Anizotropik Malzemeler ve Elastik Davranışları Anisotropic Materials and Their Elastical Behaviours

Transkript

1 Aniotropik Malemeler ve lastik Davranışları Anisotropic Materials and Their lastical Behaviours Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

2 İotropik Maleme: ısıl vea mekanik üklemelere karşı her doğrultu ve önde anı mekanik davranışı gösteren malemelerdir. İç apı dağılımı olarak homojen bir tane dağılımı gösterirler. (Their internal structures are homogeneous. Bütün saf metallerin anısıra, alaşımlar iotropik malemelerdir. (Pure metals and allos are istropic materials. Bunun anısıra partikül takvieli kompoitler, homojen bir dağılıma sahip ise iotropik maleme olarak kabul edilirler. (Particulate composites are also assumed to be isotropic materials if the have homegeneous particule distrubition. İotropik Maleme Nedir? What is the Isotropic Material? Isotropic Material: is the material that shows the same mechanical behaviours along to the all directions, for thermal and mechanical loadings. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

3 Aniotropik Malemeler: Isıl vea mekanik üklemelere karşı doğrultua ve öne göre farklı Anisotropic Materials: Aniotropik Maleme Nedir? İç apı tane dağılımı olarak homojen değildir. (Their internal structure are not homogeneous. What is the Anisotropic Material? 3 mekanik davranış gösteren malemelerdir. (are the material that shows the different mechanical behaviours according to the directions, for thermal and mechanical loadings. Fiber takvieli Kompoit Malemeler, Anitropik malemelerin öel bir halidir. (Fiber reinforced composites are the special case of the anistropic materials. Fiber doğrultusu ve fiberlere dik doğrultulara göre maleme sabitlerinin belirlenmesi eterlidir. Bu tip malemelere ortotropik malemeler denir. (Detarmination of the properties along and perpendicular to the fiber direction are enough. This tpe of materials are called orthtoropic Transverl aniotropik ve monoklinik malemeler de anitropik malemelerin öel halleridir. (bunlar ileride açıklanacaktır Aslında iotropik malemeler, aniotropik malemenin en öel halidir. (In fact, isotropic materials are the most special case of the anistiropic materials n genel aniotropik maleme modeli Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

4 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor 4 İotropik Bir Maleme için ksenel Yükleme Durumunda Hooke Kanunları (Hooke Laws for isotropic materials for the aial loading ( ( (

5 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor 5 ( ( ( T T T... İotropik Bir Maleme için enel Yükleme Durumunda Hooke Kanunları (Hooke Laws for isotropic materials for the general loading.

6 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor 6 ( ( ( İotropik Bir Maleme için enel Yükleme Durumunda Hooke Kanunları (Hooke Laws for isotropic materials for the general loading.

7 n enel Aniotropik Maleme için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the most general ansitropic materials 7 Rijitlik (tiffness matrisi 99= 8 bağımsı maleme sabiti içerir İndis formatında Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

8 n enel Aniotropik Maleme için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the most general ansitropic materials 8 evşeklik (Compliance Matrisi Rijitlik matrisinin tersidir. (is inverse of the stiffness matri İndis formatında Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

9 n enel Aniotropik Maleme için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the most general ansitropic materials 9 We can also use these notations instead of the matries. erilme, gerinme, rijitlik ve gevşeklik tansörleri için, aşağıdaki gibi, kısaltılmış notasonlar kullanmak kompoit malemeler için daha koladır ve bu mekanikte agınlaşmıştır. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

10 n enel Aniotropik Maleme için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the most general ansitropic materials onuçta, genel olarak; enerall, we can write as aılabilir. Anı dülemde kama gerilmelerinden kanaklanan şekil değiştirmeler için indislerin eri farketme. We can also write -3 ve -3 dülemleri içinde anı anali apılabilir. (similarl Bu durumda anitropik bir malemede rijitlik vea gevşeklik matrsilerindeki bağımsı elastik maleme sabitleri 66=36 a indirgenmiş oldu. In this case, the material constant at the stiffness or complience matri are reduced as 66=36 Bölece, aniotropik bir cisim için kısaltılmış notasonlar ile gerilme-gerinme ve gerinmegerilme bağıntıları andaki gibi gösterilebilir: Vea indis notasonula : Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

11 lastik- Aniotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-anistropic materials Nonlineer elastic aniotropik bir malemede depolanan enerji oğunluğu:dw ise, The energ densit at a nonlineer elastic-anisotropic material :dw dw id i i dw W i C ij j j C ij d C ij j i W i j C ij (I erilme-gerinme bağıntısı j C ji i Şeklinde de aılabilir. Bu durumda bener şekilde: W W j j C ji i j W W j i C ji C ji i (II j (I ve (II denklemleri birbirine eşit olduğundan W i j W Cij C ji ij ji j i Bu durumda C ve rijitlik ve gevşeklik matrisleri diagonale göre simetrik olmalıdır. Bu matrislerdeki bağımsı, elastik maleme sabitleri dir. Maleme öellikleri bakımından simetri dülemleri olmaan böle bir aniotropik malemee Triklinik maleme denir. (In this case, the number of independent material constants is. This tpe of material is called triclinic. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

12 lastik- Aniotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-anistropic materials düleme göre maleme simetrisi: If there is an one smmetr plane of materials : Kristal apıa sahip aniotropik baı malemelerde kristal seviedeki herbir noktada bir simetri dülemi vardır ve fiiksel maleme öelikleri o düleme göre o noktada simetriktir. (There is a plane of smmetr on each point at some materials having crstal structure. (amp: Potasium Feldspar Homojen apılarda tüm noktalardaki bu simetri dülemleri birbirlerine paraleldir. (These smmetr planes are parallel to each other at the homegenus structures Bu tip malemelere monoklinik malemeler denir. (This tpe of materials is called monoclic Bunlara örnek olarak seramik maddelerin hammadesi olan «feldspar» gösterilebilir. Potasum feldspar smmetr plane Şekilde, - (- dülemine göre simetrik olan monoklinik maleme sembolie edilmiştir. (Herbir küçük kübün bu düleme göre simetrik olduğuna dikkat edini. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

13 lastik- Aniotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-anistropic materials 3 düleme göre maleme simetrisi: smmetr plane Tabakalı Kompoit malemeler ise kristal seviesinden çok daha büük ölçülerde, (göle görülebilecek makro seviede simetri dülemline vea birbirlerine paralel simetri dülemlerine sahip olabilirler. (The laminated composites have the smmmetr planes at macro level. Bu sebeple bir sonraki safada anlatılacak monoklinik malemeler için apılan indirgemeler bu tip kompoitler için ortalama olarak apılabilir. (Therefore the reduction for monclinic materials, eplained at the net pages, can approimatl be done for the composites. Burada önemli olan, maleme öelliklerini belirlemek için apılacak testlerde, test numunelerinin de simetri dülemini içerecek büüklükte olmasıdır. (The most important point for the composites is that the test speciements also include the plane of smmetr Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

14 lastik- Monoklinik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-monocilinic materials 4 düleme göre maleme simetrisi: σ Aniotropik, elastik ve monoklinik bir apının, bir noktasında - dülemine göre maleme simetrisi olduğunu düşünelim. (Let s consider there is a plan of material smmetr for the plane - at an point of a structure that is monoclinic. Bu noktada sadece doğrultusunda normal gerilme (σ ugulanırsa, simetriden dolaı -3 ve -3 doğrultularında çarpılma oluşmaacaktır. Yani: γ 4 = γ 5 = olur. anistropic, elastic and γ 4 = s 4 σ = s 4 = s 4 = γ 5 = s 5 σ = s 5 = s 5 = σ Bener şekilde sadece σ ugulanırsa ine -3ve -3 doğrultularında çarpılma olma. γ 4 = s 4 σ = s 4 = γ 5 = s 5 σ = s 5 = adece σ 3 ugulanırsa γ 4 = s 34 σ 3 = s 34 = γ 5 = s 35 σ 3 = s 35 = bulunur. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

15 lastik- Monoklinik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-monocilinic materials 5 Bu durumda, monoklinik ve elastik bir maleme için gevşeklik ve rijitlik matrislerinde bağımsı maleme sabitleri 3 e indirgenmiş olur.: Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

16 lastik- Monoklinik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-monocilinic materials 6 Monoklinik maleme için maleme sabitleri Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

17 lastik- Ortotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-orthotropic materials 7 ğer Malemenin herbir noktasında, -, -3 ve -3 dülemlerinin her üçüne göre simetri varsa, bu tip malemelere ortotropik malemeler denir. (If there are 3 planes of smmetr, for plane -, 3-, - 3, these materials are called orthtropic material. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

18 lastik- Ortotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-orthotropic materials 8 Anı şekilde sadece ( önünde normal gerilme (σ olursa, simetri dülemlerinin hiçbirinde çarpılma medana gelmeecektir. γ 4 = γ 5 = γ 6 = γ 4 ve γ 5 = monoklinik maleme öelliği idi. Bunlara ilaveten gelen γ 6 = denklemi için; σ σ γ 6 = s 6. σ = s 6 = s 6 = Bener şekilde, sadece σ vea σ 3 varken s 6 = s 6 =, s 63 = s 36 = bulunur. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

19 lastik- Ortotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-orthotropic materials 9 Arıca malemee sadece σ 3 = τ 4 = σ 4 ugulanırsa γ 4 = 44. σ 4 imetriden dolaı diğer dülemlerde bir kama açısı oluşma. γ 5 = γ 6 = σ 4 σ 4 γ 5 = 54. σ 4 = 54 = 45 = bulunur. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

20 lastik- Ortotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-orthotropic materials Bu durumda, ortotropik maleme için gevşeklik ve rijitlik matrisleri: Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

21 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor onuç olarak ; ortotropik maleme için maleme sabitleri lastik- Ortotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-orthotropic materials

22 lastik- Ortotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-orthotropic materials Fiber takvieli kompoit bir tabaka, makro seviede 3 düleme göre de simetriktir ve makro seviede ortotropik maleme olarak düşünülebilirler. (The fiber reinforced laminated composite plates have 3 smmetr plane at macro level Ancak maleme öellikleri tespit edilirken, tabakadan çıkarılacak test numunesinin de makro seviede 3 düleme göre simetrik olmasına öen gösterilmelidir. (But, the test speciements obtained from the laminated composites should be also smettr to these three planes Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

23 lastik- Ortotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-orthotropic materials 3 Tabakalı kompoitler bu simetrikliği makro seviede sağlıorsa, anı şekilde ortrotropik maleme olarak kabul edilirler. (If the composites provide the smmetr to the 3 planes, the are accepted to orthotropric materials oru: anda görülen, mm kalınlıkta 4 tabakadan oluşturulmuş kompoit apıdan çıkarılacak çekme numunesinin kalınlığı minimum ne olmalıdır? Question: What is the minimum thickness of tensile speciement obtained from the laminated composite, shown the figure, having the 4 laer. ach laer has the thickness mm Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

24 lastik, nine (Transversel Iotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-transversel materials 4 ğer ortotropik malemenin her noktasında, birbirlerine paralel olacak şekilde iotropi dülemleri varsa, bu malemelere enine iotropik (transversel isotropic malemeler denir. If there are also smmetr of isotrop planes, each of which is parallel to each others, at all point of orthotropic materials, this tpe of materials are called transversl isotropic. Maleme öellikleri o dülemde her doğrultuda anı olmasına rağmen düleme dik doğrultuda farklılık gösterir. (The material properties are the same along to the all directions at this isotrop planes Fiber eksenine ( e göre dönel simetrie sahip kompoit elemanlar enine iotropik malemelerdir. Zira -3 düleminde aklaşık her doğrultuda öellikler anıdır. doğrultusunda faklıdır. composite having the aismmetr about to the fiber ais are transverl isotropic materials. The properties at the plane -3 are appoimetl same along to the all directions but the are different along to the fiber ais - Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor The

25 lastik, nine (Transversel Iotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-transversel materials 5 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

26 lastik, nine (Transversel Iotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-transversel materials 6 Transverse Isotrop is observed in sedimentar rocks at long wavelengths. ach laer has approimatel the same properties in-plane but different properties through-the-thickness. The plane of each laer is the plane of isotrop and the vertical ais is the ais of smmetr. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

27 lastik, nine (Transversel Iotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-transversel materials 7 Dönel simetrie sahip, fiber takvieli kompoit malemelerde dik kesitte (-3 düleminde, tüm önlerde maleme öellikleri anı kabul edilebilir: 3, 3, 3, 3 ( 3 (İotropik maleme öelliği Bölece bağımsı maleme sabiti 9 dan 5 e indirgenmiş olur. Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

28 lastik, nine (Transversel Iotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-transversel materials 8 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

29 lastik, nine (Transversel Iotropik Malemeler için erilme-erinme Denklemleri tress-train Relationships for the elastic-transversel materials 9 Çekme numunesi enine boutları eterince büük olmalı tüm apıı temsil edebilmelidir. : Tensile Test speciement Yanlış (false Doğru (correct Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

30 Iotropik Malemeler için lastik Maleme abitleri lastic material constants of the iotropic materials 3 Maleme içinde seçilen tüm dülemlerde, tüm doğrultularda öellikler anı ise bu tip malemelere iotropik malemeler denir. (If the properties at an plane and an directions are same, this materials are called isotropic Yani maleme içinde tüm doğrultularda sonsu iotropik simetri dülemi vardır. Bu durumda elastik maleme sabitleri 5 den e indirgenmiş olur: (The material constants are reduced from 5 to :, ( ( ( ( C C C C C C C C C C C C C C C C Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor

31 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor ( ( ( Iotropik Malemeler için lastik Maleme abitleri lastic material constants of the iotropic materials

32 Composite Materials - Chapter 3: Anistropic Materials and Their lastic Behaviours - Prof.Dr. Mehmet Zor ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Iotropik Malemeler için lastik Maleme abitleri lastic material constants of the iotropic materials