Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV"

Transkript

1 Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak, çeşitli tipte fonksiyonların türevlerini bulabileceksiniz. İçindekiler Giriş 5 Fonksiyon Türevi 7 Türev Alma Kuralları 6 Teğet Denklemi 40 Yüksek Mertebeden Türevler 41 Değerlendirme Soruları 4

2 Çalışma Önerileri Türev kavramını ve türev alma kurallarını iyi öğreniniz Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Türevin geometrik ve fiziksel anlamına dikkat ediniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp türevlerini (I. mertebeden, II. mertebeden,...) bulunuz Çeşitli fonksiyon örnekleri alıp teğet denklemlerini yazınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 TÜREV KAVRAMI 5 1. Giriş Önce, denklemi y = f() olan bir eğrinin üzerindeki herhangi bir ( 0, f( 0 )) noktasındaki teğetinin bulunması problemini ele alalım. Bunun için önce teğetin tanımını hatırlayalım. Eğri üzerinde bir T noktası verilsin. Eğri üzerinde bu noktadan farklı herhangi T 1 noktası seçip TT 1 kirişini çize. T 1 noktası eğri boyunca T noktasına yaklaştığı zaman bu kiriş T noktası etrafında dönme hareketi yapar. TT 1 kirişinin it konumuna (eğer varsa) bu eğrinin T noktasındaki teğeti denir. Teğetin - ekseni ile oluşturduğu α açısının tanjantına ise teğetin eğimi denir. Teğetin eğimini bulmak için T 1 noktasının apsisinin 0 + h olduğunu varsayalım. O zaman bu noktanın ordinatı f( 0 + h) olur. TNT 1 dik üçgeninden TN = h, T 1 N = f( 0 + h) - f( 0 ), T 1 TN = β olduğundan kirişin eğimi olur. tan β = T1 N TN = f( 0 + h) - f( 0 ) h y T 1 y = f () T α β. N 0 α β h Şekil 9.1 T 1 in eğri boyunca T ye yaklaşması h nin sıfıra yaklaşmasını gerektirdiğinden h 0 iken kirişin eğimi teğetin eğimine yaklaşır: Eğer teğetin eğimi = tan α = h 0 f( 0 + h) - f( 0 ) h h 0 T 1 N TN iti varsa, olur. Buna göre, teğetin eğimini bulmak için yukarıdaki iti hesaplamak gerekmektedir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 6 TÜREV KAVRAMI Örnek: 1) y = ve ) y = 1 + eğrilerinin herhangi 0 apsisli noktadaki teğet eğimlerini hesaplayalım. Çözüm: 1) Eğri üzerinde 0 apsisli nokta, ( 0, 0 ) noktasıdır. f( 0 ) = 0, f ( 0 + h) = ( 0 + h) olduğundan tan α = ( 0 + h) - 0 h 0 h ) f( 0 ) = 1 + 0, f( 0 + h) = 1 + ( 0 + h) = h h + 0 h + h - 0 h = h h + h = = 0 olur. 1 + ( tan α = 0 + h) - (1 + 0 h 0 h olur. Örneğin, (-, 5) noktasındaki teğet eğimi. (-) = - 4 dür. ) = h 0 ( 0 + h) = 0 Şimdi ise hareketli bir cismin ani hızının hesaplanması problemini ele alalım. Düzlemde bir doğru boyunca harekette olan cisim, başlangıçta (t=0 anında) doğru üzerindeki O noktasında olsun. t anında cismin bulunduğu nokta ile O noktası arasındaki s(t) uzaklığı t zamanının bir fonksiyonu olup, cismin t zamanı içinde katettiği yolu gösterir. s = s(t) fonksiyonuna cismin hareket denklemi denir. Bu hareketin t o anındaki ani hızını bulmak için t 0 a t artması vere. t süresinde katedilen yol, s = s(t 0 + t) - s(t 0 ) olur. Bu durumda s oranı ise, [t 0, t 0 + t] zaman t aralığındaki ortalama hız olur. t 0 anındaki v ani ani hızını bulmak için s oranının t t 0 iken itini bulmamız gerekmektedir. Buna göre, ani hız v ani = t 0 st 0 + t - s t 0 t olur, dolayısıyla ani hızı bulmak için bu iti hesaplamak gerekmektedir. Örnek olarak hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda serbest düşen cismin ani hızını bulalım. t = 0 (sn) anında cisim O başlangıç noktasında ise o zaman t 0 saniye içinde katedilen yol s (t 0 ) = g t 0 (metre) formülü ile veriliyor. Burada g 9,8 m/sn dir. Buna göre, s t 0 + t = g. t 0 + t, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 TÜREV KAVRAMI 7 v ani = t 0 g. t 0 + t t - g. t 0 = g t 0 (t 0 + t) - t 0 t = g t 0 t 0 + t 0. t + t - t 0 t = g t 0 t 0 + t = g t 0, v ani = gt 0 olur. Örnek: Hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda yeteri kadar yüksekten serbest düşen cismin, düşmeye başladıktan 10 saniye sonraki ani hızını bulunuz. Çözüm: v ani = gt 0, t 0 = 10 sn, g 9,8 m/sn olduğundan aradığımız hız, v ani 9,8.10 m/sn = 98 m/sn olur. Not: t yi ile t nin çarpımı olarak düşünmeyiniz, küçük artmaları göstermek için kullanılan bir gösterimdir.. Fonksiyon Türevi Yukarıda incelediğimiz her iki örnekte, fonksiyon artması denilen f( 0 + h) - f( 0 ) ve s(t 0 + t) - s(t 0 ) ifadeleri, bağımsız değişken artmaları olan h ve t ye bölünüp, bölümün bu artmalar sıfıra yaklaşırken itleri alındı. Bu itlerin hesaplanması bizi türev kavramına getirir. A IR aralığı üzerinde tanımlı, gerçel değişkenli f: A IR, y = f() fonksiyonu verilsin. 0 A olmak üzere 0 a kadar artma vere. 0 + sayısının da in küçük değerleri için yine A aralığı içinde kaldığını varsayalım (burada > 0 veya < 0 olabilir). O zaman y = f( 0 + ) - f( 0 ) a y = f() fonksiyonunun 0 noktasındaki artması, y ifadesine ise fonksiyonun = f( 0 + ) - f( 0 ) [ 0, 0 + ] aralığında ortalama değişme hızı denir, (burada, eğer < 0 ise [ 0 +, 0 ] aralığından sözetmeliyiz). f Eğer f 0 iti varsa, bu ite y = f() fonksiyonunun 0 noktasındaki türevi denir. Bu durumda y = f() fonksiyonuna da 0 noktasında türevlenebilir fonksiyon denir. Buna göre türev, fonksiyon artması y nin bağımsız değişken artması olan e oranının sıfıra yaklaşırken itidir. f f 0 = 0 f - f 0-0 olduğuna dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 8 TÜREV KAVRAMI Eğer y = f() fonksiyonunun her A noktasında türevi varsa, o zaman bu fonksiyona "A üzerinde (veya A kümesinde) türevlenebilir" veya "A üzerinde türevi vardır" denir. Bu durumda A üzerinde yeni bir fonksiyon, türev fonksiyonu tanımlanmış olur. Bu fonksiyon her A sayısını fonksiyonun noktasındaki türevi ile eşler. Türev Fonksiyonu gibi, 0 noktasındaki türev ise y', f ', dy d, d f d y' 0, f ' 0, dy d = 0 gibi sembollerle gösterilir. Böylece,, d f 0 d y' 0 = f ' 0 = dy d = 0 = d f 0 d = f f 0 yazılabilir. Türev alma işlemine bazen diferansiyelleme işlemi de denir. f '() türevine bazen f() fonksiyonunun değişkenine göre türevi veya sadece f() fonksiyonunun türevi denir. Yukarıdaki örneklerde bulduğumuz sonuçları şöyle ifade edebiliriz: 0 noktasında türevlenebilir y = f() fonksiyonunun grafiğinin ( 0, f( 0 )) noktasındaki teğetinin eğimi olan tan α değeri f '( 0 ) türevine eşittir. Doğru boyunca hareket eden ve denklemi s = s(t) ile verilen cismin hareketinde herhangi t 0 anındaki ani hız s'(t 0 ) türevine eşittir. Giriş kesimindeki 1). ve ). örneklere göre, y = fonksiyonu için y'( 0 ) = 0 ve y = + 1 fonksiyonu için y'( 0 ) = 0 diyebiliriz. Tanımdan görüldüğü gibi y = f() fonksiyonu için = 0 noktasındaki f '( 0 ) türevinin sonucu bir sayıdır. Bu sayıyı bulmak için ya f f 0 iti hesaplanır ya da eğer mümkünse, f ' () türev fonksiyonu hesaplanıp yerine 0 yazılır. Örnek: y = birim fonksiyonun türevini bulalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 TÜREV KAVRAMI 9 Çözüm: f() =, f( + ) = + olduğundan y' = + - = 1 = 1 ve dolayısıyle ' = 1 elde edilir. Örnek: y = fonksiyonunun türevini bulalım. Çözüm: f() = - + 5, f( + ) = ( + ) - ( + ) + 5 = ( +. + ) = olduğundan y' = = = 4 -, buna göre ( - + 5)' = 4 - dir. Örnek: f() = + fonksiyonunun = - noktasındaki f ' (-) türevini bulalım. Çözüm: f ' - = f(-) = - + (-) = - -8 = -10 f(- + ) = (- + ) = ( ) = olduğundan f ' (-) = f f = itini (eğer varsa) bulmamız gerekiyor. = = = 1 bulunur. Örnek: y = 1 ( 0) fonksiyonunun türevini bulalım Çözüm: y' = f() = 1, f( + ) = = olduğundan - - ( + ) = - 1 ( + ) = - 1 ( + 0) = - 1 elde edilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 0 TÜREV KAVRAMI Fonksiyonların süreklilik kavramını geçen ünitede tanımlamıştık. Süreklilik kavramı ile türev kavramı arasında aşağıdaki ilişki vardır: Eğer y = f() fonksiyonunun = 0 noktasında türevi varsa o zaman bu fonksiyon bu noktada süreklidir. Not: y = f() fonksiyonu verilsin. değiştikçe buna bağlı olarak y de değişir. Farklı f() fonksiyonları için bu değişim farklıdır. İşte f '() türevi, y nin e göre değişme hızını ifade eder. Gerçekten, fonksiyon artmasının bağımsız değişken artmasına oranı olan f( + ) - f() oranı fonksiyonun [, +] veya f( + ) - f() [+, ] aralığındaki ortalama değişme hızını, f' () = iti ise fonksiyonun noktasındaki değişme hızını gösterir. Türevin bu anlamı uygulama açısından çok önemlidir. Örnek: y = fonksiyonunun = noktasında değişme hızını bulalım. Çözüm: y' = f'() = olduğundan = noktasında değişme hızı f'() =. = 6 olur. Örnek: y = 1 fonksiyonunun = - noktasında değişme hızını bulalım. Çözüm: y' = f ' () = - 1 olduğundan f ' (-) = - 1 = - 1 (-) 4 olur Burada hızın negatif olması, fonksiyonun = - noktası civarında azaldığına işaret eder. Şimdi türevi olmayan bir fonksiyon örneği vere. Örnek: y = fonksiyonunun 0 = 0 noktasında türevinin olmadığını göstere. Çözüm: 0 ise =, < 0 ise = - olduğunu hatırlayalım. Buna göre, f( 0 ) = 0 = 0 = 0, f( 0 + ) = 0 + = f( 0 + ) - f( 0 ) = olur. Sonuncu it yoktur, çünkü = = = - - = -1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 TÜREV KAVRAMI 1 olduğundan sağdan it soldan ite eşit değildir. O zaman bu fonksiyonun 0 = 0 da türevi yoktur. Şimdi bazı fonksiyonların türevlerini hesaplayalım. 1) y = c sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır: y' = (c)' = 0. f() = c, f( + ) = c olduğundan y' = dır. f( + ) - f() = c - c = 0 = 0 = 0 ) a gerçel sayı olmak üzere, y = a fonksiyonunun türevi y' = a a-1 dir. Bu formülü a nın doğal sayı olması durumda ispatlayacağız. (Genel durumda karmaşık itler kullanılır). f() = a, f( + ) = ( + ) a dır.. ünitedeki Binom formülüne göre, f( + ) = a + a a-1. + a (a-1) yazabiliriz. Buradan a a f( + ) - f() = a + a a-1. + a (a-1) y' = a ' = = a a-1 + a (a-1) a a - a a a, a a-1 a (a - 1). + a a = a a-1 a (a - 1) + bulunur. a a-1 = a a = a a-1 Örnek : 1) y = 5, ) y = 1, ) y =, 4) y = fonksiyonlarının tü- revlerini bulalım. 5 Çözüm: 1) y = 5 fonksiyonu için a = 5 dir. Buna göre y' = ( 5 )' = = 5 4 dür. ) 1 = -1 yazılabildiğinden bu örnekte a = - 1 dir. Buradan y' = 1 ' = (-1) = (-1) - = - - = - 1 olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 TÜREV KAVRAMI 1 ) = olduğundan yukarıdaki formülde a = 1 olur. elde edilir. y' = ' = = 1-1 = 1 5 4) 5 = gibi yazılabildiğinden, bu örnekte a = 5 dir. 5 y' = ' = = = 5 5? bulunur. f() = g() = 1 ise f ' (8) =? ise g' (8) =? h() = ise h ' (4) =? Cevaplarınız 1, ve olmalıydı. ) a > 0, a 1 gerçel sayı olmak üzere, y = f() = a üstel fonksiyonunun türevi y' = a ln a dır. f() = a, f( + ) = a + olduğundan y' = a + - a = a. a - 1 = a. a - a = a a - 1 yazılabilir (it değişkenine göre hesaplandığından a sabittir ve itin önüne çıkarılabilir). Öte yandan a - 1 itini bulmak için a - 1 = 1 u diye. Buradan, = log a u bulunur. Diğer taraftan için u olduğundan a - 1 = 1/u u log a u = 1 u log a u u = 1 log a e = ln a bulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 TÜREV KAVRAMI Buna göre y' = (a )' = a. lna bulunur. Özel olarak, a = e alınırsa lne = 1 olduğundan (e )' = e olur: (a )' = a ln a, (e )' = e. fonksiyonlarının türevlerini bu- Örnek: lalım. 1) y = ) y = 1, ) y = 5 Çözüm: 1) y' = ln, ) y' = 1 1 ) y' = 5 ln 5 = 5 ln 5 = ln 1 = - 1 ln, 5 ln 5. Örnek: 1) y = 4 ) y = e fonksiyonlarının = -1 noktasındaki türevlerini bulalım. Çözüm: 1) y' = 4 ln 4 olduğundan ) y' = e olduğundan f ' (-1) = 4-1 ln 4 = ln 4 4 f ' (-1) = e -1 = 1 e 0,68 0,47 olur 4) a > 0, a 1 gerçel sayı olmak üzere y = f() = log a logaritmik fonksiyonunun türevi y' = 1 lna = 1 log ae dir. f( + ) = log a ( + ) olduğundan 5. üniteden logaritmik fonksiyonun özelliklerini kullanırsak y' = log a ( + ) - log a = log a + = elde ederiz. 1. log a 1 + = 1. log a = e olduğunu ve logaritmik fonksiyonun sürekliliğini gözönüne alırsak y' = 1 log a e = 1. ln a bulunur. Eğer a = e alınırsa ln e = 1 olduğundan (ln )' = 1 çıkar. Böylece, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 4 TÜREV KAVRAMI dir. log a ' = 1 ln a, (ln )' = 1 Örnek: 1) y = log 5 ve ) y = ln fonksiyonlarının = noktasındaki türevlerini bulalım. Çözüm: 1) y' = log 5 ' = 1 ln 5 olduğundan, yerine yazarsak bulunur. f' () = 1 ln 5 0,07? ) (ln ) ' = 1 ve yerine yazarsak f '() = 1 bulunur f() = log ise f'(4) =? g() = ln ise g'(1) =? k() = log ise k'(10) =? Cevaplarınız 1 4 log e, 1 ve 1 10 ln10 = 1 10 log 10 e olmalıydı. 5) Trigonometrik fonksiyonların türevi. y = sin fonksiyonunun türevini bulalım. f() = sin, f( + ) = sin ( + ) olduğundan f( + ) - f() = sin ( + ) - sin olur. 6. ünitedeki formüllerden dolayı sin ( + ) - sin = sin + - yazabiliriz. Buna göre. cos + + y' = sin ( + ) - sin = sin. cos ( + ) = sin. cos ( + ) = sin. cos ( + ) yazılabilir. y = cos fonksiyonunun sürekliliğinden ve geçen ünitede ispatladığımız 0 sin = 1 itinden yararlanırsak ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 TÜREV KAVRAMI 5 sin yazabiliriz. Buradan = 1, cos ( + ) = cos ( + 0) = cos y' = (sin)' = cos bulunur. Benzer yolla y = cos fonksiyonu için bulabiliriz. y' = (cos)' = -sin Şimdi y = tan fonksiyonunun türevini bulalım. y' = (tan) ' = tan ( + ) - tan = sin ( + ) cos ( + ) - sin cos = = sin ( + ). cos - cos ( + ) sin cos ( + ). cos sin ( + ). cos - cos ( + ).sin. cos ( + ). cos dir. 6. ünitedeki formüllerden dolayı sin( + ). cos - cos( + ). sin = sin ( + - ) = sin( ) yazabiliriz. Buradan y' = sin () =. cos ( + ). cos sin. 1 cos ( + ). cos bulunur. Böylece olur. = 1. 1 cos ( + 0). cos = 1 cos = 1 + tan y' = (tan) ' = 1 cos = 1 + tan AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 6 TÜREV KAVRAMI Benzer yolla, y = cot fonksiyonu için bulunur. y' = (cot) ' = - 1 sin = - (1 + cot ) (sin) ' = cos, (cos) ' = - sin, (tan) ' = 1 cos, (cot)' = - 1 sin. Türev Tablosu 1. y = c y ' = 0. y = a y ' = a a-1 y = y ' = 1 y = 1 y ' = - 1 y = y ' = 1. y = a y ' = a lna y = e y ' = e 4. y = log a y ' = 1 lna y = ln y ' = 1 5. y = sin y ' = cos 6. y = cos y ' = - sin 7. y = tan y ' = 1 cos 8. y = cot y ' = - 1 sin. Türev Alma Kuralları Geçen bölümde bazı fonksiyonların türevlerini türev tanımından yararlanarak hesapladık. Şimdi bu bilgilerden yola çıkarak daha geniş bir sınıf fonksiyonların türevlerini hesaplamak için aşağıdaki kuralları (teoremleri) ispatsız vereceğiz (Bu ispatlar tanımdan yararlanarak kolayca yapılabilir). 1) f() ve g() fonksiyonları türevlenebilir ise f() ± g() fonksiyonu da türevlenebilirdir ve [f() ± g()]' = f'() ± g'() ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 TÜREV KAVRAMI 7 dir. Bu formül ikiden fazla fonksiyonlar için de geçerlidir: Eğer f 1 (), f (),..., f n () türevlenebilir fonksiyonlar ise o zaman [f 1 () ± f () ±... ± f n ()]' = f'() ± f' () ±... ± f' n () dır. Örnek: (sin + 5 )' = (sin)' + ( 5 )' = cos + 5 4, ( - + 5)' = ( )' - ( )' + (5)' = -, (e + ln - )' = (e )' + (ln)' - ( ) ' = e ) f() ve g() fonksiyonları türevlenebilir ise f(). g() çarpım fonksiyonu da türevlenebilirdir ve [f(). g()]' = f'(). g() + f(). g'() dir. Eğer g() = c (sabit) alırsak g'() = 0 olduğundan [c f()]' = c f'() bulunur. Yani sabiti türev işareti dışına çıkarmak mümkündür. İkiden fazla fonksiyonun çarpımı için de benzer formül geçerlidir: Eğer f 1 (), f (), f (),..., f n () fonksiyonları türevlenebilir ise o zaman [f 1 (). f (). f ()..... f n ()]' = [f 1 '(). f (). f ()..... f n ()] + [f 1 (). f '(). f ()..... f n () ] + [f 1 (). f (). f '()..... f n ()] [f 1 (). f (). f ()..... f n '()] dir. Örnek: (5 cos)' = 5 ( cos)' = 5 [( )' cos + (cos)'] = 5 ( cos - sin), ( e ln )' = ()' e ln +. (e )'. ln + e. (ln )' = 1. e ln +. e ln + e. 1 = e ln + e ln + e. ) f() ve g() fonksiyonları türevlenebilir ve g() 0 ise o zaman fonksiyonu da türevlenebilirdir ve f g dır. f g ' = f '. g - f. g' g AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 8 TÜREV KAVRAMI Örnek: ' = + ' ' = = = - 1, sin ' = sin '. - sin. ' =. cos - 1. sin = cos - sin. 4) Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) Eğer y = f(u) fonksiyonu u değişkenine göre türevlenebilir ve u= g() fonksiyonu ise değişkenine göre türevlenebilir ise o zaman y= f[g()] bileşke fonksiyonu değişkenine göre türevlenebilir fonksiyondur ve dir. [f(g()]' = f'(g()). g'() Zincir kuralı türev alma işleminde önemli araçlardan biridir. Örnek: 1) + 1 ' = ' = 1 + 1, y = f (u) = u, u = + 1 ) ' = ' = = , y = f(u) = u, u = ) sin ' = cos. ' = cos, y = f(u) = sinu, u = 4) tan 1 + ' = 1 cos ' = cos 1 +, y = f(u) = tanu, u =1 + ' 5) - ' = - = ' = = -, y = f(u) = u, u = - 6) ln 1 + ' = ' =, y = f(u) = lnu, u = ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 TÜREV KAVRAMI 9 Zincir kuralında türevin diğer sembolünü kullanırsak, dy d = dy du. du d yazabiliriz. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. 1) y = 1 + sin 1 - sin ) y = cosπ? ) y = ln (tan) 4) y = e sin 5) y = ln 6) y = + 1-7) y = e 1/ 8) y = e - 9) y = sin e cos 10) y = ln Cevaplarınız aşağıdaki şekilde olmalıydı. 1) y' = cos, ) y' = - π sin π (1 - sin) cosπ 4) y' = cos e sin, 5) y' = 1 ln, ) y' = 1 + tan tan, 6) y' = -7 ( - ),, 7) y' = - 1 e1/, 8) y' = - e -, 9) y' = (cos - sin ) e cos, 10) y' = - ln Türevlenebilir y = f() fonksiyonu verilsin. f'() türevi ile d in çarpımına f() in diferansiyeli denir ve dy ile gösterilir: dy = f'() d. u= u() ve v= v() türevlenebilir fonksiyonları verilsin. O zaman d(u ± v) = du ± dv, d(u.v) = udv + vdu, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 40 TÜREV KAVRAMI d u v = v du - u dv v formülleri doğrudur. Örnek: 1) y = cos için dy = (cos )' d = - sin d ) y = için dy= ( )' d = (15 + 1) d ) y =. tan için dy = (. tan)' d = tan + cos d Diferansiyel kavramı yaklaşık hesaplarda oldukça faydalı bir araçtır. 4. Teğet Denklemi Şekil 9. Yukarıda, türevlenebilir y = f() fonksiyonunun grafik eğrisi üzerindeki herhangi bir ( 0, f( 0 )) noktasındaki teğetinin eğiminin f'( 0 ) olduğunu bulmuştuk. Analitik geometriden bildiğimize göre, bir ( 0, y 0 ) noktasından geçip, eğimi m olan doğrunun denklemi y - y 0 = m ( - 0 ) dir. Burada y 0 yerine f( 0 ), m yerine ise f'( 0 ) yazarsak y = f() fonksiyonunun ( 0, f( 0 )) noktasındaki teğet denklemini aşağıdaki gibi bulmuş oluruz: y - f( 0 ) = f '( 0 ) ( - 0 ). ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 TÜREV KAVRAMI 41 Örnek: y = parabolünün (-1, 1) noktasındaki teğet denklemini bulalım. Çözüm: 0 = -1, f'() = ( )' = 4-5 olduğundan f '(-1) = 4 (-1) - 5 = -9 dur. Buna göre, teğet denklemi y - 1 = -9 (+1) veya y = 0 olarak bulunur. noktasındaki teğet denk- Örnek: y = cos fonksiyonun grafiğinin lemini bulalım. π 4, Çözüm: 0 = π 4 olarak bulunur., f 0 = cos π 4 =, f' () = cos ' = - sin olduğundan f ' π 4 = - sin π 4 = -. Buradan, teğet denklemi y - = - veya y π = 0, 8y π = 0 - π 4 1) f() = e eğrisinin = 0 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. ) g() = ln eğrisinin = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz.? Cevaplarınız 1) y = + 1 ) y = - 1 olmalıydı. 5. Yüksek Mertebeden Türevler f: A IR, y = f() fonksiyonunun her bir A için türevi varsa bu f '() türevi in yeni bir fonksiyonudur. Eğer f '() türev fonksiyonunun her bir için (f '())' türevi varsa, f() fonksiyonuna II. mertebeden türevlenebilir fonksiyon, (f'())' türevine ise f() in II. mertebeden türevi denir ve y", f" (), d y d, d f() d gibi sembollerle gösterilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 4 TÜREV KAVRAMI Örnek: 1) y = için y' = 1-8, y'' = (1-8)' = 6-8 ) y = ln için y' = 1, y" = 1 ' = - 1 ) y = sin için y' = cos, y'' = ( cos)' = - sin. ()' = -9 sin. f : A IR fonksiyonu, her A için ikinci mertebeden türevi olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda f'' : A IR fonksiyonundan söz etmek mümkündür. Eğer f'' fonksiyonunun her bir A noktasında türevi varsa, bu türeve f nin üçüncü mertebeden türevi denir ve y"', f"' (), d y d, d f() d gibi sembollerle gösterilir. f''' fonksiyonuna f nin üçüncü mertebeden türev fonksiyonu denir. Bu şekilde devam ederek, f (n-1) : A IR, (n IN) fonksiyonunun eğer varsa, türev fonksiyonuna f nin n. mertebeden türev fonksiyonu denir ve y (n), f (n) (), d n y d n, d n f() d n gibi sembollerle gösterilir. Örnek: y = f() = polinom fonksiyonu verilsin. Bu durumda f '() = f''() = f'''() = 4-0 f (v)) () = 4 f (v) () = 0 f (n) () = 0, n 5 dir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 TÜREV KAVRAMI 4 Örnek: f () = ln ise f' () = 1, f" () = - 1, f'''() = dir. f (ıv) () = - 6 4,..., f (n) () = (-1) n-1 (n-1)! n 1) f() = ise f (v) (4) =? ) g() = sin g"' π =? ) h() = ln h"(1) =?? Cevaplarınız, 1) ) 0 ) - olmalıydı. 14 Değerlendirme Soruları 1. f() f () = = ( + - 1) 15 ise ise f '(1) f' (0) =? =? A B. 4 A. 7 C. 405 D. 810 B. E C. D. 1 E f() = ln ise f '(e) =? A. e B. e C. e + 1 D. E. 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 44 TÜREV KAVRAMI 4. f () = e - ise f ' (0) =? A. -1 e B. - e C. 1 D. e E. e 5. f () = e ise f ' (4) =? A. e B. 1 e C. 1 4 e D. 1 e E. 1 4 e 6. f() = tan f '(π) =? A. 0 B. 1 C. D. E f () = sin ise f ' π =? A. 0 B. 1 C. D. 6 E. 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 TÜREV KAVRAMI f () = 4-7 ise f ' () =? A. 1 4 B. 4 C. 9 4 D. 9 4 E. 9. f() = ise f '(0) =? A. ln B. ln C. 4ln D. 4 E f() = (1 - ) 5 fonksiyonunun = 1 noktasında değişme hızı aşağıdakilerden hangisidir? A. -7 B. -11 C. - D. -16 E f () = ln fonksiyonunun = e noktasında değişim hızı aşağıdakilerden hangisidir? A. -1 e e B. e - e e C. e D. e E. - e e e AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 46 TÜREV KAVRAMI 1. f() = fonksiyonunun = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A. y = B. y = - C. y = - 1 D. y = + 1 E. y = f() = sin - cos fonksiyonu = π apsisli noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 14. f () = 1 A B C D E ise f' (8) =? 15. f() = e ln, ( > 0) ise f'() =? A. B. C. ln D. e ln E. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

25 TÜREV KAVRAMI f () = + 1 A B. + 1 C D E ise f''() =? 17. f() = ln ise df() =? A. ln d B. d C. (1 + ln) d D. ( + ln) d E. (1 + ln) d 18. f () = ise f''' () =? A. 4 B. 8 C. 8 D. E f() = sin ise f (v) () =? A. cos B. -cos C. sin D. -sin E. sin AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

26 48 TÜREV KAVRAMI 0. f() = e sin ise f"() =? A. e sin B. e cos C. cos e sin D. sine sin E. (cos - sin) e sin Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. B. D 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. B 10. A 11. A 1. C 1. B 14. B 15. B 16. C 17. C 18. E 19. A 0. E ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını

Detaylı

Uzayın Analitik Geometrisi

Uzayın Analitik Geometrisi Uzayın Analitik Geometrisi Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Düzlemde geliştirilen analitik geometri modeline benzer şekilde üç boyutlu uzay için de bir analitik

Detaylı

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin

Detaylı

Fonksiyon Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV

Fonksiyon Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV Fonksiyon Kavramı Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyon kavramını tanıyacak, bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek, iki fonksiyonun

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(015)-Ara Sınav S-1) Merkezi M(, 1) de olan ve 4y + 1 = 0 doğrusundan 4 birimlik bir kiriş ayıran çemberin S-) Merkezi M(,4) de olan ve + 5y 10 = 0 doğrusundan

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır?

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır? MOD KAVRAMI (DENKLİK) a ve b tam sayıları arasındaki fark bir m pozitif tam sayısına tam bölünebiliyorsa bu sayılara m modülüne göre denktir denir ve a b(modm) yazılır. Yani m Z +,m (a b) a b (mod m) dir

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal

Detaylı

KORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ

KORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ KORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ 1 KORELASYON ANALİZİ İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü(derecesini) ve yönünü belirlemek için hesaplanan bir sayıdır. Belirli

Detaylı

TAM SAYILARLA İŞLEMLER

TAM SAYILARLA İŞLEMLER TAM SAYILARLA İŞLEMLER 5 4 3 2 1 1 TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü, bilimsel ve teknolojik gelişmeler ışığında meteorolojik gözlemler, hava tahminleri ve iklim değişiklikleri

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi

Detaylı

9 B ol um Türevin Uygulamaları

9 B ol um Türevin Uygulamaları 2 Bölüm 9 Türevin Uygulamaları 64 BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI Bölüm 0 Türev Tanım 0. y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve 0 (a,b) olsun. y = f ( 0 ) h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h iti varsa, bu

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal

Detaylı

BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI. Şekil 1. Z Dağılımı

BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI. Şekil 1. Z Dağılımı 1 BÖLÜM 11 Z DAĞILIMI Z dağılımı; ortalaması µ=0 ve standart sapması σ=1 olan Z puanlarının evren dağılımı olarak tanımlanabilmektedir. Z dağılımı olasılıklı bir normal dağılımdır. Yani Z dağılımının genel

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) ÖSS MT- / 008 MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte sırasıla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. + = olduğuna

Detaylı

LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Üstel modeli, iki tarafın doğal logaritması alınarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

Üstel modeli, iki tarafın doğal logaritması alınarak aşağıdaki gibi yazılabilir. 5. FONKSİYON KALIPLARI VE KUKLA DEĞİŞKENLER 5.1. Fonksiyon Kalıpları Bölüm 4.1 de doğrusal bir modelin katsayılarının yorumu ele alınmıştır. Bu bölümde farklı fonksiyon kalıpları olması durumunda katsayıların

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1 NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri

Detaylı

2014 2015 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ

2014 2015 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ 0 0 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ SÜRE Ay Hafta D. Saati ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR Geometri Örüntü Süslemeler. Doğru, çokgen çember modellerinden örüntüler

Detaylı

LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte srasla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için arlan ksmna işaretleiniz.. f, 0 ise =, = 0 ise fonksionu için,

Detaylı

3. ÜNİTE ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ

3. ÜNİTE ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ 3. ÜNİTE ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ KONULAR 1. Direnç-Bobin Seri Devresi (R-L Seri Devresi) 2. Direnç-Kondansatör Seri Devresi (R-C Seri Devresi) 3. Direnç-Bobin-Kondansatör Seri Devresi (R-L- C Seri Devresi)

Detaylı

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

+ 1. ) transfer edilir. Seri. Isı T h T c sıcaklık farkı nedeniyle üç direnç boyunca ( dirençler için Q ısı transfer miktarı aşağıdaki gibidir.

+ 1. ) transfer edilir. Seri. Isı T h T c sıcaklık farkı nedeniyle üç direnç boyunca ( dirençler için Q ısı transfer miktarı aşağıdaki gibidir. GİRİŞ Isı değiştiricileri (eşanjör) değişik tiplerde olup farklı sıcaklıktaki iki akışkan arasında ısı alışverişini temin ederler. Isı değiştiricileri başlıca yüzeyli ısı değiştiricileri, karışımlı ısı

Detaylı

5. ÜNİTE ÜÇ FAZLI ALTERNATİF AKIMLAR

5. ÜNİTE ÜÇ FAZLI ALTERNATİF AKIMLAR 5. ÜNİTE ÜÇ FAZLI ALTERNATİF AKIMLAR KONULAR 1. Üç Fazlı Alternatif Akımların Tanımı Ve Elde Edilmeleri 2. Yıldız Ve Üçgen Bağlama, Her İki Bağlamada Çekilen Akımlar Ve Güçlerin Karşılaştırılması 3. Bir

Detaylı

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1 TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MATEMATİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 7. kesrinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden 0 hangisidir? 0, 0 0,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİNAMİK (1.hafta) Mekanik: Cisimlerin hareket ve dengelerini inceleyen bir bilimdir. Başlıca üç kısma ayrılır.

DİNAMİK (1.hafta) Mekanik: Cisimlerin hareket ve dengelerini inceleyen bir bilimdir. Başlıca üç kısma ayrılır. TEMEL KAVRAMLAR DİNAMİK (1.hafta) Mekanik: Cisimlerin hareket ve dengelerini inceleyen bir bilimdir. Başlıca üç kısma ayrılır. a) Rijit Cisimler (esnemeyen) Mekaniği b) Elastik Cisimler Mekaniği c) Akışkanlar

Detaylı

Bölüm 2. Faiz Oranları. 2.1 Bugünkü Değer Kavramı (Present Discounted Value)

Bölüm 2. Faiz Oranları. 2.1 Bugünkü Değer Kavramı (Present Discounted Value) Bölüm 2 Faiz Oranları Faiz oranlarındaki değişikliklerin ekonomide çok çeşitli etkileri olacağı için faiz oranları yakından takip edilmektedir. Faiz oranları tüketim, tasarruf, yatırım kararlarını etkilediği

Detaylı

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne

Detaylı

ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA

ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA II Öğr.Gör.Erdal GÜVENOĞLU Hafta 2 Maltepe Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ALGORİTMA ANALİZİ 2 Neden algoritmayı analiz ederiz? Algoritmanın performansını ölçmek

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI SORULARI EGE BÖLGESİ 5. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. [( p q) q] [(p q) q ] bileşik önermesinin en sade şekli A) p B) p C) D) 0 E) q 4. A kümesinin eleman sayısı fazla; B kümesinin eleman sayısı eksik olsaydı

Detaylı

DERS 6. Türev. 6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını

DERS 6. Türev. 6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını DERS 6 ürev 6 ürev y enklemi ile verilen onksiyon ve ir a sayısı üşüne nin a civarınaki eğişim oranını a a olarak tanımlaığımızı anımsayalımaşağıaki şekle akarak oranı yormlamağa çalışalım a y a a Eğim:

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 BURKULMA HESABI Doç.Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 305 Makine Elemanları-Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 BU SLAYTTAN EDİNİLMESİ BEKLENEN BİLGİLER Burkulmanın tanımı Burkulmanın hangi durumlarda

Detaylı

Burulma (Torsion) Amaçlar

Burulma (Torsion) Amaçlar Bu bölümde şaftlara etkiyen burulma kuvvetlerinin etkisi incelenecek. Analiz dairesel kesitli şaftlar için yapılacak. Eleman en kesitinde oluşan gerilme dağılımı ve elemanda oluşan burulma açısı konuları

Detaylı

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği 3. ÖLÇÜLEBİLİR FONKSİYONLAR SORU 1: f : R R azalan fonksiyon ise f fonksiyonu Borel ölçülebilir midir? ÇÖZÜM 1: Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği α R için f 1 ((α, )) := {x R : f (x) > α} B (R) olduğunu

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

Üstel fonksiyonun grafiği. Tanım a IR + ve a 1 olmak üzere, f : IR IR +, f(x) = a x biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir.

Üstel fonksiyonun grafiği. Tanım a IR + ve a 1 olmak üzere, f : IR IR +, f(x) = a x biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir. Logaritma Üstel fonksiyon a gerçek sayı, n pozitif tam sayı ise, a n = a.a.a. (n tane defa çarpma). a dır. a n sayısında üslü sayı, a ya taban, n ye üs denir. a n sayısı, "a üssü n" diye okunur. 1. n z

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

III İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 ÜNİTE 2 ÜNİTE 3 FRAKTALLAR 2 YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 10 ÜSLÜ SAYILAR 14 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 18

III İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 ÜNİTE 2 ÜNİTE 3 FRAKTALLAR 2 YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 10 ÜSLÜ SAYILAR 14 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 18 MATEMATİK III İÇİNDEKİLER ÜNİTE FRAKTALLAR YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 0 ÜSLÜ SAYILAR 4 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 8 ÜSLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ 8 BİLİMSEL GÖSTERİM 9 ÜNİTE OLASILIK, İSTATİSTİK

Detaylı

10. ÜNİTE DİRENÇ BAĞLANTILARI VE KİRCHOFF KANUNLARI

10. ÜNİTE DİRENÇ BAĞLANTILARI VE KİRCHOFF KANUNLARI 10. ÜNİTE DİRENÇ BAĞLANTILARI VE KİRCHOFF KANUNLARI KONULAR 1. SERİ DEVRE ÖZELLİKLERİ 2. SERİ BAĞLAMA, KİRŞOFUN GERİLİMLER KANUNU 3. PARALEL DEVRE ÖZELLİKLERİ 4. PARALEL BAĞLAMA, KİRŞOF UN AKIMLAR KANUNU

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgelerde Eşleme 10. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bir Dans Problemi Çizgelerde Eşleme Bir Dans Problemi

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ. * I. bölgede noktalar (+,+), II. bölgede noktalar (,+), III. bölgede noktalar (, ) ve VI. bölgede noktalar (+, ) şeklindedirler.

ANALİTİK GEOMETRİ. * I. bölgede noktalar (+,+), II. bölgede noktalar (,+), III. bölgede noktalar (, ) ve VI. bölgede noktalar (+, ) şeklindedirler. ANALİTİK GEMETRİ Düzlemde (RR vea R ) iki reel saı doğrusunun sıfır noktasında dik kesişimile oluşturulan sisteme Dik Koordinat Sistemi denir. Yata eksene -ekseni ( ekseni vea doğrusu; tüm noktaların ordinatı

Detaylı

TOPLAMADA KISAYOLLAR

TOPLAMADA KISAYOLLAR ARDIŞIK SAYILARIN TOPLANMASI TOPLAMADA KISAYOLLAR 1 Kural: Gruptaki en küçük sayı ile en büyük sayıyı topla, sonucu gruptaki sayıların miktarıyla çarp ve sonucu 2 ye böl. Örneğin 33 den 41 e kadar olan

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 7 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 7 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 7 Çözümler 17 Nisan 2002 Problem 7.1 İdeal transformatör. (Giancoli 29-42) Transformatörün birincil (giriş) sargısına bağlanmış bir voltmetrenin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 2014 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri soru bankası tamamı çözümlü Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

AKIM GEÇEN TELE ETKİYEN MANYETİK KUVVETLERİN ÖLÇÜMÜ (AKIM TERAZİSİ)

AKIM GEÇEN TELE ETKİYEN MANYETİK KUVVETLERİN ÖLÇÜMÜ (AKIM TERAZİSİ) AKIM GEÇEN TELE ETKİYEN MANYETİK KUVVETLERİN ÖLÇÜMÜ (AKIM TERAZİSİ) AMAÇ: 1. Bu deneyde, düzgün ve statik bir manyetik B alanında I elektrik akımını taşıyan tele etkiyen bir kuvvet olduğunu gözlemlemek

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ ORAN-ORANTI. İlköğretim Matematik Öğretmenliği. Grup1 E N F O R M A T İ K - L A B 4

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ ORAN-ORANTI. İlköğretim Matematik Öğretmenliği. Grup1 E N F O R M A T İ K - L A B 4 AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ ORAN-ORANTI İlköğretim Matematik Öğretmenliği Grup1 2011 1 E N F O R M A T İ K - L A B 4 İçindekiler ÜNİTE HAKKINDA BİLGİ:... 3 ORAN... 3 ORANTI... 4 1)ORANTI ÇEŞİTLERİ... 5 A)DOĞRU

Detaylı

ÖSYM. T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

ÖSYM. T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ 20 AĞUSTOS 2016 Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun,

Detaylı

MALİYET MİNİMİZASYONU... 2

MALİYET MİNİMİZASYONU... 2 MAİYET MİNİMİZASYONU... 2 1. EN DÜŞÜ MAIYETTE ÜRETIM... 2 1.1. GIRDI İAMESI... 2 1.2. EŞ MAIYET DOĞRUSU... 4 1.3. EN DÜŞÜ MAIYET TENIĞI... 6 1.3.l. Girdi Fiyatlarında Değişmeler... 7 1.4. MARJINA ÜRÜN

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit. 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini

1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit. 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini 1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini bulmayı,hacim formüllerini öğrenmiştik.bu yıl geometri dersimizin ilk

Detaylı

MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ

MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ Ahmet ÇOBAN Cumhuriyet Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, SİVAS ÖZET: Bu araştırma, Matematik

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı