DİZİN Açı Üçgen Üçgende açı kenar bağıntıları Dik üçgen İkizkenar üçgen Eşkenar üçgen Üçgende benzerlik Üçgende açıortay bağıntıları

Transkript

1 İZİN çı Üçgen 4 Üçgende çı ken ğıntılı 6 ik üçgen 7 İkizken üçgen 8 Eşken üçgen 9 Üçgende enzelik 10 Üçgende çıot ğıntılı 1 Üçgende kenot ğıntılı 13 Üçgende ükseklik ğıntılı 15 Üçgende özel ğıntıl 16 Üçgende ln ğıntılı 17 Çokgenle 18 Ymuk 1 lelken 3 Eşken dötgen 5 ikdötgen 5 Ke 6 eltoid 6 Çeme ve die 7 Uz geometi 36 ik izdüşüm 39 Ktı isimle ln ve himlei 4 nlitik düzlem ve doğunun nlitik inelenmesi 48 Çemein nlitik inelenmesi 5 Konikle 54 üzemde vektöle 60 Uzd vektöle 64 Uzd doğu ve düzlemin denklemi 69 1

2 ÇI şlngıç noktlı otk oln iki ışının ileşimine çı deni. [ ve [ ışınlın çının kenlı ve kollı deni. çı zılıken çının köşesi otd olk şekilde zılı. Şekildeki çı ve içiminde zılı. Şekildeki çının ölçüsü m() = Ve s() = ile gösteili. İç ölge ış ölge çı Çeşitlei çı ik çı Geniş çı oğu çı Tm çı o 0 < < 90 o o = 90 o 90 < < 180 o o = 180 o = 360 Komşu çıl Köşelei ve ie kenlı otk oln ve otk iç noktlı ulunmn iki çı komşu çıl deni. Şekilde ve çılı komşu çıldı. Tümle (ikle) çıl Ölçülei toplmı 90 0 oln iki çı tümle çıl deni. ütünle çıl Ölçülei toplmı oln iki çı ütünle çıl deni. Tes çıl Kenlı iiine zıt ışınl oln iki çı tes çıl deni ve ölçülei iiine eşitti. ile ve ile d tes çıldı. d lel İki oğunun i Kesenle Yptığı çıl f g e h d 3-ış Tes çıl ile g ve ile h dış tes çıldı ve ölçülei eştti. 4-Kşı uumlu çıl d ile e ve ile f kşı duumlu çıldı. d + e = 180 0, + f = di. Kşı duumlu çılın çıotlı iiine dikti. d 1 d d 1 //d olmk üzee; 1-Yöndeş çıl ile e, ile f, ile g, d ile h öndeş çıldı ve öndeş çılın ölçülei iiine eşitti. -İç Tes çıl d ile f ve ile e iç tes çıldı ve ölçülei iiine eşitti. d 1 d

3 lel İki oğunun iden Çok Kesenle Yptığı çıl d 1 // d olmk üzee; 1- d 1 z z = z t d d d 1 d + + z + t = d d = d 4- k d 1 d,,,...., k n tne çı k = (n-1) çıot noktsı çısının iç ölgesinde i nokt ve m() = m() ise [ ışının çısının çıotı deni. çıot üzeinde lınn i nokt çının kollın eşit uzklıktdı. N Kollı iiine lel oln çıl M Kollı iiine ik oln çıl + = =

4 ÜÇGEN üzlemde doğusl olmn üç nokt,, olmk üzee [] È [] È [] kümesine üçgen deni. 1 İç çılın ölçülei toplmı di. + + = ış çılının ölçülei toplmı di. + + = i dış çının ölçüsü kendisine komşu olmn iki iç çısının ölçülei toplmın eşitti. = +, = +, = + ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ çılın Göe Üçgen Çeşitlei çılı Üçgen ik Üçgen Geniş çılı Üçgen ütün çılı i çısı 90 0 di. i çısı 90 0 den üüktü den küçüktü. Kenlın Göe Üçgen Çeşitlei Çeşitken Üçgen İkizken Üçgen Eşken Üçgen Ken uzunluklı İki ken uzunluğu Üç kenı d nı uzunluktdı. iiinden fklıdı. iiine eşitti. ÜÇGENE TEMEL VE YRIMI ELEMNLR i üçgenin kenlın ve çılın üçgenin temel elemnlı; ükseklik, çıot, kenot ve ken ot dikmeleine üçgenin dımı elemnlı deni. Yükseklik F H E h h h h h h ½½=h, ½E½=h, ½E½=h i üçgenin üç üksekliği i noktd kesişi. u nokt üçgenin ükseklik mekezi deni. çıot Üçgenin hehngi i iç çısını iki eş pç ın ışının, köşe ile kşı ken sınd kln pçsın üçgenin o köşesine it iç çıotı deni. İç çıotl i nokt d kesişi ; u nokt üçgenin iç teğet çemeinin mekezidi. n I 4

5 i üçgen de i köşeden çizilen iç çıot ile diğe iki köşeden çizilen dış çıotl i noktd kesişi. u nokt d dış teğet çemeinin mekezidi. Kenot i üçgenin kenlını iki eş pç ölen doğu pçlın kenotlı deni; Kenotl i noktd kesişi, u nokt üçgenin ğılık mekezi deni. V V G V Ken t ikmelei i üçgenin kenlının ot noktlındn çizilen dik doğul üçgenin ken ot dikmelei deni. i üçgenin ken ot dikmelei i noktd kesişi; u nokt üçgenin çevel çemeinin mekezidi. R Özelikle 1- = z 0 = = 90 - z = 3- + = h n h V = m() ˆ - m() ˆ m() ˆ= -m() ˆ 5

6 ÜÇGENE ÇI KENR ĞINTILRI i üçgenin iç çılının ölçülei sındki sılm ile u çılın kşısındki kenlın uzunluklı sındki sılm nıdı. u önemenin kşıtı d doğudu. s (Â) > s(ˆ) Û > Üçgen Eşitsizliği i üçgende i kenın uzunluğu diğe iki kenın uzunluklı fkındn üük, toplmındn küçüktü. ½ ½ < < + ½ ½ < < + ½ ½ < < +, ik ve Geniş çılı Üçgende ğıntıl m( Â ) = 90 0 Û = + m( Â ) > 90 0 Û > + m( Â ) < 90 0 Û < + Kenot ğıntısı V - < V + < 90 0 m(â) = Û V = 90 0 m(â) > Û V < 90 0 m(â) < Û V > Üçgenin İç ölgesinde lınn i Nokt İçin + + = u olmk üzee; z u < + + z < u < + < + Ydımı Elemnll Kenl sındki ğıntıl h n V h < n < V çıot, kenot ve ükseklik uzunluklı, ken uzunluklı ile tes ontılıdı. i üçgende üksekliği ve kenotı ve çıotı en uzun oln ken diğe kenldn dh kısdı. 6

7 İK ÜÇGEN isgo Teoemi = + m > n ve m, n Î N + olmk üzee kenlı tmsı oln dik üçgenle ndki şekildeki giidi. m.n m m + n -n k Î R + olmk üzee zı özel dik üçgenle: 3k 5k 5k 13k 8k 17k 7k 5k 0k 9k 9k 41k 4k 1k 15k 4k 1k 40k Öklid ğıntılı h p k 1) ) h = p.k = p. 3) = k. 4) 1 = h 5).h = Üçgeni Üçgeni Üçgeni Üçgeni h h Kenot ğıntılı 1) Hipotenüse it kenotın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun ısın eşitti. ) 5V = V + V V 7

8 İKİZKENR ÜÇGEN İki ken uzunluğu eşit oln üçgenlee ikizken üçgen deni. ½½ = ½½ ise [] tn, Â çısı tepe çısı olk dlndıılı. Özeliklei 1 Tn çılı iiine eşitti. Tn it kenot, ükseklik ve tepe çısın it çıot nı doğu pçsıdı. ½½ = ½½ Û v = h = n = H 3 Eşit kenl it dımı elemnlın uzunluklı iine eşitti. = Þ V V,h = h,n = n= 4 i köşee it, iç çıot, kenot ve ükseklik elemnlındn hehngi ikisi çkışıos (nı doğu pçsı ise) veilen üçgen ikizkendı. 5 ½½ = ½½ = olmk üzee; H E E F = ½E½ +½F½ = ½E½ +½E½ E H H F E F h h E F = = + h = h = E - F F E h = E + F H 8

9 EŞKENR ÜÇGEN Üç ken uzunluğu iiine eşit oln üçgene eşken üçgen deni Özeliklei: 1 - ütün köşelee it çıot, kenot ve ükseklik nı doğu pçsıdı. 3 h = h = h = n = n = n = V = V = V = h 3 ln = ln = z z = + + z h = + + z 5 - K L M eşken üçgen h = ½K½ + ½M½ - ½L½ 6 - R h = 3 h R =, R = 3 9

10 ÜÇGENE ENZERLİK İki üçgen sınd pıln ie i eşlemede kşılıklı çılın ölçülei eşit ve kşılıklı kenlın uzunluklı ontılı ise u üçgenlee enze üçgenle deni. mˆ ( ) = mˆ ü ( ) ï ï mˆ ( ) = meˆ ( ) ï ï ý Û EF mˆ ˆ ( ) = mf ( ) ï ïï E F = = = k ïþ d e f k Î R + sısın üçgenin enzelik onlı deni. k= 1 ise üçgenle eşti enze iki üçgenin; Kşılıklı ükseklikleinin onı Kşılıklı kenotlının onı Kşılıklı çıotlının onı İç teğet çemeleinin ıçplının onı ış teğet çemeleinin ıçplının onı Çevel çemeleinin ıçplının onı Çeveleinin onı enzelik onın eşitti. Yni EF ise; dı. enze iki üçgenin lnlı onı enzelik onın kesine eşitti. Temel ntı Teoemi h V n R d e f h V n R Thles teoemi 1- E E F d 1 d d 3 ( ) = = = = = = = = = = d d d () EF Þ = k (EF) Ç ( ) Ç EF [ E ]//[ ] k ì E ï = ï E ï Û í = ï E ï ï = ï î E ì ï = ï E F d 1//d //d3 Û í ï ï = îe F EF ). - E d 1 E d 1 d E E d 1//d Û = = 10 d

11 TEMEL ENZERLİK TEREMLERİ çı çı çı (..) enzelik Teoemi İki üçgen sınd pıln ie i eşlemede kşılıklı çılın ölçülei eşit ise u iki üçgen enzedi. İkişe çısı eşit oln üçgenlein üçünü çılı d eşit olğındn u teoemi çı çı enzelik Teoemi olk d tnımliliiz. Ken çı Ken (K..K) enzelik Teoemi İki üçgen sınd pıln ie i eşlemede, kşılıklı ie çıl eş ve u eş çılı eliten kenlın uzunluklı ontılı ise u iki üçgen enzedi. Ken Ken Ken (K.K.K) enzelik Teoemi İki üçgen sınd pıln ie i eşlemede kşılıklı kenlın uzunluklı ontılı ise u iki üçgen enzedi. Özelikle 1 E F z [ //EF// ] [ ] [ ]Û = + z di. - H F E G K ½½ = ½½ = ½F½ = ½FH½=.... ½½ = ½E½ = ½EG½ = ½GK½=.... () = ise (E) = 3 (FGE) = 5 (FHKG) =

12 ÜÇGENE ÇIRTY ĞINTILRI n = = m N =. -m.n m n =. -. İç Teğet Çeme F E ½F½ = ½E½ = u ½F½ = ½½ = u ½½ = ½E½ = u ( + + u = ) ış Teğet Çemele = = + + h h h = + 4R (R:çevel çemein ıçpı) L K ½K½ = ½M½ = u ½L½ = ½K½ = u ½M½ = ½L½ = u M 1

13 ÜÇGENE KENRRTY ĞINTILRI i üçgende üç kenot i noktd kesişi. u nokt üçgenin ğılık mekezi (denge noktsı) deni. ğılık mekezinin köşee oln uzklığı, ken oln uzklığının ktıdı. k n G m k m n F 3 K G E ½K½ = 6½KG½ = ½G½ + + u < V + V + V < u ( u = ) + < V < < V < ½V V ½ < V < V + V Kenot Teoemi V V = + - V = + - V = V + V + V = ( ) ğılık Mekezi lm Ştı şğıdki ştl sğlndığınd G ğılık mekezi olu. G G G Kenotlın ıdığı ölgelein lnlının nlı G G Özelikle 1 ve EF üçgenleinin ğılık mekezlei nıdı. F G E 13

14 - G m(g) = 90 0 ise V = V + V 5 = V = - H 4 ı ı G ı ½ ı ½ = ½ ı ½ + ½ ı ½ 5 - G ½ ı ½+ ½ ı ½ + ½ ı ½ = 3½GG ı ½ ı ı G ı ı 6 ) i üçgenin kenotlı eni i üçgen medn getii ve u üçgenin kenotlı kşılıklı ken- lın 3 üne eşitti. 4 M noktsı N üçgeninin ğılık mekezidi ve 3 LN = di. 4 ) i üçgenin kenotlındn medn gelen K V L G M V V N üçgenin lnı veilen üçgenin lnının 3 üne eşitti. 4 14

15 ÜÇGENE YÜKEKLİK ĞINTILRI i üçgenin üksekliklei i nokt d kesişi u nokt üçgenin diklik mekezi deni. 1 - F H E ½H½.½H½=½H½.½HE½=½H½.½HF½ - 3 H E. =.R.h. =.R.h. =.R.h ½½.½H½=½½.½½ 4 - H ı Çevel çemeinin mekezi ve ıçpı R olmk üzee; ½H½= ½ ı ½ H + = 4R di. tik Üçgen (edl Üçgeni) i üçgenin ükseklik klını köşe kul eden üçgene otik üçgen deni. Yükseklikle otik üçgenin çıotlı olu. F E Eule oğusu:i üçgenin çevel çemeinin mekezi (), ğılık mekezi (G) ve diklik mekezi nı doğu üzeindedi. H G çgh ç= çg ç 15

16 ÜÇGENE ÖZEL ĞINTILR Menlus Teoemi E F i d doğusu i üçgeninin, ve kenlını sısı ile, F ve E noktlınd kesios F E = 1 di. F E u teoemin kşıtı d doğudu. i üçgeninin, ve kenlı üzeinde F E = 1 olk şekilde, F, E noktlı lını- F E s, u üç nokt nı doğu üzeinde olu. ev Teoemi d 1, d, d 3 i üçgenin köşeleinden geçmek üzee ) oğul iiine plel ise ) oğul i noktd kesişio ise d 1 d 1 d d 1 1 d d = u teoemin kşıtı d doğudu. Yni i üçgeninin, ve kenlı üzeinde 1 3 = 1 olmk üzee 1,, 3 noktlı lınıs 1,, 3 nı i noktdn geçe 1 3 ve iileine plel olul. tewt ğıntısı n m mn + - = = ise (ikizken üçgen ise) m n mn = - not Teoemi e F f d E + + e = + d + f 16

17 ÜÇGENE LN ĞINTILRI + + i üçgeninde u=, iç teğet çemein ıçpı R çevel çemein ıçpı,,, dış teğet çemelein ıçplı olmk üzee;.h.h.h () = = = () =...sin ˆ=... sin ˆ=... sin ˆ () = u. () =.. 4R = u.(u -)(u -)(u -) ( ) ( ) ( ) () = u-. = u-. = u-. ik Üçgende ln () () m =... H n =. = m.n Eşken Üçgende ln Eşken üçgenin i ken uzunluğu ve üksekliği h ise; () () 3 h 3 ln = ve ln = dü. 4 3 İki Üçgenin lnlı nı Yükseklik uzunluklı eşit oln iki üçgenin lnlı onı u üksekliklee it tn uzunluklı onın eşitti. Tn uzunluklı nı oln iki üçgenin lnlı onı ükseklik uzunluklı onın eşitti. ie ken uzunluklı ve u kenl it ükseklik uzunluklı eşit oln iki üçgenin lnlı eşitti. h m 1 m = n n n m E (E) = m.n (). 1 h 1 h () h = 1 () h F L G [E] // [], [KL] // [], [FG] // [] ise 1 ( ) = ( ) 17 3 E K Tlı ölgenin lnı m E ( + ) =.h p n F (EF)..z + m.n.p = ().. z

18 ÇKGENLER üzlemde iiinden fklı ve hehngi üçü doğusl olmn 1,, n gii n tne (n ³ 3) noktı ikişe ikişe ileştien doğu pçlının ileşimine çokgen deni. dışık olmn iki köşei ileştien doğu pçsın köşegen deni. Konveks ve Konkv Çokgenle i çokgen içeisinde lınn hehngi iki noktı ileştien doğu pçsının tmmı çokgen içinde klıos u tü çokgenlee konveks (dışüke ) çokgen, doğu pçsının tmmı çokgen içinde klmıos u çokgenlee konkv (içüke) çokgenle deni. Konveks çokgenin he i çısı den küçük ; konkv çokgenin ise en z i iç çısı den üüktü. konveks konkv Konveks Çokgenin Özeliklei n kenlı i konveks çokgenin: 1 İç çılının toplmı (n ) di. ış çılının toplmı di. 3 i köşesinden çizilen köşegenlele çokgen, n tne üçgene ılı. 4 i köşesinden çizilen tüm köşegenleinin sısı n 3 tü. n( n - 3) 5 Köşegen sısı = di. 6 Ken sısı n oln i konveks çokgenin çizileilmesi için n 3 tne elemnı ilinmelidi. u elemnlın en z n tnesi uzunluk, en çok n 1 tnesi çı olmlıdı. Yıldızıl n ³ 5 olmk üzee n köşeli konveks i çokgenin kenlının uztılmsıl oluşn şekle ıldızıl deni. n köşeli i ıldızılın iç çılının ölçülei toplmı (n 4) di. üzgün Çokgenle ütün kenlı ve ütün iç çılı eş oln konveks çokgene düzgün çokgen deni. Özeliklei: i dış çısının ölçüsü n di. 0 ( n - )180 i iç çısının ölçüsü di. n 3 i düzgün çokgenin köşelei i çemein üzeindedi. İç teğet ve çevel çemeleinin mekezi 0 nıdı. 360 çeve. =, ln = n n.. = R R n.r.sin = 18

19 çı ğıntılı GENEL ÖRTGENLER m  + mˆ = mˆ - mˆ = mĉ + mˆ = 0-90 = mˆ - mˆ Uzunluk ğıntılı d d + = + d ln ğıntılı = e, = f olmk üzee ; e.f () = e.f.sin () = Köşegen ğıntılı 1 i konveks dötgende köşegenlein toplmı ı çeveden üük, tm çeveden küçüktü. i konveks dötgenin kenlının ot noktlı i plelkenın köşeleidi. R Q 19

20 ) = ise QR dötgeni eşken dötgendi.(ikdötgen ve ikizken mukun kenlının ot noktlı eşken dötgenin köşeleidi.) ) [] ^ [] ise QR dikdötgendi.(eşken dötgen ve deltoidin kenlının ot noktlı dikdötgenin köşeleidi.) ) ½½=½½ ve [] ^ [] ise QR dötgeni i kedi.(kenin kenlının ot noktlı i kenin köşeleidi.) d ) QR dötgeninin çevesi dötgeninin köşegenleinin uzunluklı toplmın eşitti. 3 i konveks dötgende köşegenlein ot noktlı (H,F) ile kşılıklı iki kenının ot noktlı (E,G) i plelkenın köşeleidi. G ½EF½+½FG½+½GH½+½HE½=½½+½½ H F ½½=½½ise EFGH dötgeni eşken dötgendi. E 4 Konveks i dötgenin köşegen uzunluklı e,f ve köşegenlein ot noktlı,q olmk üzee z t Q + + z + t = e + f + 4.Q = dötgeninin kenlının ot noktlı,q,r, ise; ln() ln (QR) = di. R Q 0

21 YMUK İki kenı iiine plel oln dötgene muk deni. lel oln kenl muğun tnlı, diğe kenl muğun n kenlı deni. Yn kenlın ot noktlı E ve F ise [EF] e ot tn deni. t tn muğun tnlın pleldi. Özelikle: [] // [] olmk üzee; 0 1 ) m  + mˆ = m ˆ + mĉ = 180 E F ) [EF] ot tn, ½½=, ½½ = ise + EF = EM = NF = - MN = 3 ) [KL] tnl plel ise K ½K½= ½L½= ve = + di. 4 ) muğund [K], [L], [L], [K] çı otl ½½=,½½=, ½½=, ½½= d ise [KL] ot tn üzeindedi ve + - ( + d) KL = di. m(k) = 90 0 ve m(l) = 90 0 di. E M L N F K L Ymuğun lnı h H K ( + ).h () = ½K½ = ½K½ ve [KH] ^ [] ise () (K) =, () =. KH E 1 F 1 = 3 = 1. 4 ( ) 4 () = + [EF] // [], ½EF½= ve 1 = ise; = + 1

22 Özelikle 1 muğunun ken uzunluklı,,, d ve köşegen uzunluklı e ve f ise e + f = + d + d e f ½½=, ½½= ve ½EF½= h ise.h QE = +.h QF = + F Q E İkizken Ymuk lel olmn kenlı eşit uzunlukt oln Ymuğ ikizken muk deni. Özeliklei 1 ½½= ½½ Tn çılı eşitti. 3 Kşılıklı çılının toplmı olduğu için he ikizken muk i kiişle dötgenidi 4 Köşegenle eşit uzunluktdı. 5 6 e e - =. 7 İkizken muğun köşegenlei dik kesişio ve üksekliği h ise + h = ve () = h di. H K - H = K = ik Ymuk Yn kenldn ii tnl dik oln muğ dik muk deni. h i dik mukt köşegenle dik kesişios h =. di. h

23 RLELKENR Kşılıklı kenlı plel oln dötgene plelken deni. lelkend; 1 Kşılıklı kenlı iiine pleldi. Kşılıklı çılın ölçülei iiine eşitti. 3 dışık çılın toplmı di. ( + = ) 4 Köşegenle iiini otl. 5 ½½= e ½½= f ise; ( ) e + f = + 6 Komşu iki iç çıotın oluştuduğu çı 90 0 di. lelkenın lnı h h () =.h =. () =.. sin h 1 () =. sin Özeliklei 1 ve Q üzeinde ulunduklı kenlın ot noktlı olmk üzee ½K½=½KL½=½L½ di. K L Q K Q L plelkenı i kenı üzeinde hehngi i nokt olmk üzee; + 1 = () plelkenın iç ölgesinde hehngi i nokt olmk üzee; + = = () Köşegenle plelkenı 4 eş lnlı ölgee ıı. () = 4 3

24 5, Q, R, T üzeleinde ulunduklı kenlın ot noktlı olmk üzee R R T () 3 3 Q = T 4 1 Q Q () = Q () = 0 () = 10 6, [] köşegeni üzeinde i nokt ve [EF] // [], [KL] // [] ise; (EK) = (LF) E = K L F 7 [EF] // [], [KL] // [] ise; = E 3 4 K 1 F L 8 + = + = ı ı ı ı ı K 9 [] köşegen,, E, F, K doğusl ise; F E = EF. EK E 4

25 EŞKENR ÖRTGEN öt kenı iiine eşit oln plelken eşken dötgen deni. Özeliklei: 1 lelkenın tüm özeliklei eşken dötgen için de geçelidi. Köşegenle çıotdı. 3 Köşegenle iiine dikti ve iiini otl. 4 Köşegen uzunluklı e ve f ve i ken uzunluğu ise e + f = 4 di. Eşken ötgenin lnı i ken uzunluğu, köşegen uzunluklı e ve f olmk üzee () =.h () =.sin () = e.f h h İKÖRTGEN i çısının ölçüsü 90 0 oln plelken dikdötgen deni. ikdötgen özel i plelken olduğu için plelken it tüm özeliklei sğl. ikdötgenin köşegenlei eşit uzunluktdı ve iiini otl. p Özelik: noktsı dikdötgenin iç ve dış ölgesinde hehngi i nokt olmk üzee ½½=, ½½=, ½½= z, ½½= t ise + = z + t di. z p t z t 5

26 KRE Kenlı eş oln dikdötgene ke deni. Ke dikdötgen ve eşken dötgenin tüm özelikleini tşı. Köşegen uzunluklı iiine eşitti. Köşegenle iiini dik otl ve çıotdıl. Kenin i ken uzunluğu ise köşegen uzunluğu di. () = ELTİ İki komşu kenı iiine, diğe iki komşu kenı iiine eş oln konveks dötgene deltoid deni. Özeliklei: 1 ½½=½½, ½½=½½ [] ^[] 3 ½K½=½K½ 4 m() = m() 5 [] köşegeni ve çılının çıotlıdı. 6 [] köşegeni deltoidin simeti eksenidi. 7 ½½= e, ½½= f ise () = e.f ve () = ½½.½½. sin() K 6

27 ÇEMER Çeme: üzlemde sit i noktdn eşit uzklıkt ulunn noktlın kümesine çeme deni. sit noktsın çemein mekezi, ½½ = uzunluğun d çemein mekezi deni. Teğet: Çemele i ve lnız i noktd kesişen doğu çemein teğeti deni. tk oln noktsın teğetin değme noktsı deni. t Kesen: Çemei fklı iki noktd kesen doğu çemein keseni deni. d Kiiş:i çemein fklı iki noktsını ileştien doğu pçsın çemein kiişi, mekezden geçen kiişe de çemein çpı deni. Çemein en üük kiişi çptı. Noml:Çemede teğete değme noktsınd dik oln doğu çemein u noktdki nomli deni.noml çemein mekezinden geçe. noml teget ÇEMERE ÇILR VE YYLR Y: Çemein hehngi iki noktsı sınd kln pçsın deni. ı denildiğinde u ldn küçük oln nlşılı. üük o- ln ı ifde etmek için üük üzeinde X gii i şk nokt lını ve X ı içiminde ifde edili. i çeme ının tmmı di. ının ölçüsü m(), uzunluğu d ½½ şeklinde gösteili. X Mekez çı: Köşesi çemein mekezinde oln çı mekez çı deni. Mekez çının ölçüsü gödüğü ın ölçüsüne eşitti. m()=m()= Çeve çı: Köşesi çeme üzeinde ve kenlı kiiş oln çı çeve çı deni. Çeve çının ölçüsü gödüğü ın ölçüsünün ın eşitti. m()= Þ m()= ve m() = m() Çeve ve Mekez çının Özeliklei 1- i çemede nı ı göen çeve çının ölçüsü, mekez çının ölçüsünün ısın eşitti. di. i çemede, nı ı göen çeve çılın ölçülei iiine eşitti. 7

28 3 i çemede, çpı göen çeve çının ölçüsü 90 0 di. 4 İki ve dh fzl dik üçgenin hipotenüslei nı ise u üçgenlein köşeleinden i çeme geçe. Teğet-Kiiş çı Köşesi çeme üzeinde ulun, kenlındn ii çemein teğeti, diğei de kiişi oln çı teğet-kiiş çı deni. Teğet-kiiş çının ölçüsü gödüğü ın ölçüsünün ısın e- şitti. m() m()= Þ m()= ve m() = dı. Özeliklei : 1 i çemede, nı ı göen teğet-kiiş çı ile çeve çılın ölçülei iiine eşitti. i çemede, nı ı göen teğet-kiiş çının ölçüsü mekez - çının ölçüsünün ısın eşitti. i çemede, nı ı göen teğet-kiiş çılın ölçülei iiine eşitti. İç çı i çemede kesişen iki kiişin oluştuduğu çıldn he iine çemein iç çısı deni. i çemede i iç çının ölçüsü gödüğü l toplmının ısın eşitti. E = m() + m() 8

29 ış çı Köşesi çemein dış ölgesinde, kenlı çemee teğet ve çemein keseni oln çı çemein dış çısı deni. i dış çının ölçüsü, gödüğü lın ölçülei fkının ısın eşitti. m() - m() = = m() - m() = m() - m() m() + m()= Kiişle ötgeni Köşelei i çeme üzeinde oln dötgene kiişle dötgeni deni. Kiişle dötgeninin kşılıklı çılının ölçülei toplmı di. Kşılıklı çılının ölçülei toplmı oln he dötgen i kiişle dötgenidi. d f q 0 0 += 180 ve q+f= 180 di. æ dö ln() = (u -)(u -)(u -)(u - d) = ç u è ø tolem Teoemi: ½½= e, ½½= f olmk üzee e.f =. +.d di. Teğet, Kiiş ve Y özeliklei 1 Çemein mekezi ile teğetin değme noktsını ileştien doğu pçsı teğete dikti. teğet i çemee, dışındki i noktdn çizilen teğet pçlının uzunluklı iiine eşitti (½½ = ½½). ı + q = 90 0 ve m() + m()= di. q q 3 Çemein mekezinden kiişe çizilen dikme kiişi otl. [H] ^ [] Þ ½H½=½H½ ve m(t) = m(t) di. H T 4 Çemein mekezinden eşit uzklıktki kiişlein uzunluklı e- şitti. Eşit uzunluktki kiişlede mekeze eşit uzklıktdı. ½K½ = ½L½ Û ½½ = ½½ K L 9

30 5 Mekeze kın oln kiiş, mekeze uzk oln kiişten dh uzundu. İki kiişten uzun olnı mekeze dh kındı. ½H½<½K½ Û ½½>½½ K H 6 Çemede eşit uzunluktki kiişlein ıdığı lın ölçülei e- şitti. ½½ = ½½ Û m(k) = m(l) di. K L 7 Çemede plel kiişlein otsınd kln lın ölçülei eşitti. [] // [] Û m() = m() 8 ½½ = ½½ ve [] // [] ise i dikdötgen olu. 9 Çemein içinde lınn i noktdn geçen en kıs kiiş u noktdn geçen çp dik oln kiişti. [] ^ [] ise [] kiişi den geçen en kıs kiişti. İKİ ÇEMERİN İRİRİNE GÖRE URUMLRI 1 Kesişmeen Çemele ) ii diğeinin dışınd oln çemele ) ii diğeinin içinde oln çemele ½ 1 ½ > 1 + ½ 1 ½ < 1 - Teğet Çemele ) dıştn teğet çemele ) İçten teğet çemele ½ 1 ½ = ½ 1 ½ = 1-30

31 iiine içten ve dıştn teğet iki çemeden, iine kesişme noktsınd teğet oln doğu diğe çemee de nı noktd teğetti. u çemelein mekezleini ileştien doğu, değme noktsındn geçe Kesişen Çemele 1 1 ½ 1 ½ < 1 + ik Kesişen Çemele: Kesişen iki çemein ıçplı kesişim noktlınd iiine dik ise u çemelee dik kesişen çemele deni. d = d İKİ ÇEMERİN RTK TEĞETLERİ nı düzlemde ulunn ve iki çemee de teğet oln doğu çemelein otk teğetlei deni. tk ış Teğetle İki çemein mekezini ileştien doğu pçsını kesmeen otk teğetlee otk dış teğetle deni. İki çemein otk dış teğetinin, değme noktlı sınd kln pçsın otk teğet pçsı deni. tk teğet pçlının uzunluklı eşitti. İki çemein otk dış teğetleinin kesim noktsı ile çemelein mekezi nı doğu üzeindedi = = 1-1- = = ½½ = ½½ 31

32 tk İç Teğetle İki çemein mekezini ileştien doğu pçsını kesen otk teğetlee otk iç teğetle deni. İki çemein otk iç teğetleinin kesim noktsı ile çemelein mekezlei nı doğu üzeindedi. İki çemein otk iç teğet pçlının uzunluklı eşitti. 1 1 = = Çemede Kuvvet noktsı çemein dışınd olmk üzee noktsının çemee göe kuvveti p ile ifde edili. p= T = d - d T 1- noktsı çemein dışınd ise T T =.. =. - noktsı çemein içinde ise. =. İki Çemein Kuvvet Ekseni İki çemee göe nı kuvvette oln noktlın oluştuduğu doğu u çemelein kuvvet ekseni deni. İki çemein kuvvet ekseni, u çemelein mekezleini ileştien doğu dikti. d d 1 1 ½½ = ½½ 1 1 = =. d - = d - 1 3

33 1 Kesişen iki çemein kuvvet ekseni, otk kiişi tşın doğudu. ½½ = ½½ 1 İçten ve dıştn teğet çemelein kuvvet ekseni çemein otk teğetleidi. ½½ = ½½ = ½½ 1 3 Kesişmeen iki çemein kuvvet ekseni, otk iç ve dış teğet pçlının ot noktlındn geçe. E L 1 F G 1 K ½E½=½E½=½G½=½G½ ½K½=½K½=½L½=½L½ Özelik:Kuvvet ekseni, ıçpı küçük oln çemein mekezine dh kındı. Kuvvet Mekezi Mekezlei doğusl olmn üç çemee göe nı kuvvette oln nokt u çemelein kuvvet mekezi deni. Şekildeki çemelein kuvvet mekezlei K dı. 1 1 K 3 K 3 K K Teğetle ötgeni ütün kenlı nı çemee teğet oln dötgene teğetle dötgeni deni. Teğetle dötgeninin iç çıotlı i noktd kesişi; u nokt çemein mekezidi. t N t M z z L ½½+½½=½½+½½ = u (u: ı çeve) ln () = u. K 33

34 Özelik m n = m.n Çemein Uzunluğu Çemein uzunluğu (Ç) : Ç =.p. Çeme Yının Uzunluğu =. p Mekez çının ölçüsü dn ise =. İRE i çemein kendisi ile iç ölgesinin ileşimine die deni. ienin lnı: = p. di. ie iliminin (Kesmesinin) lnı ie çsının lnı m() = deee ise ve =p 0 =. ie Hlksının lnı R = -() 1 = p.. -.sin =p.r -p= ve p.(r - ) H æ ö H =p=. ve H pç. è ø H nı mekezli die dilimlei

35 ielede enzelik 1 1 Ç: Çeve, : ln Ç æ ö =, = ç Ç è ø Özelikle T 3 1 = 4 3 æ ö æ ö æ ö 1 T T 1 = ç ç = ç = è ø è T ø è½t½ø - L die pçsının lnı 1, K die pçsının lnı olmk üzee æ ö = ç è ø K L 3- [], [], [] çplı ım çemelein lnlı sısı ile 1,, 3 ise 3 = 1 + di üçgeninin kenlını çp olk kul eden üç ım die için = () - 1 = () 35

36 UZY GEMETRİ UZY KVRMLRI VE KNUM KİYMLRI ksiom: Fklı iki noktdn geçen i tek doğu vdı. ksiom: Hehngi i doğu üzeinde en z iki nokt ve dışınd en z i nokt vdı. ksiom: nı doğu üzeinde olmn fklı üç noktı üzeinde ulundun i tek düzlem vdı. ksiom: i doğunun fklı iki noktsı i düzlemde ise u doğu üzeindeki ütün noktld u düzlem üzeindedi. ksiom: Fklı iki düzlemin otk i noktsı vs i de otk doğulı vdı. ksiom: Hepsi nı düzlemde ulunmn en z döt nokt vdı. Yukıdki ksioml uzın konum ksiomlı deni. Teoem:Uzd fklı iki doğunun en çok i otk noktsı vdı. Teoem:Uzd i doğu ve u doğu üzeinde ulunmn i nokt i tek düzlem eliti. Teoem:Uzd kesişen fklı iki doğu i tek düzlem eliti. Teoem:i doğu üzeinde ulunmdığı i düzlemi kesese kesit i tek nokt olu. Teoem:Fklı iki düzlemin i otk noktsı vs u nokt otk doğu üzeindedi. Teoem:Fklı iki düzlemin en çok i otk doğusu vdı. Teoem:Fklı iki düzlem kesişise, u düzlemlein kesiti i doğudu. RLELİK KİYMU VE ZI NUÇLRI Teoem:Uzd plel iki doğu i tek düzlem eliti. ksiom: Uzd i doğu ve dışınd i nokt veildiğinde veilen noktdn geçen, veilen doğu plel i tek doğu vdı. Teoem: lel iki doğudn iini i tek noktd kesen i düzlem diğe doğuu d kese. Teoem:nı doğu plel oln fklı iki doğu d iiine pleldi. Teoem: i düzlemin içindeki doğu plel oln ve düzlemin dışınd ulunn doğu u düzleme de pleldi. Teoem: i doğu düzleme plel ise u doğuu üzeinde ulundun ve veilen düzlemi kesen hehngi i düzlemin kesit doğusu veilen doğu pleldi. i doğu i düzleme plel ise, düzlemdeki i noktsındn geçen ve u doğu plel oln doğu u düzlem içindedi. Teoem:i doğu i düzleme plel ise, u düzlemdeki i noktsındn geçen ve doğu plel oln doğu düzlemin içindedi. Teoem: Kesişen iki düzlemin he iine plel oln doğu, u düzlemlein kesit doğulın d plel olu. d // ve d // ve ve Ç = d ise d // d di. d d Teoem: nı düzleme plel oln ve kesişen iki doğunun elittiği düzlem ilk düzleme pleldi. 36

37 Teoem: Uzd i düzlem ve u düzlemin dışınd i nokt veildiğinde, veilen noktdn geçen ve veilen düzleme plel oln i tek düzlem vdı. onuç: i düzlemin dışındki elli i noktdn geçen ve düzleme plel oln doğulın hepsi, u noktdn geçen ve veilen düzleme plel oln düzlem içindedi. onuç: lel iki düzlemin iinin içindeki he doğu diğe düzleme plel olu. onuç: lel iki düzlemden iine plel oln i düzlem diğeine de pleldi.(nı düzleme plel iki fklı düzlem iiine de pleldi.) onuç: lel iki düzlemden iini kesen i düzlem diğeini de kese ve kesit doğulı d iiine de plel olu. q // ise // di. Teoem: lel iki düzlemden iini kesen i doğu diğeini de kese. üzlem ım Teoemi: He d doğusu içinde ulunduğu düzlemin d dışındki noktlını şğıdki özelliklei sğln iki ölgee (iki ı-düzleme) ıı: 1-i ölgedeki he noktsının diğe ölgedeki he noktsıl elittiği [] doğu pçsı d i i noktd kese. d - nı ölgedeki fklı iki ve noktlının elittiği [ ] doğu pçsı u ölge içindedi. Uz ım Teoemi: He düzlemi uzın dışındki noktlını şğıdki özelliklei sğln iki ölgee (iki ı-uz) ıı: 1- i ölgedeki he noktsının diğe ölgedeki he noktsıl elittiği doğusu düzlemini ile sınd i noktd ke- se. - nı ölgedeki fklı ve noktlının elittiği [ ] doğu pçsı u ölgededi. i oğunun i üzleme ikliği i doğu i düzlemi tek noktd kesese ve düzlemin u noktdn geçen ütün doğulın dik ise doğu düzleme dikti deni. Temel iklik Teoemi: i düzlemin kesişen iki doğusun kesişme noktsınd dik oln i doğu, u düzleme dikti. Teoem: lel iki düzlemden iine dik oln doğu diğe düzleme de dikti. Teoem: nı doğu (fklı noktld) dik oln iki düzlem iiine pleldi. Teoem: i noktdn geçen ve i doğu dik oln i tek düzlem vdı. t ikme üzlemi: Uzd i doğu pçsının ot noktsındn geçen ve u doğu pçsın dik oln düzleme u doğu pçsının ot dikme düzlemi deni. 37

38 Teoem: Uzd i doğu pçsının uç noktlındn eşit uzklıkt ulunn noktlın kümesi, u doğu pçsının ot dikme düzlemidi. Teoem: nı düzleme dik oln iki doğu iiine pleldi. Teoem:lel iki doğudn iine dik oln düzlem diğeine de dikti. Teoem: i düzlemin içinde lınn i noktdn geçen ve düzleme dik oln i tek doğu vdı. Teoem:i düzlemin dışındki i noktdn geçen ve düzleme dik oln i tek doğu vdı. Üç ikme Teoemi:i düzlemin dışınd ulunn i noktdn u düzleme ve düzlemin içindeki i doğu ie dikme çizilise, iki dikme ğını ileştien doğu düzlemin içindeki doğu dikti. noktsı, düzlemi ve düzlemi içeisinde d doğusu veilio. dn çizilen dikme [H] d e indiilen dikme de [K] olsun. d ^ HK olu. H K d İki üzlem sındki çı Kesişen iki düzlemin kesit doğusun dik oln hehngi i düzlemin u düzlemle kesit doğulının elittiği çı u düzlemle sındki çıdı. q İki üzlemin ikliği Kesişen iki düzlemin sındki çı dik çı ise u düzlemle iiine dikti deni. Teoem: i düzleme dik oln doğuu içinde ulundun düzlemle u düzleme dikti. Teoem: lel iki düzlemden iine dik oln i düzlem diğe düzleme de dikti. Teoem: i doğu iki düzlemden iine plel diğeine dik ise u iki düzlem iiine dikti. n( n + 1) Teoem: n tne doğu düzlemi en z n + 1, en fzl + 1 ölgee ıı. 38

39 İK İZÜŞÜM ĞRU ÜZERİNE İK İZÜŞÜM i Noktnın i oğu Üzeine ik İzdüşümü üzlemde i noktsındn eksenine i dikme inelim. u dikmenin ekseni üzeindeki ğın l dielim. l noktsın noktsının ekseni üzeindeki dik izdüşümü deni. ekseni eine, eksenine dik olmn, i şk g doğusu d lınilidi. u duumdki l noktsın, noktsının ekseni üzeine g doğusun plel izdüşümü deni. g l üzlemde i oğunun şk i oğu Üzeine ik İzdüşümü g ve g ı nı düzlemdeki iki doğu olsunl. u doğulın düzleminde ulunn plel doğulın öle i ilesini llım ki u ile g ve g ı doğulındn hiçiini kpsmsın. Eğe, g nin i noktsı ise plel doğul ilesinin den geçen i doğusu g ı i i ı noktsınd keseekti. g nin noktlının g ı nin noktlı üzeinde oln u dönüşümde ı noktsı nin i esmidi. u nedenle u dönüşüme g nin g ı üzeine plel izdüşümü deni. Eğe özel olk, plel doğul ilesi g ı doğusun dik oln doğuldn medn gelmişse u dönüşüme g nin g ı üzeine dik izdüşümü deni. l / g g ı ÜZLEM ÜZERİNE İZÜŞÜM Uz ilesi Uzd veilen i doğu ile u doğu plel oln ütün doğuldn medn gelen i doğu kümesine plel doğulın uz ilesi (kıs uz ilesi ) deni. Uzın he noktsındn,veilen uz ilesine it i tek doğu geçe. i Noktnın i üzlem Üzeine ik İzdüşümü Uzd i düzlemi ile u düzlemin dışınd i noktsı veilmiş olsun. düzlemini kesen uz ilesi veilmiş olsun. u plel doğu ilesinin dn geçen i tek doğusu vdı ve u doğu düzlemini i tek / noktsınd kese. / noktsının nın esmi olduğu u dönüşüme nın düzlemi üzeine i plel izdüşümü deni. Eğe uz ilesi düzlemine dik doğuldn oluşmuş ise u izdüşüme dik izdüşüm deni. / 39

40 üzlem ilesi i uz ilesinin nı i düzlem içindeki doğulının kümesine plel doğulın düzlem ilesi (kıs düzlem ilesi )deni. Veilen i düzleme plel sonsuz çoklukt uz ilesi vdı. Teoem:Uzd doğulın i düzlemi üzeine dik izdüşümleinde ) lel doğulın dik izdüşümlei de pleldi. ) lel eş doğu pçlının izdüşümlei de plel eş doğu pçlıdı. d 1 d d 1 d 1 d 1 // d Þ d // d [ ]//[ ] ve = ise [ ]//[ ] ve = di. Teoem: i kenı izdüşüm düzlemine plel oln i dik çının, dik izdüşümü ine i dik çıdı. Teoem: i üçgenin plel iki düzlem üzeindeki dik izdüşümlei eş üçgenledi. // i oğunun i üzlemle Yptığı çı i doğunun i düzlemle ptığı çı die u doğunun düzlem üzeindeki dik izdüşümü ile ptığı d çı deni. d / 40

41 Ölçek çısı i m düzlemi ile m i i K noktsınd kesen i d doğusunun m ile ptığı çısı, K dn d e dik oln ve m de tn t doğusu ile d nin oluştuduğu düzlem n ise çısı m ile n düzlemleinin ölçek çısı dını lı. n d m K Teoem:i doğunun i düzlemle ptığı d çı, u doğunun u düzlemi deldiği noktdn geçen ve düzlem içinde kln ütün doğull ptığı çıldn küçüktü. < Teoem: m ve n gii kesişen iki düzlem sındki çı ve m üzeindeki düzlemsel çokgenin lnı olsun. d,üzlemsel çokgenin n üzeindeki izdüşüm lnı / ise / =.os dı. 41

42 KTI İİMLER, LN VE HİMLERİ RİZMLR izmtik Yüze üzlemsel i çokgen ile unun düzlemine plel olmn i l doğusu veilmiş olsun. l doğusun plel oln ve çokgenin kenlın dnk heket eden i d doğusunun oluştuduğu üzee pizmtik üze deni. d l Çokgenin köşeleinden l doğusun çizilen plel doğul n ıtl deni. dışık iki n ıtın sınd kln düzlem pçsın pizmtik üzein n üzei deni. i pizmtik üzein i düzlemle kesitine u pizmtik üzein kesiti deni. Kesit düzlemi n ıtl dik ise u kesite dik kesit deni. izm i pizmtik üzein plel iki düzlem sınd kln pçsın pizm deni. iiine eş oln u iki kesite pizmnın tnlı deni. izml tnlını oluştun çokgenlein ken sılın göe dlndıılıl. Teoem: izmnın tn plel i kesiti tn eşti. ik izm Yn ıtlı tn düzlemine dik oln pizm dik pizm deni. Eğik izm Yn ıtlı tn düzlemine dik olmn pizm eğik pizm deni. üzgün izm Tnlı düzgün çokgen oln dik pizm düzgün pizm deni. lelüz Tnlı plelken oln pizm plelüz deni. lelüzde i köşe ile un komşu oln üzde ulunmn köşei ileştien doğu pçsın isim köşegeni deni. ik lelüz Yn ıtlı tn düzlemine dik oln plelüze deni. ikdötgenle izmsı Tnlı dikdötgenle oln dik pizm dikdötgenle pizmsı deni. d d = + + 4

43 Küp ütün ıtlı eşit uzunlukt oln dikdötgenle pizmsın küp deni. RİZMNIN LNI Teoem: Eğik pizmnın nl lnı dik kesit çevesi ile n ıtının uzunluğunun çpımın eşitti. M K N Ynl ln = Ç ( MNK) 1- ik izmnın nl lnı tn çevesi ile üksekliğinin çpımın eşitti. - ikdötgenle pizmsının i köşesinden çıkn ıtlının uzunluklı,, ise tüm lnı = ( + + ) di. 3- i kenının uzunluğu oln i küpün tüm lnı = 6 di. RİZMNIN HMİ ikdötgenle izmsının Hmi i dikdötgenle pizmsının hmi i köşesinden geçen üç ıtının uzunluklının çpımın eşitti. ik izmnın Hmi Tn lnı ile üksekliğinin çpımın eşitti. Eğik izmnın Hmi Him = Tn lnı Yükseklik Him = ik kesit lnı Yn ıt üksekliği vlie ilkesi Tn lnı ve üksekliklei eşit oln iki ismin tnlın plel ve tndn nı uzklıktki kesitleinin lnlı eşit olus u iki ismin himlei eşit olu. İRMİTLER i düzlemsel çokgen ile unun düzlemi dışınd i nokt veilsin. u noktı çokgenin köşeleile ileştielim. luşn üçgensel ölgelele, çokgensel ölgelein sınıldığı isme pimit deni. T h E üzgün imit Tnı düzgün çokgen oln ve ükseklik ğı tn mekezinde ulunn pimide düzgün pimit deni. ) i düzgün pimidin n üzlei iiine eş ikizken üçgenleden oluşu. ) Ynl ıtlının uzunluklı eşti. ) Ynl üksekliklein uzunluklı eşti. 43

44 üzgün ötüzlü ltı ıtı d nı uzunlukt oln üçgen pimide düzgün dötüzlü deni. Teoem: i pimit tn plel i düzlemle kesildiğinde ) Kesit çokgeni tn enzedi. ) Kesit lnının tn lnın onı, unlın tepeden oln uzklıklının keleinin onın eşitti. T / / ise H ) = = = H ) ( ) TH = () TH Teoem: Tn lnlı ve üksekliklei eşit oln pimitlein himlei eşitti. Teoem: i pimidin hmi, tn lnı ile üksekliğinin çpımının üçte iine eşitti. üzgün imidin Ynl lnı: i düzgün pimidin nl lnı tn çevesi ile n üksekliği (potem) çpımının ısın eşitti. Kesik imit: i pimit tnın plel i düzlemle kesildiğinde, tn ile düzlem sınd kln kısm kesik pimit deni. Tnlının lnlı G ve G ve üksekliği h oln i kesik pimidin hmi; h V = ( G + G + G G ) (h : iki tn sı uzklık) di. 3 İLİNİR ilindiik Yüze:üzlemsel i eği ile unun düzlemine plel olmn i l doğusu veilsin. l doğusun plel oln ve eğie dnk heket eden i doğunun oluştuduğu üzee silindiik üze deni. ilindi: i silindiik üzein plel iki düzlem sınd kln pçsın silindi deni. ik iesel ilindi: n doğusu tn düzlemine dik oln diesel silindie dik diesel silindi deni. l Y. = p / l h Y. = p h V = p h 44

45 KNİ Konik Yüze: Kplı i eğisi ile unun düzlemi dışınd i T noktsı veilmiş olsun. T noktsındn geçen ve eğisine dnk heket eden i doğunun oluştuduğu üzee konik üze deni. Koni: i konik üzein i kndı ile ütün n doğulını kesen i düzlem tfındn sınıldığı isme koni deni. Konile tnlın göe dlndıılıl ; diesel koni, eliptik koni,vs... T Eksen h eğisi n doğu ik iesel Koni Tnı die oln ve üksekliği tn mekezinden geçen konie dik diesel koni (dönel koni) deni. Ynl ln Y = p h Him 1 V = p 3 Him fomülü eğik koni için de geçelidi. h Koninin Tn lel Kesiti i diesel koni tn plel i düzlemle kesildiğinde; ) Kesit eğisi i çemedi. h ) Kesit diesinin onı unlın tepeden oln uzklıklının onın eşitti. = h mekezli ıçplı koninin hmi V tn lnı G, mekezli ıçplı koninin hmi V tn lnıg olsun. 3 V æ h ö = ç V è h ø G æ h ö = ç G è h ø 3 æ ö = ç è ø æ ö = ç è ø / h / h 45

46 ik iesel Kesik Koni Him fomülü eğik kesik koni için de geçelidi. Hmi 1 V = ph 3 ( + ( ) + ) h Ynl lnı ( + ) Y = p Tüm lnı ( + ) + p( + ( ) ) = p KÜRE Uzd sit i noktdn eşit uzklıkt oln noktlın ileşim kümesine (geometik eine) küe üzei, u üzele sınılnn isme küe deni. i küe üzeinin i düzlemle kesiti çemedi. i Küenin elili lmsı 1- i noktdn sonsuz küe geçe. Şet veilen i K noktsındn geçen küelein ıçplı kd ise mekezleinin geometik ei ıçplı K mekezli küe üzei olu. - Veilen iki noktdn geçen sonsuz sıd küe vdı. u küelein mekezleinin geometik ei u iki noktı ileştien doğu pçsının ot dikme düzlemidi. 3- oğusl olmn üç noktdn sonsuz sıd küe geçe u küelein mekezleinin geometik ei u üç noktdn geçen çemein düzlemine mekezden çıkıln dik i doğudu. 4- nı i düzlem içinde ulunmn döt noktdn lnız i küe üzei geçe.(nı i düzlem içinde ulunmn döt noktdn eşit uzklıkt ulunn lnız i nokt vdı.) Teoem: Uzd i doğu pçsını dik çı ltınd göen noktlın geometik ei u doğu pçsını çp kul eden i küe üzeidi. Küenin lnı Ve Hmi ıçplı küenin lnı ve hmi; = 4p V = 4 p 3 3 Küe Kuşğı ve Küe Tksı i küe üzeinin plel iki düzlem sınd kln pçsın küe kuşğı deni. Küe kuşğı ile düzlemle sınd kln isme küe tksı deni. 1 h = p h 1 ( V = ph ) 6 1 h 46

47 Küe Kpğı i küenin i düzlemle kesilmesi sonuund elde edilen pçlın he iine küe kpğı deni. Küe kpğı ile kesit düzlemi sınd kln isme de küe pçsı deni. h = p h 1 V = ph 3 ( 3 - h) Küe Kesmesi i die diliminin kendisini kesmeen i çp etfınd döndüülmesinden elde edilen isme küe kesmesi deni. h V = 1 3 = p 3 h Küe ilimi i küenin, i çpındn geçen iki ı düzlemle küe sınd kln isme küe dilimi deni. q Kuk kısmının lnı Hmi p q = + p 90 3 q p V = 70 47

48 NLİTİK ÜZLEM VE ĞRUNUN NLİTİK İNELENMEİ II. ölge ijin psis dintl ekseni I. ölge (,) dint NLİTİK ÜZLEM psisle ekseni 0 noktsınd dik kesişen iki sı doğusunun oluştuduğu sisteme dik koodint sistemi, üzeinde dik koodint sistemi ulunn düzleme de nlitik düzlem deni. III. ölge VI. ölge İki Nokt sındki Uzklık ( 1, 1 ), (, ) noktlı sındki uzklık ( ) ( ) = di. 1 1 i oğu çsının t Noktsı ½K½ = ½K½ ise 0 =, 0 = ( 1, 1 ) K( 0, 0 ) (, ) i oğu çsını elli i nd ölen noktlın koodintlı [] doğu pçsı üzeinde i iç nokt dış nokt olsun. =l= ve m ise ( 1, 1 ) ( 3, 3 ) (, ) ( 4, 4 ) 1 -m 1 -m 4 = 4 = 1-m 1-m Üçgenin ğılık Mekezi Köşeleinin koodintlı ( 1, 1 ), (, ), ( 3, 3 ) oln üçgenin ğılık mekezi G( 0, 0 ) ise =, 0 = di. 3 3 Üçgenin ln Fomülü Köşeleinin koodintlı ( 1, 1 ), (, ), ( 3, 3 ) oln üçgenin lnı 1( - 3) + (3-1) + 3(1 - ) 0 = di. Ve () = l +l = = 1+l 1+l X 3. X 1. 3 X. 1 X 1. X. 3 X () = ( ) () = 0 ise,, noktlı doğusldı. 48

49 i oğunun Eğimi d d 1 q ĞRUNUN NLİTİK İNELENMEİ i doğunun, ekseninin pozitif önü ile ptığı çı eğim çısı; eğim çısının, tnjntın d doğunun eğimi deni ve m ile gösteili. d 1 doğusunun eğimi; m 1 = tn q d doğusunun eğimi; m = tn + = olduğundn tn = - tn olduğundn dolı d doğusunun eğimi; m = tn = - tn lınili. = m + n ve = m doğusunun eğimi m; + + = 0 doğusunun eğimi - di. İki Noktsı ilinen oğunun Eğimi ( 1, 1 ) ve (, ) noktlındn geçen doğunun eğimi; - 1 m = di. - 1 İki Noktsı ilinen oğunun enklemi ( 1, 1 ) ve (, ) noktlındn geçen doğunun denklemi; = di i Noktsı ve Eğimi ilinen oğunun enklemi ( 1, 1 ) noktsındn geçen ve eğimi m oln doğunun denklemi; 1 = m( 1 ) di. Eksenlei Kestiği Noktlı ilinen oğunun enklemi Eksenlei kestiği noktl (, 0) ve (0, ) ise doğunun denklemi + = 1 di. Eksenlee lel oğulın enklemlei = = m = tn90 0 = m = tn0 0 = 0 Koodint Eksenleinin çıotlının enklemlei = - = ijinden Geçen oğulın enklemlei = m m = tn 49

50 İki oğunun Kesişme Noktlı enklemlei = 0 ve + + = 0 oln iki doğunun kesim noktsının koodintlı = 0 denklem sisteminin çözümüdü. + + = 0 İki oğunun iileine Göe duumlı d1 K = 0 üï ýdoğulıveilsin. d K+ + = 0ïþ ¹ ise doğul i noktd kesişi = ¹ ise doğul iiine pleldi, kesişmezle = = ise doğul çkışıktı. İki oğunun iklik ve lellik Koşullı = m 1 + n 1, = m 1 + n 1 doğulı iiine; ) plel ise m 1 = m ) dik ise m 1.m = -1 di. oğu emeti enklemlei d 1 : = 0 ve d : + + = 0 oln iki doğunun kesim noktsındn geçen doğulın tümüne doğu demeti deni. oğu demetinin denklemi; l ( + + ) = 0, l Î R içimindedi. l sısının he fklı değei için doğu demetindeki i doğunun denklemi elde edili. i Noktnın i oğu Uzklığı ( 0, 0 )noktsının + + = 0 doğusun oln uzklığı d = di. + d d 1 ( 0, 0 ) d lel İki oğu sındki Uzklık iiine plel = 0 ve + + = 0 doğulı sındki uzklık; d = 1 - di. + Kesişen İki oğunun çıot oğulı + + = 0 d d l l 1 d 1 enklemlei l 1 : = 0 ve l : + + = 0 oln doğulın çıot doğulı d 1 ve d ise d1 K = d K = di. İki oğu sındki çı d 1 doğusunun eğimi m 1 ve d doğusunun eğimi m olsun. 1 ve d doğulının sındki çının ölçüsü q ise m1 - m tn q= di. 1 - m.m 1 50

51 İMETRİ Noktnın imetiği ( 0, 0 ) noktsının 1. eksenine göe simetiği ı ( 0, - 0 ). eksenine göe simetiği ı (- 0, 0 ) 3. ijine göe simetiği ı (- 0, - 0 ) 4. = doğusun göe simetiği ı ( 0, 0 ) 5. = - doğusun göe simetiği ı (- 0, - 0 ) 6. = doğusun göe simetiği ı (- 0, - 0 ) 7. = doğusun göe simetiği ı ( 0, - 0 ) 8. (, ) noktsın göe simetiği ı (- 0, - 0 ) = 0 doğusun göe simetiğini ulmk için simetik nokt ı ( 1, 1 ) kul dilip, [ ı ] nın ot noktsı nin doğu üzeinde oluşundn dolı = 0 K(I) ve [ ı ] nın doğu dik oluşundn æ - ö 1. æ ö ç ç -= -1 è -1 ø è ø ( 0, 0 ) + + = 0 ı ( 1, 1 ) denklemlei kuulu ve u denklemlein otk çözümünden 1 ve 1 değelei ulunu. oğunun imetiği + + = 0 doğusunun; 1. eksenine göe simetiği - + = 0. eksenine göe simetiği = 0 3. ijine göe simetiği = 0 4. = doğusun göe simetiği + + = 0 5. = - doğusun göe simetiği = 0 6. = 0 doğusun göe simetiği ( 0 -) + + = 0 7. = 0 doğusun göe simetiği + ( 0 -) + = 0 8. ( 0, 0 ) noktsın göe simetiği ( 0 -) + ( 0 -) + = 0 51

52 ÇEMERİN NLİTİK İNELENMEİ Çemein enklemi koodint düzleminde mekezi M(,) ve ıçpı oln çemein denklemi ( ) + ( ) = di. = 0, = 0 ise çemein denklemi + = olu. u denkleme çemein stndt fomu ve çemein mekezil denklemi deni.ukıdki denklemin çılımı pılk çemein genel denklemi elde edili; = 0 Çeme denklemi u şekilde veildiğinde M(,) mekezinin koodintlı ve ıçpı ulunili. 1 =-=, -=, + -4,,, d, e,f Î R olmk üzee, d + e + f = 0 ikini deee denkleminin i çeme eliteilmesi için 1.. li teim olmmlı ( = 0). = olmlı 3. = = 1 olk şekilde eisel işlemle pılk denklem = 0 içiminki genel çeme denklemi elde edili ud = + E 4F > 0 ise çeme eliti. Üzeindeki i Noktdn Çemee Çizilen Teğetin ve Nomlin enklemlei Noml: Çemee çizilen teğetin değme noktsındn teğete çıkıln dik doğu çemein nomli deni. Teğetin Eğimi: M T Nomlin Eğimi: M N, 0-0- MT =- MN = Teğet enklemi Nomlin enklemi é -ù ( ) 0 = -ê ú ë û é 0 -ù ( ) 0 = ê ú ë û M(,) T noml teğet enklemi + = oln mekezil çemein üzeindeki ( 0, 0 ) noktsındn çizilen teğet ve nomlin denklemlei; Teğet denklemi Noml denklemi = 0 0 = 0 i oğu İle Çemein iileine Göe uumlı enklemi + = oln çeme ile denklemi = m + n oln çemein otk çözümünden ( 1+ m ) + mn+ n - = 0. deee denklemi elde edili. ud ( ) < 0 ise, doğu ile çemein otk noktsı oktu, > 0 ise, doğu çemei iki noktd kese, = 0 ise, doğu çemee teğetti. = 0 Þ 4 ( 1+ m ) - 4n = 0 Þ ( ) teğet olm koşulu deni. 4= 1 + m -4n elde edili; 1+ m = n ğıntısı ulunu. u ğıntı doğunun çemee 5

53 i Noktnın i Çemee Göe Kuvveti K( 0, 0 ) = 0 ile u çemein dışınd i K( 0, 0 ) olsun; ½KT½ = değeine K noktsının çemee göe kuvveti deni. Kuvvet fomülünden fdlnılk nokt ile çemein iileine göe duumlı tespit edileili. = di çeme denklemi + = ise kuvvet: = çeme denklemi ( - ) + ( - ) = ise kuvvet: ( ) ( ) = di. ) > 0 ise nokt çeme dışınddı, ) = 0 ise nokt çeme üzeindedi, ) < 0 ise nokt çemein iç ölgesindedi. İki Çemein Kuvvet Ekseni Kesişen iki çemein kesim noktlındn geçen doğu u çemelein kuvvet ekseni deni. İki çemein otk çözümünden elde edilen doğu denklemi u iki çemein kuvvet ekseninin denklemidi. Üç Çemein Kuvvet Mekezi Üç çemein ikişe kesişiminden oluşn üç det kuvvet ekseninin kesim noktsın u çemelein kuvvet mekezi deni. Şekilde R noktsı u çeme- R lein kuvvet mekezidi. T M(,) İki Çemein ik Kesişme Koşulu İki çemein dik kesişme koşulu: 1 = + ve ( ) = ( ) + ( ) -( ) olmk üzee ( ) ( ) = ï ( ) ( ) = ïþ ü ýþ + = = 0 üï - ( ) ýþ + = = 0ïþ di. 1 Çeme emeti enklemlei = 0 ve = 0 oln iki çemein kesim noktlı ve olsun ve noktlındn geçen çemelein tümüne çeme demeti deni. Çeme demetinin denklemi l( ) = 0, l Î R di. Çemein metik enklemlei 0 t < p olmk üzee; =.ost =.sint denklemleine çemein pmetik denklemlei deni. Çeme mekezil değil ise denklem; = +.ost = +.sint içiminde olu, u çemein mekezi M(, ) di. t M(,) 53

54 KNİKLER GENEL KNİK TNIMI K üzlemde i d doğu ve u doğu üzeinde olmn i F noktsı veilmiş olsun. F noktsın oln uzklığının, d doğusun oln uzklığın onı sit oln noktlın geometik eine konik deni. = e olsun. KF KH ELİ i ) e < 1 ise konik elipsti. ii ) e = 1 ise konik poldü. iii ) e > 1 ise konik hipeoldü. F H d üzlemde sit iki nokt oln uzklıklı toplmı sit oln noktlın kümesine (geometik eine) elips deni. edek eksen sl eksen / (0,) F F / (,) (,0) / F F / / / F + F = = Mekezil elipsin denklemi + = 1 di. 54 = + Elipse Üzeindeki i Noktdn Çizilen Teğet ve Nomlin enklemi enklemi + = 1 oln elipse üzeindeki ( ) = 1 0 Noml denklemi: - = ( - ) di. = m + n doğusunun elipse teğet olm ştı; 0, 0 noktsındn çizilen teğet denklemi ; m + - n = 0 dı. m + - n > 0 ise doğu elipsi fklı iki nokt d kese, m + - n < 0 ise doğu elipsi kesmez.

55 Mekezil Elipsin metik enklemi =.os =.sin Elipsin sl ve Yedek Çemelei sl çeme denklemi : + = Yedek çeme denklemi: + = Elipsin sıklığı Elips çemein sıklştıılmış şekli olk tnımlnili. Çemein mekezi ile elipsin mekezi nındı. Htt çemein mekezinde düşündüğümüz koodint eksenleinden ii oun, öneğin 0 ekseni oun çemein ıçpı ve < olmk üzee / onınd çemein sıklştıılmsı ile elips elde edili. Elipsin ış Mekezliği odkl sı uzklık e = = onın elipsin dış mekezliği deni.0<e<1 di. sl eksen uzunluğu F / F e = 0 (çeme) e = 0,75 e = 1 æ ö e = = 1 - ç olduğundn onı küçüldükçe elips sıklşı, = 1 ise çeme olu. è ø Elipsin oğultmnlı ve oğultmn Çemei dkl eksenine dik oln doğuldı. =, = - doğulın elipsin doğultmnlı deni. Mekezi odklın iinde ve ıçpı sl eksen uzunluğun eşit oln çemelee elipsin doğultmn çemelei deni. dkl 0 ekseni üzeinde ise doğultmn çemelei; ( - ) + = 4, ( + ) + = 4 oğultmn çemelei eksenle üzeinde kesişile. Elipsin metesi dklın iinden geçen ve sl eksene dik oln kiişin uzunluğun kiişin pmetesi (p) deni. p = Eksenlei Koodint Eksenleine lel ln Elipslein enklemlei ( - h) ( - k) Mekezi (h,k) sl ekseni 0 eksenine plel oln elipsin denklemi; + = 1 di. Üzeindeki ( 0, ( 0 - h)( - h) ( 0-k )( - k) 0 ) noktsındki teğet denklemi: + = 1 dı. 55

56 Elipsin lnı = p Elipsin Çevesi Ç = ( + ).p Uı 1 ) Elipsin köşesel teğetlei, u köşeden geçen geçen eksenlee dikti. ) i elipste dik kesişen teğetlein kesim noktsının geometik ei Monj Çemei di. enklemi + = + di. 3 ) i elipste odklın teğetle üzeindeki dik izdüşümleinin geometik ei sl çemedi. Monj Çemei o o noktsındn iki teğet çizileili, teğetlein değme noktlının o o elittiği doğu değme kiişi d kutup doğusu dı veili. enklemi + = 1 di. HİERL üzlemde sit iki nokt oln uzklıklı fkı sit oln noktlın geometik eine hipeol deni. 4 ) i elipse dışındki i (, ) Yedek eksen F / (-,0) F(,0) sl eksen F - F =, odkl ekseni üzeinde ise denk- lem - = 1 di. = - = +, - = 1 = 56

57 = ve = - doğulın hipeolün simptotlı deni.dkl ekseni üzeinde ise simptotlı = ve = - olu. - = 1 den - = 0 zılk = m simptot denklemi ulunili. u öntem mekezil olmn hipeolde de ugulnili. İkizken Hipeol Eğe = ise hipeole ikizken hipeol deni.denklemi hipeolün simptotlı iiine dikti. Hipeolün Teğet ve Nomlinin enklemlei Teğet olm ştı: + n - m = Teğet denklemi: - = 1 0 Noml denklemi: - = - ( - ) Hipeolün oğultmnlı ve ış Mekezliği - = di. İkizken ış mekezliği e =, e > 1 di. dkl 0 ekseni üzeinde ise doğultmnlı = - di. sl ve Yedek Çemele oğultmn Çemele sl çeme : Yedek çeme : + = + = = ve Mekezi odkldn ii ve ıçpı oln çemee hipeolün doğultmn çemelei deni. Hipeolün metesi dklın iinden geçen ve sl eksene dik oln kiişin uzunluğun kiişin pmetesi (p) deni. p = Mekezil Hipeolün pmetik enklemi =.seq =.tnq Kutup oğusu i hipeole dışındki i ( o, o ) noktsındn iki teğet çizileili, teğetlein değme noktlının elittiği doğu değme kiişi d kutup doğusu dı veili. enklemi - = 1 di. o o Ekseni Koodint Eksenleine lel ln Hipeolün enklemi Mekezi (h,k) ve sl ekseni 0 eksenine plel oln hipeolün denklemi ( - h) ( - k) - = 1 di. ( 0, ( 0 - h)( - h) ( 0 - k)( - k) 0 ) noktsındki teğetinin denklemi - = 1 di. simptotlının eğimi ± dı. eine Not: Genellikle ugulmd elipste elde edilmiş i ğıntı d hipeol için çözümünü elde edeiz. - zsk nı polemin 57

58 RL i düzlemde sit i nokt ve sit i doğu eşit uzklıkt oln noktlın geometik eine pol deni. it nokt polün odğı sit doğu polün doğultmnı, odğın doğultmn oln uzklığın d polün pmetesi deni ve p ile gösteili. H (,) F = H - 0 F (,0) = p = - p = p = - p Teğet ve Noml enklemlei = m + n doğusunun = p polüne teğet olm koşulu p = mn di. enklemi = p + ) dı. 0 ( 0 eğme Kiişi = oln pole üzeindeki ( ) p noktsındn çizilen teğetin denklemi 0, 0 noktsındn iki teğetin değme noktlının elitti- i pole dışındki i ( o, o ) ği doğu değme kiişi d kutup doğusu deni. enklemi p( + ) o = o dı. Ekseni Koodint Eksenleine lel ln olün enklemi Köşesi (h,k) ekseni 0- eksenine plel oln ve doğultmnlının ssğınd ulunn polün æ p ö p denklemi ( - k) = p( - h) odğı F çh +, k doğultmn denklemi = h - è ø = h - p k æ p ö F ç h +, k è ø 0 h 58

59 Genel Konik enklemi,,,, E, F, Î R olmk üzee ve değişkenleine göe ikini deeeden E + F = 0 denklemi genel konik denklemidi. u denklemde = 4 olk tnımlnsın. 1 < 0 ise elips, çeme, nokt ve oş küme eliti. ) = ve = 0 ise çeme, nokt ve oş kümedi. ) ¹ ve ¹ 0 ise elips, nokt ve oş kümedi. = 0 ise pol, plel ve çkışık iki doğu d oş küme eliti. ) enklem çpnl ılilios plel ve çkışık iki doğu eliti. ) Çpnl ılmıos pol eliti. 3 > 0 ise hipeol ve kesişen iki doğu eliti. ) enklem iini deeeden sl iki çpn ılmıos hipeol eliti. ) enklem iini deeeden iki çpn ılilios kesişen iki doğu eliti. 59

60 ÜZLEME VEKTÖRLER Yönlü oğu çsı [] doğu pçsı üzeinde eğe önümüz dn e ise noktsın şlngıç noktsı, noktsın d itim noktsı deni. ölee ot çıkn doğu pçsın önlü doğu pçsı deni ve uuu ile gösteili. d uuu uuu doğu pçsının üzeinde ulunduğu doğu nin doğultusu (tşııısı) deni. ile uuu uuu sındki uzklığ nin uzunluğu deni ve ile gösteili. İki önlü doğu pçsının tşııı doğulı, nı ve plel (önlü doğu pçlının doğultulı nı), olı eşit ve önlei nı ise u iki önlü doğu pçsın eştile deni. ve eş ise uuu uuu uuu uuu º içiminde zılı. Yönlü doğu pçlı sındki eşlik ğıntısı i denklik ğıntısıdı. oğultulı ve olı nı olup önlei zıt ise vektöleden ii diğeinin tes işetlisine eşitti. d 1 // d d 1 uuu uuu uuu d = = EF uuu uuu uuu uuu = -, = - EF, uuu = EF uuu E F Vektö uuu uuu uuu uuu uuu önlü doğu pçsın eş oln ütün önlü doğu pçlının kümesi [ ] = { XY l XY = } uuu ile gösteilsin. u küme i denklik sınıfıdı. u denklik sınıfın, önlü pçsı tfındn temsil edilen vektö dı veili. i vektöü göstemek için denklik sınıfın it önlü doğu pçlındn hehngi iini seçeiliiz. Çoğu zmn vektöle u, v gii küçük hfle üzeine işeti konulk gösteili. ıfı Vektöü:şlngıç ve itim noktlı nı oln vektöe sıfı vektöü deni. ıfı vektöünün ou ellidi ve 0 iimdi, önü ve doğultusu elli değildi. Vektölede Eşitlik:İki vektöün temsililei oln doğu pçlı denk isele u iki vektöe eşitti deni. Vektölede Toplm ) lelken Kulı v v u+ v u u ) U U Ekleme (oligon) Metodu v u u+ v u v