MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Trigonometrik ve Hiperbolik Fonksiyonlar ve Tersleri., cosx = eix + e ix 2i

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 12. 3.3. Trigonometrik ve Hiperbolik Fonksiyonlar ve Tersleri., cosx = eix + e ix 2i"

Tülay Erçetin
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Trigonometrik ve Hiperbolik Fonksiyonlar ve Tersleri e ix = cosx+isinx ve e ix = cosx isinx denklemlerinden yararlanılarak, her x reel sayısı için, sinx = eix e ix, cosx = eix + e ix i olduğu açık olarak görülebilir. Bu nedenle z kompleks değişkenli sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını sinz = eiz e iz, cosz = eiz + e iz i denklemleri ile tanımlamak pek doğaldır. sinz ve cosz fonksiyonları e iz ve e iz fonksiyonlarının lineer bileşimi oldukları için bu fonksiyonlar tam fonksiyonlardır. sinz nin tanımına göre ve z = x + iy olmak üzere sinz = ei(x+iy) e i(x+iy) i = sinx ey + e y + icosx ey e y = sinxcoshy + icosxsinhy şeklindedir. Benzer şekilde, olduğu görülür. cosz = cosxcoshy isinxsinhy Diğer dört trigonometrik fonksiyon, sinüs ve kosinüs fonksiyonları cinsinden aşağıdaki biçimde bilinen genel bağıntılarla tanımlanabilir: tanz = sinz cosz, cosz cotz = sinz, secz = 1 cosz, cscz = 1 sinz. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 1

Bu nedenle z kompleks değişkenli sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını sinz = eiz e iz, cosz = eiz + e iz i denklemleri ile tanımlamak pek doğaldır.

2 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 Soru 1. sinz = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm. olduğundan sinz = sinxcoshy + icosxsinhy sinz = sinxcoshy + icosxsinhy = ve buradan 1)sinxcoshy = ve )cosxsinhy = 0 olmalıdır. Buna göre () denkleminde a) cosx = 0 veya sinhy = 0 olur. a) cosx = 0 olsun. Bu durumda x = π değer (1) denkleminde yerine yazılırsa + kπ, k Z bulunur. Bulunan sin( π + kπ)coshy = ( 1)k coshy =, k Z Bu eşitliğin sağlanabilmesi için k = n, n Z olmalıdır. Buradan coshy = coshy = ey + e y = e y + e y = 4 olur ve elde edilen denklem çözülerek bulunur. Buradan çözüm kümesi olarak e y = 3 y = ln( 3) {(x, y) : x = π + nπ, y = ln( 3), n Z} b) sinhy = 0 olsun. Bu durumda y = 0 olur ve bulunan bu değer (1) denkleminde yerine yazılırsa sinxcosh0 = sinx = Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa

a) cosx = 0 olsun. Bu durumda x = π değer (1) denkleminde yerine yazılırsa + kπ, k Z bulunur. Bulunan sin( π + kπ)coshy = ( 1)k coshy =, k Z Bu eşitliğin sağlanabilmesi için k = n, n Z olmalıdır.

3 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 x R için 1 sinx 1 olduğundan sinx = olacak biçimde bir x R sayısı yoktur. Bu durumda çözüm yoktur. Sonuç olarak sinz = denkleminin çözüm kümesi {(x, y) : x = π + nπ, y = ln( 3), n Z} olarak Soru. cosz = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm. olduğundan cosz = cosxcoshy isinxsinhy cosz = cosxcoshy isinxsinhy = ve buradan 1) cosxcoshy = veya ) sinxsinhy = 0 olmalıdır. Buna göre () denkleminde a) sinx = 0 veya b) sinhy = 0 olur. a) sinx = 0 olsun. Bu durumda x = kπ, k Z olmalıdır. Bu değer (1) denkleminde yerine yazılırsa cos(kπ)coshy = ( 1) k coshy = eşitliğinin sağlanabilmesi için k = n, n Z olmalıdır. Buradan coshy = ey + e y = e y + e y = olur ve elde edilen denklem çözülerek e y = 1 y = ln( 1) bulunur. Buradan çözüm kümesi Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 3

olduğundan cosz = cosxcoshy isinxsinhy cosz = cosxcoshy isinxsinhy = ve buradan 1) cosxcoshy = veya ) sinxsinhy = 0 olmalıdır. Buna göre () denkleminde a) sinx = 0 veya b) sinhy = 0 olur.

4 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 olarak {(x, y) : x = nπ, y = ln( 1), n Z} b) sinhy = 0 olsun. Bu durumda y = 0 olur ve bulunan bu değer (1) denkleminde yerine yazılırsa cosxcosh0 = cosx = x R için 1 cosx 1 olduğundan cosx = olacak biçimde bir x R sayısı yoktur. Bu durumda çözüm yoktur. Sonuç olarak cosz = denkleminin çözüm kümesi {(x, y) : x = nπ, y = ln( 1), n Z} Soru 3. coshz = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm. 1. Yol. olduğundan coshz = coshxcosy + isinhxsiny coshz = coshxcosy + isinhxsiny = + i0 ve buradan 1)coshxcosy = ve ) sinhxsiny = 0 sağlanmalıdır. ) denklemi için: a) sinhx = 0 veya b) siny = 0 olmalıdır. a) sinhx = 0 olsun. O halde sinhx = ex e x = 0 e x e x = 0 x = 0 Bulunan değer (1) denkleminde yerine yazılırsa cosh(0)cosy = cosy = olup çözüm kümesi boştur. b)siny = 0 olsun. Buradan y = kπ, k Z bulunur ve (1) denkleminde yerine yazılırsa coshxcos(kπ) = coshx( 1) k = x R için Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 4

Sonuç olarak cosz = denkleminin çözüm kümesi {(x, y) : x = nπ, y = ln( 1), n Z} Soru 3. coshz = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm. 1. Yol.

5 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 coshx 1 olduğundan k tek sayı olmalıdır. Buradan y = (n + 1)π, n Z bulunur. O halde coshx = ex +e x = olmak üzere e x 4e x + 1 = 0 ve denklem çözülerek e x = 3 bulunur. e x = + 3 x 1 = ln( + 3) ve e x = 3 x = ln( 3) Sonuç olarak ve z 1 = ln( + 3) + i(n + 1)π, n Z z = ln( 3) + i(n + 1)π, n Z ln( 3) = ln( + 3) olduğundan şeklinde de yazılabilir. z = ln( + 3) + i(n + 1)π, n Z. Yol. coshz = ez +e z = e z + e z = 4 e z + 4e z + 1 = 0 elde edilir. Son denklem çözülerek ve e z 1 = + 3 z 1 = log( + 3) e z = 3 z = log( 3) bulunur. arg( + 3) = Arg( + 3)+nπ = π+nπ = (n+1)π, n Z dir. Buradan ve z 1 = log( + 3) = ln( 3) + (n + 1)πi, n Z z = log( 3) = ln( + 3) + (n + 1)πi, n Z Soru 4. arctan(i) nin tüm değerlerini bulunuz. Çözüm. z = arctan(i) diyelim. Bu durumda tanz = sinz cosz buradan e iz e iz. = i i e iz + e iz = i olur ve Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 5

e x = + 3 x 1 = ln( + 3) ve e x = 3 x = ln( 3) Sonuç olarak ve z 1 = ln( + 3) + i(n + 1)π, n Z z = ln( 3) + i(n + 1)π, n Z ln( 3) = ln( + 3) olduğundan şeklinde de yazılabilir.

6 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 Buradan bulunur, böylece e iz 1 e iz+1 = eiz = 1 3 ( iz = log 1 ) 3 = ln 1 + i (π + kπ), k Z 3 olur ve sonuç olarak z = 1 i ln1 3 + π (1 + k) = i ln3 + π (1 + k), k Z Soru 5. arcsin(i) nin tüm değerlerini bulunuz. Çözüm. arcsinz = ilog[iz + (1 z ) 1/ ] olduğundan arcsinz = ilog[i + (1 i ) 1/ ] = ilog[ 1 + (1 + 1) 1/ ] = ilog( 1 + 1/ ) 1/ nin köklerini bulalım: elde edilir ve bulunur. Buradan z k = 1/ e i (0+kπ) = e kπi, k = 0, 1 z k = Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 6

7 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 olur ve 1) arcsin(i) = ilog( 1 ) log( 1 ) = ln 1 + iarg( 1 ) = ln(1 + ) + (n + 1)πi, n Z ) log( 1 + ) = ln iarg( 1 + ) şeklindedir. Buradan = ln( 1 + ) + nπi, n Z z 1 = i [ ln(1 + ] ) + (n + 1)πi, n Z [ z = i ln( 1 + ] ) + nπi, n Z Ayrıca ln( 1) = ln( 1 ) = ln(1 + ) olduğundan tüm değerler [ i ( 1) n+1 ln(1 + ] ) + nπi = ( 1) n iln(1 + ) + nπ, n Z olarak bulunur. Soru 6. arctanh(1 + i) nin tüm değerlerini bulunuz. Çözüm. şeklindedir. Buradan arctanhz = 1 ( ) 1 + z log 1 z Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 7

Buradan = ln( 1 + ) + nπi, n Z z 1 = i [ ln(1 + ] ) + (n + 1)πi, n Z [ z = i ln( 1 + ] ) + nπi, n Z Ayrıca ln( 1) = ln( 1 ) = ln(1 + )

8 MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 arctanh(1 + i) = 1 ( ) i log 1 1 i = 1 ( ) log i = 1 ( ) + i log i = 1 log(i 1) ve log(i 1) = ln i 1 + iarg(i 1), arg(i 1) = 3 π + nπ dir. Buradan 4 Sonuç olarak bulunur. Alıştırmalar log(i 1) = ln + i( 3 4 π + nπ), n Z arctanh(1 + i) = 1 4 ln + i(3 8 π + nπ), n Z 1) Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a)cosz = i1 4 b)cosz = sinz ) Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz. a)sin(z 1 z ) = sinz 1 cosz cosz 1 sinz b)cos(z 1 z ) = cosz 1 cosz + sinz 1 sinz 3) Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz. a)1 tanh z = sech z b)coth z 1 = csch z Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 8

Alıştırmalar log(i 1) = ln + i( 3 4 π + nπ), n Z arctanh(1 + i) = 1 4 ln + i(3 8 π + nπ), n Z 1) Aşağıdaki denklemleri çözünüz.

Benzer belgeler

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir. .7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir