9 / A SINIFI MATEMATİK PROJESİ İSPAT TEKNİKLERİ HAZIRLAYANLAR: Alphan DİNÇ Çağatay YÜCEL Murat KUZU Evrim GÖKSEL Yiğit GÜLBAĞ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "9 / A SINIFI MATEMATİK PROJESİ İSPAT TEKNİKLERİ HAZIRLAYANLAR: Alphan DİNÇ Çağatay YÜCEL Murat KUZU Evrim GÖKSEL Yiğit GÜLBAĞ"

Transkript

1 9 / A SINIFI MATEMATİK PROJESİ İSPAT TEKNİKLERİ HAZIRLAYANLAR: Alphan DİNÇ Çağatay YÜCEL Murat KUZU Evrim GÖKSEL Yiğit GÜLBAĞ Ders Öğretmeni: Vildan MERİÇ 1

2 İçindekiler İspat Amacı 2. Matematiğin Temel İlkeleri 3. İspat Teknikleri a-) Doğrudan İspat b-) Ters Durum İspatı c-) Olmayana Ergi Tekniği d-) Tümevarım Tekniği İle İspat 4. Kullanım Alanları 5. İspat Tekniklerinin Öğrenciye Katkıları 2

3 İSPATIN AMACI İnsanlar kendilerini ifade edebildikleri ilk dönemlerden beri yaşadıkları olaylar hakkında çeşitli fikirler ortaya koymuşlar sonucunda da fikir ayrılıkları ortaya çıkmıştır. Bu zihin çatışmalarının en büyük nedeni ise insanların öne sürdükleri fikirlerin doğruluğunu ispat edememeleridir. Eğer kişi yaptığı işi ispat ederek ortaya çıkarırsa başka bir kişinin ona itiraz etmesi çok zordur. Örneğin; ilk çağlarda bazı gruplar Dünyanın tepsi gibi düz olduğunu, dünyanın bir öküzün boynuzları üzerinde olduğu ve öküzün sinirlendiği zaman tepsiyi sarstığını düşünerek depreme böyle bir açıklama getirmişler. Bu dönemlerde insanların dinsel inanışlarının güçlü olması bunlara inanmalarını kolaylaştırmıştır. Zaten o zamanki teknolojinin de yetersiz olması ve dünyanın yuvarlak oluşunun ispatlanamaması inanmayı kolaylaştırmıştır. Fakat yaşadığımız döneme kadar insanlar bilimi geliştirerek yapılan çalışmalar sonucu uzaydan Dünyanın fotoğrafını çekerek Dünyanın yuvarlak olduğunu ispat etmişlerdir. Artık birinin çıkıp da buna itiraz etmesi hem zor bir olasılık hem de saçma bir davranıştır. Kısaca ispat, gerçekleşen olayın garanti belgesidir. Her bilimde ispat olduğu gibi matematikte fikir karmaşası sonucunda da ispat yöntemleri ortaya çıkmıştır. Matematikteki terimlerin bazıları tanımlı bazıları tanımsızdır. Matematik konuları bu unsurlarında içeren dört temel başlıktan meydana gelmiştir. Bunlar: 1. Tanımsız terimler, 2. Tanımlı terimler, 3. Doğruluğu apaçık görülen önermeler, 4. Aksiyomlardan yararlanarak doğruluğu ispat edilebilen önermeler. 3

4 Matematik bilimini oluşturan bu unsurlar çok uzun süren tartışmalar deneyler sonucu ispatlanarak ortaya çıkarılmıştır. Matematikteki düşüncelerin ispatlarının varlığı matematiği diğer dallardan ayırt eder. Diğer alanlarda (fizik,biyoloji, astronomi gibi) gözlemciler nesnel olurlar ve daha çok varolan gerçek şeyler üzerinde tahminlerde bulunurlar daha sonra bu tahminleri doğal olaylar veya matematik gibi diğer bilimler aracılığıyla ispat ederler. Bir fizikçi güneş sistemindeki gezegenleri ve bunların hareketlerini diferansiyel denklemle açıklar. Bunun sonucunda bir fizik konusunu ispat ederken diğer bir bilim dalından yararlandığı için kendi kendisine ispat yapması çok zordur. Matematik ise ispatlarken birincisi aksiyom ya da postulat denilen kesin kurallarda anlaşırlar, ikincisi tanım denilen bazı yardımcı kavramlar ortaya atarlar, üçüncüsü ise aksiyom ya da tanımlarda yer alan kavramlarla ilintili olan önermelere bağlı teorem, önerme, yardımcı teori (lemma) ya da gerekli sonuçlar denilen ifadeleri türetirler. Bir matematikçi matematiksel bir düşünceyi ispatlarken sadece matematiği kullanır yani matematik ispatın temelini oluşturmaktadır. İspat kavramından yoksun bir matematik deneysel bir bilime benzer. Matematikte 3+2=5 olmasının nedeni insanlar için çok önemli değildir. Fakat düşünüldüğünde matematiğin sanal temellere dayandığı daha sonra bunların geliştirildiği ortaya çıkar. Matematikte ispatın önemi çok büyüktür. Öncelikle ispatlanamayan bir şey insanlar tarafından kabul edilmez. İspatı yapan kişinin öncelikle çok iyi bir karşılaştırma yeteneği olmalıdır ki doğru ve yanlışı ayırabilmelidir. Düşüncesini soyutlar sonra da ispatla ya da ispatlayamadığına karşıt örneklerle ortaya çıkarır. Matematik mantıksal sistemler üzerine dayandığından insanlar tarafından kolay anlaşılan bir bilimdir. Matematik bütün hayatımız içinde yer aldığı için eğer ispat olmasaydı hayatımızı olasılıklar üzerine kurmuş olurduk. İnsanların yaptıkları işlemlerin nereden geldiğini, kullandığı formüllerin nelere dayanarak ortaya çıktığını bilmesi bunları 4

5 kullanırken kişiye güven verir çünkü kişi yaptıklarının yüzde yüz doğru olduğunu iddia edebilmektedir. Sonuçta öngörülen olayı kesin olarak belirlememiz halinde, bu genel olayın gerçekleşmesi için sayısız yol vardır. Çok ender gerçekleşen öngörülen sadece belirli olanlarıdır. MATEMATİĞİN TEMEL İLKELERİ Her kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi her hükmü de ispat etmek mümkün değildir. Bir kelime başka kelimelerle tanımlanır o da başka kelimelerle tanımlanır. Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için sonsuz şekilde geriye gitmek gerekmektedir ki bunun imkansız olduğu ortaya çıkar. Bunun gibi Matematikte bir teorem başka teoremlerle, o teoremlerde başka teoremlerle ispat edilir. Her şeyi ispat etmek için, imkansız olan, bir sonsuz geriye gitmek lazım olduğundan, ister istemez bir yerde durmak gerekiyor. Şu halde nasıl ki, tanımlanamayan şeyler varsa, öylece ispat edilemeyen teoremlerde vardır. Bu teoremlere Matematikte prensipler denir. Prensipler ispat edilememesine rağmen bütün ispatlar temellerini bunlardan alırlar. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin nedeni de budur. Matematiğe ait, sistematik eserler meydana getiren eski Yunan matematikçileri, bazı hükümleri ispatsız kabul etmek gerektiğinin farkına varmışlardır. Bunlar Oklid, Elementler adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da Kabulü İstenen Şeyler adını vermiştir. Zamanla bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir. Örneğin; 19.yy. la kadar matematikçiler Oklid in ispatsız kabul ettiği ve Oklid Postülot ı denilen Bir Doğrunun Dışındaki Noktadan, Yalnız Bir Paralel Doğru Çizilebilir. şeklindeki hükmünü ispat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız bir takım hükümler, yeni yeni prensipler kabul etmiştir. Eskiden beri matematikçiler tarafından matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır. 5

6 Bunlar: Tanımlar Aksiyomlar Postülotlar İSPAT TEKNİKLERİ Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara dayanır. Zaten matematiği ispat ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün değildir. İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında toplayabiliriz: 1. Doğrudan İspat 2. Ters Durum İspatı 3. Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi 4. Tümevarım ile ispat Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte inceleyelim. 1 - Doğrudan İspat : En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu teknik genel olarak; P --> Q (P ise Q) Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q nun) doğruluğu elde edilir. Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir. 6

7 İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belirtildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m tek ve n de çift olduğundan; m = 2a + 1 n = 2b olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu. m + n = 2a b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek; m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur. Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat tamamlanır. Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir. İspat 2 : Bir a tamsayısını ele alalım. 6 ile bölünebildiğini kabul edelim. O zaman k bir tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde yazılabilir. (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir tamsayının 6 katı olacaktır). Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir mi diye bakacağız. 2 katını alırsak; 2a = 2.6k = 12k olur. Biz 12 yi aynı zamanda 4.3 olarak da yazabiliriz. O zaman; 2a = 12k = (4.3)k = 4.(3k) olur. k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır. Dolayısıyla buna m gibi bir tamsayı dersek; 2a = 4.(3k) = 4m olur. 7

8 Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini gösterir. Böylece ispat tamamlanır. Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü gibi ispatlayabiliriz. Bu ispat tekniği kolay olmasına karşın bize her zaman yardımcı olmayabilir. Mesela "Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir" şeklindeki bir önermenin ispatını bu yöntemle vermek oldukça güçtür. Bu sebeple başka ispat yöntemleri geliştirilmiştir. Sıradaki ispat tekniğini açıkladıktan sonra bu soruya tekrar dönüp, ispatının nasıl yapılabileceğini açıklamaya çalışacağım. 2 - Ters Durum İspatı : Bu ispat genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil ise P nin de olamayacağını göstermeye dayanır. Yani bu ifadeyi sözle açıklamak istersek; bize verilen kabullerden yararlanarak istenileni bulmak yerine, istenilenin olmaması (değilinin olması) durumunda, kabullerimizin de olamayacağını (yani değillerinin doğru olması gerektiğini) göstermeye dayanan bir ispat tekniğidir. Bu tekniği örnekler üzerinde daha rahat anlaşılabilir. Az önce belirttiğimiz önermeyi bu yöntemle ispatlamaya çalışalım; Örnek 3 : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir. İspat 3 : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu sayının kendisinin çift olması yani; P = a sayısının karesi çifttir. Q = a sayısının kendisi çifttir. (hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek ise karesi de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek olursak; bu ispat 8

9 tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi de tektir" ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir k tamsayısı için a yı; a = 2k + 1 olarak yazabiliriz. a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak; a 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k) + 1 olur. ve k 2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek; a 2 = 4(k 2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1 2m ifadesine de t dersek; a 2 = 2t +1 olur. Bu da bize a 2 nin tek olduğunu gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz. Bu ispat yönteminin kullanılabileceği başka örnekler de vermeye çalışalım; Örnek 4 : Eğer bir x sayısı pozitif ise ardışığı da pozitiftir. İspat 4 : Bizden soruda x>0 ise x+1>0 olduğunu göstermemizi istiyor. Ters durum ispat tekniği ile bunu ispatlamaya çalışırsak; P olayımız x>0 olması ve Q olayımız da x+1>0 olması olduğundan, tekniğe göre Q değil ise P nin de olamayacağını yani; x+1<0 ise x<0 olması gerektiğini göstermeliyiz. (sıfıra eşit olma durumunu göz önüne almıyoruz çünkü x+1=0 olduğunda x=-1<0 olduğu ve şartı sağladığı aşikardır). Öyleyse elimizde şimdi x+1<0 kabulü var. x+1<0 ise x<-1 ve -1<0 olduğundan x<-1<0 yani x<0 dır. Böylece x+1<0 ise x in mutlaka x<0 şartını sağlayacağını gösterdiğimizden x>0 olduğunda x+1 mutlaka x+1>0 şartını sağlamalıdır diyebiliriz. 9

10 Örnek 5 : X.Y tek sayıdır ancak ve ancak X ve Y nin her ikisi de tektir. İspat 5 : Ancak ve ancak türünden ifade edilen önermelerde, önermeyi iki taraflı ispatlamalıyız. Önce sol tarafın doğruluğunu kabul edip sağ tarafı gösterelim. Yani, X.Y tek sayı ise X ve Y nin her ikisinin de tek olması gerektiğini görelim. Bunu ters durum ispatı ile gösterelim. (==>) P = X.Y nin tek sayı olması Q = X ve Y nin her ikisinin de tek olması. Burada tekniğe göre öncelikle Q nun değilini alıp, buradan P nin değilini elde etmemiz gerekir. Sizin de gördüğünüz gibi bu önermede Q nun değili 2 ye ayrılmaktadır. Yani X ve Y nin her ikisinin birden tek olmaması durumu, ya ikisinin de çift olması ya da birinin çift diğerinin tek olması durumunu getirir. Önce her ikisinin de çift olması durumunu inceleyelim; X ve Y her ikisi de çift ise öyle A ve B tamsayıları için X = 2A ve Y = 2B olsun. Öyleyse; X.Y = 2A.2B = 2(A.2B) ve A.2B de bir tamsayı olacağından buna C dersek; X.Y = 2(A.2B) = 2C yani X.Y = 2C olur. Öyleyse X.Y çifttir. X ve Y nin her ikisini de çift olduğu takdirde X.Y nin çift olması gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu bölümü tamamlandı. X tek ve Y çift olması durumunu ele alalım. Öyleyse uygun A ve B tamsayıları için; X = 2A+1 ve Y = 2B olsun. X.Y = (2A+1).(2B) = 4AB + 2B = 2(2AB + B) olur. Yine 2AB + B sayısı bir tamsayı olacağından buna C gibi bir tamsayı dersek; 10

11 X.Y = 2(2AB + B) = 2C olur. Yani yine X.Y nin bir çift sayı olduğunu bulduk. Öyleyse ters durum ispatına göre Q nun değili durumları olan X ve Y nin çift olması veya birinin çift diğerinin tek olası durumlarında P nin değili yani X.Y nin çift olması gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu tarafı tamamlanır. Şimdi de ispatın diğer yönünü yani, sağ tarafın doğru olduğunu kabul edip, sol tarafı gösterelim. Söz ile ifade edersek X ve Y nin her ikisinin de tek olması durumunda X.Y nin de tek olacağını göreceğiz. (<==) Bu tarafı göstermek için ilk gördüğümüz ispat yöntemi olan doğrudan ispat yöntemi daha uygundur. X ve Y nin her ikisinin de tek olduğunu kabul ederek X.Y nin de tek olması gerektiğini göstereceğiz. X ve Y tek ise, uygun A ve B tamsayıları için; X = 2A + 1 ve Y = 2B + 1 olsun. X.Y = (2A + 1).(2B + 1) = 4AB + 2A + 2B + 1 = 2(2AB + A + B) + 1 Burada yine 2AB + A + B ifademiz bir tamsayı olacağından buna C dersek; X.Y = 2(2AB + A + B) + 1 = 2C + 1 olacaktır. Buradan da görüldüğü gibi X.Y tek sayı bulunur. Öyleyse doğrudan ispat tekniğiyle de ispatın bu yönünü göstermiş bulunuyoruz. Her iki yönden de önermenin doğruluğunu gösterdiğimize göre ispatı tamamlamış bulunuyoruz. Bu örnekten de görüleceği üzere bazı önermeleri ispatlamak için birden fazla ispat tekniğini kullanmamız gerekebiliyor. Her ispat tekniğinin kendine göre getirdiği kolaylıklar bulunmaktadır. Şimdiye kadar görmüş olduğumuz doğrudan ispat ve ters durum ispatından başka "olmayana ergi" adı verilen bir diğer ispat yöntemini de ifade etmeye çalışalım; 11

12 3 - Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği : Bu ispat tekniğinde hipotez aynen alınırken, hükmün bir parçası olumsuz alınır ve bir çelişki ortaya çıkarılır. O zaman yanlışın baştaki kabule dayandığı söylenerek ispat yapılır. Bunu örnekler ile görelim. Örnek 6 : Kendi kendisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır. İspat 6 : Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek; x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık). 1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu. Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir. Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla görülebiliyor ancak tekniği anlayabilmek açısından böyle bir önerme seçtim. Örnek 7 : sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterin. İspat 7 : Önermede bizden sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu göstermemiz isteniyor. 12

13 Olmayana ergi yöntemiyle bu ispatı yapmaya çalışalım. Tekniğe göre hükmü olumsuz kabul edelim, yani sayısı rasyonel bir sayı olsun diyelim ve bir çelişkiye varalım. O zaman sayısını, tek ortak böleni 1 olan p ve q gibi iki tamsayının oranı şeklinde yazabiliriz. (Not: p ve q nun tek ortak böleninin 1 olması p/q nun bir tamsayı değil rasyonel sayı olmasını ve p/q da pay ve paydanın herhangi bir tamsayı ile sadeleştirilemeyeceğini verir). Yani = p/q diyebiliriz. Her iki tarafın da karesini alalım. 2 = p 2 /q 2 olur. Her iki yanı q 2 ile çarparsak; 2q 2 = p 2 olur. Öyleyse buradan p 2 nin bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. O zaman 3 nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanarak p nin de bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. p çift bir sayı ise öyle bir n tamsayısı için p=2n olarak alalım. 2q 2 = p 2 bulmuştuk. p nin 2n olan değerini burada yerine koyarsak; 2q 2 = p 2 = (2n) 2 = 4n 2 olur. Yani 2q 2 = 4n 2 dir. 2 leri sadeleştirirsek; q 2 = 2n 2 olur. Bu ise bize q nun da bir çift sayı olduğunu gösterir. Öyleyse yine 3 nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanırsak q nun da bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. q çift bir sayıysa öyle bir m tamsayısı için q=2m olarak yazabiliriz. Bir önceki adımda da p=2n olarak bulmuştuk. Öyleyse p=2n ve q=2m olduğundan p ve q nun 2 gibi bir ortak böleni vardır. Ancak başta p ve q nun tek ortak böleninin 1 olduğunu söylemiştik. Bu durumda bir çelişki karşımıza çıkmıştır. Bu çelişkinin nedeni yi rasyonel bir sayı olarak kabul edip tek ortak böleni 1 olan p ve q tamsayılarını kullanarak p/q şeklinde yazmamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse sayısı rasyonel bir sayı olmaz, yani irrasyoneldir. Bu ispat yöntemi ters durum ispatına benzemesine rağmen farklı olarak hipotezin olumsuzu yerine bir çelişkiye varmaya çalışıyoruz. Bu ispat tekniklerinden farklı olarak bir de tümevarım ile ispat tekniği vardır. Şimdi bu tekniği açıklayıp örnekler verelim. 13

14 4 - Tümevarım İle İspat Tekniği :En çok bilinen ve kullanılan ispat tekniklerinden biridir. Bu teknikte, ispatın yapılacağı kümede, eleman sayısının sayılabilir sonsuzlukta olması durumunda, bir p özelliğinin "1" için var olduğu gösterilir. Sonra k için özelliğin var olduğu kabul edilir ve k+1 için özelliğin ispatı yapılır. k yı en kötü durumda 1 olarak düşündüğümüzde ve 1 için ispatın sağlandığını ilk adımda göstermiş olduğumuzdan, önermenin k için doğru olduğunu kabul etmemiz yanlış bir kabul olmayacaktır. Sonra k+1 için sağlandığını ispatladığımızdan 2 için de sağlandığı gösterilmiş olur. Bu sefer 2 için sağlandığından, k yı 2 gibi düşünürsek k+1 yani 3 için de ispat sağlanacak, 3 için sağlandığından yine aynı mantıkla 4 için de sağlanacak... ve bu şekilde genel bir ispat yapılmış olacaktır. İlk başlangıç adımının her zaman "1" olması zorunlu değildir, "3 ten büyük tamsayılar için önermenin sağlandığını gösterin" gibi bir durumda başlangıç adımını 3 gibi bir sayı da seçebiliriz. Sonra yine aynı şekilde k için doğru olduğunu kabul edip, k+1 için doğruluğunu göstererek ispatı genelleriz. Bu tekniği kullanarak ispatı yapılan bir çok önerme bulunmaktadır. Şimdi bunlara bir kaç örnek verelim. Örnek 8 : n-1 biçimindeki sayıların toplamının n=1,2,3,4,5,... tamsayılarının her biri için n 2 olduğunu gösteriniz. İspat 8 : Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen toplam serileri üzerine iyi bilinen örneklerden biridir. Tekniğe göre ilk adım olarak "1" için önermenin doğruluğunu görelim; n=1 için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1 olacaktır. Sonuçta 1 = 1 2 olduğundan n=1 için önerme doğrudur. n=k için önerme doğru olsun : Yani k-1 = k 2 olsun. n=k+1 için : n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için; 14

15 (k+1)-1 = (k+1) 2 olduğunu göstermeliyiz. Burada eşitliğin sol tarafındaki en son terimden bir önceki terim de yazılacak olursa; k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1) 2 olduğunu göstermek istiyoruz. Bir önceki adımdaki kabulümüzden dolayı; k-1 = k 2 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine yazarsak k-1 + 2(k+1)-1 = k 2 + 2(k+1)-1 olacaktır. Bunun da (k+1) 2 ye eşit olduğunu göreceğiz. k 2 + 2(k+1)-1 = k 2 + 2k + 1 = (k+1) 2 dir. Böylece önermenin k için doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz. Örnek 9 : Bazı pozitif n tamsayıları için 2 2n -1 in 3 ün katı olduğunu gösterin. İspat 9 : Bu önerme de tümevarım ile kolaylıkla gösterilebilir. n=1 için : 2 2n -1 = = = 4-1 = 3 olur. Yani 3 ün bir katıdır. Öyleyse n=1 için önerme sağlanır. Şimdi n=k için sağlandığını kabul edip, n=k+1 için inceleyelim; n=k için önerme doğru olsun : Yani n=k için 2 2n -1, 3 ün bir katı olmuş olsun. Bunu öyle bir m tamsayısı için 2 2k -1 = 3m (*) olarak gösterelim. n=k+1 için : 2 2(k+1) -1 ifadesinin 3 ün bir katı olduğunu göstermemiz gerekiyor. Bu ifadeyi açacak olursak; 2 2(k+1) -1 = 2 2k+2-1 = 2 2k = 4.2 2k -1 (**) elde ederiz. Kabulümüzden, yani (*) dan 2 2k yı çekersek; 2 2k -1 = 3m dediğimizden 2 2k = 3m + 1 elde ederiz. Bunu (**) ifadesinde yerine yazarsak; 15

16 2 2(k+1) -1 = 4.2 2k -1 = 4.(3m+1) - 1 = 12m = 12m m + 3 ifadesini de 3 parantezine alırsak 3(4m+1) elde edilir. Burada 4m+1 ifadesi bir tamsayı olacağına göre, buna p gibi bir tamsayı dersek; 2 2(k+1) -1 = 12m + 3 = 3p olacaktır. Öyleyse 2 2(k+1) -1 ifadesi 3 ün bir katıdır. Böylece n=k+1 için de önermenin doğruluğunu ispatlamış olduk. O zaman tümevarım ile bu önermenin genel olarak sağlandığını söyleyebiliriz. Tümevarım tekniğinin kullanımı üzerine başta açıklama yaparken her ispatta ilk adım olarak n=1 almak zorunda olmadığımıza, n=2, 3 veya önermeye göre başlangıç için farklı tamsayılar alabileceğimize deyinmiştik. Şimdi bunun üzerine bir önermenin ispatını verelim. Örnek 10 : 2 den büyük ve eşit tamsayılar için n 2 > n+1 eşitsizliğinin sağlandığını gösterin. İspat 10 : Burada başlangıç adım olarak 2 seçmemiz gerekiyor, çünkü önermemizin 2 den büyük tamsayılar için sağlandığını ispat etmemiz isteniyor. n=2 için : n 2 > n+1 olduğunu görmeliyiz. n 2 = 2 2 = 4 > 3 = 2+1 = n+1 olduğundan n 2 > n+1 eşitsizliği n=2 için sağlanır. n=k için önerme doğru olsun : n=k için n 2 > n+1 özelliği sağlanıyor olsun, yani k 2 > k+1 eşitsizliğinin sağlandığını kabul edelim. n=k+1 için : (k+1) 2 > (k+1)+1 sağlandığını göstermeliyiz. Eşitsizliğin sol tarafındaki kare ifadeyi açalım; (k+1) 2 = k 2 + 2k + 1 elde edilir. Kabulümüzden k 2 > k+1 olduğundan, k 2 yerine ondan daha küçük olan k+1 yazarsak; 16

17 (k+1) 2 > k 2 + 2k + 1 > (k+1) + 2k + 1 = 3k + 2 elde ederiz. Burada k değişkenimiz, 2 den büyük veya eşit bir tamsayı olduğundan 3k yerine k yazdığımızda ifademiz küçülecektir. Öyleyse; (k+1) 2 > 3k + 2 > k + 2 = (k+1) + 1 elde ederiz. Böylece n=k+1 için de aradığımız özellik olan (k+1) 2 > (k+1)+1 özelliği sağlanmış olur, ispat tamamlanır. Görüldüğü gibi tümevarım kullanılarak, bize verilen önermenin genel olarak sağlanıp sağlanmadığını ispatlayabiliyoruz. İSPAT IN KULLANIM ALANLARI İspat, günlük yaşantımızda ve neredeyse bilimin her dalında kullandığımız bir araçtır. İspat mantığa dayanır ve mantıkta insanların karar vermede kullandığı en önemli dayanaktır. Bu yüzden ispat günlük yaşantımızda büyük yer tutar. İnsanlar, daima doğrulara ulaşmak ister. Bu her dalda geçerlidir ve buldukları sonuçları sabitleyebilmek için ispata gerek duyarlar. Bilimde ispat temeldir. Eğer biz hipotezlerimizi kanıtlamak istiyorsak, bunu deneyler ve çeşitli yollarla kanıtlamalıyız. Aksi taktirde hipotezlerimiz kanıtlanamaz, teori veya kanun olamazlar. PROBLEM VERİ PROBLEME DAYALI HİPOTEZ KURMA DENEY(ispat) =>> KABUL veya TERK 17

18 Bu şekilden de anladığımız gibi ispat bilimin her dalında hipotezin kanıtlanması için kullanılır. Eğer deney kısmında hipotezimizi ispatlayamazsak hipotez terk edilir bu yüzden bilimde ispatın yeri büyüktür. İspat, bilimin her alanında kullanılır. Örneğin; Geometride bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Çünkü iki iç açının toplamı bir dış açıya eşittir ve bu dış açının bütünleyeni toplama alınmayan diğer iç açıdır ve bu üç açının toplamı 180 derece yapar. Bunu öğrenciye kanıtlamazsak hem öğrencinin kafası karışır hem de bilgi öğrencinin kafasına tam olarak oturmadığı için tam anlamıyla bir öğrenme sağlanamaz. C2 C1 A B Der(A)+der(B)=der(C1) 180 der(c1)=der(c2) ise der(a)+der(b)+der(c2)=180 Biz ispatı coğrafyada da kullanırız. Örneğin; Dünyanın yuvarlak olduğu sürekli batıya giderek bulunmuştur çünkü biz sürekli batıya gidersek en sonunda başlangıç noktamıza geri dönüş yapmış oluruz ve bundan yararlanarak dünyanın yuvarlak olduğunu söyleyebiliriz. Eğer öğrenci dünyanın yuvarlak olduğunu sadece sözel bir kavram olarak düşünürse elbette ki bu bilgi kalıcı 18

19 olmayacaktır. Bu sebeple bir bilgiyi sunduğundunuz kişilere mutlaka o bilginin nereden geldiğini göstermek gerekir. İspatın amacı bilgilerin doğruluğunu kanıtlamaktır ve bu düşünen insanların bulunduğu her yerde geçerli ve gereklidir.ispat amaçladığı öncelikli olarak budur. İspatın Öğrenciye Katkıları Matematiksel iddiaların ispatlarının varlığı matematiği diğer dallardan ayırt eder. İspat kavramından yoksun matematik deneysel bir bilime benzer. Her şeyden önce ispat,ispatı yapanın sağlam muhakemeli olmasını ister. Daha sonra matematikte araştırmalarını soyutlama ile yapar,tahminlerini ya ispat yada ispatlayamadığında karşıt örneklerle sonuçlandırmaya çalışır. İspat tüm bilimlerde önemlidir. Ortaya atılan bir teorinin doğruluğunun ispatlanması gerekir. Aksi halde teori geçersiz veya şüphelidir. Matematikte de bir teorinin ispatı aksiyonlar yardımı ile yapılır. Aksiyomlar doğruluğunu akıl ve mantığımızla kabul ettiğimiz kurallardır. İspat yapan öğrenci teoremi daha iyi anlar,uzun süre unutmaz. Öğrencinin problemler hakkında kafasında biriken soru işaretleri kaybolur. Çözdüğü problemler daha anlamlı, daha akılcı olacağı için çözene zevk verir, başarılı olmasını sağlar. İnsan beyninin muhakemeli olarak çalışmasını sağlar. Zaten insan beyni sağlıklı kaynaklara dayalı olarak düşünmelidir. Sonuç olarak ispat insanın seviyesine göre olmalıdır, ve yapılmalıdır. 19

20 KAYNAKÇA

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgelerde Eşleme 10. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bir Dans Problemi Çizgelerde Eşleme Bir Dans Problemi

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Yöntemler 2. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Tümevarım Yöntemi Kombinatoryal Yöntemler Tümevarım

Detaylı

KORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ

KORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ KORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ 1 KORELASYON ANALİZİ İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü(derecesini) ve yönünü belirlemek için hesaplanan bir sayıdır. Belirli

Detaylı

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal

Detaylı

Develerle Eşekler Ali Nesin

Develerle Eşekler Ali Nesin Develerle Eşekler Ali Nesin MATEMATİĞE GİRİŞ Matematik 101 dersindesiniz, ilk dersiniz, birinci gününüz... Hiç matematik bilmediğinizi varsayıyor hocanız... Kümelerden başlayacaksınız matematiğe... İlk

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. tan ım lam ak denir. ya nlış ye rine 0 sim gesi kullan ılır.

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. tan ım lam ak denir. ya nlış ye rine 0 sim gesi kullan ılır. Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlam ı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler.,,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı)

Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı) Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı) 1. Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme Matematiksel modelleme, hayatın her alanındaki problemlerin doğasındaki ilişkileri çok daha

Detaylı

RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ MATEMATİK 7. SINIF RASYONEL SAYILAR DERS PLANI

RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ MATEMATİK 7. SINIF RASYONEL SAYILAR DERS PLANI RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ Rasyonel sayılar konusu 7.sınıf konusudur. Matematiğin soyut, zor bir ders olduğu düşüncesi toplumda çoğu kişi tarafından savunulan bir bakış açısıdır. Bu durum beraberinde

Detaylı

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 2014 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri soru bankası tamamı çözümlü Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA 080216072 ESRA BOSTANCI 080216013 NEDİM YAMİ 080216050 ÖYKÜ ÖZÇAKIR ÇANAKKALE-2012 İÇERİK ÖNSÖZ...............................................................

Detaylı

4. x, y, z ve t birbirinden farklı gerçel sayılardır. y - z = x ve x.z.t = 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

4. x, y, z ve t birbirinden farklı gerçel sayılardır. y - z = x ve x.z.t = 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? 04 - YGS / MAT GENETİK K.. Bu testte 40 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 5.. 5 7 işleminin sonucu kaçtır? D) 7 9 E) 7 C). 4 6 8.6

Detaylı

Toplam Olasılık Kuralı

Toplam Olasılık Kuralı Toplam Olasılık Kuralı Farklı farklı olaylara bağlı olarak başka bir olayın olasılığını hesaplamaya yarar: P (B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) +... + P (A n B) = P (B/A 1 )P (A 1 ) + P (B/A 2 )P (A 2 ) +...

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin Birkaç Oyun Daha Ali Nesin B irinci Oyun. İki oyuncu şu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplamı 9 olan üç doğal sayı seçiyor. En büyük sayılar, ortanca sayılar ve en küçük sayılar

Detaylı

TAM SAYILARLA İŞLEMLER

TAM SAYILARLA İŞLEMLER TAM SAYILARLA İŞLEMLER 5 4 3 2 1 1 TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü, bilimsel ve teknolojik gelişmeler ışığında meteorolojik gözlemler, hava tahminleri ve iklim değişiklikleri

Detaylı

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar

Detaylı

Onlu Sayılandırmadan Dönüştürme

Onlu Sayılandırmadan Dönüştürme Onlu Sayılandırmadan Dönüştürme Sekizli ve onaltılı sayı sistemleri, ikilinin (2 tabanı) çarpanı olan tabanlara sahiptir, onaltılı yada sekizli ve ikili arasında geri ve ileri dönüşüm çok kolaydır İkili,

Detaylı

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş 1 Matematiksel İktisat: Matematiksel iktisat ekonomik analizlerde kullanılan bir yöntemdir. Bu analizde iktisatçılar iktisat ile ilgili bir bilimsel soruya cevap ararlarken

Detaylı

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır?

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır? MOD KAVRAMI (DENKLİK) a ve b tam sayıları arasındaki fark bir m pozitif tam sayısına tam bölünebiliyorsa bu sayılara m modülüne göre denktir denir ve a b(modm) yazılır. Yani m Z +,m (a b) a b (mod m) dir

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim.

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim. SAYI SİSTEMLERİ A. Basamak ve Taban Bir doğal sayıyı oluşturan rakamlardan her birine basamak, rakamların bulundukları yerdeki değerine basamak değeri ve bu doğal sayının tanımlandığı sayı sistemine de

Detaylı

1 8 'i 14 olan sayının 4 7. A) 32 B) 36 C) 64 D) 48 E) 92 nın farkı en az kaçtır? 9. 12! + 13! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?

1 8 'i 14 olan sayının 4 7. A) 32 B) 36 C) 64 D) 48 E) 92 nın farkı en az kaçtır? 9. 12! + 13! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez? , 006 MC Ceir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@yahoo.com.tr Tam Sayılar TEST I 1. a > üzere a üç asamaklı ir sayıdır. Bu koşulları sağlayan 6 ile tam ölüneilen kaç farklı sayı vardır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

Detaylı

BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI. Şekil 1. Z Dağılımı

BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI. Şekil 1. Z Dağılımı 1 BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI Z dağılımı; ortalaması µ=0 ve standart sapması σ=1 olan Z puanlarının evren dağılımı olarak tanımlanabilmektedir. Z dağılımı olasılıklı bir normal dağılımdır. Yani Z dağılımının genel

Detaylı

8. SINIF KONU : ÜSLÜ SAYILAR

8. SINIF KONU : ÜSLÜ SAYILAR NEGATİF ÜS DİKKAT : Kuvvet negatif olduğunda ifade anlamsızdır bu şekilde değerini bulmak imkansızdır. Anlamlı olması için mutlaka kuvvetin pozitif hale getirilmesi gerekir. ÜSSÜN ÜSSÜ NEDEN İŞARET TESPİTİ

Detaylı

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin

Detaylı

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği 3. ÖLÇÜLEBİLİR FONKSİYONLAR SORU 1: f : R R azalan fonksiyon ise f fonksiyonu Borel ölçülebilir midir? ÇÖZÜM 1: Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği α R için f 1 ((α, )) := {x R : f (x) > α} B (R) olduğunu

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

Hipotez Testinin Temelleri

Hipotez Testinin Temelleri Hipotez Testleri Hipotez Testinin Temelleri Tanımlar: Hipotez teori, önerme yada birinin araştırdığı bir iddiadır. Boş Hipotez, H 0 popülasyon parametresi ile ilgili şu anda kabul edilen değeri tanımlamaktadır.

Detaylı

Kısmen insan davranışlarını veya sezgilerini gösteren, akılcı yargıya varabilen, beklenmedik durumları önceden sezerek ona göre davranabilen bir

Kısmen insan davranışlarını veya sezgilerini gösteren, akılcı yargıya varabilen, beklenmedik durumları önceden sezerek ona göre davranabilen bir DÜŞÜNEN MAKİNELER Kısmen insan davranışlarını veya sezgilerini gösteren, akılcı yargıya varabilen, beklenmedik durumları önceden sezerek ona göre davranabilen bir makine yapmak, insanlık tarihi kadar eski

Detaylı

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız 1 b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız Bölünebilme Kuralları b Asal Sayılar, Asal Çarpanlar,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

YGS MATEMATİK DENEME SINAVI I

YGS MATEMATİK DENEME SINAVI I YGS MATEMATİK DENEME SINAVI I Sınav 2015 ve sonrası YGS sınavlarının müfredatına uygundur. 1. -2 [3 (2-5)-(2-3 5)] = işleminin sonucu kaçtır? A) -10 B) -8 C) 6 D) 10 E) 12 5. A= 24 + 2 2 olup 24 2 2 ifadesinin

Detaylı

Uzayın Analitik Geometrisi

Uzayın Analitik Geometrisi Uzayın Analitik Geometrisi Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Düzlemde geliştirilen analitik geometri modeline benzer şekilde üç boyutlu uzay için de bir analitik

Detaylı

Okunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak

Okunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak Okunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak Okunabilirlik nedir? Neden önemlidir? Okunabilir kod, kodu yazanını dışında bir programcı tarafından okunduğunda ne işe yaradığı anlaşılabilen, girintilenmesi,

Detaylı

1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit. 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini

1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit. 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini 1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini bulmayı,hacim formüllerini öğrenmiştik.bu yıl geometri dersimizin ilk

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Tam Sayılarda Bölünebilme...3. Kongrüanslar...13. Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...26. Genel Tarama Sınavı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Tam Sayılarda Bölünebilme...3. Kongrüanslar...13. Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...26. Genel Tarama Sınavı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Tam Sayılarda Bölünebilme...3 Kongrüanslar...13 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...6 Genel Tarama Sınavı...34 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler Tanım: a, m Z, m > 1 ve (a,

Detaylı

Kesirler ve İşlemler Ondalık Kesirler ve İşlemler, Yüzdeler, Oran. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.

Kesirler ve İşlemler Ondalık Kesirler ve İşlemler, Yüzdeler, Oran. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu. Kesirler ve İşlemler Ondalık Kesirler ve İşlemler, Yüzdeler, Oran Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr Kesirler 4 elmayı çocuğa paylaştıralım: 4 : = 4 elmayı

Detaylı

BİLGİ UZAYINA ADAPTE EDİLEBİLİR KİŞİSEL E ÖĞRENME YOLU PROJESİ ( BİLİRKİŞİ ) Can GÜRSES. Arages Bilişim Genel Müdürü. Dr.

BİLGİ UZAYINA ADAPTE EDİLEBİLİR KİŞİSEL E ÖĞRENME YOLU PROJESİ ( BİLİRKİŞİ ) Can GÜRSES. Arages Bilişim Genel Müdürü. Dr. BİLGİ UZAYINA ADAPTE EDİLEBİLİR KİŞİSEL E ÖĞRENME YOLU PROJESİ ( BİLİRKİŞİ ) Can GÜRSES Arages Bilişim Genel Müdürü Dr. Kürşat AKER İstanbul Feza Gürsey Araştırma Merkezi Abstract Bilirkişi Projesi, literatürde

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

Değerlendirme testleri:

Değerlendirme testleri: Değerlendirme testleri: yatırımınızın karşılığını almak Çalışanlara ve adaylara yönelik değerlendirme testleri, yeteneklerin belirlenmesinde başvurulacak etkin bir yoludur. Sistematik bir yaklaşımdan uzak

Detaylı

MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ

MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ Ahmet ÇOBAN Cumhuriyet Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, SİVAS ÖZET: Bu araştırma, Matematik

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ-2 Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

İstatistik Yöntemleri ve Hipotez Testleri

İstatistik Yöntemleri ve Hipotez Testleri Sağlık Araştırmalarında Kullanılan Temel İstatistik Yöntemleri ve Hipotez Testleri Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN BİYOİSTATİSTİK İstatistiğin biyoloji, tıp ve diğer sağlık bilimlerinde kullanımı biyoistatistik

Detaylı

ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464

ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 Bu formun ç kt s n al p ço altarak ö rencilerinizin ücretsiz Morpa Kampüs yarıyıl tatili üyeli inden yararlanmalar n sa layabilirsiniz.! ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464! ISBN NUMARASI:

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK SETİ. 6. Sınıf MATEMATİK

YAZILIYA HAZIRLIK SETİ. 6. Sınıf MATEMATİK YAZILIYA HAZIRLIK SETİ 6. Sınıf MATEMATİK 1. Fasikül İÇİNDEKİLER 3 Üslü Sayılar 7 Doğal Sayılar 15 Doğal Sayı Problemleri 19 Kalansız Bölünebilme 26 Asal Sayılar 31 1. Dönem 1. Yazılı Soruları 33 Cevap

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

Tekrar

Tekrar İŞLEM KAVRAMI Tekrar Kazanımlar T.C. Milli Eğitim Bakanlığı tarafından okulöncesi eğitim dönemi için işlem kavramı için belirlenen kazanımlar ve göstergeler şunlardır. Kazanım 16. Nesneleri

Detaylı

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne

Detaylı

İlginç Bir Örnek- İhtimal İntegrali

İlginç Bir Örnek- İhtimal İntegrali İlginç Bir Örnek- İhtimal İntegrali İhtimaller hesabı, matematikte bile analitik olarak çözülemiyen problemler için işe yaramaktadır. Buna bir örnek teşkil etmesi bakımından gelişi güzel bir alanın nasıl

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI

8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI 8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 8.1. Sayılar ve İşlemler 8.1.1. Çarpanlar ve Katlar 8.1.2. Üslü İfadeler 8.1.3. Kareköklü İfadeler 8.2. Cebir 8.2.1. Cebirsel İfadeler

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Horton'nun (2001) belirttiği üzere web tabanlı öğretim ortamlarında genel olarak kullanılan ders yapıları aşağıdaki gibidir:

Horton'nun (2001) belirttiği üzere web tabanlı öğretim ortamlarında genel olarak kullanılan ders yapıları aşağıdaki gibidir: Genel Ders Yapılarından Birinin Seçilmesi Bir dersin ana temelini dersin amaçları belirler. Bu amaçlar doğrultusunda dersi küçük parçalara ayırarak sunarsınız. Her parça öğrenme tecrübeleri, etkinlikleri,

Detaylı

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan baģlayarak gezimize çıkacağız.

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan baģlayarak gezimize çıkacağız. GEOMETRİ Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakıģ açısı. Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düģünür

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri 30 deneme

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri 30 deneme kpss 204 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri 0 deneme KOMİSYON MATEMATİK 0 DENEME ISBN 978-605-64-706-5 Kitap içeriğinin

Detaylı

2016 Ocak SEKTÖREL GÜVEN ENDEKSLERİ 25 Ocak 2016

2016 Ocak SEKTÖREL GÜVEN ENDEKSLERİ 25 Ocak 2016 2016 Ocak SEKTÖREL GÜVEN ENDEKSLERİ 25 Ocak 2016 Ocak ayı inşaat ve hizmet sektörü güven endeksleri TÜİK tarafından 25 Ocak 2016 tarihinde yayımlandı. İnşaat sektörü güven endeksi 2015 yılı Aralık ayında

Detaylı

I.BÖLÜM (Toplam 35 soru bulunmaktadır.)

I.BÖLÜM (Toplam 35 soru bulunmaktadır.) I.BÖLÜM (Toplam 35 soru bulunmaktadır.) 1. ve B ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? )B=B B)B=B )(B) D)(B) E)(B) 5. 19 4 B5 7 Bölme işleminde ve B sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere +B kaç

Detaylı

MALİ ANALİZ KISA ÖZET KOLAYAOF

MALİ ANALİZ KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. MALİ ANALİZ KISA ÖZET KOLAYAOF 2 Kolayaof.com

Detaylı

Bölüm 2 Algoritmalar. 2.1 Giriş

Bölüm 2 Algoritmalar. 2.1 Giriş Bölüm 2 Algoritmalar 2.1 Giriş İnsanlar ilk çağlardan beri istek veya arzularını ifade etmek çeşitli yöntemler ile anlatmaya çalışmışlardır. İlk olarak çeşitli şekil ve simgeler daha sonra ise yazının

Detaylı

6.6. Korelasyon Analizi. : Kitle korelasyon katsayısı

6.6. Korelasyon Analizi. : Kitle korelasyon katsayısı 6.6. Korelasyon Analizi : Kitle korelasyon katsayısı İki ya da daha çok değişken arasındaki ilişkiyi gösterir. Korelasyon çözümlemesinin amacı değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini ve yönünü belirlemektir.

Detaylı

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde kpss ezberbozan serisi 2016 MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde 29. yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-360-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA

ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA II Öğr.Gör.Erdal GÜVENOĞLU Hafta 2 Maltepe Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ALGORİTMA ANALİZİ 2 Neden algoritmayı analiz ederiz? Algoritmanın performansını ölçmek

Detaylı

DAHİMATİK MATEMATİK YARIŞMALARINA İLK ADIM. Doç. Dr. Mustafa Özdemir ALTIN NOKTA YAYINEVİ

DAHİMATİK MATEMATİK YARIŞMALARINA İLK ADIM. Doç. Dr. Mustafa Özdemir ALTIN NOKTA YAYINEVİ DHİMTİK MTEMTİK YRIŞMLRIN İLK DIM Doç. Dr. Mustafa Özdemir LTIN NOKT YYINEVİ İZMİR - 203 Önsöz Bu kitap matematik yarışmalarına hazırlanan öğrenciler için başlangıç kitabı olarak hazırlanmıştır. Daha önce

Detaylı

Üstel modeli, iki tarafın doğal logaritması alınarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

Üstel modeli, iki tarafın doğal logaritması alınarak aşağıdaki gibi yazılabilir. 5. FONKSİYON KALIPLARI VE KUKLA DEĞİŞKENLER 5.1. Fonksiyon Kalıpları Bölüm 4.1 de doğrusal bir modelin katsayılarının yorumu ele alınmıştır. Bu bölümde farklı fonksiyon kalıpları olması durumunda katsayıların

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MATEMATİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 7. kesrinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden 0 hangisidir? 0, 0 0,

Detaylı

TOPLAMADA KISAYOLLAR

TOPLAMADA KISAYOLLAR ARDIŞIK SAYILARIN TOPLANMASI TOPLAMADA KISAYOLLAR 1 Kural: Gruptaki en küçük sayı ile en büyük sayıyı topla, sonucu gruptaki sayıların miktarıyla çarp ve sonucu 2 ye böl. Örneğin 33 den 41 e kadar olan

Detaylı

2016-2017. Yayın. Kataloğu

2016-2017. Yayın. Kataloğu 2016-2017 Yayın Kataloğu 1 Değişen ve sürekli gelişen; teknolojiye, bilgi çağına ayak uyduran gerçek bir markayı öğrencilerimize sunmanın gururunu yaşıyoruz Alanında uzman ve deneyimli öğretmenlerimizin

Detaylı

YGS MATEMATİK PROBLEMLER NAMIK KARAYANIK

YGS MATEMATİK PROBLEMLER NAMIK KARAYANIK NELER ÖĞRENECEĞİZ? Denklem ve eşitsizlikleri gerçek hayat durumlarını modellemede ve problem çözmede kullanır. Gerçek hayat durumlarını temsil eden sözel ifadelerdeki ilişkilerin cebirsel, grafiksel ve

Detaylı

ÇOCUK VE KİTAP Çocuk ve kitap, birbirini bütünleyen ve birbirine çok yakışan, iki değerli kelime... Çocuklara okul öncesi çağlarında kitapları tanıtma

ÇOCUK VE KİTAP Çocuk ve kitap, birbirini bütünleyen ve birbirine çok yakışan, iki değerli kelime... Çocuklara okul öncesi çağlarında kitapları tanıtma ÖZEL ATACAN EĞİTİM KURUMLARI ÇOCUK VE KİTAP ANAOKULU REHBERLİK SERVİSİ VELİ BÜLTENİ NİSAN- 2008 ÇOCUK VE KİTAP Çocuk ve kitap, birbirini bütünleyen ve birbirine çok yakışan, iki değerli kelime... Çocuklara

Detaylı

10. ÜNİTE DİRENÇ BAĞLANTILARI VE KİRCHOFF KANUNLARI

10. ÜNİTE DİRENÇ BAĞLANTILARI VE KİRCHOFF KANUNLARI 10. ÜNİTE DİRENÇ BAĞLANTILARI VE KİRCHOFF KANUNLARI KONULAR 1. SERİ DEVRE ÖZELLİKLERİ 2. SERİ BAĞLAMA, KİRŞOFUN GERİLİMLER KANUNU 3. PARALEL DEVRE ÖZELLİKLERİ 4. PARALEL BAĞLAMA, KİRŞOF UN AKIMLAR KANUNU

Detaylı

Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek

Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek CAN BAŞKENT 1. Sezgisel Kümeler Kuramı ve Çelişkileri Hepimizin bildiği sezgisel kümeler kuramı (naive set theory) Cantor'a atfedilir. Bu kümeler kuramı, bizim Math111 dersinden

Detaylı

Asal Sayılar Ali Nesin

Asal Sayılar Ali Nesin Asal Sayılar Ali Nesin B irden ve kendisinden başka sayıya bölünmeyen sayılara asal sayı denir 1. Örneğin 17 asaldır, çünkü 1 ve 17 den başka sayıya (tam olarak) bölünmez. Öte yandan 35 asal değildir,

Detaylı

Yaratıcılık. Yağ nereye gidiyor?

Yaratıcılık. Yağ nereye gidiyor? Marmara Üniversitesi İşletme Fakültesi İşletme Bölümü Teknoloji ve Yenilik Yönetimi Dersi Yağ nereye gidiyor? Yrd. Doç. Dr. M. Volkan Türker 1 Sahibi veya yöneticisi olduğunuz firma ayçiçek yağı satın

Detaylı

Bir zaman birimi tanımlamak için de periyodik bir harekete ihtiyaç vardır.

Bir zaman birimi tanımlamak için de periyodik bir harekete ihtiyaç vardır. Çeşitli koordinat sistemlerinden biri kullanılarak, herhangi bir anda bir gök cisminin gök küresi üzerindeki konumu belirlenebilir; fakat bir gök cisminin koordinatları bir takım sebeplerden (presesyon,

Detaylı

Üstel fonksiyonun grafiği. Tanım a IR + ve a 1 olmak üzere, f : IR IR +, f(x) = a x biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir.

Üstel fonksiyonun grafiği. Tanım a IR + ve a 1 olmak üzere, f : IR IR +, f(x) = a x biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir. Logaritma Üstel fonksiyon a gerçek sayı, n pozitif tam sayı ise, a n = a.a.a. (n tane defa çarpma). a dır. a n sayısında üslü sayı, a ya taban, n ye üs denir. a n sayısı, "a üssü n" diye okunur. 1. n z

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

2005 Matematik Programı ve Matematiksel Beceriler. Evrim Erbilgin

2005 Matematik Programı ve Matematiksel Beceriler. Evrim Erbilgin 2005 Matematik Programı ve Matematiksel Beceriler Evrim Erbilgin Okuma ve Tartışma Giriş, programın vizyonu, ve programın yaklaşımı bölümlerini okuyun. Grup arkadaşlarınızla birlikte aşağıdaki soruları

Detaylı

... 2.Adım 3. Adım 4. Adım

... 2.Adım 3. Adım 4. Adım 1-.... 2.Adım 3. Adım 4. Adım Yukarıda verilen şekillerdeki üçgen sayısı ile örüntülü bir sayı dizisi oluşturulmuştur. İki basamaklı doğal sayılardan rastgele seçilen bir sayının bu sayı dizisinin elemanı

Detaylı

20. ÜNİTE ASENKRON MOTORLARA YOL VERME YÖNTEMLERİ

20. ÜNİTE ASENKRON MOTORLARA YOL VERME YÖNTEMLERİ 20. ÜNİTE ASENKRON MOTORLARA YOL VERME YÖNTEMLERİ KONULAR 1. Üç Fazlı Asenkron Motorlara a. Direk Yol Verme b. Yıldız-Üçgen Yol Verme 2. Uzaktan (İki Yerden) Kumanda 3. Enversör (Sağ-Sol) Çalıştırma 4.

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

Bilgi Kavramıyla Anlaşılan şey Nedir?

Bilgi Kavramıyla Anlaşılan şey Nedir? Bilgi Kavramıyla Anlaşılan şey Nedir? Bilgi edinme insanın en temel güdülerinden birisidir. İnsan bu özelliği sayesinde diğer canlılardan ayrılır. İnsan yalnızca varlığın sürdürebilme gereksinimiyle yaşamaz.

Detaylı

Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır.

Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır. Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır. Zorluk düzeyi Testeki yüzdesi 1. Çok Kolay %10 2. Kolay %20 3. Normal %40 4. Zor %20 5. Çok Zor %10 Aynı test içindeki soruların

Detaylı

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J DERS 13 Amortize Edilmiş Analiz Dinamik Tablolar Birleşik Metod Hesaplama Metodu Potansiyel Metodu Prof. Charles E. Leiserson Kıyım tablosu ne kadar büyük olmalı? Amaç

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2014 2015 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ

2014 2015 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ 0 0 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ SÜRE Ay Hafta D. Saati ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR Geometri Örüntü Süslemeler. Doğru, çokgen çember modellerinden örüntüler

Detaylı

Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz:

Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz: Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz: Soru 1 (15 puan): Dedektif Konan bir gün çok ilginç bir vakayla karşılaşır: Ünlü bir matematikçi iş yerinde güpegündüz ölü bulunur.

Detaylı

ÖRGÜT KURAMI (İŞL302U)

ÖRGÜT KURAMI (İŞL302U) DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. ÖRGÜT KURAMI (İŞL302U) KISA ÖZET-2013-

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

13.11.2010 ÖLÇME VE DEĞERLENDĠRMEDE TEMEL ĠSTATĠSTĠKĠ HESAPLAMLAR ĠSTATĠSTĠK? İstatistik, verileri analiz ve organize etmekle uğraşan bir disiplindir.

13.11.2010 ÖLÇME VE DEĞERLENDĠRMEDE TEMEL ĠSTATĠSTĠKĠ HESAPLAMLAR ĠSTATĠSTĠK? İstatistik, verileri analiz ve organize etmekle uğraşan bir disiplindir. 13.11. Ġstatistik ĠSTATĠSTĠK? Ölçekler Verilerin Düzenlenmesi Merkezi Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri ĠliĢki Ölçüleri (Korelasyon) Örnek Uygulama ÖLÇME VE DEĞERLENDĠRMEDE TEMEL ĠSTATĠSTĠKĠ HESAPLAMLAR

Detaylı