bu hlde rlığıı herh r ölüü ç yzılır. Bu eşszl her ölüü ç doğrudur. Böylece rc rıı sureu değer çde doğrudur. Dolyısıyl rc r olur. Dğer yd c r sureu değer değşeyeceğde yı lır. Y yzılır. Bu d osyou rlığıd he sıırlı he de ol vrysyolu olduğuu öserr. Teore 9.5. rlığıd e düze r ve e düze zl osyou u rlı sıırlı vrysyolu ve ol vrysyoludur. İs. rlığıı r ölüüsü olc şelde llı. osyou u rlı rs olur. Böylece M K h V V M V V K h H h h h P M h h h h h h V h h V P... M

97 yzılır. Y osyouu u rlı r ere sıırlı vrysyoludur. yrıc u eşl rlığıı her ölüüsü ç doğru olcğıd rc rı sureuu çde doğrudur. Böylece V M yzılır. Bu d osyouu rlığıd ol vrysyolu olduğu elde edlr. Teore 9.6. Sürel osyou sıırlı vrysyolu olsı ereez. İs. Teore s ç sürel olu d sıırlı vrysyolu oly r öre vere yeerl olcır. Buu ç osyouu s olr ılsı. rlığıı P... şelde ölüüsüü şelde llı. O hlde P olur. ç u ol sosuz deceğde osyou rlığıd sürel olduğu hlde u rlı sıırlı vrysyolu değldr. l s l olduğud l s olur. Bu d osyouu rlığıd sürel olduğuu öserr. Teore 9.7. rlığıd sıırlı vrysyolu ol osyou u rlı yı zd sıırlıdır. c ers doğru değldr. İs. rlığıı r ölüüsü ol üzere P olr llı. osyou u rlı sıırlı vrysyolu olduğud 5 M olc şelde r M s vrdır. Burd M yzıllr. Böylece M M olur. Bu d osyouu sıırlı olduğuu öserr. 97

98 rlığıd sürel ol r osyo u rlı sıırlıdır. Bu öre Teore 4. de osyo sıırlı olduğu hlde sıırlı vrysyolu değldr. Y sıırlı r osyo sıırlı değşl olsı ereez. Teore 9.8. Sıırlı vrysyolu solu syd osyolrı ol ve çrıı d sıırlı vrysyoludur. İs. İs ey osyo ç y yeerl olcır. Çüü ese üevrı yöe uyulır. ve osyolr rlığıd sıırlı vrysyolu olsu. rlığıı ü ölüüler ç ve M M olc şelde ve M sler vrdır. h dyel. Bu öre M h h M M M yzılır. Bud h osyolrıı olıı sıırlı vrysyolu olduğuu öserr. şle çde yı şleler errlırs sıırlı vrysyolu osyou rıı d sıırlı vrysyolu olduğu örülür. Tüevrıl... olıı d sıırlı vrysyolu olduğu örülür. Bu öre... ol d sıırlı vrysyolu olur. Şd sıırlı vrysyolu osyou çrııı d sıırlı vrysyolu olduğuu öserel. Sıırlı vrysyolu e osyoud sıırlı vrysyolu olduğuu ösere ç üevrı yöe uyul yeer. Bu öre ve osyolrıı rlığıd sıırlı vrysyolu oldulrıı ul edel. Teore 5 e öre sıırlı vrysyolu r osyo yı zd sıırlıdır. Bu öre rlığı üzerde su ve P su olr llı. Böylece 98