BÖLÜM 5 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM 5 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ"

Transkript

1 BÖLÜM 5 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 5.- Kısm dferansyel denlemlern türler 5.- Elpt denlemler 5.. Levha boynca sıcalı dağılımının hesaplanması 5.. İteratf yöntemler 5.. Lebmann yöntemnde yaınsamanın hızlandırılması 5..4 Posson denlem 5..5 Türev cnsnden sınır oşl Değşen yönlü apalı formülasyon (ADI) yöntem 5.- Parabol denlemler 5.. Isı denlemnn çözümü 5.. Cran-Ncolson yöntem 5.. Teta yöntem 5.4- Hperbol denlemler 5.4. Ttreşen yay problem: 5.4. D Alembert çözümü 5.4. Başlangıç anında hızların sıfır olmaması hal İ boytl dalga denlem E- Sonl far formülasyonları

2 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü BÖLÜM 5 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 5. Kısm dferansyel denlemlern türler Kısm dferansyel denlemler üç tp olara sınıflandırılır. ve y değşenlerne bağlı olara A By Cy F şelnde tanımlanan nc dereceden br polnomn eğrs adr br eğrdr. B eğr: B 4 AC < se br elpstr B 4 AC se br paraboldür B 4 AC > se br hperboldür. ve y bağımsız değşenlernn fonsyon olan br değşen çn nc dereceden br ısm dferansyel denlem genel olara A B y C y f ( y ) şelnde tanımlandığında benzer termnolo llanılara denlemn B 4 AC < se elpt B 4 AC se parabol B 4 AC > se hperbol oldğ fade edlr. Kısm dferansyel denlemler çeştl tpte sınır şartlarıyla brlte verlr. Sınır şartı cnsnden verlmşse Drchlet tp sınır şartı olara nn gradyantı cnsnden verlmşse Nemann tp sınır şartı olara adlandırılır. ve gradyantı brlte verldğ tatrde arışı sınır şartı söz ons olr. Elpt denlemler potansyel adı verlen br büyülüğün bölge çnde değşmn temsl ederler. Potansyel br büyülüğün esafetn (sılığını) ölçer. Örneğn sıcalı ve onsantrasyon brer potansyel büyülütür. Bağımlı değşen potansyeln herhang br notada sınırda değerlere bağlı olara aldığı denge (eqlbrm) veya dam-drm (steady state) değerlern belrtr. Dolayısıyla elpt denlemler aynı zamanda potansyel denlemler olara da adlandırılır. Elpt denlemn -boytl hal çn genel tanımı y f ( y / / y ) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

3 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü şelndedr. Potansyeln farlı br başlangıç drmndan tbaren erştğ dam drm değerler br parabol denlemle temsl edlr. Dolayısıyla b denlemler t zaman değşenn de bağımsız değşenlerden br olara çerr. Gerçete başlangıç drmndan tbaren zaman lerledçe nha denge drmna doğr adım adım lerlenr. Öneml br parabol denlem cρ t olp b denlem br çb boynca sıcalığın çlarda şartlara bağlı olara zamanla nasıl değştğn temsl etmetedr. Brada c ρ ve büyülüler parametreler olp sırasıyla ısıl apaste yoğnl ve ısıl letenl atsayısını belrtmetedr. B örnete A B ve C ve dolayısıyla B - 4AC olp parabol le aynıdır. B denlem ısı denlem olara adlandırılır. Aynı denlem cρ/ yerne D yayınım (dfüzyon) atsayısı olma üzere /D onlması halnde yayınım (dfüzyon) denlem olara adlandırılır. B baımdan cρ/ atsayısı da bazen ısıl yayınablrl (dfüzvte) olara adlandırılır. Üçüncü tp (hperbol) denlemler de zamana bağlıdır. Dalgaların nasıl yayıldığını fade ettlernden dalga denlem olara adlandırılırlar. Br boytl halde yayların ttreşmn gösterr. Ttreşen br yay çn ısm-dferansyel denlem Tg w t şelnde olp brada T g ve w büyülüler sırasıyla yayda gerlmey yer çem vmesn ve brm znl başına ağırlığı belrtmetedr. Bütün b parametreler poztf büyülüler olp A B C< ve B - 4AC > dır. B bölümde ısm dferansyel denlemlern sayısal çözümler çn llanılan tenler zah edlecetr. B yöntemler denlemler yerne sonl-far eşdeğerlern llanırlar. 5. Elpt denlemler: Elpt ısm dferansyel denlemlern standart bçm vardır. İ-boytl halde Laplace denlem c c y a y y Posson denlem c c a f ( y ) y Brada c c y ve a sstemn parametreler olp y ve değşenlerne bağlı olablrler. se çersnde değer blnma stenen büyülü yan potansyeldr. Laplace denlem çoğ zaman potansyel denlem olara adlandırılır. Brada daha zyade c c y c sabt a oldğ özel br halle lglenlecetr b drmda yarıda denlemler y y c ve c f ( y ) şelne gelr. Brada parantez çersnde geçen nc-dereceden türevlern toplamı çoğ zaman M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

4 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü y şelnde br sembolle gösterlr b ² sembolü Laplasyen olara adlandırılır. Laplace denlemnn br ço yglaması vardır. Bnlardan brs de boytl br csm üzernde dam-drm sıcalı dağılımıdır brada ncelemelerde örne model olara çoğ nsanın olaylıla gözünde canlandırableceğ b problem ele alınacatır. Şel 5. de ünform τ alınlığında ddörtgensel br levha yer almatadır. Levhanın O le belrtlen sol alt öşes başlangıç notası olma üzere düzenlenen br (y) artezyen oordnat sstemnde sol alt öşes P(y) notasında yer alan ve (ddyτ) enar znllarına sahp br hacm elemanını ele alalım. Hacm elemanına doğrltsnda brm zamanda gren ısı O y d dy τ A ( τdy ) Şel 5. şelnde fade edleblr. Elemandan doğrltsnda brm zamanda çıan ısı se d estnde gradyant hesaplanara ( τ dy) d ( τ dy) d şelnde gösterleblr. Benzer şelde elemana y doğrltsnda brm zamanda gren ve çıan ısılar da sırasıyla olacatır. ( τd ) y dy y y y y y ( τd ) dy ( τd ) Hacm elemanının ayrıca alt ve üst yüzeylernden ısı aybı oldğ varsayılırsa b yolla brm zamanda çıan ısı Q d dy şelnde belrtleblr. Brada Q büyülüğü brm zamanda brm yüzey başına (alt ve üst yüzeyden) ısı aybını belrten br atsayıdır. Dam-drmda elemana gren ve çıan ısılar toplamı eşt olacağından: y y y ( τdy ) ( τd ) ( τdy ) d ( τd ) dy Q d dy şelnde br denge denlem yazılablr. B denlem sadeleştrmeler ve düzenlemeler sonc M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

5 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 y Q τ (5.) şelne gelr. -boytl halde b denlem yerne benzer br ncelemeyle y z Q denlem elde edleblr. Brada Q büyülüğü brm hacm başına brm zamanda aybolan ısıyı belrtr. (B drmda ısı aybı genellle csm çne gömülü br soğtc vasıtasıyla olmatadır.) (5.) denlemn Laplasyen operatörünü llanara ısaca Q τ şelnde de fade etme mümündür. Şayet levhanın alınlığı ve y le değşyorsa (5.) denlem yerne τ τ Q y y τ (5.) şelnde br denlem yazılablr. Hem levhanın alınlığı ve hem de ısıl letenl atsayısı değşen se b defa τ τ τ τ Q τ y y y (5.) şelnde br denlem elde edleblr. 5.. Levha boynca sıcalı dağılımının hesaplanması: (5.-) denlemlernden büyülüğünü elde etmenn standart yol hesap bölgesn br ağ sstemyle sonl sayıda elemana bölere herbr eleman üzernde türevlern sonl-farlarla fade edlmesdr. Brada ncelemede merez farlar llanılaca ve elemanların bütün hesap bölgesnde eşt büyülüte are elemanlar oldğ yan ağ notalarının eşt aralıla dağıldıları abl edlecetr. Levha ddörtgensel oldğ ve en/boy oranı ygn seçldğ tatrde b drm olaylıla sağlanablr. Eleman enar znlları ısaca yh olara gösterlecetr. Şelde problemn ayrılaştırılması çn llanılan ağ sstem ve ağ düğüm notalarının ndsleme sstem gösterlmetedr. N - y yh P h - N Şel 5. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

6 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 5 Türevlern sonl far açılımlarının Taylor serler yardımıyla elde edlmes mümündür. B onyla lgl blgler E 5 de yer almatadır. değşennn ve y ye göre nc türevlernn herhang br P notası cvarında merez far açılımları sırasıyla ( ) ve y ( y ) olp b drmda nn Laplasyen çn y h ( ) 4 (5.4) elde edlr. Örne: cm genşlte ve cm yüselte br düz levhanın üst ve alt yüzeylernn zole edldğn varsayara üst alt ve sol enarlarında sıcalı C sağ enarında sıcalı C en levhanın.5 cm aralıla belrlenmş notalarında sıcalıları hesaplayınız. B problem (5.) denlemnn Q özel halnde N h y yh P denlemyle ncelenecetr. B denlemn sayısal çözümü çn şelde gösterldğ gb br ağ yapısı llanılablr. B ağ yapısında notalar.5 cm aralıla yerleştrldğnden toplam 7 adet ç nota ve 4 adet de sınır notası mevcttr. Denlem b ağın br P notası cvarında - - N 4 h 4 (5.5) şelnde ayrılaştırılablr. Görüldüğü gb ayrılaştırılmış denlem P notasında blnmeyen sıcalı değern b notanın sol sağ üst ve altında yer alan notalarda yne blnmeyen sıcalı değerlerne bağlamatadır. Yan denlemde 5 adet blnmeyen blnmatadır. Ayrılaştırılmış denlem bütün ç notalarda yazılaca olp böylece adet denlem elde edlecetr. İç notalardan br ısmı (6 adet) sınıra omş notalar olp b notalarda yazılan denlemlerde sınır notalarda blnen sıcalı değerler de yer almatadır. Örneğn P notasında ayrılaştırılmış denlem 4 4 şelnde olacatır. Brada ve 4 değerler sınırlar üzernde blnen sıcalılar oldğ çn denlemn sağına yazılmıştır. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

7 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 6 Blnmeyen sıcalı değerler sadece ç notalarda olp toplam blnmeyen sıcalı sayısı dr. Yan denlem sayısına eşttr. İç notaların ve sınır notalarının lstes aşağıda tabloda görülmetedr: U 4 U 4 U 4 U 4 U 44 U 54 U 64 U 74 U 84 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Denlemler ç notalarda (U U U U U ) şelnde br sıra zlenere yazılır ve olşan denlem sstem de matrs bçmnde düzenlenrse aşağıda gb matrs eştlğ elde edlr. -4 U -4 U -4 U -4 U 4-4 U 5-4 U 6-4 U U -4 U -4 U -4 U 4-4 U 5-4 U 6-4 U U -4 U -4 U -4 U 4-4 U 5-4 U 6-4 U 7 - B denlem sstemnn Gass elmnasyon yöntem le çözümünden elde edlen sonçlar aşağıda tabloda snlmştr B denlem sstemnn atsayılar matrs 5 dyagonall br bant matrs olp çözümü çn Gass elmnasyon yöntemnn daha özel br şel llanılablr. Levha üzernde sıcalı dağılımını daha hassas şelde hesaplama çn ağ yapısı daha sıılaştırılablr. Hassasyet arttırmanın br dğer yol da Laplasyen hesaplaren P notasının sağ sol alt ve üst tarafında yer alan omş notalar yanında çaprazda dğer 4 notayı da (sol ve sağda alt ve üst öşelerde yer alan notalar) atara 9 notalı br ayrılaştırma llanmatır. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

8 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü İteratf yöntemler: Yarıda örnete llanılan çözüm tenğyle lgl en öneml sorn hassasyet arttırma çn ağ yapısı ço sılaştırıldığında ço büyü boytl matrslere htyaç doğmasıdır. h.5 cm hücre genşlğ çn elemanlı br atsayılar matrs olştrlmştr. Hücre genşlğ yarıya ndrlere h.5 cm yapıldığı tatrde atsayılar matrsnn boyt 5 5 olacatır. Hücre genşlğnn br ez daha yarıya ndrlere h.65 cm yapılması halnde se matrs boyt olacatır. Matrsn boytnn ço büyü olması hem ço büyü blgsayar hafızası hem de ço büyü şlem zamanı geretrecetr. Oysa yarıda örnete oldğ gb b tp problemlerde arşılaşılan matrsler genellle seyre (çoğ elemanı sıfır olan) matrslerdr. Ve seyre matrs sstemlernn çözümü çn deal ten teratf yöntemlerdr. Yarıda örnete elde edlen (5.5) denlem 4 şelnde düzenlenere Lebmann yöntem olara blnen br teratf ten yglanablr. Böylece herhang br adımda blnen sıcalı değerler olma üzere br sonra adımda sıcalılar yarıda formül vasıtasıyla (5.6) 4 şelnde hesaplanablr. Herhang br terasyon adımında hesap notasının sağında ve üstünde değerler çn önce terasyon adımında blnen değerler alınıren solnda ve altında değerler çn b terasyon adımında hesaplanan yen değerler alınmatadır. Sınıra omş notalarda b formül yglanıren sınır notalarında değerler sınır oşllarından blnmetedr. İterasyonn başlangıcında sadece sınır değerler blnmete olp ç notalarda değerler çn br tahmnde blnma geremetedr. Başlangıç değerlern eyf (örneğn bütün ç notalarda sıfır) alma mümündür. Anca ygn değerler alınması (örneğn sınır değerlern br ortalaması) terasyon sayısını azaltacatır. Aşağıda tabloda 8 terasyondan sonra. hassasyetle yaınsamış çözüm sonçları yer almatadır. \ Lebmann yöntemnde yaınsamanın hızlandırılması: Lebmann yöntemnn yaınsamasını ardarda aşırı gevşetme sccessve overrelaaton (SOR) yöntem yglayara hızlandırma mümündür. Lebmann yöntem çn SOR yöntem 4 w 4 M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

9 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 8 terasyon formülüyle yglanır. Brada w büyülüğü aşırı gevşetme çarpanı olara adlandırılır. Yarıda örne problemde aşırı gevşetme çarpanının çeştl değerler çn. hassasyetle yaınsamanın sağlandığı terasyon sayıları aşağıda tabloda snlmştr. Aşırı gevşetme çarpanı İterasyon sayısı Aşırı gevşetme le terasyon sayısının hayl azaldığı görülmetedr. Anca aşırı gevşetme çarpanının büyü değerlernde terasyon sayısının terar arttığı dat çemetedr. Aşırı gevşetme çarpanının optmm değer her zaman olaylıla tahmn edlemez. Uygn değer blma çn terasyonn başlangıcında braç adıma at sonçları llanan bazı yöntemler mevcttr. Drchlet tp sınır oşllarının llanıldığı ddörtgensel br hesap bölges çn önerlmş br yöntem [ ( π / p ) cos( π / q) ] ω 6ω 6 cos (5.8) denlemnn en üçü öüdür. Brada p ve q büyülüler hesap bölgesnn her yönde hücre sayılarını belrtmetedr. Örne problem çn b denlemn öler. 66ω 6ω 6 ω. 668 ω olp üçü ö çn blnan değer yarıda tabloda elde edlen sonçları doğrlamatadır. Ntem aşırı gevşetme çarpanı çn.668 değer llanılara terasyonn 5 adımda yaınsadığı tespt edlmştr Posson denlem: Posson denlem R şelnde olp brada R büyülüğü (y) onmnn br fonsyon olablr. Laplace denlemnn çözümünde llanılan yöntemde fa br değşl yapara Posson denlemn çözme mümündür. Örne: Ddörtgensel estl br çbğn est boytları 6n 8 n dr. B çb çn brlma fonsyonn çözünüz. Çbğn brlması halnde teğetsel gerlmeler brlma fonsyonnn ısm türevleryle orantılı olp brlma fonsyon çn ϕ şelnde br denlem elde edlr. Sınır oşl çb estnn enarlarında φ şelndedr. B denlemn çözümü çn bast açı terasyon formülü ϕ ϕ ϕ ϕ h ϕ 4 şelnde veya SOR terasyon formülü ϕ ϕ ϕ ϕ 4ϕ h ϕ ϕ ω 4 M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

10 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 9 şelnde yazılablr. h n olma üzere olştrlan br ağ yapısı çn optmm aşırı gevşetme çarpanı.8 olp b değer llanılara 4 terasyonda. hassasyetle yaınsayan çözüm sonçları aşağıda tabloda snlmştr. \ Türev cnsnden sınır oşl: Bazı problemlerde sınırlarda fonsyonn türev cnsnden (Nemann tp) veya arışı tpte sınır şartı söz ons olablr. Sınır oşlları genel br bçmde A B C ' şelnde fade edleblr. Brada A B ve C büyüler brer sabttr. - Drchlet tp sınır oşl çn C - Nemann tp sınır oşl çn A B / ' B / C A - Karışı tpte sınır oşl çn A B C B bağıntı örneğn br yüzeyden ısı aybı çn A H B H s C alınara ' H ( ) s şelne gelr. Örne: Kalınlığı.5cm olan 5cm 9cm boytlarında düz levhanın dam-halde sıcalı dağılımını hesaplayınız. Levhanın her yernde Q.6 cal/cm³s büyülüğünde ısı üretm olp alt enarda T/y5 şddetnde br ısı aybı mevct en yan enarlar C sabt sıcalıta ttlmatadır. Üst enarda se çevre le - T/yH (TO-T s ) formülü yarınca ısı alışverş söz onsdr. Brada (ısıl letenl atsayısı).6 H (ısı transfer atsayısı).7 ve T s (çevre sıcalığı) 5 C dır. TO büyülüğü levhanın zn üst enarında sıcalıları belrtmetedr. Levha yüzey zole edmş olp çevre le ısı alışverş yotr. Hücre genşl ve yüsellern eşt ve cm alınız. Levha çnde ısı üretm söz ons oldğndan b problemn çözümünde llanılaca denlem br şaret farıyla (5.) denlemnn benzer olp T τ Q şelnde br Posson denlemdr. B denlem merez farlarla ayrılaştırılara M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

11 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü T T T T 4T Q h τ bçmnde yazılablr. Denlem düzenlenere T T T T T 4T Qh T ω 4 4τ şelnde br SOR terasyon formülü elde edleblr. N -.6 (T/y).7 (-5) Probleme lşn sınır oşlları yanda şel N - üzernde belrtlmştr. T Levhanın yan yüzlernde Drchlet tp sınır oşl b enarlarda düğüm notalarında sıcalılar sabt C sıcalıta ttlara gerçeleştrlecetr. B değerler ve N - ndsl düğüm notalarında - denlemlerde yer alacatır. T/y 5 N N - T Levhanın alt enarında T/y5 şelnde sıcalı gradyantı cnsnden br sınır şartı verlmş olp b gradyant ndsl düğüm notaları le çevre ortamda levha enarından h adar zata yer aldığı varsayılan - ndsl hayal düğüm notaları arasında T T 5 y h T T h şelnde hesaplanara şlemlere atılablr. (Brada sıcalı gradyantı poztf en ısının levhadan çevreye doğr -negatf y yönünde- aacağı dolayısıyla ısının problemde belrtldğ gb aybedleceğ görülmetedr.) B drmda levhanın alt enarı boynca ( ndsl düğüm notalarında) sıcalılar T T T T T 4T Qh T ω 4 4τ T T h Levhanın üst enarında sınır oşl y H ( ) T O T s şelnde verlmştr. Brada sıcalı gradyantı levhanın üst enarına omş (N - ndsl) düğüm notaları le yne çevre ortamda levhadan h zalıta hayal düğüm notaları (N ndsl) arasında T y T h N N şelnde hesaplanara sınır oşlnda llanılırsa T T H T T N N hh ( N ) s TN ( ) y h TN TN T s M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

12 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü elde edlr. B drmda levhanın üst enarında (N ndsl) düğüm notalarında sıcalılar T T N T N T N T N 4T N Qh T ω 4 4τ N N hh T T T T N N N s bağıntılarıyla hesaplanır. Aşırı gevşetme çarpanının ω.4 değer çn 59 terasyon soncnda. hassasyetl yaınsama le elde edlen sonçlar aşağıda tabloda yer almatadır. \ Değşen yönlü apalı formülasyon (ADI) yöntem B bölümün başında ısm dferansyel denlemler sonl farlarla doğrdan çözülmeye çalışıldığında atsayılar matrs seyre olan denlem sstemler ortaya çımıştı. Kllanılan ağ notası sayısı arttırıldıça b seyrel oransal olara artacatır. Örneğn düğüm notası halnde atsayılar matrsnn elemanlarının %8 sıfır en düğüm sayısı 5 oldğnda sıfır eleman sayısı %96 ya çımatadır. düğüm notalı üç boytl br problemde se sıfırdan farlı eleman sayısı sadece %. dr. İ- ve üç-boytl problemlerde atsayılar matrs sadece seyre olmayıp ayrıca bant şelndedr. Yan sıfır olmayan elemanlar dyagonale paralel bell genşlte br bant bölgenn çnde almatadır. Bant matrsler çözen özel yöntemler gelştrlmştr. Anca bazı hallerde bant genşlğ büyü olmata ve çözüm güçleşmetedr. Sadece üç-dyagonall sstemlern bast ve etn br çözümü mümündür. İ- ve üç-boytl problemler üçdyagonall denlem sstemlerne ndrgeyere çözmenn br yol değşen yönlü apalı formülasyon (Alternate Drecton Implct ADI) yöntem llanmatır. N yh P h Yöntem açılama çn Laplace denlem örne olara alınırsa denlemn şelde gb br ağ yapısında herhang br P notası etrafında sonl far ayrılaştırması - - N T T T T T T T ( ) ( y) şelnde yapılablr. yh alınması halnde b büyülüler denlemden atılara M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

13 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü ( ) ( ) T T T T T T yazılablr. B denlemn teratf çözümünde herhang br terasyon adımı aşamalı olara gerçeleştrleblr. Önce y doğrltsnda türev önce adımdan blnen değerlerle ve doğrltsnda türev de yen adımda hesaplanaca olan değerlerle fade edlere / ( T T T ) ( T T T ) (... NI ) şelnde br denlem sstem daha sonra da bnn ters yapılara / ( T T T ) ( T T T ) (... NJ ) şelnde br dğer denlem sstem elde edlr. Dat edlrse her denlem sstem de üçdyagonall denlem sstemlerdr. İ sınırda (brnc sstem çn ve NI de nc sstem çn ve NJ de) sınır değerler verldğnde Thomas yöntem llanılara çözüleblrler. y çözümün blndğ düğüm notası çözümün arandığı düğüm notası NJ y NJ - y NJ - - NI - - nc adım (y yönünde apalı şema le çözüm) NI - ıncı adım (bütün düğüm notalarında çözümler blnyor) NI ½ nc adım ( yönünde apalı şema le çözüm) B denlem sstemlernden l doğrltsnda aynı sırada düğüm notalarında yazılmış denlemler fade etmetedr. Denlem sstem önce sınıra omş l sırada () yazılıp Thomas yöntemyle çözülür. Aynı şlem nc üçüncü ve daha sonra sıralar çn dğer sınıra omş en son sıraya (NJ-) adar gerçeleştrlr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

14 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü Daha sonra yön değştrlere benzer şlemler y yönünde denlem sstem çn terarlanır. Yan önce sınıra omş sıra () çn ardından nc üçüncü ve dğer sınıra omş sıraya (NI-) varıncaya adar bütün sıralar çn denlem sstem yazılıp çözülür. B -aşamalı teratf çözüm tenğ yeterl br yaınsama elde edlnceye adar terarlanır. Örne: 6cm 8cm boytlarında br düz levhanın zn olan üst enarı C sağ enarı 5 C ve dğer enarı da sıfır derece sıcalıta ttlmatadır. Levha yüzey zole edlmş olp çevre le ısı alışverş yotr.dam-drm sıcalı dağılımını ADI yöntemn llanara cm aralılarla hesaplayınız. terasyon adımı soncnda. hassasyetle yaınsamış çözüm sonçları tabloda snlmştr. \ Parabol denlemler: Kısm-dferansyel denlemlern parabol araterde nc sınıfı tp örneler madde yayınımı veya bölge çnde ısı aışı oldğndan genellle yayınım denlem veya ısı denlem olara adlandırılır. Brada ncelemelerde de örne olara ısı problemler ele alınacatır. Bnların daha öncelerden farı artı dam drm problem olmayıp zamana bağlı yan sıcalığın zamanla değştğ problemler olmasıdır. İl olara br çb boynca br-boytl ısı aışı problem ele alınacatır. Şayet zaman yeternce zn ttlr ve sıcalılar dam-drm şartlarına erşrse b problem de daha önce elpt problem örneğyle özdeş olr. Şelde L znlğnda br çb üzernde d genşll br çb elemanı şaretlenmştr. Çbğn çevresnn zole oldğ ve b yüzden çevreyle ısı alışverş olmadığı varsayılmatadır. esen çb boynca soldan sağa doğr yönlenmş olp esen boynca Gren ısı Çıan ısı d L dt A d formülü yarınca amata olan ısı [cal/s] olara ölçülmetedr. Brada es şaretnn ısının sıcatan soğğa doğr amasıyla lgl oldğ blnmetedr. d znlğnda çb elemanının sağ tarafından çıan ısı da A d d T dt d d şelnde fade edleblr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

15 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 Dam-drmda b çb elemanına gren ve çıan ısılar eşt olr. Zamana bağlı olayda se çb elemanına brm zamanda gren ısı le çıan ısı arasında far b süreçte çb elemanının bünyesnde depolanan ısıya eşt olacatır. Depolanan b ısı da çb elemanının sıcalığını arttıracatır. Çb elemanının sıcalı değşmyle lgl olara brm zamanda depolanan ısı mtarı elemanının hacm (A*d) malzemenn yoğnlğ (ρ) ve malzemenn ısıl apastesne (c brm ütle ve brm sıcalı başına depolayabldğ ısı - cal/gr C) bağlıdır: dt c ρ ( Ad ) dt B üç fade llanılara dt dt d T A A d d d d c ρ dt ( Ad ) dt veya b eştl düzenlenere d T d dt c ρ dt (5.) denlem elde edlr. İ- veya üç-boytl halde de b denleme eşdeğer T dt c ρ dt (5.) denlem elde edlr. Bazı hallerde malzeme homoen olmayablr. Böylece ısıl özelller onma bağlı olara değşeblr. Bazı hallerde de malzeme çnde Q [cal/s cm³] büyülüğünde br ısı üretm olablr. B gb drmlar çn de yarıda denlemler yerne T T T ( y z ) ( y z ) ( y z ) c( y z ) ρ( y z ) y z dt şelnde br denlem yazma mümündür. Brada örneler bast ttlara sadece (5.) ve (5.) denlemleryle lglenlecetr. Yarıda bütün denlemler de onm dışında ayrıca zamana bağlıdır. B denlemlern bell br başlangıç zamanında verlen başlangıç şartlarıyla başlatılması gereldr. Ayrıca sınır değerlernn blnmesne de htyaç vardır. Dolayısıyla b tp problemler onma göre sınır değer zamana göre de başlangıç değer problem olara ntelendrlmeldr. dt 5.. Isı denlemnn çözümü: Çb boynca ısı aışı nedenyle sıcalığın zamanla değşm problemn çözme çn üç farlı yöntem ncelenecetr. Üç yöntemde de benzer nota olara onmsal türevler merez farlarla ayrılaştırılmatadır. Yöntemlern farlılıları se zamansal türevlern ayrılaştırılma şelnden aynalanmatadır. Önce açı formülasyon (eplct method) ncelenecetr. B yöntemde zamana göre türev ler farlarla T t T T t (5.) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

16 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 5 şelnde ayrılaştırılmatadır. B fade notasında t anında zamana göre türev fade ederen T büyülüğü b notada t anında sıcalığı T büyülüğü se t (veya t t) anında sıcalığı belrtmetedr. B yöntemde onmsal türev se t anında notası etrafında merez farlarla T T T ( ) T (5.4) şelnde ayrılaştırılmatadır. Yöntem ayrılaştırma şel nedenyle lteratürde çoğ zaman FTCS (Forward Tme Central Space) yöntem olara da adlandırılmatadır. Zamanda ayrılaştırma brnc dereceden oldğ çn hata O( t) mertebesnde en onmda ayrılaştırma nc dereceden oldğ çn hata O( )² mertebesnde olmatadır. Hata mertebelernde b farlılı yöntemn ararlılığı üzernde et yaratmatadır. Ayrılaştırılmış türevler (5.) denlemnde yerleştrlere d T d dt c ρ dt T T T T cρ ( ) t T veya düzenlenere elde edlr. Brada ( r ) T rt T rt (5.5) r cρ t ( ) dr. (5.5) bağıntısı çözümü zamanda t adım znlğ le lerleten br bağıntı olp çözüm br tt başlangıç anında T sıcalığının bütün notalarında blnen başlangıç değerler le başlatılmatadır. Sonra zaman adımlarında önce adımda blnan sıcalılar ve sınır oşlları gereğ çbğn cnda blnen sıcalı değerler llanılmatadır. Yönteme açı (eplct) şema denlmesnn neden notasında sıcalığın önce adımdan ve sınır oşllarından blnen sıcalı dğerler llanılara doğrdan hesaplanablmesdr. Örne cm alınlığında ço genş br çel levha çnde sıcalı dağılımını zamanın fonsyon olara hesaplayınız. Çel çn. cal/s cm C c. cal/gr C ve ρ7.8 gr/cm³ olara verlmştr. Levha ço genş oldğ çn yanal doğrltlarda ısı aışları hmal edlere sadece levha yüzeylerne d doğrltda ısı aışı date alınacatır. t anında levha çnde sıcalı dağılımı ve sınır oşlları da T() T() - T() C ve T() C olara verlmştr. Levha alınlığını 8 e bölere.5 alınız. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

17 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 6 Problemn çözümünde t zaman adımının büyülüğü r büyülüğünün seçmne bağlıdır. r.5 alınması halnde (5.5) denlem ( ) T 5. T T (5.6) şelne gelr. Zaman adımı da r t cρ ( )... (. ) rcρ t. 6 s. olr. (5.6) bağıntısı llanılara çeştl zaman adımlarında elde edlen çözümler aşağıda tabloda gösterlmştr. Levhanın alt ve üst yarılarında çözümlern smetr olması nedenyle tabloda levhanın sadece üst yarısında sonçlara yer verlmştr. r zaman adımı t sayısal sayısal analt sayısal sayısal analt B problemn oşlları gereğ t çn dam-drma erşleceğ ve her yerde sıcalığın C olacağı açıtır. Tabloda değerler de bn doğrlamatadır. Yapılan nceleme sonc sıcalıların 85 nc zaman adımında. hassasyetle sıfıra erştğ görülmüştür. Sayısal değerler genel olara analt değerler zlemete sadece br dalgalanma göstermetedr. Bn yarıda graften de far etme mümündür. B grafte sürel M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

18 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 7 çzgler analt çözümler dareler de üçgenler se.5 de sayısal çözümler belrtmetedr. Şayet r büyülüğünün.4 ve.6 gb farlı değer çn hesaplar terarlanırsa ( b drmda t zaman adımı da değşecetr) lgnç sonçlar tespt edleblr. r.4 çn sayısal değerler ço daha doğr olmata analt çözümle farlar başlangıç adımlarında yarı büyülüte en lerleyen adımlarda onda br büyülüğe adar nmetedr. r.6 çn se son derece hatalı sonçlar elde edlmetedr. Sadece 8 zaman adımından sonra bazı çözümler negatf olmatadır. Çözümde ararsızlı olmaması çn r nn alableceğ en büyü değer r.5 olmatadır. 5.. Cran-Ncolson yöntem: r>.5 oldğnda ararsızlığın neden zaysal ve zamansal türevlern sonl far ayrıştırmalarında mertebelern farlı olmasıdır. Cran-Ncolson yöntem b sonl far açılımlarını aynı mertebeye getren br tentr. Zamansal türevn sonl-far açılımı T t / T T t şelnde zaman aralığının ortasında (t / anında) alınmış br türev olara düşünülürse b açılım merez farlarla yapılmış br ayrılaştırma olara değerlendrleblr. B drmda onmsal türevn ayrılaştırması da aynı zaman adımında (yan t / anında) gerçeleştrleblr. Bnn çn ²T/² türev br ez zaman adımının başlangıcında ve br ez de sonnda ayrılaştırılara b snn artmet ortalamasından yararlanılır: t anında t anında t / anında T T T T ( ) T T T T ( ) T ( T T T ) ( T T T ) ( ) Ayrılaştırılmış türevler denlemde yerleştrlere ( T T T ) ( T T T ) T T t cρ ve b denlem düzenlenere ( ) rt r T rt rt r T rt (5.7) elde edlr. Brada t r cρ ( ) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

19 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 8 B denlem her br P notasında br ez yazılara LT DT UT R... NI şelnde br denlem sstem elde edlr. Brada NI (... ) (... ) (... ) L L r D r NI NI U U r NI R rt r T rt rt R rt r T rt... NI R rt r T rt rt NI NI NI NI NI dr. B denlem sstemnn atsayılar matrs üç-dyagonalldr ve Thomas yöntemyle çözüleblr. B ten apalı (mplct) formülasyonl br yöntem olp en öneml avantaı r nn herhang br değer çn ararlı olmasıdır. Yöntem örne olara br önce örnete ele alınan problem çn yglanmış olp levhanın ortasında (.) çeştl zaman adımlarında r.5 ve r. çn elde edlen sonçlar aşağıda tabloda snlmştr. r.5 r. Comman t analt sayısal hata t analt sayısal hata Tabloda ayrıca oransal hatalara da (sayısal sonçlarla analt sonçlar arasında farların analt sonçlara oranı) yer verlmştr. r.5 çn hatalar %.-.7 arasında en r. çn %.9-.6 arasındadır. Her halde hatalar da daha önce açı formülasyonla r.5 çn hesaplanan değerlerden üçütür. 5.. Teta yöntem: Cran-Ncolson yöntemnde zamana göre türevn merez far açılımı zaman aralığının ortasında olara yormlanmıştı. Teta yöntemnde daha genel br yalaşım yapılara b türev zaman aralığının ortasında değl ama daha farlı br notasında değerlendrlmetedr. Yan t M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

20 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 9 zaman aralığının br θ esr alınara zamana göre türevn sonl far açılımının b notada alındığı varsayılmata onma göre türevn de zaman aralığının başında ve sonnda açılımlarının b çarpana göre ağırlılı ortalamaları alınmatadır: ( θ)( T T T ) θ( T T T ) T T t cρ ( ) B bağıntıda θ.5 alınması halnde terar Cran-Ncolson yöntemne dönüleceğ θ çn açı formülasyonn ve θ çn de apalı formülasyonn elde edleceğ görülmetedr. Yarıda bağıntı t zamanında blnmeyenler cnsnden düzenlenere rθt rθ T rθt rθt r θ T rθt (5.8) elde edlr. B denlem yne Cran-Ncolson yöntemnde oldğ gb bütün notalar çn br ez yazılara üç-dyagonall br denlem sstem elde edlr ve Thomas yöntemyle çözüleblr. Brger (987) çözüm çn optmm br değern θ/ cvarında elde edleceğn belrtmştr. B yöntem çn de örne olara yarıda problem ele alınmış olp r.5 olma üzere levhanın orta çzgsnde (.) θ nın çeştl değerler çn zaman adımında elde edlen sonçlar aşağıda tabloda snlmştr. r.5 sayısal çözümler hatalar t analt η / η / θ nın seçlen örne değerler arasında en az hatanın θ.5 çn (Cran-Ncolson çözümü) elde edldğ yan belrtldğ gb optmm değern <θ</ aralığında oldğ görülmetedr. Optmm değern tam olara blnması çn θ nın başa değerlernn denemes geremetedr. 5.4 Hperbol denlemler Kısm türevl dferansyel denlemlern üçüncü br sınıfı olan hperbol denlemler çoğ ez zamana bağlıdır. Br ortam çersnde ttreşmlern ve özellle dalgaların nasıl yayıldığını tanımlarlar. B nedenle de dalga denlemler olara adlandırılırlar. Dalga denlemlernn en bast brs br-boytl halde salınım yapan yay problemne at olanıdır. İ-boytl halde br davlcnn ttreştrdğ davl zarı örne olara düşünüleblr. Üçboytl haln hayal edlmes braz daha zor olsa da örne olara şeffaf br elatn çersnde br sıvı çersnde sspansyon halnde yer alan taneclern elatn zarfa br çarpma oldğnda M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

21 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü hareet problem alınablr. Her üç halde hareetlern de sürtünme vvetlernn etsyle zaman çersnde sönümleneceğ söyleneblr Ttreşen yay problem: Hperbol ısm-dferansyel denlemlere br örne olara sabt ç notası arasında gerlmş olan br yayın oslasyon hareetlern modelleyen -boytl dalga denlem date alınablr. Şelde br yay ç notalarını brleştren doğrya göre ötelemeler ço abartılmış olara gösterlmetedr. Yayın A ve B gb yaın notası arasında alan d znlğnda br elemanı şelde ayrıca büyütülmüş olara gösterlmştr. A ve B notalarında teğetlern eğm açıları sırasıyla α A ve α B le belrtlmş olp yayın eğlmelernn de abartılı oldğna dat edlmeldr. Yayın ötelemeler cn brleştren doğrya d olara ölçülmete olp le gösterlecetr. Yaya etyen gerlme vvet A ve B notalarında T le belrtlmştr. A B α A A B α B T L d T Yarı doğr vvetler poztf şaretl olma üzere yay elemanının her cna etyen vvetlern düşey bleşenler sırasıyla Tsnα Tsnα (5.9) A B olacatır. Ötelemelern şel üzernde aşırı abartılı gösterldğ terar hatırlatılara açıların aslında ço üçü oldğ belrtlrse açıların tanantları le snüsler aynı abl edleblr. Bna göre TsnαA T tanαa T A TsnαB T tanαb T T d B A ve böylece yay elemanına düşey yönde etyen net (bleşe) vvet de T d olr. Şmd düşey doğrltda Newton ann yglanara b vvet yayın ütles le vmenn çarpımına eştlenrse w yayın brm znl başına ağırlığı olma üzere wd T d g t veya düzenlenere Tg t w (5.) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

22 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü elde edlr. B denlem nc-dereceden ısm dferansyel denlemlern standart bçm çn daha önce tanımlanan denlemle arşılaştırılırsa A B C-Tg/w oldğ ve b büyülülerle brlte b denlemn hperbol denlemler sınıfına grdğ görülür. Br yay yerne gerlmş br membran (davl zarı gb) date alınırsa (5.) denlem Tg t w (5.) şeln alır. (5.) ve (5.) denlemlernn çözümü sınır oşllarını ve t anında başlangıç oşllarını sağlamalıdır. Problem t zamanına göre nc dereceden oldğ çn başlangıç oşlları yayın bütün notalarında başlangıç hızlarını ve başlangıç vmelern çermeldr. Ttreşen yay problemnn sayısal çözümü (5.) denlem türevler sonl-far yalaşımıyla ayrılaştırılara çözüleblr. Ayrılaştırmalar zayda hesaplanmış zaman adımında merez farlarla ( ) şelnde ve zamanda da hesaplanmış zaman adımı etrafında merez farlarla şelnde yapılara t ( t) Tg ( t) w ( ) sonra zaman adımında ötelemeler çn veya düzenlenere elde edlr. Şayet ( t) Tg w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w Tg t Tg t ( ) ( ) Tg t w t w Tg alınırsa ( b değer ararsızlığın olmayacağı en büyü değerdr) denlem (5.) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

23 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü şelne gelr. B son denlem zamanda nasıl lerleneceğn açı br bçmde göstermetedr. Bna göre yayın br notasında ötelemenn yen br zaman adımında hesaplanması çn omş notaların br önce zaman adımında ötelemeler toplanara hesap notasında zaman adımı önce ötelemenn değer bndan çıartılmatadır. Yan herhang br zaman adımında hesaplamalar çn daha önce zaman adımına at değerlere geresnm olmatadır. Yarıda hesaplama tenğnn anca nc zaman adımından tbaren yürütülebleceğ açıtır. Bnn çn de t anında ve t t l zaman adımında ötelemelern blnmes gerer. Anca brada t t l zaman adımında ötelemelern nasıl elde edleceğ hss açı değldr. Zra yarıda hesaplama tenğne göre l zaman adımında hesaplama yapılablmes çn t anında ve bndan daha önce (!) br t- t anında ötelemelern blnmes gerer. Aslında ttreşen br yayın salınımlarının zamana göre peryod br fonsyon oldğ date alınırsa ortada öneml br sorn olmadığı görülür. Bna göre problemn başlangıç anı eyf br an olp çözüm çn b anda hızların ve vmelern blnmes geremetedr. Başlangıç anında hızlar verldğ tatrde t- t anında ötelemeler blnablr. Hızlar ötelemelern zamana göre türev olp başlangıç oşllarından brs olara hızların t t da g olara verldğ varsayılırsa b türev çn merez farlarla ayrılaştırma yapılara veya g t t g t ve b fade de (5.) denlemnde llanılara elde edlr. g t (5.) Bna göre l zaman adımı çn (5.) denlem ve daha sonra bütün zaman adımları çn de (5.) denlem llanılara çözüm gerçeleştrleblr. Örne: Br bano yayı 8 cm znlğnda ve gr ağırlıta olp 4 gr lı br vvetle gerlmştr. Br cndan cm mesafede br notadan denge onmna ıyasla.6 cm çelere bıraılmıştır. Yay boynca ötelemeler zamanın fonsyon olara hesaplayınız. Çözüm çn l adımda (5.) ve daha sonra adımlarda da (5.) denlemn llanınız. Hesaplamalarda cm alınız. Yay çeldten hemen sonra bıraıldığı çn başlangıç hızları sıfır alınacatır. Ötelemelern her 6 adımda br terarlandığını gösternz. Verlen büyülülerle zaman adımı w / 8 t. 79 s Tg 4 98 M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

24 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü ve başlangıç hızları sıfır olp g l zaman adımında ötelemeler ve sonra zaman adımlarında ötelemeler şelnde hesaplanacatır. Başlangıçta ötelemeler çn de.6 cm verlmş olp bna göre dğer hesap notalarında ötelemeler < çn > çn (-) şelnde hesaplanablr. Çeştl zaman adımları çn elde edlen sonçlar tabloda yer almıştır. çeştl onmlarında değerlernn zamanla değşm Tablodan görüldüğü gb yay 6 t zaman adımından sonra terar es onmna gelmete ve daha sonra da aynı hareet terar etmetedr. Bna göre hareetn freansı hesaplanırsa f 5 hz elde edlr. Fzte b dalga hareet çn verlen standart formül yglanırsa f Tg hz L w 8 / 8 şelnde aynı sonç elde edlr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

25 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 Görüldüğü gb yglanan sayısal yöntem freanslar çn tam (eact) sonç vermştr. Çözüm yöntemnn ararlı oldğ da anlaşılmatadır. Ötelemeler çn blnan çözümlern ne adar doğr oldğ se zleyen bölümde analt çözümle daha y anlaşılacatır D Alembert çözümü Ttreşen yay problem aslında analt çözümü elde edleblen br problemdr. B analt çözüm D Alembert çözümü olara blnr. Yayın ötelemeler çn çözümün F ve G eyf fonsyonlar olma üzere ( ) t F ct G ct (5.4) şelnde oldğn varsayalım. B fadenn zamana ve onma göre nc türevler hesaplanırsa F ct G ct Fc ' Gc ' t ct t ct t c ( F' ' G' ' ) F ct G ct F' G' ct ct F' ' G' ' ve yayın oslasyon hareet çn daha önceden çıartılan (5.) denlemnde llanılırsa Tg t w denlemn c ( F'' G'' ) ( F'' G'' ) Tg c w Tg w çn sağlandığı görülür. B sonç F ve G fonsyonlarının başlangıç ve sınır oşlları sağlanaca bçmde blnması halnde (5.) denlemnn çözümünün elde edleceğ anlamına gelmetedr. Başlangıç oşllarının f g t ( ) ; ( ) şelnde verldğn varsayalım. Çözüm çn ct ( t) f ( ct) f ( ct) g d c ν ν (5.5) ct şelnde br ombnasyonn (5.4) bağıntısıyla aynı bçmde oldğ ve sınır oşllarını sağladığı gösterleblr. Ntem (5.5) bağıntısında t ondğnda M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

26 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 5 c ( ) [ f ( ) f ( )] g( ν) dν f ( ) elde edlmete olp hızlar çn başlangıç oşllarının sağlandığı görülmetedr. Ayrıca (5.5) bağıntısının t ye göre türev alınırsa l term çn ct ( t) f ( ct) f ( ct) g d t c t ν ν ct f ( ct) f ( ct) c f '( ct) ( c) f '( ct) t c f '( ct) f '( ct) ve ntegral term çn de I(ν) fonsyon g(ν) fonsyonn ntegral olma üzere c t c t ct g ct ct c t ct ( ν) dν [ I ( ν) ] [ I ( ct ) I ( ct )] c [ c g( ct ) ( c) g( ct )] [ g( ct ) g( ct )] olp b bağıntıda t onara başlangıç anında türev çn c t ( ) f ' f ' g g g elde edlr. Böylece vme çn de başlangıç oşllarının sağlandığı görülmetedr. B şelde (5.5) denlemnn ttreşen yay problemnn analt çözümü oldğ gösterlmştr. Şmd daha önce (5.) bağıntısıyla önerlen sayısal çözümün yarıda örne problem çn (5.5) denlemn ne ölçüde arşıladığını görmeye çalışalım. Öncelle ( t) ( ) ( t) ( ) Tg c c t w olp şayet herhang br tt t anında herhang br onmnda öteleme le gösterlrse ct c t c t olp b öteleme çn (5.4) bağıntısından F ct G ct F G F G (5.6) blnr. B bağıntı yardımıyla M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

27 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 6 (5.) denlemnde her br term yazılırsa F G F G F G F G Verlen örnete F ve G fonsyonları değşennn lneer fonsyonları olp F( a) F( b) F( a b) G( a) G( b) G( a b) özelller geçerldr. B oşlla yarıda l üç bağıntı (5.) denlemnn sağ tarafında yerleştrldğ tatrde F G F G F G F G F G elde edlr. Görüldüğü gb (5.) eştlğ sağlanmatadır. B ncelemeden elde edlen sonç bast (5.) bağıntısının l zaman adımı çn tam (eact) sonç verdğ şelndedr. Bna göre daha sonra adımlar da tam (eact) sonç verecetr Başlangıç anında hızların sıfır olmaması hal Önce örnete başlangıç hızları sıfır olma üzere br yayın oslasyon hareet ncelenmşt. Şmd başlangıç hızının sıfır olmaması halnde ne yapılableceğn görmeye çalışalım. (5.) denlem hesapların başlatılması çn hayl bast br denlem olmala brlte verdğ sonçların doğrlğ önce örnete sadece g() hal çn gösterlmştr. İzleyen örnete g() sıfır olmadığı tatrde (5.) denlemnn nasıl doğr olmayan sonç verdğ gösterlece ayrıca başlangıç çn daha y br yol ortaya onacatır. Örne: 9 brm znlta br yay başlangıçta ç notası arasında br doğr parçası bçmnde denge drmndadır. Oslasyon hareet b yaya çarpılara başlatılmata olp b baımdan başlangıç anında hızlar sıfırdan farlıdır ve /tsn(π/l) şelnde verlmştr. Br t zaman adımının sonnda ötelemeler hesaplayınız. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

28 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 7 Hesaplamalar çn ve c Tg/w4 alınız. ve yayın znlğ 9 brm oldğ çn yay üzernde 9 aralı ve 8 adet ç hesap notası blnacatır. Hesaplamalarda elde edlr. ( ) Tg c 4 alınması öngörülmüş olp ayrıca w ( ) t t c t 5. c c Tg w ( t) ( ) oldğndan Brnc zaman adımında ötelemelern hesaplanması çn daha önce (5.) denlem llanılmıştı. Anca (5.5) denlem date alınara hesaplar çn br başa yol daha oldğ görüleblr. Ntem (5.5) denlemnde t t onrsa ve c t oldğ date alınırsa ( t) f ( ) f ( ) g d c ν ν ( t ) [ ] g( ν) dν (5.7) c elde edlr. B denlemn (5.) denlemnden te farı sonnc termdr. Şayet g()sb alınırsa b termler de aynı olacatır. Anca şmd örnete oldğ gb g() sabt olmadığında (5.7) denlemnde ntegraln br şelde hesaplanması geremetedr. Aşağıda tabloda yayın sadece sol yarısında 4 nota çn her tenle (5. ve 5.7 denlemler llanılara) elde edlen sonçlar analt sonçlarla brlte verlmştr. Yayın sağ yarısında çözümler smetr olacatır. Başlangıç hızları sıfır oldğ çn b denlem doğrdan πν ( t ) g( ) t ve ( t ) g( ν) dν g( ) sn c şelnde yglanmıştır. (5.7) denlemnde ntegraln sayısal hesabında Smpson / yöntem llanılmış 4 c c ( t ) g( ν) dν [ g( ) g( ) g( )] analt ntegral se πν L π π ( t ) g( ν) dν sn dν cos cos c şelnde hesaplanmıştır. c L c π L L L M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

29 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 8 () g ( ) (5.) denlem... Smpson / ntegral Analt ntegral (5.5) denlem B sonçlar göstermetedr sayısal ntegral llanılara (5.5) denlem le elde edlen sonçlar analt sonçlarla hemen hemen aynı en (5.) denlemyle elde edlen sonçlar daha az doğrdr. (5.) denlem llanılıren n (ve sonç olara t nn) üçültülmesyle hassasyet arttırılablr İ boytl dalga denlem Sonl far yöntem - veya üç-boytl hperbol ısm dferansyel denlemlern çözümü çn de yglanablr. İ-boytl hal çn tp br problem br membranın ttreşm hareetdr. Ddörtgensel br çerçeve çne gerlmş nce büüleblr br membranın ttreşm problem w Tg c y c t hperbol denlemyle modellenr. Brada ve y oordnatları t zamanı ve da ötelemeler belrtmetedr. T brm znl başına ünform gerlme g yer çem vmes w de brm alan başına ağırlıtır. yh olma üzere merez farlarla ayrılaştırma yapılara 4 h c t (5.8) ve yen zaman adımı çn düzenleme yapılara h t c h t c (5.9) elde edlr. Şayet h t c alınırsa sonnc term yo olr (5.4) Brnc zaman adımında çözüm çn başlangıç anında zamana göre merez farlarla y g t t y g t

30 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 9 yazılıp son denlemde llanılara ( ) ( t ) g( y ) 4 (5.4) blnr. Örne: y-düzlemnde y are bölgesnde br çerçeve çersne gerlmş olan membran çn c Tg/w olp membranın çeştl notalarında l hızlar ve ötelemeler y y g ( y ) ( ) y ( y ) olara verlmştr. Ötelemelern zamanla değşmn hesaplayınız. Hesaplamalar çn yh/ alınız Seçlen hücre genşlğ le 9 adet ç nota (hesap notası) elde edlr. Zaman adımı c ( t ) h h. 5 t. 4 c İl hızlar g olp l zaman adımında ( ) sonra zaman adımlarında le hesap yapılacatır. 4 Problemn analt br çözümü a y b bölgesnde ddörtgensel br çerçeveye A a y a y olma üzere gerlmş membran çn başlangıç oşllarında ötelemeler ( y t ) m n m π nπy m n B mn sn sn cos cπt a a a b B mn 6a b A π m n n ( cos m π)( cos π) şelnde verlmetedr. Aşağıda tabloda çeştl zaman adımlarında elde edlmş çözümler yer almatadır. Aynı tabloya ve 5 nmaralı notalarda analt çözümler de onlmştr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

31 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü Nota Analt çözüm y t Sonl-far çözümlernde br smetr mevct olp bell freanslarla terarlanmatadır. Analt çözümlerle tam br ym yotr. c ( t ) h oranının azaltılması ortalama hassasyette br yl yaratmaz. Analt çözümlere yalaşma çn h hücre genşlğnn azaltılması gereldr. B drmda Dt de azalaca olp böylece daha fazla zaman adımında hesap yapılması gereecetr. B da blgsayar süres açısından olmsz br drmdr. B baımdan Cran-Ncolson veya ADI gb apalı yöntemlern llanılması önereblr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

32 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü E 5 SONLU FARK FORMÜLASYONLARI Kısm dferansyel denlemlerde yer alan türevlern blgsayarda sayısal hesabı çn yalaşı formda yazılması gerer. B tp ayrılaştırma şlemlerne genel olara sonl far formülasyon adı verlr. Sonl far formülasyonları çoğ zaman Taylor ser açılımına dayanılara yapılır. Bnn yanında polnomlar yardımıyla da ayrılaştırma yapılablr. Taylor ser açılımı ve Brnc türev çn yalaşımlar Br f () fonsyonnn ( ) notasında değer Taylor ser açılımı le f ( f ( ) ) f ( ) ( )! f ( ) n n ( ) f n n! f ( )! f... (E5.) şelnde yazılablr. Bradan brnc türev çelrse; f f ( ) f ( ) f! ( )! f... (E5.) veya ( ) f ( ) f O( )... (E5.)!! hata term olma üzere ısaca f f ( ) f O( ) (E5.4) yazılablr. B fade f büyülüğünün e göre brnc türev çn yapılmış brnc dereceden br yalaşımdır. İndssel formda f f f O ( ) (E5.5) şelnde gösterlr ve türev çn brnc mertebeden ler far formülasyon olara adlandırılır. Adım znlğ azaltıldıça b yalaşı formülün gerçe türeve o adar yaın olacağı açıtır. Taylor açılımı f ( ) f ( ) f f ( ) f ( )... (E5.6)!! M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

33 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü şelnde yazılara benzer şlemlerle f f f O (E5.7) şelnde brnc mertebeden ger far formülasyon veya (E5.) ve (E5.6) Taylor açılımları brbrnden çıartılara f ( ) f f ( ) f ( )... (E5.8)! benzer şlemler sonc f f f O ( ) (E5.9) şelnde merez far formülasyon elde edleblr. B formülasyonn nc mertebeden oldğ dat çemetedr. Brnc türev çn yazılan formülasyonlarda hang ağ notalarının llanıldığı aşağıda şelde gösterlmetedr. y f() f( ) y f(- ) f() y f(- ) f() f( ) - - a) İler far b) Ger far c) Merez far İnc türev çn formülasyon Taylor sersnn ( ) ve (- ) notalarında açılımları f ( f ( f ( ) f ( ) f ) f ( ) ( )... (E5.)!! f ( ) f ( ) f ) f ( ) ( )... (E5.)!! şelnde yazılablr. (E5.) eştlğ le çarpıp (E5.) denlemnden çıartılırsa; f f f( ) f( ) f ( ) ( )... (E5.) ve bradan nc türev çelrse M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

34 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü f f ( ) f ( ) f ( ) O( ) ( ) (E5.) elde edlr. B bağıntı ndssel formda yazılara nc türevn f f f ( ) f O ( ) (E5.4) şelnde ler far formülü elde edlr. Benzer şlemler (E5.) ve (E5.) ser açılımları arasında yapılırsa nc türevn ger far formülü f f f ( ) f O ( ) (E5.5) şelnde ve (E5.) ve (E5.) bağıntıları brbryle toplanara benzer şlemler sonc nc türevn merez far formülü f f f ( ) f O ( ) (E5.6) şelnde elde edlr. Sonl far denlem Br ısm dferansyel denlemde yer alan bütün türevler yarda gösterlen yöntemlerle ayrılaştırılara denlemn tamamı ayrı formda yazılır ve sayısal çözümü b şelde araştırılır. Örne olara br ff( ty) bağımlı değşenne at f t f f α (E5.7) y denlemn ayrılaştıralım. Zamana göre türevn sonl far açılımında n üst-nds onma göre türevlern sonl far açılımlarında da yönünde alt-nds ve y yönünde de alt-nds llanalım. t anında f fonsyonnn bütün y onmlarında değerler blnsn. Bna göre zamana göre türevn ler farla hesaplanması ygn olr: f t f n f t n O( t ) (E5.8) Konma göre türevlern t n anında veya t n anında ayrılaştırılmasına göre farlı sonl far denlem elde edleblr. t n anında ayrılaştırılma yapılırsa f f n f n ( ) f n O( ) (E5.9) y f f n f n ( y ) f n O( y ) (E5.) Böylece (E5.7) denlemnn sonl far formülasyon M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

35 Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 n f f t n n n n n n f f f f f f α O ( ) ( y ) ( ) ( y ) [ t ] n (E5.) şelne gelr. t n anında ayrılaştırılma yapıldığı tatrde se elde edlr. n f f t n n n n n n f f f f f f α O ( ) ( y ) ( ) ( y ) [ t ] n (E5.) B formülasyon arasında temel farlılı elde edlen ayrılaştırılmış denlemlerde blnmeyen sayısıdır. (E5.) denlemnde br te blnmeyen var en (E5.) denlemnde 5 blnmeyen vardır. (E5.) denlem bütün ağ notalarında olaylıla hesaplanır ve b formülasyona "açı (eplct) formülasyon" adı verlr. Bna arşılı (E5.) denlemnn her br ağ notasında bağımsız olara çözümü mümün değldr. Bütün ağ notalarında yazıldıtan sonra elde edlen denlem sstemnn eş zamanlı olara çözülmes gerer. B nedenle b formülasyona "apalı (eplct) formülasyon" adı verlr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

BÖLÜM 2 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM 2 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ BÖLÜM KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ.- Kısm dferansyel denlemlern türler.- Elpt denlemler.. Levha boynca sıcalı dağılımının hesaplanması.. İteratf yöntemler..3 Lebmann yöntemnde yaınsamanın

Detaylı

MOD SÜPERPOZİSYONU İLE ZAMAN TANIM ALANINDA ÇÖZÜM

MOD SÜPERPOZİSYONU İLE ZAMAN TANIM ALANINDA ÇÖZÜM Nur ÖZHENEKCİ O SÜPERPOZİSYONU İLE ZAAN ANI ALANINA ÇÖZÜ Aşağıda açılanaca olan ortogonall özelllernn sağlandığı yapılar çn, zaman tanım alanında çözüm, her mod çn ayrı ayrı yapılıp daha sonra bu modal

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ- KARE TESTLERİ Doç.Dr. Al Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIAY Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı,

Detaylı

BÖLÜM 11 İKİ-BOYUTLU PANEL YÖNTEMLERİ

BÖLÜM 11 İKİ-BOYUTLU PANEL YÖNTEMLERİ BÖLÜM İKİ-BOYUTLU EL YÖTEMLERİ. Grş. anel öntemlernn genel apısı.. Serbest aım e csmn geometr blgler.. anel özelller..3 Br panel ontrol notasının başa panele bağlı esen taımında onm..4 anel ç notalarının

Detaylı

16. Dörtgen plak eleman

16. Dörtgen plak eleman 16. Ddörtgen pla eleman 16. Dörtgen pla eleman Kalınlığı dğer boyutlarına göre üçü ve düzlemne d yü etsnde olan düzlem taşıyıcı ssteme pla denr. Yapıların döşemeler, sıvı deposu yan duvarları ve öprü plaları

Detaylı

uzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v

uzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v 1. Temel Form: Brnc temel form geometrk olarak yüzeyn çnde blndğ zayına gtmeden yüzey üzernde ölçme yamamızı sağlar. (Eğrlern znlğ, teğet ektörlern açıları, bölgelern alanları gb) S üzerndek ç çarım, br

Detaylı

PARABOLİK KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN İKİ ZAMAN ADIMLI YAKLAŞIMLAR ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA. Gamze YÜKSEL 1, Mustafa GÜLSU 1, *

PARABOLİK KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN İKİ ZAMAN ADIMLI YAKLAŞIMLAR ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA. Gamze YÜKSEL 1, Mustafa GÜLSU 1, * Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs 5 - - 45 9 p://fbe.ercyes.ed.r/ ISS -54 PARABOLİK KISMİ DİFERASİYEL DEKLEMLER İÇİ İKİ ZAMA ADIMLI YAKLAŞIMLAR ÜZERİE BİR ÇALIŞMA Gamze YÜKSEL Msafa GÜLS * Mğla Ünverses

Detaylı

HİD 473 Yeraltısuyu Modelleri

HİD 473 Yeraltısuyu Modelleri HİD 7 Yeraltısuyu Modeller Sayısal Analz Sonlu Farlar Yalaşımı Levent Tezcan - Güz Dönem Modelleme Problemn Tanımlanması Kavramsal Modeln Gelştrlmes Matematsel Modeln Gelştrlmes Hdroeolo Süreçler Sınır

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

BÖLÜM 5 İNCE PROFİLLER İÇİN SAYISAL UYGULAMALAR

BÖLÜM 5 İNCE PROFİLLER İÇİN SAYISAL UYGULAMALAR BÖLÜM 5 İE PROFİLLER İÇİ SAYISAL UYGULAMALAR 5. Grş 5. İne profl teors 5.. Analt çözümler 5.. Kamburlu eğrsne polnom şelnde eğr uydurulması 5.. Fourer ntegrallernn sayısal hesabı 5. Kümelenmş-grdaplar

Detaylı

MAK 212 - TERMODİNAMİK 19.04.2010 (CRN: 22594, 22599, 22603, 22608 ) 2009-2010 BAHAR YARIYILI ARA SINAV-2

MAK 212 - TERMODİNAMİK 19.04.2010 (CRN: 22594, 22599, 22603, 22608 ) 2009-2010 BAHAR YARIYILI ARA SINAV-2 MAK - ERMODİNAMİK 9.04.00 (CRN: 594, 599, 60, 608 ) 009-00 BAAR YARIYII ARA SINAV- Sru -) Br ısı pmpası sstem ışın br evn ısıtılmasında, yazın sğutulmasında ullanılacatır. Evn ç sıcalığının (ışın ve yazın)

Detaylı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı SRY ÜNİVERSİESİ Djtal ontrol Laboratuvar Deney Föyü Deney No: 2 Sıvı Sevye ontrol Deney 2.. Deneyn macı Bu deneyn amacı, doğrusal olmayan sıvı sevye sstemnn belrlenen br çalışma noktası cvarında doğrusallaştırılmış

Detaylı

MAKROİKTİSAT (İKT209)

MAKROİKTİSAT (İKT209) MAKROİKTİSAT (İKT29 Ders 6: IS-LM Prof. Dr. Ferda HALICIOĞLU İtsat Bölümü Syasal Blgler Faültes İstanbul Medenyet Ünverstes Derste İncelenen Konular Mal pyasasında denge: IS eğrs Para pyasasında denge:

Detaylı

Güvenlik Stokları. Tedarik Zincirlerinde Belirsizlik Yönetimi: Güvenlik Stokları. Güvenlik Stokları Belirlenirken Sorulması gereken sorular

Güvenlik Stokları. Tedarik Zincirlerinde Belirsizlik Yönetimi: Güvenlik Stokları. Güvenlik Stokları Belirlenirken Sorulması gereken sorular Güvenl Stoları Tedar Zncrlernde Belrszl Yönetm: Güvenl Stoları Güvenl Stoğu: Herhang br dönemde, talebn tahmn edlen mtarın üzernde gerçeleşen mtarını arşılama çn elde bulundurulan sto mtarıdır Q Çevrm

Detaylı

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007 Yrd. Doç. Dr. Atlla EVİN Afyon Kocatepe Ünverstes 007 ENERJİ Maddenn fzksel ve kmyasal hal değşm m le brlkte dama enerj değşm m de söz s z konusudur. Enerj değşmler mler lke olarak Termodnamğn Brnc Yasasına

Detaylı

Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA)

Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) VARYANS ANALİZİ İ örne ortalaması arasında farın önem ontrolü, örne büyülüğüne göre z veya testlernden bryle yapılır. Bu testlerle, den fazla örne ortalamasını brlte test etme ve aralarında farın önem

Detaylı

Sistemde kullanılan baralar, klasik anlamda üç ana grupta toplanabilir :

Sistemde kullanılan baralar, klasik anlamda üç ana grupta toplanabilir : 5 9. BÖLÜM YÜK AKIŞI (GÜÇ AKIŞI) 9.. Grş İletm sstemlernn analzlernde, bara sayısı arttıkça artan karmaşıklıkları yenmek çn sstemn matematksel modellenmesnde kolaylık getrc bazı yöntemler gelştrlmştr.

Detaylı

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr.

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr. Deprem Tepksnn Sayısal Metotlar le Değerlendrlmes (Newmark-Beta Metodu) Sunum Anahat Grş Sayısal Metotlar Motvasyon Tahrk Fonksyonunun Parçalı Lneer Interpolasyonu (Pecewse Lnear Interpolaton of Exctaton

Detaylı

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ Gerçek akışkanın davranışı viskoziteden dolayı meydana gelen ilave etkiler nedeniyle ideal akışkan akımlarına göre daha karmaşık yapıdadır. Gerçek akışkanlar hareket

Detaylı

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİK AKIMI, POTANSİYEL FARK VE DİRENÇ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİK AKIMI, POTANSİYEL FARK VE DİRENÇ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 10. SINIF ONU NTII. ÜNİTE: EETİ E NYETİZ. onu EETİ II, POTNSİYE F E DİENÇ ETİNİ ve TEST ÇÖZÜEİ Ünte Elektrk ve anyetzma 1.. Ünte. onu (Elektrk kımı) nın Çözümler ampul 3. Şekl yenden aşağıdak gb çzeblrz.

Detaylı

BÖLÜM CROSS METODU (HARDY CROSS-1932)

BÖLÜM CROSS METODU (HARDY CROSS-1932) Bölüm Cross Yöntem 5.1. CROSS ETODU (HARDY CROSS-193) BÖÜ 5 Hperstat sstemlern çözümünde ullanılan cross yöntem açı yöntemnn özel br hal olup moment dağıtma (terasyon) metodu olara da ullanılmatadır. Açı

Detaylı

SABİT-KUTUP YAKLAŞIMI KULLANILARAK TELEKONFERANSTA ODA AKUSTİK EKO YOK ETME

SABİT-KUTUP YAKLAŞIMI KULLANILARAK TELEKONFERANSTA ODA AKUSTİK EKO YOK ETME SABİ-KUUP YAKLAŞIMI KULLAILARAK ELEKOFERASA ODA AKUSİK EKO YOK EME uğba Özge ÖZDİÇ Rıfat HACIOĞLU Eletr-Eletron Mühendslğ Bölümü Mühendsl Faültes Zongulda Karaelmas Ünverstes, 671, Zongulda ozdnc_ozge@hotmal.com

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE KARE TESTLERİ Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı, F Dağılışı, gb br dağılışa uygun olduğu durumlarda

Detaylı

ELASTİK DALGA YAYINIMI

ELASTİK DALGA YAYINIMI LSTİK DLG YYINIMI (6. Ders-06 Prof.Dr. şref YLÇINKY Geçğmz ders; Te boyl dalga denlem ve çözümü Vze Sınavı B derse; Yansıyan ve lelen dalgalar Gelen İlelen Yansıyan ρ ν ρ ν SOL TF İÇİN SĞ TF İÇİN ( (,

Detaylı

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır.

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır. UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ Posson: H o: Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmektedr. H a : Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmemektedr. Böyle br hpotez test edeblmek çn, önce Posson dağılım parametres

Detaylı

Korelasyon ve Regresyon

Korelasyon ve Regresyon Korelasyon ve Regresyon 1 Korelasyon Analz İk değşken arasında lşk olup olmadığını belrlemek çn yapılan analze korelasyon analz denr. Korelasyon; doğrusal yada doğrusal olmayan dye kye ayrılır. Korelasyon

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

a : Uydu yörüngesinin büyük yarı ekseni, b: Uydu yörüngesinin küçük yarı ekseni,

a : Uydu yörüngesinin büyük yarı ekseni, b: Uydu yörüngesinin küçük yarı ekseni, Kepler Kannları Nota onmlarının belirlenmesi için bilgi alınan ydların yörüngelerinin ve b yörüngedei onmlarının bilinmesi gereir. Uyd yörüngeleri ve b yörüngedei hareetlerini belirleme için Kepler annlarından

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.teknolojkarastrmalar.com ISSN:134-4141 Makne Teknolojler Elektronk Dergs 28 (1) 61-68 TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR Kısa Makale Tabakalı Br Dskn Termal Gerlme Analz Hasan ÇALLIOĞLU 1, Şükrü KARAKAYA 2 1

Detaylı

Yük Yoğunluğu ve Nokta Yük İçeren Elektrik Alan Problemlerinin Sınır Elemanları Yöntemiyle İncelenmesi

Yük Yoğunluğu ve Nokta Yük İçeren Elektrik Alan Problemlerinin Sınır Elemanları Yöntemiyle İncelenmesi Fırat Ünv. Fen ve Müh. Bl. Dergs cence and Eng. J of Fırat Unv. (), 99-, (), 99-, Yü Yoğunluğu ve Nota Yü İçeren Eletr Alan Problemlernn ınır Elemanları Yöntemyle İncelenmes Hüseyn ERİŞTİ ve elçu YILDIRIM

Detaylı

ANOVA. CRD (Completely Randomized Design)

ANOVA. CRD (Completely Randomized Design) ANOVA CRD (Completely Randomzed Desgn) Örne Problem: Kalte le blgnn, ortalama olara, br urumun üç farlı şehrde çalışanları tarafından eşt olara algılanıp algılanmadığını test etme amacıyla, bu üç şehrde

Detaylı

Elektrik Akımı, Potansiyel Fark ve Direnç Testlerinin Çözümleri

Elektrik Akımı, Potansiyel Fark ve Direnç Testlerinin Çözümleri Elektrk Akımı, Potansyel Fark ve Drenç Testlernn Çözümler 1 Test 1 n Çözümü. 1. Soruda verlen akım-potansyel farkı grafğnn eğmnn ters drenc verr. 8 X 5 8 8 Z Ohm kanunu bağıntısıyla verlr. Bu bağın- k

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 8 Sayı: 1 s. 19-37 Ocak 2006

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 8 Sayı: 1 s. 19-37 Ocak 2006 DEÜ MÜHEDİSLİK FKÜLTESİ FE VE MÜHEDİSLİK DERGİSİ Clt: 8 Saı: s. 9-37 Oca 6 GEELLEŞTİRİLMİŞ DİFERSİYEL QUDRTURE METODU İLE ZI SIIR DEĞER PROLEMLERİİ SYISL ÇÖZÜMÜ ÜZERİE (O THE UMERICL SOLUTIO OF SOME OUDRY

Detaylı

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde;

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde; MATRİS ÖNTEMER 1. GİRİŞ Matrs öntemler; gerçek sürekl apının erne, matrs bçmnde ade edleblen blnen atalet (elemslk) ve elastklk öellklerne sahp sonl büüklüktek apısal elemanlardan olşan matematksel br

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Kİ-KAR TSTLRİ A) Kİ-KAR DAĞILIMI V ÖZLLİKLRİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk gösterp

Detaylı

Polynomial Approach to the Response Surfaces

Polynomial Approach to the Response Surfaces D.Ü.Zya Göalp Eğtm Faültes Dergs 7 79-94 (6) TEPKİ YÜZEYLERİNE POLİNOMAL YAKLAŞIM Polynomal Approach to the Response Surfaces Azz HARMAN Özet Bu çalışmada deneyc veya araştırmacıların ontrolünde vetörü

Detaylı

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A)

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A) KOCELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendslk akültes Makna Mühendslğ Bölümü Mukavemet I Vze Sınavı () dı Soyadı : 18 Kasım 013 Sınıfı : No : SORU 1: Şeklde verlen levhalar aralarında açısı 10 o la 0 o arasında olacak

Detaylı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı Açık Polon Dzsnde Koordnat Hesabı Problem ve numaralı noktalar arasında açılacak tüneln doğrultusunu belrlemek amacıyla,,3,4, noktalarını çeren açık polon dzs tess edlmş ve şu ölçme değerler elde edlmştr.

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Eylül Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsslav Dmtrov) Konu: Elektrk Devrelernde İndüktans Soru. Şekldek gösterlen devrede lk anda K ve K anahtarları açıktır. K anahtarı kapatılıyor ve kondansatörün gerlm U ε/

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

KISITLI OPTİMİZASYON YAKLAŞTIRMA PROBLEMLERİ

KISITLI OPTİMİZASYON YAKLAŞTIRMA PROBLEMLERİ KISILI OPİMİZASYON YAKLAŞIMA POLEMLEİ amamıyla doğrsal lşk gösteren kısıtlı optmzasyon problemler çn en güçlü araç doğrsal programlama teknğdr. Çoğ drmda doğrsal olmayan lşkler blndran çeştl optmzasyon

Detaylı

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi)

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi) JFM316 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Özdrenç Yöntem) yeryüzünde oluşturacağı gerlm değerler hesaplanablr. Daha sonra aşağıdak formül kullanılarak görünür özdrenç hesaplanır. a K I K 2 1 1 1 1 AM BM AN

Detaylı

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan

Detaylı

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI: FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin

Detaylı

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3 Yıldız Teknk Ünverstes Elektrk Mühendslğ Bölümü Deneyn Amacı İşlemsel kuvvetlendrcnn çalışma prensbnn anlaşılması le çeştl OP AMP devrelernn uygulanması ve ncelenmes. Özet ve Motvasyon.. Operasyonel Amplfkatör

Detaylı

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON HAFTA 4 PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYO Gölge değşkenn br başka kullanımını açıklamak çn varsayımsal br şrketn satış temslclerne nasıl ödeme yaptığı ele alınsın. Satış prmleryle satış hacm Arasındak varsayımsal

Detaylı

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 BURKULMA HESABI Doç.Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 305 Makine Elemanları-Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 BU SLAYTTAN EDİNİLMESİ BEKLENEN BİLGİLER Burkulmanın tanımı Burkulmanın hangi durumlarda

Detaylı

T.M.M.O.B GEMİ MÜHENDİSLERİ ODASI The Chamber of Turkish Naval Architects & Marine Engineers

T.M.M.O.B GEMİ MÜHENDİSLERİ ODASI The Chamber of Turkish Naval Architects & Marine Engineers Sayı: 185 Temmz 2010 SAVAŞ GEMİLERİNDE EGZOS GAZLARI VE GEMİ ÜST YAPISI ETKİLEŞİMİNİN SAYISAL OLARAK İNCELENMESİ T.M.M.O.B GEMİ MÜHENDİSLERİ ODASI The Chamber of Trsh Naval Archtects & Marne Engneers ISSN

Detaylı

Biyomedikal Amaçlı Basınç Ölçüm Cihazı Tasarımı

Biyomedikal Amaçlı Basınç Ölçüm Cihazı Tasarımı Byomedkal Amaçlı Basınç Ölçüm Chazı Tasarımı Barış Çoruh 1 Onur Koçak 2 Arf Koçoğlu 3 İ. Cengz Koçum 4 1 Ayra Medkal Yatırımlar Ltd. Şt, Ankara 2,4 Byomedkal Mühendslğ Bölümü, Başkent Ünverstes, Ankara,

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür.

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür. Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

BÖLÜM 4 4. AÇI METODU

BÖLÜM 4 4. AÇI METODU Açı etodu Bölüm. AÇ ETODU BÖÜ Hperstat sstemlern çözümü sstem hperstat yapan blnmeyenlern uvvet ve şel değştrme olmasına göre değşr. Ço açılılı br mütemad rş hperstat yapan mesnet tep uvvetler en atlı

Detaylı

Sıklık Tabloları ve Tek Değişkenli Grafikler

Sıklık Tabloları ve Tek Değişkenli Grafikler Sıklık Tabloları ve Tek Değşkenl Grafkler Sıklık Tablosu Ver dzsnde yer alan değerlern tekrarlama sayılarını çeren tabloya sıklık tablosu denr. Sıklık Tabloları tek değşken çn marjnal tablo olarak adlandırılır.

Detaylı

Düşük Hacimli Üretimde İstatistiksel Proses Kontrolü: Kontrol Grafikleri

Düşük Hacimli Üretimde İstatistiksel Proses Kontrolü: Kontrol Grafikleri Düşü Hacml Üretmde İstatstsel Proses Kontrolü: Kontrol Grafler A. Sermet Anagün ÖZET İstatstsel Proses Kontrolu (İPK) apsamında, proses(ler)de çeştl nedenlerden aynalanan değşenlğn belrlenere ölçülmes,

Detaylı

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a İşret Aış Drmlrı: İşret Aış Drmlrı (İAD), blo drmlrın bstleştrlmş hl olr örüleblr. Ft, İAD fzsel örünüş ve mtemtsel urllr bğlılı ısındn zım urllrı dh serbest oln blo drmlrındn frlıdır. Blo drmlrı, rmşı

Detaylı

GEÇİRGEN YÜZEYLERİNDEN ÜFLEME YAPILAN KARE KESİTLİ SİLİNDİR ETRAFINDAKİ AKIŞTA ISI GEÇİŞİNİN SAYISAL OLARAK İNCELENMESİ

GEÇİRGEN YÜZEYLERİNDEN ÜFLEME YAPILAN KARE KESİTLİ SİLİNDİR ETRAFINDAKİ AKIŞTA ISI GEÇİŞİNİN SAYISAL OLARAK İNCELENMESİ 5 GEÇİRGEN YÜZEYLERİNDEN ÜFLEME YAPILAN KARE KESİLİ SİLİNDİR ERAFINDAKİ AKIŞA ISI GEÇİŞİNİN SAYISAL OLARAK İNCELENMESİ Brhan ÇUHADAROĞLU ÖZE B çalışmada; geçirgen yüzeyli e are esitli bir silindir etrafındai

Detaylı

ÇEV 314 Yağmursuyu ve Kanalizasyon. Nüfus Projeksiyonları

ÇEV 314 Yağmursuyu ve Kanalizasyon. Nüfus Projeksiyonları ÇEV 34 Yağmursuyu ve Kanalzasyon üfus Projesyonları Yrd. oç. r. Özgür ZEYA hp://cevre.beun.edu.r/zeydan/ üfus Projesyonları Tasarımı yapılaca olan alyapı projesnn (analzasyon, yağmursuyu analları vb.),

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

Ercan Kahya. Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul

Ercan Kahya. Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul Ercan Kahya 1 Hdrolk. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Brsen Yayınev, 007, İstanbul se se da Brm kanal küçük gen kestl br kanalda, 1.14. KANAL EGIMI TANIMLARI Brm kanal genşlğnden geçen deb q se, bu q

Detaylı

Fen ve Mühendislik için Fizik 1 Ders Notları: Doç.Dr. Ahmet CANSIZ

Fen ve Mühendislik için Fizik 1 Ders Notları: Doç.Dr. Ahmet CANSIZ 9. ÇİZGİSEL (OĞRUSAL) OENTU VE ÇARPIŞALAR 9. Kütle erkez Ssten kütle erkeznn yern ssten ortalaa konuu olarak düşüneblrz. y Δ Δ x x + x = + Teraz antığı le düşünürsek aşağıdak bağıntıyı yazablrz: Δ= x e

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver setn tanımlamak üzere kullanılan ve genellkle tüm elemanları dkkate alarak ver setn özetlemek çn kullanılan ölçülerdr. Ver setndek tüm elemanları temsl edeblecek merkez noktasına

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

DEĞİŞKENLİK (YAYIKLIK) ÖLÇÜLERİ

DEĞİŞKENLİK (YAYIKLIK) ÖLÇÜLERİ SAÜ 6. BÖLÜM DEĞİŞKELİK (YAYIKLIK) ÖLÇÜLERİ PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİDEKİLER 1. DEĞİŞKELİĞİ TAIMI VE ÇEŞİTLERİ. AALATİK OLMAYA DEĞİŞKELİK ÖLÇÜLERİ 3. ORTALAMA MUTLAK SAPMA 3.1. Bast Serde Ortalama Mutla

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz SAYISAL ANALİZ SAYISAL TÜREV Numercal Derentaton Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz İÇİNDEKİLER Sayısal Türev Ger Farklar

Detaylı

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ TRFİK SİMÜLSYON TEKNİKLERİ 3. HFT Doç. Dr. Haan GÜLER (2015-2016) 1. TEMEL TRFİK KIM PRMETRELERİ RSINDKİ İLİŞKİ Kesintisiz aımlarda; Hız, Yoğnl ve ım oranı (hacim) arasındai ilişi aşağıdai şeillerde gösterilmiştir.

Detaylı

Doğrusal Korelasyon ve Regresyon

Doğrusal Korelasyon ve Regresyon Doğrusal Korelasyon ve Regresyon En az k değşken arasındak lşknn ncelenmesne korelasyon denr. Kşlern boyları le ağırlıkları, gelr le gder, öğrenclern çalıştıkları süre le aldıkları not, tarlaya atılan

Detaylı

DEN 322. Isı Transferi Temel Bağıntıları

DEN 322. Isı Transferi Temel Bağıntıları EN 3 Isı ransfer emel Bağıntıları Isı ransfer Isı sıalı farından dlayı areet alnde lan enerjdr. Sıalı farı lan er rtamda veya rtamlar arasında ısı transfer gerçeleşr. Isı transfer prsesler üç değş tpte

Detaylı

UZAY ÇERÇEVE SİSTEMLERİN ELASTİK-PLASTİK ANALİZİ İÇİN BİR YÖNTEM

UZAY ÇERÇEVE SİSTEMLERİN ELASTİK-PLASTİK ANALİZİ İÇİN BİR YÖNTEM ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem ühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye UZAY ÇERÇEVE SİSTEERİN STİK-PASTİK ANAİZİ İÇİN BİR YÖNTE Erdem Damcı, Turgay Çoşgun, Tuncer Çelk, Namık

Detaylı

SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI TMMOB Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, 15. Türye Harta Blmsel ve Ten Kurultayı, 5 8 Mart 015, Anara. SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Leyla ÇAKIR*

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

Kütle Merkezi ve Merkezler. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler

Kütle Merkezi ve Merkezler. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler Kütle Merkez ve Merkezler Konular: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kavramı Merkez hesabına önelk öntemler ğırlıklı Ortalama Merkez kavramının brçok ugulama alanı vardır. Öncelkle ağırlıklı ortalama kavramına

Detaylı

VANTİLATÖR TASARIMI. Şekil 1. Merkezkaç vantilatör tipleri

VANTİLATÖR TASARIMI. Şekil 1. Merkezkaç vantilatör tipleri 563 VANTİLATÖR TASARIMI Fuat Hakan DOLAY Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Bu çalışmada merkezkaç ve eksenel vantlatör tpler çn gelştrlmş olan matematksel modeln çözümünü sağlayan br blgsayar programı hazırlanmıştır.

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

KOMPLEKS ANALİZ (MAT 472) DERS NOTLARI

KOMPLEKS ANALİZ (MAT 472) DERS NOTLARI KOMPLEKS AALİZ (MAT 47) DERS OTLARI Prof. Dr. AYHA ŞERBETÇİ GİRİŞ Komples düzlemde bir bölgede medana gelen bir fizisel problem örneğin ararlı drm sıcalıları eletrostati ideal sıvı aışı vs. bazı oşlların

Detaylı

2 Mayıs 1995. ELEKTRONİK DEVRELERİ I Kontrol ve Bilgisayar Bölümü Yıl içi Sınavı Not: Not ve kitap kullanılabilir. Süre İKİ saattir. Soru 1.

2 Mayıs 1995. ELEKTRONİK DEVRELERİ I Kontrol ve Bilgisayar Bölümü Yıl içi Sınavı Not: Not ve kitap kullanılabilir. Süre İKİ saattir. Soru 1. ELEKONİK DEELEİ I Kntrl ve Blgsayar Bölümü Yıl ç Sınavı Nt: Nt ve ktap kullanılablr. Süre İKİ saattr. Sru.- r 00k 5k 5k 00Ω 5 6 k8 k6 7 k 8 y k5 0kΩ Mayıs 995 Şekl. Şekl-. de kullanılan tranzstrlar çn

Detaylı

T.c. MALİYE BAKANLIGI. KÜTAHYA VALİLİGİNE (Defterdarlık Personel Müdürlüğü)

T.c. MALİYE BAKANLIGI. KÜTAHYA VALİLİGİNE (Defterdarlık Personel Müdürlüğü) Sayı : 7291 1396-903.99-E.1 16043 Konu : Seyahat Kartları T.c. MALİYE BAKANLIGI Gelr İdares Başkanlığı İnsan Kaynakları Dare Başkanlığı SÜREl 04/12/2015 KÜTAHYA VALİLİGİNE (Defterdarlık Personel Müdürlüğü)

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

T.C BART/N il ÖZEL IDARESI Plan Proje Inşaat ve Yatırım Müdürlüğü TEKLIF MEKTUBU. TEKLI F-SAHTBI Nlf'J

T.C BART/N il ÖZEL IDARESI Plan Proje Inşaat ve Yatırım Müdürlüğü TEKLIF MEKTUBU. TEKLI F-SAHTBI Nlf'J TARIH 28.01.2016 SAYı [Adı soyadlticaret Unvanı Teblgat Adres Bağlı Olduğu Verg Dares Verg Numarası T.C.Kmlk Numarası Telefon Faks T.C BART/N L ÖZEL IDARESI Plan Proje Inşaat ve Yatırım Müdürlüğü TEKLIF

Detaylı

Denklem Çözümünde Açık Yöntemler

Denklem Çözümünde Açık Yöntemler Denklem Çözümünde Bu yöntem, n yalnızca başlangıç değer kullanılan ya da kökü kapsayan br aralık kullanılması gerekmez. Açık yöntemler hızlı sonuç vermesne karşın, başlangıç değer uygun seçlmedğnde ıraksayablr.

Detaylı

HAFTA 13. kadın profesörlerin ortalama maaşı E( Y D 1) erkek profesörlerin ortalama maaşı. Kestirim denklemi D : t :

HAFTA 13. kadın profesörlerin ortalama maaşı E( Y D 1) erkek profesörlerin ortalama maaşı. Kestirim denklemi D : t : HAFTA 13 GÖLGE EĞİŞKENLERLE REGRESYON (UMMY VARIABLES) Gölge veya kukla (dummy) değşkenler denen ntel değşkenler, cnsyet, dn, ten reng gb hemen sayısallaştırılamayan ama açıklanan değşkenn davranışını

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler 6.4.7 NÜMERİK ANALİZ Yrd. Doç. Dr. Hatce ÇITAKOĞLU 6 Müendslk sstemlernn analznde ve ugulamalı dsplnlerde türev çeren dferansel denklemlern analtk çözümü büük öneme saptr. Sınır değer ve/vea başlangıç

Detaylı

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri Asmetr ve Basıklık Ölçüler Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartllere dayanan (Bowley) omentlere dayanan asmetr ve basıklık ölçüler Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr III. Asmetr ve Basıklık

Detaylı

T.C BARTIN il ÖZEL idaresi YAZı işleri MÜDÜRLÜGÜ. TEKliF SAHiBiNiN

T.C BARTIN il ÖZEL idaresi YAZı işleri MÜDÜRLÜGÜ. TEKliF SAHiBiNiN TARH:...05/205 SAYı Adı SoyadılTcaret Ünvanı Teblgat Adres Bağlı Olduğu Verg Dares Verg Numarası T.C.Kmlk Numarası Telefon No Faks No E-Mal T.C BARTIN L ÖZEL DARES YAZı ŞLER MÜDÜRLÜGÜ TEKlF MEKTUBU TEKlF

Detaylı

) ile algoritma başlatılır.

) ile algoritma başlatılır. GRADYANT YÖNTEMLER Bütün ısıtsız optimizasyon problemlerinde olduğu gibi, bir başlangıç notasından başlayara ardışı bir şeilde en iyi çözüme ulaşılır. Kısıtsız problemlerin çözümü aşağıdai algoritma izlenere

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ 1 Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı, F Dağılışı, gb br dağılışa uygun olduğu durumlarda

Detaylı

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü ZKÜ Müendslk Fakültes - Makne Müendslğ Bölümü Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değştrge Deney Föyü Şekl. Sudan suya türbülanslı akış ısı değştrge (H950 Deneyn adı : Boru çnde sudan suya türbülanslı akışta

Detaylı

ELM201 ELEKTRONİK-I DERSİ LABORATUAR FÖYÜ

ELM201 ELEKTRONİK-I DERSİ LABORATUAR FÖYÜ T SAKAYA ÜNİESİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ ELM201 ELEKTONİK- DESİ LAOATUA FÖYÜ DENEYİ YAPTAN: DENEYİN AD: DENEY NO: DENEYİ YAPANN AD ve SOYAD: SNF: OKUL NO: DENEY GUP NO: DENEY

Detaylı

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır.

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır. KONU : DUAL MODELİN EKONOMİK YORUMU Br prmal-dual model lşks P : max Z cx D: mn Z bv AX b AV c X 0 V 0 bçmnde tanımlı olsun. Prmal modeln en y temel B ve buna lşkn fyat vektörü c B olsun. Z B B BB c X

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı