' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun"

Direnç Yeşil
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Fonksiyonel Analize Giriş I Aras nav Sorular (a) Normun tan m n yaz n z. (b) (X; kk) bir normlu uzay olsun. sürekli oldu¼gunu gösteriniz. ' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun 2. K n üzerindeki kk 1 ve kk 2 normlar n n denk olduklar n gösteriniz. 3. (X; kk) ve (Y; kk) iki normlu uzay ve T : (X; kk)! (Y; kk) bir lineer (do¼grusal) dönüşüm olsun. E¼ger T dönüşümü 2 X noktas nda sürekli ise X üzerinde sürekli oldu¼gunu gösteriniz. 4. (`1; kk 1 ) normlu uzay n n bir Banach uzay oldu¼gunu gösteriniz. 5. T : (C ([0; =2]) ; kk 1 )! (R; jj) ; T (x) = =2 R 0 (t sin t) x (t) dt dönüşümü veriliyor. (a) T dönüşümünün lineer (do¼grusal) oldu¼gunu gösteriniz. (b) T dönüşümünün s n rl oldu¼gunu gösteriniz. (c) T dönüşümünün normunu bulunuz.

(Y; kk) bir lineer (do¼grusal) dönüşüm olsun. E¼ger T dönüşümü 2 X noktas nda sürekli ise X üzerinde sürekli oldu¼gunu gösteriniz. 4.

2 Fonksiyonel Analize Giriş I Final S nav Sorular Aşa¼g daki kavramlar n tan mlar n yaz n z. (a) Banach uzay, (b) S n rl lineer (do¼grusal) dönüşümün normu, (c) Schauder taban, (d) (X; kk) normlu uzay n n normlu duali. 2. K n üzerindeki kk 1 ve kk p (1 < p < 1) normlar n n denk olduklar n gösteriniz. 3. Sonlu boyutlu normlu uzaylar n özelliklerinden 4 tanesini yaz n z < p < 1, 1=p + 1=q = 1 ve = ( i ) 2 `q olsun. P (a) f : `p! K; x = (x i )! f (x) = 1 i x i biçiminde bir f dönüşümünün tan mlanabilece¼gini gösteriniz. (b) f dönüşümünün lineer (do¼grusal) ve s n rl oldu¼gunu ispatlay n z. i=1 5. `n1 uzay n n dualinin `n1 oldu¼gunu gösteriniz. 6. (`2; kk 2 ) uzay n n bir Banach uzay oldu¼gunu gösteriniz. Not: Herhangi 5 soruyu yantlay n z.

K n üzerindeki kk 1 ve kk p (1 < p < 1) normlar n n denk olduklar n gösteriniz. 3. Sonlu boyutlu normlu uzaylar n özelliklerinden 4 tanesini yaz n z. 4. 1 < p < 1, 1=p + 1=q = 1 ve = ( i ) 2 `q olsun.

3 Fonksiyonel Analize Giriş I Bütünleme S nav Sorular Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n, nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) Her metrik uzay bir normlu uzayd r. (b) Bir (X; kk) normlu uzay nda B (; 1) = fx 2 X : kxk 1g kümesini kapsayan en dar alt uzay X tir. (c) Bir T : (X; kk)! (Y; kk) lineer dönüşümü noktas nda sürekli ise X üzerinde süreklidir. (d) e 1 = (1; 0; :::; 0; :::) ; e 2 = (0; 1; :::; 0; :::) ; :::; e n = (0; :::; 0; 1; 0; :::) ; ::: olmak üzere (e n ) dizisi (`1; kk 1 ) uzay n n bir Schauder taban d r. (e) Bir (X; kk) normlu uzay n n normlu duali bir Banach uzay d r. 2. (a) (C [a; b] ; kk 1 ) normlu uzay n tan mlay n z. (b) (C [a; b] ; kk 1 ) normlu uzay n n bir Banach uzay oldu¼gunu gösteriniz. 3. `n2 uzay n n normlu dualinin `n2 oldu¼gunu gösteriniz. Not: 2. ve 3. sorulardan sadece bir tanesi çözülecektir. Çözmedi¼giniz soruyu daire içine al n z.

(d) e 1 = (1; 0; :::; 0; :::) ; e 2 = (0; 1; :::; 0; :::) ; :::; e n = (0; :::; 0; 1; 0; :::) ; ::: olmak üzere (e n ) dizisi (`1; kk 1 ) uzay n n bir Schauder taban d r.

4 Fonksiyonel Analize Giriş II Aras nav Sorular (a) Düzgün s n rl l k teoreminin ifadesini yaz n z. (10) (b) Aç k dönüşüm teoreminin ifadesini yaz n z. (10) 2. (a) Hilbert uzay ne demektir? Tan m n yaz n z. (10) (b) Her Banach uzay bir Hilbert uzay m d r? Nedenleriyle aç klay n z. (10) 3. Bir X iç çarp m uzay nda, x n! x ve y n! y ise olaca¼g n ispatlay n z. (20) < x n ; y n >!< x; y > 4. X bir iç çarp m uzay ve A X olsun. A? kümesinin X uzay n n kapal bir alt uzay oldu¼gunu gösteriniz. (20) 5. H bir Hilbert uzay, Y bunun konveks bir alt kümesi ve (x n ) Y içinde bir dizi olsun. kx n k! inf fkxk : x 2 Y g ise, (x n ) dizisinin H içinde yak nsak oldu¼gunu ispatlay n z. (Paralelkenar kural n kullanarak (x n ) dizisinin bir Cauchy dizisi oldu¼gunu gösteriniz). (20)

y ise olaca¼g n ispatlay n z. (20) < x n ; y n >!< x; y > 4. X bir iç çarp m uzay ve A X olsun. A? kümesinin X uzay n n kapal bir alt uzay oldu¼gunu gösteriniz. (20) 5.

5 Fonksiyonel Analize Giriş II Final S nav Sorular Aşa¼g daki kavramlar tan mlay n z. (a) Iç çarp m (b) Dikey tümleyen (c) Birim dikey küme (d) Hilbert eşlenik dönüşümü 2. (a) Bessel eşitsizli¼gini ifade ediniz. (b) Riesz gösterim teoreminin ifadesini yaz n z. 3. H bir Hilbert uzay ve T : H! H s n rl bir lineer dönüşüm olsun. kt T k = kt k 2 oldu¼gunu gösteriniz. 4. (a) Normal dönüşüm ne demektir? (b) H kompleks bir Hilbert uzay ve T : H! H s n rl bir lineer dönüşüm olsun. dönüşümünün normal bir dönüşüm olmas için gerekli ve yeterli koşul, her x 2 H için T olmas d r. Ispatlay n z. kt (x)k = kt (x)k

(b) Riesz gösterim teoreminin ifadesini yaz n z. 3. H bir Hilbert uzay ve T : H! H s n rl bir lineer dönüşüm olsun. kt T k = kt k 2 oldu¼gunu gösteriniz.

6 Fonksiyonel Analize Giriş II Bütünleme S nav Sorular (a) Tam birim dikey küme ne demektir? Tan m n yaz n z. (05) (b) Birimsel dönüşüm ne demektir? Tan mlay n z. (05) (c) Bir vektörün Fourier katsay lar n tan mlay n z. (05) (d) Parseval özdeşli¼ginin ifadesini yaz n z. (05) 2. (a) Hahn-Banach teoreminin (normlu uzaylar için) ifadesini yaz n z. (05) (b) (X; kk) bir normlu uzay, M bunun yo¼gun bir alt uzay ve f 2 M ise f fonksiyonelinin Hahn-Banach teoremi ile elde edilen genişlemesinin tek oldu¼gunu gösteriniz. (25) 3. (a) Bir normlu uzay n hangi durumda iç çarp m uzay olabilece¼gini aç klay n z. (05) (b) (C ([a; b]) ; kk 1 ) normlu uzay n n bir iç çarp m uzay olamayaca¼g n gösteriniz. (25) 4. Bir iç çarp m uzay nda birim dikey her kümenin lineer ba¼g ms z oldu¼gunu gösteriniz. (20)

(05) (b) (X; kk) bir normlu uzay, M bunun yo¼gun bir alt uzay ve f 2 M ise f fonksiyonelinin Hahn-Banach teoremi ile elde edilen genişlemesinin tek oldu¼gunu gösteriniz. (25) 3.

Benzer belgeler

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun