TEZ ONAYI Doç. Dr. Yılmaz AKDİ danışmanlığında, Keziban TEKİN arafından hazırlanan Türkiye de Döviz Kuru Geçişi: Şokların Lineer Olmayan Yayılımı adlı

Transkript

2 TEZ ONAYI Doç. Dr. Yılmaz AKDİ danışmanlığında, Keziban TEKİN arafından hazırlanan Türkiye de Döviz Kuru Geçişi: Şokların Lineer Olmayan Yayılımı adlı ez çalışması //8 arihinde aşağıdaki üri arafından oy birliği ile Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmişir. Danışman : Doç. Dr. Yılmaz AKDİ Jüri Üyeleri: Başkan: Prof. Dr. Hakan BERUMENT, Bilken Üniversiesi İkisadi İdari ve Sosyal Bilimler Fakülesi İkisa Bölümü Üye: Yrd. Doç. Dr. Halil AYDOĞDU, Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölümü Üye:. Doç. Dr. Yılmaz AKDİ, Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölümü Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Ensiü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi TÜRKİYE DE DÖVİZ KURU GEÇİŞİ: ŞOKLARIN LİNEER OLMAYAN YAYILIMI Keziban TEKİN Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Yılmaz AKDİ Döviz kuru geçişi ile bir birim şokun genel fiya seviyesine nasıl geçiği araşırılır. McCarhy(999) bazı gelişmiş ülkeler için oplam seviye üzerindeki döviz kuru geçişini araşırmışır. Analiz edilen ülkelerin çoğunda, ükeici fiyaları için döviz kuru geçişi uarlı bulmuşur. Gelişmiş ekonomiler üzerinde 43 ampirik çalışma Menon(995a) arafından sunulmuşur. Bu çalışmaların çoğunda döviz kuru geçişinin amamlanmamış olduğu gözlenmişir. Ayrıca bazı çalışmalarda, geçişin asimerik olduğu bulunmuşur. Geçişin asimerik olması, döviz kuru arışları ve azalışları süresince, geçiş kurunun farklı olması anlamına gelir. Döviz kuru geçişinin asimerik veya amamlanmamış olabileceği Menon (995a) ve McCarhy(999) arafından göserilmişir. Hem süre hem de büyüklük olarak döviz kuru değişimlerinin fiyalara ekisini espi emek için vekör ooregresif(var) meodoloisi kullanıimakadır(mccarhy, 999)). Fiyalardaki azalma seviyesi, geçiş mekanizması için önemlidir. Mar 3 en iibaren ABD Dolarındaki arış rendinin enflasyon üzerinde çok fazla ekisinin olduğunu söylemek zordur. Bundan dolayı, arış üzerindeki azalma ekisinde asimeriklik bulunabilir. Asimerinin bir ürü ABD Dolarındaki arışa karşı azalmadır. Asimeri sıfır erafında olmayabilir faka sıfıra yakın poziif bir sayı erafında olması beklenmekedir. McCarhy(999) arafından önerilen meod, eşik seviyesini espi emek için kullanılan sandar bir yönemdir. Bu çalışmada, Türkiye deki, genel fiya endeksi ve döviz kuru serileri için Berumen (7) arafından önerilen VAR modeli göz önüne alınarak, döviz kuru geçişkenliğinin Balke () arafından önerilen aralık arama yönemi ile hangi nokadan sonra ekili olduğunu araşırılacakır. Bu çalışmanın amacı; Balke() aralık arama yönemini kullanarak model paramerelerini ahmin emek ve döviz kuru geçişindeki asimeriyi incelemekir. 8, 54 sayfa Anahar kelimeler: Döviz Kuru Geçişi, Eşik Vekör Ooregresif (TVAR) i

4 ABSTRACT Maser Thesis ECHANGE RATE PASS-THROUGH IN TURKEY: NONLINEAR PROPAGATION OF SHOCKS APPROACH Keziban TEKİN Ankara Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Saisics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Yılmaz AKDİ The exchange rae pass hrough invesigaes how a one-uni shock is ransmied o general price level. McCarhy(999) presens a comprehensive sudy of exchange rae pass hrough on he aggregae level for a number of indusrialised counries. In mos of he counries analyzed, he exchange rae pass hrough o consumer prices is found o be modes. Menon(995a) presens an overview of 43 empirical sudies on indusrialised economies. The maoriy of hese sudies conclude ha exchange rae pass-hrough is incomplee. Some sudies have also found pass hrough o be asymmeric, which implies ha he rae of pass-hrough is differen during exchange rae appreciaions and depreciaions. The empirical evidence repored suggess ha exchange rae pass hrough migh be asymmeric or incomplee(menon(995a) and McCarhy(999)). Mos of he ime hese sudies employ he VAR mehodology o capure he effec of exchange rae innovaion o prices for boh is magniude and duraion (McCarhy, 999). The level of depreciaion migh be crucial for he ransmission mechanism. The curren rend of US dollar appreciaion since March of 3 did no bring negaive inflaion. Therefore here migh be asymmery of he effec of depreciaion on appreciaion. One ype of asymmery is depreciaion versus appreciaion US dollar. However, he asymmery may no be around zero bu i migh be around a posiive number. In his sudy, we will consider he model proposed by Berumen(7) for general price index and exchange rae series and ry o invesigae he poin of exchange rae pass hrough. Berumen(7) assumes direcly ha here is a direc sable relaionship beween he price index and exchange raes. Here, we will ry o invesigae he break poin where his relaionship is valid by using Balke s grid search mehod. The purpose of his sudy o exend he VAR model of Berumen(7) for Turkey by using grid search mehod of Balke(), esimae he hreshold model parameer and assess he asymmery of he exchange rae pass- hrough. 8, 54 pages Key Words: Exchange Rae Pass-Through, Threshold Vecor Auoregression (TVAR) ii

5 TEŞEKKÜR Çalışmalarımın her aşamasında bilgi ve yardımlarını esirgemeyerek gelişmeme kakıda bulunan Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölümü öğreim üyelerinden danışman hocam Doç. Dr. Yılmaz AKDİ ye çok eşekkür ederim. Tez konumun oluşmasında ve ekonomi alanında olan eksikliklerimi amamlamamda sabırla yardım eden, akademik hayaa ilerlememi kolaylaşıran Bilken Üniversiesi İkisadi İdari ve Sosyal Bilimler Fakülesi İkisa Bölümü öğreim üyelerinden değerli hocam Prof. Dr. Hakan BERUMENT e eşekkürlerimi sunarım. Tezimin analizlerinin sonuçlanmasında ve ekonomik açıdan anlam kazanmasında büyük kakıları olan Gazi Üniversiesi İkisadi ve İdari Bilimler Fakülesi İkisa Bölümü öğreim üyelerinden Yrd. Doç. Dr. Zeynel Abidin ÖZDEMİR e değerli kakılarından dolayı eşekkür ederim. Çalışmalarım süresince her zaman yanımda olan ve deseklerini hiçbir zaman esirgemeyen değerli aileme en derin duygularımla sonsuz eşekkürlerimi sunarım. Bu ez çalışması, Türkiye de Döviz Kuru Geçişi: Şokların Lineer Olmayan Yayılımı(6K378) konulu proe kapsamında TÜBİTAK arafından deseklenmişir. Keziban TEKİN Ankara, Ocak 8 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET.... i ABSTRACT. ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER DİZİNİ v ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ vii. GİRİŞ.... DÖVİZ KURU GEÇİŞİ.. 3. LİNEER ZAMAN SERİLERİ Zaman Serisi Durağanlık Durağan Zaman Serileri Harekeli oralama serileri Ooregresif zaman serileri Kısmi ookorelasyon fonksiyonu Ooregresif harekeli oralama serileri Öngörü Durağan Olmayan Zaman Serileri Dickey-Fuller birim kök esi Genişleilmiş Dickey-Fuller birim kök esi VEKTÖR OTOREGRESİF MODELLER Granger Nedensellik Tesi Eki-Tepki Fonksiyonları Varyans Ayrısırması VEKTÖR OTOREGRESİF MODELLER YARDIMI İLE TÜRKİYE DEKİ DÖVİZ KURU GEÇİŞİ EŞİK DEĞERİNİN TESPİTİ Meodoloi Veri ve Bulgular SONUÇ.. 5 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

7 SİMGELER DİZİNİ AR ARMA MA TEFE TÜFE TVAR ÜFE VAR WN Ooregresif Zaman Serileri Ooregresif Harekeli Oralama Serileri Harekeli Oralama Serileri Topan Eşya Fiyaları Endeksi Tükeici Fiyaları Endeksi Eşik Vekör Ooregresif Üreici Fiyaları Endeksi Vekör Ooregresif Beyaz Gürülü Süreci v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3. MA() serisi için ookorelasyonlar ve kısmi ookorelasyonlar....8 Şekil 4. Doğrusal olmayan eki-epki fonksiyonları Şekil 5. Büyüme oranının gecikmelerine ekisi Şekil 5. Enflasyonun büyüme oranına ekisi. 48 Şekil 5.3 Spreadin büyüme oranına ekisi...49 Şekil 5.4 Kurdaki değişikliğin büyüme oranına ekisi....5 vi

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3. Sanayi üreim endeksi serisi birim kök esi Çizelge 3. Sanayi üreim endeksi fark serisi birim kök esi Çizelge 5. Eşik değerin ahmini ve es isaisikleri vii

10 .GİRİŞ Bazı gelişmiş ülkeler için genel fiya seviyesi üzerindeki döviz kuru geçişi McCarhy(999) arafından araşırılmışır. Analizleri yapılan ülkelerin çoğunda, ükeici fiyaları için döviz kuru geçişi anlamlı bulunmuşur. Menon(995a) ile gelişmiş ekonomiler üzerinde çeşili ampirik çalışmalar sunulmuşur. Hem süre hem de büyüklük olarak döviz kuru değişimlerinin fiyalara ekisini espi emek için vekör ooregresif(var) meodoloisi kullanılmakadır (McCarhy 999). Fiyalardaki azalma seviyesi, geçiş mekanizması için önemlidir. Türkiye için Mar 3 en iibaren ABD Dolarındaki arış rendinin enflasyon üzerinde çok fazla ekisinin olduğunu söylemek zordur. Bundan dolayı, arış üzerindeki azalma ekisinde asimeriklik bulunabilir. Asimerinin bir ürü ABD Dolarındaki arışa karşı azalmadır. Asimeri sıfır erafında olmayabilir faka sıfıra yakın poziif bir sayı erafında olması beklenmekedir. Ayrıca McCarhy(999) arafından önerilen meod, eşik seviyesini espi emek için kullanılan sandar bir yönemdir. Döviz kurlarından fiyalara geçiş ekisi yüksek olan ülkelerde, döviz kuruna dayalı isikrar programlarının başarılı olma şansının yüksek olduğu geçmişe yapılan çalışmalarda göserilmişir. Diğer yandan, geçiş ekisinin azalmış olması gerekliliği enflasyon hedeflemesi uygulayacak ülkelerde geçerli olduğu vurgulanmışır. Bulunan bu bulgular yardımı ile Türk ekonomisi üzerinde döviz kurlarından fiyalara geçiş ekisinin incelenmesinin oldukça önemli olduğu görülmekedir.

11 . DÖVİZ KURU GEÇİŞİ Döviz kuru geçişi ile bir birim şokun genel fiya seviyesine nasıl geçiği araşırılır. Döviz kurlarından fiyalara geçiş asimerik bir yapıya sahip olabilir. Geçişin asimerik olması, döviz kuru arışları ve azalışları süresince, geçiş kurunun farklı olması anlamına gelmekedir. Bir ekonominin emel makro ekonomik değişkenleri üzerindeki döviz kuru geçişi oldukça ekilidir. Bazı ekonomik erimler aşağıda açıklanmakadır. Döviz kuru, bir ülkenin ulusal para biriminin yabancı para birimleri cinsinden değerini gösermekedir. Döviz kurlarının belirlenmesinde kullanılan sisemlere de döviz kuru sisemleri adı verilmekedir. Döviz kuru sisemleri, döviz kurlarının nasıl belirleneceği, kurlarda serbesçe ya da resmi kararla hangi ölçülerde değişme olup olmayacağı gibi konularla ilgili kurallar opluluğu olarak açıklanabilir. Döviz kuru siseminin seçimi oldukça önemlidir. Çünkü döviz kurundaki değişiklikler cari işlemler dengesini büyük ölçüde ekilemekedir. Son yıllarda yükselen piyasa ekonomilerinde sıklıkla bankacılık ve döviz krizleri yaşanmakadır. Yaşanan döviz krizlerinden dolayı gelişmeke olan ülkelerde büyümenin yavaşladığı neredeyse kesildiği görülmekedir. Döviz kurunun ihala, ihraca, üreim ve isihdam üzerinde de önemli ekilerinin olduğu bilinmekedir. Aslında döviz kuru ve enflasyonla işsizlik arasında merkezi bir ilişki olduğu lieraürde arışılmakadır. Endeks, belirli bir olaya ai sayısal verilerde meydana gelen oransal değişimin gösergesi olarak anımlanabilir. Endeks yüzde değişimleri ifade eden bir sayıdır. Başlıca endeksler fiya endeksi, ükeici fiyaları endeksi(üfe), opan eşya fiyaları endeksi(efe), üreici Değişkenlerin anımlanmasında hp://analiz.ibsyazilim.com/sozluk/sozlukdefaul.hm ve hp:// adreslerinden ve T.C Başbakanlık Devle İsaisik Ensiüsü Tükeici Fiyaları Endeksi ve Üreici Fiyaları Endeksi Sorularla İsaisikler Dizisi, Şuba 5 den büyük ölçüde yararlanılmışır.

12 fiyaları endeksi(üfe), sanayi üreim endeksi, hizmeler endeksi, mali endeks, ulusal endeksi, ulusal 3 endeksidir. Bu endeksler aşağıda kısaca açıklanmakadır. Fiya endeksi, seçilmiş mal ve hizmelerin oralama fiyalarının belli bir döneme göre değişimini göserir. Başka bir ifade ile fiya endeksi; malların belirli bir dönemdeki fiyalarını daha sonraki dönemlerdeki fiyalara oranlayarak, fiyalardaki arışın veya azalışın gösergesi olarak açıklanabilir. Endeks oluşurmak için ilgilenilen piyasaya göre (ükeici, üreici, ihraca, ihala vb.) bir mal ve hizme sepei oluşurulur. Burada seçilmiş maddelerin fiyaları dönemsel olarak akip edilir. Fiya endeksleri, fiyalarının izlendiği mal ve hizme piyasasına göre isimlendirilir. Tükeici fiyaları endeksi, üreici fiyaları endeksi, ihraca fiyaları endeksi, ihala fiyaları endeksi örnek olarak göserilebilir. Bir ülkenin ekonomik yapısının belirlenmesinde, ekonomik kararlar alınmasında, kişilerin saın alma gücünün espiinde, ücre ve maaşların belirlenmesi gibi çeşili konularda fiya endekslerine ihiyaç duyulur. Tükeici fiyaları endeksi, belirli bir dönemde hane halkları arafından saın alınan mal ve hizmelerle belirlenen bir sepein aylık dönemler iibariyle fiya değişimini ölçer. Başka bir ifade ile ükeici fiyaları endeksi; ükeiciler arafından geniş ölçüde kullanılan malların genel fiya seviyelerindeki değişmeleri göseren endeksir. Bu ür endekslerin düzenlenmesinde, ükeicilerin harcamalarını ahsis eikleri her bir mal grubunun oplam harcama içindeki ağırlıklarının belirlenmesi çok önemlidir. Tükeici harcamalarının büyük bir kısmını oluşuran herhangi bir mal grubuna endeks içinde düşük bir ağırlık verilmesi, bu mal grubunun fiyalarındaki değişmelerin endekse daha küçük oranda yansımasına yol açabilecek ve dolayısıyla, endeks rakamları, fiyalar genel düzeyindeki gerçek arışları yansımakan uzak olabilecekir. Dolayısıyla mal ve hizme sepeindeki her bir madde için mikar ve kalie değişmeleri göz önüne alınarak endeksin sadece fiya harekelerini 3

13 yansıması çok önemlidir. Türkiye de ükeici endeksleri; geçinme endeksi, perakende fiya endeksi, ükeici fiyaları endeksi isimleri alında İsanbul Ticare Odası, Türkiye İsaisik Kurumu ve Hazine ve Dış Ticare Müseşarlığı arafından düzenlenmekedir. Topan eşya fiyaları endeksi, paranın saın alma gücünde oluşan değişmelerin opan eşya fiyalarına dayandırılarak endekse abi uulmasıdır. Topan eşya fiyaları endekslerinde, emel oluşuracak veriler, genellikle opancılık yapanlardan, imalaçılardan elde edilmekedir. Üreici fiyaları endeksi, belirli bir referans döneminde ülke ekonomisinde üreimi yapılan ve yuriçine saışa konu olan ürünlerin, üreici fiyalarını zaman içinde karşılaşırarak fiya değişikliklerini ölçen fiya endeksidir. Üreici fiyaları, üreimde kullanılan her ürlü maddenin ve işgücünün maliyeinden ekilenmekedir. Sanayi üreim endeksi, imala sanayinde, madencilik, elekrik ve gaz endüsrilerinde fiziksel üreim değerlerinin dönemsel olarak ölçülmesi şeklinde anımlanabilir. Mali endeks, mali sekörde yer alan şirkelerin hisse senelerinin fiyalarındaki değişmeleri dikkae almak şarıyla hesaplanan hisse seneleri piyasası endeksidir. Ulusal endeksi, 986 yılında 4 şirkein hisse senedi ile başlayarak zamanla sayısı şirkein hisse senedi ile sınırlanan bileşik endeksin devamı nieliğindedir. Ulusal pazarda işlem gören yaırım oraklıkları hariç önceden belirlenmiş şarlar yanında sekörel emsil kabiliyei de göz önünde bulundurularak seçilmiş hisse senelerinden oluşmakadır ve İMKB-3 da yer alan hisse senelerini de kapsamakadır. Ulusal 3 endeksi, Vadeli İşlemler Piyasası nda kullanılmak amacıyla oluşurulmuşur. Yaırım oraklıkları hariç ulusal pazarda işlem gören şirkelerden önceden belirlenmiş 4

14 şarlar yanında, piyasa değeri ve likidiesi yüksek olanlardan sekörel emsil kabiliyei de göz önünde bulundurularak seçilen 3 hisse senedinden oluşan endeksir. Enflasyon, fiyalar genel seviyesinin sürekli olarak yükselmesi nedeniyle paranın sürekli olarak değer kaybemesi durumudur. Başka bir ifadeyle ükeicilerin saın alma gücünü yiirmesidir. Bir ekonomide bazı malların fiyaları ararken bazıları da düşmekedir. Dolayısıyla, önemli olan oralama fiyaların seyridir. Fiya endeksleri yardımı ile oralama fiyaların seyri espi edilebilir. Ayrıca enflasyonun hesaplanmasında seçilmiş mal ve hizmelerin oralama fiyalarının dönemsel değişimini göseren fiya endeksleri kullanılır. Benzer şekilde enflasyon oranı da ülke genelindeki fiya arışlarının ölçüsü olarak kullanılan fiya endekslerinden yararlanılarak bulunur. Enflasyon oranı, fiya isikrarını sağlamak için poliika uygulayıcılarına yol göserir. Bir ekonomide var olan çeşili piyasalar açısından bakılarak fiyalar genel seviyesindeki değişim oranı belirlenmek isenebilir. Tükeici, üreici, ihraca veya ihala piyasalarında fiyalar genel seviyesindeki arış oranı bu piyasalara ilişkin enflasyon oranı olarak nielendirilebilir. Faka kamuoyunda enflasyon oranı, ükeici veya üreici fiyalarındaki değişim oranı olarak alınmakadır. Bir ülkenin iç veya dış ilişkilerinden doğan ekonomik dengesizliklere şok adı verilir. Şoklar dış kaynaklı olarak oraya çıkıyor ise dışsal şok, iç kaynaklı olarak oraya çıkıyor ise içsel şok olarak adlandırılmakadır. Ayrıca bir şokun yaşandığı seride arış meydana geliyorsa bu şok poziif şokur, eğer ki seride azalış meydana geliyorsa negaif şokur. 5

15 3. LİNEER ZAMAN SERİLERİ 3. Zaman Serisi ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı, T de bir indis kümesi olmak üzere bir zaman serisi Ω T çarpım uzayından reel sayılara giden bir fonksiyondur. Yani, bir zaman serisi, (.,.) : Ω T : ( w, ) ( w, ) = ( w) (3..) şeklinde anımlanan bir fonksiyondur ve her sabi için (w) bir rasgele değişkendir. Her bir sabi w için, nin reel değerli bir fonksiyonudur. Bu reel değerli fonksiyona zaman serisinin bir yörüngesi denir. Gerçek hayaa görülen zaman serileri grafikleri aslında zaman serisinin bir yörüngesidir. Zaman serileri gözlem değerlerinin zamana göre dağılımını göserir. Başka bir ifadeyle, bir değişkenin belli zaman aralıklarında gözlenen değerlerinden oluşurlar. Bu bağlamda, döviz kurlarındaki günlük değişimleri göseren bir seri zaman seridir. Benzer olarak, aylara göre bir firmanın üreiği veya saığı mal sayısından oluşan seriler de zaman serilerine örnek göserilebilir. Günümüzde zaman serileri birçok alanda kullanılmakadır. Özellikle isaisik ve ekonomeri gibi bilim dallarındaki uygulama alanları oldukça genişir. Zaman serileri yardımı ile geçmiş yıllara ai ekonomik verileri kullanarak gelecek yıllar hakkında öngörüde bulunabiliriz. Ancak yapılan öngörülerin isaisiki anlamda güvenilir sonuçlar vermesi için kullanılan zaman serilerinin durağanlığı sağlaması gerekmekedir. Dolayısıyla zaman serilerinde durağanlık kavramı, en önemli kavramlardan birisidir. Aşağıdaki bölümde durağanlık kavramı ve bu kavramın zaman serilerindeki önemi açıklanmakadır. 6

16 3. Durağanlık Zaman serileri eknikleri uzun dönem dengesinin oluşumunu ampirik yönden incelememize olanak sağlar. Bu eknikler, dengenin sağlanıp sağlanmadığı, siseme verilen şoklar sonrasında oraya çıkan sapmaların devamında sisemin uzun dönemde ekrar denge düzeyine dönüp dönmeyeceği konusunda bilgiler sağlar. Ancak uzun dönem dengesi incelenirken ele alınan değişkenlerin, kısa dönemde şoklardan ekilense dahi birkaç dönem sonra bu şokların ekilerinden kurularak ekrar eski denge düzeyine yönelen nielike olmaları gerekir. Bu özelliğe sahip bir değişkene durağan zaman serisi adı verilir. İsaisiksel açıdan açıklamak gerekirse, durağanlık kısaca şu şekilde anımlanabilir: Deerminisik bir yapısı olmayan ve d kere farkı alındıkan sonra oralaması ve varyansı sabi, doğrusal bir ooregresif harekeli oralama(arma) süreci sergileyen bir seri durağandır(engle and Granger 987). d inci dereceden durağan olan olarak I(d) şeklinde ifade edilir. serisi sembolik Durağanlık, zaman serilerinde en önemli kavramalardan birisidir. İsaisiki sonuç çıkarımlarının çoğunda serinin durağan olduğu varsayılır. Eğer seri durağan değil ise fark alma gibi çeşili eknikler kullanılarak seri durağan hale geirilir. Genel olarak iki çeşi durağanlıkan söz edilir. Birincisi güçlü durağanlık ikincisi ise zayıf durağanlıkır. Bir zaman serisinin,,, n zamanlarındaki,,, n rasgele değişkenlerinin orak olasılık dağılım fonksiyonu ile herhangi bir öelemeyle elde edilen zamanlarındaki + h, + h,, n + h n, h, + h, + h +,, n h n+ h T rasgele değişkenlerinin orak olasılık dağılım fonksiyonu aynı ise bu seriye güçlü durağandır denir. Başka bir ifadeyle, T indis kümesi doğal sayılar kümesi olmak üzere, { : T } bir zaman serisi olsun. 7

17 Eğer n, T, her,,, n T ve her x, x,, xn için + h, + h,, n + h T olmak üzere F,..., (,,...,, x x x n n ) = F + h, + h,..., n+ h ( x, x,..., x n ) koşulu sağlanıyorsa { : T } zaman serisine güçlü durağandır denir. Eğer { : T } zaman serisi güçlü durağan ise bu n ( + h + h, n h i T, (,,..., ) = D,..., + ) şeklinde göserilebilir. n için Eğer { : T } zaman serisi güçlü durağan ise bağımsız aynı dağılıma sahip rasgele değişkenlerin bir dizisidir. Praike serinin güçlü durağanlığını sağlamak kolay değildir. Bunun yerine koşulların biraz hafifleilmesi ile anımlanan zayıf durağanlık veya kısaca durağanlık uygulama açısından yeerli görülmemekedir. Bir { : T } zaman serisi eğer, (i) E ) = µ ( (ii) Cov, ) kovaryansı sadece s nin bir fonksiyonudur. ( s koşullarını sağlıyorsa, zaman serisine zayıf durağan, kovaryans durağan veya kısaca durağandır denir. 8

18 Güçlü durağanlık ve zayıf durağanlık kavramları birbirlerini gerekirmez. Bazı durumlarda bu geçişler olabilmekedir: (i){ : T } zaman serisi durağan ve normal dağılım varsayımı sağlanıyorsa bu seri aynı zamanda güçlü durağandır. (ii) { : T } zaman serisi güçlü durağan ve E ( ) < koşulunu sağlıyorsa bu seri aynı zamanda durağandır. 3.3 Durağan Zaman Serileri 3.3. Harekeli oralama serileri (Moving average series, MA) Oralaması sıfır olan herhangi bir { T} fonksiyonu, e : zaman serisinin ookovaryans σ, h= γ e ( h) =, d. d. (3.3..) şeklinde ise { e : T} e WN (, σ ) şeklinde göserilir. serisine bir Beyaz Gürülü (Whie Noise) serisi denir ve Eğer e WN (, σ ), q sonlu bir doğal sayı olmak üzere q uncu dereceden harekeli oralama serisi, q µ = e + β e ( 3.3..) = şeklinde verilir ve MA(q) şeklinde göserilir. 9

19 Eğer MA (q) ise, serinin ookovaryans fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanır. Ayrıca serinin oralamasının sıfır olduğu görülmekedir. Yani, E( ) = µ dür. Ayrıca serinin varyansı da, Var( ) Var e e q q = + β = σ β = = (3.3..3) dir. Ookovaryans fonksiyonu ise β = olmak üzere, γ ( h) Cov(, ) Cov( β e, β e ) = = + h i + h i = i= q q q q = β βicov( e, e+ h i) ( ) = i= dir. Faka,, = + σ i h Cov( e, e+ h i ) = ( ), d. d. olduğundan, q h ( h) + h = γ = σ β β ( ) dir. Yukarıdaki oplamın üs sınırının q h olmasının nedeni; i+ h nin alabileceği en yüksek değerin q olmasıdır. Burada ookovaryans fonksiyonunun simerik olması gerekir.

20 Sonuç olarak, q uncu dereceden bir harekeli oralama serisi için ookovaryans fonksiyonu, q h σ β β + h, h q γ ( h) = ( ) =, d. d. şeklinde yazılabilir. Buradan da ookorelasyon fonksiyonu, ρ, h q = ( ), d. d. q h q β β + h β ( h) = = şeklinde olacakır. Görüldüğü gibi, harekeli oralama serileri q sonlu olduğu sürece her zaman durağandır. Harekeli oralama serileri her zaman durağandır. β = ρ, ρ < olduğunda { : T } zaman serisi, e WN (, σ ) iken = e + ρ e şeklinde verilsin. ρ < olduğundan = φ dolayı E ( ) = ve z+ h h h ( h) = = () = şeklinde olup = ρ γ σ ρ ρ γ ρ σ { : T } zaman serisi durağandır. Bununla birlike, eğer ρ = ise γ ( h ) anımlı değildir. Ayrıca, E ) değeri de hesaplanamaz. Dolayısı ile ρ = olması durumunda seri durağan değildir. (

21 3.3. Ooregresif zaman serileri (Auoregressive ime series, AR) Burada α = = e + e zaman serisini göz önüne alındığında bu seri, α = = e + e ( 3.3..) α = α = e + e ( 3.3..) denklemlerinin yardımı ile = + e şeklinde yazılabilir. Böylece MA(+ ) α serisinden elde edilen = + e şeklinde bir seriye ulaşılır. Bu seri, α ( µ ) = α ( µ ) + e veya = β+ β + e şeklinde de yazılabilir. Görüldüğü gibi bu seri basi doğrusal regresyon denklemine benzemekedir. Bu seri birinci dereceden ooregresif zaman serisi olarak bilinmekedir. AR() serisi, α < olmak üzere = + e şeklinde verildiğinde, α E( ) = Var( ) () σ ( ) = γ = α () = Var( ) = Var( + e ) = Var( ) + Var( e ) + Cov(, e ) γ α α α = α γ () + σ ( ) ve h> için, γ ( h) = Cov(, ) = Cov( α + e, ) + h + h = Cov(, ) + Cov( e, ) α + h + h

22 = Cov(, ) α + h = αγ ( h ) ( ) şeklinde hesaplanmakadır. Böylece AR() serisi için Yule-Walker denklemleri, γ () = α γ () + σ γ ( h) = αγ ( h ) ( ) şeklinde yazılır. Yule-Walker denklemleri ile serinin varyansı ve ookovaryansı bulunur. Birinci denklem kullanılarak serinin varyansı aşağıdaki şekilde hesaplanır. σ Var( ) = γ () = α (3.3..7) Serinin ookovaryans fonksiyonunu ise, h ( h) = ( h ) = ( ( h )) = ( h ) =... = () γ αγ α αγ α γ α γ h σ h γ ( h) = α = α γ () α ( ) şeklinde olduğu kolayca görülür. Buradan serinin ookorelasyon fonksiyonu, h ρ( h) = α (3.3..9) şeklinde olduğu açıkır. 3

23 Aslında, = + e şeklinde verilen bir zaman serisi MA(+ ) serisi olarak yazılabilir. α k Β = k olmak üzere( Β gerileme operaörü veya backshif operaörü), ( αβ ) = e e e e = = ( αβ ) = α ( α ) = = Β ( 3.3..) şeklinde yazılır. Yine dikka edilirse bu geçiş ρ = için geçerli değildir. Ooregresif zaman serileri serinin şimdiki ve geçmiş değerleri ile beyaz gürülüden ekilenir. Genel olarak, p inci dereceden bir ooregresif zaman serisi e WN (, σ ) bir beyaz gürülü serisi ve µ de serinin beklenen değeri olmak üzere, p ( µ ) = α ( µ ) + e ( 3.3..) i i i= şeklinde verilir ve AR(p) şeklinde göserilir. p modelin derecesini, α i, σ modelin paramerelerini gösermekedir. i =,,..., p ler ve AR(p) zaman serisi modeli, p p = µ α + α + e ( 3.3..) i i i i= i= şeklinde yazılabilir. Eğer, p αi = ise, serinin beklenen değeri yok olmakadır. Bu i= durumda seri durağan değildir. AR(p) zaman serisi modelinin karakerisik denklemi, p p i f ( m) = m α m = p i= i 4

24 şeklinde olsun. Bu denklemin köklerinden en az bir anesi mulak değerce e eşi ise, seri durağan değildir. Denklemin köklerinden en az bir anesi mulak değerce e eşi olması için gerek ve yeer koşul: p αi = olmasıdır (Akdi 3). i= Eğer e WN (, σ ) olduğunda AR(p) zaman serisi modeli, p = αi i+ i= e ( ) şeklinde verildiğinde bu serinin varyansı, γ p () = Var( ) = Cov(, ) = Cov, αi i+ e i= p = α Cov(, ) + Cov(, e ) i= i i p αγ i ( i) σ ( ) i= = + şeklinde bulunur. Ayrıca, h> için ookovaryanslar, p γ ( h) = Cov(, ) = Cov, α + e + h i + h i + h i= p = α Cov(, ) = αγ ( h i) i + h i i i= i= p ( ) olarak bulunur. Sonuç olarak Yule-Walker denklemleri: γ () = αγ () + α γ () α γ ( ) + σ p p γ ( h) = αγ ( h ) + α γ ( h ) α γ ( h p) ( ) p şeklinde hesaplanır. 5

25 3.3.3 Kısmi ookorelasyon fonksiyonu Zaman serileri analizlerinde ookorelasyon fonksiyonu serinin model derecesini belirlemede çok açıklayıcı değildir. Özellikle AR serilerinde ookorelasyonlar model derecesi hakkında bilgi vermez ancak korelasyonların azalma hızına göre serinin durağanlığı hakkında bir şey söylenebilir. Faka model derecesini belirlemede kısmi ookorelasyon fonksiyonu kullanılabilir. Herhangi bir { :,,3,..., n} üzerine regresyonu yapıldığında, = zaman serisi verildiğinde, nin,,..., h h nin kasayısı h nci kısmi ookorelasyon olarak anımlanır. Serilerin kısmi ookorelasyonları korelasyonlar yardımı ile kolaylıkla hesaplanmakadır (Enders 995). Burada, üzere P h marisi, ρ h ler serinin ookorelasyonlarını gösermek ρ ρ... ρh ρ ρ... ρ h Ph = ρh ρh 3 ρh 4... ρ ρh ρh ρh 3... şeklinde olsun. P h marisinin yardımı ile * P h marisi, olarak yazılır. P * h ρ ρ... ρ ρ ρ... ρ = ρh ρh 3 ρh 4... ρh ρh ρh ρh 3... ρ h 6

26 Sonuç olarak φ ( h) h nci kısmi ookorelasyon, * de( Ph ) φ ( h) = (3.3.3.) de( P ) şeklinde ifade edilir. Faka MA serileri ve ARMA serileri için kısmi ookorelasyonların hesaplanması oldukça zaman almakadır. Faka aşağıda verilen formül ile bu sorun oradan kalkmakadır. Herhangi bir zaman serisinin ookorelasyonları h ρ, kısmi ookorelasyonları ise φ ( ) ile göserilsin. Bu durumda, (3.3.3.) eşiliğinden, φ() = ρ ve elde edilir. ( ρ ρ ) φ() = ( ) ρ Diğer kısmi ookorelasyonlar φs, = φ( s ), φs, sφ( s ),( ) olmak üzere, φ( h) = h ρ φ ρ h ( h ), h = h = φ ρ ( h ), (3.3.3.) formülü ile hesaplanabilir (Enders 995). Bazı durağan zaman serileri modelleri için ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon aşağıdaki şekilde elde edilir. İlk olarak oralama serisi, e WN σ (, ) olmak üzere ikinci dereceden harekeli = e + β e + β e incelensin. Bu serinin ookovaryans fonksiyonu, σ ( + β + β ), h= σ ( β+ ββ ), h=± γ ( h) = σ β, h=±, h 3 ( ) şeklindedir. 7

27 Ookorelasyon fonksiyonu ise,, h= ( β+ ββ ) /( + β + β ), h=± ρ ( h) = β /( + β + β ), h=±, h 3 ( ) şeklinde bulunur. Burada β =.3 ve β =.4 olsun. Bu durumda serinin ookovaryansları ( ) de verilen ookovaryans fonksiyonu yardımıyla γ ().5 = σ, γ ().8 = σ, γ () =.4σ şeklinde hesaplanır. Serinin ookorelasyonları ise ρ =, ρ =.44, ρ =.3 ve h > için ρ = olduğu açıkır. h Serinin birinci ve ikinci kısmi ookorelasyonları, φ() = ρ =.44 ve ( ρ ρ ) φ() = =.348 şeklinde hesaplanır. (3.3.3.) formülü yardımı ile ( ) ρ ρ φ ρ 3, 3 = φρ+ φρ φ, ρ = φρ φρ φ(3) = = şeklinde yazılır. Burada, φ= φ φφ =.94 şeklinde hesaplandıkan sonra bu değer formülde yerine yazılarak φ (3) =.34 bulunur. Benzer şekilde φ (4) =.63 ve φ (5) =.88 olarak hesaplanır. Elde edilen grafikler şekil 3. de göserilmişir. Şekil 3. MA() serisi için ookorelasyonlar ve kısmi ookorelasyonlar 8

28 Ookorelasyonlar belli bir nokadan sonra sıfırdır, kısmi ookorelasyonlarda ise bir azalma görülmekedir. Bu durum incelenilen serinin MA() serisi olmasından kaynaklanmakadır. İkinci olarak durağan bir AR() serisi e WN σ (, ) olmak üzere, = e serisi göz önüne alınsın. AR serileri bölümünde (3.3..6) da verilen Yule- Walker denklemleri yardımı ile γ ( h) = αγ ( h ) + α γ ( h ) ( ) elde edilir. Bu eşilik kullanılarak, γ α = ve () γ () α α γ () = + α γ () α ifadelerine ulaşılır. Serinin ookorelasyonları bu ifadeler kullanılarak elde edilir. Yani, ρ γ () α = γ () = α ve ρ γ () α = α γ () = α + şeklinde ifade edilir. Formüllerde α =.7 ve α =.7 değerleri yerine yazıldığında ρ = , ρ = şeklinde hesaplanır. Benzer şekilde diğer ookorelasyon değerleri de elde edilebilir. Serinin birinci kısmi ookorelasyonu, φ() = ρ = bulunur. İkinci kısmi ookorelasyon ise, P ρ = = ρ P ρ * = = ρ ρ 9

29 P ve * P marisleri yardımı ile * de( P ) φ() = =.7= α de( P ) şeklinde hesaplanır. Kısmi ookorelasyonlar ikinci gecikmeden sonra sıfır olacakır. Ookorelasyonlarda ise bir azalma görülmekedir. olmasından kaynaklanmakadır. Bu durum serinin AR() serisi Durağan zaman serileri modellerinden MA serilerinde ookorelasyonların, AR serilerinde ise kısmi ookorelasyonların belli nokadan sonra sıfır olduğu görülmekedir. Ancak bazı serilenin ookorelasyonları ve kısmi ookorelasyonları azalmasına rağmen sıfır olmayabilir. Bu durumda serilere ooregresif harekeli oralama serileri denir. Bir sonraki bölümde ooregresif harekeli oralama serileri hakkında bilgi verilmekedir Ooregresif harekeli oralama serileri (Auoregressive moving series, ARMA) Harekeli oralama serileri her zaman durağan serilerdir. Ooregresif zaman serilerinin durağanlığı ise karakerisik denkleminin köklerine bağlıdır. Harekeli oralama serilerinin ookorelasyonları belli bir yerden sonra sıfır olmakadır. Bununla birlike kısmi ookorelasyonları ise azalmakadır. Ooregresif zaman serilerinde ise ookorelasyonlar azalmaka ve kısmi ookorelasyonlar belli bir yerden sonra sıfır olmakadır. Bir zaman serisi verildiğinde ookorelasyonlar ve kısmi ookorelasyonlar ile serinin model dereceleri belirlenmekedir. Bazen serinin ookorelasyonları ve kısmi ookorelasyonları azalmasına rağmen sıfır olmayabilir. Böyle bir durumda seriye ooregresif zaman serisi veya harekeli oralama serisi adı verilemez. Bu ür serilere ooregresif harekeli oralama serileri denir.

30 Bir MA serisi, e WN(, σ ) ve θ olmak üzere, q i i i= q µ = e + θ e (3.3.4.) şeklindedir. Bu serinin karakerisik denklemi, m q q q i + θim = dır. Harekeli oralama serileri her zaman durağan serilerdir ve karakerisik denklemin büün kökleri mulak değerce den küçük ise seriye ersinirdir(inverible) denir. Serinin ersinir olması, i= π i < olmak üzere, i= e = π ( µ ) şeklinde yazılabilir olması anlamındadır. i i i= Oralaması µ olan MA(q) serisini, θ B θ B θ B θ B q ( ) = q olmak üzere, = µ + θ ( B) e şeklinde yazabiliriz. Burada, B, gerileme operaörünü gösermekedir. Eğer serinin oralamasının µ olduğunu varsayarsak, seriyi µ = θ ( B) e şeklinde de ifade edebiliriz. Benzer şekilde oralaması µ olan AR(p) serisi, µ = e + φ ( µ ) şeklinde yazılır. AR serilerinin durağanlığı karakerisik i i i= p denklemin köklerine bağlıdır. AR serileri her zaman ersinirdir. Eğer φ p = olmak üzere, φ B φ B φ B φ B p ( ) =... p şeklinde ise, AR(p) serisini, φ ( B)( µ ) = e şeklinde yazabiliriz. Serinin oralaması sıfır olduğu durumda ise φ ( B) = e şeklinde olacağı açıkır. Sonuç olarak, model dereceleri p ve q olan bir ARMA(p,q) serisi φ ( B)( µ ) = θ ( B) e şeklinde göserilir. Burada, p serinin AR kısmının model derecesini, q ise serinin MA kısmının model derecesini gösermekedir. Eğer serinin oralaması sıfır ise, bir ARMA(p,q) serisi,

31 φ( B) = θ ( B) e (3.3.4.) şeklinde göserilir. Daha açık bir şekilde ifade emek isersek, model dereceleri p ve q olan µ oralamalı bir ARMA(p,q) serisi φ ve θ olmak üzere p p φ ( µ ) + e + = q q ( µ ) = θ e ( ) i= i i şeklinde yazılır. Eğer serinin oralaması sıfır ise ARMA(p,q) serisi, p = φ + e + θ e i i = i= q ( ) olarak yazılır. Bir ARMA(p,q) serisinin durağan olabilmesi için, AR kısmının durağan olması; ersinir olabilmesi için ise MA kısmının ersinir olması yeerlidir. Eğer ARMA( p, q) serisi durağan ise, ψ < şarı sağlandığında, = = ψ e ( ) = şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla serinin ookovaryans fonksiyonunun, γ ( h) σ ψ ψ + h = = ( ) şeklinde olacağı açıkır. Ancak burada ψ kasayılarının belirlenmesi gerekir.

32 Eğer ARMA(p,q) serisini φ( B) = θ ( B) e şeklinde ise, φ( B) = θ ( B) e θ ( B) = e ( ) φ( B) olacakır. Buradaki ψ kasayıları z < olmak üzere, θ ( z) ψ ( z) = = ψ z ( ) φ( z) = özdeşliğinden yararlanarak elde edilir. Ayrıca burada, θ z = + θ z+ θ z + + θ z ( )... q q p ( z) = z z... pz ( ) φ φ φ φ dir. Bu eşiliklerin çözülmesi ile θ = ve olduğundan çözümler, > q için θ = ve ayrıca > p için φ = ψ φψ = θ, < max( p, q+ ) k k < k ψ φψ =, max( p, q+ ) k k < k p (3.3.4.) şeklindedir (Brockwell and Davis 987). Bu eşilikler çözüldüğünde, ψ = θ = ψ= θ+ ψ φ = θ+ φ ψ = θ + ψ φ + ψφ = θ + φ + ψφ + φ ψ kasayıları ardışık olarak bulunur. 3

33 3.4 Öngörü (Forecasing) Öngörü, gözlemlediğimiz değerlerin dışında rasgele değişkenin almasını beklediğimiz değerdir. Öngörüler yapılırken kullanılan bilgi, geçmiş zamanlardaki gözlem değerleridir. Bu gözlem değerleri yardımı ile rasgele değişkenin geleceke alacağı değerler için bir ahminde bulunulur.,,..., n rasgele değişkenleri verildiğinde n + için öngörü, n+ E n+ n = (,,..., ) (3.4.) olarak anımlanır. Normal dağılım varsayımı alında bu koşullu beklenen değer,,..., n değerlerinin bir lineer birleşimidir. Kabul edelim ki Y, Y,..., Y n rasgele değişkenleri den bağımsız) (, ) olmak üzere ( e WN σ e ler de Y Y Y, = = αy + e, (3.4.) modeline uygun olsun. α < olsun yani serinin durağan olduğu varsayılsın. Bu durumda Yn, Yn,..., Y değerleri öngörülmek isensin. + + n+ s e, e,..., e n ler bağımsız olduğundan dolayı e n + rasgele değişkeni Y, Y,..., Y n lerden bağımsızdır. Dolayısı ile ) E( e + Y, Y,..., Y ) = E( e + ) = olacağından, Y + = E( Y + Y, Y,..., Y ) = αyn şeklinde n n n n n n hesaplanır. Yani öngörü sadece serinin aldığı son değere ve paramereye bağlıdır. 4

34 ) n+ n+ n n İki adım ilerisi için öngörü, Y = E( Y Y, Y,..., Y ) = α Y olacakır. Bu şekilde devam edilirse s adım ilerisi için öngörü, ) s Y =α (3.4.3) n+ s Yn olarak hesaplanır. Görüldüğü gibi öngörüler örneklemin en son değerine bağlıdır ve s için öngörüler serinin oralaması olan değerine yaklaşmakadır. Bu öngörüler hesaplandıkan sonra öngörü haaları ve bu öngörü haalarının varyansı da ) verilmelidir. Bir adım ilerisi için öngörü haası, Yn+ Yn+ = ( αyn + en+ ) αyn = en+ ve ) öngörü haasının varyansı ise, Var( Y Y ) = Var( e ) = σ olarak bulunur. n+ n+ n+ İki adım ilerisi için elde edilen öngörü haası, ) Y Y = ( α Y + e ) α Y n+ n+ n+ n+ n = ( α ( α Y + e ) + e ) α Y n n+ n+ n = α Yn + αen+ + en+ α Yn = + α en + en + dır. İki adım ilerisi için öngörü haasının varyansı, ) Var( Y Y ) = Var( α e + e ) n+ n+ n+ n+ = σ + α şeklinde hesaplanır. 5

35 Bu şekilde devam edildiği zaman s adım ileri için öngörü haası, ) Y Y e s n+ s n+ s = α n+ s = (3.4.4) şeklindedir. Bu öngörü haasının varyansı ise, ) Var( Yn+ s Yn+ s ) = σ α s = (3.4.5) olacağı açıkır. Burada s için öngörü haalarının varyansı serinin varyansına doğru yaklaşır. Çünkü, ) σ Var( Y Y ) Var( Y ) s n+ s n+ s = σ α = = α (3.4.6) dir. Yani, seri durağan ise öngörüler serinin oralamasına doğru yaklaşır. Bununla birlike, öngörü haalarının varyansı da serinin varyansına doğru yaklaşır. Ancak serinin durağan olmaması durumunda ( α =± ) bu özellikler geçerli değildir. Eğer Y +, Y +,..., Y değerleri aynı anda öngörülmek isendiğinde, ) ) ) + Y, Y,..., Y n n n s şeklinde öngörüler elde edilir. Bu öngörülerin haaları ise, n+ n+ n+ s Y Y Y ) Y ) Y n+ n+ n+ n+... ) Y n+ s n+ s en+ αen+ + en+. =.. s s α e + α e e n+ n+ n+ s (3.4.7) şeklindedir. 6

36 Buradan öngörü haalarının varyans-kovaryans marisi, Z = ( Yn+, Yn+,..., Yn+ s )' % ) ) ) ) (,,..., )' % ve Z = Yn+ Yn+ Yn+ s olmak üzere, s α... α α + α α + α... ) ) E ( Z Z)( Z Z)' % % % % = σ s..... α = (3.4.8) şeklindedir. Eğer bir öngörü yapılıyorsa, bu öngörü için güven aralığı oluşurmak gereklidir. s adım ) ilerisi için öngörü Y n + s ise bu öngörü için %95 lik güven aralığı, ) Yn+ s± Z(.5) σ α s = (3.4.9) olarak yazılabilir. Faka praike buradaki α ve σ değerleri paramerelerdir ve bunların ) ahmin değerleri kullanılır. Ayrıca, burada Y n + s kesiricisinin dağılımının bulunmasıdır. ) Bununla birlike, yukarıda verilen güven aralığında Z (.5) yazılabilmesi için Y n + s kesiricisinin dağılımının normal olması gerekir. Aşağıdaki model göz önüne alındığında, Y, = Y = αy + e, Eğer α < ise seri durağandır. (3.4.) 7

37 Ayrıca, E( Y ) =, Var( Y ) = σ α dir. ) Burada, s için Y n + s s = α Y n = Var( Y ) ve öngörü haalarının varyansı da, ) σ Var( Y Y ) Var( Y ) s n+ s n+ s = σ α = = α (3.4.) dır. Ancak α = ise seri durağan değildir. Çünkü Y = alındığında, Y = e olduğundan, kovaryans, = Cov Y Y+ = σ + h dir ve ookovaryanslar (, h) min(, ) zamana bağlıdır. Öngörüler hesaplanırken serinin durağan olup olmaması hakkında bir bilgi gerekmez. Çünkü öngörüler koşullu beklenen değer olarak hesaplanır. Dolayısıyla dağılım bilindiği sürece öngörüler hesaplanabilir. Öngörüler hesaplanırken durağanlığa gerek duyulmaz faka durağanlık öngörülerin hesaplanmasında önemli bir rol oynamakadır. Yukarıda hesaplanan öngörüler serinin durağan olmaması durumunda( α = olması ) durumunda) sabi kalmakadır. Bu durumda öngörüler, her s için, Yn+ s = Yn şeklinde ) olacakır. Yani s ve α = ise E( Y Y ) = σ s olur. Diğer arafan, α > ise, n+ s n+ s ) α E( Yn+ s Yn+ s ) = = s s σ α σ = α (3.4.) olacakır. Y değeri bir rasgele değişkendir ve isaisiki sonuç çıkarımında önemli role sahipir. Genelde Y = olarak alınmakadır. Faka bazen Y = µ gibi bir sabi değer alınmakadır. 8

38 Eğer Y αy e = + olduğunda, Y = Y e Y = α Y α e (3.4.3) * * α α ve * α < olduğundan, ) Y =α Y * olacakır. Bir AR(p) modeli ardışık olarak elde edilir. α = p = e + şeklinde verilmiş ise öngörüler, ) p n+ s = α n+ s = 3.5 Durağan Olmayan Zaman Serileri İsaisik ve ekonomi gibi çalışma alanlarında kullanılan serilerin çoğu durağan olmayan zaman serileridir. Birim köklü zaman serileri durağan olmayan zaman serileri arasında büyük yer umakadır. Bir serinin durağan olmadığı düşünülüyor ise seri mulaka es edilmelidir. Eğer ki durağan değilse, durağanlık sağlanmalıdır. Çünkü zaman serilerinde durağanlık, en önemli kavramalardan birisidir. Dolayısıyla analizlere başlamadan önce serinin durağan olup olmadığı araşırılmalıdır. Ayrıca durağan serilerle çalışmak, isaisiki anlamda güvenilir sonuçlar elde ememizi sağlar. Zaman serileri uzun dönemde rend ile deerminisik sürecin lineer bileşimi olarak yazılabilir. Deerminisik rend, zaman serisinin zaman içinde sürekli olarak arması(veya azalması) şeklindeki eğilim olarak anımlanır. = + µ Modeldeki { µ } rasgele olmayan erimler serisine deerminisik rend adı verilir. (3.5.) Ayrıca e WN σ (, ) olmak üzere, = + e (3.5.) serisi göz önüne alınsın. 9

39 Ardışık olarak yazıldığında, = + e = + v (3.5.3) i i= elde edilir. Modeldeki { v} = ei serisine de sokasik rend denir. Sokasik rend, serideki i= zamanla aran (veya azalan) eğilimin sürekli olmaması, genellikle arış(veya azalış) içerisinde olan bir seride azalışlarında(veya arışlarında) gözlendiği durumu ifade emekedir. Yukarıdaki (3.5.) ve (3.5.3) modelleri birleşirildiğinde, = + µ + e = + µ + v (3.5.4) i i= modeli elde edilir. Modelde bulunan { µ + v } erimi ise deerminisik ve sokasik rendlerin birleşimidir. Burada sokasik bir rasgele değişken ya da sokasik olmayan bir sabi olarak düşünülür. Uygulamada ise genellikle = veya = µ olarak alınabilir. Bir serinin beklenen değeri zamana bağlı iken serinin ookovaryansları zamana bağlı değil ise bu serinin deerminisik rend içerdiği düşünülür (Yalçın ). Yukarıda verilen (3.5.4) modelinde verilen seri için v durağan ise µ deerminisik rend olarak adlandırılır. Burada v nin ookovaryansları zamana bağlıdır. Bazı seriler (3.5.4) modelindeki v gibi durağan olmayan bileşen içerebilir. Bu ür serilerin sokasik rend içerdiği düşünülür. Başka bir ifade ile bir serinin sadece ookovaryansları zamana bağlı ise seri sokasik rend içeriyor denir. Bazı seriler hem deerminisik hem de sokasik rend içerebilir. Durağanlık, zaman serilerinde en önemli kavramalardan birisidir. İsaisiki sonuç çıkarımlarının çoğunda öncelikle serinin durağan olup olmadığı araşırılır. Örneğin Türkiye ekonomisindeki birçok değişken durağan değildir. Dolayısıyla geleceğe yönelik kararlar 3

40 alırken analizler yapılmadan önce çalışığımız serilerin durağanlığı sağlayıp sağlamadığı mulaka konrol edilmelidir. Aksi akdirde elde edilen sonuçlar isaisiki anlamda güvenilir olmayacakır. Bir seriyi durağan hale geirmek için çeşili yollar vardır. Eğer seri sadece deerminisik rend içeriyor ise serinin oralaması çıkarılarak durağanlık sağlanabilir. Seri sadece sokasik rend içeriyor ise serinin durağanlığı fark alma yönemi ile sağlanabilir. Ancak burada fark alma operaörünün önceden anımlanmış olması gerekir. Zaman serilerinde durağanlığı veya birim kökü es emek için çeşili yönemler vardır. Bu yönemlerin içinde en çok kullanılan Dickey-Fuller esidir. Aşağıda Dickey-Fuller esine kısaca değinilecekir Dickey-Fuller birim kök esi Herhangi bir serinin(genellikle ikisadi serinin) birim kök içerip içermediğini sınamak için en çok kullanılan yönem paramerelerin en küçük kareler ahmin edicilerinin dağılımına göre gelişirilen Dickey-Fuller yönemidir. Dickey-Fuller yönemi, paramerelerin en küçük kareler ahmin edicisinin birim kök varsayımı alındaki dağılımına dayanır. Ancak Dickey- Fuller esleri, süreç birim köke sahip ve bu durum fark alma yönemi ile oradan kaldırılabiliyorsa uygulanır. Dickey-Fuller birim kök esleri, zaman serilerinde birim kök araşırmasını sağlayan ilk biçimsel yönemdir. Birinci dereceden bir ooregresif zaman serisi modeli, e WN σ (, ) olmak üzere, ρ + e (3.5..) = şeklinde verilsin. Bu denklemin birinci dereceden farkı alındığında aşağıdaki model veya + = ρ e (3.5..) 3

41 şekline dönüşür. = (ρ ) + e (3.5..3) Burada, γ =ρ olarak anımlandığında (3.5..3) denklemi, = γ + e (3.5..4) şeklinde olmakadır. Dolayısıyla, (3.5..) modeline göre H : ρ hipoezi ile H : γ hipoezi denkir. = = Burada (3.5..) de verilen zaman serisi için, H : ρ yokluk hipoezi alında, Cov( =, + ) = σ min(, h) şeklindedir yani kovaryans zamanın bir fonksiyonu h + olmakadır. Sonuç olarak, H : ρ yokluk hipoezi alında, (3.5..) de verilen zaman serisi durağan değildir. = Durağan olmayan zaman serilerinde H : ρ hipoezinin esinde isaisiği kullanılır. = Burada kullanılan isaisiğinin dağılımı negaif olarak sola çarpıkır. Dolayısıyla, sol uçaki kriik değerler Suden dağılımınkinden daha küçük olabilmekedir. Dağılım sandar dağılımı olmadığında limi dağılımı aşağıdaki üç ayrı model için, = γ + e (3.5..5) = α + γ + e (3.5..6) = α+ β+ γ + e (3.5..7) sırasıyla τ, τ µ, τ τ olmakadır (Enders 995). Burada, τ, τ µ ye göre ve τ µ de τ τ ya göre daha güçlüdür (Dickey e all. 986). 3

42 H : ρ veya H : γ hipoezinin es edilmesi isendiğinde hesaplanan = = τ veya varyans bilindiğinde n ( ) isaisiğinin değeri kriik değerlerden küçük ise yokluk ρ τ hipoezi red edilmekedir. Başka bir ifade ile serisi durağandır Genişleilmiş Dickey-Fuller birim kök esi Veri üreim süreci AR(p) olan bir zaman serisinin, p olmak üzere, AR() olarak modellenmesi haa erimlerinde ookorelasyonlara sebep olacağından serinin durağanlığını araşırmak için Dickey-Fuller esinin kullanılması başlangıça geçersiz olacakır. Bunun nedeni e lerin beyaz gürülü süreci olması varsayımı bozulmasıdır. Faka verilen bir birim köklü serinin herhangi bir AR( p) (veya ARMA(p,q)) serisi içinde Dickey-Fuller esi uygulanmakadır. Bu durumda da verilen bir p + β = serisinin, = α + e (3.5..) şeklinde yazılması durumunda H : serisi birim köklüdür yokluk hipoezini H : α = hipoezinin es edilmesi ile aynı olacakır. Bunun için nin,,..., p üzerine regresyonunun yapılması durumunda in kasayısı hesaplanır ve ˆ α ˆ τ = S es isaisiği(veya değerler ile aynıdır. α ˆ τ µ, ττ ) kullanılır. Kriik değerler Dickey-Fuller esinde kullanılan Bir serinin birim kök içerip içermediğini sınamak için çeşili bilgisayar programları kullanılmakadır. Çalışmada 987:-7: dönem aralığında Türkiye için sanayi üreim endeksi(indusrial producion index) ele alınmışır. Bu serinin birim kök içerip içermediği 33

43 incelenmişir. Sanayi üreim endeksi için Eviews programına ai birim kök sınaması sonuçları aşağıdaki çizelge 3. de belirilmişir. Çizelge 3. Sanayi üreim endeksi serisi birim kök esi -Saisic Prob. Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Birim kök sınaması sonuçlarına göre, p değerinin oldukça büyük olduğunu görülür. Dolayısıyla 987:-7: dönem aralığında Türkiye için sanayi üreim endeksi serisi birim kök içermekedir. Yapılan analizlerin isaisiksel anlamda güvenli olabilmesi için serinin birim köken arındırılması gerekmekedir. Bunun için serinin birinci dereceden farkı alınır. Sanayi üreim endeksi serisinin birinci dereceden farkı alındıkan sonra yapılan birim kök sınaması sonuçları aşağıdaki çizelge 3. de verilmişir. Çizelge 3. Sanayi üreim endeksi fark serisi birim kök esi -Saisic Prob. Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level Serisinin birinci dereceden farkı alındıkan sonra yapılan birim kök sınaması sonuçları göre, p değerinin küçüldüğü dikka çekmekedir dolayısıyla serinin birim köken arındırıldığı anlaşılır. 34

44 İkisadi serilerin büyük çoğunluğu birim kök içermekedir. Bu nedenle isaisiksel anlamda güvenli sonuçlar almak için analizlere başlamadan önce serilerin birim kök içermediğinden emin olmak gereklidir. Seri birim köklü ise yukarıdaki şekilde seri birim köken arındırılmalıdır. Aksi akdirde sonuçlar çok farklı çıkabilmekedir. 35

45 4. VEKTÖR OTOREGRESİF(VAR) MODELLER VAR modelleri zaman serileri modelleri arasında en fazla kullanılan modellerdir. Bu modeller öncelikle makroekonomik değişkenler arasındaki ilişkilerin incelenmesinde ve rasgele şokların değişkenlere olan ekisinin analizinde kullanılır. İkisadi ilişkilerin çoğu oldukça karmaşıkır. Bundan dolayı ikisadi ilişkiler eşanlı denklemler yardımıyla incelenmekedir. Eşanlı denklemlerde bağımlı-bağımsız değişken kavramı yerine içsel-dışsal değişken kavramı oraya çıkmakadır. İçsel değişken, değeri model içerisinde belirlenen değişken olarak anımlanırken; dışsal değişken, değeri model dışında belirlenen değişken olarak anımlanabilir. İkisadi ilişkilerde çoğunlukla değişkenler birbirleriyle ilişkilidir. Değişkenler ilişkili olduğundan dolayı, değişkenleri içsel ya da dışsal değişken olarak ayırmak oldukça zorlaşmakadır. VAR modellerinde modeli kısılayan varsayımların kesinlikle kullanılması gerekmemekedir. Bundan dolayı model ikisadi eoriden bağımsız şekilde oluşurulabilir. Ayrıca bu modellerde içsel ya da dışsal değişken ayrımı da gerekmemekedir. Seçilen büün değişkenler birlike ele alınır. Bu özelliği ile diğer eşanlı denklemlerden ayrılır. VAR analizinde sonuçlarının isaisiki anlamda güvenilir olması için, kullanılan serilerin durağan olması gereklidir. Zaman serileri genellikle durağan değildir. Bu nedenle analizlere başlamadan önce serilerin durağan olup olmadığı incelenir. Eğer ki seriler durağan değil ise önce seriler durağanlaşırır sonra analize başlanır. 36

46 İki değişkenli VAR modeli, sandar şekilde aşağıdaki gibi ifade edilebilir: k Y = α + λ Y + λ Z + e i i i i i= i= k Z = β + γ Y + γ Z + e i i i i i= i= k k (4.) Ayrıca iki değişkenli VAR modeli marisler yardımı ile aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir: k k λ i λi Y α i= i= Y i e k k Z = β + Z + i e γ i γ i i= i= (4.) Yukarıdaki iki değişkenli VAR modelinde; k modelde gecikmelerin uzunluğunu, e oralaması sıfır ve sabi varyanslı normal dağılıma sahip rasgele haa erimlerini gösermekedir. VAR modelinde haaların kendi gecikmeli değerleriyle ilişkisiz olduğu varsayılır. Bunun nedeni değişkenlerin gecikme uzunluğunun arırıldığında ookorelasyon sorununun oradan kalkmasıdır (Özgen ve Güloğlu 4). Haa erimleri arasındaki korelasyon sıfırdan farklı ise, yani haa erimleri birbirleriyle ilişkili ise, haa erimlerinin birindeki değişim diğer bir haa erimini ekileyecekir. Ayrıca haa erimleri, modeldeki üm değişkenlerle ilişkisizdir. VAR modelinin sağ arafında içsel değişkenlerin gecikmeli değerleri yer almakadır. Dolayısıyla eşanlılık problemi ile karşılaşılmaz. Dolayısıyla ahminlerde en küçük kareler yönemi kullanılabilir. VAR modelleri, kısılanmış ve kısılanmamış VAR modelleri ikiye ayrılmakadır. VAR analizinde sonuç alabilmek için üç yol uygulanır. 37

47 . Granger Nedenselliğini. Varyans Ayrışırması 3. Eki-Tepki Fonksiyonları VAR modelleri ek başına ekonomik yorum için fazla bir şey ifade emez. Dolayısıyla VAR modellerinde güvenilir ekonomik yorumlara ulaşabilmek için yukarıdaki üç yönem kullanılır. 4. Granger Nedensellik Tesi 969 yılında Granger, nedensellik ve dışsallık kavramlarını oraya amışır (Granger 969). Granger nedensellik esine göre; eğer Z değişkenine ai bilgiler modele eklendiğinde Y değişkeninin öngörüsüne kakıda bulunuyor ise Z değişkeni Y değişkeninin nedenidir (Özgen ve Güloğlu 4). Yukarıda verilen iki değişkenli VAR modeli için Granger nedensellik sınaması şu şekilde yapılır: H hipoezinin red edilememesi halinde Z değişkeni, Y değişkeninin nedeni değildir. H : λ = λ =... = λk = H hipoezinin red edilememesi halinde Y değişkeni, Z değişkeninin nedeni değildir. H : γ = γ =... = γ k = Eğer H ve H hipoezlerinin her ikisi de red edilirse, Z ve Y arasında iki araflı nedensellik olduğu anlaşılır. 38

Daha göster