YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I"

Transkript

1 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINI NO: 58 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINI NO: 499 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I Yazarlar Prof.Dr. Müjgan SAĞIR (Ünite, 4, 5) Yrd.Doç.Dr. Mahmut ATLAS (Ünite, ) Doç.Dr. Nil ARAS (Ünite 6, 8) Arş.Gör.Dr. Zehra KAMIŞLI ÖZTÜRK (Ünite 7) Editör Prof.Dr. B. Fethi ŞENİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ i

2 İçindekiler Önsöz... iv. Yönelem Araştırmasına Giriş. Doğrusal Programlama. 4. Doğrusal Programlama Modellerinin Çözümü: Grafik Çözüm Tekniği 8 4. Simpleks Algoritması Duarlılık Analizi İkillik (Dualite) Hedef Programlama Ulaştırma ve Atama Modelleri. 7 iii

3 Önsöz Karar vermek, aşımız ve mesleğimiz ne olursa olsun haatın her aşamasında, saamaacağımız kadar çok defa karşı karşıa kaldığımız bir işlemdir. Ne gieceğiniz, nee atırım apacağınız, çocuğunuzun hangi okula devam edeceği, karierinizi nasıl planlaacağınız, hangi tedarikçi ile çalışacağınız, hangi kargo ile iletilerinizi göndereceğiniz, hangi servis sağlaıcısı ile çalışacağınız, hangi lisansüstü programa kaıt olacağınız, hangi marka buzdolabı alacağınız, emeğinizle hangi içeceği sipariş edeceğiniz, ödemenizi kredi kartı ile mi peşin mi apacağınız Meslek aşantılarında da insanlar hemen her an karar vermek durumundadırlar. Şu marka hammaddei mi kullansak, oksa bunu mu? On tane mi üretsek, sekiz mi oksa oniki mi? Kaç tane satış şubesi açsak? Bu şubeleri hangi şehirlerin hangi semtinde açsak daha ii olur? İşletmelerin ölçeği büüdükçe, seçenek saısı arttıkça, işlemler karmaşıklaştıkça; karardan etkilenen kişi ve kurum saısı da bağlı olarak artar ve anlış kararların maddi manevi bedeli daha da ağırlaşır. Bu sebeple bölesi karmaşık karar problemleri ile üzleşildiğinde, deneim ve sezgiler hala çok önemli olmakla beraber, en doğru kararı verme sürecinde, etersiz kalabilmektedirler. Yönelem Araştırması, karar vericilerin bu tür süreçlerde, kendi deneimlerinin anısıra, ihtiaç duabilecekleri bilimsel öntem ve teknikleri sunan ve ugulama olanağı veren bir bilim dalıdır. Bu kitap, Yönelem Araştırması na belirli bir ölçüde giriş sağlamak amacıla hazırlanmıştır. Konunun kuramsal önünden çok, kapsadığı problem türleri ve çözüm aklaşımları örneklerle tanıtılmıştır. Örneklerin olabildiğince, dersin hedef kitlesine ve gelecekteki çalışma alanına ugun olmasına özen gösterilmiştir. Ünitelerde er verilen örneklerin dikkatlice incelenmesi, karşılaşılan sorulara anıt vermee çalışılması ve ünite sonlarında er alan anıt anahtarlarıla karşılaştırılması, konuların daha ii kavranmasına katkı sağlaacaktır. Ünitelerin anlatımı ve sunumu konusunda türlü isteklerimizi karşılamak için çaba gösteren tüm azarlarımıza teşekkür etmei zevkli bir görev saıorum. Editör Prof.Dr. B. Fethi ŞENİŞ iv

4

5 Amaçlarımız Bu ünitei tamamladıktan sonra; Yönelem Araştırması nın ortaa çıkışını ve gelişimini açıklaabilecek, Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği olan sistem aklaşımı, disiplinlerarası aklaşım ve bütünleşik aklaşımı açıklaabilecek, Model kavramını tamamlaabilecek, Yönelem Araştırması sınıfına giren problem türlerini ifade edebilecek, Doğrusal ve doğrusal olmaan programlama türlerini açıklaabilecek Yönelem Araştırması tekniklerinin kullanım alanlarını ifade edebilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Yönelem Araştırması Model Doğrusal Programlama Sistem Yaklaşımı Disiplinlerarası Yaklaşım Bütünleşik Yaklaşım Doğrusal Olmaan Programlama İçindekiler Giriş Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği Yönelem Araştırması Yaklaşımı Model, Karar Modeli Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama Yönelem Araştırması Teknikleri ve Kullanım Alanları

6 Yönelem Araştırmasına Giriş GİRİŞ Yönelem Araştırması nın doğuşu II. Düna Savaşı ıllarındaki askeri ugulamalara daandırılmakla birlikte, 9 lerde Frederick Talor un aınladığı Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalışmasının da aslında bu bilim dalının köklerini oluşturduğu sölenebilir. II. Düna Savaşı ıllarında, İngiliz askeri birimlerinde radarların etkili kullanımı, denizaltıların erlerinin belirlenmesi gibi problemlerin çözümünde farklı bilim dallarından oluşan ekiplerle çalışılmıştır. İzleen ıllarda Amerika Birleşik Devletleri nde Amerikan ekonomisi için geliştirilen bir endüstriler arası girdi-çıktı modeli de ine birden fazla araştırmacıdan oluşan bir ekiple ele alınmıştır. Bu ekipte er alan George B. Dantzig bu tür problemlerde, tanımlanan bir amaç fonksionu ile enii programların apılabileceği düşüncesini savunmuş ve arıca doğrusal programlama problemleri için bilinen Simpleks Algoritması nı geliştirmiştir. Yıllar içerisinde Yönelem Araştırması, örgütlerin ve/vea sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, ürütme ve kontrol faalietlerine bilimsel öntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm araan bir bilim dalı olarak erini almıştır. Matematik, çözüm tekniklerinin altında atan temel bilimdir. Matematiğin, bu bölümde er verilen ve Yönelem Araştırması nı karakterize eden modelleme, öntembilim vb. özellik ve aklaşımlarla birlikte ele alınış biçimi önüle, Yönelem Araştırması, bir sanat olarak da görülmektedir. Çözüm sürecinde kullanılan aklaşım, problemi ve ardından çözüm seçeneklerini ortaa koma, daha sonrada enii seçeneği ugun öntemle belirleme aşamalarından oluşur. Birden fazla seçenek çözüm sözkonusu değilse, bir problem de ok demektir. Buna bir örnek şu şekilde verilebilir: Bir doğal afet durumunda, ülkenin, afetin aşandığı bölgelerine ulaştırılacak ardımın hangi olla apılacağına karar verilmek istensin. Yardım ulaştırmanın o anki koşullarda tek olu havadan ulaşım ise, kara olu ve denizolu sözkonusu değilse, örneğin denizolu coğrafi olarak mümkün olmaıp, karaolu da tahrip olmuş ve kullanılamaz ise, en ii seçeneğin hangisi olduğu gibi bir problem sözkonusu değildir ve tek ulaşım seçeneği hava oludur. Fakat hem hava olu, hem karaolu ile ulaşım mümkün ise o durumda hangi seçeneğin daha ii olduğu sorusu gündeme gelir. Bu durumda Yönelem Araştırması öntemleri ile enii seçeneğe karar vermek mümkün olur. Problem, ancak çözümünde alternatif ollar varsa vardır. Bu ünitede ukarıda çok genel olarak açıklanan Yönelem Araştırması nın; temel özellikleri, problem çözümlerinde izlediği aklaşım ve hangi tür problemlerin çözümünde kullanılacağı vb. konulara er verilecektir. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI NIN ÜÇ TEMEL ÖZELLİĞİ Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği; a. Bilimsel öntem, b. Bütünleşik aklaşım ve c. Disiplinlerarası aklaşım

7 şeklindedir. Bilimsel öntem, basitce, problemlerin çözümünde bilimsel bir aklaşımın izlenmesini ifade eder. Bu anlamda bilimsel öntem; incelenen problem vea olala ilgili önce gözlem apılmasını, sonra bir hipotezin geliştirilmesini, ardından bu hipotezin denelerle sınanmasını ve son adım olarak da genellenmesini içerir. Ardından geri bildirimler ve gereklise kontrollerle sistem üzerinde geliştirmeler devam edebilir. Bütünleşik aklaşım, ele alınan problemin, içerisinde er aldığı sistem ile birlikte tüm bileşenleri ve boutlarıla incelenmesidir. Birden fazla ve karşılıklı ilişki içinde bulunan ve belirli bir amaca önelik olarak bir arada bulunan oluşumlar (sistemler) ile karşılaşıldığından, bu özellik sistem aklaşımı olarak da ifade edilebilmektedir. Son olarak disiplinlerarası aklaşım ise, Yönelem Araştırması kapsamındaki problemlerin, farklı disiplinlerde er alan uzmanlardan oluşan bir ekiple çözülmesi anlamına gelmektedir. Birlikte düşünüldüğünde bu üç özelliğin, problem çözüm süreçlerine farklı bir sistematik aklaşım kazandırdığı görülebilmektedir. Kavramları daha ii anlaabilmek için aşağıdaki örneği inceleelim: Bir işletme var olan depolarına enilerini eklemek istemektedir. Her deponun eri ve kapasitesi; dağıtım apacağı müşterilere, bulunulan bölgedeki talep büüklüğüne vb. göre değişecektir. Enii depo erine karar verebilmek için işletmenin bazı araştırmalar apması gerekmektedir. Depo açma malieti ile ilgili olarak, düşünülen bölgelerdeki arazi-bina satınalma vea kira bedelleri, tahmin edilen talepler, ürünlerin depolara oradan da müşterilere sevkiatlarının malietleri, bu sevkiatlar sırasında kullanılabilecek araç ve güzergahların belirlenmesi gibi farklı etkenler ve her birile ilgili farklı kararlar sözkonusudur. Bu konular bir araa geldiğinde, farklı uzmanlık ve mevzuat bilgisi arıca bilimsel analizler gerektirdiği ortaa çıkacaktır. Bir karar vericinin, bu tür önemli kararlarda rol onaabilecek tüm bilgilere sahip olması mümkün olamaacağına göre, kendi alanında uzmanlık bilgisine sahip farklı disiplinlerden kişilerin bir araa getirilmesi kaçınılmazdır. Bu gibi konularda Yönelem Araştırması nın disiplinlerarası aklaşımı kendini gösterir. Problem tüm önlerile eterince irdelendiğinde, sistemi oluşturan bileşenlerin karşılıklı etkileşimleri görülebilecek, açılacak depo erinin ulaşılması gereken müşterilerin bulunduğu noktalardan vea sözkonusu bölgede eni bir depo inşası için uulması gereken mevzuattan vea işletmenin elinde bulunan, bu işe arılabilecek sermaeden bağımsız olamaacağı (bütünleşik aklaşım) ortaa çıkacaktır. Tüm bu gereklilikler konusunda bir farkındalık; problemin önce adım adım tanımlanması, daha sonra sistematik bir aklaşımla çözüm sürecinin tasarlanması (bilimsel öntem) aşamalarını getirecektir. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YAKLAŞIMI Yönelem Araştırması, problemleri, ukarıda belirtildiği gibi, disiplinlerarası bir ekiple, bilimsel bir öntemi izleerek ve sistemi bütünüle ele alarak çözer. Bu temel özellikleri kullanan, anı zamanda Yönelem Araştırması Yaklaşımı da denen problem çözme aşamaları aşağıdaki gibi özetlenebilir: a. Problemin belirlenmesi b. Gerekli verilerin elde edilmesi ve sistemin analiz edilmesi c. Modelin geliştirilmesi d. Modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerliliğinin sınanması e. Modelin ugulanması ve karar. Problemin varlığının ortaa konması ve doğru tanımlanması, çözüm sürecinde en önemli aşamadır. Daha sonra ise problemin girdisi olabilecek ve aşandığı sistemden türetilebilecek verilerin, gerektiği ölçüde ve güncel bir biçimde elde edilmesi gerekir. Hangi tür verilere ihtiaç duulduğu, ilgili sistemin arıntılı analizi ile ortaa çıkabilir. Bunu izleen aşama, problemin çözümü için gereken ugun modelin geliştirilmesidir. Kısaca bir sistemin kendisi erine onun gibi davranan eşdeğeri şeklinde ifade edilen modellerin çok farklı şekillerde sınıflandırılmaları mümkündür. İzleen bölümde, model, anısıra Yönelem Araştırması kapsamında daha agın kullanılan ve ihtiaç duulan karar modeli kavramlarına er verilmektedir. Yaklaşımın diğer aşamalarında ise, geliştirilen modelin geçerliliğinin sınanması ve ugulanması adımları er alır. 4

8 MODEL, KARAR MODELİ Model, bir sistemin kendisi erine onun gibi davranan eşdeğerine denir. Modeller farklı şekillerde gruplanabilirler. Yapılarına göre modeller; uuşum, benzeşim ve matematiksel olarak üçe arılırlar. Uçak simulatörleri, maket inşaat projeleri uuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örneğidirler. Çeşitli diagramlar, grafikler benzeşim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmaıp, sistemdeki ilişkileri temsil ederler. Bu örnekler üzerinde düşünüldüğünde, bir uçak simülatörü ardımıla, sözkonusu uçağın, belirli koşullarda hangi davranış biçimlerini ortaa koacağı test edilebilir. Bu saede insan haatını tehlikee atmadan ve doğabilecek büük bir malieti de önceden engelleerek simülatör üzerinde istenen testler apılır. Benzer düşüncele, bir bilgisaar programı da bir çeşit model saılır. Matematiksel model ise bir sistemin vea problemin matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldığında oluşacak olan f büüklüğündeki kuvvetin ifadesidir. m, a ve f den herhangi ikisi biliniorsa, üçüncünün değeri bu ilişki ile bulunabilir. Karar süreci; problemi belirleme, seçenekleri türetme ve enii seçeneği bulma adımlarından oluşur. Bir problem olup olmadığı, Giriş bölümünde de belirtildiği gibi, problemin çözümü için birden fazla seçeneğin olması durumunda ortaa çıkar. Öte andan çoğu durumda seçenekleri belirlemek de oldukça zordur. Böle durumlarda problemin gereklilikleri ve değişkenlerarası ilişkilerin matematiksel fonksionlarla ifade edildiği; bulunan çözümlerden hangisinin seçileceği kararının ise bir başka fonksionda ine bu seçenek çözümlerin aldığı değerler ile belirlendiği, bütünleşik bir apı oluşturulur. Bu apıda değişkenlerarası ilişkilerin gösterildiği fonksionlara kısıt, kısıtları sağlaan çözümlerin eniisinin seçimi için kullanıldığı belirtilen fonksiona ise amaç fonksionu denir. Kısıtlar ve amaç fonksionundan oluşan bu tür apılara karar modeli denir. Karar modelleri doğrusal vea doğrusal olmaan özelliklerde olabilirler. DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA Pratik olarak tüm kısıtları ve amaç fonksionu, her biri doğrusal birer fonksion ise, bir başka deişle tüm fonksionlarda er alan her bir terim birinci dereceden ifadelerden oluşmakta, iki değişkenin çarpımı vea bir değişkenin üssünün olmadığı terimler er almakta ise ilgili karar modeli doğrusaldır denir. Örnek bir doğrusal karar modeli aşağıdaki gibi verilebilir: kısıtları altında Doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için bazı özellikler vardır: Bunlar; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olarak sıralanabilir. Belirlilik, problemde kullanılan parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik, karar değişkenlerinin her reel değeri alabilmesi, oranlılık, karar değişkenlerinin aldıkları değere göre oluşan katkı ve kullanılan kanak miktarının değişkenin değeri ile doğru orantılı olması, toplanabilirlik ise oluşan katkıların toplanabilmesidir. Bu özellikler var ise bir karar modeli doğrusaldır. Örneğin ukarıdaki modelde oranlılık, birinci karar değişkeninin birim değeri için oluşacak katkı ise, x birimi için bu katkının doğru orantıla artıp x kadar olması vea birim kanak kullanımı ise, birim için kanak kullanımının kadar olması; toplanabilirlik ise ikinci değişkenin x birimi için oluşacak benzer katkının 5x olup, iki değişkenin oluşturduğu katkıların (x +5x ) toplanabilmesidir. Belirlilik, problemde er alan birim katkılar, birim kanak kullanımları gibi parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik ise değişkenlerin her reel değeri alabilmesidir. Yukarıdaki özellikleri taşımaan modellere doğrusal değildir denir. Bir modelin tüm fonksionlarının enaz bir teriminde üslü ifadenin olması ( gibi iki değişkenin çarpımı vea üslü terimin olması) bu durum için eterlidir. Anı zamanda karar değişkenlerinin sürekli değişken değil de tam saılı olması durumunda da doğrusallık bozulur. Örnek bir doğrusal olmaan karar modeli aşağıdaki gibi verilebilir: 5

9 kısıtları altında İlk kısıtta iki değişkenin çarpımı, ikinci kısıtta ise bir değişkenin karesi bulunmaktadır. Doğrusal ve doğrusal olmaan karar modellerinin çözümü için farklı aklaşımlar vardır. Fakat doğrusal karar problemlerinin enii çözümü bir uç noktadadır (ileride açıklanacaktır) ve bu tip modellerin çözümlerini bulmak, doğrusal olmaanlara göre daha koladır. Bir doğrusal karar probleminin sağlaması gereken özellikler nelerdir? Kara, İ., (985), Yönelem Araştırmasının Yöntembilimi, Anadolu Üniversitesi Yaınları No: 96, Eskişehir 985. Karar modeli nedir? YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİ VE KULLANIM ALANLARI Yönelem Araştırması teknikleri pek çok alanda ugulama olanağı bulabilir. Aslında, tanımında da belirtildiği gibi örgütlerin ve/vea sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, ürütme ve kontrol faalietlerine bilimsel öntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm araan bir bilim dalı olduğu hatırlanırsa, Yönelem Araştırması ile ilgili çalışmaların ne kadar geniş bir elpazede er alabileceği kolaca görülebilir. Çünkü günümüzde hemen her sistemde; tasarım, kuruluş ve işletme aşamaları er alır. Gerek üretim, gerek hizmet sektörü olsun, aşaan her birim bu tür karar problemleri ile karşı karşıa kalır. Günümüz işletmelerinde, aakta kalabilmek ve rekabet edebilmek için, verimlilik, kaçınılmaz bir gerekliliktir. Elde bulunan kanakların, işgücünün ve en önemlisi zamanın verimli kullanılması, malietlerin düşürülmesi, enii atırım kararlarının alınması, sistemleri kurduktan sonra işleişlerinde de etkin bir kontrol ve planlama ile sürekliliklerinin sağlanması çok önemlidir. Yönelem Araştırması kapsamına giren konular ve tekniklere bakıldığında; üretim planlama ve stok kontrol, proje önetimi, ulaştırma ve atama, personel planlama ve çizelgeleme gibi problemlerin; doğrusal, doğrusal olmaan, tamsaılı, rassal ve dinamik programlama genel aklaşımlarının anında, oun teorisi, markov zincirleri, dal-sınır algoritması, MODI atlama taşı, CPM-PERT, Macar Algoritması, Simpleks Algoritması olarak adlandırılan çeşitli tekniklerle de çözülebildiği görülür. Her birisi farklı problemlerin çözümü için geliştirilen bu teknikler, problemlerin enii (optimum) çözümlerini bulmak amacıla kullanılırlar. Bazı örnekler vermek gerekirse; üretim sektöründe faaliet gösteren bir işletmenin, elinde bulunan makine, malzeme ve işgücü olanaklarını aşmadan, gelecek belirli bir dönem için üretim planını apması Yönelem Araştırması kapsamında çözülebilecek problemler arasında er alabilir. Üretim planı başlığını biraz daha açmak gerekirse, örneğin toplam satış karını enbüüklemek için planlama periodu içerisinde hangi üründen hangi miktarlarda üretilmesi gerektiği vea işlerin tamamlanma zamanını enküçüklemek ve müşterie en kısa zamanda sevkiat apabilmek için hangi operatörün hangi tezgahda çalışması vea hangi işin hangi tezgahta apılması gerektiği bulunabilir. Yine benzer şekilde, talepteki ani değişikliklere karşı hazırlıklı olmak için, önceden, hangi ürünlerden hangi sevielerde stok bulundurulması gerektiği de üretim planlama ve stok kontrolü kapsamında anıtlanması gereken sorular arasında er alıp hepsi çeşitli Yönelem Araştırması Teknikleri ile çözülebilir. 6

10 Hizmet sektörü açısından düşünüldüğünde, müşteri beklemelerini en aza indirecek ve memnunieti arttıracak şekilde, kaç tane servis personelinin olması gerektiği (bankalarda banko, marketlerde kasa saıları), pazardaki paı arttırabilmek için bir işletmenin izleebileceği farklı reklam ve pazarlama stratejilerinden hangisinin daha etkili olacağı gibi karar problemleri Yönelem Araştırması çalışma konuları arasındadır. Ulaştırma ve lojistik faalietleri açısından şu tür örnekler vermek mümkündür: Bir işletmenin, ürünlerinin sevkiatında kullanacağı araç filosunda er alacak araçlarının tiplerini ve saılarını a da mevcut araçlarının ürün sevkiatı sırasında izlemesi gereken rotalarını belirlemesi problemleri bu kapsamdadır. Rota belirleme sürecinde genellikle, en kısa ol bağlı olarak da en az taşıma malieti amaçlanmaktadır. Üretim sektöründe faaliet gösteren işletmeler için depo büüklükleri, depo saıları, arıca birden fazla üretim işletmesi ve deponun olduğu sistemler için hangi işletmeden hangi depoa vea hangi depolardan hangi müşterilere dağıtım apılacağı kararları da Yönelem Araştırması teknikleri kullanılarak verilebilir. Özellikle son elli ıldır büük ölçekli projelerde ugulanabilen Yönelem Araştırması teknikleri konusunda, GANTT Diagramı denen teknik en eskiler arasındadır. 958 de Amerikan Deniz Kuvvetleri Özel Projeler Bölümü tarafından, PERT (Project Evaluation and Review Technique), hemen hemen anı zamanlara rastlaan Kritik Yol Yöntemi ise (CPM-Critical Path Method), Dupont Kimevi Madde Fabrikası nda bakım onarım faalietlerine ardımcı olmak üzere geliştirilmiştir. Bu teknikler çoğunlukla zaman esaslı faalietlerin programlanması problemlerinde ugulanmaktadırlar. CPM-PERT de bir projee ait tüm faalietler tanımlanır, aralarındaki öncüllük-ardıllık ilişkileri belirlenir ve projee ait bir şebeke çizilir. Örneğin bir inşaatın temeli atılmadan birinci katının inşa edilmesi mümkün değildir. Temel atma işlemi, ilk kata çıkma alt faalietinin bir öncülüdür vea bir sempozum düzenleme etkinliğinde, sempozum tarihlerini belirlemeden, ilk duuruları apmak, duuruları apmadan katılımcıların kaıtlarını almaa başlamak mümkün değildir. Faalietler için süreler ve malietler tahmin edilir. Faalietlerin en erken ve en geç başlama ve bitiş süreleri ile bolluklar hesaplanır. Projee ait kritik ol denen bir rota ortaa çıkar. Bina, ol, köprü ve baraj inşaatı gibi büük ölçekli projelerde de bu gibi teknikler kullanılır. Bu teknikler bir defalık gerçekleştirilen büük projelerde, faalietlerin sistematik bir şekilde planlanmasına, hangi faalietin proje toplam süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğinin belirlenmesine ardımcı olur. Bir diğer benzer konu da şebeke modelleri olarak isimlendirilir. En kısa ol, enküçük örten ağaç, en büük akış gibi çeşitli alt çalışma alanları vardır. En kısa ol problemi, özellikle lojistik alanında vea haberleşme şebekelerinde kullanılabilecek bir takım öntemlerin gelişmesine sebep olmuştur. Otoolların apımında a da ukarıda belirtilen bir lojistik firmasının dağıtım faalietlerinde izleeceği rotanın belirlenmesinde, toplam mesafei enküçükleecek şekilde güzergahların vea ol bağlantılarının apılması bu öntemlerle sağlanabilir. En küçük örten ağaç problemi, örneğin bir beledienin bir ilçesine bağlı kölere elektrik bağlantısı apması konusunda, hangi kölere hangi kölerden elektrik götürüleceğine karar vermek gerekir. Burada bağlantı apılacak bir noktanın kendisine en akın herhangi bir noktadan elektrik alması mümkündür, bağlantı sonrası da artık kendisi de en akın komşu köe elektrik verebilir. Problem sanki tüm dallarına erişilmek istenen bir ağaca benzetilerek en küçük örten ağaç olarak literatürde erini almış, bir Yönelem Araştırması çalışma alanıdır. Son olarak en büük akış, maddelerin bir şebeke üzerinde bir noktadan diğerine enii (en büük akışı sağlaacak) şekilde taşınması problemi ile ilgilenir. Su, petrol, gaz vb. maddelerin boru hatlarından taşınması, elektriğin taşınması, haberleşme sistemlerinde bilgi akışının sağlanması a da kargo işletmelerinde mektupların alıcıa taşınması gibi problemler, bu kapsamda er almaktadırlar. Yönelem Araştırması tekniklerinin kullanılabileceği lojistik faalietlerine örnek veriniz. 7

11 Özet Yönelem Araştırması, II. Düna Savaşı ıllarında doğmuş, ilk ugulamaları askeri alanda gerçekleşmiş, örgütlerin tasarım, kuruluş ve işletim aşamalarında karşılaşılan önemli problemler için çözüm teknikleri sunan bir bilim dalıdır. Yönelem Araştırması, örgütlerin ve/vea sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, ürütme ve kontrol faalietlerine bilimsel öntemlerle katkıda bulunur ve bu alanlardaki problemlere çözüm arar. Yönelem Araştırması kapsamında, bir problemin varlığından bahsedilebilmesi, problemin çözümü için birden fazla seçeneğin olması durumunda sözkonusudur. Öte andan, ukarıda belirtilen sınıfa giren, çoğu stratejik kararda ise seçeneklerin türetilebilmesi çok da kola olmaabilmektedir. Bu durumda, sistemde er alan parametrelerin ve ilişkilerin temsil edildiği bir apıa ihtiaç duulmaktadır. Yönelem Araştırması kapsamında model denen bu oluşumlar ile, bir sistemin kendisi erine kendisi gibi davranan bir eşdeğeri ortaa konmaktadır. Bu eşdeğer sistemin çözümü ile probleme çözüm olabilecek seçeneklerin türetilmesi sağlanabilir. Modeller farklı şekillerde sınıflandırılmaktadırlar. Burada ele alınan sınıflama, modelleri; uuşum, benzeşim ve matematiksel olarak üçe aırmaktadır. Uçak simülatörleri, maket inşaat projeleri uuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örneğidirler. Çeşitli diagramlar ve grafikler benzeşim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmaıp, sistemdeki ilişkileri temsil ederler. Matematiksel model ise bir sistemin vea problemin, içerdiği değişkenler arası ilişkilerin, matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldığında oluşacak kuvvetin ifadesidir. Bu kavramlardan herhangi ikisinin değerinin bilinmesi durumunda üçüncüsünün değeri, bu ilişki ile bulunabilir. Öte andan, sistemi temsil eden matematiksel model ile türetilen seçeneklerin eniisinin belirlenmesi için, bir değerlendirme fonksionu kullanılmaktadır. Bu çerçevede, bir matematiksel modelde değişkenlerarası ilişkilerin gösterildiği fonksionlara kısıt, kısıtları sağlaan noktalar 8 (çözümler)ın eniisinin seçimi için kullanılan bu değerlendirme fonksionuna da amaç fonksionu denir. Kısıt ve amaç fonksionları ile ifade edildiğinde elde edilen matematiksel modele karar modeli denir. Karar modelleri doğrusal vea doğrusal olmaan özelliklerde olabilirler. İçerdiği fonksionların tümü doğrusal fonksionlar ise ve değişkenler de sürekli ise, doğrusal bir karar modeli ile karşı karşıa kalınır. Aksi halde, model, doğrusal olmaan bir apıdadır denir. Doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için bazı özellikler vardır: Bunlar; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olarak sıralanabilir. Belirlilik, problemde kullanılan parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik, karar değişkenlerinin her reel değeri alabilmesi, oranlılık, karar değişkenlerinin aldıkları değere göre oluşan katkı ve kullanılan kanak miktarının değişkenin değeri ile doğru orantılı olması, toplanabilirlik ise oluşan katkıların vea kanak kullanımlarının toplanabilmesidir. Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği vardır. Bunlar bilimsel öntem, bütünleşik aklaşım ve disiplinlerarası aklaşım olarak sıralanabilir. Bilimsel öntem, incelenen problem vea olala ilgili önce gözlem apılmasını, sonra bir hipotezin geliştirilmesini, ardından bu hipotezin denelerle sınanmasını ve son adım olarak da genellenmesini içerir. Bütünleşik aklaşım, ele alınan problemin, içerisinde er aldığı sistem ile birlikte tüm bileşenleri ve boutlarıla incelenmesidir. Son olarak disiplinlerarası aklaşım ise, Yönelem Araştırması kapsamındaki problemlerin, farklı disiplinlerde er alan uzmanlardan oluşan bir ekiple çözülmesi anlamına gelmektedir. Birlikte düşünüldüğünde bu üç özelliğin, problem çözüm süreçlerine farklı bir sistematik aklaşım kazandırdığı görülebilmektedir. Yönelem Araştırması çalışmalarında, bu üç temel özellik kullanılarak, Yönelem Araştırması Yaklaşımı da denen şu problem çözme aşamaları kullanılır: Problemin belirlenmesi, gerekli verilerin elde edilmesi, sistemin analiz edilmesi, modelin geliştirilmesi, modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerliliğinin sınanması, modelin ugulanması ve karar.

12 Yönelem Araştırması kapsamına giren konulara bakıldığında; üretim planlama ve stok kontrol, proje önetimi, ulaştırma ve atama, personel planlama ve çizelgeleme gibi pek çok problem; doğrusal, doğrusal olmaan, tamsaılı, rassal ve dinamik programlama genel aklaşımlarının anında, oun teorisi, markov zincirleri, dal-sınır algoritması, MODI atlama taşı, CPM-PERT, Macar Algoritması, Simpleks Algoritması olarak adlandırılan çeşitli tekniklerle çözülebilmektedir. Bu teknikler genellikle, problemlerin enii (optimum) çözümlerini bulmak amacıla kullanılırlar. Yönelem Araştırması tekniklerinin kullanım alanlarına daha arıntılı örnekler vermek gerekirse şunlar sölenebilir: Örneğin üretim sektöründe faaliet gösteren bir işletme; elindeki malzeme ve işgücü olanaklarını aşmadan, gelecek belirli bir dönem için üretim planını apmak istediğinde, toplam satış karını enbüüklemek için planlama periodu içerisinde hangi üründen hangi miktarlarda üretilmesi gerektiğini vea işlerin tamamlanma zamanını enküçüklemek ve müşterie en kısa zamanda sevkiat apabilmek için hangi operatörün hangi tezgahta çalışması vea hangi işin hangi tezgahta apılması gerektiğini bulmak istediğinde Yönelem Araştırması tekniklerinden ararlanabilir. Teknikler, hizmet sektöründe de pek çok alanda ugulama olanağı bulabilmektedir. Örneğin, bir kargo firmasının, araç filosunda er alacak araçların tiplerine ve saılarına, bir üretim işletmesinin, açacağı depoların erlerine ve büüklüklerine, taşımacılıkta hava, deniz vea kara olu taşıma seçeneklerine vea bunların bir kombinasonuna karar verirken çeşitli öntemler kullanılabilir. Proje planlama ve şebeke modelleri de Yönelem Araştırması çalışma konuları arasındadır. Bu konudaki teknikler; özellikle bina, ol, köprü ve baraj inşaatı gibi büük ölçekli ve genellikle bir defalık gerçekleştirilen büük projelerde, faalietlerin sistematik bir şekilde planlanmasına, hangi faalietin proje toplam süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğinin belirlenmesine ardımcı olurlar. Şebeke modelleri kapsamına giren konular ile ise; özellikle lojistik sektöründe, dağıtım faalietlerinde izlenecek en kısa rotanın belirlenmesi vea maddelerin bir şebeke üzerinde bir noktadan diğerine enii şekilde taşınması gibi problemlere çözüm aranır. Örneğin su, petrol, gaz vb. maddelerin boru hatlarından taşınması, elektriğin taşınması, haberleşme sistemlerinde bilgi akışının sağlanması, kargo işletmelerinde mektupların alıcıa taşınması, anısıra doğalgaz bağlantısı apılan bir erleşim biriminden diğer komşu erleşim birimlerinin hangilerine ve nasıl bir ağla bir bağlantı sistemi kurulacağının belirlenmesi gibi konularda çözümler, bu kapsamda er alan tekniklerle bulunabilir. Yönelem Araştırması; problem çözümlerinde farklı disiplinlerden, anısıra karar sürecinde bilimsel bir öntemden ararlanması, pek çok alanda ve çok çeşitli karar probleminde karar vericie ardımcı olacak çözüm öntemleri sunması önlerile sistemlerin verimliliğini arttırmada önemli bir bilim dalıdır. 9

13 Kendimizi Sınaalım. Aşağıdakilerden hangisi Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği arasında er alır? a. Sistematik öntem b. Modelleme c. Disiplinlerarası aklaşım d. Tasarlama e. Çözümleme. Aşağıdakilerden hangisi doğrusal bir karar modeli geliştirmek için gereken özelliklerden değildir? a. Belirlilik b. Saılabilirlik c. Toplanabilirlik d. Oranlılık e. Bölünebilirlik. Hangi ifade doğrusal olmaan bir apıa karşı gelmektedir? a. b. c. d. e. 4. Hangi seçenek, Yönelem Araştırması aklaşımındaki aşamaların sıralanışı için en ugunudur? a. Problemin belirlenmesi, modelin geliştirilmesi, çözülmesi b. Modelin geliştirilmesi, problemin belirlenmesi, modelin ugulanması c. Modelin geliştirilmesi, verilerin elde edilmesi, modelin ugulanması d. Modelin çözülmesi, modelin ugulanması, verilerin analiz edilmesi e. Verilerin analiz edilmesi, modelin ugulanması, modelin çözülmesi 5. Aşağıdakilerden hangisi bir uuşum modeline örnektir? a. b. Akış şeması c. Uçak simülatörü d. e. 6. Aşağıdakilerden hangisi bir benzeşim modeline örnektir? a. b. Akış şeması c. Uçak simülatörü d. e. 7. Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir? a. Yönelem Araştırması nın doğuşu II. Düna Savaşı ıllarına daanır. b. İlk çalışmalar farklı disiplinlerden kişiler tarafından gerçekleştirilmiştir. c. Frederick Talor un Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalışması da, ilk Yönelem Araştırması çalışmaları arasında önemli bir ere sahiptir. d. Yönelem Araştırması çalışmaları 9 lerde önemli ölçüde hızlanmıştır. e. Sistem aklaşımı Yönelem Araştırması nın üç temel özelliğinden değildir. 8. Hangisi oranlılık özelliğini tanımlar? a. Karar değişkenlerinin aldıkları değere göre oluşan katkı ve kullanılan kanak miktarının, değişkenin değeri ile doğru orantılı olması b. Karar değişkenlerinin her reel değeri alabilmesi c. Karar değişkenlerinin değerlerine göre oluşan katkıların toplanabilmesi d. Problemde er alan parametrelerin değerlerinin bilinmesi e. Verilen problemde er alan bir karar değişkeninin birim değerine karşılık oluşan katkı, başka bir karar değişkeninin birim değerine karşılık oluşan katkı iken, iki değişkenin birlikte oluşturacağı katkının olmasıdır.

14 9. Hangisi Yönelem Araştırması nın temel özelliklerinden biri değildir? a. Displinlerarası aklaşım b. Paralel aklaşım c. Bilimsel öntem d. Bütünleşik aklaşım e. Sistem aklaşımı. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a. Yönelem Araştırması ile bir problemin çözümü sürecinde seçenekler her zaman kolaca türetilir. b. Yönelem Araştırması tekniklerinin daha çok hizmet sektöründe kullanımı agındır. c. Bir problemin enii çözümünü bulmak, Yönelem Araştırması teknikleri ile her zaman mümkündür. d. Problemleri çözen seçenekler, her zaman kolaca türetilemeebilirler. Böle durumlarda bazen, matematiksel modellerden ararlanılabilir. e. Yönelem Araştırması, özel bilimsel çalışma alanlarındaki bilgi birikiminden ararlanır, fakat birden fazla disipline mensup araştırmacı vea uzmanın birlikte çalışması ugun bulunmaz. Kendimizi Sınaalım Yanıt Anahtarı. c Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz.. b Yanıtınız anlış ise Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz.. b Yanıtınız anlış ise Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 4. a Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması Yaklaşımı başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 5. c Yanıtınız anlış ise Model, Karar Modeli başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 6. b Yanıtınız anlış ise Model, Karar Modeli başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 7. d Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması na Giriş başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 8. a Yanıtınız anlış ise Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 9. b Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz.. d Yanıtınız anlış ise Model, Karar Modeli; Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği başlıklı konuları eniden gözden geçiriniz.

15 Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde Doğrusal karar problemlerinin sağlaması gereken özellikler; belirlilik, bölünebilirlik, oranlılık ve toplanabilirliktir. Sıra Sizde Bir karar problemini çözebilmek için; problemde er alan ilişkilerin, gerekliliklerin matematiksel ifadelerle gösterildiği ve alternatif çözümlerin değerlendirilmesi için de ine matematiksel değerlendirme fonksionlarının tanımlandığı, bütünleşik gösterimlerdir. Sıra Sizde Yönelem Araştırması teknikleri lojistik faalietlerin planlama ve kontrol aşamalarında pek çok karar noktasında kullanılabilir. Örneğin bir naklie şirketi; araç filosunda er alacak araçların saılarına, tiplerine vea mevcut araçlarının sevkiat sırasında izleeceği güzergahlara bu tekniklerle karar verebilir. Arıca bir üretim işletmesinin, açacağı depoların erlerini ve kapasitelerini belirlemek de ine birer Yönelem Araştırması problemi olarak kabul edilebilirler.

16 Yararlanılan Kanaklar Kara, İ., (), Doğrusal Programlama, Bilim Teknik Yaınevi, İstanbul. Kara, İ., (985), Yönelem Araştırmasının Yöntembilimi, Anadolu Üniversitesi Yaınları No: 96, Eskişehir 985. Taha, H, (), Yönelem Araştırması,. Basım, (Bara Ş. A., Esnaf Ş. tarafından çeviri), Literatür Yaıncılık, İstanbul. Timor, M. (), Yönelem Araştırması, Türkmen Kitabevi, İstanbul.

17 Amaçlarımız Bu ünitei tamamladıktan sonra; Doğrusal programlamaı tanımlaarak, ugulama alanlarını listeleebilecek, Doğrusal programlamanın varsaımlarını açıklaabilecek, Karar değişkeni ile tesadüfi değişken arımını apabilecek, Doğrusal programlama modelinin temel bileşenlerini açıklaabilecek, Doğrusal programlama modeli (üretim, dağıtım vb.) kurabilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Doğrusal Programlama Amaç Fonksionu Karar Değişkeni Maksimum Algoritma Model Matematiksel Model Kısıtlaıcı Minimum Optimum Karar Problemi İçindekiler Giriş Doğrusal Programlamanın Varsaımları Doğrusal Programlamanın Model Kurma Doğrusal Programlamanın Model Kurma Ugulamaları 4

18 Doğrusal Programlama GİRİŞ Yönelem araştırmasının en gelişmiş ve agın ugulama alanını oluşturan doğrusal programlama, doğrusal karar problemlerile ilgili kavram ve teknikler topluluğudur. Bu bölümde, önce doğrusal problemlerin matematiksel modellemesi anlatılıp, sonra da örnek problemler ele alınıp modellenecektir. Doğrusal programlama, belirli bir amaca ulaşmak için, bazı kısıtlaıcılar altında kıt kanakların en verimli şekilde kullanılmasını sağlaan bir matematiksel öntemdir. Bu şekilde varılmak istenen amaç, kâr maksimizasonu (en büükleme) vea maliet minimizasonu (en küçükleme) olarak belirlenebilir. Doğrusal programlamada doğrusal sözcüğü, fonksionların doğrusallığını, programlama ise planlama işlemini ifade etmektedir. Doğrusal programlama, tüm ugun seçenekler arasından optimum (enii) sonucun elde edilmesini sağlaan planlama faalietlerini içermektedir. Doğal olarak böle bir programlama sürecinde, önce gerekli veriler toplanır, problem modellenir ve daha sonra modelin çözümü araştırılır. Doğrusal programlama modeli kurulurken amacın, değişkenler arasında ilişkilerin ve kullanılacak kıt kanakların tanımlanması gerekir. Günümüz sistemleri (üretim, dağıtım, vb.) büük sistemlerdir. Bu büük sistemlerin modelleri de çok saıda değişken ve kısıtlaıcıdan oluşmaktadır. Büük modeller, bilgisaar ardımıla çözülebildiğinden, doğrusal programlamanın ugulama alanı sadece kıt kanakların dağıtımı ile sınırlı kalmamış, diğer birçok alanda da önemli ugulamalar ortaa konmuştur. Doğrusal programlamanın ugulama alanları ile ilgili olarak aşağıdaki liste verilebilir. Ulaştırma ve lojistik problemleri, Endüstriel üretim planlaması ve envanter (stok) kontrolü Personel programlaması Beslenme(diet) problemleri Karışım problemleri Tarımsal planlama Finansal planlama Yatırım planlaması Sağlık sistemleri Askeri planlama Trafik planlaması Atama problemleri Reklam seçimi problemleri Karışım problemleri 5

19 İşletme ve iktisat bilim dallarını da akından ilgilendiren doğrusal programlama, önelem araştırmasında da en agın kullanılan araçlardan birisidir. Geniş bir ugulama alanı olan doğrusal programlama, arıca işletmelerin karşılaştığı darboğazların giderilmesinde, kıt kanakların etkin kullanımı ve bunların gölge fiatlarının belirlenmesi ile en ugun çözümlere ulaştıracak politikaları saptamada kullanılmaktadır. Doğrusal programlamanın ugulama alanları nerelerdir? DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN VARSAYIMLARI Gerçek haatta karşılaşılan çoğu karar problemi için, en azından ugun kabullerle, doğrusal karar modeli geliştirmek mümkündür. Bir problem için karar modeli geliştirmek ve kurmak gerçek sistemi matematiksel olarak ifade etmek demektir. Bu işlem apılırken bilgi kabı kaçınılmazdır. Önemli olan en az bilgi kabı ile dönüşümü gerçekleştirebilmektir. Bu nedenle modelden tutarlı sonuçlar elde edilebilmesi için aşağıdaki varsaımlar kabul edilmelidir. Doğrusallık (Oranlılık) Varsaımı Bu varsaım modelin amaç fonksionu ve kısıtlaıcı fonksionları ile ilgilidir. Doğrusallık varsaımı, işletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişkinin olduğunu gösterir. Üretim düzei artarken anı oranda üretim girdileri de artar. Eğer, X j inci elem için amacın oluşumu doğrusallık özelliği gösteriorsa, X j nin her bir birim değerinin kara katkısı c j iken, X j nin çözüm değerinin amaca katkısı c j X j kadar olur. Bunun anında karar problemine esas olan b i inci kanaktan her bir birim X j için gerekli kanak miktarı a ij olmak üzere X j için kanak gereksinimi a ij X j kadar olur. Kısıtlar ve amaç fonksionu birinci dereceden fonksion olmalıdır. Aksi takdirde, doğrusal olmaan programlama söz konusu olur. Bu varsaım, her bir karar değişkeninin; gerek amaç fonksionu, gerekse tük kısıtlaıcılara etkisinin söz konusu değişkenin (X j ) değerile doğru orantılı olması gerektiğinin ifade eder. Karar değişkenlerine kontrol edilebilen değişkenler denir. İstatistikte değişken X i -tesadüfi değişkendir ve serbestçe değerler alabilen değişken olarak tanımlanır. Toplanabilirlik Varsaımı Doğrusal programlamada her fonksion, ilişkili olduğu faalietlerin, biresel katkılarının toplamıdır. Karar değişkenlerine verilecek değerlere göre, her birinin sağladığı katkılar toplanıp, toplam katkıı, ani amaç fonksionunu oluşturuorsa, toplanabilirlik varsaımı geçerlidir demektir. Bu varsaımı, kısıtlaıcıların sol tarafındaki sabitler için ele alırsak; değişik üretim faalietlerine kanak olan, üretim girdilerinin toplamının, her bir işlem için arı arı kullanılan girdilerin toplamına eşit olduğunu gösterir. Bölünebilirlik Varsaımı Modelin karar değişkenleri X j ler, her türlü reel değerleri alabiliorsa, bölünebilirlik varsaımı sağlanıor demektir. Bölece, karar değişkenleri, bazı faalietlerin düzeini gösterdiğinden, faalietlerin kesirli düzelerde çalışabileceği varsaılır. Bazen girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu nedenile, karar değişkenlerini tamamının vea bazılarının tam saı olması gerekebilir. Böle durumlarda, tam saılı programlama söz konusu olur. 6

20 Belirlilik (Kesinlik) Varsaımı Doğrusal programlama modelindeki tüm parametrelerin (amaç fonksionu katsaıları-c j, sağ taraf sabitleri-b i ve teknoloji katsaıları- a ij ) bilinior olduğu varsaımıdır. Parametre değerlerini kesin olarak bilinior olması varsaımı, modelin deterministtik model olduğunun göstergesidir. Bir problemde, karar değişkenleri ve parametrelerle ilgili olarak; doğrusallık, toplanabilirlik, bölünebilirlik ve belirlilik varsaımları geçerli ise bu problem doğrusal programlama problemi olarak modellenip çözülebilir. Burada dikkat edilmesi gereken husus, problemin doğru belirlenmesidir. Parametre değerlerinden kesin değerleri bilinmeenler için tahmin oluna gidilebilir. Daha sonra matematiksel modelleme aşamasına geçilmelidir. Fakat modelin doğrusallık ve bölünebilirlik varsaımları, gerçek dünadaki ilişkileri gözlemlendiğinde bir eksiklik gösterdiği sölenebilir. Denilebilir ki, bu iki varsaım doğrusal programlama öntemini kısıtlamaktadır. edilmektedir? Doğrusal programlama modeli kurulurken hangi varsaımlar kabul DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA MODEL KURMA Model kelime anlamı gerçeğin benzeri demektir. Model kurma, sistemi oluşturan unsurların matematiksel terimlerle ifade edilmesidir. Başka bir deişle problem, matematik diline tercüme edilir. Model doğrusal programlama gibi standart bir matematiksel model halinde ifade edilebiliorsa, bilinen algoritmalar ardımıla çözüme ulaşılabilir. Bir problemin, doğrusal programlama modeli kurulurken önce karar değişkenleri tanımlanır, sonrada amaç fonksionu ve kısıtlaıcılar formüle edilir. Algoritma: Problem çözümünde izlenen ol olarak isimlendirilebilir. Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi Bir problemin doğrusal programlama modelinin kurulmasına, öncelikle karar değişkenlerinin tanımlanmasıla başlanır. Karar değişkeni: bir problemde karar vericinin kontrolü altında olup da, değeri araştırılan elemler, karar değişkenleridir. Herhangi bir doğrusal programlama modelinde karar değişkenleri, alınacak kararları tamamen betimlemelidir. Karar değişkenleri, alınacak kararlara ilişkin faalietlerin düzeini göstermektedir. Karar değişkenleri genellikle; X j sembolü ile gösterilir. X j : j inci üründen üretilecek (vea taşınacak) miktar anlamındadır. Amaç Fonksionunun Belirlenmesi (j=,,.,n) Herhangi bir doğrusal programlama probleminde karar verici, karar değişkenlerinin bazı fonksionunu maksimum vea minimum apmak ister. Maksimum vea minimum apılmak istenen fonksiona, amaç fonksionu adı verilir. Doğrusal programlama modelinden beklenen sonucun alınabilmesi için, amacın açık olarak bilinmesi ve nicel olarak azılımı gerekmektedir. Modelin amaç fonksionu azılırken; Karar değişkenleri: X, X,..., X n Birim kâr vea maliet katsaıları c,c,.,c j,,c n ile gösterildiğinde, 7

21 Amaç fonksionu: Max/Min Z = c X + c X + +c j X j + + c n X n vea genel olarak şeklinde de azılabilir. Kısıtlaıcıların Belirlenmesi Ekonomide üretim kanakları vea üretim faktörleri sınırlıdır. Bir işletmenin elindeki makine kapasitesi, teknolojisi, işgücü, enerji, sermae, hammadde, arı mamul madde, malzeme gibi üretim faktörleri ile ürünlerine olan talep de sınırlıdır. Dolaısıla karar değişkenlerinin miktarı da sınırlı olacaktır. Önemli olan, bu kısıtlaıcılar altında amaç fonksionunu sağlaan ürünler üretmektir. İşletmenin faalietlerinde, b i : i inci kanak miktarı(i inci kısıtın sağ taraf sabiti), (i=,,, m) a ij : bir birim X j için gerekli i inci kanak miktarı(x j lerin i inci kısıttaki teknoloji katsaıları) sembolleri ile gösterirsek, m kısıt ve n karar değişkeninden oluşan doğrusal kısıtlaıcı fonksionların genel hali aşağıdaki gibi ifade edilebilir. a X +a X + +a j X j + +a n X n b a X +a X + +a j X j + +a n X n b a i X +a i X + +a ij X j + +a in X n b i.. a m X +a m X + +a mj X j + +a mn X n b m Kısıtlaıcılardaki karar değişkenlerinin katsaıları (a ij ), farklı ürünlerin üretiminde kullanılan teknolojii ansıttığı için, teknolojik katsaılar adı verilir. Kısıtlaıcıların sağ taraf sabitlerini oluşturan b i ler daha önce ifade ettiğimiz gibi elverişli kanak miktarını gösterir. Bu kanak miktarları kısıtlaıcı fonksionuna göre her zaman sınırlı olmaz. Bazen karar değişkenlerinin istediğinden fazla vea tam eşitlikte olabilir. Bu nedenle kısıtlaıcı denklemler, = eşitlik şeklinde olabileceği gibi, eşitsizlik şeklinde de olabilir. Eşitsizlik durumu, ukarıda görüldüğü gibi (küçük eşit) şeklinde olabileceği gibi, (büük eşit) şeklinde de olabilir. vea a i X +a i X + +a ij X j + a i X +a i X + +a ij X j + +a in X n b i +a in X n = b i Kısıtlaıcı fonksionlar genel olarak aşağıdaki şekilde de gösterilebilir. i j ij i =,... m, ) ( = bxa ij j =,... n, ) ( 8

22 İşaret Kısıtlaması Doğrusal programlama probleminin matematiksel modelini tamamlamak için her bir karar değişkeninin negatif olmama varsaımını sağlaması gerekir. Karar değişkeni X j nin sadece pozitif değerli olduğu varsaılırsa, X j işaret kısıtı modele eklenir. X j (j=,, n) Şimdi doğrusal programlama modelinin matematiksel azılımı aşağıdaki gibi olacaktır. Max/Min Z = c X + c X + + c n X n Kısıtlaıcılar a X +a X + +a n X n b a X +a X + +a n X n b a m X +a m X + +a mn X n b m ve X,X,,X n Herhangi bir doğrusal programlama modeli, belirlenen amaç fonksionunu minimize vea maksimize edecek karar değişkenlerinin değerini bulmak için kurulur. Doğrusal programlama modelinin temel bileşenleri nelerdir? DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA UYGULAMALARI Bu başlık altında doğrusal programlamanın varsaımları altında bir problemin, doğrusal programlama modeli olarak nasıl ifade edilebileceği, örneklerle anlatılmaa çalışılacaktır. Bir karar problemi için model geliştirme öncesinde amacın, karar değişkenlerinin ve parametrelerin tanımlanmış olması gerekir. Doğrusal programlamanın ugulama alanlarını örneklemek ve modellemek için aşağıdaki bazı problemlerin modellenmesi ele alınacaktı. Üretim Planlaması Doğrusal programlamanın en agın kullanıldığı alanlardan birisi, üretim işletmelerin de maksimum karlı vea minimum malietli üretim bileşenlerini belirlemede kullanılmasıdır. Örnek.. Bir marangoz işletmesi masa ve sandale üretmektedir. Bir masa apımı için metre tahtaa ve 5 saat iş gücüne gerek vardır. Bir sandale apımı için de metre tahtaa ve saat iş gücüne gerek vardır. İşletmenin elinde metre tahta ile saat iş gücü vardır. Arıca bir masanın satışından elde edilen kâr 6 ve bir sandalenin satışından elde edilen kâr 8 dir. İşletmenin amacı maksimum kara ulaşmaktır. Buna göre marangoz işletmesi ne kadar masa ve sandale üretmelidir. Problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X : üretilecek masa miktarını, X : üretilecek sandale miktarını, göstersin. 9

23 Amaç fonksionu; Max Z = 6 X + 8 X (Toplam kar. Üretilecek X adet masa ve X adet sandaleden elde edilecek karların toplamı.) Kısıtlaıcılar X + X 5X + X (tahta kısıtı) (iş gücü kısıtı) ve X,X Örnek.. Bir işletme X,Y ve Z gibi üç ürün üretmektedir. Bir birim X üretiminde birim A malı girdisi ile birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Bir birim Y malı üretiminde ise birim A malı ile birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Birim Z üretiminde ise sadece A malı girdisi kullanılmaktadır. İşletmenin elinde kullanılabilir 4 birim A malı ile birim B malı bulunmaktadır. Öte andan, bir birim X malının satış fiatı, bir birim Y malının satış fiatı 5 ve bir birim Z malının satış fiatı ise dir. Bu X,Y,Z mallarının birim üretim malietleri sırasıla 8, 9 ve 7 dir. Buna göre işletmenin karını maksimum kılabilmek için üretim bileşimi ne olmalıdır. Problemi doğrusal programlama modeli halinde ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X : üretilecek X ürününün miktarını, X : üretilecek Y ürününün miktarını, X : üretilecek Z ürününün miktarını, göstersin. Amaç karın maksimizasonu olduğundan, öncelikle işletmenin ürettiği üç ürün için birim net karlarının bulunması gerekmektedir. Birim kar: Birim satış fiatı birim üretim malieti Buna göre X in net karı, X nin net karı 6 ve X ün net karı da 5 dir. Amaç fonksionu: Max Z = X + 6X +5X Kısıtlaıcılar X + X +X 4 (A malı girdisi) X +X (B malı girdisi) ve X,X, X Örnek.. Bir metalik parça üreten atöle A ve B mamullerini imal etmektedir. A dan /parça ve B den /parça kâr edebilmektedir. Her gün, her bir mamulden düzine satabilmektedir. Atölede torna, freze ve taşlama olmak üzere üç tezgâh vardır. A mamulünden bir birim üretebilmek için, tornada 5 dakika, frezede 7 dakika ve taşlamada 4 dakika işlem görmesi gerekmektedir. B mamulünden bir birim üretebilmek için, tornada dakika, frezede 9 dakika ve taşlamada 7 dakika işlem görmesi gerekmektedir. Atölede bir torna, bir freze ve bir taşlama tezgahı vardır. Bu tezgâhlar başka işlerde de kullanıldığı için sadece aşağıda belirtilen miktarlarda boş zamanları vardır.

24 Tezgah boş Zamanı (dak.) Torna Freze Taşlama 65 9 A ve B den ne kadar üretilsin ki maksimum kara ulaşılsın. Problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X : A mamulünden üretilecek miktarı, X : B mamulünden üretilecek miktarı, göstersin. Talep: düzine = 44 adet olmak üzere, Amaç fonksionu; Max Z = X + X Kısıtlaıcılar X 44 (talep) X 44 (talep) 5X + X 65 (torna zamanı) 7X + 9X (freze zamanı) 4X + 7X 9 (taşlama zamanı) ve X,X Örnek.4. BORSAN firmasının üç fabrikası var ve her fabrikada üç arı boda boru üretilmektedir. Üç boda boru satışından elde edilen birim karlar şöledir. Büük bo için 8, orta bo için 6 ve küçük bo için de 54. Üç fabrikadaki emek ve makine güçlerine göre ancak haftada nolu fabrikada 8 birim, nolu fabrikada 65 birim ve nolu fabrikada 45 birim ürün üretebilmektedir. Fabrikaların stoklama alanları da sınırlıdır. nolu fabrikanın 4m, nolu fabrikanın 5 m ve üç nolu fabrikanın da 8 m lik stoklama alanı vardır. Büük bo boru haftalık üretiminde,5 m, orta bo boru haftalık üretiminde m ve küçük bo boru haftalık üretimi için,5 m ere gerek vardır. Satış bölümünün tahminine göre haftada büük bo borudan 8, orta bo borudan 9 ve küçük bo borudan 6 birim satılabilmektedir. Öte andan, önetim üç fabrikada üretilen malların göreli saısının emek ve makine kapasitelerine denk oranda olmasını istemektedir. Yönetim, karını en çok apabilmek için üç fabrikada her bir bodan ne kadar birimlik ürün üretilmesi gerektiğini saptamak istemektedir. Problemi doğrusal programlama modeli olarak kurunuz. Çözüm: Bu problemde, karar değişkenleri ve parametreleri fabrika-ürün ilişkisini belirtecek şekilde çift indisle göstermek erinde olacaktır. Karar değişkenleri X ij = i inci fabrikada üretilecek j inci boda boru miktarı. (i=,,) (j= büük, j= orta, j= küçük)

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMİ İLE TÜRKİYE DEKİ SİGORTA ŞİRKETLERİNİN PERFORMANSLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMİ İLE TÜRKİYE DEKİ SİGORTA ŞİRKETLERİNİN PERFORMANSLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi Yıl:4 Saı:7 Bahar 005/ s.9-9 DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMİ İLE TÜRKİYE DEKİ SİGORTA ŞİRKETLERİNİN PERFORMANSLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Münevver TURANLI

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJE ADI: TÜRKİYE DEKİ GELECEKTEKİ DOKTOR İHTİYACINI YÖNEYLEM ARASTIRMASI İLE BELİRLEMEK MEV KOLEJİ BASINKÖY OKULLARI

Detaylı

Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

Çözümlemeleri adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu. Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı. 1996 yılında İ.Ü. Orman Fakültesi,

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Bilginin Görselleştirilmesi

Bilginin Görselleştirilmesi Bilginin Görselleştirilmesi Bundan önceki konularımızda serbest halde azılmış metinlerde gerek duduğumuz bilginin varlığının işlenmee, karşılaştırmaa ve değerlendirmee atkın olmadığını, bu nedenle bilginin

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

YETİŞ. tirme ve geliştirme. faaliyetlerini, yetiştirme. şeklinde iki başlık altında toplamak. nde

YETİŞ. tirme ve geliştirme. faaliyetlerini, yetiştirme. şeklinde iki başlık altında toplamak. nde İnsan Kanakları Yönetimi nde nde EĞİTİM: YETİŞ İŞTİRME & GELİŞ İŞTİRME 6 Öğr. Grv. Dr. M. Volkan TÜRKERT 1 İKY de EğitimE Personelin vea onların oluşturduklar turdukları grupların, işletmede i üklendikleri

Detaylı

KENAR TETİKLEMELİ D FLİP-FLOP

KENAR TETİKLEMELİ D FLİP-FLOP Karadeniz Teknik Üniversitesi Bilgisaar Mühendisliği Bölümü Saısal Tasarım Laboratuarı KENAR TETİKLEMELİ FLİP-FLOP 1. SR Flip-Flop tan Kenar Tetiklemeli FF a Geçiş FF lar girişlere ugulanan lojik değerlere

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI 2014 İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI Açıklama Staj yapılan işletmelerde

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ KAMU İHALE KURUMU UZMAN YARDIMCILIĞI GİRİŞ SINAVI ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ ADAYIN ADI :... SOYADI :..... T.C.KİMLİK NUMARASI :... SINAV SALON NO :... SIRA:.. *Yukarıdaki Bilgileri Doldurmaı Unutmaınız. Soru

Detaylı

Tedarik Zinciri Yönetimi

Tedarik Zinciri Yönetimi Tedarik Zinciri Yönetimi -Tedarik Zinciri Ağı Tasarımı- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Ağ tasarımı, tedarik zinciri açısından üç karar düzeyini de ilgilendiren ve bu düzeylerde etkisi olan bir konudur. Zincirin

Detaylı

1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ

1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ 13 1.1. Üretim, Üretim Yönetimi Kavramları ve Önemi 14 1.2. Üretim Yönetiminin Tarihisel Gelişimi 18 1.3. Üretim Yönetiminin Amaçları ve Fonksiyonları

Detaylı

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 03. İşler veya eylemler olası olan zaman ve mekanının tamamını kullanacaktır.

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 03. İşler veya eylemler olası olan zaman ve mekanının tamamını kullanacaktır. İNŞAAT PROJELERİNİN YÖNETİMİNDE FİZİBİLİTE ÇALIŞMASI İnşaat projelerinin yönetimi ve kurallar Parkinson Kuralı İşler veya eylemler olası olan zaman ve mekanının tamamını kullanacaktır. Peter İlkesi Bireyler

Detaylı

Bu makale Temmuz 1998 tarihinde Vergi Sorunları Dergisi nin 118 numaralı sayısında yayımlanmıştır.

Bu makale Temmuz 1998 tarihinde Vergi Sorunları Dergisi nin 118 numaralı sayısında yayımlanmıştır. Bu makale Temmuz 1998 tarihinde Vergi Sorunları Dergisi nin 118 numaralı saısında aımlanmıştır. VERGİ MEVZUATIMIZDA VERGİLERİN KANUNİLİĞİ PRENSİBİNDEN SAPMALAR M. Akut KELECĠOĞLU Gelirler Kontrolörü Vergilendirme

Detaylı

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I kitabımıda doğrusal denklemleri tanımlamıştık (safa 85). Arıca, matematiksel modeli doğrusal denklemler içeren problem

Detaylı

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or HRS şirketi BRN Endüstrileri ile bir anlaşma yapmış ve her ay BRN ye üretebildiği kadar A ürününden sağlamayı garanti etmiştir. HRS de vasıflı ustalar ve çıraklar çalışmaktadır. Bir usta, bir saatte 3

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 Bölüm 2 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 21 2.1 Doğrusal Programlamanın

Detaylı

Sağlık Hizmetlerinde Maliyet

Sağlık Hizmetlerinde Maliyet Sağlık Hizmetlerinde Maliyet Sağlık İşletmelerinde Maliyet Sağlık işletmelerinde maliyetleri oluşturan faktörlerin bilinmesi ve bütçedeki yeri Artan maliyetlerin kontrol altına alınması Üretimin/kaynakların

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak GAMS Giriş GAMS (The General Algebraic Modeling System) matematiksel proglamlama ve optimizasyon için tasarlanan yüksek seviyeli bir dildir. Giriş dosyası:

Detaylı

Gürcan Banger 21 Mayıs 17 Haziran 2012

Gürcan Banger 21 Mayıs 17 Haziran 2012 Gürcan Banger 21 Mayıs 17 Haziran 2012 Üretim Yatırımı Girişim kapsamında hedeflenen ürün veya hizmetlerin üretilmesi için gerekli işletme faaliyetleri planlanmalıdır. Girişimcinin uzmanlığına da bağlı

Detaylı

İZMİR EKONOMİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE BİLGİSAYAR BİLİMLERİ FAKÜLTESİ. Endüstri Sistemleri Mühendisliği Bölümü

İZMİR EKONOMİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE BİLGİSAYAR BİLİMLERİ FAKÜLTESİ. Endüstri Sistemleri Mühendisliği Bölümü İZMİR EKONOMİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE BİLGİSAYAR BİLİMLERİ FAKÜLTESİ Endüstri Sistemleri Mühendisliği Bölümü Akış Planı Endüstri Mühendisliği nedir? Endüstri Sistemleri Mühendisliği ile farkları IEU

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions)

Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions) Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions) Öğr. Üyesi: Öznur Özdemir Kaynak: Waters, D. (2009). Supply Chain Management: An Introduction to Logistics, Palgrave Macmillan, New York

Detaylı

ENDÜSTRİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK)

ENDÜSTRİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK) İŞLETME MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK) Endüstri İşletme Mühendisliği Meslek Dalı Ana Komisyonu (EİM MEDAK), TMMOB Makina Mühendisleri Odası nda Endüstri ve İşletme Mühendislerinin (EİM) örgütlenerek

Detaylı

KALİTE SİSTEM YÖNETİCİSİ EĞİTİMİ

KALİTE SİSTEM YÖNETİCİSİ EĞİTİMİ FMEA-HATA TÜRLERİ VE ETKİ ANALİZİ Tanımlama Mevcut veya olası hataları ortaya koyan, bu hataların yaratabileceği etkileri göz önünde bulunduran ve etkilerine göre hataları önceliklendirerek oluşmalarının

Detaylı

TESİS TASARIMI ve PLANLAMASI -Giriş-

TESİS TASARIMI ve PLANLAMASI -Giriş- TESİS TASARIMI ve PLANLAMASI -Giriş- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü İşletme: İnsanların ihtiyaçlarını karşılamak amacıyla mal ve

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK KPSS - YGS - DGS - ALES Adayları için ve 9. sınıfa destek 0 dan Başlayanlara AKTİF MATEMATİK MEHMET KOÇ ÖNSÖZ Matematikten korkuyorum, şimdiye kadar hiç matematik çözemedim, matematik korkulu rüyam! bu

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi İlhan AYDIN KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde belirli noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2013-2014 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI DERS PLANI

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2013-2014 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI DERS PLANI T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2013-2014 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI DERS PLANI YABANCI DİL HAZIRLIK SINIFI GÜZ YARIYILI BAHAR YARIYILI 30 30 1. YIL GÜZ YARIYILI 1203110

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

MÜŞTERİ İLİŞKİLERİ YÖNETİMİ (PZL208U)

MÜŞTERİ İLİŞKİLERİ YÖNETİMİ (PZL208U) DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. MÜŞTERİ İLİŞKİLERİ YÖNETİMİ (PZL208U)

Detaylı

Üretim Planlarında AÜP'nin Yeri

Üretim Planlarında AÜP'nin Yeri Ana Üretim Programı Ana Üretim Programı Nihai ürünlerin üretimi için yapılan programdır. Ana üretim programı, bütünleşik üretim planını detaylandırarak üretilecek ürün kalemlerine çevirir. Seçenek planları

Detaylı

DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME. 1. İşletmenin yapısal özelliklerini şöyle sıralayabiliriz:

DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME. 1. İşletmenin yapısal özelliklerini şöyle sıralayabiliriz: DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME 1 1. İşletmenin yapısal özelliklerini şöyle sıralayabiliriz: 3 İşletme bir ekonomik kuruluştur. 3 İşletme bağımsız bir kuruluştur. 3 İşletme sosyal bir kuruluştur. 3 İşletme

Detaylı

Endüstri Mühendisliği Tezli Yüksek Lisans Dersler Tablosu

Endüstri Mühendisliği Tezli Yüksek Lisans Dersler Tablosu Endüstri Mühendisliği Tezli Yüksek Lisans Dersler Tablosu Zorunlu Dersler Ders Kodu Ders Adı Teorik Uygulama Toplam AKTS IENG540 Optimizasyon Modelleri ve Algoritmalar 3 0 3 8 IENG560 Olasılıksal Analiz

Detaylı

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler) 1*. Bir tekstil firması 3 ebatta (S-M-L) gömlek üretmektedir. Her bir gömleğin üretim maliyeti sırasıyla 3 pb., 4 pb. ve 6 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; haftada en az 2000 adet S, 3000

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

Tedarik Zinciri Yönetimi -Bileşenler, Katılımcılar, Kararlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN

Tedarik Zinciri Yönetimi -Bileşenler, Katılımcılar, Kararlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Tedarik Zinciri Yönetimi -Bileşenler, Katılımcılar, Kararlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Tedarik Zinciri Bileşenleri Tedarik zincirlerinde üç temel bileșenden söz edilebilir: Aktörler: Tedarik zinciri

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM: TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİNE GİRİŞ

BİRİNCİ BÖLÜM: TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİNE GİRİŞ İÇİNDEKİLER Önsöz... v İçindekiler... vii BİRİNCİ BÖLÜM: TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİNE GİRİŞ 1.1 Tedarik Zincirinin Temel Fonksiyonları... 8 1.1.1 Üretim... 8 1.1.2 Envanter Yönetimi... 16 1.1.3 Taşıma ve

Detaylı

Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması

Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması Projenin Amacı : YGS de başarılı olmak isteyen bir öğrencinin, istatistiksel yöntemler çerçevesinde, sınavda çıkan soru sayısını,

Detaylı

Çizelgeleme Nedir? Bir ürünün üretilmesi/hizmetin sunumu için

Çizelgeleme Nedir? Bir ürünün üretilmesi/hizmetin sunumu için Üretim Çizelgeleme Çizelgeleme Nedir? Bir ürünün üretilmesi/hizmetin sunumu için işgörenin nerede, ne zaman gerekli olduğunun, gerekli faaliyetlerin zamanlamasının, üretime başlama ve üretimi tamamlama

Detaylı

Neden Endüstri Mühendisliği Bölümünde Yapmalısınız?

Neden Endüstri Mühendisliği Bölümünde Yapmalısınız? Lisansüstü Eğitiminizi Neden Endüstri Mühendisliği Bölümünde Yapmalısınız? Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü, 1990 yılında kurulmuş ve ilk mezunlarını 1994

Detaylı

1/1000 ÖLÇEKLİ KADASTRO PAFTALARININ KARTOGRAFİK YÖNTEMLERLE SAYISAL HALE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ VE DOĞRULUK ANALİZİ

1/1000 ÖLÇEKLİ KADASTRO PAFTALARININ KARTOGRAFİK YÖNTEMLERLE SAYISAL HALE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ VE DOĞRULUK ANALİZİ 1/1000 ÖLÇEKLİ KADASTRO PAFTALARININ KARTOGRAFİK YÖNTEMLERLE SAYISAL HALE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ VE DOĞRULUK ANALİZİ ÖZET A. Celan 1, Ö. Mutluoğlu 2, R. Günaslan 3 1 S. Ü. Müh. Mim. Fak., Jeodezi ve Fot. Müh.

Detaylı

ÜRÜN, SÜREÇ ve ÇİZELGE TASARIMI

ÜRÜN, SÜREÇ ve ÇİZELGE TASARIMI Anadolu Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü ÜRÜN, SÜREÇ ve ÇİZELGE TASARIMI Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2010-2011 Öğretim Yılı, Güz Dönemi

Detaylı

İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI. Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT

İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI. Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI Bu Dersimizde; Kuruluşla İlgili Bazı Temel Kavramlar Genel Olarak İşletmenin Kuruluş Aşamaları Fizibilite Çalışmalarının

Detaylı

Kurumsal Uygulamalar ve Bilgi Teknolojileri Entegrasyonu

Kurumsal Uygulamalar ve Bilgi Teknolojileri Entegrasyonu Kurumsal Uygulamalar ve Bilgi Teknolojileri Entegrasyonu 20.12.2013 Kurumsal Bilgi Sistemleri Satış ve Pazarlama Bilgi Sistemleri Muhasebe ve Finans Bilgi Sistemleri İnsan Kaynakları Bilgi Sistemi Üretim

Detaylı

Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN

Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN Dersle İlgili Konular Üretim Yönetimi Süreç Yönetimi Tedarik Zinciri Yönetimi Üretim Planlama ve Kontrolü Proje Yönetimi Kurumsal Kaynak Planlaması-ERP Kalite Yönetimi Modern

Detaylı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2013-2014 Güz Dönemi Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş

Detaylı

26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır?

26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır? 26.2.23 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HĐPOTEZ TESTLERĐ denir. Sonuçların raslantıya bağlı olup

Detaylı

Marmara Üniversitesi Lojistik & Tedarik Zinciri Yönetimi Sertifika Programı Marmara University Logistics & Supply Chain Management Certificate Program

Marmara Üniversitesi Lojistik & Tedarik Zinciri Yönetimi Sertifika Programı Marmara University Logistics & Supply Chain Management Certificate Program Marmara Üniversitesi Lojistik & Tedarik Zinciri Yönetimi Sertifika Programı Marmara University Logistics & Supply Chain Management Certificate Program Amaç Değişen ve gelişen müşteri isteklerinin en verimli

Detaylı

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz. 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz. 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi Prof.Dr.Berna Dengiz 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi BENZETİM DİLLERİNDE MODELLEME YAKLAŞIMLARI Tüm benzetim dilleri; ya olay-çizelgeleme

Detaylı

ERZİNCAN ÜNİVERSİTESİ

ERZİNCAN ÜNİVERSİTESİ ERZİNCAN ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ I.SINIF II.YARIYIL DOKTORA İŞLETME ANABİLİM DALI DERS TANITIM FORMU Dersin Kodu ve Adı: Uygulamalı Finansal Araştırmalar Bölüm / Anabilim Dalı: İşletme Yarıyıl

Detaylı

Alparslan Serhat DEMİR, Endüstri Mühendisliğine Giriş Ders Notları, Sakarya Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü TESİS PLANLAMA

Alparslan Serhat DEMİR, Endüstri Mühendisliğine Giriş Ders Notları, Sakarya Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü TESİS PLANLAMA 9.1.Giriş TESİS PLANLAMA Tesis planlama bir kurum veya kuruluşun fiziksel ini geliştirmek için gerçekleştirilen sistematik bir yaklaşımdır. Bir organizasyonun en önemli varlıklarından biri olan kapladığı

Detaylı

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI C PROGRAMLAMA DİLİ YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN 1 PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI Program : Belirli bir problemi çözmek için bir bilgisayar dili kullanılarak yazılmış deyimler dizisi. Algoritma bir sorunun

Detaylı

İŞLETME TÜRLERİ İŞLETME TÜRLERİ 24.03.2014. Faaliyet Alanlarına Göre İşletme Türleri

İŞLETME TÜRLERİ İŞLETME TÜRLERİ 24.03.2014. Faaliyet Alanlarına Göre İşletme Türleri Yrd.Doç.Dr. Gaye Açıkdilli Yrd.Doç.Dr. Erdem Kırkbeşoğlu 1. Faaliyet alanlarına göre 2. Tüketici türlerine göre 3. Üretilen mal veya hizmet çeşitlerine göre 4. Üretim araçlarının mülkiyet biçimine göre

Detaylı

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 1. A saısının 6 ile bölümünden elde edilen bölüm 9 kalan olduğuna göre, A saısı A) 3 B) C) 7 D) 8 E) 9. x, N olmak üzere, x 6 ukarıdaki bölme işlemine göre x in alabileceği

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

Tedarik Zinciri Yönetimi -Temel Kavramlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN

Tedarik Zinciri Yönetimi -Temel Kavramlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Tedarik Zinciri Yönetimi -Temel Kavramlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Neden? Bir ișletme sistemi için en kilit etken MÜȘTERİdir. Müșteri açısından ișletmeleri etkileyen güncel etkiler: Müșteri sayısı artmaktadır.

Detaylı

The Relation among retail price main of consumption center of fruit and vegetables and Region of Mediterranean (Turkey) : Test of Market Integration

The Relation among retail price main of consumption center of fruit and vegetables and Region of Mediterranean (Turkey) : Test of Market Integration MPRA Munich Personal RePEc Archive The Relation among retail price main of consumption center of fruit and vegetables and Region of Mediterranean (Turke) : Test of Market Integration Seval Mutlu and Erkan

Detaylı

Ders Kodu Dersin Adı Dersin Ġntibak Durumu

Ders Kodu Dersin Adı Dersin Ġntibak Durumu ENDÜSTRĠ SĠSTEMLERĠ MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ ĠNTĠBAK ÇĠZELGESĠ 2010-2011 1.SINIF / GÜZ DÖNEMĠ IUE100 Akademik ve Sosyal Oryantasyon CS 115 Programlamaya Giriş I Bu ders 1. Sınıf güz döneminden 2. Sınıf güz

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

3.1 ZEMĐN BETONUNA ETKĐ EDEN YÜKLER VE YÜKLEME ŞEKĐLLERĐ

3.1 ZEMĐN BETONUNA ETKĐ EDEN YÜKLER VE YÜKLEME ŞEKĐLLERĐ 3. ZEMĐN BETONUNA ETKĐ EDEN YÜKLER VE YÜKLEME ŞEKĐLLERĐ Zemin plağı üzerine etki eden dış ükler, plakta momentlerin oluşmasına sebep olurlar. Kolon ve taban plakası vasıtasıla plağa etkien tekil ükler

Detaylı

GALATASARAY ÜNİVERSİTESİ BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJELERİ MÜHENDİSLİK VE TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ÖĞRETİM ÜYELERİ TARAFINDAN YÜRÜTÜLEN PROJELER (2008-2011)

GALATASARAY ÜNİVERSİTESİ BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJELERİ MÜHENDİSLİK VE TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ÖĞRETİM ÜYELERİ TARAFINDAN YÜRÜTÜLEN PROJELER (2008-2011) 08.401.001 08.401.002 08.401.003 Dikkat Seviyesindeki Değişimlerin Elektrofizyolojik Ölçümler İle İzlenmesi PFO(Patent Foramen Ovale) Teşhisinin Bilgisayar Yardımı İle Otomatik Olarak Gerçeklenmesi ve

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

Dr. Musa KILIÇ Öğretim Görevlisi http://kisi.deu.edu.tr/musa.kilic

Dr. Musa KILIÇ Öğretim Görevlisi http://kisi.deu.edu.tr/musa.kilic Dr. Musa KILIÇ Öğretim Görevlisi http://kisi.deu.edu.tr/musa.kilic BİLGİSAYAR DONANIM Donanım birimleri ekran, klavye, harddisk, ram YAZILIM Yazılımlar ise bilgisayarın donanım yapısını kullanılır hale

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. ÖRNEKLEME VE ARAŞTIRMA PROBLEMİNE UYGUN ÖRNEKLEME YAPMA

1. ÖRNEKLEME VE ARAŞTIRMA PROBLEMİNE UYGUN ÖRNEKLEME YAPMA 1. ÖRNEKLEME VE ARAŞTIRMA PROBLEMİNE UYGUN ÖRNEKLEME YAPMA Araştırmacı kişi ya da kurumlar birinci el veri elde etye yönelik araştırma yapmaya karar verdiklerinde çoğu zaman araştırma yapacağı grubun tüm

Detaylı

SiSTEM ANALiZi ve TASARIMI

SiSTEM ANALiZi ve TASARIMI SiSTEM ANALiZi ve TASARIMI BIL3403 Öğ. Gör. ASLI BiROL abirol@kavram.edu.tr 01.10.2012 Dersin Amacı Bu ders ile öğrenci; edindiği mesleki bilgi birikimini kullanarak sektörde uygulanabilir bir projeyi

Detaylı

İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ

İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ İşletme yöneticileri belli bir dönem sonunda belli miktarda kâr elde etmeyi hedeflerler. Kâr = Gelirler - Giderler Olduğuna göre, kârı yönetmek aslında gelirler

Detaylı

Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN

Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN Dersle İlgili Konular Üretim Yönetimi Süreç Yönetimi Tedarik Zinciri Yönetimi Üretim Planlama ve Kontrolü Proje Yönetimi Kurumsal Kaynak Planlaması-ERP Kalite Yönetimi Modern

Detaylı

OLANAKLAR, TERCIHLER VE SEÇIMLER 2

OLANAKLAR, TERCIHLER VE SEÇIMLER 2 OLANAKLAR, TERCIHLER VE SEÇIMLER 2 1. TÜKETIM OLANAKLARI 2 1.1. BÖLÜNEBILIR VE BÖLÜNEMEZ MALLAR 3 1.2. FIYAT VE GELIRDE DEĞIŞMELER 3 2. TERCIHLER 4 2.1. KAYITSIZLIK EĞRILERI VE TERCIHLER 6 2.2. İKAME DERECESI

Detaylı

T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ

T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DERS : OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ ÖĞR.ÜYESİ : Yard.Doç.Dr. MEHMET TEKTAŞ 1 ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM: Aşağıdaki tabloda saat olarak her öğrencinin iş eğitimi

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

RİSK ALTINDA DENETİM MALİYETİNİ MİNİMİZE EDECEK STRATEJİLERİN OYUN TEORİSİ YAKLAŞIMI İLE BELİRLENMESİ

RİSK ALTINDA DENETİM MALİYETİNİ MİNİMİZE EDECEK STRATEJİLERİN OYUN TEORİSİ YAKLAŞIMI İLE BELİRLENMESİ i T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ İŞLETME ANABİLİM DALI RİSK ALTINDA DENETİM MALİYETİNİ MİNİMİZE EDECEK STRATEJİLERİN OYUN TEORİSİ YAKLAŞIMI İLE BELİRLENMESİ Güler Ferhan ÜNAL

Detaylı

ULAŞTIRMA HİZMETLERİ DEPO ELLEÇLEME PERSONEL EĞİTİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI)

ULAŞTIRMA HİZMETLERİ DEPO ELLEÇLEME PERSONEL EĞİTİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Hayat Boyu Öğrenme Genel Müdürlüğü ULAŞTIRMA HİZMETLERİ DEPO ELLEÇLEME PERSONEL EĞİTİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) 2012 ANKARA ÖN SÖZ Günümüzde mesleklerin değişim

Detaylı

PROJE HAZIRLAMA EĞİTİMİ (PCM) Gazi Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi NİSAN 2015

PROJE HAZIRLAMA EĞİTİMİ (PCM) Gazi Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi NİSAN 2015 PROJE HAZIRLAMA EĞİTİMİ (PCM) Gazi Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi NİSAN 2015 PROJE NEDİR? Zaman, Kaynak, Amaç Belirli bir zaman aralığı içinde, mevcut kaynakları kullanarak, önceden tanımlanan hedef

Detaylı

Bilimsel Araştırma Yöntemleri I

Bilimsel Araştırma Yöntemleri I İnsan Kaynakları Yönetimi Bilim Dalı Tezli Yüksek Lisans Programları Bilimsel Araştırma Yöntemleri I Dr. M. Volkan TÜRKER 7 Bilimsel Araştırma Süreci* 1. Gözlem Araştırma alanının belirlenmesi 2. Ön Bilgi

Detaylı

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ Ömer Faruk GÖRÇÜN Kadir Has Üniversitesi Örnek Olay ve Uygulamalarla TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ II Yayın No : 2874 İşletme-Ekonomi Dizisi : 573 1. Baskı - Ekim 2010 - İSTANBUL 2. Baskı - Mart 2013 - İSTANBUL

Detaylı

Sistem kavramı ile ilgili literatürde birçok tanım vardır. Bu tanımlara göre sistem; Aralarında karşılıklı ilişkiler olan elemanlar kümesidir.

Sistem kavramı ile ilgili literatürde birçok tanım vardır. Bu tanımlara göre sistem; Aralarında karşılıklı ilişkiler olan elemanlar kümesidir. 1 Sistem kavramı ile ilgili literatürde birçok tanım vardır. Bu tanımlara göre sistem; Aralarında karşılıklı ilişkiler olan elemanlar kümesidir. Birbirleri ile etkileşimli elemanların oluşturduğu topluluktur.

Detaylı

AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI ŞEKİLLERİ GİRİŞ

AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI ŞEKİLLERİ GİRİŞ GİRİŞ AKIŞ ŞEMASI Bir önceki ünitede algoritma, bilgisayarda herhangi bir işlem gerçekleştirmeden ya da program yazmaya başlamadan önce gerçekleştirilmesi düşünülen işlemlerin belirli bir mantık ve plan

Detaylı

2013-2014 Bahar Y.Y. E-Mühendislik Yönetimi Proje Dersi Danışman Listesi ve İlgi Alanları

2013-2014 Bahar Y.Y. E-Mühendislik Yönetimi Proje Dersi Danışman Listesi ve İlgi Alanları 2013-2014 Bahar Y.Y. E-Mühendislik Yönetimi Proje Dersi Danışman Listesi ve İlgi Alanları Prof. Dr. Orhan TORKUL 1. Bilişim Sistemleri Analiz ve Tasarımı 2. İş Zekası Sistemleri 3. Ortak Çalışma Sistemleri

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR)

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) 4.1 Kafesler: Basit Kafes: İnce çubukların uçlarından birleştirilerek luşturulan apıdır. Bileştirme genelde 1. Barak levhalarına pimler ve kanak vasıtası

Detaylı