KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI

Transkript

1 KON 34 KONTROL SİSTEM TASARIMI PROJE 2 Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ HAZIRLAYANLAR TAKIM Burak BEŞER Elif KÖKSAL 464 Muharrem ULU 4645 Birol ÇAPA Teslim Tarihi:

2 GİRİŞ İki ayrı sistemin davranışları, ileri yol üzerine uygulanacak kontrolörler ile kontrol edilmek istenmektedir. Bu raporda, verilen sistemler için uygun geçici ve sürekli hal yanıtlarını veren kontrolörlerin teorik temellere dayandırılarak kutup atama yöntemiyle tasarımları ele alınmıştır. Bu amaçla pek çok farklı tipte kontrolör ve bu kontrolörlerin tasarım yöntemleri incelenmiştir.

3 2s 43. Transfer fonksiyonu G( s) olarak verilen bir sistem 2 ( s 3)( s s 2)( s 2) kapalı çevrimde ileri yol üzerine konulan bir kontrolör ile kontrol edilmek isteniyor. Şekil.a. de sistem blok şema ile gösterilmiştir. Şekil.a. - Sistem blok şeması a) Kapalı çevrim sistem kutuplarını 2 2 j, 3, 4, 5, 6.5, 8. noktalarına atayan 3. dereceden kontrolörü bulmak için cebrik yöntemden yola çıkarak kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydası, ( s 2 2 j)( s 2 2 j)( s 3)( s 4)( s 5)( s 6.5)( s 8.) = olarak bulunur. Önerilen kontrolör yukarıdaki 7. dereceden paydayı sağlamalıdır. Bu yüzden nedensellik esasına uygun bir biçimde kontrolör ifadesi aşağıdaki gibi verilebilir: F ( s ) = Kontrolör bu yapı ile ele alındığında paydası, F( s) G( s) T ( s) formu için kapalı çevrim F( s) G( s) olarak bulunur. Yukarıda, istenilen kutuplar için bulunan payda ile eşitlendiğinde, 2

4 değerleri bulunur. Bulunan değerler için kontrolör ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu, F ( s ) = T ( s ) = olarak bulunur. Elde edilen bu kapalı çevrim transfer fonksiyonunun s-düzlemindeki kutup-sıfır dağılımı Şekil.a.2 de verilmiştir. Şekil.a.2 - S düzleminde kutup ve sıfırların konumları Şekil.a.3 te kapalı çevrim sistemin birim basamak cevabı, Şekil.a.4 te ise kontrol işareti görülmektedir. Şekil.a.3 - Birim basamak yanıtı 3

5 Birim basamak yanıtının negatifi için zaman karakteristikleri biçiminde elde edilir. Şekil.a.4 - Kontrol işareti Kutuplar istenilen yerlere yerleştirilmiştir. Bu durumda sistemin birim basamak cevabına bakılıdığında sistemin kabaca negatif kazanca sebep olduğu görülür. Yanıtın negatife gitmesinin sebebi başlıca sebebi noktalarındaki sıfırlardır. Bu yanıta bakarak sistemin aşağıdaki faz çeviren kuvvetlendirici opamp yapısını (Şekil.a.5) andırdığını söyleyebiliriz. Yukarıda zaman tanım bölgesi karakteristiklerinin verilmesi bu sebeptendir. Çünkü bu tipte bir sistem olabileceği düşüncesi bu karakteristikleri anlamlı kılacaktır. V Rf Vi R Şekil.a.5 - Faz çeviren kuvvetlendirici yapısı 4

6 b) Soruda G s 43 2s 3 s 2 s 2 s s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör İlk olarak sisteme F s K z s s p tipinde. derece kontrolör uygulanması amaçlanmıştır. İstenen özelliklerden biri kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatası yapmamasıdır. Bu amaçla kontrolörün integratöre sahip olması için paydasının yalnızca s terimine sahip olması gereklidir. Bu amaçla p= seçilir. Geriye kazanç ve sıfır bilinmeyenlerini bulmak kalır. Kontrolörün sıfırının olmadığı yani sisteme yalnızca integratör eklendiği varsayılırsa bu haliyle sistemin kök eğrisi Şekil.b. de verilmiştir. Root Locus Plot 5 I m s Re s Şekil.b. Kontrolör olarak yalnızca integratörü olan sistemin kök eğrisi Görüleceği üzere sistem küçük kazanç değerleri için kararsız olabilmektedir. Sistemi kararlı yapan K değerlerinin aralığı Routh tablosundan bulunursa, <K<.828 ifadesine ulaşılır. Sisteme eklenecek sıfır kök eğrisinde çıkış açısını arttıracağından sistemi kararlı yapan K aralığını da genişletecektir. Sanal eksenlere yaklaştıkça sıfırın bu etkisi daha fazla olur. Buna karşılık sıfırın sanal eksenlere yakın olması sistemi yavaşlatacaktır. Ayrıca 5

7 sanal eksenlere yakın sıfır, çıkış açısını arttıracağından aynı kazanç değerlerinde kapalı çevrim sistemin eşlenik kutuplarının sanal eksenle yaptıkları açının artmasına dolayısıyla aşımın artmasına sebep olur. Tüm bunlar göz önüne alındığında eklenecek kontrolör sıfırının gerçeklenebilecek kontrolör kazanç değerlerini sağlayacak biçimde sanal eksenden uzak tarafa konması gerektiği sonucuna ulaşılır. Yani asıl kriter kontrolörün kazancının hassasiyetidir. Her koşulda kontrolörün kazancı küçük değerler alacağından ( den küçük) ve kontrolör sıfırının mümkün olduğu kadar uzağa koyulması gerektiği sonucuna ulaşıldığından ötürü bir kazanç değeri belirleyip buna uygun sıfırın yerini bulmak izlenecek yol olarak seçilebilir. Kontrolör kazancını. olarak seçersek kontrolör denklemi F s. s p s halini alır. Kapalı çevrim sistemi kararlı bölgede tutacak p değerleri Routh tablosu yardımıyla <p< olarak bulunur. Bu aralıktan p değerini seçerken dikkat edilmesi gereken husus p üst sınırına yaklaştığında sistemin kararlılık sınırına yaklaşacağı yani osilasyona gireceğidir. p nin alt sınır olan a yaklaşması ise sistemin yavaşlamasına neden olacaktır. Bu iki kıstası göz önünde bulundurursak p nin değer aralığının ortasında seçilmesi uygun görülür. p=4.33 seçilirse kontrolör denkleminin son hali F s. s 4.33 s şeklinde ortaya çıkar. Bu kontrolör sisteme uygulanıp kapalı çevrim sistemin basamak cevabı Şekil.b.2 de verilmiştir. Y t Response Şekil.b.2 -. derece kontrolör uygulanmış sistemin basamak yanıtı 6

8 Sistemde sürekli hal hatası yoktur. Geçici hal kriterlerinden aşım %.5, yerleşme zamanı sn dir. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.3 te görüldüğü gibidir..8 Response Y t Şekil.b.3 -. derece kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinde uygun olmayan herhangi bir etken görülmemektedir. 7

9 ii. 2. Derece Kontrolör Sorunun ikinci adımında sisteme F s K s2 as b s 2 cs d biçiminde bir 2. derece kontrolör eklenmesi istenmiştir. Yine kapalı çevrim sistemden beklenen sürekli hal hatası yapmamasıdır. Sistemin (yani G(s)) kutup-sıfır dağılımı çizdirilirse I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b.4 - Sisteme ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.4 deki grafiğe ulaşılır. Kontrolörden gelecek sıfırların sistemin eşlenik kutuplarının etkisini götürmesi sistemin aşım yapmasını önleyecektir. Fakat sistemin eşlenik kutupları sanal eksene oldukça yakın olduğundan o bölgede kutup-sıfır götürmesi yapmak riskli olacaktır. Bu nedenle Notch filtresi kullanılmalıdır. Notch filtresini sağlayacak kontrolör sıfırlarını eklerken dikkat edilecek 2 husus vardır. Eklenecek eşlenik sıfırların sanal bileşenleri sistemin eşlenik kutuplarının sanal bileşenlerinden daha küçük değerde olmalıdır. Tersi durumda belli kazanç değerleri için sistemin kararsız bölgeye sürüklenme tehlikesi ile karşılaşılır. Eşlenik sıfırların yerinin belirlenmesindeki diğer önemli husus modelleme hatasıdır. Modelleme hatasının büyüklüğüne göre sıfırların kutuplara olan yakınlığı belirlenmelidir. Bu bilgiler ışığında sıfırların yerlerinin belirlenmesi için öncelikle sisteme ait eşlenik kutupların yerleri bulunur ( j). Modelleme hatasının yüksek olmadığı varsayılarak kontrolör sıfırlarının yerleri j olarak belirlenebilir. Bunun yanında sistemin sürekli hal hatası yapmaması için bir kutbunun orijinde olması gerektiği göz önüne alınırsa kontrolör F s K s i s i s s a 8

10 halini alır. Kontrolörün diğer kutbunun yerini belirlemek amacıyla kontrolörün yalnızca orijinde kutbu varmış gibi düşünülürse Şekil.b.5 teki kök eğrisine ulaşılır. Şekil.b.5 - Kontrolör olarak yalnızca integratör eklenmiş sistemin kök eğrisi Kontrolörün serbest kutbunun yeri bu kök eğrisi üzerinden yorumlanarak bulunabilir. Baskın bölgede nereye koyulursa koyulsun iki kutup arasında kopma meydana getirip kontrolörün sıfırlarına etkiyeceğinden baskın bölgeye koymak Notch filtresini etkisiz hale getirecektir. Bu duruma bir örnek Şekil.b.6 teki kök eğrisinden görülebilir. 9

11 Şekil.b.6 - Baskın bölgede kontrolör kutbunun etkisi Görüldüğü gibi Notch filtresinin etkisi yok olmuş, sistem belli kazanç değerleri için kararsız hale gelmiştir. Sistemi kararlı yapacak K değer aralığının geniş olması isteniyorsa kontrolör kutbu baskın olmayan bölgeye atanmalıdır. Baskın olmayan bölgede kutup sola çekildiğinde sistem hızlanmaktadır fakat buna karşılık kontrol işareti ani bir şekilde yüksek değerlere çıkar. Tersi yapılıp baskın olmayan bölgede kutup sağa doğru yaklaştırılırsa sistem yavaşlar fakat kontrol işareti nispeten küçük değerler alır. Kontrolör kutbu kontrol işaretinin değerini yüksek tutmayacak ve sistemin hızına çok etki etmeyecek bir yere atanmak istenirse - uygun bir yer olarak seçilebilir. Bu durumda kontrolör denklemi F s K s s s s halini alır. Routh tablosunu kullanarak sistemin <K<5.535 kazanç aralığında kararlı olduğu görülür. Bu halde sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.7 de görüldüğü gibidir.

12 Şekil.b.7-2. derece kontrolör uygulanmış sistemin kök eğrisi Kazancı 5 e yakın tutmak kontrolör işaretinin değerini yükseltmenin yanında sanal eksene yakın bölgede eşlenik kutupların olmasına yol açacaktır. Bununla beraber sanal eksene yakın kutuplar sistemin hızını da düşüreceğinden kazancın sistem kararlı bölgede olacak biçimde yüksek alınmaması gerektiği sonucuna ulaşılır. Bununla beraber düşük kazanç değerlerinde orijindeki kutup fazla hareket etmeyeceğinden yine sistemin yavaşlaması söz konusu olur. Sistemin küçük aşımları tolere edemediği varsayılıp kazancın kutupları kopma noktasına getirmesi istenirse kazancın.7 olması gerektiği hesaplanabilir. Bu son durumda kontrolör denklemi s s F s.7 s s şeklindedir. Bu kontrolör sisteme eklenip kapalı çevrim sistemin basamak cevabına bakılırsa Şekil 5 teki eğri elde edilir.

13 Y t Response Şekil.b.8 - Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Sistemin geçici hal yanıtları % aşım ve 3.8 sn yerleşme zamanı halindedir. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.9 dan görüldüğü gibidir. Y t Response Şekil.b.9 - Kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinin ani bir şekilde.4 e çıktığı ve yine ani bir biçimde.2 dolaylarına indiği görülmektedir. Söz konusu sistemin karakterine göre bu işaret zarar verici olabileceği gibi sistemde herhangi bir yıpratıcı etki göstermeyebilir. Kazanç değeri yükseltilerek bir miktar aşım yapan hızlı sistemlere ulaşılabilir. Bu tip sistemlerde kontrolör işaretinin değeri daha yüksek olacaktır. Bunun yanında kazanç değeri düşürülerek aşımsız ancak nispeten yavaş sistemler elde edilir. Bu kazanç değerlerinde kontrolör işaretinin değeri de düşük olacağından sisteme daha az zarar verecektir. 2

14 iii. 3. Derece Kontrolör Sisteme bir üçüncü dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Yine köklerin yer eğrisi üzerinde tasarım yapılacaktır. Beklenen uygun geçici hal kriterlerinin sağlanması ve sürekli hal hatasının ortadan kaldırılmasıdır. F s K n 3 s 3 n 2 s 2 n s n d 3 s 3 d 2 s 2 d s d G(s) sisteminin kök eğrisi çizildiğinde görülür ki sanal eşlenik kutup çiftine sahiptir. Bu baskın kutup çiftinden gelen kopmaların sağ yarı düzleme geçmesini engelleyecek bir yapı esastır. Notch filtresi yaklaşımı kullanılırsa bu kutupları çok yakın sanal sıfır çifti eklemek uygun olur. Böylece <K< aralığında kök eğrisi, sağ yazı düzleme geçmeden yörüngesini bu kutup-sıfır çifti üzerinden tamamlayabilir. G(s) sistemine ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b. da verilmiştir. I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b. - G(s) kutup sıfır dağılımı Sürekli hal hatasını engellemek için orijine bir kutup eklenebilir. Şu halde görülür ki kapalı çevrim kutuplarının 4 tanesi baskın bölgededir. Bunlardan ikisi sanal eşlenik kutular olmak ile birlikte diğer ikisi reel eksen üzerinde yer almaktadır. Kalan kutuplar baskın olmayan bölgede uygun şekilde konumlandırılmalıdır. Faz gerilemeli kontrolör prensibi ile kutup ve sıfır çifti eklenecektir. Açık çevrim sistemin reel eksen üzerinde bulunan -2.5 sıfırı ve -3 kutbu arasına bir kutup yerleştirilir. Bu durumda eklenen kutup ile -3 te bulunan kutup arasında bir kopma meydana gelecektir. Fakat bu kopma Notch yapısını olumsuz etkiler; öyle ki sistemin kutuplarından çıkan kollar küçük bir K alığının ardından sağ yarı düzleme girerler. Bunu önlemek, yani Notch yapısını bozmamak için, kopma noktasındaki çıkış açısını 3

15 ayarlamak üzere faz gerilemeli kontrolörün sıfırı, -3 kutbunun sol tarafına eklenir. Böylelikle giriş- çıkış açıları uygun bir şekilde ayarlanmış olur ve baskın kutupların daha büyük bir K kazancında sol yarı düzlemde kalmaları sağlanır. Sistemi bir miktar hızlandırmak için baskın olmayan bölgeye bir kutup eklemek uygundur. Uzaklığı ayarlanırken -2 deki kutup ile arasında gerçekleşecek olan kopmadaki çıkış açısına dikkat edilmelidir. Neticede bu açı, kazanç aralığı üzerinde etkili olur. Aynı zamanda kontrol işaretinin durumu da göz önüne alınmalıdır. Şekil.b. de kutup ve sıfırları bu şekilde belirlenmiş olan kontrolörün eklendiği sistemin kök eğrisi verilmiştir. 25 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis Şekil.b. - Kontrolör orjin ve -3.5 teki kutupları ile kök eğrisi Kazanç değeri geçici hal yanıtı üzerinde etkilidir. Sistemin %2lik bant içinde kalmasını ve hızlı yanıt alınmasını sağlayacak bir K değeri belirlenmelidir. Sistemin <K<25.4 değerleri arasında kararlı olduğu görülür. Uygun K değeri 2 olarak belirlenebilir. Sonuç olarak elde edilen kontrolör şu şekildedir: F s 2 s 3.7 s s s s 8 s

16 Nihayetinde, G(s)*F(s) ileri yol transfer fonksiyonunun kök eğrisi çizilirse Şekil.b.2 de verilen kök eğrisine ulaşılır. 4 Root Locus Editor (C) 3 2 Imag Axis Real Axis Şekil.b.2 - F(s)G(s) transfer fonksiyonu kök eğrisi Şekil.b.3 te verilen sistemin birim basamak girişine verdiği yanıt incelenirse görülür ki aşım olmamakta ve sistem.74s de oturmaktadır. Sürekli hal hatası ortadan kaldırılmıştır. 5

17 .4 Step Response Amplitude System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Final Value: (sec) Şekil.b.3- Kapalı çevrim birim basamak yanıtı Şekil.b.4 te birim basamak girişine karşılık alınan kontrol işareti gösterilmiştir. Bu işaret incelendiği takdirde yerleşme zamanının.93 sn olduğu görülür. Kontrol işareti asimptotik olarak kararlıdır. 3 Step Response System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec): Amplitude.5.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Final Value: (sec) Şekil.b.4 - Kontrol işareti 6

18 iv. PID Kontrolör Kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatasını giderecek uygun aşım yerleşme zamanı değerlerini veren PID kontrolör tasarlanacaktır. Başlangıç noktası olması amacıyla aşım ve yerleşme zamanı kriterleri için sonuçlar bulunmuştur. Ancak bunlar arasında sisteme göre tercih edilebilecek ikisi anlatılacaktır. Tasarımda aşımın mümkünse sıfır olması, kabul edilebilir mertebede kalması şartıyla yerleşme zamanı üzerine baskın kriter olarak kabul edilmiştir. Kontrolörün yapısı, F ( s ) = elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu, T ( s ) = Bu verilerden bulunan baskın kutup polinomu, baskın olmayan kutupları gösterecek rezidü polinomu kapalı çevrim paydasının derecesi göz önünde bulundurularak, olarak belirlenebilir. Bu iki polinomun çarpımı kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına eşitlenir ve 6 bilinmeyen 5 denklem olması sebebi ile değişkenlerden cinsinden çözülür ise, 7

19 Çözümü kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına uygulayarak Routh kriteri ile kararlılık analizi yapılırsa, koşulu bulunur. Değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d. de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d. - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri 2.88 değeri için aşımsız bir sonuç elde edildiği ve bu değer için yerleşme zamanının.6687 saniye olduğu görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak elde edilir. Bu kontrolürün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.5 te verilmiştir. Şekil. Birim basamak yanıtı Şekil.b.5 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı 8

20 Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri olarak bulunur. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.6 de verildiği gibidir. Şekil.b.6 - Kontrol işareti Görüldüğü üzere aşım ve yerleşme zamanı bakımından tatmin edici sonuçlar elde edilmiştir. Ancak basamak yanıtındaki yaklaşık %2 ye varan hareketlilik bazı sistemler için istenmeyen bir durum olabilir. Bu nedenle bahsedilen hareketliliği olabildiğince azaltacak ve yerleşme zamanını yüksek değerlere çıkarmayacak bir diğer kontrolör önerilebilir. 9

21 için bulunan baskın kutup polinomu, ve rezidü polinomu, için yukarıdaki gibi karakteristik polinoma eşitleme ile bulunan değerler cinsinden, olarak bulunur. Routh tablosundan aynı kısıtı elde edilmektedir. Yeni durumda değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d.2 de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d.2 - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri nin.95 değeri için çok az bir aşımın olduğu ve yerleşme zamanının ise.96 saniye gibi kabul edilebilir mertebede kaldığı görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak bulunur. Bu kontrolörün uygulandığı kapalı çevrim sistemin basamak girişe olan yanıtı Şekil.b.7 de verildiği gibidir. 2

22 Şekil.b.7 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri şeklindedir. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.8 de verilmiştir. 2

23 Şekil.b.8 - Kontrol işareti Açık çevrimde sistemin kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.9 da verildiği gibidir. Şekil.b.9 - Açık çevrim kutup ve sıfırların yerleri Sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.2 de verilmiştir. Şekil.b.2 - Değişen kazanç değerleri için kutupların hareketleri 2. yanıt üzerinde hareket ederek MATLAB SISOTool yardımı ile optimal bir sonuç aransın. Önceki sayfada bulunan kök eğrisine bakıldığında şöyle bir yorum yapılabilir. Eklenecek iki adet kontrolör sıfırının eşlenik olması ve eşlenik kutuplara yakın olması bu iki 22

24 kutbun baskın tutulmasını sağlayacak ve olumlu sonuç getirecektir. Çünkü kutuplar artan kazanç değeri ile hareketleri boyunca kısa bir yol alacak; fakat reel eksen üzerindeki kutup, artan kazanç değerleri ile daha hızlı hareket ederek, baskın kutup bölgesi olarak tanımlanabilecek eşlenik kutup reel kısımları civarından hızlı bir şekilde uzaklaşacaktır. Buna katkıda bulunacak bir başka durum ise eklenecek eşlenik sıfırları, kutupların sağ tarafında seçmek olacaktır. Böylece kutupların ilk konumlarından çıkış açıları arttırılmış olacak ve böylelikle artan kazanç değerleri için eşlenik kutupların reel eksen üzerindeki kutuptan uzaklaşmasını kolaylaştıracaktır. Ancak bu esnada aşım artacaktır. Bu durum Şekil.b.2 ve Şekil.b.22 den izlenebilmektedir. Şekil.b.2 - Herhangi bir kazanç değeri için sıfırın kutbun solunda olması Şekil.b.22 - Aynı kazanç değeri için sıfırın kutbun sağında bulunması 23

25 Buradan hareketle SISO Tool üzerinden yapılan tasarım aşağıda görülmektedir. Sürekli hal hatasını engellemek için sıfıra bir kutup yerleştirilmiştir. Eşlenik sıfırın eşlenik kutbun neresine yerleştirildiğinin daha net görülebilmesi için kutup civarına yakınlaşılmıştır. Tasarım yapılırken birim basamak yanıtında hareketlilik en az yapılmaya çalışılmıştır, ayrıca eklenen sıfırın sanal eksene yaklaşması sebebi ile meydana gelecek aşımın da olabildiğince az olması istenmiştir. Burada bulunan kontrolör, F ( s ) = biçimindedir. Bu kontrolörün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.23 teki gibidir. Şekil.b.23 - Kutup atama ile PID tasarım sonucu Bu durumda kontrol işareti Şekil.b.24 te verilmiştir. 24

26 Şekil.b.24 - Kutup atama PID tasarım kontrol işareti 25

27 c) Soruda istenilen geçici hal kriterleri %3 aşım ve 2 sn yerleşme zamanını ve sürekli hal kriteri olan sıfır sürekli hal hatasını sağlayacak 2. derece transfer fonksiyonu hesaplanırsa ln Aşım 2 ln Aşım 2 w n 4 2 w n w 2 n T s s 2 2 w n s w n 2 T s s s 2 ifadesi elde edilir. Kapalı çevrim sistemin basamak cevabını incelenirse Şekil.c. deki eğriye ulaşılır. Response.8 Y t Şekil.c. - %3 aşım, 2 sn yerleşme kriterlerini sağlayan sistemin basamak yanıtı Burada yerleşme zamanı 2.5 sn, aşım %3 ve sürekli hal hatası sıfırdır. Yerleşme zamanı istenilene oldukça yakındır. ve w n değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerin tam değerler vermemesinden ötürü bu ufak fark meydana çıkmıştır. Pek çok sistem için bu fark tolere edilebilecek seviyededir. Bu kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ulaşmayı sağlayacak F(s) kontrolörü eşitliğinden elde edilebilir. Buradan T s F s G s G s T s 26

28 F s s s2.537s s 4 72s 23 s 2 2s 3 şeklindeki kontrolör denklemine ulaşılır. Görüldüğü üzere elde edilen kontrolör nedensel değildir yani gerçeklenemez. İstenen kriterlere bağlı kalmak kaydıyla kontrolörü nedensel yapmak için kontrolörün pay ve paydasının derecelerinin nelere bağlı olduğu araştırılırsa. T s sa s b, F s sa c d s b s a G s sc s d sonucuna ulaşılır. Burada sistemin payının derecesinin c=, paydasının derecesinin d=4 olduğu ve kontrolörün nedensel olması için payının derecesinin paydasının derecesinden küçük ya da eşit olması gerektiği göz önüne alınırsa 3 b-a eşitsizliğine ulaşılır. Yani gerçeklenebilir bir kontrolör tasarlayabilmek için kapalı çevrim fonksiyonunun paydasının derecesi ile payının derecesi arasında en az 3 fark olmalıdır. Bunu sağlamak ve istenilen cevabı edebilmek için kapalı çevrim transfer fonksiyonunun ifadesinde baskın olmayan tarafa (-2) bir kutup eklenir ve sürekli hal hatasını sıfırda tutacak şekilde kazanç değiştirilirse T s s 24s 2 s 3 F s s s s s s s 2 523s 3 2s 4 kontrolörü elde edilir. Bu nedensel bir ifadedir ve fiziksel bir karşılığı vardır. Sistemin basamak cevabı Şekil.c.2 deki gibidir. Response.8 Y t Şekil.c.2 - Nedensel hale getirilmiş kontrolörün uygulandığı sistemin basamak yanıtı 27

29 Burada sürekli hal hatası yoktur ve aşım %3, yerleşme zamanı 2.2 sn dir. Görüleceği üzere sisteme eklenen baskın olmayan kutup yalnızca yerleşme zamanında ufak bir artışa sebep olmuştur. Bu artışı azaltmak eklenen kutbu daha uzaklara koymakla ya da yine baskın olmayan tarafa yeni bir kutup eklemekle mümkündür. Burada dikkat edilecek husus kapalı çevrim transfer fonksiyonuna eklenen her kutbun kontrolörün derecesini arttırdığı yani gerçeklenebilirliği zorlaştırdığı ve maliyeti yükselttiği gerçeğidir. Elde edilen kontrolörün çıkış işareti incelenirse Şekil.c.3 teki eğri elde edilir. Response.4.2 Y t Şekil.c.3 - Kontrolörün basamak yanıtı Burada çok hızlı (yaklaşık.5 sn) bir ters aşım söz konusudur ve sistemin karakterine göre bu olumsuz bir sonuç doğurabilir. Bu sorun, atanan baskın olmayan kutbu sanal eksene doğru çekerek bir nebze giderilebilir. 28

30 d) PI-PD Kontrolör Bulunan PID kontrolörlerden yola çıkarak PI-PD tasarlanacaktır. Kontrolörlerden ilk bulunan PID kontrolör katsayıları en iyi PI-PD sonucunu vermiştir. Hatırlanacağı üzere PID kontrolör şu şekilde bulunmuştu: F ( s ) = Ki: Kd: Kp: G ( ) PD s = GPI ( s ) = Buradan bulunan kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir: T ( s ) = Yukarıdaki Ki ve Kd katsayıları yerine yazıldığında, T ( s ) = Kpi ve Kpd katsayıları, toplamları sabit ve PID kontrolörün Kp katsayısı olacak ve PI kontrolörün sıfırını uygun noktaya çekecek şekilde seçilir. Artan Kpi değerleri için bu sıfır baskın kutup bölgesine yaklaşacaktır. Bu da aşımı arttıracaktır. Tasarımda genel olarak aşımın yerleşme zamanının uygun mertebelerde tutularak minimum tutulması amaçlandığı için bu sıfırın 29

31 baskın kutuplardan uzakta olduğu herhangi bir Kpi-Kpd kombinasyonu yeterli olacaktır. Mathematica da çeşitli Kpi değerleri için yapılan tablodan aşağıdaki sonuç uygun bulunmuştur. Kpi=. Kpd= GPD( s ) = , GPI ( s ) = /s Bu değerler için kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı ve kontrol işareti sırasıyla Şekil.d. ve Şekil.d.2 de verilmiştir. Şekil.d. - PI-PD kontrolör için sistemin birim basamak yanıtı 3

32 Şekil.d.2 - Kontrol işareti Görüleceği üzere kontrol işareti uygundur. Çünkü hem yüksek değerlere ulaşılmamaktadır hem de çok hızlı değişimler görülmemektedir. Bu durumda elde edilen kapalı çevrim sisteme ait geçici hal kriterleri olarak bulunur. 3

33 karşılaştıralım. A seçeneği: e) Sistem için en uygun kontrolörü seçmek için elde edilen tüm kontrolörleri Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği. dereceden kontrolör: Response Response.8.8 Y t Y t Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 32

34 B seçeneği 2. dereceden kontrolör: Response.4 Response.8.2 Y t Y t Şekil.e.5 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.6 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği 3. dereceden kontrolör:.4 Step Response 3 Step Response.2 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec):.8 Final Value: Amplitude.6 Amplitude.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93.4 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u.2.5 Final Value: (sec) (sec) Şekil.e.7 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.8 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği PID kontrolör: Şekil.e.9 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e. - Sisteme uygulanan kontrol işareti 33

35 C seçeneği model eşleme ile bulunun kontrolör:.8 Response.4 Response Y t.6.4 Y t Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti D seçeneği PI-PD kontrolör: Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti Sırasıyla tüm bu eğriler ve zaman tanım bölgesi incelemeleri karşılaştırıldığında PI- PD kontrolörün hem kontrol işareti açısından hem de birim basamak işareti açısından en olumlu sonucu verdiği görülebilir. 34

36 2. a) Soruda G s s.5 s 2 s 2 s s 2 şeklinde verilen sistem için, kapalı çevrim sistem kutuplarını, n 6 olmak üzere, 2±2j, -3, -4, -5, *n, *n noktalarına atayan 3. dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Böyle bir kontrolör yapısı aşağıdaki gibi verilebilir: Bu kontrolör yapısından hareketle sırasıyla ileri yol transfer fonksiyonu ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu bulunabilir. Kapalı çevrim transfer fonksiyonundan hareketle bulunan karakteristik polinom, verilen köklerle oluşturulan tasarım karakteristik polinomuna eşitlenerek kontrolör bilinmeyenleri bulunabilir. Bu bilinmeyenler yerine konduğunda 3. Dereceden kontrolör aşağıdaki gibi çıkar: çevrim sistem Bu kontrolör ödevde verilen sistem blok diyagramında yerine konduğunda kapalı şeklinde bulunur. Kontrolörün integratörü olmadığından sürekli hal hatası yapacaktır. Kapalı çevrim sistemin kutup sıfır dağılımı Şekil 2.a. de verilmiştir. 35

37 Şekil 2.a. - Kapalı çevrim sistem kutuplarının ve sıfırlarının dağılımı Sisteme göre sağ tarafta 3 tane sıfır var bu yüzden sistemin ölü zamanı olan sistemler gibi uzun süre referansı takip edemez. Yine sistemin baskın kutup bölgesinde eşlenik kutupları ile reel eksende kutupları vardır. Eşlenik kutuplar bir miktar osilasyona neden olabilir gibi görünse de onlardan çok daha fazla sayıda ve baskın kutup bölgesinde bulunan reel eksendeki kutuplar sistemin bu osilasyonunun fazla olmasını engelleyecektir ve çok az bir aşım ile sistem referanstan daha büyük bir değerde oturacaktır. Nitekim kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı ise Şekil 2.a.2 de verildiği gibidir. Şekil 2.a.2 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Bu cevap ise yukarıda bahsi geçen öngörüler ile uyuşmaktadır. Kapalı çevrim sistemin geçici hal kriterleri aşağıda verilmiştir. SteadyStateError DomainCharacteristics Settling (Ts) : sec Overshoot (Tp): sec Overshoot :.6558 Delay (Td) :.797 sec Rise (Tr) : sec 36

38 Kontrol işareti ise Şekil 2.a.3 te verilmiştir. 4 Response 2 Y t Şekil 2.a.3 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 37

39 b) Soruda G s 2 s 3.6 s.5 s^2 s 2 s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör Sorunun ilk adımında beklenen, sürekli hal hatasını giderecek ve uygun geçici hal yanıtlarını verecek bir. dereceden bir kontrolör tasarlanmasıdır. F s K n s n d s d G(s) transfer fonksiyonunun kutup ve sıfırlarının yeri Şekil 2.b. de verilmiştir. Bu dağılım incelendiğinde sistemin sağ yarı düzlemde kutup ve sıfırının olduğu görülür. 3 2 Pole Zero Map I m s Re s Şekil 2.b.- G(s) kutup- sıfır dağılımı <K< yani pozitif kazanç değerleri için kök eğrisi incelendiğinde görülür ki sağ yarı düzlemdeki kutup- sıfır arasındaki bölge nedeniyle, orijine yakın kapalı çevrim kökleri gelecektir. Nitekim G(s) sistemi için Routh tablosu oluşturulur ve hangi K değerleri için kararlı olduğu bulunursa <K< aralığında kalmak gerektiği görülür. Şekil 2.b.2 ve Şekil 2.b.3 te sırasıyla pozitif kazanç ve negatif kazanç değerleri için çizilen kök eğrileri görülmektedir. Routh tablosu ile çıkarılan sonuçla uyumlu olarak, kimi negatif kazanç değerlerinde kapalı çevrimin kutuplarının sol yarı düzlemde kaldığı kök eğrisinden de görülmektedir. 38

40 3 Root Locus Editor (C) 2 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.2- G(s) transfer fonksiyonunun pozitif kök eğrisi 2 Root Locus Editor (C) 5 5 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.3 - G(s) transfer fonkiyonunun negatif kök eğrisi 39