KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI"

Transkript

1 KON 34 KONTROL SİSTEM TASARIMI PROJE 2 Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ HAZIRLAYANLAR TAKIM Burak BEŞER Elif KÖKSAL 464 Muharrem ULU 4645 Birol ÇAPA Teslim Tarihi:

2 GİRİŞ İki ayrı sistemin davranışları, ileri yol üzerine uygulanacak kontrolörler ile kontrol edilmek istenmektedir. Bu raporda, verilen sistemler için uygun geçici ve sürekli hal yanıtlarını veren kontrolörlerin teorik temellere dayandırılarak kutup atama yöntemiyle tasarımları ele alınmıştır. Bu amaçla pek çok farklı tipte kontrolör ve bu kontrolörlerin tasarım yöntemleri incelenmiştir.

3 2s 43. Transfer fonksiyonu G( s) olarak verilen bir sistem 2 ( s 3)( s s 2)( s 2) kapalı çevrimde ileri yol üzerine konulan bir kontrolör ile kontrol edilmek isteniyor. Şekil.a. de sistem blok şema ile gösterilmiştir. Şekil.a. - Sistem blok şeması a) Kapalı çevrim sistem kutuplarını 2 2 j, 3, 4, 5, 6.5, 8. noktalarına atayan 3. dereceden kontrolörü bulmak için cebrik yöntemden yola çıkarak kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydası, ( s 2 2 j)( s 2 2 j)( s 3)( s 4)( s 5)( s 6.5)( s 8.) = olarak bulunur. Önerilen kontrolör yukarıdaki 7. dereceden paydayı sağlamalıdır. Bu yüzden nedensellik esasına uygun bir biçimde kontrolör ifadesi aşağıdaki gibi verilebilir: F ( s ) = Kontrolör bu yapı ile ele alındığında paydası, F( s) G( s) T ( s) formu için kapalı çevrim F( s) G( s) olarak bulunur. Yukarıda, istenilen kutuplar için bulunan payda ile eşitlendiğinde, 2

4 değerleri bulunur. Bulunan değerler için kontrolör ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu, F ( s ) = T ( s ) = olarak bulunur. Elde edilen bu kapalı çevrim transfer fonksiyonunun s-düzlemindeki kutup-sıfır dağılımı Şekil.a.2 de verilmiştir. Şekil.a.2 - S düzleminde kutup ve sıfırların konumları Şekil.a.3 te kapalı çevrim sistemin birim basamak cevabı, Şekil.a.4 te ise kontrol işareti görülmektedir. Şekil.a.3 - Birim basamak yanıtı 3

5 Birim basamak yanıtının negatifi için zaman karakteristikleri biçiminde elde edilir. Şekil.a.4 - Kontrol işareti Kutuplar istenilen yerlere yerleştirilmiştir. Bu durumda sistemin birim basamak cevabına bakılıdığında sistemin kabaca negatif kazanca sebep olduğu görülür. Yanıtın negatife gitmesinin sebebi başlıca sebebi noktalarındaki sıfırlardır. Bu yanıta bakarak sistemin aşağıdaki faz çeviren kuvvetlendirici opamp yapısını (Şekil.a.5) andırdığını söyleyebiliriz. Yukarıda zaman tanım bölgesi karakteristiklerinin verilmesi bu sebeptendir. Çünkü bu tipte bir sistem olabileceği düşüncesi bu karakteristikleri anlamlı kılacaktır. V Rf Vi R Şekil.a.5 - Faz çeviren kuvvetlendirici yapısı 4

6 b) Soruda G s 43 2s 3 s 2 s 2 s s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör İlk olarak sisteme F s K z s s p tipinde. derece kontrolör uygulanması amaçlanmıştır. İstenen özelliklerden biri kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatası yapmamasıdır. Bu amaçla kontrolörün integratöre sahip olması için paydasının yalnızca s terimine sahip olması gereklidir. Bu amaçla p= seçilir. Geriye kazanç ve sıfır bilinmeyenlerini bulmak kalır. Kontrolörün sıfırının olmadığı yani sisteme yalnızca integratör eklendiği varsayılırsa bu haliyle sistemin kök eğrisi Şekil.b. de verilmiştir. Root Locus Plot 5 I m s Re s Şekil.b. Kontrolör olarak yalnızca integratörü olan sistemin kök eğrisi Görüleceği üzere sistem küçük kazanç değerleri için kararsız olabilmektedir. Sistemi kararlı yapan K değerlerinin aralığı Routh tablosundan bulunursa, <K<.828 ifadesine ulaşılır. Sisteme eklenecek sıfır kök eğrisinde çıkış açısını arttıracağından sistemi kararlı yapan K aralığını da genişletecektir. Sanal eksenlere yaklaştıkça sıfırın bu etkisi daha fazla olur. Buna karşılık sıfırın sanal eksenlere yakın olması sistemi yavaşlatacaktır. Ayrıca 5

7 sanal eksenlere yakın sıfır, çıkış açısını arttıracağından aynı kazanç değerlerinde kapalı çevrim sistemin eşlenik kutuplarının sanal eksenle yaptıkları açının artmasına dolayısıyla aşımın artmasına sebep olur. Tüm bunlar göz önüne alındığında eklenecek kontrolör sıfırının gerçeklenebilecek kontrolör kazanç değerlerini sağlayacak biçimde sanal eksenden uzak tarafa konması gerektiği sonucuna ulaşılır. Yani asıl kriter kontrolörün kazancının hassasiyetidir. Her koşulda kontrolörün kazancı küçük değerler alacağından ( den küçük) ve kontrolör sıfırının mümkün olduğu kadar uzağa koyulması gerektiği sonucuna ulaşıldığından ötürü bir kazanç değeri belirleyip buna uygun sıfırın yerini bulmak izlenecek yol olarak seçilebilir. Kontrolör kazancını. olarak seçersek kontrolör denklemi F s. s p s halini alır. Kapalı çevrim sistemi kararlı bölgede tutacak p değerleri Routh tablosu yardımıyla <p< olarak bulunur. Bu aralıktan p değerini seçerken dikkat edilmesi gereken husus p üst sınırına yaklaştığında sistemin kararlılık sınırına yaklaşacağı yani osilasyona gireceğidir. p nin alt sınır olan a yaklaşması ise sistemin yavaşlamasına neden olacaktır. Bu iki kıstası göz önünde bulundurursak p nin değer aralığının ortasında seçilmesi uygun görülür. p=4.33 seçilirse kontrolör denkleminin son hali F s. s 4.33 s şeklinde ortaya çıkar. Bu kontrolör sisteme uygulanıp kapalı çevrim sistemin basamak cevabı Şekil.b.2 de verilmiştir. Y t Response Şekil.b.2 -. derece kontrolör uygulanmış sistemin basamak yanıtı 6

8 Sistemde sürekli hal hatası yoktur. Geçici hal kriterlerinden aşım %.5, yerleşme zamanı sn dir. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.3 te görüldüğü gibidir..8 Response Y t Şekil.b.3 -. derece kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinde uygun olmayan herhangi bir etken görülmemektedir. 7

9 ii. 2. Derece Kontrolör Sorunun ikinci adımında sisteme F s K s2 as b s 2 cs d biçiminde bir 2. derece kontrolör eklenmesi istenmiştir. Yine kapalı çevrim sistemden beklenen sürekli hal hatası yapmamasıdır. Sistemin (yani G(s)) kutup-sıfır dağılımı çizdirilirse I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b.4 - Sisteme ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.4 deki grafiğe ulaşılır. Kontrolörden gelecek sıfırların sistemin eşlenik kutuplarının etkisini götürmesi sistemin aşım yapmasını önleyecektir. Fakat sistemin eşlenik kutupları sanal eksene oldukça yakın olduğundan o bölgede kutup-sıfır götürmesi yapmak riskli olacaktır. Bu nedenle Notch filtresi kullanılmalıdır. Notch filtresini sağlayacak kontrolör sıfırlarını eklerken dikkat edilecek 2 husus vardır. Eklenecek eşlenik sıfırların sanal bileşenleri sistemin eşlenik kutuplarının sanal bileşenlerinden daha küçük değerde olmalıdır. Tersi durumda belli kazanç değerleri için sistemin kararsız bölgeye sürüklenme tehlikesi ile karşılaşılır. Eşlenik sıfırların yerinin belirlenmesindeki diğer önemli husus modelleme hatasıdır. Modelleme hatasının büyüklüğüne göre sıfırların kutuplara olan yakınlığı belirlenmelidir. Bu bilgiler ışığında sıfırların yerlerinin belirlenmesi için öncelikle sisteme ait eşlenik kutupların yerleri bulunur ( j). Modelleme hatasının yüksek olmadığı varsayılarak kontrolör sıfırlarının yerleri j olarak belirlenebilir. Bunun yanında sistemin sürekli hal hatası yapmaması için bir kutbunun orijinde olması gerektiği göz önüne alınırsa kontrolör F s K s i s i s s a 8

10 halini alır. Kontrolörün diğer kutbunun yerini belirlemek amacıyla kontrolörün yalnızca orijinde kutbu varmış gibi düşünülürse Şekil.b.5 teki kök eğrisine ulaşılır. Şekil.b.5 - Kontrolör olarak yalnızca integratör eklenmiş sistemin kök eğrisi Kontrolörün serbest kutbunun yeri bu kök eğrisi üzerinden yorumlanarak bulunabilir. Baskın bölgede nereye koyulursa koyulsun iki kutup arasında kopma meydana getirip kontrolörün sıfırlarına etkiyeceğinden baskın bölgeye koymak Notch filtresini etkisiz hale getirecektir. Bu duruma bir örnek Şekil.b.6 teki kök eğrisinden görülebilir. 9

11 Şekil.b.6 - Baskın bölgede kontrolör kutbunun etkisi Görüldüğü gibi Notch filtresinin etkisi yok olmuş, sistem belli kazanç değerleri için kararsız hale gelmiştir. Sistemi kararlı yapacak K değer aralığının geniş olması isteniyorsa kontrolör kutbu baskın olmayan bölgeye atanmalıdır. Baskın olmayan bölgede kutup sola çekildiğinde sistem hızlanmaktadır fakat buna karşılık kontrol işareti ani bir şekilde yüksek değerlere çıkar. Tersi yapılıp baskın olmayan bölgede kutup sağa doğru yaklaştırılırsa sistem yavaşlar fakat kontrol işareti nispeten küçük değerler alır. Kontrolör kutbu kontrol işaretinin değerini yüksek tutmayacak ve sistemin hızına çok etki etmeyecek bir yere atanmak istenirse - uygun bir yer olarak seçilebilir. Bu durumda kontrolör denklemi F s K s s s s halini alır. Routh tablosunu kullanarak sistemin <K<5.535 kazanç aralığında kararlı olduğu görülür. Bu halde sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.7 de görüldüğü gibidir.

12 Şekil.b.7-2. derece kontrolör uygulanmış sistemin kök eğrisi Kazancı 5 e yakın tutmak kontrolör işaretinin değerini yükseltmenin yanında sanal eksene yakın bölgede eşlenik kutupların olmasına yol açacaktır. Bununla beraber sanal eksene yakın kutuplar sistemin hızını da düşüreceğinden kazancın sistem kararlı bölgede olacak biçimde yüksek alınmaması gerektiği sonucuna ulaşılır. Bununla beraber düşük kazanç değerlerinde orijindeki kutup fazla hareket etmeyeceğinden yine sistemin yavaşlaması söz konusu olur. Sistemin küçük aşımları tolere edemediği varsayılıp kazancın kutupları kopma noktasına getirmesi istenirse kazancın.7 olması gerektiği hesaplanabilir. Bu son durumda kontrolör denklemi s s F s.7 s s şeklindedir. Bu kontrolör sisteme eklenip kapalı çevrim sistemin basamak cevabına bakılırsa Şekil 5 teki eğri elde edilir.

13 Y t Response Şekil.b.8 - Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Sistemin geçici hal yanıtları % aşım ve 3.8 sn yerleşme zamanı halindedir. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrolör işareti Şekil.b.9 dan görüldüğü gibidir. Y t Response Şekil.b.9 - Kontrolörün basamak yanıtı Kontrolör işaretinin ani bir şekilde.4 e çıktığı ve yine ani bir biçimde.2 dolaylarına indiği görülmektedir. Söz konusu sistemin karakterine göre bu işaret zarar verici olabileceği gibi sistemde herhangi bir yıpratıcı etki göstermeyebilir. Kazanç değeri yükseltilerek bir miktar aşım yapan hızlı sistemlere ulaşılabilir. Bu tip sistemlerde kontrolör işaretinin değeri daha yüksek olacaktır. Bunun yanında kazanç değeri düşürülerek aşımsız ancak nispeten yavaş sistemler elde edilir. Bu kazanç değerlerinde kontrolör işaretinin değeri de düşük olacağından sisteme daha az zarar verecektir. 2

14 iii. 3. Derece Kontrolör Sisteme bir üçüncü dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Yine köklerin yer eğrisi üzerinde tasarım yapılacaktır. Beklenen uygun geçici hal kriterlerinin sağlanması ve sürekli hal hatasının ortadan kaldırılmasıdır. F s K n 3 s 3 n 2 s 2 n s n d 3 s 3 d 2 s 2 d s d G(s) sisteminin kök eğrisi çizildiğinde görülür ki sanal eşlenik kutup çiftine sahiptir. Bu baskın kutup çiftinden gelen kopmaların sağ yarı düzleme geçmesini engelleyecek bir yapı esastır. Notch filtresi yaklaşımı kullanılırsa bu kutupları çok yakın sanal sıfır çifti eklemek uygun olur. Böylece <K< aralığında kök eğrisi, sağ yazı düzleme geçmeden yörüngesini bu kutup-sıfır çifti üzerinden tamamlayabilir. G(s) sistemine ait kutup-sıfır dağılımı Şekil.b. da verilmiştir. I m s Pole Zero Map Re s Şekil.b. - G(s) kutup sıfır dağılımı Sürekli hal hatasını engellemek için orijine bir kutup eklenebilir. Şu halde görülür ki kapalı çevrim kutuplarının 4 tanesi baskın bölgededir. Bunlardan ikisi sanal eşlenik kutular olmak ile birlikte diğer ikisi reel eksen üzerinde yer almaktadır. Kalan kutuplar baskın olmayan bölgede uygun şekilde konumlandırılmalıdır. Faz gerilemeli kontrolör prensibi ile kutup ve sıfır çifti eklenecektir. Açık çevrim sistemin reel eksen üzerinde bulunan -2.5 sıfırı ve -3 kutbu arasına bir kutup yerleştirilir. Bu durumda eklenen kutup ile -3 te bulunan kutup arasında bir kopma meydana gelecektir. Fakat bu kopma Notch yapısını olumsuz etkiler; öyle ki sistemin kutuplarından çıkan kollar küçük bir K alığının ardından sağ yarı düzleme girerler. Bunu önlemek, yani Notch yapısını bozmamak için, kopma noktasındaki çıkış açısını 3

15 ayarlamak üzere faz gerilemeli kontrolörün sıfırı, -3 kutbunun sol tarafına eklenir. Böylelikle giriş- çıkış açıları uygun bir şekilde ayarlanmış olur ve baskın kutupların daha büyük bir K kazancında sol yarı düzlemde kalmaları sağlanır. Sistemi bir miktar hızlandırmak için baskın olmayan bölgeye bir kutup eklemek uygundur. Uzaklığı ayarlanırken -2 deki kutup ile arasında gerçekleşecek olan kopmadaki çıkış açısına dikkat edilmelidir. Neticede bu açı, kazanç aralığı üzerinde etkili olur. Aynı zamanda kontrol işaretinin durumu da göz önüne alınmalıdır. Şekil.b. de kutup ve sıfırları bu şekilde belirlenmiş olan kontrolörün eklendiği sistemin kök eğrisi verilmiştir. 25 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis Şekil.b. - Kontrolör orjin ve -3.5 teki kutupları ile kök eğrisi Kazanç değeri geçici hal yanıtı üzerinde etkilidir. Sistemin %2lik bant içinde kalmasını ve hızlı yanıt alınmasını sağlayacak bir K değeri belirlenmelidir. Sistemin <K<25.4 değerleri arasında kararlı olduğu görülür. Uygun K değeri 2 olarak belirlenebilir. Sonuç olarak elde edilen kontrolör şu şekildedir: F s 2 s 3.7 s s s s 8 s

16 Nihayetinde, G(s)*F(s) ileri yol transfer fonksiyonunun kök eğrisi çizilirse Şekil.b.2 de verilen kök eğrisine ulaşılır. 4 Root Locus Editor (C) 3 2 Imag Axis Real Axis Şekil.b.2 - F(s)G(s) transfer fonksiyonu kök eğrisi Şekil.b.3 te verilen sistemin birim basamak girişine verdiği yanıt incelenirse görülür ki aşım olmamakta ve sistem.74s de oturmaktadır. Sürekli hal hatası ortadan kaldırılmıştır. 5

17 .4 Step Response Amplitude System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Final Value: (sec) Şekil.b.3- Kapalı çevrim birim basamak yanıtı Şekil.b.4 te birim basamak girişine karşılık alınan kontrol işareti gösterilmiştir. Bu işaret incelendiği takdirde yerleşme zamanının.93 sn olduğu görülür. Kontrol işareti asimptotik olarak kararlıdır. 3 Step Response System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec): Amplitude.5.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Final Value: (sec) Şekil.b.4 - Kontrol işareti 6

18 iv. PID Kontrolör Kapalı çevrim sistemin sürekli hal hatasını giderecek uygun aşım yerleşme zamanı değerlerini veren PID kontrolör tasarlanacaktır. Başlangıç noktası olması amacıyla aşım ve yerleşme zamanı kriterleri için sonuçlar bulunmuştur. Ancak bunlar arasında sisteme göre tercih edilebilecek ikisi anlatılacaktır. Tasarımda aşımın mümkünse sıfır olması, kabul edilebilir mertebede kalması şartıyla yerleşme zamanı üzerine baskın kriter olarak kabul edilmiştir. Kontrolörün yapısı, F ( s ) = elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu, T ( s ) = Bu verilerden bulunan baskın kutup polinomu, baskın olmayan kutupları gösterecek rezidü polinomu kapalı çevrim paydasının derecesi göz önünde bulundurularak, olarak belirlenebilir. Bu iki polinomun çarpımı kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına eşitlenir ve 6 bilinmeyen 5 denklem olması sebebi ile değişkenlerden cinsinden çözülür ise, 7

19 Çözümü kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydasına uygulayarak Routh kriteri ile kararlılık analizi yapılırsa, koşulu bulunur. Değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d. de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d. - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri 2.88 değeri için aşımsız bir sonuç elde edildiği ve bu değer için yerleşme zamanının.6687 saniye olduğu görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak elde edilir. Bu kontrolürün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.5 te verilmiştir. Şekil. Birim basamak yanıtı Şekil.b.5 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı 8

20 Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri olarak bulunur. Sürekli hal hatası yoktur. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.6 de verildiği gibidir. Şekil.b.6 - Kontrol işareti Görüldüğü üzere aşım ve yerleşme zamanı bakımından tatmin edici sonuçlar elde edilmiştir. Ancak basamak yanıtındaki yaklaşık %2 ye varan hareketlilik bazı sistemler için istenmeyen bir durum olabilir. Bu nedenle bahsedilen hareketliliği olabildiğince azaltacak ve yerleşme zamanını yüksek değerlere çıkarmayacak bir diğer kontrolör önerilebilir. 9

21 için bulunan baskın kutup polinomu, ve rezidü polinomu, için yukarıdaki gibi karakteristik polinoma eşitleme ile bulunan değerler cinsinden, olarak bulunur. Routh tablosundan aynı kısıtı elde edilmektedir. Yeni durumda değişen değerlerine göre aşım ve yerleşme zamanı kriterleri Tablo.d.2 de verilmiştir. Aşım Yerleşme zamanı Tablo.d.2 - Farklı Ki değerleri için geçici hal kriterleri nin.95 değeri için çok az bir aşımın olduğu ve yerleşme zamanının ise.96 saniye gibi kabul edilebilir mertebede kaldığı görülmektedir. Bu değeri için kontrolör denklemi F ( s ) = olarak bulunur. Bu kontrolörün uygulandığı kapalı çevrim sistemin basamak girişe olan yanıtı Şekil.b.7 de verildiği gibidir. 2

22 Şekil.b.7 Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Elde edilen eğriye göre geçici hal kriterleri şeklindedir. Bu durumda kontrol işaretinin eğrisi Şekil.b.8 de verilmiştir. 2

23 Şekil.b.8 - Kontrol işareti Açık çevrimde sistemin kutup-sıfır dağılımı Şekil.b.9 da verildiği gibidir. Şekil.b.9 - Açık çevrim kutup ve sıfırların yerleri Sisteme ait kök eğrisi Şekil.b.2 de verilmiştir. Şekil.b.2 - Değişen kazanç değerleri için kutupların hareketleri 2. yanıt üzerinde hareket ederek MATLAB SISOTool yardımı ile optimal bir sonuç aransın. Önceki sayfada bulunan kök eğrisine bakıldığında şöyle bir yorum yapılabilir. Eklenecek iki adet kontrolör sıfırının eşlenik olması ve eşlenik kutuplara yakın olması bu iki 22

24 kutbun baskın tutulmasını sağlayacak ve olumlu sonuç getirecektir. Çünkü kutuplar artan kazanç değeri ile hareketleri boyunca kısa bir yol alacak; fakat reel eksen üzerindeki kutup, artan kazanç değerleri ile daha hızlı hareket ederek, baskın kutup bölgesi olarak tanımlanabilecek eşlenik kutup reel kısımları civarından hızlı bir şekilde uzaklaşacaktır. Buna katkıda bulunacak bir başka durum ise eklenecek eşlenik sıfırları, kutupların sağ tarafında seçmek olacaktır. Böylece kutupların ilk konumlarından çıkış açıları arttırılmış olacak ve böylelikle artan kazanç değerleri için eşlenik kutupların reel eksen üzerindeki kutuptan uzaklaşmasını kolaylaştıracaktır. Ancak bu esnada aşım artacaktır. Bu durum Şekil.b.2 ve Şekil.b.22 den izlenebilmektedir. Şekil.b.2 - Herhangi bir kazanç değeri için sıfırın kutbun solunda olması Şekil.b.22 - Aynı kazanç değeri için sıfırın kutbun sağında bulunması 23

25 Buradan hareketle SISO Tool üzerinden yapılan tasarım aşağıda görülmektedir. Sürekli hal hatasını engellemek için sıfıra bir kutup yerleştirilmiştir. Eşlenik sıfırın eşlenik kutbun neresine yerleştirildiğinin daha net görülebilmesi için kutup civarına yakınlaşılmıştır. Tasarım yapılırken birim basamak yanıtında hareketlilik en az yapılmaya çalışılmıştır, ayrıca eklenen sıfırın sanal eksene yaklaşması sebebi ile meydana gelecek aşımın da olabildiğince az olması istenmiştir. Burada bulunan kontrolör, F ( s ) = biçimindedir. Bu kontrolörün kullanıldığı kapalı çevrim sistemin basamak yanıtı Şekil.b.23 teki gibidir. Şekil.b.23 - Kutup atama ile PID tasarım sonucu Bu durumda kontrol işareti Şekil.b.24 te verilmiştir. 24

26 Şekil.b.24 - Kutup atama PID tasarım kontrol işareti 25

27 c) Soruda istenilen geçici hal kriterleri %3 aşım ve 2 sn yerleşme zamanını ve sürekli hal kriteri olan sıfır sürekli hal hatasını sağlayacak 2. derece transfer fonksiyonu hesaplanırsa ln Aşım 2 ln Aşım 2 w n 4 2 w n w 2 n T s s 2 2 w n s w n 2 T s s s 2 ifadesi elde edilir. Kapalı çevrim sistemin basamak cevabını incelenirse Şekil.c. deki eğriye ulaşılır. Response.8 Y t Şekil.c. - %3 aşım, 2 sn yerleşme kriterlerini sağlayan sistemin basamak yanıtı Burada yerleşme zamanı 2.5 sn, aşım %3 ve sürekli hal hatası sıfırdır. Yerleşme zamanı istenilene oldukça yakındır. ve w n değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerin tam değerler vermemesinden ötürü bu ufak fark meydana çıkmıştır. Pek çok sistem için bu fark tolere edilebilecek seviyededir. Bu kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ulaşmayı sağlayacak F(s) kontrolörü eşitliğinden elde edilebilir. Buradan T s F s G s G s T s 26

28 F s s s2.537s s 4 72s 23 s 2 2s 3 şeklindeki kontrolör denklemine ulaşılır. Görüldüğü üzere elde edilen kontrolör nedensel değildir yani gerçeklenemez. İstenen kriterlere bağlı kalmak kaydıyla kontrolörü nedensel yapmak için kontrolörün pay ve paydasının derecelerinin nelere bağlı olduğu araştırılırsa. T s sa s b, F s sa c d s b s a G s sc s d sonucuna ulaşılır. Burada sistemin payının derecesinin c=, paydasının derecesinin d=4 olduğu ve kontrolörün nedensel olması için payının derecesinin paydasının derecesinden küçük ya da eşit olması gerektiği göz önüne alınırsa 3 b-a eşitsizliğine ulaşılır. Yani gerçeklenebilir bir kontrolör tasarlayabilmek için kapalı çevrim fonksiyonunun paydasının derecesi ile payının derecesi arasında en az 3 fark olmalıdır. Bunu sağlamak ve istenilen cevabı edebilmek için kapalı çevrim transfer fonksiyonunun ifadesinde baskın olmayan tarafa (-2) bir kutup eklenir ve sürekli hal hatasını sıfırda tutacak şekilde kazanç değiştirilirse T s s 24s 2 s 3 F s s s s s s s 2 523s 3 2s 4 kontrolörü elde edilir. Bu nedensel bir ifadedir ve fiziksel bir karşılığı vardır. Sistemin basamak cevabı Şekil.c.2 deki gibidir. Response.8 Y t Şekil.c.2 - Nedensel hale getirilmiş kontrolörün uygulandığı sistemin basamak yanıtı 27

29 Burada sürekli hal hatası yoktur ve aşım %3, yerleşme zamanı 2.2 sn dir. Görüleceği üzere sisteme eklenen baskın olmayan kutup yalnızca yerleşme zamanında ufak bir artışa sebep olmuştur. Bu artışı azaltmak eklenen kutbu daha uzaklara koymakla ya da yine baskın olmayan tarafa yeni bir kutup eklemekle mümkündür. Burada dikkat edilecek husus kapalı çevrim transfer fonksiyonuna eklenen her kutbun kontrolörün derecesini arttırdığı yani gerçeklenebilirliği zorlaştırdığı ve maliyeti yükselttiği gerçeğidir. Elde edilen kontrolörün çıkış işareti incelenirse Şekil.c.3 teki eğri elde edilir. Response.4.2 Y t Şekil.c.3 - Kontrolörün basamak yanıtı Burada çok hızlı (yaklaşık.5 sn) bir ters aşım söz konusudur ve sistemin karakterine göre bu olumsuz bir sonuç doğurabilir. Bu sorun, atanan baskın olmayan kutbu sanal eksene doğru çekerek bir nebze giderilebilir. 28

30 d) PI-PD Kontrolör Bulunan PID kontrolörlerden yola çıkarak PI-PD tasarlanacaktır. Kontrolörlerden ilk bulunan PID kontrolör katsayıları en iyi PI-PD sonucunu vermiştir. Hatırlanacağı üzere PID kontrolör şu şekilde bulunmuştu: F ( s ) = Ki: Kd: Kp: G ( ) PD s = GPI ( s ) = Buradan bulunan kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir: T ( s ) = Yukarıdaki Ki ve Kd katsayıları yerine yazıldığında, T ( s ) = Kpi ve Kpd katsayıları, toplamları sabit ve PID kontrolörün Kp katsayısı olacak ve PI kontrolörün sıfırını uygun noktaya çekecek şekilde seçilir. Artan Kpi değerleri için bu sıfır baskın kutup bölgesine yaklaşacaktır. Bu da aşımı arttıracaktır. Tasarımda genel olarak aşımın yerleşme zamanının uygun mertebelerde tutularak minimum tutulması amaçlandığı için bu sıfırın 29

31 baskın kutuplardan uzakta olduğu herhangi bir Kpi-Kpd kombinasyonu yeterli olacaktır. Mathematica da çeşitli Kpi değerleri için yapılan tablodan aşağıdaki sonuç uygun bulunmuştur. Kpi=. Kpd= GPD( s ) = , GPI ( s ) = /s Bu değerler için kapalı çevrim sistemin birim basamak yanıtı ve kontrol işareti sırasıyla Şekil.d. ve Şekil.d.2 de verilmiştir. Şekil.d. - PI-PD kontrolör için sistemin birim basamak yanıtı 3

32 Şekil.d.2 - Kontrol işareti Görüleceği üzere kontrol işareti uygundur. Çünkü hem yüksek değerlere ulaşılmamaktadır hem de çok hızlı değişimler görülmemektedir. Bu durumda elde edilen kapalı çevrim sisteme ait geçici hal kriterleri olarak bulunur. 3

33 karşılaştıralım. A seçeneği: e) Sistem için en uygun kontrolörü seçmek için elde edilen tüm kontrolörleri Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği. dereceden kontrolör: Response Response.8.8 Y t Y t Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 32

34 B seçeneği 2. dereceden kontrolör: Response.4 Response.8.2 Y t Y t Şekil.e.5 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.6 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği 3. dereceden kontrolör:.4 Step Response 3 Step Response.2 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Settling (sec):.74 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Peak amplitude: 2.64 Overshoot (%): 63 At time (sec):.8 Final Value: Amplitude.6 Amplitude.5 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u Settling (sec):.93.4 System: Closed Loop: r to u I/O: r to u.2.5 Final Value: (sec) (sec) Şekil.e.7 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.8 - Sisteme uygulanan kontrol işareti B seçeneği PID kontrolör: Şekil.e.9 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e. - Sisteme uygulanan kontrol işareti 33

35 C seçeneği model eşleme ile bulunun kontrolör:.8 Response.4 Response Y t.6.4 Y t Şekil.e. - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.2 - Sisteme uygulanan kontrol işareti D seçeneği PI-PD kontrolör: Şekil.e.3 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Şekil.e.4 - Sisteme uygulanan kontrol işareti Sırasıyla tüm bu eğriler ve zaman tanım bölgesi incelemeleri karşılaştırıldığında PI- PD kontrolörün hem kontrol işareti açısından hem de birim basamak işareti açısından en olumlu sonucu verdiği görülebilir. 34

36 2. a) Soruda G s s.5 s 2 s 2 s s 2 şeklinde verilen sistem için, kapalı çevrim sistem kutuplarını, n 6 olmak üzere, 2±2j, -3, -4, -5, *n, *n noktalarına atayan 3. dereceden kontrolör tasarlanmak istenmektedir. Böyle bir kontrolör yapısı aşağıdaki gibi verilebilir: Bu kontrolör yapısından hareketle sırasıyla ileri yol transfer fonksiyonu ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu bulunabilir. Kapalı çevrim transfer fonksiyonundan hareketle bulunan karakteristik polinom, verilen köklerle oluşturulan tasarım karakteristik polinomuna eşitlenerek kontrolör bilinmeyenleri bulunabilir. Bu bilinmeyenler yerine konduğunda 3. Dereceden kontrolör aşağıdaki gibi çıkar: çevrim sistem Bu kontrolör ödevde verilen sistem blok diyagramında yerine konduğunda kapalı şeklinde bulunur. Kontrolörün integratörü olmadığından sürekli hal hatası yapacaktır. Kapalı çevrim sistemin kutup sıfır dağılımı Şekil 2.a. de verilmiştir. 35

37 Şekil 2.a. - Kapalı çevrim sistem kutuplarının ve sıfırlarının dağılımı Sisteme göre sağ tarafta 3 tane sıfır var bu yüzden sistemin ölü zamanı olan sistemler gibi uzun süre referansı takip edemez. Yine sistemin baskın kutup bölgesinde eşlenik kutupları ile reel eksende kutupları vardır. Eşlenik kutuplar bir miktar osilasyona neden olabilir gibi görünse de onlardan çok daha fazla sayıda ve baskın kutup bölgesinde bulunan reel eksendeki kutuplar sistemin bu osilasyonunun fazla olmasını engelleyecektir ve çok az bir aşım ile sistem referanstan daha büyük bir değerde oturacaktır. Nitekim kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı ise Şekil 2.a.2 de verildiği gibidir. Şekil 2.a.2 - Kapalı çevrim transfer fonksiyonunun birim basamak cevabı Bu cevap ise yukarıda bahsi geçen öngörüler ile uyuşmaktadır. Kapalı çevrim sistemin geçici hal kriterleri aşağıda verilmiştir. SteadyStateError DomainCharacteristics Settling (Ts) : sec Overshoot (Tp): sec Overshoot :.6558 Delay (Td) :.797 sec Rise (Tr) : sec 36

38 Kontrol işareti ise Şekil 2.a.3 te verilmiştir. 4 Response 2 Y t Şekil 2.a.3 - Sisteme uygulanan kontrol işareti 37

39 b) Soruda G s 2 s 3.6 s.5 s^2 s 2 s 2 şeklindeki eşitliği verilmiş sistemde ileri yolda sırasıyla., 2., 3. derece ve PID kontrolörler kullanılarak kapalı çevrim sistemde uygun aşım ve yerleşme değerlerine ulaşılması istenmiştir. i.. Derece Kontrolör Sorunun ilk adımında beklenen, sürekli hal hatasını giderecek ve uygun geçici hal yanıtlarını verecek bir. dereceden bir kontrolör tasarlanmasıdır. F s K n s n d s d G(s) transfer fonksiyonunun kutup ve sıfırlarının yeri Şekil 2.b. de verilmiştir. Bu dağılım incelendiğinde sistemin sağ yarı düzlemde kutup ve sıfırının olduğu görülür. 3 2 Pole Zero Map I m s Re s Şekil 2.b.- G(s) kutup- sıfır dağılımı <K< yani pozitif kazanç değerleri için kök eğrisi incelendiğinde görülür ki sağ yarı düzlemdeki kutup- sıfır arasındaki bölge nedeniyle, orijine yakın kapalı çevrim kökleri gelecektir. Nitekim G(s) sistemi için Routh tablosu oluşturulur ve hangi K değerleri için kararlı olduğu bulunursa <K< aralığında kalmak gerektiği görülür. Şekil 2.b.2 ve Şekil 2.b.3 te sırasıyla pozitif kazanç ve negatif kazanç değerleri için çizilen kök eğrileri görülmektedir. Routh tablosu ile çıkarılan sonuçla uyumlu olarak, kimi negatif kazanç değerlerinde kapalı çevrimin kutuplarının sol yarı düzlemde kaldığı kök eğrisinden de görülmektedir. 38

40 3 Root Locus Editor (C) 2 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.2- G(s) transfer fonksiyonunun pozitif kök eğrisi 2 Root Locus Editor (C) 5 5 Imag Axis Real Axis Şekil 2.b.3 - G(s) transfer fonkiyonunun negatif kök eğrisi 39

Elektrik - Elektronik Fakültesi

Elektrik - Elektronik Fakültesi . Elektrik - Elektronik Fakültesi KON314 Kontrol Sistem Tasar m Ödev #1 Birol Çapa-4645 Doç. Dr. Mehmet Turan Söylemez 23.3.29 1 1.a.Amaç Transfer fonksiyonu ( n 1 ve n üzerine konulan bir kontrolör ile

Detaylı

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ 25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ 1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde;

Detaylı

İstanbul Teknik Üniversitesi Elektrik Elektronik Fakültesi

İstanbul Teknik Üniversitesi Elektrik Elektronik Fakültesi İstanbul Teknik Üniversitesi Elektrik Elektronik Fakültesi Kontrol Sistem Tasarımı PROJE 3 Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ Hazırlayanlar TAKIM 8 Burak Beşer 45437 Elif Köksal 45442 Muharrem

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Tasarımı

Kontrol Sistemlerinin Tasarımı Kontrol Sistemlerinin Tasarımı Kök Yer Eğrileri ile Tasarım II PD Denetleyici ve Faz İlerletici Dengeleyici 1 Ardarda (Kaskat) bağlantı kullanılarak geri beslemeli sistemin geçici rejim cevabının iyileştirilmesi

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE Kontrol Sistemleri I Final Sınavı 9 Ağustos 24 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi 2 dakikadır.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Otomatik Kontrol (Doğrusal sistemlerde Kararlılık Kriterleri) - Ders sorumlusu: Doç.Dr.HilmiKuşçu

Otomatik Kontrol (Doğrusal sistemlerde Kararlılık Kriterleri) - Ders sorumlusu: Doç.Dr.HilmiKuşçu ROOT-LOCUS TEKNİĞİ Lineer kontrol sistemlerinde en önemli kontrollerden biri belirli bir sistem parametresi değişirken karakteristik denklem köklerinin nasıl bir yörünge izlediğinin araştırılmasıdır. Kapalı

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Analizi

Kontrol Sistemlerinin Analizi Sistemlerin analizi Kontrol Sistemlerinin Analizi Otomatik kontrol mühendisinin görevi sisteme uygun kontrolör tasarlamaktır. Bunun için öncelikle sistemin analiz edilmesi gerekir. Bunun için test sinyalleri

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Tasarımı

Kontrol Sistemlerinin Tasarımı Kontrol Sistemlerinin Tasarımı Kök Yer Eğrileri ile Tasarım IV Geribesleme Üzerinden Denetim ve Fiziksel Gerçekleme Prof.Dr.Galip Cansever 2 3 Denetleyiciyi veya dengeleyiciyi geribesleme hattı üzerine

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLERDE GERİBESLEME

TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLERDE GERİBESLEME TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLERDE GERİBESLEME Amaç Elektronikte geniş uygulama alanı bulan geribesleme, sistemin çıkış büyüklüğünden elde edilen ve giriş büyüklüğü ile aynı nitelikte bir işaretin girişe gelmesi

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ Modelleme Önceki bölümlerde blok diyagramları ve işaret akış diyagramlarında yer alan transfer fonksiyonlarındaki kazançlar rastgele

Detaylı

Otomatik Kontrol (Doğrusal sistemlerde Kararlılık Kriterleri) - Ders sorumlusu: Doç.Dr.HilmiKuşçu

Otomatik Kontrol (Doğrusal sistemlerde Kararlılık Kriterleri) - Ders sorumlusu: Doç.Dr.HilmiKuşçu 1 2 1 3 4 2 5 6 3 7 8 4 9 10 5 11 12 6 K 13 Örnek Kararlılık Tablosunu hazırlayınız 14 7 15 Kapalı çevrim kutupları ve kararlıkları a. Kararlı sistem; b. Kararsız sistem 2000, John Wiley & Sons, Inc. Nise/Cotrol

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN3102 OTOMATİK KONTROL Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı

U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN3102 OTOMATİK KONTROL Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN30 OTOMATİK KONTROL 00 Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı Sınav Süresi 90 dakikadır. Sınava Giren Öğrencinin AdıSoyadı :. Prof.Dr.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI:

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: ELN35 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: Control System Toolbox içinde dinamik sistemlerin transfer fonksiyonlarını tanımlamak için tf,

Detaylı

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz.

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz. Siyasal Bilgiler Fakültesi İktisat Bölümü Matematiksel İktisat Ders Notu Prof. Dr. Hasan Şahin Faz Diyagramı Çizimi Açıklamarı = 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz

Detaylı

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER ELE40/50 06/7 GÜZ ÖDEV - ÇÖZÜMLER -) Lyapunov kararlılığı için = 0, V( ) = 0 0, V( ) > 0 biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu 0, V( ) 0 eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için 0, V( ) < 0

Detaylı

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım GİRİŞ Kök-yer eğrisi bize grafik olarak sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi verir. Sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi almak

Detaylı

DENEY.3 - DC MOTOR KONUM-HIZ KONTROLÜ

DENEY.3 - DC MOTOR KONUM-HIZ KONTROLÜ DENEY.3 - DC MOTOR KONUM-HIZ KONTROLÜ 3.1 DC MOTOR MODELİ Şekil 3.1 DC motor eşdeğer devresi DC motor eşdeğer devresinin elektrik şeması Şekil 3.1 de verilmiştir. İlk olarak motorun elektriksel kısmını

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir.

Detaylı

Ders Notlarının Creative Commons lisansı Feza BUZLUCA ya aittir. Lisans: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Ders Notlarının Creative Commons lisansı Feza BUZLUCA ya aittir. Lisans: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ Eşzamanlı (Senkron) Ardışıl Devrelerin Tasarlanması (Design) Bir ardışıl devrenin tasarlanması, çözülecek olan problemin sözle anlatımıyla (senaryo) başlar. Bundan sonra aşağıda açıklanan aşamalardan geçilerek

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ

SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ AUTOMATIC CONTROL TELELAB (ACT) ile UZAKTAN KONTROL DENEYLERİ Automatic Control Telelab (ACT), kontrol deneylerinin uzaktan yapılmasını sağlayan web tabanlı bir sistemdir. Web

Detaylı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Bölüm 4 Sayısal Kontrolör Tasarımı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Bölüm 4 Sayısal Kontrolör Tasarımı Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Bölüm 4 Sayısal Kontrolör Tasarımı İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 72 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Tasarım Yöntemlerine

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 C.1.2. Piyasa Talep Fonksiyonu Bireysel talep fonksiyonlarının toplanması ile bir mala ait

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri

Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Analog alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı H a (jω) aşağıda gösterildiği gibi verilebilir. Ω p : Geçirme bandı kenar frekansı Ω s : Söndürme bandı kenar

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

Çukurova Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği

Çukurova Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği Çukurova Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği BMM309 Elektronik-2 Laboratuarı Deney Föyü Deney#8 I-V ve V-I Dönüştürücüler Doç. Dr. Mutlu AVCI Arş. Gör. Mustafa İSTANBULLU ADANA, 2015 DENEY 8 I-V ve

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

KST Lab. Manyetik Top Askı Sistemi Deney Föyü

KST Lab. Manyetik Top Askı Sistemi Deney Föyü KST Lab. Manyetik Top Askı Sistemi Deney Föyü. Deney Düzeneği Manyetik Top Askı sistemi kontrol alanındaki popüler uygulamalardan biridir. Buradaki amaç metal bir kürenin manyetik alan etkisi ile havada

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

Ders # Otomatik Kontrol. Kök Yer Eğrileri. Prof.Dr.Galip Cansever. Otomatik Kontrol. Prof.Dr.Galip Cansever

Ders # Otomatik Kontrol. Kök Yer Eğrileri. Prof.Dr.Galip Cansever. Otomatik Kontrol. Prof.Dr.Galip Cansever Ders #-3 Kök Yer Eğrileri Bir kontrol tasarımcısı sistemin kararlı olup olmadığını ve kararlılık derecesini bilmek, diferansiyel denklem çözmeden bir analiz ile sistem performasını tahmin etmek ister.

Detaylı

KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU

KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU B. HACIBEKİROĞLU, Y. GÖKÇE, S. ERTUNÇ, B. AKAY Ankara Üniversitesi, Mühendislik

Detaylı

* DC polarma, transistörün uçları arasında uygun DC çalışma gerilimlerinin veya öngerilimlerin sağlanmasıdır.

* DC polarma, transistörün uçları arasında uygun DC çalışma gerilimlerinin veya öngerilimlerin sağlanmasıdır. Elektronik Devreler 1. Transistörlü Devreler 1.1 Transistör DC Polarma Devreleri 1.1.1 Gerilim Bölücülü Polarma Devresi 1.2 Transistörlü Yükselteç Devreleri 1.2.1 Gerilim Bölücülü Yükselteç Devresi Konunun

Detaylı

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken)

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken) KTÜ Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Sayısal Elektronik Laboratuarı DOĞRULTUCULAR Günümüzde bilgisayarlar başta olmak üzere bir çok elektronik cihazı doğru akımla çalıştığı bilinen

Detaylı

BÖLÜM-6 BLOK DİYAGRAMLARI

BÖLÜM-6 BLOK DİYAGRAMLARI 39 BÖLÜM-6 BLOK DİYAGRAMLARI Kontrol sistemlerinin görünür hale getirilmesi Bileşenlerin transfer fonksiyonlarını gösterir. Sistemin fiziksel yapısını yansıtır. Kontrol giriş ve çıkışlarını karakterize

Detaylı

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal

Detaylı

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için

Detaylı

ÇOKLU ALT SİSTEMLERİN SADELEŞTİRİLMESİ

ÇOKLU ALT SİSTEMLERİN SADELEŞTİRİLMESİ 73 BÖLÜM 5 ÇOKLU ALT SİSTEMLERİN SADELEŞTİRİLMESİ 5. Blok Diyagramları Blok diyagramları genellikle frekan domenindeki analizlerde kullanılır. Şekil 5. de çoklu alt-itemlerde kullanılan blok diyagramları

Detaylı

bir sonraki deneme değerinin tayin edilmesi için fonksiyonun X e göre türevi kullanılır. Aşağıdaki şekil X e karşı f(x) i göstermektedir.

bir sonraki deneme değerinin tayin edilmesi için fonksiyonun X e göre türevi kullanılır. Aşağıdaki şekil X e karşı f(x) i göstermektedir. 37 Newton-Raphson Yöntemi İle Çözüme Ulaşma Bu yöntem özellikle fonksiyonun türevinin analitik olarak elde edilebildiği durumlarda kullanışlıdır. Fonksiyonel ilişkinin ifade edilmesinde daha uygun bir

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

6. Bölüm: Alan Etkili Transistörler. Doç. Dr. Ersan KABALCI

6. Bölüm: Alan Etkili Transistörler. Doç. Dr. Ersan KABALCI 6. Bölüm: Alan Etkili Transistörler Doç. Dr. Ersan KABALCI 1 FET FETler (Alan etkili transistörler) BJTlere çok benzer yapıdadır. Benzerlikleri: Yükselteçler Anahtarlama devreleri Empedans uygunlaştırma

Detaylı

Contents. Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları

Contents. Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları Contents Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları DC motor modelinin matematiksel temelleri DC motor modelinin durum uzayı olarak gerçeklenmesi Kontrolcü tasarımı ve değerlendirilmesi Oransal

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

(Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK KONTROLÜ. DENEY SORUMLUSU Arş.Gör.

(Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK KONTROLÜ. DENEY SORUMLUSU Arş.Gör. T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1 (Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

Avf = 1 / 1 + βa. Yeterli kazanca sahip amplifikatör βa 1 şartını sağlamalıdır.

Avf = 1 / 1 + βa. Yeterli kazanca sahip amplifikatör βa 1 şartını sağlamalıdır. Karadeniz Teknik Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Elektronik Lab. 2 OSİLATÖRLER 1. Ön Bilgiler 1.1 Osilatör Osilatörler DC güç kaynağındaki elektrik enerjisini AC elektrik enerjisine

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati MATEMATİK DERS PLÂNI Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar Başlangıç Tarihi :.. /../. Alt Öğrenme Alanı : Mutlak Değer Önerilen Süre : (6) Ders Saati Öğrenci Kazanımları /Hedef

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM 1 BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM Normal dağılım; 'normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve)' ile kavramlaştırılan hipotetik bir evren dağılımıdır. 'Gauss dağılımı' ya da 'Gauss eğrisi' olarak da bilinen

Detaylı

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı. Prof. Dr. Aydın Akan Bahattin Karakaya Umut Gündoğdu Yeşim Hekim Tanç

Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı. Prof. Dr. Aydın Akan Bahattin Karakaya Umut Gündoğdu Yeşim Hekim Tanç İ. Ü. Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İŞARET İŞLEME ve UYGULAMALARI Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı Prof. Dr. Aydın Akan Bahattin Karakaya Umut Gündoğdu Yeşim Hekim Tanç Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı 1.

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL MAK669 LINEER ROBUS KONROL s.selim@gyte.edu.tr 14.11.014 1 State Feedback H Control x Ax B w B u 1 z C x D w D u 1 11 1 (I) w Gs () u y x K z z (full state feedback) 1 J ( u, w) ( ) z z w w dt t0 (II)

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ Bu bölüme kadar anlatılan yöntemler zaman içinde değişmeyen parametre varsayımına uygun serilerin tahminlerinde kullanılmaktaydı. Bu tür seriler deterministik

Detaylı

AMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü

AMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü AMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Denetim Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü Öğr.Gör.Cenk GEZEGİN Arş.Gör.Birsen BOYLU AYVAZ DENEY 3-RAPOR PİD DENETİM Öğrencinin

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Elektrik ve Magnetizma

Elektrik ve Magnetizma Elektrik ve Magnetizma 1.1. Biot-Sawart yasası Üzerinden akım geçen, herhangi bir biçime sahip iletken bir tel tarafından bir P noktasında üretilen magnetik alan şiddeti H iletkeni oluşturan herbir parçanın

Detaylı

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR KONTROL SİSTEMLERİ GİRİŞ Son yıllarda kontrol sistemleri, insanlığın ve uygarlığın gelişme ve ilerlemesinde çok önemli rol oynayan bir bilim dalı

Detaylı

Çukurova Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği

Çukurova Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği Çukurova Üniversitesi Biyomedikal Mühendisliği BMM309 Elektronik-2 Laboratuvarı Deney Föyü Deney#10 Analog Aktif Filtre Tasarımı Doç. Dr. Mutlu AVCI Arş. Gör. Mustafa İSTANBULLU ADANA, 2015 DENEY 10 Analog

Detaylı