DÜ EY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DÜ EY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU"

Transkript

1

2 DÜ EY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU Prof.Dr. Ahmet Tuğrul BA OKUR TMMOB JEOFİZİK MÜHENDİSLERİ ODASI EĞİTİM YAYINLARI NO: 5 ISBN Mll Müdafaa Cad. N: /7 Kızılay/ANKARA Tel: Faks: E-posta:

3 DÜ EY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU ISBN İletşm: Prof. Dr. Ahmet T. BA OKUR Ankara Ünverstes, Mühendslk Fakültes Jeofzk Mühendslğ Bölümü 6 Tandoğan Ankara E-posta: Bu esern br kısmı veya tamamı, şekller ve yazılım gb dğer unsurları yazarın zn olmadan çoğaltılamaz ve herhang br ortamda yenden basılamaz. Basım Tarh: Nsan Basıldığı Yer: Yenden Grup Matbaası

4 Đçndekler Önsöz Bölüm x GERĐLĐM BAĞINTILARI GĐRĐŞ..YARI SONSUZ HOMOJEN BĐR ORTAMDA POTANSĐYEL BAĞINTISI.. ELEKTROT AÇILIMLARI 3.3. NOKTA AKIM KAYNAĞININ KATMANLI ORTAMLARDA OLUŞTURDUĞU POTANSĐYEL.3.. Çözümün sınır koşullarına uygulanması Yeryüzündek br noktadak potansyel Slchter çekrdek fonksyonunun sayısal değerlendrlmes çn Pekerıs yneleme bağıntısı Dönüşük özdrenç fonksyonu bağıntıları Dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerlernn hesabı Bölüm 8 GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ BAĞINTILARI.. KATMANLI ORTAM ĐÇĐN GERĐLĐM BAĞINTISI 8... Đk nokta elektrot görünür özdrenç bağıntısı 8... Wenner görünür özdrenç bağıntısı Schlumberger görünür özdrenç bağıntısı Dpol görünür özdrenç bağıntıları 3.. GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇLER ARASINDAKĐ BAĞINTILAR Đk nokta elektrot ve Wenner görünür özdrençler arasındak bağıntı Đk nokta elektrot ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı Schlumberger ve dpol arasındak bağıntı 34

5 ..5. Đk nokta elektrot ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı 35 v.3. GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇLER ARASINDAKĐ BAĞINTILARIN LOGARĐTMĐK DEĞĐŞKEN ĐLE YAZILMASI HANKEL DÖNÜŞÜMÜ 37 Bölüm 3 38 GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ FONKSĐYONLARININ ÖZELLĐKLERĐ 3... Dar-Zarrouk parametreler Dar-Zarrouk eğrs ETKĐN UZAKLIK ARAŞTIRMA DERĐNLĐĞĐ GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ EĞRĐLERĐNĐN BĐÇĐMSEL ÖZELLĐKLERĐ 3.5. GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ EĞRĐLERĐNĐN ASĐMTOTĐK ÖZELLĐKLERĐ EŞDEĞERLĐLĐK ĐLKESĐ ÖRTME ETKĐSĐ ELEKTROT AÇILIMLARININ KARŞILAŞTIRILMASI 58 Bölüm 4 6 DOĞRUSAL SÜZGEÇ KURAMI 4.. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ DOĞRUSAL SÜZGECĐN ÖZELLĐKLERĐ ÖRNEKLEME KURAMI VE ÖRNEKLEME ARALIĞININ SEÇĐMĐ Sayısallaştırma Sürekl vernn yenden kurulmas snc yanıt 69

6 4.4.. snsh yanıt SÜZGEÇLERĐN YATAY KAYMASININ SAPTANMASI SÜZGEÇLERĐN KURULMASI VE DENENMESĐ SÜZGEÇLERĐN KULLANIMI 8 v Bölüm 5 8 BĐR ELEKTROT AÇILIMINDA ELDE EDĐLEN GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ EĞRĐSĐNĐN DĐĞER AÇILIMLARDAKĐ GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERĐNE DÖNÜŞTÜRÜLMESĐ 5.. ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNĐ, WENNER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER 5.. WENNER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNĐ, ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER 5.3. ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNĐ, SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER 5.4. SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCĐ, ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER WENNER-SCHLUMBERGER SÜZGECĐ SCHLUMBERGER-WENNER SÜZGECĐ DĐPOL GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCĐ SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER SCHLUMBERGER-DĐPOL SÜZGEÇLERĐ WENNER-DĐPOL SÜZGECĐ 5.. DĐPOL-ĐKĐ NOKTA ELEKTROT SÜZGECĐ 5.. ĐKĐ NOKTA ELEKTROT-DĐPOL SÜZGECĐ 5.. DĐPOL-WENNER SÜZGECĐ YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI 5 Bölüm 6 8 GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ MODEL EĞRĐLERĐNĐN HESAPLANMASI 6... Đk nokta elektrot G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması 8

7 6... Wenner G.Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Schlumberger G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Dpol-dpol G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması SÜZGEÇLERĐN ÇOK YÖNLÜ KULLANIMI Dpol-dpol G.Ö. model eğrlernn Schlumberger süzgec le hesaplanması 7 v 6... Wenner, Schlumberger ve dpol-dpol G.Ö. model eğrlernn k-elektrot süzgec le hesaplanması 6.3. YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI 3 Bölüm 7 3 ÖLÇÜLEN GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNDEN DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ FONKSĐYONUNUN SAPTANMASI 7... Đk elektrot görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren doğrusal süzgecn kurulması 7... Wenner görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren doğrusal süzgecn kurulması Schlumberger görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren süzgecn kurulması Dpol görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren süzgecn kurulması YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI 34 Bölüm 8 39 JEOFĐZĐK YORUMUN ĐLKELERĐ 8.. JEOFĐZĐK UYGULAMALAR ĐÇĐN AKIŞ ŞEMASI VERĐ TOPLAMA VERĐ SUNUMU MODEL DÜZ ÇÖZÜM TERS ÇÖZÜM YORUM VE KARAR 44

8 v Bölüm 9 45 AĞIRLIKLI EN KÜÇÜK-KARELER YÖNTEMĐ ĐLE VERĐ ĐYĐLEŞTĐRME VE DÖNÜŞÜM ĐŞLEMLERĐ 9.. ÖLÇÜ YANILGILARI VE GÜRÜLTÜLERĐN SINIFLANDIRILMASI GÜRÜLTÜ GĐDERME YÖNTEMLERĐ EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMĐ ĐLE VERĐ ĐYĐLEŞTĐRĐLMESĐ KATSAYILARIN ÇÖZÜMÜ KATSAYILARIN DĐZEY DENKLEMĐ ĐLE ÇÖZÜMÜ YAKLAŞTIRMA FONKSĐYONUNUN KURULMASI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMĐNĐN DOĞRU AKIM VERĐLERĐNĐN DÖNÜŞÜMÜ ĐÇĐN KULLANIMI Kuram Yalıtkan Temel 57 Bölüm 7 ĐKĐ-BOYUTLU YAPILARIN GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ EĞRĐLERĐNE ETKĐLERĐ.. BĐR BOYUTLU ORTAMDA ĐNCE KATMANIN DAVRANIŞI 7.3. BAZI ĐKĐ-BOYUTLU YAPILARIN ETKĐLERĐ Đletken Yüzeysel Br Csmn Yakın Ölçü Noktalarındak Etks Yalıtkan Yüzeysel Br Csmn Yakın Ölçü Noktalarındak Etks Đletken Yüzeysel Br Csmn Uzak Ölçü Noktalarındak Etks Yalıtkan Yüzeysel Br Csmn Uzak Ölçü Noktalarındak Etks 8.4. GÜRÜLTÜ GĐDERME YÖNTEMĐNĐN KULLANIMINA ÖRNEKLER 87 Bölüm 89 DOĞRUDAN YORUM YÖNTEMĐ.. DOĞRUDAN YORUMUN TANIMI 89.. ĐKĐ KATMANLI ORTAM ĐÇĐN DOĞRUDAN YORUM 9... Đlk Katman Özdrencnn Saptanması 9

9 ... Đlk Katman Kalınlığının Saptanması Đknc Katman Özdrencnn Saptanması ÇOK KATMAN DURUMU Đlk Katman Özdrenç ve Kalınlığının Saptanması Ara Katmanların Özdrenç ve Kalınlıklarının Saptanması Son Katman Özdrencnn Saptanması DOĞRUDAN YÖNTEMĐN UYGULANIŞI DEĞERLENDĐRME ÖRNEĞĐ 95 v Bölüm KATMAN PARAMETRELERĐNĐN TERS ÇÖZÜM YÖNTEMLERĐ ĐLE SAPTANMASI.. TERS ÇÖZÜM KURAMI... Parametre Düzeltme Dzeynn Hesaplanması... Tekl Değer Ayrışımı Sönüm Faktörü Sönüm Faktörünün Tekl Değer Ayrışımı Yöntemne Uygulanması Ağırlıklı Ters Çözüm Parametre Çözünürlüğü Ver Ayrımlılık Dzey Parametre Ayrımlılık Dzey Đlşk Dzey le Çözünürlüğün Đncelenmes 8.. DOĞRU AKIM VERĐLERĐNĐN TERS ÇÖZÜMÜ 9... Logartmk Parametre Uzayı 9... Logartmk Ver Uzayı..3. Eşdeğerllk..4. Kısm Türevler Dzeynn Hesaplanması

10 ..5. Ağırlık Atama Yneleme Đşlemnn Durdurulması 4 x Bölüm 3 5 DOĞRUDAN VE YĐNELEMELĐ YORUM YÖNTEMLERĐNĐN BĐRLĐKTE KULLANIMI 3.. YÖNTEMLERĐN KARŞILAŞTIRILMASI SIRALI YORUM EŞ-ZAMANLI YORUM GERÇEK ARAZĐ VERĐSĐNĐN DEĞERLENDĐRĐLMESĐNE ÖRNEKLER 3.5. SONUÇLAR 3 Kaynaklar 5

11 x Önsöz Türkye Petroller Anonm Ortaklığı 984 yılında, 'Düşey Elektrk Sondaı' adlı br ktabımı yayımlamıştı. Bu tarhlerde kşsel blgsayarların lk örnekler yaygınlaşmaya başlamıştı. Önceler hem pahalı hem de yavaş olan kşsel blgsayarların yaygınlaşması, düşey elektrk sondaı verlernn yorumunda öneml gelşmelere yol açtı. Bu gelşmeler konu alan bu ktabın lk basımı 4 yılında Internet ortamında yayımlanmıştır. Bu baskı se bazı düzenleme ve yazım hatalarının gderlmes le gerçekleştrlmştr. Blgsayar hızlarının artması, aynı zaman dlmnde k-boyutlu modelleme ve k-boyutlu ters-çözüm şlemlern de kullanılablr hale getrd. Đk-boyutlu teknklern standart br uygulama halne gelmes, br-boyutlu uygulamaların sınırlarını daraltmıştır. Bu nedenle, bu ktapta sözü edlen yorumlama teknklernn, eolok tabakaların yataya yakın br geometr sunduğu durumlarda kullanılmasını öğütlerm. Öte yandan, hücre kullanan k-boyutlu ters-çözüm teknkler katmanlı yapıların kullanılmasının gerekl olduğu eolok ortamlarda kolay yorumlama olanağı sunmazlar. Bu tür yapılar çn br hat boyunca ölçülmüş düşey elektrk sondalarını brbr le lşklendrerek kısıt uygulanmış brboyutlu ters-çözüm algortmaları gelştrlmştr. Bazı okuyucular, özellkle uygulamacılar ktapta gereğnden fazla ayrıntı bulablrler. Hang ayrıntılara önem verleceğne okuyucu karar vermeldr. Ancak, her bölümün genel hatları le kavranmasında yarar bulunmaktadır. Sekznc bölümden tbaren verlen kavramlar, yorumlama açısından önemldr. Ktapta sözü geçen yorumlama teknklern kullanan IPES6 adlı yazılım adresnden ndrleblr. Prof. Dr. Ahmet Tuğrul Başokur.Şubat.

12 Bölüm GERĐLĐM BAĞINTILARI GĐRĐŞ Düşey elektrk sondaının amacı yüzeyden yapılan gerlm ölçümleryle yeraltı katmanlarının dernlk ve özdrenç değerlernn saptanmasıdır. Bu amaç çn yeryüzüne k noktadan elektrk alan uygulanır ve dğer k nokta arasında gerlm farkı ölçülür. Elektrk alanın uygulandığı elektrotlar akım elektrotları ve gerlm farkının ölçüldüğü elektrotlar gerlm elektrotları olarak adlandırılır. Akım elektrotları arasındak uzaklığın arttırılması akımın daha dernlere erşmesn sağlar ve dolayısıyla daha dernlern özdrenç özellkler hakkında blg toplanır. Dernlk le lşkl görünür özdrenç değerler elde edeblmek çn akım uçları arasındak uzaklığın her ölçüm sonunda arttırılması yoluyla br dz ölçü alımını gerektrr. Elektrotların ölçüm sırasındak çeştl konumlarına göre gelştrlen ölçü alım teknkler, elektrot açılımları olarak adlandırılır. Elektrot açılım türler verlmeden önce, bazı temel fzksel prenspler ele alınacaktır...yari SONSUZ HOMOJEN BĐR ORTAMDA POTANSĐYEL BAĞINTISI Özdrenc olan, sonsuz zotrop br ortama herhang br yerndek nokta kaynaktan akım verldğn düşünelm. Kaynaktan R uzaklığındak noktalarda akım yoğunluğu Ohm Yasası gereğnce; J E V = = (.. R olmalıdır. Burada, J akım yoğunluğu (Ampere/ m, A/ m, V gerlm (volt, V, E elektrk alan (volt/m, V/m ve R kaynaktan olan uzaklıktır. Akım yoğunluğu, akımın kest yüzölçümüne oranı olarak tanımlanır: J = I / A = Amper / m. (.. Kaynaktan R uzaklığında olan noktaların br küre yüzey oluşturduğu göz önüne alınarak, (.. ve (.. denklemlernn sağ yanlarını brbrlerne eştlenmes ve (..3 denklemnn gerlm çn düzenlenmes le I 4π R V = R (..3 V I = R (..4 4π R bağıntıları elde edlr. Her k tarafın ntegrasyonu, nokta akım kaynağının zotrop ortam çn kendsnden R uzaklığında oluşturduğu gerlm verr: V = I + 4π R C. (..5

13 Burada, C ntegrasyon sabtdr. Kaynaktan çok uzak noktalarda gerlmn sonlu br değer olamayacağından C ntegrasyon sabt sıfır olmalıdır. Gerçekte yeryuvarı hava le sınırlı olduğundan, ortamın yarısonsuz alınması gerekr. O zaman gerlm denklem: V I = π R (..6 le verlmeldr. Şekl. de görüldüğü gb akımın A noktasından (yan yeryüzünden verldğ varsayılsın. R uzaklığının yatay düzleme zdüşümü r ve düşey düzleme zdüşümü z olmak üzere B noktasındak gerlm V = Ι ( r + π z (..7 bağıntısıyla verleblr. r A z R B Şekl.. Akımın verldğ (A ve gerlmn ölçüldüğü (B varsayılan noktalar. Weber-Lpschtz bağıntısı kullanılarak gerlm bağıntısı ntegral denklem bçmnde de yazılablr. Weber-Lpschtz bağıntısı; exp λ λ λ = + ( z J ( r d ( r z denklem (..7 de yerne konarak, (..8 V I = exp( λz J ( λr dλ (..9 π elde edlr. Burada, λ ntegral değşken olup, uzaklığın ters boyutundadır, ( λr J sıfırıncı dereceden brnc cns Bessel fonksyonu olup, davranışı Şekl. de gösterlmştr.

14 J (x J (x Şekl.. Sıfırıncı ve brnc dereceden brnc cns Bessel fonksyonları. Akımın verldğ ve gerlmn hesaplandığı noktaların yeryüzünde olması durumunda, yan z= ve r=r çn, (..7 ve (..9 denklemler aşağıdak bçmde yazılablr: V I = π r (.. V I = π J ( λ r dλ. (.... ELEKTROT AÇILIMLARI Düşey elektrk sondaı ölçümlernde kullanılan yol, A ve B akım elektrotları yardımıyla yere akım vermek, M ve N gerlm elektrotları le de gerlm farkını ölçmektr. Şekl.3 de genel gösterm verlmştr. M N A B Şekl.3. Akım ve gerlm elektrotları arasındak uzaklıklar. Đzotrop ve yarısonsuz br ortam üzernde M noktasındak gerlm (.. bağıntısı kullanılarak, I V M = (.. π AM BM ve N noktasındak gerlm, I V N = (.. π AN BN

15 4 olarak verleblr. Araz uygulamalarında M ve N noktaları arasındak gerlm farkı ölçüldüğünden, I VM VN = V = + (..3 π AM BM AN BN yazılablr. Blnen uzaklık değerlernden, geometrk faktör olarak adlandırılan k aşağıdak tanım le π k = (..4 + AM BM AN BN ve böylece özdrenç zleyen bağıntıyla verleblr : = k V. (..5 I Gerçekte yeryuvarı zotrop yarısonsuz ortam yerne karmaşık yapılardan oluşmuştur. Bu nedenle özdrenç bağıntıları yern gerçek özdrenç değerlern vermezler. Yer çne verlen akım ve yeryüzünde ölçülen gerlmn yukarıdak denklemlerde yerne konulmasıyla elde edlen özdrenç değerlerne görünür özdrenç adı verlr. Görünür özdrenç sadece zotrop yarısonsuz ortam durumunda gerçek özdrence eşt olur. Akım ve gerlm elektrotlarının konumları çn çeştl açılımlar türetlmştr. Wenner elektrot açılımı br smetr merkez etrafında ve br doğru boyunca, çerde gerlm elektrotları M, N ve dışarıda akım elektrotları A, B olacak şeklde düzenlenmştr. Şekl.4 de görüldüğü gb her br elektrot arasındak uzaklık a kadardır. Ι V A a a a B M N Şekl.4. Wenner elektrot açılımı. Açılımın geometrk faktörü (..4 denklemnden k = π a (..6 olarak bulunablr. O zaman görünür özdrenç, aw V = π a (..7 I

16 le verleblr. Schlumberger elektrot açılımında da br doğru boyunca akım ve gerlm elektrotları smetrk olarak yerleştrlmştr. Gerlm elektrotları arasındak b uzaklığı, akım elektrotları uzaklığı s e göre çok küçük alınır. Geometrk faktör (..4 denklemnn br uygulamasıyla, s b k = π (..8 b 4 olarak bulunablr. 5 Ι V A S S B M b N Şekl.5. Schlumberger elektrot açılımı. Görünür özdrenç (..8 bağıntısının (..5 de yerne konmasıyla, as s b V = π b 4 (..9 I olarak elde edleblr. Đk-elektrot açılımında akım ve gerlm elektrotlarından brer tanes çok uzak noktalara yerleştrlrler ve pratk olarak sonsuzda oldukları düşünülür. Şekl.6 da, kağıt düzlem N M V A B L I Şekl.6. Đk-elektrot açılımı (harta düzlem.

17 6 araz yüzeyn göstermek üzere k nokta elektrot açılımı tanıtılmaya çalışılmıştır. A akım ve M gerlm elektrotları arasındak uzaklığın orta noktası smetr merkez oluşturacak şeklde, her k elektrot açılarak düşey elektrk sondaı gerçekleştrlr. L, k hareketl elektrot arasındak uzaklık olmak üzere geometrk faktör ve görünür özdrenç aşağıdak denklemlerle tanımlanır: k = π L (.. al V = π L. (.. I B ve N elektrotları sonsuzda olduklarından, ( L V = V (.. gerlm farkı, M noktasındak gerlme eşttr. Dern eoelektrk çalışmalar amacıyla kullanılan dpol açılımında se akım ve gerlm elektrotları brer çft olarak düşünülür. Akım elektrotları çft akım dpolü ve gerlm elektrotları çft gerlm dpolü olarak adlandırılır. Şekl.7 de dpol açılımının genel br gösterm verlmştr. AB akım dpolü, MN gerlm dpolü, Q ve O sırasıyla akım ve gerlm dpollarının orta noktalarıdır. Düşey elektrk sondaı amacıyla dpol açılımının kullanılması durumunda dpol boyu L, dpol merkezler arasındak uzaklığa (R oranla küçük alınır. Dpolların brbrlerne göre konumları başlıca dört tür dpol elektrot açılımı tanımlar. Bunlar Şekl.8 den de görülebleceğ gb azmutal, radyal, paralel ve dk dpol açılımlarıdır. Ayrıca, θ açısı ( π / olduğunda, azmutal dzlme ekvatoryal ve θ sıfır olduğunda radyal dzlme polar dzlm adı verlr. y x RL M O N W A Q L θ B V Y

18 7 Şekl.7. Dpol açılımının genel gösterm (Bhattacharya ve Patra 968. Mq Nq Nr M θ M r Nθ Mx N y N x M y A θ B M p N p Şekl.8. Dpol açılım türler. r; radyal, x; paralel, y; dk dpol, θ; azmutal, q; ekvatoryal, p; polar dpol türlern göstermektedr. Dpol açılım türler çn geometrk faktörü saptamak amacıyla, yenden Şekl.7 ye dönersek, A ve B akım elektrotlarından dolayı O noktasındak gerlm, (.. denklemnn uygulanmasıyla I V D = π AO BO (..3 olarak verleblr. Şekl.7 den yararlanarak AO ve BO uzaklıklarını L ve R cnsnden yazmaya çalışalım. AOY üçgen br dk üçgen olduğundan, AO = v + w bulunablr. Aynı şeklde QOY dk üçgennden, L R = v + + ve w w = R snθ olduğu görüleblr. w değernn yukarıdak denklemde yerne konulması le, v + L R = R R sn θ

19 8 L v + = R R ( sn θ ve v çeklerek L v = R cosθ bulunablr. v ve w nn değerlern, AO çn verlen denklemde yerne yazarak L L AO = R + cos θ R R ve benzer br yol le L L BO = R + + cos θ R R bulunablr. AO ve BO uzaklıklarının L ve R cnsnden denklem (..3 de yerne yazılması le V D = I L L L L + R R + R + R cosθ cos θ π R (..4 ve bu denklemn serye açılması le; ( 5cos θ 3 Ι L cosθ L V D = + + yüksek dereceden termler (..5 π R R elde edleblr. Eğer R, 3L den büyük se yüksek derecedek termlerden dolayı oluşacak yanılgı % 3 den daha az olduğundan (..5 denklem yaklaşık olarak aşağıdak bçmde verleblr (Bhattacharya and Patra 968: V D = Ι L cosθ π R. (..6 Elektrk alan gerlmn gradyanı olarak verlr: E = grad V. Şekl.9 da elektrk alan bleşenler gösterlmştr. Şekl.8 ve Şekl.9 un karşılaştırılmasından görülebleceğ gb, radyal dpol durumunda E r, paralel dpol durumunda E, dk dpol x

20 durumunda E y, ve azmutal dpol durumunda E θ elektrk alan bleşenler ölçülür. Polar koordnat sstemnn göz önüne alınması le her dpol durumu çn elektrk alan fadeler bulunablr: 9 E r dv = dr D I L cosθ = 3 π R Radyal (..7 dvd I L snθ Eθ = = Azmutal (..8 3 R dθ π R E x dv = dx D dvd = cos θ dr snθ dvd + R dθ 3cos θ = I L Paralel (..9 3 π R E y dv = dy D dvd = sn θ dr cosθ dvd R dθ snθ cosθ = 3 I L Dk. (.. 3 π R E E E y r θ E x R A L B Şekl.9. Elektrk alan bleşenler. Elektrk alan M ve N gerlm elektrotları yardımıyla ölçülür, eğer L yeter kadar küçükse ( E = V / L yazılablr. O zaman yukarıda verlen elektrk alan formüllernden V bulunablr. Gerlm farkının, görünür özdrenç formülünde yerne konulmasıyla, ad V = k I

21 ve 3 π R k r = L cosθ Radyal (.. 3 π R k θ = Azmutal (.. L snθ 3 π R k x = Paralel (..3 L ( 3cos θ 3 π R k y = Dk (..4 3 L snθ cosθ bağıntıları le her dpol türü çn geometrk faktör ve dolayısıyla görünür özdrençler saptanmış olur (Bhattacharya and Patra NOKTA AKIM KAYNAĞININ KATMANLI ORTAMLARDA OLUŞTURDUĞU POTANSĐYEL Bölüm. de Wenner, k-elektrot, Schlumberger ve dpol-dpol açılımları çn görünür özdrenç bağıntıları elde edlmştr. Bu bağıntılarda, gerlm farkı ve akım şddet çn arazde ölçülen değerler yerne yazılır se ölçülen görünür özdrenç değerler hesaplanır. Düşey elektrk sondaının amacı, yeraltı katmanlarının gerçek özdrençlern ve dernlklern saptamak olduğundan, ölçülen görünür özdrenç değerlernden anılan parametrelern hesabı amacıyla her elektrot açılımı çn kuramsal görünür özdrenç bağıntılarının elde edlmes gerekr. Bu amaç çn görünür özdrenç bağıntılarında, gerlm farkı yerne kuramsal gerlm farkı bağıntıları yazılır. Böylelkle, yeraltının belrl br özdrenç dağılımı çn kuramsal görünür özdrenç değerler hesaplanablr. Đşlemn lk adımı, nokta akım kaynağının yarattığı gerlm dağılımını ncelemektr. Düşey elektrk sondaında yeryuvarının sonlu sayıda ve yatay sınırlarla ayrılmış, homoen ve zotrop katmanlardan oluştuğu varsayılır (Şekl.. Nokta akım kaynağı yeryüzüne yerleştrlmştr ve hava sonsuz özdrençldr. Her katmanın kalınlığı t, t,,t, t +,...,t n- katman sınırlarının yeryüzüne uzaklığı yan katman dernlkler h, h,,h, h +,,h n- ve her katmanın özdrenc,,...,, +,..., n le gösterlmektedr. En alttak katmanın kalınlığı sonsuzdur. Gerlm doğru akım durumunda Laplace denklemn sağlar: V V = x V + y V + z =. (.3. Yatay katmanlardan oluşan br model çn gerlm, akım kaynağından geçen düşey eksene göre smetrk olmalıdır. Bu nedenle Laplace denklemn slndrk koordnatlarda yazmak daha uygun olur. Şekl. de slndrk koordnat sstem gösterlmştr.

22 Şekl.. Yatay katmanlardan oluşan yeryuvarı model. y θ x ' dz r.dθ Z dr

23 Şekl.. Slndrk koordnat sstem Gerlm doğru akım çn Laplace denklemn gerçekler: = = θ V r z V r V r r V V. (.3. z aşağıya doğru poztftr ve r akım kaynağından geçen düşey eksene olan uzaklıktır. Gerlm düşey eksene göre smetrk olduğundan θ açısına bağlı olarak gerlmde br değşm olmaz. Bu yüzden = θ V ve bu term denklemden çıkartılablr: = + + z V r V r r V. (.3.3 Kısm dferansyel denklemlern çözümü çn genellkle özel çözümler aranır ve genel çözüm, özel çözümlern brleştrlmes le elde edlr. Bu dferansyel denklemn yalnız r ye ve yalnız z ye bağlı k fonksyonun çarpımı şeklnde br çözümü olduğunu varsayalım: ( ( ( z W r U r V = z,. (.3.4 Böylece (.3.3 denklem aynı mertebeden k ad dferansyel denkleme ayrılablr. O zaman (.3.3 denklem, ( ( ( z r W U r W U r W U = + br çarpımın türevnden, z z r W r U r r W U U W r U r W W U U W = (.3.5 olarak yazılablr. W yalnız z nn ve U da sadece r nn br fonksyonu olduğundan, z, r W, r = = = U W dır. Her k tarafı U.W ya bölerek, dz W d W dr du r U dr U d U = + (.3.6 elde edleblr. Bu denklemn sağ ve sol yanlarının brer sayısal değer olduğunu düşüneblrz; λ = + dr du r U dr U d U (.3.7

24 3 W d W dz = λ. (.3.8 (.3.8 denklemnn çözümü zleyen bçmdedr: W ( z ve W=C exp( λz = C exp λ. (.3.9 (.3.7 denklemnn çözümü brnc cns sıfırıncı mertebeden Bessel fonksyonu le verleblr. U ( λr = C J. (.3. (.3.9 ve (.3. denklemlernn yardımıyla (.3.3 denklemnn özel çözümü elde edleblr: ( z J ( r ve V=C ( λz J ( λr V = C exp λ λ exp. (.3. Burada C ve λ sabtlerdr. Çözümlern doğrusal bleşm dferansyel denklemn aynı zamanda br çözümüdür. λ ya sıfırdan sonsuza kadar değerler vererek ve C katsayılarını λ nın br değşken şeklnde yazarak, genel br çözüm elde edeblrz; ( φ( λ exp( λz + ψ ( λ exp( λz J ( λr V = dλ. (.3. ( λ ve X ( λ θ fonksyonlarını aşağıdak bçmlerde tanımlarsak, φ ψ I = π ( λ θ ( λ I π ( λ = X ( λ gerlm, I V = ( θ ( λ exp( λz + X ( λ exp( λz J ( λr dλ (.3.3 π olarak yazılablr. Bu denkleme nokta akım kaynağının homoen ortamdak gerlm bağıntısı (..9 denklemn eklemek yararlı olacaktır. Böylece, zotrop n katmanlı br ortamda, yeryüzündek nokta akım kaynağından dolayı oluşan gerlm, herhang br katmanda zleyen bçmde verleblr (Stefanesco ve dğ. 93: I V = ( exp( + ( exp( + ( exp( ( λz θ λ λz X λ λz J λr dλ. (.3.4 π Burada, gerlmn yazıldığı katman numarasını belrtr. Örneğn = yazılarak knc katmandak gerlm belrleneblr.

25 4.3.. Çözümün sınır koşullarına uygulanması ( λ ve ( λ θ X sınır koşullarından çözüleblen fonksyonlardır. Yatay katmanlardan oluşan ortamda aşağıdak sınır koşulları sağlanmalıdır:. Yeraltındak her sınır düzlemnde gerlm sürekl olmalıdır.. Her sınır düzlemnde akım yoğunluğunun düşey bleşen sürekl olmalıdır. 3. Akım kaynağı harç, yeryüzünde akım yoğunluğunun düşey bleşen sıfır olmalıdır. Đkncde yazılan koşul gereğnce havada akım yoğunluğu sıfır olduğundan, sıfır dernlğnde yan yeryüzünde düşey bleşen de sıfır olur. 4. Kaynaktan uzak noktalarda gerlm sıfıra yaklaşmalıdır. Brnc koşul gereğnce, h sınır yüzeynde nc ve (+ nc katmanların gerlmler brbrne eşt olmalıdır: V = V + h sınır yüzey çn. (.3.4 denklemn kullanarak, I V = ( exp( + ( exp( + ( exp( ( λh θ λ λh X λ λh J λr dλ (.3.5 π ve I V λ (.3.6 ( ( ( ( ( ( ( + = exp λh + θ + λ exp λh + X + λ exp λh J λr d π yazılablr. Brnc sınır koşulu gereğnce, (.3.5 ve (.3.6 brbrne eştleneblr. r nn bütün değerler çn eştlğn sağlanması gerektğnden, θ ( λ ( λh + X ( λ exp( λh = θ ( λ exp( λh + X ( λ exp( λh exp + bağıntısı elde edleblr. + (.3.7 Đknc sınır koşuluna göre h sınır yüzeynde akım yoğunlukları eşt olmalıdır: z = Ez = V z ve V z + V z + =. (.3.8 (.3.5 ve (.3.6 denklemlernn türevnn alınıp, (.3.8 de yerne konulmasıyla,

26 5 (( + θ ( λ exp( λh X ( λ exp( λh elde edleblr. + = (( + θ ( λ exp( λh X ( λ exp( λh Üçüncü sınır koşulu, yeryüzünde akım yoğunluğunun düşey bleşennn sıfır olmasını gerektrmektedr: + + (.3.9 V z = = z= çn. (.3. z (.3.4 gerlm denklemn lk katman çn yazıp, türevn alarak V z I = π ( λ exp( λz λ θ ( ( + ( ( ( λ exp λz λ X λ exp λz J λr dλ elde edleblr. z= yan yeryüzünde, ( θ ( λ + ( ( λ J λr X λ dλ = (.3. sıfıra eşt olmalıdır. Đntegral çndek lk term, homoen yeryuvarına at olduğu çn kendlğnden sınır koşullarını sağlar. Ancak, dğer k term katmanlı ortam çn yazıldıklarından, r değşkennn bütün değerler çn yeryüzünde toplamları sıfır olmalıdır. Bu koşulun sağlanması çn, ( λ ( λ θ X olmalıdır. = (.3. Dördüncü sınır koşulu gerlmn sonsuzda sıfıra yaklaşmasını gerektrr. Son katmanın dernlğ sonsuz olduğundan, exp(λh n term de sonsuz olur. Gerlm çn bu davranış kabul edlemeyeceğnden, n ( λ = X (.3.3 olmalıdır..3.. Yeryüzündek br noktadak potansyel Uygulamada gerlm ölçümler yeryüzünde yapıldığından, z= çn (.3.4 genel gerlm bağıntısını kullanarak, yeryüzündek gerlm fadesn elde etmemz gerekmektedr: I V = ( + θ ( + ( ( λ X λ J λr dλ. π

27 6 (.3. sonucunu uygulayarak, I V = ( + θ ( ( λ J λr dλ (.3.4 π yazılablr. θ (λ Stefanescu çekrdek fonksyonu olarak adlandırılır. θ (λ yerne, aşağıdak bçmde tanımlanan Slchter çekrdek fonksyonunu kullanmak, gerlm bağıntısının daha bast bçmde gösterlmesne olanak verr; ( = + θ ( λ λ K (.3.5 ve I V = K( λ J ( λr dλ. (.3.6 π Burada, θ (λ veya K (λ sınır koşullarından çözüleblen fonksyonlardır. Örneğn k katmanlı yer model çn çözüm zleyen bçmdedr. (.3. ve (.3.3 de bulduğumuz sonuçları (.3.7 ye uygulayarak, ( λ exp( λh = θ ( λ ( exp( λh ( λh θ + (.3.7 exp ve aynı sonuçların (.3.9 a uygulanmasıyla, (( + θ( λ exp( λh θ( λ exp( λh = ( + θ ( λ exp( λh (.3.8 (.3.7 ve (.3.8 denklemlernden θ (λ zleyen bçmde bulunablr; θ ( λ ( exp( λh ( + exp( λh ( exp( λh =. (.3.9 (.3.9 bağıntısının pay ve paydası ( +.exp(-λh le çarpılır ve k yansıma katsayısı aşağıdak gb tanımlanırsa, ( ( + k = (.3.3 k katmanlı ortam çn θ (λ, θ ( λ k exp( λh ( k exp( λh = (.3.3 olarak bulunablr. Đkden fazla katmanlar çn çekrdek fonksyonlarının elde edlmes, denklem ve blnmeyen sayısı arttığından zorlaşır. Dzey uygulamalarıyla sonuç alınablr. Bu güçlük yneleme bağıntılarıyla aşılmış ve çekrdek fonksyonlarının sayısal değerlendrlmes veya elementer fonksyonlar cnsnden elde edlmes çn yöntemler gelştrlmştr.

28 .4.. Slchter çekrdek fonksyonunun sayısal değerlendrlmes çn Pekers yneleme bağıntısı Bast ve blgsayar uygulamaları çn elverşl yapısı dolayısıyla Pekers (94 yneleme bağıntısı sayısal değerlendrme çn en uygun bağıntıdır. Pekers n (94 yneleme bağıntısı, temeln üzerne yen br katman eklenmes ve ölçü sstemn yen eklenen katman üzerne taşınmasıyla yürütülür. Şekl. de şlem tanıtılmaya çalışılmıştır. Örneğn üç katmanlı ortam çn çekrdek fonksyonu elde edlmek stenrse, önce ve 3 özdrençl k katman çn çekrdek bağıntısı bulunur ve en üste özdrençl katman eklenerek, üç katmanlı ortama at çekrdek fonksyonu yneleme bağıntısı le hesaplanablr. 7 = = 3 3 Şekl.. Üç katmanlı ortam çn Pekers yneleme bağıntısının yürütülmes. Yneleme bağıntısının çıkarılması amacıyla, sınır koşullarından elde edlen, (.3.7 denklemnn her k yanına exp(-λh eklenr ve (.3.9 denklemne bölünürse, + θ + θ ( λ + X ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh = + θ ( λ + X + ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh + + (.4. + θ + + elde edlr. Şmd zleyen bçmde verlen K (λ fonksyonu tanımlansın: K ( ( λ + X ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh + θ λ =. (.4. + θ En üst katmanda h - sıfır ve θ (λ = X (λ olduğundan K (λ çn, K ( = + θ ( λ λ (.3.3 denklem elde edleblr. K (λ nın tanımından, (.4. denklemnn sağ yanının + K + (λ ya eşt olduğu görüleblr. O zaman (.4. denklem zleyen bçmde verleblr; ( λ + X ( λ exp( λh ( λ X ( λ exp( λh + θ = + K + + θ ( λ. (.4.3 (.4. bağıntısının sağ yanı X (λ le çarpıp bölünür ve denklem (+θ (λ / X (λ çn

29 8 düzenlenrse, ( λ ( λ ( λh ( K + + θ exp = X K (.4.4 elde edlr. Bu sonuç (.4.3 de yerne konulur ve denklem düzenlenrse, ( λh ( + K ( λ + exp( λh ( K ( λ ( λh ( + K ( λ exp( λh ( K ( λ exp = + K + exp ( λ eştlğ elde edleblr. Bu eştlğn sol yanını exp(λh - le çarpıp, bölelm ve / + oranını p le gösterelm. (h -h - dernlklernn farkı katman kalınlığı t değernn verr: K + = p K ( λ ( exp( λt + ( exp( λt ( exp( λt + K ( λ ( exp( λt. (.4.5 Tanant hperbolk fonksyonunun tanımından, exp exp ( λt ( λt = tan + ( λt (.4.6 (.4.5 zleyen bçmde verleblr: K = p K tanh ( λt ( λt +. (.4.7 K tanh Bu denklem K çn çözerek, K = K p + + p + K + tanh tanh ( λt ( λt (.4.8 yneleme bağıntısı Koefoed (979 tarafından verlen çözüm yolu le elde edlmş olur. Böylece, katman parametrelernn blnmes durumunda Slchter çekrdek fonksyonu sayısal olarak hesaplanablr. Önce temel katmanda K fonksyonunun saptanmasıyla şleme başlanır. Denklem (.3.3, X n (λ nın temel katmanda sıfır olmasını gerektrmektedr. Sınır koşullarına göre X (λ=θ (λ olduğu göz önüne alınırsa, K n (λ= (.4.9 bulunur. Örneğn, üç katmanlı ortam çn Slchter çekrdek fonksyonunun saptanması zleyen şekldedr. Önce, özdrençler ve 3 olan, lk katmanın kalınlığı t olan k katmanlı ortam çn K yazılır;

30 9 K K + tanh ( λt 3 3 =. + K3 tanh( λt 3 Üç tabakalı br ortam çn K 3 bre eşt olduğundan K + tanh 3 = + tanh 3 ( λt ( λt yazılablr. K se zleyen denklem le verlr: K K + tanh ( λt =. + K tanh( λt K değern K de yerne yazarak üç katmanlı ortam çn çekrdek fonksyonu hesaplanmış olur. Dört katmanlı ortam çn K 4 bre eşt alınır, 3 ve 4 özdrençl, t 3 kalınlıklı k tabakalı ortamdan başlanarak, K elde edlnceye kadar yneleme bağıntısı tekrarlanır..4.. Dönüşük özdrenç fonksyonu bağıntıları Koefoed (97 dönüşük özdrenç fonksyonunu (resstvty transform aşağıdak bağıntıyla tanımlamıştır: T = K.. (.4. Pekers (94 yneleme bağıntısı dönüşük özdrenç çn, T T + + tanh = T+ + tanh ( λt ( λt (.4. olarak verlr. Temel katman çn, T n = K n. n (.4. ve K n bre eşt olduğundan, T n = n (.4.3 bulunur. Temel katmanın üzerne eklenen her br katman çn yneleme bağıntısı λ nın her br değer çn tekrarlanır ve bu şleme üst katman düzlemne yükseltme adı verlr. Dönüşük

31 özdrenç fonksyonunu u=/ λ nın br fonksyonu olarak düşünmek uygulamada daha kolaydır. Çünkü λ uzaklığın ters boyutunda olduğundan, u uzaklık boyutunda olacaktır. (.4. yneleme bağıntısı u çn yazılır se, T ( u t T+ ( u + tanh u = T+ ( u t + tanh u (.4.4 elde edleblr. Aşağıdak trgonometrk özellk göz önüne alınarak; tanh tanh a tanhb = (.4.5 tanh a tanhb ( a b yneleme bağıntısı dğer br bçmde de yazılablr (Van yan ve dğ. 96: T ( u ( u T + t = tanh arg th +. (.4.6 u Bu bağıntı (T + (u/ < olduğu sürece çalışır. (T + (u/ olduğunda, argth(t + (u/ belrsz olur. Bu oranın brden büyük olduğu durumlarda, daha lerde göreceğmz karşıt özdrençl (recprocal yerelektrk kest kavramından yararlanılarak türetlen aşağıdak bağıntı kullanılablr: T ( u = tanh arg th T t + + u ( u. (.4.7 Böylece, (.4.6 bağıntısı (T + / < ve (.4.7 bağıntısı (T + / > olduğunda kullanılablr. argth fonksyonu bulunmayan hesap maknelernde veya blgsayarlarda aşağıdak eştlk yardımıyla şlem yürütüleblr. + a arg th( a = ln a < (.4.8 a ln doğal logartmayı göstermektedr. n katman çn T(u yu veren tam br fade (.4.6 denklemnn her katman çn açılması le fade edleblr (Vanyan ve dğ. 96: T tanh t3 / arg th tanh( t+ / u + arg th(... ( 3 u = t / u + arg th tanh t / u + arg th tanh( u +...

32 ... arg th n tanh n tn / u arg th (.4.9 n n Bu bağıntıdan u değşkennn çok küçük ve çok büyük değerler çn dönüşük özdrenç fonksyonunun asmptotk değerler elde edleblr. Örneğn üç katmanlı ortam çn T ( u = t tanh u + arg th t.tanh u + arg th 3 yazılablr. u değşken çok küçük br değer alır se t /u oranı çok büyük değerler alır ve tanh fonksyonunun değer brme ve dönüşük özdrenç fonksyonunun değer brnc katmanın özdrencne yaklaşır. Bu özellk, katman sayısına bağımlı olmaksızın tüm dönüşük özdrenç fonksyonları çn geçerldr. u değşken çok büyük değerler aldığında t/u oranı sıfıra yaklaşır: ( t 3 T u = tanh + arg th.tanh arg th, u t T, ( 3 u = + tanh arg th u T, ( 3 u = tanh arg th ( u 3 T sonucu elde edlr. Bu sonuç, u değşkennn görece büyük değerler çn dönüşük özdrenç fonksyonunun son katmanın özdrencne yaklaştığını gösterr Dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerlernn hesabı Dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerler, u yatay eksen olmak üzere çft logartmk kağıda çzlr. Çft logartmk kağıtta dönüşük özdrenç değerlernn eşt aralıklı yerleşmes çn açılım oranı olarak adlandıracağımız br katsayı saptanır. u değşkennn lk değer u se, knc değer d açılım oranı le lk değern çarpımından bulunablr: u = d. u ve u 3 = d. u ya da eksen değerlernn sırasını göstermek üzere, u + = d. u =,, 3, (.4.

33 genel bağıntısı yazılablr. Yukarıda da değnldğ gb bu kavram logartmk kağıt kullanılması nedenyle türetlmştr. Yatay eksen çn y = ln(u değşken kullanılırsa, bu kez D.Ö fonksyonu y değşkenne bağlı olarak görüntüleneblr. Ardışık k yatay eksen değer arasında, y + = y + y bağıntısı yazılablr. y, örnekleme aralığıdır (samplng dstance. (.4. denklemnn her k yanının logartması le, ln u + = ln d + ln bulunablr. ln(u = y olduğundan, y = ln d (.4. olduğu görüleblr ve örnekleme aralığı le açılım oranı arasındak lşk bulunablr. Dğer br kavram se, örnekleme oranı dır (samplng rate ve logartmk kağıdın her br dönemnn kaç eşt parçaya ayrıldığının sayısı olarak tanımlanır. Eğer, br dönem dört eşt parçaya ayrılmış se örnekleme oranı dörttür. Bu durumda örnekleme aralığı, ln y = 4 olarak verleblr. Örnekleme oranı M le gösterlrse, ln y = M genel bağıntısı yazılablr. Açılım oranı çn, (.4. den ln( M d = exp( y = exp = (.4. M yazılablr. D.Ö. (dönüşük özdrenç ve G.Ö. (görünür özdrenç fonksyonlarının çft logartmk kağıtta görüntülenmesnn k neden bulunmaktadır. Brncs, hem bu fonksyonların değerler genş br aralıkta değşr, hem de yatay eksen değer çok büyük değerlere varablr. Đkncs, br yer model çn katman parametrelernn br grubu, yan kalınlıklar veya özdrençler brer sabt le çarpılır veya bölünürse bu fonksyonların bçmler değşmez yalnızca logartmk eksenler boyunca kayarlar.

34 3 PROGRAM. DĐL: BASIC Bu program, (.4.8 ve (.4.9 denklemlern kullanır ve aşağıdak soruları sorar.. VERI SAYISI > : Dönüşük özdrenç fonksyonunun kaç adet sayısal değernn stendğ.. KATMAN SAYISI > : Katman sayısı. 3. ILK YATAY EKSEN DEGERI (u >: u nun lk değer. 4. ORNEKLEME ORANI > : Örnekleme oranı. 5. OZDIRENC > : Đlk katmandan başlamak üzere, özdrençler. 6. KALINLIK > : Đlk katmandan başlamak üzere kalınlıklar. Bu verlern grlmes le yatay eksen değerler ve bu değerlere karşılık gelen T(u değerler ekrana yazılır. PROGRAM. DIM R(, T( DEF FNTANH (X FNTANH = ( - EXP(- * X / ( + EXP(- * X END DEF CLS INPUT " cks dosyasının ad (*.dat varsaylan>", outf$ outf$ = LEFT$(outF$, 8 + ".DAT" INPUT "VERI SAYISI >", N INPUT "KATMAN SAYISI >", L INPUT "ILK YATAY EKSEN DEGERI (u >", U INPUT "ORNEKLEME ORANI >", M FOR I = TO L - PRINT USING "##"; I; INPUT " OZDIRENC >", R(I PRINT USING "##"; I; INPUT " KALINLIK >", T(I NEXT I PRINT USING "##"; L; INPUT " OZDIRENC >", R OPEN "O", #, outf$ PRINT #, "U"; SPC(; "TU" PRINT " cks dosyas ="; outf$ E = ^ ( / M FOR I = TO N T = R W = L PRINT SPC(; PRINT "U"; PRINT USING "##"; I; PRINT SPC(3; PRINT USING "#####.####"; U;

35 4 PRINT SPC(3; PRINT USING "#####.####"; T; PRINT #, USING "#####.####"; U; PRINT #, SPC(; PRINT #, USING "#####.####"; T; W = W - AA = FNTANH(T(W / U T = (T + R(W * AA / ( + T * AA / R(W PRINT SPC(3; PRINT USING "#####.####"; T; PRINT #, SPC(; PRINT #, USING "#####.####"; T; IF W > THEN PRINT "" PRINT #, "" U = U * E NEXT I CLOSE # END ÖRNEK : Katman parametreler = ohm-m, t = m, =5 ohm-m, t =5 m ve 3 = ohm-m olan üç katmanlı ortam çn T(u nun sayısal değerler Çzelge. de verlmştr. Örnekleme oranı dır. Program, u değşkennn br değer çn katman parametreler =5 Ωm, t =5 m. ve 3 = ohm-m olan k katmanlı ortama at T (u değerlern ve yneleme bağıntısını kullanarak T(u=T (u değern hesaplar. Hesaplanan dönüşük özdrenç değerler Şekl.3 de görüntülenmştr. ÖRNEK : Katman parametreler = ohm-m, t = m, =.5 ohm-m, t =5m, 3 = ohmm, t 3 =5 m ve 4 =3 ohm-m olan dört katmanlı ortam çn T(u nun sayısal değerler Çzelge. de verlmştr. u değşkennn br değer çn, önce katman parametreler 3 = ohm-m, t 3 =m ve 4 =3 ohm-m olan k katmanlı ortama at T 3 (u, sonra katman parametreler =.5 ohm-m, t =5m, 3 = ohm-m, t 3 =5 m ve 4 =3 ohm-m olan üç katmanlı ortama at T (u değerler ve sonuçta verlen modele karşılık gelen T(u=T (u değerler hesaplanılır. Örnekleme oranı olarak alınmıştır. Hesaplanan dönüşük özdrenç değerler Şekl.4 de görüntülenmştr.

36 5 Çzelge.. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers. u T (u T(u = T (u

37 Görünür Özdrenç (ohm-m 6 T Görünür Özdrenç (ohm-m T T3 AB/ (metre Şekl.3. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers. T3 T T4 T. AB/ (metre

38 7 Şekl.4. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers. Çzelge.. Örnek de verlen katman parametrelerne karşılık gelen dönüşük özdrenç vers. u T 3 (u T (u T(u = T (u

39 8 Bölüm GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ BAĞINTILARI.. KATMANLI ORTAM ĐÇĐN GERĐLĐM BAĞINTISI Bölüm. de verlen görünür özdrenç bağıntıları zotrop, yarısonsuz br ortam çn hesaplanmışlardır ve arazde ölçülen gerlm farkı ve verlen akım yardımıyla görünür özdrenç değerlern hesaplamak amacıyla kullanılırlar. Katmanlı ortama at özdrenç bağıntılarını bulmak çn Bölüm. de verlen özdrenç bağıntılarında ölçülen gerlm farkı yerne, katmanlı ortama at gerlm denklemnden bulunacak kuramsal gerlm farkını koymak yeterldr. Katmanlı ortam çn verlen (.3.6 gerlm bağıntısında Slchter çekrdek fonksyonu yerne, (.4. denklemyle tanımlanan Koefoed un (97 dönüşük özdrenç fonksyonu yazılarak, V I = π ( ( T λ J λr dλ (.. hesaplamalara temel oluşturacak gerlm bağıntısı elde edlr.... Đk nokta elektrot görünür özdrenç bağıntısı Bölüm. de bu dzlmn ölçü alım lkeler kısaca anlatılmıştır. Akım ve gerlm elektrotlarından brer tanes teork olarak sonsuza atılmışlardır. D.E.S., akım ve gerlm elektrotları arasındak L uzaklığının arttırılması yoluyla yürütülür. Gerlm farkı M noktasındak gerlme eşt olduğundan, (.. denklem zleyen bçmde yazılablr: π L V ( AL L = I M. (.. (.. katmanlı ortam gerlm bağıntısından yararlanılarak, r = L çn M noktasındak gerlm aşağıdak şeklde yazılablr: V M = I π ( λ ( λ λ T J L d. (..3 (..3 denklemnn (.. denklemnde yerne konulmasıyla, k nokta elektrot dzlm çn görünür özdrenç bağıntısı elde edleblr (Das ve Verma 98: ( ( λ ( λ AL L = L T J L d λ. (..4

40 9 Görünür özdrenç değerler se, k hareketl elektrot arasındak L uzaklığının fonksyonu olarak görüntülenr.... Wenner görünür özdrenç bağıntısı Wenner elektrot dzlm Bölüm. de kısaca tanıtılmaya çalışılmıştı. Homoen yeryuvarı çn verlen (..7 denklemnde, katmanlı ortama at V konularak, görünür özdrenç bağıntısı kolayca elde edleblr. V, M ve N elektrotları arasındak gerlm farkıdır: V = V V. (..5 M N M noktasında poztf ve negatf akım uçlarından dolayı oluşan gerlm, (.. denklemnde poztf uç çn r = a ve negatf uç çn r = a yazarak bulunablr: V = I T( J ( a T( J ( a M λ λ d λ λ λ d λ. (..6 π V N çn (.. denklemnde, artı akım ucu çn r = a ve eks akım ucu çn r = a yazılarak; V = I T( J ( a T( J ( a N λ λ d λ λ λ d λ (..7 π elde edlr. (..6 ve (.7 denklemlern (..5 de yerne konularak, gerlm farkı zleyen bçmde bulunablr: V I = T( λ J ( λa d λ T( λ J ( λa d λ. (..8 π Gerlm farkını (..7 denklemnde yerne konularak, görünür özdrenç bağıntısı elde edlr: ( a = a aw T ( λ J ( λ a λ T ( λ J ( λ a λ d d veya ( a = a T ( λ aw ( J ( λ a J ( λ a d λ. (..9 Wenner görünür özdrenç değerler, elektrotlar arası uzaklık a nın fonksyonu olarak görüntülenr. D.E.S. bu dzlmde a uzaklığının arttırılması le yürütülür ve her ölçü sonunda hem akım, hem de gerlm elektrotları yen yerlerne hareket ederler...3. Schlumberger görünür özdrenç bağıntısı Schlumberger dzlm çn akım ve gerlm elektrotlarının konumları Bölüm. de verlmştr. Gerlm elektrotları arasındak MN uzaklığı, akım elektrotları arasındak AB uzaklığına göre küçük alınır. Bunun amacı smetr merkezndek elektrk alanı ölçmeye çalışmaktır. Teork olarak, D.E.S. amacıyla akım elektrotları arasını açtıkça, gerlm farkı ölçülemeyecek kadar küçük olur ve araz çalışmalarında MN uzaklığı brkaç ölçü sonunda kademel olarak büyütülür.

41 3 Bu dzlmde elektrk alanının ölçüldüğü düşünüldüğünden, görünür özdrenç (.4. denklemnden r = s çn aşağıdak bçmde yazılablr: E ( as s = ( π s. (.. I E le gösterlen elektrk alan, gerlmn negatf türev olarak verlr: E = V s. (.. Brnc cns sıfırıncı dereceden Bessel fonksyonunun türev özellğ kullanılarak, d( J ( λr = λ J ( r λ (.. dr (burada J (λr brnc cns brnc dereceden Bessel fonksyonudur ve (.. gerlm denklemnn türevyle elektrk alan bulunablr: V I E = = T J r r π ( λ ( λ λ dλ. (..3 (..3 denklemnn (.. denklemnde yerne konulmasıyla, Schlumberger dzlmnde katmanlı ortam çn görünür özdrenç bağıntısı elde edleblr: ( ( λ ( λ as s = s T J s λ d λ. (..4 Schlumberger görünür özdrenç değerler akım elektrotları arasındak uzaklığın yarısı olan s uzaklığının fonksyonu olarak görüntülenr...4. Dpol görünür özdrenç bağıntıları Bölüm. de zotrop ve yarısonsuz ortamda dpol tarafından oluşturulan gerlm I L V = cosθ D π R (..6 olarak verlmştr. Dpol gerlm, zotrop yarısonsuz ortamda nokta akım kaynağının oluşturduğu gerlm cnsnden yazılablr. Nokta akım kaynağının oluşturduğu gerlmn (..6 denklem negatf türev aşağıdak gbdr: V I = r π R. Yukarıdak denklemn (..6 denklemnde yerne konulmasıyla, V = D L V cos θ (..5 r

42 3 dpol gerlm yen bçmyle yazılmış olur. Katmanlı ortamda dpol tarafından oluşturulan gerlm bulmak çn, (..5 denklemnde tek nokta akım kaynağının katmanlı ortamda oluşturduğu gerlm bağıntısını koymak yeterldr. Brnc cns sıfırıncı dereceden Bessel fonksyonunun türev göz önünde tutularak (.. denklemnn R ye göre türevnn alınıp, (..5 denklemnde yerne konulmasıyla, katmanlı ortamlar çn dpol gerlm elde edlmş olur: V D = I L cosθ T( J ( R π λ λ λ d λ. (..6 Dpol dzlmnde de, Schlumberger dzlmne benzer olarak elektrk alan ölçülmeye çalışılır. Görünür özdrenç bağıntılarını bulmak çn, Bölüm. de her dpol türü çn ayrı ayrı verdğmz özdrenç-elektrk alan bağıntılarından yararlanablrz. Bu bağıntılarda homoen yeryuvarı gerlm yerne, katmanlı ortamlar çn dpol gerlm koymak yeterldr. Radyal dpol dzlmnde, (..7 denklemnden homoen ve zotrop ortam çn özdrenç zleyen bçmde elde edleblr: 3 π R r = V I L cosθ R. (..7 (..6 bağıntısı le verlen dpol gerlmn R ye göre türev alınıp, brnc cns brnc dereceden Bessel fonksyonunun türev özellğ göz önünde tutulursa, d( J ( λr λ J ( R J ( R λ λ = (..8 dr R R sonuç aşağıdak gbdr: VD R I L cosθ ( λ = λ T( λ λ J ( λr J R dλ π. (..9 R (..9 denklemnn, (..7 denklemnde yerne konulması le radyal dpol görünür özdrenç bağıntısı elde edlr: ( R T( λ J ( λr λ λ R T( λ J ( λr λ λ ar R = d d. (.. Aynı yol le dğer dpol dzlmler çnde görünür özdrenç bağıntıları elde edleblr. Azmutal dpol çn görünür özdrenç (..8 denklemnden zleyen bçmde yazılablr: 3 3 π R π R V D θ = Eθ =. (.. I L snθ I L snθ R θ

43 3 (.. denklemnn θ ya göre türevnn alınıp, (.. de yerne konulması le görünür özdrenç bağıntısı kolaylıkla bulunulablr: ( = ( λ ( λ λ λ aθ R R T J R Paralel dzlmde özdrenç, (..9 denklemnden, d. (.. 3 π R x = I L ( 3cos θ θ θ VD + sn R VD cos R θ (..3 olarak bulunur. (..6 denklemnn R ye ve θ ya göre türevler (..3 de yerlerne konarak, paralel dpol dzlm çn görünür özdrenç bağıntısı bulunablr: ax R θ λ λ λ d λ θ λ λ λ d λ. 3cos θ ( R = ( cos T( J ( R R T( J ( R cos Dk dpol çn (.. denklemnden, 3 π R θ θ y = I L θ θ VD cos R VD sn 3 sn cos R θ (..4 (..5 (..6 denklemnn türevlernn yerne konulması le, ( R = T( λ J ( λr λ λ R T( λ J ( λr λ λ ay R 3 d d (..6 görünür özdrenç bağıntısı bulunur. Böylece, dört dpol türü çn görünür özdrenç bağıntıları elde edlmş olur. Bu bağıntıların karşılaştırılmasıyla, dört dpol türünde de ntegrallern aynı olduğu sadece katsayıların ayrı olduğu kolayca görüleblr. Bu özellk her dpol türü çn değşen br katsayıya bağlı olarak, görünür özdrenç bağıntılarının genel br ntegral denklem le verlmesne olanak sağlar (Das ve Ghosh 973: ( R = R ( p T ( λ J ( λ R λ λ p R T ( λ J ( λ R ad d λ d λ. (..7 Burada, p katsayısı azmutal dpol çn sıfır, radyal çn /, dk dpol çn /3, paralel dpol çn (cos θ / (3cos θ - olarak verlr. Yalnız paralel dzlmde p katsayısı θ açısına bağlı olarak değşr, dğerlernde sabttr. Dpol görünür özdrenç eğrlerne at başlıca özellkler şunlardır (Das ve Ghosh 973:

44 a Azmutal dzlmde, θ açısının değşmyle zotrop ve yatay katmanlar çn görünür özdrenç değşmez ve Schlumberger görünür özdrencne eşttr. b Radyal dzlmde, çeştl θ açılarında elde edlen görünür özdrenç aynıdır ve polar dzlme eşttr. c Dk dzlmde çeştl θ açılarında ölçülen görünür özdrenç aynıdır. d Paralel dzlmde görünür özdrenç θ açısının farklı değerler çn farklıdır. Bu sonuçlar le en yaygın kullanılan elektrot dzlmler olan; k nokta elektrot, Wenner, Schlumberger ve dpol elektrot dzlmler çn görünür özdrenç bağıntıları saptanmış olur. Dönüşük özdrenç fonksyonu T(λ, kullanılan elektrot dzlmnden bağımsızdır. Yan, belrl br yeryuvarı model çn dönüşük özdrenç, her elektrot dzlm çn aynıdır. Aynı model çn çeştl elektrot dzlmleryle elde edlen görünür özdrenç değerler se değşk olacaktır... GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇLER ARASINDAKĐ BAĞINTILAR... Đk nokta elektrot ve Wenner görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner G.Ö. bağıntısı (..9 k parçaya ayrılablr: ( ( λ ( λ λ ( λ ( λ aw a = a T J a a T J d a d λ. Bu denklem k nokta elektrot G.Ö. bağıntısı (..4 le karşılaştırılır se, a = L çn sağ yanda lk termn k nokta elektrot G.Ö. bağıntısının k le çarpımına eşt olduğu ve knc termn, (L nn fonksyonu olarak yne k nokta elektrot G. Ö. bağıntısını verdğ görülür. s, Wenner G.Ö. çn a yı, k nokta elektrot çn L y göstermek üzere bu açılımlar arasındak bağıntı zleyen bçmde verlr (Das ve Verma 98: ( s = ( s ( s. (.. aw al al Đk nokta elektrot ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı Đk nokta elektrot G.Ö. bağıntısının (..4, br çarpımın türev özellğn göz önünde tutarak, L le çarpalım. Brnc cns sıfırıncı dereceden Bessel fonksyonunun türev, ( J ( λl ( L = λ J λ (.. L olarak verldğnden, al ( L L ( λ ( λ d λ ( λ ( λ λ dλ L = L T J L L T J L elde edleblr. Bu denklemn ncelenmesyle s = L çn, sağ yanda lk termn k nokta elektrot G.Ö. ve knc termn Schlumberger G.Ö. olduğu görüleblr: ( al s s = ( s ( s al as. s

45 34 Burada s, Schlumberger çn akım elektrotları uzaklığının yarısına, k nokta elektrot çn hareketl elektrotlar arasındak uzaklığa (L eşttr. Yukarıdak denklemn düzenlenmesyle G.Ö. ler arasındak bağıntı, ( al s ( ( as s = al s s (..3 s bçmnde verleblr (Das ve Verma Wenner ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner G.Ö. bağıntısı (..9 k parçaya ayrılablr. s = a yazılarak, aw = s T J s s T J s ( λ ( λ d λ ( λ ( λ d λ ve her k yanın s e göre türevnn alınıp, s le çarpılması le ( aw s s = s T( λ J ( λs d λ s T( λ J ( λs λ dλ s T( λ J ( λ s dλ s + ( s T ( λ J ( λs λ dλ elde edleblr. Sağ yanda brnc ve üçüncü termlern toplamı Wenner görünür özdrenc, knc term ve dördüncü term sırasıyla s ve s n fonksyonu olarak Schlumberger görünür özdrenc verr (Başokur 983: ( aw s s = ( s ( s ( s aw as + as. s Bu denklemn düzenlenmesyle, ( aw s ( ( ( aw s s = as s as s (..4 s G.Ö. ler arasındak bağıntı tanımlanmış olur. Bu denklemde s, Wenner açılımı çn a ya eşttr...4. Schlumberger ve dpol arasındak bağıntı Brnc cns brnc dereceden Bessel fonksyonunun türev zleyen bçmde verlr: ( J ( λs J ( λs = λ J ( λs. (..5 s s Bu özellk kullanılarak, Schlumberger G.Ö. n türevn alınıp, s le çarpılırsa,

46 as ( s s 3 ( λ ( λ λ d λ ( λ ( λ λ d λ ( λ ( λ λ dλ s = s T J s + s T J s s T J s ve kısaltmalar le ( as s 3 s = s T( λ J ( λs λ λ + s T( λ J ( λs d λ dλ s bulunablr. Dpol G.Ö. bağıntısında (..7, R yerne s yazılır ve zleyen şeklde düzenlenr se 35 ad s s T J s d p s T J s d s T J s d 3 ( = ( λ ( λ λ λ ( λ ( λ λ λ + ( λ ( λ λ λ (..6 elde edlr. Bu denklemn sağ yanında lk termn Schlumberger G.Ö. e ve parantez çndek termn Schlumberger G.Ö. n türevne eşt olduğu görüleblr (Al pn 95: ( as s ( ( ad s = as s p s. (..7 s Burada s, dpol dzlm çn dpol uzaklığı R ye eşttr...5. İk nokta elektrot ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı (..3 bağıntısının türev alınıp, her k yan s le çarpılırsa, ( s ( s as al s = s (..8 s s elde edlr. (..7 denklemnde (..3 ve (..8 denklemlern yerne koyarak, k nokta elektrot ve dpol arasındak bağıntı saptanablr (Das ve Verma 98: ( ( al s al s ( ( ad s = al s s + p s. (..9 s s Bu bağıntıda s, dpol çn R ve k nokta elektrot çn L uzaklığına eşttr...6. Wenner ve dpol görünür özdrençler arasındak bağıntı Wenner ve dpol G.Ö. ler arasındak bağıntı, buraya kadar verlen dğer bağıntılardan yararlanılarak bulunablr. Đşlem Fourer dönüşümlernden yararlanarak, frekans bölgesnde yürütmek son derece kolaydır. Đspatı daha lerye bırakarak, bu k G. Ö. arasındak bağıntıyı zleyen bçmde vereceğz (Başokur 983: ( ( ( aw ( s ( aw s p s ad s ad s = aw s s +. (.. s s Burada s, dpol çn R ye ve Wenner açılımı çn a ya eşttr.

47 36.3. GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇLER ARASINDAKĐ BAĞINTILARIN LOGARĐTMĐK DEĞĐŞKEN ĐLE YAZILMASI Gelecek bölümlerdek kullanımları açısından, Bölüm.. de verlen bağıntıları logartmk değşken le yazmak yararlı olacaktır. Bu yen değşkenn G.Ö. ler arasındak bağıntıları lneer yaptığını zleyen denklemlerde göreceğz. Bu amaç çn x=lns değşken dönüştürümü kullanılacaktır. ln doğal logartmayı göstermektedr. Wenner ve k nokta elektrot G. Ö. ler arasındak (.. denklem, x = lns ve x + ln = ln(s değşkenler le aşağıdak bçmde yazılablr: ( x = ( x ( x + c, (.3. aw al al c = ln =.693. Đk nokta elektrot ve Schlumberger G.Ö. ler arasındak (..3 bağıntısı, aşağıdak türev özellğnden, (Koefoed 977, Nyman ve Landsman 977, ( s ( x a a s = s x (.3. zleyen bçmde verleblr: ( al x ( ( as x = al x. (.3.3 x Wenner ve Schlumberger G.Ö. ler arasındak (..4 bağıntısı yukarıdak denklemlerden, aw ( x aw ( x = as ( x as ( x + c (.3.4 x şeklnde yazılablr (Başokur 983. Schlumberger ve dpol G.Ö. ler arasındak (..7 bağıntısı, (..3 denklemnn elde edlmesne benzer olarak, ( as x ( ( ad x = as x p x (.3.5 şeklnde bulunablr (Koefoed 977, Nyman ve Landsman 977. Dpol ve k nokta elektrot G.Ö. ler arasındak (..9 bağıntısı, (.3. ve zleyen knc türev özellğ kullanılarak, ( s ( s ( x a a a s + s = s s x (.3.6 aşağıdak gb yazılablr:

48 ad ( x ( x ( p al ( x al ( x p = al + +. (.3.7 x x Wenner ve dpol G.Ö. ler arasındak (.. bağıntısı se, daha öncek blgler ışığında kolayca tanımlanablr: ( ( aw x aw x ( ( ( ad x ad x + c = aw x ( + p + p. (.3.8 x x Burada c ve p katsayılar olup anlamları daha önce verlmştr..4. HANKEL DÖNÜŞÜMÜ Eğer f(s, s değşkenne bağlı br fonksyon se, Hankel dönüşümü : 37 F( λ = f ( s Jn( λs s ds (.4. le verlr. Burada J n (λs, n nc dereceden brnc cns Bessel fonksyonudur. F(λ, f(s n λ bölgesndek göstermdr. Ters Hankel dönüşümü, fonksyonu λ bölgesnden kend bölgesne dönüştürür: f s = F J s ( ( λ n ( λ λ dλ. (.4.

49 38 Bölüm 3 GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ FONKSĐYONLARININ ÖZELLĐKLERĐ 3... Dar-Zarrouk parametreler Düşey elektrk sondaında genel olarak yer çnn yatay homoen ve zotrop katmanlardan oluştuğu varsayımı yapılır. Ancak bu katmanlar br bütün çnde düşünüldüğünde, yeryuvarı anzotrop olarak gözükür. Đzotrop katmanların yarattığı bu anzotropye, yapay anzotrop adı verlr. Bu kavramı açıklamak çn, brm kestnde katmanlı br yapı ele alınablr (Şekl 3.. Enne drenç (T, katmanlara dk akım yönlenmes halnde eksen katmanlara dk olan br kare przmanın drenc olarak tanımlanır. Boyuna letm (S se, katmanlara paralel br akım varken, eksen katmanlara normal olan brm kare przmanın letkenlğ olarak tanımlanır (Mallet 947. Şekl 3.. Brm kestnde katmanlı yapı (A. Đk katmanın eşdeğer tek katmana ndrgenmes (B. Anzotrop eşdeğer katman (I ve zotrop eşdeğer katman (II. Đlk katmanda przma yüzeyne dk drenç (enne drenç T = t le ve przma yüzeyne paralel letm (boyuna letm t S = le verleblr. Çok katmanlı ortamda, toplam enne drenç ve boyuna letm zleyen bağıntılarla verleblr:

50 39 n n n t... t t T... T T T = = ve n n n t... t t S... S S S = = veya = = n t T (3.. = = n t S (3.. yazılablr. T ve S, Dar - Zarrouk parametreler olarak anılır (Mallet 947. Đlk k katman çn, S ve T aşağıdak bağıntılarla verleblr: t t T T T + = + =, (3..3 t t S S S + = + =. (3..4 Đk katmanın yerne aynı tepky veren ve e özdrençl, e h kalınlıklı zotrop tek katman yerleştrleblr (Şekl 3.. e eşdeğer özdrenç ve e h eşdeğer kalınlık olarak adlandırılır. Bu durumda S ve T,: e e h t t T = + = (3..5 e e h t t S = + = (3..6 olarak yazılablr. Bu denklemlerden eşdeğer özdrenç ve eşdeğer kalınlık çözülürse, ( S T t t t t e = + + = (3..7 ( S T t t t t h e = + + = (3..8 elde edleblr. Böylece k katman kends le aynı tepky üreten eşdeğer tek katmana ndrgeneblr.

51 4 Bu k katmanın kalınlıkları toplamı kadar kalınlıkta anzotrop eşdeğer katmana at, s boyuna özdrenç ve t enne özdrenç aşağıdak gb tanımlanır se s t = ( t + t t + (3..9 t = ( t + t ( t + t, (3.. λ anzotrop katsayısı, s ( t + t t λ = = (3.. ( t + t t olarak bulunablr. Bu sonuçlardan yararlanılarak, + t h e ( t + t = λ h = λ (3.. = λ (3..3 e s yazılablr. Bu örneklere benzer olarak, daha fazla sayıda katmanlar da eşdeğer tek katmana ndrgeneblr. (3..5 denklemnden, herhang br sayıda katman çn T = e h e ve her k yanın doğal logartması le ln T = ln + ln (3..4 e h e yazılablr. Denklem, e çn düzenlenr se ln = lnt ln e h e yazılablr. Bu denklemden h e yatay ve e düşey eksen olmak üzere T katsayısının çft logartmk kağıtta çzmnn h e eksen le 35 o lk eğm yapan br doğru olacağını ve e = eksenn T uzaklığında keseceğn gösterr (Şekl 3.. (3..6 denklemnden, h e S = e

52 4 yazılablr. Her k yanın doğal logartması le ln S = ln h e ln (3..5 e ve ln = ln S + ln e h e elde edleblr. Bu denklem se, boyuna letmn çft logartmk kağıtta çzmnn e = eksen le 45 lk açı yapan ve onu S değernde kesen br doğruyu vereceğn gösterr. Şekl 3. de katman parametreler = ohm-m, t = m, =5 ohm-m ve t =5 m olan k katman çn T ve S çzgler gösterlmştr. T=6 ohm-m ve S= mho dur. Bu sayılar çn h e çn çeştl değerler vererek (3..5 bağıntısından hesaplanan e değerlernn çzm T, (3..6 bağıntısından hesaplanan e değerlernn çzm S çzgsn verr. T ve S çzglernn kesm noktasının yatay eksen değer gerçek h e, düşey eksen değerler se gerçek e değerlern verr. e =3.6 ohm-m. ve h e =7. m dr. Şekl 3.. T ve S çzgler 3... Dar-Zarrouk eğrs Herhang br z dernlğne kadar olan katmanlar çn T ve S aşağıdak bağıntılar le verleblr (Şekl 3.3: T S ( z t + t ( z ( z =, (3..6 t = h ( z t h (3..7

53 4 Bu bağıntılardan, z dernlğne kadar olan katmanların eşdeğer dernlğ ve özdrenc se h e ( z T ( z S( z =, (3..8 ( z ( z T e ( z = (3..9 S olarak bulunablr. h e (z yapma dernlk (pseudo-depth ve e (z yapma özdrenç (pseudoresstvty olarak adlandırılır (Mallet 947. h e (z yatay eksen olmak üzere, h e (z ve e (z n çft logartmk kağıtta karşılıklı çzm le Dar-Zarrouk eğrs elde edlr. Şekl 3.4 de, katman parametreler =, t =, =4, t =5, 3 =, ve =, t =, =/4, t =5, 3 = olan k ayrı yerelektrk kestne at Dar-Zarrouk ve Schlumberger GÖ eğrs çzlmştr. Dar-Zarrouk eğrsnn lk bölümü büyüklüğünde yatay br çzgden oluşur. Yükselen Dar- Zarrouk eğrler dışbükey, alçalanlar se çbükeydr. Eğrlern kırılma noktaları Dar-Zarrouk odakları olarak adlandırılır ve belrl br katman sınırına kadar olan tüm katmanların eşdeğer dernlk ve özdrençlern verrler. Şekl 3.3. Eşdeğer dernlk ve özdrencn hesaplandığı düzlem (keskl çzg

54 43 Şekl 3.4. Dar-Zarrouk ve GÖ eğrlernn karşılaştırılması. Şekl 3.4 de verlen k Dar-Zarrouk eğrsne at katman kalınlıkları aynı, özdrençler se br dğernn bre bölünmüşüdür. Katman kalınlıkları aynı, özdrençler brbrnn ters yer modellerne at kestler, karşıt özdrençl (recprocal yerelektrk kest olarak adlandırılmaktadır (Serra ve Conaway 98 (Şekl 3.5. Karşıt özdrençl yerelektrk kestler çn Dar-Zarrouk eğrler e = yatay eksenne göre brbrlerne bakışımlıdır. Bu durum aşağıdak şeklde açıklanablr. Đlksel kest çn, e e n n h t... t t T = =, e e n n h t... t t S = = ve karşıt özdrençl kest çn, S t... t t t... t t T n n n n ' ' ' ' = = = (3.. T t... t t t... t t S n n n ' n ' ' = = = (3.. yazılablr. Böylece, e ' ' e ' h T S S T h = = = (3.. ve

55 44 ' ' T S e = ' S T e = = (3..3 bulunablr. Bu bağıntılar, karşıt özdrençl k yerelektrk kestnn h e değerlernn aynı, e değerlernn se br dğernn ters olduğunu gösterr. Görünür özdrenç eğrler çn bakışım söz konusu değldr. ' ' = t = t ' ' = t = t 3 ' 3 = 3 Şekl 3.5. Yerelektrk kest (a ve karşıt özdrençl yerelektrk kest (b. YAZILIM 3. Verlen br yerelektrk kest çn Dar-Zarrouk odaklarını ve eğrsn bulmak çn kullanılır. BASIC dlndek yazılım aşağıdak soruları sorar.. VERĐ SY? : Kaç adet Dar-Zarrouk değernn stendğ.. KATMAN SY? : Katman sayısı. 3. ORN. OR.? : Örnekleme oranı. 4. OZD. KAL? : Đlk katmandan başlanarak özdrenç ve kalınlıklar., t,, t,, ve son katman kalınlığı çn z değernden daha büyük herhang br sayı verleblr. Bu verler grldkten sonra, önce Dar-Zarrouk odaklarının h e ve e değerler verlr. ODAK ABS=, RO. E= vb. z, lk katmanın kalınlığına eşt br değerden başlamak üzere, z, h e, e değerler sırası le ekrana yazılır. Z=, H. E=, RO. E= vb. ÖRNEK. Katman parametreler : =, t =, =4, t =5, 3 = olan modeln Dar-Zarrouk odakları Çzelge 3. de verlmştr. Yazılım çıkışında elde edlen z, h e, e değerler Çzelge 3. de verlmş ve Şekl 3.4 ün üst bölümünde çzlmştr. Örnekleme oranı dır. ÖRNEK. Br öncek örneğn karşıt özdrençl yerelektrk kestne at Dar-Zarrouk odakları Çzelge 3. de, z, h e, e değerler Çzelge 3. de verlmştr. z ve h e brnc örnekle aynı olup, e değerler se br önceknn bre bölünmüşüdür. Bu değerlere göre çzlmş Dar-Zarrouk eğrs Şekl 3.4 ün alt bölümünde görülmektedr.

56 45 INP VERI SY, N, KATMAN SY, L, ORN. OR., M FOR I = TO L 3 INP OZD, A(I, KAL, A(I+L 4 NEXT I 5 E = EXP ( LN / M 6 B=: C=: K=L: Z=A (L+ 7 FOR I = TO L- 8 B = B + A(I * A(I +L 9 C = C + A(I+L / A(I PRT ODAK ABS= ; SQR(B*C, ODAK RO. E= ; SQR(B/C NEXT I 5 G=: F=: H= FOR I= TO N 3 IF > Z A(L+ THEN 8 4 B = G + A( + A(L+ + (Z - H - A(L+ * A( 5 C = F + A(L+ / A( + (Z - H - A(L+ / A( 6 PRT Z= ; Z, H. E= ; SQR(B*C, RO. E= ; SQR(B/C 7 GO TO 5 8 G = A( * A(L+: F = A(L+ / A(: H = H + A(L+ 9 K = K - FOR J = TO K A(J+ = A(J A(J+L+ = A(X+L 3 NEXT J 4 GO TO 4 5 Z = Z * E 6 NEXT I 7 END ÇĐZELGE 3.. Dar-Zarrouk odakları. z h e = h e e e (Karşıt Özdrençl

57 46 ÇĐZELGE 3.. Eşdeğer dernlk ve özdrençler. z h e = h e e e (Karşıt Özdrençl

58 ETKĐN UZAKLIK GÖ değerlernn görselleştrlmesnde yatay eksen değşkennn seçm, kullanılan elektrot açılımına ve alışkanlıklara bağlı olarak değşm göstermektedr. Genellkle GÖ değerler, Schlumberger açılımında akım elektrotları arasındak uzaklığın yarısı olan s ye (AB/, Wenner açılımında k yakın elektrot arası uzaklık a ya (AB/3 ve dpol açılımında dpol uzaklığına (R bağlı olarak görüntülenr. Şekl 3.6 da katman parametreler = ohm-m, t = m, =/4 Ohmm, t = m ve 3 = Ohm-m olan br yerelektrk modele at Wenner, Schlumberger ve radyal dpol GÖ eğrler gösterlmştr. Yatay eksen değşkenler sırası le a, s ve R dr. Boyuna letm S=4 mho olup, S çzgs çzlmştr. Yatay eksen değşkennn büyük değerler çn her dört eğrde 45 o lk açıyla yükselrler. Ancak, bunlardan yalnız Schlumberger eğrs S çzgsne asmptot olur. Son katmanın özdrencnn sonsuz olması durumunda, GÖ eğrlernn sağ asmptotunun S çzgs le uyuşması çn gerekl yatay eksen değşken etkn uzaklık (effectve spacng olarak adlandırılır (Szaranec 97. Herhang br elektrot açılımında etkn uzaklığı veren bağıntıyı Szaranec(97 zleyen şeklde vermştr: AM AN + BN BM r =. (3.. + AM AN BN BM Burada r etkn uzaklıktır. Đk-elektrot açılımında, (B, N olduğundan, etkn uzaklık r = AM =L bağıntısı le bulunablr. Bölüm. de tanımlanan L uzaklığının etkn uzaklık olduğu görülür. Wenner açılımı çn uzaklıklar a cnsnden yerne yazılarak, a a + a a + a a a a = a (3..3 şeklnde bulunablr. Schlumberger açılımında, elektrotlar arası uzaklıkların s ve b cnsnden yerne konup şlemn yürütülmes le R = s + b 4 ve s b olduğundan zleyen sonuç elde edlr: r = s

59 48 Radyal dpol çm etkn uzaklık R/, dk dpol çn R/3 dür. (Al pn 95, Szaranec 97. Şekl 3.6. =, t =, =/4, t = ve 3 = çn Wenner, Schlumberger ve radyal dpol GÖ eğrler Şekl 3.7 de aynı model çn GÖ değerler bu kez etkn uzaklığa bağlı olarak görüntülenmştr ve üç ayrı elektrot açılımına at G Ö eğrler S çzgsne asmptot olur. S çzgsnn a (r= eksen le kesm noktasından S değer bulunablr. Dkkat çeken dğer özellkler şunlardır: radyal dpol eğrs Şekl 3.6 da Schlumberger eğrsnn sol yanında ken Şekl 3.7 de sağ yanındadır. Eğer logartmk değşken göz önüne alınırsa, radyal dpol eğrsnn bçmn değştrmeden x eksen boyunca ln kadar sola kaydığı görülür. Şekl 3.6 da herhang br GÖ değernn yatay eksen değer x-ln=ln(r/ dr. Benzer olarak Wenner GÖ eğrs Şekl 3.6 da Schlumberger eğrsnn sol yanında ken, Şekl 3.7 de sağ yanındadır. Herhang br Wenner GÖ değernn yatay eksen değer Şekl 3.6 da x=lna se, Şekl 3.7 de x+ln =ln(a dır, yan Wenner GÖ eğrs bçm değştrmeden x eksen boyunca ln kadar sağa kaymıştır. Dğer br özellk, Wenner ve Schlumberger eğrlernn etkn uzaklık le görüntülenmeler durumunda yaklaşık olarak brbrlerne eşt olmalarıdır. Son katmanın sonsuz özdrençl olması durumunda S boyuna letm değernn bulunması çn, GÖ eğrlernn etkn uzaklığa göre görüntülenmes şart değldr. GÖ eğrsnn sağ asmptotu a = eksennn kesm noktasının, etkn uzaklığa bağlı olarak görüntülenmes durumunda ne kadar kayacağını bldğmzden S değern de bulablrz. Şekl 3.6 da radyal dpol eğrs R değşkenne göre görüntülenmştr ve sağ asmptotu le ar (R= eksennn kesm noktasının yatay eksen değer 8 dr. Etkn uzaklığa göre görüntülemede bu kesm noktası R 8 r = = = 4 yatay eksen değerne noktasına taşınacak ve S değern verecektr.

60 49 Şekl 3.7. Şekl 3.6 dak GÖ eğrlernn etkn uzaklığa göre görüntülenmes. Şekl 3.6 da Wenner eğrs a değşkenne göre görüntülenmştr ve sağ asmptot le aw (a= eksennn kesm noktasının yatay eksen değer 9 dur. Etkn uzaklığa göre görüntülemede bu kesm noktası r = a = 9 = 4 noktasına taşınacak ve S değern verecektr. Bu k örnekten hareketle, geleneksel değşkenler le görüntülemede S değern veren br bağıntı türetleblr: S = ( R / G S ( G. (3..5 Burada, G geleneksel değşken, r etkn uzaklık ve S(G geleneksel değşken le görüntülemede sağ asmptotun a (G= eksen le kesm noktasının yatay eksen değerdr. Örneğn, radyal dpol çn r=r/ ve G=R yazarak, ( G S S = (3..6 ve Wenner çn r=a, G=a yazılarak, ( G S = S (3..7

61 5 bulunablr. Etkn uzaklık kavramı br kere tanımlanıp, (3..5 bağıntısının türetlmes le GÖ eğrlernn geleneksel değşkenlere bağlı olarak görüntülenmesnn br sakıncası kalmaz ARAŞTIRMA DERĐNLĐĞĐ Araştırma dernlğ kavramı, oluşturulan yapay alana karşı yeryüzünde ölçülen snyaln büyük br bölümüne neden olan, yeryüzüne paralel yatay katmana verlen addır. Ancak bu kavram, bütün snyaln bu dernlk nedenyle oluştuğu anlamına gelmez. Gözlenen snyal daha dernlernde cevabının br toplamıdır. Fakat araştırma dernlğ snyale katkısı en fazla olan dernlktr (Roy ve Apparao 97. Araştırma dernlğ, akımın nüfuz dernlğ le uzun yıllar eşanlamlı düşünülmesne rağmen brbryle lntl değldr. Bu düşünüşün neden, akımın daha dernlere nüfuz etmes le daha dernlern araştırılacağına nanılmasıdır. Nüfuz dernlğ, belrl br yeryuvarı model çn yalnızca akım elektrotlarının konumuna bağlıdır. Araştırma dernlğ se hem akım, hem de potansyel elektrotlarının konumları le lşkldr. Roy ve Apparao (97 homoen yeryuvarı çn araştırma dernlğn ncelemşlerdr. Katmanlı ortam çn, araştırma dernlğ katmanların dzlşne, kalınlık ve özdrençlerne göre değşr. Ancak homoen yeryuvarı çn yapılan bu nceleme, elektrot açılım cnslernn araştırma dernlklernn karşılaştırılmasını olanaklı kılar. Şekl 3.8 araştırma dernlğn ncelemek çn temel alınan açılım değerlern göstermektedr. P le gösterlen bu değer, Wenner ve Schlumberger çn k akım elektrotu, k nokta elektrot açılımı çn akım ve potansyel elektrotları ve dpol dzlm çn dpol merkezler arasındak uzaklıktır. Bu uzaklık aynı zamanda br GÖ değer elde etmek çn arazde harcanan eşdeğer çabayı tanımlar. Homoen yeryuvarı durumunda araştırma dernlğ çn bulunan sonuçlar Çzelge 3.3 de verlmştr (Roy ve Apparao 97. Şekl 3.8. Elektrot açılımlarının karşılaştırması çn türetlen P değşkennn tanımlanması.

62 5 ÇĐZELGE 3.3 Wenner.P.33a Schlumberger.5P.5s Paralel dpol (θ=π/4.8p.8r Polar veya radyal dpol.95p.95r Dk dpol.p.r Ekvatoral veya azmutal dpol (θ=π/4.5p.5r Đk nokta elektrot.35p.35l Çzelge 3.3 den de görülebleceğ gb, aynı uzaklıkta yapılan açılımda en az araştırma dernlğne Wenner, en fazla araştırma dernlğne se k nokta elektrot dzlm sahptr. Bu akımın daha dernlere doğru odaklanmasının, açılımın araştırma dernlğn dğer açılımlara oranla üstün kılmayacağını göstermektedr. Ayrıca, araştırma dernlğnn yalnızca akım değl, hem akım hem de potansyel elektrotlarının konumlarına bağlı olduğu zleneblr. Schlumberger ve Wenner açılımlarının araştırma dernlkler arasındak fark, bu olaya y br örnektr. Örneğn, akım elektrotlarını 3 metre açılır se Schlumberger dzlmnde s=5, Wenner dzlmnde a= metredr. Aynı açılım uzaklığı (P çn Wenner görünür özdrenc daha öncek br yatay eksen değerne şaretleneceğnden, araştırma dernlğ daha az olmasına rağmen artan türde Schlumberger eğrsnden üstte, azalan türde altta bulunacaktır. Fakat logartmk kağıtta aynı koordnatı şaretlemek çn Wenner dzlmnde akım elektrotlarını daha fazla açmak gerektğ unutulmamalıdır. Aynı yapay durum, dpol ve Schlumberger arasında da görülür (Şekl 3.6. Bu açıklamalar, geleneksel değşkenler le araştırma dernlğ arasında br lg olmadığını gösterr. Gerçekte, L, a, s ve R n yatay eksen değşken olarak kullanılmalarının neden, Bölüm. de verlen GÖ bağıntılarının bunlar cnsnden yazılmalarıdır. Öte yandan, etkn uzaklık ve araştırma dernlğ kavramlarının blnmes durumunda GÖ eğrlernn geleneksel değşkenler le görüntülenmesnn sakıncası yoktur. Araştırma dernlğ, arazde eşdeğer çabaya karşılık, hang elektrot açılımında daha dernlern etksnn GÖ eğrs üzernde daha önce belreceğn gösterr. Geleneksel değşkenlerle görüntülemenn aksn göstermesnn br önem yoktur. Yatay eksen değşkennn seçm br blg kaybı yada kazancı sağlamaz, yalnızca GÖ eğrler bçm değştrmekszn yatay eksen boyunca kayarlar GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ EĞRĐLERĐNĐN BĐÇĐMSEL ÖZELLĐKLERĐ Görünür özdrenç eğrler, küçük açılım değerler çn, akım sadece lk katmanda bulunduğundan, brnc katmanın özdrencne ( yaklaşır. Açılım uzaklığı büyüdükçe, açılım cnsnn araştırma dernlğne bağlı olarak dğer katmanların etklern de kendnde toplamaya başlar ve daha büyük açılım uzaklıkları çn görünür özdrenç eğrler son katmanın özdrencne yaklaşırlar. Đk katmanlı ortamda, knc katmanın özdrencnn brncden büyük veya küçük olmasına göre artan ve azalan tür olmak üzere k tür özdrenç eğrs elde edlr (Şekl 3.9.

63 5 Görünür Özdrenç (ohm-m A B. s=ab/ Şekl 3.9. Đk katman eğr türler. (A, = ohm-m, t = m ve = ohm-m. (B, = ohm-m, t = m ve = ohm-m. Görünür Özdrenç (ohm-m (a H Q. A Görünür Özdrenç (ohm-m (b K AB/ (metre Şekl 3.. Üç katman eğr türler.

64 53 Ortamın üç katmanlı olması durumunda üçüncü katmanın özdrencnn, knc katmanın özdrencnden büyük veya küçük olmasına göre dört tür görünür özdrenç eğrs oluşur. Eğer; < < 3 se A türü, < > 3 se K türü, > > 3 se Q türü ve > < 3 se H türü olarak adlandırılan görünür özdrenç eğrler elde edlr (Şekl 3.. Katman sayısının artmasıyla, görünür özdrenç eğrlernn türler de artar. Örneğn dört katmanlı ortamda, üç katman eğr türlerne dördüncü katman özdrencnn üçüncüden büyük veya küçük olmasına göre k durum daha eklenr ve dört katman eğr türlernn sayısı sekze çıkar. Şekl 3.a da, HK ve Şekl 3.b de se KH türü dört katman eğrler görülmektedr. Dörtten fazla katman durumunda elde edlecek eğr türler sayısı benzer olarak bulunablr. Görüldüğü gb katman sayısı arttıkça, oluşan eğr türü sayısı kşer kat artmaktadır. Belrl br katmanın kalınlığının veya özdrencnn değşm le görünür özdrenç eğrsnn davranışı Şekl 3. de gösterlmştr. Şekl 3.a da, A harf le gösterlen eğrnn katman parametreler =, t =3, =, t =, 3 = şeklndedr. Dğer parametreler sabt tutularak, knc katman kalınlığı m alındığında B le ve 5 m olduğunda C le gösterlen eğrler elde edlmştr. Đknc katman kalınlığının azalması le eğrdek ek küçük görünür özdrenç değer de küçük AB/ değerlerne doğru kaymaktadır. Eğrnn brnc ve knc kanadının eğmler değşmeme eğlm göstermektedr. Çünkü, brnc kanadın eğm / ve knc kanadın eğm / 3 oranına bağlıdır. Görünür Özdrenç (ohm-m (a HK. Görünür Özdrenç (ohm-m (b KH AB/ (metre

65 54 Şekl 3.. Dört katman eğr türler. (a Görünür Özdrenç (ohm-m C B A (b Görünür Özdrenç (ohm-m D C B A AB/ (metre Şekl 3.. Đknc katmanın kalınlığının değşm le H türü Schlumberger görünür özdrenç eğrsnn değşm (a. Đknc katmanın özdrencnn değşm le görünür özdrenç eğrsnn değşm (b. Şekl 3.b de, Şekl 3.a da olduğu gb A harf le gösterlen eğrnn katman parametreler =, t =3, =, t =, 3 = şeklndedr. Dğer parametreler sabt tutularak, knc katman özdrenc 3 ohm-m alındığında B le, 5 ohm-m olduğunda C le ve 7 ohm-m olduğunda D le gösterlen eğrler elde edlmştr. Đknc katman özdrencnn artması le eğrlerdek ek küçük görünür özdrenç değer artmakta ve brnc kanadın eğm büyük oranda değşmektedr. Bu eğm değşklğnn neden / oranının değşmesdr. Ancak, knc katman kalınlığı aynı kaldığından mnmumun yer hemen hemen aynı AB/ değerlerne karşılık gelmektedr. Görünür özdrenç eğrler çn yukarıda sözü edlen özellkler, dönüşük özdrenç eğrler çnde geçerldr. (/λ nın küçük değerler çn, dönüşük özdrenç eğrs lk katmanın, büyük değerler çnse son katmanın özdrencne yaklaşırlar. Dönüşük özdrenç eğrler, görünür özdrenç eğrlernn alçalma ve yükselmelern takp ederler. Şekl 3.4 de a ve b görünür özdrenç ve dönüşük özdrenç, c ve d de dğer br görünür özdrenç ve dönüşük özdrenç eğr çftn

66 göstermektedr. Şeklden de görülebleceğ gb dönüşük özdrenç eğrler, görünür özdrenç eğrlernn yumuşatılmış br şekl görünümündedrler GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ VE DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ EĞRĐLERĐNĐN ASĐMTOTĐK ÖZELLĐKLERĐ Dönüşük özdrenç eğrler aşağıdak asmptotk özellkler gösterr. a Eğer son katmanın özdrenc sonsuz se, /λ nın büyük değerler çn dönüşük özdrenç fonksyonu T ( λ = (3.5. λ S bağıntısına yaklaşır. Bu durumda T(λ, + eğml 45 o lk doğru boyunca artar ve bu doğrunun T(λ= eksenyle kesm noktası S boyuna letm verr (Orellana 965, (Şekl 3.3. b Eğer son katmanın özdrenc sıfır se, dönüşük özdrenç eğrs /λ nın büyük değerler çn ( = λ T T λ (3.5. bağıntısına yaklaşır. Bu durumda T(λ=, - eğml doğruya asmptot olur ve bu doğru T(λ= doğrusunu T enne drenç değernde keser (Orellana 965, (Şekl 3.3. c Eğer dönüşük özdrenç eğrsnn sağ yanı artan türde se, //λ nın büyük değerler çn T(λ aşağıdak bağıntıya yaklaştırılablr (Orellana 965: T ( λ n. (3.5.3 ( + λ S n 55 Dönüşük Özdrenç (ohm-m B S Çzgs A T Çzgs.. u (metre Şekl 3.3. T(λ nın asmptotk davranışı ve S, T değerlernn elde edlmes. Katman parametreler =, t =, =/4, t =, 3 = A eğrs (S=4 ohm,

67 56 =, t =, =4, t =, 3 = B eğrs (T=4 mho. Görünür Özdrenç (ohm-m.. AB/ (metre Şekl 3.4. Karşıt özdrençl kestler çn GÖ ve DÖ eğrler (Seara ve Conaway 98. Üstte, katman parametreler =, t =3, =, t =5, 3 =3, t 3 =8, 4 = olan, dört katmanlı ortama at görünür özdrenç (noktalı eğr ve dönüşük özdrenç (sürekl eğr değerler ve altta karşıt özdrençl keste at görünür özdrenç ve dönüşük özdrenç eğrler. d Herhang br yerelektrk yapıya at T(λ le, karşıt özdrençl yerelektrk yapıya at T(λ, T(λ= yatay eksenne göre smetrktr (Seara ve Conaway 98, (Şekl 3.3 ve 3.4. Görünür özdrenç eğrler se, eğer etkn uzaklığa göre görüntülenmş se aşağıdak özellkler gösterrler. a Eğer son katmanın özdrenc sonsuz se, etkn uzaklığın (r büyük değerler çn görünür özdrenç eğrs ( r a = r S boyuna letm doğrusuna yaklaşır. Bu doğrunun a (r= yatay eksenyle kesm, boyuna letm değern verr (Şekl 3.7. b Herhang br yerelektrk kestne at görünür özdrenç eğrs le ona karşılık gelen karşıt özdrençl yerelektrk kestne at görünür özdrenç eğrs arasında herhang br smetr yoktur (Şekl 3.4. c Son katmanın özdrenc sıfır se T enne drencn elde edlmes çn görünür özdrenç eğrsnn herhang br asmptotk yaklaşımı yoktur (Seara ve Conaway EŞDEĞERLĐLĐK ĐLKESĐ Đk farklı yerelektrk model çn hesaplanan GÖ eğrler tamamı le brbrnn aynı değldr. Başka br deyşle, aynı GÖ eğrsn veren k ayrı yerelektrk model yoktur ve matematk anlamda eşdeğerllk söz konusu değldr. Ancak, araz ölçümler sırasında GÖ değerler yatay yöndek sürekszlkler, akım kaçakları, alet ve kşlerden kaynaklanan etkenler gb nedenler le

68 br mktar yanılgı kapsarlar ve genellkle %5 den daha azdır. Böylece, GÖ değerler ± %5 veya daha küçük oranda brbrnn aynı olan k GÖ eğrs çn eşdeğerllkten (equvalence söz açılablr. Yan, verlen br model çn hesaplanacak GÖ eğrs tek olduğu halde, araz ölçümleryle elde edlen br GÖ eğrsnn çözümlenmes le k ayrı model bulunablr. Eşdeğerllk lkesn açıklamak çn, katman parametreler =, t =, =, t =3, 3 =, t 3 =, 4 = (model A ve =, t =.97, =8, t =5, 3 =, t 3 =.9 ve 4 = (model B olan k yerelektrk keste at GÖ değerler Çzelge 3.4. de verlmştr. A ve B modellerne at GÖ değerlernn %.5 yanılgı oranı çnde brbrlerne eşt olduğu kolayca görüleblr. Bu oran ver toplama yanılgısı çnde olduğundan, bu k model araz ölçümler le brbrnden ayırt edlemez (Koefoed 979. Çzelge 3.4. Eşdeğer k yerelektrk kestne at GÖ değerler. Yatay eksen Schlumberger GÖ A model Schlumberger GÖ B model ÖRTME ETKĐSĐ Aynı sayıda katmanı kapsayan k ayrı yerelekrk kest eşdeğer olableceğ gb, farklı sayıda katmandan oluşmuş k model de eşdeğer olablr. Bu tür eşdeğerllk örtme (supresson etks olarak adlandırılır. Katman parametreler =, t =34, =4, t =7, 3 =6, t 3 =6, 4 =4 ve =, t =38, =6, t =38, 3 =4 olan, dört ve üç katmanlı ortamlara at k Schlumberger GÖ eğrs şekl 3.5 de gösterlmştr. Artı (+ le şaretlenen noktalar dört katmanlı, nokta (. le şaretlenenler üç katmanlı ortama at GÖ değerlerdr (Örnek, Mallet den(947 alınmıştır. Bu

69 58 k modele at GÖ değerler ölçü ve görüntüleme yanılgıları çnde, aynı GÖ eğrsn vermektedr. Görünür Özdrenç (ohm-m. AB/ (metre Şekl 3.5. Farklı sayıda katmanlar çn örtme etks. Eşdeğerllk ve örtme kavramları, br GÖ eğrsnn farklı bçmlerde yorumlanarak, farklı katman parametrelernn elde edlebleceğ gösterr. Bu çözümlerden yalnızca bölge eolos le uyum sağlayanı br değer taşır ELEKTROT AÇILIMLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Elektrot açılımlarının brbrnden üstün tutulması ele alınan eolok problem ve açılım uzaklığına göre değşr. Schlumberger açılımında smetr merkezndek elektrk alan ölçülmeye çalışılır. Elektrk alan br noktaya attr ve doğrudan ölçülemez, gerlmn türevnden hesaplanablr. Bu nedenle, kuramsal olarak, A ve B akım elektrotları arasını açtıkça elektrk alanı ölçmek çn M ve N potansyel elektrotlarının yer değştrmesne gerek yoktur. Ancak, açılım uzaklığı arttıkça M ve N arasındak gerlm ölçülemeyecek kadar küçük olur. Bunun çn MN uzaklığı aşağıdak lmtler arasında tutulur: AB 5 veya AB AB < MN < veya 4 AB. 3 Örneğn MN, AB/3 kadar alınarak ölçülere başlanablr ve AB/ veya AB/5 oranına kadar yer değştrmeden, sabt tutulablr. Ancak, akım elektrotlarını açtıkça, gerlm elektrotları arasındak gerlm farkı, ölçme aygıtının duyarlılık sınırının altına neblr. Bu durumda, gerlm elektrotları arasındak uzaklığın büyütülmes gerekr ve aynı akım elektrotları uzaklığı çn MN nn k ayrı konumunda ölçü almak gerekr. Bu şlem ardışık br kaç nokta çn tekrarlanmalıdır. Bunun neden, MN uzaklığına bağlı olarak görünür özdrenç eğrsnn keskl parçalar halnde elde edlmesdr. Keskl parçaların sağlıklı brleştrleblmes çn bu tekrarlara gerek vardır. Schlumberger eğrsnn lk parçası sabt tutularak, dğer parçalar sırası le düşey eksene paralel olarak kaydırılır ve sürekl Schlumberger eğrs elde edlr. MN uzaklığının arttırılması le parçalı eğrler elde edlmesnn neden, gerlm elektrotlarının yakınlarındak küçük ölçekl özdrenç değşmlerdr. Đk nokta elektrot açılımı hem fazla araştırma dernlğne sahp olması, hem de ölçü tekrarlarını gerektrmeyşnden daha hızlı ve ekonomktr. Fakat, sonsuzda bulunduğu varsayılan elektrotlar

70 açılım uzaklığını sınırlar ve ancak sığ açılımlara zn verr. L uzaklığı, AB ve MN uzaklığının katı olduğunda bağıl hata %5 den fazla olmaz. Ancak bu oran azalırsa yanılgı mktarı artar ve dern açılımlar çn yöntem şlerlğn kaybeder (Apparao ve Roy 973. Wenner ve Schlumberger dzlmlernn karşılaştırılmasında se her k elektrot dzlmnn de akım ermnn aynı olduğu, ancak araştırma dernlğnn Schlumberger açılımında fazla olduğu görülür. Aynı açılım uzaklığı çn, Wenner dzlmnde, gerlm elektrotları arasının daha büyük olması gerlm farkı ölçümünün daha duyarlı olmasını sağlar. Fakat ölçü duyarlığından da öneml olan, Schlumberger dzlm yanal özdrenç düzenszlklerne karşı daha az duyarlıdır. Bu özellk açısından en üstün açılım türüdür. Bu üstünlük, br ser ölçüm sırasında potansyel elektrotlarının yer değştrmemesnden kaynaklanır. Dpol açılımında, akım gerlm elektrotları brer çft oluşturduklarından yalnız dpol boyları kadar kablo gerekr. Dğer açılımlarda, kabloları büyük uzaklıklar çekmekten dolayı yüksek gerlmden doğan akım sızıntısı artablr. Ancak, nokta akım kaynağının alanı, uzaklığın kares le ters orantılı olarak azaldığı halde, dpol alanı uzaklığın küpüyle ters orantılı olarak azalır. Bu se, dpol açılımının kullanılması durumunda çok duyarlı gerlm ölçümünü gerektrr ve ölçü düzeneğnn bedel artar. Dpol açılımının en büyük üstünlüğü se, dğer açılımlarda elektrotların br doğru boyunca dzlmeler gerektğ halde, ormanlık ve sarp arazlerde dpol sondaın büklümlü çzgler boyunca yürütüleblmesdr. En zayıf yanı se, yanal özdrenç değşmlerne ve eğml katmanlara karşı çok duyarlı olmasıdır. Bu son özellk, düşey elektrk sondaı dışındak doğru akım yöntemlern kullanılması durumunda se dpol açılımının br üstünlüğünü oluşturur. Bu karşılaştırmalar ışığında, genel olarak sığ araştırmalar çn k nokta elektrot ve Wenner, dern araştırmalar çn dpol açılımının kullanılableceğ söyleneblr. Schlumberger hem sığ, hem de dern araştırmalarda kullanılablr. 59

71 6 Bölüm 4 DOĞRUSAL SÜZGEÇ KURAMI 4.. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ Fourer dönüşümü doğrusal süzgeçlern kuramsal olarak tasarlanmasında en öneml araçtır. Br süzgecn sayısal olarak elde edlmesnde çeştl hesaplama teknkler kullanılsa da, tasarım lkelernn çıkarımı Fourer dönüşümü le gerçekleştrlr. g(x, x değşkenne bağlı br fonksyon se, onun Fourer dönüşümü G(f aşağıdak ntegral le verlr: G( f πfx = g( x e dx. (4.. Burada = dr. G(f genellkle karmaşık (complex br fonksyon olup, gerçel ve sanal kısımlarına ayrılablr: G(f = R(f + I(f. R(f gerçel, I(f sanal kısımları göstermektedr. G(f zleyen şeklde de yazılablr: G( f φ ( f = A( f e. A(f gerçel ve sanal kısımların karelernn toplamının karekökü olarak tanımlanır ve genlk zges (spektrumu olarak adlandırılır: A ( f + = R( f I( f. (4.. φ(f sanal bleşenn gerçek bleşene oranının arktanantı olarak tanımlanır ve faz zges olarak adlandırılır: I( f φ ( f = arctan. (4..3 R( f Fourer dönüşümünün varlığı çn k koşulun sağlanması gerekr. g(x fonksyonunun, sonlu sayıda sürekszlğ olmalı ve ntegral alınablmeldr. Đknc koşut yeterl ancak gerekl değldr. Ters Fourer dönüşümü fonksyonu frekans göstermnden kend bölgesne dönüştürür ve zleyen bçmde tanımlanır: g( x πfx = G( f e dx. (4..4 (4.. ve (4..4 denklemler aynı ncelğn uzaklık ve frekans bölgesnde göstermlerdr. g(x ve G(f Fourer dönüşüm çft olarak adlandırılırlar ve bu çft smges le gösterlr: g(x G(f. (4..5

72 6 Fourer dönüşümünün bazı özellkler aşağıda verlmştr.. Toplama özellğ: f(x ve g(x gb k fonksyonun Fourer dönüşümler F(f ve G(f se; toplamlarının Fourer dönüşümü f(x + g(x F(f +G(f (4..6 le verlr.. Smetr özellğ: f(x F(-f se F(x f(-f ( Ölçekleme özellğ: f(x fonksyonunun Fourer dönüşümü F(f se, k br sabt olmak üzere f(kx /k F(f/k (4..8 ve /k f(x/k F(kf (4..9 dönüşüm çftler yazılablr. Bu bağıntılardan, br bölgede fonksyonun genşlemesnn dğer bölgede dönüşümünün darlaşmasına neden olacağı görüleblr. 4. Uzaklık ve frekans ötelemes: Br bölgede kayma, dğer bölgede üstel termle çarpmaya yol açar: f ( x veya a exp( πaf F( f (4.. exp( πax f ( x F( f a. ( Türev özellğ zleyen bağıntılar le verlr: n f ( x n ( π f F( f, (4.. n x ( F( f f n n π x f ( x n. ( Evrşm (convoluton özellğ: Br bölgede evrşm, dğer bölgede çarpma şlemne dönüşür: f(x g(x F(f G(f (4..3 f(x g(x F(f G(f. (4..4 Bu özellklern kanıtlanması Fourer dönüşümü le lgl herhang br yayında bulunablr. Örneğn Bracewell (965 ve Brgham (974.

73 6 4.. DOĞRUSAL SÜZGECĐN ÖZELLĐKLERĐ Süzgeçler matematk anlamda br grş versn stenen çıkış versne dönüştüren sstemlerdr. Doğrusal süzgecn davranışı evrşm ntegral le gösterlr: f ( x = g( u h( x u du. (4.. veya smgesel olarak, f(x=g(x h(x yazılablr. Burada * smges evrşm şlemn belrtr. Süzgeç olarak evrşm şlem, br g(x grşne, f(x çıkışını veren br doğrusal sstem olarak düşünüleblr. Br sstemn doğrusal olduğunu söyleyeblmek çn zleyen özellklern yerne getrlmes gerekr.. g (x, g (x, g 3 (x ayrı ayrı ssteme grş olarak uygulanırsa, sırasıyla f (x, f (x, f 3 (x çıkışları elde edlr. Eğer g (x + g (x + g 3 (x süzgece grş olarak uygulanırsa, süzgecn çıkışında da f (x + f (x + f 3 (x elde edlmeldr.. Süzgece g(x fonksyonunun br gerçel katsayı le çarpımı grş olarak uygulanmışsa, çıkış da aynı katsayıyla çarpılmış olarak elde edlr. Bu özellk katsayının bütün değerler çn geçerldr. 3. Eğer grş gerçel br katsayı kadar kaymış se çıkış da aynı katsayı kadar kayar. Yan, g(x-a grşne f(x-a yanıtı verlr. Süzgeç yapımında ana sorun, g(x grşne stenen f(x çıkışını veren ve süzgeç fonksyonu olarak adlandırılan h(x fonksyonunu saptamaktır. Jeofzkte ölçümler belrl aralıklarda örneklenmş sayısal verler olduğundan, g(x sayısal grşne f(x sayısal çıkışını veren h(x fonksyonu da sayısal olarak saptanmalıdır. Bu durumda k temel sorun le karşılaşılır. Brncs örnekleme aralığının, kncs süzgeç katsayılarının saptanmasıdır ÖRNEKLEME KURAMI VE ÖRNEKLEME ARALIĞININ SEÇĐMĐ Sayısallaştırma Evrşm ve lşk ntegraller sürekl fonksyonlar çn geçerldr. Sayısal analz uygulamaları se sayısal ver üzernde gerçekleştrlr. Sayısal ver se sürekl br değşmn eşt aralıklı noktalarda ölçülmes veya daha sonra sayısallaştırılması le elde edlr. Belrl aralıklar le sürekl br fonksyondan, sayısal ver oluşturulma şlem örnekleme (samplng olarak adlandırılır. g(x, x değşkennn her değer çn sürekl olan br fonksyon se, bu fonksyonun brm mpuls fonksyonu le ntegral, δ ( x g( x dx = g( (4.3. sürekl fonksyonun x= noktasındak değern verecektr. g(x sürekl fonksyonunun, k br tamsayı olmak üzere k x yatay eksen değer çn sayısal değer elde edlmek stenr se

74 63 δ ( x k x g( x dx = g( k x yazılablr. g(x sürekl fonksyonunu, x aralıklı noktalarda örneklemek çn tarak fonksyonundan yararlanılablr. Tarak fonksyonu tar( k k= x = δ ( x k x (4.3. olarak tanımlanır. Sayısal ver, g( k k= x = g( x tar( k x = g( x δ ( t k x (4.3.3 şlem le sürekl br fonksyondan elde edleblr. Sayısal ver g(k. x, sürekl fonksyonun k. x noktalarındak değerlerdr. Şekl 4. de, sayılaştırma çn br örnek verlmştr. Sürekl ver olarak, g( x = exp( α. x cos( π fx (4.3.4 bağıntısı le verlen br fonksyon ele alınmıştır. Şekl 4.a, α =. 5 ve f = Hz değerler çn bu fonksyonu göstermektedr. Şekl 4.b de se x =. sanye örnekleme aralıklı, tarak fonksyonu görülmektedr. Sürekl ver le tarak fonksyonunun çarpımı le sayısal vernn elde edlmes se Şekl 4.c de gösterlmştr. Mutlak değer kapsayan üstel fonksyon, brm basamak fonksyonunun kullanımı le exp( α. x = U(-x exp( αx + U(x exp(-αx (4.3.5 şeklnde yazılablr. Bu fonksyonların ayrı ayrı Fourer dönüşümler yazılır, β U( x.exp( ax = α + π f U( x.exp(αx α πf ve bunların taraf tarafa toplanması le exp( α x α + πf + α πf = α α + 4π f elde edlr. Kosnüs fonksyonunun Fourer dönüşümü, cos(π f x δ( f + f + δ( f f

75 Genlk Genlk (a (f G(f (b tar(k. x; x=. sn 6 (g tar(k/ x/ x (c g(k. x=g(x.tar(k. x (h G(f * tar(k/ x/ x (d snc.5 ( x rect(/ x (e g(k. x*snc Uzaklık (m ( G*(f Frekans (Hz Şekl 4.. Örnekleme ve yenden kurma.

76 olduğundan, (4.3.4 bağıntısı le verlen sürekl vernn Fourer dönüşümü, çarpmanın frekans bölgesnde evrşme karşılık gelmesnden α exp( α. x cos( π f x * δ( f + f + δ( f f α + 4π f ve kaymış brm mpuls le evrşm şlem sonucundan, α α g( t = exp( α. x cos( π f x G( f = + (4.3.6 α + 4π ( f + f α + 4π ( f f 65 olarak bulunur. Sürekl vernn frekans bölgesndek görünümü Şekl 4.3..f de verlmştr. Zaman bölgesnde tarak fonksyonu le çarpım, frekans bölgesnde f.tar( k. f le verlen tarak fonksyonu le evrşme karşılık gelmektedr. Şekl 4.3.g de frekans bölgesndek tarak fonksyonu görüntülenmştr. Evrşm sonucunda, Şekl 4.h de verlen sayısal vernn Fourer dönüşümü G S ( f = G( f * f.tar( k. f f = / x (4.3.7 olarak elde edlr. Tarak fonksyonu le evrşm, o fonksyonun / x aralıkları le ynelenmesne neden olacaktır: G S ( f = G( f * tar k = x x x k = G( f k. (4.3.8 x Örneklemenn doğru olarak gerçekleştrldğn söyleyeblmek çn zaman bölgesnde sayısal verden sürekl vernn, frekans bölgesnde se sayısal vernn Fourer dönüşümünden, sürekl vernn Fourer dönüşümünün elde edleblmes gerekr. (4.3.8 bağıntısı le verlen sayısal vernn Fourer dönüşümü, Şekl 4. de gösterlen x yükseklğnde ve / x genşlğnde br dkdörtgen fonksyon le çarpılır ve çarpım sonucu G * ( f le gösterlr ve G S ( f yerne yazıldığında, G * ( f = G S ( f t rect G( f * tar k x rect G( f x = x x. x (4.3.9 elde edlr. Burada, Şekl 4. de gösterlen G * ( f fonksyonunun, Şekl 4.f verlen G ( f fonksyonu le aynı olmadığı, ona br yaklaşımı fade ettğ görülmektedr. G * ( f fonksyonu, frekans / x değernden büyük olduğunda sıfıra eşt olmakta, yan spektrum bu noktada keslmektedr. Bu frekans, Nyqust frekansı olarak adlandırılır ve f N = / x (4.3. bağıntısı le verlr. Burada verlen örnek çn Nyqust frekansı.5 Hz olarak hesaplanablr ve (4.3.4 bağıntısındak kosnüs fonksyonunun Hz olan frekansından daha büyüktür. G * ( f fonksyonu, G ( f fonksyonunun çersnde Nyqust frekansından daha büyük frekanslı olayları kapsamayan br göstermdr. Frekansı, Nyqust frekansının ötesnde olan olaylar örneklenmş

77 66 verde doğru olarak temsl edlemezler. Sayısal verden, sürekl verye ger dönüldüğünde bu olaylar yenden elde edlemeyeceklerdr. Zaman bölgesnde sürekl verye ger döneblmek çn (4.3.9 denklem zaman bölgesnde yazılır se g * ( x = sn( πt / x sn( πt / x (4.3. πt / x πt / x [ g( x.tar( k. x ]* = g( k. x * g( x elde edlr. Örnekleme aralığı yerne, Nyqust frekansı yazılır se * sn( πf N x g ( x = g( k. x * g( x (4.3. πf x bulunur. Burada, snc N sn( πf N x = x rect( f N (4.3.3 πf x N dönüşüm çft le verlr. (4.3. bağıntısı, Shanon teorem olarak adlandırılır (Shanon 948. Shanon kuramının uygulanışı Şekl 4.5 örnek verlerek daha sonra açıklanacaktır. Şekl 4.d de snc fonksyonu ve Şekl 4.f de sayısal ver le snc fonksyonunun evrşm görülmektedr. Evrşm sonucunda yenden kurulan g * ( x fonksyonu le sürekl fonksyon brbrler le hemen hemen aynıdır. Bu durumda, örneklemenn doğru yapıldığı söyleneblr. Belrl frekanslardak olayların doğru temsl edleblmeler çn örnekleme aralığının uygun saptanması gerekmektedr. Aynı sürekl ver, Şekl 4.b de verlen x =. 6 sanye örnekleme aralıklı tarak fonksyonu le çarpılarak, Şekl 4.c de verlen sayısal ver elde edlmştr. Şekl 6.g, tarak fonksyonunun Fourer dönüşümünü ve Şekl 4.h se sürekl fonksyonun ve tarak fonksyonunun Fourer dönüşümlernn evrşmn göstermektedr. Zaman bölgesnde örnekleme aralığının büyümes, frekans bölgesndek tarak fonksyonunun örnekleme noktalarının brbrne yakınlaşmasına ve dolayısı le evrşm sonucunda G(f fonksyonlarının brbr üzerne katlanmasına yol açmaktadır. Bu olaya "alasng" adı verlmektedr. Şekl 4. de verlen dkdörtgen fonksyon le çarpma şlem yapıldığında G * ( f = G S ( f t rect G( f t (4.3.4 sonucu le karşılaşılır. Zaman bölgesnde se g * ( sn( πt / x x = g( k. x * g( x (4.3.5 πt / x şlem le sayısal verden, sürekl ver elde edlemez. Şekl 4.c görülen sayısal ver le Şekl 4.d verlen snc fonksyonu evrştrlr se Şekl 4.e dek sürekl ver elde edlr. Bu ver le Şekl 4.a da verlen sürekl ver farklıdır. Farklı örnekleme aralıklı sayısal verlerden yenden kurulan sürekl verler Şekl 4.3 de yenden çzlmştr. x =. aralığı le örneklenmş verden kurulan sürekl ver, lk kuramsal fonksyonu sağlar ken x =. 6 aralıklı sayısal verden kurulan sürekl ver kuramsal fonksyonu sağlamamaktadır. Bunun neden, x =. örnekleme aralığı çn hesaplanan Nyqust frekansının.5 Hz değernn kuramsal fonksyonun çerdğ kosnüsün frekansı olan Hz den büyük ken x =. 6 örnekleme aralığı çn hesaplanan Nyqust frekansının.833 Hz değernn Hz den küçük olmasıdır.

78 Genlk Genlk 67.5 (a 6 (f G(f (b tar(k. x; x=.6 sn 6 (g tar(k/ x/ x (c g(k. x=g(x.tar(k. x (h G(f * tar(k/ x/ x (d snc ( x rect(/ x (e g(k. x*snc Uzaklık (m ( G*(f Frekans (Hz Şekl 4.. Büyük örnekleme aralığı le sayısallaştırma.

79 Genlk Genlk A B Uzaklık Şekl 4.3. Örnekleme aralığının x =. olduğu sayısal verden yenden kurulan sürekl ver (A ve x =. 6 aralığı le örneklenmş sayısal verden yenden kurulan sürekl ver (B. Yukarıdak blgler ışında, x yükseklğnde ve / x genşlğnde dkdörtgen fonksyon le çarpmak suretyle G(f fonksyonunun yenden elde edlmesnn, ynelenen G(f fonksyonlarının brbrnden ayrılmasını sağlayan f N frekansında, G(f fonksyonunun değernn sıfır veya sıfıra yakın olması le olanaklı olduğu görülmektedr. Şekl 4. le verlen yanlış örneklemede, Nyqust frekansının genlk zgesnn sıfıra yaklaştığı bölgeden seçlmedğ görülmektedr. Doğru örnekleme çn Nyqust frekansı, örneklenecek vernn genlk spektrumunun sıfıra yaklaştığı bölgeden seçlmeldr. Bu nedenle zleyen g(x G(f se G(f f f N (4.3.6 koşulu sağlanmalıdır. (4.3.6 koşulunun sağlanablmes çn br vernn genlk zges, frekansın büyümes le sıfıra yaklaşmalıdır. Bu tür verler, band sınırlı olarak adlandırılır. Bu sonuç, ancak band-sınırlı verlern doğru örneklenebleceğn göstermektedr..5.5 A -.5 B Uzaklık Şekl 4.4. Örnekleme aralığının büyük seçlmes le farklı br snüzodaln sayısallaştırılması. Syah dareler, örnekleme noktalarını göstermektedr. Snüzodallern frekansları (A ve 4 Hz (B, örnekleme aralığı. sanyedr (Buttkus,.

80 Alasng olayının uzaklık bölgesnde açıklanması çn en çok kullanılan örnek br snüs dalgasının örneklenmesdr. Büyük aralıklarla örneklenmş br snüs dalgasından, farklı frekanslı başka br snüs dalgası geçrleblr (Şekl 4.4. Bu durumda, örneklenmş değerlern bu dalgayı temsl ettkler söylenemez. Örnekleme aralığının çok küçük seçlmes le sürekl fonksyona at br blg kaybı oluşmaz. Ancak, bu örneklenmş değerlern herhang br amaç çn kullanılması durumunda artmetk şlem sayısı son derece artar. Alasng olayına yol açmayan en uygun örnekleme aralığını kullanmak tutarlı br yol olur Sürekl vernn yenden kurulması (4.3. evrşm bağıntısı açık bçm le yenden yazılır se sayısal ver çn ntegral br toplama dönüşeceğnden, g( k x k= [ π( x k x / x] [ π( x k x / x] * sn g ( x = ( elde edlr. Burada, g * ( x ; x yatay eksen değernde yenden hesaplanan sürekl fonksyondur. Sayısal ver, x aralıkları le yerleşmş farklı yükseklk ve farklı şaretl mpulslardan oluşmaktadır. Bu evrşm şlem Şekl 4.5 de gösterlmştr. Impuls le evrşm br fonksyonun kend değern verdğnden, evrşm sonucunda, snc fonksyonları örnekleme noktalarına yerleşrler ve bulundukları noktadak değerler sayısal vernn değerne eşt, dğer örnekleme noktalarında se sıfır değerndedrler. Herhang br x değşken çn snc fonksyonlarının belrl br değer vardır ve sürekl ver bu değerlern toplamı le oluşturulur. Toplamın sınırları +, - olarak gösterlmekle brlkte uygulamada sınırlı sayıda g( k. x değerlern kullanmak zorunludur. Bu nedenle, o noktadak gerçek g(x değer hç br zaman elde edlemez, ancak belrl br yanılgı oranı çersnde br yaklaşımda bulunulablr. g ( x - g * ( x farkının hç br zaman sıfır olmamasının dğer br neden de brçok fonksyonun gerçekte bant sınırlı olmamasıdır snc yanıt (4.. bağıntısı le evrşm ntegraln tanımlanmıştı: f(x = h(x g(x. (4.. Burada, g(x grş, f(x çıkış ve h(x süzgeç fonksyonudur. Evrşm şlemn sayısal değerler le yürütmek zorunda olduğumuzdan, g(x grş fonksyonu yerne (4.3.9 bağıntısı konularak f(x = [g(m x snc ] h(x (4.4. veya f(x = g(m x [snc h(x] (4.4. yazılablr. Süzgeç fonksyonu le snc fonksyonunun evrşm snc yanıt olarak adlandırılır. Yan snc yanıt, süzgeç fonksyonunun m x noktalarında yenden kurulması le elde edleblr: b(m x = h(x snc. (4.4.3

81 Genlk 7.5 (a g(k. x=g(x.tar(k. x (b snc (c (d g(k. x*snc Uzaklık Şekl 4.5. Sayısal ver le snc fonksyonunun evrşm le sürekl vernn yenden kurulması.

82 7 Bu durumda, çıkış f(x = g(m x b(m x (4.4.4 olarak verleblr. Bu bağıntı sayısal evrşm şlemn gösterr. b(m x, snc yanıt ve onun toplamları bre eştlenmş sayısal değerler kümes süzgeç katsayıları olarak adlandırılır. Eğer, h(x süzgeç fonksyonu analtk olarak blnyorsa, (4.4.3 bağıntısı le snc yanıt ve dolayısıyla süzgeç katsayıları bulunablr. (4.4.3 bağıntısının açık bçmyle yazılması durumunda [ πf ( x u ] sn N b( x = h( u du (4.4.5 πf ( x u N elde edlr. Bu ntegraln analtk çözümü aranır, yoksa sayısal ntegrasyon le süzgeç katsayıları bulunablr. Bu yönteme "doğrudan ntegrasyon" denmektedr. Eğer, süzgeç fonksyonu çok salınımlı se (4.4.5 denklemnn sayısal ntegrasyonu yeterl doğrulukla hesaplanamaz. Bu durumda Fourer dönüşüm yöntem kullanılablr. Fourer dönüşüm yöntem, doğrudan ntegrasyon yöntem le kuramsal açıdan aynıdır. Süzgeç fonksyonunun analtk olarak blnmemes veya salınımlı br fonksyon olması durumunda aynı şlemlern frekans bölgesnde yapılması ve ters Fourer dönüşümü le uzaklık bölgesne dönülmesdr. H(f, süzgeç fonksyonunun ve retc(f, snc fonksyonunun Fourer dönüşümler se, (4.4.3 denklem frekans bölgesnde B(f = H(f x. retc( f (4.4.6 N olarak yazılablr. snc yanıtın Fourer dönüşümünü veren B(f süzgeç zges (flter spectrum ve H(f süzgeç belrtken (flter characterstc olarak adlandırılırlar. Süzgeç belrtken, x yükseklğnde ve f N genşlğndek br dkdörtgen fonksyonu le çarpılarak, süzgeç zges elde edlr. Nyqust frekansından büyük frekanslar çn süzgeç zgesnn değerler sıfırdır ve band sınırlı br fonksyonun Fourer dönüşümü olarak düşünüleblr. Eğer h(x analtk olarak blnmyorsa, H(f 'n saptanması çn (4.. denklem frekans bölgesnde yazılır. F(f çıkış fonksyonunun, G(f grş fonksyonunun Fourer dönüşümü se, F(f = H(f G(f (4.4.7 veya H(f = F(f/G(f (4.4.8 yazılablr. Bu durumda Snc yanıtın saptanması aşağıdak yolu zler (Ghosh 97, Anderson Kuramsal grş ve çıkış fonksyonları x aralıkları le örneklenr (Örneğn Bölüm.4 'de verlen fonksyonlar.. Grş ve çıkış fonksyonlarının sayısal Fourer dönüşümü alınır ve (4.4.6 bağıntısından süzgeç belrtken bulunur.

83 7 3. Süzgeç belrtken le dkdörtgen fonksyon çarpılır ve süzgeç zges bulunur. 4. Süzgeç zgesnn ters Fourer dönüşümü le Snc yanıt yan süzgeç katsayıları saptanır. Eğer, süzgeç belrtken H(f analtk olarak blnyor se üçüncü adımdan şleme başlanılır. Yerelektrk yöntemlerde kullanılan süzgeçlern hepsnn süzgeç belrtken analtk olarak elde edlmştr (Başokur 983. Bu durumda, dördüncü adımda snc yanıt da analtk olarak bulunmaya çalışılır. Olanaklı değlse süzgeç zgesnn sayısal ters Fourer dönüşümü alınır. Bu denklem aşağıda verlmştr. [ H( f rect( f ] b ( x = exp( πfx df (4.4.9 Bu ntegraln dkdörtgen fonksyon le çarpımı, ntegral sınırlarını ( f, + f aralığına ndrger ve ntegral x le çarpar. N N fn b( x = x H( f exp( π fx df (4.4. f N süzgeç belrtkennn genlğ A(f ve fazı φ(f se, snc yanıt gerçel br fonksyon olduğundan f N b ( x = x A( f cos( πxf + φ( f df (4.4. bağıntısı da kullanılablr. Genlk ve faz cnsnden yazılmış k karmaşık fonksyonun çarpımında, çarpım sonucu elde edlen genlk genlklern çarpımına, faz se fazların toplamına eşttr: F φ ( f = A ( f exp( ( f, F ( f = A ( f exp( ( φ f se F (f ve F (f nn çarpımları F( f = F ( f F ( f = A( f A ( f exp( ( φ ( f + φ( olduğundan F(f nn genlğ A(f=A (f A (f ve fazı φ(f=φ (f+φ (f f le verlr. O halde, süzgeç zgesnn genlğ, süzgeç belrtkennn genlğ le dkdörtgen fonksyonun genlğnn çarpımına eşttr. A(f süzgeç karakterstğnn genlğ se, dkdörtgen fonksyonun genlğ (- f, N f N aralığında x ve bu aralık dışında sıfır olduğundan, süzgeç zgesnn genlğ de aşağıdak bağıntılar le verleblr.

84 genlk 73 A b (f = A(f x f f N çn A b (f = f > f N çn Süzgeç zgesnn fazı se dkdörtgen fonksyonu fazsız olduğundan süzgeç belrtkennn fazına eşttr, ancak bu faz Nyqust frekansından büyük frekanslar çn sıfırdır snsh yanıt Uzaklık veya frekans bölgesnde br fonksyonun keslmes dğer bölgede salınımlara yol açar ve bu "Gbbs" olayı olarak blnr. Kesme şlem dkdörtgen fonksyon le yapıldığında, dğer bölgede dkdörtgen fonksyonun dönüşümü olan snc le evrştrlmes gerekr. Đşte bu evrşm şlem salınımların nedendr. Süzgeç belrtken de Nyqust frekansında kesldğnden, Snc yanıtın salınımlı br fonksyon olması kaçınılmazdır. Bu salınımları en aza ndrgemek çn Nyqust frekansında keskn br sürekszlk yaratan dkdörtgen fonksyon yerne, Nyqust frekansı cvarında x yükseklğnden yumuşak br nşle sıfıra yaklaşan br başka fonksyon kullanılablr.bu tür fonksyon Johansen ve Sorensen (979 tarafından önerlmştr ve "tanant hperbolk penceres" olarak adlandırılacaktır (Şekl 4.6: x π x π x tanh( f = tanh ( f N + f + tanh ( f N f. (4.4. a a Burada a küçük br sabt olup, sıfır olduğunda tanh( = ve tanh penceres dkdörtgen fonksyona eşt olur. Böylece, dkdörtgen fonksyonun tanh penceresnn özel br hal olduğu görülür a4 a3 a a frekans (hertz Şekl 4.6. Frekans bölgesnde çeştl a katsayıları çn tanant hperbolk penceresnn eğmnn değşm. a=., a=.5, a3=.3 ve a4=.5. Nyqust frekansı 5 hertz ve x= dr.

85 74 Bu k fonksyonla kesme arasındak farkı göstermek çn süzgeç belrtkennn H( f = πf olduğunu varsayalım. Bu durumda genlk A( f = + 4π f le verleblr ve Şekl 4.7'nn en üst kısmında gösterlmştr. Faz se, φ( f = arctan( πf olacaktır. Hem dkdörtgen, hem de tanh penceresnn fazları sıfır olduğundan her ks de fazı Nyqust frekansında keser ve kesm şlem arasında fark yoktur. Bu yüzden fazlar Şekl 4.7 'de gösterlmemştr. Şekl 4.7b de sol yanda dkdörtgen ve sağ yanda tanh penceres gösterlmştr. x =, f N =.5 ve a =.5 seçlmştr. Şekl 4.7c de se, sol yanda genlk belrtkennn dkdörtgen fonksyonu le çarpımı çzlmştr. Dkdörtgen fonksyon le elde edlen süzgeç zges, A ( r f 4π f = + f N f çn (4.4.3 ve tanh penceres le elde edlen süzgeç zges, A ( t f = π x π x + 4π f x tanh ( f N + f + tanh ( f N f / a a (4.4.4 olarak verleblr. Böylece süzgeç zges (4.4.3 bağıntısında sadece (- f, f aralığında N N analtk ken, (4.4.4 bağıntısı frekansın her değer çn analtktr. Frekans bölgesnde çarpım şlem uzaklık bölgesnde evrşme özdeş olduğundan, frekans bölgesnde tanh penceres le çarpımda, uzaklık bölgesnde onun ters Fourer dönüşümü olan ve "snsh fonksyonu" olarak adlandırılan sn( πxf N sn sh = a (4.4.5 snh( πf ax N fonksyonu le süzgeç fonksyonunun evrşmne eşttr. snsh ve süzgeç fonksyonunun evrşmlernden saptanan süzgeç katsayıları da "snsh yanıt" olarak adlandırılır. (4.4.3 le verlen snc yanıt bağıntısına benzer olarak, snsh yanıt b(m x = h(x snsh (4.4.6 olarak verleblr. Eğer a katsayısı çok küçük seçlr se, sn sh( πf ax πf N N ax

86 Genlk Genlk Genlk Genlk olacağından, snsh ve snc fonksyonları brbrne eşt olur ve snc fonksyonu snsh fonksyonunun özel br hal olarak düşünüleblr. Bu k fonksyon arasında en öneml fark snsh fonksyonunun değşkenn ( x büyük mutlak değerler çn daha çabuk sönmesdr. tanh penceres le elde edlen süzgeç zges daha genş olduğundan, br bölgedek genşleme dğer bölgede daralmaya yol açar ve snsh fonksyonunun daha çabuk sönmes doğaldır. Böylece, snsh le daha kısa süzgeçler elde edleblr. Buradan sonra, snc veya snsh yanıt çn özel herhang br ayırım söz konusu değlse her ksn de kapsamak üzere "P-yanıt" term kullanılacaktır. 75 (a H(f (e H(f (b x rect(fn. (f x tanhs; a= (c H(f. x rect(fn 3 (g H(f. x tanhs Frekans (Hz (d Uzaklık Frekans (Hz (h Uzaklık Şekl 4.7. Dkdörtgen (sol panel ve tanant hperbolk (sağ panel pencereler le süzgeç belrtkennn Nyqust frekansı cvarında keslmes.

87 SÜZGEÇLERĐN YATAY KAYMASININ SAPTANMASI Brçok süzgecn snc yanıtı genellkle br düzgünleyc, dğer salınımlı olmak üzere k fonksyonun toplamları şeklndedr. Salınımlı fonksyonun örnekleme aralığının k katına eşt br peryodunun olduğu gözlenmştr. Hem düzgünleyc hem de salınımlı fonksyonun büyüklükler her k yatay eksen yönünde sıfıra yaklaşırlar. Örnekleme noktaları, snc yanıtın salınımlı parçasının sıfıra yaklaştığı noktalarla uyum sağlayacak şeklde seçlrse süzgeçlern boyu kısaltılablr. Bu amaç çn grş ve çıkış fonksyonlarının örnekleme değerler arasında yatay eksen boyunca br kayma uygulanır. Bu yöntemn türetm Koefoed(97 tarafından yapılmış ve snc yanıtın salınımlı bleşennn, faz zgesnn Nyqust frekansında keslmes nedenyle oluştuğu yargısına varılmıştır. (4.4. denklemnde kısalık çn, g = πfx + φ(f yazılarak, kısm ntegrasyon uygulanır se f N A( b( x = x ( g f d(sn g f veya ( g / f dφ( f = π x + df olduğundan b ( f N f A( f sn g = N A( f / df x t ( g / f g / f A( f g / f ( g / f sn g df elde edlr. Đlk termde ntegral lmtlernn yerne konulması le f A( f + N N sn( πf N x φ( f N A( f b ( x = sn( πf N x + φ( f df (4.5. ' πf N x + f N φ( f N πf N x + f N φ ( f N yazılablr. Sağ yanda brnc term salınımlı fonksyonu, knc term se düzgünleyc fonksyonu tanımlar. Salınımlı fonksyonun sıfır değerler sn(π f N x + φ ( f N = term tarafından denetlenr. Burada, φ ( f N Nyqust frekansındak faz zgesnn değerdr. Bu termn sıfır olması çn, π f N x + φ ( f N = n π değerlern alması gerekr. Burada n tamsayıdır. Bu denklemden x çeklrse, x = (nπ -φ( f N / π f N (4.5. '

88 bağıntısı le salınımlı termn sıfır olduğu yatay eksen değerler bulunablr. Süzgeç merkezne en yakın yatay eksen değer (4.5. bağıntısında n= yazılarak bulunablr: x = - φ ( f N / π f N. (4.5.3 Bu değer, yatay kayma olarak adlandırılır ve hesaplanablmes çn Nyqust frekansındak faz zgesnn değern blmek yeterldr. Br örnek vermek amacı le süzgeç belrtkennn H(f = πf (4.5.4 olduğunu varsayalım. Bu durumda genlk ve faz, A(f = πf φ(f = arctan (πf/ = arctan ( = π/ f > φ(f = -π/ f < olacaktır. (4.5.3 bağıntısında bu değer yerne yazılır se yatay kayma mktarı x = - (π/ / π f = - x/ N olarak bulunablr ve x = x ± k x yatay eksen değerler çn snc yanıtın salınımlı parçası sıfır olduğundan, snc yanıt sadece düzgünleyc fonksyonunun değerlernden türetlecektr. (7.5. denklemnden salınımlı ve düzgünleyc fonksyonlar ayrı ayrı saptanmaya çalışılır se salınımlı fonksyon 77 s( x = πf sn( πf N x + π πf x N = N cos( πf olarak bulunablr. Bu fonksyon Şekl 4.8a görüntülenmştr. Gerçekte, x=- x/+n x x N x değerler çn kosnüs fonksyonu sıfır değerlernden geçer. Düzgünleyc fonksyon se, (4.5. bağıntısından, f N π sn( π f x d( x = x sn( π f x + π / df = π x f x N N π N olarak bulunablr ve Şekl 4.8b de gösterlmştr. Bu k fonksyonun toplamından oluşan snc yanıt se düz çzg le çzlmştr. Şeklden de görüleceğ gb snc yanıtın örneklenmş değerler salınımlı fonksyonun sıfır olduğu yerlerden seçlrse daha kısa br süzgeç elde edlmes olanaklı olur.

89 78 Buradak gb snc yanıtın salınımlı ve düzgünleyc parçalarının bağıntılarla ayrıştırılması her zaman olanaklı değldr. Ancak, verlen br x örnekleme aralığı çn, (4.5.3 denklemnden yatay kaymanın mktarı hesaplanableceğnden, bu değer süzgecn salınımlı parçanın sıfır değern aldığı yatay eksen değerlernde hesaplanmasını sağlar. Dğer br yolda, örnekleme aralığını önceden saptayıp buna karşılık gelen yatay kayma değern hesaplamak yerne, yatay kaymayı sıfır yapan örnekleme aralığını kullanmaktır. (4.5.3 denklemnden de görüleceğ gb yatay kaymanın sıfır olması, faz belrtkennn sıfır olduğu değerlernden brnn Nyqust frekansı olarak seçlmes le olanaklıdır. Faz belrtkennn sıfır olduğu değerler se sanal bleşenn sıfır yan süzgeç belrtkennn tamamen gerçel olduğu frekans değerlerdr. Ancak, her süzgeç belrtkennn sanal bleşennn sıfır değerler olmayablr ve her süzgeç çn yatay kayma sıfır yapılamaz SÜZGEÇLERĐN KURULMASI VE DENENMESĐ Süzgeç katsayılarının yukarıda verlen yöntemlerden bryle saptanmasından sonra, sorun süzgeç katsayılarının seçmne ndrgenmş olur. Süzgeç katsayılarının hesaplanmasında hang yöntem kullanılırsa kullanılsın süzgeç katsayıları genş br aralıkta elde edlmek zorundadır. Daha sonra süzgeç katsayıları t = noktası cvarındak br aralıkta toplamları belrl br sayıya eşt olacak şeklde seçlr. Bu sayıyı saptamak çn süzgece br sabtn grş olarak uygulandığı düşünülür. Bu durumda çıkış hang sayıya eşt olması gerekmekte se katsayılar toplamı da o sayıya eştlenr. Katsayıları b -, b, b, b olan br süzgece sabt br sayı grş olarak uygulandığında, çıkış f = a.b + a.b + a.b + a.b = a.( b + b + b + b olacaktır. Buradan, katsayılar toplamının beklenlen çıkışa eşt olması gerektğ görülür. Örneğn, süzgeç türev almakta se br sabtn türev sıfır olmak zorunda olduğundan, katsayılar toplamı da sıfır olmalıdır. Brçok süzgeçte katsayılar toplamı bre eşt alınır. Çünkü, süzgeçleme sonucunda genlklern bozulması stenmez. Süzgecn şlevne bağımlı olarak, katsayılar toplamına eşt olması stenlen sayıya, kuramsal olarak sonsuz sayıda katsayı le erşlr. Uygulamada se bu sayıya çok yakın değerlere, çok sayıda katsayının toplamı le ulaşılır. Katsayı seçmnde k nokta göz önünde tutulmalıdır. Az sayıda katsayı kullanılması duyarlılığı bozar. Çok seçlmes se gereksz şlemlere neden olur. Bu yüzden süzgeçten stenen duyarlılık önceden saptanmalıdır. Çoğu durumda, stenlen duyarlılığı sağlayacağı düşünülen katsayı kümesnn lk ve son katsayılarının değerler değştrlerek, katsayılar toplamı sabtlenr. Bu yol le brkaç katsayı kümes belrlenr. Her küme kuramsal grş ve çıkış fonksyonları kullanılarak denenr. Deneme şlem çn önce süzgece kuramsal grş fonksyonu uygulanır ve (4.4.4 bağıntısı le çıkış elde edlr. f * ( x le gösterlen bu çıkışa, gerçekleşen çıkış adı verlr. Gerçekleşen çıkış, stenen çıkış olarak adlandırılan kuramsal çıkış le yatay eksenn her değer çn karşılaştırılır. Bu karşılaştırma sonucunda bulunan farklar, % yanılgı olarak fade edlr: % yanılgı =. f ( x f * f * ( x ( x (4.6. Burada f ( x kuramsal çıkışın sayısal değerlerdr. Seçlen katsayı kümeler arasından, kullanım amacı açısından öneml olmayan mertebede yanılgı üreten süzgecn katsayılarının seçlmes le süzgeç kurma şlem sona ermş olur.

90 Genlk (a x= (b (c Uzaklık Şekl 4.8. Genlk belrtken (4.5.4 bağıntısı le verlen süzgecn salınımlı (a, düzgünleyc (b bölümler ve süzgeç katsayıları (c.

91 SÜZGEÇLERĐN KULLANIMI Süzgeç fonksyonu, br süzgecn şlev le lgldr. Süzgeç katsayıları se snc le evrşmden elde edlrler. snc fonksyonu örnekleme aralığına bağlı olduğundan, süzgeç katsayıları da örnekleme aralığına bağlıdır. Bu nedenle, grş vers le aynı örnekleme aralığında süzgeç katsayıları üretlmes br zorunluluktur. Dğer br seçenek se grş versnn, yayımlanmış süzgeç katsayıları le aynı aralıkta örneklenmesdr. Süzgeçleme şlemne br örnek vermek çn, g, g, g 3,..., g7 ayrık değerlernden oluşan grş vers le b -, b, b, b katsayı numaralı dört süzgeç katsayısının evrşm aşağıda gösterlecektr. Gerçek uygulamalarda dört katsayılı süzgeç düzenlemek yeterl sayısal doğruluğu sağlayamayablr. Burada, artı numaralı katsayılar, yatay eksen değer artı ve eks numaralı katsayılar se yatay eksen değer eks olan katsayıları göstermektedr. b, merkezdek veya süzgecn yatay kayması var se merkeze en yakın katsayıyı göstermektedr. Đk sayısal vernn evrşm çn bunlardan br merkez etrafında ters çevrlmeldr. Grş versnn boyu daha uzun olduğundan, en uygun yol süzgeç katsayılarını ters çevrmektr. Evrşm şlem süzgecn ters çevrlmesnden sonra her k fonksyonun lk değerlernn çarpılmasıyla başlar. Ancak süzgeçleme şlemnde her k ayrık değerler dzs tam anlamıyla alt alta gelmeden bulunan sayılar br anlam taşımaz. Aşağıda süzgecn lk çıkışını veren şlem gösterlmştr: g b g b b g 3 b g 4 g 5 g 6 g 7 Alt alta gelen sayılar brbrleryle çarpılır ve çarpım sonuçları toplanarak çıkış versne at br noktanın sayısal değer bulunur. Verlen örnek çn çıkış versnn lk sayısal değer f = g.b + g.b + g 3.b + g 4. b olarak bulunablr. Süzgeç katsayıları br örnekleme aralığı kadar kaydırılarak, g b g b g 3 b g 4 b g 5 g 6 g 7 knc çıkış değer f = g.b + g3.b + g 4.b + g5. b olarak bulunablr. Üçüncü çıkış değer g g b g 3 b g 4 b g 5 b g 6 g 7 f 3 = g3.b + g 4.b + g 5.b + g6. b ve dördüncü çıkış değer g g g 3 b g 4 b g 5 b g 6 b g 7

92 8 f 4 = g 4.b + g 5.b + g6.b + g7. b şlemler le hesaplanablr. Süzgeç katsayılarını br örnekleme aralığı kadar kaydırılır se b katsayısı le çarpılacak ver bulunmadığından süzgeçleme şlem sona erdrlr. Çıkış versnn sayısı, başlangıçta k (süzgecn artı numaralı katsayı aded örnekleme aralığı kadar kısalmıştır ve son bölümünde se br (eks numaralı katsayı aded örnekleme aralığı kadar daha kısalacaktır. Bu örnek, evrşm le süzgeçleme arasındak farkı göstermektedr. Süzgeçleme le elde edlen çıkış değerlernn sayısı, k = n-m+ bağıntısı le bulunablr. n; grş versnn ve m süzgeç katsayılarının sayısıdır. Süzgeçleme sırasında çıkış versnn boyunun kısalmasıyla blg kaybı oluşur. Bu örnekten yola çıkarak, n adet ver ve m adet süzgeç katsayısının evrşm le elde edlecek çıkış değerlern veren toplam denklem zleyen şeklde yazılablr: r f = b g =,,..,n-m+. (4.7. = p p- + Burada, p, süzgecn merkeznden eks ve r, artı eksen yönündek süzgeç katsayılarının sayısıdır. ; süzgeç katsayılarının sıra numaralarıdır. Bu bağıntı, uygulamalar çn uygun olmakla brlkte blgsayar programı aracılığı le yapılacak hesaplar çn kullanışlı değldr. Çünkü, programlama dllernn çoğunda eks numaralı dz elemanları tanımlamak olanaklı değldr. Eğer süzgeç katsayıları da, den m kadar numaralandırılır se, zleyen bağıntı çıkış değerlern verr: m f = b g =,,..,n-m+. (4.7. = - + m (4.7. ve (4.7. bağıntıları arasındak matematksel anlamda br fark bulunmamaktadır. Sadece, süzgeç katsayıları farklı numaralandırılmıştır. Herhang br sayısal çıkış değernn at olduğu yatay eksen değer, süzgeç merkezndek katsayının (b, grş versnde çarpılmış olduğu katsayının, yatay eksen değerne eşttr. Süzgeçte yatay kayma var se, çıkış versnn yatay eksen değer de, kayma mktarı kadar ötelenr. Đlk çıkışın yatay eksen değer, grşn lk sayısal değernn yatay eksen değernden x = x + r x + x (4.7.3 f g bağıntısı le hesaplanablr. Đlk sayısal çıkışın yatay eksen değernn blnmes le dğer yatay eksen değerler de, x f f = x + x =, 3,, n-m+ (4.7.4 bağıntısından hesaplanablr.

93 8 Bölüm 5 BĐR ELEKTROT AÇILIMINDA ELDE EDĐLEN GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ EĞRĐSĐNĐN DĐĞER AÇILIMLARDAKĐ GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERĐNE DÖNÜŞTÜRÜLMESĐ Araz uygulamalarında, belrl br elektrot açılımı le ölçülen görünür özdrenç değerlern, başka br elektrot açılımı le elde edlecek görünür özdrenç değerlerne dönüştürme sorunu le seyrek olarak karşılaşılır. Örneğn, belrl br açılım noktasından sonra başka br elektrot dzlm le ölçülere devam edldğnde veya arazde uygulanan elektrot açılımı le mevcut yorumlama yazılımının uyuşmadığı durumlarda açılımlar arasında dönüşümlere gerek duyulablr. Ancak, konunun kuramsal önem daha fazladır. Br elektrot açılımı çn elde edlen hesaplama yöntemnn dğerler çn de genelleştrlmesn sağlar. Yatay ve homoen katmanlardan oluşmuş yeryuvarı çn görünür özdrençler arasındak bağıntılar, Bölüm.3 de görüldüğü gb x değşken le yazıldıklarında doğrusallaştıklarından, doğrusal süzgeç kuramı yardımıyla görünür özdrenç değerlernn brbrlerne dönüştürülmeler olanaklıdır. Verlen br dönüştürüm problem çn snc veya snsh yanıtının elde edlmes, bu bölümde aktarılmaya çalışılmıştır. 5.. ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNĐ, WENNER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER Wenner ve k nokta elektrot G.Ö. ler arasındak lşk (.3. denklem le verlmştr: x = ( x - ( x c. (.3. aw ( al al + Bu bağıntıdan da görüleceğ gb, k yatay eksen değerndek k nokta elektrot GÖ değerler blnr se, Wenner GÖ değerler de bunlardan hesaplanablr. Ancak, uygulamada x+c yatay eksen değerne karşılık gelen k-nokta elektrot GÖ değer ölçülmemş olablr. Bu durumda, Wenner GÖ değerler doğrusal süzgeç uygulaması le elde edleblr. (.3. bağıntısının sağ yanına brm mpuls fonksyonu le evrşm uygulanır se [ ( x - ( x c ]* δ ( x aw ( x = al al +, x = ( x * δ ( x - ( x + c * δ ( x, aw ( al al x = ( x * δ ( x - ( x * δ ( x c, aw ( al al + [ δ ( x - ( x c ] aw ( x = al * δ + elde edlr. Buradan, süzgeç fonksyonu [ ( x - ( x c ] h LW ( x = δ δ + (5.. olarak belrlenr. Süzgeç katsayıları, süzgeç fonksyonu le snc fonksyonunun evrşmne eşt olduğundan

94 [ ( x ( x c ]* sn c b LW ( x = δ δ + (5.. yazılablr ve evrşmn dağılım özellğnden b LW ( x = δ ( x * snc δ ( x + c * snc, elde edlr. Brm mpuls le evrşmn özellklernden 83 b LW sn( π f N x sn( π f N ( x + c ( x = π f x π f ( x + c N N (5..3 bulunur. Süzgeç belrtken se (.3. veya (5.. bağıntısının Fourer dönüşümünden H LW ( f RaW ( f = = exp( π c f = ( - cos( π c f - sn(π c f (5..4 R ( f al bağıntısı le verlr. Genlk ve faz zgeler sırası le A ve LW ( f = 4 4 cos( πcf + cos( πcf + sn( πcf = 5 4 cos( πcf (5..5 ( sn( π cf φ LW f = arctan (5..6 cos( π cf şeklnde tanımlanablr. Şekl 5. de, genlk ve faz zgeler verlmştr. Genlk ve fazın dönemsel olduğu görülmektedr. Bu doğal br davranış olup, çıkış vers, grş vers le onun c kadar kaymışının toplamına eşttr. Yatay kaymanın mktarı, Nyqust frekansındak faz zgesnn değernden bulunablr: x = sn( π cf. N arctan / π f N cos( π cf N snsh yanıtı bulmak çn (5..6 bağıntısında snc yerne, snsh konulur ve şlemler yapılır se b LW sn( π f N x sn( π f N ( x + c ( x = a a snh( π af x snh( π a f ( x + c N N (5..7 elde edleblr. Süzgeç katsayıları (5..6 ve (5..7 bağıntılarından hesaplanablr.

95 Genlk 84 4 (a (b Faz (radyan Frekans Şekl 5.. Đk-nokta elektrot-wenner süzgec genlk (a ve faz (b belrtkenler. 5.. WENNER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNĐ, ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER Bu süzgeç, k-nokta elektrot-wenner süzgecnn grş ve çıkış versnn yer değştrmşne eşttr. Bu nedenle, süzgeç belrtken, genlk ve faz, Wenner ve k nokta elektrot (5..4, (5..5 ve (5..6 bağıntılarından sırası le H RaL( f ( f =, (5.. R ( f H ( f WL = aw LW ( H LW f = exp( π c f, (5.. A ve WL ( f = = (5..3 A ( f 5 4 cos( πcf LW ( sn( π cf φ WL f = φ LW ( f = arctan (5..4 cos( π cf olarak bulunablr. Şekl 5. de, genlk ve faz zgeler verlmştr. Genlk ve fazın dönemsel olduğu görülmektedr.

96 Genlk 85 (a (b Faz (radyan Frekans Şekl 5.. Wenner- k-nokta elektrot süzgec genlk (a ve faz (b belrtkenler. Süzgeç fonksyonunu ve süzgeç katsayılarını saptamak amacı le daha genel br durum ele alınablr. y(x ve v(x gb k fonksyon arasındak lşk a, b ve c gerçel sabtler olmak üzere v ( x = a y( x + b y( x + c (5..5 olarak verlsn. Grş ve çıkış vers g ( x = a y( x + b y( x + c (5..6 f ( x = y( x (5..7 şeklnde tanımlar se süzgeç zges H( f F( f = = (5..8 G( f a + bexp( π c f H( f F( f = = (5..9 G( f a + ( b / a exp( π c f olarak yazılablr. Abramowtz ve Stegun(964 tarafından verlen ser bağıntısının, karmaşık sayılar le yazılması le n n = + z n= ( z = z + z z + z z +... < z <. (5..

97 86 dzs elde edlr. Burada, z karmaşık br değşken olup, zleyen z = r exp( θ, (5.. z n n = r exp( nθ (5..3 özellklern gösterr. (5..9 bağıntısı le (5.. bağıntısının karşılaştırılması le r = b/a, θ = π cf yazılablr. (7..54 bağıntısı, z karmaşık sayısının genlğnn brden küçük olduğu durumlar çn geçerldr. r = b/a, brden küçük olur se (5..9 zleyen denklem sağlar: H( f n b n = (- ( exp( π n c f. (5..4 a a n= Süzgeç fonksyonu, süzgeç belrtkennn ters Fourer dönüşümü olduğundan, h( x = a + n= (- n ( b a n exp( π n c f exp( π f x df le verleblr. Đntegral le toplamın sırası değştrlerek, + n b n h( x = (- ( + exp( π f (x n c a a - n= df yazılablr. Buradan, Fourer dönüşümünün kayma özellğnden (4..6, h( x = a n= (- n ( b a n δ (x + n c (5..5 elde edlr. Süzgeç katsayıları çn snc le evrşmden sn( f x b b( x = π N n n h( x * snc = * (- ( δ (x + n c π f x a a = N n (5..6 yazılablr ve kaymış brm mpuls le evrşm fade eden f ( x * δ ( x + x = f ( x + x bağıntısı kullanılarak, n b n sn( f N ( x + nc b( x = π (- ( a = a π f ( x + nc n N (5..7

98 87 elde edlr. x = / f N olduğundan, bu denklemn düzenlenmes le x b( x = aπ n= (- n ( b a n sn( π f N ( x + nc ( x + nc (5..8 yazılablr. Bu dznn yakınsaması (b/a oranının brden küçük olması le olasıdır. Bu değer ne kadar küçük se dz de o oranda çabuk yakınsayacaktır. Aks takdrde kurulacak süzgeç durağan olamaz. Wenner GÖ değerlern, k-nokta elektrot GÖ değerlerne dönüştürme problemnde a= ve b=- dr. (5..7 bu değerler çn yenden düzenlenr se n n (- ( = ( n olduğundan b WL x ( x = π n= ( n sn( π f N ( x + nc ( x + nc (5..9 elde edlr. (b/a oranı,.5 olduğundan dz yakınsar. snsh yanıtı hesaplamak çn (5..6 bağıntısında snc yerne snsh yazılır se n b n sn( f N ( x + nc b( x = π (- ( A a = a snh( π A f ( x + nc n N (5.. elde edlr. Burada, smgelerde karışıklığa yol açmamak çn yuvarlatma katsayısı çn A kullanılmıştır ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNĐ, SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER Bölüm 4.4 de görüldüğü gb süzgeç belrtken, çıkış fonksyonunu Fourer dönüşümünün, grş fonksyonunun Fourer dönüşümüne oranı olarak verlr. Böylece, k-nokta elektrot GÖ değerlern, Schlumberger GÖ değerlerne çevrecek süzgeç çn, RaS ( f H LS ( f = (5.3. R ( f al yazılablr. R al ( f ve R al ( f sırası le k-nokta elektrot ve Schlumberger GÖ lern, Fourer dönüşüklern göstermektedr. Öte yandan, k-nokta elektrot ve Schlumberger arasındak bağıntı x bölgesnde al( x as ( x = al( x (.3.3 x olarak verlr ( Koefed 977. Fourer dönüşümünün türev özellğ kullanılarak,

99 88 a (x R a (f (5.3. se al ( x = π f R x a ( f olduğundan, (.3.3 denklem frekans bölgesnde zleyen şeklde yazılablr: R as (f = R al (f (- πf veya R R as al ( ( f f = πf. (5.3.3 (5.3. ve (5.3.3 denklemlernden süzgeç belrtken tanımlanablr: ( H LS f = πf. (5.3.4 Genlk ve faz belrtkenler se (4.. ve (4..3 tanımlamalarından hemen yazılablr: A LS ( f = (+(πf /, (5.3.5 φ LS ( f = - arctan (πf. (5.3.6 Şekl 5.3 de, genlk ve faz belrtken verlmştr. Genlk çft ve faz tek fonksyondur. Sıfır frekansı çn genlğn brm değer olduğu ve frekansın artması le genlk değerlernn artmakta olduğu gözleneblr. Şekl 5. 'de se faz belrtken çzlmştr. Frekansın artmasıyla faz belrtkennn mutlak değerlernn arttığı ve frekansın büyük değerler çn -π/ ve π/ değerlerne yaklaştığı gözleneblr. Süzgecn yatay kayma mktarı (4.5.3 ve (5.3.6 denklemnden, x arctan( πf πf N = (5.3.7 N olarak bulunablr. snc le evrşm yöntemn kullanarak, snc yanıtı elementer fonksyonlar cnsnden vermek olasıdır. Süzgeç fonksyonu, süzgeç belrtkennn ters Fourer dönüşümü le saptanablr. Đzleyen δ(x (5.3.8 δ(x/ x (πf (5.3.9 dönüşüm çftlernden, δ ( x δ ( x = πf x

100 89 yazılablr ve süzgeç fonksyonu ( h LS δ ( x x = δ ( x (5.3. x olarak bulunablr. δ(x brm mpuls fonksyonudur. snc yanıt se, b LS (x = h LS (x snc olarak verldğnden, h LS (x yerne (5.3. bağıntısı yazılarak, b LS ( x δ ( x = δ ( x * snc x ve evrşmn toplama özellğnden (Bracewell 965, b LS ( x δ ( x = δ ( x * snc * snc (5.3. x elde edleblr. Sağ yanda knc termdek türev şlem evrşmn türev özellğ kullanılarak, snc fonksyonuna atanablr. Br evrşm denklemnn türevnde, evrşm uygulanan k fonksyondan brnn türevn almak yeterldr (Bracewell 965. O zaman (5.3. bağıntısı, ( b LS snc x = δ ( x * snc * δ ( x (5.3. x olarak yazılablr. Brm mpuls fonksyonunun herhang br fonksyonla evrşmnn, yne o fonksyonu verdğ blnmektedr (Bracewell 965: δ(x f(x = f(x. (5.3.3 Bu durumda, (5.3. zleyen bçmde yenden yazılablr (Başokur 983: ( b LS ve snc x = snc x b LS (x = sn(y/y + π f N (sn(y/y cos(y/y. (5.3.4 Burada, y = πf N x x = x ± x olarak verlmektedr.

101 Genlk 9 snsh yanıtı bulmak çn (5.3. bağıntısında snc yerne, snsh konulur ve şlemler yapılırsa, b SD (x = a [ sn(y (+ a π f N / tanh(ay - f N cos(y] / snh(ay (5.3.5 elde edleblr. Süzgeç katsayıları (5.3.4 ve (5.3.5 bağıntılarından hesaplanablr (a (b Faz (radyan Frekans Şekl 5.3. Đk-nokta elektrot-schlumberger süzgec genlk (a ve faz (b belrtkenler SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCĐ, ĐKĐ-NOKTA ELEKTROT GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER Bölüm 4.4 de görüldüğü gb süzgeç belrtken, çıkış fonksyonunun Fourer dönüşümünün, grş fonksyonunun Fourer dönüşümüne oranı olarak verlr. Böylece, Schlumberger GÖ değerlern, k-nokta elektrot GÖ değerlerne çevren süzgeç çn, RaL( f H SL ( f = (5.4. R ( f as yazılablr. R al (f ve R as (f ve sırası le k-nokta elektrot ve Schlumberger GÖ lern Fourer dönüşümlern göstermektedr. (5.3. bağıntısından, süzgeç belrtken hemen bulunablr: ( H SL f = π f. (5.4.

102 Genlk 9 Genlk ve faz belrtkenler se A SL ( f = (+(π f -/ φ SL ( f = arctan (πf olarak yazılablr. Şekl 5.4 de genlk ve faz belrtkenler verlmştr. Frekansın artmasıyla genlk belrtkennn sıfıra yaklaştığı ve faz belrtkennn değernn arttığı ve frekansın büyük değerler çn π/ değerne erştğ gözleneblr. Süzgecn yatay kayma mktarı, faz zgesnn Nyqust frekansındak değernden, x = -arctan (π f N / π f N olarak bulunablr. (a (b Faz (radyan Frekans Şekl 5.4. Schlumberger-k-nokta elektrot süzgec genlk (a ve faz (b belrtkenler. Süzgeç fonksyonu le snc fonksyonunun evrşm le snc yanıtın saptanableceğ, Bölüm 4.4.'de açıklanmıştı. Süzgeç fonksyonu, süzgeç belrtkennn ters Fourer dönüşümünden bulunablr: U(-x e x /(- πf. Burada, U(-x, negatf brm basamak fonksyonudur. Bu denklem genel br durum çn αx U( x.e /( α πf (5.4.4

103 9 şeklnde yazılablr. O zaman, genel durum çn snc yanıt zleyen denklem le verleblr (Başokur 983: αx b( x = U( x.e * sn c. (5.4.5 Evrşm bağıntısının açık yazılımı le sn( ω Nu b( x = U( ( x u exp( α( x u du (5.4.6 ω u + N elde edlr. Burada, ω N ; Nyqust frekansına karşılık gelen açısal frekans ve u ntegral değşkendr. Brm basamak fonksyonu le çarpım, ntegraln ( x ; + aralığında sınırlanmasına neden olur: + exp( α x sn( ω Nu b( x = exp( α u du ω. (5.4.7 u N x Euler bağıntısından, snüs fonksyonu üstel olarak yazılıp, sn( z exp( z exp( z = (5.4.8 (5.4.7 denklemnde yerne konulması le exp( α x b( x = ω N + x exp( ω Nu exp( ω Nu exp( α u du u elde edlr. Bu denklemn düzenlenmes le + + exp( α x exp( u( α ω N exp( u( α + ω N b( x = du ω N u u x x du (5.4.9 yazılablr. Üstel ntegraln çözümü zleyen şekldedr (Abramowtz ve Stegun 965; sayfa 9: + + n n exp( au exp( xau ( (ax E( x = du = du = γ ln( ax. (5.4. u u x n= n n! Burada, γ=.5775 Euler sabtdr. Bu sonuç le (5.4.9 bağıntısındak ntegraller çözüleblr: b( x = + γ + ln exp(α x γ ln ωn {(α ω x} ( ((α + ω n n! ( x N {(α + ω x} +. N n= n N n= n n ((α ω n n! N x n (5.4.

104 93 ve düzenleyerek, b( k. x exp(α x (α + ωn = ln + ωn (α ωn n= n ( x n n! n n n {(α + ω (α ω }. N N (5.4. Bu denklem yenden düzenlemek amacı le karmaşık sayıların özellğnden, α ω N α + ω N katsayıları, ve r = α + ω N ve ω θ = arctg α N tanımları le genlk ve faz cnsnden α ω N = r exp(- θ ve α + ω N = r exp( θ şeklnde yazılablr. Bu bağıntılardan, ln( x(α + ω N ln( x(α ω x(α + ω = ln x(α ω r exp( θ = ln = ln(exp( θ = θ r exp( θ yazılablr. Br karmaşık sayının kuvvet N N N (5.4.3 z n = r n exp( nθ olarak tanımlandığından, yukarıdak r ve θ tanımları le n n ( α + ω N = r exp(nθ n n ( α ω N = r exp(- nθ elde edlr. Buradan, n n (α + ωn (α ωn = r n [ exp(- nθ - exp(- nθ ]

105 94 Euler bağıntısından [ exp( nθ exp( nθ ] = sn( nθ = sn( n.artg( ω / α (5.4.4 elde edlr. (5.4.3 ve (5.4.4 sonuçları, (5.4. bağıntısında yerne konur se N exp(α x ωn b( x =. arctg + ωn α n= n ( x n n! elde edlr ve süzgeç katsayılarını veren bağıntı n ω sn n.arctg( α N. = + n n exp(α x ωn ( x ωn b ( x arctg( sn n.arctg( (5.4.5 ωn α n= n n! α olarak bulunablr. Schlumberger-k-nokta elektrot problem çn α = olduğundan, = + n n exp( x ( x b Sl ( x arctg( ωn sn[ n.arctg( ωn ] (5.4.6 ωn n= n n! yazılablr WENNER-SCHLUMBERGER SÜZGECĐ Bu süzgecn belrtken zleyen bağıntı le verleblr: RaS ( f HWS ( f =. (5.5. R ( f aw Sağ yanı R al (f le çarpıp, bölerek H WS ( f RaS ( f RaL ( f = (5.5. R ( f R ( f al aw yazılablr. Đzleyen, R R ve as al ( ( f f = πf (5.3.3 R R al aw ( f cf ( f = π e (5.. bağıntıları, daha önce verldklernden, onların çarpımı le süzgeç belrtken zleyen bağıntıyla tanımlanablr:

106 95 H WS ( f πf =. (5.5.3 πcf e Aynı sonuç (.3.4 bağıntısının Fourer dönüşümü le de bulunablr. Ancak bzm göstermek stedğmz, süzgeç belrtkennn, Wenner-k nokta elektrot ve k nokta elektrot-schlumberger süzgeç belrtkenlernn çarpımı olarak verlebleceğdr: H WS (f = H WL (f H LS (f. (5.5.4 Bu denklem anılan k süzgecn genlk ve faz belrtkenlernden yararlanılarak, zleyen bağıntıların tanımlanmasına olanak verr: A WS ( f + ( πf = AWL ( f ALS ( f =, ( cos( πcf φ sn( πcf f = φwl ( f + φ ( f = arctan arctan( πf cos( πcf. (5.5.6 WS ( LS (5.5.4 bağıntısı zaman bölgesnde, h WS (x = h WL (x* h LS (x olduğundan, (5.3. bağıntısından h WS ( x = h WL yazılablr. Buradan, b WS ( x = h WL ve sonuç olarak, b WS ( x = b WL δ ( x hwl ( x * δ ( x = hwl ( x x (5.5.7 x hwl ( x ( x * snc = h x b ( x WL x ( x WL hwl ( x ( x * snc * sn c x bulunur. Wenner-k elektrot süzgeç katsayıları b WL ( x, (5..9 bağıntısı le verldğnden, ondan türetleblr SCHLUMBERGER-WENNER SÜZGECĐ Bu süzgeç, Wenner-Schlumberger süzgecnn ters süzgec olduğundan br öncek bölümde verlen bağıntılardan yararlanarak gerekl tanımlamalar hemen yapılablr. Đzleyen,

107 96 H SW ( f = H WS ( f özellğnden süzgeç, genlk ve faz belrtkenler çn zleyen denklemler yazılablr: H A SW SW πcf e ( f =, πf 5 4 cos( πcf ( f = / AWS ( f =, ( ( πf ( sn( πcf φ SW f = φws ( f = arctan( πf arctan. (5.6. cos( πcf Aşağıdak dönüşüm çftlernden, πcf δ ( x δ ( x + c e, (5.6.3 e x U( x, (5.6.4 πf süzgeç fonksyonu, b SW ( x x = ( δ ( x δ ( x + c e U( x (5.6.5 olarak bulunablr. O zaman snc yanıt, b SW x ( x = ( snc sn c( x + c e U( x (5.6.6 veya snsh yanıt, b SW x ( x = ( snhc snh c( x + c e U( x (5.6.7 denklemleryle verleblr.bu denklemler yardımı le Schlumberger-Wenner ve Schlumberger-k nokta elektrot süzgeçler arasındak aşağıdak bağıntı kolayca elde edleblr (Başokur 983: b ( x = b ( x b ( x c. (5.6.8 SW SL SL + Schlumberger G.Ö. değerlern, Wenner G.Ö. değerlerne çevrmek çn knc yol ara adım olarak zleyen bçmde tanımlanan G.Ö. tanımının Schlumberger G.Ö. değerlernden saptanmasıdır: x = ( x - ( x c (5.6.9 asy ( as as + veya s değşken le s = ( s - ( s. asy ( as as

108 97 Bu durumda (.3.4 bağıntısı, aw ( x aw ( x = asy ( x (5.6. x olarak yazılablr. Bu denklem, k nokta elektrot ve Schlumberger G.Ö. ler arasındak (.3.3 bağıntısına benzerdr. Bu benzerlk asy (x G.Ö değerlernn, Schlumberger-k nokta elektrot süzgecne grş olarak verlmes durumunda Wenner G.Ö. değerlernn hesaplanableceğne şaret eder DĐPOL GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCĐ SCHLUMBERGER GÖRÜNÜR ÖZDĐRENCE ÇEVĐREN SÜZGEÇLER Süzgeç belrtken, çıkış fonksyonunu Fourer dönüşümünün, grş fonksyonunun Fourer dönüşümüne oranı olarak verldğnden, dpol G.Ö. değerlern Schlumberger G.Ö. değerlerne çevren süzgeç çn, RaS ( f H DS ( f = (5.7. R ( f ad yazılablr. R as (f ve R ad (f sırası le Schlumberger ve dpol G.Ö. değerlernn Fourer dönüşümlern göstermektedr. Öte yandan, dpol ve Schlumberger arasındak bağıntı x değşkenne bağlı olarak, as ( x ad ( x = as ( x p (.3.5 x olarak verlr ( Koefed 977. Fourer dönüşümünün türev özellğ kullanılarak, R ad (f = R as (f (-p πf veya R R as ad ( f ( f = p πf (5.7. (5.7. ve (5.7. denklemlernden süzgeç belrtken tanımlanablr ( Koefed 977, Nyman ve Landsman 977 : ( H DS f = =.. (5.7.3 p. π f p / p π f Bu denklemde, α = / p yazılır se, ( H DS f = α., α π f elde edlr ve (5.4.4 denklem le α çarpanı kadar farklı olduğu görülür. Çözüm, (5.4.4 bağıntısından doğrudan bulunablr:

109 98 = + n exp(α x ωn ( x b( x α arctg( ωn α n= n n! Genlk ve faz belrtkenler se n ω sn n.arctg( α N. (5.7.4 A ve DS ( f = ( p 4π f φ DS ( f = arctan (pπf (5.7.6 olarak yazılablr. Süzgecn yatay kayma mktarı (5.7.6 denklemnden saptanablr: x = -arctan (p πf N / πf N. (5.7.7 (5.7.4 bağıntısı le verlen snc yanıt, x = x ± m x yatay eksen değerlernde hesaplanacaktır SCHLUMBERGER-DĐPOL SÜZGEÇLERĐ Schlumberger-dpol süzgecnn, süzgeç belrtken, H SD (f = R ad (f / R ad (f (5.8. bağıntılarından H SD (f = / H DS (f yazılablr ve (5.7. denklemnden süzgeç belrtken, H SD (f = - p πf (5.8. olarak bulunablr. Genlk ve faz belrtkenler zleyen şeklde saptanablr: A SD (f = (+(pπf /, (5.8.3 φ SD (f = -arctan (pπf. (5.8.4 snc le evrşm yöntemn kullanarak snc yanıtı elementer fonksyonlar cnsnden vermek olasıdır. Süzgeç fonksyonu, süzgeç belrtkennn ters Fourer dönüşümü le saptanablr: δ(x (5.8.5 δ(x/ x (πf (5.8.6 dönüşüm çftlernden, δx- p δ(x/ x -pπf ve süzgeç fonksyonu

110 99 h SD (x = δ(x - p δ(x / x (5.8.7 olarak bulunablr. δ(x, brm mpuls fonksyonudur. snc yanıt se, b SD (x = h SD (x snc olarak verldğnden, h SD (x yerne (5.8.7 bağıntısındak eşt yerne yazılır se b SD (x = (δ (x - p δ(x / x snc ve evrşmn toplam özellğnden, b SD (x = δ (x snc - p δ(x / x snc (5.8.8 elde edleblr. Sağ yanda knc termdek türev şlem, evrşmn türev özellğ kullanılarak snc fonksyonuna atanablr. O zaman (5.8.8 bağıntısı, b SD (x = δ (x snc - p δ(x snc/ x (5.8.9 olarak yazılablr. Brm mpuls fonksyonunun herhang br fonksyonla evrşm, yne kendsn verdğ blndğnden (Bracewell 965, δ(x f(x = f(x, (5.8. (5.8.9 zleyen bçmde yenden yazılablr (Başokur 983: b SD (x = snt/t +p πf N (snt/t -cost/t (5.8. veya b SD (x = (snt (+p/x - p t cost/x/t, (5.8. t = π f N x, x = x ± m x. Burada yatay kayma x = arctan ( p π f N / π f N olarak verlr. snsh yanıtı bulmak çn (5.8.9 bağıntısında snc yerne snsh konulur ve şlemler yapılırsa, b SD (x = a [ snt (+p a π f N /tanh(at-p p f N cost] / snh(at (5.8.3 elde edleblr.

111 5.9. WENNER-DĐPOL SÜZGECĐ Bu süzgecn belrtken, k nokta elektrot-dpol ve Wenner-k nokta elektrot süzgeç belrtkenlernn çarpımı olarak tanımlanablr: H WD ( f RaD( f RaD( f RaL( f = =. (5.9. R ( f R ( f R ( f aw al aw H WD (f = H WL (f H LD (f (5.9. H WL (f ve H LD (f yukarıdak denklemde yerne yazıldığında, süzgeç belrtken aşağıdak bağıntı le verleblr: H WD ( f ( πf ( p πf =. (5.9.3 πcf e Aynı şeklde, genlk ve faz belrtkenler çn zleyen bağıntılar yazılablr: A WD ( f (+ 4π f ( + ( p πf = ( 5 4 cos( πcf /. (5.9.4 φ WD ( f sn( πcf = arctan( arctan( p πf arctan( πf (5.9.5 cos( πcf Bölüm..6 da Wenner ve dpol G.Ö. ler arasındak (.. bağıntısı spatsız olarak verlmş ve çıkartılması sonraya bırakılmıştı. (5.9.3 denklemnn uzaklık bölgesnde yazılması le bu bağıntı elde edleblr. (5.9.3 bağıntısı yenden yazılır, R R ad aw ( f ( πf ( p πf = πcf ( f e ve çler dışlar çarpımı le πcf RaD( f e RaD( f = RaW ( f ( + p πf RaW ( f p 4π f RaW ( f (5.9.6 elde edleblr. Fourer dönüşümünün uzaklık öteleme özellğ ve türev özellğ kullanılarak, (5.9.6, x bölgesnde aşağıdak şeklde verleblr: aw ( x aw ( x ad( x ad( x + c = aw ( x ( + p + p. (.3.8 x x Bu bağıntının (.3. ve (.3.6 özellklern kullanarak s değşken cnsnden yazılması le zleyen sonuç bulunablr: aw ( s aw ( s ad ad aw ( s ( s = ( s s + p s s s. (..

112 5.. DĐPOL-ĐKĐ NOKTA ELEKTROT SÜZGECĐ Süzgeç belrtken, zleyen Fourer dönüşümlernn oranından bulunablr: RaL( f H DL ( f =. (5.. R ( f ad Bu denklemn sağ yanı Schlumberger G.Ö. n Fourer dönüşümü le çarpılıp, bölünür se H DL ( f RaL( f RaS ( f = (5.. R ( f R ( f as ad elde edleblr. Daha önce verlen R R al as ( ( f f = H SL ( f = πf ve R R as ad ( f ( f = H DS ( f = p πf eştlklernden, dpol-k nokta elektrot süzgecnn belrtkennn, Schlumberger-k nokta elektrot ve dpol-schlumberger süzgeçlernn belrtkenlernn çarpımı olarak yazılableceğ görüleblr: H DL (f = H SL (f H DS (f (5..3 ( H DL f = ( π f ( p π f (5..4 (5..4 bağıntısı, Fourer dönüşümünün türev özellğ kullanılarak (.3.9 bağıntısından da bulunablr. Ancak, yukarıdak yol daha kısadır. Daha önce H SL ( f = A SL ( f e φ SL ( f H DS ( f = A DS ( f e φ DS ( f olarak verldklernden, (5..3 bağıntısı gereğnce, H ( f = ( A ( f A ( f e φ φ DL SL DS ( SL( f + DS ( f yazılablr. Bu denklem, genlk belrtkennn Schlumberger-k nokta elektrot ve dpol- Schlumberger genlk belrtkenlernn çarpımına ve faz belrtkennn se anılan k süzgecn faz belrtkenlernn toplamına eşt olduğunu gösterr. Böylece genlk ve faz belrtken çn A DL (f = [(+4π f (+(pπf ] -/ (5..5

113 ve φ DL (f = arctan(πf+arctan(pπf (5..6 yazılablr. Genlk ve faz belrtkenler blndğnden, snc yanıt, ters Fourer dönüşümü le bulunablr. Dğer br yol se, Süzgeç fonksyonunu snc le evrştrmektr. Bu amaç çn süzgeç fonksyonu zleyen bağıntılarla bulunablr. (5..4 denklem k parçaya ayrılır se, ( H DL f A B = = ( p π f (( π f ( π f ( p π f yazılablr. Katsayılar, A = p ve p B = p olarak bulunablr. O zaman süzgeç belrtken zleyen bağıntı le verleblr: ( H DL f p =. (5..7 p π f p π f Süzgeç fonksyonu, H DL (f n ters Fourer dönüşümü le saptanır: h DL x p x ( x = ( e e U( x. (5..8 p U(-x, negatf brm basamak fonksyonudur. Bu bağıntı, Schlumberger-k nokta elektrot ve dpol-schlumberger süzgeç fonksyonları cnsnden de yazılablr: h DL ( x = ( hsl( x p hds ( x, (5..9 p ve buradan süzgeç katsayıları bağıntısı b DL ( x = ( bsl( x p bds ( x (5.. p olarak bulunablr. 5.. ĐKĐ NOKTA ELEKTROT-DĐPOL SÜZGECĐ Bu süzgeç,dpol-k nokta elektrot süzgecnn ters süzgec olduğundan, genlk ve faz belrtkenler hemen yazılablr:

114 H LD ( f = = ( πf ( p πf (5.. H ( f DL 3 A φ [( + 4π f ( + ( p πf ] / = 5.. LD ( f = ADL( f f = φ ( f = arctan( πf arctan( pπf. (5..3 LD( DL Süzgeç fonksyonu, süzgeç belrtkennn ters Fourer dönüşümü le bulunablr. (5.. denklem zleyen bçmde yazılırsa, H LD (f = - (+pπf - p4π f, (5..4 zleyen dönüşüm çftler δ ( x δ ( x πf x δ ( x 4π f x kullanılarak, süzgeç fonksyonu h LD δ ( x δ ( x ( x = δ ( x ( + p + p (5..5 x x olarak saptanablr. snc yanıt, süzgeç ve snc fonksyonlarının evrşm le verlr: b LD (x = h LD (x snc. Evrşm ntegralnn türev ve br fonksyonun brm mpuls le evrşm özellklernden, b LD sn c sn c ( x = sn c ( + p + p (5..6 x x snc yanıt bulunablr. Bu bağıntıda lk term düzgünleyc, knc term türev alıcı ve üçüncü term knc türev alıcı olarak görev yaparlar. (5..6 denklemnde snc ve türevler yerlerne yazılırsa, sayısal şlem çn elverşl br bağıntı elde edlmş olur (Başokur 983: b LD sn( t + p + p ( x = + t x x p ω N cos( t (( + p ω N t ω N p +. (5..7 x

115 4 5.. DĐPOL-WENNER SÜZGECĐ Bu süzgeç çn gerekl tanımlamalar, Wenner-dpol çn geçerl bağıntılardan kolaylıkla yapılablr: H DW ( f =, H ( f WD H DW ( f πcf e =, (5.. ( πf ( p πf ADW ( f =, A ( f WD φ f = φ ( f. DW ( WD Süzgeç belrtken aşağıdak şeklde de yazılablr: exp( πcf p H DW ( f =. (5.. p πf p πf Bu durumda, süzgeç fonksyonu, bu denklemn ters Fourer dönüşümü alınarak bulunablr: h DW x p x U( x ( x = ( δ ( x δ ( x + c ( e e. (5..3 ( p snc veya snsh yanıt se, snc veya snsh fonksyonunu süzgeç fonksyonuyla evrştrlerek bulunablr veya dpol-wenner ve dpol-k nokta elektrot süzgeç fonksyonları arasındak aşağıdak lşk elde edleblr: h DW (x = h DL (x-h DL (x+c. (5..4 Đzleyen bağıntı le tanımlanan G.Ö., dpol G.Ö.'n k apss değernden önceden saptanır se, ad (x = ad (x - ad (x+c (5..5 veya ad (s = ad (s - ad (s (5..6 dpol-k nokta elektrot süzgec kullanılarak Wenner G.Ö. bulunablr. Yan, ad (x dpol-k nokta elektrot süzgecne grş olarak uygulanırsa çıkışta Wenner G.Ö. elde edlr.

116 YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI G.Ö. eğrlern brbrlerne dönüştürme amacıyla kullanılan süzgeç katsayılarını veren brkaç yayın olup, bu katsayılarda kuramsal grş ve çıkış fonksyonlarının Fourer dönüşümler oranının, ters Fourer dönüşümü le bulunmuştur. Bu bölümde açıklanan hesaplama yöntemler le yen süzgeç katsayıları türetmek kolaydır ve yayınlarda verlmş süzgeç katsayılarına bağlı kalınmayablr. G.Ö. ler brbrlerne çevren süzgeçler lk kez Kumar ve Das (977 tarafından dpol G.Ö. değerlern, Schlumberger G.Ö. değerlerne çevrmek çn Fourer dönüşüm yöntem le hazırlanmış olup, bu katsayılar 5. de verlmştr. Örnekleme oranı M=6, örnekleme aralığı x = ln(/6 = olarak verlmştr. Yatay kayma se x = ln(/4 =-.959 dur. Yatay eksen değerler x cnsnden verlmştr. Schlumberger-dpol süzgeç katsayıları Çzelge 5. de verlmştr. Bu katsayılar Kumar ve Das (978 tarafından türetlmştr. Örnekleme oranı M = 6 olup, yatay kayma sıfır numaralı katsayının yatay eksen değerne eşttr. Wenner G.Ö. değerlern, Schlumberger G.Ö. değerlerne çevren süzgeç katsayıları Çzelge 5.3 de verlmştr. 9 ve 6 katsayıdan oluşan bu k süzgeç aynı snc yanıttan türetlmştr (Koefoed 979. Örnekleme oranı M=4 olup, yatay kayma.34 dür. Çzelge 5.4'de se, k nokta elektrot G.Ö. değerlern, Schlumberger G.Ö. değerlerne çevren süzgeç katsayıları verlmştr. Örnekleme oranı M=6 'dır. Çzelge 5.. Dpol-Schlumberger süzgeç katsayıları. Katsayı no. Yatay eksen Dk (p=/3 Radyal (p=/ Paralel (

117 6 Çzelge 5.. Schlumberger-dpol süzgeç katsayıları. Schlumberger-dk dpol Schlumberger-radyal dpol Katsayı no. Yatay Eksen Katsayı değer Yatay Eksen Katsayı değer Çzelge 5.3. Wenner-Schlumberger süzgeç katsayıları (Koefoed 979. Süzgeç katsayıları Katsayı no. 9 adet 6 adet Çzelge 5.4. Đk-nokta elektrot-schlumberger süzgec katsayıları. Katsayı no. Yatay eksen Katsayı değer

118 7 PROGRAM 5. Görünür özdrenç eğrlern brbrne çevrmek çn BASĐC dlnde yazılan bu program, küçük değşklklerle her türlü dönüşüm çn kullanılablr. Q, kullanılacak süzgecn katsayı sayısı, M, örnekleme oranı ve X yatay kayma mktarı, 5 numaralı satıra yazılır. 7 ve numaralı satırlar arası evrşm şlem çn ayrılmış olup, en büyük katsayı numaralı süzgeç katsayısından başlayarak A(I ndsl değşkenler, A(I+, A(I+ şeklnde bu katsayılar le çarpılır ve çarpım sonuçları cebrsel olarak toplanır. FOR-NEXT (FORTRAN'da DO çevrm çnde I ndsnn değernn br artması le, süzgeç katsayılarının grş vers boyunca kayması sağlanır. Dönüştürülmes yapılacak G.Ö. eğrs, poztf numaralı katsayı aded kadar örnekleme aralığı sola ve negatf notu katsayı aded kadar sağa uzatılır. Program çalıştırıldığında sırası le aşağıdak soruları sorar :. VERĐ SY? : Uzatmalar dahl programa kaç adet sayısal G.Ö. değer verleceğ.. ĐLK ABS? : Uzatmalar yapılmadan önce, lk G.Ö. değernn yatay eksen değer. Bu değer geleneksel değşkenler cnsnden olmalıdır. Yan, Schlumberger çn s, Wenner çn a, dpol çn R vb. 3. GOR.OZD (? : Program sırası le G.Ö. değerlern sorar. ÖRNEK. Radyal dpol G.Ö. değerlern, Schlumberger G.Ö. değerlerne çevren süzgeç Çzelge 5. de verlmştr. 5 numaralı satıra Q=5:M=6:X=-LN/4 yazılarak, katsayı sayısı, örnekleme oranı ve yatay kayma programa verlmştr. 7, 8, 9 ve numaralı satırlarda evrşm şlem gerçekleştrlmektedr (Program 5.. PROGRAM 5. 5 Q=5:M=6:X=-LN/4 INPUT "VERI SY",N, "ILK ABS", S FOR I= TO N 3 PRT "GOR.OZD (";I;"";:INPUT A(I 4 NEXT 5 E=EXP (LN/M:S=S*EXP X 6 FOR I= TO N-Q+ 7 R=3*A(I-7*A(I++89*A(I+-4*A(I+3+57*A(I+4 8 R=R-34*A(I *A(I *A(I+7+5*A(I+8 9 R=R+774*A(I+9+9*A(I++9*A(I+-4*A(I+ R=(R+87*A(I+3+*A(I+4*E-4 PRT "ABSIS=";S,"GOR.OZD=";R 3 S=S*E 4 NEXT 5 END

119 8 Bölüm 6 GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ MODEL EĞRĐLERĐNĐN HESAPLANMASI Verlen katman parametreler çn G.Ö. model eğrsnn hesaplanması düşey elektrk sondaı verlernn yorumlanması (yeraltına at parametrelern bulunması çn gerekldr. Yorum amacı çn arazde elde edlen G.Ö. eğrsne, kuramsal G.Ö. eğrs çakıştırılmaya çalışılır ve uyum sağlanıyor se, yeraltının kuramsal eğry üreten modele yakın olduğu düşünülür. Bu şlem, başlangıçta katman parametreler çn br varsayımda bulunmak ve ölçülen le kuramsal ver çakışıncaya kadar parametreler değştrme yolu le gerçekleştrlr. Çakışmayı sağlayan katman parametrelerne erşmek çn çok sayıda kuramsal eğr hesabı yapılmak zorundadır. G.Ö. model eğrlernn hesaplanması çn doğrusal süzgeç yöntemnn lk uygulaması, Ghosh (97 tarafından yapılmıştır. Doğrusal süzgeç yöntem le Bessel fonksyonlarının hesabından ve sayısal ntegrasyondan kaçınılır. Kuramsal vernn hesabı k adımı kapsar. Brnc adım, verlen parametreler çn D.Ö. fonksyonunun sayısal değerlernden doğrusal süzgeç uygulaması le G.Ö. eğrsnn sayısal değerlernn bulunmasıdır. Đknc adımı yürütmek çn, D.Ö. fonksyonunun sayısal değerlern G.Ö. eğrsnn sayısal değerlerne çevren süzgeç katsayılarını önceden hesaplamak gerekr. Eğer süzgeç katsayıları br kere saptanırsa, herhang br model çn hesaplanan D.Ö. fonksyonu, buna karşılık gelen G.Ö. eğrsne çevrleblr. Aşağıda her elektrot açılımı çn G.Ö. model eğrlernn saptanmasında kullanılan süzgeçlern hesaplanması verlmştr. Đlk adımın yan, D.Ö. fonksyonunun sayısal değerlernn elde edlmes Bölüm.4. de anlatılmıştır Đk nokta elektrot G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Đk nokta elektrot G.Ö. bağıntısı Bölüm.. de aşağıdak gb verlmştr: ( L L T ( λ J ( λl = dλ. (..4 al Bu denklemde, L=exp(x ve λ=exp(-y değşken dönüşümü yapılırsa (bu tür dönüşüm lk kez Ghosh (97 tarafından yapıldığından, x ve y Ghosh değşkenler olarak blnr, dλ = exp( ydy λ = çn y = ln = ln( = = y = ln = ln = ve λ çn ( f ( x dx f ( x olduğundan = dx

120 ( ( x T ( exp( y J ( exp( x y ( exp( x y al exp = dy (6.. bağıntısı bulunablr. Bu son bağıntının br evrşm ntegral olduğu görüleblr. Eğer, T(exp(-y grş, al (exp(x çıkış fonksyonu olarak düşünülür se ( x = exp( x J ( exp( x htl süzgeç fonksyonu olarak düşünüleblr (Das ve Verma 98. Değşkenlern anlamlarını ytrmemes koşulu le (6.. evrşm ntegral aşağıdak smgesel gösterm le yazılablr: ( x T ( x * h ( x (6.. al = TL Burada D.Ö. fonksyonu çn x=ln(/λ ya eşttr. Evrşm şlem sayısal olarak yapılacağından, (4.4. bağıntısından al ( x = T ( m x * [ h ( x * P( m x ] TL yazılablr. Burada P(x, snc veya snsh fonksyonunun sayısal değerlern göstermektedr. Süzgeç katsayıları (4.4.3 den al ( m x = P( m x * h ( x (6..3 TL bağıntısı le bulunablr. O zaman k elektrot G.Ö. sayısal değerler, al n ( m x = b( x T (( m x (6..4 = k toplamı le elde edleblr. Burada, k ve n (4.7. bağıntısında olduğu gb, sırası le süzgeç merkeznden negatf ve poztf eksen yönlerndek katsayıların sayısıdır. Süzgeç katsayıları (6..3 de, süzgeç fonksyonunun yerne konulması le ( m x = exp( x J ( exp( x * P( m x btl (6..5 elde edlen yukarıdak eştlkten doğrudan ntegrasyon yöntem le hesaplanablr. Ancak, hem Bessel fonksyonu hem de snc ve snsh fonksyonları salınımlı olduklarından, doğrudan ntegrasyon le süzgeç katsayılarını yeterl doğrulukta saptamak oldukça zordur. Eğer, Fourer dönüşümü yöntem kullanılacak se, süzgeç fonksyonunun Fourer dönüşümünden süzgeç belrtken H ( f exp( x J ( exp( x exp( xf TL = π dx (6..6 olarak yazılablr. Eğer, L değşkenne ger dönülürse ( x, x ln( L L = exp = 9

121 dl = exp( xdx exp ve x πf ( πf ln( L = L = çn L = x = + çn L = olduğundan, H TL πf ( f = L J ( L dl yazılablr. Bu tür ntegraller çn Abramowtz ve Stegun (965 tarafından verlen L µ J n ( L dl = µ n + µ + Γ n µ + Γ bağıntısı kullanılırsa, (burada Γ gamma fonksyonunu göstermektedr µ=-πf ve n= yazılır se, H TL ( f Γ πf = πf Γ + π f (6..7 süzgeç belrtken saptanmış olur (Johansen ve Sorensen 979. Genlk ve faz belrtkenlern saptamak amacı le (6..7 bağıntısındak termler ele alınır se H H H 3 H TL πf =, = Γ πf, = Γ + πf, H H ( f = H 3 elde edlr. Her termn ayrı genlk ve faz belrtkenlern bulunur se, genlk belrtken genlklern çarpımına, faz belrtken se fazların toplamına eşt olur: A TL ( f A A A =, 3

122 ( φ + φ 3 φtl f = φ. A ve φ zleyen bçmde saptanablr: πf = exp ( πf ln = cos( πf ln sn( πf ln olduğundan ( π ( π sn f ln A =, φ = arctg = π f ln cos f ln (6..8 olarak bulunablr. (6..7 bağıntısındak k Gamma fonksyonunun değşkenlernn brbrnn eşlenğ olduğu kolayca görüleblr. Br karmaşık z sayısının eşlenğ z _ se, Γ z nn, Γ ( z fonksyonunun eşlenğne eşt olduğu blnmektedr. Yan, ( _ Γ ve Γ se ( z = A + B ( z = A B ( z Γ ( z Γ = eştlğ yazılablr. Bu durumda genlkler brbrne eşt ve fazlar ters şaretl olur: A = A 3, φ =. φ 3 Böylece genlk belrtken, ( f φ φ φ = + (6..9 TL olarak bulunablr. φ daha önce saptandığından, φ fonksyonunun elde edlmes le φ TL (f tanımlanablr. Gamma fonksyonlarının fazını hesaplamak çn br bağıntıyı Abramowtz ve Stegun (965 vermştr: ( ( y y Faz Γ x + y = y ψ x + arctg. n= x + n x + n Burada x gerçel ve y sanal kısımları, ψ(x Ps fonksyonunu göstermektedr. Verlen problemde x=/ ve y= -πf olduğundan

123 φ = Faz Γ πf = πf ψ + yazılarak, n= πf πf arctg + n + n ψ ( / = γ ln φ = πf ( γ + ln n= πf πf arctg n + n + elde edleblr. Burada, γ Euler sabtdr ve değer.5775 olarak verlr. Bu bağıntıdan ve (6..8 ve (6..9 bağıntılarından yararlanılarak, ω = πf olmak üzere faz belrtken çn ( ( ω ω φ TL f = ω γ + ln arctg (6.. n= n + n + yazılablr. Genlk ve faz belrtkenler saptandığından, Nyqust frekansında kesm şlem le genlk ve faz zgeler bulunablr. Kesm şlemnn dkdörtgen veya tanh penceres le yapılmasına bağlı olarak ters Fourer dönüşümü le snc veya snsh yanıt bulunablr Wenner G.Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Wenner G. Ö., Bölüm.. de aw ( a = a T ( λ ( J ( λa J ( λa dλ (..9 olarak verlmşt. λ=exp(-y ve a=exp(x değşkenler le aw ( ( x T ( exp( y [ J ( exp( x y J ( exp( x y ] exp( x y exp = dy yazılablr. Bu denklemden de görülebleceğ gb, T(exp(-y grş ve aw (exp(x çıkış fonksyonu se ( x exp( x ( J ( exp( x J ( exp( x htw = (6..3 süzgeç fonksyonu olarak düşünüleblr. Smgesel gösterm le, ( x T ( x * h ( x (6..4 aw = TW veya sayısal evrşm belrtmek amacı le aw ( x = T ( m x * [ h ( x * P( m x ] TW yazılablr. P-yanıt zleyen denklemle bulunablr:

124 b TW ( m x = h ( x * P( m x. TW 3 Ancak, Bessel fonksyonunun salınımlı olması neden le doğrudan ntegrasyon le duyarlı sonuçlar elde etmek oldukça zordur. Süzgeç katsayılarını saptamak amacı le Fourer dönüşüm yöntem kullanıldığında, süzgeç belrtken süzgeç fonksyonunun Fourer dönüşümü le bulunablr. Bu amaç çn aşağıdak yol zlenecektr. (6..4 bağıntısının Fourer dönüşümü alınırsa, R aw ( f T ( f H ( f = (6..5 elde edlr. Burada, h ( x RaW ( f T( x T( f ( x H ( f aw TW TW TW Fourer dönüşüm çftlerdr. Aynı şeklde, (6.. bağıntısının Fourer dönüşümü le R al ( f T ( f H ( f = (6..6 TL yazılablr. Burada, al ( x R ( f al h ( x H ( f TL TL Fourer dönüşüm çftlerdr. Verlen br yeraltı model çn D.Ö. elektrot açılımına bağlı olmadığından, (6..5 ve (6..6 bağıntılarından, H TW ( f ( f ( f RaW = H TL ( f R (6..7 al yazılablr. Eğer, k elektrot ve Wenner G.Ö. ler arasındak (.3. bağıntısı, ( x = ( x ( x ln (.3. aw al al + ve onun Fourer dönüşümü R ( f R ( f ( exp( πcf c ln = (6..8 aw al = le verldğnden (Bölüm 5.5, (6..8 bağıntısının, (6..7 de yerne konulması le H TW ( f ( exp( cf H ( f = π (6..9 TL bulunablr. Đk nokta elektrot süzgeç belrtken (6..7 bağıntısı le blndğnden süzgeç belrtken de saptanmış olur (Başokur 983. Ayrıca, bu denklemn ters Fourer dönüşümünün

125 4 zaman öteleme özellğnden (4.., k elektrot ve Wenner süzgeç fonksyonları arasındak aşağıdak lşk elde edleblr (Başokur 984a: h ( x h ( x h ( x ln =. (6.. TW TL TL + Bu sonuç, Wenner P-yanıtın, k-elektrot P-yanıtının k yatay eksen değernden hesaplanableceğn gösterr: H TW ( f = ( cos( cf sn( πcf H ( f π. (6.. Böylece, A TL (f= olduğundan, Wenner genlk belrtken A TW veya A TW [ ] ( f = ( cos( π cf + sn ( πcf ( ( f 5 4 cos( πcf TL = (6.. bağıntısı le verleblr. Aynı yol le faz belrtken çn TW ( f = Faz [ cos( πcf sn( πcf ] φ ( f φ + sn( πcf ( cos( πcf TL = arctg + φtl ( f (6..3 yazılablr. φ ( f, (6.. bağıntısı le daha önce belrlendğnden ( f TL φ TW de tanımlanmış olur. Böylece, ters Fourer dönüşümü le snc veya snsh yanıt hesaplanablr Schlumberger G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Schlumberger G. Ö. bağıntısı Bölüm..3 de zleyen denklem le verlmştr: ( s = s T ( λ J ( λs λ dλ. (..4 as ( y, s exp( x λ = exp = değşken dönüşümler le as ( exp( x T ( exp( y ( exp( ( x y J ( exp( x y = dy yazılablr. T(exp(-y grş ve as (exp(x çıkış olarak düşünülürse, süzgeç fonksyonu zleyen bağıntı le verleblr: ( x exp( x J ( exp( x hts = (6..4 veya smgesel gösterm le

126 ( x T ( x * h ( x (6..5 as = ve P-yanıt TS ( m x = exp( x J ( exp( x * P( m x bts evrşm le elde edleblr. Đk elektrot ve Wenner süzgeçlernde olduğu gb, burada da Bessel fonksyonlarının salınımları nedenyle doğrudan ntegrasyon yöntemn kullanmak sorunlar oluşturablr. Süzgeç belrtkennn Nyqust frekansında keslmes le süzgeç zgesn ve onun ters Fourer dönüşümü le de P-yanıtı elde edeblrz. Wenner süzgeç belrtkennn elde edlmes ne benzer olarak, (6..5 n Fourer dönüşümü R as ( f T ( f H ( f = (6..6 TS ve T(f yerne (6..6 dan çeklen değer yerne yazılacak olursa, H TS ( f ( f ( f Ras = H TL ( f R (6..7 al ve (5.3. bağıntısından R R as al ( f ( f = πf ve bunu (6..7 de yerne koyarak H TS ( f ( f H ( f = π (6..8 TL elde edleblr (Başokur 983. H TL (f çn br bağıntı daha önce verldğnden süzgeç belrtken saptanmış olur. Genlk belrtken A TS ( f ( + 4π f = (6..9 le verleblr. Görüldüğü gb, D.Ö.-Schlumberger genlk belrtken, k nokta elektrot G.Ö. değerlern, Schlumberger G.Ö. değerlerne çevren süzgecn genlk belrtkenne eşttr. Faz belrtken se, (6..8 den φ ( f arctg( πf φ ( f = (6..3 TS + TL olarak saptanablr. Aynı şeklde, k-elektrot-schlumberger ve D.Ö.-k-elektrot süzgecnn fazlarının toplamının, D.Ö.-Schlumberger süzgecnn fazını verdğ (6..3 ve (5.3.8 bağıntılarında görüleblr: TS ( f φ ( f φ ( f φ = +. LS TL 5

127 6 Böylelkle, (6..8 bağıntısından H TS ( f = H ( f π f H ( f TL TL ve Fourer dönüşümünün türev özellğ kullanılarak (4.., ters dönüşüm le h TS ( x h ( x ( x htl = TL (6..3 x süzgeç fonksyonları arasındak lşkde saptanablr (Başokur 984a Dpol-dpol G. Ö. model eğrlernn hesabı çn doğrusal süzgecn kurulması Dpol-dpol G.Ö. Bölüm..4 de, ad ( R = R ( p T ( λ J ( λr λ dλ p R T ( λ J ( λr λ dλ (..7 bağıntısı le verlmştr. λ = exp( y ve R = exp( x değşken dönüştürümler le, ad ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p exp x y J exp x y exp x = T ( exp y dy p exp 3 x y J exp x y bağıntısı bulunablr. T ve ad sırası le grş ve çıkış se, süzgeç fonksyonu ( x ( p exp( x J ( exp( x p exp( 3x J ( exp( x htd = (6..3 olarak tanımlanablr ve smgesel gösterm le ( x T ( x * h ( x (6..33 ad = TD yazılablr. (6..6 denklemnden T(f nn, (6..33 bağıntısının Fourer dönüşümünde yerne konulması le H TD ( f ( f ( f RaD = H TL ( f R (6..34 al bulunablr. (5.4. bağıntısının R R ad al ( f ( f ( f = ( πf ( p πf = H, (5.4. LD (6..34 de yerne konulması le, H TD ( f = ( f ( p πf H ( f π (6..35 TL

128 7 süzgeç belrtken saptanmış olur. Genlk belrtken, A TD ( f ( + 4π f ( + p 4π f = (6..36 ve faz belrtken φ TD ( f φ ( f arctg( πf arctg( p πf = (6..37 TL olarak bulunablr. (6..36 bağıntısından D.Ö.-dpol genlk belrtkennn, k-elektrot-dpol genlk belrtkenne eşt ve (6..37 bağıntısından se D.Ö.-dpol-dpol faz belrtkennn, k-elektrot G.Ö. dpol G.Ö. çevren süzgecn ve D.Ö.-k-elektrot süzgecnn faz belrtkenlernn toplamına eşt olduğu görüleblr. Dpol süzgeç fonksyonunun, k-elektrot ve Schlumberger süzgeç fonksyonları le lşkler aşağıdak gb bulunablr. (6..35 denklemnden, H TD ( f = H ( f ( + p f H ( f + p ( πf H ( f LT ve Fourer dönüşümünün türev özellğnden h TD ( x h ( x ( + p h x π (6..38 LT ( x h ( x + p LT LT = LT (6..39 bulunablr (Başokur 984a. (6..8 denklemnn (6..35 de yerne konması le H TD ( f ( p f H ( f TS x = π (6..4 ve ters Fourer dönüşümü le h TD ( x h ( x ( x hts = TS p (6..4 x elde edleblr (Başokur 984a. 6.. SÜZGEÇLERĐN ÇOK YÖNLÜ KULLANIMI 6... Dpol-dpol G.Ö. model eğrlernn Schlumberger süzgec le hesaplanması Çeştl dpol-dpol açılım türler çn (..4 bağıntısındak p katsayısı değştrlerek, her dpol türüne at G.Ö. fades elde edleblr. Ancak, çok sayıdak dpol açılım çeştler çn çok sayıda süzgeç katsayısı grupları türetmek gerekr. Süzgeçlern kurulması ve denenmes çoğu zaman arazde yapılamayacağından, uygulamacı daha önce süzgeç katsayıları yayınlanmış dpol-dpol türlern kullanmaya zorunlu kalablr. Bu durum, özellkle p katsayısının θ açısına göre değştğ paralel dpol açılımının kullanımını oldukça kısıtlar. Bu güçlük D.Ö. fonksyonu yerne yen br çekrdek fonksyonu tanımı le dpol-dpol G.Ö. değerlern, Schlumberger G. Ö. formunda yazmakla yenleblr. Bu tür br tanım başka br amaçla lk kez Patella (98 tarafından yapılmış ve G. Ö. model eğrlernn hesabı amacı le yöntem Başokur (98 tarafından yenden gözden geçrlerek, her elektrot açılımına genelleştrleblecek br bçme sokulmuştur. LT

129 8 Schlumberger G.Ö. formundak bağıntıyı gerçekleyen br T SD (λ fonksyonunun bulunduğu varsayılsın: ( R = R T ( λ J ( λr λ dλ. (6.. ad SD λ=exp(-y ve R=exp(x değşken dönüşümler le, ad ( ( x T ( exp( y exp( ( x y J ( exp( x y exp = SD dy yazılablr. Eğer, T SD grş ve ad çıkış fonksyonu olarak düşünülür se, süzgeç fonksyonunun, yukarıdak varsayımın sonucu olarak Schlumberger süzgeç fonksyonuna eşt olduğu görüleblr. Yan, Schlumberger süzgecne T(λ yerne, T SD (λ grş olarak uygulanırsa, çıktı olarak Schlumberger G.Ö. yerne dpol-dpol G.Ö. elde edlr: ( x T ( x * h ( x. (6.. ad = SD TS Sorun, şmdlk belrsz olan T SD (λ fonksyonunu T(λ cnsnden bulmaktır. Bu amaç çn, (6..33 bağıntısında h TD (x yerne, (6..4 le verlen değer yazılır se ( x hts ad ( x = T ( x * hts ( x p (6..3 x ( x hts ad ( x = T ( x * hts ( x p T ( x * (6..4 x bağıntıları elde edlr. Evrşmn türev özellğnden, T ( x hts * x ( x T ( x = x * h TS ( x (6..5 ve (6..5 n sağ yanını (6..4 de yerne yazarak, ad veya ( x = T ( x * h ( x TS ( x T p x ( x * h TS ( x T ad ( x = T ( x p * hts ( x (6..6 x bulunablr. (6..6 ve (6.. nn karşılaştırılması le T SD ( x T ( x ( x T = p (6..7 x olduğu hemen görüleblr. Bu denklemde x=ln(/λ ya karşılık geldğnden ve

130 9 T x ( x T ( λ = λ λ (6..8 olduğundan, T SD ( λ T ( λ ( λ T = + p λ (6..9 λ yazılarak, T SD (λ tanımlanmış olur ve ( λ T ad ( r R T ( λ + λ λ J ( λr = dλ λ bağıntısı elde edleblr. T(λ, (.4.6 veya (.4.7 yneleme bağıntıları le kolayca hesaplanabldğnden, T(λ nın türev çn br yneleme bağıntısı gelştrleblr. Bölüm de T (λ çn yneleme bağıntısı aşağıdak bçmde verlmştr: T + T = tanh arg th + t. (.4.6 Eğer, T + f ( λ = arg th + λt le gösterlr se T ' = ' ( tan h( f ( λ f ( λ yazılablr. f (λ nın türev, argth fonksyonunun türevn kullanarak, ' T + f + T + ( λ = ' t ve o zaman T ' tanh = ( f ( ( tan h( f ( λ T λ = ' T + T+ + t olduğundan

131 T ' T = ' T + T + + t (6.. bulunablr. Son katman çn, Tn ( n λ = (.4.3 olduğundan ( λ T n = λ (6.. başlangıç değerler le T(λ fonksyonunun türev çn yneleme bağıntısı yürütüleblr. Böylece, T SD (λ fonksyonunun sayısal hesabı oldukça kolaylaşır Wenner, Schlumberger ve dpol-dpol G.Ö. model eğrlernn k-elektrot süzgec le hesaplanması Dpol-dpol G.Ö. eğrlernn Schlumberger süzgec le hesaplanmasına benzer olarak Wenner, Schlumberger ve dpol-dpol G.Ö. model eğrler de k-elektrot süzgec yardımı le hesaplanablr. Bu amaç çn, anılan üç elektrot açılımına at G.Ö. bağıntıları, yen çekrdek fonksyonları tanımlayarak, k-elektrot G. Ö. formunda yazılmalıdır. Şmd, T LW (λ gb br çekrdek fonksyonu tanımlaması le, Wenner G.Ö. n k-elektrot G.Ö. bağıntısı (.. formunda yazılableceğ varsayılsın: aw ( a = a T ( λ J ( λa dλ (6.. LW λ=exp(-y ve a=exp(x değşken dönüşümler le ( x T ( x * h ( x (6..3 aw = LW TL yazılablr. (6..4 bağıntısında, h TW (x yerne (6.. le verlen eşt yazılacak olursa, ( x = T ( x * ( h ( x h ( x ln aw TL TL + veya ( x = T ( x * h ( x T ( x * h ( x ln aw TL TL + ve evrşmn kayma özellğ kullanılarak, T ( x * h ( x + ln = T( x ln * h ( x TL + bulunablr. O zaman, TL

132 ( x = [ T ( x T ( x ln ]* h ( x (6..4 aw + yazılablr. (6..3 ve (6..4 ün karşılaştırılması le ( x T ( x T ( x ln TL T LW = + (6..5 ve x=ln(u olduğundan T LW ( u T ( u T ( u = (6..6 yazılablr. O halde, D.Ö.-k-elektrot süzgecne T(λ grş olarak uygulanırsa al, T LW grş olarak uygulanırsa aw elde edlr. Böylece, Wenner G.Ö. eğrs, k-elektrot süzgec le hesaplanablr (Başokur 983. Schlumberger G.Ö. n de, T LS (λ gb yen br çekrdek fonksyonu tanımlanması le k-elektrot G.Ö. formunda yazılableceğ varsayılsın: r LS ( s T ( λ J ( λs as = dλ. (6..7 Değşken dönüşümler le, ( x T ( x * h ( x (6..8 as = LS TL elde edleblr. Bu kez, (6..5 bağıntısında, h TS (x yerne, (6..3 le verlen eşdeğer yerne yazılır se as veya ( x = T ( x * h ( x T ( x TL ( x htl * x ( x T as ( x = T ( x * htl ( x (6..9 x ve bu denklemn (6..8 le karşılaştırılmasından, T LS ( x = T ( x T ( x x elde edleblr. (6..8 le λ değşkenne dönerek T LS ( λ T ( λ ( λ T = λ. (6.. λ bulunablr (Patella 98. Böylece, k elektrot süzgecne T LS fonksyonunun grş olarak uygulanması le Schlumberger model eğrler hesaplanablr. Schlumberger G.Ö. n yen fades

133 T( λ as ( s = s. T( λ + λ.j ( λs. dλ λ olarak verleblr. Dpol-dpol G.Ö. de, T LD (λ gb yen br çekrdek fonksyonunun tanımlanması le ( R = R. T.J ( λr. dλ (6.. ad LD k-elektrot G. Ö. formunda yazılablr. Değşken dönüşümler le ( x T ( x * h ( x (6.. ad = LD TL elde edlr. (6..33 de h TD (x yerne (6..39 le tanımlanan eşt yazılır, ad ( x T( x * h ( x ( x h ( x htl TL = TL ( + p + p x x ve evrşmn türev özellğnden, ( x T ( x T ad ( x T ( x ( p p * htl ( x x x = + + (6..3 ve (6.. le (6..3 ün karşılaştırılmasından T LD ( x = T ( x ( + T p x ( x T ( x + p x elde edleblr. x=ln(/λ olduğundan, T x ( x T ( λ = λ λ (6..8 T x ( x T ( λ T ( λ = λ bağıntılarından, + λ λ λ ( λ T ( λ T T ( λ = T ( λ + ( + p λ. + p λ. λ LD λ elde edleblr. Böylece, k-elektrot süzgec le dpol-dpol G.Ö. eğrlernn hesabı olanaklı olur (Patella 98. Ancak, T(λ fonksyonunun knc türev çn elde edlecek yneleme bağıntısı çok karmaşık olacağından, dpol-dpol G.Ö. model eğrlern Schlumberger süzgec le hesaplamak daha pratk olacaktır.

134 YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI D.Ö. fonksyonunun sayısal değerlern G. Ö. model eğrlerne çevren çok sayıda süzgeç katsayısı yayınlanmıştır. Bu tür süzgeçler lk kez Ghosh (97, 97a tarafından Schlumberger ve Wenner G.Ö. çn Fourer dönüşüm yöntem le hesaplanmıştır. Daha sonrak yıllarda, çeştl yazarlarca farklı örnekleme oranları çn yen süzgeç katsayısı grupları türetlmştr. Bu süzgeçlern kullanımı çn yapılacak seçmde k nokta temel alınmalıdır. Bunlar, komşu katman özdrençler arasındak oran ve G.Ö. eğrsnden beklenen duyarlılıktır. Örneğn, k komşu katmanın özdrençler oranı 5 den büyük değlse, Ghosh un (97 örnekleme oranı 3 çn hesapladığı katsayılar pratk amaçlar çn yeterldr (Koefoed 979. Daha duyarlı hesaplamalar çn daha küçük örnekleme oranı ve daha fazla sayıda katsayı gerekldr. Yayınlanmış katsayı gruplarından bazıları ve katsayıların numaraları çzelgelerde verlmştr. Yatay kayma sıfır numaralı katsayının yatay eksen değerne eşttr. Ancak, daha küçük örnekleme aralıklı ve daha fazla sayıda süzgeç katsayısına sahp süzgecn daha duyarlılıkta çalıştığı kesn olarak söylenemez. Duyarlılık büyük ölçüde, katsayıların hesaplanmasında kullanılan yola bağlıdır. Fakat, M= örnekleme oranı çn hesaplanmış katsayı grubunun M=3 örnekleme oranı çn hesaplananlardan daha y olacağı açıktır. Çzelge 6.4 de, Nyman ve Landsman (977 tarafından hesaplanan süzgeç katsayıları verlmştr. Bu katsayılar, yatay kaymayı sıfır yapan örnekleme oranları çn hesaplandığından ayrıca yatay eksen değerler verlmemştr. Bu değerler, katsayı numarası le örnekleme aralığının çarpımından bulunablr. Burada verlen katsayı gruplarından başka brçok grup yayınlardan bulunablr. Örneğn Johansen (975, örnekleme oranı M= çn 4 süzgeç katsayısını kapsayan Schlumberger süzgecn vermştr. Koefoed, Ghosh ve Polman (97, 6 süzgeç katsayısı olan k-elektrot süzgec yayınlamışlardır.

135 4 Çzelge. 6.. Solda D.Ö. fonksyonunu Schlumberger G.Ö. e çevren süzgeç katsayıları. Sağda D.Ö. fonksyonunu Wenner G.Ö. e çevren süzgeç katsayıları. M=3, x=ln/3, (Ghosh 97. Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı değer Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer Çzelge 6.. Katsayı No. Solda D.Ö.-Schlumberger ve sağda D.Ö.-Wenner süzgeç katsayıları. M=4, x=ln/4 (Koefeod 979. Yatay Eksen Katsayı Değer Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer

136 5 Çzelge 6.3. D.Ö.-Schlumberger süzgeç katsayıları. Solda, M=6, x=ln/6 (O Nell 975 Sağda, M= , x=ln/m (Guptasarma 98. Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer

137 6 Çzelge 6.4. D.Ö. değerlern, görünür özdrenç değerlerne çevren süzgeçler ( x=ln/m a Schlumberger M=4.438, b Schlumberger M=.448, c Dk dpol M=3.996, d Dk dpol M=.7, e Radyal dpol M=3.934, f Radyal dpol M=.5. Katsayı No. a b c d e f

138 7 PROGRAM 6. DĐL : BASIC Bu program G.Ö. model eğrlernn hesaplanması çn hazırlanmış olup, küçük değşklkler herhang br elektrot açılımı çn kullanılablr. G.Ö. eğrsn elde etmek çn D.Ö. fonksyonunun sayısal değerlern hesaplamak gerektğnden, Program. de kapsar. Örnek olarak verlen lste, Çzelge 6.5 dek Nyman ve Landsman ın (977 Schlumberger süzgeç katsayılarını kapsamaktadır. Zamandan kazanmak amacı le süzgeç katsayılarına karşılık gelen örnekleme aralığının yarısında D.Ö. fonksyonu hesaplanmakta ve k ayrı sayısal değer grubu oluşturularak, bu gruplara ayrı, ayrı evrşm uygulanmaktadır. Böylece, G.Ö. eğrs daha sık aralıklarla elde edlmektedr. Ancak; program akışı çnde, k ayrı grup ardışık ele alınarak, G.Ö. değerler süzgecn örnekleme aralığının yarısı br aralıkla kesntsz olarak hesaplanmaktadır. Programda kullanılan smgeler şunlardır: Q=Süzgeç katsayısı sayısı, F=poztf katsayı numaralı süzgeç katsayılarının sayısı, M=Örnekleme oranı, X=Yatay kayma. PROGRAM 6. DEF FNTANH (X FNTANH = ( - EXP(- * X / ( + EXP(- * X END DEF 3 Q=3: F=: M=4.438: X= INPUT VERI SY, N, KAT SY, L, ILK ABS, S 5 E=EXP(.5*LOG(/M: H=*Q-: U=S * EXP(-F*LOG(/M-X FOR I= TO L- 3 PRINT RO( ; I; ;: INPUT R(I 35 PRINT T( ; I; ;: INPUT T(I 4 NEXT I 5 PRINT RO( ; L; ;: INPUT R 7 FOR I= TO N+H 75 V=R: W=L 9 W=W- AA = FNTANH(T(W / U V = (V + R(W * AA / ( + T (W* AA / R(W 4 IF W> THEN 9 8 A(I=V 85 U=U*E 9 NEXT I FOR I= TO N G=5*A(I-6*A(I++46*A(I+4-746*A(I+6+65*A(I+8 G=G-439*A(I++3396*A(I+-784*A(I+4 3 G=G+6448*A(I+6+883*A(I+8+55*A(I+ 4 G=(G+336*A(I++5*A(I+4/ 5 PRINT S= ; S, G. O= ; G 6 S=S*E 7 NEXT I 8 END Program sırası le aşağıdak soruları sorar.. VERI SAYISI? Çıkışta G.Ö. n kaç adet sayısal değernn stendğ.. KAT SY? Hesaplanması stenen modeln katman sayısı. 3. ILK ABS? G. Ö.eğrsnn lk yatay eksen değer (geleneksel değşkenler cnsnden. 4. RO(? Đlk katmanın özdrenc

139 8 T(? Đlk katmanın kalınlığı RO(? Đknc katmanın özdrenc T(? Đknc katmanın kalınlığı.... RO(? Son katmanın özdrenc Bu soruların yanıtlanması le geleneksel değşkenler cnsnden yatay eksen değerler le bunlara karşılık gelen G. Ö. ler çıkış olarak verlr. ÖRNEK. Program 6. n sorularına aşağıdak yanıtları verrsek,. VERI SY? :. KAT SY? : 4 3. ILK ABS? :.5 4. RO(? : T(? : RO(? : 4 T(? : R(3? : T(3 : RO(4 : /3 Katman parametreler yukarıda verlen modele at Schlumberger G.Ö. n değerler Nyman ve Landsman (977 süzgec le aşağıdak gb hesaplanır. s as (s s as (s

140 9 ÖRNEK. Bu kez, parametreler =, t =, =5, t =5 ve 3 = olan br modele at Wenner G.Ö. eğrsn hesaplamaya çalışalım. Program 6., Schlumberger çn yazıldığından küçük değşklkler yapılmalıdır. Çzelge 6. de görüldüğü gb Ghosh un(97 Wenner süzgec katsayılıdır ve poztf katsayı numaralı 8 katsayısı vardır. Yatay kayma se, x =-ln.36=-.375 dr. Süzgeç katsayıları farklı olduğundan, 3,, ve 3 numaralı satırları aşağıdak gb değştrp, 4 numaralı satırı slerek Wenner G. Ö. hesaplayan program elde edleblr. 3 Q=: F=8: M=3: X=-LN(.36 G=-67*A(I+79*A(I+-53*A(I+4+46*A(I+6-935*A(I+8 G=G+3473*A(I+-334*A(I++566*A(I+4 3 G=(G+458*A(I+6+84*A(I+8/ Programa aşağıdak yanıtları vererek,. VERI SY? : 4. KAT SY? : 3 3. ILK ABS? : 4. RO(? : T(? : RO(? : 5 T(? : 5 RO(3? : zleyen sonuçlar bulunur. Dkkat edleceğ gb, süzgecn örnekleme aralığı ln/3 ken, süzgecn k kez uygulanması sonucu Wenner G.Ö. değerlernn örnekleme aralığı ln/6 dır. a aw (a a aw (a

141 3 Bölüm 7 ÖLÇÜLEN GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ DEĞERLERĐNDEN DÖNÜŞÜK ÖZDĐRENÇ FONKSĐYONUNUN SAPTANMASI Öncek bölümlerde verlen br yeraltı model çn D.Ö. fonksyonunun ve ondan G.Ö. model eğrsnn hesaplanması anlatılmıştır. Araz çalışmalarında yeraltı blnmedğnden, katman parametrelern çözmek çn ölçülen G.Ö. eğrsnn, D.Ö. eğrlerne dönüştürülmes stenr. G.Ö. eğrs katman parametrelerne ntegral denklemler le bağlı olduğu halde, D.Ö. eğrs cebrsel br denklemle bağlıdır. Bu yüzden katman parametrelernn D.Ö. eğrsnden elde edlmes, cebrsel şlemler le yapılablr. Doğrudan yorum olarak adlandırılan bu yolun lk adımını gerçekleştrmek çn her elektrot açılımına at G.Ö. eğrlern, D.Ö. eğrlerne çevren süzgeçlern kurulması gerekr. Bu dönüştürme şlem Bölüm 9 da verlen en-küçük kareler yöntem le de gerçekleştrleblr Đk elektrot görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren doğrusal süzgecn kurulması Đk nokta elektrot G.Ö. bağıntısı, Bölüm. de aşağıdak gb verlmştr: al ( L = L T ( λ J ( λl dλ. (..4 Đntegral çn λ le çarpıp, bölerek, al ( L T ( λ L = L J ( λl λ dλ yazılablr ve (.4., (.4. Hankel dönüşüm çft kullanılarak, T ( λ ( L λ = al L ( = λ ( L J ( λl al J ( λl L dλ T λ dλ (7.. bağıntıları bulunablr. λ=exp(-y, L=exp(x değşken dönüşümler le L = ken L = ken dl = exp( xdx x = - x = + olduğundan T al ( exp( y = ( exp( x J ( exp( ( y x exp( ( y x dx (7..

142 elde edleblr. (7.. denklemnn br evrşm ntegral olduğu görüleblr. al (exp(x grş ve T(exp(-y çıkış fonksyonu olarak düşünülür se, süzgeç fonksyonu zleyen bağıntı le tanımlanablr: ( y exp( y J ( exp( y htl =. (7..3 Bu bağıntı, D.Ö. fonksyonunu G.Ö. çevren süzgeç fonksyonunun ters şaretlsne eşttr. Değşkenlern anlamlarını ytrmemes koşulu le (7.. evrşm ntegral aşağıdak smgesel gösterm le verleblr: T ( y h ( y * ( y =. (7..4 TL al Burada; G.Ö. çn y=ln (L ve D.Ö. çn y=ln (/λ dır. Süzgeç fonksyonu belrlendğnden, P- yanıt çn, b TL ( y h ( y * P( m y = (7..5 TL yazılablr. P(m. y yerne, snc veya snsh fonksyonunun konulmasına göre, b LT (y snc yanıt veya snsh yanıt olarak adlandırılablr. (7..5 bağıntısı yardımıyla P-yanıt doğrudan ntegrasyon le bulunablr. Ancak, Bessel fonksyonlarının salınımları nedenyle doğrudan ntegrasyonu yürütmek oldukça güçtür. Süzgeç katsayılarını yürütmek çn Fourer dönüşüm yöntem kullanılmak stenrse, süzgeç belrtken dönüşük özdrenç-k-nokta elektrot süzgeç belrtkennden hemen bulunablr. (6.. bağıntısının Fourer dönüşümünden, R T ( f ( f al ( f = H (7..6 TL ve (7..4 bağıntısının Fourer dönüşümünden T R ( f ( f al ( f = H (7..7 LT elde edleblr. (7..6 ve (7..7 den, H ( f LT = H TL ( f olduğu görüleblr. Her k süzgeç brbrlerne göre ters şlev yerne getrdklernden, süzgeç belrtkenlernn brbr le çarpımı bre eşttr. Bölüm (6.. de, H TL (f belrlendğnden, 3 H LT ( f = πf Γ + πf Γ πf (7..8 bağıntısı doğrudan yazılablr.

143 3 Benzer şeklde, genlk belrtkenler arasındak, A ( f LT = A TL ( f lşksnden, A LT ( f = (7..9 bulunablr. Faz belrtken φ LT ( f φ ( f = (7.. TL olacağından, (6.. ve bağıntısının ters şaretls olarak tanımlanablr. Genlk ve faz belrtkenler blndğnde, Nyqust frekansında kesm şlem le genlk ve faz zgeler, daha sonra Fourer dönüşümü le snc veya snsh yanıt saptanablr Wenner görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren doğrusal süzgecn kurulması Bu süzgecn, süzgeç fonksyonu çn şmdye kadar br bağıntı elde edlmemştr. Bunun neden D.Ö. çn G.Ö. çn br ntegral denklemnn kurulmamasıdır. (..9 Wenner G. Ö. bağıntısını Hankel dönüşümü olarak değl k Hankel dönüşümünün toplamı olarak düşünüleblr. Ancak, bu sonuç doğrusal süzgeç uygulamasını engellemez. Fakat, süzgeç fonksyonu belrl olmadığından doğrudan ntegrasyon yöntem süzgeç katsayılarının hesaplanmasında kullanılamaz. Süzgeç belrtken, D.Ö. fonksyonunu G.Ö. eğrsne dönüştüren süzgeç belrtkennn ters olduğundan, H WT ( f c = ln = H TW = ( f ( exp( π cf H TL ( f veya H WT ( f H LT ( f ( exp( πcf = (7.. yazılablr. Aynı yol le genlk belrtken, (6.. den A WT ( f ( 5 4 cos( cf = π (7.. olarak bulunablr. Bu genlk belrtkennn, Wenner G.Ö. değerlern, k-elektrot G.Ö. değerlerne çevren genlk belrtkenne eşt olduğu görüleblr. Faz belrtken se, (6..3 D.Ö.- Wenner süzgecnn faz belrtkennn ters şaretls alınarak, φ WT ( f = φ ( f TW

144 33 φ WT ( ( π ( π sn cf f = arctg φtl f ( cos cf ( (7..3 şeklnde bulunablr Schlumberger görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren süzgecn kurulması Schlumberger G.Ö. bağıntısından (..4 ve Hankel dönüşüm çft (.4. ve (.4. den yararlanılarak, T(λ zleyen bağıntı le verleblr: ( s as T ( λ = J ( λs ds (7..4 s ve λ=exp(-y, s=exp(x değşken dönüşümler le T - ( exp( y = ( exp( x J exp( ( y x ( dx (7..5 as evrşm ntegral le elde edleblr (Gosh 97. Burada, as (exp(x grş ve T(exp(-y çıkış fonksyonu se süzgeç fonksyonu zleyen bağıntı le verleblr. ( y J ( exp( y hst =. (7..6 O zaman P-yanıt b ST ( y = h ( y * P( m x ST bağıntısından doğrudan ntegrasyon le bulunablr. Dğer seçenek, Bölüm 6..3 de verlen D.Ö.- Schlumberger süzgecn bre bölerek, süzgeç belrtkenn bulmaktır: H H ST ST ( f ( f = H = = TS ( f (( πf H TL ( f H LT ( f ( π f. (7..7 Genlk belrtken, (6..9 bağıntısı bre bölünerek, A ST ( f TS ( f ( + 4 f = = π (7..8 A ve faz belrtken (6..3 bağıntısının şaretn değştrerek ( f = ( f = arctg ( f ( f φ φ π φ ST TS TL ST ( f arctg ( f ( f φ = π + φ (7..9 LT

145 34 eştlkler bulunablr. (7..8 le verlen Schlumberger-D.Ö. genlk belrtken ve (5.3. bağıntısı le verlen Schlumberger-k elektrot genlk belrtkennn aynı olduğu görüleblr Dpol görünür özdrenç eğrsn dönüşük özdrenç eğrsne dönüştüren süzgecn kurulması Wenner-D.Ö. süzgecne benzer olarak, (..7 bağıntısından dpol süzgeç fonksyonunu elde etmek olanaksızdır. Böylece, dpol süzgeç katsayıları doğrudan ntegrasyon le bulunamazlar. Ancak, bu süzgeç Bölüm 6..4 de verlen ve D.Ö. fonksyonunu, dpol-dpol G.Ö. eğrsne dönüştüren süzgecn ters süzgec olduğundan, genlk ve faz belrtkenler elde edleblr ve Fourer dönüşüm yöntem le süzgeç katsayıları saptanablr. Süzgeç belrtken (6..35 bağıntısının bre bölünmes le H DT ( f ( f H LT ( f (( πf ( p πf = = (7.. H TD ve genlk belrtken (6..36 bağıntısından A TD ( f TD ( f ( ( + 4 f + p 4 f = = π (7.. A ve faz belrtken (6..37 denklemnn şaretn değştrerek φ DT ( f φ ( f = φ ( f + arctg( πf + arctg( p πf = (7.. TD LT saptanablr. (7.. genlk belrtken le dpol-k elektrot genlk belrtkennn (4..5 aynı olduğu görüleblr. 7.. YAYINLANMIŞ SÜZGEÇ KATSAYILARI G.Ö. eğrlern, D.Ö. eğrsne çevren k süzgeç lk kez Ghosh (97 tarafından Schlumberger ve Wenner açılımları çn türetlmştr. Bu süzgeçlern örnekleme oranı 3 olup, komşu k katmanın özdrençler oranı 5 den büyük değlse y sonuçlar vermektedrler. Çzelge 7. de süzgeç katsayıları verlmştr. Schlumberger G.Ö. değerlern, D. Ö. değerlerne çevren k katsayı grubu Çzelge 7. de verlmştr. Solda, M=4 örnekleme oranı çn Koefoed (979 ve sağda M=6 örnekleme oranı çn O Nell (975 tarafından verlen süzgeç katsayıları görülmektedr. Çzelge 7.3 de Das, Ghosh ve Bewnga (974 tarafından M=3 çn ve Çzelge 7.4 de Koefoed (979 tarafından M=4 çn hesaplanan süzgeç katsayıları verlmştr. Çzelge 7.5 de, Nyman ve Landsman (977 tarafından hesaplanan Schlumberger, dk dpol ve radyal dpola at süzgeç katsayıları verlmştr. Bu katsayılar, yatay kaymayı sıfır yapan örnekleme oranları çn hesaplandığından ayrıca yatay eksen değerler verlmemştr. Bu değerler, katsayı numarası le örnekleme aralığının çarpımından bulunablr.

146 Çzelge 7.. Solda, Schlumberger G.Ö. değerlern, D.Ö. değerlerne çevren süzgeç katsayıları, sağda Wenner-D.Ö. süzgeç katsayıları (M=3, x=ln/3. Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer Çzelge 7.. Schlumberger-D.Ö. süzgeç katsayıları, solda M=4 (Koefoed 979 ve sağda, M=6 (O Nell 975. Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer

147 36 Çzelge 7.3. Dpol-dpol G.Ö. değerlern, D.Ö. değerlerne çevren süzgeç katsayıları, yatay kayma radyal dpol çn x =-Ln(.36, paralel dpol çn x =-Ln(.38, dk dpol çn x = - Ln(.59. Örnekleme oranı M=3 (Das, Ghosh ve Bewnga 974. Radyal Katsayı No. dpol Yatay Eksen Paralel Katsayı No. dpol (3 Yatay Eksen Katsayı Değer Katsayı Değer Dk dpol Katsayı No. Yatay Eksen Katsayı Değer

148 Çzelge 7.4. Dpol-dpol G.Ö. değerlern, D.Ö. değerlerne çevren süzgeç katsayıları, M=4, x=ln/4 (Koefoed 979. Radyal Katsayı No. dpol Yatay Eksen Paralel Katsayı No. dpol (3 Yatay Eksen Katsayı Değer Katsayı Değer Dk Katsayı No. dpol Yatay Eksen Katsayı Değer

149 38 Çzelge7.5. a Schlumberger M=4.438, x=ln(/m b Schlumberger M=.448, c Dk dpol M=3.996, d Dk dpol M=.7, e Radyal dpol M=3.934, f Radyal dpol M=.5. Katsayı No. a b c d e f

150 39 Bölüm 8 JEOFĐZĐK YORUMUN ĐLKELERĐ 8.. JEOFĐZĐK UYGULAMALAR ĐÇĐN AKIŞ ŞEMASI Şekl 8. de eofzk aramalarda uygulanan aşamaları gösteren br akış şeması görülmektedr. Đlk aşamayı oluşturan ver toplama, kullanılacak eofzk yöntemn ve ölçüm sstemnn seçmn, arama tasarımının yapılmasını kapsar. En uygun eofzk yöntemn veya yöntemlern seçm brçok etkene bağımlıdır. Seçlen yöntemn duyarlı olduğu fzksel özellklern arama amaçlarına uygunluğu en öneml etkenlerden brdr. 8.. VERĐ TOPLAMA Ölçü hattı doğrultularının tasarımı ve ölçü noktalarının yerlernn saptanması da hedef kütlenn yanıtını belrleyen etkenler arasındadır. Jeofzk aramanın başarısı, uygulanılacak yöntemn yanıtının, kuramsal hesaplamalar ve sonda karotlarına uygulanan laboratuar ölçümlernn yardımı le dkkatlce gözden geçrlmes ve bu etkenlern eolok durum le lşklernn anlaşılmasına bağlıdır. Ver toplama elektronk aygıtların kullanımı le gerçekleştrlr. Ver genellkle sayısal olarak kaydedlr ve modern sstemler very bellekte tutarak, stendğnde blgsayara veya ver saklama brmlerne aktarablr. Ver Toplama Ver Sunumu Ver İşlem Model Seçm ve Model Parametrelernn Kestrm Yorum 8.3. VERĐ SUNUMU Karar Şekl 8.. Jeofzk çalışmalar çn yalınlaştırılmış akış şeması. Jeofzk çalışmaların knc adımı ver sunumudur. Ölçülen ver brçok yol kullanılarak görselleştrleblr. Br ölçü noktasına at ver sonda eğrs çzm le sunulablr. Bu bölüme kadar olan grafklern brçoğu bu yöntem le çzlmştr. Ölçülen fzksel ncelk olan gerlm farkı değerler, kullanılan akım şddet ve geometrk katsayı yardımı le normalleştrlerek, önce görünür özdrenç değerlerne çevrlr ve bu değerler kullanılan elektrot açılımına bağlı olarak

151 4 görüntülenr. Bu türde br ver sunumu, ölçülen fzksel ncelğn, dernlğe bağlı değşm hakkında blg verr. Elektrk verlern sunumunda sıkça kullanılan dğer br yöntemde br profl boyunca görünür özdrenç değerlernn değşmnn görüntülenmesdr. Bu çzm bçm, ölçü noktaları br hat üzernde olduğunda uygulanır. Bütün sonda eğrlernden, belrl br elektrot açıklığında ölçülen görünür özdrenç değerler uzaklığın fonksyonu olarak çzlr. Bu tür br ver sunumunun amacı, araştırma hattı boyunca ölçülen vernn yanal yönde değşmn görüntülemektr (Şekl 8.. Ölçü noktaları doğrusal br hat üzernde sıralandığında, yapma-kest kavramı le yararlı blgler elde edleblr. Yatay eksen uzaklığa, düşey eksen se elektrot açıklığına (bağıl dernlk karşılık gelmek üzere, eş görünür özdrenç değerler brleştrlr (konturlama. Bu şeklde, yapma-kest çzm hem yanal hem de düşey yönlerdek değşmler yansıtır (Şekl 8.3. Şekl 8. ve Şekl 8.3 aynı verden yararlanarak görüntülenmşlerdr ve k farklı ver sunum yöntemnn kullanımına örnek oluştururlar. Sevye hartası se belrl br elektrot açıklığı çn bütün çalışma alanını kapsayacak şeklde ölçülen görünür özdrenç değerlernn konturlanması le elde edlr. Yapma-kestler ve sevye hartaları le hedef kütlenn yer ve uzanımı hakkında ntel br yorum yapılablr (Şekl 8.4. Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ Uzaklık (m Şekl 8.. Profl Eğrler. AB/ (metre x(metre (Batı-Doğu Gör. Özd to 4 87 to to 87 7 to 78 6 to 7 53 to 6 44 to to 44 7 to 35 8 to 7 9 to 8 Şekl 8.3. Alacahöyük te ölçülen görünür özdrenç yapma-kest.

152 4 Doğu Kuzey Güney İstasyon No. (Batı-Doğu Profl No. (Kuzey-Güney Batı AB/=9 m to to 5 4 to to 4 33 to 37 9 to 33 5 to 9 to 5 6 to to 6 8 to İstasyon No. ( Batı-Doğu Profl No. (Kuzey-Güney AB/= m to to 5 4 to to 4 33 to 37 9 to 33 5 to 9 to 5 6 to to 6 8 to İstasyo No. (Batı-Doğu Profl No. (Kuzey-Güney AB/=3 m to to 5 4 to to 4 33 to 37 9 to 33 5 to 9 to 5 6 to to 6 8 to Şekl 8.4. Alacahöyük 9 m (a, m (b ve 3 m (c çn GÖ sevye hartaları (Candansayar ve Başokur.

153 MODEL Ncel yorumlama, ver-şlem aşamasında gerçekleştrlr. Önce, yeraltı fzksel brmlere bölünerek, gerçek eolok durum bastleştrlr. Bu şlem sonucunda elde edlen şekllere model adı verlr. Bu bastleştrmenn amacı, blgsayarda kısıtlı sayıda parametre le çalışarak hesaplama zamanının azaltılmasıdır. Model geometrs ve fzksel özellğ farklı brçok elemanın bleşmnden oluşur. Elemanları tanımlamak çn gereken geometrk ve fzksel değerler parametre olarak adlandırılır. Elektrk ve elektromanyetk yöntemlerde genellkle üç tür model kullanılmaktadır. En bast,,,...,, +,..., n özdrençl ve t, t,,t, t +,..., t n- kalınlıklarındak tekdüze ve zotrop katmanlardan oluşan br-boyutlu (-B modeldr (Şekl 8.5a. Đk-boyutlu (-B model se özdrençlern ölçü hattı doğrultusunda ve düşey yönde değştğ, ancak kest düzlemne dk yönde değşmedğ varsayımı le elde edlr. Yerç, özdrenç değerler ve boyutları le ayrı fzksel brmler oluşturan brçok bloğa bölünür (Şekl 8.5b. Üç boyutlu model se yeraltının gerçeğe yakın br modelnn kurulmasında daha başarılıdır. Yeraltı, boyutları sabt dkdörtgen przmalarına bölünür. Her przmanın kendne özgü br özdrenç değer vardır (Şekl 8.5c. t (a t n t n 3 (b 3 (c Şekl 8.5. Elektrk ve elektromanyetk yöntemlerde kullanılan modeller: a Br-boyutlu (-B, b kboyutlu (-B, c üç-boyutlu (3-B.

154 DÜZ ÇÖZÜM Seçlen br model çn ver ve parametreler brbrne bağlayan matematk bağıntı düz çözüm olarak adlandırılır ve modeln belrl br fzksel durumu çn ölçülmes gereken vernn önceden kestrlmesnn sağlar. Bu anlamda, parametreler le ver arasındak lşky verr. Kuramsal ver veya model yanıtı, parametrelere atanan bazı sayısal değerler yardımı le düz çözümden hesaplanan sayısal verdr TERS ÇÖZÜM Ölçülen verden, parametre değerlernn hesaplanması ters çözüm olarak adlandırılır. Bu şlem, brçok kez model yanıtın hesaplanmasını gerektrr. Elektrot açıklığı, bu şlem le dernlk eksenne çevrlr. Örneğn, -B ters çözüm şlem sonucunda türetlen model blokların gerçek özdrenç değerlernn çzm, eolok kestle karşılaştırılablr br görüntü elde edlr. Şekl 8.6 de yeraltı parametrelernn çözümü çn kullanılan strate ve kavramlar görülmektedr. Ters-çözüm yöntem, ölçülen ver le kuramsal ver arasında çakışma sağlayan (en-küçük kareler anlamında parametrelern bulunması esasına dayanmaktadır. Ters-çözümün brnc adımı br modeln kurulmasıdır. Model parametreler çn br ön-kestrm, yorumcu tarafından sağlanır ve ön-kestrme karşılık gelen kuramsal ver hesaplanarak, ölçülen ver le karşılaştırılır. Daha sonra, ölçülen ve kuramsal vernn çakışma derecesn arttırmak amacı le parametreler yenlenr. Bu şlem, k ver kümes arasında yeterl br çakışma elde edlnceye kadar ynelenr. Model yanıtı le ölçülen ver arasındak farkları en aza ndrmek çn yapılan yneleme şlemnn sayısı, ön-kestrm değerlernn gerçeğe yakınlığı ve vernn gürültü çerğ le lşkl olup, gürültü bazı durumlarda yneleme şlemnn yakınsamasını engelleyeblr. Ters-çözüm yöntemnn en öneml problem, model seçm veya ön-kestrm değerlernn gerçeğe yakın olmaması neden le stenmeyen sonuçların elde edleblmesdr. Ayrıca, yöntemn doğru çözüme doğru yakınsayacağının garants bulunmamaktadır. Bu nedenle, eolok koşullar çerçevesnde kabul edleblr br çözümün bulunablmes çn yorumcunun yol gösterclğ kesnlkle gerekmektedr. Yeraltının gerçekç temsl çn seçlen modeln türü oldukça önemldr. Eğer, -B model kullanılır se hesaplamalar daha kolay yapılablr. Ancak, -B ters-çözüm sadece yeraltı katmanlarının yatay olması durumunda doyurucu sonuç üreteblr. Aks takdrde, -B ters-çözüm yöntemnn kullanılması gerekr. Brçok ölçü noktasının düz br hat üzernde bulunması durumunda, -B ters-çözüm şlem gerçekleştrleblr. Bu nedenle, -B ters çözümde blgsayar bellek gereksnm yüksek olmasına rağmen, günümüz blgsayarları çn öneml sorunlar yaratmaz. Arama bölgesnde çok sayıda ölçü hattı bulunması durumunda, 3-B ters-çözüm şlemnn en y sonuçları vereceğ açıktır. Ancak, yöntem çok güçlü blgsayarlara gerek duyar. Bu nedenlerle, -B ters-çözüm yöntem, -B ve 3-B yöntemlere göre daha çok kullanılan ncel yorumlama yöntemdr YORUM VE KARAR Ters-çözüm şlem br fzksel model üretr ve eofzk mühends, eolok koşulları göz önünde tutarak bu sonuç modeln açıklamasını, eolok brmler le elde edlen fzksel model lşklendrerek yapmalıdır. Bu tür lşklendrme yorum olarak adlandırılır ve kuramsal blg, uygulama deneym ve hatta ymser veya kötümser kşlkte olma gb br çok etkene bağlıdır. Son aşamada, çalışma alanının ekonomk özellkler de göz önüne alınarak, mekank sonda yapılıp, yapılmayacağına karar verlr.

155 44 Model Düz Çözüm Kuramsal Ver Ölçülen Ver fzksel ve geometrk parametreler matematk bağıntı en-küçük kareler le karşılaştır parametre (ön-kestrm ve değşkenn değerler model parametrelern değştr hayır çakışmazlık belrl br değerden küçük mü? evet sonuçları yaz Şekl 8.6. Ncel yorumlamanın yalınlaştırılmış akış şeması.

156 45 Bölüm 9 AĞIRLIKLI EN KÜÇÜK-KARELER YÖNTEMĐ ĐLE VERĐ ĐYĐLEŞTĐRME VE DÖNÜŞÜM ĐŞLEMLERĐ 9.. ÖLÇÜ YANILGILARI VE GÜRÜLTÜLERĐN SINIFLANDIRILMASI Yorum çn kullanılan yöntemn yanı sıra, ölçü yanılgıları ve vernn gürültü kapsamı da parametre kestrmne öneml ölçüde etk eder. Bu etklern uygun yöntemler le azaltılması, tersçözüm yöntemlernn hız ve yakınsamasını yleştrr. Ölçme koşullarından kaynaklanan, k tür gürültü kaynağı vardır. Bunlar, rasgele (random ve sstematk (systematc gürültüler olarak adlandırılır (Bevngton 969. Rasgele gürültüler, değşkenn br değer çn ynelenen ölçümlerdek kararsız değşmelerdr. Ölçüm aygıtlarının duyarlılığının sınırlı olması, rasgele gürültülern başlıca kaynağıdır. Ölçüler, değşkenn br değer çn ynelenr se, ölçü değerlerndek belrszlk statstk analz yardımı le tanımlanablr. Örneğn, bu amaç çn ölçü değerlernn standart sapmaları kullanılablr. Her ölçüm değerne, standart sapması le ters orantılı br ağırlık katsayısı atanarak, gürültülü vernn duyarlı ölçülere göre ters-çözüm sonuçlarına daha az etk etmes sağlanablr. Bu yöntem, uygulamalı eofzkte en çok kullanılan yöntemlerden brsdr. Eğer, araz uygulamalarında, ölçüler tekrarlanmamış se standart sapmalar blnemez ve bu durumda rasgele gürültüyü temsl etmek üzere bütün ölçülern genel ntelğne bağlı br ağırlık katsayısı, bütün ölçü noktalarına atanır. Sstematk yanılgılar, ölçüm sstemnn kalbrasyonunun yanlış yapılmasından, ölçüm aygıtlarının yanlış konumlara yerleştrlmesnden, ölçü sstem le ona bağlı aygıtların bağlantılarının kötü veya yanlış yapılmasından ve gözlemcnn yaptığı gözlem yanılgılarından oluşur. Bu koşullarda, statstk analze başvurmak, genellkle kullanışlı değldr. Ölçülern tekrar edlmes, ölçülern duyarlılığını (precson arttırmakla brlkte doğruluğunu (accuracy arttırma konusunda yardımcı olmaz. Araz çalışmasının yapıldığı sırada, sstematk yanılgılar fark edleblrse, bunlar hesapla veya başka br çare düşünülerek, ölçülerden gderleblr ve ölçü doğruluğu arttırılablr. Aks takdrde, sstematk yanılgıların düzeltlme fırsatı ortadan kalkar ve br çok araz çalışmasında br blnmeyen olarak kalablrler. Genellkle, hem rasgele hem de sstematk yanılgılar neden le verde küçük saçılmalar gözlenr. Bu durumda, sstematk yanılgılar, rasgele yanılgılar le brleştrlerek, ölçü belrszlkler statstk yöntemler le nceleneblr. Ancak, br veya brkaç ölçü değernde, rasgele gürültünün az, dolayısı le standart sapmanın küçük olmasına rağmen, sstematk yanılgı büyük olablr. Bu ölçü değerler, dğer gözlem değerlernden oldukça farklı değerler alırlar ve saçılma gösterrler. Bu değerler saçılmış (outler olarak adlandırılır. Saçılmış vernn öneml olduğu koşullarda, standart sapmaların yerne, ya farklı br ağırlık atama yöntem yada ters-çözüm çn en-küçük kareler yerne en-küçük mutlak değerler yöntem kullanılmalıdır. Rasgele ve sstematk gürültülern dışında, öneml br yanılgı kaynağı da, ters-çözüm çn ele alınan modeln, yeraltı koşulları le olan uyumsuzlukları yada bu modelden sapmalarıdır. Ard arda düşey faylardan oluşan br araznn, yatay katmanlı br ortam model le çözülemeyeceğ açıktır. Burada sözü edlen modelden sapmalar, yeraltının ele alınan model le genel uyumluluk göstermes durumunda, haff dalgalı topografya, yanal yöndek küçük ölçekl fzksel değşmler ve yüzeye yakın küçük kütleler gb model çersnde parametreleştrlmes olası olmayan değşmlern oluşturduğu yanılgılardır. Modelden sapmalar kavramı Bölüm da ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

157 GÜRÜLTÜ GĐDERME YÖNTEMLERĐ Jeofzk ölçümler sırasında kaydedlmek stenmeyen, ancak aletsel ve dış etkenlerle ölçülere katılımı önlenemeyen değerler 'gürültü' olarak adlandırılır. Gürültüler eofzk yorumlamanın duyarlılığını öneml ölçüde etkler. Bu sorunun üstesnden geleblmek çn genel olarak k yol zlenmektedr. Brncs, yorum aşamasından önce çeştl ver-şlem teknkler kullanılarak verdek gürültü oranının en aza ndrlmeye çalışılmasıdır. Böylece, gürültüden arındırıldığı varsayılan ver üzernde çeştl yorumlama yöntemler uygulanablr. Đknc yol se, ölçülen verye hçbr ön şlem uygulamadan, parametre kestrm yöntemlernn uygulanmasıdır. Bu durumda, sonuçların gürültüden etklenmesn azaltmak amacıyla her ver noktasına kapsadığı gürültü le ters orantılı br ağırlık katsayısı atanır. Bu k yol farklı görülse de, gerçekte br ver değerne ağırlık katsayısı atanması br çeşt yuvarlatma şlemdr. Ağırlık katsayısı atanması yoluyla ver üzernde oluşan değşklkler yorumcu tarafından blnemez. Ver yleştrme yöntemlernn önceden uygulanması, gürültü bastırma teknklernn sonuçlarının görsel olarak denetlenmesn sağlar. Bu yöntemn zayıf yanı se, ters çözüm yöntemlernn uygulanması durumunda hesaplanan parametre değerlerne ölçü yanılgılarının etklernn blnmemes ve parametre statstğnn gerçekç br şeklde yapılamamasıdır. Günümüzde, anılan k yöntemden brnn kullanımında kşsel terchler söz konusudur. Đzleyen bölümde, br ver yleştrme yöntem önerlecek ve gelecek bölümlerde her k yöntem lşklendrlecektr. Ver yleştrme amacı le en sık kullanılan yöntemler br alçak-geçşl süzgeçlerdr. Alçakgeçşl süzgeçler, vernn belrl br frekansın üzerndek bleşenlern söndürdüğünden, yüksek frekans çerkl gürültüler bu şlem le verden atılablrler. Süzgeç katsayıları le sayısal vernn evrştrlmes le gerçekleştrlen bu şlem, özünde br yuvarlatma şlemdr. Yöntemn üstünlüğü, vernn hang frekanstan daha yukarıdak bleşenlernn söndürüldüğünün blnmesdr. Ancak, bu yöntem kullanablmek çn süzgecn önceden düzenlenmes, yan süzgeç katsayılarının hesaplanması ve doğruluğunun denenmes gerekmektedr. Sayısal evrşm eşt aralıklı ver le gerçekleştrldğnden, eşt aralıklarla kaydedlmemş vernn yenden örneklenmes gerekr. Ayrıca, bu yöntem le ara değer bulma (nterpolaton ve uzatma (extrapolaton gb şlemlern gerçekleştrlmes olanaklı değldr. Dğer br yuvarlatma yöntem se, vernn sayısal değerlernn br fonksyona (doğru, polnom, kübk splne vs. yaklaştırılmasıdır.vernn sayısal değerne kuramsal br fonksyonun yaklaştırılması, vernn davranışına uygun br fonksyonun bulunamaması durumunda başarısız olablr. Burada, verlecek olan yuvarlatma yöntem, yukarıda anılan her k yöntemden de farklı olup, düşey elektrk sondaı verlernn -B düzgünlülüğü (-D smoothness esasına dayanmaktadır (Başokur 997, EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMĐ ĐLE VERĐ ĐYĐLEŞTĐRĐLMESĐ Yuvarlatma şlem, ölçülen verden daha az gürültü kapsayan vernn elde edlmes olarak tanımlanablr. Ara değer bulma şlem, k sayısal vernn yatay eksenler arasındak br yatay eksen değernde ölçülmes beklenlen ncelğn hesap yoluyla saptanmaya çalışılmasıdır. Uzatma se aynı şlemn, ölçülern alındığı yatay eksen aralığı dışındak br yatay eksen değer çn gerçekleştrlmesdr. Yenden örnekleme (re-samplng, eşt yatay eksen aralıklarında vernn yenden elde edlmesdr. Ver yleştrlmes çn anılan şlemlern brne veya brkaçına gereksnm duyulablr. Bu şlemlern tümünün yapılmasına olanak veren br yöntemn kullanılması ver yleştrme aşamasına esneklk ve kolaylık getrecektr. Burada verlen yöntem, m adet kuramsal

158 fonksyonun doğrusal bleşmnn (lnear combnaton ölçülen vernn sayısal değerlerne yaklaştırılması temelne dayanmaktadır. Yaklaştırma şlem le elde edlmes beklenen sayısal değerler, 47 f m ( x = b.g ( x ; = = ε,,...,n (9.3. bağıntısından hesaplanacaklardır. Burada, n ver sayısı, m çakıştırma fonksyonlarının sayısıdır. ver, se çakıştırma fonksyonları çn sayaçtır. ε katsayıları çakıştırma fonksyonlarının yatay eksen boyunca yerleştrlmesn sağlar ve çakıştırma fonksyonu sayısı le kullanılan yatay eksen aralığına bağlı olarak şlem öncesnde saptanır ve değştrlmezler. f ( x değerler, d ölçü değerlerne br yaklaşımı verr. f değerlernn, ölçü b değerler blnmeyen katsayılar olup, ( değerlerne yaklaşmasını sağlayacak şeklde hesaplanmaları gerekmektedr. ayrıştırma katsayıları (decomposton coeffcents olarak adlandırılır. x b değerler Çakıştırma fonksyonu olarak, kullanılan eofzk vernn davranışına benzer davranış gösteren ve fzksel anlamı bulunan fonksyonlar seçlmeldr. Sayısal hesaplamaları yürütmek çn ε =.5 x ve x n ölçü alınan en büyük yatay eksen olmak üzere genellkle ε m = xn alınır. Dğer ε katsayıları, yatay eksen üzernde çakıştırma fonksyonları homoen dağılacak şeklde hesaplanır. Böylece, çakıştırma fonksyonları yatay eksen boyunca dağıtılmış olur KATSAYILARIN ÇÖZÜMÜ Çakıştırma fonksyonunun seçm le problem, ölçülen y yaklaştıran d değerlerne, ( f fonksyonunu en b katsayılarının hesaplanmasına ndrgenr. Ölçülen ve kuramsal değerler çakıştırmak çn f ( x ve d verlernn sayısal değerlernn farklarının karelernn toplamı en küçükleneblr: n = = ( d f ( x E( b mnmum. (9.4. f ( x yerne eştn koyarak, n m E( b = ( d b.g x ; ε (9.4. = = yazılablr. En-küçük kareler yöntemnn kuramı gereğnce, yanılgı eners, aranılan katsayılara göre türevlernn sıfıra eştlenmes le en küçükleneblr. Brnc katsayıya göre türev çn x E( b b n m = d = = b.g ( x ; ε g( x ; ε (9.4. veya düzenleyerek,

159 48 E( b = b n = d g n m ( x ; ε b.g( x ; ε.g ( x ; ε = = (9.4.3 elde edlr. Toplamların sırası değştrlebleceğnden ve E / b sıfıra eşt olduğundan b n ( x ;.g ( x ; ε = d g( x ε m n g ; = = = ε (9.4.4 yazılablr. Kısalık çn zleyen ( x n q = d.g ; = n ε (9.4.5 ve σ q ( x ; ε.g ( x ε n q,r σ r,q = g q ; = = (9.4.6 r tanımları yapılablr. Burada, (9.4.5 bağıntısı ölçülen ver le çakıştırma fonksyonunun çapraz lşksne (cross-correlaton ve (9.4.6 bağıntısı se çakıştırma fonksyonunun özlşksne (autocorrelaton eşttr. Bu tanımlamalar le (9.4.4 bağıntısı m = b. σ = n (9.4.7, şeklnde veya açık bçm le b σ = (9.4.8, + bσ, + b3σ,3 + bmσ,m n olarak yazılablr. Aynı şlem, m adet katsayı çn yazılırsa, σ = σ lşksnden yararlanarak, m adet, m blnmeyenl bakışımlı doğrusal denklem sstem elde edlr: b σ b σ b σ,,,m + b σ + b σ + b σ,,,m b σ m b σ m m,m b σ,m m,m = n = n = n m q,r r, q Bu denklem sstem, Levnson(947 algortması veya bu türden denklem sstemler çn gelştrlmş algortmalar le çözüleblr.

160 KATSAYILARIN DĐZEY DENKLEMĐ ĐLE ÇÖZÜMÜ (9.3. bağıntısı zleyen dzey denklem şeklnde yazılablr: f f f ( x ( x... ( x n n* g g ( x; ε g( x; ε...g ( x; ε m ( x ; ε g( x ; ε...g ( x ; ε = (9.5. g ( x ; ε g( x ; ε...g ( x ; ε n n n m m n*m b b. b m m* veya kısalık çn f = G b (9.5. dzey gösterm kullanılablr. Ölçülen değerler dzey (d le yaklaştırma değerlern kapsayan dzey (f ve her ksnn farklarını kapsayan dzey (e şeklnde gösterldğnde, e e e... n nx d d d. n f f f ( x ( x. = ( ( xn nx farkların karelernn toplamına eşt olan yanılgı eners T ( d f ( d f T E ( b = e e = (9.5.4 olarak yazılablr. Burada, T br dzeyn dönüğünü göstermektedr. ( bağıntısında, f yerne (9.5. bağıntısından eşt yazılır se T ( d Gb ( d Gb E ( b = (9.5.5 elde edlr. Bu bağıntının b katsayılarına göre türevlernn sıfıra eştlenmes le çözüm bulunablr: T T ( G G. G d b = (9.5.6 ve b katsayıları dzey şlemler veya Tekl Değer Ayrışımı (SVD le hesaplanablr YAKLAŞTIRMA FONKSĐYONUNUN KURULMASI Sstematk gürültüler ve modelden sapmaları göz önüne almak amacı le (9.4. en küçükleme bağıntısı yerne, w ağırlık katsayılarını çeren

161 5 n = = [ w.( d f ( x ] E( b mnmum (9.6. bağıntısı kullanılablr. Bu denklem çözmek çn geleneksel yöntem kullanılır se, (9.4.5 ve (9.4.6 bağıntılarını zleyen şeklde değştrmek yeterldr: ( x n q = w d g ; = n ε, (9.6. σ q ( x ; ε g( x ε n q,r σ r,q = w g q ; = =. (9.6.3 r b katsayılarının hesaplanmasından sonra, ölçülen verye br yaklaşımı veren ( f değerler, doğrusal bleşm (lnear combnaton le x yatay eksen değerlernde yenden kurulablr: x ( x m = b.g ; = f ( x ε. (9.6.4 Dzey çarpımları uygulanması durumunda, br w ağırlık dzeynn köşegen elemanlarına w ağırlık katsayıları yerleştrlr ve zleyen çözüm elde edlr: T T b = ( G W G G W d. (9.6.5 Burada, e e w w T We = w w = dag( w = w3 (9.6.6 w n w n nxn dzeyne eşttr. Yaklaştırma değerler, (9.5. ve (9.6.5 bağıntılarının br sonucu olarak, f T T = G.b = G ( G W G G W d (9.6.7 e e dzey şlemler le bulunablr veya b katsayıları (9.6.5 le hesaplandığından, herhang br x değşken çn (9.6.4 bağıntısından yenden kurulablr. b katsayılarının, Tekl Değer Ayrışımı (SVD yöntem le ağırlık atayarak çözümü çn, G * = w G ve d * = w d

162 5 tanımları yapılırsa, G * = U * S * V *T olduğundan, b * = V dag λ * U *T d * (9.6.8 sonucuna ulaşılır. Yaklaştırma değerler doğrudan hesaplanmak stenr se f * = G b = G V dag λ * U *T d * (9.6.9 bağıntısından yararlanılablr. Hesaplama yöntemne bağlı olmaksızın, algortmaların lk uygulanılışında, bütün ağırlık katsayıları bre eştlenr. b katsayıları yukarıda verlen yöntemlerden br le çözülür ve ölçülen verye br yaklaşımı veren ( f x değerler hesaplanır. Ölçülen ve yaklaştırılmış değerlern yardımı le ağırlık katsayıları zleyen bağıntıdan hesaplanablr (Başokur 999: { d f ( x } w = exp. (9.6. α Burada, α bçm katsayısı olup, vernn tümüne at gürültü blgsnn, br yatay eksen değerne at ölçülen vernn ağırlık katsayısının hesaplanmasına aktarır: n A α = d f ( x. (9.6. n = A katsayısının değer değştrlerek, bçm katsayısı denetleneblr. (9.6. bağıntısından da görüldüğü gb, ölçülen ve yaklaştırılan değerler brbrne yakın se w katsayıları bre yakın, çok farklı se sıfıra yakın değerler alır. Bu şlemn amacı, gürültü ve ölçü yanılgılarının veya modelden sapmaların fazla olduğu ölçü değerlernn hesaplamalara etksnn azaltılmasıdır. Ayrıca, α bçm katsayısı büyük se üstel fonksyonun katsayısı küçük dolayısı le (9.6. genş br fonksyon, bçm katsayısı küçük se dar br fonksyon şeklndedr. Böylece, tüm vernn gürültü çerğ, tek br ağırlık katsayısının hesaplanmasında göz önüne alınmış olur. Ağırlık katsayılarının bulunmasından sonra, şlem tekrarlanarak yen br b katsayı kümes hesaplanır ve bu katsayılardan hesaplanan f ( x değerler, ölçü değerlerne üç tür yanılgı kaynağını göz önüne alan br yaklaşımı fade eder. Eğer, E(b yanılgı enersnn değşken olmasına zn verlr se yorumcu çakıştırma fonksyonlarının sayısını azaltablr veya arttırablr. Bu yöntem, doğrusal süzgeç kuramında alçak-geçşl süzgecn kesme frekansının f değerler elde etmek değştrlmesne benzeştr. Eğer, yorumcu daha fazla yuvarlatılmış ( x sterse, çakıştırma fonksyonunun sayısı azaltılır. ( f x değerlernn, ölçülen değerlere yaklaşması stenrse çakıştırma fonksyonlarının sayısı arttırılır. En küçük kareler teknğnn,

163 Ağırlık Katsayısı 5 alçak geçşl süzgeç düzenlemekten üstünlüğü, çakıştırma fonksyonlarının sayısının stenldğ gb değştrleblmes ve yorumcunun görsel olarak br çok çözüm arasından uygun olan f ( x eğrsn seçeblmesdr. Ayrıca, en küçük kareler yöntem eşt aralıklar le örneklenmş ver gerektrmemektedr. Yaklaştırma fonksyonu hesaplanırken, ölçümlerde kullanılan yatay eksen değerlernn kullanılma zorunluluğu yoktur. Yaklaştırma fonksyonunu stenen yatay eksen değerlernde hesaplanablr. Bu amaç çn (9.3. bağıntısı herhang br x yatay eksen değer çn yenden yazılır: m ( x = b.g ( x ; f ε. = Burada, b katsayıları br öncek adımda saptandığından blnmektedr. Eğer, x değer ölçü aralığı çnde se bu şlem, ara değer bulma (nterpolaton ve ölçü aralığı dışında se uzatma (extrapolaton şlemlernn gerçekleştrlmesne zn verr. Ayrıca, eşt aralıklı olarak dağılım gösteren x + = x + x yatay eksen değerler kullanılarak, yuvarlatılmış ver hesaplanır se yenden örneklenmş (resampled ver elde edlr..5.5 α= α= Fark Şekl 9.. Ölçülen ve yuvarlatılan değerlern farklarına ve bçm katsayısına bağlı olarak ağırlık katsayısının değşm EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMĐNĐN DOĞRU AKIM VERĐLERĐNĐN DÖNÜŞÜMÜ ĐÇĐN KULLANIMI Düşey elektrk sondaı verlernn yorumlanmasında, üç tür dönüşüm şlemne gereksnm bulunmaktadır. Bunlar: a Verlen br katman dzlm ve elektrot açılımı çn kuramsal görünür özdrenç değerlernn hesaplanması,

164 b Arazde ölçülen görünür özdrenç değerlernn, kullanılan elektrot açılımının türüne bağlı olmayan, yalnızca yeraltı katman parametrelernn fonksyonu olan dönüşük fonksyonuna dönüştürülmes, c Br elektrot açılımı le elde edlen görünür özdrenç değerlernn, dğer elektrot açılımındak görünür özdrenç değerlerne dönüştürülmes olarak sıralanablr. Bu üç problemn çözülmes, DES verlernn yorumunu, yan görünür özdrenç eğrsnden katmanların özdrenç ve kalınlıklarının saptanmasını olanaklı kılar Kuram Homoen ve zotrop yatay katmanlardan oluşan, yarı sonsuz br ortamda, nokta akım kaynağının yeryüzündek herhang br noktada oluşturduğu potansyel, 53 V = π r I ( r + θ ( λ J ( λr dλ (9.7. bağıntısı le verlr (Stefanescu ve Schlumberger C. ve M. 93. Burada, r akım kaynağından olan uzaklık, lk katmanın özdrenc, θ ( λ Stefanescu çekrdek fonksyonu ve J (λr brnc cns, sıfırıncı dereceden Bessel fonksyonudur. (9.7. bağıntısı le çeştl elektrot açılımlarındak görünür özdrenç bağıntıları türetleblr. Çekrdek fonksyonunun g(λ;ε le göstereceğmz br fonksyonun doğrusal bleşmne yaklaştırılableceğn varsayalım. O zaman, m ( λ = b g( λ ε * θ ; (9.7. = yazılablr. Burada, b katsayıları göstermektedr. θ * (λ, çekrdek fonksyonuna br yaklaşımdır. Üstel fonksyonlar, çekrdek fonksyonuna br yaklaşım bulablmek çn en uygun fonksyonları oluştururlar (Santn ve Zambrano 98. Böylece (9.7. bağıntısı m ( λ = b exp( ε λ * θ (9.7.3 = olarak yenden yazılablr. Çeştl elektrot açılımlarındak görünür özdrenç eğrlernn hang tür fonksyonlara yaklaştırılacağı se (9.7.3 bağıntısı yardımı le kolayca saptanablr. Đk elektrot görünür özdrenç zleyen bağıntı le tanımlanır (Das ve Verma 98: al ( L = + L θ ( λ J ( λl dλ. (9.7.4 Burada, L akım ve gerlm elektrotları arasındak uzaklıktır. Blndğ gb, bu açılımda akım ve gerlm elektrotlarından brer tanes pratk olarak sonsuzda oldukları düşünülen uzak noktalara yerleştrlmektedr.

165 54 Aşağıdak gb yen br fonksyon tanımlanırsa, y ( L ( L al =, (9.7.5 (9.7.4 denklem de zleyen bçm alır: y ( L = L ( λ J ( λl θ λ. (9.7.6 d (9.7.3 bağıntısı le verlen çekrdek fonksyonunu, yukarıdak denklemde yerne konularak, y(l fonksyonuna en y yaklaşımı veren y * (L fonksyonu bulunablr: y * m ( L = L b exp( λ J ( λl = ε dλ. Toplam le ntegraln sıraları değştrlebleceğnden y * m { dλ} ( L = b L exp( λ J ( λl = ε (9.7.7 yazılablr. Aşağıdak Hankel dönüşüm çft yardımıyla, exp ελ dλ =, (9.7.8 ( J ( λl ( ε + L (9.7.7 bağıntısı, k-nokta elektrot açılımı çn yenden toplam bağıntısını verr: y * ( L = m = b ( ε + L L. (9.7.9 Buradan da görüldüğü gb, y * (L fonksyonu m ( L = b f ( L; * y ε (9.7. = şeklnde br toplamla fade edleblmektedr. Eğer, çekrdek fonksyonunun sayısal değerler blnyor se (9.7. denklemnn çözümü le b katsayıları hesaplanablr. Katsayıların blnmes durumunda da, (9.7. denklem le y * (L fonksyonunun sayısal değerler, dolayısı le k-nokta elektrot görünür özdrenç değerler hesaplanablr. Benzer olarak, vermz arazde ölçülen görünür özdrenç değerler se, amaç bu sayısal değerlerden çekrdek fonksyonunun sayısal değern hesaplamaktır. Bunun çn (9.7.5 bağıntısı kullanılarak, görünür özdrenç değerler y(l değerlerne çevrlr. Bu çevrme şlem sırasında, değerler blnmedğnden, lk görünür özdrenç değernden kabaca br değer hesaplanablr. Bu değern tam doğru olmaması hesaplama sonuçlarını etklemez. Çünkü,

166 değerlernn bu denklemlerdek görev, hesaplamalarda kullanılacak değerler belrl br aralığa ndrgemektr. Bu adımdan sonra, (9.7.9 denklem yardımıyla y(l eğrsne en y çakışmayı sağlayan y * (L fonksyonunun b ve ε katsayıları bulunur. (9.7.3 bağıntısı se (9.7. bağıntısının λ bölgesndek karşılığı, yan çekrdek fonksyonu olduğundan, b ve ε katsayılarının (9.7.3 bağıntısında yerne konulması le çekrdek fonksyonunun sayısal değer hesaplanablr. b ve ε katsayılarının hesaplanması daha önce verlmştr. Đk elektrot açılımında olduğu gb, uygun yaklaştırma fonksyonları bularak dğer elektrot açılımları çnde yöntem genelleştrleblr. Bu genelleştrme çn, çekrdek fonksyonunun, kullanılan elektrot açılımından bağımsız olması özellğnden yararlanılablr. Aynı yeraltı model çn görünür özdrenç değerler kullanılan elektrot açılımına göre farklılık göstermesne rağmen, çekrdek fonksyonu değşmezdr. Eğer, çekrdek fonksyonunun (9.7.3 bağıntısına yaklaştırılableceğ düşünülür se, çeştl açılımlardak görünür özdrençler arasındak lşkler kullanılarak, bu açılımlara at uygun çakıştırma fonksyonları saptanablr. Wenner görünür özdrenç değerler le k elektrot görünür özdrenç değerler arasında 55 aw ( a = ( L ( L al al (9.7. lşks bulunmaktadır (Das ve Verma 98. Burada, a, Wenner açılımında, ardışık k elektrotun arasındak uzaklığı göstermektedr. Đzleyen bçmde yen br fonksyon tanımlarsak, y ( a ( a aw = (9.7. ve (9.7.5, (9.7. bağıntıları yardımı le y ( a y( L y( L = (9.7.3 yazablrz. Eğer, (9.7.9 bağıntısı y * (L çn en y yaklaşımı veryorsa, (9.7.3 bağıntısına göre de, y * (a çn en uygun yaklaşımı verecek bağıntı aşağıdak gb bulunablr: m ( a = b f ( a; * y ε. (9.7.4 Burada; f ( a; ε = = a a ( ε + ( + a ε 4a bağıntısı le verlr. Böylece, öncek varsayımlar çerçevesnde Wenner görünür özdrenç eğrlernn hang tür fonksyona yaklaştırılacağı saptanmış olur. Schlumberger açılımı çn de zleyen bçmde yen br fonksyon tanımlanablr: y ( s ( s as =. (9.7.5

167 56 Burada, as (s görünür özdrenç değerlern, s se k akım elektrotu arasındak uzaklığın yarısını göstermektedr. Schlumberger ve k elektrot görünür özdrençler arasında aşağıdak bağıntı bulunmaktadır (Das ve Verma 98: as ( s ( L ( L al = al L. (9.7.6 L (9.7.5 ve (9.7.5 bağıntılarının yukarıdak bağıntıda yerlerne konulmasıyla y ( s y( L ( L y = L (9.7.7 L yazılablr. Aynı şeklde, (9.7.9 bağıntısının y * (L çn uygun br yaklaştırma fonksyonu olduğunu varsayarak, y(s fonksyonuna y br yaklaşımı sağlayacak y * (s fonksyonu da aşağıda verldğ gb kolayca saptanablr: m ( s = b f ( s;ε * y. (9.7.8 Burada, = 3 3 ( s;ε = s / ( ε s f + olarak verlr. Dpol-dpol görünür özdrenç çn de aynı yolu yneleyerek uygun yaklaştırma fonksyonun bulunablr. Đzleyen bçmde verlen br y(r fonksyonu tanımlanır, y ( R [ D ( R ]/ = (9.7.9 ve aşağıdak dpol-dpol ve Schlumberger görünür özdrençler arasındak bağıntı kullanılarak, D ( R ( s ( s as = as p s (9.7. s yaklaştırma fonksyonu kolayca bulunablr: m ( R = b f ( R; * y ε. (9.7. = Bu denklemde 5 3 ( R;ε = R ( R + ( 3 p ε / ( ε R f + olarak tanımlanır. Yukarıdak bağıntılarda, D (R, dpol-dpol görünür özdrenç değerlern, R, k dpol merkez arasındak uzaklığı ve p, dpol açılımının türünü belrleyen katsayıyı göstermektedr.

168 Böylece, dört çeşt elektrot açılımı çn görünür özdrençlern yaklaştırılacakları fonksyonları saptamış olduk. Bu sonuçlar, burada konu edlmeyen elektrot açılımı türlerne aynı yol zlenerek kolayca uygulanablr. Bu yaklaştırma fonksyonları br grup oluşturur ve arazde hang açılım le ölçü alınmışsa o açılım türü çn verlen fonksyon kullanılarak b ve ε katsayıları saptanır. Katsayıların br kez saptanmasıyla, çekrdek fonksyonu ve stenrse dğer açılımlardak görünür özdrenç değerler kolaylıkla türetleblr Yalıtkan Temel Son katmanın özdrencnn yüksek olması, yan pratk olarak n = durumunda, görünür özdrenç ve dönüşük özdrenç eğrlernn son kısmı 45 o lk eğmle yükselr. Bu özel durumda, çakıştırma fonksyonu olarak da aynı tür davranış gösteren fonksyonlar seçlmeldr. Çekrdek fonksyonu çn böyle br fonksyon Santn ve Zambrano (98 tarafından verlmştr: ( ε λ exp g ( λ; ε = (9.7. ε λ se ( λ ( ε λ exp * θ = (9.7.3 m b = ε λ bağıntısı le b ve ε katsayılarının görünür özdrenç eğrlernden bulunması durumunda çekrdek fonksyonu hesaplanablr. Çekrdek fonksyonunun yaklaştırılacağı fonksyon çn karar verldkten sonra, öncek bölümde anlatılan yol zlenerek görünür özdrençlern yaklaştırılacağı fonksyonlar saptanır. Bağıntıların türetm tamamen aynı olduğundan burada yalnızca sonuçları verlecektr. Sırasıyla, k elektrot, Wenner, Schlumberger ve dpol-dpol çakıştırma fonksyonları aşağıdak gb bulunablr: f ε, (9.7.4 ε ( L L; = Ln ε + ( L + ε ( a f a; ε = + ( + + ( + Ln ε 4a ε Ln ε a ε, ε (9.7.5 ( s ε f s; ε =, ε ε + s (9.7.6 f ( R; ( 3 R R ( p ε ε = p. ( ε ( ε + s ( ε + s 57

169 58 PROGRAM 9. Bu bölümde anlatılan şlemler gerçekleştren br blgsayar programı Başokur(988 tarafından verlmştr. Programın lstes zleyen şekldedr. *************************************************************************** * ' 3 'FILENAME "TRM" 4 ' 5'*************************************************************************** 6 'TRANSFORMATION OF VES DATA OBTAINED WITH TWO-ELECTRODE,WENNER,SCHLUMBERGER AND DIPOLE CONFIGURATIONS 7 ' 8 'DEVELOPED BY A.T.BASOKUR 9 ' '************************************************************************** CLS : KEY OFF: OPTION BASE DEFINT I-N: DEFDBL A-H, O-Z 3 DIM S(38, ROA(38, y(38, E(3, F(3,, EN(3, ES(465, AUX(3, IPT(5, z$(5, R(38, RP(5, T(5, z(38 4 ' 5*************************************************************************** 6 ' 7 'S(I...ELECTRODE SPACINGS 8 'ROA(I...APPARENT RESISTIVITY VALUES 9 'Y$...TITLE 'RO...RESISTIVITY OF THE TOP LAYER ' '************************************************************************* 3 ' 4 z$( = "RESISTIVITY TRANSFORM FUNCTION": z$( = "TWO-ELECTRODE APPARENT RESISTIVITY": z$(3 = "WENNER APPARENT RESISTIVITY": z$(4 = "SCHLUMBERGER APPARENT RESISTIVITY": z$(5 = "DIPOLE-DIPOLE APPARENT RESISTIVITY" 5 CLS : LOCATE, 5: COLOR, 7: PRINT "Developed by A.T.Basokur": COLOR 7, 6 ' 7'************************************************************************** 8 'READ TITLE 9 ' 3 IMD = : IMT = : ALF = #: ALF = #: LOCATE 9, 4: INPUT "GIVE FILENAME OR ENTER END >", C$: IF C$ = "" THEN BEEP: GOTO 3 3 ' 3'************************************************************************** 33 'TERMINATE THE PROGRAM IF DESIRED 34 ' 35 IF C$ = "END" OR C$ = "end" THEN CLS : END 36 'CREATE FILENAME AND ADD FILENAME EXTENSION ".DAT" 37 ' 38 y$ = LEFT$(C$, 8 + ".DAT" 39 ' 4 'NEW OR STORED FIELD DATA 4 LOCATE, 9: PRINT "NEW FIELD DATA? (Y/*": A$ = UCASE$(INPUT$(: CLS 4 IF A$ = "Y" THEN PRINT "NO"; SPC(4; "SPACING"; SPC(9; "APR.RES.": COLOR, 7: LOCATE, 7: PRINT SPC(; LEFT$(C$, 8; SPC(; : COLOR 7, : NS = : GOTO ' 44 'CHECK WHETHER THE DATA WAS PREVIOUSLY STORED 45 ' 46 ON ERROR GOTO 56

170 47 OPEN "I", #, y$ 48 INPUT #, xk, yk, zk 49 FOR I = TO 4 5 'CHECK END OF FILE AND CALCULATE THE NUMBER OF SAMPLE VALUES 5 IF EOF( THEN NS = I - : CLOSE #: GOSUB 583: GOTO 58 5 INPUT #, S(I, ROA(I 53 NEXT I 54 ' 55 'PRINT THE PREVIOUSLY STORED DATA 56 RESUME LOCATE, : PRINT "NO DATA WAS FOUND UNDER THE GIVEN FILENAME": LOCATE, 5: PRINT "PRESS ANY KEY TO CONTINUE": A$ = UCASE$(INPUT$(: CLS : GOTO 9 58 LOCATE, : PRINT "(S SAVE and CONTINUE - (C CONTINUE - (P SORT and REPRINT - (R RE-INITIALISE"; 59 LOCATE 3, : PRINT "ENTER (THE KEY NUMBER SPACING and APP.RES. >"; SPC(5; : LOCATE 3, 46: INPUT "", A$: A$ = UCASE$(A$: G$ = LEFT$(A$, 6 IF G$ = "C" THEN GOSUB 4: GOTO 86 6 IF G$ = "R" THEN GOTO 5 6 IF G$ = "S" THEN GOSUB 4: GOSUB 46: GOTO IF G$ = "P" THEN GOSUB 4: GOSUB 583: GOTO I = INSTR(A$, " ": IF I <= THEN BEEP: GOTO A$ = LEFT$(A$, I - : A$ = RIGHT$(A$, LEN(A$ - I 66 I = INSTR(A$, " ": IF I > THEN GOTO SS = VAL(A$: RH = VAL(A$ 68 IF SS <= # OR RH <= # THEN BEEP: GOTO NS = NS + : IF NS > 4 THEN BEEP: NS = 4: GOTO 59 7 S(NS = SS: ROA(NS = RH: JW = NS: IF JW = THEN LOCATE, 38: PRINT "NO"; SPC(4; "SPACING"; SPC(9; "APR.RES" 7 IF JW > THEN JQ = 38: JK = NS - ELSE JQ = : JK = JW 7 GOTO 8 73 JW = VAL(A$: JK = JW 74 IF JW <= OR JW > 4 OR JW > NS + THEN BEEP: GOTO IF JW = NS + THEN NS = NS + 76 IF JW > THEN JQ = 38: JK = JW - ELSE JQ = 77 S(JW = VAL(LEFT$(A$, I - 78 ROA(JW = VAL(RIGHT$(A$, LEN(A$ - I 79 IF (S(JW = # OR ROA(JW = # AND NS = 4 THEN NS = NS - : GOSUB 58: GOTO 58 8 IF S(JW = # OR ROA(JW = # THEN GOSUB 4: GOSUB 58: GOTO 58 8 LOCATE JK +, JQ: PRINT SPC(35; : LOCATE JK +, JQ: PRINT USING "##"; JW; : PRINT TAB(JQ + 4; ""; : PRINT USING "####.#"; S(JW; : PRINT TAB(JQ + ; ""; : PRINT USING "#####.####"; ROA(JW 8 GOTO 59 83'************************************************************************** 84 'SELECT THE TYPE OF ELECTRODE CONFIGURATION 85 ' 86 CLS : LOCATE, 8: PRINT "RES.TRANSFORM= TWO ELECTODE= WENNER=3 SCHLUMBERGER=4 DIPOLE-DIPOLE=5" 87 LOCATE 5, 5: INPUT "GIVE TYPE OF THE INPUT >", NC: IF NC < OR NC > 5 THEN BEEP: GOTO ' 89'************************************************************************** 9 'READ THE TYPE OF DIPOLE CONFIGURATION 9 ' 9 IF NC = 5 THEN LOCATE 6, : INPUT "GIVE THE TYPE OF DIPOLE CONFIGURATION >", ALF: IF ALF <= # THEN BEEP: GOTO 9 93 ' 94'************************************************************************** 95 'SELECT THE OUTPUTS WHICH WILL BE CALCULATED 96 ' 97 LOCATE 9, 5: PRINT "GIVE THE DESIRED OUTPUTS YES=" 98 LOCATE, 7: INPUT "RESISTIVITY TRANSFORM >", IPT( 99 LOCATE, 35: INPUT "TWO-ELECTRODE >", IPT( 59

171 6 LOCATE, 35: INPUT "WENNER >", IPT(3 LOCATE 3, 35: INPUT "SCHLUMBERGER >", IPT(4 LOCATE 4, 35: INPUT "DIPOLE-DIPOLE >", IPT(5 3 IF IPT(5 = THEN LOCATE 6, : INPUT "GIVE THE TYPE OF DIPOLE CONFIGURATION >", ALF: IF ALF <= # THEN BEEP: GOTO 3 4 ' 5'************************************************************************* 6 'ALLOW TO CORRECT ERRORS 7 ' 8 LOCATE, 35: PRINT "CORRECT (Y/*": A$ = UCASE$(INPUT$( 9 IF A$ = "Y" THEN 4 ELSE GOTO 86 ' '************************************************************************* 'READ THE TYPE OF SUBSTRATUM 3 ' 4 CLS : PRINT SPC(3; "CONDUCTIVE SUBSTRATUM=-" 5 PRINT SPC(3; "FINITE RESISTIVITY= " 6 PRINT SPC(3; "RESISTIVE SUBSTRATUM= " 7 PRINT SPC(3; "GIVE YOUR CHOICE >"; : INPUT "", KY: IF KY = - OR KY = OR KY = THEN GOTO 8 ELSE BEEP: GOTO 4 8 IF NC = AND KY = THEN CLS : PRINT "THIS METHOD DOSEN'T WORK FOR TWO ELECTORODE CONFIGURATION IN CASE OF RESISTIVE SUBSTRATUM": PRINT "PRESS ANY KEY TO CONTINUE": A$ = UCASE$(INPUT$(: CLS : GOTO 3 9 IF ROA( / ROA(3 > # THEN RO = ROA( +.5# * ROA( ELSE RO = ROA( -.5# * ROA( LOCATE, 35: PRINT "CORRECT (Y/*": A$ = UCASE$(INPUT$( IF A$ = "Y" THEN 6 ELSE GOTO 4 ' 3'************************************************************************* 4 'CHECK THE MODE AND BRANCH THE PROGRAM 5 ' 6 CLS : IF NC = THEN GOTO 8 7 IF ROA( <> - THEN GOTO 59 8 IMD = : GOSUB IF NC = AND ROA( <> - THEN IMD = 3 IF NC = THEN GOSUB 539: GOTO 46 3 NK = NC - : IF NC = 5 THEN P = # / ALF ELSE P = # 3 ' 33'************************************************************************* 34 'READ THE FILTER COEFFICIENTS AND FILTER CHARACTERISTICS 35 ' 36 ON NK GOSUB 455, 455, 47, ' 38'************************************************************************* 39 'CALCULATE A THEORETICAL APPARENT RESISTIVITY CURVE 4 ' 4 GOSUB ' 43'************************************************************************* 44 'SAVE THE CALCULATED MODEL APPARENT RESISTIVTY DATA ON FLOPPY DISK 45 ' 46 GOSUB 46: IT = 47 FOR I = TO 5 48 IF IPT(I = THEN IT = IT + 49 NEXT I 5 ' 5'************************************************************************* 5 'PRINT THEORETICAL APPARENT RESISTIVITY DATA 53 ' 54 IF IT = AND IPT(NC = THEN IMT = : GOSUB 549: CLS : GOTO 3 55 ' 56'************************************************************************* 57 'COMPUTE y(i FUNCTION,Y(I 58 '

172 59 CLS 6 FOR I = TO NS 6 y(i =.5# * (ROA(I - RO / RO 6 NEXT I 63 ' 64'************************************************************************* 65 'COMPUTE NUMBER OF FITTING FUNCTIONS,M 66 ' 67 IF S(NS >= # THEN SS = S(NS - ELSE SS = S(NS 68 M7 = : IF NC <> THEN SS =.5# * SS: DX = #: D = EXP(DX: E( = S( / D: GOTO DX = #: E( = T(: D = EXP(DX: M7 = CINT((LOG(SS - LOG(S( / DX + : IF KY = - THEN M = M7: GOTO 78 7 RQ = #: RC = # 7 FOR I = TO LAZ - 7 RQ = RQ + T(I * RP(I: RC = RC + T(I / RP(I 73 NEXT I 74 RE = RQ: RQ = SQR(RQ / RC: RC = SQR(RE * RC 75 IF KY = THEN SS = # * RC: GOTO IF RR <= RQ THEN SS = SS * RR / RQ 77 M = CINT((LOG(SS - LOG(S( / DX + : IF M + < M7 THEN M = M7 78 IF NS <= M THEN PRINT "NO SUFFICIENT DATA PRESS ANY KEY TO CONTINUE": A$ = UCASE$(INPUT$(: CLS : GOTO 3 79 ' 8'************************************************************************* 8 'COMPUTE E COEFFICIENTS,EI(I 8 ' 83 FOR I = TO M 84 E(I = D * E(I - 85 NEXT I 86 ' 87'************************************************************************* 88 'COMPUTE f(v,e FUNCTION,F(I,J AND nq COEFFICIENTS,E(I 89 ' 9 FOR I = TO M 9 T = # 9 FOR J = TO NS 93 ON ERROR GOTO 94 P = # / ALF: SV = E(I / S(J: SV = SV ^ # 95 ' 96'************************************************************************* 97 'SELECT THE FITTING FUNCTIONS 98 ' 99 ON NC GOSUB 366, 374, 38, 39, 398 GOTO RESUME T = T + F(I, J * y(j 3 NEXT J 4 EN(I = T 5 NEXT I 6 ' 7'************************************************************************* 8 'COMPUTE Sq,r COEFFICIENTS,ES(I 9 ' K = FOR IR = TO M FOR IQ = TO IR 3 T = # 4 FOR J = TO NS 5 T = T + F(IQ, J * F(IR, J 6 NEXT J 7 ES(K = T 8 K = K + 9 NEXT IQ 6

173 6 NEXT IR ' '************************************************************************* 3 'COMPUTE b COEFFICIENTS,EN(I 4 'SOLVE A SYSTEM OF SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS WITH SYMMETRIC COEFFICIENT 5 'MATRIX UPPER TRIANGULAR PART OF WHICH IS ASSUMED TO BE STORED COLUMNWISE 6 ' 7 'EPS...AN INPUT CONSTANT WHICH IS USED AS RELATIVE TOLERANCE FOR TEST ON LOSS OF SIGNIFICANCE 8 '*** REPRINTED BY PERMISSION FROM SYSTEM /36 SCIENTIFIC SUBROUTINE 9 ' PACKAGE (968 BY INTERNATIONAL BUSINESS MACHINES CORPORATION **** 3'************************************************************************* 3 ' 3 EPS =.# 33 N = : IER = : PIV = #: L = 34 FOR K = TO M 35 L = L + K: TB = ABS(ES(L 36 IF TB - PIV <= # THEN PIV = TB: I = L: J = K 38 NEXT K 39 TOL = EPS * PIV: LST = : NM = N * M: LEND = M - 4 FOR K = TO M 4 IF PIV <= THEN 86 4 IF IER <> THEN IF PIV - TOL <= THEN IER = K - 44 LT = J - K: LST = LST + K: PIVI = / ES(I 45 FOR L = K TO NM STEP M 46 LL = L + LT: TB = PIVI * EN(LL: EN(LL = EN(L: EN(L = TB 47 NEXT L 48 IF K - M >= THEN 7 49 LR = LST + INT((LT * (K + J - / : LL = LR: L = LST 5 FOR II = K TO LEND 5 L = L + II: LL = LL + 5 IF L - LR = THEN ES(LL = ES(LST: TB = ES(L: GOTO IF L - LR > THEN LL = L + LT 54 TB = ES(LL: ES(LL = ES(L 55 AUX(II = TB 56 ES(L = PIVI * TB 57 NEXT II 58 ES(LST = LT: PIV = : LLST = LST: LT = 59 FOR II = K TO LEND 6 PIVI = -AUX(II: LL = LLST: LT = LT + 6 FOR LLD = II TO LEND 6 LL = LL + LLD: L = LL + LT 63 ES(L = ES(L + PIVI * ES(LL 64 NEXT LLD 65 LLST = LLST + II: LR = LLST + LT: TB = ABS(ES(LR 66 IF TB - PIV > THEN PIV = TB: I = LR: J = II + 67 FOR LR = K TO NM STEP M 68 LL = LR + LT: EN(LL = EN(LL + PIVI * EN(LR 69 NEXT LR 7 NEXT II 7 NEXT K 7 IF LEND < THEN IF LEND = THEN II = M 75 FOR I = TO M 76 LST = LST - II: II = II - : L = INT(ES(LST FOR J = II TO NM STEP M 78 TB = EN(J: LL = J: K = LST 79 FOR LT = II TO LEND 8 LL = LL + : K = K + LT: TB = TB - ES(K * EN(LL 8 NEXT LT

174 8 K = J + L: EN(J = EN(K: EN(K = TB 83 NEXT J 84 NEXT I 85 GOTO 9 86 LOCATE 9, : PRINT "NO SOLUTION PRESS ANY KEY TO CONTINUE": A$ = UCASE$(INPUT$(: CLS : GOTO 3 87 ' 88'************************************************************************* 89 'COMPUTE AN APPROXIMATION OF APPARENT RESISTIVITY DATA AND RELATIVE ERROR 9 ' 9 FOR J = TO NS 9 T = # 93 FOR I = TO M 94 T = T + EN(I * F(I, J 95 NEXT I 96 R(J = RO * (# + # * T 97 NEXT J 98 ' 99 ************************************************************************* 3 'PRINT THE OUTPUTS 3 ' 3 GOSUB FOR K = TO 5 34 NK = K - 35 IF IPT(K <> THEN IF K = AND KY = THEN IF NC <> 5 AND K = NC THEN ' 39'************************************************************************* 3 'PRINT THE TITLE AND THE TYPE OF ELECTRODE CONFIGURATION VIA LINE PRINTER 3 ' 3 PRINT : PRINT C$: PRINT z$(k 33 IF K = 5 THEN P = # / ALF: PRINT "DIPOLE-DIPOLE CONSTANT ="; : PRINT USING "##.#####^^^^"; ALF ELSE P = # 34 IF IMD = THEN 3 35 ' 36'************************************************************************* 37 'COMPUTE THE SAMPLE VALUES OF RESISTIVITY TRANSFORM 38 ' 39 IF K = THEN GOSUB 539: GOTO 3 3 ON NK GOSUB 455, 455, 47, 48 3 GOSUB IF IMD = THEN PRINT " ABSCISSA"; SPC(; "APR.RES."; SPC(; "COM.APR.RES"; SPC(8; "REL.ERROR"; ELSE PRINT " ABSCISSA"; SPC(; "APR.RES."; 33 FOR J = TO NS 34 T = # 35 FOR I = TO M 36 ON ERROR GOTO SV = E(I / S(J: SV = SV ^ # 38 ' 39'************************************************************************* 33 'SELECT THE SUITABLE FITTING FUNCTION 33 ' 33 ON K GOSUB 366, 374, 38, 39, GOTO RESUME ' 336'************************************************************************* 337 'COMPUTE THE SAMPLE VALUES OF APPROXIMATED APPARENT RESISTIVITY DATA 338 ' 339 T = T + EN(I * F(I, J 34 NEXT I 34 R = RO * (# + # * T 63

175 64 34 IF IMD = THEN ' 344'************************************************************************* 345 'PRINT THE RESULTS VIA LINE PRINTER 346 ' 347 PRINT : PRINT USING "##.#####^^^^"; S(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; R; 348 GOTO PRINT : PRINT USING "##.#####^^^^"; S(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; ROA(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; R; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; R / ROA(J - #; 35 ROA(J = R 35 NEXT J 35 PRINT CHR$(; 353 ' 354'************************************************************************ 355 'CREATE OUTPUT FILENAME AND STORE THE OUTPUT ON FLOPPY DISK 356 ' 357 IF Q$ = "Y" OR Q$ = "y" THEN y$ = LEFT$(C$, 7 + LEFT$(z$(K, + ".DAT": GOSUB NEXT K 359 CLS : GOTO 3 36 ' 36 'END OF THE MAIN PROGRAM 36'************************************************************************* 363'************************************************************************* 364 'FITTING FUNCTIOS FOR THE RESISTIVITY TRANSFORM 365 ' 366 IF KY = - THEN F(I, J = # - EXP(-SV 367 IF KY = THEN F(I, J = EXP(-SV 368 IF KY = THEN F(I, J = EXP(-SV / SV 369 RETURN 37 ' 37'************************************************************************* 37 'FITTING FUNCTIONS FOR THE TWO-ELECTRODE ARRAY 373 ' 374 IF KY = - THEN F(I, J = # - # / SQR(# + SV 375 IF KY = THEN F(I, J = # / SQR(# + SV 376 RETURN 377'************************************************************************* 378 ' 379'************************************************************************* 38 'FITTING FUNCTIONS FOR WENNER ARRAY 38 ' 38 IF KY = - THEN F(I, J = # - # / SQR(# + SV - # / SQR(4# + SV 383 IF KY = THEN F(I, J = # / SQR(# + SV - # / SQR(4# + SV 384 IF KY = THEN F(I, J = # * LOG((SV + SQR(4# + SV / (SV + SQR(# + SV / SV 385 RETURN 386 ' 387'************************************************************************* 388 'FITTING FUNCTIONS FOR SCHLUMBERGER ARRAY 389 ' 39 IF KY = - THEN F(I, J = # - # / (# + SV ^.5# 39 IF KY = THEN F(I, J = # / (# + SV ^.5# 39 IF KY = THEN F(I, J = # / SV - # / SQR(# + SV 393 RETURN 394 ' 395'************************************************************************* 396 'FITTING FUNCTIONS FOR DIPOLE ARRAYS 397 ' 398 IF KY = - THEN F(I, J = # - (# + (# - 3# * P * SV / (# + SV ^.5# 399 IF KY = THEN F(I, J = (# + (# - 3# * P * SV / (# + SV ^.5#

176 4 IF KY = THEN F(I, J = ( - P * (# / SV - # / SQR(# + SV - P / (# + SV ^.5# 4 RETURN 4 ' 43'************************************************************************* 44 'STORE INPUT OR OUTPUT DATA ON FLOPPY DISK 45 ' 46 y$ = LEFT$(C$, 8 + ".DAT" 47 OPEN "O", #, y$: WRITE #, xk, yk, zk 48 FOR I = TO NS 49 WRITE #, S(I, ROA(I 4 NEXT I 4 CLOSE #: RETURN 4 NS = NS - 43 FOR I = JW TO NS 44 S(I = S(I + : ROA(I = ROA(I + 45 NEXT I 46 S(NS + = #: ROA(NS + = #: RETURN 47 ' 48'************************************************************************* 49 'SORT THE INPUT DATA 4 ' 4 CLS 4 FOR I = TO NS - 43 MI = I + 44 FOR IJ = MI TO NS 45 IF S(I < S(IJ THEN SWAP S(I, S(IJ: SWAP ROA(I, ROA(IJ 47 NEXT IJ 48 NEXT I 49 RETURN 43 ' 43'************************************************************************* 43 'READ LAYER PARAMETERS,RESISTIVITY AND THICKNESS OR DEPTH 433 ' 434 LOCATE, 3: PRINT "CHOICE THICKNESS (T or DEPTH (D": B$ = UCASE$(UCASE$(INPUT$(: IF B$ = "T" OR B$ = "D" THEN 435 ELSE BEEP: GOTO LOCATE 4, 3: PRINT " GIVE NUMBER OF THE LAYER >"; SPC(3; : LOCATE 4, 39: INPUT "", LAZ: IF LAZ < THEN GOTO PRINT 437 FOR I = TO LAZ PRINT 439 PRINT " GIVE RESISTIVITY OF THE "; : PRINT USING "##"; I; : INPUT " TH LAYER >", RP(I 44 PRINT " GIVE THICKNESS/DEPTH OF THE "; : PRINT USING "##"; I; : INPUT " TH LAYER >", T(I 44 NEXT I 44 PRINT : INPUT " GIVE THE RESISTIVITY OF LAST LAYER >", RR 443 LOCATE, 35: PRINT "CORRECT (Y/*": A$ = UCASE$(INPUT$( 444 CLS : IF A$ = "Y" THEN GOTO 445 ELSE GOTO IF LAZ < 3 THEN RETURN 446 IF B$ = "T" THEN RETURN 447 FOR I = LAZ - TO STEP T(I = T(I - T(I NEXT I 45 RETURN 45 ' 45'************************************************************************* 453 'FILTERS TO COMPUTE THE SAMPLE VALUES OF APPARENT RESISTIVITY MODEL CURVES FOR TWO-ELECTRODE,WENNER,SCHLUMBERGER AND DIPOLE ARRAYS 454 ' 65

177 'IQ (Number of the flter coefcents,ii (Number of flter coeffcents whch have postve key number, ZM (Number of the samplng ntervals per decade, X (horzontal shft 456 ' 457'************************************************************************* 458 'Flter coeffcents of O'NEILL and MERRICK-Geoph.Prosp.v=3,p= for computng Two-Electrode or Wenner apparent resstvty model curves 459 ' 46 IQ = 36: IIF = : ZM = 6#: x = #: EE = EXP( # / ZM 46 z( = #: z( =.86773#: z(3 = #: z(4 =.5574#: z(5 = #: z(6 =.548#: z(7 = #: z(8 = #: z(9 =.58653#: z( = # 46 z( =.9476#: z( =.6389#: z(3 = #: z(4 =.8738#: z(5 =.89476#: z(6 =.58666#: z(7 = #: z(8 =.39# 463 z(9 =.77377#: z( =.57895#: z( = D-3: z( =.55545#: z(3 = #: z(4 =.379#: z(5 = #: z(6 = #: z(7 = #: z(8 =.44993# 464 z(9 = #: z(3 =.68588#: z(3 = #: z(3 = #: z(33 = #: z(34 = #: z(35 = #: z(36 = # 465 RETURN 466 ' 467'************************************************************************* 468 'Flter coeffcents of MURAKAMI for computng Schlumberger apparent resstvty model curves 469 ' 47 IQ = 8: IIF = 9: ZM = 6#: x = #: EE = EXP( # / ZM 47 z( = #: z( = #: z(3 =.954#: z(4 = #: z(5 = #: z(6 = #: z(7 =.6967#: z(8 = # 47 z(9 =.38459#: z( = #: z( = #: z( = #: z(3 =.5735#: z(4 = #: z(5 =.79953#: z(6 = # 473 z(7 =.49647#: z(8 =.9574#: z(9 =.6736#: z( = #: z( =.87576#: z( = #: z(3 = 8.775D-3: z(4 = # 474 z(5 = D-4: z(6 =.833#: z(7 =.654#: z(8 = # 475 RETURN 476 ' 477'************************************************************************* 478 'Flter coeffcents of KOEFOED Geosoundng Prncples Elsever 979 p=97 for computng Dpole-Dpole apparent resstvty model curves 479 ' 48 IQ = 3: IIF = 7: ZM = 6#: x =.5#: EE = EXP( # / ZM 48 z( = -.# - P *.#: z( =.6# + P * 8.D-3: z(3 = -.8# - P *.346#: z(4 =.38# + P *.8#: z(5 = -.643# - P *.44#: z(6 =.935# + P *.495#: z(7 = -.3# - P *.95#: z(8 =.47# + P *.679#: z(9 = -.67# - P *.737#: z( =.368# + P * #: z( =.98# - P * 7.354#

178 48 z( = # + P * #: z(3 =.3397# - P * 6.746#: z(4 = # - P * 6.87#: z(5 =.536# + P * 5.4#: z(6 =.337# - P * 7.7#: z(7 =.97# + P *.686#: z(8 =.63# - P * 3.88#: z(9 = -.388# + P * _.539#: z( =.5669# - P *.7#: z( = # + P *.599# 483 z( =.67# - P *.95#: z(3 = -.574# + P * 6.4D-: z(4 =.49# + P *.563#: z(5 = -.379# - P *.93#: z(6 =.575# + P *.96#: z(7 = -.49# - P *.89#: z(8 = 6.9D- + P *.443#: z(9 = -.6# - P *.64#: z(3 =.38# + P *.3# 484 RETURN 485 ' 486'************************************************************************* 487 'COMPUTE THE SAMPLE VALUES OF THE APPARENT RESISTIVITY MODEL CURVE 488 ' 489 FOR J = TO NS 49 UU = S(J: GOSUB 5: ROA(J = RL 49 IF NK <> THEN GOTO UU = # * S(J: GOSUB 5: ROA(J = # * ROA(J - RL 493 NEXT J 494 RETURN 495 ' 496'************************************************************************* 497 'PRINT LAYER PARAMETERS VIA LINE PRINTER 498 ' 499 PRINT "INPUT MODEL" 5 PRINT "LAYER"; SPC(; "RESISTIVITY"; SPC(5; "THICKNESS"; SPC(7; "DEPTH" 5 PRINT SPC(; ""; TAB(8; ""; : PRINT USING "##.#####^^^^"; RP(; : PRINT TAB(34; ""; : PRINT USING "##.####^^^^"; T(; : PRINT TAB(5; ""; : PRINT USING "##.####^^^^"; T(: TT = T( 5 FOR LL = TO LAZ - 53 TT = TT + T(LL 54 PRINT USING "##"; LL; : PRINT TAB(8; ""; : PRINT USING "##.#####^^^^"; RP(LL; : PRINT TAB(34; ""; : PRINT USING "##.####^^^^"; T(LL; : PRINT TAB(5; ""; : PRINT USING "##.####^^^^"; TT 55 NEXT LL 56 PRINT USING "##"; LAZ; : PRINT TAB(8; ""; : PRINT USING "##.#####^^^^"; RR: PRINT 57 RETURN 58 ' 59'************************************************************************* 5 'Compute a sample value of apparent resstvty 5 ' 5 U = UU * EXP(-IIF * # / ZM - x: RL = # 53 FOR I = TO IQ 54 GOSUB 5 55 RL = RL + V * z(i 56 U = U * EE 57 NEXT I 58 RETURN 59 ' 5'************************************************************************* 5 'Compute a sample value of the resstvty transform 5 ' 53 V = RR: IW = LAZ 54 IW = IW - 55 D = V 56 C = V / RP(IW 57 IF C > # THEN AC = # / C 58 IF C < # THEN AC = C 59 AF = LOG((# + AC / (# - AC / # 53 AA = T(IW / U + AF 53 IF ABS(AA > 5# THEN DD = #: GOTO

179 68 53 BB = EXP(AA: CC = EXP(-AA 533 DD = (BB - CC / (BB + CC 534 IF C > # THEN V = RP(IW / DD 535 IF C < # THEN V = RP(IW * DD 536 IF IW > THEN 54 ELSE RETURN 537 ' 538'************************************************************************* 539 'Compute the sample values of resstvty transform model curve 54 ' 54 FOR J = TO NS 54 U = S(J: GOSUB 5: ROA(J = V 543 NEXT J 544 RETURN 545 ' 546'************************************************************************* 547 'PRINT THE INPUT APPARENT RESISTIVITY DATA AND ITS APPROXIMATION 548 ' 549 I = 55 FOR J = TO NS 55 IF I <> THEN GOTO 553 ELSE CLS 55 IF IMT = THEN PRINT " ABSCISSA"; SPC(; "APR.RES."; SPC(; "COM.APR.RES"; SPC(8; "REL.ERROR" ELSE PRINT " ABSCISSA"; SPC(; "APR.RES." 553 IF IMT = THEN PRINT USING "##.#####^^^^"; S(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; ROA(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; R(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; R(J / ROA(J - # 554 IF IMT = THEN PRINT USING "##.#####^^^^"; S(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; ROA(J 555 I = I IF I = THEN LOCATE 3, 5: PRINT "PRESS ANY KEY TO CONTINUE": A$ = UCASE$(INPUT$(: I = 557 NEXT J 558 LOCATE, 5: PRINT "CONTINUE (Y/*": A$ = UCASE$(INPUT$( 559 IF A$ = "Y" THEN 56 ELSE CLS : RETURN 3 56 LOCATE 3, 5: PRINT "STORE THE OUTPUTS ON FLOPPY DISK (Y/*": Q$ = UCASE$(INPUT$( 56 ' 56'************************************************************************* 563 'PRINT THE INPUT APPARENT RESISTIVITY DATA AND ITS APPROXIMATION VIA LINE PRINTER 564 ' 565 'CHECK THE PRINTER 566 ' 567 CLS : ON ERROR GOTO PRINT CHR$(7; CHR$(67; CHR$(; CHR$(; : GOTO RESUME CLS : BEEP: LOCATE, 4: PRINT "BE SURE THAT PRINTER IS ON-PRESS ANY KEY TO CONTINUE": A$ = UCASE$(INPUT$(: CLS : GOTO PRINT : PRINT C$: PRINT z$(nc 57 IF IMD = OR NC = THEN GOSUB 499 ELSE PRINT "RESISTIVITY OF THE TOP LAYER IS"; : PRINT USING "##.####^^^^"; RO 573 IF IMT = THEN PRINT "NUMBER OF FITTING FUNCTIONS="; M 574 IF NC = 5 THEN PRINT "DIPOLE-DIPOLE CONSTANT ="; : PRINT USING "##.#####^^^^"; ALF 575 PRINT : IF IMT = THEN PRINT " ABSCISSA"; SPC(; "APR.RES."; SPC(; "COM.APR.RES"; SPC(8; "REL.ERROR"; ELSE PRINT " ABSCISSA"; SPC(; "APR.RES."; SPC(; 576 FOR J = TO NS 577 PRINT 578 IF IMT = THEN PRINT USING "##.#####^^^^"; S(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; ROA(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; R(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; R(J / ROA(J - #; 579 IF IMT = THEN PRINT USING "##.#####^^^^"; S(J; : PRINT SPC(7; : PRINT USING "##.#####^^^^"; ROA(J;

180 58 NEXT J 58 PRINT CHR$(; : RETURN 58 'PRINT THE INPUT DATA 583 CLS : PRINT "NO"; SPC(4; "SPACING"; SPC(9; "APR.RES.": COLOR, 7: LOCATE, 7: PRINT SPC(; LEFT$(C$, 8; SPC(; : COLOR 7, 584 JW = : JQ = 585 FOR I = TO NS 586 LOCATE JW, JQ: PRINT USING "##"; I; : PRINT TAB(JQ + 4; ""; : PRINT USING "####.#"; S(I; : PRINT TAB(JQ + ; ""; : PRINT USING "#####.####"; ROA(I 587 IF JW <> THEN LOCATE, 38: PRINT "NO"; SPC(4; "SPACING"; SPC(9; "APR.RES." 589 JW = : JQ = JW = JW + 59 NEXT I 59 RETURN 69

181 7 Bölüm ĐKĐ-BOYUTLU YAPILARIN GÖRÜNÜR ÖZDĐRENÇ EĞRĐLERĐNE ETKĐLERĐ.. TERS ÇÖZÜMDE MODEL KAVRAMI Jeofzk yorum, seçlen br modeln parametrelern hesaplama şlem olarak tanımlanablr. Örneğn yeraltının yatay ve tekdüze katmanlardan oluştuğunu varsayılarak, bu katmanların özdrenç ve kalınlıklarını hesaplama şlem -B yorum olarak adlandırılır. Yalınlaştırma sonucunda elde edlen bu genel gösterm, model olarak adlandırılır. Yeraltının bu varsayıma tümüyle uyduğu söylenemez. Yeraltının gerçek durumu le varsayılan (seçlen model arasındak farklar, eofzk yorumun doğruluğunu saptayan en öneml etkendr. Örneğn, yeraltı temel olarak br boyutlu ve sadece topografyadak haff dalgalanmalar, yüzeyde bulunan küçük ölçekl yapılar gb nedenler le br boyutluluk bozulmakta se bu etkler modelden sapmalar kavramı çersnde düşünüleblr. Bu sorun, br öncek bölümde açıklanan -B düzgünlülük kavramı le belrl oranda çözüleblr. Ancak, faylar, grabenler ve benzer eolok yanal değşmler söz konusu se -B model le yeraltı temsl edlemez ve -B yorum le elde edlecek sonuçlar, yeraltının gerçek durumu le tamamen farklı olur. Bu sonucun, yorumu gerçekleştren kşnn blg ve deneym le lşks olmayıp, uyumsuz model seçmnden kaynaklanan br yanılgı söz konusudur. Uygun olmayan br modeln kullanımı le elde edlecek sonuçlar anlamsızdır. Ancak, bazı durumlarda yeraltına çok genel br yaklaşım yapılablr. Çoğu durumda, çeştl yeraltı koşulları çn modelden sapmalar le uyumsuz model kavramları arasında br geçş vardır ve hang durumların modelden sapma kavramı çersnde düşünülebleceğ kşsel br seçmdr, madd olanaklar ve arama amaçları le lşkldr. Bu bölümde, -B yapıların görünür özdrenç eğrler üzerndek etkler, yukarıdak kavramlar ışığında ncelenecektr... BĐR BOYUTLU ORTAMDA ĐNCE KATMANIN DAVRANIŞI Đk-boyutluluk etksnn ncelenmesnden önce -B modelde nce br katmanın davranışının anlaşılması, bu etklern brbrnden ayrılmasına yardımcı olacaktır. Şekl. de, KH türünde br yerelektrk model çn hesaplanmış görünür özdrenç eğrs görülmektedr. ( no le gösterlen eğrnn parametreler: (özdrençler ohm-m ve kalınlıklar metre =, =, 3 =5, 4 = ve t =.5, t =5, t 3 =57.5 olarak verlmştr. Bu eğrde olduğu gb, bütün görünür özdrenç eğrlernde k yalıtkan katmanın arasındak letken br katman azalan br kanat le temsl edlr. ( numaralı eğr, bütün parametreler sabt tutulur ken, üçüncü katmanın kalınlığının metreye düşürülmes le elde edlmştr. Đletken katmanın kalınlığın azalmasının etks eğr üzernde açıkça görülmektedr. Eğrnn mnmumun daralmış olmasına rağmen letken katmanın varlığı açıkça anlaşılmaktadır. Üçüncü katman kalınlığı 3 metreye düşürüldüğünde, letken katmana karşılık gelen eğr parçası yükselen tür br kanada dönüşmektedr. Bu davranış bçm, k yalıtkan katman arasındak letken nce br katmanın, kalınlık/özdrenç oranına bağlı olarak yükselen veya düz br kanat oluşturacağını açıklar. Ters durumda da, letken k katman arasındak nce yalıtkan katmanın düz veya azalan tür br kanat oluşturacağı model çalışması le gösterleblr. Bu davranış bçmnn blnmes, -B yapılar le nce br katmanın etklernn ayırt edlmesnde oldukça önemldr.

182 Görünür Özdrenç (ohm-m 7 3 AB/ (metre Şekl.. Đletken katmanın ncelmes le görünür özdrenç eğrsnn davranışının değşm..3. BAZI ĐKĐ-BOYUTLU YAPILARIN ETKĐLERĐ.3.. Đletken Yüzeysel Br Csmn Yakın Ölçü Noktalarındak Etks Şekl. de görülen model (Model, -B yapı çersne gömülmüş yüzeydek letken br csm göstermektedr. -B model Şekl. dek ( numaralı görünür özdrenç eğrs le aynı parametre değerlerndedr. Parametrelern sayısal değerler (özdrençler ohm-m ve dernlkler metre: =, =, 3 =5, 4 = ve d =.5, d =6.5, d 3 =74 şeklndedr. 35 ve 4 numaralı ölçü noktalarının altına smetrk olarak yerleştrlen letken csmn uzunluğu m ve yükseklğ 3.5 metredr. Csmn özdrenc ohm-m dr. Ölçü noktaları arasındak uzaklıklar 5 metredr. Bu denl kısa ölçü aralıkları normal araz koşullarında kullanılmazlar. Buradak amacımız letken br kütlenn görünür özdrenç eğrlerne etksn ncelemektr. Uzaklık (metre Dernlk (metre = ohm-m = ohm-m 3=5 ohm-m 4= ohm-m (Temel = ohm-m Şekl.. Br-boyutlu model çne yerleştrlen letken bloğun geometrs (Model.

183 7 Şekl.3 de her ölçü stasyonunu çn hesaplanan Schlumberger görünür özdrenç eğrler ve yapma-kest görülmektedr. Đk-boyutlu modeln kuramsal görünür özdrenç eğrler, Uchda ve Murakam nn(99 sonlu-elemanlar algortması le hesaplanmıştır. Đletken csm üzernde yer alan ölçü noktalarında, görünür özdrenç eğrler küçük görünür özdrenç değerlerne doğru, bçm değştrmeden kaymışlardır. Bu kaymanın etksnden dolayı, yapma-kest üzernde letken csm dernlere doğru devam etmekte gb gözükmektedr. Şekl.4a nın en üstünde 5 numaralı ölçü stasyonundak ve -B modele at görünür özdrenç eğrler görülmektedr. 5 numaralı stasyon letken csme uzak br noktada bulunduğundan, -B blok -B eğry oldukça az etklemektedr. Ancak, bu örnekte de görüldüğü gb sığ letken bloklar, görünür özdrenç eğrs üzernde saçılmış (outler ver değernn oluşmasına yol açablmektedrler. Böyle durumlarda, ölçü aygıtının duyarlılığının artması, saçılmış br ölçü değernn elde edlmesn engelleyemez. ( ve (5 numaralı ölçü stasyonlarında, letken csmn etks büyümekte ve eğrler üzernde V harfne benzer k küçük kanat oluşmaktadır. Şekl. de nce katmanların etks le görünür özdrenç eğrlernn çok farklı br davranış gösterdklern kanıtlanmıştı. Bu nedenle, V şeklnde, görecel olarak dğer kanatlardan daha kısa olarak brbrn takp eden alçalan ve yükselen kanatların görüldüğü durumlarda, - boyutluluk etksnn varlığı daha kolaylıkla anlaşılablr. Bu tür kanatlarda, rasgele ve sstematk yanılgılar son derece küçük olablr. Ancak nce br katmanların eklenmes le V şeklndek bu kanatlara çakışacak kuramsal -B model bulunamaz. Eğer, -boyutluluk neden le oluşan kanatlar, -B modeln kanatları kadar genş olursa, -B yapı oldukça büyük demektr ve görünür özdrenç eğrsne belk -B br model çakıştırılablr. Ancak, bu durum modelden sapmalar kavramından zyade, uyumsuz model kavramı çnde ele alınmalı ve yorumlar -B model kullanılarak yapılmalıdır. Şekl.4b de ( ve (5 numaralı stasyonlarda se letken bloğun etks le oluşan değşm nce letken br katmanın görünür özdrenç eğrler üzernde gözlenen davranışına oldukça benzemektedr. Yorumcu bu durumda, modele nce br letken katman ekleyerek, ölçülen ve kuramsal görünür özdrenç değerlern çakıştırmaya çalışablr. Bu çabanın olumlu sonuç verdğ durumlarda, derne gerçekte var olmayan nce letken br katman eklenmş olacaktır. Ancak, brçok durumda ölçülen ve kuramsal değerler brbrne çakıştırılamayacağından, yorumcu bu etklern modelden sapmalar kavramı çnde ele alınması gerektğn fark edeblr. Şekl.4b de (3 numaralı ölçü noktasındak eğr şekln en altında verlmştr. Bu eğrnn davranışı,-b görünür özdrenç eğrsnn davranışı le tamamen aynıdır. Bu eğr, -B yorum algortmaları le kolaylıkla yorumlanablr. Ancak, hesaplanan özdrenç ve kalınlık değerler, gerçek değerlerden farklı hesaplanacaktır. Şekl.4c de (35 ve (4 numaralı ölçü stasyonlarındak görünür özdrenç eğrler verlmştr. Bu k stasyon letken csmn tam üzernde olup, Model dek smetrden dolayı her k noktadak görünür özdrenç değerler aynıdır. Bu eğrlerden görülebleceğ gb, görünür özdrenç eğrler öneml oranda bçm değştrmeden, düşey eksen boyunca daha küçük görünür özdrenç değerlerne kaymışlardır. Bu eğrlern -B neden le oluştuğunu anlamak dğer stasyonlardak eğrler le karşılaştırma yapmadan olası değldr. (45 numaralı ölçü noktasındak eğr, smetrden dolayı (3 noktasındak eğr le aynıdır..3.. Yalıtkan Yüzeysel Br Csmn Yakın Ölçü Noktalarındak Etks Özdrenc görece daha yüksek br bloğun etksn araştırmak çn Şekl - dek modelde (Model, blok özdrenc 3 ohm-m yapılarak 5,, 5,, 5, 3, 35, 4 ve 45 numaralı ölçü noktalarında sonlu-elemanlar yöntem le görünür özdrenç eğrler hesaplanmıştır. Bu eğrler toplu olarak Şekl.5 de görülmektedr. Yalıtkan csm üzernde yer alan ölçü noktalarında, görünür özdrenç eğrlernn son bölümlernn büyük görünür özdrenç değerlerne doğru kaymaları neden le yapma-kestte daha dernde sank yalıtkan br csm daha varmış gb br görüntü oluşmuştur.

184 73 DES EĞRİLERİ MODEL NO: Görünür Özdrenç (ohm-m Ölçü No AB/ (metre GÖR. ÖZD. YAPMA KESİTİ Uzaklık (metre (Ölçü No AB/ (metre Gör. Özd to to 5 4 to to 4 3 to 36 6 to 3 to 6 6 to to 6 6 to to 6 5 Şekl.3. Üstte yüzeydek letken br blok neden le görünür özdrenç eğrlernde oluşan değşmler, altta letken bloğun görünür özdrenç yapma-kestne etks (Model.

185 74 Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.4a. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model.

186 75 Ölçü No: Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 3 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.4b. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model.

187 76 Ölçü No: 35 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 4 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 45 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.4c. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model.

188 AB/ (metre 77 DES EĞRİLERİ MODEL NO: Görünür Özdrenç (ohm-m Ölçü No AB/ (metre GÖR. ÖZD. YAPMA KESİTİ Uzaklık (metre (Ölçü No Gör. Özd to 58 3 to 44 6 to 3 to 6 89 to 75 to 89 6 to to 6 33 to 47 9 to 33 5 to 9 Şekl.5. Üstte yüzeydek yalıtkan br blok neden le görünür özdrenç eğrlernde oluşan değşmler, altta yalıtkan bloğun görünür özdrenç yapma-kestne etks (Model.

189 78 Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.6a. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model.

190 79 Ölçü No: Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 3 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.6b. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model.

191 8 Ölçü No: 35 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 4 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 45 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.6c. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model.

192 Şekl.6a da, (5 numaralı ölçü noktasındak görünür özdrenç eğrsnn, -B model eğrs le karşılaştırılması görülmektedr. Eğrnn lk bölümü yalıtkan bloktan etklenmemektedr. Açılımın bloğa yaklaşması le görünür özdrenç değerler önce artmakta ve bloğun dışına çıkılması le tekrar azalmaktadır. Bu örnekte ters V etks görülmektedr. Büyük açılım değerlernde görünür özdrenç değerler -B görünür özdrenç değerlerne yaklaşmaktadır. ( numaralı ölçü noktasında da aynı etk, bloğa daha yakın br konumda olduğundan braz daha şddetldr. (5 ve ( numaralı ölçü noktalarında se görünür özdrenç değerler önce yavaşça yükselmekte ve daha sonra azalma le brlkte eğr koparak, -B eğrye paralel kalarak küçük görünür özdrenç değerlerne kaymaktadır. Bu etk statk kayma olarak adlandırılablr. Eğer, rasgele ve sstematk hatalar öneml büyüklükte değlse, statk kayma eğr üzernde tanınablr. (5 ve (3 numaralı ölçü noktalarındak eğrlerde hem V hem de statk kayma etkler görülmektedr. (3 numaralı görünür özdrenç eğrsnn k adet mnmum değer ncelenr se bunların çbükeylk ve dışbükeylk davranışlarının farklı olduğu gözlenmektedr (Şekl.6a. Aynı durum daha şddetl olarak bloğun üzerndek (35 ve (4 numaralı ölçü noktalarında da bulunmaktadır (Şekl.6c. Brnc mnmumun -boyutluluk ve knc mnmumun - boyutluluk neden le oluştuğu kolayca anlaşılmaktadır. Ancak, gerçek araz koşullarında gürültülern örtmes le -boyutluluk etks kolayca tanınmayablr. (35 numaralı görünür özdrenç eğrs -B model le çözümleneblr. Ancak, çözümüm gerçek yeraltına br yaklaşımı vermes oldukça zordur. Şekl.6 n tamamı, modelden sapma kavramından, uyumsuz model kavramına geçş yapılmasını y br şeklde açıklamaktadır Đletken Yüzeysel Br Csmn Uzak Ölçü Noktalarındak Etks Şekl. dek benzer br model (Model 3, ölçü aralıklarını metre alınarak yenden kurulmuştur. Đletken csm 7 numaralı ölçü noktasının altına smetrk olarak yerleştrlmş olup, genşlğ m ve yükseklğ 3.5 metredr (Şekl.7. Bloğun özdrenc ohm-m dr. Bu modele at görünür özdrenç eğrler Şekl.7 de gösterlen ölçü noktalarında sonlu-elemanlar yöntem le hesaplanmıştır. Elde edlen özdrenç eğrlernden 4, 5 ve 6 numaralı ölçü noktalarına at olanlar Şekl.8a verlmştr. Açılım merkeznn bozucu kütleden uzak olması neden le, ve 3 ölçü noktalarındak görünür özdrenç eğrlerndek etkler, düşük yüzdel rasgele gürültü sevyesndedr. Şeklden de görüldüğü gb, 4 ve 5 noktalarındak görünür özdrenç eğrlernde öneml olmayan kaymalar gözlenmektedr. 6 noktasında lk kanatta, -B bozucu csm neden le br değşm oluşmamıştır. Đknc kanat üzernde -B etks neden le bu kanat ç bükey olarak azalmaktadır. -B eğrden de görülebleceğ gb azalan kanadın dış bükeylk göstermes beklenr. Dğer br olasılıkta, bu bölümün (eğrnn lk doruğu le lk mnmumu arasındak bölüm k ayrı katman olarak yorumlanmasıdır. Bu varsayım le keste br fazla katman yerleştrleblr. Eğrnn son bölümündek maksmumun -boyutluluk etks le oluşturulduğu açıktır. Son bölümdek kopma statk kayma etksn açıkça göstermektedr. 7 ölçü noktasında, açılım merkeznn letken csmn üzernde olması neden le görünür özdrenç değerler çok küçük değerlerden başlamaktadır. Đlk kanadın ç bükey olarak, çok büyük eğmle yükselmes ve çok dar br doruk oluşturması -B etksn açıkça şaret etmektedr. -B yorum bu durumda geçerl olamayacaktır. 8 noktasındak görünür özdrenç eğrs smetrden dolayı 6 noktasındak eğr le aynıdır. 9 noktasında uzaklıktan dolayı - boyutluluk etks oldukça azalmıştır. Eğrnn knc kanadında öneml olmayan br kayma ve mnmum noktasında br adet saçılmış ver bulunmaktadır. Bölüm da verlen yöntemn kullanılması le bu saçılmış nokta ters-çözüm çn sorun olmaktan çıkarılablr. Şekl.9 da, bozucu kütlenn özdrencn değştrmeden boyunun metreye çıkarılarak, 7 ve 8 ölçü noktalarının altına smetrk olarak yerleştrlmes sonucunda hesaplanan görünür özdrenç eğrlernden üçü görülmektedr (Model 4. 4 numaralı ölçü noktasında, -boyutluluk etks oldukça belrgndr ve kanatlar çok kısa olduğundan modelden sapmalar kavramı çnde 8

193 8 ele alınablr. 5 ölçü noktasında -boyutluluk, ancak gürültü olmadığı takdrde, k azalan kanadın ters V şeklnde brleşmesnden hareketle tanınablr. 6 ölçü noktasında se, eğrnn lk bölümündek -boyutluluk etksn tanımak zordur ve nce katman olarak değerlendrleblr. Eğrnn knc bölümü de, hem statk kayma etks hem de şddetl V etks gözlenmektedr. Bu eğrnn, -B model le değerlendrlmes oldukça zordur. Değerlendrme yapılsa ble, ortamda bulunmayan katmanlar eoelektrk keste eklenecektr Yalıtkan Yüzeysel Br Csmn Uzak Ölçü Noktalarındak Etks 7 ve 8 ölçü noktaları altına yerleştrlen m uzunluğundak bozucu csmn özdrencnn 3 ohm-m olarak değştrlmes durumunda, 5, 6 ve 8 ölçü noktaları çn hesaplanan görünür özdrenç eğrler Şekl. da verlmştr (Model ölçü noktalarında öneml br -boyutluluk etks görülmedğnden şeklde verlmemştr. 5 ölçü noktasındak görünür özdrenç eğrsnde -B etk bulunmakla brlkte, eğr tür -B eğrlern davranışına genel olarak uymaktadır. Bu eğrden çözülecek katman parametreler, gerçek yeraltı yapısından br mktar farklı olacaktır. 6 ölçü noktasındak eğrde daha önce örneğ görülen statk kayma etks göstermektedr. 7 ve 8 ölçü noktalarındak görünür özdrenç eğrler smetr neden le aynıdır. Görece yalıtkan olan bozucu csm neden le 7 noktasındak görünür özdrenç eğrs yüksek değerlerden başlamıştır. Bu eğrnn de -B model le çözümü durumunda, bazı yorumcular fazladan nce katmanları eoelektrk keste koyablrler. 9 ölçü noktasındak görünür özdrenç eğrs smetr neden le 6 ölçü noktasındak eğr le aynıdır. Uzaklık (metre Dernlk (metre = ohm-m = ohm-m =5 ohm-m = ohm-m (Temel = ohm-m Şekl.7. Br-boyutlu model çne yerleştrlen letken bloğun geometrs (Model 3.

194 83 Ölçü No: 4 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 6 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.8a. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model 3.

195 84 Ölçü No: 7 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 8 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 9 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.8b. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model 3.

196 85 Ölçü No: 4 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 6 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.9. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model 4.

197 86 Ölçü No: 5 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 6 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Ölçü No: 7 Görünür Özdrenç (ohm-m AB/ (metre Şekl.. -B ve -B modellerden hesaplanan görünür özdrenç eğrlernn karşılaştırılması (Model 5.

198 Görünür Özdrenç (ohm-m 87 AB/ (metre Şekl.. Gürültülü Schlumberger görünür özdrenç versnn (noktalar, 6 adet çakıştırma fonksyonu kullanılarak yuvarlatılması (sürekl eğr..4. GÜRÜLTÜ GĐDERME YÖNTEMĐNĐN KULLANIMINA ÖRNEKLER Bu bölümde, eofzk verlern yorumunda ele alınan model le bu modelden sapmaların etkler açıklanmaya çalışılmıştır. Ölçüm koşullarından kaynaklanan rasgele ve sstematk yanılgıların, ölçülere katılımı yorum şlemn daha da karmaşıklaştırır. Br öncek bölümde tanıtılan yöntem kullanılarak, -B düzgünlülük kavramı çerçevesnde, bu güçlüklere br ölçüde yanıt verecek br şlem gerçekleştrlr. Aşağıda bu konu le lgl bazı örnekler verlmeye çalışılacaktır. Şekl.4a da (5 ölçü noktasına at V türü -B etkler kapsayan görünür özdrenç eğrsne rasgele yanılgıları temsl etmek üzere gürültü eklenmştr. Gürültülü ver Şekl. de görülmektedr. Gürültülü ver, rasgele sayılar üretm çn hzmet veren lavarand.sg.com adresndek Internet stesnden ndrlen rasgele sayılar kümesnden elde edlen gürültü oranları kullanılarak hesaplanmıştır. Gürültülü Schlumberger vers (.7.5 denklem le y(s versne dönüştürülmüş ve bu verye (.7.8 bağıntısı le verlen çakıştırma fonksyonu ve denklem yardımı le br yaklaşım elde edlmştr. Bu yaklaşımda, 6 adet çakıştırma fonksyonu kullanılmıştır. Gürültülü ver ve elde edlen yaklaştırma fonksyonu Şekl. de görülmektedr. Bu şlemler sırasında, (.6. bağıntısı yardımı le ağırlık ataması yapılmıştır. V türü -B etklern ve rasgele gürültülern etklernn, bu tür ağırlık ataması le belrl oranda azaltılableceğ şeklde görülmektedr. Şekl.6a da ( ölçü noktasına at statk kayma gösteren görünür özdrenç eğrsne rasgele yanılgıları temsl etmek üzere gürültü bndrlmştr. Gürültülü ver Şekl. de görülmektedr. Br öncek örneğe benzer olarak, aynı ver-şlem teknkler bu ver üzernde de uygulanmıştır. Değşk sayıda çakıştırma fonksyonları kullanılarak, 8 adet çakıştırma fonksyonu le elde edlen yuvarlatılmış vernn, -B görünür özdrenç eğrlernn davranışını temsl ettğ varsayılmıştır.

199 Görünür Özdrenç (ohm-m 88 AB/ (metre Şekl.. Gürültülü Schlumberger görünür özdrenç versnn (noktalar, 8 adet çakıştırma fonksyonu kullanılarak yuvarlatılması (sürekl eğr.

200 89 Bölüm DOĞRUDAN YORUM YÖNTEMĐ.. DOĞRUDAN YORUMUN TANIMI Br ver kümesnden parametrelern cebrsel denklemler yardımı le dolaysız çözümü, doğrudan yorum yöntem olarak adlandırılır. Bu anlamda, doğrudan yorum ele alınan problemn çözümünün hesaplanması çn büyük kolaylık sağlamakla brlkte, çözümün başarısı vernn gürültü çerğ le lşkldr. Vernn gürültü kapsamaması durumunda, çözümü veren denklemlern doğru sonuçlar üreteceğ açık olmakla brlkte, cebrsel denklemn yapısına bağlı olarak, küçük gürültü yüzdeler parametre hesabında büyük yanılgılara yol açablr. Görünür özdrenç verler, doğrudan çözüm yöntemnn uygulanmasına uygun değldr. Çünkü katman parametrelern, görünür özdrenç değerlerne bağlayan bağıntı br ntegral denklemdr. Öte yandan, çekrdek fonksyonu le katman parametreler arasındak lşk br cebrsel denklemdr ve dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerler kullanılarak doğrudan yorum gerçekleştrleblr. Ancak, dönüşük özdrenç fonksyonu arazde ölçülen br büyüklük değldr. Bu nedenle, doğrudan yorum yöntemnn uygulanablmes çn, arazde ölçülen ncelk olan görünür özdrenç değerlernn dönüşük özdrenç değerlerne dönüştürülmes gerekmektedr. Arazde ölçülen görünür özdrenç değerlernn, dönüşük özdrenç değerlerne dönüşümü çn k yöntem kullanılablr. Brncs doğrusal süzgeç yöntem, dğer se en-küçük kareler yöntemdr. En-küçük kareler yöntem, eşt aralıklar le örneklenmş görünür özdrenç vers gerektrmemes ve çıkışta dönüşük özdrenç fonksyonunun stenen her yatay eksen değer çn hesaplanablmesne olanak sağlaması açısından daha kullanışlı br yöntemdr. En-küçük kareler yöntem le ver yuvarlatılması Bölüm 9 da verlmştr. (9.7.8 denklemn kullanarak, ağırlıklı en-küçük kareler yöntemnn br uygulaması le ölçülen Schlumberger görünür özdrenç değerlerne br yaklaşım, elde edleblr. Bu şleme at örnekler, Şekl - ve Şekl - de verlmştr. Bu durumda b ve ε katsayıları belrl olduklarından, (9.7.3 bağıntısı le Stefanescu çekrdek fonksyonu ve ondan da dönüşük özdrenç fonksyonu hesaplanablr. Şekl. ve Şekl. de ölçülen dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerlernn elde edlmesn gösteren aşamalar verlmştr. Ölçülen görünür özdrenç değerlernn 6 adet çakıştırma fonksyonu kullanılarak yuvarlatılması Şekl - de verlmşt. Şekl. de eşt aralıklı noktalarda yenden kurulmuş görünür özdrenç vers görülmektedr. Bu verye at b ve ε katsayıları kullanılarak ve çakıştırma fonksyonu değştrlerek, hesaplanan dönüşük özdrenç değerler aynı şekln altında gösterlmştr. Şekl - de verlen görünür özdrenç değerlernn 8 adet çakıştırma fonksyonu kullanılarak yuvarlatılması verlmşt. Şekl. de eşt aralıklı noktalarda yenden kurulmuş görünür özdrenç vers görülmektedr. Bu verye karşılık gelen dönüşük özdrenç değerler se şekln altında gösterlmştr.

201 Dönüşük Özdrenç Görünür Özdrenç (ohm-m 9 AB/ (metre u=/λ (metre Şekl.. Üstte; Şekl - de verlen Schlumberger görünür özdrenç versnden elden edlen yenden örneklenmş ver. Altta; yenden örneklenmş verye karşılık gelen dönüşük özdrenç vers... ĐKĐ KATMANLI ORTAM ĐÇĐN DOĞRUDAN YORUM Önce, k katmanlı br ortam çn katman parametrelernn çözüm elde edlecek ve çözümün genelleştrlmes le çok katmanlı ortam çn br doğrudan yorum yöntem önerlecektr.... Đlk Katman Özdrencnn Saptanması Đk katmanlı ortam çn dönüşük özdrenç fonksyonu zleyen şeklde yazılablr: T( u = + tanh t / u arctan h. (.. Dönüşük özdrenç fonksyonunun, ( u,t ( u, u yatay eksen değerlerndek sayısal değerler,u,..., un T..., T( u le gösterlr ve denklemn her k tarafı le bölünüp, her k yanın tanant hperbolğ alınır se, (.. bağıntısından ardışık üç yatay eksen değer çn aşağıdak denklemler yazılablr:

202 Dönüşük Özdrenç Görünür Özdrenç (ohm-m t u u u t ( u T = arctanh arctanh, (.. ( u T = arctanh + + t ( u T = arctanh arctanh, (..3 arctanh. (..4 (.. ve (..3, ayrıca (..3 ve (..4 denklemlern brbrnden çıkartılarak yok edleblr: t ( / u / u + T = arctanh ( u T ( u arctanh +, (..5 AB/ (metre u=/λ (metre Şekl.. Üstte; Şekl - de verlen Schlumberger görünür özdrenç versnden elden edlen yenden örneklenmş ver. Altta; yenden örneklenmş verye karşılık gelen dönüşük özdrenç vers.

203 9 t ( / u / u + + T = arctanh ( u T ( u + arctanh +. (..6 t se (..5 ve (..6 denklemlernn brbrne bölünmes le yok edleblr. Denklemlern düzenlenmes le sadece e bağlı zleyen bağıntı elde edlr: ( u T arctanh Burada, ( + v T arctanh ( u T ( u + + ( / u / u / ( / u / u v v.arctanh =. (..7 = (..8 le verlmektedr. Eğer, yatay eksen değerler, u ve u + yenden örneklenmş (re-sampled görünür özdrenç değerlernn yatay eksen değerlerne eşt alınır ve aradak br u + değer se u + u u + = (..9 u + u + bağıntısını sağlayacak şeklde seçlr se (..8 denklem le verlen v değer bre eşt olur. Enküçük kareler yöntem, herhang br yatay eksen değernde dönüşük özdrenc hesaplamaya olanak verdğnden, bu tür br seçm yapılablr. (..7 denklemnde v yerne yazılarak ve arctanh fonksyonunun, arctanh( ve x =.5 ln(( + x /( x (.. ln(= (.. özellkler kullanılarak, (..7 denklem zleyen şeklde yazılablr: ( + T( u ( T( u ( T( u ( + T( u + + ( + T( u ( T( u + + =. (.. Bu denklemn, lk katman özdrenc ( çn çözülmes le T ( u ( T( u T( u / T( u T( u T( u = (..3 T( u T( u + + T( u + / elde edlr. Böylece, dönüşük fonksyonunun ardışık üç sayısal değernden elde edleblr. (..3 bağıntısı ardışık bütün üç adet sayısal değer kümeler çn yneleneblr ve brçok değer hesaplanablr. Bu değerler arasında brbrne yakın olanların logartmk uzaydak ortalaması çn br kestrm verecektr.

204 93... Đlk Katman Kalınlığının Saptanması Eğer, lk katman özdrenc blnr se, (..5 bağıntısından lk katman kalınlığı bulunablr: t = w Burada, T arctanh ( u T ( u arctanh +. (..4 w = / u / u + olarak verlr. (..4 bağıntısı, arctanh fonksyonunun (.. le verlen özellğnden yararlanarak, t =.5 w ln ( + T ( u ( T ( u + ( T ( u + T ( u ( + (..5 şeklnde yazılablr. Bu bağıntı yardımı le dönüşük özdrenç fonksyonunun ard arda gelen bütün sayısal değer çftlernden brçok t değer hesaplanablr. Logartmk uzayda bu değerlern brbrlerne yakın olanlarının artmetk ortalaması le t n değerne br yaklaşımda bulunulablr...3. Đknc Katman Özdrencnn Saptanması Son katmanın özdrenc (.. bağıntısından elde edleblr. ve t değerler daha önceden hesaplanabldğ çn, zleyen bağıntı, knc katman özdrencnn kolayca hesaplanablmesn sağlar: ( u tanh( t / u T ( u.tanh( t / u / T =. (..6 Bağıntıdan da görülebleceğ gb, dönüşük özdrenç fonksyonunun her örnekleme değernden br adet değer hesaplanablr. Logartmk uzayda brbrne yakın değerlern artmetk ortalaması le çn br kestrm elde edlr. Böylece, k katmanlı yapıya at, t ve parametrelernn hesaplanması gerçekleştrlmş olur..3. ÇOK KATMAN DURUMU.3.. Đlk Katman Özdrenç ve Kalınlığının Saptanması Dönüşük özdrenç eğrsnn lk bölümünün daha derndek katmanlar hakkında blg kapsamadığı varsayılablr. Elektrot açılımının küçük değerler çn dönüşük özdrenç fonksyonu, brnc katmanın kalınlığına bağlı olarak, büyük oranda lk k katmanın etksndedr. Bu varsayım altında (..3 bağıntısı yardımı le dönüşük özdrenç fonksyonun ardışık üç sayısal değerlernden yararlanarak değerler hesaplanablr. (..5 bağıntısı se kalınlık değerlern verr. Đşlem, dönüşük özdrenç eğrsnn üçüncü katmana at blg kapsayan lk sayısal değerne kadar sürdürüleblr. Ancak, hang sayısal değern üçüncü katmana at blg kapsadığı

205 94 önceden blnemez. Bu nedenle şlem, dönüşük özdrenç eğrsnn lk mnmum veya maksmum noktasına veya eğrnn eğmnn değştğ sayısal değere kadar sürdürüleblr. Hesaplanan değerlernden sadece brbrne yakın olanların ortalaması le çn br kestrm yapılacağından, üçüncü katmanın katkısının başladığı noktanın kesn olarak blnmesne gerek yoktur. Çünkü, üçüncü katmanın katkısının başladığı noktalardan hesaplanan veya t değerler genel ortalamadan saçılır ve bu nedenle ortalama hesabına katılmazlar..3.. Ara Katmanların Özdrenç ve Kalınlıklarının Saptanması ve t değerler br kez saptandıktan sonra, brnc katmanın ölçüler üzerndek etks hesaplama le kaldırılablr. Alt katman yüzeyne ndrgeme bağıntısı, T( u tanh( t / u T ( u = (.3. (T( u / tanh( t / u le verlr. Bu şlem, brnc katmanın atılarak ölçü aygıtlarının knc katmanın yüzeyne yerleştrlmesne eşdeğerdr. (.3. bağıntısı, lk katman parametreler ve t olan T ( u fonksyonunun sayısal değerlernn hesaplanablmesn sağlar. T ( u eğrsne, k katman problemnn çözümünün uygulanması le ve t değerler saptanablr. (..3 ve (..5 bağıntılarının T ( u çn yazılması le T( u ( T( u T ( u / T( u T( u T( u = (.3. T ( u T( u + + T( u + / ve t =.5 w ( + T ( u ( T ( u + ln ( ( T ( u + T ( u + (.3.3 elde edlr. T ( u sayısal değerler, dönüşük özdrenç eğrsnn knc kanadından başlamak üzere, eğrnn son sayısal değerne kadar olan bölümünde hesaplanır. Ancak, ve t, dönüşük özdrenç eğrsnn knc kanadında karşılık gelen T ( u değerlernden hesaplanır. Bunun neden, ndrgeme denklemnn brnc kanat üzernde gürültüler abartacak şeklde şlem yapmasıdır. (.3. ve (.3.3 bağıntıları, yöntemn kolaylıkla genelleştrlebleceğne şaret etmektedr. Eğer, k ıncı adımda,,,..., k ve t,t,..., tk parametrelernn hesaplandığı varsayılır se, k ıncı katmanın üstünde bulunan katmanların etks zleyen ndrgeme denklem le kaldırılablr: Tk ( u k tanh( t k / u Tk ( u =. (.3.4 (T ( u / tanh( t / u k k k Böylece, ( u T k sayısal değerlernden k ve k t hesaplanablr. Bu amaç çn, (.3. ve (.3.3 bağıntılarının genelleştrlmes yeterldr:

206 95 Tk ( u k = t k =.5 w + ln ( T k T ( u k ( u T k ( u + T k / ( u T k + ( u + + T ( k + Tk ( u ( k Tk ( u + ( ( T ( u + T ( u k k k k + T k ( u k + ( u T k ( u + /, (.3.5. (.3.6 k ve t k değerlernn blnmes durumunda T k + ( u, k + ve t k + hesaplanablr. Özdrenç ve kalınlık değerler, lgl kanat üzernde hesaplanır. Kanatların, hang örnekleme değerlernde başladığı ve bttğ hakkındak karar yorumcu tarafından verlr. Bu şlem, n katmanlı ortamda, t parametrelernn hesaplanmasına kadar devam eder. n, n.3.3. Son Katman Özdrencnn Saptanması Yöntemn son adımında ndrgenmes gereken br katman bulunmadığından, ndrgeme bağıntısı son katmanın özdrencne eşt olur: Tn ( u n tanh( tn / u n = Tn( u =. (.3.7 (T ( u / tanh( t / u n n n Böylece, n ndrgenmş dönüşük özdrenç fonksyonunun son kanadının sayısal değerlernden hesaplanablr..4. DOĞRUDAN YÖNTEMĐN UYGULANIŞI Önerlen yöntem, ön-kestrm gerektrmeden parametrelern doğrudan hesaplanablmesne olanak vermektedr. Blgsayarda yaratılan yapay verler kullanılarak gerçekleştrlen çözüm şlemlernde, yöntemn katman parametrelern doğru hesapladığı görülmüştür. Ancak, araz eğrler üzernde yapılan denemelerde, doğrudan yöntem le bulunan parametrelern kullanımı le hesaplanan kuramsal eğrlern, arazde ölçülen eğrler le tam çakışmadığı gözlenmştr. Daha öncede değnldğ gb, parametre hesabında gürültülern ndrgeme şlem sırasında abartılması neden le ölçülern gürültü çerğne bağlı br yanılgı oluşur. Bu yanılgıyı en aza ndrgemek amacıyla, Bölüm 9 da anlatılan ağırlıklı en küçük kareler yöntem le ver yleştrmes yapılarak, doğrudan yorum yöntem yuvarlatılmış ver üzernde gerçekleştrleblr. En küçük kareler yöntemnn dğer br yararı se özdrençlern hesaplanmasında kullanılan sayısal değerlern, (..9 koşuluna uygun u değerlernde kestrleblmesne olanak vermesdr. Bu şlem, yenden örneklenmş görünür özdrenç versne karşılık gelen dönüşük özdrenç sayısal değerlernde (örneğn Şekl. de görülen, her k sayısal değern arasında (..9 koşuluna uygun yen br sayısal dönüşük özdrenç değernn yaratılması le gerçekleştrlr. Bu önlemlern alınması le parametre değerler doğru veya doğruya oldukça yakın olarak bulunablr (Başokur 984b, DEĞERLENDĐRME ÖRNEĞĐ Ölçülen Schlumberger görünür özdrenç değerlernden hesaplanan dönüşük özdrenç fonksyonu Şekl. de verlmşt. Şekl.3 de se ölçülen dönüşük özdrenç fonksyonunun kanatlara ayırma şlemn göstermektedr. Düşey çubuklar her br kanadın başlangıç ve son bulma noktalarını göstermektedr. Brnc kanat, lk sayısal değer le brnc maksmum arasındadır. Dğer kanatlar, maksmum ve mnmum noktalarından faydalanılarak şaretleneblr. Burada örneğn vermemekle brlkte, artan veya azalan tür eğrlernn kanatlara ayrılması şlemnde

207 96 dönüm noktalarından faydalanılır, yan kanatlar eğm değşmnden bulunablr. Eğrnn üç kanada ayrılması le ortamın dört katmanlı olduğu hakkında karar verlmş olur. Katman sayısı, kanat sayısından her zaman br fazladır. Kanatların başlangıç ve btş noktalarının doğrudan yorum algortmasına verlmes, katman parametrelernn hesaplanması çn yeterldr. Dönüşük Özdrenç (ohm-m u=/λ (metre Şekl.3. Düşey çubuklar kanatların başlangıç ve btş noktalarını göstermektedr. Araz dönüşük özdrenç fonksyonu (+ le ve kuramsal dönüşük özdrenç fonksyonu sürekl eğr le gösterlmştr. Önce lk katmanın özdrenc ve kalınlığı lk kanatta yer alan sayısal değerlerden ((..3 ve (..5 bağıntıları le hesaplanır. Daha sonra (.3.4 bağıntısı yardımı le lk katmanın dönüşük özdrenç eğrs üzerndek katkısı kaldırılarak, T ( u hesaplanır. Đknc kanat üzernde, T ( u değerlerne (.3.5 ve (.3.6 denklemlernn uygulanışı knc katmanın özdrenç ve kalınlığını verr. Üçüncü kanat üzernde, T 3 ( u den, üçüncü katmanın parametreler bulunur. Đşlemn son adımında, temele erşlmes neden le ndrgeme denklem T4 ( u = 4 bağıntısını sağlar ve son katmanın özdrenc doğrudan ndrgeme denklemnden elde edlr. Bu örnek çn çözülen katman parametreler (özdrençler ohm-m ve dernlkler metre; =7, =49, 3 =, 4 =7 ve d =3.4, d =, d 3 =7 olarak bulunmuştur. Şekl.3 dek sürekl eğr bu katman parametrelernden hesaplanan kuramsal dönüşük özdrenç eğrsn göstermektedr. Ölçülen ver le kuramsal ver tam olarak çakışmamakla brlkte, brbrne oldukça yakındır. Şekl.4 de se ölçülen ve kuramsal değerler görünür özdrenç bölgesnde karşılaştırılmıştır. Üstte yenden örneklenmş görünür özdrenç değerler le kuramsal vernn, altta se arazde ölçülen görünür özdrenç değerler le kuramsal vernn karşılaştırılmaları çzlmştr. Eğrnn son bölümünde ölçülen ve kuramsal değerler arasında fark bulunmaktadır. Bu fark dönüşük özdrenç bölgesnde de olmakla brlkte, görünür özdrenç bölgesnde daha da artmıştır. Bu artışın neden, görünür özdrenç eğrlernn, dönüşük özdrenç eğrlerne göre katman parametrelernde daha duyarlı olmasıdır. Yan, katman parametrelerndek belrl br orandak değşm, görünür özdrenç eğrlernn de daha büyük bçm değşmne neden olur. Bu durum, doğrudan yorum yöntemnn gerçek parametre değerlerne oldukça yakın değerler ürettğn göstermektedr. Şekl. dek ölçülen dönüşük özdrenç fonksyonunun kanatlara ayrılması Şekl.5 de verlmştr.

208 97 Görünür Özdrenç (ohm-m (a Görünür Özdrenç (ohm-m (b AB/ Şekl.4. Ölçülen ve kuramsal değerlern görünür özdrenç bölgesnde karşılaştırılması. (a yenden örneklenmş ve (b arazde ölçülen very temsl etmektedr. Dönüşük Özdrenç (ohm-m u=/λ (metre Şekl.5. Düşey çubuklar kanatların başlangıç ve btş noktalarını göstermektedr. Araz dönüşük özdrenç fonksyonu (+ le ve kuramsal dönüşük özdrenç fonksyonu sürekl eğr le gösterlmştr.

209 98 Görünür Özdrenç (ohm-m (a Görünür Özdrenç (ohm-m (b AB/ (metre Şekl.6. Ölçülen ve kuramsal değerlern görünür özdrenç bölgesnde karşılaştırılması. (a yenden örneklenmş ve (b arazde ölçülen very temsl etmektedr. Dönüşük özdrenç eğrs üç kanada ayrılarak, ortamın dört katmanlı olduğu varsayılmıştır. Doğrudan yorumun uygulanması le hesaplanan katman parametreler =5, =46, 3 =7.5, 4 =9 ve d =.6, d =, d 3 =8 olarak hesaplanmıştır. Bu parametrelerden hesaplanan kuramsal ver sürekl eğr le gösterlmştr. Eğrnn mnmum cvarı dışında, çakışmanın y olduğu gözlenmektedr. Şekl.6 da se, ölçülen ve kuramsal fonksyonlar, görünür özdrenç bölgesnde karşılaştırılmıştır. Öncek örnekte olduğu gb, kuramsal ve ölçülen değerler arasındak fark, görünür özdrenç bölgesnde artmıştır. Görünür özdrenç eğrlernn lk bölümlernde çakışma daha y olmakla beraber, eğrnn mnmumu ve son kanadı üzernde y br çakışma sağlanamamıştır. Burada verlen örneklern, gürültü kapsamı fazla olup, daha az gürültülü ver le daha başarılı sonuçların alınması olasıdır. Ancak, ölçülen verler her zaman az veya çok gürültü kapsadıklarından, doğrudan yorum le saptanan parametrelerden hesaplanacak kuramsal vernn hem dönüşük özdrenç hem de görünür özdrenç bölgesnde ölçülen ver le tam uyum sağlaması beklenmemeldr. Bu sonuç k nedenden dolayı oluşur. Brncs, katman parametrelernn saptanmasında yapılacak küçük br yanılgı durumunda, alt katman yüzeyne ndrgeme şlem

210 çn kullanılan (.3.4 denklemnn gürültüler daha sonrak adımlara büyülterek aktarmasıdır. Đkncs, daha öncede belrtldğ gb dönüşük özdrenç eğrlernn, görünür özdrenç eğrlerne göre katman parametrelernde daha az duyarlı olmasıdır. Bu nedenle, dönüşük özdrenç bölgesnde yeterl çakışma elde edlse ble, görünür özdrenç bölgesnde ölçülen ve kuramsal değerler arasında br fark oluşablr. Yukarıda verlen örneklerde de görüldüğü gb, doğrudan yorum yöntem ölçülen ve kuramsal ver arasında kabul edleblr yanılgı lmtler çersnde br çakışma sağlayamamaktır. Ancak, elde edlen çakışmalar, hesaplanan parametrelern gerçek parametrelere yakın olduğunu da belrtmektedr. Bu açıdan, doğrudan yorumun gerçek parametre değerlerne dolaysız br yaklaşım yapılmasını da olanaklı kıldığı söyleneblr. Sonuç olarak, doğrudan yorumun, gerçek parametre değerlern y br yaklaşım elde edlmek stendğnde oldukça yararlı olableceğ söyleneblr. 99

211 Bölüm KATMAN PARAMETRELERĐNĐN TERS ÇÖZÜM YÖNTEMLERĐ ĐLE SAPTANMASI.. TERS ÇÖZÜM KURAMI Bölüm 9 da ters-çözüm, eofzk gözlem değerlernden parametrelern kestrlmes olarak tanımlanmış ve lgl kavramlar açıklanmıştır. Gözlem değerlern yorumlayablmek çn üç farklı blgye gereksnm duyulur. Brnc olarak yern fzksel özellklernn, gözlem değerlerne etks tanımlanablmeldr. Br başka deyşle eolok yapıların fzksel model matematksel br fade le tanımlanablrse, oluşturacağı belrtler sayısal olarak elde edleblr. Örnek olarak yerelektrk alanındak değşmler matematksel bağıntılar le gösterleblr se, yeryuvarının özdrence bağlı değşm de modelleneblr. Örneğn kayaç yapısına bağlı olan gözenekllk, mneral dağılımı gb özdrenc doğrudan etkleyen özellkler blnmel ve yorum aşamasında göz önüne alınmalıdır. Üçüncü olarak algılanan verler sağlayan bütün modeller çnde kısıtlamaya gderek, olabldğnce az sayıdak parametre le şlem yapılmalıdır. Parametrelern saptanması çn yer yüzeynde alınan ölçüler tanımlayablecek br matematksel bağıntıya gerek bulunmaktadır. Ölçü değerler le parametreler lşklendren matematksel bağıntı 'düz çözüm' olarak adlandırılmaktadır. Düz çözüm yeraltının belrl br fzksel model sağladığı varsayımı le gelştrlr. Örneğn k boyutlu ve üç boyutlu yeraltı modeller çn gelştrlecek düz çözümler farklı olacaktır. Parametre çözümünün başarısı, düşünülen model ve yeraltı fzksel koşullarının sağladığı uyum dereces le lgldr. Bütünüyle uyumsuz br modeln seçm le fzksel anlamı olmayan parametre değerler elde edlecektr. Ele alınan modeln parametrelerne sayısal değerler vererek, bu yapı üzernde ölçülecek değerlern hesaplanması le 'kuramsal ver' elde edleblr. Kuramsal ver, model parametrelernn doğrusal ya da doğrusal olmayan br fonksyonudur. Doğrusal lşk durumunda, model parametreler ölçülen verden dolaysız çözüleblr.... Parametre Düzeltme Dzeynn Hesaplanması Doğrusal olmayan ters çözüm şlemnde, parametreler çn ön kestrm değerler atanır ve gerçek çözümün ön kestrm değerlerne oldukça yakın olduğu varsayılır. Amaç, ön kestrm değerlerne uygulanması gereken düzeltme değerlernn saptanarak, parametre değerlernn bulunmasıdır: p = p + p =,,...,m. (.. Burada, m parametre sayısı, p ön kestrm değerler ve p parametrelern gerçek değerlerdr. p ; ön kestrm ve gerçek parametre değerler arasındak farklardan oluşan, ön kestrm değerlerne uygulanacak düzeltme mktarıdır. Bu denklem, sayacının her değer çn alt alta yazılır se sütun dzeyler kullanılarak, (.. bağıntısı zleyen dzey eştlğ le gösterleblr: p = p + p. (.. Burada,

212 mx m p.. p p = p m adet parametreler çn ön kestrm değerlern kapsayan sütun dzey ve mx m p.. p p = p gerçek parametre değerlern kapsayan sütun dzey, p = mx m m m p.. p p p p.. p p p p = her parametreye uygulanacak, düzeltme mktarlarını gösteren sütun dzeydr. Gerçek ve ön kestrm değerlernn yakın olduğu varsayımı le düz çözüm fonksyonu Taylor sersne açılablr. Đknc ve daha yüksek derecel termler hmal edlrse ( ( ( ( n,,...,... p p p p, x f p, x f p, x f m = + + = = (..3 yazılablr. Burada, ; parametrelern ön kestrm değerlernden hesaplanmış, n adet kuramsal vernn sıra numarası ve x ; yatay eksen değerlerdr. Kuramsal vernn sayısal değerler, T br dzeyn dönüğünü göstermek üzere; (n * boyutunda br sütun dzey le verleblr: nx n 3 f... f f f = f. (..4 Kuramsal vernn ön kestrm değerlerne göre kısm türevlern kapsayan (n*m boyutundak dzeyn elemanları se

213 A f = =,,n =,,m (..5 p le gösterlrse (..3 bağıntısı dzey denklem olarak f = f + A p (..6 şeklnde yazılablr. A dzey Jacoban dzey, duyarlılık (senstvty ve sstem dzey gb adlarla anılmaktadır. n adet ölçü değer, d d d d.. 3 d =. (..7 n nx (n* boyutunda sütun dzey olarak gösterlrse, ölçü değerler ve gerçek parametreler çn hesaplanan değerler arasındak fark, dzey gösterm le, e=d-f (..8 olarak yazılablr. (..6 denklem, (..8 de yerne yazılarak, e = d f A p (..9 elde edlr. d dzey, ölçülen ver le ön kestrm parametreler kullanarak hesaplanan kuramsal ver arasındak farkları tanımlarsa; e = d A p (.. yazılablr. En küçük kareler yöntemnde, yanılgı eners farkların kareler toplamı olarak tanımlanır: E n = = T ( d f = ( d f ( d f = e T e = T ( d A p ( d A p. (.. Yanılgı enersn küçüklemek amacıyla, parametre düzeltme dzeyne göre kısm türevler alınır ve sıfıra eştlenrse, ver sayısının parametre sayısından büyük olduğu (n>m aşırı tanımlı (over determned problemler çn çözüm T T ( A A A d p = (.. denklem le verlr (Menke 984. Bu denklemde Jacoban dzey A, ölçülen ve kuramsal verlern fark dzey d blnen dzeyler olduğundan, p ; dzey şlemler le hesaplanablr.

214 T T ( A A A dzey genelleştrlmş ters (generalzed nverse veya Lanczos(96 ters olarak adlandırılır ve Penrose(955 koşullarını sağlar. Parametrelere daha y br yaklaşım, parametre düzeltme dzeynn ön kestrm dzeyne eklenmes le elde edlr. Başlangıçta yapılan ön kestrm değerlernn, gerçek parametre değerlerne yakın olduğu varsayımı ve Taylor açılımında yüksek derecel termlern hmal nedenyle, bulunan sonuçlar gerçek parametre değerlern vermeyecektr. Ancak, yen parametre değerlernn ölçülen ve kuramsal değerler arasındak farkları küçültmes beklenr. Farkları daha da küçülten br yöntem; br adımın sonuç parametre değerlernn br sonrak adımın ön kestrm değerler olarak kullanılması le elde edleblr. Bu yneleme şlem le yanılgı eners gttkçe küçültülerek sonuca gdlmeye çalışılır. Ölçülen ve kuramsal değerlern brbrne çakışıp, çakışmadığını denetleyen br çakışmazlık ölçütü saptanıp, bu ölçüt değernn önceden belrlenen br değerden daha küçük olması durumunda, yneleme şlemne son verleblr. Yneleme şlemn durduran daha farklı denetleme şleçler de algortma çne yerleştrleblr. Burada verlen örneklerde, çakışmazlık ölçütü olarak, n χ = n = [ w ( d f ] değer kullanılmıştır.... Tekl Değer Ayrışımı Kare olmayan tekl dzeylern terslernn alınmasında kullanılan dğer br yöntemde tekl değer ayrışımıdır (Sngular Value Decomposton, SVD. Kısm türevler dzeynde bağımsız eştlk sayısı r olmak üzere br dzey, üç ayrı dzeyn çarpımı şeklnde verleblr: 3 T A = U S V. (..3 Burada, U; n*r boyutunda gözlem uzayına at r adet özdzey çeren, dklk koşulunu sağlayan dzey, V; r*m boyutunda parametre uzayına at r adet özdzey çeren, dklk koşullarını sağlayan dzey, S; r adet sıfırdan farklı λ değer çeren, köşegen dzeydr. λ ler A dzeynn tekl değerlerdr, λ λ + olarak sıralanmıştır. V ve U dzeylernn dklk koşulundan dolayı T T V V = UU = I (..4 özellğn taşırlar. Bu bağıntılardan yararlanarak A dzeynn dönüğü T T A = V S U (..5 bağıntısı le verleblr. (.. bağıntısında, (..3 ve (..5 de verlen şlemler uygulanırsa, T T T ( VSU USV VSU d p = ve (..4 gereğnce T T ( VS V VSU d p = (..6

215 4 V ve U dzeylernn dklk koşullarından ve br kare dzeyn doğal tersnden yararlanılarak, T T p = V S V V S U d ve buradan (..4 gereğnce p = V S - U T d yazılablr. S dzeynn verevne elemanları özdeğerlere, dğer elemanları sıfıra eşt olduğundan, smgesel olarak S - = dag( / λ le gösterlr se, çözüm T p = V dag( / λ U d (..7 denklem le verleblr...3. Sönüm Faktörü Ver, bazı parametrelern çözümü çn tam blg kapsamıyor se, kısm türevler dzeynn ((..5 bağıntısı bu parametrelere karşılık gelen sütunları sıfıra yakın olur. Bu parametrelere at özdeğerler de sıfıra yakın bulunur. Yneleme sırasında küçük özdeğerlern neden olduğu salınımların sönümlenmes gerekr. (.. bağıntısında A T A dzeynn köşegenlerne dzeyn özellğne göre seçlen br sayısal değer eklenerek T T ( A A + ε I A d p = (.. denklem elde edlr (Lnes and Tretel 984. Bu çözüm Levenberg-Marquardt ters çözümü veya sönümlü en küçük kareler adını alır. Bağıntıda, I brm dzey ε se poztf br değerdr ve sönüm faktörü olarak adlandırılır (Levenberg 944, Marquardt 963. ε nn alableceğ değerler sıfır veya görece özdeğerlerden büyük br sayı olablr. ε büyük br sayı se en dk nş yöntemne benzer şeklde sonuca gdlr ve yöntemn özellğ olarak çözüm yavaştır. ε = alınırsa (.. bağıntısı Gauss-Newton yöntem adını alır ve çözüm çok hızlı gelşr. Ancak, bu durumda parametre düzeltme vektörü çok büyük değerler alablr ve algortma sonuca ulaşamayablr. Çözümün durağanlığını sağlamak çn yneleme aşamasında ε çn sıfır veya değşk değerler verleblr. Bu uygulama Levenberg-Marquardt yöntem olarak adlandırılır. ε değernn seçmnde çeştl uygulamalar vardır. Bu yazıda verlen bütün uygulamalarda, sönüm faktörü, ε = λ L χ L bağıntısı le hesaplanmıştır. Burada, L herhang br yneleme sırasında, sönüm faktörü çn yapılan denemelern numarasıdır. λ parametre özdeğer ve χ χ χ = χ elde

216 5 olarak verlr. χ ; br öncek yneleme adımındak çakışmazlık ölçütünün değer, χ elde o anda hesaplanan parametre değerler le elde edlen çakışmazlık ölçütü değerlerdr. L çn önce brm değer verlr ve bulunan sönüm faktörü yardımı le parametre değerler hesaplanır. Bu parametreler, çakışmazlık ölçütü çn daha küçük değer veryor se yen br yneleme şlem başlatılır ve yen Jacoban dzey bulunur. Aks takdrde, L çn, 3, değerler verlerek, yen br Jacoban dzey hesaplanmadan çakışmazlık ölçütü çn daha küçük değer veren parametreler saptanmaya çalışılır. L sayacının alableceğ en büyük değer, parametre sayısıdır (Arnason ve Hersr Sönüm Faktörünün Tekl Değer Ayrışımı Yöntemne Uygulanması (.. bağıntısında (..3 ve (..5 de verlen şlemler uygulanırsa T T ( VS V + I VSU d p = ε ve T T ( S + I V V S U d p = V ε bulunablr. Bu denklemden, V dzeynn dklk koşulundan ve br kare dzeyn doğal tersnden yararlanılarak, λ T p = V dag U d λ + ε (.. elde edlr. Buradan görüldüğü gb λ değerlernden herhang brnn çok küçük olması durumunda da hesaplanan p belrl sınırlar arasında olacaktır (Inman 975, Meu Ağırlıklı Ters Çözüm Ters-çözüm şlem sırasında, ölçü değerler gürültü kapsamları le orantılı ağırlık katsayıları le çarpılablr. Bu şlemn amacı, az gürültü kapsayan ölçü değerlernn ters-çözüm sonucunu daha fazla, çok gürültü kapsayanların se daha az etk etmesn sağlamaktır. Bu durumda, (.. yanılgı eners n [ w ( d f ] E ( p = (.. = bağıntısı le tanımlanmalıdır. de ele alınacaktır. Eğer, w ; ağırlık katsayıları olup, katsayılara değer atanması Bölüm. w = dag( w = w w w 3 w n w n nxn (..3

217 6 şeklnde ve köşegen elemanları ağırlık katsayılarına eşt br dzey olarak tanımlanır se, (.. bağıntısı E ( p = T T [ w ( d f ] [ w ( d f ] = ( w d w A p ( w d w A p bçmn alır. Bu denklemn sönümlü en-küçük kareler le çözümü; T T [( wa ( wa + I] ( wa ( w d p = ε (..4 le verlr. (..4 bağıntısının çözümü SVD yöntem le gerçekleştrlmek stenr se, A * = wa tanımı yardımı le SVD çarpanlarına ayrıştırılablr: * * * * A = U S V T (..5 Benzer şeklde, ölçülen ve kuramsal değerler arasındak farkları kapsayan dzeyde, ağırlık dzey le çarpılır se d * = w d elde edlr. Bu durumda, SVD çözümü * λ * p = V * dag U T d * λ + ε * (..6 olarak elde edlr. Dzey çarpımları olarak verlen yukarıdak sonuç bağıntısı, blgsayar programı yazmaya daha uygun br toplam bağıntısına dönüştürüleblr. Bellekte saklanmak üzere, a n = u w d =,,m = * katsayıları tanımlanır se, parametre düzeltme değerler λ p k = v k a k=,,m (..7 ε m * * * = λ + toplamından elde edleblr...6. Parametre Çözünürlüğü..6.. Ver Ayrımlılık Dzey Kısm türevler dzeynn sütunları, ver noktalarının parametrelerden etklenş bçmn gösterr.. sütun elemanları bağıl olarak yeterl sayıda yüksek değerler kapsıyorsa. parametre duyarlı

218 şeklde çözüleblr. Eğer değerler küçük ve eleman sayısı yetersz se, ver grubu. parametrey çözmek çn kullanılamaz ve çözüm çn ek blgye gerek vardır. (.. bağıntısı, 7 A L T T ( A A A = (..8 gösterm le - p = A d (..9 L şeklnde yazılablr. Burada, A L dzey Lanczos ters olarak adlandırılır ve ölçülen değerler le kuramsal değerlern farklarını, ön kestrm parametreler le gerçek parametrelern farklarına çevren br şlemc olarak yorumlanablr. Son ynelemede hesaplanan parametreler kullanılarak, ver farkları yenden hesaplanablr. Đzleyen - AL AL = I (..3 koşulu sağlayan A L Lanchoz dzey yardımı le tahmn hesap d = AL p (..3 yazılablr. Burada, konulması le hesap p (..9 denklemnden hesaplandığından, (..3 de yerne tahmn - ölçülen d = AL AL d (..3 - elde edlr. Bu denklem, AL AL çarpımın, brm dzeye eşt olması halnde ölçülen ve tahmn edlen ver farklarının brbrne eşt olacağını göstermektedr. Bu çarpım, - N = A A (..33 L L dzey le gösterlr ve ver ayrımlılık dzey (data resoluton matrx adını alır. Boyutu nxn dr. N dzey brm dzey se, yan köşegen elemanları brm değere yakınsa, ayrımlılık ydr ve ver parametreler çözmek çn yeterl blgy kapsamaktadır. Köşegen elemanlar brm değerden uzak ve köşegene yakın elemanlar sıfırdan farklı değerler almakta se, vernn parametrelern çözümünde yeterl ayrımlılığı sağlayamadığı söyleneblr. Ver ayrımlılık dzey SVD bleşenler cnsnden T N = U U (..34 olarak bulunablr.

219 Parametre Ayrımlılık Dzey Ters çözüm, ölçülen verden parametre hesaplanması olarak tanımlanmıştır: hesap - ölçülen p = AL d. (..35 Ters çözüm teknğnn genel kuralı gereğ, ölçülen ver aynı zamanda gerçek parametrelerden hesaplanablmeldr: ölçülen gerçek d = AL p (..36 Bu denklem, (..35 denklemnde yerne konur se hesap - gerçek p = AL AL p (..37 denklem elde edlr. Đzleyen, - R = A A (..38 L L dzey mxm boyutundadır ve parametre ayrımlılık dzey (parameter resoluton matrx olarak adlandırılır. Eğer, R brm dzeye yakınsa ters çözüm şlemnden elde edlen parametrelern model temsl ettğ kabul edleblr ve bütün parametreler tam olarak çözülür. Bu dzeyn elemanlarının brm dzeye yakınlığı, parametrelern gerçek değerlerne yakınlığının br ölçüsüdür. Sönüm faktörünün sıfır olduğu durumda, parametre ayrımlılık dzey SVD bleşenler cnsnden T R = VV (..39 olarak bulunablr. Hem ver hem de parametre ayrımlılık dzeyler, ölçü değerlernden bağımsız olduklarından bu dzeylern ncelenmes ölçümlern önceden planlanmasına yardım eder (Menke Đlşk Dzey le Çözünürlüğün Đncelenmes Parametreler arası lşk, lşk dzey yardımıyla da nceleneblr. Parametreler arasındak lşkler veren bu dzey, kısm türevler dzeynden elde edleblr: C = T ( A A T T ( A A ( A A [ ]. (..4 Bu dzeyn elemanlarının değer - le + arasında değşr. Đlşk dzeynde brm değere yakın lşk veren parametreler brbrlernden bağımsız olarak çözülemezler. Đlşk değer (+ brme yakın olduğunda parametrelern farkları, (- brme eştlendğnde se parametrelern toplamları sabt olacak şeklde çözüm bulunablr. Herhang br parametrenn, dğer parametreler le lşksnn, küçük değerlerden oluşması, bu parametrenn duyarlılıkla çözüldüğüne şaret eder.

220 9.. DOĞRU AKIM VERĐLERĐNĐN TERS ÇÖZÜMÜ Bu bölümde, öncek bölümde genel kuramı verlen ters çözüm şlemnn, doğru akım verlerne uygulanması tartışılacaktır. Bu amaç çn -B br model kullanılacaktır. Ters-çözüm şlem görünür özdrenç değerler yardımı le gerçekleştrlecektr.... Logartmk Parametre Uzayı DES yöntemnde, görünür özdrenç vers, dönüşük özdrenç fonksyonuna bağlı br ntegral denklem le verlr. Kayaçların özdrençler, doğada çok büyük br aralıkta değşr. Bu nedenle, katmanların özdrençlerndek değşmlern etks, görünür özdrenç eğrs üzernde doğrusal br değşm olarak gözlenmez. Örneğn, br katmanın özdrencnn ohm-m den ohm-m yükselmes le ohm-m den ohm-m ye yükselmes görünür özdrenç eğrs üzernde aynı etky yaratır. Bu nedenle, ters-çözüm şlem katmanların özdrençlernn logartmaları alınarak gerçekleştrlr. k adet katmandan oluşan br model çn; p = ln( =,,k (.. dönüşümü yapılır. Benzer olarak, sığ dernlklerdek katmanların kalınlıklarının çözümü daha kolaydır. DES yöntemnn duyarlılığı dernlk le üstel olarak azalır. Örneğn, yüzeydek m kalınlığındak br katmanın kalınlığının çözümü olası ken belrl br dernlğn altında bu kalınlıktak br katman hçbr şeklde çözülemez. Bu denenle, parametreleştrme şlemnde katman kalınlıklarının logartmaları kullanılır: p + k = ln( t =,, k- (.. Böylece, hem özdrençlern hem de kalınlıkların logartmaları, çözümü stenen parametreler oluşturur. Dğer br değşle, parametre uzayı logartmktr. Parametreler br kez çözüldükten sonra, exponensyeller alınarak, normal parametre uzayına ger dönülür. Bu dönüşüm şlem fzksel olarak olanaksız olan negatf özdrenç ve kalınlık değerlernn elde edlmesn de önler (Johansen 977, Hoversten, Dey ve Morrson 98. Bu dönüşümlerden sonra, parametre düzeltme dzey; p k k + k.. = p p = ln( ln( p p p p p p. p.. p k k + k ( m= k x ln( ln( ln( t ln( t k k. ln( t.. ln( t ln( ln( k k mx olarak verlr. Burada, m parametre ve k katman sayısıdır ve m=k- dr.

221 ... Logartmk Ver Uzayı Katman özdrençlernn logartmk uzayda doğrusallaşmasının br sonucu olarak, görünür özdrenç versnn değşm de logartmk eksen kullanılması durumunda doğrusallaşır. Görünür özdrenç sondaı versnn çzmnde, logartmk düşey eksen bu nedenle kullanılır. Bu sonuç, ters-çözüm şlemnde ver uzayının da logartmk olması gereğn doğurur: Ölçülen ver olarak; ( ( s d = ln (..3 aö ve kuramsal ver olarak f ( ( s = ln (..4 ak dönüşümler kullanılır. Burada aö ölçülen görünür özdrenç değerlern ve ak ön kestrm değerler kullanılarak hesaplanan kuramsal değerler göstermektedr. Bu durumda, ver farklar dzey; d = d f = ln( ( s aö aö aö ln( ( s ln( ( s n ln( ( s ak ak ak ln( ( s ln( ( s n nx olarak verlr. Dernlğn artması le katman kalınlığı üzerndek ayrımlılığın, logartmk olarak kaybedldğ daha önce belrtlmşt. Bu nedenle, düşey elektrk sondaında yatay eksen değerler logartmk olarak arttırılır. Böylelkle, logartmk yatay eksen üzerne, açılım uzaklıkları hemen hemen eşt aralıklar le yerleşr. Tüm bu önlemler le, doğrusal olmayan parametre ve ver uzayı br ölçüde doğrusallaştırılır...3. Eşdeğerllk Logartmk değşken kullanmanın dğer br yararı se brbrne bağımlı olan parametrelern çarpım veya oranlarının duyarlı olarak çözüleblmesdr. Örneğn, ver br katmanın kalınlık ve t duyarlı se logartmk göstermle bağımlılık doğrusallaştırılmış özdrencnn oranına ( / olur ( ln( t ln(. Benzer şeklde ver parametrelernn brbr le çarpımlarına ( t * duyarlı se doğrusallaştırma sonucu parametrelern logartmaları toplamı ( ln( t + ln( duyarlı br şeklde belrleneblr. Eşdeğerlk kavramı, üç katmanlı özdrenç yapı model le açıklanırsa; T türü eşdeğerllk, k oluşan eşdeğerllk ve S türü letken tabaka arasındak nce yalıtkan katmanda ( 3 eşdeğerllk se k yalıtkan katman arasındak nce letken katmanda ( 3 oluşan

222 eşdeğerllk olarak tanımlanablr. T türü eşdeğerllk gösteren br katmanda ancak ( t çarpımı çözüleblr. Bu durumda, ters-çözümde kullanılan parametrelern toplamları çözülmüş demektr ve (..4 bağıntısı le verlen lşk katsayısı olarak bulunur. Bu nedenle, özdrenç ve kalınlığın değerler brbrnden bağımsız olarak hesaplanamazlar. Benzer olarak, S türü eşdeğerllk gösteren br katmanda da ( t / oranı hesaplanablr. Yan, ters-çözümde kullanılan parametrelern farkları çözülmüştür. Aynı şeklde özdrenç ve kalınlık değerler brbrnden bağımsız olarak hesaplanamaz. Yorum aşamasında ters çözümden elde edlen sonuçlar değerlendrlrken, eşdeğerlklere dkkat edlmeldr. Aks takdrde eolok yapıya uymayan ve fzksel anlamı olmayan yapılar elde edleblr. *..4. Kısm Türevler Dzeynn Hesaplanması Kısm türevler dzeynn herhang br sütunu, sırası le her yatay eksen değernde br parametreye göre kuramsal fonksyonun kısm türevlern kapsar. (..5 bağıntısında A, f ( s ; p = p parametrelern sırasını belrleyen (.. ve (.. bağıntıları yerne konulmalıdır. Parametreler kısm türevler dzeynde hang sırada se parametre düzeltme dzeynde de o düzende elde edldklernden, A, ln ( s ak ak = = =,, n =,, k (..5 ln ( s ak ( s elde edlr. Katman kalınlıklarına göre türev alınır se, A ln ( s t ( s ak ak, + k = = =,, n =,, k- (..6 lnt ak ( s t bulunablr. Kısm türevler dzeynn tamamı zleyen şekldedr: ak ( s ( s ak ( s ak ( s ak ( s ak ( s n ak n ak ( s ( s ak ( s ak ( s ak ( s ak ( s n ak n k ak ( s ( s ak k ( s k ak ( s ak k ( s ak k ( s n ak k n ak ak t t ( s ak t ( s ( s n ak ( s t ( s ak t ( s ak t n t ak t ak k ( s ak t k ( s k ( s n. ( s.... ak ak t ak t k. ( s k t k ( s n nx( k (..7

223 Bu denklemn elemanlarının sayısal hesabı zleyen şeklde yapılır. Kuramsal görünür özdrenç yerne kullanılan elektrot dzlmne at bağıntı yazılablr. Örnek olarak, Schlumberger açılımını çn özdrençlere (veya kalınlıklara göre kısm türevler saptanmak stenr se, (..5 denklemnde Schlumberger görünür özdrenç bağıntısı yazılarak; A, = s T( λ J ak ( s ( λs λ dλ (..8 elde edlr. Parantez çndek bağıntıda, sadece dönüşük özdrenç fonksyonu katman parametrelernn br fonksyonu olduğundan, A, T( λ = s J ak ( s ( λs λ dλ (..9 yazılablr. Doğrusal süzgeç kuramının uygulanması le A, T( x = * bts ( x ak ( s (.. elde edlr. Burada, b TS ( x ; dönüşük özdrenc, Schlumberger görünür özdrenç değerlerne çevren süzgeçtr. Bu denklemde, süzgece grş fonksyonu olarak dönüşük özdrenç değerlernn katman parametrelerne göre türevler verldğnden, çıkışta Schlumberger görünür özdrenç değerlernn katman parametrelerne göre türevler elde edlr. O halde, kısm türevler dzeyn elde etmek çn önce dönüşük özdrenç fonksyonunun parametrelere göre türev alınır ve doğrusal süzgeç kuramı uygulanır. Daha sonra parametre le çarpılıp, kuramsal görünür özdrenç değerlerne bölünür. Benzer olarak, katman kalınlıklarına göre kısm türevler çn A, t T( x + k = * bts ( x ak ( s t (.. bağıntısı kolayca bulunablr. Dönüşük özdrenç fonksyonunun katman özdrenç ve kalınlıklarına göre türevlernn hesaplanması Johansen(975 tarafından verlmştr. Dönüşük özdrenç yneleme bağıntısı, (.4.4 bağıntısı le verlmştr: T ( u t T+ ( u + tanh u = T+ ( u t + tanh u. (.4.4 Burada, yneleme adım numarasıdır. Eğer, numaralı katmana at parametreler ve t se > olduğu sürece, T değerler katman parametrelerne göre türevden etklenmeyecektr. = olduğunda, (.4.4 bağıntısının türevler le

224 T ( u tanh( t / u [ + T / +.tanh( t / u.t / ] = + [ + T tanh( t / u / ] ve T t ( u = T + tanh( t / u [ + T tanh( t / u / ] u.cosh ( t / u + elde edlr. < olduğunda, kısm türevler ( u T = T T T + ve t ( u T = T + T t T + + olarak verlr. Yneleme şlemnn br adımında dönüşük özdrenç fonksyonunun, br öncek adımdak dönüşük özdrenç fonksyonuna göre türev se T T = + + [ T tanh( t / u / ] + tanh ( t / u olarak verlr (Koefoed 979. Bu bağıntılar yardımı le yeryüzündek dönüşük özdrenç fonksyonu T, =k değernden başlanılarak, yneleme şlem le elde edleblr...5. Ağırlık Atama Ters-çözüm şlemnde grş vers olarak, k tür ver kullanılablr. Brnc olasılık, yenden örneklenmş vernn doğrudan kullanılmasıdır. Yenden örneklenmş vernn, daha önce nceledğmz üç tür yanılgıdan kaynaklanan belrszlklern etksn taşımadığını varsaymıştık. Bu durumda, (..7 toplamındak tüm ağırlık katsayıları bre eştleneblr. Bu nedenle, yenden örneklenmş vernn kullanılması durumunda ağırlık katsayılarını gözönüne almayan br ters-çözüm şlem gerçekleştrlmş olur. Dğer olasılık se ters-çözümde arazde ölçülen vernn kullanılmasıdır. Ancak bu durumda, her ölçü değernn çözüme eşt oranda değl, gürültü kapsamı oranında etk etmes sağlanmalıdır. Bölüm ve de gelştrlen düşünceler çerçevesnde, -B düzgünlülük kavram kullanılarak, ağırlık katsayıları zleyen bağıntı le hesaplanablr (Başokur 997, 999: w { ln [ ( s ] ln [ ( s ] } aö ay = exp - (.. α Burada, ( aö s ve ( ay s sırası le ölçülen ve yuvarlatılmış verler göstermektedr. α bçm katsayısı olup,

225 4 n A α = ln[ aö ( s ] ln [( ay ( s ] (..3 n = bağıntısından hesaplanablr. (A se bçm denetleyen br katsayıdır ve buradak örneklerde olarak alınmıştır. α katsayısı, bütün ver değerlerne at gürültü çerklern, yan ölçülen ver le yuvarlatılmış ver arasındak genel uyuşmazlığa at blgy, br ver noktasındak ağırlık katsayısının hesabında kullanılmasını sağlar. Eğer, aynı yatay eksen değerne at ölçülen ve yuvarlatılan verler brbrne eşt olursa, ağırlık katsayısının değer de bre eşt olur. Bu k vernn brbrnden ayrılığı oranında, ağırlık katsayısının değerler de sıfır le br arasında değşr...6. Yneleme Đşlemnn Durdurulması Çakışmazlık ölçütü olarak, ölçülen görünür özdrenç değerler le her yneleme aşamasında parametrelerden elde edlen kuramsal görünür özdrenç değerlernn, farklarının karelernn toplamının karekökünü veren n χ = [ w (ln[ aö( s ] ln[ ak ( s ] (..4 n = bağıntısı kullanılablr. Yneleme şlem; çakışmazlık ölçütünün önceden belrlenen br değerden daha küçük olması, k ardışık ynelemeye at çakışmazlık ölçütlernn bağıl farklarının belrl br değern altına nmemes (yneleme le yanılgı enersnn küçülmemes, 3 yneleme le parametrelerde yöntemn ayrımlılığından daha küçük değşmlern elde edlmes ve 4 belrl br yneleme sayısına erşlmes koşullarından herhang brnn oluşması le sona erdrlr. Çeştl araz verlernn sönümlü en-küçük kareler yöntem le değerlendrlmesne, br sonrak bölümde bazı örnekler verlecektr.

226 5 Bölüm 3 DOĞRUDAN VE YĐNELEMELĐ YORUM YÖNTEMLERĐNĐN BĐRLĐKTE KULLANIMI 3.. YÖNTEMLERĐN KARŞILAŞTIRILMASI Doğrudan yorum yöntemnn, görünür özdrenç bölgesnde ölçülen ve kuramsal vernn çakışmasını brçok durumda sağlayamadığı görülmüştü. Ancak, bu yöntem parametre değerlerne br yaklaşımı doğrudan vermektedr. Br öncek bölümde se, doğru akım vers le parametreler arasındak lşknn doğrusal olmadığı ve bu nedenle Levenberg-Marquardt (sönümlü en-küçük kareler ynelemel ters-çözüm yöntem le sorunun nasıl çözülebleceğ açıklanmıştır. Ynelemel ters-çözüm yöntemnde yorumcu parametreler çn ön kestrm değerler atar ve lk model her ynelemede değştrlerek ölçülen ver le kuramsal ver arasındak farkların kareler toplamı küçültülür. Çözüm ve çözüme yakınsama hızı seçlen ön-kestrm değerlerne bağlıdır. Blndğ gb, doğrusal olmayan ters-çözüm yöntemnde, y seçlmemş br ön-kestrm çözüme erşlmesn engelleyeblr veya çözüm fazla sayıda yneleme le elde edlr. Çünkü doğrusal olmayan problem, parametre uzayında kuramsal fonksyonun br ön-kestrm değer cvarında Taylor sersne açılması le doğrusallaştırılır. Đknc ve daha yüksek dereceden termler hmal edlr. Bu yaklaştırma, ön kestrm değerlernn gerçek parametrelere yakın değerler çn geçerl olduğundan, ara ynelemelerde model parametreler düzeltme dzey de ancak çözüme yakın durumlar çn doğru sonuçlar verecektr. Ölçülen ver le kuramsal ver arasındak farkların kareler toplamını en küçüklemek çn gerekl yneleme sayısı, ön kestrm parametrelernn doğru parametre değerlerne olan yakınlığı ve vernn gürültü kapsamına bağlıdır. Gürültü neden le bazı durumlarda yakınsama elde edlemeyeblr. Đy seçlmemş br ön kestrm le ters-çözüm şlemne başlanması, yneleme sayısında oldukça büyük artmalara neden olur. Deneymlermz, ön kestrm değerlernden hesaplanan kuramsal vernn, ölçülen eğrye bçmsel olarak benzemes durumunda yakınsama hızının oldukça arttığını göstermektedr. Bu sorunları çözmek çn, doğrudan ve ynelemel ters-çözüm yöntemler brleştrleblr. Bu brleştrme çn, k ayrı teknk önerlecek ve yeraltı hakkında ön blg gerektrmeyen br algortma verlecektr (Başokur 999. IPES6 adlı blgsayar yazılımı ve kullanım kılavuzu, geop.eng.ankara.edu.tr adresnden ndrleblr. Bu bölümdek örnekler, anılan yazılım le gerçekleştrlmştr. 3.. SIRALI YORUM Doğrudan yorumun ön-kestrm kullanmadan katman parametrelerne y br yaklaşım verdğ, ynelemel yorumun se sonuç üretmek çn gerçek çözüme yakın br ön-kestrm gerektrdğ daha önce ncelenmşt. O halde, doğrudan yorum le saptanan parametre değerlernn önkestrm olarak ters-çözüm algortmasına beslenmes le brkaç yneleme sonucunda aranan parametre değerlernn elde edlmes bekleneblr. Sıralı Yorum algortması grş olarak, sadece dönüşük özdrenç fonksyonunun kanatlara ayrılmasını ve kanatların başlangıç ve btş noktalarındak değerlern sıra numaralarını gerektrecektr. Kanatlara ayırma şlem görünür özdrenç vers üzernde de yapılıp, br algortma le dönüşük özdrencn kanatlarının sıra numaralarına çevrleblr. Böylelkle, yeraltı hakkında önblg gerektrmeyen ve sadece görünür özdrenç versnn kanatlara ayrılmasının, çözüm çn yeterl olduğu br algortma elde edleblr.

227 6 Sıralı yorumun lkes, doğrudan yorum le hesaplanan katman parametrelernn, ynelemel tersçözüm algortmasında ön kestrm değerler olarak kullanılması ve parametre değerlerne az sayıda yneleme le ulaşablmektr. Gürültünün yakınsamayı zorlaştıracağı durumlarda se ters çözüm şlemnden önce ver yleştrme yöntemlernn uygulanması yakınsama oluşmasına yardım edecektr (Başokur 999. Şekl -4 de verlen doğrudan yorum örneğ, Şekl 3.a de yenden çzlmştr. Araz eğrsnn kanatlara ayrılması görünür özdrenç vers üzernde yapılıp, br algortma tarafından dönüşük özdrenç versnn sıra numaralarına çevrlmştr. Doğrudan yorum le bulunan parametre değerler Bölüm de (özdrenç ohm-m ve dernlk metre =7, =49, 3 =, 4 =7 ve d =3.4, d =, d 3 =7 olarak bulunmuştu. Bu parametre değerlernn, ynelemel yorum algortmasına ön-kestrm olarak verlmes le =4, =64, 3 =4.4, 4 =47 ve d =.9, d =6, d 3 =7 değerler elde edlmştr. Ters-çözüm şlemnde, (3.. denklem le verlen ağırlık atama şlem yapılmıştır. Şekl 3.b de görüldüğü gb, ters-çözüm sonucunda hesaplanan parametreler, ölçülen ve kuramsal verye daha y çakıştırmaktadır. Ön-kestrm olarak, doğrudan yorumdan faydalanılması, hem yakınsama hızını arttırmış hem de br sonuca ulaşılmasına yardımcı olmuştur. Görünür Özdrenç (ohm-m (a Görünür Özdrenç (ohm-m (b AB/ (metre Şekl 3.. (a Sınama vers (noktalar ve kuramsal görünür özdrenç (sürekl eğr. Katman parametreler doğrudan yorum le çözülmüştür. Düşey çubuklar, her kanadın başlangıç ve btş noktalarını göstermektedr. Hesaplanan katman parametreler (özdrenç ohm-m ve dernlk metre =7, =49, 3 =, 4 =7 ve d =3.4, d =, d 3 =7 şeklndedr. (b Sınama vers ve ynelemel yorum sonucunda bulunan katman parametrelernden hesaplanan kuramsal ver. Katman parametreler (özdrenç ohm-m ve dernlk metre =4, =47, 3 =4.4, 4 =47 ve d =.9, d =6, d 3 =7 olarak bulunmuştur.

228 Şekl - de verlen sınama vers doğrudan yorum le yorumlanmış ve Şekl -6 da çzlmşt. Şekl 3.a da se doğrudan yorumun sonuçları yenden çzlmştr. Kanatlara ayırma şlem, görünür özdrenç eğrs üzernde gerçekleştrlmş ve bundan faydalanarak dönüşük özdrenç eğrsnn kanatlarının sıra numaraları blgsayar programı tarafından bulunmuştur. Son kanatta çakışma çok y değldr. Ancak, Şekl 3.b de görüldüğü gb ynelemel şlem sonucunda ölçülen ve kuramsal ver arasındak farklar makul br sevyeye ndrgenmştr. Bu örneklerden de görüldüğü şeklde, sıralı yorum şlem üç adımda gerçekleştrlmektedr. görünür özdrenç eğrsnn kanatlara ayrılması, doğrudan yorum le katman parametrelerne br yaklaşımın elde edlmes, gerekl se elde edlen parametrelern eolok blglere ve mekank sonda sonuçlarına göre değştrlmes, bulunan katman parametrelernn, ynelemel yorum le gelştrlerek ölçülen ve kuramsal verlern çakışmasının sağlanması. Bu yol le doğru akım versnn -B yorumu brkaç dakka çnde btrleblr. 7 Görünür Özdrenç (ohm-m (a Görünür Özdrenç (ohm-m (b AB/ (metre Şekl 3.. (a Sınama vers (noktalar ve kuramsal görünür özdrenç (sürekl eğr. Katman parametreler doğrudan yorum le çözülmüştür. Düşey çubuklar, her kanadın başlangıç ve btş noktalarını göstermektedr. Hesaplanan katman parametreler (özdrenç ohm-m ve dernlk metre =5, =46, 3 =7.5, 4 =9 ve d =.6, d =, d 3 =8 şeklndedr. (b Sınama vers ve ynelemel yorum sonucunda bulunan katman parametrelernden hesaplanan kuramsal ver. Katman parametreler (özdrenç ohm-m ve dernlk metre =., =8.8, 3 =5.6, 4 =793 ve d =.65, d =6, d 3 =9 olarak bulunmuştur.

229 EŞ-ZAMANLI YORUM Düşey elektrk sondaı yöntemnde, daha dernlerdek katmanlara at blg akım elektrotları arasındak uzaklığın arttırılması le elde edlr. Benzer olarak, yorum şlemnde de en üsttek katmandan başlayarak, alt katmanlara doğru adım adım lerleneblr. Çünkü, görünür özdrenç eğrsnn lk bölümünde dern katmanlara at blg yoktur. Bu şlem, doğrudan ve ynelemel yorum yöntemlernn görünür özdrenç eğrsnn belrl br kanadında eş-zamanlı kullanımı le gerçekleştrleblr. Önerlen yorum yöntemnn akış dyagramı Şekl 3.3 de verlmştr. Başla sıra no( den sıra no (m kadar, sıra numaralarını gr m katman sayısı dönüşük özdrenç fonksyonunun sayısal değerlern hesapla T (u ; to n = n ver sayısı k = Doğrudan Yorum Bölümü k, tk, k+ hesapla Tk (u ; = sra no(k dan sra no(k + kadar Levenberg-Malquardt En-küçük Kareler Bölümü, t,..., k, tk, k+ değştr a (s ; = den sra no (k + kadar Đndrgenmş T (u dönüşük k özdrenc hesapla = sıra no (k dan n kadar k = k+ Hayır Koşul k = m Evet Sonuçları yaz Btt Şekl 3.3. Eş-zamanlı yorumun yalınlaştırılmış akış şeması.

230 Yorum şlem, görünür özdrenç eğrlernn kanatlara ayrılması le başlar. Ver yuvarlatma aşamasında çakıştırma fonksyonlarının sayısı çn verlen karar harcnde, yorumcu tarafından yerne getrlmes gereken tek şlem bu olup, dğer adımlar algortma tarafından gerçekleştrlr. Đlk katmanın parametreler (özdrenç ve kalınlık ve knc katmanın özdrenc, dönüşük özdrenç eğrsnn lk kanadından doğrudan yorum le saptanır. Bu aşamada, derndek katmanların lk kanat üzernde br değşme neden olmadığı varsayılmıştır. Çözülen katman parametreler, ölçülen ve kuramsal görünür özdrenç eğrler, lk kanat üzernde brbrler le çakışana kadar ynelemel yorum yardımı le değştrlr. Böylece, yöntemn knc adımında ndrgenmş dönüşük özdrenç değerlernn hesabında düzeltlmş parametreler kullanılmış olur. Đknc katmanın parametreler ve üçüncü katmanın özdrenc çn ön kestrm değerler, knc kanada karşılık gelen yatay eksen değerlerndek ndrgenmş dönüşük özdrenç değerlernden hesaplanablr. Çünkü lk katmanın etks ndrgeme denklem le kaldırılmıştır. Bu adıma kadar hesaplanan bütün parametre değerler, ynelemel yorum le yenden düzeltlr. Bu şlemn daha dernler temsl eden kanatlara doğru tekrar edlmes, bütün katman parametrelern verr. Şekl 3.4 de eş-zamanlı yoruma br örnek verlmştr. Bu örnekte Şekl 3. dek ver kullanılmıştır. Görünür özdrenç eğrsnn lk kanadı üzernde k-katman varsayımı le doğrudan ve ynelemel yorum yöntemlernn eş-zamanlı çözümü le parametreler hesaplanmıştır. Bu parametrelerden elde edlen kuramsal ver Şekl 3.4a da çzlmştr. Đknc adımda, ndrgenmş dönüşük özdrenç değerlernden yararlanılarak, doğrudan yorum le knc katmanın parametreler ve üçüncü katmanın özdrenc çn br yaklaşım bulunmuştur. Ynelemel yorum le bütün parametreler değştrlerek görünür özdrenç eğrsnn brnc ve knc kanatlarına çakışan br kuramsal görünür özdrenç eğrs elde edlmştr. Đşleme üçüncü kanat üzernde devam edlerek, tüm parametreler çözülmüştür. Şekl 3.5 de, Şekl 3. dek vernn eş-zamanlı yöntem le yorumu ve ara adımlar verlmştr. Düşey çubuklar, kanatlara ayırma noktalarını göstermektedr. Şekl 3.5a ve 3-5b de ara adımlar, Şekl 3.5c de se sonuç görülmektedr. Ara adımlar burada çzlmekle beraber, algortmanın yorumcu tarafından kullanımı sırasında gösterlmezler. Yöntemn çalışması çn sadece katmanlara ayırma şlemnn yapılması yeterldr ve örneklerde görüldüğü gb, hızlı ve ön-kestrm gerektrmeyen br çözüm yöntemdr. Şekl 3.b nn Şekl 3.4c le ve Şekl 3.b nn Şekl 3.5c le karşılaştırılması le sıralı ve eşzamanlı yorumların kullanımı le elde sonuçların br mktar farklı olduğu görüleblr. Ancak, sonuçların doğru akım yöntemnde karşılaşılan br sorun olan eşdeğerllk sınırları çersnde olduğu söyleneblr. Bu örnekte üçüncü katman şddetl S-türü eşdeğerllk göstermektedr. Bu durumda, katmanların ayrı ayrı çözümü yerne, kalınlık/özdrenç oranı çözülür. Böyle durumlarda, çözüm ön-kestrme bağımlıdır. Sıralı ve eş-zamanlı yorumların doğası gereğ kullanılan ön-kestrm değerler br mktar farklıdır ve parametre hesaplanmasındak farklılıkta eşdeğerllk sorunundan kaynaklanmaktadır. Sonuçların gerçek parametre değerlerne yakınlığı, vernn rasgele, sstematk gürültüler kapsamasına ve -B modelden farklılıklar olmasına rağmen parametre değerlerne y br yaklaşım ürettğn göstermektedr (Şekl 3. ve Şekl 3.4 çn Bölüm da verlen Model, stasyon 5 ve Şekl 3. ve Şekl 3.5 çn Model, stasyon. 9

231 Görünür Özdrenç (ohm-m (a Görünür Özdrenç (ohm-m (b Görünür Özdrenç (ohm-m (c AB/ (metre Şekl 3.4. (a Đlk kanat üzernde, ağırlıklı eş-zamanlı yorum yöntem le elde edlen sonuçlar. Hesaplanan katman parametreler (özdrenç ve dernlkler =.4, =56.4 ve d =.5 şeklndedr. (b Eş-zamanlı yorumun knc adımında elde edlen sonuçlar., t (kalınlık ve 3 çn ön-kestrm değerler doğrudan yorumla bulunmuş ve tüm parametreler ynelemel yorum le değştrlmştr. Katman parametreler çn =4, =64.3, 3 =8. ve d =.9, d =3.5 değerler bulunmuştur. (c Eş-zamanlı yorumun son aşaması. 3, t 3 ve 4 çn önkestrm değerler doğrudan yorum le hesaplanmış ve tüm parametreler ynelemel yorum le değştrlmştr. Hesaplanan son model parametreler =4., =64., 3 =3.36, 4 =3 ve d =.9, d =7, d 3 =64.4 şeklndedr.

232 Görünür Özdrenç (ohm-m (a Görünür Özdrenç (ohm-m (b Görünür Özdrenç (ohm-m (c AB/ (metre Şekl 3.5. (a Đlk kanat üzernde, ağırlıklı eş-zamanlı yorum yöntem le elde edlen sonuçlar. Hesaplanan katman parametreler (özdrenç ve dernlkler =3.4, =8.5 ve d =.9 şeklndedr. (b Eş-zamanlı yorumun knc adımında elde edlen sonuçlar., t (kalınlık ve 3 çn ön-kestrm değerler doğrudan yorumla bulunmuş ve tüm parametreler ynelemel yorum le değştrlmştr. Katman parametreler çn =4.4, =.5, 3 =9.3 ve d =., d =. değerler bulunmuştur. (c Eş-zamanlı yorumun son aşaması. 3, t 3 ve 4 çn önkestrm değerler doğrudan yorum le hesaplanmış ve tüm parametreler ynelemel yorum le değştrlmştr. Hesaplanan son model parametreler =.9, =87.5, 3 =6, 4 =669 ve d =.8, d =5.6, d 3 =96.4 şeklndedr.

233 Görünür Özdrenç (ohm-m Görünür Özdrenç (ohm-m (a uzatma değerler (b AB/ (metre Şekl 3.6. (a Ölçülen ver (noktalar ve 8 adet çakıştırma fonksyonu kullanılarak elde edlen yuvarlatılmış ver (sürekl eğr. Đlk k nokta sola doğru uzatma şlemyle hesaplanmıştır. Ölçülen ver, büyük oranda rasgele ve sstematk gürültüler kapsamaktadır. (b Yenden örneklenmş ver (artı şaretler çakıştırma fonksyonlarının eşt aralıklı yatay eksen değerlernde yenden kurulması le elde edlmştr GERÇEK ARAZĐ VERĐSĐNĐN DEĞERLENDĐRĐLMESĐNE ÖRNEKLER Şekl 3.6 da rasgele ve sstematk gürültülern yanında, -B model le gerçek yeraltı koşullarının uyuşmazlığından kaynaklanan hataları kapsayan br ver kümes görülmektedr. Ölçülen görünür özdrenç değerler 8 adet çakıştırma fonksyonu kullanılarak, yuvarlatılmıştır. Şeklden de görüldüğü gb, dğer ver değerlernden uzak olan saçılmış br adet vernn yuvarlatma şlemne br etks olmamıştır. Bunun neden, ağırlıklı yuvarlatma şlemnn kullanılmasıdır. Yorumlama algortmasının duraylılığını sağlamak çn, görünür özdrenç eğrs sola doğru uzatılarak, k yen ver elde edlmştr. Bu şlem, çakıştırma fonksyonlarını solda kalan k yatay eksen değerlernde yenden kurulması le elde edlmştr. Uzatmanın neden se, eğrnn lk kanadının kısa olmasıdır. Bunlardan başka, yenden örneklenmş ver logartmk eksenn her dönemne ver düşecek şeklde eş aralıklı olarak hesaplanmıştır (Şekl 3.6b. Doğrudan yorumun kullanımı br ön-kestrm modelnn elde edlmesnn sağlar. Bu parametrelern ynelemel yorum algortmasına grş vers olarak verlmes le ölçülen ve kuramsal görünür özdrenç değerler arasında kabul edleblr br çakışma sağlanablr (Şekl 3.7a. Ters-çözüm şlemnde ağırlık katsayıları kullanılmıştır. Aynı verye eş-zamanlı yorum şlem de uygulanmıştır. Hem sıralı yorum hem de eş-zamanlı yorum le elde edlen parametreler tamamı le aynıdır. Bunun neden eşdeğerllk sorununun bu örnekte öneml olmamasıdır.

234 3 Görünür Özdrenç (ohm-m (a Görünür Özdrenç (ohm-m (b AB/ (metre Şekl 3.7. (a Ölçülen (noktalar ve kuramsal ver (sürekl eğr. Ön-kestrm doğrudan yorumdan elde edlmştr. Düşey çubuklar, kanatların başlangıç ve btş noktalarını göstermektedr. Sıralı yorum le hesaplanan katman özdrenç ve dernlkler: =998, =45, 3 =756, 4 =88 ve d =.5, d =4.54, d 3 =39. Eş-zamanlı yorum aynı parametre değerlern üretmştr. (b Yenden örneklenmş ver (+ ve kuramsal görünür özdrenç (sürekl eğr. Önkestrm doğrudan yorum yöntem le elde edlmştr. Ynelemel yorum sonucunda hesaplanan sonuç değerler (özdrenç ve kalınlıklar: =969, =47, 3 =797, 4 =93 ve d =.59, d =4.4, d 3 =35. Eş-zamanlı yorum yöntem de aynı parametre değerlern üretmştr. Aynı şlem, bütün ağırlık katsayılarını bre eştleyerek yenden örneklenmş ver üzernde de uygulanmıştır. Şekl 3.7b sıralı ve eş-zamanlı yorumların sonuçlarını göstermektedr. Her k yöntemde aynı katman parametrelern üretmştr. Şekl 3.7a ve b nn karşılaştırılması, her k tür vernn ters-çözümü le br mktar farklı parametre değerlernn hesaplandığını göstermektedr. Ancak, çözümler eşdeğerllk sınırları çersndedr. Bu yakınlık burada önerlen ağırlık atama şlemnn br sonucu olup, bütün yuvarlatma ve ağırlık atama şlemler çn genelleştrlemez. Bu örnekler, sonuç parametrelernn, uygulanan yorum yöntemnden zyade ters-çözüme grş olarak verlen vernn türüne bağlı olduğunu göstermektedr. Bu tespt, y br ön-kestrmn sağlandığı durumlar çn geçerldr SONUÇLAR Ters-çözüm algortmasına beslenen grş vers çn k olasılık sunulmuştur. Đlk olasılık, ölçülen ve yuvarlatılan verler arasındak farklardan hesaplanan ağırlık katsayıları yardımı le ölçülen

235 4 vernn ters-çözümüdür. Đknc olasılık se ağırlık katsayılarını bre eştleyerek, yenden örneklenmş vernn kullanımıdır. Yenden örneklenmş vernn kullanımı durumunda daha az blgsayar zamanı gerektrr. Yen kuşak blgsayarların şlem hızı düşünüldüğünde bu özellğn büyük br üstünlük sağlamadığı düşünüleblr. Ölçülen vernn doğrudan grş vers olarak kullanılması durumunda, yuvarlatılmış verden (3.. ve (3..3 bağıntıları le hesaplanan katsayılar le ağırlık atanması, yuvarlatma şlemne benzer br etk yaratır. Yorumcu her k ver türünü de kullanıp, sonuçları karşılaştırablr. Bu önlemler, rasgele ve sstematk gürültüler le modelden farklılıklardan oluşan yanılgıların ndrgenmesne yardım eder. Brçok yuvarlatılmış ver arasından görsel yol le yorumcu çakıştırma fonksyonu sayısına karar verr. Bu nedenle, gürültü kapsamının arttığı durumlarda, sonuç yorumcunun çakıştırma fonksyonu sayısı çn yaptığı seçme bağlı olacaktır. Yeraltının - B ortama yakın olduğu, ayrıca rasgele ve sstematk hataların az olduğu durumlarda yuvarlatma şlemnn sonuçları, yorumcunun çakıştırma fonksyonu sayısı çn yaptığı seçme krtk olarak bağlı olmayacaktır. Geleneksel algortmalarda, sadece rasgele gürültüler göz önüne alınarak, ağırlık katsayıları ver standart sapmalarına eştlenr ve algortma ön-kestrm değerler çn yorumcunun yardımını ster. Önerlen algortma se ağırlık katsayılarının atanması çn yorumcunun yardımını ster ve yorum şlemnn ger kalan adımları sıralı veya eş-zamanlı algortma tarafından gerçekleştrlr. Çoğu durumda, bu k algortmanın ürettğ sonuçlar benzerdr. Ancak, ortamda nce br katman var se, sonuçların değşme olasılığı vardır. Bu durumda, eşdeğerllk sorunu neden le k yöntemn ürettğ parametrelerde farklılıklar oluşur. Çünkü, brden fazla kuramsal eğr, ölçülen görünür özdrenç değerlerne çakışablr. Bu durumda, yorumcu sıralı yorumu yeğleyeblr. Sıralı yorum, doğrudan yorum le elde edlen ön-kestrm parametreler üzernde, eolok olarak kabul edleblr br model bulmak amacı le değşklk yapılmasına zn vermektedr. Eğer gerekr se, bazı model parametrelernn, ters-çözüm şlem sırasında değşmemes de sağlanablr.

236 5 Kaynaklar Abramowtz, M. and Stegun, I., 964, Handbook of Mathematcal Funtons, Natonal Bureau of Standarts, Washngton. Al pn, L.M., 95, The theory of dpole soundng. In: L.M. Al pn, M.N. Berdchevsk, G.A. Verdrntsev and A.M. Zagarmstr (Edtors, Dpole Methods for Measurng Earth Conductvty (966. Consultans Bureau, New York, N.Y., pp.-6. Apprao, A. and Roy, A., 973, Feld results for D.C. resstvty proflng wth two electrode array. Geoexploraton Arnason K. and Hersr G. P., 988, One dmensonal nverson of Schlumberger resstvty soundngs: Computer Program, Descrpton and User s Gude. The Unted Natons Unversty. Iceland. Anderson, W., 979, Numercal ntegraton of related Hankel transforms of orders and by adaptve dgtal flterng. Geophyscs 44, Başokur, A.T., 98, Comment on The quanttatve nterpretaton of dpole soundngs by means of the resstvty transform functon by D. Patella. Geophyscal Prospectng 3, Başokur, A.T., 983, Transformaton of resstvty soundng measurements obtaned n one electrode confguraton to another confguraton by means of dgtal lnear flterng. Geophyscal Prospectng 3, Başokur, A.T., 984a, The use of two-electrode and Schlumberger flters for computng resstvty and EM soundng. Geophyscal Prospectng, 3, Basokur A.T., 984b., A numercal drect nterpretaton of resstvty soundng usng the Pekers model. Geophyscal Prospectng 3, Başokur, A.T., 988, Computer program for the transformaton of VES data, Commun. Fac. Sc. Ank. Seres C, v.6, Başokur, A.T., 99, Mcrocomputer program for the drect nterpretaton of resstvty soundng data. Computer and Geoscences 6, Başokur, A.T., 997, Drect nterpretaton of magnetotellurc soundng data based on the frequency-normalzed mpedance functon. Geophyscal Prospectng 45, -37. Başokur, A. T., 999, Automated -D nterpretaton of resstvty soundngs by smultaneous use of the drect method and teratve methods, Geophyscal Prospectng, 47, Bevngton P.R., 969, Data reducton and error analyss for the physcal scences. McGraw-Hll, Inc. Bhattacharya, P.K. and Patra, H.P., 968, Drect Current Geoelectrc Soundng. Elsever, Amsterdam. Bracewell, R., 965, The Fourer Transform and ts Applcatons, McGraw Hll, New York.

237 6 Brgham, E.O., 974, The Fast Fourer Transform. Practce-Hall Inc, Englewood Clffs, New Jersey. Buttkus, B.,,Spektral analyss and flter theory n appled geophyscs, Sprnger, 667 pp. Candansayar, M. E. and Basokur, A. T.,, Detectng small-scale targets by the -D nverson of two-sded three-electrode data: applcaton to an archaeologcal survey. Geophyscal Prospectng, 49, 3-5. Das, U.C. and Gosh, D.P., 973, A study on the drect nterpretaton of dpole soundng resstvty measurements over layered earth. Geophyscal Prospectng 3, Das, U.C. and Gosh, D.P., 974, The determnaton of flter coeffcents for the computaton of standarts curve for dpole resstvty soundng over layered earth by lnear dgtal flterng. Geophyscal Prospectng, Das, U.C., Gosh, D.P. and Bewnga, D.T., 974, Transformaton of dpole resstvty soundng measurements over layered earth by lnear dgtal flterng. Geophyscal Prospectng, Das, U.C. and Verma, S.K., 98, Dgtal lnear flter for computng type curves for the twoelectrode system of resstvty soundng. Geophyscal Prospectng 8, Ghosh, D.P., 97, The Applcaton of Lnear Flter Theory to the Drect Interpretaton of Geoelectrcal Resstvty Measurements. Doctoral thess, Tech. Unv. Delft, 5 pp. Ghosh, D.P., 97, the applcaton of lnear flter theory to the drect nterpretaton of geoelectrcal resstvty measurements. Geophyscal Prospectng 9, 9-7. Ghosh, D.P., 97a, Inverse flter coeffcents for the computaton of apparent resstvty standart curves for a horzontally stratfed earth. Geophyscal Prospectng 9, Guptasarma, D., 98, Optmzaton of short dgtal lnear flters for ncreased accuracy. Geophyscal Prospectng 3, Hovertsen, G.M., Dey, A. and Morrson, H.F., 98, Comparson of fve least-squares nverson technques n resstvty soundng. Geophyscal Prospectng 3, Inmann J.R Resstvty nverson wth rdge regresson. Geophyscs 4, Inman, J.R., Ryu, J. and Ward, S.H., 973, Resstvty nverson. Geophyscs 38, Johansen, H.K., 975, An nteractve computer/graphc-dsplay-termnal system for nterpretaton of resstvty soundngs. Geophyscal Prospectng 3, Johansen H.K A man /computer nterpretaton system for resstvty soundng over a horzontally stratfed earth. Geophyscal Prospectng 5, Johansen, H.K. and Sorensen, K., 979, Fast Hankel transforms. Geophyscal Prospectng 7,

238 Koefeod, O., 97, A fast method for determnng the layer dstrbuton from the rased kernel functon n geoelectrcal soundng. Geophyscal Prospectng 8, Koefeod, O., 97, A note on the lnear flter method of nterpretng resstvty soundng data. Geophyscal Prospectng, Koefeod, O., 977, Comments on paper by Kumar and Das. Geophyscal Prospectng 5, 79. Koefeod, O., 979, Geosoundng prncples.. Resstvty soundng measurements. Vol. 4A n Methods n Geochemstry and Geophyscs, Elsever, Amsterdam. Koefeod, O., Ghosh, D.P. and Polman, G.J., 97, Computaton of type curves for electromagnetc depth soundng wth a horzontal transmttng col by means of a dgtal lnear flter. Geophyscal Prospectng, Kumar, R. and Das, U.C., 977, Transformaton of dpole to Schlumberger soundng curves by means of dgtal lnear flters. Geophyscal Prospectng 5, Kumar, R. and Das, U.C., 978, Transformaton of Schlumberger apparent resstvty to dpole apparent resstvty over layered earth by the applcaton of dgtal lnear flters. Geophyscal Prospectng 6, Lanchoz C. 96. Lnear dfferental operators. Van Norstrand-Renhold, Prnceton, New Jersey. Levenberg K A method for the soluton of certan nonlnear problems n least squares. Qaur. App. Math., Levnson N The Wener RMS (root mean square error crteron n flter desgn and predcton. Jour. of Mathematcs and Physcs 5, Levnson, N. 949, The Wener RMS ( root mean square error crteron n fltes desgn and predcton. Appendx. In: N. Wener, The Interpolaton, and Smoothng of Statonary Tme Seres. Wley, New York, N.Y. Lnes L.R. and Tretel S Tutoral: a revew of least-squares nverson and ts applcaton to geophyscal problems. Geophyscal Prospectng 3, Mallet, R., 947, The fundamental equatons of electrcal prospectng. Geophyscs, Marquardt, D.W., 963, An algorthm for least-squares estmaton of nonlnear parameters. J. Soc. Ind. Appl. Math., Menardus, H.A., 97, Numercal nterpretaton of resstvty soundngs over horzontal beds. Geophyscal Prospectng 8, Meu M.A Geophyscal data analyss: Understandng nverse problem theory and practce. Socety of Exploraton Geophyscsts. Menke W Geophyscal data analyss: Dscrete Inverse Theory. Academc Press, Inc. Murakam, Y. and Uchda, T., 98, Accuracy of the lnear flter coeffcents determned by the teraton of the least-squares metdod. Geophyscs 47,

239 8 Nyman, D.C. and Landsman, M., 977, VES dpole-dpole flter coeffcents. Geophyscs 4, O Nell, D.J., 975, Improved lnear flter coeffcents for applcaton n apparent resstvty computatons. Bull. Aust. Soc. Explor. Geophys. 6, 4-9. Orellana, S., 965, Notas sobre la nterpretacon de sondeos electrcos vertcals, Revsta de Geofsca 4 (97, -4. Patella, D., 98, The quanttatve nterpretaton of dpole soundng by means of the resstvty transform functon. Geophyscal Prospectng 8, Patella, D., 98, Reply to comment by A.T. Başokur,. Geophyscal Prospectng 3, Pekers, C.L., 94, Drect method of nterpretaton n resstvty prospectng. Geophyscs 5, Penrose R. A A generalzed nverse for matrces. Proc. Cambrdge Phl. Soc., 5, Ro, L., Pelton, W.H., Fetosa, E.C. and Ward, S.H., 977, Interpretaton of apparent resstvty data from Apod Valley, Ro Grande de Norte, Brasl. Geophyscs 49, 8-8. Roy, A. and Apprao, A., 97, Depth of nvestgaton ndrect current methods. Geophyscs 36, Santn R. and Zambrano R. 98. A numercal method of calculatng the kernel functon from Schlumberger apparent resstvty data. Geophyscal Prospectng 9, 8-7. Seara, J.L. and Conaway, J.G., 98, On the propertes of the recprocal geoelectrc secton. Geophyscal Prospectng 8, Shanon,C. E., 948, A mathematcal theory of communcaton, Bell Syst. Techn. Journal 7. Stefanescu, S.S. and Schlumberger, C. and M., 93, Sur la dstrbuton electrque potentelle autour d une prse de terre ponctuelle dans un terran a couches horzontals, homogenes et sotropes. J. Phys. Radum 7, 3-4. Szaranec, E., 97, An effectve array spacng for electrcal soundng curves. Geophyscs 36, Uchda T. and Murakam Y. 99. Development of a Fortran code for the two-dmensonal Schlumberger Inverson. Geologcal Survey of Japan, Open-Fle Report No. 5. Vanyan, L.L., Morozova, G.M. and Lozhemtna, L., 96, On the calculaton of theoretcal electrcal soundng curves. Prkladnaya Geofzka 34, (n Russan.

240

DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU

DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU Prof.Dr. Ahmet Tuğrul BAŞOKUR Jeofzk Mühendslğ Bölümü Mayıs 4 İletşm: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR Ankara Ünverstes, Mühendslk Fakültes Jeofzk Mühendslğ Bölümü 6

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

ÇOK BĐLEŞENLĐ DAMITMA KOLONU TASARIMI PROF. DR. SÜLEYMAN KARACAN

ÇOK BĐLEŞENLĐ DAMITMA KOLONU TASARIMI PROF. DR. SÜLEYMAN KARACAN ÇOK BĐLEŞENLĐ DAMITMA KOLONU TASARIMI PROF. DR. SÜLEYMAN KARACAN 1 DAMITMA KOLONU Kmya ve buna bağlı endüstrlerde en çok kullanılan ayırma proses dstlasyondur. Uygulama alanı antk çağda yapılan alkol rektfkasyonundan

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI V. Ulusal Üretm Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Tcaret Ünverstes, 5-7 Kasım 5 ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE BAÜ Fen Bl. Enst. Dergs (6).8. YAYII YÜK İE YÜKENİŞ YAPI KİRİŞERİNDE GÖÇE YÜKÜ HESABI Perhan (Karakulak) EFE Balıkesr Ünverstes ühendslk marlık Fakültes İnşaat üh. Bölümü Balıkesr, TÜRKİYE ÖZET Yapılar

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

T.C. ANKARA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ II ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN BİR BOYUTLU TERS ÇÖZÜMÜ

T.C. ANKARA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ II ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN BİR BOYUTLU TERS ÇÖZÜMÜ T.C. ANKARA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ II ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN BİR BOYUTLU TERS ÇÖZÜMÜ HAZIRLAYAN : FATİH YAKUT Fakülte No : 02291522 ANKARA 2006

Detaylı

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.teknolojkarastrmalar.com ISSN:134-4141 Makne Teknolojler Elektronk Dergs 28 (1) 61-68 TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR Kısa Makale Tabakalı Br Dskn Termal Gerlme Analz Hasan ÇALLIOĞLU 1, Şükrü KARAKAYA 2 1

Detaylı

Anahtar Kelimeler: Newton, En-dik iniș, Eșlenik Gradyen, Gauss-Newton ve Sönümlü En-küçük Kareler Ters-çözüm Yöntemleri, Tikhonov Düzgünleștiricisi.

Anahtar Kelimeler: Newton, En-dik iniș, Eșlenik Gradyen, Gauss-Newton ve Sönümlü En-küçük Kareler Ters-çözüm Yöntemleri, Tikhonov Düzgünleștiricisi. ÜREV ABANLI PARAMERE KESİRİM YÖNEMLERİ (DERIVAIVE BASED PARAMEER ESIMAION MEHODS) Ahmet uğrul BAȘOKUR Ankara Ünverstes Mühendslk Fakültes Jeofzk Müh. Bölümü, andoğankampusu, 61 Ankara basokur@eng.ankara.edu.tr

Detaylı

Calculating the Index of Refraction of Air

Calculating the Index of Refraction of Air Ankara Unversty Faculty o Engneerng Optcs Lab IV Sprng 2009 Calculatng the Index o Reracton o Ar Lab Group: 1 Teoman Soygül Snan Tarakçı Seval Cbcel Muhammed Karakaya March 3, 2009 Havanın Kırılma Đndsnn

Detaylı

AĞIR BİR NAKLİYE UÇAĞINA AİT BİR YAPISAL BİLEŞENİN TASARIMI VE ANALİZİ

AĞIR BİR NAKLİYE UÇAĞINA AİT BİR YAPISAL BİLEŞENİN TASARIMI VE ANALİZİ III. ULUSAL HAVACILIK VE UZAY KONFERANSI 16-18 Eylül 2010, ANADOLU ÜNİVERSİTESİ, Eskşehr AĞIR BİR NAKLİYE UÇAĞINA AİT BİR YAPISAL BİLEŞENİN TASARIMI VE ANALİZİ Davut ÇIKRIKCI * Yavuz YAMAN Murat SORGUÇ

Detaylı

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre 1 DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cnemre 2 BİRİNCİ BÖLÜM HEDEF PROGRAMLAMA 1.1 Grş Karar problemler amaç sayısına göre tek amaçlı ve çok amaçlı

Detaylı

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü ZKÜ Müendslk Fakültes - Makne Müendslğ Bölümü Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değştrge Deney Föyü Şekl. Sudan suya türbülanslı akış ısı değştrge (H950 Deneyn adı : Boru çnde sudan suya türbülanslı akışta

Detaylı

TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR wwwteknolojkarastrmalarcom ISSN:1304-4141 Makne eknolojler Elektronk Dergs 00 (4 1-14 EKNOLOJİK ARAŞIRMALAR Makale Klask Eş Eksenl (Merkezl İç İçe Borulu Isı Değştrcsnde Isı ransfer ve Basınç Kaybının

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A)

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A) KOCELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendslk akültes Makna Mühendslğ Bölümü Mukavemet I Vze Sınavı () dı Soyadı : 18 Kasım 013 Sınıfı : No : SORU 1: Şeklde verlen levhalar aralarında açısı 10 o la 0 o arasında olacak

Detaylı

FLYBACK DÖNÜŞTÜRÜCÜ TASARIMI VE ANALİZİ

FLYBACK DÖNÜŞTÜRÜCÜ TASARIMI VE ANALİZİ FLYBACK DÖNÜŞTÜRÜCÜ TASARIMI VE ANALİZİ 1 Nasır Çoruh, Tarık Erfdan, 3 Satılmış Ürgün, 4 Semra Öztürk 1,,4 Kocael Ünverstes Elektrk Mühendslğ Bölümü 3 Kocael Ünverstes Svl Havacılık Yüksekokulu ncoruh@kocael.edu.tr,

Detaylı

MADEN DEĞERLENDİRME. Ders Notları

MADEN DEĞERLENDİRME. Ders Notları MADEN DEĞERLENDİRME Ders Notları Doç.Dr. Kaan ERARSLAN 008 ĐÇĐNDEKĐLER. GĐRĐŞ... 3. REZERV SINIFLARI VE HESAPLAMALARI... 4. Görünür rezervler...4.. Muhtemel Rezervler...6.3 Mümkün Rezervler...7.4 Belrl

Detaylı

Elektrik Akımı, Potansiyel Fark ve Direnç Testlerinin Çözümleri

Elektrik Akımı, Potansiyel Fark ve Direnç Testlerinin Çözümleri Elektrk Akımı, Potansyel Fark ve Drenç Testlernn Çözümler 1 Test 1 n Çözümü. 1. Soruda verlen akım-potansyel farkı grafğnn eğmnn ters drenc verr. 8 X 5 8 8 Z Ohm kanunu bağıntısıyla verlr. Bu bağın- k

Detaylı

BÖLÜM II D. YENİ YIĞMA BİNALARIN TASARIM, DEĞERLENDİRME VE GÜÇLENDİRME ÖRNEKLERİ ÖRNEK 20 İKİ KATLI YIĞMA KONUT BİNASININ TASARIMI

BÖLÜM II D. YENİ YIĞMA BİNALARIN TASARIM, DEĞERLENDİRME VE GÜÇLENDİRME ÖRNEKLERİ ÖRNEK 20 İKİ KATLI YIĞMA KONUT BİNASININ TASARIMI BÖLÜM II D ÖRNEK 0 BÖLÜM II D. YENİ YIĞMA BİNALARIN TASARIM, DEĞERLENDİRME VE GÜÇLENDİRME ÖRNEKLERİ ÖRNEK 0 İKİ KATLI YIĞMA KONUT BİNASININ TASARIMI 0.1. BİNANIN GENEL ÖZELLİKLERİ...II.0/ 0.. TAŞIYICI

Detaylı

Tek Yönlü Varyans Analizi

Tek Yönlü Varyans Analizi Tek Yönlü Varyan Analz Nedr ve hang durumlarda kullanılır? den fazla grupların karşılaştırılmaı öz konuu e, çok ayıda t-tet nn kullanılmaı, Tp I hatanın artmaına yol açar; Örneğn, eğer 5 grubu kşerl olarak

Detaylı

MUKAVEMET FORMÜLLER, TABLOLAR VE ŞEKĐLLER.

MUKAVEMET FORMÜLLER, TABLOLAR VE ŞEKĐLLER. MUKAVMT FORMÜLLR, TABLOLAR V ŞKĐLLR. 008/09 D Statk Denge Denklemler: + F 0 + F 0 M 0 ksenel Gerlme P σ A σ Normal gerlme P Kuvvet A Kest Alanı Ortalama Kama Gerlmes V τ ort., τ Kama Gerlmes A V kesme

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

PARABOLİK YOĞUNLUK FONKSİYONUNU KULLANARAK SEDİMANTER TEMEL DERİNLİKLERİNİN KESTİRİMİ

PARABOLİK YOĞUNLUK FONKSİYONUNU KULLANARAK SEDİMANTER TEMEL DERİNLİKLERİNİN KESTİRİMİ Uygulamalı Yerblmler Sayı: (Mayıs-Hazran ) -9 PARABOLİK YOĞUNLUK FONKSİYONUNU KULLANARAK SEDİMANTER TEMEL DERİNLİKLERİNİN KESTİRİMİ Estmaton of Sedmentary Basement Depths By Usng Parabolc Densty Functon

Detaylı

AYIRMA KOLONLARININ TASARIMI-1

AYIRMA KOLONLARININ TASARIMI-1 AYIRMA KOLONLARININ TASARIMI-1 DİSTİLASYON KOLONLARININ TASARIMI Prof.Dr.Hasp Yenova İÇİNDEKİLER: 1. Grş 1 2. Sürekl Dstlasyon Prosesn Tanımı 1 Buhar- sıvı denge verler 3 2.1 Ger akma 4 2.2 Besleme noktasının

Detaylı

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.teknolojkarastrmalar.com ISSN:305-63X Yapı Teknolojler Elektronk Dergs 008 () - TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR Makale Başlığın Boru Hattı Etrafındak Akıma Etks Ahmet Alper ÖNER Aksaray Ünverstes, Mühendslk

Detaylı

BOYUT ÖLÇÜMÜ VE ANALİZİ

BOYUT ÖLÇÜMÜ VE ANALİZİ BOYUT ÖLÇÜMÜ VE ANALİZİ.AMAÇ Br csmn uzunluğu, sıcaklığı, ağırlığı veya reng gb çeştl fzksel özellklernn belrlenme şlemler ancak ölçme teknğ le mümkündür. Br ürünün stenlen özellklere sahp olup olmadığı

Detaylı

Toplam Eşdeğer Deprem Yükünün Hesabı Bakımından 1975 Deprem Yönetmeliği İle 2006 Deprem Yönetmeliğinin Karşılaştırılması

Toplam Eşdeğer Deprem Yükünün Hesabı Bakımından 1975 Deprem Yönetmeliği İle 2006 Deprem Yönetmeliğinin Karşılaştırılması Fırat Ünv. Fen ve Müh. Bl. ergs Scence and Eng. J of Fırat Unv. 19 (2, 133-138, 2007 19 (2, 133-138, 2007 Toplam Eşdeğer eprem Yükünün Hesabı Bakımından 1975 eprem Yönetmelğ İle 2006 eprem Yönetmelğnn

Detaylı

TRANSPORT PROBLEMI için GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI

TRANSPORT PROBLEMI için GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI Yönetm, Yl 9, Say 28, Ekm - 1997,5.20-25 TRANSPORT PROBLEMI ÇIN GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI Dr. Erhan ÖZDEMIR I.Ü. Teknk Blmler M.Y.O. L.GIRIs V AM transport problemlerne en düsük malyetl baslangç çözüm

Detaylı

04.10.2012 SU İHTİYAÇLARININ BELİRLENMESİ. Suİhtiyacı. Proje Süresi. Birim Su Sarfiyatı. Proje Süresi Sonundaki Nüfus

04.10.2012 SU İHTİYAÇLARININ BELİRLENMESİ. Suİhtiyacı. Proje Süresi. Birim Su Sarfiyatı. Proje Süresi Sonundaki Nüfus SU İHTİYAÇLARII BELİRLEMESİ Suİhtyacı Proje Süres Brm Su Sarfyatı Proje Süres Sonundak üfus Su ayrım çzs İsale Hattı Su Tasfye Tess Terf Merkez, Pompa İstasyonu Baraj Gölü (Hazne) Kaptaj Su Alma Yapısı

Detaylı

İNTEGRAL DENKLEM METODU (IEM) KULLANILARAK MMIC DEVRELERİN ANALİZİ

İNTEGRAL DENKLEM METODU (IEM) KULLANILARAK MMIC DEVRELERİN ANALİZİ T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNTEGRAL DENKLEM METODU (IEM) KULLANILARAK MMIC DEVRELERİN ANALİZİ Zülfü GENÇ Tez Yönetcs Yrd. Doç. Dr. Hasan Hüseyn BALIK DOKTORA TEZİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK

Detaylı

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİK AKIMI, POTANSİYEL FARK VE DİRENÇ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİK AKIMI, POTANSİYEL FARK VE DİRENÇ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 10. SINIF ONU NTII. ÜNİTE: EETİ E NYETİZ. onu EETİ II, POTNSİYE F E DİENÇ ETİNİ ve TEST ÇÖZÜEİ Ünte Elektrk ve anyetzma 1.. Ünte. onu (Elektrk kımı) nın Çözümler ampul 3. Şekl yenden aşağıdak gb çzeblrz.

Detaylı

ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ

ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ Emel KOCADAYI EGE ÜNİVERSİTESİ MÜH. FAK., KİMYA MÜH. BÖLÜMÜ, 35100-BORNOVA-İZMİR ÖZET Bu projede, Afyon Alkalot Fabrkasından

Detaylı

ASİMETRİK BİR DİELEKTRİK DİLİM DALGA KILAVUZUNUN ETKİN KIRILMA İNDİSİNİN TEORİK OLARAK HESAPLANMASI

ASİMETRİK BİR DİELEKTRİK DİLİM DALGA KILAVUZUNUN ETKİN KIRILMA İNDİSİNİN TEORİK OLARAK HESAPLANMASI Eskşehr Osmangaz Ünverstes Mühendslk Mmarlık Fakültes Dergs Clt:XXII, Sayı:, 009 Journal of Engneerng and Archtecture Faculty of Eskşehr Osmangaz Unversty, Vol: XXII, No:, 009 Makalenn Gelş Tarh : 06.0.009

Detaylı

ORTOTROPİK ZİNCİR YAN PLAKALARINDA GERİLME YIĞILMASI KATSAYILARININ HESAPLANMASI

ORTOTROPİK ZİNCİR YAN PLAKALARINDA GERİLME YIĞILMASI KATSAYILARININ HESAPLANMASI PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 997 : 3 : 3 :45-49

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 005 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

MATLAB GUI İLE DA MOTOR İÇİN PID DENETLEYİCİLİ ARAYÜZ TASARIMI INTERFACE DESING WITH PID CONTROLLER FOR DC MOTOR BY MATLAB GUI

MATLAB GUI İLE DA MOTOR İÇİN PID DENETLEYİCİLİ ARAYÜZ TASARIMI INTERFACE DESING WITH PID CONTROLLER FOR DC MOTOR BY MATLAB GUI İler Teknoloj Blmler Dergs Clt 2, Sayı 3, 10-18, 2013 Journal of Advanced Technology Scences Vol 2, No 3, 10-18, 2013 MATLAB GUI İLE DA MOTOR İÇİN PID DENETLEYİCİLİ ARAYÜZ TASARIMI M. Fath ÖZLÜK 1*, H.

Detaylı

Bulanık Mantık ile Hesaplanan Geoid Yüksekliğine Nokta Yüksekliklerinin Etkisi

Bulanık Mantık ile Hesaplanan Geoid Yüksekliğine Nokta Yüksekliklerinin Etkisi Harta Teknolojler Elektronk Dergs Clt: 5, No: 1, 2013 (61-67) Electronc Journal of Map Technologes Vol: 5, No: 1, 2013 (61-67) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.teknolojkarastrmalar.com e-issn: 1309-3983 Makale

Detaylı

UZAY ÇERÇEVE SİSTEMLERİN ELASTİK-PLASTİK ANALİZİ İÇİN BİR YÖNTEM

UZAY ÇERÇEVE SİSTEMLERİN ELASTİK-PLASTİK ANALİZİ İÇİN BİR YÖNTEM ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem ühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye UZAY ÇERÇEVE SİSTEERİN STİK-PASTİK ANAİZİ İÇİN BİR YÖNTE Erdem Damcı, Turgay Çoşgun, Tuncer Çelk, Namık

Detaylı

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2 Eşit Varyans

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2 Eşit Varyans Farklı Varyans Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Eşt Varyans Y X 1 Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Farklı Varyans Zaman EKKY nn varsayımlarından br anakütle regresyon fonksyonu u lern

Detaylı

DENEY 8 İKİ KAPILI DEVRE UYGULAMALARI

DENEY 8 İKİ KAPILI DEVRE UYGULAMALARI T.C. Maltepe Ünverstes Müendslk ve Doğa Blmler Fakültes Elektrk-Elektronk Müendslğ Bölümü EK 0 DERE TEORİSİ DERSİ ABORATUAR DENEY 8 İKİ KAP DERE UYGUAMAAR Haırlaanlar: B. Demr Öner Same Akdemr Erdoğan

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Pamukkale University Journal of Engineering Sciences

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Pamukkale University Journal of Engineering Sciences Pamukkale Ünverstes Mühendslk Blmler Dergs, Clt 0, Sayı 3, 04, Sayfalar 85-9 Pamukkale Ünverstes Mühendslk Blmler Dergs Pamukkale Unversty Journal of Engneerng Scences PREFABRİK ENDÜSTRİ YAPIARININ ARMONİ

Detaylı

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular Basel II Geçş Sürec Sıkça Sorulan Sorular Soru No: 71 Cevaplanma Tarh: 06.03.2012 İlgl Hüküm: --- Konu: Gayrmenkul İpoteğyle Temnatlandırılmış Alacaklar İçn KR510AS Formunun Doldurulmasına İlşkn Örnek

Detaylı

PÜRÜZLÜ AÇIK KANAL AKIMLARINDA DEBİ HESABI İÇİN ENTROPY YÖNTEMİNİN KULLANILMASI

PÜRÜZLÜ AÇIK KANAL AKIMLARINDA DEBİ HESABI İÇİN ENTROPY YÖNTEMİNİN KULLANILMASI PÜRÜZLÜ AÇIK KANAL AKIMLARINDA DEBİ HESABI İÇİN ENTROPY YÖNTEMİNİN KULLANILMASI Mehmet ARDIÇLIOĞLU *, Galp Seçkn ** ve Özgür Öztürk * * Ercyes Ünverstes, Mühendslk Fakültes, İnşaat Mühendslğ Bölümü Kayser

Detaylı

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR.

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR Ebubekr İNAN DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Mehmet Al ÖZTÜRK ADIYAMAN 2011 Her

Detaylı

Pamukta Girdi Talebi: Menemen Örneği

Pamukta Girdi Talebi: Menemen Örneği Ege Ünv. Zraat Fak. Derg., 2002, 39 (3): 88-95 ISSN 1018-8851 Pamukta Grd Taleb: Menemen Örneğ Bülent MİRAN 1 Canan ABAY 2 Chat Günden 3 Summary Demand for Inputs n Cotton Producton: The Case of Menemen

Detaylı

KAFES SİSTEMLERİN UYGULAMAYA YÖNELİK OPTİMUM TASARIMI

KAFES SİSTEMLERİN UYGULAMAYA YÖNELİK OPTİMUM TASARIMI PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K BİLİMLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 1999 : 5 : 1 : 951-957

Detaylı

A A A FEN BİLİMLERİ SINAVI FİZİK TESTİ 1 FİZ (LYS2)

A A A FEN BİLİMLERİ SINAVI FİZİK TESTİ 1 FİZ (LYS2) DİAT! SORU İTAÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OARA CEVA ÂĞIDINIZA İŞARETEMEİ UNUTMAINIZ. FEN BİİMERİ SINAVI FİZİ TESTİ 1. Bu testte 30 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Fzk Test çn ayrılan kısına şaretleynz.

Detaylı

2 Mayıs 1995. ELEKTRONİK DEVRELERİ I Kontrol ve Bilgisayar Bölümü Yıl içi Sınavı Not: Not ve kitap kullanılabilir. Süre İKİ saattir. Soru 1.

2 Mayıs 1995. ELEKTRONİK DEVRELERİ I Kontrol ve Bilgisayar Bölümü Yıl içi Sınavı Not: Not ve kitap kullanılabilir. Süre İKİ saattir. Soru 1. ELEKONİK DEELEİ I Kntrl ve Blgsayar Bölümü Yıl ç Sınavı Nt: Nt ve ktap kullanılablr. Süre İKİ saattr. Sru.- r 00k 5k 5k 00Ω 5 6 k8 k6 7 k 8 y k5 0kΩ Mayıs 995 Şekl. Şekl-. de kullanılan tranzstrlar çn

Detaylı

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiliM VE TEKNOLOJi DERGiSi ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CiltNol.:2 - Sayı/No: 2 : 413-417 (2001)

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiliM VE TEKNOLOJi DERGiSi ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CiltNol.:2 - Sayı/No: 2 : 413-417 (2001) ANADOLU ÜNvERSTES BlM VE TEKNOLOJ DERGS ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CltNol.:2 - Sayı/No: 2 : 413-417 (1) TEKNK NOTrrECHNICAL NOTE ELEKTRK ARK FıRıNıNDA TERMODNAMGN KNC YASASıNıN

Detaylı

FİZİK-I LABORATUVARI

FİZİK-I LABORATUVARI TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ FİZİK BÖLÜMÜ FİZİK-I LABORATUVARI 2011 Öğrencnn:..................... FİZİK BÖLÜMÜ LABORATUVAR KURALLARI 1) Deney başlangıç saatnden 10 dakkadan daha geç gelenler ve deney

Detaylı

ÇELİK UZAYSAL ÇERÇEVE YAPILARIN OPTİMUM TASARIMI

ÇELİK UZAYSAL ÇERÇEVE YAPILARIN OPTİMUM TASARIMI ÇELİK UZAYSAL ÇERÇEVE YAPILARIN OPTİMUM TASARIMI M. Sedat HAYALİOĞLU *, S. Özgür DEĞERTEKİN * * Dcle Ünverstes, Müh.-Mm. Fak., İnşaat Müh. Böl., Dyarbakır ÖZET Bu çalışmada çelk uzay çerçevelern, Amerkan

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Kinematik Modelde Kalman Filtreleme Yöntemi ile Deformasyon Analizi. Serkan DOĞANALP. Selçuk Üniversitesi

ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Kinematik Modelde Kalman Filtreleme Yöntemi ile Deformasyon Analizi. Serkan DOĞANALP. Selçuk Üniversitesi ÖZE Yüksek Lsans ez Knematk Modelde Kalman Fltreleme Yöntem le Deformasyon Analz Serkan DOĞANALP Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Jeodez ve Fotogrametr Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Bayram URGU

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU MÜHENİSLİK MEKNİĞİ STTİK ES NOTLI Yrd. oç. r. Hüsen YIOĞLU İSTNUL 6 . Mekanğn tanımı 5. Temel lkeler ve görüşler 5 İçndekler GİİŞ 5 EKTÖLEİN E İŞLEMLEİNİN TNIMI 6. ektörün tanımı 6. ektörel şlemlern tanımı

Detaylı

T.C. KAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

T.C. KAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI T.C. KAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ÜÇ FAZLI ASENKRON MOTORLARIN YAPAY SİNİR AĞLARI İLE VEKTÖR ESASLI HIZ KONTROLÜ ZAFER KOCA

Detaylı

YAŞAM ÇÖZÜMLEMESİNDE AYKIRI DEĞERLER OUTLIERS IN SURVIVAL ANALYSIS

YAŞAM ÇÖZÜMLEMESİNDE AYKIRI DEĞERLER OUTLIERS IN SURVIVAL ANALYSIS YAŞAM ÇÖZÜMLEMESİNDE AYKIRI DEĞERLER OUTLIERS IN SURVIVAL ANALYSIS NURAY TUNCER PROF. DR. DURDU KARASOY Tez Danışmanı Hacettepe Ünverstes Lsansüstü Eğtm-Öğretm Yönetmelğnn İstatstk Anablm Dalı İçn Öngördüğü

Detaylı

Fen ve Mühendislik için Fizik 1 Ders Notları: Doç.Dr. Ahmet CANSIZ

Fen ve Mühendislik için Fizik 1 Ders Notları: Doç.Dr. Ahmet CANSIZ 9. ÇİZGİSEL (OĞRUSAL) OENTU VE ÇARPIŞALAR 9. Kütle erkez Ssten kütle erkeznn yern ssten ortalaa konuu olarak düşüneblrz. y Δ Δ x x + x = + Teraz antığı le düşünürsek aşağıdak bağıntıyı yazablrz: Δ= x e

Detaylı

Soğutucu Akışkan Karışımlarının Kullanıldığı Soğutma Sistemlerinin Termoekonomik Optimizasyonu

Soğutucu Akışkan Karışımlarının Kullanıldığı Soğutma Sistemlerinin Termoekonomik Optimizasyonu Soğutucu Akışkan arışımlarının ullanıldığı Soğutma Sstemlernn ermoekonomk Optmzasyonu * 1 Hüseyn aya, 2 ehmet Özkaymak ve 3 rol Arcaklıoğlu 1 Bartın Ünverstes akne ühendslğ Bölümü, Bartın, ürkye 2 arabük

Detaylı

Biyomedikal Amaçlı Basınç Ölçüm Cihazı Tasarımı

Biyomedikal Amaçlı Basınç Ölçüm Cihazı Tasarımı Byomedkal Amaçlı Basınç Ölçüm Chazı Tasarımı Barış Çoruh 1 Onur Koçak 2 Arf Koçoğlu 3 İ. Cengz Koçum 4 1 Ayra Medkal Yatırımlar Ltd. Şt, Ankara 2,4 Byomedkal Mühendslğ Bölümü, Başkent Ünverstes, Ankara,

Detaylı

Konumsal Enterpolasyon Yöntemleri Uygulamalarında Optimum Parametre Seçimi: Doğu Karadeniz Bölgesi Günlük Ortalama Sıcaklık Verileri Örneği

Konumsal Enterpolasyon Yöntemleri Uygulamalarında Optimum Parametre Seçimi: Doğu Karadeniz Bölgesi Günlük Ortalama Sıcaklık Verileri Örneği S. ZENGİN KAZANCI, E. TANIR KAYIKÇI Konumsal Enterpolasyon Yöntemler Uygulamalarında Optmum Parametre Seçm: Doğu Karadenz Bölges Günlük Ortalama Sıcaklık S. ZENGİN KAZANCI 1, E. TANIR KAYIKÇI 1 1 Karadenz

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

ALGILANAN HİZMET KALİTESİ VE LOJİSTİK REGRESYON ANALİZİ İLE HİZMET TERCİHİNE ETKİSİNİN BELİRLENMESİ. Özet

ALGILANAN HİZMET KALİTESİ VE LOJİSTİK REGRESYON ANALİZİ İLE HİZMET TERCİHİNE ETKİSİNİN BELİRLENMESİ. Özet Dokuz Eylül Ünverstes Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Yayın Gelş Tarh: 18.02.2011 Clt: 13, Sayı: 1, Yıl: 2011, Sayfa: 21-37 Yayına Kabul Tarh: 17.03.2011 ISSN: 1302-3284 ALGILANAN HİZMET KALİTESİ VE LOJİSTİK

Detaylı

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya DOĞRUSAL KONTROL SİSTEMLERİ

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya DOĞRUSAL KONTROL SİSTEMLERİ DOĞRUSAL KONTROL SİSTEMLERİ 96 Anahtarlamalı Sstemler Kararlı Yapan PI Kontrolör Setnn Hesabı İbrahm Işık, Serdar Ethem Hamamcı Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü İnönü Ünverstes, Malatya {İbrahm.sk, serdar.hamamc}@nonu.edu.tr

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

Fumonic 3 radio net kablosuz duman dedektörü. Kiracılar ve mülk sahipleri için bilgi

Fumonic 3 radio net kablosuz duman dedektörü. Kiracılar ve mülk sahipleri için bilgi Fumonc 3 rado net kablosuz duman dedektörü Kracılar ve mülk sahpler çn blg Tebrk ederz! Darenze akıllı fumonc 3 rado net duman dedektörler monte edlmştr. Bu şeklde ev sahbnz yasal donanım yükümlülüğünü

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ- KARE TESTLERİ Doç.Dr. Al Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIAY Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı,

Detaylı

Şiddet-Süre-Frekans Bağıntısının Genetik Algoritma ile Belirlenmesi: GAP Örneği *

Şiddet-Süre-Frekans Bağıntısının Genetik Algoritma ile Belirlenmesi: GAP Örneği * İMO Teknk Derg, 28 4393-447, Yazı 29 Şddet-Süre-Frekans Bağıntısının Genetk Algortma le Belrlenmes: GAP Örneğ * Hall KARAHAN* M. Tamer AYVAZ** Gürhan GÜRARSLAN*** ÖZ Bu çalışmada, Genetk Algortma (GA)

Detaylı

Polinom Filtresi ile Görüntü Stabilizasyonu

Polinom Filtresi ile Görüntü Stabilizasyonu Polno Fltres le Görüntü Stablzasonu Fata Özbek, Sarp Ertürk Kocael Ünverstes Elektronk ve ab. Müendslğ Bölüü İzt, Kocael fozbek@kou.edu.tr, serturk@kou.edu.tr Özetçe Bu bldrde vdeo görüntü dznnde steneen

Detaylı

BÖLÜM 1 Veri Tanımı ve Sınıflandırılması BÖLÜM 2 Özel Fonksiyonlar BÖLÜM 3 Fourier Dizileri BÖLÜM 4 Fourier Dönüşümü

BÖLÜM 1 Veri Tanımı ve Sınıflandırılması BÖLÜM 2 Özel Fonksiyonlar BÖLÜM 3 Fourier Dizileri BÖLÜM 4 Fourier Dönüşümü BÖLÜM 1 Veri Tanımı ve Sınıflandırılması 1 VERĠ TANIMI VE JEOFĠZĠK ÇALIġMALARDA UYGULANAN ĠġLEMLER 1 VERĠLERĠN SINIFLANDIRILMASI 2 Verilerin Ölçüm Biçimine Göre Sınıflandırılması 2 Sürekli Veri 2 Sayısal

Detaylı

Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü YAPI MALZEMESİ -I

Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü YAPI MALZEMESİ -I Dokuz Eylül Ünverstes İnşaat Mühendslğ Bölümü YAPI MALZEMESİ -I Yrd.Doç.Dr. Kamle Tosun Felekoğlu 3. Malzemelern Mekank Özellkler 3.1. Gerlme 3.2. Şekl Değştrme 3.2.1. Boy ve Açı Değşm 3.3. Mekank Mukavemet

Detaylı

MINKOWSKI 4-UZAYINDA JET YAPILAR VE MEKANİK SİSTEMLER

MINKOWSKI 4-UZAYINDA JET YAPILAR VE MEKANİK SİSTEMLER PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MINKOWSKI -UZAYINDA JET YAPILAR VE MEKANİK SİSTEMLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Smge DAĞLI Anablm Dalı Matematk Anablm Dalı Programı Geometr Tez Danışmanı Yrd. Doç.

Detaylı

2009 Kasım. www.guven-kutay.ch FRENLER GENEL 40-4. M. Güven KUTAY. 40-4-frenler-genel.doc

2009 Kasım. www.guven-kutay.ch FRENLER GENEL 40-4. M. Güven KUTAY. 40-4-frenler-genel.doc 009 Kasım FRENLER GENEL 40-4. Güven KUTAY 40-4-frenler-genel.doc İ Ç İ N D E K İ L E R 4 enler... 4.3 4. en çeştler... 4.3 4.3 ende moment hesabı... 4.4 4.3.1 Kaba hesaplama... 4.4 4.3. Detaylı hesaplama...

Detaylı

Üç Boyutlu Yapı-Zemin Etkileşimi Problemlerinin Kuadratik Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Çözümü

Üç Boyutlu Yapı-Zemin Etkileşimi Problemlerinin Kuadratik Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Çözümü ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem Mühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye Üç Boyutlu Yapı-Zemn Etkleşm Problemlernn Kuadratk Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak

Detaylı

THOMAS-FİERİNG MODELİ İLE SENTETİK AKIŞ SERİLERİNİN HESAPLANMASINDA YENİ BİR YAKLAŞIM

THOMAS-FİERİNG MODELİ İLE SENTETİK AKIŞ SERİLERİNİN HESAPLANMASINDA YENİ BİR YAKLAŞIM Osmangaz Ünverstes Müh.Mm.Fak.Dergs C.XVII, S., 004 Eng.&Arch.Fac.Osmangaz Unversty, Vol.XVII, No :, 004 THOMAS-FİERİNG MODELİ İLE SENTETİK AKIŞ SERİLERİNİN HESAPLANMASINDA YENİ BİR YAKLAŞIM Recep BAKIŞ,

Detaylı

Çok Parçalı Basınç Çubukları

Çok Parçalı Basınç Çubukları Çok Parçalı Basınç Çubukları Çok parçalı basınç çubukları genel olarak k gruba arılır. Bunlar; a) Sürekl brleşk parçalardan oluşan çok parçalı basınç çubukları b) Parçaları arasında aralık bulunan çok

Detaylı

'~'l' SAYı : 34203882-821 i ı 1-1 C _:J 1...110/2013 KONU : Kompozisyon Yarışması. T.C SINCAN KAYMAKAMllGI Ilçe Milli Eğitim Müdürlüğü

'~'l' SAYı : 34203882-821 i ı 1-1 C _:J 1...110/2013 KONU : Kompozisyon Yarışması. T.C SINCAN KAYMAKAMllGI Ilçe Milli Eğitim Müdürlüğü BÖLÜM: Temel Eğtm T.C SINCAN KAYMAKAMllGI Ilçe Mll Eğtm Müdürlüğü SAYı : 34203882-821 ı 1-1 C _:J 1...110/2013 KONU : Kompozsyon Yarışması TÜM OKUL MÜDÜRLÜKLERNE SNCAN Ilg :Vallk Makamının 25.10.2013 tarh

Detaylı

Öğretim planındaki AKTS TASARIM STÜDYOSU IV 214058100001312 2 4 0 4 9

Öğretim planındaki AKTS TASARIM STÜDYOSU IV 214058100001312 2 4 0 4 9 Ders Kodu Teork Uygulama Lab. Ulusal Kred Öğretm planındak AKTS TASARIM STÜDYOSU IV 214058100001312 2 4 0 4 9 Ön Koşullar : Grafk İletşm I ve II, Tasarım Stüdyosu I, II, III derslern almış ve başarmış

Detaylı

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAFES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI. YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh.

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAFES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI. YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh. İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh. Cem Celal TUTUM Anablm Dalı : MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ Programı : KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ

Detaylı

T. C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER 1 ÇOKLU ISI DEĞİŞTİRİCİSİ DENEYİ

T. C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER 1 ÇOKLU ISI DEĞİŞTİRİCİSİ DENEYİ T. C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER ÇOKLU ISI DEĞİŞTİRİCİSİ DENEYİ ÖĞRENCİ NO: ADI SOYADI: DENEY SORUMLUSU: YRD. DOÇ. DR. BİROL ŞAHİN

Detaylı

YÖNETİM VE EKONOMİ Yıl:2006 Cilt:13 Sayı:1 Celal Bayar Üniversitesi İ.İ.B.F. MANİSA

YÖNETİM VE EKONOMİ Yıl:2006 Cilt:13 Sayı:1 Celal Bayar Üniversitesi İ.İ.B.F. MANİSA YÖNETİM VE EKONOMİ Yıl:2006 Clt:3 Sayı: Celal Bayar Ünverstes İ.İ.B.F. MANİSA Bulanık Araç Rotalama Problemlerne Br Model Öners ve Br Uygulama Doç. Dr. İbrahm GÜNGÖR Süleyman Demrel Ünverstes, İ.İ.B.F.,

Detaylı

Metin Madenciliği ile Soru Cevaplama Sistemi

Metin Madenciliği ile Soru Cevaplama Sistemi Metn Madenclğ le Soru Cevaplama Sstem Sevnç İlhan 1, Nevchan Duru 2, Şenol Karagöz 3, Merve Sağır 4 1 Mühendslk Fakültes Blgsayar Mühendslğ Bölümü Kocael Ünverstes slhan@kocael.edu.tr, nduru@kocael.edu.tr,

Detaylı

III-V YARIĐLETKENLERĐNDEN OLUŞAN HETEROYAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐNĐN YOĞUNLUK FONKSĐYONELĐ TEORĐSĐ ĐLE ĐNCELENMESĐ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

III-V YARIĐLETKENLERĐNDEN OLUŞAN HETEROYAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐNĐN YOĞUNLUK FONKSĐYONELĐ TEORĐSĐ ĐLE ĐNCELENMESĐ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ III-V YARIĐLETKENLERĐNDEN OLUŞAN HETEROYAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐNĐN YOĞUNLUK FONKSĐYONELĐ TEORĐSĐ ĐLE ĐNCELENMESĐ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ FĐZĐK ANABĐLĐM DALI Harun ÖZKĐŞĐ Danışman: Doç. Dr. Seyfettn

Detaylı

OLİGOPOLLER VE OYUN KURAMI 2

OLİGOPOLLER VE OYUN KURAMI 2 OLİGOPOLLER VE OYUN KURAMI. OLİGOPOL OYUN KURALLARI. OLİGOPOL OYUN STRATEJİLERİ 3. OLİGOPOL OYUNUNDA SKORLAR 3 4. MAHKUMLAR ÇIKMAZI 3 5. BİR DUOPOL OYUNU 6 5.. MALİYET VE TALEP KOŞULLARI 6 5.. KAR MAKSİMİZASYONU

Detaylı

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi DÜZ DİŞLİ ÇARKLARIN SONLU ELEMANLAR METODU İLE MODELLENMESİ

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi DÜZ DİŞLİ ÇARKLARIN SONLU ELEMANLAR METODU İLE MODELLENMESİ Journal of Engneerng and Natural Scences Mühendslk ve Fen Blmler Dergs Sgma 2004/2 DÜZ DİŞLİ ÇARKLARIN SONLU ELEMANLAR METODU İLE MODELLENMESİ M. Cüneyt FETVACI *, C. Erdem İMRAK İstanbul Teknk Ünverstes,

Detaylı

SAYISAL SİSTEMLER LABORATUVARI DENEY FÖYÜ. ITU Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü

SAYISAL SİSTEMLER LABORATUVARI DENEY FÖYÜ. ITU Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü SAYISAL SİSTEMLER LABORATUVARI DENEY FÖYÜ ITU Elektronk ve Haberleşme Mühendslğ Bölümü 2012 Grş Bu derste kapı sevyesndek uygulamalardan başlanarak kombnezonsal ve ardışıl devrelern analz ve sentezler

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE TEK ÇARPIMSAL SİNİR HÜCRELİ YAPAY SİNİR AĞI MODELİNİN EĞİTİMİ İÇİN ABC VE BP YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI ÖZ

ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE TEK ÇARPIMSAL SİNİR HÜCRELİ YAPAY SİNİR AĞI MODELİNİN EĞİTİMİ İÇİN ABC VE BP YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI ÖZ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Blm ve Teknoloj Dergs A-Uygulamalı Blmler ve Mühendslk Clt: 14 Sayı: 3 013 Sayfa: 315-38 ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE Faruk ALPASLAN 1, Erol EĞRİOĞLU 1, Çağdaş Hakan ALADAĞ,

Detaylı

a IIR süzgeç katsayıları ve N ( M) de = s 1 (3) 3. GÜRÜLTÜ GİDERİMİ UYGULAMASI

a IIR süzgeç katsayıları ve N ( M) de = s 1 (3) 3. GÜRÜLTÜ GİDERİMİ UYGULAMASI Fırat Ünverstes-Elazığ MİTRAL KAPAK İŞARETİ ÜZERİNDEKİ ANATOMİK VE ELEKTRONİK GÜRÜLTÜLERİN ABC ALGORİTMASI İLE TASARLANAN IIR SÜZGEÇLERLE SÜZÜLMESİ N. Karaboğa 1, E. Uzunhsarcıklı, F.Latfoğlu 3, T. Koza

Detaylı

Aerodinamik Akışların Modellenmesinde Döngülü Olan ve Olmayan 7 Yaklaşımın Uygulanması

Aerodinamik Akışların Modellenmesinde Döngülü Olan ve Olmayan 7 Yaklaşımın Uygulanması Aerodnamk Akışların Modellenmesnde Döngülü Olan ve Olmayan 7 Yaklaşımın Uygulanması Mehmet Önder Efe, Marco Debas, Peng Yan, Htay Özbay 4, Mohammad Sammy 5 Elektrk ve Elektronk Mühendslğ Bölümü TOBB Ekonom

Detaylı

STANDART VE HİBRİD YAPILAR KULLANARAK YAPAY SİNİR AĞLARI İLE İMZA TANIMA

STANDART VE HİBRİD YAPILAR KULLANARAK YAPAY SİNİR AĞLARI İLE İMZA TANIMA STANDART VE HİBRİD YAPILAR KULLANARAK YAPAY SİNİR AĞLARI İLE İMZA TANIMA Canan ŞENOL Tülay YILDIRIM Kadr Has Ünverstes, Elektronk Mühendslğ Bölümü, 3430, Cbal, Fath-İstanbul Yıldız Teknk Ünverstes, Elektronk

Detaylı

MONTE CARLO SİMÜLASYON METODU VE MCNP KOD SİSTEMİ MONTE CARLO SIMULATION METHOD AND MCNP CODE SYSTEM

MONTE CARLO SİMÜLASYON METODU VE MCNP KOD SİSTEMİ MONTE CARLO SIMULATION METHOD AND MCNP CODE SYSTEM Ekm 26 Clt:14 No:2 Kastamonu Eğtm Dergs 545-556 MONTE CARLO SİMÜLASYON METODU VE MCNP KOD SİSTEMİ Özet Aybaba HANÇERLİOĞULLARI Kastamonu Ünverstes, Fen-Edebyat Fakültes, Fzk Bölümü, Kastamonu. Monte Carlo

Detaylı

Şekil 3.9 Hopfield ağının yapısı (Ağırlık sayıları siyah nöron sayıları kırmızı ile gösterilmiştir)

Şekil 3.9 Hopfield ağının yapısı (Ağırlık sayıları siyah nöron sayıları kırmızı ile gösterilmiştir) Ger dönüşümlü Recrrent ağlar Ger dönüşümlü ağların temel özellğ; ağın grşne yglanan verler, şlendkten sonra blnan çıktıları tekrar ağa yönlendrmes yan ger beslemel olmasıdır. Ger dönüşümlü ağlar, tam ger

Detaylı