KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI"

Transkript

1 KON 34 KONTROL SİSTEM TASARIMI PROJE 2 Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ HAZIRLAYANLAR TAKIM Burak BEŞER Elif KÖKSAL 464 Muharrem ULU 4645 Birol ÇAPA Teslim Tarihi:

2 GİRİŞ İki ayrı sistemin davranışları, ileri yol üzerine uygulanacak kontrolörler ile kontrol edilmek istenmektedir. Bu raporda, verilen sistemler için uygun geçici ve sürekli hal yanıtlarını veren kontrolörlerin teorik temellere dayandırılarak kutup atama yöntemiyle tasarımları ele alınmıştır. Bu amaçla pek çok farklı tipte kontrolör ve bu kontrolörlerin tasarım yöntemleri incelenmiştir.

3 2s 43. Transfer fonksiyonu G( s) olarak verilen bir sistem 2 ( s 3)( s s 2)( s 2) kapalı çevrimde ileri yol üzerine konulan bir kontrolör ile kontrol edilmek isteniyor. Şekil.a. de sistem blok şema ile gösterilmiştir. Şekil.a. - Sistem blok şeması a) Kapalı çevrim sistem kutuplarını 2 2 j, 3, 4, 5, 6.5, 8. noktalarına atayan 3. dereceden kontrolörü bulmak için cebrik yöntemden yola çıkarak kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydası, ( s 2 2 j)( s 2 2 j)( s 3)( s 4)( s 5)( s 6.5)( s 8.) = olarak bulunur. Önerilen kontrolör yukarıdaki 7. dereceden paydayı sağlamalıdır. Bu yüzden nedensellik esasına uygun bir biçimde kontrolör ifadesi aşağıdaki gibi verilebilir: F ( s ) = Kontrolör bu yapı ile ele alındığında paydası, F( s) G( s) T ( s) formu için kapalı çevrim F( s) G( s) olarak bulunur. Yukarıda, istenilen kutuplar için bulunan payda ile eşitlendiğinde, 2

4 değerleri bulunur. Bulunan değerler için kontrolör ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu, F ( s ) = T ( s ) = olarak bulunur. Elde edilen bu kapalı çevrim transfer fonksiyonunun s-düzlemindeki kutup-sıfır dağılımı Şekil.a.2 de verilmiştir. Şekil.a.2 - S düzleminde kutup ve sıfırların konumları Şekil.a.3 te kapalı çevrim sistemin birim basamak cevabı, Şekil.a.4 te ise kontrol işareti görülmektedir. Şekil.a.3 - Birim basamak yanıtı 3

5 Birim basamak yanıtının negatifi için zaman karakteristikleri biçiminde elde edilir. Şekil.a.4 - Kontrol işareti Kutuplar istenilen yerlere yerleştirilmiştir. Bu durumda sistemin birim basamak cevabına bakılıdığında sistemin kabaca negatif kazanca sebep olduğu görülür. Yanıtın negatife gitmesinin sebebi başlıca sebebi noktalarındaki sıfırlardır. Bu yanıta bakarak sistemin aşağıdaki faz çeviren kuvvetlendirici opamp yapısını (Şekil.a.5) andırdığını söyleyebiliriz. Yukarıda zaman tanım bölgesi karakteristiklerinin verilmesi bu sebeptendir. Çünkü bu tipte bir sistem olabileceği düşüncesi bu karakteristikleri anlamlı kılacaktır. V Rf Vi R Şekil.a.5 - Faz çeviren kuvvetlendirici yapısı 4

6 b) Soruda G s 43 2s 3 s 2 s 2 s s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör İlk olarak sisteme F s K z s s p tipinde. derece kontrolör uygulanması amaçlanmıştır. İstenen özelliklerden biri kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatası yapmamasıdır. Bu amaçla kontrolörün integratöre sahip olması için paydasının yalnızca s terimine sahip olması gereklidir. Bu amaçla p= seçilir. Geriye kazanç ve sıfır bilinmeyenlerini bulmak kalır. Kontrolörün sıfırının olmadığı yani sisteme yalnızca integratör eklendiği varsayılırsa bu haliyle sistemin kök eğrisi Şekil.b. de verilmiştir. Root Locus Plot 5 I m s Re s Şekil.b. Kontrolör olarak yalnızca integratörü olan sistemin kök eğrisi Görüleceği üzere sistem küçük kazanç değerleri için kararsız olabilmektedir. Sistemi kararlı yapan K değerlerinin aralığı Routh tablosundan bulunursa, <K<.828 ifadesine ulaşılır. Sisteme eklenecek sıfır kök eğrisinde çıkış açısını arttıracağından sistemi kararlı yapan K aralığını da genişletecektir. Sanal eksenlere yaklaştıkça sıfırın bu etkisi daha fazla olur. Buna karşılık sıfırın sanal eksenlere yakın olması sistemi yavaşlatacaktır. Ayrıca 5

7 sanal eksenlere yakın sıfır, çıkış açısını arttıracağından aynı kazanç değerlerinde kapalı çevrim sistemin eşlenik kutuplarının sanal eksenle yaptıkları açının artmasına dolayısıyla aşımın artmasına sebep olur. Tüm bunlar göz önüne alındığında eklenecek kontrolör sıfırının gerçeklenebilecek kontrolör kazanç değerlerini sağlayacak biçimde sanal eksenden uzak tarafa konması gerektiği sonucuna ulaşılır. Yani asıl kriter kontrolörün kazancının hassasiyetidir. Her koşulda kontrolörün kazancı küçük değerler alacağından ( den küçük) ve kontrolör sıfırının mümkün olduğu kadar uzağa koyulması gerektiği sonucuna ulaşıldığından ötürü bir kazanç değeri belirleyip buna uygun sıfırın yerini bulmak izlenecek yol olarak seçilebilir. Kontrolör kazancını. olarak seçersek kontrolör denklemi F s. s p s halini alır. Kapalı çevrim sistemi kararlı bölgede tutacak p değerleri Routh tablosu yardımıyla <p< olarak bulunur. Bu aralıktan p değerini seçerken dikkat edilmesi gereken husus p üst sınırına yaklaştığında sistemin kararlılık sınırına yaklaşacağı yani osilasyona gireceğidir. p nin alt sınır olan a yaklaşması ise sistemin yavaşlamasına neden olacaktır. Bu iki kıstası göz önünde bulundurursak p nin değer aralığının ortasında seçilmesi uygun görülür. p=4.33 seçilirse kontrolör denkleminin son hali F s. s 4.33 s şeklinde ortaya çıkar. Bu kontrolör sisteme uygulanıp kapalı çevrim sistemin basamak cevabı Şekil.b.2 de verilmiştir. Y t Response Şekil.b.2 -. derece kontrolör uygulanmış sistemin basamak yanıtı 6

8 Sistemde sürekli hal hatası yoktur. Geçici hal kriterlerinden aşım %.5, yerleşme zamanı sn dir. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.3 te görüldüğü gibidir..8 Response Y t Şekil.b.3 -. derece kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinde uygun olmayan herhangi bir etken görülmemektedir. 7

9 ii. 2. Derece Kontrolör Sorunun ikinci adımında sisteme F s K s2 as b s 2 cs d biçiminde bir 2. derece kontrolör eklenmesi istenmiştir. Yine kapalı çevrim sistemden beklenen sürekli hal hatası yapmamasıdır. Sistemin (yani G(s)) kutup-sıfır dağılımı çizdirilirse I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b.4 - Sisteme ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.4 deki grafiğe ulaşılır. Kontrolörden gelecek sıfırların sistemin eşlenik kutuplarının etkisini götürmesi sistemin aşım yapmasını önleyecektir. Fakat sistemin eşlenik kutupları sanal eksene oldukça yakın olduğundan o bölgede kutup-sıfır götürmesi yapmak riskli olacaktır. Bu nedenle Notch filtresi kullanılmalıdır. Notch filtresini sağlayacak kontrolör sıfırlarını eklerken dikkat edilecek 2 husus vardır. Eklenecek eşlenik sıfırların sanal bileşenleri sistemin eşlenik kutuplarının sanal bileşenlerinden daha küçük değerde olmalıdır. Tersi durumda belli kazanç değerleri için sistemin kararsız bölgeye sürüklenme tehlikesi ile karşılaşılır. Eşlenik sıfırların yerinin belirlenmesindeki diğer önemli husus modelleme hatasıdır. Modelleme hatasının büyüklüğüne göre sıfırların kutuplara olan yakınlığı belirlenmelidir. Bu bilgiler ışığında sıfırların yerlerinin belirlenmesi için öncelikle sisteme ait eşlenik kutupların yerleri bulunur ( j). Modelleme hatasının yüksek olmadığı varsayılarak kontrolör sıfırlarının yerleri j olarak belirlenebilir. Bunun yanında sistemin sürekli hal hatası yapmaması için bir kutbunun orijinde olması gerektiği göz önüne alınırsa kontrolör F s K s i s i s s a 8

10 halini alır. Kontrolörün diğer kutbunun yerini belirlemek amacıyla kontrolörün yalnızca orijinde kutbu varmış gibi düşünülürse Şekil.b.5 teki kök eğrisine ulaşılır. Şekil.b.5 - Kontrolör olarak yalnızca integratör eklenmiş sistemin kök eğrisi Kontrolörün serbest kutbunun yeri bu kök eğrisi üzerinden yorumlanarak bulunabilir. Baskın bölgede nereye koyulursa koyulsun iki kutup arasında kopma meydana getirip kontrolörün sıfırlarına etkiyeceğinden baskın bölgeye koymak Notch filtresini etkisiz hale getirecektir. Bu duruma bir örnek Şekil.b.6 teki kök eğrisinden görülebilir. 9

11 Şekil.b.6 - Baskın bölgede kontrolör kutbunun etkisi Görüldüğü gibi Notch filtresinin etkisi yok olmuş, sistem belli kazanç değerleri için kararsız hale gelmiştir. Sistemi kararlı yapacak K değer aralığının geniş olması isteniyorsa kontrolör kutbu baskın olmayan bölgeye atanmalıdır. Baskın olmayan bölgede kutup sola çekildiğinde sistem hızlanmaktadır fakat buna karşılık kontrol işareti ani bir şekilde yüksek değerlere çıkar. Tersi yapılıp baskın olmayan bölgede kutup sağa doğru yaklaştırılırsa sistem yavaşlar fakat kontrol işareti nispeten küçük değerler alır. Kontrolör kutbu kontrol işaretinin değerini yüksek tutmayacak ve sistemin hızına çok etki etmeyecek bir yere atanmak istenirse - uygun bir yer olarak seçilebilir. Bu durumda kontrolör denklemi F s K s s s s halini alır. Routh tablosunu kullanarak sistemin <K<5.535 kazanç aralığında kararlı olduğu görülür. Bu halde sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.7 de görüldüğü gibidir.

12 Şekil.b.7-2. derece kontrolör uygulanmış sistemin kök eğrisi Kazancı 5 e yakın tutmak kontrolör işaretinin değerini yükseltmenin yanında sanal eksene yakın bölgede eşlenik kutupların olmasına yol açacaktır. Bununla beraber sanal eksene yakın kutuplar sistemin hızını da düşüreceğinden kazancın sistem kararlı bölgede olacak biçimde yüksek alınmaması gerektiği sonucuna ulaşılır. Bununla beraber düşük kazanç değerlerinde orijindeki kutup fazla hareket etmeyeceğinden yine sistemin yavaşlaması söz konusu olur. Sistemin küçük aşımları tolere edemediği varsayılıp kazancın kutupları kopma noktasına getirmesi istenirse kazancın.7 olması gerektiği hesaplanabilir. Bu son durumda kontrolör denklemi s s F s.7 s s şeklindedir. Bu kontrolör sisteme eklenip kapalı çevrim sistemin basamak cevabına bakılırsa Şekil 5 teki eğri elde edilir.

13 Y t Response Şekil.b.8 - Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Sistemin geçici hal yanıtları % aşım ve 3.8 sn yerleşme zamanı halindedir. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.9 dan görüldüğü gibidir. Y t Response Şekil.b.9 - Kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinin ani bir şekilde.4 e çıktığı ve yine ani bir biçimde.2 dolaylarına indiği görülmektedir. Söz konusu sistemin karakterine göre bu işaret zarar verici olabileceği gibi sistemde herhangi bir yıpratıcı etki göstermeyebilir. Kazanç değeri yükseltilerek bir miktar aşım yapan hızlı sistemlere ulaşılabilir. Bu tip sistemlerde kontrolör işaretinin değeri daha yüksek olacaktır. Bunun yanında kazanç değeri düşürülerek aşımsız ancak nispeten yavaş sistemler elde edilir. Bu kazanç değerlerinde kontrolör işaretinin değeri de düşük olacağından sisteme daha az zarar verecektir. 2

14 iii. 3. Derece Kontrolör Sisteme bir üçüncü dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Yine köklerin yer eğrisi üzerinde tasarım yapılacaktır. Beklenen uygun geçici hal kriterlerinin sağlanması ve sürekli hal hatasının ortadan kaldırılmasıdır. F s K n 3 s 3 n 2 s 2 n s n d 3 s 3 d 2 s 2 d s d G(s) sisteminin kök eğrisi çizildiğinde görülür ki sanal eşlenik kutup çiftine sahiptir. Bu baskın kutup çiftinden gelen kopmaların sağ yarı düzleme geçmesini engelleyecek bir yapı esastır. Notch filtresi yaklaşımı kullanılırsa bu kutupları çok yakın sanal sıfır çifti eklemek uygun olur. Böylece <K< aralığında kök eğrisi, sağ yazı düzleme geçmeden yörüngesini bu kutup-sıfır çifti üzerinden tamamlayabilir. G(s) sistemine ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b. da verilmiştir. I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b. - G(s) kutup sıfır dağılımı Sürekli hal hatasını engellemek için orijine bir kutup eklenebilir. Şu halde görülür ki kapalı çevrim kutuplarının 4 tanesi baskın bölgededir. Bunlardan ikisi sanal eşlenik kutular olmak ile birlikte diğer ikisi reel eksen üzerinde yer almaktadır. Kalan kutuplar baskın olmayan bölgede uygun şekilde konumlandırılmalıdır. Faz gerilemeli kontrolör prensibi ile kutup ve sıfır çifti eklenecektir. Açık çevrim sistemin reel eksen üzerinde bulunan -2.5 sıfırı ve -3 kutbu arasına bir kutup yerleştirilir. Bu durumda eklenen kutup ile -3 te bulunan kutup arasında bir kopma meydana gelecektir. Fakat bu kopma Notch yapısını olumsuz etkiler; öyle ki sistemin kutuplarından çıkan kollar küçük bir K alığının ardından sağ yarı düzleme girerler. Bunu önlemek, yani Notch yapısını bozmamak için, kopma noktasındaki çıkış açısını 3

15 ayarlamak üzere faz gerilemeli kontrolörün sıfırı, -3 kutbunun sol tarafına eklenir. Böylelikle giriş- çıkış açıları uygun bir şekilde ayarlanmış olur ve baskın kutupların daha büyük bir K kazancında sol yarı düzlemde kalmaları sağlanır. Sistemi bir miktar hızlandırmak için baskın olmayan bölgeye bir kutup eklemek uygundur. Uzaklığı ayarlanırken -2 deki kutup ile arasında gerçekleşecek olan kopmadaki çıkış açısına dikkat edilmelidir. Neticede bu açı, kazanç aralığı üzerinde etkili olur. Aynı zamanda kontrol işaretinin durumu da göz önüne alınmalıdır. Şekil.b. de kutup ve sıfırları bu şekilde belirlenmiş olan kontrolörün eklendiği sistemin kök eğrisi verilmiştir. 25 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis Şekil.b. - Kontrolör orjin ve -3.5 teki kutupları ile kök eğrisi Kazanç değeri geçici hal yanıtı üzerinde etkilidir. Sistemin %2lik bant içinde kalmasını ve hızlı yanıt alınmasını sağlayacak bir K değeri belirlenmelidir. Sistemin <K<25.4 değerleri arasında kararlı olduğu görülür. Uygun K değeri 2 olarak belirlenebilir. Sonuç olarak elde edilen kontrolör şu şekildedir: F s 2 s 3.7 s s s s 8 s

16 Nihayetinde, G(s)*F(s) ileri yol transfer fonksiyonunun kök eğrisi çizilirse Şekil.b.2 de verilen kök eğrisine ulaşılır. 4 Root Locus Editor (C) 3 2 Imag Axis Real Axis Şekil.b.2 - F(s)G(s) transfer fonksiyonu kök eğrisi Şekil.b.3 te verilen sistemin birim basamak girişine verdiği yanıt incelenirse görülür ki aşım olmamakta ve sistem.74s de oturmaktadır. Sürekli hal hatası ortadan kaldırılmıştır. 5

17 .4 Step Response Amplitude System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Final Value: (sec) Şekil.b.3- Kapalı çevrim birim basamak yanıtı Şekil.b.4 te birim basamak girişine karşılık alınan kontrol işareti gösterilmiştir. Bu işaret incelendiği takdirde yerleşme zamanının.93 sn olduğu görülür. Kontrol işareti asimptotik olarak kararlıdır. 3 Step Response System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec): Amplitude.5.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Final Value: (sec) Şekil.b.4 - Kontrol işareti 6

18 iv. PID Kontrolör Kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatasını giderecek uygun aşım yerleşme zamanı değerlerini veren PID kontrolör tasarlanacaktır. Başlangıç noktası olması amacıyla aşım ve yerleşme zamanı kriterleri için sonuçlar bulunmuştur. Ancak bunlar arasında sisteme göre tercih edilebilecek ikisi anlatılacaktır. Tasarımda aşımın mümkünse sıfır olması, kabul edilebilir mertebede kalması şartıyla yerleşme zamanı üzerine baskın kriter olarak kabul edilmiştir. Kontrolörün yapısı, F ( s ) = elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu, T ( s ) = Bu verilerden bulunan baskın kutup polinomu, baskın olmayan kutupları gösterecek rezidü polinomu kapalı çevrim paydasının derecesi göz önünde bulundurularak, olarak belirlenebilir. Bu iki polinomun çarpımı kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına eşitlenir ve 6 bilinmeyen 5 denklem olması sebebi ile değişkenlerden cinsinden çözülür ise, 7

19 Çözümü kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına uygulayarak Routh kriteri ile kararlılık analizi yapılırsa, koşulu bulunur. Değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d. de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d. - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri 2.88 değeri için aşımsız bir sonuç elde edildiği ve bu değer için yerleşme zamanının.6687 saniye olduğu görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak elde edilir. Bu kontrolürün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.5 te verilmiştir. Şekil. Birim basamak yanıtı Şekil.b.5 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı 8

20 Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri olarak bulunur. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.6 de verildiği gibidir. Şekil.b.6 - Kontrol işareti Görüldüğü üzere aşım ve yerleşme zamanı bakımından tatmin edici sonuçlar elde edilmiştir. Ancak basamak yanıtındaki yaklaşık %2 ye varan hareketlilik bazı sistemler için istenmeyen bir durum olabilir. Bu nedenle bahsedilen hareketliliği olabildiğince azaltacak ve yerleşme zamanını yüksek değerlere çıkarmayacak bir diğer kontrolör önerilebilir. 9

21 için bulunan baskın kutup polinomu, ve rezidü polinomu, için yukarıdaki gibi karakteristik polinoma eşitleme ile bulunan değerler cinsinden, olarak bulunur. Routh tablosundan aynı kısıtı elde edilmektedir. Yeni durumda değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d.2 de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d.2 - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri nin.95 değeri için çok az bir aşımın olduğu ve yerleşme zamanının ise.96 saniye gibi kabul edilebilir mertebede kaldığı görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak bulunur. Bu kontrolörün uygulandığı kapalı çevrim sistemin basamak girişe olan yanıtı Şekil.b.7 de verildiği gibidir. 2

22 Şekil.b.7 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri şeklindedir. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.8 de verilmiştir. 2

23 Şekil.b.8 - Kontrol işareti Açık çevrimde sistemin kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.9 da verildiği gibidir. Şekil.b.9 - Açık çevrim kutup ve sıfırların yerleri Sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.2 de verilmiştir. Şekil.b.2 - Değişen kazanç değerleri için kutupların hareketleri 2. yanıt üzerinde hareket ederek MATLAB SISOTool yardımı ile optimal bir sonuç aransın. Önceki sayfada bulunan kök eğrisine bakıldığında şöyle bir yorum yapılabilir. Eklenecek iki adet kontrolör sıfırının eşlenik olması ve eşlenik kutuplara yakın olması bu iki 22

24 kutbun baskın tutulmasını sağlayacak ve olumlu sonuç getirecektir. Çünkü kutuplar artan kazanç değeri ile hareketleri boyunca kısa bir yol alacak; fakat reel eksen üzerindeki kutup, artan kazanç değerleri ile daha hızlı hareket ederek, baskın kutup bölgesi olarak tanımlanabilecek eşlenik kutup reel kısımları civarından hızlı bir şekilde uzaklaşacaktır. Buna katkıda bulunacak bir başka durum ise eklenecek eşlenik sıfırları, kutupların sağ tarafında seçmek olacaktır. Böylece kutupların ilk konumlarından çıkış açıları arttırılmış olacak ve böylelikle artan kazanç değerleri için eşlenik kutupların reel eksen üzerindeki kutuptan uzaklaşmasını kolaylaştıracaktır. Ancak bu esnada aşım artacaktır. Bu durum Şekil.b.2 ve Şekil.b.22 den izlenebilmektedir. Şekil.b.2 - Herhangi bir kazanç değeri için sıfırın kutbun solunda olması Şekil.b.22 - Aynı kazanç değeri için sıfırın kutbun sağında bulunması 23

25 Buradan hareketle SISO Tool üzerinden yapılan tasarım aşağıda görülmektedir. Sürekli hal hatasını engellemek için sıfıra bir kutup yerleştirilmiştir. Eşlenik sıfırın eşlenik kutbun neresine yerleştirildiğinin daha net görülebilmesi için kutup civarına yakınlaşılmıştır. Tasarım yapılırken birim basamak yanıtında hareketlilik en az yapılmaya çalışılmıştır, ayrıca eklenen sıfırın sanal eksene yaklaşması sebebi ile meydana gelecek aşımın da olabildiğince az olması istenmiştir. Burada bulunan kontrolör, F ( s ) = biçimindedir. Bu kontrolörün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.23 teki gibidir. Şekil.b.23 - Kutup atama ile PID tasarım sonucu Bu durumda kontrol işareti Şekil.b.24 te verilmiştir. 24

26 Şekil.b.24 - Kutup atama PID tasarım kontrol işareti 25

27 c) Soruda istenilen geçici hal kriterleri %3 aşım ve 2 sn yerleşme zamanını ve sürekli hal kriteri olan sıfır sürekli hal hatasını sağlayacak 2. derece transfer fonksiyonu hesaplanırsa ln Aşım 2 ln Aşım 2 w n 4 2 w n w 2 n T s s 2 2 w n s w n 2 T s s s 2 ifadesi elde edilir. Kapalı çevrim sistemin basamak cevabını incelenirse Şekil.c. deki eğriye ulaşılır. Response.8 Y t Şekil.c. - %3 aşım, 2 sn yerleşme kriterlerini sağlayan sistemin basamak yanıtı Burada yerleşme zamanı 2.5 sn, aşım %3 ve sürekli hal hatası sıfırdır. Yerleşme zamanı istenilene oldukça yakındır. ve w n değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerin tam değerler vermemesinden ötürü bu ufak fark meydana çıkmıştır. Pek çok sistem için bu fark tolere edilebilecek seviyededir. Bu kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ulaşmayı sağlayacak F(s) kontrolörü eşitliğinden elde edilebilir. Buradan T s F s G s G s T s 26

28 F s s s2.537s s 4 72s 23 s 2 2s 3 şeklindeki kontrolör denklemine ulaşılır. Görüldüğü üzere elde edilen kontrolör nedensel değildir yani gerçeklenemez. İstenen kriterlere bağlı kalmak kaydıyla kontrolörü nedensel yapmak için kontrolörün pay ve paydasının derecelerinin nelere bağlı olduğu araştırılırsa. T s sa s b, F s sa c d s b s a G s sc s d sonucuna ulaşılır. Burada sistemin payının derecesinin c=, paydasının derecesinin d=4 olduğu ve kontrolörün nedensel olması için payının derecesinin paydasının derecesinden küçük ya da eşit olması gerektiği göz önüne alınırsa 3 b-a eşitsizliğine ulaşılır. Yani gerçeklenebilir bir kontrolör tasarlayabilmek için kapalı çevrim fonksiyonunun paydasının derecesi ile payının derecesi arasında en az 3 fark olmalıdır. Bunu sağlamak ve istenilen cevabı edebilmek için kapalı çevrim transfer fonksiyonunun ifadesinde baskın olmayan tarafa (-2) bir kutup eklenir ve sürekli hal hatasını sıfırda tutacak şekilde kazanç değiştirilirse T s s 24s 2 s 3 F s s s s s s s 2 523s 3 2s 4 kontrolörü elde edilir. Bu nedensel bir ifadedir ve fiziksel bir karşılığı vardır. Sistemin basamak cevabı Şekil.c.2 deki gibidir. Response.8 Y t Şekil.c.2 - Nedensel hale getirilmiş kontrolörün uygulandığı sistemin basamak yanıtı 27

29 Burada sürekli hal hatası yoktur ve aşım %3, yerleşme zamanı 2.2 sn dir. Görüleceği üzere sisteme eklenen baskın olmayan kutup yalnızca yerleşme zamanında ufak bir artışa sebep olmuştur. Bu artışı azaltmak eklenen kutbu daha uzaklara koymakla ya da yine baskın olmayan tarafa yeni bir kutup eklemekle mümkündür. Burada dikkat edilecek husus kapalı çevrim transfer fonksiyonuna eklenen her kutbun kontrolörün derecesini arttırdığı yani gerçeklenebilirliği zorlaştırdığı ve maliyeti yükselttiği gerçeğidir. Elde edilen kontrolörün çıkış işareti incelenirse Şekil.c.3 teki eğri elde edilir. Response.4.2 Y t Şekil.c.3 - Kontrolörün basamak yanıtı Burada çok hızlı (yaklaşık.5 sn) bir ters aşım söz konusudur ve sistemin karakterine göre bu olumsuz bir sonuç doğurabilir. Bu sorun, atanan baskın olmayan kutbu sanal eksene doğru çekerek bir nebze giderilebilir. 28

30 d) PI-PD Kontrolör Bulunan PID kontrolörlerden yola çıkarak PI-PD tasarlanacaktır. Kontrolörlerden ilk bulunan PID kontrolör katsayıları en iyi PI-PD sonucunu vermiştir. Hatırlanacağı üzere PID kontrolör şu şekilde bulunmuştu: F ( s ) = Ki: Kd: Kp: G ( ) PD s = GPI ( s ) = Buradan bulunan kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir: T ( s ) = Yukarıdaki Ki ve Kd katsayıları yerine yazıldığında, T ( s ) = Kpi ve Kpd katsayıları, toplamları sabit ve PID kontrolörün Kp katsayısı olacak ve PI kontrolörün sıfırını uygun noktaya çekecek şekilde seçilir. Artan Kpi değerleri için bu sıfır baskın kutup bölgesine yaklaşacaktır. Bu da aşımı arttıracaktır. Tasarımda genel olarak aşımın yerleşme zamanının uygun mertebelerde tutularak minimum tutulması amaçlandığı için bu sıfırın 29

31 baskın kutuplardan uzakta olduğu herhangi bir Kpi-Kpd kombinasyonu yeterli olacaktır. Mathematica da çeşitli Kpi değerleri için yapılan tablodan aşağıdaki sonuç uygun bulunmuştur. Kpi=. Kpd= GPD( s ) = , GPI ( s ) = /s Bu değerler için kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı ve kontrol işareti sırasıyla Şekil.d. ve Şekil.d.2 de verilmiştir. Şekil.d. - PI-PD kontrolör için sistemin birim basamak yanıtı 3

32 Şekil.d.2 - Kontrol işareti Görüleceği üzere kontrol işareti uygundur. Çünkü hem yüksek değerlere ulaşılmamaktadır hem de çok hızlı değişimler görülmemektedir. Bu durumda elde edilen kapalı çevrim sisteme ait geçici hal kriterleri olarak bulunur. 3

33 karşılaştıralım. A seçeneği: e) Sistem için en uygun kontrolörü seçmek için elde edilen tüm kontrolörleri Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği. dereceden kontrolör: Response Response.8.8 Y t Y t Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 32

34 B seçeneği 2. dereceden kontrolör: Response.4 Response.8.2 Y t Y t Şekil.e.5 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.6 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği 3. dereceden kontrolör:.4 Step Response 3 Step Response.2 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec):.8 Final Value: Amplitude.6 Amplitude.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93.4 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u.2.5 Final Value: (sec) (sec) Şekil.e.7 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.8 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği PID kontrolör: Şekil.e.9 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e. - Sisteme uygulanan kontrol işareti 33

35 C seçeneği model eşleme ile bulunun kontrolör:.8 Response.4 Response Y t.6.4 Y t Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti D seçeneği PI-PD kontrolör: Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti Sırasıyla tüm bu eğriler ve zaman tanım bölgesi incelemeleri karşılaştırıldığında PI- PD kontrolörün hem kontrol işareti açısından hem de birim basamak işareti açısından en olumlu sonucu verdiği görülebilir. 34

36 2. a) Soruda G s s.5 s 2 s 2 s s 2 şeklinde verilen sistem için, kapalı çevrim sistem kutuplarını, n 6 olmak üzere, 2±2j, -3, -4, -5, *n, *n noktalarına atayan 3. dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Böyle bir kontrolör yapısı aşağıdaki gibi verilebilir: Bu kontrolör yapısından hareketle sırasıyla ileri yol transfer fonksiyonu ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu bulunabilir. Kapalı çevrim transfer fonksiyonundan hareketle bulunan karakteristik polinom, verilen köklerle oluşturulan tasarım karakteristik polinomuna eşitlenerek kontrolör bilinmeyenleri bulunabilir. Bu bilinmeyenler yerine konduğunda 3. Dereceden kontrolör aşağıdaki gibi çıkar: çevrim sistem Bu kontrolör ödevde verilen sistem blok diyagramında yerine konduğunda kapalı şeklinde bulunur. Kontrolörün integratörü olmadığından sürekli hal hatası yapacaktır. Kapalı çevrim sistemin kutup sıfır dağılımı Şekil 2.a. de verilmiştir. 35

37 Şekil 2.a. - Kapalı çevrim sistem kutuplarının ve sıfırlarının dağılımı Sisteme göre sağ tarafta 3 tane sıfır var bu yüzden sistemin ölü zamanı olan sistemler gibi uzun süre referansı takip edemez. Yine sistemin baskın kutup bölgesinde eşlenik kutupları ile reel eksende kutupları vardır. Eşlenik kutuplar bir miktar osilasyona neden olabilir gibi görünse de onlardan çok daha fazla sayıda ve baskın kutup bölgesinde bulunan reel eksendeki kutuplar sistemin bu osilasyonunun fazla olmasını engelleyecektir ve çok az bir aşım ile sistem referanstan daha büyük bir değerde oturacaktır. Nitekim kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı ise Şekil 2.a.2 de verildiği gibidir. Şekil 2.a.2 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Bu cevap ise yukarıda bahsi geçen öngörüler ile uyuşmaktadır. Kapalı çevrim sistemin geçici hal kriterleri aşağıda verilmiştir. SteadyStateError DomainCharacteristics Settling (Ts) : sec Overshoot (Tp): sec Overshoot :.6558 Delay (Td) :.797 sec Rise (Tr) : sec 36

38 Kontrol işareti ise Şekil 2.a.3 te verilmiştir. 4 Response 2 Y t Şekil 2.a.3 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 37

39 b) Soruda G s 2 s 3.6 s.5 s^2 s 2 s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör Sorunun ilk adımında beklenen, sürekli hal hatasını giderecek ve uygun geçici hal yanıtlarını verecek bir. dereceden bir kontrolör tasarlanmasıdır. F s K n s n d s d G(s) transfer fonksiyonunun kutup ve sıfırlarının yeri Şekil 2.b. de verilmiştir. Bu dağılım incelendiğinde sistemin sağ yarı düzlemde kutup ve sıfırının olduğu görülür. 3 2 Pole Zero Map I m s Re s Şekil 2.b.- G(s) kutup- sıfır dağılımı <K< yani pozitif kazanç değerleri için kök eğrisi incelendiğinde görülür ki sağ yarı düzlemdeki kutup- sıfır arasındaki bölge nedeniyle, orijine yakın kapalı çevrim kökleri gelecektir. Nitekim G(s) sistemi için Routh tablosu oluşturulur ve hangi K değerleri için kararlı olduğu bulunursa <K< aralığında kalmak gerektiği görülür. Şekil 2.b.2 ve Şekil 2.b.3 te sırasıyla pozitif kazanç ve negatif kazanç değerleri için çizilen kök eğrileri görülmektedir. Routh tablosu ile çıkarılan sonuçla uyumlu olarak, kimi negatif kazanç değerlerinde kapalı çevrimin kutuplarının sol yarı düzlemde kaldığı kök eğrisinden de görülmektedir. 38

40 3 Root Locus Editor (C) 2 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.2- G(s) transfer fonksiyonunun pozitif kök eğrisi 2 Root Locus Editor (C) 5 5 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.3 - G(s) transfer fonkiyonunun negatif kök eğrisi 39

Elektrik - Elektronik Fakültesi

Elektrik - Elektronik Fakültesi . Elektrik - Elektronik Fakültesi KON314 Kontrol Sistem Tasar m Ödev #1 Birol Çapa-4645 Doç. Dr. Mehmet Turan Söylemez 23.3.29 1 1.a.Amaç Transfer fonksiyonu ( n 1 ve n üzerine konulan bir kontrolör ile

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ 1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde;

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Analizi

Kontrol Sistemlerinin Analizi Sistemlerin analizi Kontrol Sistemlerinin Analizi Otomatik kontrol mühendisinin görevi sisteme uygun kontrolör tasarlamaktır. Bunun için öncelikle sistemin analiz edilmesi gerekir. Bunun için test sinyalleri

Detaylı

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI:

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: ELN35 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: Control System Toolbox içinde dinamik sistemlerin transfer fonksiyonlarını tanımlamak için tf,

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım GİRİŞ Kök-yer eğrisi bize grafik olarak sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi verir. Sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi almak

Detaylı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Bölüm 4 Sayısal Kontrolör Tasarımı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Bölüm 4 Sayısal Kontrolör Tasarımı Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Bölüm 4 Sayısal Kontrolör Tasarımı İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 72 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Tasarım Yöntemlerine

Detaylı

SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ

SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ AUTOMATIC CONTROL TELELAB (ACT) ile UZAKTAN KONTROL DENEYLERİ Automatic Control Telelab (ACT), kontrol deneylerinin uzaktan yapılmasını sağlayan web tabanlı bir sistemdir. Web

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU

KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU B. HACIBEKİROĞLU, Y. GÖKÇE, S. ERTUNÇ, B. AKAY Ankara Üniversitesi, Mühendislik

Detaylı

Ders Notlarının Creative Commons lisansı Feza BUZLUCA ya aittir. Lisans: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Ders Notlarının Creative Commons lisansı Feza BUZLUCA ya aittir. Lisans: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ Eşzamanlı (Senkron) Ardışıl Devrelerin Tasarlanması (Design) Bir ardışıl devrenin tasarlanması, çözülecek olan problemin sözle anlatımıyla (senaryo) başlar. Bundan sonra aşağıda açıklanan aşamalardan geçilerek

Detaylı

(Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK KONTROLÜ. DENEY SORUMLUSU Arş.Gör.

(Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK KONTROLÜ. DENEY SORUMLUSU Arş.Gör. T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1 (Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK

Detaylı

ÇOKLU ALT SİSTEMLERİN SADELEŞTİRİLMESİ

ÇOKLU ALT SİSTEMLERİN SADELEŞTİRİLMESİ 73 BÖLÜM 5 ÇOKLU ALT SİSTEMLERİN SADELEŞTİRİLMESİ 5. Blok Diyagramları Blok diyagramları genellikle frekan domenindeki analizlerde kullanılır. Şekil 5. de çoklu alt-itemlerde kullanılan blok diyagramları

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Contents. Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları

Contents. Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları Contents Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları DC motor modelinin matematiksel temelleri DC motor modelinin durum uzayı olarak gerçeklenmesi Kontrolcü tasarımı ve değerlendirilmesi Oransal

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELĐŞTĐRME PROJESĐ. 1. Endüstride kullanılan Otomatik Kontrolun temel kavramlarını açıklayabilme.

MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELĐŞTĐRME PROJESĐ. 1. Endüstride kullanılan Otomatik Kontrolun temel kavramlarını açıklayabilme. PROGRAMIN ADI DERSĐN ADI DERSĐN ĐŞLENECEĞĐ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATĐ DERSĐN SÜRESĐ ENDÜSTRĐYEL OTOMASYON SÜREÇ KONTROL 2. Yıl III. Yarıyıl 4 (Teori: 3, Uygulama: 1, Kredi:4) 56 Saat AMAÇLAR 1. Endüstride

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

6. Bölüm: Alan Etkili Transistörler. Doç. Dr. Ersan KABALCI

6. Bölüm: Alan Etkili Transistörler. Doç. Dr. Ersan KABALCI 6. Bölüm: Alan Etkili Transistörler Doç. Dr. Ersan KABALCI 1 FET FETler (Alan etkili transistörler) BJTlere çok benzer yapıdadır. Benzerlikleri: Yükselteçler Anahtarlama devreleri Empedans uygunlaştırma

Detaylı

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir.

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. ALTERNATiF AKIM Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. Doğru akım ve alternatif akım devrelerinde akım yönleri şekilde görüldüğü

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

MAKİNE ELEMANLARI DERS SLAYTLARI

MAKİNE ELEMANLARI DERS SLAYTLARI MAKİNE ELEMANLARI DERS SLAYTLARI YORULMA P r o f. D r. İ r f a n K A Y M A Z P r o f. D r. A k g ü n A L S A R A N A r ş. G ör. İ l y a s H A C I S A L İ HOĞ LU Aloha Havayolları Uçuş 243: Hilo dan Honolulu

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RASTGELE BİR SİNYAL Gürültü rastgele bir sinyal olduğu için herhangi bir zamandaki değerini tahmin etmek imkansızdır. Bu sebeple tekrarlayan sinyallerde de kullandığımız ortalama

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI Örnek 9: Aşağıdaki açık çevrim blok diyagramının transfer fonksiyonunu bulunuz? 2 BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME

Detaylı

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ Bu bölüme kadar anlatılan yöntemler zaman içinde değişmeyen parametre varsayımına uygun serilerin tahminlerinde kullanılmaktaydı. Bu tür seriler deterministik

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir.

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. Küçük Sinyal Analizi Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. 1. Karma (hibrid) model 2. r e model Üretici firmalar bilgi sayfalarında belirli bir çalışma

Detaylı

RULMANLI VE KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME VE DİNAMİK DAVRANIŞ DENEY FÖYÜ

RULMANLI VE KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME VE DİNAMİK DAVRANIŞ DENEY FÖYÜ T.C. ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ RULMANLI VE KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME VE DİNAMİK DAVRANIŞ DENEY FÖYÜ HAZIRLAYANLAR Prof. Dr. Erdem KOÇ Arş.Gör. Mahmut

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken)

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken) KTÜ Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Sayısal Elektronik Laboratuarı DOĞRULTUCULAR Günümüzde bilgisayarlar başta olmak üzere bir çok elektronik cihazı doğru akımla çalıştığı bilinen

Detaylı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 50 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Sürekli ve Ayrık Kontrol Problemlerinin Tanımı Ayrık Zamanlı

Detaylı

EK 4 PRİMER FREKANS KONTROLÜ

EK 4 PRİMER FREKANS KONTROLÜ EK 4 PRİMER FREKANS KONTROLÜ E.4.1. Amaç Üretici, primer frekans kontrolü yükümlülüğü kapsamında, Elektrik Enerjisi üretim ve tüketimin birbirine eşit olmaması durumunda sapmaya uğrayan sistem frekansını,

Detaylı

SİSTEM ANALİZİ ve TASARIMI. ÖN İNCELEME ve FİZİBİLİTE

SİSTEM ANALİZİ ve TASARIMI. ÖN İNCELEME ve FİZİBİLİTE SİSTEM ANALİZİ ve TASARIMI ÖN İNCELEME ve FİZİBİLİTE Sistem Tasarım ve Analiz Aşamaları Ön İnceleme Fizibilite Sistem Analizi Sistem Tasarımı Sistem Gerçekleştirme Sistem Operasyon ve Destek ÖN İNCELEME

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Bilgisayar Grafikleri

Bilgisayar Grafikleri Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü

Detaylı

Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü

Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü Bir çok pratik sistemde sıcaklığın belli bir değerde sabit tutulması gerekir. Oda sıcaklığı kontrolü, kimyasal reaksiyonlar ve standart ürün alınması

Detaylı

22. Ölçü ve Kot Eklemek

22. Ölçü ve Kot Eklemek 22. Ölçü ve Kot Eklemek Bu Konuda Öğrenilecekler: Ölçülendirme birimi ve hassasiyetini ayarlamak Doğrusal ölçülendirme aracı geçerli ayarları ile çalışmak Doğrusal ölçülendirme çizgisi oluşturmak Mevcut

Detaylı

Yapı Sistemlerinde Elverişsiz Yüklemeler:

Yapı Sistemlerinde Elverişsiz Yüklemeler: Yapı Sistemlerinde Elverişsiz Yüklemeler: Yapılara etkiyen yükler ile ilgili çeşitli sınıflama tipleri vardır. Bu sınıflamalarda biri de yapı yükleri ve ilave yükler olarak yapılan sınıflamadır. Bu sınıflama;

Detaylı

Havuz Modelleme. Bina Tasarım Sistemi. www.probina.com.tr. Prota Yazılım Ltd. Şti.

Havuz Modelleme. Bina Tasarım Sistemi. www.probina.com.tr. Prota Yazılım Ltd. Şti. Bina Tasarım Sistemi Havuz Modelleme [ Probina Orion Bina Tasarım Sistemi, betonarme bina sistemlerinin analizini ve tasarımını gerçekleştirerek tüm detay çizimlerini otomatik olarak hazırlayan bütünleşik

Detaylı

Selçuk Üniversitesi 26 Aralık, 2013 Beyşehir Turizm Fakültesi-Konaklama İşletmeciliği Genel Ekonomi Dr. Alper Sönmez. Soru Seti 3

Selçuk Üniversitesi 26 Aralık, 2013 Beyşehir Turizm Fakültesi-Konaklama İşletmeciliği Genel Ekonomi Dr. Alper Sönmez. Soru Seti 3 Soru Seti 3 1) Q D = 100 2P talep denklemi ve Q S = P 20 arz denklemi verilmiştir. Üretici ve tüketici rantlarını hesaplayınız. Cevap: Öncelikle arz ve talep denklemlerini eşitleyerek denge fiyat ve miktarı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? 7. MALİYETLER 193 Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? 7.1. Kısa Dönem Firma Maliyetleri 7.1.1. Toplam Sabit Maliyetler 7.1.2. Değişken Maliyetler 7.1.3. Toplam Maliyetler (TC) 7.1.4. Marjinal Maliyet (MC) 7.1.5.

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

Proje/Sipariş/İş Emri (PSI) Bazında Maliyet Analizi

Proje/Sipariş/İş Emri (PSI) Bazında Maliyet Analizi Proje/Sipariş/İş Emri (PSI) Bazında Maliyet Analizi Amaç ve Fayda Bilindiği gibi mamul maliyetleri direkt hammadde (direkt ilk madde ve ambalaj), direkt işçilik ve genel üretim giderlerinden oluşmaktadır.

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı

DENEY 3 HAVALI KONUM KONTROL SİSTEMİ DENEY FÖYÜ

DENEY 3 HAVALI KONUM KONTROL SİSTEMİ DENEY FÖYÜ DENEY 3 HAVALI KONUM KONTROL SİSTEMİ DENEY FÖYÜ 1. Deneyin Amacı Bu deneyde, bir fiziksel sistem verildiğinde, bu sistemi kontrol etmek için temelde hangi adımların izlenmesi gerektiğinin kavranması amaçlanmaktadır.

Detaylı

Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı. Doç.Dr. Bilge Doran

Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı. Doç.Dr. Bilge Doran Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı Dersin Adı : Yapı Mühendisliğinde Bilgisayar Uygulamaları Koordinatörü : Doç.Dr.Bilge DORAN Öğretim Üyeleri/Elemanları: Dr. Sema NOYAN ALACALI,

Detaylı

MAKİNE ELEMANLARI DERS SLAYTLARI

MAKİNE ELEMANLARI DERS SLAYTLARI MAKİNE ELEMANLARI DERS SLAYTLARI TOLERANSLAR P r o f. D r. İ r f a n K A Y M A Z P r o f. D r. A k g ü n A L S A R A N A r ş. G ör. İ l y a s H A C I S A L I H O Ğ LU Tolerans Gereksinimi? Tasarım ve üretim

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

BÖLÜM 5 OTOMATİK KONTROL FORMLARI 5.1 AÇIK KAPALI KONTROL (ON-OFF) BİLGİSAYARLI KONTROL

BÖLÜM 5 OTOMATİK KONTROL FORMLARI 5.1 AÇIK KAPALI KONTROL (ON-OFF) BİLGİSAYARLI KONTROL BÖLÜM 5 OTOMATİK KONTROL FORMLARI Otomatik kontrolda, kontrol edici cihazın, set değeri etrafında gereken hassasiyetle çalışırken, hatayı gereken oranda minimuma indirecek çeşitli kontrol formları vardır.

Detaylı

KIRCHOFF'UN AKIMLAR VE GERĠLĠMLER YASASININ DENEYSEL SAĞLANMASI

KIRCHOFF'UN AKIMLAR VE GERĠLĠMLER YASASININ DENEYSEL SAĞLANMASI K.T.Ü ElektrikElektronik Müh.Böl. Temel Elektrik Laboratuarı I KICHOFF'UN KIML E GEĠLĠMLE YSSININ DENEYSEL SĞLNMSI KICHOFF'UN KIML YSSI: Bir elektrik devresinde, bir düğümde bulunan kollara ilişkin akımların

Detaylı

Deney 21 PID Denetleyici (I)

Deney 21 PID Denetleyici (I) Deney 21 PID Denetleyici (I) DENEYİN AMACI 1. Ziegler ve Nichols ayarlama kuralı I i kullanarak PID enetleyici parametrelerini belirlemek. 2. PID enetleyici parametrelerinin ince ayarını yapmak. GENEL

Detaylı

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr.

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr. Der #9 Otomatik Kontrol Kararlılık (Stability) 1 Kararlılık, geçici rejim cevabı ve ürekli hal hataı gibi kontrol taarımcıının üç temel unurundan en önemli olanıdır. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

OTOMATİK KONTROL 18.10.2015

OTOMATİK KONTROL 18.10.2015 18.10.2015 OTOMATİK KONTROL Giriş, Motivasyon, Tarihi gelişim - Tanım ve kavramlar, Lineer Sistemler, Geri Besleme Kavramı, Sistem Modellenmesi, Transfer Fonksiyonları - Durum Değişkenleri Modelleri Elektriksel

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

DENEY 1: DİYOT KARAKTERİSTİKLERİ

DENEY 1: DİYOT KARAKTERİSTİKLERİ DENEY 1: DİYOT KARAKTERİSTİKLERİ Diyot, yalnızca bir yönde akım geçiren devre elemanıdır. Bir yöndeki direnci ihmal edilebilecek kadar küçük, öbür yöndeki dirençleri ise çok büyük olan elemanlardır. Direncin

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI. Şekil 1. Z Dağılımı

BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI. Şekil 1. Z Dağılımı 1 BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI Z dağılımı; ortalaması µ=0 ve standart sapması σ=1 olan Z puanlarının evren dağılımı olarak tanımlanabilmektedir. Z dağılımı olasılıklı bir normal dağılımdır. Yani Z dağılımının genel

Detaylı

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan;

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan; 7. FORMÜLLER SEKMESİ Excel in en çok kullanılan yönü hesaplama yönüdür. Hesaplamalar Formüller aracılığıyla yapılır. Formüller sekmesi anlatılırken sık kullanılan formüller ve formül yazımı da anlatılacaktır.

Detaylı

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER SAYISAL FİLTRELER Deney Amacı Sayısal filtre tasarımının ve kullanılmasının öğrenilmesi. Kapsam Ayrık zamanlı bir sistem transfer fonksiyonunun elde edilmesi. Filtren frekans tepkes elde edilmesi. Direct

Detaylı

Şekil 7.1. (a) Sinüs dalga giriş sinyali, (b) yarım dalga doğrultmaç çıkışı, (c) tam dalga doğrultmaç çıkışı

Şekil 7.1. (a) Sinüs dalga giriş sinyali, (b) yarım dalga doğrultmaç çıkışı, (c) tam dalga doğrultmaç çıkışı DENEY NO : 7 DENEY ADI : DOĞRULTUCULAR Amaç 1. Yarım dalga ve tam dalga doğrultucu oluşturmak 2. Dalgacıkları azaltmak için kondansatör filtrelerinin kullanımını incelemek. 3. Dalgacıkları azaltmak için

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ EGE MYO MEKATRONİK PROGRAMI

EGE ÜNİVERSİTESİ EGE MYO MEKATRONİK PROGRAMI EGE ÜNİVERSİTESİ EGE MYO MEKATRONİK PROGRAMI SENSÖRLER VE DÖNÜŞTÜRÜCÜLER SÜREÇ KONTROL Süreç Kontrol Süreç kontrolle ilişkili işlemler her zaman doğada var olmuştur. Doğal süreç kontrolünü yaşayan bir

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır.

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. Dizi Antenler Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. 1. Dizi antenin geometrik şekli (lineer, dairesel, küresel..vs.) 2. Dizi elemanları arasındaki

Detaylı

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir.

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. BÖLÜM 6 TÜREV ALICI DEVRE KONU: Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. GEREKLİ DONANIM: Multimetre (Sayısal veya Analog) Güç Kaynağı: ±12V

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

8. FET İN İNCELENMESİ

8. FET İN İNCELENMESİ 8. FET İN İNCELENMESİ 8.1. TEORİK BİLGİ FET transistörler iki farklı ana grupta üretilmektedir. Bunlardan birincisi JFET (Junction Field Effect Transistör) ya da kısaca bilinen adı ile FET, ikincisi ise

Detaylı

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI C PROGRAMLAMA DİLİ YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN 1 PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI Program : Belirli bir problemi çözmek için bir bilgisayar dili kullanılarak yazılmış deyimler dizisi. Algoritma bir sorunun

Detaylı

Yukarıdaki şekilde, birim geribeslemeli bir kontrol sisteminin ileri yol transfer fonksiyonuna ait, sistemin orijinal çevrim kazancı K = 1 için deneysel olarak elde edilmiş Bode eğrisi verilmiştir. Aşağıdaki

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

BASEL II. RİSK AĞIRLIK FONKSİYONLARI (Beklenmeyen Kayıplar)

BASEL II. RİSK AĞIRLIK FONKSİYONLARI (Beklenmeyen Kayıplar) BASEL II RİSK AĞIRLIK FONKSİYONLARI (Beklenmeyen Kayıplar) Temerrüde düşmemiş krediler için Basel II düzenlemelerinde Korelasyon Katsayısı, Vade ayarlaması, Sermaye Yükümlülüğü oranı, Sermaye yükümlülüğü

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

KENAR TETİKLEMELİ D FLİP-FLOP

KENAR TETİKLEMELİ D FLİP-FLOP Karadeniz Teknik Üniversitesi Bilgisaar Mühendisliği Bölümü Saısal Tasarım Laboratuarı KENAR TETİKLEMELİ FLİP-FLOP 1. SR Flip-Flop tan Kenar Tetiklemeli FF a Geçiş FF lar girişlere ugulanan lojik değerlere

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

1)Aşağıdaki konum-zaman grafiğine göre bu hareketlinin 0-30 saniyeleri arasındaki ortalama hızı nedir?

1)Aşağıdaki konum-zaman grafiğine göre bu hareketlinin 0-30 saniyeleri arasındaki ortalama hızı nedir? 1)Aşağıdaki konum-zaman grafiğine göre bu hareketlinin 0-30 saniyeleri arasındaki ortalama hızı nedir? A) -1/6 B) 1 C) 1/2 D) 1/5 E) 3 2) Durgun halden harekete geçen bir cismin konum-zaman grafiği şekildeki

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Çizelge 5.1. Çeşitli yapı elemanları için uygun çökme değerleri (TS 802)

Çizelge 5.1. Çeşitli yapı elemanları için uygun çökme değerleri (TS 802) 1 5.5 Beton Karışım Hesapları 1 m 3 yerine yerleşmiş betonun içine girecek çimento, su, agrega ve çoğu zaman da ilave mineral ve/veya kimyasal katkı miktarlarının hesaplanması problemi pek çok kişi tarafından

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

5. BORU HATLARI VE BORU BOYUTLARI

5. BORU HATLARI VE BORU BOYUTLARI h 1 h f h 2 1 5. BORU HATLARI VE BORU BOYUTLARI (Ref. e_makaleleri) Sıvılar Bernoulli teoremine göre, bir akışkanın bir borudan akabilmesi için, aşağıdaki şekilde şematik olarak gösterildiği gibi, 1 noktasındaki

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı

Süreç Yönetimi. Logo

Süreç Yönetimi. Logo Süreç Yönetimi Logo Kasım 2013 SÜREÇ YÖNETİMİ Süreç belirlenen bir amaca ulaşmak için gerçekleştirilen faaliyetler bütünüdür. Örn; Sistemde kayıtlı personellerinize doğum günü kutlama maili gönderme, Deneme

Detaylı

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 212 YAPI STATİĞİ I STABİLİTE STATİKÇE BELİRSİZLİK KİNEMATİK BELİRSİZLİK Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr

Detaylı