Alper PAHSA. Ankara Üniversitesi, Elektronik Mühendisliği ABD , Beşevler Ankara

Transkript

1 HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2008 CİLT 3 SAYI 4 (25-36) HAVA TRAFİK KONTROLU BENZETİMİNDE ETKİLEŞİMLİ ÇOKLU MODEL (INTERACTING MULTIPLE MODEL-IMM) KESTİRİM PERFORMANSI VE KALMAN FİLTRESİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI Alper Ankara Üniversitesi, Elektronik Mühendisliği ABD , Beşevler Ankara apahsa@eng.ankara.edu.tr Geliş Tarihi: 15 Şubat 2008, Kabul Tarihi: 28 Haziran 2008 ÖZET Özellikle hareket projeksiyonu farkli zaman araliklarinda manevralı olan hareketli nesneler için, uyarlanabilir kestirim modellerinin kullanıldığı bilinmektedir. Bu çalışmada dinamik bir uyarlanabilir kestirim modeli olan etkileşimli çoklu model (Interacting Multiple Model-IMM) algoritması derlenmiş ve benzetimi yapılan hareketli sivil hava trafik hedefi için uygulanmıştır. IMM algoritması genelleştirilmiş ikincil derece yalancı Bayes kestirimi algoritmasıdır. Çalışmada iki boyutlu düzlemde ilk aşamada 100 sn boyunca 125 m/sn sabit hızla hareket eden daha sonra hareketini 30 sn boyunca 3 m/sn açısal hızla 30 º sola dönen, kalan yaklaşık 70 sn boyunca ise 125 m/s sabit hızla hareketini devam ettiren bir sivil hava trafik kontrolü nesnesinin benzetimi yapılmıştır. Daha sonra bu hareketle ilgili olarak ölçümü yapan ve yeri belli bir koordinata sabitlenen sensörden gürültülü ölçüm harekete eklenmiş ve uygulaması yapılan kestirim algoritmaları işlemlerine eklenmiştir. Dinamik nesneye ait hareket projeksiyonunun, öncelikle beyaz gürültülü doğrusal ekileşimli doğrusal çoklu model (IMM-L) algoritması, sonra manevra uyarlamalı ektileşimli koordineli dönüş (IMM-CT) ve en sonunda da klasik Kalman filtresi ile kestirimi yapılmıştır. Elde edilen kestirim sonuçlarına ait yer, hız, karekök yer ve karekök hız gibi hatalara ait zamana bağlı grafikler çizdirilmiştir. Bu sonuçlar dikkate alındığında benzetimi yapılan harekete en yakın kestirimin sırasıyla IMM-CT, Kalman ve en sonunda IMM-L algoritmalarının verdiği görülmüştür. Anahtar Kelimeler: Etkileşimli Çoklu Model (Interacting Multiple Model), Ekilesimli Doğrusal Çoklu Model (IMM-L), Ekileşimli Koordineli Dönüş Çoklu Modeli (IMM-CT), Kalman Filtresi. COMPARATIVE APPROACH OF INTERACTING MULTIPLE MODEL ESTIMATION PERFORMANCE vs KALMAN FILTER in AIR TRAFFIC CONTROL SIMULATIONS ABSTRACT It is known that adaptive estimation models are used in different time intervals of the motion projection of maneuvering targets. In this study Interacting Multiple Model (IMM) estimation technique is implemented and its performance is tested on an air traffic control track simulation. IMM algorithm is a second degree Bayesian estimation technique and an adaptive estimation model. Air traffic control entity motion is initially simulated with a constant speed of 125 m/s motion for 100 seconds then turned to the left with a 30 º with a 3 m/s angular speed for 30 seconds and finally finished its motion with a constant speed of 125 m/s for 70 seconds. Then a sensor is placed on a specific coordinate to measure the trajectory motion of the air traffic entity. For the measurements and process simulated Gaussian noise is added during the calculations. The simulated air traffic control entity s motion trajectory and the measurements of the sensor are initially modelled with Interacting Multiple Model-Linear (IMM-L) technique, then Interacting Multiple Model-Coordinated Turn (IMM-CT) and finally they are modelled with a Kalman filter. According to the results the best estimate matches of the motion trajectory of the air traffic control entity is generated by IMM-CT, then Kalman Filter and finally IMM-L algorithms subsequently. Keywords: Interacting Multiple Model, Interacting Multiple Model-Linear, Interacting Multiple Model- Coordinated Turn, Kalman Filter. 25

2 1.GİRİŞ Manevralı hedeflerin izlenmesi, genel olarak zor bir problemdir. Çünkü hedefin hareketi sırasında ivmeler kestirilememekte ve hareket sırasında tam olarak elde edilememektedir. Kuramsal teknikler manevra yapan hedeflerin izlenmesine yönelik olarak literatürde geniş kapsamlı olarak çalışılmıştır [3]. Bu çalışmalarda en genel sonuç manevrayı algılayanın oluşturduğu hareket modeline ait durum kestirim bilgileri tam olarak çıkarılamamaktadır. Bu yönüyle, bilinmeyen hedef manevralarını algılamak üzere literatürde sadece belli başlı algoritmalar başarılı olabilmektedir. Genel anlamda bu tip benzer algoritmalar iki grup altında sınıflandırılmaktadır. Birinci grubu chi-kare önemlilik testleri (chi-square significance tests) oluşturur; örneğin ölçüm kalanları ile girdilerin kestirimi bu tip testlerdendir. İkinci grubu ise benzerlik oranı testleri oluşturur [7]. Bu gruba örnek verilecek olursa genelleştirilmiş benzerlik testleri ile marjinal benzerlik oran testi verilebilir. Bu tip testler sadece basit manevrasız modeller için geçerlidir ve bazı durumlarda geçerli olabilecek hedef hareketlerine ait olası öncelik bilgilerine dikkat etmez [1]. Bu açıdan bakıldığında manevralı bir hareket için en olası yöntemlerin bilinmeyen girdilerin rastgele işlemler olduğu ve ya beyaz gürültü şeklinde (otokorelasyona uğramış gürültü biçiminde) işlemler ile modellenebildigi düşünülmüştür. Bununla beraber bilinmeyen girdilerin durum kestirimine katılarak, kestirilebilir girdiler halinde özyinelemeli işlemler halinde kombine edilebileceği ortaya çıkmaktadır. Çoklu Model olarak tanımlanan bu çözüm algoritmaları sistemin sonlu sayıdaki modellerden oluştuğunu ve farklı modlar arasında geçiş yaparak sistemin parametrelerini kestirebileceğini belirtir. Bu modeller gürültü düzeyleri ya da yapılarına göre farklılık gösterebilir. Bu sistemlere hibrit sistemler de denir. Hibrit sistemler hem ayrık (yapısal parametreler) hemde sürekli belirsizlikleri (eklemeli gürültüler) içerebilir. Bu araştırmada dinamik bir ekileşimli çoklu model (Interacting Multiple Model- IMM) algoritması derlenmiş ve benzetimi yapılan bir hareketli bir nesne için uygulanmıştır [8]. IMM algoritması genelleştirilmiş ikincil derece yalancı Bayes kestirimi algoritmasıdır [2]. IMM kestiricisi suboptimal hibrit bir filtredir. Öyleki filtre, hibrit durum kestirimi algoritmalarından en verimlisi ve maliyeti en etkin olanı olarak bilinmektedir. Hibrit sistem modeli ve IMM algoritması ilk olarak Blom tarafından ortaya atılmıştır. Bu model ile manevra yapan bir uçağa ait hareketin izlenmesine yönelik bir filtre olarak tanımlanmıştır. Herhangi bir uçağa ait hareket projeksiyonu birbirinden keskin niteliklerle ayrılmış bölütlere yani uçuş modlarına ayrılabilir; örneğin düzgün dağılımlı hareket ve manevralar gibi. Çoklu model ya da hibrit sistem yaklaşımı sistemi sonlu sayıdaki modu içeren bir model olarak kabul edebilir. Ayrıca hedefe ait hareket iki durum değişkeni halindeki bir hibrit sistem ile karakterize edilebilir. Birinci durum için sürekli taban için durum değişkeni x(k) Є R ^nx (uçağın pozisyonu, hızı, ivmesi vb.) ve ikinci durum içinse kesikli rejim değişkeni j=mj(k) Є Mr =1,2...r, olan hedefe ait hareket projeksiyonun birbirinden belli niteliklerle ayrılmış bölütleri olarakta ifade edilebilir. Modlara ait değişkenlerin birbiri içinde geçişleri Markov zincirleri ile modellenebilmektedir. Doğrusal olmayan hibrit bir sistem için ise aşağıdaki denklemler kullanılabilir [4]: burada x(k) durum değişken vektörünü, z(k-1) ölçüm vektörünü, vj(.) ve wj(.) modlardan bağımsız olan işlem ve ölçüm gürültü dizileri olarak tanımlanmıştır. Bu gürültü dizileri, 0 ortalamalı, beyaz ve ikili bağımsızdır. Kovaryansları ise göreceli Q(mk(k)) ve R(mk(k-1)) olarak tanımlanır. Kestirim için kullanılan geçerli ölçümler polar koordinat düzeyinde yarıçap ve azimuth ya da yarıçap, azimuth açısı ve yarıçap oranı şeklinde olabilmektedir. Hibrit durum kestirim problemi, gürültülü ölçümlere dayanan temel durumu ve modal durumu kestirmektir. Çoklu modelin uygulaması temel bir hibrit kestirimidir. Çoklu Model tekniklerinden biri olan etkileşimli çoklu model (IMM) algoritması kestirimleri ve her mod için kullanılan kovaryans matrislerini belli bir etkileşimli mantık ile birleştiren bir metottur [8]. Bu algoritmada hedefe ait durumun kestirimi için kullanılabilecek birden çok Kalman türü filtre modeli bulunmaktadır. Bu filtrelerin oluşturduğu model kümesinden seçilen bir model ile kestirimlere ait olasılıkların tahmini için kullanılabilecek bir yöntem ile kestirim işlemini gerçekleştirir [4]. Bu çalışma için genel anlamıyla etkileşimli çoklu model kestirimine ait doğrusal çoklu etkileşim modeli (IMM-L) ile etkileşimli koordineli dönüş çoklu model (IMM-CT) algoritması bir hareket projeksiyonu benzetimi yapılmış bir hedefin hareket modelinin tahmin edilmesinde uygulanmıştır. Çalışmada iki boyutlu düzlemde 100 sn boyunca sabit hızla hareket eden daha sonra hareketini 30 sn boyunca 3 m/sn açısal hızla 30 º sola döndürülerek, kalan yaklaşık 70 sn boyunca ise sabit hızla hareketini devam ettiren bir hava trafik kontrolü nesnesinin benzetimi yapılmıştır. Daha sonra bu hareketle ilgili olarak ölçümü yapan ve yeri belli bir koordinata sabitlenen sensörden gürültülü ölçüm harekete katılmış ve uygulaması yapılan kestirim algoritmaları işlemlerinde de göz önüne alınmıştır. Dinamik nesneye ait hareketin öncelikle beyaz gürültülü doğrusal IMM-L algoritması, manevra uyarlamalı IMM-CT ve en sonunda da klasik Kalman filtresi ile kestirimi yapılmıştır. Elde edilen kestirim sonuçlarına ait yer, hız, karekök yer ve karekök hız gibi hatalara ait zamana bağlı grafikler çizdirilmiştir. Benzetimi yapılan hedefe ait hareketin gerçek projeksiyonu ile gürültü eklenerek oluşturulmuş projeksiyonuna ait hareket Şekil 1.1 grafiğindeki gibi gösterilmiştir. 26

3 2.2.1 Etkileşimli Çoklu Model (IMM) Optimal dinamik bir teknik olan ve çoklu model tekniklerinden biri olan etkileşimli çoklu model (IMM) genelleştirilmiş yalancı Bayes algoritmasıdır. IMM algoritması kestirimler ile hedefe ait bilinmeyen manevralı hareketin tanımlı hareket modelleri (modlarda) içnde inceleyem için gereken kovaryans matrislerini kombine eder. Hedefe ait durum kestirimini yapabilmek için doğrusal kestirici Kalman filtresi gibi birden fazla algoritma yer almaktadır. IMM algoritmasına ait bir döngüdeki geçişine ait adımlar (k-1)->(k) aşağıdaki gibidir [6]: Şekil 1.1 Hedefe ait gürültülü hareket projeksiyonu ile gerçek hareket projeksiyon grafiği 2. MATERYAL VE KURAMSAL TEMELLER 2.1 Materyal Çalışmada kullanılan yazılım ve donanım materyaller aşağıdaki şekilde belirtilmiştir: MATLAB V6.5 [5] sayısal hesaplama programı (Matlab kodu derleyicisi) Notepad++ V3.9 editörü (Matlab kodu tasarlamak için) Dell Precision 380 PC Pentium 4 CPU, 3.20 GHz, 1GB RAM, NVIDIA Quadro FX 1400 Grafik Arayüz Kartı Microsoft Windows XP Professional Versiyon 2002 Service Pack 2 Sony LCD monitör Kuramsal Temeller Çalışmada yöntemi itibariyle manevra özellikleri verilen bir hava trafik kontrolü problemi için iki tane iki modelli IMM kestiricisi (biri lineer modellerle diğeri bir tane nonlineer modelle) tasarlanarak uygulanmış ve Kalman filtresi ile performans ölçülerinin karşılaştırılması yapılmıştır. Kullanılan bu yöntemlerden birisi etkileşimli çoklu model algoritması detaylarıyla beraber bir sonraki bölümde anlatılmış olup sırasıyla genel açıklamalar, daha sonra algoritmanın kullanım amacına yönelik olarak özelleştirilmiş olan doğrusal hali ve manevralı hedef hareketlerine yönelik durum kestirimlerinde kullanılan versiyonu etkileşimli koordineli dönüş çoklu model algoritmaları hakkında temel bilgiler verilmiştir. Ayrıca hedef hareketlerinde karşılaştırılmalı performans kriterleri göz önüne alınarak uygulamalarda karşılaştırılma için kullanılan temel Kalman filtresi kestirim algoritması hakkında kısaca bilgi verilmiştir. Etkileşim (Karıştırım) Adımı Karışık ilk durum olan x^0j(k-1 k-1) ve ona ait kovaryans matrisi P^0j(k-1 k-1) olan filtre mj (k),j=1,...,r moduna eş hale gelir: Mod mj durum kestirimleri x^j(k-1 k-1) ile onlara ait kovaryans değeri P^j(k-1 k-1) tüm filtre için ilk adımda aşağıdaki gibi hesaplanır [4]: bu denklemler için Olarak tanımlanan karışım olasılıkları olmak üzere ve ise normalizasyon faktörüdür. Mod Eşleme Filtresi: Yukarıda verilen durum kestirimi ve kovaryans değerleri (doğrusal olan yada genişletilmiş) Kalman filtresinde girdi olarak kullanılır. Böylece mj(k), k anı için durum kestirimi olan x^j (k k) ve kovaryans P^j(k k) elde edilerek eşlenmiş olur. Bu sayede λj(k) mode benzerliği aşağıdaki ifade ile de hesaplanmış olur: Bu ifade de j değerine ait şartlı filtrenin zj(k) ve Sj(k) inovasyonu ve kovaryans değerlerini ifade etmektedir. Mod Olasılığının Güncelleştirilmesi: Model olasılığı μ^j(k) değerinin güncellemesi ise aşağıdaki ifade ile yapılmaktadır: Burada c normalizasyon faktörü olarak bilinir. Kestirim ve Kovaryans Kombinasyonu: Güncelleştirilmiş moda ait şartlı kestirimler ile kovaryansların kombinasyonu aşağıdaki kestirim çıktılarını üretirler: 27

4 düzgün dağılımlı beyaz gürültü ile aşağıda belirtilen F sistem matrisi T adım aralığı olmak üzere kullanılmaktadır [2]: IMM algoritması 3 önemli özelliğe sahiptir: birincisi özyinelemeli bir algoritmadır, ikincisi modülerdir ve üçüncüsde sabit her bir döngü için sabit hesaplama gereksinimi vardır. IMM algoritmasını meydana getirirken yapı taşı olarak Kalman Filtresi (KF) ya da Genişletilmiş Kalman Filtresi (EKF) kullanılabilir. Bu sayede ölçüm denklemlerinde (polar koordinat sistemi yarıçap, azimuth açısı ve elevasyon gözlemleri) yer alan doğrusal olmayan parametreler ve durum denkleminde (koordineli dönüşler) yada veri ilişkilendirme filtrelerini içeren KF veya EKF tipi filtrelerinde veri ilişkilendirme çok büyük bir problem olduğunda uygun çözüm için olanak sağlar. Özellikle uçaklara ait hedeflerin hareket modelleri incelendiğinde, en sık rastlanan hareket modelleri iki temel türdedir: Bunlardan birincisi düzgün dağılımlı harekettir. Bu hareket modeli düzgün sabit hızlı hareketi içerir ve hareketin yönü ve baş istikameti sabit olabilir. İkinci hareket ise manevralı harekettir. Bu hareket modeli ise dönüşler ya da tırmanışlar ve alçalmalar şeklinde olabilir. IMM algoritması bu iki hareket model için iki türlü yapılanma geliştirmiştir. Birincisi doğrusal etkileşimli çoklu model (IMM-L) diğeri ise etkileşimli koordineli dönüş hareketi (IMM- CT) algoritmalarıdır. Bu iki teknik için kullanılan ölçüm ve işlem gürültüsü için iki tip gürültü kullanılmaktadır. Bunlardan biri parçalı sabit beyaz ivmeli model diğeri ise parçalı sabit Wiener işlemli ivme modeli. Birinci gürültü tipi düzgün değişen ivmeye sahipken ikincisi ise bir Wiener işlemi sonucu ortaya çıkan ivme tipini içerir [4]: Doğrusal Etkileşimli Çoklu Model (IMM-L) IMM algoritması eğer düzgün doğrusal harekete sahip bir hedefin kestirimine yönelik bir teknik kullanacaksa, bunun için en uygun olarak doğrusal etkileşimli çoklu model (IMM-L) algoritması geliştirilmiştir [6]. Bu algoritmda ölçüm ve işlem gürültüsü parçalı beyaz gürültü ile modellenerek hareketin düzgün sabit doğrusal bir yapıda dağılım gösterdiğini ve kestirimlerinde buna göre uyarlandığı söylenebilir. IMM filtresine ait algoritmanın süreci Şekil EK-ŞEKİLLER kısmında detaylıca gösterilmiştir [2]. IMM-L algoritmasını etkileşimli koordineli dönüş çoklu model tekniğinden ayıran özelliklerinden birisi, IMM algoritmasındaki karıştırma(etkileşim) ve mod olasılıklarının güncelleştirilmesi adımlarında kullanılan sistem matrisi F ile ölçüm ve işlem gürültü biçimidir. IMM-L tekniği genel anlamda doğrusal bir yaklaşımla hedefe ait hareketi modeller. Bunun içinde durum kestirimi ve ölçüm matrislerini hesap etmek için kullanılan ölçüm ve işlem gürültüsü genel olarak Koordineli Dönüş Ekileşimli Çoklu Model (IMM-CT) Özellikle hareketli hedefler için örneğin uçan platformların hareket profillerinde manevraların görünmesi doğal bir gerçektir. Ancak hareketlere ait bu manevralara dair bilgilerin bilinmezliği hedefe ait hareket modelinin kestirilmesinde bir takım zorluklar çıkarmaktadır. Hedefe ait bilinmeyen manevra hareketlerinin modellebilmesi için durum kestirim algoritmalarından en uygun olanı uyarlanabilir kestirici ve hibrit bir sistem olan IMM tekniğidir. IMM tekniği ise hareketi algılayan sensörün ölçüm ve işlemlerde meydana gelen gürültü dağılımının özelliği ve hareketin sonlu sayıda modlara ayrılarak incelenmesi için kendisini iki tipte özelleştirmiştir. Birincisi düzgün dağılımlı beyaz ölçüm ve işlem gürültüsüne hareketi doğrusal olarak inceleyen IMM- L algoritması diğeri ise manevrası bilinmeyen, ölçüm ve işlem gürültüsü Wiener dağılımına uyan yapıda olan doğrusal olmayan hareketleri inceleyen koordineli dönüş etkileşimli çoklu model olarak (IMM-CT) adlandırılabilir. IMM-CT algoritması hareketi koordineli dönüş şeklinde modelleyerek manevraya konu olan hareketi belli aralıklarda farklı modlar için gerekirse doğrusal bir sistem matrisi F, doğrusal olmayan ve açısal yönlendirmelere göre incelenebilecek manevralı hareketler için kullandığı F2 sistem matrisini kullanır. Sistem matrisleri yine IMM algoritmasında mod olasılıklarının güncelleştirilmesi sırasında kullanılmaktadır. Eğer hareket 2 mod halinde incelenecekse mod 1 için IMM- L de belirtilen F matrisi kullanılabileceği gibi mod 2 içinde aşağıda belirtilen F2 sistem matrisi omega açısal parametresi ve T adım aralığı için kullanılabilir. Burada omega durum kestirimi parametreleri için hız vektörlerinin X ve Y bileşenleri ile dönüşler için modellenebilecek açı bilgisini belirtmektedir [2]: Bununla beraber IMM-CT koordineli dönüş için mod 2 kısmında kestirimin EKF şeklinde sistem matrisi F2 nin Taylor açılımı kullanılarak F Jacobian sistem 28

5 matrisi haine dönüştürülerek, filtrede her adımda üretilen kovaryans matrisinin hesaplanması için F Jacobian şekli aşağıdaki şekilde kullanılmaktadır [2]: Yukarıda verilen F jacobian için fω,1(k), fω,2(k), fω,3(k) ve fω,4(k) değerleri omega açısı için F2 sistem matrisine göre türevidir. Bu değerlerinin hesap edilebilmesi için aşağıdaki ifadeler kullanılmaktadır [2]: Kalman Filtresi Kesikli zaman dinamik bir sistem düşünüldüğünde aklımıza Gauss dağılımına sahip eklemeli beyaz gürültü ile beraber vektör fark denklemi ile tanımlanır. Bu dinamik bir sisteme ait bilinmeyen parametreleri modellemek amacıyla kullanılmaktadır. Bu tip bir sistemi modelleyebilmek için durum kestirimini yapabilmek gerekir [9]. Bunun için optimum doğrusal bir Gauss dağılımına sahip ve en iyi doğrusal durum kestiricisi olan, gürültü dağılımı beyaz gürültü dağılımına sahip bir yöntem olarak kesikli doğrusal kestirici Kalman Filtresi ortaya çıkmıştır. Kalman filtresine göre ilk durum için bir kestirim bilgisi ve durum kestirimine ait kovaryans matrisi hesaplanır. Daha sonra kestirim Kalman filtre döngüsünde yumuşatılır ve ölçüme ait kestirim yapılır. Elde edilen kestirim ile ölçüm arasındaki hata minimize edilecek şekilde yeni durum kestirimi ve ona ait kovaryans matrisi bir sonraki adım için hesaplanır. Amaç özyinelemeli Kalman filtresi içerisinde gürültülerin kestirim nicelik bilgisi üzerindeki yükü azaltmak ve gözlemlerden daha fazla bilgi alarak durum kestirim bilgilerini optimize etmek. Aşağıda Kalman filtresine ait döngünün bir adım geçişi için algoritma süreç Şekil de 6.EK-ŞEKİLLER kısmında detaylıca gösterilmiştir [2]. Öncelikle hava trafik kontrolü problemi için belli bir senaryo ile hareket benzetimi yapılarak, işlemlerde kullanılmak üzere rastgele değerler ile gürültü katılmıştır. Ayrıca ölçümleri yapan sensörün belirli bir koordinat üzerinde yeri sabitlenmiştir. Senaryo 125m/s sabit hızla hareket eden bir hedef senaryosudur. Hedefin Kartezyen koordinatlarda.. başlangıç durumu x = [ x x y y ]' = [ ]' 29 olmak üzere, örnekleme periyodu T=5 sn dir. K=20 (t=100sn) de hedef 30 sn boyunca sola doğru 3 lik bir coordinated turn yapar ve daha sonra k=40 a kadar düz gider (dönüş filtre tarafından bilinmiyor). Hedeften k=0 dan başlayarak alınan ölçümler kutupsal koordinatlarda (mesafe(range) r ve azimuth Θ ) alınmış pozisyon ölçümleridir ve 4 [ x 0 y 0 ] = [ 10 0 ] da bulunan radar (sensör) tarafından alınmıştır. Polar koordinat sistemi için yarıçap yani mesafe olan r ile azimuth açısı Θ aşağıdaki ifadeler temel alınarak MATLAB V6.5 sayısal derleyicisinde bulunan pol2cart ya da cart2pol fonksiyonları kullanılarak polar koordinat sistemi değerleri ile kartezyen koordinat sistemi arasında dönüşümler yapılarak hesaplanmıştır: 2 2 r = ( x x0 ) + ( y y0 ) ve 1 y y0 dır. Θ= tan x x0 Hava trafik kontrol uygulaması için ilk 100 sn boyunca sabit doğrusal hareket için aşağıdaki F1 geçiş matrisi, daha sonra 3 lik bir sola koordineli dönüş için kullanılan F2 geçiş metrisi ve kalan 30 saniye boyunca yine sabit düzgün doğrusal hareket için F1 geçiş matrisleri kullanılarak gerçek hareket hareketin projeksiyonu elde edilmiş ve R değeri kullanılarak ölçüm gürültüsü eklenmiş ve ölçüme ait hareket modeline ait benzetim yapılmıştır. Benzetim için kullanılan geçiş matrisleri F1 ve F2 aşağıdaki gibidir: F F Hedefe ait hareket x(k+1)=f[k,x(k),u(k)]+v(k) ile durum kestirimi yapıldı. İşlem gürültüsü için v(k), 0 ortalamalı, 3 m standart sapmalı beyaz gürültü olarak tanımlandı. Gürültü kovaryanslarının hesaplanmasında kullanılmak üzere hem hedefe ait hareketin gürültülü ölçümü ve hemde IMM-L algoritmasında düzgün dağılımlı beyaz gürültü modeli için kullanılabilir Gamma (disturbance matrix) aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır: Hedefe ait ölçümler ise z(k+1) = h[k+1,x(k+1)]+w(k+1) ifadesi ile ona ait ölçüm gürültüsü w(k+1) mesafe ölçümlerinde 0 ortalamalı, 50 standart sapmalı, açı ölçümlerinde ise 0 ortalamalı, 1 standart sapmalı beyaz gürültü kullanılarak

6 tanımşlanmıştır. Ölçümlere eklenen gürültü için R=diag[2500m 2 (1 ) 2 ] ifadesi kullanılarak ilk durum kestirimi için ona ait kovaryansın içinde kullanılmıştır. Elde edilen R matrisi aşağıdaki gibidir: Bu şartlar altında birinci olarak doğrusal IMM-L tasarlanmıştır. Bu tasarımda iki tane birbirinden farklı process noise (sıfır ortalamalı Gausyen varsayılan) varyansı içeren White Noise Acceleration (WhNA) modeli (ikinci derece) kullanan IMM kestiricisi gerçekleştirilmiştir. Bunlar ve modeller arası Markov zinciri geçiş matrisleri 2.1 Kuramsal Temeller bölümünde IMM-L kısmında yer verilen F geçiş matrisi kullanılarak hareket model parametresi tasarlanmıştır. Bu parametre genel anlamı itibariyle tasarım için belirlenmiş olan işlem gürültüsünün ve doğrusal çoklu model yapısına uymasından ötürü seçilmiştir. Buradaki tasarım detaylandırıldığında Mod uyumluluk (mode match) filtrelerinin iki adeti için doğrusal geçiş matrisi F in durum kestirimlerinde kullanılarak harekete ait durum kestirimilerine ait grafikler halinde çizdirilmiştir. Modeller arasındaki geçiş olasılık matrisi (transition probability matrix) aşağıdaki gibi oluşturulmuştur: Başlangıçta kullanılacak olan filtrelere ait olasılık değeri her bir IMM uygulaması için eşit olarak aşağıdaki (mode probability matrix) şekilde oluşturulmuştur IMM-L uygulaması için sabit hızlı manevrasız hareketlerin kestiriminde kullanılmak üzere Mod1 filtresi için standart sapması 0.1 m/s2 olan gürültü seviyesine göre, Mod 2 filtresi için ise standart sapması 2 m/s2 olan gürültü seviyesi olarak tanımlandı. Bu standart sapmalar kullanılarak Q=Gamma*StandartSapma*Gamma ifadeleri ile IMM-L için kullanılacak olan mod 1 eşleşme (mode 1 match filter) ve mod 2 eşleşme (mode 2 match filter) süzgeçlerinde kullanılmak üzere hareketin salınımı yapacağı minimum standart sapma ile maksimum standart sapma için Q1 ve Q2 matrisleri aşağıdaki şekilde elde edilmiştir: Q Q Yukarıda elde edilen gürültü kovaryansları elde ettikten sonra, ik nokta farkı yöntemi ile problem tanımında verilmiş olan mod1 ve mod2 eşleşme filtrelerine yönelik olarak ilk durum kestirimleri için ölçüme ait birinci ve ikinci noktalar kullanıldı. Kullanılan ilk kestirim ölçümleri iki nokta farkı yöntemi şeklinde aşağıdaki gibi atanmıştır: XPre{1,1}= [ZDonusum{1,1}(1,1); (ZDonusum{1,1}(3,1)-ZDonusum{1,1}(1,1))/T; ZDonusum{1,2}(1,1); (ZDonusum{1,2}(3,1)- ZDonusum{1,2}(1,1))/T]; XPre1{1,1}=[ZDonusum{1,1}(1,1); (ZDonusum{1,1}(3,1)-ZDonusum{1,1}(1,1))/T; ZDonusum{1,2}(1,1); (ZDonusum{1,2}(3,1)- ZDonusum{1,2}(1,1))/T]; XPre2{1,1}=[ZDonusum{1,1}(1,1); (ZDonusum{1,1}(3,1)-ZDonusum{1,1}(1,1))/T; ZDonusum{1,2}(1,1); (ZDonusum{1,2}(3,1)- ZDonusum{1,2}(1,1))/T]; Burada XPre olasılık ile karıştırılarak elde edilecek genel kestirimi, XPre1 IMM-L mod1 filtresi için kullanılan durum kestirimi ve XPre2 ise IMM-L mod2 filtresi için kullanılacak durum kestirimini göstermiştir. Durum kestirimleri içindeki değerler ise gürültülü ölçüme ait iki nokta fark yöntemi kullanılarak elde edilen ilk durum kestirimi atamasıdır. Daha sonra IMM-L düzgün doğrusal bir hareket modeline sahip olduğundan IMM-L mod1 ve mod2 eşleşme filtresi için geçiş matrisleri yukarıdaki gibi F1 halinde kullanılarak durum kestirimleri yapıldı. Detaylı hesaplamalar çalışmaya ait Ek1 de yer alan MatLab kaynak kodunda görülebilir. İkinci adımda ise hareket benzetimi yapılan hedefin etkileşimli koordineli dönüş çoklu model (IMM-CT) algoritması temel alınarak bilinmeyen özelliklerin doğrusal olmayan bir model halinde çözümlenmesi ile devam ettirilmiştir. IMM-CT tekniği için harekete ait manevra olmayan bölümler için bir tane düzgün dağılımlı beyaz gürültü modeli (ikinci derece) kullanan ve manevralı bölümler için ise bir tane Coordinated Turn modeli kulllanan IMM kestiricisi kullanılmıştır. Modellerden biri 4 diğeri 5 (fazladan turn rate ω ) durum (state) içermiştir. Burada model 1 30

7 white noise acceleration modeli kurulmuş olup, model 2 için ise 5. parametre pozisyon, hız ile beraber dönüş açısı hesaplamalara katılmıştır. Ancak burda tasarım parametresi olarak bilinmeyen ve kestirilmesi gereken turn rate ω içinde işlem gürültü varyansı tanımlamanmıştır. Ayrıca nonlineer modelin varlığı Extended Kalman Filtresi kullanmayı gerektirdiğinden dönüş oranı için ilk kestirim 0 kabul edilmiştir. Modeller arası Markov zinciri geçiş matrisleri model 1 için bölüm 2.1 Kuramsal Temeller IMM-L kısmında F matrisi olarak belirlenmiş olup, model 2 için ise 2.1 Kuramsal Temeller de verilen IMM- CT kısmında anlatılan F2 matrisi kullanılmıştır. Burada model1 için verilen düzgün dağılımlı beyaz gürültü modeli için kullanılan F geçiş matrisi tipini, diğer taraftan ise doğrusal olmayan Wiener tipi gürültü modeli için kullanılan F2 tipli geçiş matrisi hesaplamalarda durum kestirimi için kullanılmıştır. IMM-CT için gürültü hareketin mod1 ya da mod2 filtresine göre salınımını yapacağı standart sapma değerleri için Mod1 ve Mod2 için kullanılacak Gamma1 ve Gamma2 (disturbance matrix) aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır: Gamma Gamma IMM-CT uygulaması için doğrusal hareketlerin kestiriminde kullanılmak üzere Mod1 filtresi için standart sapması 0.1 m/s olan gürültü seviyesi, Mod 2 filtresi için ise standart sapması 3 m/s2 olan gürültü seviyesi tanımlandı. Bu standart sapmalar kullanılarak Q=Gamma*StandartSapma*Gamma ifadeleri ile IMM-CT için kullanılacak olan mod 1 eşleşme (mode 1 match filter) ve mod 2 eşleşme (mode 2 match filter) süzgeçlerinde kullanılmak üzere hareketin hangi kestirim tarafından ağırlıklandırılacağına ilişkin olarak kullanılan gürültü kovaryansları çin Q1CT ve Q2CT matrisleri aşağıdaki şekilde elde edilmiştir: Q1CT Q2CT Daha sonra Q1CT matrisi mod1 filtresi içinde Q2CT ise mod2 filtresine ait algoritmada durum kestirim kovaryanslarının hesaplanmasında kullanılmıştır. İlk durum kestirimleri yine IMM-CT de iki nokta farkı yöntemine göre atanarak hem mod1 hemde mod2 kestirim parametrelerine atanmış olup yine global durum kestirim vektörünede aynı ilk durum ataması yapılmıştır. IMM-L ve IMM-L algoritmaları 100 defa koşturularak en iyi kestirim sonucu elde edilerek hedefe ait hareketin projeksiyonlarına ait durum kestirim grafikleri çizdirilmiştir. IMM algoritmaları gibi hedefe ait sivil hava problemi için oluşturulan hareket benzetimi aynı şekilde basit ayrık Kalman Filtresi algoritması ile de durum kestirimi yaptırılmıştır. Tasarlanan Kalman filtresi için IMM-L içinde kullanılan Gamma matrisi gürültü kovaryansı hesaplanmasında kullanılmıştır. Ancak gürültü seviyesi için standart sapma bu defa 4m/s seçilmiştir. Böylece geniş bir sapma büyüklüğü seçilerek Kalman Filtresi için aşağıdaki QKalman (Disturbance Matrix) hesaplanmıştır. Yine IMM-L, IMM-CT ve burda da adım aralığı T=5 alınmıştır: QKalman İlk durum kestirimi ataması için yine aynı şekilde iki nokta farkı yöntemi kullanılmıştır. Böylece kullanılan sistematik ile IMM-CT, IMM-L ve Kalman Filtresi algoritmaları için ilk atamalar benzetimi yapılan hareket modeli için ortak olmuştur. Kalman Filtresine ait detaylı kaynak kodu Ek1 deki çalışma için geliştirilen MatLab kaynak kodu ekinde bulunabilir. Elde edilen kestirim sonuçlarına ait durum kestirim projeksiyonu grafikleri, RMSPOS ile RMSSPD karekök pozisyon ve hız hata grafikleri ile pozisyon ve hız kestirimi ile ortaya çıkan ölçüm ve durum kestirimi arasındaki hata farklarıda grafikle çizdirilmiştir. Aynı şekilde normalize hata NEES ile MOD2PR olasılıklarıda IMM-L ve IMM-CT için hesaplanmıştır. IMM-CT için aynı zamanda harekete ait manevralı noktalar için karekök dönüş oranı RMSTRNRT hesaplanarak grafikle gösterilmiştir. 3. YÖNTEM Uygulama için geliştirilen IMM-L, IMM-CT ve Kalman Filtresi için koşturulduğunda benzetimi yapılan hedefe ait hareket projeksiyonuna ait geçiş matrisleri ile hesaplanan gerçek ölçüm ile gürültülü 31

8 ölçüm projeksiyon grafiği Şekil 3.1 deki gibi ortaya çıkmıştır. Şekil 3.4 Kalman Filtresi algoritması ile çizdirilen hareket benzetimine ait durum kestirim projeksiyonu Şekil 3.1 Hedefe ait gürültülü hareket projeksiyonu ile gerçek hareket projeksiyon grafiği Her bir kestirim algoritmasına ait olarak durum kestirim tahminleri sonucu ortaya çıkan hareket projeksiyonunlarınında benzer çıkması beklenmiştir. Aşağıda sırasıyla IMM-L, IMM-CT ve Kalman Filtresi ile elde edilen durum kestirim grafikleri Şekil 3.2, 3.3, 3.4, de gösterilmiştir. Elde edilen kestirimler incelendiğinde IMM-CT algoritmasının gerçek ölçümlere yaklaştığı, daha sonra ise Kalman Filtresi ile elde edilen durum kestirimine ait projeksiyonun geldiği ve en sonda ise IMM-L tekniği ile elde edilen harekete ait durum tahminine ait grafiğin yakınlık derecesinin geldiği görsel olarak projeksiyonlara ait Y koordinatı aralığı ile gerçek ölçümlere ait projeksiyon grafiğinin Y koordinat aralığı karşılaştırıldığında anlaşılmaktadır. Karşılaştırma parametreleri olarak IMM-L, IMM-CT ve Kalman algoritmalarına ait durum kestirimleri ile gerçek ölçüm değerleri arasındaki X ve Y koordinat düzlemindeki pozisyon ve hız farkları ile karekök pozisyon farkı RMSPOS ve karekök hız farkı RMSSPD grafikleri Şekil 3.5, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11 deki gibi çizdirilerek gösterilmiştir. Şekil 3.2 IMM-L algoritması ile çizdirilen hareket benzetimine ait durum kestirim projeksiyonu Şekil 3.5 IMM-L tekniğine ait RMSPOS grafiği Şekil 3.3 IMM-CT algoritması ile çizdirilen hareket benzetimine ait durum kestirim projeksiyonu Şekil 3.6 IMM-CT ve Kalman Filtresi algoritmalarına ait RMSPOS grafiği 32

9 Şekil 3.7 IMM-L, IMM-CT ve Kalman algoritmalarına ait RMSSPD grafiği Şekil 3.10 IMM-L, IMM-CT ve Kalman algoritmalarına ait durum kestirimleri ile hedefe ait gürültülü hareket ölçümüne ait hız farkının X koordinat bileşeni için grafiği Şekil 3.8 IMM-L, IMM-CT ve Kalman algoritmalarına ait X koordinat düzlemi için durum kestirimleri ile hedefe ait gürültülü hareket ölçümüne ait pozisyon farkı grafiği Şekil 3.11 IMM-L, IMM-CT ve Kalman algoritmalarına ait durum kestirimleri ile hedefe ait gürültülü hareket ölçümüne ait hız farkının Y koordinat bileşeni için grafiği Şekil 3.9 IMM-L, IMM-CT ve Kalman algoritmalarına ait Y koordinat düzlemi için durum kestirimleri ile hedefe ait gürültülü hareket ölçümüne ait pozisyon farkı grafiği Yukarıdaki verilen karekök pozisyon RMSPos grafiği incelendiğinde RMSPos değerinin IMM-CT ile Kalman filtresinin birbirine yakın olduğu ancak IMM-L için daha büyük olduğu gösterilmiştir. Buradan çıkarılabilecek sonuç IMM-CT nin etkin bir durum kestirimi yaptığı daha sonra en yakın kestirimi Kalman algoritmasının gerçekleştirdiği en son ise IMM-L algoritmasının durum tahmini yaptığı görülmüştür. Karakök hız RMSSPD ise incelendiğinde nicelik olarak mutlak değer bakımından en büyük hız karekök farkının IMM-L için ortaya çıktığı bunun aksine IMM-CT ve Kalman filtresinin karekök farkının 0 a yakın olduğu ve birbirine yakın olduğu görülmüştür. Pozisyon ve hız durum kestirimleri ile gerçek gürültülü ölçüm değerleri arasındaki farkın X ve Y bileşen grafikleri ayrı ayrı incelendiğinde, özellikle IMM-L algoritmasına ait pozisyon X-Y bilesenlerine ait fark ile hız X-Y bilesenlerine ait fark grafiklerinde yine büyük değişimlere sahip olduğu, ancak IMM-CT ve Kalman filtresinin durum kestirim pozisyon ile hız 33

10 farklarına ait grafiklerde değişimlerin olmadığı ve birbirlerine yakın olduğu ve 0 a yaklaştığı görülmüştür. Çalışmada ayrıca IMM-CT algoritması için karekök dönüş oranı hesaplanmıştır. Buna ait grafikte aşağıdaki Şekil 3.12 sunulmuştur. NEES değerleri için IMM-L, IMM-CT ve Kalman filtreleri için mutlak değer halinde gözlendiğinde en düşük dğerin IMM-CT sonra Kalman daha sonra ise IMM-L geldiği görülmüştür. IMM-L ve IMM-CT algoritmaları için hesaplanmış olan MOD2PR mod olasılık değerleri ise aşağıdaki gibi hesaplanmıştır: MOD2PR Değerleri Filtreler IMM-L IMM-CT MOD2PR Değeri SONUÇ ve DEĞERLENDİRME Şekil 3.12 IMM-L, IMM-CT ve Kalman algoritmalarına ait durum kestirimleri ile hedefe ait gürültülü hareket ölçümüne ait hız farkının Y koordinat bileşeni için grafiği Burada IMM-CT karekök dönüş grafiği RMSTRNRT her bir örnekleme periyodu için görüldüğü üzere 7. ile 30. örnekleme değerleri arasında en büyük noktasına ulaştığı görülmüştür. Bununda sebebinin hareketin konusu olan hedefin sola dönüş anının o anlara tekabül ettiği düşünülmüştür. Bununla beraber IMM- CT nin kendiside Wiener tipi hareket modeline sahip olduğundan bunun açısal bir etkinin değerine göre değiştiğide düşünülmektedir. IMM-CT algoritmasının mod2 filtreleri için kullandığı sistem geşiş matrisi bölüm 2.1 Kuramsal Temeller IMM-CT kısmında belirtilen F2 nin en iyi durum kestirimini vermesindeki sebebinin, özellikle her manevralı durum için belli bir dönüş oranı açısı ile Wiener hareket modeline projeksiyonu belli zaman dilimleri için jenerik bir şekilde modelleyebilmektedir. Öte yandan mod1 IMM-CT mod1, IMM-L mod1 ve IMM- L mod2 filtresi içinde kullanılan 2.1 Kuramsal Temeller IMM-L F geçiş matrisinin beyaz gürültülü düzgün dağılımlı hareket modelleri için sınırlı kaldığı ve Wiener türü manevra özellikler bilinmeyen hareketleri açıklayamadığı düşünülmektedir. Son olarakta IMM-L, IMM-CT ve Kalman filtreleri için normalize hata NEES ve MOD2PR mod olasılıkları Monte Karlo hareket benzitmi için 100 kez koşturularak ortalama olarak hesaplanmıştır. Buna göre IMM-L, IMM-CT ve Kalman için elde edilen NEES değerleri aşağıdaki gibidir: NEES Değerleri Filtreler IMM-L IMM-CT Kalman NEES Değeri e e e+007 Yukarıda verilen bilgiler ışığında detaylı olarak benzetimi yapılan hava trafik kontrol uygulamasına ait hedef hareketinin IMM CT, IMM L, ve Kalman filtreleriyle yapılan kestirim sonuçlarına göre ölçüm sonuçlarına göre en gerçekçi kestirim sonucun IMM CT olduğu görülmektedir. Bununla birlikte Kalman filtresinin IMM-L tekniğinden daha iyi bir düzgün dağılımlı beyaz gürültü modeline göre iyi sonuç verdiği görülmüştür. Ancak yapılacak mod1 ve mod2 eşleme filtreleri iyileştirmeleriyle IMM L algoritmasının da gerçek kestirime Kalman filtresi kadar yakınsayacağı tahmin edilmektedir. Genel anlamda bakılacak olursa IMM-CT en iyi kestirim gerçeklemesini yapmış, daha sonra Kalman filtresi ve en son olarakta IMM-L elde etmiştir. Temel olarak algoritma düzeyinde IMM CT, hem de IMM L algoritmaları, kendilerinden beklenen işlem gücünü göstermiştir. 5. KAYNAKLAR [1] Ru J., Li X. R., Jilkov P. V., Multiple-Model Detection of Target Maneuvers, Dept. of Electrical Engineering, University of New Orleans, LA, In. Proc. 2005, CiteSeer.IST, web page source: zzszece.engr.uno.eduzszislzszreprints06zszc149.pd f/ru05multiplemodel.pdf [2] Shalom Y.B., Li X.-R., Kirubarajan T., Estimation with Applications to Tracking and Navigation, 2001, Wiley&Sons Inc. [3] Schell C., Linder P. S., Zeidler R. J., Tracking Highly Maneuverable Targets With Unknown Behaviour, 2004, Proceedings of the IEEE Volume 92 Issue (3) pp [4] Simeonova L., Semerdjiev T., Specific Features of IMM Tracking Filter Design, Procon Ltd., Sofia, Bulgaristan, 2002, pp [5] MATLAB V a Release13, MathWorks Inc., June 2002, web page source: 34

11 [6] Shalom B., Yeddanapudi M., Pattipati K., IMM Estimation for Multitarget-multisensor Air Traffic Surveillance, Proceedings of the IEEE, Vol 85, Iss 1, pp , 1997, [7] Ding Z., Hong L., A Distributed IMM Fusion Algorithm for Multi-platform Tracking, Signal Processing, Vol. 64, Issue 2, pp , 1998 [8] Henk A. P. B., Edwin A. B., Exact Bayesian Filter and Joint IMM Coupled PDA Tracking of Maneuvering Targets from Possibly Missing and False Measurements, Automata Volume 42, Iss: 1, pp , 2006 [9] Cruz, J., Pedroza J., Altamirano L., Olivera I., A Performance Comparison of Estimation Filters for Adaptive Imagery Tracking, Siganl Processing, Pattern Recognition and Applications Processing, 2006, Acta Press, ÖZGEÇMİŞ Alper Atılım Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği bölümünden 2003 senesinde mezun oldu. Aynı zamanda Atılım Üniversitesi İşletme bölümünde yandal mezunudur. Ankara Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği anabilim dalında 2007 senesinde yüksek lisans derecesini aldı. Ankara Üniversitesi Elektronik Mühendisliği anabilim dalında doktora yapmaktadır. 6. EK-ŞEKİLLER Şekil IMM algoritmasına ait bir süreç adımında yapılan işlemler 35

12 Şekil Kalman filtresi için bir döngü adımına ait algoritma süreç grafiği 36