Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?"

Transkript

1 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne de olabilir. Mühim olan ne oldukları değil, hangi sırada olduklarıdır. Sıranın önemli olmadığı ikililere sadece ikili deriz. İkilinin birinci sıradaki elemanına birinci bileşen, ikinci sıradaki elemanına ikinci bileşen Örneğin, (a, b) sıralı ikilisinin birinci bileşeni a, ikinci bileşeni b dir. Uyarı. Sıralı ikilide (adından da anlaşılacağı üzere) sıra önemli olduğundan farklı a ve b elemanları için (a, b) (b, a) dır. Genel olarak (a, b) = (c, d) olması için a = c ve b = d olmalıdır. Tersi de doğrudur! Sıralı ikilileri bir nevi, analitik düzlemdeki noktalar olarak düşünebilirsiniz. Nasıl ki; A(1, 3) noktası ile B(3, 1) noktası farklı noktalardır, onun gibi yani. Aynı nokta olmaları için hem apsisleri hem ordinatları eşit olmalıdır. Böyle düşünmeniz kolaylık sağlar. Bu arada (a, b, c) gibi üçlüler de sıra önemli ise sıralı üçlü adını alırlar. Geometride hatırlarsanız benzer bir üçlüden bahsetmiştik. a + b = c eşitliğini sağlayan pozitif a, b, c tamsayıları için (a, b, c) üçlülerine Pisagor üçlüleri demiştik. Bileşen sayısına göre sıralı dörtlü, sıralı beşliden, genel olarak sıralı n liden de bahsedilebilir. Örnek 1. (x +, 8) = (6, y ) olduğuna göre x y farkı kaçtır? Çözüm: İki sıralı ikili eşit verildiğine göre her ikisinin hem ilk bileşenleri hem de ikinci bileşenleri eşit olmalıdır. (x +, 8) = (6, y ) (x + = 6 ve 8 = y ) olduğundan x = 4 ve y = 3 bulunur. O halde bize sorulan x y = 4 3 = 1 dir. Örnek. (x, y ) = (4, 5) eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılabilir? Çözüm: (x, y ) = (4, 5) (x = 4 ve y = 5) olmalıdır. x = 4 ise x = veya x = dir. y = 5 ise y = 5 veya y = 5 tir. Bu durumda (, 5), (, 5), (, 5), (, 5) olmak üzere 4 farklı sıralı ikili yazılabilir. Alıştırmalar 1 1. (9 x-3, ) = (7, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?. (x y, ) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? 3. (x, y, z ) = (4, 3, ) eşitliğini sağlayan kaç farklı sıralı üçlü yazılabilir? 4. Bir Pisagor üçlüsünün herhangi bir bileşeni en az kaç olabilir? 5. a 3 + b 3 = c 3 + d 3 eşitliğini sağlayan bir (a, b, c, d) sıralı dörtlüsünde bileşenler birer pozitif tamsayı ise a = 1, b = 1 için c + d toplamı kaçtır? Kartezyen Çarpım. İsminden dolayı, bildiğimiz manada bir çarpma yapacağımız aklınıza gelmesin. Belki bir çarpma yapılacak ama bu kümeler arasında olacak ve farklı kurallarla yapılacak. Nasıl ki iki sayı çarpıldığında sonuç bir sayı çıkıyordu, iki harf (değişken) çarpıldığında da sonuç harf çıkıyordu bu sefer de sonuç başka bir küme çıka-

2 cak. Bu kümenin elemanları da çarpılan kümelerin elemanlarından oluşturulmuş sıralı ikililer olacak. Tam karşılığı şöyle: A ve B boş olmayan iki farklı iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinin elemanlarından, ikinci bileşeni de B kümesinin elemanlarından olacak şekilde elde edilebilecek tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye A kartezyen B kümesi Yaptığımız işleme de A ile B nin kartezyen çarpımı adı verilir ve A B şeklinde gösterilir. Eğer birinci bileşenler B kümesinin elemanlarından, ikinci bileşenler de A kümesinin elemanlarından seçilerek sıralı ikililer yapılsaydı, bu sıralı ikililerin oluşturdukları kümeye de B A kümesi denirdi. A B = {(x, y) : x A ve y B} B A = {(x, y) : x B ve y A} Örnek 3. A = {1, } ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A B ve B A kümelerini yazınız. Çözüm: A B ve B A birer küme olduklarından, diğer kümeler kaç değişik şekilde gösterilebiliyorlarsa bunlar da o kadar farklı şekilde gösterilebilirler. Biz liste yöntemi ve Venn Şeması ile göstereceğiz. A B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (, 3), (, 4), (, 5)} B A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, ), (4, ), (5, )} Örnek 4. A B ve B A kümeleri eşit midir, denk midir? Çözüm: Bir önceki sorudaki A ve B kümelerini ele alalım. A B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (, 3), (, 4), (, 5)} B A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, ), (4, ), (5, )} idi. Fakat (1, 3) (3, 1),, (, 5) (5, ) olduğundan A B B A. Bu yüzden bu kümelere eşit diyemeyiz. Fakat eleman sayıları eşit olduğundan A B ve B A kümeleri denktirler. Sadece burada denk oldular sanmayın. Bu durumu genelleştirebiliriz: Teorem. s(a) = m ve s(b) = n ise s(a B) = s(b A) = m n dir. Kanıt: A ile B nin kartezyen çarpımında A kümesinin her elemanı B kümesinin her bir elemanı ile eşlenecek. B kümesinde n tane eleman olduğundan A kümesinin her bir elemanı n tane eleman ile eşlenecek. A kümesinde m tane eleman olduğundan bu olay m kere yaşanacak. Çarpmanın temel ilkesine göre toplam m n tane eşleme yani sıralı ikili yapılabilir. B ile A nın kartezyen çarpımında ise bu durum n m tanedir. m n = n m olduğundan s(a B) = s(b A) = m n dir. Örnek 5. A = {x : x < 5, x bir rakam} B = {y: y < 3, y + } olduğuna göre s(a B) =? Çözüm: A kümesinin elemanları 5 ten küçük olan rakamlarmış. O halde A = {0, 1,, 3, 4} olduğundan s(a) = 5 tir. B kümesinin elemanları da mutlak değerleri 3 ten küçük olan pozitif tamsayılarmış. B = {1, } olduğundan s(b) = dir. O halde s(a B) = s(a) s(b) = 5 = 10. Örnek 6. s(a) + s(b) = 6 s(a A) + s(b A) = 18 olduğuna göre s(a) kaçtır? Çözüm: s(a) = a ve s(b) = b olsun. s(a A) = a ve s(b A) = a b olur. Bize verilen denklemleri tekrar yazarsak; a + b = 6 ve a + ab = 18 olur. a + ab = a (a + b) = a 6 = 18 eşitliğinden a = s(a) = 3 bulunur. Kartezyen Çarpımın Özelikleri. i) A (B C) = (A B) C ii) A (B C) = (A B) (A C) iii) A (B C) = (A B) (A C) iv) A (B C) = (A B) (A C) v) A A = A, A A A = A 3, Örnek 7. s(a) = 3 ve s(b C) = 7 olduğuna göre s((a B) (A C)) =? Çözüm: (A B) (A C) = A (B C) olduğundan s((a B) (A C)) = s(a (B C)) olur ve s(a (B C)) = s(a) s(b C) = 3 7 = 1. Örnek 8. A B = {(, 3), (, 4), (5, 3), (5, 4)} ise A B ve A B kümelerini bulunuz. Çözüm: A B kümesinin elemanları olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A nın, ikinci bileşenleri ise B nin elemanlarıdır.

3 A = {, 5} ve B = {3, 4} olması gerektiğinden A B = {, 3, 4, 5} ve A B = olur. Örnek 9. A = {, 5} ve B = {3, 4} için A B ve B A nın grafiklerini çiziniz. Çözüm: Örnek 13. A = {1,, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaçtır? Çözüm: A B kümesinin grafiği yanda görüldüğü üzere 9 noktadan oluşmaktadır. Bu 9 noktanın hiçbirini dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı ise bu 9 noktanın oluşturduğu bir kenarı br olan karenin köşegeninin yarısıdır. Yani. Örnek 10. A = {, 5} ve B = [3, 4) için A B ve B A nın grafiklerini çiziniz. Çözüm: Örnek 14. A B = {(, 3), (3, 3), (4, 3)} B C = {(3, p), (3, q), (3, r)} olduğuna göre s(a C) =? Çözüm: A B = {(, 3), (3, 3), (4, 3)} eşitliğinden A = {, 3, 4} ve B = {3}bulunur. B C = {(3, p), (3, q), (3, r)} eşitliğinden de C = {p, q, r} bulunur. Anlayacağınız s(a) = 3, s(b) = 1 ve s(c) = 3 tür. s(a C) = s(a) s(c) = 3 3 = 9 olur. Örnek 11. A = [, 5) ve B = [3, 4) için A B ve B A nın grafiklerini çiziniz. Çözüm: 1. Alıştırmalar A = {x: x < 3, x + } B = {y: y + 1 <, y } olduğuna göre s(a B) kaçtır?. A = {,, 3, λ, {3, 1}} B = {1, λ, 3, } olduğuna göre s((a B) A) kaçtır? Örnek 1. A = [1, 3] ve B = [, 5] için A B kümesinin belirttiği dikdörtgensel bölgenin alanı kaçtır? Çözüm: Bir önceki soruda yaptığımız gibi A B nin grafiğini çizelim. Uzun kenarı 3 br ve kısa kenarı br olan bir dikdörtgensel bölge elde ederiz ki alanı 6 br olur. 3. s( A) s( C) = s( B) = 3 ve s(a B B C) = 96 ise s(b) kaçtır? 4. A B = {(1, 4), (, 4), (3, 4), (4, 4)} B C = {(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)} olduğuna göre s(a B C) kaçtır? 5. A ve B iki eşit kümedir. s((a C) (B C)) = 48 s(a) = 3 s(c) 3

4 olduğuna göre s(a B C) kaçtır? 6. Alıştırma 1 in grafiğini çiziniz. 7. A ve B kümeleri için s(a B) = 9, s(a B) = 6 ve s(b (B A)) = 16 olduğuna göre s(a B) kaçtır? 8. Sağdaki grafik A B kümesine aitse A ve B kümelerini bulunuz. 9. Sağdaki grafik B A kümesine aitse A ve B kümelerini bulunuz. 10. A = {x: kaçtır? x 1 5, x } olduğuna göre s(a A) α 10 = {(1, 4), (, 4)} α 11 = {(, 3), (, 4)} α 1 = {(1, 3), (1, 4), (, 3)} α 13 = {(1, 3), (1, 4), (, 4)} α 14 = {(1, 3), (, 3), (, 4)} α 15 = {(1, 4), (, 3), (, 4)} α 16 = {(1, 3), (1, 4), (, 3), (, 4)}. Uyarı 1. Boş küme her kümenin bir alt kümesi olduğundan, A B kümesinin de bir alt kümesidir, dolayısıyla, A dan B ye bir bağın-tıdır. Uyarı. A B kümesinin s(axb) tane alt kümesi olduğundan ve her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı dendiğinden A dan B ye s(axb) tane bağıntı yazılabilir. s(a B) = s(b A) = s(a) s(b) olduğundan B den A ya yazılabilecek bağıntı sayısı da aynı. lar yukarda liste yöntemi ile gösterilmişlerdir. Biz yine bir tanesini Venn şeması ile gösterip ayrıca grafiğini de çizelim. α 6 yi örnek alalım: BAĞINTI A ve B boş olmayan iki farklı küme olsun. A B nin her bir altkümesine A dan B ye bir bağıntı Doğal olarak, B A nın her bir alt kümesine de B den A ya bir bağıntı Örneğin; A = {1, } ve B = {3, 4} olsun. O halde A B = {(1, 3), (1, 4), (, 3), (, 4)} olur. Tanıma göre bu dört elemanlı A B kümesinin her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı Dört elemanlı bir kümenin de 16 tane altkümesi olduğundan A dan B ye 16 tane bağıntı yazılabilir. Bu bağıntılar aşağıdadır: α 1 = α = {(1, 3)} α 3 = {(1, 4)} α 4 = {(, 3)} α 5 = {(, 4)} α 6 = {(1, 3), (1, 4)} α 7 = {(1, 3), (, 3)} α 8 = {(1, 3), (, 4)} α 9 = {(1, 4), (, 3)} Örnek 15. A = {1,, 4, 8} kümesinde tanımlı β = {(x, y): x y = 8} bağıntısını liste yöntemi ile gösteriniz. Çözüm: İlk olarak A kümesinde tanımlı demek, A A nın alt kümesidir demektir. Verilen β bağıntısından da anlaşılması gereken şudur: β öyle bir bağıntıymış ki; elemanları olan sıralı ikililerin bileşenlerinin çarpımı 8 miş. Ayrıca bileşenler A kümesinin elemanları olmak zorundaymış. O halde; β = {(1, 8), (8, 1), (, 4), (4, )} dir. Uyarı 3. A A nın alt kümelerine de A dan A ya bir bağıntı ( ) a tane bağıntı yazı- s(a) = a ise A dan A ya labilir. Örnek 16. A = {x: 3 < x < 9, x } olduğuna göre A dan A ya kaç bağıntı yazılabilir? 4

5 Çözüm: A = {4, 5, 6, 7, 8} olduğundan s(a) = 5, dolayısıyla s(a A) = 5 tir. Bundan dolayı A dan A ya yazılabilecek bağıntı sayısı 5 tir. Örnek 17. A = {x: 3 < x < 9, x } B = {y: y 1, y } olduğuna göre, A dan B ye kaç farklı bağıntı yazılabilir? Çözüm: A = {4, 5, 6, 7, 8} ve B = { 1, 0, 1} olduğundan s(a) = 5 ve s(b) = 3 tür. O halde s(a B) = 15 tir. Sonuç olarak A dan B ye yazılabilecek bağıntı sayısı 15 olur. Örnek 18. Yukarıdaki şemada gösterilen α bağıntısı A B nin, β bağıntısı ise B C nin alt kümesidir. Buna göre α β kümesi kaç elemanlıdır? Çözüm: Şemaya göre; α = {(1, 4), (, ), (, 3) ve β = {(, ), (, 3), (4, 1)} olduğundan α β = {(,), (,3)} olur. O halde cevap olmalıdır. Bir bağıntının tersi. Bir bağıntının elemanları olan sıralı ikililerin bileşenlerinin yer değiştirmesi ile elde edilen yeni bağıntıya eski bağıntının tersi β = {(x, y): x A ve y B} ise β -1 = {(y, x): (x, y) β} Örnek 19. Aşağıda liste yöntemi ile verilen β = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (, 3), (, 4), (, 5)} bağıntısının tersini bulunuz. Çözüm: Yukardaki tanıma göre; β -1 = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, ), (4, ), (5, )} olur. Örnek 0. β = {(x, y): x + y = 3, (x, y) } bağıntısının tersinin kendisine eşit olduğunu kanıtlayınız. Çözüm: β = {(3, 0), (, 1), (1, ), (0, 3)} ve β -1 = {(0, 3), (1, ), (, 1), (3, 0)} olduğundan sav doğrudur. Bunu y + x = x + y = 3 eşitliğinden de görebilirdiniz. Örnek 1. A = { x: 1 < x < 1, x } kümesinde tanımlı β = {(x, y): x + y = 16} bağıntısını ve bu bağıntının tersini liste yöntemi ile yazınız. Çözüm: x ve y sayıları, β bağıntısının sıralı ikililerinin elemanı ve β bağıntısı da A kümesinde tanımlı olduğundan, x ve y sayılarına sadece A kümesinin elemanlarından değerler verebiliriz. Yani her ikisi de doğal sayıdır. y sayısı çift olduğundan x sayısı da çift olmalıdır. x = için y = 7 x = 4 için y = 6 x = 6 için y = 5 x = 8 için y = 4 x = 10 için y = 3 olduğundan; β = {(, 7), (4, 6), (6, 5), (8, 4), (10, 3)} ve dolayısıyla; β -1 = {(7, ), (6, 4), (5, 6), (4, 8), (3, 10)}. Örnek. Yukarıdaki şemada gösterilen α bağıntısı A B nin, β bağıntısı ise B C nin alt kümesidir. Buna göre α β -1 kümesi kaç elemanlıdır? Çözüm: Şemaya göre; α = {(1, 4), (, ), (, 3) ve β = {(, ), (, 3), (4, 1)} olduğunu hemen yazalım. O halde β -1 = {(, ), (3, ), (1, 4)} olduğundan α β -1 = {(1, 4)} olur. Böylelikle cevap 1 bulunur. nın özellikleri. β, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. 1) Yansıma Özelliği. x A için (x, x) β ise β bağıntısı yansıyandır ) Simetri Özelliği. (x, y) β için (y, x) β ise β bağıntısı simetriktir 3) Ters Simetri Özelliği. x y olmak üzere (x, y) β için (y, x) β ise β bağıntısı ters simetriktir 4) Geçişme Özelliği. (x, y) β ve (y, z) β için (x, z) β oluyorsa, β bağıntısı geçişkendir veya geçişmelidir Örnek 3. A = {1,, 3} kümesinde tanımlı β = {(1, 1), (, ), (1, ), (, 1), (1, 3)} bağıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçişme özelliklerinden hangisi veya hangilerini sağlar? 5

6 Çözüm: (1, 1) β ve (, ) β fakat (3, 3) β olduğundan β yansıyan değildir. Çünkü tanımında her x için bunun sağlanması gerektiği söyleniyor. Yine aynı sebepten, β simetrik de değildir, çünkü (1, 3) β ama (3, 1) β. Diğer yandan (1, ) β ve aynı zamanda (, 1) β olduğundan β bağıntı ters-simetrik de değildir. Buradan çıkardığımız ders şu olmalı: Simetrik olmayan bir bağıntıya ters-simetrik, terssimetrik olmayan bir bağıntıya da simetrik demeyeceğiz. Bir bağıntı, ne simetrik ne ters-simetrik de olabilir, hem simetrik hem ters-simetrik de olabilir. Bunlara ilerde örnekler göstereceğiz. Son olarak, (, 1) β ve (1, 3) β iken (, 3) β olduğundan β bağıntısı geçişken de değildir. Denklik bağıntısı. Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bir bağıntıya denklik bağıntısı Sıralama bağıntısı. Yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bir bağıntıya sıralama bağıntısı Örnek 4. A = {1,, 3} kümesinde tanımlı β = {(1, 1), (, ), (3, 3), (1, ), (, 1)} bağıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçişme özelliklerinden hangisi veya hangilerini sağlar? Çözüm: (1, 1) β, (, ) β ve (3, 3) β olduğundan β bağıntısı yansıyandır. (1, ) β ve aynı zamanda (, 1) β olduğundan bağıntısı simetriktir. Aynı sebepten dolayı ters-simetrik değildir. Peki, geçişken mi? (1, ) β ve (, 1) β iken (1,1) β olduğundan geçişkendir. Dolayısıyla β denklik bağıntısıdır. Örnek 5. A = {1,, 3} olduğuna göre A dan A ya kaç farklı yansıyan bağıntı yazılabilir? Çözüm: s(a A) = 9 olduğunu bir kenara yazalım. mız yansıyan olacaksa içinde el mecbur (1, 1), (, ), (3, 3) olmalıdır. Yani bu 9 elemanın 3 ü garanti. Diğer 6 elemandan 6 = 64 tane farklı bağıntı yazılabileceğinden bunların hepsi diğer 3 eleman ile birleştirilir ve bağıntılar yansıyan olur. Örnek. n elemanlı A kümesinde kaç farklı simetrik bağıntı tanımlanabilir? Çözüm: mız A A nın alt kümesi olduğundan önce A A nın eleman sayısını bulalım. s(a A) = n n = n dir. Bu n elemanın n tanesi (a, a) şeklindedir, yani bileşenleri eşittir, n n tanesinin de bileşenleri farklıdır. Hatta, a ile b yi farklı kabul edersek, n n n n tanesi (a, b) şeklinde, diğer tanesi de (b, a) şeklindedir. Simetrik bağıntının içinde herhangi bir (a, a) ikilisi sorun teşkil etmez ama (a, b) varsa (b, a) da olmak zorunda olduğundan, her bir (a, b) ile (b, a) yı bir eleman gibi kabul etmeliyiz. Biri varsa diğeri de olmalı, biri yoksa diğeri de olmamalı diye yani. n n n + n O halde, n + = elemanlı bu kümenin her alt kümesi bir simetrik bağıntıdır. Böyle n +n düşününce cevap Alıştırmalar 3 bulunur. 1. A kümesinde 16 tane bağıntı tanımlanabildiğine göre s(a A A) kaçtır?. A = {1,, 3} ve B = {4, 5} ise A dan B ye tanımlı üç elemanlı bağıntıların sayısı kaçtır? 3. Tamsayılar kümesinde tanımlı α = {(x, y): x + y = 9, (x, y) } bağıntısının elemanı sayısı kaçtır? 4. A = {0, 1,, 3, 4} kümesinde tanımlı α = {(x, y): (x y)(x + y 5) = 0} bağıntısının eleman sayısı kaçtır? 5. A = {0, 1, } kümesinde tanımlı α = {(0, 0), (1, 1), (, ), (1, ), (, 0)} bağıntısının sıralama bağıntısı olması için bu bağıntıya hangi eleman eklenmelidir? 6

7 6. A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinde tanımlı α = {(x, y): y = x + 1, (x, y) A } olduğuna göre s(α α 1 ) kaçtır? 7. A = {1,, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı α = {(x, y): x böler y, (x, y) A } bağıntısının eleman sayısı kaçtır? 8. A = {5, 6, 7, 8, 9} kümesinde tanımlı α = {(x, y): y = x 3, (x, y) A } ise α 1 bağıntısını liste yöntemi ile yazınız. 9. A = {1,, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı bir β bağıntısı yansıyan ve simetriktir. β ters-simetrik değilse eleman sayısı en az kaç olabilir? 10. Herhangi bir bağıntı ile bu bağıntının tersinin grafikleri, birbirlerinin neye göre simetrikleridir? 7

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1 NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

2013 YGS MATEMATİK Soruları

2013 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. 0 YGS + m = olduğuna göre, m kaçtır? ) ) ) D) 6 E) 7. 0 YGS a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a a = b b a.b = olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) 6 ) ) D) E). 0 YGS.(0,)

Detaylı

a) 6x6x6x6 b) 13x13x13 c) 9x9x9x9x9x9x9 tane küp olması için kaç tane daha küpe ihtiyaç vardır?

a) 6x6x6x6 b) 13x13x13 c) 9x9x9x9x9x9x9 tane küp olması için kaç tane daha küpe ihtiyaç vardır? 3BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ÜSLÜ SAYILAR TEST 1 1) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu üslü biçimde yazınız. a) 6x6x6x6 b) 13x13x13 c) 9x9x9x9x9x9x9 2) Aşağıdaki şekilde 3 3 tane küp olması için kaç tane daha küpe

Detaylı

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03.

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03. ĐZMĐR FEN LĐSESĐ SINIF MATEMATĐK ÇALIŞMA SORULARI: (Permütasyon-Kominasyon-Binom ve Olasılık) Çarpmanın Temel Đlkesi: 0 Faktöryel: 06. 06. 11. 1 11. 4. a. b. 5. c. 6. 7. 8. 16. 9. 17. 30. 31. Permütasyon:

Detaylı

Bilardo: Simetri ve Pisagor Teoremi

Bilardo: Simetri ve Pisagor Teoremi Bilardo: Simetri ve Pisagor Teoremi Meral Tosun 30 Ağustos 2015 Bilardo, uzunluğu genişliğinin iki katı olan masalarda en az 3 top ile oynanır. Oyundaki toplam top sayısına ve vuruş kurallarına göre değişik

Detaylı

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =?

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =? A=[a i j] r x r bir kare matris ise bu kare matrisi reel bir sayıya eşleyen fonksiyona determinant denir. Örnek...3 : i sanal sayı birimi olmak üzere, [ 1 i 6 2i 3+i 2+2i] matrisinin determinantı kaça

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI 7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 7.1. Sayılar ve İşlemler 7.1.1. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 7.1.2. Rasyonel Sayılar 7.1.3. Rasyonel Sayılarla İşlemler 7.1.4.

Detaylı

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik FRAKTALLAR -. Ünite 9. A seçeneğinde verilen şekil adet doğru parçası, B seçeneğinde bulunan şekil 6 adet doğru parçası C seçeneğinde bulunan şekil ise 0 adet doğru parçası kullanılarak oluşturulmuştur.

Detaylı

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ LES / İLKHR 008 İKKT! SORU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "" OLRK EVP KÂĞIIN İŞRETLEMEYİ UNUTMYINIZ. SYISL ÖLÜM SYISL- TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal ğırlıklı LES Puanınızın (LES-SY)

Detaylı

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J DERS 13 Amortize Edilmiş Analiz Dinamik Tablolar Birleşik Metod Hesaplama Metodu Potansiyel Metodu Prof. Charles E. Leiserson Kıyım tablosu ne kadar büyük olmalı? Amaç

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

Şekil 6.24. İki girişli kod çözücünün blok şeması. Tablo 6.10. İki girişli kod çözücünün doğruluk tablosu. Şekil 6.25. İki girişli kod çözücü devre

Şekil 6.24. İki girişli kod çözücünün blok şeması. Tablo 6.10. İki girişli kod çözücünün doğruluk tablosu. Şekil 6.25. İki girişli kod çözücü devre 6.C. KOD ÇÖZÜCÜLER (DECODER) İkilik sayı sisteminde kodlanmış bilgileri, anlaşılması ve değerlendirilmesi daha kolay bilgilere dönüştüren devrelere Kod Çözücü denir. Kod Çözücüler (Decoder), Kodlayıcıların

Detaylı

KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi)

KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi) KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi) 1 Giriş.. Değişkenleri nitel ve nicel değişkenler olarak iki kısımda inceleyebiliriz. Şimdiye kadar hep nicel değişkenler için hesaplamalar ve testler yaptık. Fakat

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ve birer tamsaı olmak üzere; 7 olduğuna göre, farkının alabileceği en büük değer ile en küçük değerin farkı aşağıdakilerden hangisidir? 0 8 8. 0 olmak üzere; ifadesinin eşiti

Detaylı

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır?

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır? MOD KAVRAMI (DENKLİK) a ve b tam sayıları arasındaki fark bir m pozitif tam sayısına tam bölünebiliyorsa bu sayılara m modülüne göre denktir denir ve a b(modm) yazılır. Yani m Z +,m (a b) a b (mod m) dir

Detaylı

ÜNİTE ÖĞRENME ALANI/ ALT ÖĞRENME ALANI SAYILAR Sayılar KAZANIMLAR 1. Deste ve düzineyi örneklerle açıklar. 2. Nesne sayısı 100 den az olan bir çokluğu

ÜNİTE ÖĞRENME ALANI/ ALT ÖĞRENME ALANI SAYILAR Sayılar KAZANIMLAR 1. Deste ve düzineyi örneklerle açıklar. 2. Nesne sayısı 100 den az olan bir çokluğu MATEMATİK 2. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM TOPLAM KAZANIM SAYISI 1 SAYILAR Sayılar 1-2-3-4-5 Toplama Çıkarma 1 Çarpma 1-2 GEOMETRİ Örüntü ve Süslemeler

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

t xlo ) boyutlarında bir alan yükü etkir (P k ). t xlo )+( 2 t xlo ) boyutlarında bir alan yükü etkir (P m ).

t xlo ) boyutlarında bir alan yükü etkir (P k ). t xlo )+( 2 t xlo ) boyutlarında bir alan yükü etkir (P m ). 3. KES (KİRİŞ) SİSTEM HESI 3.1 Kafes Sistem Yük nalizi Kafes kirişler (makaslar), aşıkları, çatı örtüsünü ve çatı örtüsü üzerine etkiyen dış yükleri (rüzgar, kar) taşırlar ve bu yükleri aşıklar vasıtasıyla

Detaylı

PAS oyununda, kırmızı (birinci oyuncu) ve beyaz (ikinci oyuncu) şeklinde adlandırılan 2 oyuncu vardır. Oyun şu şekilde oynanır:

PAS oyununda, kırmızı (birinci oyuncu) ve beyaz (ikinci oyuncu) şeklinde adlandırılan 2 oyuncu vardır. Oyun şu şekilde oynanır: PAS (PArola Serisi) Kişi Sayısı: 2 Yaş grubu: 10 yaş ve üstü Oyun Türü: Şifreleme PAS oyununda, kırmızı (birinci oyuncu) ve beyaz (ikinci oyuncu) şeklinde adlandırılan 2 oyuncu vardır. Oyun şu şekilde

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş 1 Matematiksel İktisat: Matematiksel iktisat ekonomik analizlerde kullanılan bir yöntemdir. Bu analizde iktisatçılar iktisat ile ilgili bir bilimsel soruya cevap ararlarken

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M)

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M) TET ÜEER ÖRNE 1: ofl kümeden farkl ve kümeleri için 3. s( ) = 4. s( ) = 5. s( ) oldu una göre, kümesinin eleman say - s en az kaçt r? ÖRNE 2: ) 12 ) 27 ) 35 D) 47 E) 60 (ÖSS - 1999) Yukar daki flemada

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

2. SINIFLAR HAYAT BİLGİSİ DERSİ TEMALARI ve KAVRAMLAR

2. SINIFLAR HAYAT BİLGİSİ DERSİ TEMALARI ve KAVRAMLAR 2. SINIFLAR HAYAT BİLGİSİ DERSİ TEMALARI ve KAVRAMLAR OKUL HEYECANIM BENİM EŞSİZ YUVAM DÜN, BUGÜN, YARIN Ders Programı Yardım Şekil Saygı Duygu Ulaşım Araçları Vücut Sağlık İletişim Nezaket Görsel Materyal

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK DEVLET KİTAPLARI BİRİNCİ BASKI..., 0 MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI... : 575 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...

Detaylı

KAZANIMLAR, ETKİNLİK ÖRNEKLERİ VE AÇIKLAMALAR I. DÖNEM

KAZANIMLAR, ETKİNLİK ÖRNEKLERİ VE AÇIKLAMALAR I. DÖNEM KAZANIMLAR, ETKİNLİK ÖRNEKLERİ VE AÇIKLAMALAR I. DÖNEM ÖĞRENME ALANI: SAYILAR 12. MATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI 29 DOĞAL SAYILAR Bu ünitenin sonunda öğrenciler; 1. Doğal sayılar

Detaylı

Proje konularından istediğiniz bir konuyu seçip, hazırlamalısınız.

Proje konularından istediğiniz bir konuyu seçip, hazırlamalısınız. 5. SINIF MATEMATİK PROJE KONULARI (2012-2013) Atatürk ün geometri alanında yaptığı çalışmaların ülkemizdeki geometri öğretimine katkılarını açıklayınız. Geometrik cisimlerin (prizmalar ve piramitler) günlük

Detaylı

uzman yaklaşımı Branş Analizi öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı Dr. Levent VEZNEDAROĞLU

uzman yaklaşımı Branş Analizi öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı Dr. Levent VEZNEDAROĞLU Branş Analizi öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı de yer alan öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı sorularının çoğunluğu kolay, bir kısmı da orta düzeydedir. Sınavda siz öğretmen adaylarını

Detaylı

Alıştırma Toleransı -TERMİNOLOJİ

Alıştırma Toleransı -TERMİNOLOJİ Alıştırma Toleransı -TERMİNOLOJİ Mil: Dış şekli belirtir. Silindirik olmayan şekilleri de kapsar. Normal Mil (Esas Mil): Bir alıştırma ş sisteminde esas olark seçilen mil. Delik: İç şekli belirtir. Silindirik

Detaylı

ŞEFKAT KOLEJİ İMFO-2015 5.SINIF MATEMATİK SORULARI

ŞEFKAT KOLEJİ İMFO-2015 5.SINIF MATEMATİK SORULARI 0 K KOLJİ İMO-015 5.SINI MMİK SORULRI 1. efkat Koleji matematik öğretmenleri hazırladıkları matematik soru bankasındaki sayfaları numaralandırmak için 88 rakam kullanmışlardır. Buna göre bu soru bankası

Detaylı

Almanca da Sıfatlar (Adjektive) ve Sıfat Tamlamaları - Genç Gelişim Kişisel Gelişim

Almanca da Sıfatlar (Adjektive) ve Sıfat Tamlamaları - Genç Gelişim Kişisel Gelişim - I. SIFATLAR Varlıkların durumlarını, renklerini, biçimlerini, sayılarını, sıralarını, yerlerini vs. özelliklerini belirten sözcüklere sıfat denir. Sıfatlar, isimlerden önce gelir ve isimlerle birlikte

Detaylı

İYON DEĞİŞİMİ AMAÇ : TEORİK BİLGİLER :

İYON DEĞİŞİMİ AMAÇ : TEORİK BİLGİLER : Gazi Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuvarı III DENEY NO : 3b İYON DEĞİŞİMİ AMAÇ : İyon değişim kolonunun yükleme ve/veya geri kazanma işlemi sırasındaki davranışını

Detaylı

. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI

. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI EYLÜL. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK İ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI VARLIKLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER KISA DÖNEMLİ 1: Varlıkları az ve çok olma durumuna göre ayırt eder. 1. Farklı miktardaki iki varlık

Detaylı

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere,

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l

Detaylı

RAKAM TANIYALIM. Filleri sayal m. 3 kez aslan gibi kükreyelim. Dört kez kanguru gibi z playal m. Keçileri sayal m.

RAKAM TANIYALIM. Filleri sayal m. 3 kez aslan gibi kükreyelim. Dört kez kanguru gibi z playal m. Keçileri sayal m. D KKAT ÇALIfiMALARI 1 2 3 1 3 1 2 3 3 2 1 2 1 2 3 Yukar daki tabloda bulunan rakamlar n kaç oldu unu ve alt ndaki iflaretlerin isimlerini söyleyelim. Her rakam n alt ndaki kutucu a ayn renk kalem ile uygun

Detaylı

Page 1. Page 3. Not: Doğrusal ölçüde uzunlukların ölçülendirilmesi şekildeki gibidir.

Page 1. Page 3. Not: Doğrusal ölçüde uzunlukların ölçülendirilmesi şekildeki gibidir. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Ölçülendirmenin Gereği ve Önemi Parçaların üretimi için gerekli değerlerin belli kurallara göre resme (görünüşlere) yansıtılması işlemine ölçülendirme denir.

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

Kesirler. Yrd.Doç. Dr. Güney HACIÖMEROĞLU BAHAR 2011

Kesirler. Yrd.Doç. Dr. Güney HACIÖMEROĞLU BAHAR 2011 Kesirler Yrd.Doç. Dr. Güney HACIÖMEROĞLU BAHAR 2011 Kesirler Kesirlere neden ihcyaç duyarız? Neden gereklidir? Kesirler Doğal sayılarla ifade edemeyeceğimiz değerleri ifade ihcyacından kesir kavramı doğmuştur.

Detaylı

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 97860518091 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

Temel Bilgisayar Programlama

Temel Bilgisayar Programlama BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin

Detaylı

III İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 ÜNİTE 2 ÜNİTE 3 FRAKTALLAR 2 YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 10 ÜSLÜ SAYILAR 14 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 18

III İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 ÜNİTE 2 ÜNİTE 3 FRAKTALLAR 2 YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 10 ÜSLÜ SAYILAR 14 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 18 MATEMATİK III İÇİNDEKİLER ÜNİTE FRAKTALLAR YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 0 ÜSLÜ SAYILAR 4 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 8 ÜSLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ 8 BİLİMSEL GÖSTERİM 9 ÜNİTE OLASILIK, İSTATİSTİK

Detaylı

http://acikogretimx.com

http://acikogretimx.com 09 S 0- İstatistik sorularının cevaplanmasında gerekli olabilecek tablolar ve ormüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir.. şağıdakilerden hangisi istatistik birimi değildir? ) Doğum B) ile C) Traik kazası

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

Biçimli ve güzel bacaklara sahip olmak isteyen kadınlar, estetik cerrahların

Biçimli ve güzel bacaklara sahip olmak isteyen kadınlar, estetik cerrahların Plastik Cerrahlar Biçimli Bacaklar için Çalışıyor Biçimli ve güzel bacaklara sahip olmak isteyen kadınlar, estetik cerrahların kapısını çalıyor. Estetik ve Plastik Cerrahi Uzmanı Prof. Dr. Akın Yücel,

Detaylı

BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI KISA DÖNEMLİ AMAÇLAR (ünite-konu amaçları)

BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI KISA DÖNEMLİ AMAÇLAR (ünite-konu amaçları) UZUN DÖNEMLİ AMAÇLAR (yıl sonunda) RİTMİK SAYMALAR BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI KISA DÖNEMLİ AMAÇLAR (ünite-konu amaçları) 100 e kadar ikişer ritmik sayar. ÖĞRETİMSEL AMAÇLAR BAŞ. BİTİŞ (Kazanımlar)

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MATEMATİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 7. kesrinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden 0 hangisidir? 0, 0 0,

Detaylı

ALES. Çıkmış Sorular. Tamamı Çözümlü

ALES. Çıkmış Sorular. Tamamı Çözümlü ALES Çıkmış Sorular Tamamı Çözümlü 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Komisyon ALES Tamamı Çözümlü Çıkmış Sorular ISBN 978-605-364-509-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2013,

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran 2006. Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran 2006. Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 006 Matematik I Soruları ve Çözümleri. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a.b b a a b olduğunu göre, a + b toplamı kaçtır? A) 3 B) 3 C) 0 D) E) 3

Detaylı

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001 T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİMDALI İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

Detaylı

11. TASARIM ŞABLONU KULLANARAK SUNU HAZIRLAMAK

11. TASARIM ŞABLONU KULLANARAK SUNU HAZIRLAMAK BÖLÜM 10 11. TASARIM ŞABLONU KULLANARAK SUNU HAZIRLAMAK Powerpoint programında hazır bulunan bir dizi renk ve metin özelliğine sahip sunu dosyalarına Tasarım şablonu ismi verilir. Kullanıcı bu dosyaları

Detaylı

Türk Musikisinde Makamların 53 Ton Eşit Tamperamana Göre Tanımlanması Yönünde Bir Adım

Türk Musikisinde Makamların 53 Ton Eşit Tamperamana Göre Tanımlanması Yönünde Bir Adım Türk Musikisinde Makamların 53 Ton Eşit Tamperamana Göre Tanımlanması Yönünde Bir Adım Türk musikisinde makam tanımları günümüzde çoğunlukla Çargâh makamı temelinde 24 perdeli Arel Ezgi Uzdilek () sistemine

Detaylı

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar. G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim.

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim. ÇARPANLAR VE KATLAR 8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade yada üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA Her doğal

Detaylı

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal

Detaylı

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE!

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE! A KİTAPÇIK TÜRÜ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI 8. SINIF MATEMATİK 2015 8. SINIF 1. DÖNEM MATEMATİK DERSİ MERKEZİ ORTAK (MAZERET) SINAVI 12 ARALIK 2015 Saat: 10.10 Adı ve Soyadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası

Detaylı

DENEY 2: PROTOBOARD TANITIMI VE DEVRE KURMA

DENEY 2: PROTOBOARD TANITIMI VE DEVRE KURMA A. DENEYİN AMACI : Protoboard kullanımını öğrenmek ve protoboard üzerinde basit direnç devreleri kurmak. B. KULLANILACAK ARAÇ VE MALZEMELER : 1. DC güç kaynağı, 2. Multimetre, 3. Protoboard, 4. Değişik

Detaylı

DENEY NO: 9 ÜÇ EKSENLİ BASMA DAYANIMI DENEYİ (TRIAXIAL COMPRESSIVE STRENGTH TEST)

DENEY NO: 9 ÜÇ EKSENLİ BASMA DAYANIMI DENEYİ (TRIAXIAL COMPRESSIVE STRENGTH TEST) DENEY NO: 9 ÜÇ EKSENLİ BASMA DAYANIMI DENEYİ (TRIAXIAL COMPRESSIVE STRENGTH TEST) 1. AMAÇ: Bu deney, üç eksenli sıkışmaya maruz kalan silindirik kayaç örneklerinin makaslama dayanımı parametrelerinin saptanması

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

Çılgın Yıldızlar. Soru:

Çılgın Yıldızlar. Soru: Çılgın Yıldızlar Ayşe'nin dört adet plastik yıldızı vardır. Her yıldızın büyüklüğü, rengi, kenar kalınlığı ve köşe sayısı farklıdır. Ayşe, yıldızlarını bu özelliklerine göre sıralamayı seviyor. Örneğin,

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

DÜZLEM AYNALAR ÇÖZÜMLER . 60 N N 45. N 75 N N I 20 . 30

DÜZLEM AYNALAR ÇÖZÜMLER . 60 N N 45. N 75 N N I 20 . 30 Tİ Tİ 49 3 75 75 4 5 5 80 80 6 35 7 8 0 0 70 70 80 0 0 80 9 0 50 0 50 0 DÜZE AAAR DÜZE AAAR BÖÜ BÖÜ AŞTRAAR AŞTRAAR DÜZE AAAR ÇÖZÜER 5 9 3 3 3 6 0 3 3 3 3 7 3 3 3 4 8 3 3 3 50 Tİ 3 5 9 6 0 3 7 4 8 Tİ 5

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

Kukla Değişkenlerle Bağlanım

Kukla Değişkenlerle Bağlanım Kukla Değişkenlerle Bağlanım Kukla Değişken Kullanım Şekilleri Ekonometri 1 Konu 29 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0

Detaylı

SAYI BASAMAKLARI. çözüm

SAYI BASAMAKLARI. çözüm SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak

Detaylı

PERĐYODĐK CETVEL. Periyodik cetvelde soldan sağa gittikçe Elementlerin enerji seviyeleri (yörünge sayıları) değişmez.

PERĐYODĐK CETVEL. Periyodik cetvelde soldan sağa gittikçe Elementlerin enerji seviyeleri (yörünge sayıları) değişmez. PERĐYODĐK CETVEL Elementlerin fiziksel ve kimyasal özellikleri ile ilgili bilgiler veren ve elementlerin artan atom numarasına göre elementlerin sıralandığı tabloya periyodik cetvel denir. Periyodik cetvelde

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız 1 b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız Bölünebilme Kuralları b Asal Sayılar, Asal Çarpanlar,

Detaylı

2010-2011 9. SINIF. Yayın Planı

2010-2011 9. SINIF. Yayın Planı 2010-2011 Yayın Planı 2010-2011 İÇİNDEKİLER 1- Yaprak ler 2- Kitaplar Soru Bankaları Anlatımlı Kitaplar 3- Sınavlar Düzey Belirleme Sınavları (DBS) Düzey Kontrol Sınavları (DKS) Deneme Sınavları Dağılım

Detaylı

SAYILAR - I 01. Doğal Sayılar ve Tam Sayılar Basamak Kavramı ve Taban Aritmetiği

SAYILAR - I 01. Doğal Sayılar ve Tam Sayılar Basamak Kavramı ve Taban Aritmetiği SAYILAR - I 01 Doğal Sayılar ve Tam Sayılar Basamak Kavramı ve Taban Aritmetiği 7 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR - I 1. (6.3 ) : 1 işleminin sonucu kaçtır? 6. x 1 A) B) 1 C) 0 D) 1 E)! İşlemde öncelik sırasına

Detaylı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı 0 dan matematik 0 dan matematik 1 çalışma kitabı Sıfırdan başlanarak matematik ile ilgili sıkıntı yaşayan herkese hitap etmesi, Akıllı renklendirme ile göz yoran değil ayrım yapmayı, istenileni bulmayı

Detaylı

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir.

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir. 2. Niceleme Mantığı (Yüklemler Mantığı) Önermeler mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığı için önermelerin niceliğini göstermede yetersizdir. Örneğin, "Bazı hayvanlar dört ayaklıdır." ve "Bütün

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan

Detaylı

Origami. Bu kitapç n sahibi. Haz rlayan: Asl Zülal Foto raflar: Burak Murat Bayram Tasar m: Ay egül Do an Bircan Çizimler: Bengi Gencer

Origami. Bu kitapç n sahibi. Haz rlayan: Asl Zülal Foto raflar: Burak Murat Bayram Tasar m: Ay egül Do an Bircan Çizimler: Bengi Gencer Origami Bu kitapç n sahibi Haz rlayan: Asl Zülal Foto raflar: Burak Murat Bayram Tasar m: Ay egül Do an Bircan Çizimler: Bengi Gencer A ustosböce i 1 2 Kâ d üçgen Üçgenin uzun kenar n n iki kö esi üçüncü

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Görünüşler - 1

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Görünüşler - 1 TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi 2/25 Görünüşler Birinci İzdüşüm Metodu Üçüncüİzdüşüm Metodu İzdüşüm Sembolü Görünüşlerin Çizilmesi Görünüş Çıkarma Kuralları Tek Görünüşle

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AINLARI NO: 177 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ AINLARI NO: 597 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analitik Geometri azar: rd.doç.dr. Nevin MAHİR Editör: Doç.Dr. Hüseyin AZCAN Bu kitabın basım, yayım

Detaylı

BAŞLARKEN Okul öncesi yıllar çocukların örgün eğitime başlamadan önce çok sayıda bilgi, beceri ve tutum kazandığı, hayata hazırlandığı kritik bir dönemdir. Bu yıllarda kazanılan bilgi, beceri ve tutumlar

Detaylı

TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLAR

TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLAR TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLAR Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 İSTATİSTİK NEDİR? Bir olay veya olguyu sayısal verilere dayanarak açıklamaktır. Metod Olarak İstatistik: İstatistiğe konu olabilen olaylara

Detaylı

OBEB - OKEK Test -1. 6. OKEK( 14, 20) kaçtır? 1. OBEB(16, 20, 48) kaçtır? 7. OBEB, 2. OBEB(56, 140, 280) kaçtır? 3. OKEK(10, 15, 25) kaçtır?

OBEB - OKEK Test -1. 6. OKEK( 14, 20) kaçtır? 1. OBEB(16, 20, 48) kaçtır? 7. OBEB, 2. OBEB(56, 140, 280) kaçtır? 3. OKEK(10, 15, 25) kaçtır? OE - OKEK Test -1 1. OE(16, 0, 8) kaçtır? A) ) ) ) 6 E) 8 6. OKEK( 1, 0) kaçtır? A) 10 ) 160 ) 180 ) 10 E) 0. OE(56, 10, 80) kaçtır? 7. OE, 15 5 kaçtır? A) 1 ) 0 ) ) 8 E) A) 75 ) 75 ) 5 ) 5 E) 5. OKEK(10,

Detaylı

5. ÜNİTE KUMANDA DEVRE ŞEMALARI ÇİZİMİ

5. ÜNİTE KUMANDA DEVRE ŞEMALARI ÇİZİMİ 5. ÜNİTE KUMANDA DEVRE ŞEMALARI ÇİZİMİ KONULAR 1. Kumanda Devreleri 2. Doğru Akım Motorları Kumanda Devreleri 3. Alternatif Akım Motorları Kumanda Devreleri GİRİŞ Otomatik kumanda devrelerinde motorun

Detaylı

01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436

01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436 01 OCAK 2015 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBA PARLAKLIĞI SALİH MERT İLİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 10/A 436 ELEKTRİK AKIMI VE LAMBALAR ELEKTRİK AKIMI Potansiyelleri farklı olan iki iletken cisim birbirlerine dokundurulduğunda

Detaylı

Ö.S.S. 2002. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S. 2002. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 00 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ., 0,,, işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 0, C) 9,9 D) 0, E), Çözüm, 0,,, 0 99 0 0 0 0 9,9. 6 :. işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) E) Çözüm 6 :. 6 :. 6 6 :.

Detaylı

ÖĞRENME ALANI : FĐZĐKSEL OLAYLAR ÜNĐTE 3 : YAŞAMIMIZDAKĐ ELEKTRĐK (MEB)

ÖĞRENME ALANI : FĐZĐKSEL OLAYLAR ÜNĐTE 3 : YAŞAMIMIZDAKĐ ELEKTRĐK (MEB) ÖĞENME LNI : FZKSEL OLYL ÜNTE 3 : YŞMIMIZDK ELEKTK (MEB) C SE E PLEL BĞLM (5 ST) 1 Dirençlerin Bağlanması 2 Özdeş mpullerin Bağlanması 3 (*) Özdeş Olmayan mpullerin Bağlanması : 4 Kısa Devre 5 Pillerin

Detaylı

Bilgisayar Teknolojileri Bölümü Bilgisayar Programcılığı Programı. Öğr. Gör. Cansu AYVAZ GÜVEN

Bilgisayar Teknolojileri Bölümü Bilgisayar Programcılığı Programı. Öğr. Gör. Cansu AYVAZ GÜVEN Bilgisayar Teknolojileri Bölümü Bilgisayar Programcılığı Programı Öğr. Gör. Cansu AYVAZ GÜVEN VERİTABANI YÖNETİM SİSTEMLERİ Varlık-İlişki Modeli Veritabanı Tasarım Aşamaları Gereksinim Analizi Seçilen

Detaylı

2. ÜNİTE ELEKTRİK DEVRESİ VE KANUNLARI

2. ÜNİTE ELEKTRİK DEVRESİ VE KANUNLARI 2. ÜNİTE ELEKTRİK DEVRESİ VE KANUNLARI KONULAR 1. Elektrik Devresi 2. Direnç ve Ohm Kanunu 3. Kirşof Kanunu 2.1 Elektrik Devresi Elektrik akımını meydana getiren elektronlar, elektrik devresinden geçerek

Detaylı

4.2. SAYISAL MANTIK SEVİYELERİ VE DALGA FORMLARI

4.2. SAYISAL MANTIK SEVİYELERİ VE DALGA FORMLARI 4. TEMEL DİJİTAL ELEKTRONİK 1 Yarı iletkenlerin ucuzlaması, üretim tekniklerinin hızlanması sonucu günlük yaşamda ve işyerlerinde kullanılan aygıtların büyük bir bölümü dijital elektronik devreli olarak

Detaylı