DİKKAT! KAVRAM YANILGISI VAR. Matematik, öğrencilerin öğrenmede zorluk çektikleri ve yaygın olarak kavram yanılgılarına sahip oldukları alanların

Transkript

1 DİKKAT! KAVRAM YANILGISI VAR. Matematik, öğrencilerin öğrenmede zorluk çektikleri ve yaygın olarak kavram yanılgılarına sahip oldukları alanların başında gelmektedir. Öğrenci zorluk ve kavram yanılgılarının sıklıkla karşılaşılan bir olgu olması, dünyanın değişik ülkelerindeki matematik eğitimcilerinin bu konuda yoğun araştırmalar yapmasına yol açmıştır. Öğrenci kavram yanılgıları hakkında yapılan çalışmalar dikkatlice incelendiğinde, matematik eğitimcilerinin bir takım önemli sorulara cevap arama uğraşları dikkat çekmektedir, bunlar arasında özelikle şu sorular öne çıkmaktadır: - Öğrenciler matematiğin farklı konularında farklı konularında ne tür yanılgılara sahiptirler? - Niçin bu yanılgılar süreli tekrar etmektedir? - Bu yanılgıların ortaya çıkmasını önlemek için neler yapılabilir? - Öğrencilerde var olan yanılgılar nasıl belirlenir ve nasıl giderilir? - Öğrenci yanılgıları ve zorlukları daha etkin bir matematik öğretiminin gerçekleştirilmesi için nasıl kullanılabilir? Bu sorular üzerinden öğrencilerin matematik öğrenmelerini inceleyen matematik eğitimcilerinin, özellikle problemi belirleme üzerinde yoğunlaştıkları görülmektedir. Sonrasında yapılan bilimsel çalışmalar, öğretmenlerin gözlemini doğrular niteliktedir. Bizler için önemli olan ortaokul öğrencilerinin zorlandığı konu ve karıştırılan konularda, kavram yanılgılarını ortaya çıkarmak ve bu yanılgıların giderilmesi için öneri sunmaktır. Peki, kavram yanılgısı nedir? En basit tanımıyla, bireyin doğru olarak kabul edip birçok beceriyi sergilemede kaynak olarak kullandığı yanlış kavramlar ya da kavramlamalardır. Fakat kavram yanılgılarını anlamak için öncelikle öğrenmeyi anlamak gerekir. Çünkü kavram yanılgıları hatalı öğrenmenin ortaya çıkması ve yok edilememesi ile oluşmaktadır. Bu nedenle kavram yanılgısı sistemli bir biçimde hata üreten algı biçimi olarak da tarif edilebilir. Araştırmamız kapsamında ortaokul ve lisede görev yapan 17 matematik öğretmeni ile görüşülmüş ve görüşme sonuçlarında elde edilen kavram yanılgıları derlenmiştir. Kavram yanılgıları meslektaşlarımızla paylaşılacak ve fark edilen bu kavram yanılgılarının avantaja çevrilmesi noktasında çözüm önerilerinde bulunulacaktır. Öğretmenler için kavram yanılgılarını bilmek oldukça önemlidir. Çünkü meslek yaşamları süresince öğretmenlerin bu kavram yanılgılarını ortaya çıkaran algıların yok edilmesi kavram yanılgılarının tekrarlanmasını engelleyecektir. Dört İşlemde Yaygın Yapılan Hatalar ve Yaşanan Kavram Yanılgıları Toplama işlemi ile ilgili yaşanan en yaygın hatalar sayıları basamaklarına göre konumlandırma ve basamakları taşıma sürecinde ortaya çıkmaktadır. Bu hatalardan her ikisi de basamak değerinin yeterince bilinmemesinden kaynaklanmaktadır. Örneğin;

2 Yukarıdaki =1811 ve 5+75= 18 örneğinde yer verilen hata eldeli toplama işlemlerinde yaygın olarak görülmektedir. Öğrenci aynı basamakları birbiri ile toplamakta fakat bu işlem sonucundaki eldeyi sonraki basamağa aktarmak yerine işlem yaptığı basamağın altına sonuç olarak yazmaktadır. Erdoğan ve Erdoğan a (009) göre öğrenci elde işlemi gerektirmeyen iki sütundan oluşan toplama işleminde veya 5+8 gibi tek sütundan oluşan sayıların toplamında uyguladığı kuralı elde işlemi gerektiren diğer problemlere de genellemeye çalışmaktadır. Öğrencinin bu şekilde hareket etmesinin altında onluk ve gruplama kavramlarını bilmemesi yani 11 in 1 onluk ve 1 birlikten oluştuğunu bilmemesi etkili olmuş olabilir. Toplama işleminde yapılan bir diğer hata her bir sütun toplamının sonundaki eldeyi bir sonraki sütuna eklemek yerine, işlem sonucunun en soluna eklenmesidir. Çıkartma işleminde karşılan en büyük zorluk, öğrencilerin küçük sayılardan büyük sayıları çıkartmaya çalışırken karşımıza çıkmaktadır. Bunun birinci nedeni, öğrencilerin toplama işlemindeki değişme özelliğini çıkarma işlemine genelleyerek büyük sayıdan sayıdan küçük sayıyı çıkarmaya çalışmasıdır. Öğrenciler, 6-9 ile 9-6 işleminin aynı sonucu vereceğini düşünmektedir. İkincisi ise, öğretmenlerin çocukların daha pratik hareket etmesi için sunduğu büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır kuralıdır ve bu durum çocuğu hatalı duruma sevk etmektedir. Doğal sayılarla çıkartma işlemi yapılırken her zaman en büyük sayının üste, daha küçük olan sayının alta yazılması öğrencinin tek basamaklı ve iki basamaklı ancak ödünç almayı gerektirmeyen işlemlerde doğru yapmasını sağlarken, ödünç almayı gerektiren ve tam sayılarla yapılan çıkartma işlemlerinde hatalı cevap verilmesine neden olmaktadır. Örneğin; İşlemde görüldüğü gibi, öğrenci 8 den 9 u çıkarması gerekirken; 9 dan 8 i çıkartmaktadır. Toplama ve çıkartma işlemi yapılacak sayıların basamakları farklı olduğunda sayıları soldan hizalayarak alt alta yazmak, toplama ve çıkartma işlemlerinde karşılaşılan tipik hatalardan bir diğeridir. İlk bakışta öğrencinin dikkatsizliğinden kaynaklanmış gibi görünse de bu hatanın işlemlerin kendi basamakları arasında yapıldığının (birlerle birler, onlarla onlar) fark edilmemesinden kaynaklandığı söylenebilir. Burada da yine sayıların basamak değerlerine gerekli anlam yüklenmemektedir. Örneğin;

3 Yukarıda ki 4 - = 1 örneğinde de olduğu gibi öğrenci ü 4 in birler basamağı olan nin altına yazmak yerine 4 ün altına yazmaktadır. Bu durumda öğrencinin toplama ve çıkartma işlemlerinde sayıları sağa yaslaması gerektiğini bilmemekte olduğu söylenebilir. Bölme işlemi ile ilgili yapılan araştırmalar incelendiğinde ise, öğrencilerin bölünme kavramını yanlış öğrenmesi ve daima büyük sayıyı küçük sayıya bölme eğilimi içinde olduğu görülmektedir. Yapılan bir araştırmada, 0 çocuğa şu soru yöneltilmiştir: 5 kilo domates 15 arkadaş arasında paylaştırılacaktır. Her arkadaşa kaç kilo domates düşmektedir? ve 4 çocuk 15:5= cevabını vermiştir. Bu kavram yanılgısının ortadan kalkması için öğrenci sürekli küçük sayılardan çok daha büyük sayıların çıkarıldığı işlemlerle tanıştırılmalıdır. Bu kavram yanılgısının ortadan kalkması için öğrenci sürekli küçük sayılardan çok daha büyük sayıların çıkarıldığı işlemlerle tanıştırılmalıdır. Aritmetik işlemlerde çocukların güçlük yaşamalarına neden olan bir diğer unsur sıfır kavramıdır. Aritmetik işlemlerde sıfır kullanıldığı zaman öğrenciler büyük oranda hata yapmaktadırlar. Belki de bu hatalardan en sık görüleni çıkarma işleminde 0 dan 1 onluk ödünç alma sırasında gerçekleşmektedir. Çarpma ve bölme işlemlerinde sıfır kullanımı da öğrencileri hataya düşüren durumların başında gelmektedir. 0 ile ilgili yapılan en yaygın hatalardan biri 0 ın etkisiz eleman olarak düşünülüp, işlemin sonucunun değişmeyeceğinin düşünülmesidir. Rees ve Barr (1984, akt. Sadi, 007), 861 kişi üzerinde yapmış oldukları çalışmada öğrencilerin % 5 sinin 9 0 8=? işlemine 7 şeklinde cevap verdiklerini ifade etmişlerdir. Bu çalışmada da görülmektedir ki sıfır birçok kişi için hiçbir şey ifade etmektedir ve bu yüzden öğrenciler işlemin sonucunu değiştirmeden bırakmaktadırlar. Çocukların ondalık sayıları doğal sayıların bir uzantısı gibi görmeleri de hata yapmalarına neden olmaktadır. Çarpma işleminin sonucu her zaman işleme başladığımız sayılardan daha büyük, bölme işleminin sonucu da her zaman daha küçük olmalıdır şeklindeki bir kavram yanılgısı bu hatalar dizisinin temelini oluşturmaktadır. Peki neden öğrenci çarpma işleminin sonucunda sayının daha çok büyüyeceğini düşünmektedir? Birincisi, çarpma kelimesi kendi kendine birçok ve büyük bir sayı anlamı taşımaktadır. Bitkiler ve hayvanlar çarpma ifadesi söz konusu olduğunda çoğalmaktadırlar. İkincisi, doğal sayılarla çarpma işlemi yaparken her zaman sonucun işleme başlanan sayılardan daha büyük çıkmasıdır. Üçüncü sebebi ise Graeber ve Campbella (199) göre çocuklara çarpmanın, çoğunlukla tekrarlayarak artan bir toplama işlemi olduğunun vurgulanarak anlatılmasıdır. Öğrencileri hata yapmaya sevk eden bir başka kavram yanılgısı da 10 ile bir sayıyı çarparken işlemin sonuna bir sıfır atın sözüdür. Bu kavram yanılgısı da tam sayılarla çarpma işleminde doğru sonuca ulaşmayı sağlarken, ondalık sayılarda tam aksine yanlış bir ifadeye neden olmaktadır. Örneğin 5 10 = 50 iken = 1 5 çıkmaktadır. Nitekim Brown un (1981) yapmış olduğu çalışmada bazı öğrencilerin 5,1 10 sorusuna 5,10 cevabını verdikleri görülmektedir. Cebir Öğrenme Alanındaki Kavram Yanılgıları Yapılan birçok araştırma, öğrencilerin cebir kavramlarını (eşitlik, denklem, cebirsel ifadeler, değişkenler gibi) anlama ile ilgili gu9lukleri ve kavram yanılgıları olduğunu göstermektedir. Cebir öğretiminde öğrencilerin zorlanmalarının nedenlerini; değişkenlerin farklı kullanımlarını bilememe, değişkenlerin genelleme yapmadaki rolünü bilememe, değişkenleri yorumlayamama, değişkenlerle işlem yapamama olarak ortaya koymuşlardır.

4 Öğrencilerin cebirde yaşadıkları zorlukların bir diğer nedeni ise aritmetikteki kuralları iyi anlamamalarından kaynaklanmaktadır. Onların aritmetik işlemleri ile ilgili uygulamalarındaki kavram yanılgıları cebirde başarılı olmalarını engellemektedir. Kieran'e göre (199) öğrencilerin cebirde zorlanmalarının en önemli sebebi, kullanılan harfleri anlayamamalarıdır. Cebir öğretiminde öncelikle harflerin sayılar yerine konabileceği, farklı bağlamlarda farklı anlamlara sahip oldukları kazandırıldıktan sonra bunlarla bir takım matematiksel işlemler yapma becerileri üzerinde durulur. Harflerin kullanımı cebirde çok önemli bir yere sahiptir. Bu yüzden 6, 7 ve 8. sınıf öğrencilerinin harflerin farklı durumlardaki anlamlarına yönelik bir anlayışa sahip olmaları gerekmektedir. Dağılma Özelliği İle İlgili Kavram Yanılgısı Çarpmanın dağılma özelliği matematikteki önemli prensiplerden biridir. x4 4 x = 5 x 5 biçimidir. şeklindeki aşırı genelleme ilköğretim öğrencilerinde görülen bir algı Ondalık Sayılarda Sıralama İle İlgili kavram Yanılgısı Bir başka örnek ise, ondalık sayılarda karşımıza çıkmaktadır. Yapılan araştırmalarda öğrencilere art arda şu iki soru sorulmuştur. Verilen sayı ikilisinde en büyük sayı hangisidir? (4,8; 4,75) Verilen sayı ikilisinde en büyük sayı hangisidir? (4,; 4,65) Ve sonuçta öğrencilerin genellikle virgülden sonra iki basamağı olan sayıya büyüktür dedikleri görülmüştür. Bunun nedeni, çok rakam içeren sayı daha büyüktür algısıdır. Buradaki sorun basamak kavramında ve basamak değerinin ne anlama geldiğinde gizlidir. Üslü Sayılarda Karşılaşılan Kavram Yanılgıları Öğrencilerin çoğu; x ifadesini sayının kendisi ile çarpımı olan x.x olarak yazmak yerine sayının ile çarpımını.x olarak yazmaktadırlar ve bunu den farklı üslerde de uygulamaktadırlar. Üslü sayının değerinin anlaşılmaması çoğu öğrencide görülmektedir. Öğrencilerin düştüğü en büyük yanılgı taban ile üssü çarparak sayının değerini bulmasıdır. Öğrencilerin çoğu sayıların sıfırıncı kuvvetinin 0 olduğu yanılgısına düşmektedir. Ya da bazı öğrenciler toplama işlemindeki gibi etkisiz olduğunu düşünüp sayının sıfırıncı kuvvetinin kendisine eşit olduğunu söylemektedir. Buradaki yanılgıyı gidermek için üslü sayılarda bölme işleminden faydalanılmalıdır. Örneğin; Her sayının kendisine bölümü ( 1) dir. Aynı şekilde üslü sayılarda bölme işlemi 0 yapılırken eğer sayıların tabanları eşitse üsler birbirinden çıkarılır ( ). 1 ve 0 olduğu için 0 =1 dir.

5 Üslü ifadelerle ilgili diğer bir kavram yanılgısı negatif sayıların üssünü alırken paranteze dikkat edilmemesidir. Yapılan araştırmalar çoğu öğrencinin (-) ifadesi ile - ifadesinin birbirine eşit olduğunu düşündüğünü göstermektedir. Bu yanılgının temel sebebi, öğrencilerin - ifadesini eksi üçün karesi olarak algılamasıdır. Bu yanılgının önüne geçmek için ifadeleri öğrencilerin önce sözlü olarak açıklamasının istenmesi gerekir. Çünkü; (-) ifadesi iki tane eksi üçün çarpımını ifade ederken; - ifadesi iki tane üçün çarpımının negatifi anlamına gelmektedir. Üslü ifadelerde karşılan bir diğer yanılgı negatif üs kavramıdır. Öğrenciler çoğunlukla üste bulunan eksiyi tabandaymış gibi algılamaktadır. Örneğin; - = 1 x 1 x 1 = 8 1 e eşitken öğrenci bunu (-)x(-)x(-)=-8 gibi düşünmektedir. Türkiye de 8. Sınıf öğrencilerinin üslü sayılarla ilgili kavram yanılgılarını ortaya çıkarmak için yapılan bir araştırma sonucunda şu sonuçlara ulaşılmıştır: 1- Tespitler Tespitleri destekleyen hatalı çözüm örnekleri Yorum Negatif bir sayının kuvvetini almayı bilmiyor ve konuyla ilgili yanlış bilgileri var - Parantez içindeki negatif sayının üssü çift olduğunda sonucun pozitif olacağı dikkate alınmamış - Kuvvet alma işleminde tabanla üs çarpılmış ifadesinde negatif sayının parantez içinde olmadığı dikkate alınmamış - 0 dışındaki tüm sayıların 0. kuvvetinin 1 olduğu dikkate alınmamış - Tespitler Tespitleri destekleyen hatalı çözüm örnekleri Yorum

6 Bir sayının negatif kuvvetini almayı bilmemekle birlikte negatif bir sayının kuvvetini de almayı bilmiyor - Sayıların negatif kuvvetleri alınırken tabanlar çarpma işlemine göre tersi olarak alınmamış - Üsle taban çarpılarak hatalı çözüm yapılmış - Negatif kuvvet alınırken üsler pay kısmına, tabanlar payda kısmına yazılarak hatalı çözüm yapılmış - Tespitler Tespitleri destekleyen hatalı çözüm örnekleri Yorum Bir sayının negatif kuvvetini almayı bilmiyor ve üssün üssünü alma konusunda yanlış öğrenmeleri var - Üslerin çarpılması özelliği uygulanmış fakat sayının negatif kuvveti yanlış alınmış - Sayının negatif kuvveti alınırken tabanın çarpmaya göre tersi alınmış fakat tabanın işareti ile üssün işareti çarpılmış - Üsler çarpılarak sonuç pay ve payda ile ayrı ayrı çarpılmış - 4- Tespitler Tespitleri destekleyen hatalı çözüm örnekleri Yorum

7 Üslü ifadeleri bölerken pay ve paydayı aynı tabanda yazarak özelliğini uygulamayı bilmiyor - Tabanla üs çarpılmış - Tabanın yarısı ya da üssün yarısı ya da hem taban hem de üssün yarısı alınarak hatalı çözüm yapılmış Kareköklü Sayılarda Karşılaşılan Kavram Yanılgıları Öğrenciler karekök işaretinin kavramını tam olarak anlayamamaktır. Yapılan çalışmalar kareköklü sayılarla ilgili öğrencilerin toplama ve çıkarma işlemi yapabilme düzeylerinde kavram yanılgılarına sahip olduğunu göstermektedir. Öğrencilerin çoğu a b a b ve a b a b yanılgısına sahiptir. Oran Orantı Konusunda Karşılaşılan Kavram Yanılgıları Oran konusu ile karşılaşılan ilk kavram yanılgısı öğrencilerin oranları gerçek miktar gibi düşünmeleridir. Örneğin; Yapılan araştırmalar sonucunda oran orantı konusundaki kavram yanılgılarını üç gruba ayırmak mümkündür. İlk kavram yanılgısı, öğrencilerin oranı gerçek miktar olarak düşünüp buna göre işlem yapması; ikincisi, oran kavramının oluşturulmasında yapılan yanılgılar; üçüncüsü ise hazır bulunuşluk düzeylerinden kaynaklanan yanılgılar; dördüncüsü ise

8 öğrencinin orantısal akıl yürütme sorularını doğru orantı gibi düşünerek çözmesi şeklinde genellenebilir. Simetri Konusu İle İlgili Karşılaşılan Zorluklar Ve Kavram Yanılgıları Öğrencilerin bir geometrik şeklin sadece bir tane simetri ekseninin olabileceği gibisinden kısıtlı bir algıya sahiptir. Her geometrik şeklin mutlaka simetri ekseni vardır düşüncesi öğrenciler arasında oldukça yaygındır. Öğrenciler arasında yaygın olan bir diğer kavram yanılgısı da dikey/yatay nesnelerinin simetri eksenindeki yansımalarının da dikey ya da yatay konumlarda olacağı düşüncesidir. SONUÇ Öğrencilerde var olan kavram yanılgılarından haberdar olmak ve bunları iyi analiz edebilmek bir öğretmen için ne kadar gerekli ise, bu kavram yanılgılarını gördükten sonra avantaja çevirmekte o kadar önemlidir. Bir öğretmen ya da eğitimci için bu kavram yanılgılarını derinlemesine incelemek, gerekli çıkarımları yaptıktan sonra eğitim için avantaja çevirmek önemli bir noktadır. Bunları belirlemek için; Öğretmenlerin anlattıkları konular içerisinde, sordukları soruları kendilerinin çözmemesi, öğrencilere çözdürmesi ve onların sorular üzerindeki düşüncelerini alması, problem çözümünde nerelerde hata yapıyorlarsa, oralarda öğrencilere yardımcı olması kavram ve konu öğreniminde yararlı olmaktadır.

9 Matematik öğretiminde sadece işlemsel ve kurala dayalı bilgiye önem verilmemeli, bu bilginin temelini oluşturan kavramsal bilgi üzerinde de durulmalıdır. Matematik öğretiminde sadece işlemsel ve kurala dayalı bilgiye önem verilmemeli, bu bilginin temelini oluşturan kavramsal bilgi üzerinde de durulmalıdır. Kavramlar öğretilirken, öğrencilerin yaşadığı çevreden örnekler verilip, günlük hayatla ilişkilendirilmelidir.