STATİK - MUKAVEMET 2. Rijit cisimler, Moment, Kuvvet Çifti, Eşdeğer Kuvvet Sistemleri. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

Transkript

1 STATİK - MUKAVEMET 2. Rijit cisimler, Moment, Kuvvet Çifti, Eşdeğer Kuvvet Sistemleri i Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ.

2 Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde;kuvvetleri bieşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemlerin çözmede kullanılacaktır

3 Noktasal Cismin Dengesi Denge Koşulu: Bir maddesel noktaya etkiyen bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa maddesel nokta dengededir. Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli iken halen sabit hıza sahipse dengededir. denge veya statik denge ifadesi çoğu zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır.

4 Denge durumunu korumak için Newton un birinci hareket kanununu sağlamak gereklidir: bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık dengededir. F=0 Bu formül denge için gerekli koşul olmakla kalmayıp, aynı zamanda yeterli koşuldur. Bu durum Newton un ikinci hareket kanunu ile ortaya konur. F=ma ma=0 ise a=0 Parçacık sabit hızla hareket etmekte veya durmaktadır.

5 Serbest Cisim Diyagramı Denge denklemini doğru uygulayabilmek için, parçacık üzerine etkiyen tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvetleri hesaba katmak gerekir. Bunun için parçacığı çevresinden soyutlanmış ve serbest olarak gösteren bir şema çizilir. Parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetleri gösteren bu çizime serbest cisim diyagramı denir. Serbest cisim diyagramını çizerken kullanılan iki bağlantı tipi : Yaylar İpler ve makaralar

6 Yaylar Mesnet olarak lineer elastik bir yay kullanılıyorsa, yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru orantılı olarak değişir. Yayların elastikliğini tanımlayan : yay sabiti (k) F=ks s=l-lo

7 İpler (Kablolar) ve Makaralar Tüm kabloların ihmal edilebilir bir ağırlığa sahip ve uzayamaz olduğu kabul edilecektir. Kablolar sadece çekme kuvveti taşırlar ve bu kuvvet daima kablo doğrultusunda etki eder. Şekilde herhangi bir açısında, kablo uzunluğu boyunca sabit T gerilmesi oluşmaktadır

8 Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi Öncelikle yapılması gereken; Uygun bir parçacık belirlendikten sonra buna etkiyen kuvvetleri gösterebileceğimiz serbest cisim diyagramını basit bir şekilde çizmektir.

9 Serbest Cisim Diyagramı Bir rijit cismin statik denge analizindeki ilk adım cisim üzerinde etkili olan bütün kuvvetlerin serbest cisim diyagramı kullanılarak gösterilmesidir. Cismi mesnetlendiği zeminden ve diğer bütün cisimlerden ayırınız. Rijit cismin ağırlığı da dahil olmak üzere dıs kuvvetlerin yönünü,büyüklüğünü ve uygulama noktalarını gösteriniz Cisim üzerinde etkili olan büyüklüğü ve yönü bilinmeyen kuvvetlerin tahmini yönlerini ve uygulama noktalarını gösteriniz. Bu kuvvetler genellikle zemin-rijit cisim ve diğer cisim-rijit cisim arasında oluşan tepkisel kuvvetleri içerir. Kuvvetlerin olusturduğu momentleri hesaplamak için gerekli olan ölçüleri ekleyiniz.

10 Serbest Cisim Diyagramı

11 Serbest-Cisim Diyagramı: Seçilen parçacık üzerinde sadece kuvvetleri gösteren çizim.

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22 C noktasının serbest cisim diyagramını çiziniz

23 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri kuvvetlerin dengede olması için vektörel toplamın sıfır olması gerekir. Bu vektörel denklemin sıfıra eşit olması için x ve y bileşenleri sıfıra eşit olmalıdır. Bu iki denklem en çok iki bilinmeyen kuvvetin bulunması için kulanılır. Denklemlerde kuvvetlerin yönleri de dikkate alınmalıdır. F=0 Fx=0 Fy=0

24 Skaler gösterim Bileşenlerin gösteriminde skaler notasyon kullanılacaktır. Her bir bileşenin yönü serbest cisim diyagramında bileşenin ok yönüne karşı gelen bir cebirsel işaret ile ifade edilir. Bir kuvvet bileşeninin işareti bilinmiyorsa, alınan yön pozitif olur, çözüm negatif çıkarsa kuvvet yönünün ters olduğu anlaşılır. Fx=0 F+10=0 F=-10 N

25 Örnek Problem D silindiri 60 kg dır. BA ve BC kablolarında oluşan çekme kuvvetlerini bulunuz.

26 Çözüm

27 Örnek Problem 8 kg lık lambanın şekildeki gibi taşınabilmesi için AC kablosunun uzunluğu ne olmalıdır? AB=0.4 m (deforme olmamış boy)l

28 Çözüm

29 Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Parçacık dengesinin sağlanması için: Parçacık üzerine etkiyen kuvvetler i, j, k bileşenlerine ayrılırsa: Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamlarını göstermektedir, 0 dır. Bu denklemler ile en fazla 3 bilinmeyen kuvvet bulunabilir.

30 Örnek Problem 40 N luk sandığı taşımak için kullanılan kablolarda oluşan kuvvetleri bulun

31 Çözüm

32 Çözüm (devam)

33 Elemanter mekanikte birçok cisim rijit kabul edilir. Gerçekte ise her cisim kuvvet etkisi altında az yada çok şekil değiştirir.eğer cismin denge şartları etkilenmiyorsa ve şekil değiştirmeler çok küçükse cisim rijit kabul edilebilir. Bu bölümde; rijit cismin üzerine etki eden kuvvetlerin etkisi ve birden fazla kuvvetin yerine eşdeğer bir kuvvet sistemi tanımlanacaktır. Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti Bir kuvvetin bir eksene göre momenti Kuvvet çifti nedeniyle moment tanımlanacaktır. Bir rijit cisme etki eden kuvvetler sistemi yerine belli bir noktada etki eden bir kuvvet ve kuvvet çifti sisteminden oluşan bir eşdeğer kuvvet sistemi uygulanabilir.

34 İç ve Dış Kuvvetler Rijit cisimler üzerinde etkili olan kuvvetler genelde iki guruba ayrılabilir : - Dıs kuvvetler -İç kuvvetler (rijit cismi olusturan parçacıkları bir arada tutan kuvvetlerdir) Dıs kuvvetler bir serbest cisim diyagramında gösterilir. R1 ve R2 kuvvetleri, W kamyon ağırlığına tepki olarak yol zemininin tekerlere uyguladığı kuvvetlerdir. Eğer bir tepkisi oluşmuyorsa her bir dıs kuvvet doğrusal harekete, dönme hareketine veya her ikisine yol açabilir.

35 Tasınabilirlik Kuralı : Esdeğer Kuvvetler Tasınabilirlik Kuralı Hareket veya denge sartları bir kuvveti etki çizgisi boyunca tasımaktan etkilenmez. DİKKAT: F ve F esdeğer kuvvetlerdir. F kuvvetinin etki noktasını kamyonun arka tamponuna tasımak hareketi veya kamyona etki eden diğer kuvvetleri etkilemez. Tasınabilirlik kuralı özellikle deformasyonların ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde her zaman uygulanamaz.

36 Kuvvet Sistemleri Bir kuvvetin bir nokta veya eksene göre momentinin bulunması Bir noktadan geçmeyen kuvvet sistemlerinin bileşkelerinin bulunması Kuvvet çiftinin oluşturduğu momentin bulunması İki ve üç boyutlu kuvvetler için moment hesaplanması Moment bir cismi döndürmeye çalışır, denge ise cismin dönmemesini gerektirir. Bir cisme bir kuvvet uygulandığında, cismi etki çizgisinin dışında bir nokta etrafında döndürmeye çalışır. Bu döndürme eğilimine tork veya daha sık kullanıldığı şekliyle moment denir.

37 Bir kuvvetin momenti Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti (M), kuvvetin cismi o nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsünü gösterir. Momentin şiddeti, F kuvvetinin şiddeti ile orantılıdır ve F kuvvetine dik olan moment kolu d ile orantılıdır. (b) de moment kolu daha kısa! d =dsin (d <d) (c) de =0 d =0 M=0

38 Moment yok F: yatay kuvvet D: kuvvetin O noktasına mesafesi Mo=O noktasına göre moment

39 Moment:Bir kuvvetin bir cismi herhangi bir eksen etrafında döndürme etkisine (eğilimine) moment denir. Bu etki F in şiddetine ve dönme eksenine olan dik mesafeye (moment kolu) d bağlıdır.

40 Bir kuvvetin tatbik edildiği cismi sabit bir eksen etrafında döndürme eğilimine kuvvetin o eksene göre momenti denir. Momentin şiddeti:m=fd Yönü sağ-el kuralı ile belirlenir dönme yönü Moment vektörel bir büyüklüktür; yönü ve şiddeti vardır. Yönü saat ibresi yönünde veya saat ibresinin tersi yönde sağ-el kural ile belirlenir.

41 Moment daima F ve d yi içeren düzleme dik bir eksen etrafında etkimektedir. Ve bu eksen düzlemi, O noktasında kesmektedir. Şiddeti M 0 = F. d olan momentin doğrultusu sağ el kuralı kullanılarak belirlenir.

42 Vektörel çarpım (çapraz çarpım) Bir kuvvetin momenti, kartezyen vektörler kullanılarak ifade edilebilir. Bundan önce vektör çarpımında kullanılacak olan çapraz çarpıma bakalım. A ve B vektörlerinin vektörel (çapraz) çarpımı sonucu C vektörü elde edilir. C=AxB C vektörünün şiddeti de şu şekilde bulunabilir C=A xbsin

43 YÖN: C vektörünün yönü, A ve B vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir. Sağ el kuralı ile belirlenir Parmaklarımızı A dan B ye doğru kıvırdığımızda başparmağımızın gösterdiği yön C vektörünün yönünü gösterir C=(A xbsin )u c C vektörünün yönü, uc birim vektörüyle karakterize edilebilir

44 1. Vektörel Çarpım 2.Dağılma özelliği 3. Skaler çarpım

45 Vektörel çarpımın (kartezyen)dik koordinatlar cinsinden ifadesi Kartezyen birim vektörlerinin çapraz çarpımlarını bulmak için:

46 Determinantlar sayesinde A ve B vektörleri bulunur Determinant hesabı için minörlerin bulunması

47 Bir kuvvetin momenti: Vektör formülasyonu Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti M=rxF O noktasında F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine olan pozisyon vektörü Vektörel çarpım ile belirlenen moment doğru şiddet ve doğru yöne sahip olacaktır.

48 Şiddet M=rxF M=rF sin M=F(rsin )=Fd = r ve F vektörleri arasındaki açı d = dik mesafe Yön Sağ el kuralına göre momentin yönü belirlenir. rx F F x r

49 Taşınabilirlik (Transmisibilite) ilkesi F kuvveti etki çizgisinin herhangi bir yerine etkiyebilir, ve O noktasında aynı moment etkisini yaratır. Vektörel çarpım işlemi, üç boyutlu problemlerde sıklıkla kullanılır. Çünkü kuvvetin etki çizgisinden O noktasına olan dik mesafeyi bulmaya gerek yoktur. O noktasından F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine ölçülen r vektörü moment hesabı için kullanılabilir

50 Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti F in A noktası etrafındaki momenti (MA moment vektörü); Moment yönü sağ el kuralı ile bulunur 2D görünüm Burada r A noktasından başlayıp F in etki çizgisi üzerindeki herhangi bir noktada biten bir konum vektörüdür. MA momentinin şiddeti (MA),

51 Bir kuvvetin bir eksene göre momenti Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti esaplanırken,moment ve moment ekseninin, kuvvet ve moment kolunu içeren düzleme daima dik olduğu unutulmamalıdır. Bazen bu momentin, söz konusu noktadan geçen belirli bir eksen üzerindeki bilesenini bulmak gerekebilir. Skaler veya vektörel analiz kullanılabilir. Bulonu gevsetebilecek moment y ekseni etrafındaki My momentidir. x ekseni etrafında olusan momentin bulonu gevsetmeye bir etkisi yoktur.

52 Skaler çarpım F kuvvetinin y ekseni etrafında moment yaratan moment kolu: dy=dcos olduğuna göre, M= Fdy = F(dcos ) olarak bulunur.

53 Vektörel çarpım Şekilde gösterilen F kuvvetinin y eksenine göre momentini bulmak için önce, F kuvvetinin y ekseni üzerinde herhangi bir nokta O ya göre momenti bulunur Mo momentinin y eksenine göre izdüsümü olan My bileseni (y ekseni etrafındaki moment) ise skaler çarpım kullanılarak bulunur. (sonuç skaler)

54 Örnek Problem : O noktasına göre momenti hesaplayınız:

55 Örnek Problem : O noktasına göre momenti hesaplayınız

56 Örnek Problem : O noktasına göre momenti hesaplayınız

57 Örnek Problem : Şekildeki sistemde A, B, C ve D noktalarında oluşan momentleri bulunuz.

58 Ödev: O noktasına göre momenti bulunuz.

59 Ödev: A noktasına göre momenti bulunuz

60 VARİGNON TEOREMİ Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, bu kuvvetin bileşenlerinin yine aynı noktaya göre momentlerinin toplamına eşittir.

61 Varignon Teoremi Yani bir vektörün bir noktaya göre momenti, bileşenlerin bu noktaya göre momentlerinin toplamına eşittir.

62 Birden fazla eş zamanlı kuvvetin bileşkelerinin verilen bir O noktasına göre momenti bu kuvvetlerin aynı O noktasına göre momentlerinin toplamına eşittir.

63 Bu teorem ikişer, ikişer kuvvetler için peşpeşe uygulanarak ikiden çok kuvvet ve onların bileşenleri için ispat edilebilir. Yani bir noktada kesişen birçok kuvvetin herhangi bir noktaya göre momentleri toplamı aynı noktaya göre bileşke kuvvetin momentine eşittir. Bu teorem hem bağlı hem de kayıcı vektörlere uygulanabilir.

64 Varignon teoreminden yararlanarak bileşke kuvvetin bir noktaya göre momenti yerine bu kuvvetin bileşenlerinin aynı noktaya göre momentlerini almak çoğu zaman daha elverişli olmaktadır.

65 Uzay kuvvet sistemleri için varignon teoremi genelleştirilirse bileşenleri Fx, Fy, Fz olan ve uzayda A (x, y, z) noktasına etki eden bir kuvvetin eksenlere göre momentleri yazılabilir. Bunlar;

66 Varignon Teoremi

67 Varignon Teoremi Örnek Problem

68 Örnek Problem

69 Skaler yol : Örnek Problem : F kuvvetinin O noktasına göre momentini skaler ve vektörel çaroım metotlarını kullanarak bulunuz Vektörel çarpım yolu

70 Kuvvet Çifti Bir kuvvet çifti şiddetleri eşit fakat yönleri zıt iki paralel kuvvetten meydana gelir. Yani, kuvvet çiftinin momenti moment merkezinden (referans O noktası) ba ımsızdır. Bu nedenle kuvvet çiftinin momenti bir Serbest Vektör dür

71 Kuvvet Çifti Skaler Çarpım Kuvvet çiftinin momenti: M = Fd F= kuvvetlerden birinin büyüklüğü d= kuvvetler arasındaki dik uzaklık (moment kolu) Kuvvet çifti momentinin doğrultu ve yönü sağ el kuralı ile belirlenir. Vektörel çarpım Kuvvet çiftinin momenti vektörel (çapraz) çarpımla: M =r F

72 Esdeğer (Denk) Kuvvet Çiftleri İki farklı kuvvet çifti, aynı şiddet ve yöne sahip moment etkisi yaratıyorsa, bu iki kuvvet çiftine eşdeğer kuvvet çifti denir. Vektörel olarak:

73 Örnek Problem: Şekilde verilen 400 N luk yatay kolu O noktasına (e de er bir kuvvet ve moment çifti olarak) indirgeyiniz.

74 Sisteme birden çok kuvvetin etkimesi durumunda ise momentler toplanır +M RO = Fd Momentlerin Toplanması

75 Kuvvetin bir noktadan bir noktaya taşınması

76 KUVVET ÇİFTLERİ Zıt yönlerde etkiyen eşit iki kuvvetten meydana gelen sisteme kuvvet çifti denir. Burada dengelenmiş bir moment bulunmaktadır. Moment Merkezi, Kuvvetlerin arasında veya dışında yada kuvvetlerden biri üzerinde alınsa yine aynı şiddette ve aynı döndürme yönünde kuvvet çifti elde edilir. M0= -(OA)F+F.(OB) M0 = ( O A).F +(O B).F FM0= F.a M0 = F.a

77 Çift kuvvet elemanı Rijit cisim dengesinin iki durumuna özel dikkat gösterilmelidir. iki-kuvvet elemanı sadece iki noktasında kuvvetlere maruz kalan bir rijit cisimdir. Bu kuvvetlerin F1 ve F2 bileskeleri aynı büyüklüğe ve aynı etki çizgisine sahip olmalı ama ters yönlü olmalıdır.

78 Çift kuvvet elemanı F1 ve F2 kuvvetlerine maruz bir plaka veya parçada Statik denge için A noktasına göre momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. F2 nin momenti sıfır olmalıdır. Bu da F2 nin etki çizgisinin A noktasından geçmesi demektir. Benzer sekilde, F1 in etki çizgisi B noktasına göre momentlerin toplamının sıfır olması için B noktasından geçmelidir. Herhangi bir yöndeki kuvvetlerin toplamının sıfır olma gerekliliği şu sonucu doğurmaktadır: F1 ve F2esit büyüklükte ama ters yönlü olmalıdır

79 Kuvvetler Sisteminin İndirgenmesi F1, F2 ve F3 ün O ya taşınması Eşdeğer bir kuvvet ve momente indirgeme Kuvvet ve Momenti tek kuvvete indirgeme

80 Örnek Problem: Şekildeki plakaya etkiyen kuvvet çifti ve kuvvetleri eş değer bir kuvvete indirgeyiniz.

81 Tek kuvvete indirgeme: Bunun için dört metot kullanılabilir

82 x=0 için y=3.54 m bulunur. y=0 için x= m bulunur. Skaler çözümle aynı sonuçlar elde edilir. Daha genel bir yaklaşım için vektörel analiz kullanılabilir: burada r, O dan başlayıp R nin ekti çizgisi üzerindeki herhangi bir noktada biten bir konum vektörüdür.

83 Örnek Problem Ağırlığı ihmal edilen ve boyu L olan bir çubuk bir pim ile şekilde görüldüğü gibi zemine bağlanmıştır. Ayrıca çubuğun üst kısmı da bir kablo ile zemine bağlanmıştır. Eğer çubuğun ortasına bir F kuvveti yatay olarak uygulanırsa; a) Teldeki çeki kuvvetini b) Çubuğa ve civataya etkiyen yatay ve dikey kuvvet bileşenlerini bulunuz.

84 Çözüm

85 Çözüm

86 Örnek Problem Verilen kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini O ya indirgeyiniz. F1= 2 kn F2= 3 kn M1= 5 knm M2= 10 knm

87

88

89 Örnek Problem Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini A ya indirgeyiniz. A da doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.

90

91

92 Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini A ya indirgeyiniz. A da doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.

93

94

95 Örnek Problem A(-3, 2, 0), B(0, 0, 6), C(2, -3, 0), D(0, -3, 0) Ağırlığı500N olan OB çubuğu yukarıda koordinatları verilen üç tel halatla A, C, D noktalarına sabitlenmiştir. Sistemin dengede kalabilmesi için halat germe kuvvetlerinin minimum ne olması gerektiğini hesaplayınız.

96

97

98 Örnek Problem: 500 N luk bir kuvvet aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi 45cm lik bir çubuğa etki etmektedir. 500 N un A noktasına göre oluşturduğu momenti aşağıda verilen metotları kullanarak hesaplayınız : 1. Kuvvetin dikey bileşenini bularak. 2. Mesafenin dikey bileşenini bularak. 3. Kuvvetin ve mesafenin dikdörtgensel bileşenlerini kullanarak. 4. Vektörel çarpımı kullanarak.

99 Örnek Problem Verilen kuvvetin meydana getirdiği momenti hesaplayınız: a) Kuvvetlerin A noktasına göree b) Kuvvetlerin noktasına göre

100 Örnek Problem Şekildeki ABC kolu için serbest cisim diyagramını çiziniz.

101 Örnek Problem Şekildeki cisimlerin serbest cisim diyagramını çiziniz. Cisimlerin ağırlıklarını dikkate almayınız

102 Örnek Problem şekildeki cisimlerin serbest cisim diyagramını çiziniz. Cisimlerin ağırlıklarını dikkate almayınız

103 Örnek Problem şekildeki 600 N luk kuvvetin O noktasına göre momentini 5 farklı yolla bulalım. Çözüm: Bu problemi beş farklı yol ile çözebiliriz I. Yol