BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA"

Transkript

1 T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ PROGRAMI YÜKSEK LİSANS TEZİ BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA Bület TATAR Daışma Doç. Dr. Kaa YARALIOĞLU 00

2 YEMİN METNİ Yüksek Lsas Tez olarak suduğum "Bulaık Doğrusal Olmaya Çoklu Hedef Programlama ve Uygulama" adlı çalışmaı, tarafımda, blmsel ahlak ve geleeklere aykırı düşecek br yardıma başvurmaksızı yazıldığıı ve yararladığım eserler bblyografyada gösterlelerde oluştuğuu, bulara atıf yapılarak yararlaılmış olduğuu belrtr ve buu ourumla doğrularım..../.../... Bület TATAR II

3 YÜKSEK LİSANS TEZ SINAV TUTANAĞI Öğrec Adı ve Soyadı : Bület TATAR Aablm Dalı : Yöeylem Araştırması Programı : Ekoometr Tez Kousu : Bulaık Doğrusal Olmaya Çoklu Hedef Programlama ve Uygulama Sıav Tarh ve Saat : Yukarıda kmlk blgler belrtle öğrec Sosyal Blmler Esttüsü ü.. tarh ve. Sayılı toplatısıda oluşturula ürmz tarafıda Lsasüstü Yöetmelğ 8.maddes gereğce yüksek lsas tez sıavıa alımıştır. Adayı kşsel çalışmaya dayaa tez. dakkalık süre çde savumasıda sora ür üyelerce gerek tez kousu gerekse tez dayaağı ola Aablm dallarıda sorula sorulara verdğ cevaplar değerledrlerek tez, BAŞARILI OLDUĞUNA Ο OY BİRLİĞİ Ο DÜZELTME Ο* OY ÇOKLUĞU Ο REDDİNE Ο** le karar verlmştr. Jür teşkl edlmedğ ç sıav yapılamamıştır. Öğrec sıava gelmemştr. Ο*** Ο** * Bu halde adaya ay süre verlr. ** Bu halde adayı kaydı slr. *** Bu halde sıav ç ye br tarh belrler. Evet Tez burs, ödül veya teşvk programlarıa (Tüba, Fullbrghtht vb.) aday olablr. Ο Tez mevcut hal le basılablr. Ο Tez gözde geçrldkte sora basılablr. Ο Tez basımı gerekllğ yoktur. Ο JÜRİ ÜYELERİ İMZA Başarılı Düzeltme Red.. Başarılı Düzeltme Red... Başarılı Düzeltme Red.. III

4 ÖZET Yüksek Lsas Tez BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA Bület TATAR Dokuz Eylül Üverstes Sosyal Blmler Esttüsü Ekoometr Aablm Dalı Ekoometr Programı Problem, doğrusal br amaç ve doğrusal yapıdak kısıtlarda oluşa br modelle kurulmuş se br çok yötem le optmal çözüme ulaşılır. Acak model yapısıı doğrusal olmadığı çok amaçlı durumlarda ayı yötemler kullaması sapmalı ve tutarsız souçlar verecektr. Bu sebeple, "Doğrusal Olmaya Programlama" problemler çözümü ç brçok algortma gelştrlmştr. Acak bu algortmalarda sadece br kaçı gerçek düya problemlere uygulaablmektedr. 960'lı yılları başıda "Hedef Programlama" kousu celemeye başlamış ve güümüze kadar ster tek br amaca ster brçok amaca ayı ada optmal çözümler üreterek gelşm sürdürmüştür. 965 yılıda Loutf A. Zadeh tarafıda "Bulaık Küme Teors" gelştrlmes le geleeksel yapıya ye br bakış açısı kazadırılmıştır. Bu sayede karar vercler gerçek düya problemler le lgl sözel düşüceler modellerde yer alması sağlamıştır. Bu çalışmada, Doğrusal Olmaya Çoklu Hedef Programlama kousu çersde yer ala Şas Kısıtlı Hedef Programlama tekğ Bulaık Matık yaklaşımı le brleştrlerek gerçek br üretm sürecde e gb souçlar vereceğ araştırılmış ve kouyla lgl öer ve eleştrler yapılmıştır. IV

5 Aahtar Kelmeler: Bulaık Matık, Doğrusal Olmaya Programlama, Doğrusal Olamaya Hedef Programlama, Stokastk Programlama, Şas Kısıtlı Programlama V

6 ABSTRACT Master's Thess FUZZY NONLINEAR MULTIOBJECTIVE GOAL PROGRAMMING AND APPLICATON Bület TATAR Dokuz Eylul Uversty Isttute Of Socal Sceces Departmet of Ecoometrcs Programme of Ecoometrcs Problems modeled by lear obectves ad lear costrats may be optmzed usg varous methods. However, same methods gve devated ad/or cosstet results case of olear mult-obectve models. For ths reaso, may algorthms are developed to solve "Nolear Programmg" problems, but oly very few of these algorthms ca be appled to real-lfe problems. "Goal Programmg" became a topc of terest the early 960 s ad sce the t has bee epaded to produce optmal solutos to both sgle ad mult-obectve cases. I 965, Loutf A. Zadeh developed the "Fuzzy Set Theory" ad ths brought a ew perspectve to the tradtoal structure. It allowed decsomakers to sert deas to models of real-lfe problems. I ths study, we vestgate ad dscuss the effects of a algorthm obtaed by combg a Fuzzy Logc approach wth Chace-Costraed Goal Programmg, whch s a subtopc Nolear Mult-obectve Programmg, o a real-lfe producto process. VI

7 Key World: Fuzzy Logc, No-Lear Programmg, No-Lear Multobectve Goal Programmg, Stochastc Programmg, Chace-Costraed Programmg VII

8 BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA YEMİN METNİ... II YÜKSEK LİSANS TEZ SINAV TUTANAĞI... III ÖZET... IV ABSTRACT...VI İÇİNDEKİLER... VIII KISALTMALAR...XI TABLO LİSTESİ...XII ŞEKİLLER LİSTESİ... XIII EK LİSTESİ... XIV GİRİŞ... BİRİNCİ BÖLÜM LİTERATÜR TARAMASI... İKİNCİ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA KISITLANMAMIŞ ALGORİTMALAR Doğruda Arama Yötem Gradet Yötem KISITLANMIŞ ALGORİTMALAR Ayrılablr Programlama Kuadratk Programlama Stokastk Programlama... 5 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BULANIK MANTIK VE HEDEF PROGRAMLAMA İLİŞKİSİ BULANIK MANTIK Bulaık Küme Teors... VIII

9 ... Üyelk Foksyou Bulaık Artmetk HEDEF PROGRAMLAMA Hedef Programlama Çözüm Yötemler Doğrusal Hedef Programlama Tamsayılı Hedef Programlama Doğrusal Olmaya Hedef Programlama Bulaık Hedef Programlama BULANIK ORTAMDA KARAR VERME BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA... 0 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA..... SİMPLEKS YAKLAŞIMI MAP Yaklaşımı Ayrılablr Programlama Yaklaşımı Kuadratk Programlama Yaklaşımı DİREK ARAMA YAKLAŞIMI Modfye Edlmş Patter Arama Yaklaşımı Modfye Edlmş Patter/Gradet Arama Yaklaşımı Algortması ETKİLEŞİMLİ (İNTERAKTİF) YAKLAŞIM GRADIENT TABANLI YAKLAŞIM Şaş Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama... 6 BEŞİNCİ BÖLÜM UYGULAMA PROBLEMİN TANIMI KURULAN MODELLER VE ÇÖZÜMLERİ Doğrusal Hedef Programlama Çözümü Doğrusal Olmaya Hedef Programlama Çözümü Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama Çözümü... 7 IX

10 SONUÇ KAYNAKLAR EKLER X

11 KISALTMALAR DOP DOHP HP ŞKHP DP ÇHP ŞKBHP DHP Doğrusal Olmaya Programlama Doğrusal Olmaya Hedef programlama Hedef Programlama Şas Kısıtlı Hedef Programlama Doğrusal Programlama Çoklu Hedef Programlama Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama Doğrusal Hedef Programlama XI

12 TABLO LİSTESİ Tablo : Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ s.0 Tablo : Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ Sağlaya Alt Koşullar s. Tablo : Doğruda Arama Tablosu s. Tablo : 009 Hazra Ayı İlk O Ürü İç Üretm Mktarları - Kar Ve Satış Gelr Değerler s.68 Tablo 5: Maksmum Hammadde Kullaım Mktarları s.69 Tablo 6: DHP Souç Tablosu s.7 Tablo 7: DOHP Souç Tablosu s.7 Tablo 8: ŞKBHP Souç Tablosu s.75 Tablo 9: Modeller Geel Souç Tablosu s.76 XII

13 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekl : Çok Yölü Doğrusal Olmaya Foksyo s.5 Şekl : İk Boyutlu Hareket s.6 Şekl : Üçge Üyelk Foksyou s. Şekl : Yamuk Üyelk Foksyou s. Şekl 5: Bulaık Hedef, Kısıt ve Karar Arasıdak İlşk s.9 Şekl 6: Kes Olarak Belrleemeye Hedef ve Kabul Edleblr Maksmum Sapmaı Üçgesel Formu s. XIII

14 EK LİSTESİ EK : Model I DHP Problem EK : Model II DOHP Problem EK : Ver Setde Hesaplaa Dağılış Foksyoları EK : Model III ŞKBHP Problem XIV

15 GİRİŞ Gülük yaşatımızda karşılaştığımız sorular sürekl olarak çeştl kararlar almamıza ede olur. Burada soru; amaçları plalaa şeklde ve zamada gerçekleştrlmes egelleye, stemeye oluşumlar olarak taımlaır. Bu soruları çözmekle yükümlü kşler se karar vercler olarak adladırılmaktadır (Yaralıoğlu 00,). Karar vercler "sürekllk sağlayıcılar" olarak da adladırablrz. Çükü bu kşler vermş oldukları kararlar le hem gülük yaşatılarıı hem de kuruluşları sürekllkler sağlarlar. Güümüzde karar problemler bazıları çeştl varsayımlar altıda doğrusal olarak modellep çözümler buluurke bazıları da bu yapılara uymayıp ked çlerde kayaklaa edelerde dolayı doğrusal olmaya modeller şeklde taımlaır ve ble optmzasyo tekkler desteğ le çözülmeye çalışılır. Optmzasyo tekkler geel amacı; karar problemler çözümüde kullaıla kayaklarda e uygu şeklde asıl yararlaılableceğ araştırmak ve problem çde yaşadığı orgazasyoları optmal şartlardak faalyetler çde tutmaktır. Bu çalışmada dkkate alıa aa düşüce doğrusal modellee karar problemlerde zyade doğrusal olmaya modelleme çalışmalarıı araştırmak ve özellkle doğrusal olmaya karar modellere bulaık matık teors uygulamaktır. Karar problemler pek çoğu brde fazla amaç taşımaktadırlar. Doğrusal olarak modellee çok amaçlı karar problem çözümü ç gelştrle algortmalar güümüzde etk olarak kullaılmaktadır. Acak her br amacı getreceğ kısıtlar brlkte ele alıdığıda çok amaçlı modellee karar problem çözümü daha da zorlaşmakta ve baze uygu çözümü bulmak mümkü olamamaktadır. Bu edele bu ve bezer modeller daha rahat çözülmes sağlayablmek amacıyla algortmalar ve yazılımlar gelştrlmştr.

16 Çalışmada Bulaık Matık, Hedef Programlama (HP) ve Doğrusal Olmaya Hedef Programlama (DOHP) lşks celep lteratür taraması yapılmış ve gerçek karar problem üzerde çözümler gelştrlmştr. Beş aa bölümde oluşa çalışmada öcelkle Lteratür taraması bölüm halde verlmştr. Takp ede bölümde DOP teors verlmştr. DOP problemler ç çok sayıda algortma altıda çözüm tekkler öerlmş olmasıa rağme buları tamamıı gerçek hayat problemler çözümüe uygulaması mümkü olamamaktadır. Geellkle, problemler yapısıa göre belrlemş özel modeller kedlere has çözüm tekkler vardır. Çalışmamızda bu kou Kısıtlamamış Doğrusal Olmaya Algortmalar ve Kısıtlamış Doğrusal Olmaya Algortmalar olarak k başlık altıda toplamıştır. Üçücü bölümde Bulaık Matık ve Hedef Programlama arasıdak lşk celemştr. Bulaık Küme Teors, Üyelk Foksyou ve Bulaık Artmetk kouları verldkte sora Bulaık Matığı çalışmamızla lgl ola Hedef Programlamaya uyarlaması alatılmıştır. Takp ede bölümde Doğrusal Olmaya Hedef Programlama Algortması ayrıtılı olarak celemştr. Gradet Tabalı Doğrusal Olmaya Hedef Programlama başlığı altıda yer ala Şas Kısıtlı Hedef Programlama ve Stokastk Hedef Programlama çalışmamızı uygulamasıda kullaacağımız çözüm tekkler olarak alımış ve "Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama" adlı kou alatılmıştır. So bölümde se çok amaçlı br üretm sürecde, bu çalışmaı kousuu oluştura "Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama" yaklaşımı uygulamıştır. Elde edle verler LINGO paket programıda celemştr.

17 BİRİNCİ BÖLÜM LİTERATÜR TARAMASI Bu bölümde çalışmada celee makaleler kapsaya lteratür taraması verlmştr. Tarama yapılırke Hedef programlama, şas kısıtlı programlama, doğrusal olmaya çoklu hedef programlama aahtar kelmeler kullaılmıştır. Ayrıca bu kelmeler Bulaık Matık lşks le ola souçları araştırılmıştır. H. Westroffer (98), Doğrusal olmaya çok amaçlı karar verme problemler çözümü ç br etkleşml hedef programlama metodu sumuştur. Gelştrle bu yötemde amaç; kısıtlı çok amaçlı problem, kısıtsız tek amaçlı alt problemler br sers şekle döüştürülmesdr. Sag M. Lee ve Davd L. Olso (985), Optmal basamak uzuluğu hesabıı temel ala şas kısıtlı DOHP modeller ç br Gradet algortma gelştrmşlerdr. Bu algortma, doğrusal yapıda olmaya foksyoları sürekl ve dferasyel alıablr olmasıı ve optmal br oktayı bulmak ç çözüm uzayıı koveks olmasıı gerektrr. Husse M. Saber ve A. Ravdra (99), Doğrusal Olmaya Hedef Programlama (DOHP) problemler ç çözüm yötemler dört aa başlık altıda celemş, yapıla lteratür taraması le DOHP' uygulama alaları verlmştr. Husse M. Saber ve A. Ravdra (996), DOHP problemler çözümü ç etkl ve güvelr br metot ola Parttog Gradet tabalı algortma celemştr. Bu algortma, DOHP problemler çözümü ç modfye edlmş patter arama metodu le karşılaştırılarak test edlmştr. R. E. Bellma ve L. A. Zadeh (970), Bulaık karar kuramıı, bulaık hedefler ve bulaık kısıtlar; alteratf uzay çersdek bulaık kümeler olarak

18 taımlamıştır. Bulaıklık altıda karar verme sürecde bu üç kavramı uygulamalarıı araştırmışlardır. Marc J. Schederas ve N.K. Kwak (98), Hedef programlama problem ç ye br hesaplama yötem bastleştrlmş olarak br örek üzerde adım adım açıklamıştır. Bu yötem Baumol u mör modfkasyolu doğrusal programlama problem çözümü ç kulladığı smpleks metodua dayamaktadır. Ramada Hamed Mohamed (997), Hedef programlama le bulaık programlama arasıdak bezerlkler ve lşk açıklamıştır. Her k yaklaşımı da her br amaç ç arzu edle sevyelere htyaç duyduğu ve çoklu hedef programlama problemler çözümü ç brde fazla seçeek sudukları vurgulamıştır. Lag-Hsua Che ve Feg-Chou Tsa (00), Bu çalışmada, tüm bulaık hedefler başarılma dereceler toplamıı maksmze etmey amaçlaya toplamsal model kullaılmasıyla farklı öem ve terch öcelkler brleştre Bulaık Hedef Programlama yötem gelştrlmştr. Elde edle çözümler hem terch öcelk yapısıı korumasıı hem de toplamdak maksmum başarı derecese sahp olumasıı sağlamıştır. A.Chares ve W.W. Cooper (959), Modelde yer ala belrsz kısıtlardak belrszlğ br güve sevyes belrleyerek kotrol altıa almak ç Şas Kısıtlı Programlamayı gelştrmşlerdr. P.K. De, D Acharya ve K.C. Sahu (98), Şas Kısıtlı formülasyou, tekolo kısıtlarıdak katsayıları Stokastk olduğu 0- Hedef Programlama ç kullamışlar ve sermaye bütçelemes ç sayısal br örek vermşlerdr. R.N. Twar, S. Dharmar ve J.R. Rao (986), Bu araştırma da hedefler bulaık olduğu ve öcelk yapılarıı da sıralı öcelklerle brlkte ele alıdığı varsayılmıştır. Çözüm algortmasıı ardıda sayısal örek verlerek souçlar değerledrlmştr.

19 Davd L. Olso ve Scott R. Sweseth (987), Makalede gerek tek gerekse çok amaçlı durumlarda kullaılmak üzere şas kısıtları ç br yaklaşım formüle edlmştr. Bu yaklaşımla şas kısıtları üzerde, e az gerçek doğrusal olmaya formlarda olduğu kadar sıkı br bağ kurup dğer kısıt veya amaçları geşletlmes sağlamıştır. Yrö Seppälä (988), Şas kısıtlı programlama problemler ç CHAPS (Chace Costraed Programmg System Şas Kısıtlı Programlama Sstem) algortmasıı gelştrmştr. Bu algortma doğrusallaştırma tekkler kullamaktadır. Yazar bu sstem le şas kısıtlı problemler souçlarıı, doğrusal olalar kadar kolay hesaplayabldğ belrtmştr. Ramada Hamed Mohamed (99), Bu çalışmada arzu edle sevyeler bulaık olduğu Şas Kısıtlı Hedef Programlama açıklamıştır. Düşüüle hedef kısıtları, olasılıklı ve bulaık kısıtlardır. Eşdeğer determstk hedef program gelştrlmş ve taımlayıcı örek verlmştr. 5

20 İKİNCİ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA Karşılaşıla problemler yapısıı doğrusallıkta uzaklaşması bu problemler çözümler bulumasıı zorlaştırmaktadır. Bu durum araştırmacıları ye çözüm algortmaları gelştrmeye ve çeştl matematksel modeller kurmaya teşvk etmştr. DOP ı geel hal matematksel olarak; Maksmum / Mmum f (,,, ) K Kısıtlar; (.) (,, K, )(, = ) b g, (,, K, )(, = ) b g g, m şeklde taımlaır. M, (,, K )(, =, ) b m g m Burada, (,, f, (,, K, )(, =, ) bm amaç foksyou ve g, K b...,,, =, K ) ( )( ) foksyoları se kısıtlardır. (.) model yaı sıra, kısıtlayıcı foksyolara sahp olmaya DOP problemleryle de karşılaşılablr (Wsto, 99:6). Hedef değşkeler termler çdek amaç foksyou ve kısıtları alamları bezer olduğuda ya doğrusal olduklarıda problem çözümü ç klask optmzasyo metotları kullaılablr. Dğer yada eğer optmzasyo problem, hedef değşkelerde açık olarak belrlememş veya şlemler çok karmaşık ola amaç foksyou ve/veya kısıtlar çeryorsa kısacası doğrusal olmaya br yapı söz kousu se problem çözümüde klask metotlar kullaamayız (Rao, 98:5). 6

21 Optmzasyou klask metotları, sürekl ve dferasyelleeble foksyoları optmum oktalarıı bulmada kullaışlıdır. Bu metotlar aaltktr ve optmum oktaları yerleştrlmesde dferasyel hesaplama tekklerde yararlaırlar (Rao, 98:7). Doğrusal olmaya br amaç foksyouu uç oktasıı ya maksmum ve mmum oktalarıı araştırılması le lgl şlemelere DOP problem der. Bu şlem eştlk ve / veya eştszlk olarak modelde bulua doğrusal veya doğrusal olmaya kısıtlayıcı foksyoları sıırlayıcı koşulları altıda gerçekleşmektedr. Buula brlkte temel e çok "DOP algortmalarıı gelştrlmes" ola klask optmzasyo teors, kısıtlamış ve kısıtlamamış foksyoları uç oktalarıı belrleyeblmek ç dferasyel hesabıı kullaır. E uç oktaları belrlemes ç gerekl ve yeterl koşullar, eştlk kısıtlı problemler ç Jakobe ve Lagrage yötemler, eştszlk kısıtlı problemler ç se Khu Tucker koşullarıdır (Baray ve Esaf, 000:765). Çalışmamızı kapsamı gereğ doğrusal olmaya kısıtlamış problem uç oktalarıı eştszlk kısıtlarıa göre belrlemes ç Khu Tucker gerekl koşulları ve buları yeterllk durumları celeecektr. Khu Tucker koşulları; bu koşullar 95'de Khu ve Tucker tarafıda, gelşm Lagrage metodua dayaa bu yötem, br doğrusal olmaya kısıtladırılmış problem ç optmum oktaı belrlemes sağlaya ve koşulları eştszlk kısıtları durumu ç kurulmuştur. Aşağıdak problem verls; Maksmum Z = f ( ) Kısıtlar; (.) g ( ) 0 (.)'de eştszlk kısıtları egatf olmaya aylak değşkeler kullaılarak eştlk durumua getrlp geel Lagrage foksyou oluşturulur. Khu Tucker 7

22 şartları da bu foksyou gerek şartlarıda oluşturulur. ekleecek aylak mktarı S ( 0) ve S ( S S,, ) T = ve, L S m. kısıt g ( ) 0 a olarak varsayalım. Burada m, eştszlk kısıtlarıı toplam sayısıdır. Lagrage foksyou se [ ] ( X S, λ ) = f ( ) λ g ( ) L, S S = ( S, S, L, ) T Kısıtlar (.) g ( ) 0 şeklde verls. Bu durumda optmumluk ç gerek koşul; λ 'ı maksmzasyo problemler ç egatf olmaya ve mmzasyo problemler ç poztf olmaya br değer almasıdır. Bu durumu doğrulamak ç maksmzasyo durumuu celeyelm : f = g λ olduğu ç, ( ) 0 S m g kısıtıı sağ tarafı üzere çıktıkça çözüm uzayı daha az kısıtlamış hale gelr ve dolayısıyla f azalmaz. Bu λ 0 alamıı taşımaktadır. Bezer şeklde, mmzasyo çde kayak arttıkça ( ) 0 f artamaz ve bu da λ 0 alamıa gelr. Eğer kısıtlar eştlkse ya g = se λ 'ı şaret sıırladırılmamış hale gelr (Şeyay, 987:5). λ üzerdek sıırlamalar Khu Tucker gerekl koşullarıı br parçasıdır. Dğer koşullar se L' X, S ve λ 'ya göre kısm türevler alıdıkta sora aşağıdak gb elde edlr (Hller ve Leberma, 00:67). L L L ( X, S, λ) X ( X, S, λ) S ( X S, λ) = f = λ ( ) λ g( ) = 0 S = 0 ( g( ) ) = 0, = S λ (.) =,, K,m (.5) (.6) Burada (.5) deklem kümes aşağıdak souçları verr: 8

23 . λ 0 se S = 0 'dır. Bu da bua karşılık gele kayağı kıt olması alamıa gelr k bu kayak souç olarak tamame tüketlr. (Eştlk Kısıtı). S 0, λ = 0 se bu. kayağı kıt olmaması demektr k bu f ' değer > f etklemez. (Başka br deyşle λ = g = 0 'dır.) buluur. İkc (.5) ve üçücü (.6) deklem takımlarıda g ( ) = 0 λ =,, K, m (.7) ( ) 0 Bu ye koşul temelde yukarıdak çıkarımı tekrarlar, çükü λ > 0 se g = veya S = 0 olur. Bezer şeklde, g ( ) < 0 se S > 0 ve λ = 0 olur. X ve λ 'ı maksmzasyo problem sabt (uç) oktası olması ç gerekl Khu Tucker koşulları aşağıdak gb özetleeblr (Rao, 98:78). λ 0 f ( ) λ g ( ) = 0 g ( ) = 0 λ =,, K, m (.8) g ( ) 0 Gerek mmzasyo da gerekse maksmzasyoda eştlk kısıtlarıa karşılık gele Lagrage çarpalarıı şaret sıırladırılmamış olmalıdır. Acak bu şartlar çözümü optmal oluşuu garatlemekte yeterl değldrler. Kısm türevler sıfır olduğu kısıtsız problemlerde bu şartlar gayet y souç verr. Bu şartlar optmumluğu sağlamak ç yeterl olmayıp sadece gerekldr. Eğer bu şartlarla brlkte kovekslk ve kokavlık durumları da gerçekleşyorsa bu şartlar optmumluğu garatlemekte yeterl olmaktadır. 9

24 Tablo.: Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ Gereke Koşullar Optmzasyo Yöü Amaç Foksyou Çözüm Uzayı Maksmzasyo Kokav Koveks Küme Mmzasyo Koveks Kokav Küme Çözüm uzayıı koveks küme olduğuu bulmak zordur. Bu koşulları sağlamak ç geelleştrlmş doğrusal olmaya problem aşağıdak gb taımlamıştır (Baray ve Esaf, 000:768). Maks. / M. Z = f ( ) Kısıtlar; (.9) g ( ) 0 =,, K, r g g ( ) 0 ( ) = 0 =,, K, p = p,, K, m L ( X S, λ ) = f ( ) = λ g ( ) r = p m [ S ] λ [ g ( ) S ] g ( ), λ = r = p Burada λ ; kısıtıa lşk Lagrage çarpaıdır. Khu Tucker koşullarıı yeterllğ sağlaya alt koşullar Tablo 'de özetlemştr. 0

25 Tablo : Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ Sağlaya Alt Koşullar Gereke Koşullar Optmzasyou Yöü f ( ) ( ) λ g Koveks 0 r Maksmzasyo Kokav Kokav 0 r p Doğrusal Sıırladırılmamış p m Koveks 0 r Mmzasyo Koveks Kokav 0 r p Doğrusal Sıırladırılmamış p m Bu tablou geçerllğ, verle koşulları maksmzasyo durumuda kokav br L ( X, S,λ ) Lagrage foksyou, mmzasyo durumuda se koveks br L ( X, S,λ ) Lagrage foksyou vermes gerçeğe dayaır. Bu souç ( ) koveks se ( ) λ ' λ 0 se koveks, λ 0 se kokav olduğuu dkkate g alımasıyla doğrulaır. g.. KISITLANMAMIŞ ALGORİTMALAR Kısıtlamamış optmzasyo problemler çözümüde kullaıla br çok yötem bulumaktadır. Burada kısıtlamamış problem ç Doğruda Arama Yötem ve Gradet Yötem olarak k başlık altıda aşağıdak gb sııfladırılmıştır (Bal, 995:9).

26 Kısıtsız Optmzasyo Yötemler Doğruda Arama Yötemler Gradet Yötem. Rasgele Arama Yötem. E Hızlı Akış Yötem. Tek Değşkel Arama Yötem. E Hızlı İş Yötem. Model Arama Yötem. Newto Yötem a. Powwel Yötem v. Eşlek Gradet Yötem b. Hooke ve Jeeves Yötem v. Değşke Metrk Yötem v. Smpleks Yötem v. Rosebrock Yötem Doğruda arama yötem, belrl br bölge üzerde yalızca amaç foksyou değerler kullaarak optmumu arar. Bu şlem yaparke kısm türevler kullamaz. Gradet yötem se optmumu bulmak ç foksyou gradyaıı alır. Ya foksyo değerler le beraber foksyou brc ve daha yüksek mertebede türevler de göz öüe alarak optmumu araştırır.... Doğruda Arama Yötem Doğruda arama yötem her şeyde öce tek değşkel foksyolarda uygulaır. Acak, tek değşkel foksyoları optmzasyouu çok değşkel algortmaları gelştrlmesde kullaıldığı uutulmamalıdır. Bu yötem geel matığı; öcelkle belrl br optmumu çerdğ ble br aralığı belrlemese çalışılmasıdır. Bu aralığı geşlğ optmumu kaybetmedğ garatledğ sürece sstematk olarak küçültülür. Bu şlem kes optmumu belrleyemez acak optmum oktayı çere aralığı çde sp optmumu belrlememz sağlar. Bu yötemdek sıırlamalarda brs optmze edlecek foksyou arama aralığı çersde umodal varsayılmasıdır. Bu durum sadece br yerel optmum oktayı belrlemektedr. Bua ek olarak, foksyou eğm sıfır yapa solu aralık mevcut değldr. İlave edle bu varsayımla, optmze edlecek bu foksyo keslkle umodal olmalıdır, alamı çıkmaktadır (Şeyay, 987:8).

27 Bu yötemde a b aralığı çersde taımlaa ve yerel optmuma sahp lk aralık varsayılır. Burada, eğer olarak ve gb k okta taımlaır ve bu taımlama şeklde olur. f ( ) foksyou maksmze edlecekse smetrk a ( ) ve b f ve f ( ) foksyolarıı celemes soucuda üç durum mevcuttur (Hmmelblau ve Ldsay, 980:670). ( ) ( ). Eğer f > f se (optmum ), le arasıda olmalıdır. ( ) ( ). Eğer f < f se < < b olur. ( ) ( ). Eğer f = f se < < olur. a l a b l geçlr. Burada Bu durumları her brdek aralıklar olarak göstermek stersek; çermyorlarsa br sorak terasyoa mümkü olduğu kadar küçük seçlmeldr. Bu şlem matematksel ( ) ma f a b (.0) şekldedr. Burada a 'yı ' sol sıırı b 'y de sağ sıırı olarak taımlarsak L a ve b fades ve R şekl alır. Burada ve L = R = 'dr. Ya R L = L ve (.)

28 = L R L olarak buluur. K terasyo sayısıı göstermek üzere; verle br (keyf olarak seçlmş çok küçük br aralık) değer ç foksyou e y değer bulmak ç "doğruda arama tablosu" kullaılır. Tablo : Doğruda Arama Tablosu K L a b R b f ( ) f ( ) f ( ) > f ( ) f ( ) f ( ) < f ( ) f ( ) > : : K : : L : : R : : k : : : : k k ( ) : : k f ( ) f Bu terasyolara yukarıda belrtldğ gb ( ) f ve f ) karşılaştırması L R soucua bağlı olarak devam edlr. So terasyoda ve elde edlmştr (Şeyay, 987:0). Buu alamı L R R L aralıksa ( ) ( f foksyouu, maksmum yapa, arasıda bulumaktadır. Her br terasyoda, terasyo sayısı arttıkça aralığı gderek küçülmektedr. Eğer K. terasyoda bu aralık kullaılablr oktası optmum okta olarak alıablr. = L R (.)

29 ... Gradet Yötem Bu bölümde celeecek ola kc derecede sürekl dferasyel foksyoları optmzasyou, doğrusal olmaya programlamada yaygı olarak kullaıla usur ola gradet foksyodur. Gradet foksyou doğasıı tam olarak alayablmek ç şekldek oktasıı ele alalım. Buradak düşüce, foksyou gradyaı yöüde brbr zleye oktaları üretmektr. Şeklde oktasıda oluduğu varsayılır ve etks araştırılsı (Ravdra,Phllps,Solberg, 98:55). A oktasıda oluşablecek maksmum değer Şekl : Çok Yölü Doğrusal Olmaya Foksyo A f () Optmuma ulaşablme, yalızca geçerl çözüm vektörü koordatları le mümkü olableceğ varsayılmaktadır. Yerel optmum oktasıı sağladığı blg kullaablmes ç verle oktasıda oktasıa ulaşmak ç mümkü ola e kısa optmum oraı bulmak gerekmektedr. le arasıdak bu uzaklığı r olarak adladırılsı. Ulaşıla oktasıı oluştuğu yer; optmum oktaya r kadar yaklaştığımız oktadır. Şekl.: İk Boyutlu Hareket 5

30 s =.0 m s =.0 m Boyutsal ala olarak aldığıda oluşacak formül: ( ) ( ) = rm (.) şekldedr. Burada m ;. parçaı hareket yöüü gösterr. Amaç foksyou y = f ( ) de dr gb küçük br adım atıldığıda foksyo da ayı orada (olasılıkta) artacak veya azalacaktır. Aşağıda verle eştlk, atıla adımı uzuluğuu büyüklüğüü verr. dr = d d K d (.) y' değşke olduğu farz edls; y'dek bu değşkelğ d 'ye bağlı olarak göstermek stersek veya dy = = y d (.5) 6

31 = = dr d y dr dy (.6) olarak fade edeblrz. Meydaa gele her türlü değşklk bu formüllerde uygulamaya koyulduğuda artış ya da azalışı yöü bulumuş olur. Bldğmz gb optmzasyo problemler amacı maksmzasyo veya mmzasyodur. maksmum veya mmum = = dr d y dr dy (.7) kısıt: = = dr d Bu eştlğ Lagrage foksyou formu maksmum veya mmum = = d d dr d y λ (.8) dr d fadese göre türevledğde = 0 dr d y λ,,, K = (.9) ve Lagrage çarpaı; λ, = = dr d olduğuda = = y λ veya 7

32 y λ = ± (.0) = elde edlr. Bu parametrk form. parça ç yazılırsa; () () = = () y r m r λ (.) Burada, (.9) y d λ =0 dr eştlğ kullaarak m aşağıdak formül yardımı le buluur; m = = y y =,, K, (.) Gradya yötem soa erdrlş gradya vektörüü sıfır (0) olduğu oktada gerçekleşr. Bu optmumluk ç sadece gerekl br koşuldur (Baray ve Esaf, 000:776). ( ) optmumluk doğrulaamaz. f ' koveks veya kokav olması öcede blmedkçe ( ) f ' maksmum kılıdığıı varsayalım;, prosedürü başladığı sıradak başlagıç oktası olsu ve ( ) X 0 f,. okta de f ' gradyaı olarak taımlası. Buradak düşüce, verle br okta da maksmum kılıdığı belrl br r yoluu belrlemektr. Bu souç brbr zleye df ' dr ve oktaları ç aşağıdak gb seçlrse ( ) ( ) = r f ( ) (.) şeklde oluşur. 8

33 Burada r, optmum adım büyüklüğüdür. 'y belrleyeblmek ç, r f 'dek e büyük yleştrmeyle souçlaır. Dğer br deyşle h () r f [ r f ( )] = (.) () olacak şeklde br h r foksyou taımlaırsa, ; değerdr. r h ( r) 'y maksmum kıla r Öerle prosedür, brbr zleye k deeme oktası ve yaklaşık olarak eşt olduğu zama durdurulur. Bu olarak verldğde, gerekl koşul ( ) = 0 ( ) 0 r f olmasıyla eşdeğerdr. r 0 f, de sağlaır... KISITLANMIŞ ALGORİTMALAR... Ayrılablr Programlama Ayrılablr programlama, amaç foksyouu ve kısıtlarıı ayrılablr formda olduğu doğrusal olmaya problemler çözümüyle lglee, koveks programlamaı özel br durumudur. Çoğu doğrusal olmaya programlama problemler aşağıdak formda olduğu gbdr (Bazaraa, Sheral ve Shetty, 006:68). Maksmum / Mmum = = Z = ( ) f Kısıtlar (.5) = = g ( ) b =,, K,m 0 =,, K, Karar değşkeler ayrı term ve fade olarak buluduklarıda, bu tptek doğrusal olmaya programlama problemlere "ayrılablr programlama problem" 9

34 der. Burada (,, f, foksyou f, f, K, f ) şeklde tek K ) ( ) ( ) ( değşkel foksyou toplamı olarak fade edlmektedr. Dğer br deyşle; (, ) = f ( ) f ( ) K f ( ) f, şekldedr. K, Bazı doğrusal olmaya foksyolar ayrık olmamalarıa rağme, bu foksyolarda uygu değşklkler yapılarak ayrık hale getrlp çözüleblrler. Geellkle ayrılablr programlamada doğrusal olmaya foksyolar [ ( ) ve g ( )] f parçalı doğrusal foksyolara yaklaştırılarak doğrusal olmaya programlama modeller le çözüleblrler. Tek değşkel foksyo f ( ), karma tamsayılı programlamayı kullaa parçalı doğrusal foksyola yaklaştırılablr (Baray ve Esaf, 000:78). foksyolarıı [ a, b] kapalı aralığı boyuca yaklaştırableceğ varsayalım. Öyle ve b sayıları bulumalı k ( =,,, K, ) ç optmal çözümdek ' değer f ve g a a b koşulua uysu. Sora her değşke ç a = p K = p pk b koşulua uya p, p,, pk 'yı kırılma oktaları olarak taımlaır. Buu soucu olarak yaklaştırılablr. f k ( ) f ( ) = a K ekse üzerdek f ( ) aşağıdak gb δ (.6) Burada δ, şeklde taımlaır.. = k a = δ (.7) kırılma oktasıa lşk poztf ağırlıktır. Ve k = δ = δ δ K δ = (.8) k Karma tamsayılı programlama, yaklaştırmaı geçerllğ sağlar ve özel olarak yaklaştırma; 0

35 E çok k δ poztf se geçerldr. δ poztf se bu durumda sadece br komşu δ veya δ poztf değer olarak varsayılablr. Bu koşulları asıl sağladığıı göstermek ç (.5) model ele alıırsa: Maksmum / Mmum Z Kısıtlar = = = ( ) f = = g ( ) b =,, K,m Bu problem karma tam sayılı programlama olarak şöyle yaklaştırılablr.. k değşke ç kırılma oktaları sayısı K 'ye eşt olsu, p da k. kırılma değer k olsu, δ,. değşke k. kırılma oktasıa lşk ağırlık olsu; Bu durumda karma problem, K ( ) k k Maks. / M. Zˆ = f p δ (.9) veya = k = k k Maks. / M. Zˆ = [ δ f ( p ) δ f ( p ) K δ f ( p )] = = Kısıtlar; (.0) = = k k [ g ( p ) δ g ( p ) δ g ( p )] b δ K =,, K, m 0 δ y k k 0 δ y y k,, K, K K 0 δ y K = K k y k = =

36 K k = δ k = k y = 0 veya, k =,,, K, K, =,, K, k k Yaklaştırma problem ç değşkeler ve 'dır. δ y Bu formülasyo herhag br problem, e azıda lkesel olarak, karma tamsayılı programlamayla asıl çözüleceğ gösterr. Buradak zorluk kısıt sayısıı kırılma oktalarıı sayısıyla brlkte hızla yükselmesdr (Baray ve Esaf, 000:78). Ble bast smpleks yötem kullaarak da yaklaşık model çözümü gerçekleştreblr. Karma tamsayılı programlama yötem yaklaşık probleme global optmum verrke bast smpleks yötem sadece lokal optmumu garat eder.... Kuadratk Programlama Kuadratk Programlama amaç foksyouu maksmzasyou veya mmzasyou ve kısıt koşulları doğrusal olduğu hallerde kullaılır. İkc derecede br amaç foksyou ç doğrusal ola Khu-Tucker eştlkler çözümü ve doğrusal kısıtları belrl özellkler le global optmumu garatler. değşkel br Q( ) foksyou, (, ) T X =, (.), K a a A = M a a a a M L L L L a a M a (.) olmak üzere Q T ( ) X A X = (.)

37 şeklde taımlaır k bu foksyoa Kuadratk Form veya Karel Form der. Q ( ) foksyou daha açık olarak; Q ( ) = = = a = a a L a a a a L a L a L a (.) şeklde de yazılablr. Burada hareketle Kuadratk foksyou geel formu yazılacak olursa: Maksmum / Mmum Z = CX X T A X Kısıtlar (.5) DX b X 0 Burada X T A X yukarıda taımladığı gb br Kuadratk formdur ve ( c c,, ) C =, (.6), K c ( b b,, ) T b =, (.7), K b m d d D = M d m d d d M m L L L L d d d M m (.8) A matrs problem maksmzasyosa egatf taımlı, problem mmzasyo se poztf taımlıdır. Bu da Z ' X 'te mmzasyo ç keslkle koveks, maksmzasyo ç de kokav olması alamıa gelr. Bu durumda koveks çözüm uzayıı garat ede kısıtları doğrusal olduğu varsayılır (Baray ve Esaf, 000:790).

38 Kuadratk programlama problem çözümü Khu-Tucker koşullarıa dayamaktadır. Z keslkle kokav veya koveks ve çözüm uzayı da koveks küme olduğu ç Khu-Tucker koşulları global optmum ç yeterldr. celemştr. Aşağıda maksmzasyo durumlu Kuadratk programlama problem Maks. Z = CX X T A X ve olur. D b G ( X ) = X 0 0 (.9) I DX b 0 X 0 ( λ λ, ) T λ =,, DX b 0 kısıtıa karşılık gele Lagrage çarpaı,, L λ m ( µ µ, ) T µ =,, X 0 kısıtıa karşılık gele Lagrage çarpaı olsular ve, L µ Khu-Tucker koşulları uyguladığı da; Z λ 0, µ 0 ( λ T, µ T ) G( X ) = 0 λ b a = 0 =,, K, m (.0) = µ = 0 =,, K, deklemler elde edlr. Z DX b X 0 = C X T A olur. S = b DX 0, kısıtları aylak değşkeler olsu, D G ( X ) = (.) I

39 koşullar, T T T X A λ D µ = C DX S = µ = 0 = λ S, tüm ve 'ler ç b µ, X, S, λ 0 (.) şekle drger. A T = A olduğu ç lk deklem kümes traspozes µ olur ve gerekl koşullar aşağıdak gb brleştrlr. T T AX D λ = C (.) A D D 0 T I 0 X 0 λ = I µ S C b µ = 0 = λ S, tüm ve 'ler ç T (.) µ, X, S, λ 0 Bu problem µ = 0 = λ S ek şartları le çözümü doğrusal deklem sstem çözümüe bezer ve çözüm k aşamalı smpleks metoduu brc aşaması kullaılarak elde edlr. Buradak tek kısıt µ = = 0 λs koşuluu sağlamasıdır k bu da λ ' poztf br katsayı le temelde yer alıyorsa S ' poztf br katsayı le temel çözümde yer alamayacağıı gösterr. Bezer şeklde µ ve de ayı ada poztf olamazlar.... Stokastk Programlama Geellkle gerçek hayatta parametreler kes olarak belrlemes zor olduğu problemlerle karşılaşablrz. Böyle durumlarda stokastk programlama, 5

40 problem bazı veya tüm parametreler rassal değşkelerle taımladığı durumlara çözüm bulmaya çalışır. Stokastk programlaı aa düşüces; problem olasılıklı yapısıı eşdeğer determstk forma döüştürmektr. Bu bölümde çalışmamızı çerğ açısıda aşağıdak gb taımlaa "Şas Kısıtlı Programlama" tekğ celeecektr (Nada,Pada ve Dash, 008:67). Maksmum Z = = c Kısıtlar; (.5) P = a b α, =,, K, m 0, ç Modelde görüldüğü gb her kısıtı α mmum olasılığıyla gerçekleştrlmesde dolayı bu modele "Şas Kısıtlı" delmektedr. Burada 0 α 'dr. Tüm a ve b 'ler rassal değşkeler olduğu varsayılır. Stokastk programlama problemde üç durum söz kousudur. İlk k durum a ve b rassal değşkeler ayrı ayrı ele alımasıa karşılık gelr. Üçücü durum se a ve b ' rassal etkler brleştrldğ durumdur. Bu üç durumu hepsde de ble ortalama ve sapmalarla ormal dağıldığı varsayılmaktadır (Hulsurkar, Bswal ve Sha, 997:75). Durum : Her a, ortalaması E { a } ve varyası { a } Cov {, } le verlmştr. Ayrıca a ve ' kovaryası a. kısıtı ele alıırsa; a a Var le "ormal" dağılır. ve P = a b α (.6) 6

41 h = = a (.7) olarak taımlası. h { } { }, E h = E a ve = Var T { h } X A X = le ormal dağılsı. Burada (, ) T X =,, K 'dr. A =. kovaryas matrs Ve P Var = M Cov { h b } { a } L Cov{ a, a } { } { } a, a L Var a h E P Var { h } { h } M b E { h } { h } (.8) = (.9) Var α olur. Burada, h E Var { h } { h } ; ortalaması 0 (sıfır), varyası (br) ola stadart ormaldr. Buu da alamı { h } { h } b E P { h b } = Φ (.50) Var 'dr. Burada Φ, stadart ormal dağılımı "Kümülâtf Yoğuluk Foksyouu" gösterr. P { h b } α K α, stadart ormal değer ve Φ( K ) = α olsu. Bu durumda fades acak ve acak α b E Var { h } { h } K α (.5) olması durumuda gerçekleşr. Bu da aşağıdak doğrusal olmaya determstk kısıtı verr. 7

42 = E T { a } K X A X b α (.5) Normal dağılımı bağımsız olduğu özel durum ç {, } = 0 yukarıdak kısıt (.5) Cov a a olur ve E { a } K Var{ a } b = = α (.5) şeklde drgeeblr. Bu kısıt aşağıdak değşklk kullaılarak ayrılablr programlama formua ekleeblr. y = = Var { a }, tüm 'ler ç (.5) Böylelkle oral kısıt; = = E { a } Kα y b Var { a } y = 0 ve (.55) deklemlere eşdeğer hale gelr. Durum : Sadece b, ortalaması { } E ve sapması Var{ } b b ola ormal dağılımdır. Burada da şlemler durum 'deke bezerdr. Aşağıdak Stokastk kısıtı ele alalım: P b a = α (.56) Durum 'dek gb, 8

43 olur. Bu acak ve acak b E P Var { b } { b } = a Var E { b } { b } α (.57) = a Var E { b } { b } K α (.58) se koruablr. Böylece Stokastk kısıt aşağıdak determstk doğrusal kısıta eşdeğer olur (Hulsurkar, Bswal ve Sha, 997:76). = E { a } E{ b } K Var{ b } α (.59) Durum : Bu durumda tüm a ve b 'ler rassal ormal değşkelerdr. a = b (.60) kısıtıı ele alalım. Bu kısıt aşağıdak gb de fade edeblr. = a b 0 (.6) Tüm a ve b 'ler ormal olduğuda, statstk teorsde a b ' de ormal olduğu soucu çıkar. Bu şas kısıtıı durum de verlele ayı duruma drgedğ ve ayı şeklde ele alıacağıı gösterr. = 9

44 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BULANIK MANTIK VE HEDEF PROGRAMLAMA İLİŞKİSİ HP ve bulaık matık, aşağıdak çok amaçlı problem çözümüde kullaıla k uygulamadır. İks de her br amaç ç arzu edle sevyelere htyaç duyar. Bu arzu edle sevyeler karar vercler tarafıda taımlaır (Mohamed, 997:9). opt Z = CX kısıt DX b = ) ( ) Burada Z ( z z L amaç vektörü, C; z k k boyutlu sabtler matrs, X; ( ) boyutlu karar değşke vektörü, D; ( m ) boyutlu sabtler matrs ve b; ( m ) boyutlu sabtler vektörüdür... BULANIK MANTIK Bulaık küme ve bulaık matık kavramları 960'lı yılları ortalarıda Azerbaycalı matematkç Prof. Dr. Loutf Askerzade ZADEH tarafıda gelştrlmştr. Bu kavramı dayadığı temel okta; gerçek düya problemlerde kes olmaya, belrsz ve bulaık verler büyesde barıdırmasıdır buludurmasıdır. Klask kümelere dayaılarak oluşturula öermeler, klask matıkta sadece k doğruluk değer ( 0 veya ) le eşleştrleblr ve buula brlkte öermeler tamame doğru veya tamame yalış olduğu kabul edlmektedr. Bu sebepte geleeksel klask matıkta "k değerl" matıkta demektedr. Çoklu değerllk se; klask kümelere dayaarak oluşturula öermeler, kde fazla doğruluk değer le eşleştrlebldğ matık sstemlere der. Çok değerl matıkta öermeler bütüüyle doğru, bütüüyle yalış ve kısme doğru kısme yalış olduğu kabul edlr. Bu okta da kelme alamı le bulaık, hayal meyal, puslu matık alamıa gele Bulaık Matık; klask kl matık ssteme karşı gelştrle, etrafımızda olup bte olayları meydaa gelş olasılıkları le değl belrl kümelere üyelk 0

45 dereceler le lglee ve üzerde çalışıla değşkeler elemaları hag oralarda gerçekleştğ belrleye çoklu matık sstemdr. Prof. L.A.Zadeh problem çözerke sa düşüüş tarzıı ele almıştır: "Büyük", "uzu", "sıcak", "yaşlı" gb sp kavramları dereceledrlmesde Zadeh gelştrdğ "Bulaık Küme Teors" ve matematksel formülasyou, klask matığı akse çok daha geş ufuk açmıştır (Güeş, 997:8). Kısacası, belrszlk altıda akıl yürütme le çok değerl matığı brleştrldğ matıksal br sstem ola Bulaık Matık ı temelde sa düşüüş tarzıa yakı çalışa makeler ve sstemler gelştrlmes yatmaktadır.... Bulaık Küme Teors İkl matıkta olduğu gb bulaık matık teors de kede at matematğ ve küme yapıları le lgl taımlamaları vardır. Aşağıda bulaık küme teorsde kullaıla temel otasyo verlmştr. X E : : Küme X ' alt kümes Ø : Boş Küme { 0,} : Sadece 0 ve de oluşa küme [ 0, ] : 0'da 'e kadar tüm reel sayılar kümes M : Üyelk Uzayı A ~ : Bulaık Küme ~ µ ~ : kümesdek 'ler üyelk foksyou A ( ) A Taım : 'lerde oluşturula elemalar sıralı kller X le gösterls. Bulaık br {(, ( ) ) X } A ~ kümes ~ A = µ ~ (.) A

46 şeklde taımlaır (Bellma ve Zadeh, 970:). Bu fade de; bulaık br küme sıralı kllerde oluşa elemalarıda brcs küme elemaı, kcs se bu elemaı üyelk dereces belrte değerdr. Bulaık küme teorsde, küme şlemler üyelk foksyou yardımı le aşağıdak gb taımlamıştır (Zmmerma, 987:7). ~ ~ ~ Brleşme İşlem : D : A B olmak üzere { } ( ) ma µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ =, X (.) ~, D A B ~ ~ ~ Kesşme Özellğ : D : A B olmak üzere { } ( ) m µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ =, X (.) ~, D A B Küme Tümleye : ( ) foksyou olmak üzere µ, bulaık br A ~ kümes tümleye üyelk A ~ ( ) = ( ) µ A ~ µ A ~, X (.) Koveks Küme : A ~ 'ı koveks olablmek ç aşağıdak şartı sağlaması gerekmektedr. [ λ ( λ) m{ µ ~ ( ) ~ ( )}] µ,, X ve λ [ 0, ] (.5) ~, µ A A A... Üyelk Foksyou der. Bulaık küme taımıda yer ala ( ) A ~ ( ) µ foksyou X kümes µ fadese X üyelk foksyou A ~ M üyelk uzayıa eşler. Üyelk foksyou [ 0, ] kapalı aralığıda değerler alablr ve bu değerler elemaıı üyelk dereces gösterr (La-Hwag, 99:0). Matematksel olarak,

47 olarak taımlaablr. [ 0,] µ : X (.6) Üyelk foksyoları brçok farklı şekllerde olablr. Özel br şekl uygu olup olmayacağıı tespt etmek; çalışıla uygulama alaı tarafıda elde edle verlerle belrler. Fakat brçok uygulama bu tür şekl değşklklere karşı çok fazla duyarlılık göstermezler. Hesaplama açısıda getrdğ kolaylıklar göz öüe alıarak stele şeklde üyelk foksyouu seçlmes, bulaık küme teors eseklğ yasıtmasıda öe çıka br durumdur. Aşağıda bazı üyelk foksyoları verlmştr (Huag, 007:5). Üçge Üyelk Foksyou : A = { a, a a } ~, 0, < a a, a a a a µ ~ ( ) = (.7) A a, a a a a 0, > a µ ( ) A ~ Şekl : Üçge Üyelk Foksyou a a a

48 Yamuk Üyelk Foksyou : { },,, ~ a a a a A = ( ) > < = ~, 0,,,, 0 a a a a a a a a a a a a a a A µ (.8) Şekl : Yamuk Üyelk Foksyou ( ) A ~ µ a a a a Taım: Destek Küme, bulaık br A ~ kümes destek kümes "üyelk dereceler sıfırda büyük ola 'ler" olarak ( ) { } X A A > =, 0 ~ ~ µ (.9) şeklde taımlamıştır (La-Hwag, 99:).

49 Üyelk foksyouu aralığı "sıfır" üyelk dereces karşılamasıa rağme, bu dereceye sahp ola elema ve üyelk dereces "sıralı kls" şeklde lsteye dâhl edlmemektedr.... Bulaık Artmetk Bulaık küme teorsde cebrsel şlemler altı başlık altıda toplamıştır (Zmmerma, 99:8). Cebrsel Toplam: ~ ~ ~ C = A B (.0) ve ( ) = µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ ~ ( ) ~ ( ) µ ~ ~ µ (.) A B A B A B olmak üzere ~ C = {(, µ ( ) X )} A ~ B ~ (.) dır. Sıırlı Toplam: ~ ~ ~ C = A B (.) ve µ ~ ~ ( ) = m {, µ ~ ( ) µ ~ ( ) } (.) A B A B olmak üzere ~ C = {(, µ ( ) X )} A ~ B ~ (.5) dır. Sıırlı Fark: ~ ~ ~ C = AΘB (.6) ve µ ~ ~ ( ) = ma { 0, µ ~ ( ) µ ~ ( ) } (.7) A ΘB A B olmak üzere ~ C = {(, µ ( ) X )} A ~ Θ B ~ (.8) dır. 5

50 İk Küme Farkı: olmak üzere dır. ~ ~ C A ~ =. B (.9) {(, ( ) ( ) X )} ~. µ ~ C = µ A B ~ (.0) Bulaık Küme Kuvvet: Bulaık br A ~ kümes. Kuvvet aşağıda olduğu gb fade edlr. Kartezye Çarpım: üzere kartezye çarpım; şekldedr. [ ] ( ) ( ) µ =, X (.) ~ µ ~ A A ~ A ~, K, A kümeler X, K, X 'de bulaık kümeler olmak { } X µ =, (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ m µ ~ =,, A,, A A K K.. HEDEF PROGRAMLAMA Çok amaçlı karar verme tekkler çersde e yaygı olarak kullaıla Hedef Programlamada her br hedef ç farklı br ölçeğ kullaılablyor olması bu tekğ yaygılığıı br sebebdr. HP, DP de olduğu gb amaç krter doğruda maksmze veya mmze etmek yere hedefler arasıdak sapmaları mmze yapmayı amaçlar. Doğrusal programlamaı smpleks algortmasıda yer ala bu gb sapmalar aylak değşkeler olarak smledrlrke, bu sapa değşkeler hedef programlamada ye br alam kazaırlar. Sapa değşkeler her br hedefte hem poztf yöde hem de egatf yöde sapmalar şeklde k boyutta gösterlr. Amaç foksyou yalızca bu sapa değşkelerde oluşur (Umarusma, 00:5). d : poztf sapa değşke d : egatf sapa değşke Br hedefte hem egatf hem de poztf sapma olamayacağı ç ayı ada sapa değşkelerde herhag br veya her ks brde sıfır olmalıdır. Sapa 6

51 değşkeler her ks de sıfır se hedef değerlermze kes olarak ulaşmışız demektr. Hedef programlamada kullaıla üç hedef tp mevcuttur (Romero, 00:6). f b a. ( ) 'c hedef belrlee başarı düzeyde küçük veya eşt se oluşacak poztf sapa değşke d ç mümkü ola e küçük poztf değer alıması gerekr. f b b. ( ) 'c hedef belrlee başarı düzeyde büyük veya eştse oluşacak egatf sapa değşke d ç mümkü ola e küçük poztf değer alıması gerekr. f = b c. ( ) 'c hedef belrlee başarı düzey tam olarak karşılıyor se hem poztf sapa d değşke ' hem de egatf sapa değşke ' toplamlarıı ayı ada mmze yapılması gerekr. d... Hedef Programlama Çözüm Yötemler Hedef programlama modeller çözüm yötemler başlık altıda toplamıştır (Schederas, 99:5).. Doğrusal Hedef Programlama. Tamsayılı Hedef Programlama. Doğrusal Olmaya Hedef Programlama. Bulaık Hedef Programlama... Doğrusal Hedef Programlama Burada amaç foksyoları üç şeklde celeeblr. a. M Z d d = =,, K, (.) 7

52 Bu tür amaç foksyoları, sapa değşkeler ç herhag br ağırlık ya da öcelk olmadığıda kullaılır. Bu eştlkte Z her k yölü sapmaı toplamıı mmumudur. b. Z = P ( k d d ) M =,, K, ve k =,, K, K (.) K hedef sayısı olmak üzere, her br hedef ç öcelkler kullaılır. Bu tür amaç foksyou, hedefler öcelklere göre sıraladığıda kullaılır. Burada dkkat edlmes gereke okta sapa değşkeler ç herhag br ağırlıkladırma söz kousu değldr. c. Z = w ( k Pk d d ) M =,, K, ve k =,, K, K (.5) Bu tptek amaç foksyouda se hedefler öcelklere göre sıralaması le brlkte her sevyedek sapma değşkeler ağırlıkladırılmıştır. P k... Tamsayılı Hedef Programlama Hedef programlama problemler oluşturulmasıda karar değşkeler tümü ya da br kısmı tamsayı değerler le sıırladırılmıştır. Brçok HP model Tamsayılı HP modele dayamaktadır.... Doğrusal Olmaya Hedef Programlama HP uygulamalarıda geellkle hedefler ve kısıtlar doğrusal br yapı göstermektedr. Bazı uygulamalarda se çalışmamız da olduğu gb DOHP kullaılır. Bu kou ayrıtılı olarak Bölüm 'te celemştr.... Bulaık Hedef Programlama Bulaık küme teors hedef programlama modele uygulaması Bölüm.'te celemştr. 8

53 .. BULANIK ORTAMDA KARAR VERME Bulaık hedef ve bulaık kısıtlayıcı durumuda asıl karar verlebleceğ Bellma ve Zadeh 970 yılıda "Bulaık Karar Kümes" kavramı le açıklamaya çalışmışlardır. Bulaık br hedef G ~ veya ( ) edleblr. µ ( ), ( ) [ ] ~ 0, G ~ hedefe üyelk dereces gösterr. G µ üyelk foksyou le fade G ~ µ şartı le belrl br çözüm vektörüü bulaık µ olduğuda hedefe tamame ulaşıldığıı, ~ ( ) = G µ olduğuda hedefe tamame ulaşılamadığıı, ~ ( ) = 0 G 0 < ~ ( ) < µ olduğuda hedefe kısme ulaşıldığıı göstermektedr. G Ayı şeklde bulaık br kısıt C ~ veya ( ) edleblr. µ ( ), ( ) [ ] ~ 0, C ~ C µ üyelk foksyou le fade C ~ µ şartı le belrl br çözüm vektörüü bulaık kısıtlayıcıdak üyelk dereces gösterr. µ olduğuda kısıtlayıcıı tamame doyurulduğuu, ~ ( ) = C µ olduğuda kısıtlayıcıı tamame doyurulamadığıı, ~ ( ) = 0 C 0 < ~ ( ) < µ olduğuda kısıtlayıcıı kısme doyurulduğuu C göstermektedr. Bulaık br karar, verle hedefler ve kısıtlayıcıları br kesşm olarak taımlaır. Bulaık hedef ve bulaık kısıtlayıcıları br alt kümes ola bulaık karar kümes, D ~ kümes veya ( ) 970:8). ve dr. µ üyelk foksyou le fade edlr (Bellma ve Zadeh, D ~ ~ D ~ ~ = (.6) ( ) G( ) C( ) { } ( ) m µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ = (.7) ~, D G C 9

54 Şekl 5: Bulaık Hedef, Kısıt ve Karar Arasıdak İlşk µ KISIT BULANIK HEDEF KARAR Tüm hedef ve kısıtları kesşm ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ D = G G K G C C C (.8) şekldedr. Bu fade ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K m ( ) { } ( ) m µ ~ ( ), K, µ ~ ( ), µ ~ ( ), µ ~ ( ) = m { µ ~ ( ), µ ~ ( ) } µ = K (.9) ~, D G G C C m G C =,, K,, =,, K, m şeklde fade edlr. Buula brlkte ( ) µ üyelk foksyou da; bulaık karar D ~ kümes e yüksek üyelk derecel elemaıı belrlemes kararı maksmzasyou alamıa gelmektedr. Bu da { } ( ) ma µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ = (.0) ~, D G =,, K, =,, K, m şeklde fade edlr (Sakawa, 000:7). C.. BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA Bulaık küme teors hedef programlama modele uyguladığı zama, hedefler erşm düzeyler ve terch öcelkler kes olmaya fadelerle (bulaık olarak) teleeblr. Bulaık küme teors, karar vercler subektf yargılara dayaa hedefler ç, "yaklaşık olarak 'e eşt" ve " 'de oldukça küçük" gb br 0

55 dl doğal yapısıa göre fade edleble erşm düzeyler taımlamasıa z verr. Hedeflere lşk bu tür taımlamalar, bulaık kümelerde üyelk foksyoları le aılır. Bu sayede, hedef programlama model br optmzasyo düşücesde daha çok br doyum düşücese dayama özellğ ö plaa çıkarılmış olur (Özka, 00:8). Stadart br hedef programlama formülasyou da hedefler ve kısıtlar açık ve kes olarak taımlaıp verle br çevre yardımı le brde fazla amacı optmal gerçekleşmes araştırılır. Hedefler, kes ve matematksel eştlkler kullaılarak belrlee hedef değerlere dayaılarak formülasyou yapılır. Hedef programlama çersde bulaık küme teors uygulamasıdak e öeml avata karar verc bulaık hedef değerler belrlemesdr. Çok amaçlı karar verme bu tekğdek br dğer öeml avata se hedefler ve kısıtları tamame smetrk olarak oluşturulmasıdır. Hedefler ç belrlee eğtm düzeyler bulaık olduğu varsayımı le geelleştrlmş br bulaık hedef programlama model aşağıdak gb fade edlr. A Amaç ( ) ( ) A ~ ~ =, ~, b Kısıtlar ( ) ( ) l l 0 ~ ~ =, ~, b Burada b kullaılablr kayak ve hedefler vektörü ke A tekk katsayıları matrsdr. ~ ~ ~ =,, : kısıtları çevresde olduğuu belrtmek ç kullaılmıştır. b l Karar verc hedefler kes olarak belrlemes kousuda br belrszlğe düşeblr. Bu sebep le hedef değer b yere bu değere bağlı olarak, hedef bulaık olarak düşüce ve cümlelerle açıklayablr. Bulaık düşüce ve cümleler şeklde fade edle br hedef programlama formülasyou;

56 A Amaç ( ) ( ) ~ ~ =, ~, b Kısıtlar ( A ) ( =,, ) b l l 0 ~ b ~ l : Her l ç düşüceler ve cümleler le açıklaa hedeflerdr. Karar verc belrleme soruu yaşadığı ç b l hedef değer çevresde kabul edleblr maksmum mktarda sapmalar oluşablr. Bu sapmalar gösterls, d olarak Şekl 6: Kes Olarak Belrleemeye Hedef ve Kabul Edleblr Maksmum µ Sapmaı Üçgesel Formu d d 0 b d b b d ( A ) Burada ( A) ; gerçekleşmes stee amaçları satırıdır. Bulaık hedefler ç Zmmerma tp üyelk foksyoları aşağıdak gb çıkartılablr (Mohamed, 997:8).

57 ( A) = b ( ) ( A) 0, < b d b ( A), b d ( A) b ~ d µ = (.) ( A) b, b ( A) b d d 0,( A) b d =,, K, m ( A) b ( ) ~ ( A) ( A) 0, b d b ( A) µ =, b b d (.) d,( A) b = m, m, K, m ( A) b ( ) ~ ( A) 0, b d ( A) b µ =, b d ( A) b (.) d,( A) b Burada; d : hedef değerde subektf olarak belrlee maksmum kabul edleblr sapmalardır. b : terch edle değer, b d b d : e kötümser değer, : e ymser değer olarak taımlaır.

58 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA Gerçekte üzerde çalıştığımız modeller brçoğu tek br amaca sahp olmamakta; ayı ada brçok amacı gerçekleşmes stemektedr. Bu sebeple doğrusal olmaya modeller çözümü ç çeştl tekkler gelştrlmştr. DOHP da bu tekklerde brdr. DOHP, doğrusal olmaya amaçlar ve doğrusal olmaya kısıtları çere çok krterl matematksel programlama problemler çözümü ç kullaıla br tekktr. Doğrusal olmaya hedef programlama model geel şekl aşağıdak gbdr (Saber ve Ravdra, 99:76); p M ( Mmze Z = P w d w d (.) Kısıtlar; R k = k = L k ( X ) b =,, K L, k ) = (.) g ( X ) d d = t = L, K M L L, (.) Burada, d, d 0 =, K, M p ; modeldek sıralı öcelkler sayısı P ; k'ıcı sıralı öcelk ( P >>> ) k k P k L; modeldek gerçek kısıtları sayısı M L ; modeldek hedef kısıtlarıı sayısı w ; sıralı öcelğdek 'ye atamış ağırlık k k P k w ; sıralı öcelğdek 'ya atamış ağırlık d, P k d d d ; DOHP modeldek sapma değşkeler (k bular hedef sıırlamasıda başarı altıda ya da üstüde oluup olumadığıı gösterrler.)

59 X ; karar değşke vektörü b ; 'c kısıtı sağ taraf sabt t ; hedef ya da hedefdek ( g ) arzu edle sevye Hag DOHP metoduu daha uygu olduğua karar vermede yardımcı olablecek yaklaşımlar dört aa başlıkta açıklamıştır (Saber ve Ravdra, 99:75).. Smpleks Yaklaşımı. Drekt Arama Yaklaşımı. Gradet Yaklaşımı. İteraktf (etkleşml) Yaklaşım.. SİMPLEKS YAKLAŞIMI Bu yötem DOHP modeller çözümüde kullaılmak üzere; a. MAP Yaklaşımı b. Ayrılablr Programlama c. Karel Programlama üç temel yaklaşımı çersde buludurmaktadır.... MAP Yaklaşımı Bu yaklaşım Grffth ve Steward tarafıda tek amaçlı doğrusal olmaya programlama problemler çözmek ç gelştrlmş ve 976 da Igzo tarafıda doğrusal olmaya hedef programlama problemler çözümü ç uyarlamıştır. Bu metodolo DOHP model çde doğrusal olmaya hedef kısıtlarıa z verr. (Schederas, 99:8) 5

60 Yaklaşım geel olarak aşağıdak gb verle doğrusal olmaya programlama problemler çözer (Saber ve Ravdra, 99:77). ( ) Mmze Z X (.) Kısıtlar; ( X ), K M f =, (.5) 0 X u =, K (.6), Burada Z ve f 'ler doğrusal olmaya dferasyelleeble foksyoları ve u 'ler se modeldek karar değşkeler ç üst sıır değerler göstermektedr. Bu yaklaşım, Taylor Sers açılımıı kullaırke herhag br komşuluğuda bulua doğrusal br foksyo yardımıyla X oktasıı f ( X ) doğrusal olmaya foksyouu yakısamasıı temel alır. Ve daha sora bu şlemler soucuda elde edle doğrusal programlama problem çözmek ç kullaılır. Buula brlkte DOHP problem DOP problemler özel br şekl olduğuda MAP yaklaşımı DOHP problemler çözümü çde kullaılablr. ve Bu oktada hareketle DOHP model geel şeklde yer ala R ( X ) = b =,, K L, g ( X ) d d = t = L, K M L L, kısıtlarıı dferasyelleeble olduğuu varsaydığımızda DOHP problem doğrusal yapıya döüştürülmes aşağıdak gbdr; p M ( Mmze Z = P w d w d (.7) Kısıtlar ; R k = k = L k k ) ( X ) R ( X )( X X ) = b =,, K L (.8), 6

61 ( X ) g ( X )( X X ) d d = t = L, K M, g L L L (.9) d, d 0 =, K, M (.0) Burada (, ) X =, K 'dr. Ek olarak, ( X X ) ola basamak ölçüsü term ye br y vektörü le taımlaablr; y = =, K (.), ve y sıırsız olduğuda y = y y =, K, (.) olarak fade edlr. Burada y, y 0 =, K, y, basamak ölçüsü vektörüü kısıtlayarak - sıırlayarak; tahmleme hatalarıı mmze etmek de MAP yaklaşımıı br amacıdır. s y y s =, K, (.) Burada s 'ler kısıtlardır. Kısıtlamalar da herhag br olumsuzluk olmadığıda s y y s fades 0 =, K, (.) y s 0 y =, K, (.5) s olarak yazılablr. Sıırladırılmış X vektörüü de (.6) ve (.) (.5) deklemleryle bağıtılı olduğuu göz öüde buludurulduğuda { s u } 0 y m, (.6) 7

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Dinamik Programlama. Örnek 3: Tıbbi Müdahale Ekiplerinin Ülkelere Dağıtımı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Dinamik Programlama. Örnek 3: Tıbbi Müdahale Ekiplerinin Ülkelere Dağıtımı YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Hafta Determstk Damk Programlama (devam) Damk Programlama Geçe derste küçük ölçekl problemler damk programlamayla yelemel olarak asıl çözüldüğüü gördük. Bu derste, öreklere devam

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun: Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda,

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

ÜRETİM PLANLAMASINDA HEDEF PROGRAMLAMA VE BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

ÜRETİM PLANLAMASINDA HEDEF PROGRAMLAMA VE BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Öer.C.9.S.. Temmuz 00.-. ÜRETİM PLANLAMASINDA HEDEF PROGRAMLAMA VE BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Semra ERPOLAT Mmar Sa Güzel Saatlar Üverstes Fe Edebyat Fakültes, İstatstk Bölümü,

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Bir Alışveriş Merkezinde Hizmet Sektörü Đçin En Kısa Yol Problemi ile Bir Çözüm

Bir Alışveriş Merkezinde Hizmet Sektörü Đçin En Kısa Yol Problemi ile Bir Çözüm Br Alışverş Merkezde Hzmet Sektörü Đç E Kısa Yol Problem le Br Çözüm Pıar Düdar, Mehmet Al Balcı, Zeyep Örs Yorgacıoğlu Ege Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr Yaşar Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr par.dudar@ege.edu.tr,

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI Ahmet ERGÜLEN * Halm KAZAN ** Muhtt KAPLAN *** ÖZET Arta rekabet şartları çersde karlılıklarıı korumak ve

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

Quality Planning and Control

Quality Planning and Control Qualty Plag ad Cotrol END 3618 KALİTE PLANLAMA VE KONTROL Prof. Dr. Mehmet ÇAKMAKÇI Dokuz Eylül Üverstes Edüstr Mühedslğ Aablm Dalı 1 Qualty Maagemet İstatstksel Proses Kotrol Kotrol Kartları 2 END 3618

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede

Detaylı

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA İstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs Yıl: 11 Sayı: Güz 01 s. 19-35 ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA Cası KAYA 1, Oza KOCADAĞLI Gelş: 30.05.01 Kabul: 14.1.01

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda

Detaylı

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ BÖLÜM OLSILIK TEORİSİ İstatstksel araştırmaları temel koularıda br souu öede kes olarak blmeye bazı şasa bağlı olayları (deemeler) olası tüm mümkü souçlarıı hag sıklıkla ortaya çıktığıı belrleyeblmektr.

Detaylı

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract YKGS2008: Yazılım Kaltes ve Yazılım Gelştrme Araçları 2008 (9-0 ekm 2008, İstabul) Yazılım Ürü Gözde Geçrmeler Öem, Hazırlık Sürec ve Br Uygulama Öreğ The Importace of the Software Product Revews, Preparato

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği Akademk Blşm 11 - III. Akademk Blşm Koferası Bldrler 2-4 Şubat 2011 İöü Üverstes, Malatya Bağıl Değerledrme Sstem Smülasyo Yötem le Test Edlmes: Kls 7 Aralık Üverstes Öreğ Kls 7 Aralık Üverstes, Blgsayar

Detaylı

AÇIK ARTIRMALI EKONOMİK YÜK DAĞITIM PROBLEMİ İÇİN FARKLI BİR YAKLAŞIM

AÇIK ARTIRMALI EKONOMİK YÜK DAĞITIM PROBLEMİ İÇİN FARKLI BİR YAKLAŞIM AÇIK ARTIRMALI EKONOMİK YÜK DAĞITIM ROBLEMİ İÇİN FARKLI BİR YAKLAŞIM Adem KÖK () Takut YALÇINÖZ () Nğde Tedaş, Nğde, ademkok@yahoo.com Nğde Üverstes, Elektrk-Elektrok Mühedslğ Bölümü, tyalcoz@gde.edu.tr

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2 l Ta rr ım ı Ekooms Kog rres 6-8 - Eylül l 2000 Tek rrdağ TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ (980-998) (TRANLOG MALİYET FONKİYONU UYGULAMAI) Yaşar AKÇAY Kemal EENGÜN 2. GİRİŞ Türkye tarımı

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada,

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep GENEEŞTİRİMİŞ UANIK KÜMEER Mehme Şah Gazaep Üverses, Maemak ölümü, 27310, Gazaep ÖZET: u çalışmada öcelkle P ( br al ale olarak buludura bulaık kümeler GF ales br halka olarak yapıladırılmaka ve bu yapıı

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim. 6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü

Detaylı

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi Yüksek Mertebede Sstemler İç Ayrıştırma Temell Br Kotrol Yötem Osma Çakıroğlu, Müjde Güzelkaya, İbrahm Eks 3 Kotrol ve Otomasyo Mühedslğ Bölümü Elektrk Elektrok Fakültes İstabul Tekk Üverstes,34369, Maslak,

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Sülema Demrel Üverstes B Türe E Sarııar e Blmler Esttüsü Dergs - (00 - lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Bahr TÜREN E SRIPINR Sülema Demrel Üverstes

Detaylı

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455 İler Tekoloj Blmler Dergs Joural of Advaced Techology Sceces ISSN:47-3455 GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ Yusuf ALAŞAHAN İsmal ERCAN Al ÖZTÜRK 3 Salh TOSUN 4,4 Düzce Üv, Tekoloj

Detaylı

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör AES S Kutusua Bezer S Kutuları Ürete Smulatör M.Tolga SAKALLI Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ tolga@trakya.edu.tr Erca BULUŞ Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ ercab@trakya.edu.tr Adaç ŞAHİN Trakya Üverstes

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN

Detaylı

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER

Detaylı

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t) III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2 Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü

Detaylı

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri Asmetr ve Basıklık Ölçüler Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartllere dayanan (Bowley) omentlere dayanan asmetr ve basıklık ölçüler Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr III. Asmetr ve Basıklık

Detaylı

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri Bakacılar Dergs, Sayı 58, 006 Grş Operasyoel Rsk İler Ölçüm Modeller Çalışma k bölümde oluşmaktadır. İlk bölümde operasyoel rskler ölçülmes kapsamıda hag ler ölçüm modeller kullaılması gerektğ, söz kousu

Detaylı

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME 6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve

Detaylı

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI DAĞILIMLAR İÇİN EN ÇOK OLABİLİRLİK VE FARKLI KAYIP FONKSİYONLARI ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN PERFORMANSLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Gülca GENCER

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI 1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl

Detaylı

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları MEÜ. Mühedslk Fakültes Jeoloj Mühedslğ Bölümü MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALAR Prof. Dr. Hüsey Çeleb Ders Notları Mers 007 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 1 Brkaç ülü sözü İstatstk! Matematğ

Detaylı

çözüm: C=19500 TL n=4 ay t=0,25 I i 1.yol: Senedin iskonto tutarı x TL olsun. Bu durumda senedin peşin değeri: P C I (19500 x) TL olarak alınabilir.

çözüm: C=19500 TL n=4 ay t=0,25 I i 1.yol: Senedin iskonto tutarı x TL olsun. Bu durumda senedin peşin değeri: P C I (19500 x) TL olarak alınabilir. 1 6)Kred değer 19500 TL ola br seet vadese 4 ay kala, yıllık %25 skoto oraı üzerde br bakaya skoto ettrlyor. Hesaplamada ç skoto metodu kullaıldığıa göre, seed skoto tutarı kaç TL dr? C=19500 TL =4 ay

Detaylı

TEZ ONAYI Nur ÇELİK tarafıda hazırlaa ANOVA Modellerde Çarpık Dağılımlar Kullaılarak Dayaıklı İstatstksel Souç Çıkarımı ve Uygulamaları adlı tez çalış

TEZ ONAYI Nur ÇELİK tarafıda hazırlaa ANOVA Modellerde Çarpık Dağılımlar Kullaılarak Dayaıklı İstatstksel Souç Çıkarımı ve Uygulamaları adlı tez çalış ANKARA ÜNİVERSİTESİ EN BİLİERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ANOVA MODELLERİNDE ÇARPIK DAĞILIAR KULLANILARAK DAYANIKLI İSTATİSTİKSEL SONUÇ ÇIKARIMI VE UYGULAMALARI Nur ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 0

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOĞRUSAL OLMAYAN POISSON REGRESYON M. Kazım KÖREZ YÜKSEK LİSANS İSTATİSTİK Aablm Dalı Ağustos- KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS DOĞRUSAL OLMAYAN

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR

GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR Koray BOZDAYI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR 0 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

BETONARME YAPILARIN DEPREM PERFORMANSININ DEĞERLENDİRİLMESİ. M.Emin ÖNCÜ 1, Yusuf CALAYIR 2

BETONARME YAPILARIN DEPREM PERFORMANSININ DEĞERLENDİRİLMESİ. M.Emin ÖNCÜ 1, Yusuf CALAYIR 2 BETONARME YAPILARIN DEPREM PERFORMANSININ DEĞERLENDİRİLMESİ M.Em ÖNCÜ, Yusuf CALAYIR ocume@dcle.edu.tr, ycalayr@frat.edu.tr Öz: Çalışmada, betoarme yapıları Türk Deprem Yöetmelğde (ABYYHY,998) verle talep

Detaylı

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lsas Tez

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Ders Notları MART 27, 2016 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

SAYISAL ANALİZ. Ders Notları MART 27, 2016 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL ANALİZ Ders Notları MART 7, 06 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Ösöz Mühedslkte aaltk olarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN DETERMİNİSTİK EŞİTLİKLERİ Kumru Didem ATALAY 1, Ayşen APAYDIN 2 ÖZ

ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN DETERMİNİSTİK EŞİTLİKLERİ Kumru Didem ATALAY 1, Ayşen APAYDIN 2 ÖZ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ B Teor Blmler ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY B Theoretcal Sceces Clt/Vol.:-Sayı/No: : -8 (0 ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 EGESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KAELE VE EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI Özlem GÜÜNLÜ ALMA, Özgül VUPA Dokuz Eylül Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes,

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

TABU ARAŞTIRMASI UYGULANARAK EKONOMİK YÜK DAĞITIMI PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

TABU ARAŞTIRMASI UYGULANARAK EKONOMİK YÜK DAĞITIMI PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ TABU ARAŞTIRMASI UYGULANARAK EKONOMİK YÜK DAĞITIMI ROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ T. YALÇINÖZ T. YAVUZER H. ALTUN Nğde Üverstes, Mühedslk-Mmarlık Fakültes Elektrk-Elektrok Mühedslğ Bölümü, Nğde 5200 / Türkye e-posta:

Detaylı