1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit. 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini

Transkript

1 1-)Projenin Adı: Küre içinde gizemli piramit 2-)Giriş ve Projenin Amacı : 9. Sınıf geometri dersinde üç bouytlu cisimlerin hacmini bulmayı,hacim formüllerini öğrenmiştik.bu yıl geometri dersimizin ilk konusu olan Öklit postulatlarını öğrenirken Öklit dışı geometrilerin varlığını ve bu geometrilerden birinin de Küresel Geometri olduğunu öğrendik.buradan yola çıkarak küre ve küre içinde yapılabilecek birtakım işlemler konusunda daha fazla bilgi edinmeye karar verdim.bu noktada daha önceki bilgilerimi kullanarak küre içine yerleştirilecek üç boyutlu cisimlerin alan ve hacim hesaplamalarında bazı kolay çözümler elde edip edemiyeceğimi düşündüm ve bir küre içinde bütün köşeleri kürenin en geniş arakesiti üzerinde olan bir kare piramidin hacmini ve alanını hesaplamaya yarayacak bir formül geliştirmeye karar verdim.. Amacım, oluşturacağım formülün bu şekilde verilen geometri hesaplamalarının daha az zamanda ve daha kolaylıkla yapılmasını sağlamaktır.. Bir küre içine üç boyutlu herhangi bir şekil yerleştirilebilinir. Eğer yerleştirilen cisimlerin her köşesi kürenin yüzeyine değiyorsa ve bu cisimler, içlerinde kürenin yarıçapı ya da çapı uzunluğunda bir doğru parçası oluşturuyorsa bu cisimlerin hacimleri ve alanları r cinsinden bulunabilir. Ben bu projede bir kare piramidin alanını ve hacmini kürenin yarıçapı türünden hesaplayarak, benzer soru çözümlerinde kullanılabilecek pratik bir kural geliştirmeyi amaçladım. 1

2 3-)Ana Bölüm: Aşağıdaki resimde görüldüğü gibi, dik üçgen oluşturulmuş ve pisagor kullanılarak karenin bir kenarı ve alanı bulunmuştur.karenin bir kenar uzunluğu x olmak üzere karenin alanının : Ifadesine eşit olduğu belirlenmiştir. Taban alanı r cinsinden dir. Bunun için piramidin yüksekliğide dir. Buna göre piramidin hacim formulunden yola çıkarak: küre içine yerleştirilen piramidin hacmi şeklinde sadeleştirilebilir. Bu sefer taban alanı herhangi bir ara kesite yerleştirilmiş bir piramidi ele aldığımızda: Yarıçapına dersek ve bu çemberin kürenin kutbuna uzaklığına dersek bu piramidin hacmini bulmak için arakesitlerin yarıçaplarının oranı, arakesitlerin kürenin kutuplarına olan uzaklıkları oranına eşit olduğundan 2

3 oranı elde edilir. Bu piramidin hacim formülü: Olarak belirtilebilir Tabi burada değişkenler olacaktır, mesela: Örnek 1: / Bir Kürenin yarıçapı 10 cm dir. Bu kürenin içine her köşesi kürenin yüzeyine değen ve tabanı da kürenin en geniş arakesitinde bulunan bir kare piramit yerleştirildiğinde bu piramidin hacmi kaç cm 3 olur? Çözüm: Çıkardığımız formule bakarsak sadece yarıçap yerine verilen değeri koymamız yeterlidir. Bu formülü kullanmak karşımıza çıkan sorularda oldukça zaman farkı sağlayacaktır. 3

4 Örnek 2: Yarıçapı 8 cm olan bir kürenin içine her köşesi kürenin yüzeyine değecek bir kare piramit yerleştirilecektir. Bu piramidin tabanı kürenin herhangi bir ara kesitine yerleştirilmiş ve tabanıyla kürenin kutbu arasında 3cm mesafe olduğuna gore bu piramidin hacmi kaç cm 3 tür? Çözüm: Öncelikle bu piramidin tabanının yerleştirildiği ara kesitin yarıçapını bulmak gerekir. Yarıçap bulunduktan sonra formula uyguladığımızda bu piramidin hacmi bulunacaktır. 4

5 Piramidin yüzey alanını bulmak için önce yanal üçgenin yüksekliğini bulmamız gerekir. Bunun için önce tabanın bir kenarının yarısını alarak ve yükseklikle bir pisagor kullanmamız gerekecektir. Bu şekilde bir yanal üçgenin yüksekliği bulunmuş oldu. Bu yanal üçgenin alanını bulmak için üçgen alanı kullanılır. Piramidin yüzey alanının bulmak için taban alanı ve yanal alanlarını toplamamız gerekmektedir. parantezine alırsak şeklinde hesaplanır. 5

6 Örnek 3: Bir kürenin yarıçapı 6 cm dir. Bu kürenin içine her köşesi kürenin yüzeyine değen bir piramit konulmaktadır. Bu piramidin tabanı piramidin en geniş ara kesitine yerleştirilmiştir. Bu piramidin yüzey alanı kaç cm 2 dir? Çözüm: Çıkardığımız alan formülünde yarıçap değerini yerine koymamız yetecektir. şeklinde 3 adımda hesaplanabilinir. ( ) ( ) 4-)Sonuç ve Tartışma: Bu formüller kullanılarak, karşımıza çıkan soruların çözümlerini daha kısa sürede gerçekleştirebileceğimize inanmaktayım.günümüzde özellikle üniversite sınavlarında zamanı doğru kullanmamızın önemi düşünülürse projemde oluşturduğum formullerin ne denli verimli olduğu da daha iyi anlaşılabilir. 6

7 5-)KAYNAKÇA 1-) MEB.12.Sınıf Geometri Ders Kitabı. 2-) Küresel Geometri Bedri Süer (Hacısalihoğlu Yayıncılık). 3-)Tüm geometri Halim Özen (Özen Yayınları). 4-)Liseler için geometri (3) H. Hilml Hacısalihoğlu,Rüstem Kaya,A. Sait Karataş (MEB). 7