YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I"

Transkript

1 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINI NO: 58 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINI NO: 499 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I Yazarlar Prof.Dr. Müjgan SAĞIR (Ünite, 4, 5) Yrd.Doç.Dr. Mahmut ATLAS (Ünite, ) Doç.Dr. Nil ARAS (Ünite 6, 8) Arş.Gör.Dr. Zehra KAMIŞLI ÖZTÜRK (Ünite 7) Editör Prof.Dr. B. Fethi ŞENİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ i

2 İçindekiler Önsöz... iv. Yönelem Araştırmasına Giriş. Doğrusal Programlama. 4. Doğrusal Programlama Modellerinin Çözümü: Grafik Çözüm Tekniği 8 4. Simpleks Algoritması Duarlılık Analizi İkillik (Dualite) Hedef Programlama Ulaştırma ve Atama Modelleri. 7 iii

3 Önsöz Karar vermek, aşımız ve mesleğimiz ne olursa olsun haatın her aşamasında, saamaacağımız kadar çok defa karşı karşıa kaldığımız bir işlemdir. Ne gieceğiniz, nee atırım apacağınız, çocuğunuzun hangi okula devam edeceği, karierinizi nasıl planlaacağınız, hangi tedarikçi ile çalışacağınız, hangi kargo ile iletilerinizi göndereceğiniz, hangi servis sağlaıcısı ile çalışacağınız, hangi lisansüstü programa kaıt olacağınız, hangi marka buzdolabı alacağınız, emeğinizle hangi içeceği sipariş edeceğiniz, ödemenizi kredi kartı ile mi peşin mi apacağınız Meslek aşantılarında da insanlar hemen her an karar vermek durumundadırlar. Şu marka hammaddei mi kullansak, oksa bunu mu? On tane mi üretsek, sekiz mi oksa oniki mi? Kaç tane satış şubesi açsak? Bu şubeleri hangi şehirlerin hangi semtinde açsak daha ii olur? İşletmelerin ölçeği büüdükçe, seçenek saısı arttıkça, işlemler karmaşıklaştıkça; karardan etkilenen kişi ve kurum saısı da bağlı olarak artar ve anlış kararların maddi manevi bedeli daha da ağırlaşır. Bu sebeple bölesi karmaşık karar problemleri ile üzleşildiğinde, deneim ve sezgiler hala çok önemli olmakla beraber, en doğru kararı verme sürecinde, etersiz kalabilmektedirler. Yönelem Araştırması, karar vericilerin bu tür süreçlerde, kendi deneimlerinin anısıra, ihtiaç duabilecekleri bilimsel öntem ve teknikleri sunan ve ugulama olanağı veren bir bilim dalıdır. Bu kitap, Yönelem Araştırması na belirli bir ölçüde giriş sağlamak amacıla hazırlanmıştır. Konunun kuramsal önünden çok, kapsadığı problem türleri ve çözüm aklaşımları örneklerle tanıtılmıştır. Örneklerin olabildiğince, dersin hedef kitlesine ve gelecekteki çalışma alanına ugun olmasına özen gösterilmiştir. Ünitelerde er verilen örneklerin dikkatlice incelenmesi, karşılaşılan sorulara anıt vermee çalışılması ve ünite sonlarında er alan anıt anahtarlarıla karşılaştırılması, konuların daha ii kavranmasına katkı sağlaacaktır. Ünitelerin anlatımı ve sunumu konusunda türlü isteklerimizi karşılamak için çaba gösteren tüm azarlarımıza teşekkür etmei zevkli bir görev saıorum. Editör Prof.Dr. B. Fethi ŞENİŞ iv

4

5 Amaçlarımız Bu ünitei tamamladıktan sonra; Yönelem Araştırması nın ortaa çıkışını ve gelişimini açıklaabilecek, Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği olan sistem aklaşımı, disiplinlerarası aklaşım ve bütünleşik aklaşımı açıklaabilecek, Model kavramını tamamlaabilecek, Yönelem Araştırması sınıfına giren problem türlerini ifade edebilecek, Doğrusal ve doğrusal olmaan programlama türlerini açıklaabilecek Yönelem Araştırması tekniklerinin kullanım alanlarını ifade edebilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Yönelem Araştırması Model Doğrusal Programlama Sistem Yaklaşımı Disiplinlerarası Yaklaşım Bütünleşik Yaklaşım Doğrusal Olmaan Programlama İçindekiler Giriş Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği Yönelem Araştırması Yaklaşımı Model, Karar Modeli Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama Yönelem Araştırması Teknikleri ve Kullanım Alanları

6 Yönelem Araştırmasına Giriş GİRİŞ Yönelem Araştırması nın doğuşu II. Düna Savaşı ıllarındaki askeri ugulamalara daandırılmakla birlikte, 9 lerde Frederick Talor un aınladığı Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalışmasının da aslında bu bilim dalının köklerini oluşturduğu sölenebilir. II. Düna Savaşı ıllarında, İngiliz askeri birimlerinde radarların etkili kullanımı, denizaltıların erlerinin belirlenmesi gibi problemlerin çözümünde farklı bilim dallarından oluşan ekiplerle çalışılmıştır. İzleen ıllarda Amerika Birleşik Devletleri nde Amerikan ekonomisi için geliştirilen bir endüstriler arası girdi-çıktı modeli de ine birden fazla araştırmacıdan oluşan bir ekiple ele alınmıştır. Bu ekipte er alan George B. Dantzig bu tür problemlerde, tanımlanan bir amaç fonksionu ile enii programların apılabileceği düşüncesini savunmuş ve arıca doğrusal programlama problemleri için bilinen Simpleks Algoritması nı geliştirmiştir. Yıllar içerisinde Yönelem Araştırması, örgütlerin ve/vea sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, ürütme ve kontrol faalietlerine bilimsel öntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm araan bir bilim dalı olarak erini almıştır. Matematik, çözüm tekniklerinin altında atan temel bilimdir. Matematiğin, bu bölümde er verilen ve Yönelem Araştırması nı karakterize eden modelleme, öntembilim vb. özellik ve aklaşımlarla birlikte ele alınış biçimi önüle, Yönelem Araştırması, bir sanat olarak da görülmektedir. Çözüm sürecinde kullanılan aklaşım, problemi ve ardından çözüm seçeneklerini ortaa koma, daha sonrada enii seçeneği ugun öntemle belirleme aşamalarından oluşur. Birden fazla seçenek çözüm sözkonusu değilse, bir problem de ok demektir. Buna bir örnek şu şekilde verilebilir: Bir doğal afet durumunda, ülkenin, afetin aşandığı bölgelerine ulaştırılacak ardımın hangi olla apılacağına karar verilmek istensin. Yardım ulaştırmanın o anki koşullarda tek olu havadan ulaşım ise, kara olu ve denizolu sözkonusu değilse, örneğin denizolu coğrafi olarak mümkün olmaıp, karaolu da tahrip olmuş ve kullanılamaz ise, en ii seçeneğin hangisi olduğu gibi bir problem sözkonusu değildir ve tek ulaşım seçeneği hava oludur. Fakat hem hava olu, hem karaolu ile ulaşım mümkün ise o durumda hangi seçeneğin daha ii olduğu sorusu gündeme gelir. Bu durumda Yönelem Araştırması öntemleri ile enii seçeneğe karar vermek mümkün olur. Problem, ancak çözümünde alternatif ollar varsa vardır. Bu ünitede ukarıda çok genel olarak açıklanan Yönelem Araştırması nın; temel özellikleri, problem çözümlerinde izlediği aklaşım ve hangi tür problemlerin çözümünde kullanılacağı vb. konulara er verilecektir. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI NIN ÜÇ TEMEL ÖZELLİĞİ Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği; a. Bilimsel öntem, b. Bütünleşik aklaşım ve c. Disiplinlerarası aklaşım

7 şeklindedir. Bilimsel öntem, basitce, problemlerin çözümünde bilimsel bir aklaşımın izlenmesini ifade eder. Bu anlamda bilimsel öntem; incelenen problem vea olala ilgili önce gözlem apılmasını, sonra bir hipotezin geliştirilmesini, ardından bu hipotezin denelerle sınanmasını ve son adım olarak da genellenmesini içerir. Ardından geri bildirimler ve gereklise kontrollerle sistem üzerinde geliştirmeler devam edebilir. Bütünleşik aklaşım, ele alınan problemin, içerisinde er aldığı sistem ile birlikte tüm bileşenleri ve boutlarıla incelenmesidir. Birden fazla ve karşılıklı ilişki içinde bulunan ve belirli bir amaca önelik olarak bir arada bulunan oluşumlar (sistemler) ile karşılaşıldığından, bu özellik sistem aklaşımı olarak da ifade edilebilmektedir. Son olarak disiplinlerarası aklaşım ise, Yönelem Araştırması kapsamındaki problemlerin, farklı disiplinlerde er alan uzmanlardan oluşan bir ekiple çözülmesi anlamına gelmektedir. Birlikte düşünüldüğünde bu üç özelliğin, problem çözüm süreçlerine farklı bir sistematik aklaşım kazandırdığı görülebilmektedir. Kavramları daha ii anlaabilmek için aşağıdaki örneği inceleelim: Bir işletme var olan depolarına enilerini eklemek istemektedir. Her deponun eri ve kapasitesi; dağıtım apacağı müşterilere, bulunulan bölgedeki talep büüklüğüne vb. göre değişecektir. Enii depo erine karar verebilmek için işletmenin bazı araştırmalar apması gerekmektedir. Depo açma malieti ile ilgili olarak, düşünülen bölgelerdeki arazi-bina satınalma vea kira bedelleri, tahmin edilen talepler, ürünlerin depolara oradan da müşterilere sevkiatlarının malietleri, bu sevkiatlar sırasında kullanılabilecek araç ve güzergahların belirlenmesi gibi farklı etkenler ve her birile ilgili farklı kararlar sözkonusudur. Bu konular bir araa geldiğinde, farklı uzmanlık ve mevzuat bilgisi arıca bilimsel analizler gerektirdiği ortaa çıkacaktır. Bir karar vericinin, bu tür önemli kararlarda rol onaabilecek tüm bilgilere sahip olması mümkün olamaacağına göre, kendi alanında uzmanlık bilgisine sahip farklı disiplinlerden kişilerin bir araa getirilmesi kaçınılmazdır. Bu gibi konularda Yönelem Araştırması nın disiplinlerarası aklaşımı kendini gösterir. Problem tüm önlerile eterince irdelendiğinde, sistemi oluşturan bileşenlerin karşılıklı etkileşimleri görülebilecek, açılacak depo erinin ulaşılması gereken müşterilerin bulunduğu noktalardan vea sözkonusu bölgede eni bir depo inşası için uulması gereken mevzuattan vea işletmenin elinde bulunan, bu işe arılabilecek sermaeden bağımsız olamaacağı (bütünleşik aklaşım) ortaa çıkacaktır. Tüm bu gereklilikler konusunda bir farkındalık; problemin önce adım adım tanımlanması, daha sonra sistematik bir aklaşımla çözüm sürecinin tasarlanması (bilimsel öntem) aşamalarını getirecektir. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YAKLAŞIMI Yönelem Araştırması, problemleri, ukarıda belirtildiği gibi, disiplinlerarası bir ekiple, bilimsel bir öntemi izleerek ve sistemi bütünüle ele alarak çözer. Bu temel özellikleri kullanan, anı zamanda Yönelem Araştırması Yaklaşımı da denen problem çözme aşamaları aşağıdaki gibi özetlenebilir: a. Problemin belirlenmesi b. Gerekli verilerin elde edilmesi ve sistemin analiz edilmesi c. Modelin geliştirilmesi d. Modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerliliğinin sınanması e. Modelin ugulanması ve karar. Problemin varlığının ortaa konması ve doğru tanımlanması, çözüm sürecinde en önemli aşamadır. Daha sonra ise problemin girdisi olabilecek ve aşandığı sistemden türetilebilecek verilerin, gerektiği ölçüde ve güncel bir biçimde elde edilmesi gerekir. Hangi tür verilere ihtiaç duulduğu, ilgili sistemin arıntılı analizi ile ortaa çıkabilir. Bunu izleen aşama, problemin çözümü için gereken ugun modelin geliştirilmesidir. Kısaca bir sistemin kendisi erine onun gibi davranan eşdeğeri şeklinde ifade edilen modellerin çok farklı şekillerde sınıflandırılmaları mümkündür. İzleen bölümde, model, anısıra Yönelem Araştırması kapsamında daha agın kullanılan ve ihtiaç duulan karar modeli kavramlarına er verilmektedir. Yaklaşımın diğer aşamalarında ise, geliştirilen modelin geçerliliğinin sınanması ve ugulanması adımları er alır. 4

8 MODEL, KARAR MODELİ Model, bir sistemin kendisi erine onun gibi davranan eşdeğerine denir. Modeller farklı şekillerde gruplanabilirler. Yapılarına göre modeller; uuşum, benzeşim ve matematiksel olarak üçe arılırlar. Uçak simulatörleri, maket inşaat projeleri uuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örneğidirler. Çeşitli diagramlar, grafikler benzeşim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmaıp, sistemdeki ilişkileri temsil ederler. Bu örnekler üzerinde düşünüldüğünde, bir uçak simülatörü ardımıla, sözkonusu uçağın, belirli koşullarda hangi davranış biçimlerini ortaa koacağı test edilebilir. Bu saede insan haatını tehlikee atmadan ve doğabilecek büük bir malieti de önceden engelleerek simülatör üzerinde istenen testler apılır. Benzer düşüncele, bir bilgisaar programı da bir çeşit model saılır. Matematiksel model ise bir sistemin vea problemin matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldığında oluşacak olan f büüklüğündeki kuvvetin ifadesidir. m, a ve f den herhangi ikisi biliniorsa, üçüncünün değeri bu ilişki ile bulunabilir. Karar süreci; problemi belirleme, seçenekleri türetme ve enii seçeneği bulma adımlarından oluşur. Bir problem olup olmadığı, Giriş bölümünde de belirtildiği gibi, problemin çözümü için birden fazla seçeneğin olması durumunda ortaa çıkar. Öte andan çoğu durumda seçenekleri belirlemek de oldukça zordur. Böle durumlarda problemin gereklilikleri ve değişkenlerarası ilişkilerin matematiksel fonksionlarla ifade edildiği; bulunan çözümlerden hangisinin seçileceği kararının ise bir başka fonksionda ine bu seçenek çözümlerin aldığı değerler ile belirlendiği, bütünleşik bir apı oluşturulur. Bu apıda değişkenlerarası ilişkilerin gösterildiği fonksionlara kısıt, kısıtları sağlaan çözümlerin eniisinin seçimi için kullanıldığı belirtilen fonksiona ise amaç fonksionu denir. Kısıtlar ve amaç fonksionundan oluşan bu tür apılara karar modeli denir. Karar modelleri doğrusal vea doğrusal olmaan özelliklerde olabilirler. DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA Pratik olarak tüm kısıtları ve amaç fonksionu, her biri doğrusal birer fonksion ise, bir başka deişle tüm fonksionlarda er alan her bir terim birinci dereceden ifadelerden oluşmakta, iki değişkenin çarpımı vea bir değişkenin üssünün olmadığı terimler er almakta ise ilgili karar modeli doğrusaldır denir. Örnek bir doğrusal karar modeli aşağıdaki gibi verilebilir: kısıtları altında Doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için bazı özellikler vardır: Bunlar; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olarak sıralanabilir. Belirlilik, problemde kullanılan parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik, karar değişkenlerinin her reel değeri alabilmesi, oranlılık, karar değişkenlerinin aldıkları değere göre oluşan katkı ve kullanılan kanak miktarının değişkenin değeri ile doğru orantılı olması, toplanabilirlik ise oluşan katkıların toplanabilmesidir. Bu özellikler var ise bir karar modeli doğrusaldır. Örneğin ukarıdaki modelde oranlılık, birinci karar değişkeninin birim değeri için oluşacak katkı ise, x birimi için bu katkının doğru orantıla artıp x kadar olması vea birim kanak kullanımı ise, birim için kanak kullanımının kadar olması; toplanabilirlik ise ikinci değişkenin x birimi için oluşacak benzer katkının 5x olup, iki değişkenin oluşturduğu katkıların (x +5x ) toplanabilmesidir. Belirlilik, problemde er alan birim katkılar, birim kanak kullanımları gibi parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik ise değişkenlerin her reel değeri alabilmesidir. Yukarıdaki özellikleri taşımaan modellere doğrusal değildir denir. Bir modelin tüm fonksionlarının enaz bir teriminde üslü ifadenin olması ( gibi iki değişkenin çarpımı vea üslü terimin olması) bu durum için eterlidir. Anı zamanda karar değişkenlerinin sürekli değişken değil de tam saılı olması durumunda da doğrusallık bozulur. Örnek bir doğrusal olmaan karar modeli aşağıdaki gibi verilebilir: 5

9 kısıtları altında İlk kısıtta iki değişkenin çarpımı, ikinci kısıtta ise bir değişkenin karesi bulunmaktadır. Doğrusal ve doğrusal olmaan karar modellerinin çözümü için farklı aklaşımlar vardır. Fakat doğrusal karar problemlerinin enii çözümü bir uç noktadadır (ileride açıklanacaktır) ve bu tip modellerin çözümlerini bulmak, doğrusal olmaanlara göre daha koladır. Bir doğrusal karar probleminin sağlaması gereken özellikler nelerdir? Kara, İ., (985), Yönelem Araştırmasının Yöntembilimi, Anadolu Üniversitesi Yaınları No: 96, Eskişehir 985. Karar modeli nedir? YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİ VE KULLANIM ALANLARI Yönelem Araştırması teknikleri pek çok alanda ugulama olanağı bulabilir. Aslında, tanımında da belirtildiği gibi örgütlerin ve/vea sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, ürütme ve kontrol faalietlerine bilimsel öntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm araan bir bilim dalı olduğu hatırlanırsa, Yönelem Araştırması ile ilgili çalışmaların ne kadar geniş bir elpazede er alabileceği kolaca görülebilir. Çünkü günümüzde hemen her sistemde; tasarım, kuruluş ve işletme aşamaları er alır. Gerek üretim, gerek hizmet sektörü olsun, aşaan her birim bu tür karar problemleri ile karşı karşıa kalır. Günümüz işletmelerinde, aakta kalabilmek ve rekabet edebilmek için, verimlilik, kaçınılmaz bir gerekliliktir. Elde bulunan kanakların, işgücünün ve en önemlisi zamanın verimli kullanılması, malietlerin düşürülmesi, enii atırım kararlarının alınması, sistemleri kurduktan sonra işleişlerinde de etkin bir kontrol ve planlama ile sürekliliklerinin sağlanması çok önemlidir. Yönelem Araştırması kapsamına giren konular ve tekniklere bakıldığında; üretim planlama ve stok kontrol, proje önetimi, ulaştırma ve atama, personel planlama ve çizelgeleme gibi problemlerin; doğrusal, doğrusal olmaan, tamsaılı, rassal ve dinamik programlama genel aklaşımlarının anında, oun teorisi, markov zincirleri, dal-sınır algoritması, MODI atlama taşı, CPM-PERT, Macar Algoritması, Simpleks Algoritması olarak adlandırılan çeşitli tekniklerle de çözülebildiği görülür. Her birisi farklı problemlerin çözümü için geliştirilen bu teknikler, problemlerin enii (optimum) çözümlerini bulmak amacıla kullanılırlar. Bazı örnekler vermek gerekirse; üretim sektöründe faaliet gösteren bir işletmenin, elinde bulunan makine, malzeme ve işgücü olanaklarını aşmadan, gelecek belirli bir dönem için üretim planını apması Yönelem Araştırması kapsamında çözülebilecek problemler arasında er alabilir. Üretim planı başlığını biraz daha açmak gerekirse, örneğin toplam satış karını enbüüklemek için planlama periodu içerisinde hangi üründen hangi miktarlarda üretilmesi gerektiği vea işlerin tamamlanma zamanını enküçüklemek ve müşterie en kısa zamanda sevkiat apabilmek için hangi operatörün hangi tezgahda çalışması vea hangi işin hangi tezgahta apılması gerektiği bulunabilir. Yine benzer şekilde, talepteki ani değişikliklere karşı hazırlıklı olmak için, önceden, hangi ürünlerden hangi sevielerde stok bulundurulması gerektiği de üretim planlama ve stok kontrolü kapsamında anıtlanması gereken sorular arasında er alıp hepsi çeşitli Yönelem Araştırması Teknikleri ile çözülebilir. 6

10 Hizmet sektörü açısından düşünüldüğünde, müşteri beklemelerini en aza indirecek ve memnunieti arttıracak şekilde, kaç tane servis personelinin olması gerektiği (bankalarda banko, marketlerde kasa saıları), pazardaki paı arttırabilmek için bir işletmenin izleebileceği farklı reklam ve pazarlama stratejilerinden hangisinin daha etkili olacağı gibi karar problemleri Yönelem Araştırması çalışma konuları arasındadır. Ulaştırma ve lojistik faalietleri açısından şu tür örnekler vermek mümkündür: Bir işletmenin, ürünlerinin sevkiatında kullanacağı araç filosunda er alacak araçlarının tiplerini ve saılarını a da mevcut araçlarının ürün sevkiatı sırasında izlemesi gereken rotalarını belirlemesi problemleri bu kapsamdadır. Rota belirleme sürecinde genellikle, en kısa ol bağlı olarak da en az taşıma malieti amaçlanmaktadır. Üretim sektöründe faaliet gösteren işletmeler için depo büüklükleri, depo saıları, arıca birden fazla üretim işletmesi ve deponun olduğu sistemler için hangi işletmeden hangi depoa vea hangi depolardan hangi müşterilere dağıtım apılacağı kararları da Yönelem Araştırması teknikleri kullanılarak verilebilir. Özellikle son elli ıldır büük ölçekli projelerde ugulanabilen Yönelem Araştırması teknikleri konusunda, GANTT Diagramı denen teknik en eskiler arasındadır. 958 de Amerikan Deniz Kuvvetleri Özel Projeler Bölümü tarafından, PERT (Project Evaluation and Review Technique), hemen hemen anı zamanlara rastlaan Kritik Yol Yöntemi ise (CPM-Critical Path Method), Dupont Kimevi Madde Fabrikası nda bakım onarım faalietlerine ardımcı olmak üzere geliştirilmiştir. Bu teknikler çoğunlukla zaman esaslı faalietlerin programlanması problemlerinde ugulanmaktadırlar. CPM-PERT de bir projee ait tüm faalietler tanımlanır, aralarındaki öncüllük-ardıllık ilişkileri belirlenir ve projee ait bir şebeke çizilir. Örneğin bir inşaatın temeli atılmadan birinci katının inşa edilmesi mümkün değildir. Temel atma işlemi, ilk kata çıkma alt faalietinin bir öncülüdür vea bir sempozum düzenleme etkinliğinde, sempozum tarihlerini belirlemeden, ilk duuruları apmak, duuruları apmadan katılımcıların kaıtlarını almaa başlamak mümkün değildir. Faalietler için süreler ve malietler tahmin edilir. Faalietlerin en erken ve en geç başlama ve bitiş süreleri ile bolluklar hesaplanır. Projee ait kritik ol denen bir rota ortaa çıkar. Bina, ol, köprü ve baraj inşaatı gibi büük ölçekli projelerde de bu gibi teknikler kullanılır. Bu teknikler bir defalık gerçekleştirilen büük projelerde, faalietlerin sistematik bir şekilde planlanmasına, hangi faalietin proje toplam süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğinin belirlenmesine ardımcı olur. Bir diğer benzer konu da şebeke modelleri olarak isimlendirilir. En kısa ol, enküçük örten ağaç, en büük akış gibi çeşitli alt çalışma alanları vardır. En kısa ol problemi, özellikle lojistik alanında vea haberleşme şebekelerinde kullanılabilecek bir takım öntemlerin gelişmesine sebep olmuştur. Otoolların apımında a da ukarıda belirtilen bir lojistik firmasının dağıtım faalietlerinde izleeceği rotanın belirlenmesinde, toplam mesafei enküçükleecek şekilde güzergahların vea ol bağlantılarının apılması bu öntemlerle sağlanabilir. En küçük örten ağaç problemi, örneğin bir beledienin bir ilçesine bağlı kölere elektrik bağlantısı apması konusunda, hangi kölere hangi kölerden elektrik götürüleceğine karar vermek gerekir. Burada bağlantı apılacak bir noktanın kendisine en akın herhangi bir noktadan elektrik alması mümkündür, bağlantı sonrası da artık kendisi de en akın komşu köe elektrik verebilir. Problem sanki tüm dallarına erişilmek istenen bir ağaca benzetilerek en küçük örten ağaç olarak literatürde erini almış, bir Yönelem Araştırması çalışma alanıdır. Son olarak en büük akış, maddelerin bir şebeke üzerinde bir noktadan diğerine enii (en büük akışı sağlaacak) şekilde taşınması problemi ile ilgilenir. Su, petrol, gaz vb. maddelerin boru hatlarından taşınması, elektriğin taşınması, haberleşme sistemlerinde bilgi akışının sağlanması a da kargo işletmelerinde mektupların alıcıa taşınması gibi problemler, bu kapsamda er almaktadırlar. Yönelem Araştırması tekniklerinin kullanılabileceği lojistik faalietlerine örnek veriniz. 7

11 Özet Yönelem Araştırması, II. Düna Savaşı ıllarında doğmuş, ilk ugulamaları askeri alanda gerçekleşmiş, örgütlerin tasarım, kuruluş ve işletim aşamalarında karşılaşılan önemli problemler için çözüm teknikleri sunan bir bilim dalıdır. Yönelem Araştırması, örgütlerin ve/vea sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, ürütme ve kontrol faalietlerine bilimsel öntemlerle katkıda bulunur ve bu alanlardaki problemlere çözüm arar. Yönelem Araştırması kapsamında, bir problemin varlığından bahsedilebilmesi, problemin çözümü için birden fazla seçeneğin olması durumunda sözkonusudur. Öte andan, ukarıda belirtilen sınıfa giren, çoğu stratejik kararda ise seçeneklerin türetilebilmesi çok da kola olmaabilmektedir. Bu durumda, sistemde er alan parametrelerin ve ilişkilerin temsil edildiği bir apıa ihtiaç duulmaktadır. Yönelem Araştırması kapsamında model denen bu oluşumlar ile, bir sistemin kendisi erine kendisi gibi davranan bir eşdeğeri ortaa konmaktadır. Bu eşdeğer sistemin çözümü ile probleme çözüm olabilecek seçeneklerin türetilmesi sağlanabilir. Modeller farklı şekillerde sınıflandırılmaktadırlar. Burada ele alınan sınıflama, modelleri; uuşum, benzeşim ve matematiksel olarak üçe aırmaktadır. Uçak simülatörleri, maket inşaat projeleri uuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örneğidirler. Çeşitli diagramlar ve grafikler benzeşim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmaıp, sistemdeki ilişkileri temsil ederler. Matematiksel model ise bir sistemin vea problemin, içerdiği değişkenler arası ilişkilerin, matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldığında oluşacak kuvvetin ifadesidir. Bu kavramlardan herhangi ikisinin değerinin bilinmesi durumunda üçüncüsünün değeri, bu ilişki ile bulunabilir. Öte andan, sistemi temsil eden matematiksel model ile türetilen seçeneklerin eniisinin belirlenmesi için, bir değerlendirme fonksionu kullanılmaktadır. Bu çerçevede, bir matematiksel modelde değişkenlerarası ilişkilerin gösterildiği fonksionlara kısıt, kısıtları sağlaan noktalar 8 (çözümler)ın eniisinin seçimi için kullanılan bu değerlendirme fonksionuna da amaç fonksionu denir. Kısıt ve amaç fonksionları ile ifade edildiğinde elde edilen matematiksel modele karar modeli denir. Karar modelleri doğrusal vea doğrusal olmaan özelliklerde olabilirler. İçerdiği fonksionların tümü doğrusal fonksionlar ise ve değişkenler de sürekli ise, doğrusal bir karar modeli ile karşı karşıa kalınır. Aksi halde, model, doğrusal olmaan bir apıdadır denir. Doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için bazı özellikler vardır: Bunlar; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olarak sıralanabilir. Belirlilik, problemde kullanılan parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik, karar değişkenlerinin her reel değeri alabilmesi, oranlılık, karar değişkenlerinin aldıkları değere göre oluşan katkı ve kullanılan kanak miktarının değişkenin değeri ile doğru orantılı olması, toplanabilirlik ise oluşan katkıların vea kanak kullanımlarının toplanabilmesidir. Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği vardır. Bunlar bilimsel öntem, bütünleşik aklaşım ve disiplinlerarası aklaşım olarak sıralanabilir. Bilimsel öntem, incelenen problem vea olala ilgili önce gözlem apılmasını, sonra bir hipotezin geliştirilmesini, ardından bu hipotezin denelerle sınanmasını ve son adım olarak da genellenmesini içerir. Bütünleşik aklaşım, ele alınan problemin, içerisinde er aldığı sistem ile birlikte tüm bileşenleri ve boutlarıla incelenmesidir. Son olarak disiplinlerarası aklaşım ise, Yönelem Araştırması kapsamındaki problemlerin, farklı disiplinlerde er alan uzmanlardan oluşan bir ekiple çözülmesi anlamına gelmektedir. Birlikte düşünüldüğünde bu üç özelliğin, problem çözüm süreçlerine farklı bir sistematik aklaşım kazandırdığı görülebilmektedir. Yönelem Araştırması çalışmalarında, bu üç temel özellik kullanılarak, Yönelem Araştırması Yaklaşımı da denen şu problem çözme aşamaları kullanılır: Problemin belirlenmesi, gerekli verilerin elde edilmesi, sistemin analiz edilmesi, modelin geliştirilmesi, modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerliliğinin sınanması, modelin ugulanması ve karar.

12 Yönelem Araştırması kapsamına giren konulara bakıldığında; üretim planlama ve stok kontrol, proje önetimi, ulaştırma ve atama, personel planlama ve çizelgeleme gibi pek çok problem; doğrusal, doğrusal olmaan, tamsaılı, rassal ve dinamik programlama genel aklaşımlarının anında, oun teorisi, markov zincirleri, dal-sınır algoritması, MODI atlama taşı, CPM-PERT, Macar Algoritması, Simpleks Algoritması olarak adlandırılan çeşitli tekniklerle çözülebilmektedir. Bu teknikler genellikle, problemlerin enii (optimum) çözümlerini bulmak amacıla kullanılırlar. Yönelem Araştırması tekniklerinin kullanım alanlarına daha arıntılı örnekler vermek gerekirse şunlar sölenebilir: Örneğin üretim sektöründe faaliet gösteren bir işletme; elindeki malzeme ve işgücü olanaklarını aşmadan, gelecek belirli bir dönem için üretim planını apmak istediğinde, toplam satış karını enbüüklemek için planlama periodu içerisinde hangi üründen hangi miktarlarda üretilmesi gerektiğini vea işlerin tamamlanma zamanını enküçüklemek ve müşterie en kısa zamanda sevkiat apabilmek için hangi operatörün hangi tezgahta çalışması vea hangi işin hangi tezgahta apılması gerektiğini bulmak istediğinde Yönelem Araştırması tekniklerinden ararlanabilir. Teknikler, hizmet sektöründe de pek çok alanda ugulama olanağı bulabilmektedir. Örneğin, bir kargo firmasının, araç filosunda er alacak araçların tiplerine ve saılarına, bir üretim işletmesinin, açacağı depoların erlerine ve büüklüklerine, taşımacılıkta hava, deniz vea kara olu taşıma seçeneklerine vea bunların bir kombinasonuna karar verirken çeşitli öntemler kullanılabilir. Proje planlama ve şebeke modelleri de Yönelem Araştırması çalışma konuları arasındadır. Bu konudaki teknikler; özellikle bina, ol, köprü ve baraj inşaatı gibi büük ölçekli ve genellikle bir defalık gerçekleştirilen büük projelerde, faalietlerin sistematik bir şekilde planlanmasına, hangi faalietin proje toplam süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğinin belirlenmesine ardımcı olurlar. Şebeke modelleri kapsamına giren konular ile ise; özellikle lojistik sektöründe, dağıtım faalietlerinde izlenecek en kısa rotanın belirlenmesi vea maddelerin bir şebeke üzerinde bir noktadan diğerine enii şekilde taşınması gibi problemlere çözüm aranır. Örneğin su, petrol, gaz vb. maddelerin boru hatlarından taşınması, elektriğin taşınması, haberleşme sistemlerinde bilgi akışının sağlanması, kargo işletmelerinde mektupların alıcıa taşınması, anısıra doğalgaz bağlantısı apılan bir erleşim biriminden diğer komşu erleşim birimlerinin hangilerine ve nasıl bir ağla bir bağlantı sistemi kurulacağının belirlenmesi gibi konularda çözümler, bu kapsamda er alan tekniklerle bulunabilir. Yönelem Araştırması; problem çözümlerinde farklı disiplinlerden, anısıra karar sürecinde bilimsel bir öntemden ararlanması, pek çok alanda ve çok çeşitli karar probleminde karar vericie ardımcı olacak çözüm öntemleri sunması önlerile sistemlerin verimliliğini arttırmada önemli bir bilim dalıdır. 9

13 Kendimizi Sınaalım. Aşağıdakilerden hangisi Yönelem Araştırması nın üç temel özelliği arasında er alır? a. Sistematik öntem b. Modelleme c. Disiplinlerarası aklaşım d. Tasarlama e. Çözümleme. Aşağıdakilerden hangisi doğrusal bir karar modeli geliştirmek için gereken özelliklerden değildir? a. Belirlilik b. Saılabilirlik c. Toplanabilirlik d. Oranlılık e. Bölünebilirlik. Hangi ifade doğrusal olmaan bir apıa karşı gelmektedir? a. b. c. d. e. 4. Hangi seçenek, Yönelem Araştırması aklaşımındaki aşamaların sıralanışı için en ugunudur? a. Problemin belirlenmesi, modelin geliştirilmesi, çözülmesi b. Modelin geliştirilmesi, problemin belirlenmesi, modelin ugulanması c. Modelin geliştirilmesi, verilerin elde edilmesi, modelin ugulanması d. Modelin çözülmesi, modelin ugulanması, verilerin analiz edilmesi e. Verilerin analiz edilmesi, modelin ugulanması, modelin çözülmesi 5. Aşağıdakilerden hangisi bir uuşum modeline örnektir? a. b. Akış şeması c. Uçak simülatörü d. e. 6. Aşağıdakilerden hangisi bir benzeşim modeline örnektir? a. b. Akış şeması c. Uçak simülatörü d. e. 7. Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir? a. Yönelem Araştırması nın doğuşu II. Düna Savaşı ıllarına daanır. b. İlk çalışmalar farklı disiplinlerden kişiler tarafından gerçekleştirilmiştir. c. Frederick Talor un Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalışması da, ilk Yönelem Araştırması çalışmaları arasında önemli bir ere sahiptir. d. Yönelem Araştırması çalışmaları 9 lerde önemli ölçüde hızlanmıştır. e. Sistem aklaşımı Yönelem Araştırması nın üç temel özelliğinden değildir. 8. Hangisi oranlılık özelliğini tanımlar? a. Karar değişkenlerinin aldıkları değere göre oluşan katkı ve kullanılan kanak miktarının, değişkenin değeri ile doğru orantılı olması b. Karar değişkenlerinin her reel değeri alabilmesi c. Karar değişkenlerinin değerlerine göre oluşan katkıların toplanabilmesi d. Problemde er alan parametrelerin değerlerinin bilinmesi e. Verilen problemde er alan bir karar değişkeninin birim değerine karşılık oluşan katkı, başka bir karar değişkeninin birim değerine karşılık oluşan katkı iken, iki değişkenin birlikte oluşturacağı katkının olmasıdır.

14 9. Hangisi Yönelem Araştırması nın temel özelliklerinden biri değildir? a. Displinlerarası aklaşım b. Paralel aklaşım c. Bilimsel öntem d. Bütünleşik aklaşım e. Sistem aklaşımı. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a. Yönelem Araştırması ile bir problemin çözümü sürecinde seçenekler her zaman kolaca türetilir. b. Yönelem Araştırması tekniklerinin daha çok hizmet sektöründe kullanımı agındır. c. Bir problemin enii çözümünü bulmak, Yönelem Araştırması teknikleri ile her zaman mümkündür. d. Problemleri çözen seçenekler, her zaman kolaca türetilemeebilirler. Böle durumlarda bazen, matematiksel modellerden ararlanılabilir. e. Yönelem Araştırması, özel bilimsel çalışma alanlarındaki bilgi birikiminden ararlanır, fakat birden fazla disipline mensup araştırmacı vea uzmanın birlikte çalışması ugun bulunmaz. Kendimizi Sınaalım Yanıt Anahtarı. c Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz.. b Yanıtınız anlış ise Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz.. b Yanıtınız anlış ise Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 4. a Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması Yaklaşımı başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 5. c Yanıtınız anlış ise Model, Karar Modeli başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 6. b Yanıtınız anlış ise Model, Karar Modeli başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 7. d Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması na Giriş başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 8. a Yanıtınız anlış ise Doğrusal ve Doğrusal Olmaan Programlama başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz. 9. b Yanıtınız anlış ise Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği başlıklı konuu eniden gözden geçiriniz.. d Yanıtınız anlış ise Model, Karar Modeli; Yönelem Araştırması nın Üç Temel Özelliği başlıklı konuları eniden gözden geçiriniz.

15 Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde Doğrusal karar problemlerinin sağlaması gereken özellikler; belirlilik, bölünebilirlik, oranlılık ve toplanabilirliktir. Sıra Sizde Bir karar problemini çözebilmek için; problemde er alan ilişkilerin, gerekliliklerin matematiksel ifadelerle gösterildiği ve alternatif çözümlerin değerlendirilmesi için de ine matematiksel değerlendirme fonksionlarının tanımlandığı, bütünleşik gösterimlerdir. Sıra Sizde Yönelem Araştırması teknikleri lojistik faalietlerin planlama ve kontrol aşamalarında pek çok karar noktasında kullanılabilir. Örneğin bir naklie şirketi; araç filosunda er alacak araçların saılarına, tiplerine vea mevcut araçlarının sevkiat sırasında izleeceği güzergahlara bu tekniklerle karar verebilir. Arıca bir üretim işletmesinin, açacağı depoların erlerini ve kapasitelerini belirlemek de ine birer Yönelem Araştırması problemi olarak kabul edilebilirler.

16 Yararlanılan Kanaklar Kara, İ., (), Doğrusal Programlama, Bilim Teknik Yaınevi, İstanbul. Kara, İ., (985), Yönelem Araştırmasının Yöntembilimi, Anadolu Üniversitesi Yaınları No: 96, Eskişehir 985. Taha, H, (), Yönelem Araştırması,. Basım, (Bara Ş. A., Esnaf Ş. tarafından çeviri), Literatür Yaıncılık, İstanbul. Timor, M. (), Yönelem Araştırması, Türkmen Kitabevi, İstanbul.

17 Amaçlarımız Bu ünitei tamamladıktan sonra; Doğrusal programlamaı tanımlaarak, ugulama alanlarını listeleebilecek, Doğrusal programlamanın varsaımlarını açıklaabilecek, Karar değişkeni ile tesadüfi değişken arımını apabilecek, Doğrusal programlama modelinin temel bileşenlerini açıklaabilecek, Doğrusal programlama modeli (üretim, dağıtım vb.) kurabilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Doğrusal Programlama Amaç Fonksionu Karar Değişkeni Maksimum Algoritma Model Matematiksel Model Kısıtlaıcı Minimum Optimum Karar Problemi İçindekiler Giriş Doğrusal Programlamanın Varsaımları Doğrusal Programlamanın Model Kurma Doğrusal Programlamanın Model Kurma Ugulamaları 4

18 Doğrusal Programlama GİRİŞ Yönelem araştırmasının en gelişmiş ve agın ugulama alanını oluşturan doğrusal programlama, doğrusal karar problemlerile ilgili kavram ve teknikler topluluğudur. Bu bölümde, önce doğrusal problemlerin matematiksel modellemesi anlatılıp, sonra da örnek problemler ele alınıp modellenecektir. Doğrusal programlama, belirli bir amaca ulaşmak için, bazı kısıtlaıcılar altında kıt kanakların en verimli şekilde kullanılmasını sağlaan bir matematiksel öntemdir. Bu şekilde varılmak istenen amaç, kâr maksimizasonu (en büükleme) vea maliet minimizasonu (en küçükleme) olarak belirlenebilir. Doğrusal programlamada doğrusal sözcüğü, fonksionların doğrusallığını, programlama ise planlama işlemini ifade etmektedir. Doğrusal programlama, tüm ugun seçenekler arasından optimum (enii) sonucun elde edilmesini sağlaan planlama faalietlerini içermektedir. Doğal olarak böle bir programlama sürecinde, önce gerekli veriler toplanır, problem modellenir ve daha sonra modelin çözümü araştırılır. Doğrusal programlama modeli kurulurken amacın, değişkenler arasında ilişkilerin ve kullanılacak kıt kanakların tanımlanması gerekir. Günümüz sistemleri (üretim, dağıtım, vb.) büük sistemlerdir. Bu büük sistemlerin modelleri de çok saıda değişken ve kısıtlaıcıdan oluşmaktadır. Büük modeller, bilgisaar ardımıla çözülebildiğinden, doğrusal programlamanın ugulama alanı sadece kıt kanakların dağıtımı ile sınırlı kalmamış, diğer birçok alanda da önemli ugulamalar ortaa konmuştur. Doğrusal programlamanın ugulama alanları ile ilgili olarak aşağıdaki liste verilebilir. Ulaştırma ve lojistik problemleri, Endüstriel üretim planlaması ve envanter (stok) kontrolü Personel programlaması Beslenme(diet) problemleri Karışım problemleri Tarımsal planlama Finansal planlama Yatırım planlaması Sağlık sistemleri Askeri planlama Trafik planlaması Atama problemleri Reklam seçimi problemleri Karışım problemleri 5

19 İşletme ve iktisat bilim dallarını da akından ilgilendiren doğrusal programlama, önelem araştırmasında da en agın kullanılan araçlardan birisidir. Geniş bir ugulama alanı olan doğrusal programlama, arıca işletmelerin karşılaştığı darboğazların giderilmesinde, kıt kanakların etkin kullanımı ve bunların gölge fiatlarının belirlenmesi ile en ugun çözümlere ulaştıracak politikaları saptamada kullanılmaktadır. Doğrusal programlamanın ugulama alanları nerelerdir? DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN VARSAYIMLARI Gerçek haatta karşılaşılan çoğu karar problemi için, en azından ugun kabullerle, doğrusal karar modeli geliştirmek mümkündür. Bir problem için karar modeli geliştirmek ve kurmak gerçek sistemi matematiksel olarak ifade etmek demektir. Bu işlem apılırken bilgi kabı kaçınılmazdır. Önemli olan en az bilgi kabı ile dönüşümü gerçekleştirebilmektir. Bu nedenle modelden tutarlı sonuçlar elde edilebilmesi için aşağıdaki varsaımlar kabul edilmelidir. Doğrusallık (Oranlılık) Varsaımı Bu varsaım modelin amaç fonksionu ve kısıtlaıcı fonksionları ile ilgilidir. Doğrusallık varsaımı, işletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişkinin olduğunu gösterir. Üretim düzei artarken anı oranda üretim girdileri de artar. Eğer, X j inci elem için amacın oluşumu doğrusallık özelliği gösteriorsa, X j nin her bir birim değerinin kara katkısı c j iken, X j nin çözüm değerinin amaca katkısı c j X j kadar olur. Bunun anında karar problemine esas olan b i inci kanaktan her bir birim X j için gerekli kanak miktarı a ij olmak üzere X j için kanak gereksinimi a ij X j kadar olur. Kısıtlar ve amaç fonksionu birinci dereceden fonksion olmalıdır. Aksi takdirde, doğrusal olmaan programlama söz konusu olur. Bu varsaım, her bir karar değişkeninin; gerek amaç fonksionu, gerekse tük kısıtlaıcılara etkisinin söz konusu değişkenin (X j ) değerile doğru orantılı olması gerektiğinin ifade eder. Karar değişkenlerine kontrol edilebilen değişkenler denir. İstatistikte değişken X i -tesadüfi değişkendir ve serbestçe değerler alabilen değişken olarak tanımlanır. Toplanabilirlik Varsaımı Doğrusal programlamada her fonksion, ilişkili olduğu faalietlerin, biresel katkılarının toplamıdır. Karar değişkenlerine verilecek değerlere göre, her birinin sağladığı katkılar toplanıp, toplam katkıı, ani amaç fonksionunu oluşturuorsa, toplanabilirlik varsaımı geçerlidir demektir. Bu varsaımı, kısıtlaıcıların sol tarafındaki sabitler için ele alırsak; değişik üretim faalietlerine kanak olan, üretim girdilerinin toplamının, her bir işlem için arı arı kullanılan girdilerin toplamına eşit olduğunu gösterir. Bölünebilirlik Varsaımı Modelin karar değişkenleri X j ler, her türlü reel değerleri alabiliorsa, bölünebilirlik varsaımı sağlanıor demektir. Bölece, karar değişkenleri, bazı faalietlerin düzeini gösterdiğinden, faalietlerin kesirli düzelerde çalışabileceği varsaılır. Bazen girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu nedenile, karar değişkenlerini tamamının vea bazılarının tam saı olması gerekebilir. Böle durumlarda, tam saılı programlama söz konusu olur. 6

20 Belirlilik (Kesinlik) Varsaımı Doğrusal programlama modelindeki tüm parametrelerin (amaç fonksionu katsaıları-c j, sağ taraf sabitleri-b i ve teknoloji katsaıları- a ij ) bilinior olduğu varsaımıdır. Parametre değerlerini kesin olarak bilinior olması varsaımı, modelin deterministtik model olduğunun göstergesidir. Bir problemde, karar değişkenleri ve parametrelerle ilgili olarak; doğrusallık, toplanabilirlik, bölünebilirlik ve belirlilik varsaımları geçerli ise bu problem doğrusal programlama problemi olarak modellenip çözülebilir. Burada dikkat edilmesi gereken husus, problemin doğru belirlenmesidir. Parametre değerlerinden kesin değerleri bilinmeenler için tahmin oluna gidilebilir. Daha sonra matematiksel modelleme aşamasına geçilmelidir. Fakat modelin doğrusallık ve bölünebilirlik varsaımları, gerçek dünadaki ilişkileri gözlemlendiğinde bir eksiklik gösterdiği sölenebilir. Denilebilir ki, bu iki varsaım doğrusal programlama öntemini kısıtlamaktadır. edilmektedir? Doğrusal programlama modeli kurulurken hangi varsaımlar kabul DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA MODEL KURMA Model kelime anlamı gerçeğin benzeri demektir. Model kurma, sistemi oluşturan unsurların matematiksel terimlerle ifade edilmesidir. Başka bir deişle problem, matematik diline tercüme edilir. Model doğrusal programlama gibi standart bir matematiksel model halinde ifade edilebiliorsa, bilinen algoritmalar ardımıla çözüme ulaşılabilir. Bir problemin, doğrusal programlama modeli kurulurken önce karar değişkenleri tanımlanır, sonrada amaç fonksionu ve kısıtlaıcılar formüle edilir. Algoritma: Problem çözümünde izlenen ol olarak isimlendirilebilir. Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi Bir problemin doğrusal programlama modelinin kurulmasına, öncelikle karar değişkenlerinin tanımlanmasıla başlanır. Karar değişkeni: bir problemde karar vericinin kontrolü altında olup da, değeri araştırılan elemler, karar değişkenleridir. Herhangi bir doğrusal programlama modelinde karar değişkenleri, alınacak kararları tamamen betimlemelidir. Karar değişkenleri, alınacak kararlara ilişkin faalietlerin düzeini göstermektedir. Karar değişkenleri genellikle; X j sembolü ile gösterilir. X j : j inci üründen üretilecek (vea taşınacak) miktar anlamındadır. Amaç Fonksionunun Belirlenmesi (j=,,.,n) Herhangi bir doğrusal programlama probleminde karar verici, karar değişkenlerinin bazı fonksionunu maksimum vea minimum apmak ister. Maksimum vea minimum apılmak istenen fonksiona, amaç fonksionu adı verilir. Doğrusal programlama modelinden beklenen sonucun alınabilmesi için, amacın açık olarak bilinmesi ve nicel olarak azılımı gerekmektedir. Modelin amaç fonksionu azılırken; Karar değişkenleri: X, X,..., X n Birim kâr vea maliet katsaıları c,c,.,c j,,c n ile gösterildiğinde, 7

21 Amaç fonksionu: Max/Min Z = c X + c X + +c j X j + + c n X n vea genel olarak şeklinde de azılabilir. Kısıtlaıcıların Belirlenmesi Ekonomide üretim kanakları vea üretim faktörleri sınırlıdır. Bir işletmenin elindeki makine kapasitesi, teknolojisi, işgücü, enerji, sermae, hammadde, arı mamul madde, malzeme gibi üretim faktörleri ile ürünlerine olan talep de sınırlıdır. Dolaısıla karar değişkenlerinin miktarı da sınırlı olacaktır. Önemli olan, bu kısıtlaıcılar altında amaç fonksionunu sağlaan ürünler üretmektir. İşletmenin faalietlerinde, b i : i inci kanak miktarı(i inci kısıtın sağ taraf sabiti), (i=,,, m) a ij : bir birim X j için gerekli i inci kanak miktarı(x j lerin i inci kısıttaki teknoloji katsaıları) sembolleri ile gösterirsek, m kısıt ve n karar değişkeninden oluşan doğrusal kısıtlaıcı fonksionların genel hali aşağıdaki gibi ifade edilebilir. a X +a X + +a j X j + +a n X n b a X +a X + +a j X j + +a n X n b a i X +a i X + +a ij X j + +a in X n b i.. a m X +a m X + +a mj X j + +a mn X n b m Kısıtlaıcılardaki karar değişkenlerinin katsaıları (a ij ), farklı ürünlerin üretiminde kullanılan teknolojii ansıttığı için, teknolojik katsaılar adı verilir. Kısıtlaıcıların sağ taraf sabitlerini oluşturan b i ler daha önce ifade ettiğimiz gibi elverişli kanak miktarını gösterir. Bu kanak miktarları kısıtlaıcı fonksionuna göre her zaman sınırlı olmaz. Bazen karar değişkenlerinin istediğinden fazla vea tam eşitlikte olabilir. Bu nedenle kısıtlaıcı denklemler, = eşitlik şeklinde olabileceği gibi, eşitsizlik şeklinde de olabilir. Eşitsizlik durumu, ukarıda görüldüğü gibi (küçük eşit) şeklinde olabileceği gibi, (büük eşit) şeklinde de olabilir. vea a i X +a i X + +a ij X j + a i X +a i X + +a ij X j + +a in X n b i +a in X n = b i Kısıtlaıcı fonksionlar genel olarak aşağıdaki şekilde de gösterilebilir. i j ij i =,... m, ) ( = bxa ij j =,... n, ) ( 8

22 İşaret Kısıtlaması Doğrusal programlama probleminin matematiksel modelini tamamlamak için her bir karar değişkeninin negatif olmama varsaımını sağlaması gerekir. Karar değişkeni X j nin sadece pozitif değerli olduğu varsaılırsa, X j işaret kısıtı modele eklenir. X j (j=,, n) Şimdi doğrusal programlama modelinin matematiksel azılımı aşağıdaki gibi olacaktır. Max/Min Z = c X + c X + + c n X n Kısıtlaıcılar a X +a X + +a n X n b a X +a X + +a n X n b a m X +a m X + +a mn X n b m ve X,X,,X n Herhangi bir doğrusal programlama modeli, belirlenen amaç fonksionunu minimize vea maksimize edecek karar değişkenlerinin değerini bulmak için kurulur. Doğrusal programlama modelinin temel bileşenleri nelerdir? DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA UYGULAMALARI Bu başlık altında doğrusal programlamanın varsaımları altında bir problemin, doğrusal programlama modeli olarak nasıl ifade edilebileceği, örneklerle anlatılmaa çalışılacaktır. Bir karar problemi için model geliştirme öncesinde amacın, karar değişkenlerinin ve parametrelerin tanımlanmış olması gerekir. Doğrusal programlamanın ugulama alanlarını örneklemek ve modellemek için aşağıdaki bazı problemlerin modellenmesi ele alınacaktı. Üretim Planlaması Doğrusal programlamanın en agın kullanıldığı alanlardan birisi, üretim işletmelerin de maksimum karlı vea minimum malietli üretim bileşenlerini belirlemede kullanılmasıdır. Örnek.. Bir marangoz işletmesi masa ve sandale üretmektedir. Bir masa apımı için metre tahtaa ve 5 saat iş gücüne gerek vardır. Bir sandale apımı için de metre tahtaa ve saat iş gücüne gerek vardır. İşletmenin elinde metre tahta ile saat iş gücü vardır. Arıca bir masanın satışından elde edilen kâr 6 ve bir sandalenin satışından elde edilen kâr 8 dir. İşletmenin amacı maksimum kara ulaşmaktır. Buna göre marangoz işletmesi ne kadar masa ve sandale üretmelidir. Problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X : üretilecek masa miktarını, X : üretilecek sandale miktarını, göstersin. 9

23 Amaç fonksionu; Max Z = 6 X + 8 X (Toplam kar. Üretilecek X adet masa ve X adet sandaleden elde edilecek karların toplamı.) Kısıtlaıcılar X + X 5X + X (tahta kısıtı) (iş gücü kısıtı) ve X,X Örnek.. Bir işletme X,Y ve Z gibi üç ürün üretmektedir. Bir birim X üretiminde birim A malı girdisi ile birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Bir birim Y malı üretiminde ise birim A malı ile birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Birim Z üretiminde ise sadece A malı girdisi kullanılmaktadır. İşletmenin elinde kullanılabilir 4 birim A malı ile birim B malı bulunmaktadır. Öte andan, bir birim X malının satış fiatı, bir birim Y malının satış fiatı 5 ve bir birim Z malının satış fiatı ise dir. Bu X,Y,Z mallarının birim üretim malietleri sırasıla 8, 9 ve 7 dir. Buna göre işletmenin karını maksimum kılabilmek için üretim bileşimi ne olmalıdır. Problemi doğrusal programlama modeli halinde ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X : üretilecek X ürününün miktarını, X : üretilecek Y ürününün miktarını, X : üretilecek Z ürününün miktarını, göstersin. Amaç karın maksimizasonu olduğundan, öncelikle işletmenin ürettiği üç ürün için birim net karlarının bulunması gerekmektedir. Birim kar: Birim satış fiatı birim üretim malieti Buna göre X in net karı, X nin net karı 6 ve X ün net karı da 5 dir. Amaç fonksionu: Max Z = X + 6X +5X Kısıtlaıcılar X + X +X 4 (A malı girdisi) X +X (B malı girdisi) ve X,X, X Örnek.. Bir metalik parça üreten atöle A ve B mamullerini imal etmektedir. A dan /parça ve B den /parça kâr edebilmektedir. Her gün, her bir mamulden düzine satabilmektedir. Atölede torna, freze ve taşlama olmak üzere üç tezgâh vardır. A mamulünden bir birim üretebilmek için, tornada 5 dakika, frezede 7 dakika ve taşlamada 4 dakika işlem görmesi gerekmektedir. B mamulünden bir birim üretebilmek için, tornada dakika, frezede 9 dakika ve taşlamada 7 dakika işlem görmesi gerekmektedir. Atölede bir torna, bir freze ve bir taşlama tezgahı vardır. Bu tezgâhlar başka işlerde de kullanıldığı için sadece aşağıda belirtilen miktarlarda boş zamanları vardır.

24 Tezgah boş Zamanı (dak.) Torna Freze Taşlama 65 9 A ve B den ne kadar üretilsin ki maksimum kara ulaşılsın. Problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X : A mamulünden üretilecek miktarı, X : B mamulünden üretilecek miktarı, göstersin. Talep: düzine = 44 adet olmak üzere, Amaç fonksionu; Max Z = X + X Kısıtlaıcılar X 44 (talep) X 44 (talep) 5X + X 65 (torna zamanı) 7X + 9X (freze zamanı) 4X + 7X 9 (taşlama zamanı) ve X,X Örnek.4. BORSAN firmasının üç fabrikası var ve her fabrikada üç arı boda boru üretilmektedir. Üç boda boru satışından elde edilen birim karlar şöledir. Büük bo için 8, orta bo için 6 ve küçük bo için de 54. Üç fabrikadaki emek ve makine güçlerine göre ancak haftada nolu fabrikada 8 birim, nolu fabrikada 65 birim ve nolu fabrikada 45 birim ürün üretebilmektedir. Fabrikaların stoklama alanları da sınırlıdır. nolu fabrikanın 4m, nolu fabrikanın 5 m ve üç nolu fabrikanın da 8 m lik stoklama alanı vardır. Büük bo boru haftalık üretiminde,5 m, orta bo boru haftalık üretiminde m ve küçük bo boru haftalık üretimi için,5 m ere gerek vardır. Satış bölümünün tahminine göre haftada büük bo borudan 8, orta bo borudan 9 ve küçük bo borudan 6 birim satılabilmektedir. Öte andan, önetim üç fabrikada üretilen malların göreli saısının emek ve makine kapasitelerine denk oranda olmasını istemektedir. Yönetim, karını en çok apabilmek için üç fabrikada her bir bodan ne kadar birimlik ürün üretilmesi gerektiğini saptamak istemektedir. Problemi doğrusal programlama modeli olarak kurunuz. Çözüm: Bu problemde, karar değişkenleri ve parametreleri fabrika-ürün ilişkisini belirtecek şekilde çift indisle göstermek erinde olacaktır. Karar değişkenleri X ij = i inci fabrikada üretilecek j inci boda boru miktarı. (i=,,) (j= büük, j= orta, j= küçük)

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I İST205U KISA ÖZET DİKKAT Burada ilk 4 sahife gösterilmektedir. Özetin tamamı için sipariş veriniz www.kolayaof.com 1 1.ÜNİTE Yöneylem Araştırmasına Giriş GİRİŞ Yöneylem Araştırması

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri Saısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! NÜMERİK ANALİZ Saısal Yöntemlere Giriş Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2016 Günümüzde ortaa konan problemlerin bazılarının analitik çözümleri apılamamaktadır. Analitik

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMİ İLE TÜRKİYE DEKİ SİGORTA ŞİRKETLERİNİN PERFORMANSLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMİ İLE TÜRKİYE DEKİ SİGORTA ŞİRKETLERİNİN PERFORMANSLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi Yıl:4 Saı:7 Bahar 005/ s.9-9 DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA YÖNTEMİ İLE TÜRKİYE DEKİ SİGORTA ŞİRKETLERİNİN PERFORMANSLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Münevver TURANLI

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (OPERATIONAL RESEARCH) ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SUNUM PLANI Yöneylem araştırmasının Tanımı Tarihçesi Özellikleri Aşamaları Uygulama alanları Yöneylem

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJE ADI: TÜRKİYE DEKİ GELECEKTEKİ DOKTOR İHTİYACINI YÖNEYLEM ARASTIRMASI İLE BELİRLEMEK MEV KOLEJİ BASINKÖY OKULLARI

Detaylı

Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

Çözümlemeleri adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu. Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı. 1996 yılında İ.Ü. Orman Fakültesi,

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

KENAR TETİKLEMELİ D FLİP-FLOP

KENAR TETİKLEMELİ D FLİP-FLOP Karadeniz Teknik Üniversitesi Bilgisaar Mühendisliği Bölümü Saısal Tasarım Laboratuarı KENAR TETİKLEMELİ FLİP-FLOP 1. SR Flip-Flop tan Kenar Tetiklemeli FF a Geçiş FF lar girişlere ugulanan lojik değerlere

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

Sistem Mühendisliği. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Sistem Mühendisliği. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Sistem Mühendisliği Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Organizasyon Teorileri 20. yüzyılın başından itibaren insan ilişkilerinin her alandaki giderek artan önemi, iki dünya savaşı ve 1960 ların sosyal devrimleri,

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

Bilginin Görselleştirilmesi

Bilginin Görselleştirilmesi Bilginin Görselleştirilmesi Bundan önceki konularımızda serbest halde azılmış metinlerde gerek duduğumuz bilginin varlığının işlenmee, karşılaştırmaa ve değerlendirmee atkın olmadığını, bu nedenle bilginin

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

YETİŞ. tirme ve geliştirme. faaliyetlerini, yetiştirme. şeklinde iki başlık altında toplamak. nde

YETİŞ. tirme ve geliştirme. faaliyetlerini, yetiştirme. şeklinde iki başlık altında toplamak. nde İnsan Kanakları Yönetimi nde nde EĞİTİM: YETİŞ İŞTİRME & GELİŞ İŞTİRME 6 Öğr. Grv. Dr. M. Volkan TÜRKERT 1 İKY de EğitimE Personelin vea onların oluşturduklar turdukları grupların, işletmede i üklendikleri

Detaylı

Tedarik Zinciri Yönetimi

Tedarik Zinciri Yönetimi Tedarik Zinciri Yönetimi -Tedarik Zinciri Ağı Tasarımı- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Ağ tasarımı, tedarik zinciri açısından üç karar düzeyini de ilgilendiren ve bu düzeylerde etkisi olan bir konudur. Zincirin

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar - I

DERS 2. Fonksiyonlar - I DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin

Detaylı

SİMÜLASYON Hazırlayan: Özlem AYDIN

SİMÜLASYON Hazırlayan: Özlem AYDIN SİMÜLASYON Hazırlayan: Özlem AYDIN Not: Bu sunumda Yrd. Doç. Dr. Yılmaz YÜCEL in Modelleme ve Benzetim dersi notlarından faydalanılmıştır. SİMÜLASYONUN ORTAYA ÇIKIŞI Simülasyonun modern anlamda kullanılışı

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/ Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI 2014 İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI Açıklama Staj yapılan işletmelerde

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 03. İşler veya eylemler olası olan zaman ve mekanının tamamını kullanacaktır.

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 03. İşler veya eylemler olası olan zaman ve mekanının tamamını kullanacaktır. İNŞAAT PROJELERİNİN YÖNETİMİNDE FİZİBİLİTE ÇALIŞMASI İnşaat projelerinin yönetimi ve kurallar Parkinson Kuralı İşler veya eylemler olası olan zaman ve mekanının tamamını kullanacaktır. Peter İlkesi Bireyler

Detaylı

Yöneylem Araştırması

Yöneylem Araştırması Yöneylem Araştırması Çok sayıda teknik ve bilimsel yaklaşımı içeren Yöneylem Araştırması, genellikle kıt kaynakların paylaşımının söz konusu olduğu sistemlerin en iyi şekilde tasarlanması ve işletilmesine

Detaylı

1.Lojistiğin Temel Kavramları. 2.Lojistik Sisteminin Bileşenleri. 3.Lojistik Ekonomisi. 4.Lojistik ve Tedarik Zinciri Yönetimi

1.Lojistiğin Temel Kavramları. 2.Lojistik Sisteminin Bileşenleri. 3.Lojistik Ekonomisi. 4.Lojistik ve Tedarik Zinciri Yönetimi 1.Lojistiğin Temel Kavramları 2.Lojistik Sisteminin Bileşenleri 3.Lojistik Ekonomisi 4.Lojistik ve Tedarik Zinciri Yönetimi 5.Lojistik ve Maliyet Yönetimi 1 6.Lojistikte Müşteri İlişkileri 7.Lojistikte

Detaylı

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ Trakya Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Tezsiz Yüksek Lisans Lojistik Dersi Konuşmacı - Ali KAHRAMAN Danışman - Yrd.Doç.Dr. Nevin ALTUĞ İÇİNDEKİLER

Detaylı

1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ

1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ 13 1.1. Üretim, Üretim Yönetimi Kavramları ve Önemi 14 1.2. Üretim Yönetiminin Tarihisel Gelişimi 18 1.3. Üretim Yönetiminin Amaçları ve Fonksiyonları

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 1. Konu VEKTÖRLER TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 1. Konu VEKTÖRLER TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINI SOU BANKASI 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAEKET 1. Konu VEKTÖLE TEST ÇÖZÜMLEİ 1 Vektörler Test 1 in Çözümleri 3. 4 N 1. 1,2 = 2 3 2 3 120 4 N 4 N 6 N 4 N Şekil I Şekil II A Şekil I Şekil II A 3 Değeri

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ KAMU İHALE KURUMU UZMAN YARDIMCILIĞI GİRİŞ SINAVI ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ ADAYIN ADI :... SOYADI :..... T.C.KİMLİK NUMARASI :... SINAV SALON NO :... SIRA:.. *Yukarıdaki Bilgileri Doldurmaı Unutmaınız. Soru

Detaylı

Kaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997

Kaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997 Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2016-2017 Güz Dönemi Kaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997 2 Tesis Yer Seçimi Problemi (TYSP) TEK AMAÇLI

Detaylı

PROJE YÖNETİM TEKNİKLERİ

PROJE YÖNETİM TEKNİKLERİ PROJE YÖNETİM TEKNİKLERİ PROJE PLANLARININ HAZIRLANMASI Bir projenin başarısı; onu planlarken harcanan çaba, gösterilen özen ve yetenekler oranında gerçekleşecektir. Projeye başlarken öncelikle aşağıdaki

Detaylı

ÜRETİM VE KAYNAK PLANLAMASI

ÜRETİM VE KAYNAK PLANLAMASI ÜRETİM VE KAYNAK PLANLAMASI ÜRETİM KAYNAKLARI PLANLAMASI KAVRAMI Üretim kaynakları planlaması (MRP II) sisteminin hedefleri stokların azaltılması, üretimi aksatmayacak ve dolayısı ile kapasite kayıplarına

Detaylı

Bu makale Temmuz 1998 tarihinde Vergi Sorunları Dergisi nin 118 numaralı sayısında yayımlanmıştır.

Bu makale Temmuz 1998 tarihinde Vergi Sorunları Dergisi nin 118 numaralı sayısında yayımlanmıştır. Bu makale Temmuz 1998 tarihinde Vergi Sorunları Dergisi nin 118 numaralı saısında aımlanmıştır. VERGİ MEVZUATIMIZDA VERGİLERİN KANUNİLİĞİ PRENSİBİNDEN SAPMALAR M. Akut KELECĠOĞLU Gelirler Kontrolörü Vergilendirme

Detaylı

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or HRS şirketi BRN Endüstrileri ile bir anlaşma yapmış ve her ay BRN ye üretebildiği kadar A ürününden sağlamayı garanti etmiştir. HRS de vasıflı ustalar ve çıraklar çalışmaktadır. Bir usta, bir saatte 3

Detaylı

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKAT Burada ilk 4 sayfa gösterilmektedir. Özetin tamamı için sipariş veriniz www.kolayaof.com 2 Kolayaof.com 0 362 2338723 Sayfa 2 İÇİNDEKİLER 1. ÜNİTE- TEDARİK

Detaylı

Türk Eczacıları Birliği Araştırma ve Uygulama Merkezi. İlaçta Akılcılık Hibe Programı Başvuru Formu

Türk Eczacıları Birliği Araştırma ve Uygulama Merkezi. İlaçta Akılcılık Hibe Programı Başvuru Formu Türk Eczacıları Birliği raştırma ve Ugulama Merkezi İlaçta kılcılık Hibe Programı Başvuru Formu (www.teb.org.tr adresinden indirebilirsiniz) 1. TNIM Projenin dı: Başvuru Sahibinin

Detaylı

ÜRETİM SİSTEMLERİ ve ÖZELLİKLERİ

ÜRETİM SİSTEMLERİ ve ÖZELLİKLERİ ÜRETİM SİSTEMLERİ ve ÖZELLİKLERİ Üretim sistemleri hammaddelerin bitmiş ürüne dönüştürüldükleri sistemlerdir. Bu sistemler için oluşturulacak simülasyon modelleri tamamen üretim sisteminin tipine ve verilecek

Detaylı

Havayolu Yönetimi (AVM202) Ders Detayları

Havayolu Yönetimi (AVM202) Ders Detayları Havayolu Yönetimi (AVM202) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Havayolu Yönetimi AVM202 Güz 3 0 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin Türü

Detaylı

PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN. ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır.

PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN. ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır. PO.D. MUAT DEMİ AYDIN ***Bu ders notları bir sonraki slatta verilen kanak kitaplardan alıntılar apılarak hazırlanmıştır. Mühendisler için Vektör Mekaniği: STATİK.P. Beer, E.. Johnston Çeviri Editörü: Ömer

Detaylı

KAPASİTE PLANLAMASI ve ÖLÇME KRİTERLERİ

KAPASİTE PLANLAMASI ve ÖLÇME KRİTERLERİ KAPASİTE PLANLAMASI ve ÖLÇME KRİTERLERİ Kuruluş yeri belirlenen bir üretim biriminin üretim miktarı açısından hangi büyüklükte veya kapasitede olması gerektiği işletme literatüründe kapasite planlaması

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I kitabımıda doğrusal denklemleri tanımlamıştık (safa 85). Arıca, matematiksel modeli doğrusal denklemler içeren problem

Detaylı

WEB PROJESİ YÖNETİMİ. Belli bir süre içerisinde, belli bir bütçe ile belirlenen hedeflere ulaşmak için uygulanan metodolojik süreçtir.

WEB PROJESİ YÖNETİMİ. Belli bir süre içerisinde, belli bir bütçe ile belirlenen hedeflere ulaşmak için uygulanan metodolojik süreçtir. BÖLÜM 1 1.1 PROJE NEDİR? WEB PROJESİ YÖNETİMİ Belli bir süre içerisinde, belli bir bütçe ile belirlenen hedeflere ulaşmak için uygulanan metodolojik süreçtir. 1.2 PROJELERİN ORTAK UNSURLARI NELERDİR? Başlama

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

KURUMSAL KAYNAK PLANLAMA SİSTEMLERİ YÖNETİMİ

KURUMSAL KAYNAK PLANLAMA SİSTEMLERİ YÖNETİMİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ KURUMSAL KAYNAK PLANLAMA SİSTEMLERİ YÖNETİMİ Hafta 1 Prof. Dr. İsmail Hakkı CEDİMOĞLU Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim"

Detaylı

Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions)

Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions) Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions) Öğr. Üyesi: Öznur Özdemir Kaynak: Waters, D. (2009). Supply Chain Management: An Introduction to Logistics, Palgrave Macmillan, New York

Detaylı

PROJE YÖNETİMİ KISA ÖZET KOLAYAOF

PROJE YÖNETİMİ KISA ÖZET KOLAYAOF PROJE YÖNETİMİ KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKAT Burada ilk 4 sayfa gösterilmektedir. Özetin tamamı için sipariş veriniz www.kolayaof.com 2 Kolayaof.com 0 362 2338723 Sayfa 2 İÇİNDEKİLER 1. ÜNİTE-Proje ve Proje

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ Herhangi bir işe girişirken, genellikle o iş için harcanacak çaba ve kaynaklarla, o işten sağlanacak fayda karşılaştırılır. Bu karşılaştırmada amaç, kaynaklara (üretim faktörlerine)

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 Bölüm 2 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 21 2.1 Doğrusal Programlamanın

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

BİLGİ SİSTEMLERİNİN GELİŞTİRİLMESİ

BİLGİ SİSTEMLERİNİN GELİŞTİRİLMESİ BİLGİ SİSTEMLERİNİN GELİŞTİRİLMESİ Bilgi sistemi kavramı genellikle işletmelere yönelik olarak kullanılmaktadır. Bu yönüyle bilgi sisteminin amacını; yöneticilere teslim edilen ekonomik kaynakların kullanımına

Detaylı

Sağlık Hizmetlerinde Maliyet

Sağlık Hizmetlerinde Maliyet Sağlık Hizmetlerinde Maliyet Sağlık İşletmelerinde Maliyet Sağlık işletmelerinde maliyetleri oluşturan faktörlerin bilinmesi ve bütçedeki yeri Artan maliyetlerin kontrol altına alınması Üretimin/kaynakların

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak GAMS Giriş GAMS (The General Algebraic Modeling System) matematiksel proglamlama ve optimizasyon için tasarlanan yüksek seviyeli bir dildir. Giriş dosyası:

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN

Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN Dersle İlgili Konular Üretim Yönetimi Süreç Yönetimi Tedarik Zinciri Yönetimi Üretim Planlama ve Kontrolü Proje Yönetimi Kurumsal Kaynak Planlaması-ERP Kalite Yönetimi Modern

Detaylı

TESİS TASARIMI ve PLANLAMASI -Giriş-

TESİS TASARIMI ve PLANLAMASI -Giriş- TESİS TASARIMI ve PLANLAMASI -Giriş- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü İşletme: İnsanların ihtiyaçlarını karşılamak amacıyla mal ve

Detaylı

İSG PROJE YÖNETİMİ ve ACİL DURUM PLÂNI

İSG PROJE YÖNETİMİ ve ACİL DURUM PLÂNI 29 İSG011 1/7 İSG PROJE YÖNETİMİ İSG PROJE YÖNETİMİ ve ACİL DURUM PLÂNI AMAÇ: İSG de Proje yönetimi ile tehlike araştırma yöntemleri hakkında bilgilendirme Slayt III BÖLÜM CPM GANT PERT YÖNTEMİLERİ VE

Detaylı

DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME. 1. Aşağıdakilerden hangisi işletmenin yapısal özellikleri arasında yer almaz?

DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME. 1. Aşağıdakilerden hangisi işletmenin yapısal özellikleri arasında yer almaz? DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME 1 1. Aşağıdakilerden hangisi işletmenin yapısal özellikleri arasında yer almaz? A) İşletme bir ekonomik kuruluştur. B) İşletme bağımsız bir kuruluştur. C) İşletme sosyal

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI. Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT

İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI. Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT İŞLETMENİN KURULUŞ ÇALIŞMALARI Bu Dersimizde; Kuruluşla İlgili Bazı Temel Kavramlar Genel Olarak İşletmenin Kuruluş Aşamaları Fizibilite Çalışmalarının

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon (LOJ 430) Ders Detayları

Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon (LOJ 430) Ders Detayları Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon (LOJ 430) Ders Detayları Ders Adı Ders Dönemi Ders Uygulama Kodu Saati Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon LOJ 430 Her

Detaylı

ENDÜSTRİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK)

ENDÜSTRİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK) İŞLETME MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK) Endüstri İşletme Mühendisliği Meslek Dalı Ana Komisyonu (EİM MEDAK), TMMOB Makina Mühendisleri Odası nda Endüstri ve İşletme Mühendislerinin (EİM) örgütlenerek

Detaylı

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ Tedarik Zinciri Temel Kavramlar

TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ Tedarik Zinciri Temel Kavramlar TEDARİK ZİNCİRİ YÖNETİMİ Tedarik Zinciri Temel Kavramlar Arş.Gör. Duran GÜLER Ege Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Ekonomisi Bölümü Tedarik İşletmelerin ihtiyacı olan girdilerin (hammadde, malzeme,

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım.

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı

ÖNSÖZ ŞEKİL LİSTESİ TABLO LİSTESİ

ÖNSÖZ ŞEKİL LİSTESİ TABLO LİSTESİ İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ii ŞEKİL LİSTESİ v TABLO LİSTESİ vii ÖZET viii SUMMARY ix BÖLÜM 1. GİRİŞ 1 1.1. YÜKLENİCİ FİRMALARDA İNŞAAT EKİPMANI YÖNETİMİ PROBLEMİNİN ÖNEMİ 1 1.2. PROBLEMİN TANIMLANMASI 3 1.3. YÜKLENİCİ

Detaylı

İZMİR EKONOMİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE BİLGİSAYAR BİLİMLERİ FAKÜLTESİ. Endüstri Sistemleri Mühendisliği Bölümü

İZMİR EKONOMİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE BİLGİSAYAR BİLİMLERİ FAKÜLTESİ. Endüstri Sistemleri Mühendisliği Bölümü İZMİR EKONOMİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE BİLGİSAYAR BİLİMLERİ FAKÜLTESİ Endüstri Sistemleri Mühendisliği Bölümü Akış Planı Endüstri Mühendisliği nedir? Endüstri Sistemleri Mühendisliği ile farkları IEU

Detaylı

Tedarik Zinciri Yönetimi -Bileşenler, Katılımcılar, Kararlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN

Tedarik Zinciri Yönetimi -Bileşenler, Katılımcılar, Kararlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Tedarik Zinciri Yönetimi -Bileşenler, Katılımcılar, Kararlar- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Tedarik Zinciri Bileşenleri Tedarik zincirlerinde üç temel bileșenden söz edilebilir: Aktörler: Tedarik zinciri

Detaylı

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ HEDEFLER Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Örneklemenin niçin ve nasıl yapılacağını öğreneceksiniz. Temel Örnekleme metotlarını öğreneceksiniz. Örneklem

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ TRANSPORTASYON (TAŞIMA, ULAŞTIRMA) TRANSİT TAŞIMA (TRANSSHIPMENT) ATAMA (TAHSİS) TRANSPORTASYON (TAŞIMA) (ULAŞTIRMA) TRANSPORTASYON Malların birden fazla üretim (kaynak,

Detaylı