BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA

Transkript

1 T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ PROGRAMI YÜKSEK LİSANS TEZİ BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA Bület TATAR Daışma Doç. Dr. Kaa YARALIOĞLU 00

2 YEMİN METNİ Yüksek Lsas Tez olarak suduğum "Bulaık Doğrusal Olmaya Çoklu Hedef Programlama ve Uygulama" adlı çalışmaı, tarafımda, blmsel ahlak ve geleeklere aykırı düşecek br yardıma başvurmaksızı yazıldığıı ve yararladığım eserler bblyografyada gösterlelerde oluştuğuu, bulara atıf yapılarak yararlaılmış olduğuu belrtr ve buu ourumla doğrularım..../.../... Bület TATAR II

3 YÜKSEK LİSANS TEZ SINAV TUTANAĞI Öğrec Adı ve Soyadı : Bület TATAR Aablm Dalı : Yöeylem Araştırması Programı : Ekoometr Tez Kousu : Bulaık Doğrusal Olmaya Çoklu Hedef Programlama ve Uygulama Sıav Tarh ve Saat : Yukarıda kmlk blgler belrtle öğrec Sosyal Blmler Esttüsü ü.. tarh ve. Sayılı toplatısıda oluşturula ürmz tarafıda Lsasüstü Yöetmelğ 8.maddes gereğce yüksek lsas tez sıavıa alımıştır. Adayı kşsel çalışmaya dayaa tez. dakkalık süre çde savumasıda sora ür üyelerce gerek tez kousu gerekse tez dayaağı ola Aablm dallarıda sorula sorulara verdğ cevaplar değerledrlerek tez, BAŞARILI OLDUĞUNA Ο OY BİRLİĞİ Ο DÜZELTME Ο* OY ÇOKLUĞU Ο REDDİNE Ο** le karar verlmştr. Jür teşkl edlmedğ ç sıav yapılamamıştır. Öğrec sıava gelmemştr. Ο*** Ο** * Bu halde adaya ay süre verlr. ** Bu halde adayı kaydı slr. *** Bu halde sıav ç ye br tarh belrler. Evet Tez burs, ödül veya teşvk programlarıa (Tüba, Fullbrghtht vb.) aday olablr. Ο Tez mevcut hal le basılablr. Ο Tez gözde geçrldkte sora basılablr. Ο Tez basımı gerekllğ yoktur. Ο JÜRİ ÜYELERİ İMZA Başarılı Düzeltme Red.. Başarılı Düzeltme Red... Başarılı Düzeltme Red.. III

4 ÖZET Yüksek Lsas Tez BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA Bület TATAR Dokuz Eylül Üverstes Sosyal Blmler Esttüsü Ekoometr Aablm Dalı Ekoometr Programı Problem, doğrusal br amaç ve doğrusal yapıdak kısıtlarda oluşa br modelle kurulmuş se br çok yötem le optmal çözüme ulaşılır. Acak model yapısıı doğrusal olmadığı çok amaçlı durumlarda ayı yötemler kullaması sapmalı ve tutarsız souçlar verecektr. Bu sebeple, "Doğrusal Olmaya Programlama" problemler çözümü ç brçok algortma gelştrlmştr. Acak bu algortmalarda sadece br kaçı gerçek düya problemlere uygulaablmektedr. 960'lı yılları başıda "Hedef Programlama" kousu celemeye başlamış ve güümüze kadar ster tek br amaca ster brçok amaca ayı ada optmal çözümler üreterek gelşm sürdürmüştür. 965 yılıda Loutf A. Zadeh tarafıda "Bulaık Küme Teors" gelştrlmes le geleeksel yapıya ye br bakış açısı kazadırılmıştır. Bu sayede karar vercler gerçek düya problemler le lgl sözel düşüceler modellerde yer alması sağlamıştır. Bu çalışmada, Doğrusal Olmaya Çoklu Hedef Programlama kousu çersde yer ala Şas Kısıtlı Hedef Programlama tekğ Bulaık Matık yaklaşımı le brleştrlerek gerçek br üretm sürecde e gb souçlar vereceğ araştırılmış ve kouyla lgl öer ve eleştrler yapılmıştır. IV

5 Aahtar Kelmeler: Bulaık Matık, Doğrusal Olmaya Programlama, Doğrusal Olamaya Hedef Programlama, Stokastk Programlama, Şas Kısıtlı Programlama V

6 ABSTRACT Master's Thess FUZZY NONLINEAR MULTIOBJECTIVE GOAL PROGRAMMING AND APPLICATON Bület TATAR Dokuz Eylul Uversty Isttute Of Socal Sceces Departmet of Ecoometrcs Programme of Ecoometrcs Problems modeled by lear obectves ad lear costrats may be optmzed usg varous methods. However, same methods gve devated ad/or cosstet results case of olear mult-obectve models. For ths reaso, may algorthms are developed to solve "Nolear Programmg" problems, but oly very few of these algorthms ca be appled to real-lfe problems. "Goal Programmg" became a topc of terest the early 960 s ad sce the t has bee epaded to produce optmal solutos to both sgle ad mult-obectve cases. I 965, Loutf A. Zadeh developed the "Fuzzy Set Theory" ad ths brought a ew perspectve to the tradtoal structure. It allowed decsomakers to sert deas to models of real-lfe problems. I ths study, we vestgate ad dscuss the effects of a algorthm obtaed by combg a Fuzzy Logc approach wth Chace-Costraed Goal Programmg, whch s a subtopc Nolear Mult-obectve Programmg, o a real-lfe producto process. VI

7 Key World: Fuzzy Logc, No-Lear Programmg, No-Lear Multobectve Goal Programmg, Stochastc Programmg, Chace-Costraed Programmg VII

8 BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA VE UYGULAMA YEMİN METNİ... II YÜKSEK LİSANS TEZ SINAV TUTANAĞI... III ÖZET... IV ABSTRACT...VI İÇİNDEKİLER... VIII KISALTMALAR...XI TABLO LİSTESİ...XII ŞEKİLLER LİSTESİ... XIII EK LİSTESİ... XIV GİRİŞ... BİRİNCİ BÖLÜM LİTERATÜR TARAMASI... İKİNCİ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA KISITLANMAMIŞ ALGORİTMALAR Doğruda Arama Yötem Gradet Yötem KISITLANMIŞ ALGORİTMALAR Ayrılablr Programlama Kuadratk Programlama Stokastk Programlama... 5 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BULANIK MANTIK VE HEDEF PROGRAMLAMA İLİŞKİSİ BULANIK MANTIK Bulaık Küme Teors... VIII

9 ... Üyelk Foksyou Bulaık Artmetk HEDEF PROGRAMLAMA Hedef Programlama Çözüm Yötemler Doğrusal Hedef Programlama Tamsayılı Hedef Programlama Doğrusal Olmaya Hedef Programlama Bulaık Hedef Programlama BULANIK ORTAMDA KARAR VERME BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA... 0 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA..... SİMPLEKS YAKLAŞIMI MAP Yaklaşımı Ayrılablr Programlama Yaklaşımı Kuadratk Programlama Yaklaşımı DİREK ARAMA YAKLAŞIMI Modfye Edlmş Patter Arama Yaklaşımı Modfye Edlmş Patter/Gradet Arama Yaklaşımı Algortması ETKİLEŞİMLİ (İNTERAKTİF) YAKLAŞIM GRADIENT TABANLI YAKLAŞIM Şaş Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama... 6 BEŞİNCİ BÖLÜM UYGULAMA PROBLEMİN TANIMI KURULAN MODELLER VE ÇÖZÜMLERİ Doğrusal Hedef Programlama Çözümü Doğrusal Olmaya Hedef Programlama Çözümü Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama Çözümü... 7 IX

10 SONUÇ KAYNAKLAR EKLER X

11 KISALTMALAR DOP DOHP HP ŞKHP DP ÇHP ŞKBHP DHP Doğrusal Olmaya Programlama Doğrusal Olmaya Hedef programlama Hedef Programlama Şas Kısıtlı Hedef Programlama Doğrusal Programlama Çoklu Hedef Programlama Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama Doğrusal Hedef Programlama XI

12 TABLO LİSTESİ Tablo : Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ s.0 Tablo : Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ Sağlaya Alt Koşullar s. Tablo : Doğruda Arama Tablosu s. Tablo : 009 Hazra Ayı İlk O Ürü İç Üretm Mktarları - Kar Ve Satış Gelr Değerler s.68 Tablo 5: Maksmum Hammadde Kullaım Mktarları s.69 Tablo 6: DHP Souç Tablosu s.7 Tablo 7: DOHP Souç Tablosu s.7 Tablo 8: ŞKBHP Souç Tablosu s.75 Tablo 9: Modeller Geel Souç Tablosu s.76 XII

13 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekl : Çok Yölü Doğrusal Olmaya Foksyo s.5 Şekl : İk Boyutlu Hareket s.6 Şekl : Üçge Üyelk Foksyou s. Şekl : Yamuk Üyelk Foksyou s. Şekl 5: Bulaık Hedef, Kısıt ve Karar Arasıdak İlşk s.9 Şekl 6: Kes Olarak Belrleemeye Hedef ve Kabul Edleblr Maksmum Sapmaı Üçgesel Formu s. XIII

14 EK LİSTESİ EK : Model I DHP Problem EK : Model II DOHP Problem EK : Ver Setde Hesaplaa Dağılış Foksyoları EK : Model III ŞKBHP Problem XIV

15 GİRİŞ Gülük yaşatımızda karşılaştığımız sorular sürekl olarak çeştl kararlar almamıza ede olur. Burada soru; amaçları plalaa şeklde ve zamada gerçekleştrlmes egelleye, stemeye oluşumlar olarak taımlaır. Bu soruları çözmekle yükümlü kşler se karar vercler olarak adladırılmaktadır (Yaralıoğlu 00,). Karar vercler "sürekllk sağlayıcılar" olarak da adladırablrz. Çükü bu kşler vermş oldukları kararlar le hem gülük yaşatılarıı hem de kuruluşları sürekllkler sağlarlar. Güümüzde karar problemler bazıları çeştl varsayımlar altıda doğrusal olarak modellep çözümler buluurke bazıları da bu yapılara uymayıp ked çlerde kayaklaa edelerde dolayı doğrusal olmaya modeller şeklde taımlaır ve ble optmzasyo tekkler desteğ le çözülmeye çalışılır. Optmzasyo tekkler geel amacı; karar problemler çözümüde kullaıla kayaklarda e uygu şeklde asıl yararlaılableceğ araştırmak ve problem çde yaşadığı orgazasyoları optmal şartlardak faalyetler çde tutmaktır. Bu çalışmada dkkate alıa aa düşüce doğrusal modellee karar problemlerde zyade doğrusal olmaya modelleme çalışmalarıı araştırmak ve özellkle doğrusal olmaya karar modellere bulaık matık teors uygulamaktır. Karar problemler pek çoğu brde fazla amaç taşımaktadırlar. Doğrusal olarak modellee çok amaçlı karar problem çözümü ç gelştrle algortmalar güümüzde etk olarak kullaılmaktadır. Acak her br amacı getreceğ kısıtlar brlkte ele alıdığıda çok amaçlı modellee karar problem çözümü daha da zorlaşmakta ve baze uygu çözümü bulmak mümkü olamamaktadır. Bu edele bu ve bezer modeller daha rahat çözülmes sağlayablmek amacıyla algortmalar ve yazılımlar gelştrlmştr.

16 Çalışmada Bulaık Matık, Hedef Programlama (HP) ve Doğrusal Olmaya Hedef Programlama (DOHP) lşks celep lteratür taraması yapılmış ve gerçek karar problem üzerde çözümler gelştrlmştr. Beş aa bölümde oluşa çalışmada öcelkle Lteratür taraması bölüm halde verlmştr. Takp ede bölümde DOP teors verlmştr. DOP problemler ç çok sayıda algortma altıda çözüm tekkler öerlmş olmasıa rağme buları tamamıı gerçek hayat problemler çözümüe uygulaması mümkü olamamaktadır. Geellkle, problemler yapısıa göre belrlemş özel modeller kedlere has çözüm tekkler vardır. Çalışmamızda bu kou Kısıtlamamış Doğrusal Olmaya Algortmalar ve Kısıtlamış Doğrusal Olmaya Algortmalar olarak k başlık altıda toplamıştır. Üçücü bölümde Bulaık Matık ve Hedef Programlama arasıdak lşk celemştr. Bulaık Küme Teors, Üyelk Foksyou ve Bulaık Artmetk kouları verldkte sora Bulaık Matığı çalışmamızla lgl ola Hedef Programlamaya uyarlaması alatılmıştır. Takp ede bölümde Doğrusal Olmaya Hedef Programlama Algortması ayrıtılı olarak celemştr. Gradet Tabalı Doğrusal Olmaya Hedef Programlama başlığı altıda yer ala Şas Kısıtlı Hedef Programlama ve Stokastk Hedef Programlama çalışmamızı uygulamasıda kullaacağımız çözüm tekkler olarak alımış ve "Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama" adlı kou alatılmıştır. So bölümde se çok amaçlı br üretm sürecde, bu çalışmaı kousuu oluştura "Şas Kısıtlı Bulaık Hedef Programlama" yaklaşımı uygulamıştır. Elde edle verler LINGO paket programıda celemştr.

17 BİRİNCİ BÖLÜM LİTERATÜR TARAMASI Bu bölümde çalışmada celee makaleler kapsaya lteratür taraması verlmştr. Tarama yapılırke Hedef programlama, şas kısıtlı programlama, doğrusal olmaya çoklu hedef programlama aahtar kelmeler kullaılmıştır. Ayrıca bu kelmeler Bulaık Matık lşks le ola souçları araştırılmıştır. H. Westroffer (98), Doğrusal olmaya çok amaçlı karar verme problemler çözümü ç br etkleşml hedef programlama metodu sumuştur. Gelştrle bu yötemde amaç; kısıtlı çok amaçlı problem, kısıtsız tek amaçlı alt problemler br sers şekle döüştürülmesdr. Sag M. Lee ve Davd L. Olso (985), Optmal basamak uzuluğu hesabıı temel ala şas kısıtlı DOHP modeller ç br Gradet algortma gelştrmşlerdr. Bu algortma, doğrusal yapıda olmaya foksyoları sürekl ve dferasyel alıablr olmasıı ve optmal br oktayı bulmak ç çözüm uzayıı koveks olmasıı gerektrr. Husse M. Saber ve A. Ravdra (99), Doğrusal Olmaya Hedef Programlama (DOHP) problemler ç çözüm yötemler dört aa başlık altıda celemş, yapıla lteratür taraması le DOHP' uygulama alaları verlmştr. Husse M. Saber ve A. Ravdra (996), DOHP problemler çözümü ç etkl ve güvelr br metot ola Parttog Gradet tabalı algortma celemştr. Bu algortma, DOHP problemler çözümü ç modfye edlmş patter arama metodu le karşılaştırılarak test edlmştr. R. E. Bellma ve L. A. Zadeh (970), Bulaık karar kuramıı, bulaık hedefler ve bulaık kısıtlar; alteratf uzay çersdek bulaık kümeler olarak

18 taımlamıştır. Bulaıklık altıda karar verme sürecde bu üç kavramı uygulamalarıı araştırmışlardır. Marc J. Schederas ve N.K. Kwak (98), Hedef programlama problem ç ye br hesaplama yötem bastleştrlmş olarak br örek üzerde adım adım açıklamıştır. Bu yötem Baumol u mör modfkasyolu doğrusal programlama problem çözümü ç kulladığı smpleks metodua dayamaktadır. Ramada Hamed Mohamed (997), Hedef programlama le bulaık programlama arasıdak bezerlkler ve lşk açıklamıştır. Her k yaklaşımı da her br amaç ç arzu edle sevyelere htyaç duyduğu ve çoklu hedef programlama problemler çözümü ç brde fazla seçeek sudukları vurgulamıştır. Lag-Hsua Che ve Feg-Chou Tsa (00), Bu çalışmada, tüm bulaık hedefler başarılma dereceler toplamıı maksmze etmey amaçlaya toplamsal model kullaılmasıyla farklı öem ve terch öcelkler brleştre Bulaık Hedef Programlama yötem gelştrlmştr. Elde edle çözümler hem terch öcelk yapısıı korumasıı hem de toplamdak maksmum başarı derecese sahp olumasıı sağlamıştır. A.Chares ve W.W. Cooper (959), Modelde yer ala belrsz kısıtlardak belrszlğ br güve sevyes belrleyerek kotrol altıa almak ç Şas Kısıtlı Programlamayı gelştrmşlerdr. P.K. De, D Acharya ve K.C. Sahu (98), Şas Kısıtlı formülasyou, tekolo kısıtlarıdak katsayıları Stokastk olduğu 0- Hedef Programlama ç kullamışlar ve sermaye bütçelemes ç sayısal br örek vermşlerdr. R.N. Twar, S. Dharmar ve J.R. Rao (986), Bu araştırma da hedefler bulaık olduğu ve öcelk yapılarıı da sıralı öcelklerle brlkte ele alıdığı varsayılmıştır. Çözüm algortmasıı ardıda sayısal örek verlerek souçlar değerledrlmştr.

19 Davd L. Olso ve Scott R. Sweseth (987), Makalede gerek tek gerekse çok amaçlı durumlarda kullaılmak üzere şas kısıtları ç br yaklaşım formüle edlmştr. Bu yaklaşımla şas kısıtları üzerde, e az gerçek doğrusal olmaya formlarda olduğu kadar sıkı br bağ kurup dğer kısıt veya amaçları geşletlmes sağlamıştır. Yrö Seppälä (988), Şas kısıtlı programlama problemler ç CHAPS (Chace Costraed Programmg System Şas Kısıtlı Programlama Sstem) algortmasıı gelştrmştr. Bu algortma doğrusallaştırma tekkler kullamaktadır. Yazar bu sstem le şas kısıtlı problemler souçlarıı, doğrusal olalar kadar kolay hesaplayabldğ belrtmştr. Ramada Hamed Mohamed (99), Bu çalışmada arzu edle sevyeler bulaık olduğu Şas Kısıtlı Hedef Programlama açıklamıştır. Düşüüle hedef kısıtları, olasılıklı ve bulaık kısıtlardır. Eşdeğer determstk hedef program gelştrlmş ve taımlayıcı örek verlmştr. 5

20 İKİNCİ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA Karşılaşıla problemler yapısıı doğrusallıkta uzaklaşması bu problemler çözümler bulumasıı zorlaştırmaktadır. Bu durum araştırmacıları ye çözüm algortmaları gelştrmeye ve çeştl matematksel modeller kurmaya teşvk etmştr. DOP ı geel hal matematksel olarak; Maksmum / Mmum f (,,, ) K Kısıtlar; (.) (,, K, )(, = ) b g, (,, K, )(, = ) b g g, m şeklde taımlaır. M, (,, K )(, =, ) b m g m Burada, (,, f, (,, K, )(, =, ) bm amaç foksyou ve g, K b...,,, =, K ) ( )( ) foksyoları se kısıtlardır. (.) model yaı sıra, kısıtlayıcı foksyolara sahp olmaya DOP problemleryle de karşılaşılablr (Wsto, 99:6). Hedef değşkeler termler çdek amaç foksyou ve kısıtları alamları bezer olduğuda ya doğrusal olduklarıda problem çözümü ç klask optmzasyo metotları kullaılablr. Dğer yada eğer optmzasyo problem, hedef değşkelerde açık olarak belrlememş veya şlemler çok karmaşık ola amaç foksyou ve/veya kısıtlar çeryorsa kısacası doğrusal olmaya br yapı söz kousu se problem çözümüde klask metotlar kullaamayız (Rao, 98:5). 6

21 Optmzasyou klask metotları, sürekl ve dferasyelleeble foksyoları optmum oktalarıı bulmada kullaışlıdır. Bu metotlar aaltktr ve optmum oktaları yerleştrlmesde dferasyel hesaplama tekklerde yararlaırlar (Rao, 98:7). Doğrusal olmaya br amaç foksyouu uç oktasıı ya maksmum ve mmum oktalarıı araştırılması le lgl şlemelere DOP problem der. Bu şlem eştlk ve / veya eştszlk olarak modelde bulua doğrusal veya doğrusal olmaya kısıtlayıcı foksyoları sıırlayıcı koşulları altıda gerçekleşmektedr. Buula brlkte temel e çok "DOP algortmalarıı gelştrlmes" ola klask optmzasyo teors, kısıtlamış ve kısıtlamamış foksyoları uç oktalarıı belrleyeblmek ç dferasyel hesabıı kullaır. E uç oktaları belrlemes ç gerekl ve yeterl koşullar, eştlk kısıtlı problemler ç Jakobe ve Lagrage yötemler, eştszlk kısıtlı problemler ç se Khu Tucker koşullarıdır (Baray ve Esaf, 000:765). Çalışmamızı kapsamı gereğ doğrusal olmaya kısıtlamış problem uç oktalarıı eştszlk kısıtlarıa göre belrlemes ç Khu Tucker gerekl koşulları ve buları yeterllk durumları celeecektr. Khu Tucker koşulları; bu koşullar 95'de Khu ve Tucker tarafıda, gelşm Lagrage metodua dayaa bu yötem, br doğrusal olmaya kısıtladırılmış problem ç optmum oktaı belrlemes sağlaya ve koşulları eştszlk kısıtları durumu ç kurulmuştur. Aşağıdak problem verls; Maksmum Z = f ( ) Kısıtlar; (.) g ( ) 0 (.)'de eştszlk kısıtları egatf olmaya aylak değşkeler kullaılarak eştlk durumua getrlp geel Lagrage foksyou oluşturulur. Khu Tucker 7

22 şartları da bu foksyou gerek şartlarıda oluşturulur. ekleecek aylak mktarı S ( 0) ve S ( S S,, ) T = ve, L S m. kısıt g ( ) 0 a olarak varsayalım. Burada m, eştszlk kısıtlarıı toplam sayısıdır. Lagrage foksyou se [ ] ( X S, λ ) = f ( ) λ g ( ) L, S S = ( S, S, L, ) T Kısıtlar (.) g ( ) 0 şeklde verls. Bu durumda optmumluk ç gerek koşul; λ 'ı maksmzasyo problemler ç egatf olmaya ve mmzasyo problemler ç poztf olmaya br değer almasıdır. Bu durumu doğrulamak ç maksmzasyo durumuu celeyelm : f = g λ olduğu ç, ( ) 0 S m g kısıtıı sağ tarafı üzere çıktıkça çözüm uzayı daha az kısıtlamış hale gelr ve dolayısıyla f azalmaz. Bu λ 0 alamıı taşımaktadır. Bezer şeklde, mmzasyo çde kayak arttıkça ( ) 0 f artamaz ve bu da λ 0 alamıa gelr. Eğer kısıtlar eştlkse ya g = se λ 'ı şaret sıırladırılmamış hale gelr (Şeyay, 987:5). λ üzerdek sıırlamalar Khu Tucker gerekl koşullarıı br parçasıdır. Dğer koşullar se L' X, S ve λ 'ya göre kısm türevler alıdıkta sora aşağıdak gb elde edlr (Hller ve Leberma, 00:67). L L L ( X, S, λ) X ( X, S, λ) S ( X S, λ) = f = λ ( ) λ g( ) = 0 S = 0 ( g( ) ) = 0, = S λ (.) =,, K,m (.5) (.6) Burada (.5) deklem kümes aşağıdak souçları verr: 8

23 . λ 0 se S = 0 'dır. Bu da bua karşılık gele kayağı kıt olması alamıa gelr k bu kayak souç olarak tamame tüketlr. (Eştlk Kısıtı). S 0, λ = 0 se bu. kayağı kıt olmaması demektr k bu f ' değer > f etklemez. (Başka br deyşle λ = g = 0 'dır.) buluur. İkc (.5) ve üçücü (.6) deklem takımlarıda g ( ) = 0 λ =,, K, m (.7) ( ) 0 Bu ye koşul temelde yukarıdak çıkarımı tekrarlar, çükü λ > 0 se g = veya S = 0 olur. Bezer şeklde, g ( ) < 0 se S > 0 ve λ = 0 olur. X ve λ 'ı maksmzasyo problem sabt (uç) oktası olması ç gerekl Khu Tucker koşulları aşağıdak gb özetleeblr (Rao, 98:78). λ 0 f ( ) λ g ( ) = 0 g ( ) = 0 λ =,, K, m (.8) g ( ) 0 Gerek mmzasyo da gerekse maksmzasyoda eştlk kısıtlarıa karşılık gele Lagrage çarpalarıı şaret sıırladırılmamış olmalıdır. Acak bu şartlar çözümü optmal oluşuu garatlemekte yeterl değldrler. Kısm türevler sıfır olduğu kısıtsız problemlerde bu şartlar gayet y souç verr. Bu şartlar optmumluğu sağlamak ç yeterl olmayıp sadece gerekldr. Eğer bu şartlarla brlkte kovekslk ve kokavlık durumları da gerçekleşyorsa bu şartlar optmumluğu garatlemekte yeterl olmaktadır. 9

24 Tablo.: Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ Gereke Koşullar Optmzasyo Yöü Amaç Foksyou Çözüm Uzayı Maksmzasyo Kokav Koveks Küme Mmzasyo Koveks Kokav Küme Çözüm uzayıı koveks küme olduğuu bulmak zordur. Bu koşulları sağlamak ç geelleştrlmş doğrusal olmaya problem aşağıdak gb taımlamıştır (Baray ve Esaf, 000:768). Maks. / M. Z = f ( ) Kısıtlar; (.9) g ( ) 0 =,, K, r g g ( ) 0 ( ) = 0 =,, K, p = p,, K, m L ( X S, λ ) = f ( ) = λ g ( ) r = p m [ S ] λ [ g ( ) S ] g ( ), λ = r = p Burada λ ; kısıtıa lşk Lagrage çarpaıdır. Khu Tucker koşullarıı yeterllğ sağlaya alt koşullar Tablo 'de özetlemştr. 0

25 Tablo : Khu Tucker Koşullarıı Yeterllğ Sağlaya Alt Koşullar Gereke Koşullar Optmzasyou Yöü f ( ) ( ) λ g Koveks 0 r Maksmzasyo Kokav Kokav 0 r p Doğrusal Sıırladırılmamış p m Koveks 0 r Mmzasyo Koveks Kokav 0 r p Doğrusal Sıırladırılmamış p m Bu tablou geçerllğ, verle koşulları maksmzasyo durumuda kokav br L ( X, S,λ ) Lagrage foksyou, mmzasyo durumuda se koveks br L ( X, S,λ ) Lagrage foksyou vermes gerçeğe dayaır. Bu souç ( ) koveks se ( ) λ ' λ 0 se koveks, λ 0 se kokav olduğuu dkkate g alımasıyla doğrulaır. g.. KISITLANMAMIŞ ALGORİTMALAR Kısıtlamamış optmzasyo problemler çözümüde kullaıla br çok yötem bulumaktadır. Burada kısıtlamamış problem ç Doğruda Arama Yötem ve Gradet Yötem olarak k başlık altıda aşağıdak gb sııfladırılmıştır (Bal, 995:9).

26 Kısıtsız Optmzasyo Yötemler Doğruda Arama Yötemler Gradet Yötem. Rasgele Arama Yötem. E Hızlı Akış Yötem. Tek Değşkel Arama Yötem. E Hızlı İş Yötem. Model Arama Yötem. Newto Yötem a. Powwel Yötem v. Eşlek Gradet Yötem b. Hooke ve Jeeves Yötem v. Değşke Metrk Yötem v. Smpleks Yötem v. Rosebrock Yötem Doğruda arama yötem, belrl br bölge üzerde yalızca amaç foksyou değerler kullaarak optmumu arar. Bu şlem yaparke kısm türevler kullamaz. Gradet yötem se optmumu bulmak ç foksyou gradyaıı alır. Ya foksyo değerler le beraber foksyou brc ve daha yüksek mertebede türevler de göz öüe alarak optmumu araştırır.... Doğruda Arama Yötem Doğruda arama yötem her şeyde öce tek değşkel foksyolarda uygulaır. Acak, tek değşkel foksyoları optmzasyouu çok değşkel algortmaları gelştrlmesde kullaıldığı uutulmamalıdır. Bu yötem geel matığı; öcelkle belrl br optmumu çerdğ ble br aralığı belrlemese çalışılmasıdır. Bu aralığı geşlğ optmumu kaybetmedğ garatledğ sürece sstematk olarak küçültülür. Bu şlem kes optmumu belrleyemez acak optmum oktayı çere aralığı çde sp optmumu belrlememz sağlar. Bu yötemdek sıırlamalarda brs optmze edlecek foksyou arama aralığı çersde umodal varsayılmasıdır. Bu durum sadece br yerel optmum oktayı belrlemektedr. Bua ek olarak, foksyou eğm sıfır yapa solu aralık mevcut değldr. İlave edle bu varsayımla, optmze edlecek bu foksyo keslkle umodal olmalıdır, alamı çıkmaktadır (Şeyay, 987:8).

27 Bu yötemde a b aralığı çersde taımlaa ve yerel optmuma sahp lk aralık varsayılır. Burada, eğer olarak ve gb k okta taımlaır ve bu taımlama şeklde olur. f ( ) foksyou maksmze edlecekse smetrk a ( ) ve b f ve f ( ) foksyolarıı celemes soucuda üç durum mevcuttur (Hmmelblau ve Ldsay, 980:670). ( ) ( ). Eğer f > f se (optmum ), le arasıda olmalıdır. ( ) ( ). Eğer f < f se < < b olur. ( ) ( ). Eğer f = f se < < olur. a l a b l geçlr. Burada Bu durumları her brdek aralıklar olarak göstermek stersek; çermyorlarsa br sorak terasyoa mümkü olduğu kadar küçük seçlmeldr. Bu şlem matematksel ( ) ma f a b (.0) şekldedr. Burada a 'yı ' sol sıırı b 'y de sağ sıırı olarak taımlarsak L a ve b fades ve R şekl alır. Burada ve L = R = 'dr. Ya R L = L ve (.)

28 = L R L olarak buluur. K terasyo sayısıı göstermek üzere; verle br (keyf olarak seçlmş çok küçük br aralık) değer ç foksyou e y değer bulmak ç "doğruda arama tablosu" kullaılır. Tablo : Doğruda Arama Tablosu K L a b R b f ( ) f ( ) f ( ) > f ( ) f ( ) f ( ) < f ( ) f ( ) > : : K : : L : : R : : k : : : : k k ( ) : : k f ( ) f Bu terasyolara yukarıda belrtldğ gb ( ) f ve f ) karşılaştırması L R soucua bağlı olarak devam edlr. So terasyoda ve elde edlmştr (Şeyay, 987:0). Buu alamı L R R L aralıksa ( ) ( f foksyouu, maksmum yapa, arasıda bulumaktadır. Her br terasyoda, terasyo sayısı arttıkça aralığı gderek küçülmektedr. Eğer K. terasyoda bu aralık kullaılablr oktası optmum okta olarak alıablr. = L R (.)

29 ... Gradet Yötem Bu bölümde celeecek ola kc derecede sürekl dferasyel foksyoları optmzasyou, doğrusal olmaya programlamada yaygı olarak kullaıla usur ola gradet foksyodur. Gradet foksyou doğasıı tam olarak alayablmek ç şekldek oktasıı ele alalım. Buradak düşüce, foksyou gradyaı yöüde brbr zleye oktaları üretmektr. Şeklde oktasıda oluduğu varsayılır ve etks araştırılsı (Ravdra,Phllps,Solberg, 98:55). A oktasıda oluşablecek maksmum değer Şekl : Çok Yölü Doğrusal Olmaya Foksyo A f () Optmuma ulaşablme, yalızca geçerl çözüm vektörü koordatları le mümkü olableceğ varsayılmaktadır. Yerel optmum oktasıı sağladığı blg kullaablmes ç verle oktasıda oktasıa ulaşmak ç mümkü ola e kısa optmum oraı bulmak gerekmektedr. le arasıdak bu uzaklığı r olarak adladırılsı. Ulaşıla oktasıı oluştuğu yer; optmum oktaya r kadar yaklaştığımız oktadır. Şekl.: İk Boyutlu Hareket 5

30 s =.0 m s =.0 m Boyutsal ala olarak aldığıda oluşacak formül: ( ) ( ) = rm (.) şekldedr. Burada m ;. parçaı hareket yöüü gösterr. Amaç foksyou y = f ( ) de dr gb küçük br adım atıldığıda foksyo da ayı orada (olasılıkta) artacak veya azalacaktır. Aşağıda verle eştlk, atıla adımı uzuluğuu büyüklüğüü verr. dr = d d K d (.) y' değşke olduğu farz edls; y'dek bu değşkelğ d 'ye bağlı olarak göstermek stersek veya dy = = y d (.5) 6

31 = = dr d y dr dy (.6) olarak fade edeblrz. Meydaa gele her türlü değşklk bu formüllerde uygulamaya koyulduğuda artış ya da azalışı yöü bulumuş olur. Bldğmz gb optmzasyo problemler amacı maksmzasyo veya mmzasyodur. maksmum veya mmum = = dr d y dr dy (.7) kısıt: = = dr d Bu eştlğ Lagrage foksyou formu maksmum veya mmum = = d d dr d y λ (.8) dr d fadese göre türevledğde = 0 dr d y λ,,, K = (.9) ve Lagrage çarpaı; λ, = = dr d olduğuda = = y λ veya 7

32 y λ = ± (.0) = elde edlr. Bu parametrk form. parça ç yazılırsa; () () = = () y r m r λ (.) Burada, (.9) y d λ =0 dr eştlğ kullaarak m aşağıdak formül yardımı le buluur; m = = y y =,, K, (.) Gradya yötem soa erdrlş gradya vektörüü sıfır (0) olduğu oktada gerçekleşr. Bu optmumluk ç sadece gerekl br koşuldur (Baray ve Esaf, 000:776). ( ) optmumluk doğrulaamaz. f ' koveks veya kokav olması öcede blmedkçe ( ) f ' maksmum kılıdığıı varsayalım;, prosedürü başladığı sıradak başlagıç oktası olsu ve ( ) X 0 f,. okta de f ' gradyaı olarak taımlası. Buradak düşüce, verle br okta da maksmum kılıdığı belrl br r yoluu belrlemektr. Bu souç brbr zleye df ' dr ve oktaları ç aşağıdak gb seçlrse ( ) ( ) = r f ( ) (.) şeklde oluşur. 8

33 Burada r, optmum adım büyüklüğüdür. 'y belrleyeblmek ç, r f 'dek e büyük yleştrmeyle souçlaır. Dğer br deyşle h () r f [ r f ( )] = (.) () olacak şeklde br h r foksyou taımlaırsa, ; değerdr. r h ( r) 'y maksmum kıla r Öerle prosedür, brbr zleye k deeme oktası ve yaklaşık olarak eşt olduğu zama durdurulur. Bu olarak verldğde, gerekl koşul ( ) = 0 ( ) 0 r f olmasıyla eşdeğerdr. r 0 f, de sağlaır... KISITLANMIŞ ALGORİTMALAR... Ayrılablr Programlama Ayrılablr programlama, amaç foksyouu ve kısıtlarıı ayrılablr formda olduğu doğrusal olmaya problemler çözümüyle lglee, koveks programlamaı özel br durumudur. Çoğu doğrusal olmaya programlama problemler aşağıdak formda olduğu gbdr (Bazaraa, Sheral ve Shetty, 006:68). Maksmum / Mmum = = Z = ( ) f Kısıtlar (.5) = = g ( ) b =,, K,m 0 =,, K, Karar değşkeler ayrı term ve fade olarak buluduklarıda, bu tptek doğrusal olmaya programlama problemlere "ayrılablr programlama problem" 9

34 der. Burada (,, f, foksyou f, f, K, f ) şeklde tek K ) ( ) ( ) ( değşkel foksyou toplamı olarak fade edlmektedr. Dğer br deyşle; (, ) = f ( ) f ( ) K f ( ) f, şekldedr. K, Bazı doğrusal olmaya foksyolar ayrık olmamalarıa rağme, bu foksyolarda uygu değşklkler yapılarak ayrık hale getrlp çözüleblrler. Geellkle ayrılablr programlamada doğrusal olmaya foksyolar [ ( ) ve g ( )] f parçalı doğrusal foksyolara yaklaştırılarak doğrusal olmaya programlama modeller le çözüleblrler. Tek değşkel foksyo f ( ), karma tamsayılı programlamayı kullaa parçalı doğrusal foksyola yaklaştırılablr (Baray ve Esaf, 000:78). foksyolarıı [ a, b] kapalı aralığı boyuca yaklaştırableceğ varsayalım. Öyle ve b sayıları bulumalı k ( =,,, K, ) ç optmal çözümdek ' değer f ve g a a b koşulua uysu. Sora her değşke ç a = p K = p pk b koşulua uya p, p,, pk 'yı kırılma oktaları olarak taımlaır. Buu soucu olarak yaklaştırılablr. f k ( ) f ( ) = a K ekse üzerdek f ( ) aşağıdak gb δ (.6) Burada δ, şeklde taımlaır.. = k a = δ (.7) kırılma oktasıa lşk poztf ağırlıktır. Ve k = δ = δ δ K δ = (.8) k Karma tamsayılı programlama, yaklaştırmaı geçerllğ sağlar ve özel olarak yaklaştırma; 0

35 E çok k δ poztf se geçerldr. δ poztf se bu durumda sadece br komşu δ veya δ poztf değer olarak varsayılablr. Bu koşulları asıl sağladığıı göstermek ç (.5) model ele alıırsa: Maksmum / Mmum Z Kısıtlar = = = ( ) f = = g ( ) b =,, K,m Bu problem karma tam sayılı programlama olarak şöyle yaklaştırılablr.. k değşke ç kırılma oktaları sayısı K 'ye eşt olsu, p da k. kırılma değer k olsu, δ,. değşke k. kırılma oktasıa lşk ağırlık olsu; Bu durumda karma problem, K ( ) k k Maks. / M. Zˆ = f p δ (.9) veya = k = k k Maks. / M. Zˆ = [ δ f ( p ) δ f ( p ) K δ f ( p )] = = Kısıtlar; (.0) = = k k [ g ( p ) δ g ( p ) δ g ( p )] b δ K =,, K, m 0 δ y k k 0 δ y y k,, K, K K 0 δ y K = K k y k = =

36 K k = δ k = k y = 0 veya, k =,,, K, K, =,, K, k k Yaklaştırma problem ç değşkeler ve 'dır. δ y Bu formülasyo herhag br problem, e azıda lkesel olarak, karma tamsayılı programlamayla asıl çözüleceğ gösterr. Buradak zorluk kısıt sayısıı kırılma oktalarıı sayısıyla brlkte hızla yükselmesdr (Baray ve Esaf, 000:78). Ble bast smpleks yötem kullaarak da yaklaşık model çözümü gerçekleştreblr. Karma tamsayılı programlama yötem yaklaşık probleme global optmum verrke bast smpleks yötem sadece lokal optmumu garat eder.... Kuadratk Programlama Kuadratk Programlama amaç foksyouu maksmzasyou veya mmzasyou ve kısıt koşulları doğrusal olduğu hallerde kullaılır. İkc derecede br amaç foksyou ç doğrusal ola Khu-Tucker eştlkler çözümü ve doğrusal kısıtları belrl özellkler le global optmumu garatler. değşkel br Q( ) foksyou, (, ) T X =, (.), K a a A = M a a a a M L L L L a a M a (.) olmak üzere Q T ( ) X A X = (.)

37 şeklde taımlaır k bu foksyoa Kuadratk Form veya Karel Form der. Q ( ) foksyou daha açık olarak; Q ( ) = = = a = a a L a a a a L a L a L a (.) şeklde de yazılablr. Burada hareketle Kuadratk foksyou geel formu yazılacak olursa: Maksmum / Mmum Z = CX X T A X Kısıtlar (.5) DX b X 0 Burada X T A X yukarıda taımladığı gb br Kuadratk formdur ve ( c c,, ) C =, (.6), K c ( b b,, ) T b =, (.7), K b m d d D = M d m d d d M m L L L L d d d M m (.8) A matrs problem maksmzasyosa egatf taımlı, problem mmzasyo se poztf taımlıdır. Bu da Z ' X 'te mmzasyo ç keslkle koveks, maksmzasyo ç de kokav olması alamıa gelr. Bu durumda koveks çözüm uzayıı garat ede kısıtları doğrusal olduğu varsayılır (Baray ve Esaf, 000:790).

38 Kuadratk programlama problem çözümü Khu-Tucker koşullarıa dayamaktadır. Z keslkle kokav veya koveks ve çözüm uzayı da koveks küme olduğu ç Khu-Tucker koşulları global optmum ç yeterldr. celemştr. Aşağıda maksmzasyo durumlu Kuadratk programlama problem Maks. Z = CX X T A X ve olur. D b G ( X ) = X 0 0 (.9) I DX b 0 X 0 ( λ λ, ) T λ =,, DX b 0 kısıtıa karşılık gele Lagrage çarpaı,, L λ m ( µ µ, ) T µ =,, X 0 kısıtıa karşılık gele Lagrage çarpaı olsular ve, L µ Khu-Tucker koşulları uyguladığı da; Z λ 0, µ 0 ( λ T, µ T ) G( X ) = 0 λ b a = 0 =,, K, m (.0) = µ = 0 =,, K, deklemler elde edlr. Z DX b X 0 = C X T A olur. S = b DX 0, kısıtları aylak değşkeler olsu, D G ( X ) = (.) I

39 koşullar, T T T X A λ D µ = C DX S = µ = 0 = λ S, tüm ve 'ler ç b µ, X, S, λ 0 (.) şekle drger. A T = A olduğu ç lk deklem kümes traspozes µ olur ve gerekl koşullar aşağıdak gb brleştrlr. T T AX D λ = C (.) A D D 0 T I 0 X 0 λ = I µ S C b µ = 0 = λ S, tüm ve 'ler ç T (.) µ, X, S, λ 0 Bu problem µ = 0 = λ S ek şartları le çözümü doğrusal deklem sstem çözümüe bezer ve çözüm k aşamalı smpleks metoduu brc aşaması kullaılarak elde edlr. Buradak tek kısıt µ = = 0 λs koşuluu sağlamasıdır k bu da λ ' poztf br katsayı le temelde yer alıyorsa S ' poztf br katsayı le temel çözümde yer alamayacağıı gösterr. Bezer şeklde µ ve de ayı ada poztf olamazlar.... Stokastk Programlama Geellkle gerçek hayatta parametreler kes olarak belrlemes zor olduğu problemlerle karşılaşablrz. Böyle durumlarda stokastk programlama, 5

40 problem bazı veya tüm parametreler rassal değşkelerle taımladığı durumlara çözüm bulmaya çalışır. Stokastk programlaı aa düşüces; problem olasılıklı yapısıı eşdeğer determstk forma döüştürmektr. Bu bölümde çalışmamızı çerğ açısıda aşağıdak gb taımlaa "Şas Kısıtlı Programlama" tekğ celeecektr (Nada,Pada ve Dash, 008:67). Maksmum Z = = c Kısıtlar; (.5) P = a b α, =,, K, m 0, ç Modelde görüldüğü gb her kısıtı α mmum olasılığıyla gerçekleştrlmesde dolayı bu modele "Şas Kısıtlı" delmektedr. Burada 0 α 'dr. Tüm a ve b 'ler rassal değşkeler olduğu varsayılır. Stokastk programlama problemde üç durum söz kousudur. İlk k durum a ve b rassal değşkeler ayrı ayrı ele alımasıa karşılık gelr. Üçücü durum se a ve b ' rassal etkler brleştrldğ durumdur. Bu üç durumu hepsde de ble ortalama ve sapmalarla ormal dağıldığı varsayılmaktadır (Hulsurkar, Bswal ve Sha, 997:75). Durum : Her a, ortalaması E { a } ve varyası { a } Cov {, } le verlmştr. Ayrıca a ve ' kovaryası a. kısıtı ele alıırsa; a a Var le "ormal" dağılır. ve P = a b α (.6) 6

41 h = = a (.7) olarak taımlası. h { } { }, E h = E a ve = Var T { h } X A X = le ormal dağılsı. Burada (, ) T X =,, K 'dr. A =. kovaryas matrs Ve P Var = M Cov { h b } { a } L Cov{ a, a } { } { } a, a L Var a h E P Var { h } { h } M b E { h } { h } (.8) = (.9) Var α olur. Burada, h E Var { h } { h } ; ortalaması 0 (sıfır), varyası (br) ola stadart ormaldr. Buu da alamı { h } { h } b E P { h b } = Φ (.50) Var 'dr. Burada Φ, stadart ormal dağılımı "Kümülâtf Yoğuluk Foksyouu" gösterr. P { h b } α K α, stadart ormal değer ve Φ( K ) = α olsu. Bu durumda fades acak ve acak α b E Var { h } { h } K α (.5) olması durumuda gerçekleşr. Bu da aşağıdak doğrusal olmaya determstk kısıtı verr. 7

42 = E T { a } K X A X b α (.5) Normal dağılımı bağımsız olduğu özel durum ç {, } = 0 yukarıdak kısıt (.5) Cov a a olur ve E { a } K Var{ a } b = = α (.5) şeklde drgeeblr. Bu kısıt aşağıdak değşklk kullaılarak ayrılablr programlama formua ekleeblr. y = = Var { a }, tüm 'ler ç (.5) Böylelkle oral kısıt; = = E { a } Kα y b Var { a } y = 0 ve (.55) deklemlere eşdeğer hale gelr. Durum : Sadece b, ortalaması { } E ve sapması Var{ } b b ola ormal dağılımdır. Burada da şlemler durum 'deke bezerdr. Aşağıdak Stokastk kısıtı ele alalım: P b a = α (.56) Durum 'dek gb, 8

43 olur. Bu acak ve acak b E P Var { b } { b } = a Var E { b } { b } α (.57) = a Var E { b } { b } K α (.58) se koruablr. Böylece Stokastk kısıt aşağıdak determstk doğrusal kısıta eşdeğer olur (Hulsurkar, Bswal ve Sha, 997:76). = E { a } E{ b } K Var{ b } α (.59) Durum : Bu durumda tüm a ve b 'ler rassal ormal değşkelerdr. a = b (.60) kısıtıı ele alalım. Bu kısıt aşağıdak gb de fade edeblr. = a b 0 (.6) Tüm a ve b 'ler ormal olduğuda, statstk teorsde a b ' de ormal olduğu soucu çıkar. Bu şas kısıtıı durum de verlele ayı duruma drgedğ ve ayı şeklde ele alıacağıı gösterr. = 9

44 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BULANIK MANTIK VE HEDEF PROGRAMLAMA İLİŞKİSİ HP ve bulaık matık, aşağıdak çok amaçlı problem çözümüde kullaıla k uygulamadır. İks de her br amaç ç arzu edle sevyelere htyaç duyar. Bu arzu edle sevyeler karar vercler tarafıda taımlaır (Mohamed, 997:9). opt Z = CX kısıt DX b = ) ( ) Burada Z ( z z L amaç vektörü, C; z k k boyutlu sabtler matrs, X; ( ) boyutlu karar değşke vektörü, D; ( m ) boyutlu sabtler matrs ve b; ( m ) boyutlu sabtler vektörüdür... BULANIK MANTIK Bulaık küme ve bulaık matık kavramları 960'lı yılları ortalarıda Azerbaycalı matematkç Prof. Dr. Loutf Askerzade ZADEH tarafıda gelştrlmştr. Bu kavramı dayadığı temel okta; gerçek düya problemlerde kes olmaya, belrsz ve bulaık verler büyesde barıdırmasıdır buludurmasıdır. Klask kümelere dayaılarak oluşturula öermeler, klask matıkta sadece k doğruluk değer ( 0 veya ) le eşleştrleblr ve buula brlkte öermeler tamame doğru veya tamame yalış olduğu kabul edlmektedr. Bu sebepte geleeksel klask matıkta "k değerl" matıkta demektedr. Çoklu değerllk se; klask kümelere dayaarak oluşturula öermeler, kde fazla doğruluk değer le eşleştrlebldğ matık sstemlere der. Çok değerl matıkta öermeler bütüüyle doğru, bütüüyle yalış ve kısme doğru kısme yalış olduğu kabul edlr. Bu okta da kelme alamı le bulaık, hayal meyal, puslu matık alamıa gele Bulaık Matık; klask kl matık ssteme karşı gelştrle, etrafımızda olup bte olayları meydaa gelş olasılıkları le değl belrl kümelere üyelk 0

45 dereceler le lglee ve üzerde çalışıla değşkeler elemaları hag oralarda gerçekleştğ belrleye çoklu matık sstemdr. Prof. L.A.Zadeh problem çözerke sa düşüüş tarzıı ele almıştır: "Büyük", "uzu", "sıcak", "yaşlı" gb sp kavramları dereceledrlmesde Zadeh gelştrdğ "Bulaık Küme Teors" ve matematksel formülasyou, klask matığı akse çok daha geş ufuk açmıştır (Güeş, 997:8). Kısacası, belrszlk altıda akıl yürütme le çok değerl matığı brleştrldğ matıksal br sstem ola Bulaık Matık ı temelde sa düşüüş tarzıa yakı çalışa makeler ve sstemler gelştrlmes yatmaktadır.... Bulaık Küme Teors İkl matıkta olduğu gb bulaık matık teors de kede at matematğ ve küme yapıları le lgl taımlamaları vardır. Aşağıda bulaık küme teorsde kullaıla temel otasyo verlmştr. X E : : Küme X ' alt kümes Ø : Boş Küme { 0,} : Sadece 0 ve de oluşa küme [ 0, ] : 0'da 'e kadar tüm reel sayılar kümes M : Üyelk Uzayı A ~ : Bulaık Küme ~ µ ~ : kümesdek 'ler üyelk foksyou A ( ) A Taım : 'lerde oluşturula elemalar sıralı kller X le gösterls. Bulaık br {(, ( ) ) X } A ~ kümes ~ A = µ ~ (.) A

46 şeklde taımlaır (Bellma ve Zadeh, 970:). Bu fade de; bulaık br küme sıralı kllerde oluşa elemalarıda brcs küme elemaı, kcs se bu elemaı üyelk dereces belrte değerdr. Bulaık küme teorsde, küme şlemler üyelk foksyou yardımı le aşağıdak gb taımlamıştır (Zmmerma, 987:7). ~ ~ ~ Brleşme İşlem : D : A B olmak üzere { } ( ) ma µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ =, X (.) ~, D A B ~ ~ ~ Kesşme Özellğ : D : A B olmak üzere { } ( ) m µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ =, X (.) ~, D A B Küme Tümleye : ( ) foksyou olmak üzere µ, bulaık br A ~ kümes tümleye üyelk A ~ ( ) = ( ) µ A ~ µ A ~, X (.) Koveks Küme : A ~ 'ı koveks olablmek ç aşağıdak şartı sağlaması gerekmektedr. [ λ ( λ) m{ µ ~ ( ) ~ ( )}] µ,, X ve λ [ 0, ] (.5) ~, µ A A A... Üyelk Foksyou der. Bulaık küme taımıda yer ala ( ) A ~ ( ) µ foksyou X kümes µ fadese X üyelk foksyou A ~ M üyelk uzayıa eşler. Üyelk foksyou [ 0, ] kapalı aralığıda değerler alablr ve bu değerler elemaıı üyelk dereces gösterr (La-Hwag, 99:0). Matematksel olarak,

47 olarak taımlaablr. [ 0,] µ : X (.6) Üyelk foksyoları brçok farklı şekllerde olablr. Özel br şekl uygu olup olmayacağıı tespt etmek; çalışıla uygulama alaı tarafıda elde edle verlerle belrler. Fakat brçok uygulama bu tür şekl değşklklere karşı çok fazla duyarlılık göstermezler. Hesaplama açısıda getrdğ kolaylıklar göz öüe alıarak stele şeklde üyelk foksyouu seçlmes, bulaık küme teors eseklğ yasıtmasıda öe çıka br durumdur. Aşağıda bazı üyelk foksyoları verlmştr (Huag, 007:5). Üçge Üyelk Foksyou : A = { a, a a } ~, 0, < a a, a a a a µ ~ ( ) = (.7) A a, a a a a 0, > a µ ( ) A ~ Şekl : Üçge Üyelk Foksyou a a a

48 Yamuk Üyelk Foksyou : { },,, ~ a a a a A = ( ) > < = ~, 0,,,, 0 a a a a a a a a a a a a a a A µ (.8) Şekl : Yamuk Üyelk Foksyou ( ) A ~ µ a a a a Taım: Destek Küme, bulaık br A ~ kümes destek kümes "üyelk dereceler sıfırda büyük ola 'ler" olarak ( ) { } X A A > =, 0 ~ ~ µ (.9) şeklde taımlamıştır (La-Hwag, 99:).

49 Üyelk foksyouu aralığı "sıfır" üyelk dereces karşılamasıa rağme, bu dereceye sahp ola elema ve üyelk dereces "sıralı kls" şeklde lsteye dâhl edlmemektedr.... Bulaık Artmetk Bulaık küme teorsde cebrsel şlemler altı başlık altıda toplamıştır (Zmmerma, 99:8). Cebrsel Toplam: ~ ~ ~ C = A B (.0) ve ( ) = µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ ~ ( ) ~ ( ) µ ~ ~ µ (.) A B A B A B olmak üzere ~ C = {(, µ ( ) X )} A ~ B ~ (.) dır. Sıırlı Toplam: ~ ~ ~ C = A B (.) ve µ ~ ~ ( ) = m {, µ ~ ( ) µ ~ ( ) } (.) A B A B olmak üzere ~ C = {(, µ ( ) X )} A ~ B ~ (.5) dır. Sıırlı Fark: ~ ~ ~ C = AΘB (.6) ve µ ~ ~ ( ) = ma { 0, µ ~ ( ) µ ~ ( ) } (.7) A ΘB A B olmak üzere ~ C = {(, µ ( ) X )} A ~ Θ B ~ (.8) dır. 5

50 İk Küme Farkı: olmak üzere dır. ~ ~ C A ~ =. B (.9) {(, ( ) ( ) X )} ~. µ ~ C = µ A B ~ (.0) Bulaık Küme Kuvvet: Bulaık br A ~ kümes. Kuvvet aşağıda olduğu gb fade edlr. Kartezye Çarpım: üzere kartezye çarpım; şekldedr. [ ] ( ) ( ) µ =, X (.) ~ µ ~ A A ~ A ~, K, A kümeler X, K, X 'de bulaık kümeler olmak { } X µ =, (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ m µ ~ =,, A,, A A K K.. HEDEF PROGRAMLAMA Çok amaçlı karar verme tekkler çersde e yaygı olarak kullaıla Hedef Programlamada her br hedef ç farklı br ölçeğ kullaılablyor olması bu tekğ yaygılığıı br sebebdr. HP, DP de olduğu gb amaç krter doğruda maksmze veya mmze etmek yere hedefler arasıdak sapmaları mmze yapmayı amaçlar. Doğrusal programlamaı smpleks algortmasıda yer ala bu gb sapmalar aylak değşkeler olarak smledrlrke, bu sapa değşkeler hedef programlamada ye br alam kazaırlar. Sapa değşkeler her br hedefte hem poztf yöde hem de egatf yöde sapmalar şeklde k boyutta gösterlr. Amaç foksyou yalızca bu sapa değşkelerde oluşur (Umarusma, 00:5). d : poztf sapa değşke d : egatf sapa değşke Br hedefte hem egatf hem de poztf sapma olamayacağı ç ayı ada sapa değşkelerde herhag br veya her ks brde sıfır olmalıdır. Sapa 6

51 değşkeler her ks de sıfır se hedef değerlermze kes olarak ulaşmışız demektr. Hedef programlamada kullaıla üç hedef tp mevcuttur (Romero, 00:6). f b a. ( ) 'c hedef belrlee başarı düzeyde küçük veya eşt se oluşacak poztf sapa değşke d ç mümkü ola e küçük poztf değer alıması gerekr. f b b. ( ) 'c hedef belrlee başarı düzeyde büyük veya eştse oluşacak egatf sapa değşke d ç mümkü ola e küçük poztf değer alıması gerekr. f = b c. ( ) 'c hedef belrlee başarı düzey tam olarak karşılıyor se hem poztf sapa d değşke ' hem de egatf sapa değşke ' toplamlarıı ayı ada mmze yapılması gerekr. d... Hedef Programlama Çözüm Yötemler Hedef programlama modeller çözüm yötemler başlık altıda toplamıştır (Schederas, 99:5).. Doğrusal Hedef Programlama. Tamsayılı Hedef Programlama. Doğrusal Olmaya Hedef Programlama. Bulaık Hedef Programlama... Doğrusal Hedef Programlama Burada amaç foksyoları üç şeklde celeeblr. a. M Z d d = =,, K, (.) 7

52 Bu tür amaç foksyoları, sapa değşkeler ç herhag br ağırlık ya da öcelk olmadığıda kullaılır. Bu eştlkte Z her k yölü sapmaı toplamıı mmumudur. b. Z = P ( k d d ) M =,, K, ve k =,, K, K (.) K hedef sayısı olmak üzere, her br hedef ç öcelkler kullaılır. Bu tür amaç foksyou, hedefler öcelklere göre sıraladığıda kullaılır. Burada dkkat edlmes gereke okta sapa değşkeler ç herhag br ağırlıkladırma söz kousu değldr. c. Z = w ( k Pk d d ) M =,, K, ve k =,, K, K (.5) Bu tptek amaç foksyouda se hedefler öcelklere göre sıralaması le brlkte her sevyedek sapma değşkeler ağırlıkladırılmıştır. P k... Tamsayılı Hedef Programlama Hedef programlama problemler oluşturulmasıda karar değşkeler tümü ya da br kısmı tamsayı değerler le sıırladırılmıştır. Brçok HP model Tamsayılı HP modele dayamaktadır.... Doğrusal Olmaya Hedef Programlama HP uygulamalarıda geellkle hedefler ve kısıtlar doğrusal br yapı göstermektedr. Bazı uygulamalarda se çalışmamız da olduğu gb DOHP kullaılır. Bu kou ayrıtılı olarak Bölüm 'te celemştr.... Bulaık Hedef Programlama Bulaık küme teors hedef programlama modele uygulaması Bölüm.'te celemştr. 8

53 .. BULANIK ORTAMDA KARAR VERME Bulaık hedef ve bulaık kısıtlayıcı durumuda asıl karar verlebleceğ Bellma ve Zadeh 970 yılıda "Bulaık Karar Kümes" kavramı le açıklamaya çalışmışlardır. Bulaık br hedef G ~ veya ( ) edleblr. µ ( ), ( ) [ ] ~ 0, G ~ hedefe üyelk dereces gösterr. G µ üyelk foksyou le fade G ~ µ şartı le belrl br çözüm vektörüü bulaık µ olduğuda hedefe tamame ulaşıldığıı, ~ ( ) = G µ olduğuda hedefe tamame ulaşılamadığıı, ~ ( ) = 0 G 0 < ~ ( ) < µ olduğuda hedefe kısme ulaşıldığıı göstermektedr. G Ayı şeklde bulaık br kısıt C ~ veya ( ) edleblr. µ ( ), ( ) [ ] ~ 0, C ~ C µ üyelk foksyou le fade C ~ µ şartı le belrl br çözüm vektörüü bulaık kısıtlayıcıdak üyelk dereces gösterr. µ olduğuda kısıtlayıcıı tamame doyurulduğuu, ~ ( ) = C µ olduğuda kısıtlayıcıı tamame doyurulamadığıı, ~ ( ) = 0 C 0 < ~ ( ) < µ olduğuda kısıtlayıcıı kısme doyurulduğuu C göstermektedr. Bulaık br karar, verle hedefler ve kısıtlayıcıları br kesşm olarak taımlaır. Bulaık hedef ve bulaık kısıtlayıcıları br alt kümes ola bulaık karar kümes, D ~ kümes veya ( ) 970:8). ve dr. µ üyelk foksyou le fade edlr (Bellma ve Zadeh, D ~ ~ D ~ ~ = (.6) ( ) G( ) C( ) { } ( ) m µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ = (.7) ~, D G C 9

54 Şekl 5: Bulaık Hedef, Kısıt ve Karar Arasıdak İlşk µ KISIT BULANIK HEDEF KARAR Tüm hedef ve kısıtları kesşm ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ D = G G K G C C C (.8) şekldedr. Bu fade ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K m ( ) { } ( ) m µ ~ ( ), K, µ ~ ( ), µ ~ ( ), µ ~ ( ) = m { µ ~ ( ), µ ~ ( ) } µ = K (.9) ~, D G G C C m G C =,, K,, =,, K, m şeklde fade edlr. Buula brlkte ( ) µ üyelk foksyou da; bulaık karar D ~ kümes e yüksek üyelk derecel elemaıı belrlemes kararı maksmzasyou alamıa gelmektedr. Bu da { } ( ) ma µ ~ ( ) µ ~ ( ) µ = (.0) ~, D G =,, K, =,, K, m şeklde fade edlr (Sakawa, 000:7). C.. BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA Bulaık küme teors hedef programlama modele uyguladığı zama, hedefler erşm düzeyler ve terch öcelkler kes olmaya fadelerle (bulaık olarak) teleeblr. Bulaık küme teors, karar vercler subektf yargılara dayaa hedefler ç, "yaklaşık olarak 'e eşt" ve " 'de oldukça küçük" gb br 0

55 dl doğal yapısıa göre fade edleble erşm düzeyler taımlamasıa z verr. Hedeflere lşk bu tür taımlamalar, bulaık kümelerde üyelk foksyoları le aılır. Bu sayede, hedef programlama model br optmzasyo düşücesde daha çok br doyum düşücese dayama özellğ ö plaa çıkarılmış olur (Özka, 00:8). Stadart br hedef programlama formülasyou da hedefler ve kısıtlar açık ve kes olarak taımlaıp verle br çevre yardımı le brde fazla amacı optmal gerçekleşmes araştırılır. Hedefler, kes ve matematksel eştlkler kullaılarak belrlee hedef değerlere dayaılarak formülasyou yapılır. Hedef programlama çersde bulaık küme teors uygulamasıdak e öeml avata karar verc bulaık hedef değerler belrlemesdr. Çok amaçlı karar verme bu tekğdek br dğer öeml avata se hedefler ve kısıtları tamame smetrk olarak oluşturulmasıdır. Hedefler ç belrlee eğtm düzeyler bulaık olduğu varsayımı le geelleştrlmş br bulaık hedef programlama model aşağıdak gb fade edlr. A Amaç ( ) ( ) A ~ ~ =, ~, b Kısıtlar ( ) ( ) l l 0 ~ ~ =, ~, b Burada b kullaılablr kayak ve hedefler vektörü ke A tekk katsayıları matrsdr. ~ ~ ~ =,, : kısıtları çevresde olduğuu belrtmek ç kullaılmıştır. b l Karar verc hedefler kes olarak belrlemes kousuda br belrszlğe düşeblr. Bu sebep le hedef değer b yere bu değere bağlı olarak, hedef bulaık olarak düşüce ve cümlelerle açıklayablr. Bulaık düşüce ve cümleler şeklde fade edle br hedef programlama formülasyou;

56 A Amaç ( ) ( ) ~ ~ =, ~, b Kısıtlar ( A ) ( =,, ) b l l 0 ~ b ~ l : Her l ç düşüceler ve cümleler le açıklaa hedeflerdr. Karar verc belrleme soruu yaşadığı ç b l hedef değer çevresde kabul edleblr maksmum mktarda sapmalar oluşablr. Bu sapmalar gösterls, d olarak Şekl 6: Kes Olarak Belrleemeye Hedef ve Kabul Edleblr Maksmum µ Sapmaı Üçgesel Formu d d 0 b d b b d ( A ) Burada ( A) ; gerçekleşmes stee amaçları satırıdır. Bulaık hedefler ç Zmmerma tp üyelk foksyoları aşağıdak gb çıkartılablr (Mohamed, 997:8).

57 ( A) = b ( ) ( A) 0, < b d b ( A), b d ( A) b ~ d µ = (.) ( A) b, b ( A) b d d 0,( A) b d =,, K, m ( A) b ( ) ~ ( A) ( A) 0, b d b ( A) µ =, b b d (.) d,( A) b = m, m, K, m ( A) b ( ) ~ ( A) 0, b d ( A) b µ =, b d ( A) b (.) d,( A) b Burada; d : hedef değerde subektf olarak belrlee maksmum kabul edleblr sapmalardır. b : terch edle değer, b d b d : e kötümser değer, : e ymser değer olarak taımlaır.

58 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN ÇOKLU HEDEF PROGRAMLAMA Gerçekte üzerde çalıştığımız modeller brçoğu tek br amaca sahp olmamakta; ayı ada brçok amacı gerçekleşmes stemektedr. Bu sebeple doğrusal olmaya modeller çözümü ç çeştl tekkler gelştrlmştr. DOHP da bu tekklerde brdr. DOHP, doğrusal olmaya amaçlar ve doğrusal olmaya kısıtları çere çok krterl matematksel programlama problemler çözümü ç kullaıla br tekktr. Doğrusal olmaya hedef programlama model geel şekl aşağıdak gbdr (Saber ve Ravdra, 99:76); p M ( Mmze Z = P w d w d (.) Kısıtlar; R k = k = L k ( X ) b =,, K L, k ) = (.) g ( X ) d d = t = L, K M L L, (.) Burada, d, d 0 =, K, M p ; modeldek sıralı öcelkler sayısı P ; k'ıcı sıralı öcelk ( P >>> ) k k P k L; modeldek gerçek kısıtları sayısı M L ; modeldek hedef kısıtlarıı sayısı w ; sıralı öcelğdek 'ye atamış ağırlık k k P k w ; sıralı öcelğdek 'ya atamış ağırlık d, P k d d d ; DOHP modeldek sapma değşkeler (k bular hedef sıırlamasıda başarı altıda ya da üstüde oluup olumadığıı gösterrler.)

59 X ; karar değşke vektörü b ; 'c kısıtı sağ taraf sabt t ; hedef ya da hedefdek ( g ) arzu edle sevye Hag DOHP metoduu daha uygu olduğua karar vermede yardımcı olablecek yaklaşımlar dört aa başlıkta açıklamıştır (Saber ve Ravdra, 99:75).. Smpleks Yaklaşımı. Drekt Arama Yaklaşımı. Gradet Yaklaşımı. İteraktf (etkleşml) Yaklaşım.. SİMPLEKS YAKLAŞIMI Bu yötem DOHP modeller çözümüde kullaılmak üzere; a. MAP Yaklaşımı b. Ayrılablr Programlama c. Karel Programlama üç temel yaklaşımı çersde buludurmaktadır.... MAP Yaklaşımı Bu yaklaşım Grffth ve Steward tarafıda tek amaçlı doğrusal olmaya programlama problemler çözmek ç gelştrlmş ve 976 da Igzo tarafıda doğrusal olmaya hedef programlama problemler çözümü ç uyarlamıştır. Bu metodolo DOHP model çde doğrusal olmaya hedef kısıtlarıa z verr. (Schederas, 99:8) 5

60 Yaklaşım geel olarak aşağıdak gb verle doğrusal olmaya programlama problemler çözer (Saber ve Ravdra, 99:77). ( ) Mmze Z X (.) Kısıtlar; ( X ), K M f =, (.5) 0 X u =, K (.6), Burada Z ve f 'ler doğrusal olmaya dferasyelleeble foksyoları ve u 'ler se modeldek karar değşkeler ç üst sıır değerler göstermektedr. Bu yaklaşım, Taylor Sers açılımıı kullaırke herhag br komşuluğuda bulua doğrusal br foksyo yardımıyla X oktasıı f ( X ) doğrusal olmaya foksyouu yakısamasıı temel alır. Ve daha sora bu şlemler soucuda elde edle doğrusal programlama problem çözmek ç kullaılır. Buula brlkte DOHP problem DOP problemler özel br şekl olduğuda MAP yaklaşımı DOHP problemler çözümü çde kullaılablr. ve Bu oktada hareketle DOHP model geel şeklde yer ala R ( X ) = b =,, K L, g ( X ) d d = t = L, K M L L, kısıtlarıı dferasyelleeble olduğuu varsaydığımızda DOHP problem doğrusal yapıya döüştürülmes aşağıdak gbdr; p M ( Mmze Z = P w d w d (.7) Kısıtlar ; R k = k = L k k ) ( X ) R ( X )( X X ) = b =,, K L (.8), 6

61 ( X ) g ( X )( X X ) d d = t = L, K M, g L L L (.9) d, d 0 =, K, M (.0) Burada (, ) X =, K 'dr. Ek olarak, ( X X ) ola basamak ölçüsü term ye br y vektörü le taımlaablr; y = =, K (.), ve y sıırsız olduğuda y = y y =, K, (.) olarak fade edlr. Burada y, y 0 =, K, y, basamak ölçüsü vektörüü kısıtlayarak - sıırlayarak; tahmleme hatalarıı mmze etmek de MAP yaklaşımıı br amacıdır. s y y s =, K, (.) Burada s 'ler kısıtlardır. Kısıtlamalar da herhag br olumsuzluk olmadığıda s y y s fades 0 =, K, (.) y s 0 y =, K, (.5) s olarak yazılablr. Sıırladırılmış X vektörüü de (.6) ve (.) (.5) deklemleryle bağıtılı olduğuu göz öüde buludurulduğuda { s u } 0 y m, (.6) 7